2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)

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2019届广东省华南师范大学附属中学 高三上学期第二次月考数学（理）试题

数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题

1．已知集合A ={x |x 2−2x >0},B ={x |−2

A ． y =x 12

B ． y =tan x

C ． y =e x +e −x

D ． y =ln |x | 4．设:12,:21x

p x q <，则p 是q 成立的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 5．函数f (x )=

sinxcosx x 2+1

的部分图象可能是

A ．

B ．

C ．

D ．

6．在等差数列{a n }中， a 3+a 5=12−a 7，则a 1+a 9= A ． 8 B ． 12 C ． 16 D ． 20

7．已知π

2<β<α<3

4π，cos(α−β)=12

13，sin(α+β)=−3

5，则sin2α= A ． 56

65 B ． −56

65 C ． 65

56 D ． −65

56

8．已知函数y =Asin (π

2x +φ)(A >0)在一个周期内的图像如图所示，其中P,Q 分别是这段图像的最高点和最低点，M,N 是图像与x 轴的交点，且∠PMQ =900，则A 的值为

A ． 2

B ． 1

C ． √3

D ． √2

9．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120∘，AB =AD =1. 若点E 为边CD 上的动点，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ·BE

⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为

A ． 25

16 B ． 3

2 C ． 21

16 D ． 3

10．设{a n }是各项为正数的等比数列，q 是其公比，K n 是其前n 项的积，且K 5K 8，则下列结论错误．．

的是 A ． 0K 5 D ． K 6与K 7均为K n 的最大值

11．正ΔABC 边长为2，点P 是ΔABC 所在平面内一点，且满足BP =√32

，若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB

⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则λ+μ的最小值是

A ． 1

2 B ．

√52

C ． 2

D ．

2√3

3

12．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，当x >0时，lnx ⋅f′(x)<−1

x

f(x)，则使得(x 2−

4)f(x)>0成立的x 的取值范围是

A ． (−2,0)∪(0,2)

B ． (−∞,−2)∪(2,+∞)

C ． (−2,0)∪(2,+∞)

D ． (−∞,−2)∪(0,2)

二、填空题

13．已知向量a ⃗=(1,2),b ⃑⃗=(m,−1)，若a ⃗//(a ⃗+b ⃑⃗)，则a ⃗⋅b

⃑⃗=__________． 14．已知1sin cos 5θθ+=

， ,2πθπ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，则tan θ=__________． 此

卷

只

装

订不

密封

班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

15．由曲线y =1

x ，y 2=x 与直线x =2，y =0所围成图形的面积为________．

16．在ΔABC 中，D 为BC 的中点，AC =2√3,AD =√7,CD =1，点P 与点B 在直线AC 的异侧，且PB =BC ，则平面四边形ADCP 的面积的最大值为_______.

三、解答题

17．已知等差数列{a n }的前n (n ∈N ∗)项和为S n ，数列{b n }是等比数列，a 1=3，b 1=1，b 2+S 2=10，a 5−2b 2=a 3．

（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；

（2）若c n =2

S n

，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n ．

18．某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：

（1）经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；

（2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为1

6，获得“二等奖”的概率为1

3．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额

X 的分布列及数学期望．

参考公式：b ̂=∑x i y i n

i=1−nxy

∑x i 2

n i=1−nx

2，a ̂=y ̅−b ̂x̅，∑7i=1x i y i =364，∑7i=1x i 2=140．

19．如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD =DC =CB =2，∠ABC =60°，平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是菱形，∠CAF =60°．

（1）求证：BF ⊥AE ；

（2）求二面角B −EF −D 的平面角的正切值． 20．已知椭圆E:

x 2a

2

+y 2b 2

=1(a >b >0)的离心率为12，且点P (1，3

2

)在椭圆E 上．

（1）求椭圆E 的方程；

（2）过点M(1，1)任作一条直线l ，l 与椭圆E 交于不同于P 点的A ，B 两点，l 与直线m:3x +4y −12=0交于C 点，记直线PA 、PB 、PC 的斜率分别为k 1、k 2、k 3．试探究k 1+k 2与k 3的关系，并证明你的结论．

21．已知函数f (x )=lnx +a

x −x +1−a (a ∈R ).

(1)求函数f (x )的单调区间； (2)若存在x >1，使f (x )+x <

1−x x

成立，求整数a 的最小值.

22．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2ρsin (θ+π

6)−3=0，曲线C 的参数方程是{x =2cosφ

y =2sinφ

（φ为参数）．

（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；

（2）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |+|PB |． 23．已知函数f (x )=|x +m |+|2x −1|． （1）当m =−1时，求不等式f (x )≤2的解集；

（2）若f (x )≤|2x +1|在x ∈[1，2]上恒成立，求m 的取值范围．