2011高考数学压轴题专题训练

2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD ）

第六章 数列

高考题

三、解答题

22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111

1,(1)2

n n n n a a a n ++==++ （I ）设n

n a b n

=

，求数列{}n b 的通项公式 （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有

1112n n n a a n n +=++11

2

n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1

122

n n b -=-(*

n N ∈) （II ）由（I ）知1

22n n n a n -=-

, ∴n S =11(2)2n

k k k k -=-∑111(2)2n n

k k k k

k -===-∑∑

而

1

(2)(1)n

k k n n ==+∑,又11

2n

k k k

-=∑

是一个典型的错位相减法模型， 易得

11

12

42

2n

k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

23.（2009北京理）已知数集{}()1212,,

1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的

(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与

j i

a a 两数中至少有一个属于A .

（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；

（Ⅱ）证明：11a =，且

12111

12n

n n

a a a a a a a ---+++=+++； （Ⅲ）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列.

【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.

（Ⅰ）由于34⨯与4

3

均不属于数集{}1,3,4，∴该数集不具有性质P. 由于661236

12,13,16,23,,,,,,231236

⨯⨯⨯⨯都属于数集{}1,2,3,6，

∴该数集具有性质P. （Ⅱ）∵{}12,,n A a a a =具有性质P ，∴n n a a 与

n

n

a a 中至少有一个属于A ， 由于121n a a a ≤<<<，∴n n n a a a >，故n n a a A ∉.

从而1n

n

a A a =

∈，∴11a =. ∵121n a a a =<<

<， ∴k n n a a a >，故()2,3,,k n a a A k n ∉=.

由A 具有性质P 可知

()1,2,3,,n

k

a A k n a ∈=.

又∵

1

21

n n n n

n n a a a a a a a a -<<<

<， ∴

211

211,,,n n n n n n n n a a

a a

a a a a a a a --====， 从而

1211

21

n n n n

n n n n a a

a a a a a a a a a a --=++

+=++++，

∴

12111

12n

n n

a a a a a a a ---+++=+++. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当5n =时，有

552343

,a a a a a a ==，即2

5243

a a a a ==，

∵1251a a a =<<<，∴34245a a a a a >=，∴34a a A ∉，

由A 具有性质P 可知

4

3

a A a ∈. 2

243a a a =，得

3423a a A a a =∈，且3221a a a <=，∴34232

a a

a a a ==，

∴

5342

24321

a a a a a a a a a ====，即12345,,,,a a a a a 是首项为1，公比为2a 成等比数列. 24.（2009江苏卷）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足

222223457,7a a a a S +=+=。

（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）试求所有的正整数m ，使得

1

2

m m m a a a ++为数列{}n a 中的项。 【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。 （1）设公差为d ，则2

222

2543

a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以4

30a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176

772

a d ⨯+

=，解得15a =-，2d =,

(2)

（方法一）12

m m m a a a ++=(27)(25)

23m m m ---,设23m t -=，

则

12

m m m a a a ++=

(4)(2)

86t t t t t --=+-, 所以t 为8的约数

（方法二）因为

1222222

(4)(2)8

6m m m m m m m m a a a a a a a a +++++++--==-+为数列{}n a 中的项，