直角三角形的边角关系(习题及答案)

直角三角形的边角关系（习题）

➢要点回顾

1.默写特殊角的三角函数值：

2.三角函数值的大小只与角度的有关，跟所在的三角形

放缩（大小）没有关系．

3.计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在

中研究，常利用或两种方式进行处理．➢例题示范

例：如图，在△ABC 中，∠B=37°，∠C=67.5°，AB=10，求BC 的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan67.5°≈2.41）

如图，过点A 作AD⊥BC 于点D，

由题意AB=10，∠B=37°，∠C=67.5°

在Rt△ABD 中，AB=10，∠B=37°，

sin B =AD

，cos B =

BD AB AB

∴AD=6，BD=8

在Rt△ADC 中，AD=6，∠C=67.5°，

tan C =

AD

CD

∴CD=2.49

∴BC=BD+CD=8+2.49=10.49≈10.5

即BC 的长约为10.5．

从下面书写板块的名称中选取合适的内容，写到对应的横线上．

①得出结论；

②解直角三角形；

③准备条件．

1

2

➢巩固练习

1.在Rt△ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2 倍，那么锐

角A 的正弦值（）

A．扩大2 倍B．缩小2 倍C．没有变化D．不确定2.在Rt△ABC 中，若∠C=90°，AC=3，BC=5，则sin A 的值为

（）

A.

3

5

B.

4

5

C．

5 34

34

D．

3 34

34

3.在△ABC 中，∠A，∠B 均为锐角，且

⎛1 ⎫2

sin A - + - cos B ⎪

⎝⎭

= 0 ，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等边三角形

4.若∠A 为锐角，且cos A 的值大于

1

，则∠A（）

2

A．大于30°B．小于30°

C．大于60°D．小于60°

5.已知β为锐角，且

3

A．30︒≤β≤60︒

C．30︒≤β< 60︒

≤tan β< ，则β的取值范围是（）

B．30︒<β≤60︒

D．β< 30︒

6.如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC，垂足为E，设∠ADE=α，

若cosα=

3

，AB=4，则AD 的长为（）

5

A．3 B．

16

3

C．

20

3

D．

16

5

第6 题图第7 题图

7.如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB，若cos A =

3

，BE=2，则

5

tan∠DBE= ．

2

3

2

3

3

8.在Rt△ABC 中，∠C=90°，若AB=6，BC=2，则cos A=

．9. 在△ABC 中，∠A=120°，若AB=4，AC=2，则sin B= ．

10.如图，在△ABC 中，AB=A C，∠A=45°，AC 的垂直平分线分

别交AB，AC 于D，E 两点，连接CD．如果AD=1，那么

tan∠BCD= ．

第10 题图第11 题图

11.如图，在△ABC 中，若∠C=90°，sin B =

3

，AD 平分∠CAB，

5

则sin∠CAD= ．

12. 如图，在△ABC 中，∠C=75°，∠BAC=60°，AC=2，AD 是

BC 边上的高，则△ABC 的面积为，AD 的长为．

第12 题图第13 题图

13.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值

为（）

A．

1

2

14.计算：

B. 5

C. 0 10

D. 2

5

5

（1）6 tan2 30︒- 3 sin 60︒+ 2 tan 45︒；（2 cos 30︒- sin 45︒；

）

sin 60︒- cos 45︒

3

12 sin 60︒ 1- 2 tan 60︒+ tan2 60︒ ⎪ ⎛1 ⎫

（3）(

-2 -1)0 -+；

tan 45︒⎝3 ⎭

（4）- tan 60︒．

15.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan B=cos∠DAC．

（1）求证：AC=BD；

（2）若sin C =12

，BC=12，求AD 的长．13

16. 如图，在△ABC 中，∠A=26.6°，∠B=45°，AC= 2

的长．（参考数据：tan26.6°≈0.50）

5 ，求AB

4

3

4 + 2 3 ( 3 +1) 2 ➢ 思考小结

1. 30°，45°，60°，120°，135°，150°都属于我们常用的特殊角，

在解直角三角形中经常用到．

120°，135°，150°经常使用它们的补角构造直角三角形，如右图 1．

2. 解直角三角形的常考形式

直角三角形：“一角一边”求其余元素

非直角三角形：“两角一边”求其余元素，往往通过构造直角三角形，把已知角度信息放到直角三角形求解，如右图 2 （α，β，m 已知）．

3. 我们已经知道 30°，45°所在的直角三角形的三边关系之比，

借助这个内容，可以推导 15°和 22.5°所在的直角三角形的三边关系之比，如何推导呢？

如图 1，通过延长 CB 到 D ，使得 BD =AB ，可以构造 15°角， 根据三边关系填空．（已知 = = 3 +1 ）

类比上述内容，请你画出研究 22.5°角所在的直角三角形所需图形并填空．

tan22.5°= ；tan67.5°= ．

（可跟随堂测试题目 3 的方法进行对比）

5