北师大版八年级上勾股定理
北师大版八年级数学上册知识点归纳：第一章勾股定理
北师版八年级数学第1章 勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDC B A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DC B A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习与小结课件
P
M
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
典例3 如图,长方形 ABCD 中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点 D与点B
重合,折痕为 EF,求△ABE 的面积。
A
B
E
D
F
C
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
A
解析：折叠问题中，要找到折叠前
后相等的线段或角，注意这些线段
与其他线段的关系，再利用勾股定
D. 若、、是的△ABC的三边，且 − = ，则∠A=90°
第一章 勾股定理
基础训练
第一章 勾股定理
2. 如图是商场的台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是20cm，每级台
阶的高度都是15cm，则连接AB的线段长为（ B ）
A. 100cm
B. 150cm
C. 200cm
D. 250cm
解：(1)供水站P的位置如图所示.
(2)过B作BM⊥，过A’作A’M⊥BM于M.
B
A
由已知可得A’M=8，BM=2+4=6.
在Rt△AMB中，
A’B2=AM2+BM2=82+62=100
解得A’B=10
5000×10+50000=100000.
故供水站修建完成后共计要花100000元.
∙∙
A’
∙
是直角三角形.
知识梳理
第一章 勾股定理
内容：直角三角形两
直角边的平方和等于
斜边的平方.
探索勾
股定理
表达式：用
和分别表示直角三
角形的两直角边和斜
边，那么
验证方法：面积法
北师大版八年级数学上册《勾股定理》课件(共18张PPT)
知识要点
1．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为c，那么__________ . 2．勾股定理各种表达式： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对 边也分别为a，b，c，则c=_________， b=_________，a=_________.
知识要点
3．勾股定理的逆定理： 在△ABC中，若a、b、c三边满足___________， 则△ABC为___________. 4．勾股数： 满足________的三个________，称为勾股数. 5．几何体上的最短路程是将立体图形的 ________展开，转化为_________上的路程问 题，再利用___________两点之间， ___________,解决最短线路问题.
2．已知△ABC的三边为a，b，c，有下列各
组条件，判定△ABC的形状．
（1）a 4 1 ， b 4 0 ， c 9 （2）a m 2 n 2 ， b m 2 n 2 ， c 2 m （ n m n 0 ）
合作探究
探究四：勾股定理及逆定理的综合应用
B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北 偏东60o方向以每小时8 n mile的速度前进， 乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到M岛，乙 船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙 船是沿哪个方向航行的吗？
第一章 勾股定理
回顾与思考
情境引入
勾股定理，我们把它称为世界第一定理． 首先，勾股定理是数形结合的最典型的代 表； 其次，正是由于勾股定理得发现，导致无 理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一 点，我们将在《实数》一章里讲到； 第三，勾股定理中的公式是第一个不定方 程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完 整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是 费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将 它证明．
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题
cbaD CA B第一章 勾股定理学问点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长发觉32+42及52的关系，52+122和132的关系，对于随意的直角三角形也有这特性质吗？直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2）1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。
学问点二：验证勾股定理学问点三：勾股定理证明（等面积法）例1。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：ACBD例2。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：学问点四：勾股定理简洁应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°(1) 已知：a=6, b=8，求c (2) 已知：b=5，c=13，求a学问点五：勾股定理逆定理假设三角形的三边长为c b a ,,，满意222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）②计算2c 及22a b +，并验证是否相等。
若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。
若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。
1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形 3.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 学问点六：勾股数bbba（1）满意222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的一样的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．（3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不行能的是（ ）.A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,151.若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（ ）A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7学问点七：确定最短路途1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm,有一只甲虫从A 动身，沿外表爬到C '，最近间隔 是多少？2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 .学问点八：逆定理推断垂直1．在△ABC 中，已知AB 2－BC 2＝CA 2，则△ABC 的形态是( )A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．无法确定．2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对学问点九：勾股定理应用题1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道好玩的问题，这个问题的意思是：有一个水ABCD A 'B 'C 'D 'ABC5米3米池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，假设把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,安排在楼梯外表铺地毯,地毯的长度至少须要________米.3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两局部各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发觉旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发觉下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2 + n 2, m 2 – n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A.25B.14C.7D.7或253.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2，则( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6.将直角三角形的三边扩大一样的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7.若△ABC 的三边a 、b 、c 满意(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，则AD 的长为 （ ）A 、10B 、11C 、12D 、139.如图、山坡AB 的高BC =5m ，程度间隔 AC =12m ，若在山坡上每隔0.65m 栽一棵茶树,则从上到下共 ( )A 、19棵B 、20棵C 、21棵D 、22棵10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c =2，则2a +2b +2c 的值是 （ ）A 、6B 、8C 、10D 、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）Ａ、9，12，15 B 、45，1，43 C 、0.2，0.3，0.4 D 、40，41，9 12.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 动身向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 动身向东南方向航行，分开港口2小时后，则两船相距（ ）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm ．3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ．4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ．400225AB812255.在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝．6.△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则高AD= ，S△ABC = 。
北师大版数学八年级上册勾股定理的应用课件
典例精析 利用勾股定理的逆定理解答测量问题
有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？
12．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6米，当秋千荡到AB1的位置时，下端B1距静止位置的水平距离EB1等于2.4米，距地面1.4米，求秋千AB的长．
D
7．印度数学家什迦逻(1141年～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．
解：如图，由题意知，AC＝2，AD＝0.5，在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝22－0.52＝3.75.设湖水深BD为x尺，则BC为(x＋0.5)尺．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2，即x2＋3.75＝(x＋0.5)2，解得x＝3.5.答：湖水深3.5尺
解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
新知二 利用勾股定理的逆定理解答实际问题
合作探究
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
解：因为出发2小时，A组行了12×2=24(km)， B组行了9×2=18(km)， 又因为A，B两组相距30km， 且有242+182=302， 所以A，B两组行进的方向成直角．
北师大版八年级上册数学课件.3.1 勾股定理的应用(共19张PPT)
•
怎样计算AB的长？
A’ r
O
B
A’
B
h
侧面展开图
A
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
AA’2 +A’B2 =AB2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)
把空间几何图形转化为平面几何问题的步骤： 1.展开图形 2.找出对应点 3.应用勾股定理
二、利用勾股定理的逆定理判断线段垂直： 用刻度尺量出所构造的三角形的三边的长，看是
否满足两边的平方和等于第三边的平方，满足就有直 角（即线段垂直）。
当堂训练（10分钟）
1.课本第14页随堂练习1； 2 .课本第14页习题1.4的第1、2、4题。 3.课本第15页问题解决的第5题。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月5日星期日2021/9/52021/9/52021/9/5 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/52021/9/5September 5, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/5
北师大版八年级数学上册《1.1.1勾股定理》教学课件(共19张PPT)
例1 高为2.5 m的木梯，架在高为2.4 m的墙上(如图)，
这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2=2.52-2.42=0.49，
所以BC=0.7.
即梯脚与墙的距离是0.7 m.
C
B
例2 求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三 角形的另一边长.
正方形C的面积应该怎么计算呢？
C A
B
图①
➢ 分“割”成若干个直角边为整数的三角形 SC=12×2×3×4+1×1=13；
➢ 把C“补”成边长为5的正方形 SC=5×5-12×2×3×4=13.
观察：
C A
B
图①
正方形A中含有__4__个小正方形，即A的 面积是___4__. 正方形B中含有__9__个小正方形，即B的 面积是___9__. 正方形C中含有_1_3__个小正方形，即C的 面积是__1_3__.
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标
1.经历探索勾股定理的过程，了解勾股定理的探 究方法；
2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简 单问题.
新知引入
一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，你 知道它的第三边长吗？
实际上，利用勾股定理我们可以很容易地解决这个问题. 勾股定理是一个古老的定理，人类很早就发现了这个定理.
观察：
A＇
C＇
B＇
图②
正方形A＇中含有__1_6_个小正方形，即 A＇的面积是__1_6__.
正方形B＇中含有__9__个小正方形，即 B＇的面积是__9___.
正方形C＇中含有__2_5_个小正方形，即 C＇的面积是__2_5__.
北师大版八年级上册第一章探索勾股定理精讲
勾股定理第一节 探索勾股定理●应知 基础知识1、勾股定理（1）勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的 等于 的平方．（2）勾股定理的表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么有 。
2、理解（1）勾股定理存在和运用的前提条件是在直角三角形中，如果不是直角三角形，那么三边之间不存在这种关系。
（2）勾股定理把“图形”与“数量”有机地结合起来，即把直角三角形的“形”与三边关系的“数”结合起来，是数形结合思想的典型代表之一。
（3）利用勾股定理，可以在直角三角形中已知两边长的情况下，求出未知的第三边长。
一般情况下，用,a b 表示直角边，c 表示斜边，则有：222222222a b c b c a a c b +==-=- 在运用勾股定理求第三边时，首先应确定是求直角边还是求斜边，在选择利用勾股定理的原形公式还是变形公式。
【例1】在ABC ∆中，90C ︒∠=， （1）若3,4,a b ==则c = ； （2）若6,10a c ==，则b = ；（3）若:3:4,15a b c ==，则a = ，b = 。
【例2】已知直角三角形的两边长分别是3和4，如果这个三角形是直角三角形，求以第三边为边长的正方形的面积。
3、勾股定理的验证至少掌握勾股定理的三种验证方法，并从中体会到这种验证方法所体现的数学思想。
【例3】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾 股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所 示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a ，较长 直角边为b ，那么2()a b 的值为（ ）．A ．13B ．19C ．25D ．169 ●应会 基本方法1、如何利用勾股定理求长度利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直 角三角形问题。
在已知两边求第三边时，关键是弄清已知什么边，要求什么边，用平方和还 是平方差。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理PPT课件全套
3 勾股定理的应用
前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有 什么作用吗？
欲登12米高的建筑物，为安全 需要，需使梯子底端离建筑物 5米，至少需要多长的 梯子？
有一个圆柱体，它的高等于12厘米，底面半径 等于3厘米，在圆行柱体的地面A点有一只蚂 蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的 事物，需要爬行的最短路程是多少？
观察图形，正方形A中有 个小方格，即A的面积 为 个面积单位。
正方形B中有 个小方格，即B的面积为 个面积 单位。
正方形C中有 个小方格，即C的面积为 个面积 单位。
你发现A、B、C的面积之间有什么关系？
归纳得出结论：A+B=C
观察下图，A、B、C之间是否还满足 关系式：A+B=C.
思考
情景导入
上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现 了直角三角形三遍的关系，但是这种方法是否 具有普遍性呢？
思考探究，获取新知
1、在纸上画一个直角三角形，分别以这 个直角三角形的三边为边长向外作正方 形。
为了方便计算上图中大正方形的面积， 对其进行适当割补：
C D
Байду номын сангаас
c b
a A
B
S正方形ABCD=c2+2ab=（a+b）2
如果直角三角形两直角边分别是1~6个 单位长度和2、4个单位长度，前面所猜 想的数量关系式还成立吗？
你发现了吗？
直角三角形的两直角边的平方和等于斜 边的平方，这就是著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b， 斜边为c，那么有a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边 为勾，较长的直角边为股，斜边为弦， 这便是勾股定理的由来。
北师大版八年级上册数学第3讲《勾股定理复习》知识点梳理
北师大版八年级上册数学第3讲《勾股定理复习》知识点梳理【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：a b 、c 222a b c +=a b c 、、222a b c +=（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系： 若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形； 若时，△ABC 是锐角三角形； 若时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t 为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、（2016•益阳）在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．c 22a b +2c 222a b c +=222a b c +＞222a b c +＜222x y z +=x y z 、、a b c 、、at bt ct 、、a b c 、、a b c <<2a b c =+2729【思路点拨】根据题意正确表示出AD 2的值是解题关键.【答案与解析】解：如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x ，则CD=14﹣x ，由勾股定理得：AD 2=AB 2﹣BD 2=152﹣x 2，AD 2=AC 2﹣CD 2=132﹣（14﹣x ）2，故152﹣x 2=132﹣（14﹣x ）2，解之得：x=9．∴AD=12．∴S △ABC =BC •AD=×14×12=84．【总结升华】此题主要是要读懂解题思路，然后找到解决问题的切入点，问题才能迎刃而解.举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长．【答案】解：在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得．∴ ．同理．∴ ．①当∠ACB ＞90°时，BC ＝BD －CD ＝9－5＝4．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．22222151281BD AB AD =-=-=9BD =22222131225CD AC AD =-=-=5CD=②当∠ACB ＜90°时，BC ＝BD ＋CD ＝9＋5＝14．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝42．综上所述：△ABC 的周长为32或42．2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点．求证：．【思路点拨】欲证的等式中出现了AM 2、BM 2、CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD ⊥AB ．【答案与解析】证明：过点C 作CD ⊥AB 于D ．∵ AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴ AD ＝BD ．∵ ∠ACB ＝90°，∴ CD ＝AD ＝DB ．∴ 在Rt △CDM 中，，∴ ．【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．举一反三：【变式】已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：.2222AM BM CM +=()()2222AM BM AD DM AD DM +=-++222222AD AD DM DM AD AD DM DM =-⋅+++⋅+222()AD DM =+222()CD DM =+222CD DM CM +=2222AM BM CM +=22AB AD BD CD -=⋅【答案】解：如图，作AM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM,则在Rt △ABM 中：……①在Rt △ADM 中：……②由①－②得： ＝ （MC ＋DM ）•BD ＝CD ·BD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2014秋•黎川县期中）如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．【思路点拨】根据勾股定理求出BE 2、EF 2、BF 2，根据勾股定理的逆定理判断即可．【答案与解析】解：∵△BEF 是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3，∵由勾股定理得：BE 2=AB 2+AE 2=42+22=20，EF 2=DE 2+DF 2=22+12=5，BF 2=BC 2+CF 2=42+32=25，∴BE 2+EF 2=BF 2，∴∠BEF=90°，222AB AM BM =+222AD AM DM =+22AB AD -=()()22BM DM BM DM BM DM -=+-即△BEF是直角三角形．【总结升华】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE2+EF2=BF2.4、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ． (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论． (2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．【答案与解析】 解：(1)猜想：AP=CQ 证明：在△ABP与△CBQ中， ∵ AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60° ∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ ∴△ABP≌△CBQ∴ AP=CQ (2)由PA：PB：PC=3：4：5 可设PA=3a，PB=4a，PC=5a 连结PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60° ∴△PBQ为正三角形∴ PQ=4a 于是在△PQC中，∵∴△PQC是直角三角形【总结升华】本题的关键在于能够证出△ABP≌△CBQ，从而达到线段转移的目的，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求DC 的长．【答案】解：在△ABD 中，由可知：，又由勾股定理的逆定理知∠ADB ＝90°．在Rt △ADC 中，．5、如果ΔABC 的三边分别为，且满足，判断ΔABC 的形状.【答案与解析】解：由，得 ： ∴ ∵ ∴ ∵ , ∴ . 由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少?22212513+=222AD BD AB +=22281,9DC AC AD DC =-==a b c 、、222506810a b c a b c +++=++222506810a b c a b c +++=++2226981610250a a b b c c -++-++-+=222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，，3,4, 5.a b c ===222345+=222a b c +=【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．【答案与解析】解：如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．在图②中，由勾股定理，得．在图③中，由勾股定理，得．因为130＞100，所以图③中的AB 的长度最短，为10，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10．【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【变式】（2014秋•郑州期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？222311130AB =+=22268100AB =+=cm cm【答案】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，∵BC=20尺，AC=5×3=15尺，∴AB==25（尺）．答：葛藤长为25尺．。
北师大版八年级数学上勾股定理
初中数学试卷勾股定理一 探索勾股定理（一） 勾股定理知识链接（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a 2+b 2=c 2 的变形有：a 2=c 2-b 2，b 2=c 2-a 2及c 2=a 2+b 2．（4）由于a 2+b 2=c 2＞a 2，所以c ＞a ，同理c ＞b ，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 同步练习1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，且AB=4，BD=5，则点D 到BC 的距离是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．（2014•乐山）如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D ．则BD 的长为（ ）A ．532B ．543C ．554D ．5533．（2013•黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）A．5 B．7 C．5 D．5或74．（2013•六合区一模）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．75．（2014•增城市一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，（1）求AB的长；（2）求CD的长．6．（2014•金华模拟）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠B=90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于．7．（2014•本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm8．（2014•徐汇区二模）如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD．若BD=5，BO=4，则AO 的长为．9．（2014•香坊区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC．若CD=3，BC+AB=16，则△ABC 的面积为（）A．16 B．18 C．24 D．3210．（2014•南充）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A ′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA′=x，则x的取值范围是．11．（2014•房山区一模）阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为5、10、13，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：（1）图1中△ABC的面积为______；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（2）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．2、29的格点△DEF；①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为13、5②计算△DEF的面积为______．（3）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF．若PQ=22，PR=13，QR=17，则六边形AQRDEF的面积为______．（二）勾股定理证明知识链接（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．同步练习1．用四个边长均为a、b、c的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（）A．c2=a2+b2 B．c2=a2+2ab+b2 C．c2=a2-2ab+b2 D．c2=（a+b）2．2．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）A． B． C． D．3．（2014•满洲里市模拟）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么（a+b）2的值为（）A．49 B．25 C．13 D．14．（2012•宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90 B．100 C．110 D．1215、（2011•温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是______．6．由8个相同的直角三角形（图中带阴影的三角形）与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果最大的正方形的面积是25，最小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么222a3-333b3=______．7．利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为____ __，该定理的结论其数学表达式是 ____ __．8．如图，网格中的图案是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证某个著名结论的方法：（1）请你画出直角梯形EDBC绕EC中点O顺时针方向旋转180°的图案，你会得到一个美丽的图案．（阴影部分不要涂错）．（2）若网格中每个小正方形边长为单位1，旋转后A、B、D的对应点为A′、B′、D′，求四边形ACA′E 的面积？（3）根据旋转前后形成的这个美丽图案，你能说出这个著名的结论吗？若能，请你写出这个结论．9．（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE=90°；（3）请利用（1）中的公式和图2证明勾股定理．10．.如图，已知正方形ABCD和CEFG，连接DE，以DE为边作正方形EDHI，试用该图形证明勾股定理：CD2+CE2=DE2．（三）等腰直角三角形知识链接（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，两腰相等，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=2+1，所以r ：R=1：2+1． 同步练习1．如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠A=90°，BD 是角平分线，DE ⊥BC ，垂足为点E ．若CD=25，则AD 的长是（ ）A ．225B ．22C ．25 D ．52．在△ABC 中，BC ：AC ：AB=1：1：2，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形3．如图，等腰直角三角形ABC 中，AC=BC ＞3，点M 在AC 上，点N 在CB 的延长线上，MN 交AB 于点O ，且AM=BN=3，则S △AMO 与S △BNO 的差是（ ）A ．9B ．4.5C ．0D ．因为AC 、BC 的长度未知，所以无法确定4．（2011•万州区模拟）如图，△ACD 和△AEB 都是等腰直角三角形，∠EAB=∠CAD=90°，下列五个结论：①EC=BD ；②EC ⊥BD ；③S 四边形EBCD = 21EC •BD ；④S △ADE =S △ABC ；⑤△EBF ∽△DCF ；其中正确的有（ ）A ．①②④⑤B ．①②③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤5．如图，已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，则第2015个等腰直角三角形的斜边长是____ __．6．如图，在等腰直角△ACB 中，∠ACB=90°，O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上，且∠DOE=90°，DE 交OC 于点P ．有下列结论：①∠DEO=45°；②△AOD ≌△COE ；③S 四边形CDOE = 21S △ABC ；④OD 2=OP •OC ． 其中正确的结论序号为____ __．（把你认为正确的都写上）7．如图，a ∥b ，点A 在直线a 上，点C 在直线b 上，∠BAC=90°，AB=AC ，若∠1=20°，则∠2的度数为____ __．8．（2014•徐州模拟）如图，在△ABC 中，∠A=90°，∠C=45°，AB=6cm ，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，DE ⊥BC ，垂足为E ，则DC+DE= ____ _cm ．9．（2014•温州五校一模）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，点E在BC边上，且CE=CD，连结AE、BD、DE．①求证：△ACE≌△BCD；②若∠CAE=25°，求∠BDE的度数．二能得到直角三角形吗（一）勾股定理的逆定理知识链接（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．同步练习1．（2012•广西）已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，3，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（）A．② B．①② C．①③ D．②③2．（2012•连云港一模）如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（）A．6 B．7 C．8 D．93．（2014•江西模拟）下列各三角形中，面积为无理数的是（）A． B． C． D．4．下列能构成直角三角形三边长的是（）A．1，1，2 B．5，8，10 C．5，12，13 D．6，7，85．（2012•松北区二模）如图△ABC中，AB=5，AC=3，中线AD=2，则BC长为____ _．6．在直角三角形中，满足条件的三边长可以是____ _（写出一组即可）．7．三角形的三边a ，b ，c 满足（a+b ）2=c 2+2ab ，则这个三角形是____ _三角形．8．（2014•萧山区模拟）如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，∠BCD=135°，且AB=3cm ，BC=7cm ，CD=25cm ，点M 从点A 出发沿折线A-B-C-D 运动到点D ，且在AB 上运动的速度为21cm/s ，在BC 上运动的速度为1cm/s ，在CD 上运动的速度为2cm/s ，连接AM 、DM ，当点M 运动时间为____ _（s ）时，△ADM 是直角三角形．9．（2014•高安市模拟）如图，方格纸中的每个正方形的边长均为1，点A 、B 在小正方形的顶点上，在图中画△ABC （点C 在小正方形的顶点上），使△ABC 为直角三角形（要求画两个且不全等）10．（2014•顺义区一模）在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，设c 为最长边．当a 2+b 2=c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2+b 2≠c 2时，利用代数式a 2+b 2和c 2的大小关系，可以判断△ABC 的形状（按角分类）．（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC 三边长分别为6，8，9时，△ABC 为______三角形；当△ABC 三边长分别为6，8，11时，△ABC 为______三角形．（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a 2+b 2＞c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2+b 2＜c 2时，△ABC 为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a=2，b=4时，最长边c 在什么范围内取值时，△ABC 是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？（二）勾股数三勾股定理应用（一）勾股定理的应用知识链接（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．同步练习1．已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？（）A．100 B．180 C．220 D．2602．如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90°，并测得AC长20米，BC长16米，则A点和B点之间的距离为（）米．4A．25 B．12 C．13 D．33．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（）A．5米 B．3米 C．（5+1）米 D．3米4．（2014•和平区一模）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点，当它靠在另一侧墙时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°．点D到地面的垂直距离DE=32m，则点B到地面的垂直距离BC为___ ．5．（2013•池州一模）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为___ ．6．（2014•西湖区一模）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，开始时B到墙C的距离为0.7米，若梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离相等，则下滑的距离是___米．7．（2014•三门县一模）如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm、4cm、12cm，插吸管处的出口到相邻两边的距离都是1cm，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在3cm至5cm间（包括3cm与5cm，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总长度L的范围是__ _．8．（2014•西宁）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．9．（2014•广东一模）如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．10．（2013•本溪）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：2=1.41，3=1.73）（二）平面展开----最短路径问题 知识链接（1）平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．同步练习1．如图，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P 是母线BC 上一点，且PC=32BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（ ）A ．(4+)cm B ．5cm C ．35cm D ．7cm2．如图，若圆柱的底面周长是30cm ，高是40cm ，从圆柱底部A 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B 处做装饰，则这条丝线的最小长度是（ ）A ．80cmB ．70cmC ．60cmD ．50cm3．如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m ，高为3m ．如果要求彩带从柱子底端的A 处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B 处（线段AB 与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（ ）A ． 45m B ．3m C ．4m D ．5m4．如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为（ ） A ．12cm B ． 97cm C ．15cm D ． 21cm5．（2014•博山区模拟）如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）A．3 B．2+2 C．10D．46．（2013•荆州模拟）如图所示，有一圆柱形油罐，现要以油罐底部的一点A环绕油罐建梯子（图中虚线），并且要正好建到A点正上方的油罐顶部的B点，已知油罐高AB=5米，底面的周长是的12米，则梯子最短长度为___ 米．7．（2013•盐城模拟）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为___ cm．8．（2014•西湖区一模）如图，是一个无盖玻璃容器的三视图，其中俯视图是一个正六边形，A、B两点均在容器顶部，现有一只小甲虫在容器外A点正下方距离顶部5cm处，要爬到容器内B点正下方距离底部5cm 处，则这只小甲虫最短爬行的距离是___ cm．-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------9．（2013•贵阳模拟）请阅读下列材料：问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π）（1）设路线1的长度为L1，则L12=______．设路线2的长度为L2，则L22=______．所以选择路线______（填1或2）较短．（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：L12=______．路线2：L22=______．所以选择路线______（填1或2）较短．（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．信达。
北师大版八年级上第一章勾股定理(附习题和答案)
第一章 勾股定理1、勾股定理（性质定理）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、勾股定理的逆定理（判定定理）如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c ；（2）验证c 2和a 2＋b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
经典的勾股数：3、4、5（3n 、4n 、5n ） 5、12、13（5n 、12n 、13n ） 7、24、25（7n 、24n 、25n ） 8、15、17（8n 、15n 、17n ） 9、40、41（9n 、40n 、41n ） 11、60、61（11n 、60n 、61n ） 13、84、85（13n 、84n 、85n ）例1. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C 5 D ．5练习1：如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为( )A.3B.4C.5D.6FEDCBAC A B ED 练习2：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为例2. 三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形练习1：已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c ---=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形练习2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．例3. 将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm练习：如图，圆柱形玻璃容器高20cm ，底面圆的周长为48cm ，在外侧距下底1cm 的 点A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点B 处有一只CABDS 3S 2S 1C B A 苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.例4. a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由练习：已知直角三角形的周长是62+，斜边长2，求它的面积．例5. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。
北师大版八年级上册数学 第一章 勾股定理 讲义
勾股定理知识要点一．勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
在ABC Rt ∆中，,,,90B A C ∠∠︒=∠C ∠的对边分别为c b a ,,， 则有：①222b a c +=；②222b c a -=；③222a c b -=．二．勾股定理的巧妙运用1．面积求值：直角三角形中，如果两直角边为a 、b,斜边为 c ，斜边上的高为h ，那么它们存在这样的关系：ch ab =或c ab h =.2．特殊直角三角形一：如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（反之如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°）2:3:1::=c b a3．特殊三角形二： 在等腰直角三角形中，斜边是等于直角边的2（2:1:1::=c b a三、勾股定理的逆定理：1、如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=(c 为最长边)那么这个三角形是直角三角形。
2．勾股数组简介:若a 、b 、c 均为自然数，且无1以外的整数公因式当它们满足关系式222a b c +=时，我们称（a 、b 、c ）为基本勾股数组。
这些勾股数是一定要记住的，以后做题将会好处多多。
ab=3a 30°c=2aabch《经典例题》《基础例题》例1、边的求值：（ a 2 + b 2 = c 2 ，其中C 为斜边）（1）在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12， 则 c ＝ ． （2）在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝25， a ∶b ＝3∶4，则a ＝ ，b ＝ ．例2、高的求值：（cabh，a 和b 为直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高） （1）直角三角形的两直角边为12、16，则斜边上的高等于 。
（2）Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，则AB=10，高CD=__ ___. 例3、一般三角形如何利用勾股定理求值：（1）已知等边△ABC 的边长为10cm ，则它的高为_____ _,面积为_________; （2）△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）A.42B.32C.42 或32D.37 或 33（3）已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为 。
北师大版本八年级上册2.3勾股定理的应用
勾股定理的应用(一)1．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．①由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．①勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．①勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．例题精讲知识点一利用勾股定理列出方程求线段长度的应用例1．如图1-1，在①ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD．训练3-1.①ABC中，①ACB=90°，CD是高，若AB=13cm，AC=5cm，则CD的长为___________．训练1-2．如图，在钝角△ABC中，BC=9，AB=17，AC=10，AD⊥BC于D，求AD的长．知识点二、勾股定理在实际中的应用（注意列方程的思想解答）勾股定理在生活中的应用三步走：1、学会设未知数x；2、利用题目条件尽量去表示出相关的边长；3、寻找一个合适的三角形使用勾股定理列方程；例题2．一个长方形池塘的池深与池宽相等，如图，有一颗芦苇长在塘中央，露出水面1m，把芦苇顶拉到岸边，刚好与水面齐平，求水深和芦苇的长度（结果可保留根号），你能解决这个问题吗？训练2-1．在一棵树的10米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直按跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？训练2-2．如图，旗绳自由下垂时，比旗杆长1米，如果将旗绳斜拉直，下端在地面上，距旗杆底部5米，求旗杆的高度．知识点三、滑梯问题例题3．如图所示，一架长10m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，AO长度是8m；（1）求BO的长；（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行，如图2所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且BD=1m，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米．例题4．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点．当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知梯子长2.5m，D点到地面的垂直距离DE＝1.5m，两墙的距离CE长3.5m．求B点到地面的垂直距离BC．综合应用1．有两棵树，一棵高7米，另一棵高2米，两树相距12米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，求小鸟至少需要飞多少米.2．如图．公路AB的同侧有两所学校C、D，学校D到公路的距离DA＝3km，学校C到公路的距离CB＝2km，已知AB＝5km．现在要在公路AB上建一个公交车站E，使车站E 到学校C、D的距离相等，则AE为多少？3．如图，为了求出湖两岸的A、B点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从点A穿过湖到点B有多远？解：在Rt△ABC中，∠＝90°，由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2∴AB2＝（）2﹣（）2＝（）2﹣（）2＝∴AB＝（米）答：从点A穿过湖到点B有米．ABCDEFAE BCDF 勾股定理的应用（二）翻折问题的应用知识点一 翻转折叠问题1、翻折问题的实质是全等，寻找相等线段和相等角度；2、设X; 并且表示出相关边长；3、在合适的三角形中，用勾股定理列方程；例1．如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F:处（折痕为AE ）(1)求BF 的长； (2)求EC 的长．训练1-1．如图，折叠长方形的一边BC ，使点B 落在AD 边的F 处，已知：AB=3，BC=5，求折痕EF 的长．训练1-2．如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，恰与AE重合，求CD的长度．训练1-3.如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长是多少？例题2.如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为多少？训练2-1．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，求EB的长.ACDBEFEDCBA训练2-2.．如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为多少？训练2-3.如图，在长方形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为多少？综合应用1．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD 折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是________．3．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为________．4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________．5．为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC，FC的长．。
北师大版数学八年级上册勾股定理的应用课件
思路点拨：解题的关键是根据题设信息构造直角三角形并求出边 上进行判断.
举一反三
4. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城 街路上行驶速度不得超过70 km/h.如图1-3-7，一辆小汽车在一 条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 A的正前方60 m处的C点，过了5 s后，测得小汽车所在的B点与车 速检测仪A之间的距离为100 m. （1）求B，C间的距离； （2）这辆小汽车超速了吗？请 说明理由.
谢谢
解：将曲面沿AB展开，如答图1-3-3，过点C作CE⊥AB于点E,连接 CF. 在Rt△CEF中，∠CEF=90°，EF=18-1-1=16（cm）， CE= ×60=30（cm）， 由勾股定理，得CF2= CE2+EF2＝302+162=342. 所以CF=34（cm）. 答：蜘蛛所走的最短路线的长度是34 cm.
典例精析 【例3】如图1-3-4所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别为5 dm,3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点， 点A处有一只蚂蚁，想到点B处吃可口的食物.请你想一想，这只 蚂蚁从点A出发，沿着台阶面爬到点B的最短路程是多少？
解：如答图1-3-1,将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC ＝3×(3＋1)＝12(dm)，∠C＝90°，AB即为最短路程. 在Rt△ABC中，因为AB2＝AC2＋BC2， 所以AB2＝52＋122＝132. 所以AB＝13（dm）. 答：这只蚂蚁从点A出发,沿着台阶面 爬到点B的最短路程是13 dm.
第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用
目录
01 本课目标 02 课堂演练
本课目标
1. 能够运用勾股定理解决实际问题，体会把立体图形转化为平面 图形，解决“最短路径”的问题，树立转化思想. 2. 会运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 3. 利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及 其逆定理解决实际问题.
北师大八年级上册定理
八年级上册8.1勾股定理一．勾股定理：①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.a²+b²=c²②如果三角形边长a，b，c满足a²+b²=c²则△ABC是直角三角形.8.2实数一．无理数：①无限不循环小数被称为无理数二．平方根：①一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根.三．立方根：①正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数.四．二次根式：①√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）√a/b=√a /√b（a≥0，b>0）②积的算术平方根，等于算数平方根的积，商的算数平方根，等于算数平方根的商.8.2一次函数一．一次函数的图像：①一次函数的表达式：y=kx+b当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
当b>0时，该函数与y轴交于正半轴；当b<0时，该函数与y轴交于负半轴当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
8.3二元一次方程组一．定义：①含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
②把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。
二．解法：①代入消元法：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解. 这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.②加减消元法：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.8.7 平行线的证明一.平行线的判定：①同位角相等两直线平行②内错角相等两直线平行③同旁内角互补两直线平行。
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将立体图形最短距离问题转化 为平面图形最短距离问题并利 用勾股定理求解．
清晨，我从家出发，以100米/分的速度向正西 方走了5分钟，到达超市，又以120米/分的速度 向正南方走10分钟，到达学校。
北 超市 500m 家
两点之间,线段最短 勾股定理：a²+b²=c²
1200m
学校
在一个圆柱石凳上，若小明在
1．如图，台阶A处的蚂蚁要
爬到B处搬运食物，它怎么走最
近？并求出最近距离。
20
B
3
2
A
AB2 152 202 625 252
举一反三
2．如图，一个长方体形盒子的
长、宽、高分别是8cm，8cm，12cm，
一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面
爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一
条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短
A
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
AB2 AA2 A' B2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)
若已知圆柱体高为12cm，底面半径为 3cm，π取3，则:
AB2 122 (3 3)2 AB 15
A3 O
B
A’ 3π
B
’
12
12
侧面展开图
A
A
你学会了吗?
小试牛刀
路程是多少？
食
(1) B AB2 82 (8 12)2 464
物
B
B
(2)
AB
2
122
(8 8)2
400
最短路程为20cm
A
A
吃东西时留下了一点食物在B处，
恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这
B
一信息，于是它想从A 处爬向B
处，你们想一想，蚂蚁怎么走
最近？
A
A’
d
B
A’
B
A
A
蚂蚁A→B的路线
O
B
B
A
A
圆柱的侧面展开是什么图形？B点的位置在哪里？
ห้องสมุดไป่ตู้
A’
O
B
底面圆周长的一半
A’
B
侧面展开图
A
A
怎样计算AB？
A’ r
O
B
A’
B
h
侧面展开图