高等等离子体物理

高等等离子体物理（一）线性理论

（研究生教材）

王晓钢

北京大学物理学院2009年2月

等离子体的流体理论

1. 等离子体的流体描述

1.1 等离子体的双流体模型

1.2Hall磁流体（Hall-MHD）模型1.3 电子磁流体（E-MHD）模型1.4 理想磁流体力学（MHD）方程组1.5 位力定理

1.6 变分原理

2. 理想磁流体平衡

2.1 磁场与磁面

2.2 Z-箍缩与 -箍缩

2.3 一维平衡与螺旋箍缩

2.4 Grad-Shafrano方程

3. 等离子体的理想磁流体稳定性3.1 能量原理

3.2扭曲模与交换模

3.3 一维稳定性，直柱托卡马克

4. 磁流体力学波

4.1 线性磁流体（MHD）方程

4.2 非磁化等离子体中的磁流体波4.3 磁化等离子体中的磁流体波

5. 均匀等离子体中的波（双流体理论）5.1 双流体模型

5.2 介电张量与色散关系

5.3 静电波简介

5.4 准静电波与准电磁波

5.4 电磁波简介

1. 等离子体的流体描述

1.1 等离子体的双流体模型

等离子体是由大量带电粒子组成的物质状态。一般意义上的等离子体由带正电的离子和带负电的电子组成。由于带电粒子之间的Coulomb 长程相互作用，等离子体呈整体电中性，即总的正电荷与负电荷相等。因此，除特殊的非中性（一般是强耦合的）等离子体之外，我们可以用带负电的电子流体和带正电的离子流体组成的“双流体”模型来描述等离子体的宏观行为。这种近似牵涉到等离子体时空尺度的讨论，我们在后面将进一步详细论述。

基于流体力学的图像及其近似，或者从统计物理的分布函数及其满足的方程（如Vlasov 方程或者Fokker-Planck 方程等，取决与碰撞项的形式，这里用类Markov 过程的碰撞项00()/()f f f f τν-≡-）出发，我们得到“双流体”方程组： 连续性方程（统计方程的零阶矩）

()0n n t ααα∂+∇⋅=∂u ， (I-01) 动量方程（力平衡方程，统计方程的一阶矩）

n m t ααααα∂⎛⎫+⋅∇= ⎪∂⎝⎭

u u u p n q n m c αααααβαααβν⨯⎡⎤=-∇++-⎢⎥⎣⎦∑u B E u ， (I-02)

状态方程（对统计方程各阶矩的“不封闭链”（Hierarchy ）的一种截断）

p p p t

αααααγ∂+⋅∇=-∇⋅∂u u ； (I-03) Coulomb 定律（Poisson 方程）

4n q αααπ∇⋅=∑E ，

(I-04)

Ampere 定律

4141n q c c t c c t ααααππ∂∂⎛⎫⎛⎫∇⨯=+≡+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∑E E B J u ， (I-05)

Gaussion 定理

0∇⋅=B ，

(I-06)

Fayraday 定律 1c t ∂∇⨯=-∂B E ； (I-07) 这里,i e α=；对α类粒子来说：n α是粒子数密度，m α是粒子质量，q α是粒子电荷，αu 是流体速度，p n T ααα=是理想气体近似下的分压强；而αβν是α类与β类粒子之间的碰撞频率（当αβ=时为自碰撞）。E ，B ，J 则分别是电场强度、磁感应强度、和等离子体电流密度。

关于状态方程，我们以后会进一步讨论。这里我们只是指出：参数γ的取值决定等离子体的状态，如等温（isothermal ）状态对应 1γ=；不可压缩状态对应γ→∞；其它的γ值对应“绝热”状态。

1.2 Hall 磁流体（Hall-MHD ）模型

一般来说，双流体模型是描述等离子体宏观（大于粒子回旋半径的尺度）运动的有力工具；在高频波段也可以应用，甚至在回旋半径的尺度上也可以得到一些有用的结果。但是，由于电子与离子质量之间超过三个数量级的差别，在具体计算双流体模型的时候，会遇到所谓“刚性”问题：即电子已经完全改变了运动状态，离子还基本没有动！这使得我们在计算离子时空尺度下的物理问题时，耗费大量的计算机时间。而且由于code 本身的精度，即使经过长时间运算看到了离子的运动，其结果或者是看到了很强的数值不稳定性、或者是很难令人相信。而

为了稳定code 引进的数值耗散，则往往带来人为的非物理的效应。即使对纯理论的解析推导，不仅过程繁杂，而且得到的物理图像也不清晰。所以我们经常引进进一步的近似。

因为离子运动的时间尺度远远长于电子的时间尺度（通常在40倍以上，对于回旋运动来说则可以大于1840倍），所以我们在主要考虑离子运动时，可以认为电子响应是“瞬时”的（instantaneously or simultaneously ）。这样，我们可以保持其它方程不变，近似地把（I-02）中电子的质量趋于零，得到：

e e e e e p n e c n e η⨯∇+=--u B E u ， (I-02e)

这里24/e pe ηπνω≡是所谓的“Spitzer 电阻”。利用在“准电中性”近似i e n n ≈下，

/e i e n e =-u u J ，i i e e e e n e n e n e =-≈-J u u u 是等离子体电流，这个方程可以写为： ()i e e i i e e e e p p n e c n ec n e n ec n e

ηη⨯∇∇⨯⨯+=-+-≈-+u B J B J B E J u J 。 必须注意到：这里我们还用到了e i >>u u 的条件。明显地，e i >>u u 要求电子运动与离子运动的分离，即所谓Hall 效应。所以我们称这个近似模型为Hall 磁流体模型；这个方程则称为Hall 磁流体的广义欧姆定律（Hall MHD Generalized Ohm’s Law ）。方程中的/e n ec ⨯J B 明显地就是我们在电磁学课程里熟知的Hall 电场项。

1.3 电子磁流体（E-MHD ）模型

而另一方面，我们在主要考虑电子运动时，可以认为离子响应是“无穷慢”的，或者说离子可以看成是保持总体电中性的“背景”。或者说，把离子看成是“稳态”的（/0t ∂∂=，但是可以有0i ≠u ）。将/0t ∂∂=的近似带入离子的方程，得到的是所谓电子磁流体（Electron MHD ）模型。这个模型也是在电子和离子的运动