直角三角形的边角关系(习题及答案)

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中考数学直角三角形的边角关系综合练习题附答案解析

中考数学直角三角形的边角关系综合练习题附答案解析

中考数学直角三角形的边角关系综合练习题附答案解析一、直角三角形的边角关系1.如图,反比例函数() 0k y k x=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象相交于A (1,a ),B 两点,点C 在第四象限,CA ∥y 轴,90ABC ∠=︒.(1)求k 的值及点B 的坐标;(2)求tanC 的值.【答案】(1)2k =,()1,2B --;(2)2.【解析】【分析】(1)先根据点A 在直线y=2x 上,求得点A 的坐标,再根据点A 在反比例函数()0k y k x=≠ 的图象上,利用待定系数法求得k 的值,再根据点A 、B 关于原点对称即可求得点B 的坐标;(2)作BH ⊥AC 于H ,设AC 交x 轴于点D ,根据90ABC ∠=︒ , 90BHC ∠=︒ ,可得C ABH ∠∠=,再由已知可得AOD ABH ∠∠=,从而得C AOD ∠∠=,求出C tan 即可.【详解】(1)∵点A (1,a )在2y x =上,∴a =2,∴A (1,2),把A (1,2)代入 k y x =得2k =, ∵反比例函数()0k y k x=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象交于A ,B 两点, ∴A B 、 两点关于原点O 中心对称,∴()12B --, ; (2)作BH ⊥AC 于H ,设AC 交x 轴于点D ,∵90ABC ∠=︒ , 90BHC ∠=︒ ,∴C ABH ∠∠=,∵CA ∥y 轴,∴BH ∥x 轴,∴AOD ABH ∠∠=,∴C AOD ∠∠=, ∴AD 22OD 1tanC tan AOD =∠===.【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题,涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识,熟练掌握和应用相关知识是解题的关键,(2)小题求出∠C=∠AOD 是关键.2.在Rt △ACB 和△AEF 中,∠ACB =∠AEF =90°,若点P 是BF 的中点,连接PC ,PE. 特殊发现:如图1,若点E 、F 分别落在边AB ,AC 上,则结论:PC =PE 成立(不要求证明). 问题探究:把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转.(1)如图2,若点E 落在边CA 的延长线上,则上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(2)如图3,若点F 落在边AB 上,则上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(3)记AC BC=k ,当k 为何值时,△CPE 总是等边三角形?(请直接写出后的值,不必说)【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ,PC PE =成立 ()3当k 3CPE V 总是等边三角形【解析】【分析】 (1)过点P 作PM ⊥CE 于点M ,由EF ⊥AE ,BC ⊥AC ,得到EF ∥MP ∥CB ,从而有EM FP MC PB=,再根据点P 是BF 的中点,可得EM=MC ,据此得到PC=PE . (2)过点F 作FD ⊥AC 于点D ,过点P 作PM ⊥AC 于点M ,连接PD ,先证△DAF ≌△EAF ,即可得出AD=AE ;再证△DAP ≌△EAP ,即可得出PD=PE ;最后根据FD ⊥AC ,BC ⊥AC ,PM ⊥AC ,可得FD ∥BC ∥PM ,再根据点P 是BF 的中点,推得PC=PD ,再根据PD=PE ,即可得到结论.(3)因为△CPE 总是等边三角形,可得∠CEP=60°,∠CAB=60°;由∠ACB=90°,求出∠CBA=30°;最后根据AC k BC =,AC BC =tan30°,求出当△CPE 总是等边三角形时,k 的值是多少即可.【详解】解:(1)PC=PE 成立,理由如下:如图2,过点P 作PM ⊥CE 于点M ,∵EF ⊥AE ,BC ⊥AC ,∴EF ∥MP ∥CB ,∴EM FP MC PB=,∵点P 是BF 的中点,∴EM=MC ,又∵PM ⊥CE ,∴PC=PE ;(2)PC=PE 成立,理由如下:如图3,过点F 作FD ⊥AC 于点D ,过点P 作PM ⊥AC 于点M ,连接PD ,∵∠DAF=∠EAF ,∠FDA=∠FEA=90°,在△DAF 和△EAF 中,∵∠DAF=∠EAF ,∠FDA=∠FEA ,AF=AF ,∴△DAF ≌△EAF (AAS ),∴AD=AE ,在△DAP 和△EAP 中,∵AD=AE ,∠DAP=∠EAP ,AP=AP ,∴△DAP ≌△EAP (SAS ),∴PD=PE ,∵FD ⊥AC ,BC ⊥AC ,PM ⊥AC ,∴FD ∥BC ∥PM ,∴DM FP MC PB=, ∵点P 是BF 的中点,∴DM=MC ,又∵PM ⊥AC ,∴PC=PD ,又∵PD=PE ,∴PC=PE ;(3)如图4,∵△CPE 总是等边三角形,∴∠CEP=60°,∴∠CAB=60°,∵∠ACB=90°,∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°, ∵AC k BC =,AC BC=tan30°, ∴k=tan30°=3, ∴当k 为33时,△CPE 总是等边三角形.【点睛】考点:1.几何变换综合题;2.探究型;3.压轴题;4.三角形综合题;5.全等三角形的判定与性质;6.平行线分线段成比例.3.如图,在⊙O 的内接三角形ABC 中,∠ACB =90°,AC =2BC ,过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ,垂足为E .设P 是»AC 上异于A ,C 的一个动点,射线AP 交l 于点F ,连接PC 与PD ,PD 交AB 于点G .(1)求证:△PAC ∽△PDF ;(2)若AB =5,¼¼AP BP=,求PD 的长.【答案】(1)证明见解析;(2310 【解析】【分析】 (1)根据AB ⊥CD ,AB 是⊙O 的直径,得到¶¶ADAC =,∠ACD =∠B ,由∠FPC =∠B ,得到∠ACD =∠FPC ,可得结论;(2)连接OP ,由¶¶APBP =,得到OP ⊥AB ,∠OPG =∠PDC ,根据AB 是⊙O 的直径,得到∠ACB =90°,由于AC =2BC ,于是得到tan ∠CAB =tan ∠DCB =BC AC ,得到12CE BE AE CE ==,求得AE =4BE ,通过△OPG ∽△EDG ,得到OG OP GE ED=,然后根据勾股定理即可得到结果.【详解】(1)证明:连接AD ,∵AB ⊥CD ,AB 是⊙O 的直径,∴¶¶ADAC =, ∴∠ACD =∠B =∠ADC ,∵∠FPC =∠B ,∴∠ACD =∠FPC ,∴∠APC =∠ACF ,∵∠FAC =∠CAF ,∴△PAC ∽△CAF ;(2)连接OP ,则OA =OB =OP =1522AB =, ∵¶¶APBP =, ∴OP ⊥AB ,∠OPG =∠PDC ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,∵AC =2BC ,∴tan ∠CAB =tan ∠DCB =BC AC,∴12 CE BEAE CE==,∴AE=4BE,∵AE+BE=AB=5,∴AE=4,BE=1,CE=2,∴OE=OB﹣BE=2.5﹣1=1.5,∵∠OPG=∠PDC,∠OGP=∠DGE,∴△OPG∽△EDG,∴OG OP GE ED=,∴2.52 OE GE OPGE CE-==,∴GE=23,OG=56,∴PG=225OP OG6+=,GD=222 3DE GE+=,∴PD=PG+GD=3102.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,垂径定理,勾股定理,圆周角定理,证得△OPG∽△EDG是解题的关键.4.在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°,点D是边BC上一点,连接AD,将线段AD绕点A 逆时针旋转90°,得到线段AE,连接DE.(1)如图①,当点E落在边BA的延长线上时,∠EDC=度(直接填空);(2)如图②,当点E落在边AC上时,求证:BD=12 EC;(3)当AB=2E到AC31时,直接写出tan∠CAE的值.【答案】(1)90;(2)详见解析;(3)633 tan11EAC-∠=【解析】【分析】(1)利用三角形的外角的性质即可解决问题;(2)如图2中,作PA⊥AB交BC于P,连接PE.只要证明△BAD≌△PAE(SAS),提出BD=PE,再证明EC=2PE即可;(3)如图3,作EF⊥AC于F,延长FE交BC于H,作AG⊥BC于G,PA⊥AB交BC于P,连接PE.设PH=x,在Rt△EPH中,可得EP=3x,EH=2PH=2x,由此FH=2x+3﹣1,CF=23x+3﹣3,由△BAD≌△PAE,得BD=EP=3x,AE=AD,在Rt△ABG中, AG=GB=2,在Rt△AGC中,AC=2AG=4,故AE2=AD2=AF2+EF2,由勾股定理得AF=1+3,由此tan∠EAF=2﹣3,根据对称性可得tan∠EAC=6-33.【详解】(1)如图1中,∵∠EDC=∠B+∠BED,∠B=∠BED=45°,∴∠EDC=90°,故答案为90;(2)如图2中,作PA⊥AB交BC于P,连接PE.∵∠DAE=∠BAP=90°,∴∠BAD=∠PAE,∵∠B=45°,∴∠B=∠APB=45°,∴AB=AP,∵AD=AE,∴△BAD≌△PAE(SAS),∴BD=PE,∠APE=∠B=45°,∴∠EPD=∠EPC=90°,∵∠C=30°,∴EC=2PE=2BD;(3)如图3,作EF⊥AC于F,延长FE交BC于H,作AG⊥BC于G,PA⊥AB交BC于P,连接PE.设PH=x,在Rt△EPH中,∵∠EPH=90°,∠EHP=60°,∴EP3,EH=2PH=2x,∴FH=31,CF3FH=33∵△BAD≌△PAE,∴BD=EP3,AE=AD,在Rt△ABG中,∵AB=2∴AG=GB=2,在Rt△AGC中,AC=2AG=4,∵AE2=AD2=AF2+EF2,∴22+(23)231)2+(4﹣3﹣32,整理得:9x2﹣12x=0,解得x=43(舍弃)或0∴PH =0,此时E ,P ,H 共点,∴AF =1+3, ∴tan ∠EAF =EF AF =3131-+=2﹣3. 根据对称性可知当点E 在AC 的上方时,同法可得tan ∠EAC =6-33. 【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.5.如图,已知二次函数212y x bx c =++的图象经过点A (-3,6),并与x 轴交于点B (-1,0)和点C ,顶点为点P .(1)求这个二次函数解析式;(2)设D 为x 轴上一点,满足∠DPC =∠BAC ,求点D 的坐标; (3)作直线AP ,在抛物线的对称轴上是否存在一点M ,在直线AP 上是否存在点N ,使AM +MN 的值最小?若存在,求出M 、N 的坐标:若不存在,请说明理由.【答案】(1)点C 坐标为(3,0),点P (1,-2);(2)点P (7,0);(3)点N (-75,145). 【解析】【分析】(1)将点A 、B 坐标代入二次函数表达式,即可求解;(2)利用S △ABC =12×AC×BH= 12×BC×y A ,求出sinα= 222105BH AB ==,则tanα= 12,在△PMD 中,tanα= MD PM 1222x =+,即可求解; (3)作点A 关于对称轴的对称点A′(5,6),过点A′作A′N ⊥AP 分别交对称轴与点M 、交AP 于点N ,此时AM+MN 最小,即可求解.【详解】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得:9633212bb c⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩,解得:132bc=-⎧⎪⎨=-⎪⎩,故:抛物线的表达式为:y=12x2-x-32,令y=0,则x=-1或3,令x=0,则y=-32,故点C坐标为(3,0),点P(1,-2);(2)过点B作BH⊥AC交于点H,过点P作PG⊥x轴交于点G,设:∠DPC=∠BAC=α,由题意得:AB10,AC2BC=4,PC2,S△ABC=12×AC×BH=12×BC×y A,解得:BH2sinα=BHAB22210=5,则tanα=12,由题意得:GC=2=PG,故∠PCB=45°,延长PC,过点D作DM⊥PC交于点M,则MD=MC=x,在△PMD中,tanα=MDPM22x+12,解得:x2CD2x=4,故点P(7,0);(3)作点A关于对称轴的对称点A′(5,6),过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N,此时AM+MN最小,直线AP表达式中的k值为:84=-2,则直线A′N表达式中的k值为12,设直线A′N的表达式为:y=12x+b,将点A′坐标代入上式并求解得:b=72,故直线A′N的表达式为:y=12x+72…①,当x=1时,y=4,故点M(1,4),同理直线AP的表达式为:y=-2x…②,联立①②两个方程并求解得:x=-75,故点N(-75,145).【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形等知识,其中(3),利用对称点求解最小值,是此类题目的一般方法.6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,动点P从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A,B重合),作∠DPQ=60°,边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒.(1)用含t的代数式表示线段DC的长:_________________;(2)当t =__________时,点Q与点C重合时;(3)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,求出t的值.【答案】(1);(2)1;(3)t的值为或或.【解析】【分析】(1)先求出AC,用三角函数求出AD,即可得出结论;(2)利用AQ=AC,即可得出结论;(3)分三种情况,利用锐角三角函数,即可得出结论.【详解】(1)∵AP= , AB=4,∠A=30°∴AC= , AD=∴CD=;(2)AQ=2AD=当AQ=AC时,Q与C重合即=∴t=1;(3)①如图,当PQ的垂直平分线过AB的中点F时,∴∠PGF=90°,PG=PQ=AP=t,AF=AB=2.∵∠A=∠AQP=30°,∴∠FPG=60°,∴∠PFG=30°,∴PF=2PG=2t,∴AP+PF=2t+2t=2,∴t=②如图,当PQ的垂直平分线过AC的中点N时,∴∠QMN =90°,AN=AC=,QM=PQ=AP=t.在Rt△NMQ中,∵AN+NQ=AQ,∴③如图,当PQ的垂直平分线过BC的中点F时,∴BF=BC=1,PE=PQ=t,∠H=30°.∵∠ABC=60°,∴∠BFH=30°=∠H,∴BH=BF=1.在Rt△PEH中,PH=2PE=2t.∵AH=AP+PH=AB+BH,∴2t+2t=5,∴t=.即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,t的值为或或.【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了等腰三角形的判定和性质,锐角三角函数,垂直平分线的性质,正确作出图形是解本题的关键.7.现有一个“Z“型的工件(工件厚度忽略不计),如图所示,其中AB为20cm,BC为60cm,∠ABC=90,∠BCD=60°,求该工件如图摆放时的高度(即A到CD的距离).(结果精确到0.1m,参考数据:≈1.73)【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm.【解析】【分析】过点A作AP⊥CD于点P,交BC于点Q,由∠CQP=∠AQB、∠CPQ=∠B=90°知∠A=∠C =60°,在△ABQ中求得分别求得AQ、BQ的长,结合BC知CQ的长,在△CPQ中可得PQ,根据AP=AQ+PQ得出答案.【详解】解:如图,过点A作AP⊥CD于点P,交BC于点Q,∵∠CQP=∠AQB,∠CPQ=∠B=90°,∴∠A=∠C=60°,在△ABQ中,∵AQ=(cm),BQ=AB tan A=20tan60°=20(cm),∴CQ=BC﹣BQ=60﹣20(cm),在△CPQ中,∵PQ=CQ sin C=(60﹣20)sin60°=30(﹣1)cm,∴AP =AQ+PQ=40+30(﹣1)≈61.9(cm),答:工件如图摆放时的高度约为61.9cm.【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用,熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键.8.如图,某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4°,沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°.已知BC=90米,且B、C、D在同一条直线上,山坡坡度i=5:12.(1)求此人所在位置点P的铅直高度.(结果精确到0.1米)(2)求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程(结果精确到0.1米)(测倾器的高度忽略不计,参考数据:tan53°≈43,tan63.4°≈2)【答案】(1)此人所在P的铅直高度约为14.3米;(2)从P到点B的路程约为127.1米【解析】分析:(1)过P作PF⊥BD于F,作PE⊥AB于E,设PF=5x,在Rt△ABC中求出AB,用含x 的式子表示出AE,EP,由tan∠APE,求得x即可;(2)在Rt△CPF中,求出CP的长.详解:过P作PF⊥BD于F,作PE⊥AB于E,∵斜坡的坡度i=5:12,设PF=5x,CF=12x,∵四边形BFPE为矩形,∴BF=PEPF=BE.在RT△ABC中,BC=90,tan∠ACB=AB BC,∴AB=tan63.4°×BC≈2×90=180,∴AE=AB-BE=AB-PF=180-5x,EP=BC+CF≈90+120x.在RT△AEP中,tan∠APE=1805490123 AE xEP x-≈=+,∴x=20,7∴PF=5x=10014.3≈.7答:此人所在P的铅直高度约为14.3米.由(1)得CP=13x,∴CP=13×20≈37.1,BC+CP=90+37.1=127.1.7答:从P到点B的路程约为127.1米.点睛:本题考查了解直角三角形的应用,关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形,找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题,构造直角三角形,用勾股定理或三角函数求相应的线段长.9.如图,正方形ABCD的边长为2+1,对角线AC、BD相交于点O,AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F,(1)求证:△ABF∽△ACE;(2)求tan∠BAE的值;(3)在线段AC上找一点P,使得PE+PF最小,求出最小值.【答案】(1)证明见解析;(2)tan∠EAB2﹣1;(3)PE+PF的最小值为+22【解析】【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可;(2)如图1中,作EH⊥AC于H.首先证明BE=EH=HC,设BE=EH=HC=x,构建方程求出x即可解决问题;(3)如图2中,作点F 关于直线AC 的对称点H ,连接EH 交AC 于点P ,连接PF ,此时PF+PE 的值最小,最小值为线段EH 的长;【详解】(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴∠ACE =∠ABF =∠CAB =45°,∵AE 平分∠CAB ,∴∠EAC =∠BAF =22.5°,∴△ABF ∽△ACE .(2)解:如图1中,作EH ⊥AC 于H .∵EA 平分∠CAB ,EH ⊥AC ,EB ⊥AB ,∴BE =EB ,∵∠HCE =45°,∠CHE =90°,∴∠HCE =∠HEC =45°,∴HC =EH ,∴BE =EH =HC ,设BE =HE =HC =x ,则EC =2x , ∵BC =2+1,∴x+x =2+1,∴x =1,在Rt △ABE 中,∵∠ABE =90°,∴tan ∠EAB =221BE AB == ﹣1. (3)如图2中,作点F 关于直线AC 的对称点H ,连接EH 交AC 于点P ,连接PF ,此时PF+PE 的值最小.作EM ⊥BD 于M .BM =EM =22, ∵AC =22AB BC +=2+2,∴OA =OC =OB =12AC =222+ , ∴OH =OF =OA•tan ∠OAF =OA•tan ∠EAB =222+ •(2﹣1)=22, ∴HM =OH+OM =222+, 在Rt △EHM 中,EH =2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= =22+.. ∴PE+PF 的最小值为22+..【点睛】本题考查正方形的性质,相似三角形的判定,勾股定理,最短问题等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会利用轴对称解决最短问题,属于中考常考题型.10.如图,在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ,点B 到航线l 的距离BD 为4km ,点A 位于点B 北偏西60°方向且与B 相距20km 处.现有一艘轮船从位于点A 南偏东74°方向的C 处,沿该航线自东向西航行至观测点A 的正南方向E 处.求这艘轮船的航行路程CE 的长度.(结果精确到0.1km )(参考数据:3≈1.73,sin74°≈0.96,cos74°≈0.28,tan74°≈3.49)【答案】20.9km【解析】分析:根据题意,构造直角三角和相似三角形的数学模型,利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可.详解:如图,在Rt △BDF 中,∵∠DBF=60°,BD=4km ,∴BF=cos 60BD o=8km , ∵AB=20km ,∴AF=12km , ∵∠AEB=∠BDF ,∠AFE=∠BFD ,∴△AEF ∽△BDF ,∴AE BD AF BF=, ∴AE=6km , 在Rt △AEF 中,CE=AE•tan74°≈20.9km .故这艘轮船的航行路程CE 的长度是20.9km .点睛:本题考查相似三角形,掌握相似三角形的概念,会根据条件判断两个三角形相似.11.如图所示,小华在湖边看到湖中有一棵树AB ,AB 与水面AC 垂直.此时,小华的眼睛所在位置D 到湖面的距离DC 为4米.她测得树梢B 点的仰角为30°,测得树梢B 点在水中的倒影B′点的俯角45°.求树高AB (结果保留根号)【答案】AB=(3)m .【解析】【分析】设BE=x ,则BA=x+4,B′E=x+8,根据∠ADB′=45°,可知DE=B′E=x+8,再由tan30°=BE DE 即可得出x 的值,进而得到答案,【详解】如图:过点D 作DE ⊥AB 于点E , 设BE=x ,则BA=x+4,B′E=x+8,∵∠ADB′=45°,∴DE=B′E=x+8,∵∠BDE=30°,∴tan30°=38BE x DE x ==+ ,解得3, ∴AB=BE+4=(3)m .【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数的定义是解答此题的关键12.如图,由一段斜坡AB 的高AD 长为0.6米,ABD 30∠=o ,为了达到无障碍通道的坡道标准,现准备把斜坡改长,使ACD 5.71∠=o .()1求斜坡AB 的长;()2求斜坡新起点C 与原起点B 的距离.(精确到0.01米)(参考数据:3 1.732≈,tan5.710.100)≈o【答案】()1?AB 1.2=米;()2斜坡新起点C 与原起点B 的距离为4.96米. 【解析】【分析】()1在Rt ABD V 中,根据AB AD sin30=÷o 计算即可;()2分别求出CD 、BD 即可解决问题; 【详解】()1在Rt ABD V 中,1AB AD sin300.6 1.2(2=÷=÷=o 米), ()2在Rt ABD V 中,3BD AD tan300.6 1.039(=÷=≈o 米), 在Rt ACD V 中,CD AD tan5.716(=÷≈o 米),BC CD BD 6 1.039 4.96(∴=-=-=米).答:求斜坡AB 的长为1.2米,斜坡新起点C 与原起点B 的距离为4.96米.【点睛】本题考查解直角三角形的应用,锐角三角函数等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.。

中考数学直角三角形的边角关系综合练习题及答案

中考数学直角三角形的边角关系综合练习题及答案

中考数学直角三角形的边角关系综合练习题及答案一、直角三角形的边角关系1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米.【答案】553【解析】【分析】如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可.【详解】解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.∵AM⊥CD,∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°,∴四边形OQMP是矩形,∴QM=OP,∵OC=OD=10,∠COD=60°,∴△COD是等边三角形,∵OP⊥CD,∠COD=30°,∴∠COP=12∴QM=OP=OC•cos30°=3∵∠AOC=∠QOP=90°,∴∠AOQ=∠COP=30°,∴AQ=1OA=5(分米),2∴AM=AQ+MQ=5+3∵OB∥CD,∴∠BOD=∠ODC=60°在Rt△OFK中,KO=OF•cos60°=2(分米),FK=OF•sin60°=23(分米),在Rt△PKE中,EK=22-=26(分米),EF FK∴BE=10−2−26=(8−26)(分米),在Rt△OFJ中,OJ=OF•cos60°=2(分米),FJ=23(分米),在Rt△FJE′中,E′J=22-(2)=26,63∴B′E′=10−(26−2)=12−26,∴B′E′−BE=4.故答案为:5+53,4.【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.2.下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)【答案】2.5m.【解析】试题分析:设DF=x,在Rt△DFC中,可得CF=DF=x,则BF=4-x,根据线段的和差可得AN=5-x,EN=DM=BF=4-,在Rt△ANE中,∠EAB=,利用∠EAB的正切值解得x的值.试题解析:解:设DF=,在Rt△DFC中,∠CDF=,∴CF=tan·DF=,又∵CB=4,∴BF=4-,∵AB=6,DE=1,BM= DF=,∴AN=5-,EN=DM=BF=4-,在Rt△ANE中,∠EAB=,EN=4-,AN=5-,tan==0.60,解得=2.5,答:DM和BC的水平距离BM为2.5米.考点:解直角三角形.3.如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=1,点D在边AC上且BD平分∠ABC,设CD=x.(1)求证:△ABC∽△BCD;(2)求x的值;(3)求cos36°-cos72°的值.【答案】(1)证明见解析;(215-+;(3758+【解析】试题分析:(1)由等腰三角形ABC中,顶角的度数求出两底角度数,再由BD为角平分线求出∠DBC的度数,得到∠DBC=∠A,再由∠C为公共角,利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似;(2)根据(1)结论得到AD=BD=BC,根据AD+DC表示出AC,由(1)两三角形相似得比例求出x的值即可;(3)过B作BE垂直于AC,交AC于点E,在直角三角形ABE和直角三角形BCE中,利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值,代入原式计算即可得到结果.试题解析:(1)∵等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°,∵∠CBD=∠A=36°,∠C=∠C,∴△ABC∽△BCD;(2)∵∠A=∠ABD=36°,∴AD=BD,∵BD=BC,∴AD=BD=CD=1,设CD=x ,则有AB=AC=x+1,∵△ABC ∽△BCD , ∴AB BC BD CD =,即111x x+=, 整理得:x 2+x-1=0, 解得:x 1=15-+,x 2=15--(负值,舍去), 则x=15-+; (3)过B 作BE ⊥AC ,交AC 于点E ,∵BD=CD ,∴E 为CD 中点,即DE=CE=154-+, 在Rt △ABE 中,cosA=cos36°=1515144151AE AB -++==-++, 在Rt △BCE 中,cosC=cos72°=151541EC BC -+-+==, 则cos36°-cos72°=51+=15-+=12. 【考点】1.相似三角形的判定与性质;2.等腰三角形的性质;3.黄金分割;4.解直角三角形.4.问题探究:(一)新知学习:圆内接四边形的判断定理:如果四边形对角互补,那么这个四边形内接于圆(即如果四边形EFGH 的对角互补,那么四边形EFGH 的四个顶点E 、F 、G 、H 都在同个圆上).(二)问题解决:已知⊙O的半径为2,AB,CD是⊙O的直径.P是上任意一点,过点P分别作AB,CD 的垂线,垂足分别为N,M.(1)若直径AB⊥CD,对于上任意一点P(不与B、C重合)(如图一),证明四边形PMON内接于圆,并求此圆直径的长;(2)若直径AB⊥CD,在点P(不与B、C重合)从B运动到C的过程汇总,证明MN的长为定值,并求其定值;(3)若直径AB与CD相交成120°角.①当点P运动到的中点P1时(如图二),求MN的长;②当点P(不与B、C重合)从B运动到C的过程中(如图三),证明MN的长为定值.(4)试问当直径AB与CD相交成多少度角时,MN的长取最大值,并写出其最大值.【答案】(1)证明见解析,直径OP=2;(2)证明见解析,MN的长为定值,该定值为2;(3)①MN=;②证明见解析;(4)MN取得最大值2.【解析】试题分析:(1)如图一,易证∠PMO+∠PNO=180°,从而可得四边形PMON内接于圆,直径OP=2;(2)如图一,易证四边形PMON是矩形,则有MN=OP=2,问题得以解决;(3)①如图二,根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1=∠BOP1=60°,根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N=60°.根据角平分线的性质可得P1M=P1N,从而得到△P1MN是等边三角形,则有MN=P1M.然后在Rt△P1MO运用三角函数就可解决问题;②设四边形PMON的外接圆为⊙O′,连接NO′并延长,交⊙O′于点Q,连接QM,如图三,根据圆周角定理可得∠QMN=90°,∠MQN=∠MPN=60°,在Rt△QMN中运用三角函数可得:MN=QN•sin∠MQN,从而可得MN=OP•sin∠MQN,由此即可解决问题;(4)由(3)②中已得结论MN=OP•sin∠MQN可知,当∠MQN=90°时,MN最大,问题得以解决.试题解析:(1)如图一,∵PM⊥OC,PN⊥OB,∴∠PMO=∠PNO=90°,∴∠PMO+∠PNO=180°,∴四边形PMON内接于圆,直径OP=2;(2)如图一,∵AB⊥OC,即∠BOC=90°,∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°,∴四边形PMON是矩形,∴MN=OP=2,∴MN的长为定值,该定值为2;(3)①如图二,∵P1是的中点,∠BOC=120°,∴∠COP1=∠BOP1=60°,∠MP1N=60°,∵P1M⊥OC,P1N⊥OB,∴P1M=P1N,∴△P1MN是等边三角形,∴MN=P1M.∵P1M=OP1•sin∠MOP1=2×sin60°=,∴MN=;②设四边形PMON的外接圆为⊙O′,连接NO′并延长,交⊙O′于点Q,连接QM,如图三,则有∠QMN=90°,∠MQN=∠MPN=60°,在Rt△QMN中,sin∠MQN=,∴MN=QN•sin∠MQN,∴MN=OP•sin∠MQN=2×sin60°=2×=,∴MN是定值.(4)由(3)②得MN=OP•sin∠MQN=2sin∠MQN.当直径AB与CD相交成90°角时,∠MQN=180°﹣90°=90°,MN取得最大值2.考点:圆的综合题.5.如图,抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点D在抛物线上且横坐标为3.(1)求tan∠DBC的值;(2)点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.【答案】(1)tan∠DBC=;(2)P(﹣,).【解析】试题分析:(1)连接CD,过点D作DE⊥BC于点E.利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标,则可得CD//AB,OB=OC,所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°.由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4,BE=BC﹣DE=.由此可知tan∠DBC=;(2)过点P作PF⊥x轴于点F.由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC,利用(1)中的结果得到:tan∠PBF=.设P(x,﹣x2+3x+4),则利用锐角三角函数定义推知=,通过解方程求得点P的坐标为(﹣,).试题解析:(1)令y=0,则﹣x2+3x+4=﹣(x+1)(x﹣4)=0,解得 x1=﹣1,x2=4.∴A(﹣1,0),B(4,0).当x=3时,y=﹣32+3×3+4=4,∴D(3,4).如图,连接CD,过点D作DE⊥BC于点E.∵C(0,4),∴CD//AB,∴∠BCD=∠ABC=45°.在直角△OBC中,∵OC=OB=4,∴BC=4.在直角△CDE中,CD=3.∴CE=ED=,∴BE=BC﹣DE=.∴tan∠DBC=;(2)过点P作PF⊥x轴于点F.∵∠CBF=∠DBP=45°,∴∠PBF=∠DBC,∴tan∠PBF=.设P(x,﹣x2+3x+4),则=,解得 x1=﹣,x2=4(舍去),∴P(﹣,).考点:1、二次函数;2、勾股定理;3、三角函数6.某条道路上通行车辆限速60千米/时,道路的AB段为监测区,监测点P到AB的距离PH为50米(如图).已知点P在点A的北偏东45°方向上,且在点B的北偏西60°方向上,点B在点A的北偏东75°方向上,那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内,可认定为32≈1.4).【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内,可认定为超速【解析】分析:根据点到直线的距离的性质,构造直角三角形,然后利用解直角三角形的应用,解直角三角形即可.详解:如图,由题意知∠CAB=75°,∠CAP=45°,∠PBD=60°,∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°,∵∠PHA=∠PHB=90°,PH=50,∴AH=tan PH PAH∠33,∵AC∥BD,∴∠ABD=180°–∠CAB=105°,∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°,则PH=BH=50,∴3,∵60千米/时=503米/秒,∴时间t=503505033≈8.1(秒),即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内,可认定为超速.点睛:该题考查学生通过构建直角三角形,利用某个度数的三角函数值求出具体边长,即实际路程,并进行判断相关的量。

中考数学 直角三角形的边角关系综合试题附详细答案

中考数学 直角三角形的边角关系综合试题附详细答案

中考数学 直角三角形的边角关系综合试题附详细答案一、直角三角形的边角关系1.如图(9)所示(左图为实景侧视图,右图为安装示意图),在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器:先安装支架AB 和CD (均与水平面垂直),再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高,公司规定:AD 与水平面夹角为1θ,且在水平线上的射影AF 为1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ,并已知1tan 1.082θ=,2tan 0.412θ=.如果安装工人确定支架AB 高为25cm ,求支架CD 的高(结果精确到1cm )? 【答案】【解析】过A 作AF CD ⊥于F ,根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值,又可证四边形ABCE 为平行四边形,故有EC=AB=25cm ,再再根据DC=DE+EC 进行解答即可.2.在正方形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O ,点P 在线段BC 上(不含点B ),∠BPE=12∠ACB ,PE 交BO 于点E ,过点B 作BF ⊥PE ,垂足为F ,交AC 于点G . (1)当点P 与点C 重合时(如图1).求证:△BOG ≌△POE ; (2)通过观察、测量、猜想:BF PE= ,并结合图2证明你的猜想; (3)把正方形ABCD 改为菱形,其他条件不变(如图3),若∠ACB=α,求BF PE 的值.(用含α的式子表示)【答案】(1)证明见解析(2)12BFPE=(3)1tan2BFPEα=【解析】解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,P与C重合,∴OB="OP" ,∠BOC=∠BOG=90°.∵PF⊥BG ,∠PFB=90°,∴∠GBO=90°—∠BGO,∠EPO=90°—∠BGO.∴∠GBO=∠EPO .∴△BOG≌△POE(AAS).(2)BF1PE2=.证明如下:如图,过P作PM//AC交BG于M,交BO于N,∴∠PNE=∠BOC=900,∠BPN=∠OCB.∵∠OBC=∠OCB =450,∴∠NBP=∠NPB.∴NB=NP.∵∠MBN=900—∠BMN,∠NPE=900—∠BMN,∴∠MBN=∠NPE.∴△BMN≌△PEN(ASA).∴BM=PE.∵∠BPE=12∠ACB,∠BPN=∠ACB,∴∠BPF=∠MPF.∵PF⊥BM,∴∠BFP=∠MFP=900.又∵PF=PF,∴△BPF≌△MPF(ASA).∴BF="MF" ,即BF=12 BM.∴BF=12PE,即BF1PE2=.(3)如图,过P作PM//AC交BG于点M,交BO于点N,∴∠BPN=∠ACB=α,∠PNE=∠BOC=900.由(2)同理可得BF=12BM , ∠MBN=∠EPN . ∵∠BNM=∠PNE=900,∴△BMN ∽△PEN . ∴BM BN PE PN=. 在Rt △BNP 中,BN tan =PN α, ∴BM =tan PE α,即2BF =tan PE α. ∴BF 1=tan PE 2α. (1)由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE .(2)过P 作PM//AC 交BG 于M ,交BO 于N ,通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ,通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ,即可得出BF 1PE 2=的结论. (3)过P 作PM//AC 交BG 于点M ,交BO 于点N ,同(2)证得BF=12BM , ∠MBN=∠EPN ,从而可证得△BMN ∽△PEN ,由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BN tan =PN α即可求得BF 1=tan PE 2α.3.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分5分)已知:如图,AB 是半圆O 的直径,弦//CD AB ,动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上,且DQ OP =,AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F (点F 与点C 、D 不重合),20AB =,4cos 5AOC ∠=.设OP x =,CPF ∆的面积为y .(1)求证:AP OQ =;(2)求y 关于x 的函数关系式,并写出它的定义域;(3)当OPE ∆是直角三角形时,求线段OP 的长.【答案】(1)证明见解析;(2)236030050(10)13x x y x x -+=<<;(3)8OP = 【解析】【分析】(1)证明线段相等的方法之一是证明三角形全等,通过分析已知条件,OP DQ =,联结OD 后还有OA DO =,再结合要证明的结论AP OQ =,则可肯定需证明三角形全等,寻找已知对应边的夹角,即POA QDO ∠=∠即可;(2)根据PFC ∆∽PAO ∆,将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求;(3)分成三种情况讨论,充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及(1)(2)中已证的结论,注意要对不符合(2)中定义域的答案舍去.【详解】(1)联结OD ,∵OC OD =,∴OCD ODC ∠=∠,∵//CD AB ,∴OCD COA ∠=∠,∴POA QDO ∠=∠.在AOP ∆和ODQ ∆中, {OP DQPOA QDO OA DO=∠=∠=,∴AOP ∆≌ODQ ∆,∴AP OQ =;(2)作PH OA ⊥,交OA 于H , ∵4cos 5AOC ∠=, ∴4455OH OP x ==,35PH x =,∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=. ∵//CD AB ,∴PFC ∆∽PAO ∆, ∴2210()()AOP yCP x S OP x∆-==, ∴2360300x x y x-+=,当F 与点D 重合时, ∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=, ∴101016x x =-,解得5013x =, ∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<; (3)①当90OPE ∠=o 时,90OPA ∠=o , ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=; ②当90POE ∠=o 时,1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠, ∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=, ∵501013OP <<, ∴72OP =(舍去); ③当90PEO ∠=o 时,∵//CD AB ,∴AOQ DQO ∠=∠,∵AOP ∆≌ODQ ∆,∴DQO APO ∠=∠,∴AOQ APO ∠=∠,∴90AEO AOP ∠=∠=o ,此时弦CD 不存在,故这种情况不符合题意,舍去; 综上,线段OP 的长为8.4.如图,在⊙O 的内接三角形ABC 中,∠ACB =90°,AC =2BC ,过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ,垂足为E .设P 是»AC 上异于A ,C 的一个动点,射线AP 交l 于点F ,连接PC 与PD ,PD 交AB 于点G .(1)求证:△PAC ∽△PDF ;(2)若AB =5,¼¼AP BP=,求PD 的长.【答案】(1)证明见解析;(2310 【解析】【分析】 (1)根据AB ⊥CD ,AB 是⊙O 的直径,得到¶¶ADAC =,∠ACD =∠B ,由∠FPC =∠B ,得到∠ACD =∠FPC ,可得结论;(2)连接OP ,由¶¶APBP =,得到OP ⊥AB ,∠OPG =∠PDC ,根据AB 是⊙O 的直径,得到∠ACB =90°,由于AC =2BC ,于是得到tan ∠CAB =tan ∠DCB =BC AC ,得到12CE BE AE CE ==,求得AE =4BE ,通过△OPG ∽△EDG ,得到OG OP GE ED=,然后根据勾股定理即可得到结果.【详解】(1)证明:连接AD ,∵AB ⊥CD ,AB 是⊙O 的直径,∴¶¶ADAC =, ∴∠ACD =∠B =∠ADC ,∵∠FPC =∠B ,∴∠ACD =∠FPC ,∴∠APC =∠ACF ,∵∠FAC =∠CAF ,∴△PAC ∽△CAF ;(2)连接OP ,则OA =OB =OP =1522AB =, ∵¶¶APBP =, ∴OP ⊥AB ,∠OPG =∠PDC ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,∵AC =2BC ,∴tan∠CAB=tan∠DCB=BCAC,∴12 CE BEAE CE==,∴AE=4BE,∵AE+BE=AB=5,∴AE=4,BE=1,CE=2,∴OE=OB﹣BE=2.5﹣1=1.5,∵∠OPG=∠PDC,∠OGP=∠DGE,∴△OPG∽△EDG,∴OG OP GE ED=,∴2.52 OE GE OPGE CE-==,∴GE=23,OG=56,∴PG=225OP OG6+=,GD=222 3DE GE+=,∴PD=PG+GD=3102.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,垂径定理,勾股定理,圆周角定理,证得△OPG∽△EDG是解题的关键.5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,动点P从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A,B重合),作∠DPQ=60°,边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒.(1)用含t的代数式表示线段DC的长:_________________;(2)当t =__________时,点Q与点C重合时;(3)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,求出t的值.【答案】(1);(2)1;(3)t的值为或或.【解析】【分析】(1)先求出AC,用三角函数求出AD,即可得出结论;(2)利用AQ=AC,即可得出结论;(3)分三种情况,利用锐角三角函数,即可得出结论.【详解】(1)∵AP= , AB=4,∠A=30°∴AC= , AD=∴CD=;(2)AQ=2AD=当AQ=AC时,Q与C重合即=∴t=1;(3)①如图,当PQ的垂直平分线过AB的中点F时,∴∠PGF=90°,PG=PQ=AP=t,AF=AB=2.∵∠A=∠AQP=30°,∴∠FPG=60°,∴∠PFG=30°,∴PF=2PG=2t,∴AP+PF=2t+2t=2,∴t=②如图,当PQ的垂直平分线过AC的中点N时,∴∠QMN =90°,AN=AC=,QM=PQ=AP=t.在Rt△NMQ中,∵AN +NQ =AQ ,∴③如图,当PQ 的垂直平分线过BC 的中点F 时,∴BF =BC =1,PE =PQ =t ,∠H =30°.∵∠ABC =60°,∴∠BFH =30°=∠H ,∴BH =BF =1.在Rt △PEH 中,PH =2PE =2t.∵AH =AP +PH =AB +BH ,∴2t +2t =5,∴t =.即当线段PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时,t 的值为或或.【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了等腰三角形的判定和性质,锐角三角函数,垂直平分线的性质,正确作出图形是解本题的关键.6.如图①,在菱形ABCD 中,60B ︒∠= ,4AB =.点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿边AD 向终点D 运动,过点P 作PQ AC ⊥交边AB 于点Q ,过点P 向上作//PN AC ,且32PN PQ =,以PN 、PQ 为边作矩形PQMN .设点P 的运动时间为t (秒),矩形PQMN 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S .(1)用含t 的代数式表示线段PQ 的长.(2)当点M 落在边BC 上时,求t 的值.(3)当0t 1<<时,求S 与t 之间的函数关系式, (4)如图②,若点O 是AC 的中点,作直线OM .当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为12:时,直接写出t 的值【答案】(1)23PQ t =;(2)45;(3)2193403163t t -+-;(4) 23t = 或87t = .【解析】【分析】(1)由菱形性质得∠D=∠B=60°,AD=AB=CD=4,△ACD是等边三角形,证出△APQ是等腰三角形,得出PF=QF,PF=PA•sin60°=3t,即可得出结果;(2)当点M落在边BC上时,由题意得:△PDN是等边三角形,得出PD=PN,由已知得PN=3PQ=3t,得出PD=3t,由题意得出方程,解方程即可;(3)当0<t≤45时,PQ=23t,PN=32PQ=3t,S=矩形PQMN的面积=PQ×PN,即可得出结果;当45<t<1时,△PDN是等边三角形,得出PE=PD=AD-PA=4-2t,∠FEN=∠PED=60°,得出NE=PN-PE=5t-4,FN=3NE=3(5t-4),S=矩形PQMN的面积-2△EFN的面积,即可得出结果;(4)分两种情况:当0<t≤45时,△ACD是等边三角形,AC=AD=4,得出OA=2,OG是△MNH的中位线,得出OG=4t-2,NH=2OG=8t-4,由面积关系得出方程,解方程即可;当45<t≤2时,由平行线得出△OEF∽△MEQ,得出EF OFEQ MQ=,即233ttEF t-=+,解得EF=243232t tt--,得出EQ=2332234t ttt--+,由三角形面积关系得出方程,解方程即可.【详解】(1)∵在菱形ABCD中,∠B=60°,∴∠D=∠B=60°,AD=AB=CD=4,△ACD是等边三角形,∴∠CAD=60°,∵PQ⊥AC,∴△APQ是等腰三角形,∴PF=QF,PF=PA•sin60°=2t×3=3t,∴PQ=23t;(2)当点M落在边BC上时,如图2所示:由题意得:△PDN是等边三角形,∴PD=PN,∵PN=32PQ=32×23t=3t,∴PD=3t,∵PA+PD=AD,即2t+3t=4,解得:t=45.(3)当0<t≤45时,如图1所示:PQ=23t,PN=32PQ=32×23t=3t,S=矩形PQMN的面积=PQ×PN=23t×3t=63t2;当45<t<1时,如图3所示:∵△PDN是等边三角形,∴PE=PD=AD-PA=4-2t,∠FEN=∠PED=60°,∴NE=PN-PE=3t-(4-2t)=5t-4,∴335t-4),∴S=矩形PQMN的面积-2△EFN的面积32-2×1235t-4)2=-19t233,即S=-19t233(4)分两种情况:当0<t≤45时,如图4所示:∵△ACD 是等边三角形, ∴AC=AD=4, ∵O 是AC 的中点,∴OA=2,OG 是△MNH 的中位线, ∴OG=3t-(2-t )=4t-2,NH=2OG=8t-4, ∴△MNH 的面积=12MN×NH=12×23t×(8t-4)=13×63t 2, 解得:t=23; 当45<t≤2时,如图5所示:∵AC ∥QM , ∴△OEF ∽△MEQ ,∴EF OF EQ MQ =233tt EF t -=+, 解得:2332t t -,∴23323t t t -∴△MEQ 的面积=12×3t×23323t t t -+=1332,解得:t=87; 综上所述,当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为1:2时,t 的值为23或87.【点睛】本题是四边形综合题目,考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识;本题综合性强,难度较大,熟练掌握菱形和矩形的性质,综合运用知识,进行分类讨论是解题的关键.7.如图,△ABC中,AC=BC=10,cosC=35,点P是AC边上一动点(不与点A、C重合),以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D,过点D作DE⊥CB于点E.(1)当⊙P与边BC相切时,求⊙P的半径.(2)连接BP交DE于点F,设AP的长为x,PF的长为y,求y关于x的函数解析式,并直接写出x的取值范围.(3)在(2)的条件下,当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时,求相交所得的公共弦的长.【答案】(1)409R=;(2)25880320xy x xx=-++(3)505-【解析】【分析】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=45,sinC=HPCP=10RR-=45,即可求解;(2)首先证明PD∥BE,则EB BFPD PF=,即:2024588x yxxxy-+-=,即可求解;(3)证明四边形PDBE为平行四边形,则AG=EP=BD,即:AB=DB+AD=AG+AD=5【详解】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=45,sinC=HPCP=10RR-=45,解得:R=409;(2)在△ABC中,AC=BC=10,cosC=35,设AP=PD=x,∠A=∠ABC=β,过点B作BH⊥AC,则BH=ACsinC=8,同理可得:CH=6,HA=4,AB=45,则:tan∠CAB=2,BP=228+(4)x-=2880x x-+,DA=25x,则BD=45﹣25x,如下图所示,PA=PD,∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β,tanβ=2,则cosβ5,sinβ5,EB =BDcosβ=(45﹣25x )×5=4﹣25x ,∴PD ∥BE ,∴EB BFPD PF=,即:2024588x y x xx y-+--=,整理得:y =25xx 8x 803x 20-++;(3)以EP 为直径作圆Q 如下图所示,两个圆交于点G ,则PG =PQ ,即两个圆的半径相等,则两圆另外一个交点为D , GD 为相交所得的公共弦, ∵点Q 是弧GD 的中点, ∴DG ⊥EP , ∵AG 是圆P 的直径, ∴∠GDA =90°, ∴EP ∥BD ,由(2)知,PD ∥BC ,∴四边形PDBE 为平行四边形, ∴AG =EP =BD ,∴AB =DB+AD =AG+AD =5 设圆的半径为r ,在△ADG 中, AD =2rcosβ5DG 5AG =2r , 5=52r 51+, 则:DG 550﹣5 相交所得的公共弦的长为50﹣5 【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用,涉及到解直角三角形、勾股定理等知识,其中(3),要关键是根据题意正确画图,此题用大量的解直角三角形的内容,综合难度很大.8.如图,在ABC △中,10AC BC ==,3cos5C =,点P 是BC 边上一动点(不与点,A C 重合),以PA 长为半径的P e 与边AB 的另一个交点为D ,过点D 作DE CB ⊥于点E .()1当P e 与边BC 相切时,求P e 的半径;()2联结BP 交DE 于点F ,设AP 的长为x ,PF 的长为y ,求y 关于x 的函数解析式,并直接写出x 的取值范围;()3在()2的条件下,当以PE 长为直径的Q e 与P e 相交于AC 边上的点G 时,求相交所得的公共弦的长.【答案】(1)409;(2))25880010x x x y x -+=<<;(3)105- 【解析】 【分析】(1)设⊙P 与边BC 相切的切点为H ,圆的半径为R ,连接HP ,则HP ⊥BC ,cosC=35,则sinC=45,sinC=HP CP =R 10R -=45,即可求解; (2)PD ∥BE ,则EB PD =BFPF,即:2248805x x x y x--+-=,即可求解;(3)证明四边形PDBE 为平行四边形,则AG=GP=BD ,即:5求解. 【详解】(1)设⊙P 与边BC 相切的切点为H ,圆的半径为R ,连接HP ,则HP ⊥BC ,cosC=35,则sinC=35, sinC=HP CP =R 10R -=45,解得:R=409; (2)在△ABC 中,AC=BC=10,cosC=35, 设AP=PD=x ,∠A=∠ABC=β,过点B 作BH ⊥AC ,则BH=ACsinC=8, 同理可得:CH=6,HA=4,AB=45,则:tan ∠CAB=2BP=()2284x +-=2880x x -+, DA=25x ,则BD=45-25x ,如下图所示,PA=PD ,∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β,tanβ=2,则cosβ=5,sinβ=5,EB=BDcosβ=(45-25x)×5=4-25x,∴PD∥BE,∴EBPD=BFPF,即:2248805x x x yx y--+-=,整理得:y=()25x x8x800x10-+<<;(3)以EP为直径作圆Q如下图所示,两个圆交于点G,则PG=PQ,即两个圆的半径相等,则两圆另外一个交点为D,GD为相交所得的公共弦,∵点Q时弧GD的中点,∴DG⊥EP,∵AG是圆P的直径,∴∠GDA=90°,∴EP∥BD,由(2)知,PD∥BC,∴四边形PDBE为平行四边形,∴AG=EP=BD,∴5设圆的半径为r,在△ADG中,55AG=2r,5551+,则:55相交所得的公共弦的长为5【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用,涉及到解直角三角形、勾股定理等知识,其中(3),要关键是根据题意正确画图,此题用大量的解直角三角形的内容,综合难度很大.9.如图,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过点,.点为轴上一动点,过点且垂直于轴的直线分别交直线及抛物线于点,.(1)填空:点的坐标为,抛物线的解析式为;(2)当点在线段上运动时(不与点,重合),①当为何值时,线段最大值,并求出的最大值;②求出使为直角三角形时的值;(3)若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是,请直接写出此时由点,,,构成的四边形的面积.【答案】(1),;(2)①当时,有最大值是3;②使为直角三角形时的值为3或;(3)点,,,构成的四边形的面积为:6或或.【解析】【分析】(1)把点A坐标代入直线表达式y=,求出a=−3,把点A、B的坐标代入二次函数表达式,即可求解;(2)①设:点P(m,),N(m,)求出PN值的表达式,即可求解;②分∠BNP=90°、∠NBP=90°、∠BPN=90°三种情况,求解即可;(3)若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h,则只能出现:在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N,在直线AB上方的交点有两个,分别求解即可.【详解】解:(1)把点坐标代入直线表达式,解得:,则:直线表达式为:,令,则:,则点坐标为,将点的坐标代入二次函数表达式得:,把点的坐标代入二次函数表达式得:,解得:,故:抛物线的解析式为:,故:答案为:,;(2)①∵在线段上,且轴,∴点,,∴,∵,∴抛物线开口向下,∴当时,有最大值是3,②当时,点的纵坐标为-3,把代入抛物线的表达式得:,解得:或0(舍去),∴;当时,∵,两直线垂直,其值相乘为-1,设:直线的表达式为:,把点的坐标代入上式,解得:,则:直线的表达式为:,将上式与抛物线的表达式联立并解得:或0(舍去),当时,不合题意舍去,故:使为直角三角形时的值为3或;(3)∵,,在中,,则:,,∵轴,∴,若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是,则只能出现:在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点,在直线上方的交点有两个.当过点的直线与抛物线有一个交点,点的坐标为,设:点坐标为:,则:,过点作的平行线,则点所在的直线表达式为:,将点坐标代入,解得:过点直线表达式为:,将拋物线的表达式与上式联立并整理得:,,将代入上式并整理得:,解得:,则点的坐标为,则:点坐标为,则:,∵,,∴四边形为平行四边形,则点到直线的距离等于点到直线的距离,即:过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点,即:、,直线的表达式为:,将该表达式与二次函数表达式联立并整理得:,解得:,则点、的横坐标分别为,,作交直线于点,则,作轴,交轴于点,则:,,,则:, 同理:, 故:点,,,构成的四边形的面积为:6或或. 【点睛】 本题考查的是二次函数知识的综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识,其中(3)中确定点N 的位置是本题的难点,核心是通过△=0,确定图中N 点的坐标.10.已知:在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ,BE :AB=3:5,若CE= 2 ,cos ∠ACD= 45 ,求tan ∠AEC 的值及CD 的长.【答案】tan ∠AEC=3, CD=12125【解析】 解:在RT △ACD 与RT △ABC 中∵∠ABC+∠CAD=90°, ∠ACD+∠CAD=90°∴∠ABC=∠ACD, ∴cos ∠ABC=cos ∠ACD=45 在RT △ABC 中,45BC AB = 令BC=4k,AB=5k 则AC=3k 由35BE AB = ,BE=3k 则CE=k,且CE=2 则k=2,AC=32 ∴RT △ACE 中,tan ∠AEC=AC EC =3 ∵RT △ACD 中cos ∠ACD=45CD AC = ,,CD=12125.11.如图,⊙O 为△ABC 的外接圆,BC 为⊙O 的直径,AE 为⊙O 的切线,过点B 作BD ⊥AE 于D .(1)求证:∠DBA=∠ABC ;(2)如果BD=1,tan∠BAD=,求⊙O的半径.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】试题分析:(1)如图,连接OA,由AE为⊙O的切线,BD⊥AE得到∠DAO=∠EDB=90°,于是得到DB∥AO,推出∠DBA=∠BAO,由于OA=OB,得到∠ABC=∠BAO,即可得到结论;(2)根据三角函数的知识可求出AD,从而根据勾股定理求出AB的长,根据三角函数的知识即可得出⊙O的半径.试题解析:(1)如图,连接OA,∵AE为⊙O的切线,BD⊥AE,∴∠DAO=∠EDB=90°,∴DB∥AO,∴∠DBA=∠BAO,又∵OA=OB,∴∠ABC=∠BAO,∴∠DBA=∠ABC;(2)∵BD=1,tan∠BAD=,∴AD=2,∴AB=,∴cos∠DBA=;∵∠DBA=∠CBA,∴BC=.∴⊙O的半径为2.5.考点:1.切线的性质;2.勾股定理;3.解直角三角形.12.如图,△ABC是边长为6cm的等边三角形,点D从B点出发沿B→A方向在线段BA上以a cm/s速度运动,与此同时,点E从线段BC的某个端点出发,以b cm/s速度在线段BC 上运动,当D到达A点后,D、E运动停止,运动时间为t(秒).(1)如图1,若a=b=1,点E从C出发沿C→B方向运动,连AE、CD,AE、CD交于F,连BF.当0<t<6时:①求∠AFC的度数;②求222AFFC BFAF FC+-⋅的值;(2)如图2,若a=1,b=2,点E从B点出发沿B→C方向运动,E点到达C点后再沿C→B 方向运动.当t≥3时,连DE,以DE为边作等边△DEM,使M、B在DE两侧,求M点所经历的路径长.【答案】(1)①120°;②1;(2)当3≤t≤6时,M点所经历的路径长为3.【解析】【分析】(1)①如图1,由题可得BD=CE=t,易证△BDC≌△CEA,则有∠BCD=∠CAE,根据三角形外角的性质可求得∠EFC=60°,即可得到∠AFC=120°;②延长FD到G,使得FG=FA,连接GA、GB,过点B作BH⊥FG于H,如图2,易证△FAG 是等边三角形,结合△ABC是等边三角形可证到△AGB≌△AFC,则有GB=FC,∠AGB=∠AFC=120°,从而可得∠BGF=60°.设AF=x,FC=y,则有FG=AF=x,BG=CF=y.在Rt△BHG中运用直角三角形的性质可得BH3,GH=12y,从而有FH=x﹣12y.在Rt△BHF中根据勾股定理可得BF2=x2﹣xy+y2,代入所求代数式就可解决问题;(2)过点E作EN⊥AB于N,连接MC,如图3,由题可得∠BEN=30°,BD=t,CE=2t﹣6,从而有BE=12﹣2t,BN=6﹣t,进而可得DN=EC.由△DEM是等边三角形可得DE=EM,∠DEM=60°,从而可得∠NDE=∠MEC,进而可证到△DNE≌△ECM,则有∠DNE=∠ECM=90°,故M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段.然后只需确定点M的始点和终点位置,就可解决问题.【详解】(1)如图1,由题可得BD=CE=t.∵△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠B=∠ECA=60°.在△BDC和△CEA中,BD CEB ECABC AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BDC≌△CEA,∴∠BCD=∠CAE,∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°,∴∠AFC=120°;②延长FD到G,使得FG=FA,连接GA、GB,过点B作BH⊥FG于H,如图2.∵∠AFG=180°﹣120°=60°,FG=FA,∴△FAG是等边三角形,∴AG=AF=FG,∠AGF=∠GAF=60°.∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,∴∠GAF=∠BAC,∴∠GAB=∠FAC.在△AGB和△AFC中,AG AFGAB FACAB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AGB≌△AFC,∴GB=FC,∠AGB=∠AFC=120°,∴∠BGF=60°,∴∠GBH=30°.设AF=x,FC=y,则有FG=AF=x,BG=CF=y.在Rt△BHG中,GH=12y,BH=3y,∴FH=FG﹣GH=x﹣12y.在Rt△BHF中,BF2=BH2+FH2=(32y)2+(x﹣12y)2=x2﹣xy+y2,∴222AF FC BFAF FC+-⋅=2222x y x xy yxy+--+()=1;(2)过点E作EN⊥AB于N,连接MC,如图3,由题可得:∠BEN=30°,BD=1×t=t,CE=2(t﹣3)=2t﹣6,∴BE=6﹣(2t﹣6)=12﹣2t,BN=12BE=6﹣t,∴DN=t﹣(6﹣t)=2t﹣6,∴DN=EC.∵△DEM是等边三角形,∴DE=EM,∠DEM=60°.∵∠NDE+∠NED=90°,∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°=90°,∴∠NDE=∠MEC.在△DNE和△ECM中,∵DN ECNDE CEMDE EM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DNE≌△ECM,∴∠DNE=∠ECM=90°,∴M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段.当t=3时,E在点B,D在AB的中点,此时CM=EN=CD=BC•sin B=6×3=33;当t=6时,E在点C,D在点A,此时点M在点C;∴当3≤t≤6时,M点所经历的路径长为33.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定理、三角形外角的性质等知识,综合性比较强,有一定的难度;构造旋转型全等三角形(由共顶点的两个等边三角形组成)是解决第1(2)小题的关键,证到∠ECM=90°是解决第(2)小题的关键.。

直角三角形的边角关系(含答案)

直角三角形的边角关系(含答案)

第十四章直角三角形的边角关系基础知识梳理1.锐角三角函数.在Rt△ABC中,∠C是直角,如图所示.(1)正切:∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA=AA∠∠的对边的邻边.(2)正弦:∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=A∠的对边邻边.(3)余弦:∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=A∠的邻边邻边.(4)锐角三角函数:锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.(5)锐角的正弦和余弦之间的关系.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.即:如果∠A+∠B=90°,那么sinA=cos(90°-A)=cosB;cosA=sin(•90•°-•A)•=sinB.(6)一些特殊角的三角函数值(如下表).三角函数角sin cos tan30°12323345°2222160°32123(7)已知角度可利用科学计算器求得锐角三角函数值;同样,•已知三角函数值也可利用科学计算器求得角度的大小.(8)三角函数值的变化规律.①当角度在0°~90°间变化时,正弦值(正切值)随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).②当角度在0°~90°间变化时,余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(•或增大).(9)同角三角函数的关系.①sin2A+cos2A=1;②tanA=sincosAA.2.运用三角函数解直角三角形.由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.(1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.(3)边角之间的关系:sinA=ac,cosA=bc,tanA=ab.所以,在直角三角形中,只要知道除直角外的两个元素(其中至少有一个是边),•就可以求出其余三个未知元素.解直角三角形的基本类型题解法如下表所示:类型已知条件解法两边两直角边a,bc=22a b+,tanA=ab,B=90°-A一直角边a,斜边cb=22c a-,sinA=ac,B=90°-A一边、一锐角一直角边a,锐角AB=90°-A,b=tanaA,c=sinaA斜边a,锐角A B=90°-A,a=c·sin,b=c·cosA注意:解直角三角形需要注意的问题:(1)尽量使用原始数据,使计算更加准确;(2)不是解直角三角形的问题,添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题;(3)恰当使用方程或方程组的方法解决一些较复杂的解直角三角形的问题;(4)在选用三角函数式时,尽量做乘法,避免做除法,以使运算简便;(5)必要时画出图形,分析已知什么,求什么,它们在哪个三角形中,•应当选用什么关系式进行计算;(6)添加辅助线的过程应书写在解题过程中.3.解直角三角形的实际问题.解直角三角形的实际问题涉及到如下概念和术语.(1)坡度、坡角.如图所示,坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫做坡度(或叫做坡比),用字母i表示,即i=hl.坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),则i=hl=tanα.(2)仰角、俯角.当从低处观测高处的目标时,视线和水平线所成的锐角称为仰角.当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角.如图所示.(3)方位角和方向角.①方位角:正北方向顺时针旋转与已知射线所成的角叫做方位角.如图所示的∠α(0°<α<360°).②方向角:正北或正南方向与已知射线所成的锐角叫做方向角.如图14-5所示的∠β(0°<β<90°),若∠β=30°,则方向角可记作南偏西30°.(4)燕尾槽的深度、燕尾角.燕尾槽的横断面如图所示,AE是燕尾槽的深度,AD是外口宽,BC是里口宽,∠B是燕尾角.考点与命题趋向分析(一)能力1.通过实例认识锐角三角函数(sinA ,cosA ,tanA ),知道30°,45°,60•°角的三角函数值;会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角.2.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题. (二)命题趋向分析1.三角函数是代数与几何衔接点之一,是三角学的基础,近年来锐角三角函数常与四边形、相似形、坐标系、圆等相结合出题,多涉及实际应用问题,如梯子的倾斜程度、坡度等问题.【例1】(2004年河南省)如图1,在一个房间内,有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米,此时梯子的倾斜角为75°.如果梯子底端不动,顶端靠在对面墙上,此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米,梯子的倾斜角为45°,则这间房子的宽AB 是________米.(1) (2) 【分析一】AB=AC+CB=tan 75a ︒+tan 45b︒.如图2,在Rt △ACB 中,∠C=90°.∠A=15•°,•∠ABC=75°, 在∠ABC 内部作∠ABD=15°,则∠BDC=30°,∠DBC=60°, 设BC=1,则BD=2,3, ∵∠A=∠ABD=15° ∴AD=BD=2 ∴3 ∴tan75°=AC BC23+3∴∴sin75°=ACAB 如图1所示:NB=CB=b 米∴b 米∴米 在Rt △MAC 中,sin75°=AMMC∴4a=()b解得-1)a∴AB=AC+CB=tan 75a ︒+tan 45b︒+b=(a+)a=a (米)【分析二】在图1中连MN ,可由MC=NC ,∠MCN=60°得等边三角形MCN ,作MH•⊥BN 于H .由∠A=∠MHB=90°,∠MCA=∠MNH=75°,MC=MN .可证△MAC ≌△MHN ,得AM=MH .•再证四边形MABH 为矩形,可得AB=MH=AM=a 米. 【解】此空应填a .2.涉及特殊角的三角函数值的应用题是近年中考中的热点,•对学生的综合能力要求较高,要勤于观察生活中的数学现象,并善于将生活中的实际问题转化为数学问题并加以解决.【例2】(2004年哈尔滨市)如图,在测量塔高AB 时,•选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C 、D 两点,用测角仪器测得塔顶A 的仰角分别是30°和60°.•已知测角器高CE=1.5m ,CD=30m .求塔高AB .(答案保留根号) 【分析】由CD=30m ,可求EG=30m ,考虑到∠AGF 是△AEG 的外角,可知EG=AG ,故AG=30m ,在Rt △AGF 中可求AF 长.AB=AF+FB 问题得以解决. 【解】由题意可知:EG=CD=30米 ∵∠AEG=30°,∠AGF=60°∴∠EAG=30°∴EG=AG=30米在Rt△AFG中,sin60°=AF AG∴AF=AG·sin60°=30×32=153(米)∴AB=AF+FB=153+32(米)答:塔高AB为(153+32)米.【规律总结】本题发现EG=AG=30米,以及熟记特殊角三角函数值是关键.3.近10年来含特殊角的三角函数值的应用问题中中考中呈现上升趋势,•这类考题往往给定一些角的三角函数值供考生选用,且这类题多以中档解答题为主,望读者引起注意.【例3】(2004年沈阳市)某地一居民楼,窗户朝南,窗户的高度为h米,•此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β(如图1).小明想为自己家的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD,要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,•又能最大限度地使冬天温度的阳光射入室内.小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β的相应数据:∠α=24°36′,∠β=73°30′,小明又量得窗户的高AB=1.65米.若同时满足下面两个条件:(1)•当太阳光与地面夹角为α时,要想使太阳光刚好全部射入室内;(2)•当太阳光与地面夹角为β时,要想使太阳光刚好不射入室内.请你借助图形(如图2),帮助小明算一算,•遮阳篷BCD中,BC和CD的长各是多少?(精确到0.01米)以下数据供计算中选用:sin24°36′=0.416 cos24°36′=0.909tan24°36′=0.458 cot24°36′=2.184sin73°30′=0.959 cos73°30′=0.284tan73°30′=3.376 cot73°30′=0.296【分析】图中有两个直角三角形,即△BCD 和△ACD .•利用这两个直角三角形求解.另外题中所给数据中cot24°36′实际上是tan24°36′的倒数,今后我们会学习到. 【解】∵在Rt △BCD 中,tan ∠CDB=BCCD,∠CDB=∠α ∴BC=CD ·tan ∠CDB=CD ·tan α ∵在Rt △ACD 中,tan ∠CDA=ACCD,∠CDA=∠β ∴AC=CD ·tan ∠CDA=CD ·tan β ∵AB=AC-BC=CD ·tan β-CD ·tan α =CD (tan β-tan α) ∴CD=tan tan AB βα-= 1.653.3760.458-≈0.57(米)∴BC=CD ·tan ∠CDB ≈0.57×0.458≈0.26(米) 答:BC 的长约为0.26米,CD 的长约为0.57米.【规律总结】本题的解决关键是把∠α、∠β置于两个直角三角形中,另外要细心体会把实际问题转化为数学模型的过程和方法.4.运用解直角三角形知识解决实际问题是近年中考的热点题型,•主要涉及测量(特别是底部不可到达的物体的高度的测量)、航空、航海、工程等领域,且说理性题(如船会不会触礁,速度应提高多少,巡逻艇能否追上走私船等)比重有所加大.这类题主要考查学生应用相关知识解决实际问题的能力. 【例4】(2003年青岛)如图14-11所示,•人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现在其所处位置O 点的正北方向10海里处的A 点有一涉嫌走私船只,正以24海里/时的速度向正东方向航行,为迅速实施检查,巡逻艇调整好航向,以26•海里/时的速度追赶,在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下,问 (1)需要几小时才能追上?(点B 为追上时的位置) (2)确定巡逻艇追赶方向(精确到0.1°)(参考数据:sin66.8°≈0.9191,cos66.8°≈0.3939,•sin67.•4•°≈0.•9231,cos67.4°≈0.3843,sin68.4°≈0.9298,cos68.4°≈0.3681,•sin70.•6•°≈0.9432,cos70.6°≈0.3322).【分析】由于已知速度,本题第(1)问可利用直角△ABO 的各边长列方程求解,•第(2)问可利用sin ∠AOB=ABOB,求出∠AOB 的度数. 【解】(1)设需要t 小时才能追上,则AB=24t ,OB=26t .在Rt △ABO 中,OB 2=AB 2+OA 2,即(26t )2=(24t )2+102,解得t=±1,t=-1不合题意,舍去,∴t=1,即需要1小时才能追上. (2)在Rt △ABO 中 ∵sin ∠AOB=AB OB =2426t t =1213≈0.9231, ∴∠AOB ≈67.4°即巡逻艇的追赶方向是北偏东67.4°.解题方法与技巧1.数形结合思想.【例1】已知tan α=34,求sin cos sin cos αααα+-的值. 【分析】利用数形结合思想,将已知条件tan α=34用图形表示.【解】如图所示,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=α,设BC=3k ,AC=4k ,则AB=22AC BC +=22(4)(3)k k +=5k .∴sin α=BC AB =35k k =35 cos α=4455AC k AB k ==, ∴原式=34553455+-=-7.方法2:转化思想 【例2】已知tan α=34,求sin cos sin cos αααα+-的值. 【分析】可将所求式子的分子、分母都除以cos ,转化为含有sin cos αα的式子,•再利用tan α=sin cos αα进行转化求解. 【解】将式子sin cos sin cos αααα+-的分子、分母都除以cos α,得原式=31tan143tan114αα++=--=-7【规律总结】因为tanα=34所以α不等于90°,所以cosα≠0,因此分子分母可以同时除以cosα.实现转化的目的.方法3:方程思想【例3】去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学,•为了方便A、B两地师生的交往,学校准备在相距2千米的A、B•两地之间修筑一条笔直的公路(即图中的线段AB),经测量,在A地的北偏东60°方向,B地的西偏北45°的C处有一个半径为0.7千米的公园,问计划修筑的这条公路会不会穿过公园?为什么?【分析】过C作AB的垂线段CM,把AM、BM用含x的代数式3x,x表示,利用AM+MB=2列方程得,3x+x=2,解出CM的长与0.7千米进行比较,本题要体会设出CM的长,列方程解题的思想方法.【解】作CM⊥AB,垂足为M,设CM为x千米,在Rt△MCB中,∠MCB=∠MBC=45°,则MB=CM=x千米.在Rt△AMC中,∠CAM=30°,∠ACM=60°tan∠ACM=AM CM∴AM=CM·tan60°=3x千米∵AM+BM=2千米∴3x+x=2∴x=3-1≈1.732-2=0.732∴CM长约为0.732千米,大于0.7千米∴这条公路不会穿过公园.方法4:建模思想【例4】如图所示,一艘轮船以20里/时的速度由西向东航行,•途中接到台风警报,台风中心正以40里/时的速度由南向北移动,距离台风中心2010•里的圆形区域(包括边界)都属台风区,当轮船到A处时,测得台风中心移到位于点A•正南方向的B处,且AB=100里.(1)若这艘轮船自A处按原速度继续航行,在途中会不会遇到台风?若会,•试求轮船最初遇到台风的时间;若不,请说明理由.(2)现轮船自A处立即提高船速,向位于东偏北30°方向,相距60里的D港驶去,为使台风到来之前到达D港,问船速至少应提高多少?(取整数,13≈3.6)【分析】本题是航海问题,把航海问题抽象成纯数学问题,建立起“解直角三角形”的“数学模型”.【解】(1)设途中会遇到台风,且最初遇到台风的时间为t小时,此时,轮船位于C 处,台风中心移到E处,连结CE,则有AC=20t,AE=AB-EB=100-40t,EC=2010在Rt△ACE中,AE2+AC2=EC2∴(20t)2+(100-40t)2=(2010)2∴t2-4t+3=0△=(-4)2-4×1×3=4>0∴途中会遇到台风解方程①得t1=1,t2=3∴最初遇到台风的时间为1小时.(2)设台风抵达D港的时间为t小时,此时台风中心至M点,过D作DF⊥AB,垂足为F,连结DM.在Rt△ADF中,AD=60,∠FAD=60°∴DF=303,FA=30又FM=FA+AB-BM=130-40tMD=2010∴(303)2+(130-40t)2=(2010)2整理,得4t2-26t+39=0解之得t1=13134-,t2=13134+∴台风抵达D港的时间为13134-小时,到D港的速度为60÷13134-≈25.5(海里/时).因此为使台风抵达D 港之前轮船到D 港,轮船应提高6海里/时.方法5:说理性问题的解法【例5】如图,MN 表示某引水工程的一段设计路线,从M 到N 的走向为南偏东30°,在M 的南偏东60°方向上有一点A ,以A 为圆心,500m 为半径的圆形区域为居民区,•取MN 上另一点B ,测得BA 的方向为南偏东75°,已知MB=400m ,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区?【分析】说明输水路线是否穿过居民区,应过A 作MN 的垂线段AH ,计算出AH 的长,然后把AH 与500m 比较大小.【解】过A 作AH ⊥MN ,垂足为H ∵MK ∥BG∴∠GBH=∠KMH=30°又∵∠GBA=75°,∠HBA=45° ∴∠BAH=45° ∴AH=BH设AH 为xm ,则BH=xm ,在Rt △MHA 中,∠HMA=∠KMA-∠KMB=60°-30°=30°. ∵tan ∠HMA=AHMH∴MH=tan 30x =33x =3x∵MB=MH-BH∴3x-x=400 解得x=200(3+1)∴AH ≈546.4m>500m答:输水路线不会穿过居民区.【规律总结】此题是说理性问题,这类题要求学生对基本概念、基本定理、基本思路有清醒的认识,能根据实际问题进行相关的计算,并利用计算所得结果说明问题的原因、依据.方法6:探索性问题【例6】某学校为了改善教职工居住条件,•准备在教学楼(正楼)的正南方向建一座住宅楼(正楼),要求住宅楼与教学楼等高,均为15.6米,已知该地区冬至正午时分太阳高度最低,太阳光线与水平线的夹角为30°,如果住宅楼与教学楼间相距19.2米,如图1所示.(1)此时住宅楼的影子落在教学楼上有多高?(精确到0.1米)(2)要使住宅楼的影子刚好落在教学楼的墙角,则两楼间的距离应是多少?•(精确到0.1米) 【分析】(1)如图所示,设冬至正午太阳最低时,住宅楼顶A•点的影子落在教学楼上的C 处,那么CD 的长就是影子落在教学楼上的高度.(2)如图2所示,BC 的长就是两楼间的距离.(1) (2) 【解】(1)如图1所示,作CE ⊥AB 于E , 在Rt △ACE 中,∠ACE=30°,EC=19.2, ∴AE=EC ·tan30°=19.2319.2 1.7323⨯≈11.1 CD=EB=AB-AE≈15.6-11.1=4.5(米)∴住宅楼的影子落在教学楼上约有4.5米高 (2)如图2所示,在Rt △ABC 中,∠ACB=30° BC=tan 30AB ︒3315.6×1.732≈27.0(米)∴要使冬至正午的太阳能够照到教学楼的墙角,两楼间的距离至少应为27.0米.【规律总结】此题为探索性题,结论没有直接给出,需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等活动,逐步确定结论.方法7:开放性问题【例7】某处有一天线,高度超过10米,底部四周有铁丝网围墙,•使得不能直接到达天线底部,数学小组的同学们只有测倾器和测量长度用的量绳,请你为他们设计一个能测得天线高度的方案(包括测量方法,并推导计算公式).【分析】本题是一道开放性试题,是近年来有关解直角三角形的中考试题中,开放程度很高的题目,着重考查学生如何借助解直角三角形知识解决这类测量问题.解题中要注意测量工具所能测得的数据,以免审题失误.【解】如图所示,测倾器离地面b 米,在点B 处测得天线顶端仰角为α,从B•点向前走a 米,到达点C ,在点C 处测得天线顶端仰角为β,设AG 为x 米. 在Rt △AGC 中,CG=tan tan AG xββ= 在Rt △AGB 中,BG=tan tan AG xαα=∵BC=BG-CG ∴tan x α-tan x β=a∴x=11()tan tan aαβ-=tan tan tan tan a αββα-∴AM=AG+GM=tan tan tan tan a αββα-+b【规律总结】对于开放性问题,一般都有多种解题方法,首先应对解直角三角形知识有关的基本图形非常熟悉,然后才能给出设计方案,选择适合自己的解题方法,灵活巧妙地解答问题.方法8:综合性问题【例8】如图所示,已知A 为∠POQ 的边OQ 上一点,以A•为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP 于M 、N 两点,且∠MAN=∠POQ=α(α为锐角),当∠MAN 以点A 为旋转中心,AM 边从与AO 重合的位置开始,按逆时针方向旋转(∠MAN 保持不变)时,M 、N 两点在射线OP 上同时以不同的速度向右平移,设OM=x ,ON=y (y>x ≥0),△AOM•的面积为S ,且cos α,OA 是方程2z 2-5z+2=0的两个根.(1)当∠MAN 旋转30°(即∠OAM=30°)时,求点N 移动的距离; (2)求证:AN 2=ON ·MN ; (3)试求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围.(4)试写出S 随x 变化的函数关系式,并确定S 的取值范围.【分析】本题把解直角三角形与一元二次方程、相似三角形、平移、旋转、函数等知识糅合在一起,形成一道综合性很强的考题.本题从解一元二次方程入手,逐步挖掘隐含条件,构造直角三角形,将其转化为解直角三角形问题.【解】(1)解方程2z2-5z+2=0,得z1=12,z2=2∵α为锐角∴O<cosα<1∴OA=2,cosα=1 2∴α=60°,即∠POQ=∠MAN=60°∴ON=OA=2,如图14-20所示.当AM旋转到AM′时,点N移动到N′∴∠M′N′A=30°,∠OAN′=90°,在Rt△OAN′中,ON′=2AO=2×2=4,∴MN′=ON′-ON=4-2=2∴点N移动距离为2(2)如图1所示,在△OAN和△AMN中,∠AON=∠MAN,∠ANO=∠MNA,∴△AON•∽△MAN,∴ANMN=ONAN,∴AN2=ON·MN(1) (2) (3)如图2所示,过A作AH⊥OP于点H.∵MN=ON-OM=x-y,∴AN2=ON·MN=y(y-x)=y2-xy在Rt△AOH中,OH=OA·cos60°=2×12=1∴AH=OA·sin60°3∴HN=ON-OH=y-1在△ANH中,AN2=AH2+HN2=32+(y-1)2=y2-2y+4,∴y2-xy=y2-2y+4,整理得y=42x.∵y>O ∴2-x>O ∴x<2 又∵x ≥O∴x 的取值范围是O ≤x<2(4)如图2所示,在△AOM 中,OM 边上的高AH 为,∴S=12OM ·AH=12·x 2x∵S 是x ∴S 随x 的增大而增大∴O ≤ 【规律总结】本题通过作OM 边上的高AH ,从而将其转化为解直角三角形问题,在解有关综合性问题时,要注意挖掘隐含条件,合理运用相应知识,构造直角三角形,利用直角三角形的边角关系沟通各知识点间的联系.中考试题归类解析(一)锐角三角函数 【例1】(2003,大连)在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则B 的值为( ) A .45 B .35 C .43 D .34【思路分析】由勾股定理可知AB=5,根据锐角三角函数的定义可知cosB=35BC AB 解:答案B 【例2】(2003,南京)在△ABC 中,∠C=90°,tanA=1,那么cotB 等于( )A C .1 D .3【思路分析】由互为余角的三角函数关系可知:cotB=tanA=1 解:答案C【规律总结】本题也可由tanA=1得到∠A=45•°,•所以∠B=•45•°,• 故cotB=cot45°=1【例3】(2003,黄冈)已知∠A 为锐角,且cosA ≤12,那么( ) A .0°∠A ≤60° B .60°≤A ∠90° C .0°∠A ≤30° D .30°≤A ∠90°【思路分析】锐角三角函数的余弦值随角度的增大而减小,因为∠A 为锐角,所以O<cosA ≤12,即cos90°<cosA ≤cos60°,所以60°≤A<90° 解:答案B【例4】(2004,山西)计算:sin 248°+sin 242°-tan44•°·•tan45•°·•tan46•°=_______.【思路分析】利用互为余函数的关系化为同角函数,再利用同角三角函数公式就可求出值.【解】sin 248°+sin 242°-tan44°·tna45°tan46°=sin 248°+cos 248°-tan44°·cot44°tan45° =1-1×1 =0 故应填:0【规律总结】解决这样的问题一是要善于互化函数,往公式上靠,二是特殊角的三角函数值要记住.【例5】(2004,宁波)计算:(π-3)°-(12)-2+(-1)3-sin 245° 【思路分析】按运算法则和运算顺序直接计算即可. 【解】(π-3)°-(12)-2+(-1)3-sin 245° =1-211()2+(-1)3-(2)2 =1-4-1-12=-412【规律总结】在中考题中象这样代数值的运算和三角函数值的运算结合在一起的比较多.(二)解直角三角形【例1】已知如图所示,在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c .【求证】S △ABC =12absinc=12bcsinA=12casinB . 【思路分析】要求面积关键是作高,构造出直角三角形利用锐角三角函数的定义加以理解.【证明】过A 点作AD ⊥BC 垂足为D 在Rt △ABD 中,sinB=ADAB∴AD=AB ·sinB=c ·sinB∴S=12AD ·BC=12ac ·sinB 同理可证,S=12absinc=12bcsinA【例2】如图,若CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AD=3,CD=4,则BC=_____.【思路分析】先利用勾股定理求出AC 长再利用相似比就可求出BC 【解】∵AC 2=AD 2+DC 2 而AD=3 CD=4 ∴AC=3234+=5 Rt △CDA ∽Rt △BDCAD CD =ACBCBC=542033AC CD AD ⨯⨯==故应填:203【规律总结】:本题也可以利用射影定理去解.【例3】一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ,周围4.8海里范围内是水产养殖场,渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处,在B 处测得小岛C•在北偏东60°方向,这时渔船改变航线向正东(即BD )方向航行,这艘船是否有进入养殖场的危险. 【思路分析】是否有进入养殖场的危险就是看C 点到BD 的距离是多少,•如果大于4.8海里就没有进入养殖场的危险,否则就有危险.【解】过C 点作BD 的垂线与BD 交于E 点 ∠BAC=60°-45°=15° ∠BCA=45°-30°=15° 在Rt △CBE 中, sin ∠CBE=CEBCCE=BC·sin∠CBE=10×1 2=5(海里)∵4.8<5∴没有进入养殖场的危险.【规律总结】这种类型题关键是要构建直角三角形计算距离,再根据距离大小来判断是否有危险.中考试题集萃(一)填空题1.(2004,宁波)sin45°=________.2.(2004,衡阳)∠A为锐角,若cosA=13,则sin(90°-A)=_______.3.(2004,芜湖)在直角三角形ABC中,∠C=90°,已知sinA=35,则cosB=________.4.(2004,常州)若∠α′的余角是30°,则∠α′=_______°,sin∠α′=________. 5.(2004,江西)在△ABC中,若AC=2,BC=7,AB=3,则cosA=________.6.(2004,沈阳)在Rt△ABC中∠C=90°,tanA=23,AC=4,则BC=_______.7.(2004,上海)在△ABC中,∠A=90°,设∠B=θ,AC=b,则AB=______.(用b和θ的三角比表示)8.(2004,深圳)计算:3tan30°+cot45°-2tan45°+2cos60°=________.9.(2004,西宁)某人沿倾斜角为β的斜坡走了100m,则他上升的高度是______m. 10.(2004,潍坊)某落地钟钟摆的摆长为0.5m,来回摆动的最大夹角为20°,已知在钟摆的摆运过程中,摆锤离地面的最低高度为am,最大高度为bm,则b-a=_______m(不取近似值).(二)选择题1.小强和小明去测量一座古塔的高度(如图)他们在离古塔60m•的A处,用测角仪器测得塔顶的仰角为30°,已知测角仪器高AD=1.5m,则古塔BE的高为(• )A.(203-1.5)m B.(203+1.5)mC.31.5m D.28.5m2.在Rt△ABC中,如果各边长度都扩大为原来的2倍,则锐角A的正切值()A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化3.用科学计算器计算锐角α的三角函数值时,•不能直接计算出来的三角函数值是( )A .cot αB .tan αC .cos αD .sin α 4.计算sin30°·cot45°的结果是( )A .12B .2C .6D .45.=( )A .1-3 B -1 C .3-1 D . 6.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=12,cosA=1213,则tanA 等于( ) A .513 B .1312 C .125 D .5127.已知α为锐角,tan αcos α等于( )A .12B .2C 8.在△ABC 中,∠C=90°,sinA=,则cosB 的值为( )A .12B .2C .2D .39.在△ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=3,CA=4,那么sinA 等于( ) A .34 B .43 C .35 D .45(三)解答题1.(2004,芜湖)在△ABC 中,∠A 、∠B 都是锐角,且sinA=12,,AB=10,•求△ABC 的面积.2.(2004,大连)如图,某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形,D是AB的中点,•中柱CD=1m,∠A=72°,求跨度AB的长(精确到0.01m).3.(2004,南京)如图,天空中有一个静止的广告气球C,从地面A点测得C点的仰角为45°,从地面B点测得C点的仰角为60°,已知AB=20m,点C和直线AB在同一铅垂平面上,求气球离地面的高度.(结果保留根号).4.(2004,贵阳)某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼(如图),该居民楼的一楼是高6m的小区超市,超市以上是居民住房,在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼,当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时,问:(1)超市以上的居民住房采光是否有影响?为什么?(2)若要使超市采光不受影响,两楼应相距多少米?(•结果保留整数,•参考数据:sin32°≈53100,cos32°≈106125,tan32°≈58)5.(2004,济南)如图表示一山坡路的横截面,•CM•是一段平路,•它高出水平地面24m,从A到B,从B到C是两段不同坡角的山坡路,山坡路AB的路面长100m,•把山坡路BC的坡角降到与AB的坡角相同,使得∠DBI=5°.(精确到0.01m)(1)求山坡路AB的高度BE.(2)降低坡度后,整个山坡的路面加长了多少米?(sin5°=0.0872,cos5°=0.9962,sin12°=0.2079,cos12°=0.9781)答案:一、填空题1.222.133.354.60°,325.236.837.b·cos或tanb83.100sinβ 10.12(1-cos10°)•二、选择题1.B 2.D 3.A 4.A 5.A 6.D 7.A 8.C 9.C 三、解答题1253 32.3.93m3.解:作CD⊥AB,垂足为D,设气球离地面的高度是xm在Rt△CBD中,∠CAD=45°∴AD=CD=x在Rt△CBD中,∠CBD=60°∴cot60°=BD CD∴BD=3 3∵AB=AD-BD,∴20=x-33x∴x=30+103.答:气球离地面的高度是(30+103)m.4.(1)如图设CE=x米,则AF=(20-x)米,tan32°=AFEF,即20-x=15·tan32°x=11∵11>6,∴居民住房的采光有影响.(2)如图:tan32°=ABBF,BF=20×85=32两楼应相距32米.5.(1)在Rt△ABE中BE=ABsin∠BAE=100sin5°=100×0.0872=8.72(米).(2)在Rt△CBH中CH=CF-HF=15.28BC=sin CH CBH ∠=15.28sin12︒≈73.497在Rt△DBI中DB=sin DIDBI∠=15.28sin5︒≈175.229∴DB-BC≈175.229-73.497=101.732≈101.73(米).。

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)及答案

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)及答案

在 Rt△ ABE 中,AE= AB2 BE 2 =6 ,
∴ coaA= AE 6 4 . AB 7.5 5
(2)如图 2 中,作 PH⊥AC 于 H.
∵ PA=5t,PH=3t,AH=4t,HQ=AC-AH-CQ=9-9t, ∴ PQ2=PH2+HQ2=9t2+(9-9t)2,
∵ S△ PQM= 9 S△ QCN, 5
∵ ∠ QOC+∠ QOG=90°,
∴ ∠ EOC=∠ QOG,
∴ tan∠ EOC=tan∠ QOG,
∴ EC GQ , OC OG
8 5t 3t

4 5 , 3 44t
5
整理得:5t2-66t+160=0,
解得 t 16 或 10(舍弃) 5
∴ 当 t 16 秒时,OE⊥OQ. 5
【点睛】
【答案】(1) t=4s ;(2) S四边形PEGO
3t2 8
15 t 8
6
, (0
t
5) ;(3) t
5 2
时,
S四边形PEGO
取得最大值;(4)
t
16 5
时,
OE
OQ
.
【解析】
【分析】
(1)当点 E 在∠ BAC 的平分线上时,因为 EP⊥AB,EC⊥AC,可得 PE=EC,由此构建方程
即可解决问题.
可解决问题.
【详解】
(1)在 Rt△ ABC 中,∵ ∠ ACB=90°,AB=10cm,BC=8cm,
∴ AC= 102 82 =6(cm),
∵ OD 垂直平分线段 AC, ∴ OC=OA=3(cm),∠ DOC=90°, ∵ CD∥ AB,
∴ ∠ BAC=∠ DCO,

直角三角形的边角关系测试题(含A组答案)

直角三角形的边角关系测试题(含A组答案)

直角三角形的边角关系测试题一、选择题(每小题2分,共计24分):1.在△ABC 中,∠C =90°,下列式子一定能成立的是( ) A .sin a c B = B .cos a b B = C .tan c a B = D .tan a b A =2. 已知△ABC 中,∠A 、∠B 都是锐角,且(cosA-12 )2+|tanB-3 |=0,你认为最确切的判断是( )A.△ABC 是等腰三角形B.△ABC 是等腰直角三角形C.△ABC 是直角三角形D.△ABC 是等边三角形 3.已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,若tanA=12,则sinB 等于( ) A 、15 B 、15 5 C 、25 5 D 、24. 当锐角A 的cosA >22时,∠A 的值为( )。

A. 小于45° B. 小于30° C. 大于45° D. 大于30°5.如图,已知正方形ABCD 的边长为2,如果将线段BD 绕着点B 旋转后,点D 落在CB 的延长线上的D′处,那么tan ∠BAD′等于( ) A. 22 B.22C. 2D. 16.如图所示,在△ABC 中,AB =AC =5,BC =8,则tan C =( )A .53B .54C .34D .437.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB ,D 为垂足.若AC =4,BC =3,则sin ∠ACD的值为( )A .34 B .43 C .54 D .538.如图,从山顶A 望到地面C ,D 两点,测得它们的俯角分别是45°和30°,已知CD =100m ,点C 在BD 上,则山高AB 等于 ( )A .100 mB .350mC .250mD .50(13+)m9.如图,沿AC 方向开山修路,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工.从AC 上的一点B ,取∠ABD =145°,BD =500米,∠D =55°,要使A ,C ,E 成一直线,那么开挖点E 离点D 的距离是( )5题 6题7题 8题A .500sin55°米B .500cos55°米C .500tan55°米D .500tan35°米10.如图,两条宽度均为40 m 的公路相交成α角,那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是( )。

北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 测试题 (含答案)

北师大版九年级数学下册 第一章  直角三角形的边角关系  测试题 (含答案)

直角三角形的边角关系 测试题一、选择题1.如图,在Rt △ABC 中,∠B =90°,cos A =1213,则tan A 的值为( )A.125B.1312C.1213D.512第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB ,垂足为D .若AC =5,BC =2,则sin ∠ACD 的值为( )A.53 B.255 C.52 D.233.如图,在△ABC 中,点E 在AC 上,点G 在BC 上,连接EG ,AE =EG =5,过点E 作ED ⊥AB ,垂足为D ,过点G 作GF ⊥AC ,垂足为F ,此时恰有DE =GF =4.若BG =25,则sin B 的值为( )A.2510B.510C.255D.55 4.如图,直线y =-33x +2与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点,把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ,则点O ′的坐标是( )A .(3,3)B .(3,3)C .(2,23)D .(23,4) 5.tan45°的值为( ) A.12 B .1 C.22D.2 6.如图所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D .1第6题图 第7题图7.如图,在Rt △ABC 中,斜边AB 的长为m ,∠A =35°,则直角边BC 的长是( ) A .m sin35° B .m cos35° C.m sin35° D.mcos35°8.在△ABC 中,若⎪⎪⎪⎪sin A -12+⎝⎛⎭⎫33-tan B 2=0,则∠C 的度数为( )A .30°B .60°C .90°D .120° 二、填空题9.运用科学计算器计算:317sin73°52′≈________(结果精确到0.1). 10.计算:cos30°-sin60°=________.11.如图,铁路的路基的横断面为等腰梯形,其腰的坡度为1∶1.5,上底宽为6m ,路基高为4m ,则路基的下底宽为________m.12.如图,△ABC 中,∠ACB =90°,tan A =43,AB =15,AC =________.第11题图 第12题图 第13题图 第14 题图13.如图,Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CM 为AB 边上的中线,AN ⊥CM ,交BC 于点N .若CM =3,AN =4,则tan ∠CAN 的值为________.14.如图,一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向,距离灯塔18海里的A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处,此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里(结果取整数,参考数据:sin55°≈0.8,cos55°≈0.6,tan55°≈1.4).三、解答题15.如图,CD 是一高为4米的平台,AB 是与CD 底部相平的一棵树,在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α=30°,从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ,在点E 处测得树顶A 点的仰角β=60°,求树高AB (结果保留根号).16.某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC 的坡度为1∶1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α;(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除?请说明理由.17.在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即asin A=bsin B=csin C,利用上述结论可以求解如下题目,如:在△ABC中,若∠A=45°,∠B=30°,a=6,求b的值.解:在△ABC中,∵asin A=bsin B,∴b=a sin Bsin A=6sin30°sin45°=6×1222=3 2.解决问题:如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处,乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行,当甲船航行20分钟后到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处,此时两船相距102海里.(1)判断△A1A2B2的形状,并给出证明;(2)乙船每小时航行多少海里?参考答案与解析1.D2.A3.C 解析:在Rt △ADE 与Rt △EFG 中,⎩⎪⎨⎪⎧AE =EG ,DE =GF , ∴Rt △ADE ≌Rt △EFG (HL),∴∠A =∠GEF .∵∠A +∠AED =90°,∴∠GEF +∠AED=90°,∴∠DEG =90°.过点G 作GH ⊥AB 于点H ,则四边形DEGH 为矩形,∴GH =DE =4.在Rt △BGH 中,sin B =GH BG =425=255.故选C.4.A 解析:过点O ′作O ′C ⊥x 轴于点C .∵直线y =-33x +2与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点,∴点A ,B 的坐标分别为(23,0),(0,2),∴tan ∠BAO =OB OA =223=33,∴∠BAO=30°.∵把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ,∴O ′A =OA =23,∠O ′AO =60°,∴CA =12O ′A =3,O ′C =O ′A ·sin ∠O ′AC =23×32=3,∴OC =OA -CA =23-3=3,∴点O ′的坐标为(3,3).故选A. 5.B 6.B 7.A 8.D 9.11.9 10.0 11.18 12.913.23 解析:∵∠ACB =90°,CM 为AB 边上的中线,∴AB =2CM =6,CM =BM ,∴∠B =∠MCB .∵AN ⊥CM ,∴∠CAN +∠ACM =90°.又∵∠ACM +∠MCB =90°,∴∠CAN =∠MCB ,∴∠B =∠CAN .又∵∠ACN =∠BCA ,∴△CAN ∽△CBA ,∴CN CA =AN BA =46=23,∴tan ∠CAN =CN AC =23.14.11 解析:过点P 作PC ⊥AB 于点C .依题意可得∠A =30°,∠B =55°.在Rt △P AC 中,∵P A =18海里,∠A =30°,∴PC =12P A =12×18=9(海里).在Rt △PBC 中,∵PC =9海里,∠B =55°,∴PB =PC sin B ≈90.8≈11(海里).15.解:过点C 作CF ⊥AB 于点F ,则BF =CD =4米,CF =BD .设AF =x 米.在Rt △ACF 中,tan ∠ACF =AF CF ,∠ACF =α=30°,则CF =AF tan30°=3x 米.在Rt △ABE 中,AB =AF +BF =(x +4)米,tan ∠AEB =AB BE ,∠AEB =β=60°,则BE =AB tan60°=33(x +4)米.∵CF =BD =DE +BE ,∴3x =3+33(x +4),解得x =33+42.则AB =33+42+4=33+122(米). 答:树高AB 是33+122米.16.解:(1)∵新坡面的坡度为1∶3,∴tan α=13=33,∴α=30°; (2)文化墙PM 不需要拆除.理由如下:过点C 作CD ⊥AB 于点D ,则CD =6米.∵坡面BC 的坡度为1∶1,新坡面AC 的坡度为1∶3,∴BD =CD =6米,AD =3CD =63米,∴AB =AD -BD =(63-6)米<8米,∴文化墙PM 不需要拆除.17.解:(1)△A 1A 2B 2是等边三角形.证明如下:由题意可得A 2B 2=102海里,A 1A 2=302×2060=102(海里),∴A 1A 2=A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2=180°-120°=60°,∴△A 1A 2B 2是等边三角形;(2)由(1)可知△A 1A 2B 2是等边三角形,∴A 1B 2=A 1A 2=102海里,∠A 2A 1B 2=60°,∴∠B 1A 1B 2=105°-60°=45°.由题意可知∠CB 1A 1=180°-105°=75°,∴∠B 2B 1A 1=75°-15°=60°.在△A 1B 2B 1中,由正弦定理得B 1B 2sin45°=A 1B 2sin60°,∴B 1B 2=A 1B 2sin60° ·sin45°=10232×22=2033(海里).乙船的速度为2033÷2060=203(海里/时). 答:乙船每小时航行203海里.。

第一章《直角三角形的边角关系》单元测试题(含答案)

第一章《直角三角形的边角关系》单元测试题(含答案)

第一章 直角三角形的边角关系一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,共24分;在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题意)1.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =2BC ,那么sin A 的值为( )A.12B.22C.32 D .1 2.在△ABC 中,∠C ,∠B 为锐角,且满足⎪⎪⎪⎪sin C -22+(32-cos B )2=0,则∠A 的度数为( )A .100°B .105°C .90°D .60°3.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =20,cos A =14,则AC 等于( )A .45B .5 C.15 D.1454.在Rt △ABC 中,如果边长都扩大为原来的5倍,那么锐角A 的正弦值、余弦值和正切值( )A .都没有变化B .都扩大为原来的5倍C .都缩小为原来的15D .不能确定5.如图1-Z -1,过点C (-2,5)的直线AB 与坐标轴分别交于A (0,2),B 两点,则tan ∠OAB 的值为( )图1-Z -1A.25B.23C.52D.326.如图1-Z -2①为折叠椅,图②是折叠椅撑开后的侧面示意图,其中椅腿AB 和CD 的长度相等,O 是它们的中点.为使折叠椅既舒适又牢固,厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32 cm ,∠DOB =100°,那么椅腿AB 的长应设计为(结果精确到0.1 cm ,参考数据:sin50°=cos40°≈0.77,sin40°=cos50°≈0.64,tan40°≈0.84,tan50°≈1.19)( )图1-Z -2A .38.1 cmB .49.8 cmC .41.6 cmD .45.3 cm 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分) 7.在△ABC 中,∠C =90°,sin A =14,则tan B =________.8.如图1-Z -3,将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中,则tan ∠AOB =________.图1-Z -39.如图1-Z -4,在菱形ABCD 中,DE ⊥AB ,垂足是E ,DE =6,sin A =35,则菱形ABCD 的周长是________.图1-Z -410.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度,如图1-Z -5,在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°,在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部的仰角为30°,旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米,则旗杆AB 的高度为________米.图1-Z -511.已知△ABC 中,tan B =23,BC =6,过点A 作BC 边上的高,垂足为D ,且满足BD ∶CD =2∶1,则△ABC 的面积为________.三、解答题(本大题共5小题,共56分) 12.(8分)计算:24sin45°+cos 230°-12tan60°+2sin60°.13.(10分)如图1-Z -6,在△ABC 中,CD ⊥AB 于点D ,AB =22,CD =8,tan A =43.求:(1)BD 的长; (2)sin B 的值.图1-Z -614.(12分)某大坝修建有以下方案:大坝的横断面为等腰梯形,如图1-Z -7,AD ∥BC ,坝高10米,迎水坡面AB 的坡度i =53,老师看后,从力学的角度对此方案提出了建议,小明决定在原方案的基础上,将迎水坡面AB 的坡度进行修改,修改后的迎水坡面AE 的坡度i =56.(1)求原方案中此大坝迎水坡AB 的长(结果保留根号);(2)如果方案修改前后,修建大坝所需土石方总体积不变,在方案修改后,若坝顶沿EC 方向拓宽2.7米,求坝底将会沿AD 方向加宽多少米.图1-Z -715.(12分)“和谐号”高铁列车的小桌板收起时可近似看作与地面垂直,展开小桌板使桌面保持水平,其示意图如图1-Z -8所示.连接OA ,此时OA =75 cm ,CB ⊥AO ,∠AOB =∠ACB =37°,且桌面宽OB 与BC 的长度之和等于OA 的长度.求支架BC 的长度(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75).图1-Z -816.(14分)我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can).如图1-Z -9①,在△ABC 中,AB =AC ,底角∠B 的邻对记作can B ,这时can B =底边腰=BCAB .容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的,根据上述角的邻对的定义,解下列问题:(1)can30°=________;(2)如图②,已知在△ABC 中,AB =AC ,can B =85,S △ABC =24,求△ABC 的周长.图1-Z -9详解详析1.[解析] A ∵∠C =90°,AB =2BC ,∴sin A =BC AB =12.故选A.2.[解析] B ∵⎪⎪⎪⎪sin C -22+(32-cos B )2=0,∴sin C -22=0,32-cos B =0,则sin C =22,cos B =32,故∠C =45°,∠B =30°,∴∠A =180°-45°-30°=105°.故选B. 3.[答案] B4.[解析] A 三角函数值的大小只与角的大小有关,当角度一定时,其三角函数值不变. 5.[解析] B 方法1:设直线AB 的表达式是y =kx +b .根据题意,得⎩⎨⎧-2k +b =5,b =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-32,b =2,则直线AB 的表达式是y =-32x +2.在y =-32x +2中令y =0,解得x =43.则点B 的坐标是(43,0),即OB =43.则tan ∠OAB =OB OA =432=23.故选B.方法2:过点C 作CD ⊥y 轴于点D ,∵C (-2,5), ∴CD =2,OD =5.∵A (0,2),∴OA =2, ∴AD =OD -OA =3.在Rt △ACD 中,tan ∠OAB =tan ∠CAD =CD AD =23.故选B.6.[解析] C 连接BD ,由题意得OA =OB =OC =OD .∵∠DOB =100°,∴∠DAO =∠ADO =50°,∠OBD =∠ODB =40°,∴∠ADB =90°.又∵BD =32 cm ,∴AB =BD sin ∠DAO ≈320.77≈41.6(cm).故选C. 7.[答案] 158.[答案] 12[解析] 过点A 作AD ⊥OB ,垂足为D ,如图,在Rt △AOD 中,AD =1,OD =2,则tan ∠AOB =AD OD =12. 9.[答案] 40[解析] ∵DE ⊥AB ,垂足是E ,∴△AED 为直角三角形,则sin A =DE AD ,即35=6AD ,∴AD =10,∴菱形ABCD 的周长为10×4=40.10.[答案] 9[解析] 过点D 作DE ⊥AB ,垂足为E ,由题意可知,四边形ACDE 为矩形,则AE =CD =6米,AC =DE .设BE =x 米.在Rt △BDE 中,∵∠BED =90°,∠BDE =30°,∴DE =3BE =3x 米,∴AC =DE =3x 米. 在Rt △ABC 中, ∵∠BAC =90°,∠ACB =60°, ∴AB =3AC =3×3x =3x (米). ∵AB -BE =AE ,∴3x -x =6, ∴x =3,∴AB =3×3=9(米), 即旗杆AB 的高度为9米. 11.[答案] 8或24[解析] △ABC 有两种情况:(1)如图①所示,∵BC =6,BD ∶CD =2∶1,∴BD =4.∵AD ⊥BC ,tan B =23,∴AD BD =23,∴AD=23BD =83,∴S △ABC =12BC ·AD =12×6×83=8;(2)如图②所示,∵BC =6,BD ∶CD =2∶1,∴BD =12.∵AD ⊥BC ,tan B =23,∴AD BD =23,∴AD =23BD =8,∴S △ABC =12BC ·AD =12×6×8=24.综上所述,△ABC 的面积为8或24.12.解:原式=24×22+(32)2-12×3+2×32 =14+34-36+ 3 =1+5 36.13.[解析] (1)根据在△ABC 中,CD ⊥AB 于点D ,AB =22,CD =8,tan A =43,可以求得AD 的长,从而可以求得BD 的长;(2)由(1)中BD 的长和题目中CD 的长可以求得BC 的长,从而可以求得sin B 的值.解:(1)∵在△ABC 中,CD ⊥AB 于点D ,CD =8,tan A =43,∴tan A =CD AD =43,解得AD =6,∴BD =AB -AD =22-6=16.(2)由(1)知BD =16,∵CD ⊥AB ,CD =8, ∴BC =CD 2+BD 2=82+162=8 5,∴sin B =CD BC =88 5=55.14.[解析] (1)过点B 作BF ⊥AD 于点F ,在直角三角形ABF 中求得AF ,AB 的长; (2)过点E 作EG ⊥AD 于点G ,延长EC 至点M ,延长AD 至点N ,连接MN . 由S △ABE =S 梯形CMND 从而求得DN 的长.解:(1)如图,过点B 作BF ⊥AD 于点F . 在Rt △ABF 中,∵i =BF AF =53,且BF =10米,∴AF =6米,∴AB =102+62=2 34(米).答:原方案中此大坝迎水坡AB 的长为2 34米. (2)如图,过点E 作EG ⊥AD 于点G . 在Rt △AEG 中,∵i =EG AG =56,且EG =BF =10米,易得AG =12米,BE =GF =AG -AF =6米. 延长EC 至点M ,延长AD 至点N ,连接MN .∵方案修改前后,修建大坝所需土石方总体积不变, ∴S △ABE =S 梯形CMND , ∴12·BE ·EG =12(MC +ND )·EG , 即BE =MC +ND ,∴ND =BE -MC =6-2.7=3.3(米). 答:坝底将会沿AD 方向加宽3.3米.15.解:延长CB 交AO 于点D ,∴CD ⊥OA . 设BC =x cm ,则OB =(75-x )cm. 在Rt △OBD 中,∵∠DOB =37°, ∴OD =OB ·cos ∠DOB ≈0.8(75-x )=(60-0.8x )cm ,BD =OB ·sin ∠DOB ≈0.6(75-x )=(45-0.6x )cm ,∴DC =BD +BC ≈(0.4+45x )cm.在Rt △ACD 中,∵∠ACD =37°,∴AD =DC ·tan ∠ACD ≈0.75(0.4x +45)=(0.3x +33.75)cm. ∵OA =AD +OD =75 cm ,∴0.3x +33.75+60-0.8x =75, 解得x ≈37.5, ∴BC ≈37.5 cm ,故支架BC 的长度约为37.5 cm. 16.解:(1) 3(2)过点A 作AE ⊥BC 于点E ,∵can B =85,可设BC =8x ,AB =5x ,则BE =12BC =4x ,∴AE =AB 2-BE 2=3x .∵S △ABC =24, ∴12BC ·AE =12x 2=24, 解得x =2(负值已舍去),故AB =AC =5 2,BC =8 2, ∴△ABC 的周长为AB +AC +BC =5 2+5 2+8 2=18 2.。

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)及答案解析

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)及答案解析

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优易错难题)及答案解析一、直角三角形的边角关系1.如图,山坡上有一棵树AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为63米,山坡的坡角为30°.小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高,点C到测角仪EF的水平距离CF=1米,从E处测得树顶部A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树AB的高度.(参考数值:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)【答案】6.4米【解析】解:∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米,山坡的坡角为30°.∴DC=BC•cos30°=3==米,639∵CF=1米,∴DC=9+1=10米,∴GE=10米,∵∠AEG=45°,∴AG=EG=10米,在直角三角形BGF中,BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米,∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米,答:树高约为6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的长,然后求得DF的长,进而求得GF的长,然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长,从而求得树高2.(6分)某海域有A,B两个港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港口60海里,有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向的C处,求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号).【答案】.【解析】试题分析:作AD⊥BC于D,于是有∠ABD=45°,得到AD=BD=,求出∠C=60°,根据正切的定义求出CD的长,得到答案.试题解析:作AD⊥BC于D,∵∠EAB=30°,AE∥BF,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°,∴∠ABD=45°,又AB=60,∴AD=BD=,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°,∴∠C=60°,在Rt△ACD中,∠C=60°,AD=,则tanC=,∴CD==,∴BC=.故该船与B港口之间的距离CB的长为海里.考点:解直角三角形的应用-方向角问题.3.如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度(3=1.7).【答案】32.4米.【解析】试题分析:首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解.试题解析:如图,过点B作BE⊥CD于点E,根据题意,∠DBE=45°,∠CBE=30°.∵AB⊥AC,CD⊥AC,∴四边形ABEC为矩形,∴CE=AB=12m,在Rt△CBE中,cot∠CBE=BE CE,∴BE=CE•cot30°=12×3=123,在Rt△BDE中,由∠DBE=45°,得DE=BE=123.∴CD=CE+DE=12(3+1)≈32.4.答:楼房CD的高度约为32.4m.考点:解直角三角形的应用——仰角俯角问题.4.已知Rt△ABC中,AB是⊙O的弦,斜边AC交⊙O于点D,且AD=DC,延长CB交⊙O 于点E.(1)图1的A、B、C、D、E五个点中,是否存在某两点间的距离等于线段CE的长?请说明理由;(2)如图2,过点E作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.①若CF=CD时,求sin∠CAB的值;②若CF=aCD(a>0)时,试猜想sin∠CAB的值.(用含a的代数式表示,直接写出结果)【答案】(1)AE=CE;(2)①;②.【解析】试题分析:(1)连接AE、DE,如图1,根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°,由于AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE;(2)连接AE、ED,如图2,由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径,根据切线的性质可得∠AEF=90°,从而可证到△ADE∽△AEF,然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF.①当CF=CD时,可得,从而有EC=AE=CD,在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=,根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC,即可求出sin∠CAB的值;②当CF=aCD(a>0)时,同①即可解决问题.试题解析:(1)AE=CE.理由:连接AE、DE,如图1,∵∠ABC=90°,∴∠ABE=90,∴∠ADE=∠ABE=90°,∵AD=DC,∴AE=CE;(2)连接AE、ED,如图2,∵∠ABE=90°,∴AE是⊙O的直径,∵EF是⊙OO的切线,∴∠AEF=90°,∴∠ADE=∠AEF=90°,又∵∠DAE=∠EAF,∴△ADE∽△AEF,∴,∴=AD•AF.①当CF=CD时,AD=DC=CF,AF=3DC,∴=DC•3DC=,∴AE=DC,∵EC=AE,∴EC=DC,∴sin∠CAB=sin∠CED===;②当CF=aCD(a>0)时,sin∠CAB=.∵CF=aCD,AD=DC,∴AF=AD+DC+CF=(a+2)CD,∴=DC•(a+2)DC=(a+2),∴AE=DC,∵EC=AE,∴EC=DC,∴sin∠CAB=sin∠CED==.考点:1.圆的综合题;2.探究型;3.存在型.5.如图13,矩形的对角线,相交于点,关于的对称图形为.(1)求证:四边形是菱形;(2)连接,若,.①求的值;②若点为线段上一动点(不与点重合),连接,一动点从点出发,以的速度沿线段匀速运动到点,再以的速度沿线段匀速运动到点,到达点后停止运动.当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时,求的长和点走完全程所需的时间.【答案】(1)详见解析;(2)①②和走完全程所需时间为【解析】试题分析:(1)利用四边相等的四边形是菱形;(2)①构造直角三角形求;②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置,再计算运到的时间.试题解析:解:(1)证明:四边形是矩形.与交于点O,且关于对称四边形是菱形.(2)①连接,直线分别交于点,交于点关于的对称图形为在矩形中,为的中点,且O为AC的中点为的中位线同理可得:为的中点,②过点P作交于点由运动到所需的时间为3s由①可得,点O以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A 即:由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.如下图,当P运动到,即时,所用时间最短.在中,设解得:和走完全程所需时间为考点:菱形的判定方法;构造直角三角形求三角函数值;确定极值时动点的特殊位置6.如图,湿地景区岸边有三个观景台、、.已知米,米,点位于点的南偏西方向,点位于点的南偏东方向.(1)求的面积;(2)景区规划在线段的中点处修建一个湖心亭,并修建观景栈道.试求、间的距离.(结果精确到米)(参考数据:,,,,,,)【答案】(1)560000(2)565.6【解析】试题分析:(1)过点作交的延长线于点,,然后根据直角三角形的内角和求出∠CAE,再根据正弦的性质求出CE的长,从而得到△ABC的面积;(2)连接,过点作,垂足为点,则.然后根据中点的性质和余弦值求出BE、AE的长,再根据勾股定理求解即可.试题解析:(1)过点作交的延长线于点,在中,,所以米.所以(平方米).(2)连接,过点作,垂足为点,则.因为是中点,所以米,且为中点,米,所以米.所以米,由勾股定理得,米.答:、间的距离为米.考点:解直角三角形7.如图,某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB 的高度,由于教学楼底部不能直接到达,故兴趣小组在平地上选择一点C ,用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为30°,再向主教学楼的方向前进24米,到达点E 处(C ,E ,B 三点在同一直线上),又测得主教学楼顶端A 的仰角为60°,已知测角器CD 的高度为1.6米,请计算主教学楼AB 的高度.(3≈1.73,结果精确到0.1米)【答案】22.4m 【解析】 【分析】首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造等量关系,进而求解. 【详解】解:在Rt △AFG 中,tan ∠AFG 3, ∴FG =tan 3AG AFG =∠,在Rt △ACG 中,tan ∠ACG =AGCG, ∴CG =tan AGACG ∠=3.又∵CG ﹣FG =24m ,33=24m ,∴AG=123m,∴AB=123+1.6≈22.4m.8.如图,在△ABC中,∠A=90°,∠ABC=30°,AC=3,动点D从点A出发,在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动,连结CD,作点A关于直线CD的对称点E,设点D运动时间为t(s).(1)若△BDE是以BE为底的等腰三角形,求t的值;(2)若△BDE为直角三角形,求t的值;(3)当S△BCE≤92时,所有满足条件的t的取值范围(所有数据请保留准确值,参考数据:tan15°=23【答案】(1)332;(23秒或3秒;(3)6﹣3【解析】【分析】(1)如图1,先由勾股定理求得AB的长,根据点A、E关于直线CD的对称,得CD垂直平分AE,根据线段垂直平分线的性质得:AD=DE,所以AD=DE=BD,由3,可得t 的值;(2)分两种情况:①当∠DEB=90°时,如图2,连接AE,根据3t的值;②当∠EDB=90°时,如图3,根据△AGC≌△EGD,得AC=DE,由AC∥ED,得四边形CAED 是平行四边形,所以AD=CE=3,即t=3;(3)△BCE中,由对称得:AC=CE=3,所以点D在运动过程中,CE的长不变,所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化,①当△BCE在BC的下方时,②当△BCE在BC的上方时,分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论.【详解】解:(1)如图1,连接AE,由题意得:AD=t,∵∠CAB=90°,∠CBA=30°,∴BC=2AC=6,∴∵点A、E关于直线CD的对称,∴CD垂直平分AE,∴AD=DE,∵△BDE是以BE为底的等腰三角形,∴DE=BD,∴AD=BD,∴;(2)△BDE为直角三角形时,分两种情况:①当∠DEB=90°时,如图2,连接AE,∵CD垂直平分AE,∴AD=DE=t,∵∠B=30°,∴BD=2DE=2t,∴∴②当∠EDB=90°时,如图3,连接CE,∵CD垂直平分AE,∴CE=CA=3,∵∠CAD=∠EDB=90°,∴AC∥ED,∴∠CAG=∠GED,∵AG=EG,∠CGA=∠EGD,∴△AGC≌△EGD,∴AC=DE,∵AC∥ED,∴四边形CAED是平行四边形,∴AD=CE=3,即t=3;综上所述,△BDE为直角三角形时,t3秒;(3)△BCE中,由对称得:AC=CE=3,所以点D在运动过程中,CE的长不变,所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化,①当△BCE在BC的下方时,过B作BH⊥CE,交CE的延长线于H,如图4,当AC=BH=3时,此时S△BCE=12AE•BH=12×3×3=92,易得△ACG≌△HBG,∴CG=BG,∴∠ABC=∠BCG=30°,∴∠ACE=60°﹣30°=30°,∵AC=CE,AD=DE,DC=DC,∴△ACD≌△ECD,∴∠ACD=∠DCE=15°,tan∠ACD=tan15°=t3=2﹣3,∴t=6﹣33,由图形可知:0<t<6﹣33时,△BCE的BH越来越小,则面积越来越小,②当△BCE在BC的上方时,如图3,CE=ED=3,且CE⊥ED,此时S△BCE=12CE•DE=12×3×3=92,此时t=3,综上所述,当S△BCE≤92时,t的取值范围是6﹣33≤t≤3.【点睛】本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识,解题的关键是灵活运用所学知识,学会用分类讨论的思想思考问题,学会寻找特殊点解决问题,属于中考压轴题.9.已知:如图,AB为⊙O的直径,AC与⊙O相切于点A,连接BC交圆于点D,过点D作⊙O的切线交AC于E.(1)求证:AE=CE(2)如图,在弧BD上任取一点F连接AF,弦GF与AB交于H,与BC交于M,求证:∠FAB+∠FBM=∠EDC.(3)如图,在(2)的条件下,当GH=FH,HM=MF时,tan∠ABC=34,DE=394时,N为圆上一点,连接FN交AB于L,满足∠NFH+∠CAF=∠AHG,求LN的长.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)4013 NL【解析】【分析】(1)由直径所对的圆周角是直角,得∠ADC=90°,由切线长定理得EA=ED,再由等角的余角相等,得到∠C=∠EDC,进而得证结论.(2)由同角的余角相等,得到∠BAD=∠C,再通过等量代换,角的加减进而得证结论.(3)先由条件得到AB=26,设HM=FM=a,GH=HF=2a,BH=43a,再由相交弦定理得到GH•HF=BH•AH,从而求出FH,BH,AH,再由角的关系得到△HFL∽△HAF,从而求出HL,AL,BL,FL,再由相交弦定理得到LN•LF=AL•BL,进而求出LN的长.【详解】解:(1)证明:如图1中,连接AD.∵AB是直径,∴∠ADB=∠ADC=90°,∵EA、ED是⊙O的切线,∴EA=ED,∴∠EAD=∠EDA,∵∠C+∠EAD=90°,∠EDC+∠EDA=90°,∴∠C=∠EDC,∴ED=EC,∴AE=EC.(2)证明:如图2中,连接AD.∵AC是切线,AB是直径,∴∠BAC=∠ADB=90°,∴∠BAD+∠CAD=90°,∠CAD+∠C=90°,∴∠BAD=∠C,∵∠EDC=∠C,∴∠BAD=∠EDC,∵∠DBF=∠DAF,∴∠FBM+∠FAB=∠FBM+∠DAF=∠BAD,∴∠FAB+∠FBM=∠EDC.(3)解:如图3中,由(1)可知,DE=AE=EC,∵DE=394,∴AC=392,∵tan∠ABC=34=ACAB,∴39 32 4AB ,∴AB=26,∵GH=FH,HM=FN,设HM=FM=a,GH=HF=2a,BH=43a,∵GH•HF=BH•AH,∴4a2=43a(26﹣43a),∴a=6,∴FH=12,BH=8,AH=18,∵GH=HF,∴AB⊥GF,∴∠AHG=90°,∵∠NFH+∠CAF=∠AHG,∴∠NFH+∠CAF=90°,∵∠NFH+∠HLF=90°,∴∠HLF=∠CAF,∵AC∥FG,∴∠CAF=∠AFH,∴∠HLF=∠AFH,∵∠FHL=∠AHF,∴△HFL∽△HAF,∴FH2=HL•HA,∴122=HL•18,∴HL=8,∴AL=10,BL=16,FL=∵LN•LF=AL•BL,∴LN=10•16,∴LN=13.【点睛】本题考查了圆的综合问题,涉及到的知识有:切线的性质;切线长定理;圆周角定理;相交弦定理;相似三角形性质与判定等,熟练掌握圆的相关性质是解题关键.10.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,,AC=2,过点B作直线m∥AC,将△ABC绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C(点A,B的对应点分别为A',B′),射线CA′,CB′分別交直线m于点P,Q.(1)如图1,当P与A′重合时,求∠ACA′的度数;(2)如图2,设A′B′与BC的交点为M,当M为A′B′的中点时,求线段PQ的长;(3)在旋转过程中,当点P,Q分别在CA′,CB′的延长线上时,试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值.若存在,求出四边形PA′B′Q的最小面积;若不存在,请说明理由.【答案】(1)60°;(2)PQ =72;(3)存在,S 四边形PA 'B ′Q =33【解析】【分析】 (1)由旋转可得:AC =A 'C =2,进而得到BC 3=∠A 'BC =90°,可得cos ∠A 'CB 3'BC A C ==∠A 'CB =30°,∠ACA '=60°; (2)根据M 为A 'B '的中点,即可得出∠A =∠A 'CM ,进而得到PB 3=32=,依据tan ∠Q =tan ∠A 3=BQ =BC 3=2,进而得出PQ =PB +BQ 72=; (3)依据S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3-S 四边形PA 'B 'Q 最小,即S △PCQ 最小,而S △PCQ 12=PQ ×BC 3=,利用几何法即可得到S △PCQ 的最小值=3,即可得到结论.【详解】(1)由旋转可得:AC =A 'C =2.∵∠ACB =90°,AB 7=AC =2,∴BC 3=∵∠ACB =90°,m ∥AC ,∴∠A 'BC =90°,∴cos ∠A 'CB 3'BC A C ==∴∠A 'CB =30°,∴∠ACA '=60°;(2)∵M 为A 'B '的中点,∴∠A 'CM =∠MA 'C ,由旋转可得:∠MA 'C =∠A ,∴∠A =∠A 'CM ,∴tan ∠PCB =tan ∠A 3=∴PB 3=32=. ∵∠BQC =∠BCP =∠A ,∴tan ∠BQC =tan ∠A 3=∴BQ =BC 3=2,∴PQ =PB +BQ 72=; (3)∵S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3∴S 四边形PA 'B 'Q 最小,即S △PCQ 最小,∴S △PCQ 12=PQ ×BC 3=, 取PQ 的中点G . ∵∠PCQ =90°,∴CG 12=PQ ,即PQ =2CG ,当CG 最小时,PQ 最小,∴CG ⊥PQ ,即CG 与CB重合时,CG最小,∴CG min3=,PQ min=23,∴S△PCQ的最小值=3,S四边形-;PA'B'Q=33【点睛】本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用,解题时注意:旋转变换中,对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.11.关于三角函数有如下的公式:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ①cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan(α+β)=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值,如:tan105°=tan(45°+60°)==﹣(2+).根据上面的知识,你可以选择适当的公式解决下面的实际问题:如图,直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°,底端C点的俯角β=75°,此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m,求建筑物CD的高.【答案】建筑物CD的高为84米.【解析】分析:如图,过点D作DE⊥AB于点E,由题意易得∠ACB=75°,∠ABC=90°,DE=BC=42m,∠ADE=60°,这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中,结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长,即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.详解:如图,过点D作DE⊥AB于点E,由题意可得∠ACB=75°,∠ABC=90°,DE=BC=42m,CD=BE,∠ADE=60°,∴在Rt△ABC和Rt△ADEAB=BC•tan75°=42tan75°=,AE=,∴CD=AB﹣AE=(米).答:建筑物CD的高为84米.睛:读懂题意,把已知量和未知量转化到Rt△ABC和Rt△ADE中,这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.12.如图,⊙O为△ABC的外接圆,BC为⊙O的直径,AE为⊙O的切线,过点B作BD⊥AE于D.(1)求证:∠DBA=∠ABC;(2)如果BD=1,tan∠BAD=,求⊙O的半径.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】试题分析:(1)如图,连接OA,由AE为⊙O的切线,BD⊥AE得到∠DAO=∠EDB=90°,于是得到DB∥AO,推出∠DBA=∠BAO,由于OA=OB,得到∠ABC=∠BAO,即可得到结论;(2)根据三角函数的知识可求出AD,从而根据勾股定理求出AB的长,根据三角函数的知识即可得出⊙O的半径.试题解析:(1)如图,连接OA,∵AE为⊙O的切线,BD⊥AE,∴∠DAO=∠EDB=90°,∴DB∥AO,∴∠DBA=∠BAO,又∵OA=OB,∴∠ABC=∠BAO,∴∠DBA=∠ABC;(2)∵BD=1,tan∠BAD=,∴AD=2,∴AB=,∴cos∠DBA=;∵∠DBA=∠CBA,∴BC=.∴⊙O的半径为2.5.考点:1.切线的性质;2.勾股定理;3.解直角三角形.。

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)附答案

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)附答案

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优易错难题)附答案一、直角三角形的边角关系1.如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度(3=1.7).【答案】32.4米.【解析】试题分析:首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解.试题解析:如图,过点B作BE⊥CD于点E,根据题意,∠DBE=45°,∠CBE=30°.∵AB⊥AC,CD⊥AC,∴四边形ABEC为矩形,∴CE=AB=12m,在Rt△CBE中,cot∠CBE=BE CE,∴BE=CE•cot30°=12×3=123,在Rt△BDE中,由∠DBE=45°,得DE=BE=123.∴CD=CE+DE=12(3+1)≈32.4.答:楼房CD的高度约为32.4m.考点:解直角三角形的应用——仰角俯角问题.2.在等腰△ABC中,∠B=90°,AM是△ABC的角平分线,过点M作MN⊥AC于点N,∠EMF=135°.将∠EMF绕点M旋转,使∠EMF的两边交直线AB于点E,交直线AC于点F,请解答下列问题:(1)当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时,求证:BE+CF=BM;(2)当∠EMF绕点M旋转到如图②,图③的位置时,请分别写出线段BE,CF,BM之间的数量关系,不需要证明;(3)在(1)和(2)的条件下,tan∠BEM=,AN=+1,则BM=,CF=.【答案】(1)证明见解析(2)见解析(3)1,1+或1﹣【解析】【分析】(1)由等腰△ABC中,∠B=90°,AM是△ABC的角平分线,过点M作MN⊥AC于点N,可得BM=MN,∠BMN=135°,又∠EMF=135°,可证明的△BME≌△NMF,可得BE=NF,NC=NM=BM进而得出结论;(2)①如图②时,同(1)可证△BME≌△NMF,可得BE﹣CF=BM,②如图③时,同(1)可证△BME≌△NMF,可得CF﹣BE=BM;(3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中,,可得Rt△ABM≌Rt△ANM,后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长,结合(1)(2)的结论对图①②③进行讨论可得CF的长.【详解】(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠C=45°,∵AM是∠BAC的平分线,MN⊥AC,∴BM=MN,在四边形ABMN中,∠,BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°,∵∠ENF=135°,,∴∠BME=∠NMF,∴△BME≌△NMF,∴BE=NF,∵MN⊥AC,∠C=45°,∴∠CMN=∠C=45°,∴NC=NM=BM,∵CN=CF+NF,∴BE+CF=BM;(2)针对图2,同(1)的方法得,△BME≌△NMF,∴BE=NF,∵MN⊥AC,∠C=45°,∴∠CMN=∠C=45°,∴NC=NM=BM,∵NC=NF﹣CF,∴BE﹣CF=BM;针对图3,同(1)的方法得,△BME≌△NMF,∴BE=NF,∵MN⊥AC,∠C=45°,∴∠CMN=∠C=45°,∴NC=NM=BM,∵NC=CF﹣NF,∴CF﹣BE=BM;(3)在Rt△ABM和Rt△ANM中,,∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL),∴AB=AN=+1,在Rt△ABC中,AC=AB=+1,∴AC=AB=2+,∴CN=AC﹣AN=2+﹣(+1)=1,在Rt△CMN中,CM=CN=,∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1,在Rt△BME中,tan∠BEM===,∴BE=,∴①由(1)知,如图1,BE+CF=BM,∴CF=BM﹣BE=1﹣②由(2)知,如图2,由tan∠BEM=,∴此种情况不成立;③由(2)知,如图3,CF﹣BE=BM,∴CF=BM+BE=1+,故答案为1,1+或1﹣.【点睛】本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合,难度较大,需综合运用所学知识求解.3.已知:△ABC内接于⊙O,D是弧BC上一点,OD⊥BC,垂足为H.(1)如图1,当圆心O在AB边上时,求证:AC=2OH;(2)如图2,当圆心O在△ABC外部时,连接AD、CD,AD与BC交于点P,求证:∠ACD=∠APB;(3)在(2)的条件下,如图3,连接BD,E为⊙O上一点,连接DE交BC于点Q、交AB 于点N,连接OE,BF为⊙O的弦,BF⊥OE于点R交DE于点G,若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,AC=,BN=,tan∠ABC=,求BF的长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)24.【解析】试题分析:(1)易证OH为△ABC的中位线,可得AC=2OH;(2)∠APB=∠PAC+∠ACP,∠ACD=∠ACB+∠BCD,又∵∠PAC =∠BCD,可证∠ACD=∠APB;(3)连接AO延长交于⊙O于点I,连接IC,AB与OD相交于点M,连接OB,易证∠GBN=∠ABC,所以BG=BQ.在Rt△BNQ中,根据tan∠ABC=,可求得NQ、BQ的长.利用圆周角定理可求得IC和AI的长度,设QH=x,利用勾股定理可求出QH和HD的长度,利用垂径定理可求得ED的长度,最后利用tan∠OED=即可求得RG的长度,最后由垂径定理可求得BF的长度.试题解析:(1)在⊙O中,∵OD⊥BC,∴BH=HC,∵点O是AB的中点,∴AC=2OH;(2)在⊙O中,∵OD⊥BC,∴弧BD=弧CD,∴∠PAC=∠BCD,∵∠APB=∠PAC+∠ACP,∠ACD=∠ACB+∠BCD,∴∠ACD=∠APB;(3)连接AO延长交于⊙O于点I,连接IC,AB 与OD相交于点M,连接OB,∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN,∵∠ABD+∠BDN=∠AND,∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND,∵∠ACD+∠ABD=180°,∴2∠AND=180°,∴∠AND=90°,∵tan∠ABC=,∴,∴,∴,∵∠BNQ=∠QHD=90°,∴∠ABC=∠QDH,∵OE=OD,∴∠OED=∠QDH,∵∠ERG=90°,∴∠OED=∠GBN,∴∠GBN=∠ABC,∵AB⊥ED,∴BG=BQ=,GN=NQ=,∵∠ACI=90°,tan∠AIC=tan∠ABC=,∴,∴IC=,∴由勾股定理可求得:AI=25,设QH=x,∵tan∠ABC=tan∠ODE=,∴,∴HD=2x,∴OH=OD﹣HD=,BH=BQ+QH=,∵OB2=BH2+OH2,∴,解得:,当QH=时,∴QD=,∴ND=,∴MN=,MD=15,∵,∴QH=不符合题意,舍去,当QH=时,∴QD=∴ND=NQ+QD=,ED=,∴GD=GN+ND=,∴EG=ED﹣GD=,∵tan∠OED=,∴,∴EG=RG,∴RG=,∴ BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24.考点:1圆;2相似三角形;3三角函数;4直角三角形.4.如图,将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD,其中∠BAC=45°,∠ACD=30°,点E为CD边上的中点,连接AE,将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E,D′E交AC于F 点.若AB=6cm.(1)AE的长为 cm;(2)试在线段AC上确定一点P,使得DP+EP的值最小,并求出这个最小值;(3)求点D′到BC的距离.【答案】(1);(2)12cm;(3)cm.【解析】试题分析:(1)首先利用勾股定理得出AC的长,进而求出CD的长,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案:∵∠BAC=45°,∠B=90°,∴AB=BC=6cm,∴AC=12cm.∵∠ACD=30°,∠DAC=90°,AC=12cm,∴(cm).∵点E为CD边上的中点,∴AE=DC=cm.(2)首先得出△ADE为等边三角形,进而求出点E,D′关于直线AC对称,连接DD′交AC 于点P,根据轴对称的性质,此时DP+EP值为最小,进而得出答案.(3)连接CD′,BD′,过点D′作D′G⊥BC于点G,进而得出△ABD′≌△CBD′(SSS),则∠D′BG=45°,D′G=GB,进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离.试题解析:解:(1).(2)∵Rt△ADC中,∠ACD=30°,∴∠ADC=60°,∵E为CD边上的中点,∴DE=AE.∴△ADE为等边三角形.∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E,∴△AD′E为等边三角形,∠AED′=60°.∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°,∴∠EFA=90°,即AC所在的直线垂直平分线段ED′.∴点E,D′关于直线AC对称.如答图1,连接DD′交AC于点P,∴此时DP+EP值为最小,且DP+EP=DD′.∵△ADE是等边三角形,AD=AE=,∴,即DP+EP最小值为12cm.(3)如答图2,连接CD′,BD′,过点D′作D′G⊥BC于点G,∵AC垂直平分线ED′,∴AE=AD′,CE=CD′,∵AE=EC,∴AD′=CD′=.在△ABD′和△CBD′中,∵,∴△ABD′≌△CBD′(SSS ).∴∠D′BG=∠D′BC=45°.∴D′G=GB . 设D′G 长为xcm ,则CG 长为cm ,在Rt △GD′C 中,由勾股定理得, 解得:(不合题意舍去).∴点D′到BC 边的距离为cm .考点:1.翻折和单动点问题;2.勾股定理;3.直角三角形斜边上的中线性质;4.等边三角形三角形的判定和性质;5.轴对称的应用(最短线路问题);6.全等三角形的判定和性质;7.方程思想的应用.5.我市在创建全国文明城市的过程中,某社区在甲楼的A 处与E 处之间悬挂了一副宣传条幅,在乙楼顶部C 点测得条幅顶端A 点的仰角为45°,条幅底端E 点的俯角为30°,若甲、乙两楼之间的水平距离BD 为12米,求条幅AE 的长度.(结果保留根号)【答案】AE 的长为(123)+【解析】【分析】在Rt ACF V 中求AF 的长, 在Rt CEF V 中求EF 的长,即可求解.【详解】过点C 作CF AB ⊥于点F由题知:四边形CDBF 为矩形12CF DB ∴==在Rt ACF V 中,45ACF ∠=︒tan 1AF ACF CF ∴∠== 12AF ∴=在Rt CEF V 中,30ECF ∠=︒tan EF ECF CF∴∠= 3123EF ∴= 43EF ∴=1243AE AF EF ∴=+=+∴求得AE 的长为()1243+【点睛】本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.6.如图,某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB 的高度,由于教学楼底部不能直接到达,故兴趣小组在平地上选择一点C ,用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为30°,再向主教学楼的方向前进24米,到达点E 处(C ,E ,B 三点在同一直线上),又测得主教学楼顶端A 的仰角为60°,已知测角器CD 的高度为1.6米,请计算主教学楼AB 的高度.(3≈1.73,结果精确到0.1米)【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造等量关系,进而求解.【详解】解:在Rt △AFG 中,tan ∠AFG 3,∴FG =tan 3AG AFG =∠, 在Rt △ACG 中,tan ∠ACG =AG CG ,∴CG =tan AG ACG ∠=3AG . 又∵CG ﹣FG =24m , 即3AG ﹣3AG =24m , ∴AG =123m ,∴AB =123+1.6≈22.4m .7.已知:如图,AB 为⊙O 的直径,AC 与⊙O 相切于点A ,连接BC 交圆于点D ,过点D 作⊙O 的切线交AC 于E .(1)求证:AE =CE(2)如图,在弧BD 上任取一点F 连接AF ,弦GF 与AB 交于H ,与BC 交于M ,求证:∠FAB +∠FBM =∠EDC .(3)如图,在(2)的条件下,当GH =FH ,HM =MF 时,tan ∠ABC =34,DE =394时,N 为圆上一点,连接FN 交AB 于L ,满足∠NFH +∠CAF =∠AHG ,求LN 的长.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)401313NL =【解析】【分析】 (1)由直径所对的圆周角是直角,得∠ADC =90°,由切线长定理得EA =ED ,再由等角的余角相等,得到∠C =∠EDC ,进而得证结论.(2)由同角的余角相等,得到∠BAD =∠C ,再通过等量代换,角的加减进而得证结论. (3)先由条件得到AB =26,设HM =FM =a ,GH =HF =2a ,BH =43a ,再由相交弦定理得到GH •HF =BH •AH ,从而求出FH ,BH ,AH ,再由角的关系得到△HFL ∽△HAF ,从而求出HL,AL,BL,FL,再由相交弦定理得到LN•LF=AL•BL,进而求出LN的长.【详解】解:(1)证明:如图1中,连接AD.∵AB是直径,∴∠ADB=∠ADC=90°,∵EA、ED是⊙O的切线,∴EA=ED,∴∠EAD=∠EDA,∵∠C+∠EAD=90°,∠EDC+∠EDA=90°,∴∠C=∠EDC,∴ED=EC,∴AE=EC.(2)证明:如图2中,连接AD.∵AC是切线,AB是直径,∴∠BAC=∠ADB=90°,∴∠BAD+∠CAD=90°,∠CAD+∠C=90°,∴∠BAD=∠C,∵∠EDC=∠C,∴∠BAD=∠EDC,∵∠DBF=∠DAF,∴∠FBM+∠FAB=∠FBM+∠DAF=∠BAD,∴∠FAB+∠FBM=∠EDC.(3)解:如图3中,由(1)可知,DE=AE=EC,∵DE=394,∴AC=392,∵tan∠ABC=34=ACAB,∴39 32 4AB =,∴AB=26,∵GH=FH,HM=FN,设HM=FM=a,GH=HF=2a,BH=43a,∵GH•HF=BH•AH,∴4a2=43a(26﹣43a),∴a=6,∴FH=12,BH=8,AH=18,∵GH=HF,∴AB⊥GF,∴∠AHG=90°,∵∠NFH+∠CAF=∠AHG,∴∠NFH+∠CAF=90°,∵∠NFH+∠HLF=90°,∴∠HLF=∠CAF,∵AC∥FG,∴∠CAF=∠AFH,∴∠HLF=∠AFH,∵∠FHL=∠AHF,∴△HFL∽△HAF,∴FH2=HL•HA,∴122=HL•18,∴HL=8,∴AL=10,BL=16,FL22FH HL+=13∵LN •LF =AL •BL ,∴413•LN =10•16,∴LN =4013 . 【点睛】本题考查了圆的综合问题,涉及到的知识有:切线的性质;切线长定理;圆周角定理;相交弦定理;相似三角形性质与判定等,熟练掌握圆的相关性质是解题关键.8.如图,在矩形ABCD 中,AB =6cm ,AD =8cm ,连接BD ,将△ABD 绕B 点作顺时针方向旋转得到△A ′B ′D ′(B ′与B 重合),且点D ′刚好落在BC 的延长上,A ′D ′与CD 相交于点E . (1)求矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分(如图1中阴影部分A ′B ′CE )的面积;(2)将△A ′B ′D ′以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移,如图2,当B ′移动到C 点时停止移动.设矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分的面积为y ,移动的时间为x ,请你直接写出y 关于x 的函数关系式,并指出自变量x 的取值范围;(3)在(2)的平移过程中,是否存在这样的时间x ,使得△AA ′B ′成为等腰三角形?若存在,请你直接写出对应的x 的值,若不存在,请你说明理由.【答案】(1)452;(2)详见解析;(3)使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有:0秒、32 秒、695- . 【解析】【分析】(1)根据旋转的性质可知B ′D ′=BD =10,CD ′=B ′D ′﹣BC =2,由tan ∠B ′D ′A ′='''''=A B CE A D CD 可求出CE ,即可计算△CED ′的面积,S ABCE =S ABD ′﹣S CED ′; (2)分类讨论,当0≤x ≤115时和当115<x ≤4时,分别列出函数表达式; (3)分类讨论,当AB ′=A ′B ′时;当AA ′=A ′B ′时;当AB ′=AA ′时,根据勾股定理列方程即可.【详解】解:(1)∵AB =6cm ,AD =8cm ,∴BD =10cm ,根据旋转的性质可知B ′D ′=BD =10cm ,CD ′=B ′D ′﹣BC =2cm ,∵tan ∠B ′D ′A ′='''''=A B CE A D CD ∴682=CE ∴CE =32cm , ∴S ABCE =S ABD ′﹣S CED ′=8634522222⨯-⨯÷=(cm 2); (2)①当0≤x <115时,CD ′=2x +2,CE =32(x +1), ∴S △CD ′E =32x 2+3x +32, ∴y =12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32=﹣32x 2﹣3x +452; ②当115≤x ≤4时,B ′C =8﹣2x ,CE =43(8﹣2x ) ∴()214y 8223x =⨯-=83x 2﹣643x +1283. (3)①如图1,当AB ′=A ′B ′时,x =0秒; ②如图2,当AA ′=A ′B ′时,A ′N =BM =BB ′+B ′M =2x +185,A ′M =NB =245, ∵AN 2+A ′N 2=36,∴(6﹣245)2+(2x +185)2=36,解得:x x (舍去); ③如图2,当AB ′=AA ′时,A ′N =BM =BB ′+B ′M =2x +185,A ′M =NB =245, ∵AB 2+BB ′2=AN 2+A ′N 2∴36+4x 2=(6﹣245)2+(2x +185)2 解得:x =32.综上所述,使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有:0秒、32【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换,能够数形结合,运用分类讨论的思想方法全面的分析问题,思考问题是解决问题的关键.9.如图,在⊙O的内接三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交⊙O 于另一点D,垂足为E.设P是»AC上异于A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.(1)求证:△PAC∽△PDF;(2)若AB=5,¼¼AP BP=,求PD的长.【答案】(1)证明见解析;(2310【解析】【分析】(1)根据AB⊥CD,AB是⊙O的直径,得到¶¶AD AC=,∠ACD=∠B,由∠FPC=∠B,得到∠ACD=∠FPC,可得结论;(2)连接OP,由¶¶AP BP=,得到OP⊥AB,∠OPG=∠PDC,根据AB是⊙O的直径,得到∠ACB=90°,由于AC=2BC,于是得到tan∠CAB=tan∠DCB=BCAC,得到12CE BE AE CE ==,求得AE =4BE ,通过△OPG ∽△EDG ,得到OG OP GE ED=,然后根据勾股定理即可得到结果.【详解】(1)证明:连接AD ,∵AB ⊥CD ,AB 是⊙O 的直径,∴¶¶ADAC =, ∴∠ACD =∠B =∠ADC ,∵∠FPC =∠B ,∴∠ACD =∠FPC ,∴∠APC =∠ACF ,∵∠FAC =∠CAF ,∴△PAC ∽△CAF ;(2)连接OP ,则OA =OB =OP =1522AB =, ∵¶¶APBP =, ∴OP ⊥AB ,∠OPG =∠PDC ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,∵AC =2BC ,∴tan ∠CAB =tan ∠DCB =BC AC, ∴12CE BE AE CE ==, ∴AE =4BE ,∵AE+BE =AB =5, ∴AE =4,BE =1,CE =2,∴OE =OB ﹣BE =2.5﹣1=1.5,∵∠OPG =∠PDC ,∠OGP =∠DGE ,∴△OPG ∽△EDG ,∴OG OP GE ED =, ∴ 2.52OE GE OP GE CE -==, ∴GE =23,OG =56,∴PG 56=,GD 23=,∴PD=PG+GD=310.2【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,垂径定理,勾股定理,圆周角定理,证得△OPG∽△EDG是解题的关键.10.如图,建筑物上有一旗杆,从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为,观测旗杆底部的仰角为,求旗杆的高度.(参考数据:,,)【答案】旗杆的高度约为.【解析】【分析】在Rt△BDC中,根据tan∠BDC=求出BC,接着在Rt△ADC中,根据tan∠ADC==即可求出AB的长度【详解】解:∵在Rt△BDC中,tan∠BDC==1,∴BC=CD= 40m在Rt△ADC中,tan∠ADC==∴tan50°= =1.19∴AB7.6m答:旗杆AB的高度约为7.6m.【点睛】此题主要考查了三角函数的应用11.已知:如图,直线y=-x+12分别交x轴、y轴于A、B点,将△AOB折叠,使A点恰好落在OB的中点C处,折痕为DE.(1)求AE的长及sin∠BEC的值;(2)求△CDE的面积.【答案】(1)52,sin∠BEC=35;(2)754【解析】【分析】(1)如图,作CF⊥BE于F点,由函数解析式可得点B,点A坐标,继而可得∠A=∠B=45°,再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6,CF=BF=32,设AE=CE=x,则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x,在Rt△CEF中,利用勾股定理求出x 的值即可求得答案;(2)如图,过点E作EM⊥OA于点M,根据三角形面积公式则可得S△CDE=S△AED=2AD×AE,设AD=y,则CD=y,OD=12-y,在Rt△OCD中,利用勾股定理求出y,继而可求得答案.【详解】(1)如图,作CF⊥BE于F点,由函数解析式可得点B(0,12),点A(12,0),∠A=∠B=45°,又∵点C是OB中点,∴OC=BC=6,2设AE=CE=x,则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x,在Rt△CEF中,CE2=CF2+EF2,即x2=(92-x)2+(32)2,解得:x=52,故可得sin∠BEC=35CFCE,AE=52;(2)如图,过点E作EM⊥OA于点M,则S△CDE=S△AED=12AD•EM=12AD×AEsin∠EAM=12AD•AE×sin45°=2AD×AE,设AD=y,则CD=y,OD=12-y,在Rt△OCD中,OC2+OD2=CD2,即62+(12-y)2=y2,解得:y=152,即AD=152,故S△CDE=S△AED=2AD×AE=754.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数的性质等知识,综合性较强,正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.12.已知Rt△ABC,∠BAC=90°,点D是BC中点,AD=AC,BC=43,过A,D两点作⊙O,交AB于点E,(1)求弦AD的长;(2)如图1,当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点,连接DM交AB于点N,求当ON 等于多少时,三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形?(3)如图2,当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时,过D作DH⊥AB(垂足为H)并交⊙O于点P,问:当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由.【答案】(1)(2)当ON 等于1﹣1时,三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形(3)不变,理由见解析【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD 的长;(2)连DE 、ME ,易得当ED 和EM 为等腰三角形EDM 的两腰,根据垂径定理得推论得OE ⊥DM ,易得到△ADC 为等边三角形,得∠CAD=60°,则∠DAO=30°,∠DON=60°,然后根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=12;当MD=ME ,DE 为底边,作DH ⊥AE ,由于∠DAE=30°,得到,∠DEA=60°,DE=2,于是OE=DE=2,OH=1,又∠M=∠DAE=30°,MD=ME ,得到∠MDE=75°,则∠ADM=90°-75°=15°,可得到∠DNO=45°,根据等腰直角三角形的性质得到;(3)连AP 、AQ ,DP ⊥AB ,得AC ∥DP ,则∠PDB=∠C=60°,再根据圆周角定理得∠PAQ=∠PDB ,∠AQC=∠P ,则∠PAQ=60°,∠CAQ=∠PAD ,易证得△AQC ≌△APD ,得到DP=CQ ,则DP-DQ=CQ-DQ=CD ,而△ADC 为等边三角形,DP-DQ 的值.【详解】解:(1)∵∠BAC =90°,点D 是BC 中点,BC =∴AD =12BC = (2)连DE 、ME ,如图,∵DM >DE ,当ED 和EM 为等腰三角形EDM 的两腰,∴OE ⊥DM ,又∵AD =AC ,∴△ADC 为等边三角形,∴∠CAD =60°,∴∠DAO =30°,∴∠DON =60°,在Rt △ADN 中,DN =12AD ,在Rt △ODN 中,ON =3DN =1, ∴当ON 等于1时,三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形;当MD =ME ,DE 为底边,如图3,作DH ⊥AE ,∵AD =∠DAE =30°,∴DH=3,∠DEA=60°,DE=2,∴△ODE为等边三角形,∴OE=DE=2,OH=1,∵∠M=∠DAE=30°,而MD=ME,∴∠MDE=75°,∴∠ADM=90°﹣75°=15°,∴∠DNO=45°,∴△NDH为等腰直角三角形,∴NH=DH=3,∴ON=3﹣1;综上所述,当ON等于1或3﹣1时,三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形;(3)当⊙O变动时DP﹣DQ的值不变,DP﹣DQ=23.理由如下:连AP、AQ,如图2,∵∠C=∠CAD=60°,而DP⊥AB,∴AC∥DP,∴∠PDB=∠C=60°,又∵∠PAQ=∠PDB,∴∠PAQ=60°,∴∠CAQ=∠PAD,∵AC=AD,∠AQC=∠P,∴△AQC≌△APD,∴DP=CQ,∴DP﹣DQ=CQ﹣DQ=CD=23.【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理:平分弧的直径垂直弧所对的弦;在同圆和等圆中,相等的弧所对的圆周角相等.也考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系.。

九年级数学下册《直角三角形的边角关系》单元测试卷(附答案)

九年级数学下册《直角三角形的边角关系》单元测试卷(附答案)

九年级数学下册《直角三角形的边角关系》单元测试卷(附答案)一.选择题(共10小题,满分30分)1.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则tan A的值为()A.B.C.D.2.在Rt△ABC中,各边的长度都扩大2倍,那么锐角A的正切值()A.都扩大2倍B.都扩大4倍C.没有变化D.都缩小一半3.在直角坐标系中,P是第一象限内的点,OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是,则cos α的值是()A.B.C.D.4.计算sin45°的值等于()A.B.C.D.5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tan A的值是()A.B.C.D.6.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=,则cos B的值是()A.B.C.D.7.已知tan A=0.85,用计算器求∠A的大小,下列按键顺序正确的是()A.B.C.D.8.若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′,按键顺序正确的是()A.B.C.D.9.在△ABC中,已知∠C=90°,AC=4,sin A=,那么BC边的长是()A.2B.8 C.4D.1210.α为锐角,若sinα+cosα=,则sinα﹣cosα的值为()A.B.±C.D.0二.填空题(共10小题,满分30分)11.如图,在平面直角坐标系内有一点P(5,12),那么OP与x轴正半轴的夹角α的余弦值.12.若α为锐角,且,则m的取值范围是.13.用科学计算器计算: tan16°15′≈(结果精确到0.01)14.如果3sinα=+1,则∠α=.(精确到0.1度)15.计算:sin225°+cos225°﹣tan60°=.16.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且c=3a,则tan A 的值为.17.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC=4,sin B=,那么AB=.18.已知∠A是锐角,且tan A=2,那么cos A=.19.已知∠A+∠B=90°,若,则cos B=.20.化简=.三.解答题(共7小题,满分60分)21.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,tan A=.求AB的长和sin B的值.22.已知cos45°=,求cos21°+cos22°+…+cos289°的值.23.计算下列各题:(1);(2)sin60°•cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°.24.在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,求sin A,cos B,tan A的值.25.如图,在所示的直角坐标系中,P是第一象限的点,其坐标是(6,y),且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是,求角α的正弦值.26.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,以AC为直径的⊙O与BC交于点D,DE⊥AB,垂足为E,ED的延长线与AC的延长线交于点F.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为2,BE=1,求cos A的值.27.如图,已知∠ABC和射线BD上一点P(点P与点B不重合),且点P到BA、BC的距离为PE、PF.(1)若∠EBP=40°,∠FBP=20°,PB=m,试比较PE、PF的大小;(2)若∠EBP=α,∠FBP=β,α,β都是锐角,且α>β.试判断PE、PF的大小,并给出证明.参考答案与解析一.选择题1.解:如图所示:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,∴tan A==.故选:B.2.解:根据锐角三角函数的定义,知各边的长度都扩大2倍,那么锐角A的大小不变,所以其正切值不变.故选:C.3.解:如图:过点P作PE⊥x轴于点E,∵tanα=,∴设PE=4x,OE=3x,在Rt△OPE中,由勾股定理得OP=,∴cosα=.故选:C.4.解:sin45°=故选:C.5.解:∵∠C=90°,AB=5,BC=3,∴AC===4,∴tan A==,故选:D.6.解:Rt△ABC中,∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∴cos B=sin A=,故选:C.7.解:根据计算器功能键,先按反三角2ndF,再按正切值.故选:A.8.解:若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′,按键顺序正确的是.故选:C.9.解:由sin A==,不妨设BC=2k,则AB=3k,由勾股定理得,AC2+BC2=AB2,即(4)2+(2k)2=(3k)2,解得k=4(取正值),所以BC=2k=8,故选:B.10.解:∵sinα+cosα=,∴(sinα+cosα)2=2,即sin2α+cos2α+2sinαcosα=2.又∵sin2α+cos2α=1,∴2sinαcosα=1.∴(sinα﹣cosα)2=sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=1﹣2sinαcosα=1﹣1=0.∴sinα﹣cosα=0.故选:D.二.填空题(共10小题,满分30分)11.解:过P作PA⊥OA,∵P点坐标为(5,12),∴OA=5,PA=12,由勾股定理得,OP===13.∴cosα==.故答案为:.12.解:∵0<cosα<1,∴0<<1,解得,故答案为:.13.解: tan16°15′≈0.71,故答案为:0.71.14.解:∵3sinα=+1,∴sinα=,解得,∠α≈65.5°,故答案为:65.5°.15.解:∵sin225°+cos225°=1,tan60°=,∴sin225°+cos225°﹣tan60°=1﹣,故答案为:1﹣.16.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,c=3a,∴b===2a,∴tan A===,故答案为:.17.解:∵sin B=,∴AB===6.故答案是:6.18.解:设∠A所在的直角三角形为△ABC,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所得的边为a,b,c,∵tan A=2,即=2,设b=k,则a=2k,∴c==k,∴cos A==,故答案为:.19.解:由∠A+∠B=90°,若,得cos B=,故答案为:.20.解:∵tan30°=<1,∴原式=1﹣tan30°=1﹣=.三.解答题(共7小题,满分60分)21.解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,tan A==,∴AC=12,∴AB===6,∴sin B===.22.解:原式=(cos21°+cos289°)+(cos22°+cos288°)+…+(cos244°+cos246°)+cos245 =(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+cos245=44+()2=44.23.解:(1)=(2×﹣)+=2﹣+=2;(2)sin60°•cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°.=×﹣×+()2+()2=﹣1++=.24.解:∵在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,根据勾股定理可得:AC=4,∴sin A=,cos B==,tan A==.25.解:作PC⊥x轴于C.∵tanα=,OC=6∴PC=8.则OP=10.则sinα=.26.(1)证明:法一、连接AD、OD,∵AC是直径,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴D是BC的中点,又∵O是AC的中点,∴OD∥AB,∵DE⊥AB,∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切线.法二、连接OD,∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∵AB=AC,∴∠OCD=∠B,∴∠B=∠ODC,∴OD∥AB,∵DE⊥AB,∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切线.(2)解:由(1)知OD∥AE,∴∠FOD=∠FAE,∠FDO=∠FEA,∴△FOD∽△FAE,∴,∴,∴,解得FC=2,∴AF=6,∴Rt△AEF中,cos∠FAE====.27.解:(1)在Rt△BPE中,sin∠EBP==sin40°在Rt△BPF中,sin∠FBP==sin20°又sin40°>sin20°∴PE>PF;(2)根据(1)得sin∠EBP==sinα,sin∠FBP==sinβ又∵α>β∴sinα>sinβ∴PE>PF.。

直角三角形的边角关系(习题及答案)

直角三角形的边角关系(习题及答案)

37° 67.5°直角三角形的边角关系(习题)例题示范例:如图,在△ABC 中,∠B =37°,∠C =67.5°,AB =10,求 BC 的长.(结果精确到 0.1,参考数据:s in37°≈0.6,c os 37°≈0.8, tan67.5°≈2.41)AC从下面书写板块的名称中选取合适的内容,写到对应的横线上.①得出结论; ②解直角三角形; ③准备条件.巩固练习1.在 Rt △ABC 中,如果各边长度都扩大为原来的 2 倍,那么锐角 A 的正弦值( ) A . 扩大 2 倍 B .缩小 2 倍 C .没有变化 D .不确定2.4.若∠A 为锐角,且 cos A 的值大于 1,则∠A ( )2A .大于 30°B .小于 30° B . 大于 60° D .小于 60°5.已知 β 为锐角,且3A . 30︒ ≤ β ≤ 60︒ C . 30︒ ≤ β < 60︒≤ tan β < ,则 β 的取值范围是( )B . 30︒< β ≤ 60︒ D . β < 30︒6.如图,在矩形 ABCD 中,DE ⊥AC ,垂足为 E ,设∠ADE =α ,若cos α = 3,AB =4,则 AD 的长为( )5E . 如图,在菱形 ABCD 中,DE ⊥AB ,若cos A = 3,BE =2,则5tan ∠DBE = .F . 在 Rt △ABC 中,∠C =90°,若 AB =6,BC =2,则 cos A = .9. 在△ABC 中,∠A =120°,若 AB =4,AC =2,则 sin B =.3 3D10. 如图,在△ABC 中,AB =A C ,∠A =45°,AC 的垂直平分线分别交 AB ,AC 于 D ,E 两点,连接 CD .如果 AD =1,那么tan ∠BCD = .ACED BCAB第 10 题图第 11 题图11. 如图,在△ABC 中,若∠C =90°, sin B 3,AD 平分∠CAB ,5则 sin ∠CAD = .12. 如图,在△ABC 中,∠C =75°,∠BAC =60°,AC =2,AD 是BC 边上的高,则△ABC 的面积为 ,AD 的长为 .A第 12 题图第 13 题图AB C⎪ -1)0 -+(3) ( 12 sin 60︒ ⎛ 1 ⎫-2tan 45︒ ⎝ 3 ⎭(4 tan 60︒ .13. 如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的高,tan B =cos ∠DAC .(1)求证:AC=BD ;(2)若sin C = 12,BC =12,求 AD 的长.13ABC16. 如图,在△ABC 中,∠A =26.6°,∠B =45°,AC = 2 的长.(参考数据:ta n26.6°≈0.50)5 ,求 AB3 ;m β α 2 3 ( 3 3思考小结1. 30°,45°,60°,120°,135°,150°都属于我们常用的特殊角,在解直角三角形中经常用到.120°,135°,150°经常使用它们的补角构造直角三角形,如右图 1. 2.解直角三角形的常考形式图 1直角三角形:“一角一边”求其余元素A 非直角三角形:“两角一边”求其余元素,往往通过构造直角三角形,把已知角度信息放到直角三角形求解,如右图 2 (α ,β ,m 已知).BDC3.我们已经知道 30°,45°所在的直角三角形的三边关系之比, 图 2借助这个内容,可以推导 15°和 22.5°所在的直角三角形的三 边关系之比,如何推导呢?如图 1,通过延长 CB 到 D ,使得 BD =AB ,可以构造 15°角, 根据三边关系填空.(已知== +1 )图 1tan15︒ = AC = CD sin15︒ = AC= AD; t an 75︒ = CD= ;AC .类比上述内容,请你画出研究 22.5°角所在的直角三角形所需图形并填空.ACtan22.5°=;tan67.5°=.120°4.探索思考下面的结论,尝试在下面两个图形中证明结论:若tanα=1,tanβ=1,则α+β= 45︒.(标注信息,简要写2 3出思路)αβαβ。

直角三角形的边角关系(含答案)

直角三角形的边角关系(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1:在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=________,cosA=________,tanA=________.问题2:在Rt△ABC中,∠C=90°,锐角A越大,正弦sinA______,余弦cosA______,正切tanA______.问题3:默写特殊角的三角函数值:问题4:三角函数值的大小只与角度的_______有关,跟所在的三角形放缩(大小)没有关系.问题5:计算一个角的三角函数值,通常把这个角放在____________中研究,常利用_________或__________两种方式进行处理.问题6:30°,45°,60°,120°,135°,150°都属于我们常用的特殊角,在解直角三角形中经常用到.120°,135°,150°经常使用它们的________构造直角三角形,如图1.直角三角形的边角关系一、单选题(共12道,每道8分)1.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=1,AB=2,则的值为( )A. B.C. D.答案:A解题思路:试题难度:三颗星知识点:锐角三角函数的定义2.计算的结果为( )A. B.C. D.1答案:B解题思路:试题难度:三颗星知识点:特殊角的三角函数值3.为锐角,当无意义时,的值为( )A. B.C. D.答案:A解题思路:试题难度:三颗星知识点:特殊角的三角函数值4.在△ABC中,若,则下列最确切的结论是( )A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形答案:C解题思路:试题难度:三颗星知识点:特殊角的三角函数值5.已知为锐角,且,那么的取值范围是( )A. B.C. D.答案:B解题思路:试题难度:三颗星知识点:锐角三角函数的增减性6.如图,在边长为1的正方形网格中,∠BAC如图放置,点A,B,C都在格点上,则的值为( )A. B.C. D.答案:C解题思路:试题难度:三颗星知识点:锐角三角函数的定义7.数学活动课上,小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF,数据如图,如果把小敏画的三角形面积记作,小颖画的三角形面积记作,那么你认为( )A. B.C. D.不能确定答案:C解题思路:试题难度:三颗星知识点:解直角三角形8.如图,P是的边OA上一点,点P的坐标为,则的值为( )A. B.C. D.答案:A解题思路:试题难度:三颗星知识点:锐角三角函数的定义9.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=4,,则斜边上的高为( )A. B.C. D.答案:B解题思路:试题难度:三颗星知识点:解直角三角形10.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,∠C=120°,AB=8,则CD的长为( )A. B.C. D.答案:A解题思路:试题难度:三颗星知识点:解直角三角形11.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将该纸片(△ABC)按如图所示那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则的值是( )A. B.C. D.答案:C解题思路:试题难度:三颗星知识点:翻折变换(折叠问题)12.如图所示,已知AD是等腰三角形ABC底边上的高,且.AC上有一点E,若AE:CE=2:3,则的值为( )A. B.C. D.答案:B试题难度:三颗星知识点:翻折变换(折叠问题)。

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优)附详细答案

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优)附详细答案

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优)附详细答案一、直角三角形的边角关系1.在矩形ABCD中,AD>AB,点P是CD边上的任意一点(不含C,D两端点),过点P 作PF∥BC,交对角线BD于点F.(1)如图1,将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF,QF交AD于点E.求证:△DEF是等腰三角形;(2)如图2,将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF',连接P'C,F'B.设旋转角为α(0°<α<180°).①若0°<α<∠BDC,即DF'在∠BDC的内部时,求证:△DP'C∽△DF'B.②如图3,若点P是CD的中点,△DF'B能否为直角三角形?如果能,试求出此时tan∠DBF'的值,如果不能,请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②123【解析】【分析】(1)根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF,所以△DEF是等腰三角形;(2)①由于PF∥BC,所以△DPF∽△DCB,从而易证△DP′F′∽△DCB;②由于△DF'B是直角三角形,但不知道哪个的角是直角,故需要对该三角形的内角进行分类讨论.【详解】(1)由翻折可知:∠DFP=∠DFQ,∵PF∥BC,∴∠DFP=∠ADF,∴∠DFQ=∠ADF,∴△DEF是等腰三角形;(2)①若0°<α<∠BDC,即DF'在∠BDC的内部时,∵∠P′DF′=∠PDF,∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC,∴∠P′DC=∠F′DB,由旋转的性质可知:△DP′F′≌△DPF,∵PF∥BC,∴△DPF∽△DCB,∴△DP′F′∽△DCB ∴''DC DP DB DF = , ∴△DP'C ∽△DF'B ;②当∠F′DB=90°时,如图所示, ∵DF′=DF=12BD , ∴'12DF BD =, ∴tan ∠DBF′='12DF BD =;当∠DBF′=90°,此时DF′是斜边,即DF′>DB ,不符合题意; 当∠DF′B=90°时,如图所示,∵DF′=DF=12BD , ∴∠DBF′=30°,∴tan ∠D BF′=33.【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题,涉及旋转的性质,锐角三角函数的定义,相似三角形的性质以及判定等知识,综合性较强,有一定的难度,熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.2.已知:如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,点M 是斜边AB 的中点,MD ∥BC ,且MD=CM ,DE ⊥AB 于点E ,连结AD 、CD . (1)求证:△MED ∽△BCA ; (2)求证:△AMD ≌△CMD ;(3)设△MDE的面积为S1,四边形BCMD的面积为S2,当S2=175S1时,求cos∠ABC的值.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)cos∠ABC=5 7 .【解析】【分析】(1)易证∠DME=∠CBA,∠ACB=∠MED=90°,从而可证明△MED∽△BCA;(2)由∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,可知MB=MC=AM,从而可证明∠AMD=∠CMD,从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD;(3)易证MD=2AB,由(1)可知:△MED∽△BCA,所以2114ACBS MDS AB⎛⎫==⎪⎝⎭V,所以S△MCB=12S△ACB=2S1,从而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=25S1,由于1EBDS MES EB=V,从而可知52MEEB=,设ME=5x,EB=2x,从而可求出AB=14x,BC=72,最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案.【详解】(1)∵MD∥BC,∴∠DME=∠CBA,∵∠ACB=∠MED=90°,∴△MED∽△BCA;(2)∵∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,∴MB=MC=AM,∴∠MCB=∠MBC,∵∠DMB=∠MBC,∴∠MCB=∠DMB=∠MBC,∵∠AMD=180°﹣∠DMB,∠CMD=180°﹣∠MCB﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC,∴∠AMD=∠CMD,在△AMD与△CMD中,MD MD AMD CMD AM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△AMD ≌△CMD (SAS ); (3)∵MD=CM , ∴AM=MC=MD=MB , ∴MD=2AB ,由(1)可知:△MED ∽△BCA , ∴2114ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V , ∴S △ACB =4S 1, ∵CM 是△ACB 的中线, ∴S △MCB =12S △ACB =2S 1, ∴S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1, ∵1EBDS MES EB=V , ∴1125S MEEB S =,∴52ME EB =, 设ME=5x ,EB=2x , ∴MB=7x , ∴AB=2MB=14x ,∵12MD ME AB BC ==, ∴BC=10x ,∴cos ∠ABC=105147BC x AB x ==. 【点睛】本题考查相似三角形的综合问题,涉及直角三角形斜边中线的性质,全等三角形的性质与判定,相似三角形的判定与性质,三角形面积的面积比,锐角三角函数的定义等知识,综合程度较高,熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.3.如图,在⊙O 的内接三角形ABC 中,∠ACB =90°,AC =2BC ,过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ,垂足为E.设P 是上异于A ,C 的一个动点,射线AP 交l 于点F ,连接PC 与PD,PD交AB于点G.(1)求证:△PAC∽△PDF;(2)若AB=5,,求PD的长;(3)在点P运动过程中,设=x,tan∠AFD=y,求y与x之间的函数关系式.(不要求写出x的取值范围)【答案】(1)证明见解析;(2);(3).【解析】试题分析:(1)应用圆周角定理证明∠APD=∠FPC,得到∠APC=∠FPD,又由∠PAC=∠PDC,即可证明结论.(2)由AC=2BC,设,应用勾股定理即可求得BC,AC的长,则由AC=2BC得,由△ACE∽△ABC可求得AE,CE的长,由可知△APB是等腰直角三角形,从而可求得PA的长,由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4,从而求得DF的长,由(1)△PAC∽△PDF得,即可求得PD的长.(3)连接BP,BD,AD,根据圆的对称性,可得,由角的转换可得,由△AGP∽△DGB可得,由△AGD∽△PGB可得,两式相乘可得结果.试题解析:(1)由APCB内接于圆O,得∠FPC=∠B,又∵∠B=∠ACE=90°-∠BCE,∠ACE=∠APD,∴∠APD=∠FPC.∴∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC,即∠APC=∠FPD.又∵∠PAC=∠PDC,∴△PAC∽△PDF.(2)连接BP,设,∵∠ACB=90°,AB=5,∴.∴.∵△ACE∽△ABC,∴,即. ∴.∵AB⊥CD,∴.如图,连接BP,∵,∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB=45°,.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由(1)△PAC∽△PDF得,即.∴PD的长为.(3)如图,连接BP,BD,AD,∵AC=2BC,∴根据圆的对称性,得AD=2DB,即.∵AB⊥CD,BP⊥AE,∴∠ABP=∠AFD.∵,∴.∵△AGP∽△DGB,∴.∵△AGD∽△PGB,∴.∴,即.∵,∴.∴与之间的函数关系式为.考点:1.单动点问题;2.圆周角定理;3.相似三角形的判定和性质;4.勾股定理;5.等腰直角三角形的判定和性质;6.垂径定理;7.锐角三角函数定义;8.由实际问题列函数关系式.4.如图,某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度,由于教学楼底部不能直接到达,故兴趣小组在平地上选择一点C ,用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为30°,再向主教学楼的方向前进24米,到达点E 处(C ,E ,B 三点在同一直线上),又测得主教学楼顶端A 的仰角为60°,已知测角器CD 的高度为1.6米,请计算主教学楼AB 的高度.(3≈1.73,结果精确到0.1米)【答案】22.4m 【解析】 【分析】首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造等量关系,进而求解. 【详解】解:在Rt △AFG 中,tan ∠AFG =3, ∴FG =tan 3AG AFG =∠,在Rt △ACG 中,tan ∠ACG =AGCG, ∴CG =tan AGACG ∠=3AG .又∵CG ﹣FG =24m ,即3AG ﹣3=24m , ∴AG =123m , ∴AB =123+1.6≈22.4m .5.水库大坝截面的迎水坡坡比(DE 与AE 的长度之比)为1:0.6,背水坡坡比为1:2,大坝高DE=30米,坝顶宽CD=10米,求大坝的截面的周长和面积.【答案】故大坝的截面的周长是(634+305+98)米,面积是1470平方米. 【解析】试题分析:先根据两个坡比求出AE 和BF 的长,然后利用勾股定理求出AD 和BC ,再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC ,梯形的面积公式可得出答案. 试题解析:∵迎水坡坡比(DE 与AE 的长度之比)为1:0.6,DE=30m , ∴AE=18米,在RT △ADE 中,AD=22DE AE +=634米 ∵背水坡坡比为1:2, ∴BF=60米,在RT △BCF 中,BC=22CF BF +=305米,∴周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC=634+10+305+88=(634+305+98)米, 面积=(10+18+10+60)×30÷2=1470(平方米).故大坝的截面的周长是(634+305+98)米,面积是1470平方米.6.如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ,且ABO ∆的面积为8. (1)求k 的值;(2)如图,点P 是第一象限直线AB 上的一个动点,连接PO ,将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ,设点P 的横坐标为t ,点C 的横坐标为m ,求m 与t 之间的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围);(3)在(2)的条件下,过点B 作直线BM OP ⊥,交x 轴于点M ,垂足为点N ,点K在线段MB 的延长线上,连接PK ,且0PK KB P +=,2PMB KPB ∠=∠,连接MC ,求四边形BOCM 的面积.【答案】(1)1k =;(2)4m t =+;(3)32BOCM S =Y . 【解析】 【分析】(1)先求出A 的坐标,然后利用待定系数法求出k 的值;(2) 过点P 作PD x ⊥轴,垂足为D ,过点C 作CE x ⊥轴,垂足为E ,证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =,进一步得出m 与t 的函数关系式;(3)过点O 作直线OT AB ⊥,交直线BM 于点Q ,垂足为点T ,连接QP ,先证出QTB PTO ∆≅∆;再证出KPB BPN ∠=∠;设KPB x ∠=︒,通过计算证出PO PM =;再过点P 作PD x ⊥轴,垂足为点D ,根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BOPD MO=,列式可求得t=4;所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形,最后可得其面积为32. 【详解】解:(1)把0x =代入4y kx =+,4y =, ∴4BO =, 又∵4ABO S ∆=,∴142AO BO ⋅=,4AO =, ∴(4,0)A -,把4x =-,0y =代入4y kx =+, 得044k =-+, 解得1k =. 故答案为1;(2)解:把x t =代入4y x =+,4y t =+, ∴(,4)P t t +如图,过点P 作PD x ⊥轴,垂足为D ,过点C 作CE x ⊥轴,垂足为E ,∴90PDO CEO ∠=∠=︒, ∴90POD OPD ∠+∠=︒,∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC , ∴90POC ∠=︒,OP OC =, ∴90POD EOC ∠+∠=︒, ∴OPD EOC ∠=∠, ∴POD OCE ∆≅∆, ∴OE PD =,4m t =+.故答案为4m t =+.(3)解:如图,过点O 作直线OT AB ⊥,交直线BM 于点Q ,垂足为点T ,连接QP ,由(1)知,4AO BO ==,90BOA ∠=︒, ∴ABO ∆为等腰直角三角形,∴45ABO BAO ∠=∠=︒,9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠, ∴BT TO =, ∵90BTO ∠=︒, ∴90TPO TOP ∠+∠=︒, ∵PO BM ⊥, ∴90BNO ∠=︒, ∴BQT TPO ∠=∠, ∴QTB PTO ∆≅∆, ∴QT TP =,PO BQ =, ∴PQT QPT ∠=∠, ∵PO PK KB =+,∴QB PK KB =+,QK KP =, ∴KQP KPQ ∠=∠,∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠,TQB TPK ∠=∠, ∴KPB BPN ∠=∠, 设KPB x ∠=︒,∴BPN x ∠=︒, ∵2PMB KPB ∠=∠, ∴2PMB x ∠=︒,45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒,9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒, ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠, ∴PO PM =,过点P 作PD x ⊥轴,垂足为点D , ∴22OM OD t ==,9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠, tan tan OPD BMO ∠=∠, OD BO PD MO =,442t t t =+, 14t =,22t =-(舍)∴8OM =,由(2)知,48m t OM =+==, ∴CM y P 轴,∵90PNM POC ∠=∠=︒, ∴BM OC P ,∴四边形BOCM 是平行四边形, ∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=Y . 故答案为32. 【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题,全等三角形的判定和性质,解直角三角形,添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键.7.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,AB =4,动点P 从点A 出发,沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动.过点P 作PD ⊥AC 于点D (点P 不与点A ,B 重合),作∠DPQ =60°,边PQ 交射线DC 于点Q .设点P 的运动时间为t 秒.(1)用含t 的代数式表示线段DC 的长:_________________; (2)当t =__________时,点Q 与点C 重合时;(3)当线段PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时,求出t 的值. 【答案】(1);(2)1;(3)t 的值为或或.【解析】 【分析】(1)先求出AC,用三角函数求出AD,即可得出结论;(2)利用AQ=AC,即可得出结论;(3)分三种情况,利用锐角三角函数,即可得出结论.【详解】(1)∵AP= , AB=4,∠A=30°∴AC= , AD=∴CD=;(2)AQ=2AD=当AQ=AC时,Q与C重合即=∴t=1;(3)①如图,当PQ的垂直平分线过AB的中点F时,∴∠PGF=90°,PG=PQ=AP=t,AF=AB=2.∵∠A=∠AQP=30°,∴∠FPG=60°,∴∠PFG=30°,∴PF=2PG=2t,∴AP+PF=2t+2t=2,∴t=②如图,当PQ的垂直平分线过AC的中点N时,∴∠QMN=90°,AN=AC=,QM=PQ=AP=t.在Rt△NMQ中,∵AN+NQ=AQ,∴③如图,当PQ的垂直平分线过BC的中点F时,∴BF=BC=1,PE=PQ=t,∠H=30°.∵∠ABC=60°,∴∠BFH=30°=∠H,∴BH=BF=1.在Rt△PEH中,PH=2PE=2t.∵AH=AP+PH=AB+BH,∴2t+2t=5,∴t=.即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,t的值为或或.【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了等腰三角形的判定和性质,锐角三角函数,垂直平分线的性质,正确作出图形是解本题的关键.8.已知:如图,直线y=-x+12分别交x轴、y轴于A、B点,将△AOB折叠,使A点恰好落在OB的中点C处,折痕为DE.(1)求AE的长及sin∠BEC的值;(2)求△CDE的面积.【答案】(1)2,sin∠BEC=35;(2)754【解析】【分析】(1)如图,作CF⊥BE于F点,由函数解析式可得点B,点A坐标,继而可得∠A=∠B=45°,再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6,2,设AE=CE=x,则222-x,在Rt△CEF中,利用勾股定理求出x 的值即可求得答案;(2)如图,过点E作EM⊥OA于点M,根据三角形面积公式则可得S△CDE=S△AED=24AD×AE,设AD=y,则CD=y,OD=12-y,在Rt△OCD中,利用勾股定理求出y,继而可求得答案.【详解】(1)如图,作CF⊥BE于F点,由函数解析式可得点B(0,12),点A(12,0),∠A=∠B=45°,又∵点C是OB中点,∴OC=BC=6,CF=BF=32,设AE=CE=x,则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x,在Rt△CEF中,CE2=CF2+EF2,即x2=(92-x)2+(32)2,解得:x=52,故可得sin∠BEC=35CFCE,AE=52;(2)如图,过点E作EM⊥OA于点M,则S△CDE=S△AED=12AD•EM=12AD×AEsin∠EAM=12AD•AE×sin45°=24AD×AE,设AD=y,则CD=y,OD=12-y,在Rt△OCD中,OC2+OD2=CD2,即62+(12-y)2=y2,解得:y=152,即AD=152,故S△CDE=S△AED=24AD×AE=754.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数的性质等知识,综合性较强,正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.9.如图,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过点,.点为轴上一动点,过点且垂直于轴的直线分别交直线及抛物线于点,.(1)填空:点的坐标为,抛物线的解析式为;(2)当点在线段上运动时(不与点,重合),①当为何值时,线段最大值,并求出的最大值;②求出使为直角三角形时的值;(3)若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是,请直接写出此时由点,,,构成的四边形的面积.【答案】(1),;(2)①当时,有最大值是3;②使为直角三角形时的值为3或;(3)点,,,构成的四边形的面积为:6或或.【解析】【分析】(1)把点A坐标代入直线表达式y=,求出a=−3,把点A、B的坐标代入二次函数表达式,即可求解;(2)①设:点P(m,),N(m,)求出PN值的表达式,即可求解;②分∠BNP=90°、∠NBP=90°、∠BPN=90°三种情况,求解即可;(3)若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h,则只能出现:在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N,在直线AB上方的交点有两个,分别求解即可.【详解】解:(1)把点坐标代入直线表达式,解得:,则:直线表达式为:,令,则:,则点坐标为,将点的坐标代入二次函数表达式得:,把点的坐标代入二次函数表达式得:,解得:,故:抛物线的解析式为:,故:答案为:,;(2)①∵在线段上,且轴,∴点,,∴,∵,∴抛物线开口向下,∴当时,有最大值是3,②当时,点的纵坐标为-3,把代入抛物线的表达式得:,解得:或0(舍去),∴;当时,∵,两直线垂直,其值相乘为-1,设:直线的表达式为:,把点的坐标代入上式,解得:,则:直线的表达式为:,将上式与抛物线的表达式联立并解得:或0(舍去),当时,不合题意舍去,故:使为直角三角形时的值为3或;(3)∵,,在中,,则:,,∵轴,∴,若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是,则只能出现:在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点,在直线上方的交点有两个.当过点的直线与抛物线有一个交点, 点的坐标为,设:点坐标为:,则:,过点作的平行线,则点所在的直线表达式为:,将点坐标代入,解得:过点直线表达式为:,将拋物线的表达式与上式联立并整理得:,,将代入上式并整理得:,解得:,则点的坐标为, 则:点坐标为,则:,∵,,∴四边形为平行四边形,则点到直线的距离等于点到直线的距离,即:过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点,即:、,直线的表达式为:,将该表达式与二次函数表达式联立并整理得:,解得:, 则点、的横坐标分别为,,作交直线于点,则,作轴,交轴于点,则:,,,则:,同理:,故:点,,,构成的四边形的面积为:6或或.【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识,其中(3)中确定点N 的位置是本题的难点,核心是通过△=0,确定图中N 点的坐标.10.如图所示,一堤坝的坡角62ABC ∠=︒,坡面长度25AB =米(图为横截面),为了使堤坝更加牢固,一施工队欲改变堤坝的坡面,使得坡面的坡角50ADB ∠=︒,则此时应将坝底向外拓宽多少米?(结果保留到0.01 米)(参考数据:sin620.88︒≈,cos620.47︒≈,tan50 1.20≈)【答案】6.58米【解析】试题分析:过A点作AE⊥CD于E.在Rt△ABE中,根据三角函数可得AE,BE,在Rt△ADE中,根据三角函数可得DE,再根据DB=DE﹣BE即可求解.试题解析:过A点作AE⊥CD于E.在Rt△ABE中,∠ABE=62°.∴AE=AB•sin62°=25×0.88=22米,BE=AB•cos62°=25×0.47=11.75米,在Rt△ADE中,∠ADB=50°,∴DE==18米,∴DB=DE﹣BE≈6.58米.故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米.考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.11.已知:在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BE:AB=3:5,若CE= 2,cos∠ACD= 45,求tan∠AEC的值及CD的长.【答案】tan∠1212 5【解析】解:在RT△ACD与RT△ABC中∵∠ABC+∠CAD=90°, ∠ACD+∠CAD=90°∴∠ABC=∠ACD, ∴cos∠ABC=cos∠ACD=4 5在RT △ABC 中,45BC AB = 令BC=4k,AB=5k 则AC=3k 由35BE AB = ,BE=3k 则CE=k,且CE=2 则k=2,AC=32 ∴RT △ACE 中,tan ∠AEC=ACEC=3 ∵RT △ACD 中cos ∠ACD=45CD AC = ,,CD=12125.12.如图所示,小华在湖边看到湖中有一棵树AB ,AB 与水面AC 垂直.此时,小华的眼睛所在位置D 到湖面的距离DC 为4米.她测得树梢B 点的仰角为30°,测得树梢B 点在水中的倒影B′点的俯角45°.求树高AB (结果保留根号)【答案】AB=(3)m . 【解析】 【分析】设BE=x ,则BA=x+4,B′E=x+8,根据∠ADB′=45°,可知DE=B′E=x+8,再由tan30°=BEDE即可得出x 的值,进而得到答案, 【详解】如图:过点D 作DE ⊥AB 于点E , 设BE=x ,则BA=x+4,B′E=x+8, ∵∠ADB′=45°, ∴DE=B′E=x+8, ∵∠BDE=30°, ∴tan30°=383BE x DE x ==+ ,解得3, ∴AB=BE+4=(3)m .【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数的定义是解答此题的关键。

中考数学提高题专题复习直角三角形的边角关系练习题含详细答案

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中考数学提高题专题复习直角三角形的边角关系练习题含详细答案一、直角三角形的边角关系1.如图,山坡上有一棵树AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为63米,山坡的坡角为30°.小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高,点C到测角仪EF的水平距离CF=1米,从E处测得树顶部A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树AB的高度.(参考数值:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)【答案】6.4米【解析】解:∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米,山坡的坡角为30°.∴DC=BC•cos30°=3=⨯=米,639∵CF=1米,∴DC=9+1=10米,∴GE=10米,∵∠AEG=45°,∴AG=EG=10米,在直角三角形BGF中,BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米,∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米,答:树高约为6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的长,然后求得DF的长,进而求得GF的长,然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长,从而求得树高2.在等腰△ABC中,∠B=90°,AM是△ABC的角平分线,过点M作MN⊥AC于点N,∠EMF=135°.将∠EMF绕点M旋转,使∠EMF的两边交直线AB于点E,交直线AC于点F,请解答下列问题:(1)当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时,求证:BE+CF=BM;(2)当∠EMF绕点M旋转到如图②,图③的位置时,请分别写出线段BE,CF,BM之间的数量关系,不需要证明;(3)在(1)和(2)的条件下,tan∠BEM=,AN=+1,则BM=,CF=.【答案】(1)证明见解析(2)见解析(3)1,1+或1﹣【解析】【分析】(1)由等腰△ABC中,∠B=90°,AM是△ABC的角平分线,过点M作MN⊥AC于点N,可得BM=MN,∠BMN=135°,又∠EMF=135°,可证明的△BME≌△NMF,可得BE=NF,NC=NM=BM进而得出结论;(2)①如图②时,同(1)可证△BME≌△NMF,可得BE﹣CF=BM,②如图③时,同(1)可证△BME≌△NMF,可得CF﹣BE=BM;(3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中,,可得Rt△ABM≌Rt△ANM,后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长,结合(1)(2)的结论对图①②③进行讨论可得CF的长.【详解】(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠C=45°,∵AM是∠BAC的平分线,MN⊥AC,∴BM=MN,在四边形ABMN中,∠,BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°,∵∠ENF=135°,,∴∠BME=∠NMF,∴△BME≌△NMF,∴BE=NF,∵MN⊥AC,∠C=45°,∴∠CMN=∠C=45°,∴NC=NM=BM,∵CN=CF+NF,∴BE+CF=BM;(2)针对图2,同(1)的方法得,△BME≌△NMF,∴BE=NF,∵MN⊥AC,∠C=45°,∴∠CMN=∠C=45°,∴NC=NM=BM,∵NC=NF﹣CF,∴BE﹣CF=BM;针对图3,同(1)的方法得,△BME≌△NMF,∴BE=NF,∵MN⊥AC,∠C=45°,∴∠CMN=∠C=45°,∴NC=NM=BM,∵NC=CF﹣NF,∴CF﹣BE=BM;(3)在Rt△ABM和Rt△ANM中,,∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL),∴AB=AN=+1,在Rt△ABC中,AC=AB=+1,∴AC=AB=2+,∴CN=AC﹣AN=2+﹣(+1)=1,在Rt△CMN中,CM=CN=,∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1,在Rt△BME中,tan∠BEM===,∴BE=,∴①由(1)知,如图1,BE+CF=BM,∴CF=BM﹣BE=1﹣②由(2)知,如图2,由tan∠BEM=,∴此种情况不成立;③由(2)知,如图3,CF﹣BE=BM,∴CF=BM+BE=1+,故答案为1,1+或1﹣.【点睛】本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合,难度较大,需综合运用所学知识求解.3.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G,连接AG交CD于K.(1)求证:KE=GE;(2)若KG2=KD•GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由;(3)在(2)的条件下,若sinE=,AK=,求FG的长.【答案】(1)证明见解析;(2)AC∥EF,证明见解析;(3)FG= .【解析】试题分析:(1)如图1,连接OG.根据切线性质及CD⊥AB,可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE,根据等角对等边得到KE=GE;(2)AC与EF平行,理由为:如图2所示,连接GD,由∠KGE=∠GKE,及KG2=KD•GE,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似,又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD,可推知∠E=∠C,从而得到AC∥EF;(3)如图3所示,连接OG,OC,先求出KE=GE,再求出圆的半径,根据勾股定理与垂径定理可以求解;然后在Rt△OGF中,解直角三角形即可求得FG的长度.试题解析:(1)如图1,连接OG.∵EG为切线,∴∠KGE+∠OGA=90°,∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°,又∵OA=OG,∴∠OGA=∠OAG,∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,∴KE=GE.(2)AC∥EF,理由为连接GD,如图2所示.∵KG2=KD•GE,即,∴,又∵∠KGE=∠GKE,∴△GKD∽△EGK,∴∠E=∠AGD,又∵∠C=∠AGD,∴∠E=∠C,∴AC∥EF;(3)连接OG,OC,如图3所示,∵EG为切线,∴∠KGE+∠OGA=90°,∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°,又∵OA=OG,∴∠OGA=∠OAG,∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,∴KE=GE.∵sinE=sin∠ACH=,设AH=3t,则AC=5t,CH=4t,∵KE=GE,AC∥EF,∴CK=AC=5t,∴HK=CK-CH=t.在Rt△AHK中,根据勾股定理得AH2+HK2=AK2,即(3t)2+t2=(2)2,解得t=.设⊙O半径为r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r-3t,CH=4t,由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,即(r-3t)2+(4t)2=r2,解得r= t=.∵EF为切线,∴△OGF为直角三角形,在Rt△OGF中,OG=r=,tan∠OFG=tan∠CAH=,∴FG=【点睛】此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,垂径定理,勾股定理,锐角三角函数定义,圆周角定理,平行线的判定,以及等腰三角形的判定,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.4.已知:△ABC内接于⊙O,D是弧BC上一点,OD⊥BC,垂足为H.(1)如图1,当圆心O在AB边上时,求证:AC=2OH;(2)如图2,当圆心O在△ABC外部时,连接AD、CD,AD与BC交于点P,求证:∠ACD=∠APB;(3)在(2)的条件下,如图3,连接BD,E为⊙O上一点,连接DE交BC于点Q、交AB 于点N,连接OE,BF为⊙O的弦,BF⊥OE于点R交DE于点G,若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,AC=,BN=,tan∠ABC=,求BF的长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)24.【解析】试题分析:(1)易证OH为△ABC的中位线,可得AC=2OH;(2)∠APB=∠PAC+∠ACP,∠ACD=∠ACB+∠BCD,又∵∠PAC =∠BCD,可证∠ACD=∠APB;(3)连接AO延长交于⊙O于点I,连接IC,AB与OD相交于点M,连接OB,易证∠GBN=∠ABC,所以BG=BQ.在Rt△BNQ中,根据tan∠ABC=,可求得NQ、BQ的长.利用圆周角定理可求得IC和AI的长度,设QH=x,利用勾股定理可求出QH和HD的长度,利用垂径定理可求得ED的长度,最后利用tan∠OED=即可求得RG的长度,最后由垂径定理可求得BF的长度.试题解析:(1)在⊙O中,∵OD⊥BC,∴BH=HC,∵点O是AB的中点,∴AC=2OH;(2)在⊙O中,∵OD⊥BC,∴弧BD=弧CD,∴∠PAC=∠BCD,∵∠APB=∠PAC+∠ACP,∠ACD=∠ACB+∠BCD,∴∠ACD=∠APB;(3)连接AO延长交于⊙O于点I,连接IC,AB 与OD相交于点M,连接OB,∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN,∵∠ABD+∠BDN=∠AND,∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND,∵∠ACD+∠ABD=180°,∴2∠AND=180°,∴∠AND=90°,∵tan∠ABC=,∴,∴,∴,∵∠BNQ=∠QHD=90°,∴∠ABC=∠QDH,∵OE=OD,∴∠OED=∠QDH,∵∠ERG=90°,∴∠OED=∠GBN,∴∠GBN=∠ABC,∵AB⊥ED,∴BG=BQ=,GN=NQ=,∵∠ACI=90°,tan∠AIC=tan∠ABC=,∴,∴IC=,∴由勾股定理可求得:AI=25,设QH=x,∵tan∠ABC=tan∠ODE=,∴,∴HD=2x,∴OH=OD﹣HD=,BH=BQ+QH=,∵OB2=BH2+OH2,∴,解得:,当QH=时,∴QD=,∴ND=,∴MN=,MD=15,∵,∴QH=不符合题意,舍去,当QH=时,∴QD=∴ND=NQ+QD=,ED=,∴GD=GN+ND=,∴EG=ED﹣GD=,∵tan∠OED=,∴,∴EG=RG,∴RG=,∴ BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24.考点:1圆;2相似三角形;3三角函数;4直角三角形.5.某条道路上通行车辆限速60千米/时,道路的AB段为监测区,监测点P到AB的距离PH为50米(如图).已知点P在点A的北偏东45°方向上,且在点B的北偏西60°方向上,点B在点A的北偏东75°方向上,那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内,可认定为超速?(参考数据:3≈1.7,2≈1.4).【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内,可认定为超速【解析】分析:根据点到直线的距离的性质,构造直角三角形,然后利用解直角三角形的应用,解直角三角形即可.详解:如图,由题意知∠CAB=75°,∠CAP=45°,∠PBD=60°,∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°,∵∠PHA=∠PHB=90°,PH=50,∴AH=tan PH PAH33,∵AC∥BD,∴∠ABD=180°–∠CAB=105°,∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°,则PH=BH=50,∴3,∵60千米/时=503米/秒,∴时间t=50350503+=3+33≈8.1(秒),即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内,可认定为超速.点睛:该题考查学生通过构建直角三角形,利用某个度数的三角函数值求出具体边长,即实际路程,并进行判断相关的量。

中考数学直角三角形的边角关系-经典压轴题

中考数学直角三角形的边角关系-经典压轴题

∴ PD = PE = DE =2, DO DE OE
∴ DE=2OE,

Rt△
OED
中,OE2+DE2=OD2,即
5OE2=
5 2
2
=
25 4

∴ OE= 5 . 2
【点睛】 本题考查了切线的性质;锐角三角函数;勾股定理和相似三角形的判定与性质,充分利用
tan∠ PDA= 3 ,得线段的长是解题关键. 4
∴ ∠ GBO=∠ EPO .∴ △ BOG≌ △ POE(AAS).
(2) BF 1 .证明如下: PE 2
如图,过 P 作 PM//AC 交 BG 于 M,交 BO 于 N,
∴ ∠ PNE=∠ BOC=900, ∠ BPN=∠ OCB.
∵ ∠ OBC=∠ OCB =450, ∴ ∠ NBP=∠ NPB.
则 BE=(3 3 +3)米.
在直角△ BEQ 中,QE= 3 BE= 3 (3 3 +3)=(3+ 3 )米. 33
∴ PQ=PE-QE=9+3 3 -(3+ 3 )=6+2 3 ≈9(米).
答:电线杆 PQ 的高度约 9 米. 考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
2.在正方形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,点 P 在线段 BC 上(不含点 B),
(1)由正方形的性质可由 AAS 证得△ BOG≌ △ POE.
(2)过 P 作 PM//AC 交 BG 于 M,交 BO 于 N,通过 ASA 证明△ BMN≌ △ PEN 得到
BM=PE,通过 ASA 证明△ BPF≌ △ MPF 得到 BF=MF,即可得出 BF 1 的结论. PE 2

直角三角形的边角关系练习题及答案

直角三角形的边角关系练习题及答案

一、选择题(每小题3分,共36分)1.(2022河口模拟)在△ABC中,∠A=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则下列选项中不正确的是( C )A.sin B=ba B.sin C=caC.cos B=bc D.tan B=bc2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=12,则AB的长是( C )A.2B.8C.2√5D.4√53.若锐角A满足sin A=√32,则∠A的度数是( C )A.30°B.45°C.60°D.75°4.(2022张店模拟)在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=512,则cos A等于( D )A.512B.125C.513D.12135.在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则cos B的值为( B )第5题图A.12B.√22C.√32D.√336.(2022福山模拟)按如图所示的运算程序,能使输出y 值为12的是( C )第6题图A.α=60°,β=45°B.α=30°,β=45°C.α=30°,β=30°D.α=45°,β=30°7.在△ABC 中,∠A 和∠B 都是锐角,且sin A=12,cos B=√22,则△ABC 三个内角的大小关系为( D ) A.∠C>∠A>∠B B.∠B>∠C>∠A C.∠A>∠B>∠C D.∠C>∠B>∠A8.一辆小车沿着斜坡向上行驶了100 m,其铅直高度上升了15 m,在用科学计算器求坡角α的度数时,其按键顺序是( A )9.如图所示,一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向,距离灯塔 60 n mile 的A 处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处,这时,B 处与灯塔P 的距离为( B )A.60√3 n mileB.60√2 n mileC.30√3 n mileD.30√2 n mile10.如图所示,△ABC,△FED区域为驾驶员的盲区,驾驶员视线PB与地面BE的夹角为∠PBE=43°,视线PE与地面BE的夹角为∠PEB=20°,点A,F为视线与车窗底端的交点,AF∥BE,AC⊥BE,FD⊥BE,若A点到B 点的距离AB=1.6 m,则盲区中DE的长度是(参考数据:sin 43°≈0.7,tan 43°≈0.9,sin 20°≈0.3,tan 20°≈0.4)( B )A.2.6 mB.2.8 mC.3.4 mD.4.5 m11.如图所示,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿直线AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.若AB=3,BC=5,则tan∠DAE的值为( D )A.12B.920C.25D.1312.因为cos 60°=12,cos 240°=-12,所以cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°;由此猜想、推理知:当α为锐角时有cos(180°+α)=-cos α,由此可知cos 210°的值为( C )A.-12B.-√22C.-√32D.-√3二、填空题(每小题3分,共18分)13.已知在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则cos B 的值为5.1314.如图所示,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,CD=8.连接AC,AC⊥,则AD的长度是10 .CD,若sin∠ACB=13第14题图15.平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋,其示意图如图所示,量得∠A为54°,∠B为36°,边AB的长为2.1 m,BC边上露出部分BD的长为0.9 m,则铁板BC边被掩埋部分CD的长为0.8 m.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 54°≈0.81,cos 54°≈0.59,tan 54°≈1.38)第15题图16.(2021东营期末)直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6,8,现将△ABC按如图所示方式折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值为7.24第16题图17.如图所示,小明在距离地面30 m 的P 处测得小山山顶A 处的俯角为15°,山脚B 处的俯角为60°.若山坡AB 的坡度为1∶√3,则小山的高度为 10√3 m.(结果保留根号)第17题图18.(2022任城模拟)规定:sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x, sin(x+y)=sin x ·cos y+cos x ·sin y.据此判断下列等式成立的是 ②③④ .(写出所有正确的序号) ①cos(-60°)=-12;②sin 75°=√6+√24; ③sin 2x=2sin x ·cos x;④sin(x-y)=sin x ·cos y-cos x ·sin y. 三、解答题(共46分) 19.(6分)计算:(1)sin 60°-cos 60°·tan 45°+12√1-2tan30°+tan 230°; (2)sin 245°+cos 230°-tan 260°.解:(1)原式=√32-12×1+12√(1-tan30°)2=√32-12+12×(1-√33) =√33.(2)原式=(√22)2+(√32)2-(√3)2=12+34-3=-74.20.(8分)如图所示,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,AE 是BC 边上的中线,∠C=45°,sin B=13,AD=1.(1)求BC 的长; (2)求tan ∠DAE 的值. 解:(1)∵AD 是BC 边上的高, ∴AD ⊥BC.在Rt △ABD 中,sin B=AD AB =13,AD=1,∴AB=3,∴BD=√AB 2-AD 2=√32-12=2√2. 在Rt △ADC 中,∵∠C=45°,∴CD=AD=1. ∴BC=BD+CD=2√2+1. ∴BC 的长为2√2+1.(2)∵AE 是BC 边上的中线,∴CE=12BC=2√2+12, ∴DE=CE-CD=2√2+12-1=√2-12, ∴tan ∠DAE=DE AD=√2-121=√2-12.21.(10分)汛期即将来临,为保证市民的生命和财产安全,市政府决定对一段长200 m 且横断面为梯形的大坝用土石进行加固.如图所示,加固前大坝背水坡坡面从A 至B 共有30级阶梯,平均每级阶梯高 30 cm,斜坡AB 的坡度为1∶1;加固后,坝顶宽度增加2 m,斜坡EF 的坡度为1∶√5,求BF 的长.(结果保留根号)解:如图所示,过点A作AH⊥BC于点H,过点E作EG⊥BC于点G,则四边形EGHA是矩形.∴EG=AH,GH=AE=2 m.∵斜坡AB的坡度为1∶1,∴AH=BH=30×30=900 cm=9 m.∴BG=BH-HG=9-2=7(m).∵斜坡EF的坡度为1∶√5,∴FG=9√5 m.∴BF=FG-BG=(9√5-7)m.∴BF的长为(9√5-7)m.22.(12分)(2020包头)如图所示,一个人骑自行车由A地到C地途经B地,当他由A地出发时,发现他的北偏东45°方向有一电视塔P.他由A地向正北方向骑行了3√2 km到达B地,发现电视塔P在他北偏东75°方向,然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6 km到达C地.(1)求A地与电视塔P的距离;(2)求C地与电视塔P的距离.解:(1)如图所示,过点B 作BD ⊥AP 于点D. 在Rt △ABD 中,∠BAD=45°,AB=3√2 km,∴AD=BD=AB ×sin ∠BAD=3√2×sin 45°=3√2×√22=3(km). ∵∠PBN=75°,∴∠APB=∠PBN-∠PAB=75°-45°=30°. ∴在Rt △BDP 中,PD=BDtan∠APB =3tan30°=√33=3√3(km),PB=2BD=2×3=6(km). ∴AP=AD+PD=(3+3√3)km.∴A 地与电视塔P 的距离为(3+3√3)km. (2)∵∠PBN=75°,∠CBN=15°, ∴∠CBP=60°. ∵BP=BC=6 km, ∴△BPC 为等边三角形. ∴PC=6 km.∴C 地与电视塔P 的距离为6 km.23.(10分)(2022垦利模拟)数学活动课上,小明和小红要测量小河对岸大树BC 的高度,小红在点A 测得大树顶端B 的仰角为45°,小明从A点出发沿斜坡走3√5 m到达斜坡上点D,在此处测得树顶端点B的仰角为31°,且斜坡AF的坡比为1∶2.(1)求小明从点A到点D的过程中,他上升的高度;(2)依据他们测量的数据能否求出大树BC的高度?若能,请计算;若不能,请说明理由.(参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86, tan 31°≈0.60)解:(1)如图所示,过点D作DH⊥AE于H.在Rt△ADH中,∵DHAH =12,∴AH=2DH.∵AH2+DH2=AD2,∴(2DH)2+DH2=(3√5)2,解得DH=3,故小明从点A到点D的过程中,他上升的高度为3 m.(2)如图所示,延长BD交AE于点G,设BC=x m,由题意得∠G=31°,∴GH=DHtanG ≈30.60=5.∵AH=2DH=6,∴GA=GH+AH=5+6=11.在Rt△BGC中,tan G=BCGC ,∴CG=BCtanG≈x0.60=53x.在Rt△BAC中,∠BAC=45°,∴AC=BC=x.∵GC-AC=AG,∴53x-x=11,解得x=16.5.故大树的高度约为16.5 m.。

备战中考数学易错题精选-直角三角形的边角关系练习题含详细答案

备战中考数学易错题精选-直角三角形的边角关系练习题含详细答案

备战中考数学易错题精选-直角三角形的边角关系练习题含详细答案一、直角三角形的边角关系1.如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度(3=1.7).【答案】32.4米.【解析】试题分析:首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解.试题解析:如图,过点B作BE⊥CD于点E,根据题意,∠DBE=45°,∠CBE=30°.∵AB⊥AC,CD⊥AC,∴四边形ABEC为矩形,∴CE=AB=12m,在Rt△CBE中,cot∠CBE=BE CE,∴BE=CE•cot30°=12×3=123,在Rt△BDE中,由∠DBE=45°,得DE=BE=123.∴CD=CE+DE=12(3+1)≈32.4.答:楼房CD的高度约为32.4m.考点:解直角三角形的应用——仰角俯角问题.2.如图(1),在平面直角坐标系中,点A(0,﹣6),点B(6,0).Rt△CDE中,∠CDE=90°,CD=4,DE=4,直角边CD在y轴上,且点C与点A重合.Rt△CDE沿y轴正方向平行移动,当点C运动到点O时停止运动.解答下列问题:(1)如图(2),当Rt△CDE运动到点D与点O重合时,设CE交AB于点M,求∠BME 的度数.(2)如图(3),在Rt△CDE的运动过程中,当CE经过点B时,求BC的长.(3)在Rt△CDE的运动过程中,设AC=h,△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S,请写出S与h之间的函数关系式,并求出面积S的最大值.【答案】(1)∠BME=15°;(2BC=4;(3)h≤2时,S=﹣h2+4h+8,当h≥2时,S=18﹣3h.【解析】试题分析:(1)如图2,由对顶角的定义知,∠BME=∠CMA,要求∠BME的度数,需先求出∠CMA的度数.根据三角形外角的定理进行解答即可;(2)如图3,由已知可知∠OBC=∠DEC=30°,又OB=6,通过解直角△BOC就可求出BC的长度;(3)需要分类讨论:①h≤2时,如图4,作MN⊥y轴交y轴于点N,作MF⊥DE交DE于点F,S=S△EDC﹣S△EFM;②当h≥2时,如图3,S=S△OBC.试题解析:解:(1)如图2,∵在平面直角坐标系中,点A(0,﹣6),点B(6,0).∴OA=OB,∴∠OAB=45°,∵∠CDE=90°,CD=4,DE=4,∴∠OCE=60°,∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°,∴∠BME=∠CMA=15°;如图3,∵∠CDE=90°,CD=4,DE=4,∴∠OBC=∠DEC=30°,∵OB=6,∴BC=4;(3)①h≤2时,如图4,作MN⊥y轴交y轴于点N,作MF⊥DE交DE于点F,∵CD=4,DE=4,AC=h,AN=NM,∴CN=4﹣FM,AN=MN=4+h﹣FM,∵△CMN∽△CED,∴,∴,解得FM=4﹣,∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣(44﹣h)×(4﹣)=﹣h2+4h+8,②如图3,当h≥2时,S=S△OBC=OC×OB=(6﹣h)×6=18﹣3h.考点:1、三角形的外角定理;2、相似;3、解直角三角形3.在等腰△ABC中,∠B=90°,AM是△ABC的角平分线,过点M作MN⊥AC于点N,∠EMF=135°.将∠EMF绕点M旋转,使∠EMF的两边交直线AB于点E,交直线AC于点F,请解答下列问题:(1)当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时,求证:BE+CF=BM;(2)当∠EMF绕点M旋转到如图②,图③的位置时,请分别写出线段BE,CF,BM之间的数量关系,不需要证明;(3)在(1)和(2)的条件下,tan∠BEM=,AN=+1,则BM=,CF=.【答案】(1)证明见解析(2)见解析(3)1,1+或1﹣【解析】【分析】(1)由等腰△ABC中,∠B=90°,AM是△ABC的角平分线,过点M作MN⊥AC于点N,可得BM=MN,∠BMN=135°,又∠EMF=135°,可证明的△BME≌△NMF,可得BE=NF,NC=NM=BM进而得出结论;(2)①如图②时,同(1)可证△BME≌△NMF,可得BE﹣CF=BM,②如图③时,同(1)可证△BME≌△NMF,可得CF﹣BE=BM;(3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中,,可得Rt△ABM≌Rt△ANM,后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长,结合(1)(2)的结论对图①②③进行讨论可得CF的长.【详解】(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠C=45°,∵AM是∠BAC的平分线,MN⊥AC,∴BM=MN,在四边形ABMN中,∠,BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°,∵∠ENF=135°,,∴∠BME=∠NMF,∴△BME≌△NMF,∴BE=NF,∵MN⊥AC,∠C=45°,∴∠CMN=∠C=45°,∴NC=NM=BM,∵CN=CF+NF,∴BE+CF=BM;(2)针对图2,同(1)的方法得,△BME≌△NMF,∴BE=NF,∵MN⊥AC,∠C=45°,∴∠CMN=∠C=45°,∴NC=NM=BM,∵NC=NF﹣CF,∴BE﹣CF=BM;针对图3,同(1)的方法得,△BME≌△NMF,∴BE=NF,∵MN⊥AC,∠C=45°,∴∠CMN=∠C=45°,∴NC=NM=BM,∵NC=CF﹣NF,∴CF﹣BE=BM;(3)在Rt△ABM和Rt△ANM中,,∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL),∴AB=AN=+1,在Rt△ABC中,AC=AB=+1,∴AC=AB=2+,∴CN=AC﹣AN=2+﹣(+1)=1,在Rt△CMN中,CM=CN=,∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1,在Rt△BME中,tan∠BEM===,∴BE=,∴①由(1)知,如图1,BE+CF=BM,∴CF=BM﹣BE=1﹣②由(2)知,如图2,由tan∠BEM=,∴此种情况不成立;③由(2)知,如图3,CF﹣BE=BM,∴CF=BM+BE=1+,故答案为1,1+或1﹣.【点睛】本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合,难度较大,需综合运用所学知识求解.4.问题背景:如图(a),点A、B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小,我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C,则点C即为所求.(1)实践运用:如图(b),已知,⊙O的直径CD为4,点A 在⊙O 上,∠ACD=30°,B 为弧AD 的中点,P为直径CD上一动点,则BP+AP的最小值为.(2)知识拓展:如图(c),在Rt△ABC中,AB=10,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,E、F分别是线段AD和AB上的动点,求BE+EF的最小值,并写出解答过程.【答案】解:(1)22.(2)如图,在斜边AC上截取AB′=AB,连接BB′.∵AD平分∠BAC,∴点B与点B′关于直线AD对称.过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E,连接BE.则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) .在Rt△AFB/中,∵∠BAC=450, AB/="AB=" 10,∴.∴BE+EF的最小值为【解析】试题分析:(1)找点A或点B关于CD的对称点,再连接其中一点的对称点和另一点,和MN的交点P就是所求作的位置,根据题意先求出∠C′AE,再根据勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值:如图作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点P,此时PA+PB最小,且等于A.作直径AC′,连接C′E,根据垂径定理得弧BD=弧DE.∵∠ACD=30°,∴∠AOD=60°,∠DOE=30°.∴∠AOE=90°.∴∠C′AE=45°.又AC为圆的直径,∴∠AE C′=90°.∴∠C′=∠C′AE=45°.∴C′E=AE=AC′=22.∴AP+BP的最小值是22.(2)首先在斜边AC上截取AB′=AB,连接BB′,再过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E,连接BE,则线段B′F的长即为所求.5.已知:△ABC内接于⊙O,D是弧BC上一点,OD⊥BC,垂足为H.(1)如图1,当圆心O在AB边上时,求证:AC=2OH;(2)如图2,当圆心O在△ABC外部时,连接AD、CD,AD与BC交于点P,求证:∠ACD=∠APB;(3)在(2)的条件下,如图3,连接BD,E为⊙O上一点,连接DE交BC于点Q、交AB 于点N,连接OE,BF为⊙O的弦,BF⊥OE于点R交DE于点G,若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,AC=,BN=,tan∠ABC=,求BF的长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)24.【解析】试题分析:(1)易证OH为△ABC的中位线,可得AC=2OH;(2)∠APB=∠PAC+∠ACP,∠ACD=∠ACB+∠BCD,又∵∠PAC =∠BCD,可证∠ACD=∠APB;(3)连接AO延长交于⊙O于点I,连接IC,AB与OD相交于点M,连接OB,易证∠GBN=∠ABC,所以BG=BQ.在Rt△BNQ中,根据tan∠ABC=,可求得NQ、BQ的长.利用圆周角定理可求得IC和AI 的长度,设QH=x,利用勾股定理可求出QH和HD的长度,利用垂径定理可求得ED的长度,最后利用tan∠OED=即可求得RG的长度,最后由垂径定理可求得BF的长度.试题解析:(1)在⊙O中,∵OD⊥BC,∴BH=HC,∵点O是AB的中点,∴AC=2OH;(2)在⊙O中,∵OD⊥BC,∴弧BD=弧CD,∴∠PAC=∠BCD,∵∠APB=∠PAC+∠ACP,∠ACD=∠ACB+∠BCD,∴∠ACD=∠APB;(3)连接AO延长交于⊙O于点I,连接IC,AB 与OD相交于点M,连接OB,∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN,∵∠ABD+∠BDN=∠AND,∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND,∵∠ACD+∠ABD=180°,∴2∠AND=180°,∴∠AND=90°,∵tan∠ABC=,∴,∴,∴,∵∠BNQ=∠QHD=90°,∴∠ABC=∠QDH,∵OE=OD,∴∠OED=∠QDH,∵∠ERG=90°,∴∠OED=∠GBN,∴∠GBN=∠ABC,∵AB⊥ED,∴BG=BQ=,GN=NQ=,∵∠ACI=90°,tan∠AIC=tan∠ABC=,∴,∴IC=,∴由勾股定理可求得:AI=25,设QH=x,∵tan∠ABC=tan∠ODE=,∴,∴HD=2x,∴OH=OD﹣HD=,BH=BQ+QH=,∵OB2=BH2+OH2,∴,解得:,当QH=时,∴QD=,∴ND=,∴MN=,MD=15,∵,∴QH=不符合题意,舍去,当QH=时,∴QD=∴ND=NQ+QD=,ED=,∴GD=GN+ND=,∴EG=ED﹣GD=,∵tan∠OED=,∴,∴EG=RG,∴RG=,∴ BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24.考点:1圆;2相似三角形;3三角函数;4直角三角形.6.我市在创建全国文明城市的过程中,某社区在甲楼的A 处与E 处之间悬挂了一副宣传条幅,在乙楼顶部C 点测得条幅顶端A 点的仰角为45°,条幅底端E 点的俯角为30°,若甲、乙两楼之间的水平距离BD 为12米,求条幅AE 的长度.(结果保留根号)【答案】AE 的长为(123)+【解析】【分析】在Rt ACF V 中求AF 的长, 在Rt CEF V 中求EF 的长,即可求解.【详解】过点C 作CF AB ⊥于点F由题知:四边形CDBF 为矩形12CF DB ∴==在Rt ACF V 中,45ACF ∠=︒tan 1AF ACF CF∴∠== 12AF ∴=在Rt CEF V 中,30ECF ∠=︒tan EF ECF CF∴∠= 312EF ∴= 43EF ∴=1243AE AF EF ∴=+=+ ∴求得AE 的长为()1243+【点睛】本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.7.在平面直角坐标系中,四边形OABC 是矩形,点()0,0O ,点()3,0A ,点()0,4C ,连接OB ,以点A 为中心,顺时针旋转矩形AOCB ,旋转角为()0360αα︒<<︒,得到矩形ADEF ,点,,O C B 的对应点分别为,,D E F .(Ⅰ)如图,当点D 落在对角线OB 上时,求点D 的坐标;(Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下,AB 与DE 交于点H .①求证BDE DBA ∆≅∆;②求点H 的坐标.(Ⅲ)α为何值时,FB FA =.(直接写出结果即可).【答案】(Ⅰ)点D 的坐标为5472(,)2525;(Ⅱ)①证明见解析;②点H 的坐标为(3,258);(Ⅲ)60α=︒或300︒.【解析】【分析】 (Ⅰ) 过A D 、分别作,AM OB DN OA ⊥⊥,根据点A 、点C 的坐标可得出OA 、OC 的长,根据矩形的性质可得AB 、OB 的长,在Rt △OAM 中,利用∠BOA 的余弦求出OM 的长,由旋转的性质可得OA=AD ,利用等腰三角形的性质可得OD=2OM ,在Rt △ODN 中,利用∠BOA 的正弦和余弦可求出DN 和ON 的长,即可得答案;(Ⅱ)①由等腰三角形性质可得∠DOA=∠ODA ,根据锐角互余的关系可得ABD BDE ∠∠=,利用SAS 即可证明△DBA ≌△BDE ;②根据△DBA ≌△BDE 可得∠BEH=∠DAH ,BE=AD ,即可证明△BHE ≌△DHA ,可得DH=BH ,设AH=x ,在Rt △ADH 中,利用勾股定理求出x 的值即可得答案;(Ⅲ)如图,过F 作FO ⊥AB ,由性质性质可得∠BAF=α,分别讨论0<α≤180°时和180°<α<360°时两种情况,根据FB=FA 可得OA=OB ,利用勾股定理求出FO 的长,由余弦的定义即可求出∠BAF 的度数.【详解】(Ⅰ)∵点()30A ,,点()04C ,, ∴3,4OA OC ==. ∵四边形OABC 是矩形, ∴AB=OC=4,∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的 ∴3AD AO ==.在Rt OAB ∆中,225OB OA AB =+=, 过A D 、分别作B,DN OA AM O ⊥⊥ 在Rt ΔOAM 中,OM OA 3cos BOA OA OB 5∠===, ∴9OM 5=∵AD=OA ,AM ⊥OB , ∴18OD 2OM 5==. 在Rt ΔODN 中:DN 4sin BOA OD 5∠==,cos ∠BOA=ON OD =35, ∴72DN 25=,54ON 25=. ∴点D 的坐标为5472,2525⎛⎫⎪⎝⎭.(Ⅱ)①∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的, ∴OA AD 3,ADE 90,DE AB 4∠===︒==. ∴OD AD =.∴DOA ODA ∠∠=.又∵DOA OBA 90∠∠+=︒,BDH ADO 90∠∠+=︒ ∴ABD BDE ∠∠=.又∵BD BD =, ∴ΔBDE ΔDBA ≅.②由ΔBDE ΔDBA ≅,得BEH DAH ∠∠=,BE AD 3==,又∵BHE DHA ∠∠=,∴ΔBHE ΔDHA ≅. ∴DH=BH ,设AH x =,则DH BH 4x ==-, 在Rt ΔADH 中,222AH AD DH =+, 即()222x 34x =+-,得25x 8=, ∴25AH 8=. ∴点H 的坐标为253,8⎛⎫⎪⎝⎭.(Ⅲ)如图,过F 作FO ⊥AB , 当0<α≤180°时,∵点B 与点F 是对应点,A 为旋转中心, ∴∠BAF 为旋转角,即∠BAF=α,AB=AF=4, ∵FA=FB ,FO ⊥AB , ∴OA=12AB=2, ∴cos ∠BAF=OA AF =12, ∴∠BAF=60°,即α=60°, 当180°<α<360°时,同理解得:∠BAF′=60°, ∴旋转角α=360°-60°=300°.综上所述:α60=︒或300︒. 【点睛】本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识,正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.8.如图,在矩形ABCD 中,AB =6cm ,AD =8cm ,连接BD ,将△ABD 绕B 点作顺时针方向旋转得到△A ′B ′D ′(B ′与B 重合),且点D ′刚好落在BC 的延长上,A ′D ′与CD 相交于点E . (1)求矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分(如图1中阴影部分A ′B ′CE )的面积;(2)将△A ′B ′D ′以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移,如图2,当B ′移动到C 点时停止移动.设矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分的面积为y ,移动的时间为x ,请你直接写出y 关于x 的函数关系式,并指出自变量x 的取值范围;(3)在(2)的平移过程中,是否存在这样的时间x ,使得△AA ′B ′成为等腰三角形?若存在,请你直接写出对应的x 的值,若不存在,请你说明理由.【答案】(1)452;(2)详见解析;(3)使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有:0秒、32 669-. 【解析】 【分析】(1)根据旋转的性质可知B ′D ′=BD =10,CD ′=B ′D ′﹣BC =2,由tan ∠B ′D ′A ′='''''=A B CE A D CD 可求出CE ,即可计算△CED ′的面积,S ABCE =S ABD ′﹣S CED ′; (2)分类讨论,当0≤x ≤115时和当115<x ≤4时,分别列出函数表达式; (3)分类讨论,当AB ′=A ′B ′时;当AA ′=A ′B ′时;当AB ′=AA ′时,根据勾股定理列方程即可. 【详解】解:(1)∵AB =6cm ,AD =8cm , ∴BD =10cm ,根据旋转的性质可知B ′D ′=BD =10cm ,CD ′=B ′D ′﹣BC =2cm , ∵tan ∠B ′D ′A ′='''''=A B CE A D CD ∴682=CE ∴CE =32cm ,∴S ABCE =S ABD ′﹣S CED ′=8634522222⨯-⨯÷=(cm 2);(2)①当0≤x <115时,CD ′=2x +2,CE =32(x +1), ∴S △CD ′E =32x 2+3x +32, ∴y =12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32=﹣32x 2﹣3x +452; ②当115≤x ≤4时,B ′C =8﹣2x ,CE =43(8﹣2x ) ∴()214y 8223x =⨯-=83x 2﹣643x +1283. (3)①如图1,当AB ′=A ′B ′时,x =0秒;②如图2,当AA ′=A ′B ′时,A ′N =BM =BB ′+B ′M =2x +185,A ′M =NB =245, ∵AN 2+A ′N 2=36, ∴(6﹣245)2+(2x +185)2=36, 解得:x =669-,x =669--(舍去); ③如图2,当AB ′=AA ′时,A ′N =BM =BB ′+B ′M =2x +185,A ′M =NB =245, ∵AB 2+BB ′2=AN 2+A ′N 2 ∴36+4x 2=(6﹣245)2+(2x +185)2 解得:x =32. 综上所述,使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有:0秒、32秒、6695-.【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换,能够数形结合,运用分类讨论的思想方法全面的分析问题,思考问题是解决问题的关键.9.如图1,以点M(-1,0)为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D,直线y=-x-与⊙M相切于点H,交x轴于点E,交y轴于点F.(1)请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长;(2)如图2,弦HQ交x轴于点P,且DP:PH=3:2,求cos∠QHC的值;(3)如图3,点K为线段EC上一动点(不与E、C重合),连接BK交⊙M于点T,弦AT 交x轴于点N.是否存在一个常数a,始终满足MN·MK=a,如果存在,请求出a的值;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)OE=5,r=2,CH=2(2);(3)a=4【解析】【分析】(1)在直线y=-x-中,令y=0,可求得E的坐标,即可得到OE的长为5;连接MH,根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2;再由EC=MC=2,∠EHM=90°,可知CH 是RT△EHM斜边上的中线,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长;(2)连接DQ、CQ.根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD,从而求得DQ的长,在直角三角形CDQ中,即可求得∠D的余弦值,即为cos∠QHC的值;(3)连接AK,AM,延长AM,与圆交于点G,连接TG,由圆周角定理可知,∠GTA=90°,∠3=∠4,故∠AKC=∠MAN,再由△AMK∽△NMA即可得出结论.【详解】(1)OE=5,r=2,CH=2(2)如图1,连接QC、QD,则∠CQD =90°,∠QHC =∠QDC,易知△CHP∽△DQP,故,得DQ=3,由于CD=4,;(3)如图2,连接AK,AM,延长AM,与圆交于点G,连接TG,则,由于,故,;而,故在和中,;故△AMK∽△NMA;即:故存在常数,始终满足常数a="4"解法二:连结BM,证明∽得10.兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩,南至七里河马滩,是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图,小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°,拉索AB的长为152米,主塔处桥面距地面7.9米(CD的长),试求出主塔BD的高.(结果精确到0.1米,参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)【答案】主塔BD的高约为86.9米.【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC 相应长度,再由BD=BC+CD 可得出. 【详解】在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,sin BCA AB=. ∴sin 152sin311520.5279.04BC AB A ︒=⨯=⨯=⨯=.79.047.986.9486.9BD BC CD =+=+=≈(米) 答:主塔BD 的高约为86.9米. 【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合,熟悉掌握是解决本题的关键.11.如图,AB 为O e 的直径,C 、D 为O e 上异于A 、B 的两点,连接CD ,过点C 作CE DB ⊥,交CD 的延长线于点E ,垂足为点E ,直径AB 与CE 的延长线相交于点F .(1)连接AC 、AD ,求证:180DAC ACF ∠+∠=︒. (2)若2ABD BDC ∠=∠. ①求证:CF 是O e 的切线. ②当6BD =,3tan 4F =时,求CF 的长. 【答案】(1)详见解析;(2)①详见解析;② 203CF =. 【解析】 【分析】(1)根据圆周角定理证得∠ADB=90°,即AD ⊥BD ,由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ,根据平行线的性质即可证得结论;(2)①连接OC .先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1,由已知∠4=2∠1,得到∠4=∠3,则OC ∥DB ,再由CE ⊥DB ,得到OC ⊥CF ,根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线;②由CF ∥AD ,证出∠BAD=∠F ,得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34,求出AD=43BD=8,利用勾股定理求得AB=10,得出OB=OC=,5,再由tanF=OC CF =34,即可求出CF . 【详解】解:(1)AB 是O e 的直径,且D 为O e 上一点,90ADB ∴∠=︒, CE DB ⊥Q , 90DEC ∴∠=︒, //CF AD ∴,180DAC ACF ∴∠+∠=︒. (2)①如图,连接OC . OA OC =Q ,12∴∠=∠. 312∠=∠+∠Q , 321∴∠=∠.42BDC Q ∠=∠,1BDC ∠=∠, 421∴∠=∠, 43∴∠=∠, //OC DB ∴. CE DB ⊥Q , OC CF ∴⊥.又OC Q 为O e 的半径, CF ∴为O e 的切线.②由(1)知//CF AD ,BAD F ∴∠=∠, 3tan tan 4BAD F ∴∠==, 34BD AD ∴=. 6BD =Q483AD BD ∴==,226810AB ∴=+=,5OB OC ==.OC CF Q ⊥, 90OCF ∴∠=︒,3tan 4OC F CF ∴==, 解得203CF =. 【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识;本题综合性强,有一定难度,特别是(2)中,需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果.12.已知:如图,直线y =-x +12分别交x 轴、y 轴于A 、B 点,将△AOB 折叠,使A 点恰好落在OB 的中点C 处,折痕为DE . (1)求AE 的长及sin ∠BEC 的值; (2)求△CDE 的面积.【答案】(1)2,sin ∠BEC=35;(2)754【解析】 【分析】(1)如图,作CF ⊥BE 于F 点,由函数解析式可得点B ,点A 坐标,继而可得∠A=∠B=45°,再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6,2,设AE=CE=x ,则222-x ,在Rt △CEF 中,利用勾股定理求出x 的值即可求得答案;(2)如图,过点E 作EM ⊥OA 于点M ,根据三角形面积公式则可得S △CDE =S △AED =24AD×AE ,设AD=y ,则CD=y ,OD=12-y ,在Rt △OCD 中,利用勾股定理求出y ,继而可求得答案. 【详解】(1)如图,作CF ⊥BE 于F 点,由函数解析式可得点B (0,12),点A (12,0),∠A=∠B=45°,又∵点C是OB中点,∴OC=BC=6,CF=BF=32,设AE=CE=x,则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x,在Rt△CEF中,CE2=CF2+EF2,即x2=(92-x)2+(32)2,解得:x=52,故可得sin∠BEC=35CFCE,AE=52;(2)如图,过点E作EM⊥OA于点M,则S△CDE=S△AED=12AD•EM=12AD×AEsin∠EAM=12AD•AE×sin45°=24AD×AE,设AD=y,则CD=y,OD=12-y,在Rt△OCD中,OC2+OD2=CD2,即62+(12-y)2=y2,解得:y=152,即AD=152,故S△CDE=S△AED=24AD×AE=754.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数的性质等知识,综合性较强,正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.。

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直角三角形的边角关系(习题)
➢要点回顾
1.默写特殊角的三角函数值:
2.三角函数值的大小只与角度的有关,跟所在的三角形
放缩(大小)没有关系.
3.计算一个角的三角函数值,通常把这个角放在
中研究,常利用或两种方式进行处理.➢例题示范
例:如图,在△ABC 中,∠B=37°,∠C=67.5°,AB=10,求BC 的长.(结果精确到0.1,参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan67.5°≈2.41)
如图,过点A 作AD⊥BC 于点D,
由题意AB=10,∠B=37°,∠C=67.5°
在Rt△ABD 中,AB=10,∠B=37°,
sin B =AD
,cos B =
BD AB AB
∴AD=6,BD=8
在Rt△ADC 中,AD=6,∠C=67.5°,
tan C =
AD
CD
∴CD=2.49
∴BC=BD+CD=8+2.49=10.49≈10.5
即BC 的长约为10.5.
从下面书写板块的名称中选取合适的内容,写到对应的横线上.
①得出结论;
②解直角三角形;
③准备条件.
1
2
➢巩固练习
1.在Rt△ABC 中,如果各边长度都扩大为原来的2 倍,那么锐
角A 的正弦值()
A.扩大2 倍B.缩小2 倍C.没有变化D.不确定2.在Rt△ABC 中,若∠C=90°,AC=3,BC=5,则sin A 的值为
()
A.
3
5
B.
4
5
C.
5 34
34
D.
3 34
34
3.在△ABC 中,∠A,∠B 均为锐角,且
⎛1 ⎫2
sin A - + - cos B ⎪
⎝⎭
= 0 ,则这个三角形是()A.等腰三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等边三角形
4.若∠A 为锐角,且cos A 的值大于
1
,则∠A()
2
A.大于30°B.小于30°
C.大于60°D.小于60°
5.已知β为锐角,且
3
A.30︒≤β≤60︒
C.30︒≤β< 60︒
≤tan β< ,则β的取值范围是()
B.30︒<β≤60︒
D.β< 30︒
6.如图,在矩形ABCD 中,DE⊥AC,垂足为E,设∠ADE=α,
若cosα=
3
,AB=4,则AD 的长为()
5
A.3 B.
16
3
C.
20
3
D.
16
5
第6 题图第7 题图
7.如图,在菱形ABCD 中,DE⊥AB,若cos A =
3
,BE=2,则
5
tan∠DBE= .
2
3
2
3
3
8.在Rt△ABC 中,∠C=90°,若AB=6,BC=2,则cos A=
.9. 在△ABC 中,∠A=120°,若AB=4,AC=2,则sin B= .
10.如图,在△ABC 中,AB=A C,∠A=45°,AC 的垂直平分线分
别交AB,AC 于D,E 两点,连接CD.如果AD=1,那么
tan∠BCD= .
第10 题图第11 题图
11.如图,在△ABC 中,若∠C=90°,sin B =
3
,AD 平分∠CAB,
5
则sin∠CAD= .
12. 如图,在△ABC 中,∠C=75°,∠BAC=60°,AC=2,AD 是
BC 边上的高,则△ABC 的面积为,AD 的长为.
第12 题图第13 题图
13.如图所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则sin A 的值
为()
A.
1
2
14.计算:
B. 5
C. 0 10
D. 2
5
5
(1)6 tan2 30︒- 3 sin 60︒+ 2 tan 45︒;(2 cos 30︒- sin 45︒;

sin 60︒- cos 45︒
3
12 sin 60︒ 1- 2 tan 60︒+ tan2 60︒ ⎪ ⎛1 ⎫
(3)(
-2 -1)0 -+;
tan 45︒⎝3 ⎭
(4)- tan 60︒.
15.如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,tan B=cos∠DAC.
(1)求证:AC=BD;
(2)若sin C =12
,BC=12,求AD 的长.13
16. 如图,在△ABC 中,∠A=26.6°,∠B=45°,AC= 2
的长.(参考数据:tan26.6°≈0.50)
5 ,求AB
4
3
4 + 2 3 ( 3 +1) 2 ➢ 思考小结
1. 30°,45°,60°,120°,135°,150°都属于我们常用的特殊角,
在解直角三角形中经常用到.
120°,135°,150°经常使用它们的补角构造直角三角形,如右图 1.
2. 解直角三角形的常考形式
直角三角形:“一角一边”求其余元素
非直角三角形:“两角一边”求其余元素,往往通过构造直角三角形,把已知角度信息放到直角三角形求解,如右图 2 (α,β,m 已知).
3. 我们已经知道 30°,45°所在的直角三角形的三边关系之比,
借助这个内容,可以推导 15°和 22.5°所在的直角三角形的三边关系之比,如何推导呢?
如图 1,通过延长 CB 到 D ,使得 BD =AB ,可以构造 15°角, 根据三边关系填空.(已知 = = 3 +1 )
类比上述内容,请你画出研究 22.5°角所在的直角三角形所需图形并填空.
tan22.5°= ;tan67.5°= .
(可跟随堂测试题目 3 的方法进行对比)
5
4.探索思考下面的结论,尝试在下面两个图形中证明结论:
若tanα=1
,tanβ=
1
,则α+β=45︒.(标注信息,简要写2 3
出思路)
6
【参考答案】
➢要点回顾
1.
α30°45°60°
正弦sin α1
2
2
2
3
2
余弦cos α
3
2
2
2
1
2
正切tan α
3
3
1 3
2.大小
3.直角三角形,转移、构造
➢巩固练习
1. C
2. C
3. D
4. D
5. C
6. B
7. 2
8. 2 2 3
9.
21 14
10. 2 -1
11.
5 5
12. 3 +
2
3

2 + 6
2
13. B
14. (1)5
2
;(2)1;(3)7;(4)-1
15. (1)证明略;(2)8
16. 6
7
3 3 2 ➢ 思考小结
3. 2 - , 2 + , 6 - 2 ; 4
-1, +1
4. 证明略
8 2。

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