2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)

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华南师大附中2019学年度高三综合测试(一)数学理

华南师大附中2019学年度高三综合测试（一）数学试题（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回.第一部分选择题（40分）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知命题p :对任意的R x ∈，有1ln >x ，则p ⌝是（） A ．存在R x ∈0，有1ln 0<xB ．对任意的R x ∈，有1ln <xC ．存在R x ∈0，有1ln 0≤xD ．对任意的R x ∈，有1ln ≤x2．已知p ：|2x －3| < 1，q ：x (x -3)< 0，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．集合{}2,xA y y x R ==∈，{}2,1,0,1,2B =--，则下列结论正确的是（）A ．(0,)AB =+∞ B ．()(,0]R A B =-∞U ðC ．(){}2,1,0R A B =--I ðD ．(){}1,2R A B =I ð4．已知角θ的终边过点P(-4k ,3k ) (0<k ), 则θ+θcos sin 2的值是（）A ．52B ．52-C ．52或52-D ．随着k 的取值不同其值不同 5．函数11-+-=x x y 是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数6．已知()f x 是R 上的减函数，则满足1()(1)f f x>的实数x 的取值范围是（）A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,0)(0,1)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞7．将函数cos()3y x π=-的图象上所有点向右平移6π单位，所得图象对应函数是（） A ．x y cos = B ．sin y x = C ．x y cos -=D ．x y sin -=8．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y ＝f (x )，一种是平均价格曲线y ＝g (x )(如f (2)＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g (2)＝4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元).下面所给出的四个图象中，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中可能正确的是（）B．．第二部分非选择题（110分）二、填空题（每小题5分，共30分） 9．34|2|x dx -+⎰=_____*_____.10．已知0>>b a ，全集I=R ，M = }2|{ba xb x +<<，N=}|{a x ab x ≤≤, 则 M ∩N = ___*____11．已知53)4sin(=-πx ，则x 2sin 的值为____*__ ． 12．若x ≥0，y ≥0，且x +2y=1，则2x +3y 2的最小值是_____*_____.13．在A B C ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若︒=60A ，b 、c 分别是方程01172=+-x x 的两个根，则a 等于___*____．14．已知定义在区间[0,1]上的函数()y f x =的图像如图所示，对于满足1201x x <<<的任意1x 、2x ，给出下列结论： A ．2121()()f x f x x x ->-；B ．2112()()x f x x f x >；C ．1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭．其中正确结论的序号是 * ．（把所有正确结论的序号都填上）三、解答题（共6大题，共80分） 15．（本题满分12分）设函数)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧--+14)1(2x x 11x x <≥（1）求)]0([f f ；（2）若f （x ）=1，求x 值．16．（本题满分12分）函数R x xxx f ∈-+-=,)2sin()2cos()(π。

2019年5月23日华南师范大学附属中学高三综合测试理科数学试卷

高考数学精品复习资料2019.5华南师范大学附属中学高三综合测试数学（理）20xx.5.23第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的1. 已知i 是虚数单位，则复数3232i i i z ++=所对应的点落在A. 第一象限；B. 第二象限；C. 第三象限；D. 第四象限 2. 已知全集R U =，}21|{<<-=x x A ，}0|{≥=x x B ，则=)(B A C UA. }20|{<≤x x ；B. }0|{≥x x ；C. 1|{->x x ；D. }1|{-≤x x 3. 公比为2的等比数列}{n a 的各项都是正数，且16122=a a ，则=92log a A. 4； B. 5； C. 6； D. 74. 若y x 、满足约束条件⎩⎨⎧≤+≥+122y x y x ，则y x +2的取值范围是 A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,22； B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22； C. []5,5-； D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5,225. N M 、分别是正方体1AC 的棱1111D A B A 、的中点，如图是过A N M 、、和1C N D 、、的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为6. 若将函数52)(x x f =表示为552210)1()1()1()(x a x a x a a x f +++++++= ，其中0a ，1a ，2a ，，5a 为实数，则=3aA. 10；B. 20；C. 20-；D. 10-7. 在ABC ∆中，已知向量)72cos ,18(cos ︒︒=AB ，)27cos 2,63cos 2(︒︒=BC，则ACBDAC DBNM 1B 1CABC ∆的面积为A.22； B. 42； C. 23； D. 28. 对应定义域和值域均为[]1,0的函数)(x f ，定义：)()(1x f x f =，[])()(12x f f x f =，，[])()(1x f f x f n n -=， ,4,3,2=n ，方程[]1,0,)(∈=x x x f n 的零点称为f 的n 阶不动点。

广东省华南师大附中2019届高三三模测试理科数学试题(解析版%29

2019年广东省广州市华南师大附中高考数学三模试卷（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）已知全集，则（∁U M）∩N＝（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|﹣3＜x＜0} C．{x|﹣1≤x＜0} D．{x|﹣1＜x＜0} 2．（5分）已知复数，若z为纯虚数，则|2a﹣i|＝（）A．5 B．C．2 D．3．（5分）已知向量＝（cos75°，sin75°），＝（cos15°，sin15°），则|﹣|的值为（）A．B．1 C．2 D．34．（5分）有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．806．（5分）记正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则使的最小的整数n是（）A．4 B．5 C．6 D．77．（5分）记函数，将函数f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，现有如下命题：p1：函数g（x）的最小正周期是2π；p2：函数g（x）在区间上单调递增；p3：函数g（x）在区间上的值域为[﹣1，2]．则下列命题是真命题的为（）A．（￢p2）∧p3B．p1∨（￢p3）C．p1∨p2D．p1∧p28．（5分）已知函数，则下列判断错误的是（）A．f（x）为偶函数B．f（x）的图象关于直线对称C．关于x的方程f（x）＝0.7有实数解D．f（x）的图象关于点对称9．（5分）抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．810．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，平面P AB⊥平面ABC，△ABC是边长为6的等边三角形，△P AB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．27π11．（5分）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如右图所示的0﹣1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第2n﹣1行；则第61行中1的个数是（）A．31 B．32 C．33 D．3412．（5分）已知函数f（x）＝x2+x﹣aln（x+1）有且只有一个零点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．[0，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪{1}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在数列{a n}中，，则a2019的值为．14．（5分）若直线mx+2ny﹣4＝0（m，n∈R，m≠n）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0的周长，则mn的取值范围是．15．（5分）已知f（x）为定义在R上的偶函数，g（x）＝f（x）+x2，且当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（x+1）﹣f（x﹣1）+4x＞0的解集为．16．（5分）如图所示，棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，一平行于平面A1BD的平面α与棱AB，AD，AA1分别交于点E，F，G，点P在线段A1C1上，且PG∥AC1，则三棱锥P﹣EFG的体积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c（a＜b＜c），，sin B sin C＝cos（A﹣C）+cos B．（1）求cos C．（2）点D为BC延长线上一点，CD＝3，，求△ABC的面积．18．（12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：第x年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10300 283 321 345 372 435 486 527 622 800旅游人数..（万人）该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y与x 的线性回归方程；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝ae bx的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（a精确到个位，b精确到0.01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①y＝50.8x+169.7 ②30407 14607参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据（v1，w1），（v2，w2），…，（v n，w n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．②刻画回归效果的相关指数．③参考数据：e5.46≈235，e1.43≈4.2．5.5 4496.05 83 4195 9.00表中．19．（12分）已知矩形ABCD，，沿对角线AC将△ACD折起至△ACP，使得二面角P﹣AC﹣B为60°，连结PB．（1）求证：平面P AB⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣P A﹣C的余弦值．20．（12分）已知双曲线C1的焦点在x轴上，焦距为4，且C1的渐近线方程为．（1）求双曲线C1的方程；（2）若直线与椭圆及双曲线C1都有两个不同的交点，且l与C1的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k2的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝2lnx﹣ax2，g（x）＝（x+1）e x+3ax﹣4，a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有最大值且最大值是﹣1，求证：f（x）＜g（x）．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为（φ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ＝1（1）求椭圆C的极坐标方程和直线l的参数方程；（2）若点P的极坐标为（1，），直线l与椭圆C交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b均为实数，且|3a+4b|＝10．（Ⅰ）求a2+b2的最小值；（Ⅱ）若|x+3|﹣|x﹣2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立，求实数x的取值范围．2019年广东省广州市华南师大附中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．【分析】可求出集合M，N，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|﹣3＜x＜0}；∴∁U M＝{x|﹣1≤x＜0}；∴（∁U M）∩N＝{x|﹣1≤x＜0}．故选：C．【点评】考查描述法表示集合的定义，指数函数的单调性，以及补集、交集的运算．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a，则答案可求．【解答】解：∵z＝a+＝a+＝a﹣1+3i是纯虚数，∴a﹣1＝0，即a＝1．∴|2a﹣i|＝|2﹣i|＝．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【分析】由题意求出﹣的坐标，由向量的数量积的坐标运算和两角差的余弦公式，求出﹣的自身的数量积的值，即求出|﹣的模．【解答】解：由题意得，﹣＝（cos75°﹣cos15°，sin75°﹣sin15°），∴（﹣）•（﹣）＝（cos75°﹣cos15°）2+（sin75°﹣sin15°）2＝2﹣2cos602＝1，∴|﹣|＝1，故选：B．【点评】本题考查了向量数量积坐标运算以及应用，主要利用平方关系和两角差的余弦公式进行求解，考查了如何利用向量的数量积运算求向量的模．4．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是4×4种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有4种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是4×4＝16种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有四个小组，则有4种结果，根据古典概型概率公式得到P＝，故选：B．【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．5．【分析】由二项式定理及二项式展开式通项公式得：易得a＝1，则（2x﹣）5展开式的通项为T r+1＝（2x）5﹣r（﹣）r＝（﹣1）r25﹣r x5﹣2r，则（1+）（2x﹣）5展开式中常数项为（﹣1）225﹣2＝80，得解．【解答】解：令x＝1得（1+a）（2﹣1）5＝2，解得a＝1，则（2x﹣）5展开式的通项为T r+1＝（2x）5﹣r（﹣）r＝（﹣1）r25﹣r x5﹣2r，则（1+）（2x﹣）5展开式中常数项为（﹣1）225﹣2＝80，故选：D．【点评】本题考查了二项式定理及二项式展开式通项公式，属中档题．6．【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求q，a1，进而可求a n，即可求解．【解答】解：∵，∴q≠1，∴，两式相除可得，，∵q＞0，解可得，q＝，a1＝3，∴a n＝，∴2n﹣1＞30，∵24＜30＜25，∴满足条件的最小的整数n＝6，故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．7．【分析】根据函数图象变换关系先求出g（x）的解析式，结合函数周期性，单调性以及最值性质分别判断命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：将函数f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，即g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x﹣），则g（x）的最小正周期T＝，故p1错误，当x∈时，2x﹣∈（﹣，﹣），此时函数不单调，故p2错误，当x∈时，2x﹣∈[﹣，]，此时当2x﹣＝﹣时，g（x）取得最小值g（x）＝2sin（﹣）＝﹣1，当2x﹣＝时，g（x）取得最大值g（x）＝2sin＝2，即函数的值域为[﹣1，2]，故p3正确，故（￢p2）∧p3是真命题，其余为假命题，故选：A．【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合函数图象平移关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的图象和性质是解决本题的关键．8．【分析】利用两角和的正弦公式对已知函数进行化简可得f（x）＝2cos4x﹣1，然后结合余弦函数的性质进行判断即可【解答】解：∵，＝2[]﹣1＝2sin（4x+）﹣1＝2cos4x﹣1∵f（﹣x）＝2cos（﹣4x）﹣1＝2cos4x﹣1＝f（x），故f（x）为偶函数，A正确；根据余弦函数对称轴处取得最值可知，当x＝﹣时，f（x）取得最大值，故B正确；∵﹣1≤cos4x≤1可知﹣3≤f（x）≤1，从而可知C正确；令4x＝k可得x＝，k∈z，令x＝＝﹣可知k不存在，故D错误故选：D．【点评】本题主要考查了两角和的正弦公式在三角函数式化简中的应用及余弦函数的性质的综合应用．9．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线为l：x＝﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选：C．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质和直线和抛物线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的热点要重视．10．【分析】由题意画出图形，由已知求出三棱锥外接球的半径，代入表面积公式得答案．【解答】解：如图，在等边三角形ABC中，取AB中点F，设其中心为O，由AB＝6，得CO＝CF＝．∵△P AB是以AB为斜边的等腰直角三角形，∴F为△P AB的外心，则O为棱锥P﹣ABC的外接球球心，则外接球半径R＝OC＝．∴该三棱锥外接球的表面积为4π×．故选：B．【点评】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．11．【分析】根据0﹣1三角数表求得第6次全行都是1的是第63行，然后你推第62行1的个数减半，第61行1的个数与第62行1的个数相同．【解答】解：由已知图中的数据第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1…∵全行都为1的是第2n﹣1行；∵n＝6时，26﹣1＝63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1，第61行共有32个1．故y＝32，故选：B．【点评】本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．12．【分析】由题意可得f（0）＝0，函数f（x）有且只有零点0，x2+x﹣aln（x+1）＝0，x ≠0，x＞﹣1，可得a＝，设g（x）＝，求得导数，判断单调性和值域，即可得到所求范围．【解答】解：f（x）＝x2+x﹣aln（x+1），可得f（0）＝0﹣aln1＝0，由题意可得函数f（x）有且只有零点0，x2+x﹣aln（x+1）＝0，x≠0，x＞﹣1，可得a＝，设g（x）＝，g′（x）＝，当x＞0时，设h（x）＝（2x+1）ln（x+1）﹣x，h′（x）＝2ln（x+1）+＞0，可得h（x）在（0，+∞）递增，即有h（x）＞h（0）＝0，可得g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）递增，由g（x）﹣1＝，x＞0，设m（x）＝x2+x﹣ln（x+1），m′（x）＝2x+1﹣＝＞0，可得m（x）＞m（0）＝0，即有g（x）＞1恒成立；当﹣1＜x＜0，可得h′（x）＝2ln（x+1）+＜0，可得h（x）＞h（0）＝0，g′（x）＞0，即g（x）在（﹣1，0）递增，由g（x）＞0，且m′（x）＝2x+1﹣＝＜0，可得m（x）＞m（0）＝0，即有g（x）＜1恒成立．可得实数a的取值范围为a≤0或a＝1．故选：D．【点评】本题考查函数的零点个数的问题解法，考查分类讨论思想方法和数形结合思想，考查化简运算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】根据题意，将a n+1＝a n+变形可得a n+1﹣a n＝＝﹣，据此可得a2019＝（a2019﹣a2018）+（a2018﹣a2017）+……+（a2﹣a1）+a1＝+（1﹣）+（﹣）+……+（﹣）＝+1﹣，化简可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}中，a n+1＝a n+，变形可得a n+1﹣a n＝＝﹣，则a2019＝（a2019﹣a2018）+（a2018﹣a2017）+……+（a2﹣a1）+a1＝+（1﹣）+（﹣）+……+（﹣）＝+1﹣＝1；故答案为：1，【点评】本题考查数列的递推公式的应用，涉及数列的求和，属于基础题．14．【分析】由题意可得圆心在直线设，即可得出m，n的关系式，经过分类讨论和利用基本不等式即可得出mn的取值范围．【解答】解：圆的方程x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0化为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，可得圆心C （2，1）．∵直线mx+2ny﹣4＝0（m，n∈R，m≠n）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0的周长，∴圆心C在直线上，∴2m+2n﹣4＝0，化为m+n＝2．当m＞0，n＞0，m≠n时，，化为mn＜1．当mn＝0时，mn＝0．当m＜0或n＜0（不同时成立）时，mn＜0．综上可知mn的取值范围是（﹣∞，1）．故答案为（﹣∞，1）．【点评】本题考查了圆的性质、基本不等式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于基础题．15．【分析】根据题意，原不等式变形可得f（x+1）+（x+1）2＞f（x﹣1）+（x﹣1）2，即g （x+1）＞g（x﹣1），分析可得g（x）为偶函数且在[0，+∞）上递减，据此可得g（x+1）＞g（x﹣1）⇒g（|x+1|）＞g（|x﹣1|）⇒|x+1|＜|x﹣1|⇒（x+1）2＜（x﹣1）2，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x+1）﹣f（x﹣1）+4x＞0⇒f（x+1）+2x＞f（x﹣1）﹣2x⇒f （x+1）+（x+1）2＞f（x﹣1）+（x﹣1）2，即g（x+1）＞g（x﹣1），又由g（x）＝f（x）+x2，且f（x）为偶函数，则g（﹣x）＝f（﹣x）+（﹣x）2＝f（x）+x2＝g（x），即g（x）为偶函数，又由当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则g（x）在[0，+∞）上递减，则g（x+1）＞g（x﹣1）⇒g（|x+1|）＞g（|x﹣1|）⇒|x+1|＜|x﹣1|⇒（x+1）2＜（x﹣1）2，解可得：x＜0，即不等式的解集为（﹣∞，0）；故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题．16．【分析】利用正方体的特殊性得到PG与平面EFG垂直，设AG＝x，建立体积关于x的函数，巧借不等式求得最大值．【解答】解：在正方体中，易知AC1⊥平面A1BD，∵平面EFG∥平面A1BD，PG∥AC1，∴PG⊥平面EFG，设AG＝x，则EG＝x，，又，∴，∴PG＝（3﹣x），∴V P﹣EFG＝＝＝2×＝2（当且仅当x＝2时取等号）．故答案为：2．【点评】此题考查了三棱锥体积的求法和利用不等式求解最值等问题，难度适中．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a．结合，可求sin C的值，求得C的值，可求cos C的值．（2）由余弦定理解得b的值，解得a的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵A+B+C＝π，∴cos B＝﹣cos（A+C），∴sin B sin C＝cos（A﹣C）+cos B＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝2sin A sin C，∵C∈（0，π），∴sin C＞0，∴sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a．∵，代入b＝2a，得：．由C是最大角，得．（2）由余弦定理，AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD cos∠ACD，，∴，∴b＝2或1．∵b＝2a，∴．∴．∴△ABC的面积为．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．【分析】（1）对y＝ae bx取对数，得lny＝bx+lna，设u＝lny，c＝lna，先建立u关于x 的线性回归方程．求得的值，，即可得到模型②的回归方程；（2）由表格中的数据，有30407＞14607，即，得到，说明模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好．在（1）中的回归方程中，取x＝13，求得y值，即可预测2021年该景区的旅游人数．【解答】解：（1）对y＝ae bx取对数，得lny＝bx+lna，设u＝lny，c＝lna，先建立u关于x的线性回归方程．，，．∴模型②的回归方程为；（2）由表格中的数据，有30407＞14607，即，即，∴，模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好．2021年时，x＝13，预测旅游人数为（万人）．【点评】本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．19．【分析】（1）推导出Rt△ACD∽Rt△AOD，从而∠ADO＝∠ACD，进而∠DAE+∠ADE ＝90°，DO⊥AC，折起后，DE即为PE，则仍有PE⊥AC，EO⊥AC，则∠PEO即为二面角P﹣AC﹣B的平面角，即∠PEO＝60°，连结PO．推导出AC⊥平面PEO，AC⊥PO，从而PO⊥平面ABC．由此能证明平面P AB⊥平面ABC．（2）法一：过点O作AB的垂线为x轴，OB为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．求出平面P AC的法向量和平面P AB的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣P A﹣C的余弦值．法二：推导出AP⊥PB．AP⊥PC，从而AP⊥平面PBC，∠BPC即为二面角A﹣PC﹣B 的平面角．推导出BC⊥平面P AB，BC⊥PB．由此能求出二面角B﹣P A﹣C的余弦值．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，取AB中点O，连结DO，与AC交于点E．则AO＝1．Rt△ACD与Rt△AOD中，，∴Rt△ACD∽Rt△AOD，∴∠ADO＝∠ACD，∴∠DAE+∠ADE＝90°，即DO⊥AC．∵DC∥AO，∴．折起后，DE即为PE，则仍有PE⊥AC，EO⊥AC，则∠PEO即为二面角P﹣AC﹣B的平面角，即∠PEO＝60°，连结PO．所以在△PEO中，，即∠POE＝90°，即PO⊥OE．由前所证，AC⊥PE，AC⊥EO，PE∩EO＝E，∴AC⊥平面PEO，∴AC⊥PO．而AC∩EO＝E，EO⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC．又∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面ABC．解：（2）解法一：如图，在平面ABC内，过点O作AB的垂线为x轴，OB为y轴，OP 为z轴建立空间直角坐标系．由（1）得PO＝1.，，，设平面P AC的法向量为，则由得：，取z1＝1，则．由题意知平面P AB的法向量为，设二面角B﹣P A﹣C的平面角为θ，因为θ为锐角，则，即二面角B﹣P A﹣C的余弦值为．解法二：由（1）可得OP＝1，且PO⊥AB，O为AB中点，则△APB为直角三角形，∴AP⊥PB．又∵AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面PBC，∴∠BPC即为二面角B﹣P A﹣C的平面角．由（1），平面P AB⊥平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面P AB，∴BC⊥PB．而，∴，即二面角B﹣P A﹣C的余弦值为．【点评】本题考查立体几何中的线面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力，属于中档题．20．【分析】（1）根据题意，设双曲线C1的方程为（λ＞0），则a2＝3λ，b2＝λ，结合双曲线的焦距可得a2+b2＝c2⇒4λ＝4，解可得λ的值，代入双曲线的方程即可得答案；（2）根据题意，联立直线与椭圆的方程，由直线与椭圆的位置关系可得，①，联立直线与双曲线的方程，进而可得，②，设A（x1，y1），B（x2，y2），结合根与系数的关系以及向量数量积的计算公式可以用k表示，可得＜6，③，求出①②③三个式子中k的取值范围，综合即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，C1的渐近线方程为，则设双曲线C1的方程为（λ＞0），则a2＝3λ，b2＝λ，又双曲线的焦距为4，则2c＝4，即c＝2，于是由a2+b2＝c2⇒4λ＝4⇒λ＝1，故C1的方程为；（2）根据题意，将代入得，由直线l与椭圆C2有两个不同的交点得，即，……①将代入得，由直线l与双曲线C1有两个不同的交点A，B，则有，即且，……②设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，则得x1x2+y1y2＜6，而，于是，解此不等式得k2＞1，或，……③由①，②，③得，或，故k2的取值范围为．【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，涉及双曲线的标准方程和几何性质的应用，关键是求出双曲线的标准方程．21．【分析】（1）函数f（x）＝2lnx﹣ax2，＝．（x∈（0，+∞））．对a分类讨论，利用导数即可得出单调性．（2）由（1）可得：函数f（x）只有在a＞0时，函数f（x）在x＝时取得最大值，f （）＝﹣lna﹣1＝﹣1，解得a＝1．f（x）＜g（x）⇔＜e x．由x＞0，可得e x＞1.＜e x⇔2lnx﹣x2﹣3x+4≤x+1，即证明2lnx﹣x2﹣4x+3≤0，x∈（0，+∞）．令h（x）＝2lnx﹣x2﹣4x+3，x∈（0，+∞）．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）函数f（x）＝2lnx﹣ax2，＝．（x∈（0，+∞））．a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．a＞0时，f′（x）＝．可得：函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（2）证明：由（1）可得：函数f（x）只有在a＞0时，函数f（x）在x＝时取得最大值，f（）＝﹣lna﹣1＝﹣1，解得a＝1．f（x）＜g（x）⇔＜e x．∵x＞0，∴e x＞1．∴＜e x⇔2lnx﹣x2﹣3x+4≤x+1，即证明2lnx﹣x2﹣4x+3≤0，x∈（0，+∞）．令h（x）＝2lnx﹣x2﹣4x+3，x∈（0，+∞）．h′（x）＝﹣2x﹣4＝＝，可得x0＝﹣1时，函数h（x）取得极大值即最大值，+2x0﹣1＝0．h（x0）＝2lnx0﹣﹣4x0+3＝2lnx0﹣2x0+2≤0．∴2lnx﹣x2﹣4x+3≤0，在x∈（0，+∞）恒成立．∴＜e x在x∈（0，+∞）恒成立．∴f（x）＜g（x）在x∈（0，+∞）恒成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用方程组，整理成一元二次方程根和系数的关系求出结果．【解答】解：（1）将椭圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得椭圆C的普通方程：，将代入得：2ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ＝6．化简得椭圆C的极坐标方程为2ρ2+ρ2sin2θ﹣6＝0．将代入ρcosθ+ρsinθ＝1可得直线l的方程为x+y﹣1＝0．故直线l的参数方程为（t为参数）（2）设A、B对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程（t为参数），代入得．则：，．又P的极坐标为（1，），在直线l上，所以：|P A|+|PB|＝|t1﹣t2|＝．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（I）利用柯西不等式即可求解（II）由（I）知|x+3|﹣|x﹣2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立⇔|x+3|﹣|x﹣2|≤（a2+b2）min，然后根据绝对值不等式的求解即可【解答】解：（I）∵|3a+4b|＝10，∴100＝（3a+4b）2≤（32+42）（a2+b2）＝25（a2+b2）∴a2+b2≥4，当且仅当即或时取等号即a2+b2的最小值4（II）由（I）知|x+3|﹣|x﹣2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立，∴|x+3|﹣|x﹣2|≤4，∴或或解可得，x＜﹣3或﹣3∴实数x的取值范围（﹣∞，]【点评】本题主要考查了柯西不等式在最值求解中的应用，还考查了绝对值不等式的解法及恒成立问题与最值求解相互转化思想的应用．。

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考(理科数学)参考答案

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.解析： 1.()()()3133311122i i i z i i i i +===-+--+，3322z i =--，答案选A.2. 对于A ，B ，根据反比例函数的性质可知：11,0a b ab a b>>⇒<，所以A ，B 都不对.对于C ，2111,1b b a >>-⇒<>而，所以选项C 正确；对于D ，取反例：21.1, 1.21,0.8,2 1.6a a b b ====. 3.由已知求得14a =，数列{}n a 的公比12q =，数列{}1n n a a +是首项为8，公比为214q =的等比数列，所以()1223341181432141314n n n n a a a a a a a a -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦++++==--，选C .4.“两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，如体积不相等，则在等高处的截面积不恒相等”，所以p 是q 的充分条件，另一方面，显然A 、B 在等高处的截面积不恒相等，A 、B 的体积可能相等，因此p 不是q 的必要条件，所以答案选A .5.第1次循环，13n =，13S =；第2次循环，12n =，25S =；第3次循环，11n =，36S =；第4次循环，10n =，46S =，9n =；当9n =时，退出循环，所以910a <≤，答案选B .6.阴影部分的面积()()440cos sin sin cos 1S x x dx x x ππ=- =+=⎰，正方形面积为24π，所以所)2414π-=.7. 将()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），得到()2sin 33g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再将()g x 的图像上所有点向右平移θ()0θ>个单位长度，得到()()2sin 32sin 3333h x x x ππθθ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其图像关于y 轴对称，所以()332k k Z ππθπ-=+∈，即()183k k Z ππθ=-+∈，所以θ()0θ>最小值为518π，答案选C.8.52431x x x ⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为()4224255325x C x C ⎛⎛⋅+-⋅=- ⎝⎝，答案选C.9.如图，D 为边BC 的中点，()AP AB AC ⋅+()22226AP AD AP AD AD =⋅=⋅==，答案选B. 10.定义域12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，()f x 是定义域上的偶函数，排除A ；当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，排除C ；当12x >时，()0f x <，排除D ，所以选B . 11.设，，，由线段1PF 的中垂线过点2F 得，即，得，即，得，解得，故1>，故选D .利用两条直线的垂直关系也可以得到结果.12.()()sin sin3sin sin 2sin sin cos2cos sin2f x x x x x x x x x x x =-=-+=--()()3222sin 1cos2cos sin 22sin 2sin cos 2sin sin cos x x x x x x x x x x =--=-=-2sin cos2x x =-，由()0f x =得到sin 0x =或者cos 20x =.当sin 0x =时，0x =，π，2π；当cos 20x =时，4x π=，34π，54π，74π；所以()f x 的所有零点之和等于7π，选D.另解：可以将零点问题转化为函数图像的交点问题，令()0f x =，则sin sin 3x x =，在同一坐标系中画出函数sin y x =和sin3y x =的图像，如图所示，两个函数图像在区间[]0,2π有7个交点，所以()f x 有7个零点，其中3个零点是0，π，2π，另外四个零点为图中的1x ，2x ，3x ，4x ，由对称性可知，12x x π+=，343x x π+=AD所以()f x 的所有零点之和等于7π，选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.1或1-（答对一个给3分） 14. 3015.()0,16216.12π解析：13.ABC ∆为等腰直角三角形，等价于圆心C 到直线10ax y +-=的距离等于，即2=，解得a =1或1-. 14.设该厂生产x 车皮甲肥料，y 车皮乙肥料获得的利润为z 条件为410181566,x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈∈⎩，目标函数为105z x y =+，如图所示，最优解为()2,2，所以max 1025230z =⨯+⨯=. 15.设公差为d ，则根据已知条件得到11331521434a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =+. 1111122123n n a a n n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，1111111235572123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112122323n n t +⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭恒成立，所以0t >，且()26215182121112323n n n t nn +++<=⎛⎫- ⎪+⎝⎭186215n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭恒成立，由于186215162n n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭当且仅当3n =时取等号，所以()0,162t ∈. 16.考虑到4AO AB AC AD ====，则球心O 与点A 在平面BCD 的两侧，且ABO ∆是等边三角形.由于OB OC OD==，则点O 在平面BCD 上的射影是BCD ∆的外心，同理，点A 在平面BCD 上的射影也是BCD ∆的外心，设BCD ∆的外心为1O ，从而AO ⊥平面BCD 于点1O ，所以1AO BO ⊥，且1O 是AO 的中点，1BO =1BO 是平面BCD 被球O 所截得的圆的半径，所以圆的面积是12π.三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为()sin cos a c B B =+，且sin sin a cA C=，所以()sin sin sin cos A C B B =+……………………………………………………………………1分在ABC ∆中，()sin sin A B C =+所以()()sin sin sin cos B C C B B +=+……………………………………………………………2分所以sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C C B C B +=+所以sin cos sin sin B C C B =…………………………………………………………………………3分因为在ABC ∆中，sin 0B ≠所以cos sin C C = ……………………………………………………………………………………4分因为C 是ABC ∆的内角所以4C π=.……………………………………………………………………………………………5分（没有说明sin 0B ≠或C 的范围，扣1分）（2）在BC D ∆中，2222cos BC BD CD BD CD D =+-⋅⋅54cos D =-…………………………6分因为ABC ∆是等腰直角三角形，所以22115cos 244ABC S AB BC D ∆===-…………………………………………………………7分 1sin sin 2BCD S BD CD D D ∆=⋅⋅=…………………………………………………………………8分所以平面四边形ABDC 的面积S =ABC S ∆+BCD S ∆5cos sin 4D D =-+544D π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ………………………………………9分因为0D π<<，所以3444D πππ-<-<…………………………………………………………10分所以当34D π=时，sin 14D π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， …………………………………………………………11分此时平面四边形ABDC的面积有最大值54+…………………………………………………12分 18.（1）证明：如图1，在ADE ∆中，1,2,60AD AE A ==∠=︒，得到DE ==1分所以222AD DE AE +=，从而,AD DE BD DE ⊥⊥ ……………………………………………2分所以在图2中，1,AD DE BD DE ⊥⊥x1A DB ∠是二面角1A DE B --的平面角……………………………………………………………3分所以190A DB ∠=︒，即1A D BD ⊥ 又因为1,A D DE BDDE D ⊥=，,BD DE ⊂平面BCED所以1A D ⊥平面BCED .……………………………………………………………………………5分（2）方法一：向量法由（1）知，1,,A D DB DE 两两垂直，分别以1,,DB DE DA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ………………………………………………………………………………………6分则()0,0,0D ，()2,0,0B ，()10,0,1A ，12C ⎛⎫⎪⎝⎭，且32BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.………………7分假设线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1ABD 所成的角为60︒，设3,02BP BC λλ⎛⎫==-⎪⎝⎭，其中[]0,1λ∈，1132,,122A P A D DB BP BC λλ⎛⎫=++==-- ⎪⎝⎭…………………………………………8分平面1BDA 的一个法向量为()0,1,0n =………………………………………………………………9分则111sin60cos ,A P n A P n A P n⋅︒====…………………10分解得56λ=……………………………………………………………………………………………11分所以存在满足要求的点P ，且线段PB 的长度为52.………………………………………………12分方法二：传统法由（1）知1A D ⊥平面BCED ，因为1A D ⊂平面1ABD ，所以平面1A BD ⊥平面BCED .………………………………………………………………………6分假设线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1ABD 所成的角为60︒，作P F B D ⊥于F ，则PF ⊥A 1BCDE F平面1ABD . ……………………………………………………………………………………………7分连接1A F ，则1P AF ∠就是直线1PA 与平面1ABD 所成的角.………………………………………8分设PB x=，则11,,222PF x BF x DF x ===-， (9)分1A F ==……………………10分1tan 60x PFA F==︒……………………………11分解得52x =所以存在满足要求的点P ，且线段PB 的长度为52.………………………………………………12分 19.解：（1）因为12c a =，所以b a =，……① ………………………………………………1分将点M 坐标代入椭圆标准方程，得到223314a b+=……② ……………………………………2分联立①②，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩3分所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. ……………………………………………………………4分（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，并设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 中点1212,22x x y y N ++⎛⎫⎪⎝⎭在直线OM 上，所以121212121222y y y y x x x x ++==++…………………………………………………………………………5分因为22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到22221212043x x y y --+=()()()()12121212043x x x x y y y y -+-++=因为121212121,2y y y y k x x x x +-==+-所以32k =-……………………………………………………………………………………………6分由2214332x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y 得到关于x 的一元二次方程并化简得 ()223330x mx m -+-=()2291230m m ∆=-->，解得m -<7分212123,3m x x m x x -+==……………………………………………………………………………8分原点O 到直线l的距离d =…………………………………………………………………9分12AB x =-=12OABS AB d ∆=⋅⋅==10分()2212m m +-≤=……………………………………………………………………11分当且仅当m =12分综上，当m =OAB ∆l 方程为32y x =-±（没有总结语，扣1分）20.解：（1）……………………………………2分2K 的观测值()21004884224 3.84150509010k ⨯-⨯==>⨯⨯⨯……………………………………………3分所以有95％的把握认为“生产能手”称号与性别有关.…………………………………………4分（2）若员工实得计件工资超过3100元，则每月完成合格品的件数需超过3000件. …………5分由统计数据可知：男员工实得计件工资超过3100元的概率为125p =； ……………………6分女员工实得计件工资超过3100元的概率为212p =. …………………………………………7分设2名女员工中实得计件工资超过3100元的人数为X ，则12,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭；1名男员工中实得计件工资超过3100元的人数为Y ，则21,5YB ⎛⎫ ⎪⎝⎭. Z 的所有可能取值为0,1,2,3，……………………………………………………………………8分 ()()()()20213300,0002520P Z P X Y P X P Y C ⎛⎫========⨯=⎪⎝⎭ ()()()22121312211,00,125255P Z P X Y P X Y C ⎛⎫⎛⎫====+===⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()22121312722,01,1252520P Z P X Y P X Y C ⎛⎫⎛⎫====+===⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()212132,12510P Z P X Y ⎛⎫=====⨯= ⎪⎝⎭…………………………………………………10分随机变量Z 的分布列为…………………………………11分()2717123520105E Z =⨯+⨯+⨯=.……………………………………………………………12分21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞.()'x af x e x=-…………………………………………………………………………………………1分 ①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 在定义域()0,+∞单调递减，()f x 没有极值点；…………2分②当0a >时，()'x af x e x=-在()0,+∞单调递减且图像连续，()'10a f a e =-<，0x →时，()'f x →+∞，所以存在唯一正数0x ，使得()0'0f x =，函数()f x 在()00,x 单调递增，在()0,x +∞单调递减，所以函数()f x 有唯一极大值点0x ，没有极小值点.………………………………………………3分综上：当0a ≤时，()f x 没有极值点；当0a >时，()f x 有唯一极大值点，没有极小值点.………………………………………4分（2）方法一：由（1）知，当0a >时，()f x 有唯一极大值点0x ，所以()()00max 0ln xf x f x a x e ==-，()0f x <恒成立⇔()00f x <………………………………………………………………………5分因为00x a e x =，所以()000001ln ln 0a f x a x a x x x ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，所以001ln 0x x -<. 令()1ln h x x x=-，则()h x 在()0,+∞单调递增，由于()11.74ln1.7401.74h =-<，()11.8ln1.801.8h =->，所以存在唯一正数()1.74,1.8m ∈，使得()0h m =，从而()00,x m ∈.………………………………………………………………………………………6分由于()000ln 0x f x a x e=-<恒成立，①当(]00,1x ∈时，()000ln 0x f x a x e=-<成立；②当()01,x m ∈时，由于00ln 0x a x e -<，所以00ln x e a x <.……………………………………7分令()ln x e g x x =，当()1,x m ∈时，()()1ln '0ln x e x x g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=<，所以()ln x e g x x =在()1,m 单调递减，从而()a g m ≤.因为()()1.74g m g <，且() 1.741.7410.3ln 1.74e g =≈，且a ∈N*，所以10a ≤.…………………………………………………………………………………………………8分下面证明10a =时，()10ln 0xf x x e =-<.()10'x f x e x=-，且()'f x 在()0,+∞单调递减，由于()()'1.740,'1.80f f ><，所以存在唯一()0 1.74,1.8x ∈，使得()00010'0x f x e x =-=，……………………………………9分所以()()()00000max0010110ln 10ln1010ln10x f x f x x e x x x x ⎡⎤⎛⎫==-=--=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. ……10分令()110ln10u x x x ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1.74,1.8x ∈，易知()u x 在()1.74,1.8单调递减，所以()()()11.7410ln10 1.74102.303 2.3101.74u x u ⎡⎤⎛⎫<=-+<-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()()00max 0110ln100f x f x x x ⎡⎤⎛⎫==-+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦……………………………………………11分即10a =时，()10ln 0xf x x e =-<.所以a 的最大值是10. ………………………………………………………………………………12分方法二：由于()0f x <恒成立，所以() 1.61.6ln1.60f a e =-<， 1.610.5ln1.6e a <≈； () 1.71.7ln1.70f a e =-<， 1.710.3ln1.7e a <≈； () 1.81.8ln1.80f a e =-<， 1.810.3ln1.8e a <≈；因为a ∈N*，所以猜想：a 的最大值是10. ………………………………………………………6分下面证明10a =时，()10ln 0xf x x e =-<.()10'x f x e x=-，且()'f x 在()0,+∞单调递减，由于()()'1.740,'1.80f f ><，所以存在唯一()0 1.74,1.8x ∈，使得()00010'0x f x e x =-=，……………………………………8分所以()()()00000max 0010110ln 10ln1010ln10x f x f x x ex x x x ⎡⎤⎛⎫==-=--=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. ……9分令()110ln10u x x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1.74,1.8x ∈，易知()u x 在()1.74,1.8单调递减，所以()()()11.7410ln10 1.74102.303 2.3101.74u x u ⎡⎤⎛⎫<=-+<-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ………………10分所以()()00max 0110ln100f x f x x x ⎡⎤⎛⎫==-+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦……………………………………………11分即10a =时，()10ln 0x f x x e =-<.所以a 的最大值是10.………………………………………………………………………………12分22．解：（1）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()cos sin 4ρθθ-=……………………………1分因为cos ,sin x y ρθρθ==所以直线l 普通方程为40x y -+=.………………………………………………………………2分设(),2sin P t t ，则点P 到直线l 的距离13d t π⎛⎫===-- ⎪⎝⎭…………………………4分当sin 13t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，max d =所以点P 到直线l的距离的最大值为…………………………………………………………5分（2）设曲线C 上任意点()cos ,2sin P a t t ，由于曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，所以cos 2sin 40a t t -+>对t ∀∈R 恒成立，……………………………………………………7分()4t ϕ-<，其中cos ϕϕ==………………………………8分4<………………………………………………………………………………………9分由于0a >，解得实数a的取值范围是0a <<……………………………………………10分23.解：（1）当1m =时，()34,2312332,124,1x x f x x x x x x x ⎧+ <-⎪⎪⎪=--+=-- -≤≤⎨⎪-- >⎪⎪⎩…………………………1分因为()1f x ≥，所以3241x x ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩或者312321x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--≥⎩或者141x x >⎧⎨--≥⎩……………………………3分解得：332x -≤<-或者312x -≤≤-，所以不等式()1f x ≥的解集为{}31x x -≤≤-.…………………………………………………5分（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，等价于()()max min 21f x t t <++-…………………………………………………………………………6分因为()()21213t t t t ++-≥+--=，当且仅当()()210t t +-≤时等号成立，所以()min 213t t ++-=……………………………………………………………………………7分因为0m >时，()23f x x m x m =--+=34,2332,24,m x m x m x m x m x m x m ⎧+ <-⎪⎪⎪-- -≤≤⎨⎪-- >⎪⎪⎩函数()f x 单增区间为3,2m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单间区减为3,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，所以当32m x =-时，()max 3522m m f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭…………………………………………………9分所以532m <，所以实数m 的取值范围605m <<.…………………………………………………………………10分。

华南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期月考(二)数学含答案

华南师大附中2023届高三月考（二）数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．回答第Ⅱ卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}=0A x R x ∈≤，{}=11B x R x −∈≤≤，则()()RR A B =（）A ．(,0)−∞B ．[1,0]−C ．[0,1]D ．(1,)+∞2．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则12z z 对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数()sin tan f x x x =⋅的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．赤岗塔是广州市级文物保护单位，是广州市明代建筑中较具特色的古塔之一，与琶洲塔、莲花塔并称为广州明代三塔，如图，在A 点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D 处，塔顶C 的仰角为30°，在A 的正东方向且距D 点61m 的B 点测得塔底位于北偏西45°方向上（A ，B ，D 在同一水平面），则塔的高度CD 约为（）2.45≈）A ．40mB ．45mC ．50mD ．55m5．在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，当2ABD ADC S S =△△，AB xAD y AC =+，则（） A ．3x =，2y =− B ．32x =，12y =− C ．2x =−，3y =D ．12x =−，32y =6．在ABC ∆中，2cos cos cos c bc A ac B ab C =++，则此三角形必是（） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．钝角三角形7．设实数,a b 满足0b >，且2a b +=，则18a a b+的最小值是（） A ．98B ．916 C ．716D ．148．已知函数()2ln f x x x x =−的图象上有且仅有两个不同的点关于直线1y =的对称点在10kx y +−=的图象上，则实数k 的取值范围是（）A ．(),1−∞B ．[)0+∞，C ．[)0,1D ．(),1−∞−二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．设,m n 为不同的直线，αβ，为不同的平面，则下列结论中正确的是（） A ．若//m α,//n α,则//m n B ．若,,m n αα⊥⊥则//m n C ．若//m α,m β⊂,则//αβ D ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥则αβ⊥ 10．函数()()sin f x x ωϕ=+(0,20,A πωϕ><>）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（）A ．直线6x π=−是函数()f x 图象的一条对称轴B ．函数()f x 的图象关于点(),062k k Z ππ⎛⎫−+∈ ⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤−++∈⎢⎥⎣⎦D ．将函数()f x 的图象向由右平移12π个单位得到函数()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象11．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：记图乙中第n 行白圈的个数为n a ，黑圈的个数为n b ，则下列结论中正确的是（） A ．1239a a a +=+B ．12n n n a b b +=+C ．当1k =±时，{}n n a kb +均为等比数列D ．1236179b b b b ++++=12．曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线()y f x =在点(,())x f x 处的曲率()()() 1.52''()1f x K x f x '=⎡⎤+⎣⎦，其中()''f x 是()f x '的导函数．下面说法正确的是（）A ．若函数3()f x x =，则曲线()y f x =在点3(,)a a −−与点3(,)a a 处的弯曲程度相同B ．若()f x 是二次函数，则曲线()y f x =的曲率在顶点处取得最小值C ．若函数()sin f x x =，则函数()K x 的值域为[0,1]D ．若函数1()(0)f x x x =>，则曲线()y fx =第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量,a b 夹角为4π，且||1a =，||2b =，则2a b +=______． 14．已知1sin 83πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin2cos2αα+=__________．15．某学生在研究函数()3f x x x =−时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增．该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()'00h =．写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________．16．已知数列{}n a 的通项公式为n a n t =+，数列{}n b 为公比小于1的等比数列，且满足148b b ⋅=，236b b +=，设22n n n n n a b a b c −+=+，在数列{}n c 中，若4()n c c n N *≤∈，则实数t 的取值范围为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos tan 2sin sin B AB A+=−A ．(1)求C ；(2)若6a =，ABC S ∆=c 的值．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，122n n a S +=+． (1)求{}n a 的通项公式； (2)若23n n a b n =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A 组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取10位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A 组的客户，“⊙”表示B 组的客户．注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值．(1)记A ，B 两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m ，n ，根据图中数据，试比较m ，n 的大小（直接写结论）；(2)从抽取的20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A 组的客户的概率；(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”，现从该市使用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄40岁以下和40岁以上的客户各1位，记“驾驶达人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 20．（本小题满分12分）在斜三棱柱111ABC A B C −中，1AA BC ⊥，11AB AC AA AC ====，1B C = (1)证明：1A 在底面ABC 上的射影是线段BC 中点； (2)求平面11A B C 与平面111A B C 夹角的余弦值．已知()2,0A ，()0,1B 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两个顶点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点()2,1P 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，与直线AB 交于点M ，求PM PMPC PD+的值．22．（本小题满分12分）设函数1()e ,()ln x f x m g x x n −==+，m n 、为实数，()()g x F x x=有最大值为21e ．(1)求n 的值； (2)若2()()e f x xg x >，求实数m 的最小整数值．华南师大附中2023届高三月考（二）数学参考答案一、单项选择题：1．D 2．C 3．A 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 二、多项选择题：9．BD 10．BCD 11．BCD 12．ACD 11. 【答案】BCD【详解】易得-1113,2,2n n n n n n n n n a b a a b b b a +++==+=+，且有111,0a b ==，故有11113()n n n n n n n n a b a b a b a b +++++=+⎧⎨−=−⎩，故131n n n n na b a b −⎧+=⎪⎨−=⎪⎩ 故11312312n n n n a b −−⎧+=⎪⎪⎨−⎪=⎪⎩，进而易判断BCD 正确，A 错误.故选：BCD. 12.【答案】ACD【详解】对于A ，2()3f x x '=，()6f x x ''=，则22 1.56()[1(3)]x K x x =+，又()()K x K x =−，所以()K x 为偶函数，曲线在两点的弯曲长度相同，故A 正确；对于B ，设2()(0)f x ax bx c a =++≠，()2()2f x ax b f x a '''=+=，，则 1.52|2|()1(2)a K x ax b =⎡⎤++⎣⎦，当且仅当20ax b +=，即2bx a=−时，曲率取得最大值，故B 错误；对于C ，()cos ()sin f x x f x x '''==−，，()()1.51.522|sin |()(|sin |[0,1])1cos 2x tK x t x x t −===∈+−，当0t =时，()0K x =；当01t <≤时，函数()1.52()2tp t t =−为增函数，所以()p t 的最大值为(1)1p =，故C 正确；对于D ，2312()()f x f x x x '''=−=，，3 1.542()11x K x x =≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立，故D 正确．故选ACD ．三、填空题：13.14.915. 2x （答案不唯一） 16. []4,2−− 16.【详解】在等比数列{}n b 中，由142388b b b b ⋅=⇒⋅=，又236b b +=，且公比小于1，323214,2,2b b b q b ∴==∴==，因此242211422n n n n b b q −−−⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由22n nn n n a b a b c +=+－，得到()(){},n n n n n n nn b a b c c a a b ⎧≤⎪=∴⎨>⎪⎩是取,n n a b 中最大值. 4()n c c n N *≤∈，4c ∴是数列{}n c 中的最小项，又412n n b −⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，n a n t =+单调递增，∴当44c a =时，4n c c ≤，即44,n a c a ≤∴是数列{}n c 中的最小项，则必须满足443b a b <≤，即得44341143222t t −−⎛⎫⎛⎫<+≤⇒−<≤− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当44c b =时，4n c c ≤，即4n b c ≤，4b ∴是数列{}n c 中的最小项，则必须满足445a b a ≤≤，即得44145432t t t −⎛⎫+≤≤+⇒−≤≤− ⎪⎝⎭，综上所述，实数t 的取值范围是[]4,2−−，故答案为[]4,2−−.四、解答题： 17．（1）由2cos cos tan 2sin sin B A A B A +=−得2cos cos sin 2sin sin cos B A AB A A+=−，(1分)即222cos cos cos 2sin sin sin B A A B A A +=−，()222cos cos sin sin cos sin B A B A A A ∴−=−−， ()1cos 2B A ∴+=−，(3分)()0A B π+∈，，2π3A B ∴+=，(4分) π3C =∴．(5分) （2）由6a =，π3C =，1sin 2ABC S ab C ∆== 解得2b =，(7分)22212cos 364262282c a b ab C ∴=+−=+−⨯⨯⨯=，c ∴=．(10分) 18．解： (1)122n n a S +=+，① 当2n ≥时，122n n a S −=+，②(1分) ①-②得()1122n n n n n a a S S a +−−=−=，(2分) ∴13(2)n n a a n +=≥，∴13n na a +=，(3分)∵12a =，∴21226a S =+=，∴21632a a ==也满足上式，（4分) ∴数列{}n a 为等比数列且首项为2，公比为3，∴111323n n n a a −−=⋅=⋅.即{}n a 的通项公式为123n n a −=⨯.(5分)(2)由（1）知123n n a −=⨯，所以233n n n n nb a ==，(6分) 令211213333n n n n nT −−=++++，①(7分)得231112133333n n n n nT +−=++++，②(8分) ①-②得23121111333333n n n nT +=++++−(9分)1111331313n n n +⎛⎫− ⎪⎝⎭=−− (10分)1111233n n n +⎛⎫=−− ⎪⎝⎭ (11分) 所以323443n nn T +=−⨯.(12分) 19．解：（1）m n <；(1分)（2）设“从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A 组的客户”为事件M ，则()112101010220C C C 29C 38P M +==，所以从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A 组的客户的概率是2938；(4分) （3）题图，知A 组“驾驶达人”的人数为1人，B 组“驾驶达人”的人数为2人，(5分) 则可估计该市使用这种电动汽车的所有客户中，在年龄40岁以下的客户中随机抽取1位，该客户为“驾驶达人”的概率为110，在年龄40岁以上的客户中随机抽取1位，该客户为“驾驶达人”的概率为21105=；(6分) 依题意，X 所有可能取值为0，1，2.(7分)则()111801110525P X ⎛⎫⎛⎫==−⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(8分)()11111311110510550P X ⎛⎫⎛⎫==−⨯+⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(9分)()111210550P X ==⨯=，(10分) 所以随机变量X 的分布列为故X 数学期望为181313()01225505010E X =⨯+⨯+⨯=.(12分)20. 解：（1）法一：取BC AC 、的中点M N 、，连接11,,,AM MN A M A N ∵AB AC =且M 为BC 的中点，则AM BC ⊥(1分) 又∵1AA BC ⊥，1AMAA A =，且1,AM AA ⊂平面1AA M∴BC ⊥平面1AA M (2分)1A M ⊂平面1AA M ，1A M ∴⊥BC (3分)由题意可得1BB BC ⊥，则2BC == ∴222BC AC AB =+，则AB AC ⊥ ∵MN AB ∥，则MN AC ⊥(4分)又∵1AAC △为等边三角形且N 为AC 的中点，则1A N AC ⊥ 1MNA N N =，且1,MN A N ⊂平面1A MN∴AC ⊥平面1A MN1A M ⊂平面1A MN ，则1A M ⊥AC (5分)又ACBC C =，且,AC BC ⊂平面ABC∴1A M ⊥平面ABC 即1A 在底面ABC 上的射影是线段BC 中点M (6分) 法二：取BC 的中点M ，连接1,M 由=AB AC 得AM BC ⊥(1分) 又由A A BC A AAM A ⊥１１，＝得BC A AM⊥１平面(2分) 因为A M A AM ⊂１１平面，所以BC A M ⊥１(3分) 由于11//BB AA ，1AA BC ⊥得1BB BC ⊥在1Rt BB C ∆中，2BC ===，112MC BC ==在1Rt A MC ∆中，11A M ===，(4分)同理1AM =在1A AM ∆中，22211+2A M AM A A ==，因此1A M AM ⊥(5分)又由于AM BC M =，所以1A M ⊥平面ABC 即1A 在底面ABC 上的射影是线段BC 中点M (6分)（2）如图，以M 为坐标原点，以1MC MA MA ，，所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(7分)则()()()()10,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,0A A B C −，∴()()1111,1,0,1,0,1B A BA CA ===−(8分)设平面11A B C 的法向量(),,m x y z =，则11100m B A m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00x y x z +=⎧⎨−+=⎩ 令1x =，则1,1y z =−=，即()1,1,1m =−(9分) 平面111A B C 的法向量()0,0,1n =(10分) ∴13cos 33m n m n m n⋅⋅===(11分)即平面11A B C 与平面111A B C .(12分)21．解：（1）由()2,0A ，()0,1B 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两个顶点，得2a =，1b =，即22:14x E y +=；(3分) （2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆有且只有一个公共点，不成立，(4分) 所以设()11,C x y ，()22,D x y ，()33,M x y ，直线l 的斜率为k ，则(12P x x P C x =−=− 同理(22x PD =−(32x PM =−，则33122222x x x x PMPMPC PD −−=+−−+ (5分) 设l ：()12y k x −=−，而AB ：12x y +=，联立解得3421k x k =+，所以342222121k x k k −=−=++ (6分) 联立直线l 与椭圆E 方程，消去y 得：()()2224182116160k x k k x k k +−−+−=，(7分) ()()()222=82144116160k k k k k ∆⎡−⎤−+−>⎣⎦解得0k > 所以()12282141k k x x k −+=+，2122161641k k x x k −=+，(8分) 所以()()()1212121212124411222224x x x x x x x x x x x x +−+−+=−=−−−−−−++(9分) ()()2222821441218211616244141k k k k k k k k k k −−+=−=+−−−⨯+++，(11分) 所以()33122222122221x x k x x k −−+=⨯+=−−+，即2PM PM PC PD+=．(12分) 22．解：(1)()ln ()g x x n F x x x +==，定义域为()0,∞+， 21ln ()x n F x x −−='，(1分) 当10e n x −<<时，()0F x '>，当1e n x −>时，()0F x '<，所以()F x 在1e n x −=处取得极大值，也是最大值，(2分) 所以1211()e en n n F x −−+==，解得：1n =−；(3分) (2)()12e ln 1e x m x x −>−，即()3e ln 1x m x x −>−,()3ln 1e x x x m −−>，(4分) 令()()3ln 1e x x x h x −−=，定义域为()0,+∞，()3ln ln e x x x x x h x −'−+=，(5分) 令()ln ln x x x x x ϕ=−+，0x >，则()11ln 11ln x x x x x ϕ=−−+=−'，可以看出()1ln x x xϕ=−'在()0,+∞单调递减，(6分) 又()110ϕ'=>，()12ln 202ϕ=−<'，由零点存在性定理可知：()01,2x ∃∈，使得()00x ϕ'=，即001ln x x =，(7分) 当()00,x x ∈时，()0x ϕ'>，当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ'<， ()x ϕ在0x x =处取得极大值，也是最大值， ()()000000max 01ln ln 111x x x x x x x x ϕϕ==−+=−+>=，(8分) 1112110e e e e ϕ⎛⎫=−++=−< ⎪⎝⎭，7777775717ln ln ln 75ln 022********ϕ⎛⎫⎛⎫=−+=−=−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()446ln 20ϕ=−<，故存在101,e x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，27,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()120,0x x ϕϕ==，(9分) 所以当()12,x x x ∈时，()0x ϕ>，当()()120,,x x x ∞∈⋃+时，()0x ϕ<，所以()3ln ln ex x x x x h x −'−+=在()12,x x x ∈上大于0，在()()120,,x x x ∞∈⋃+上小于0，所以()()3ln 1e x x x h x −−=在()12,x x x ∈单调递增，在()()120,,,x x +∞上单调递减，且当e x <时，()()3ln 10e x x x h x −−=<恒成立，(10分) 所以()()3ln 1ex x x h x −−=在2x x =处取得极大值，也是最大值，其中2222ln ln 0x x x x −+=， ()()22222233ln 1ln e ex x x x x h x −−−==，27,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(11分) 令()3ln e x x x φ−=，7,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()31ln e x x x x φ−'−=，当7,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()31ln 0ex x x x φ−−=<'，故()7327ln 21ex φ−<<，所以实数m 的最小整数值为1. (12分)。

广东省华南师范大学附属中学2019届高三上学期第二次月考数学理---精校解析Word版

20182019学年度华南师大附中高三年级月考（二）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得集合A，然后逐一考查所给选项是否正确即可.【详解】求解一元二次不等式可得，据此可知，选项A错误；，选项B正确；集合AB之间不具有包含关系，选项CD错误；本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的包含关系，交集、并集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.记复数的共轭复数为，已知复数满足，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算得到复数z，进而得到结果.【详解】因为，所以，所以.故选：B【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.下列函数中，既是偶函数又有零点的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题可通过偶函数性质与函数是否有零点来得出答案。

【详解】A项不是偶函数；B项不是偶函数；C项没有零点；故选D。

【点睛】偶函数需要满足并且定义域关于轴对称。

零点就是函数与轴有交点。

4.设，则p是q成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由指数函数的性质可知，当必有，所以的充分条件，而当时，可得，此时不一定有，所以的不必要条件，综上所述，的充分而不必要条件，所以正确选项为A.考点：充分条件与必要条件.【方法点睛】判断是不是的充分（必要或者充要）条件，遵循充分必要条件的定义，当成立时，也成立，就说是的充分条件，否则称为不充分条件；而当成立时，也成立则是的必要条件，否则称为不必要条件；当能证明的同时也能证明，则是的充分条件．视频5.函数的部分图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求函数的奇偶性，排除A,C,再排除D.详解：由题得，所以函数f(x)是奇函数，所以排除A,C.当x=0.0001时，，所以排除D,故答案为：B.点睛：(1)本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的奇偶性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似这种根据解析式找函数的图像，一般先找差异，再验证.6.在等差数列中，，则（）A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】A【解析】由题意，数列为等差数列，结合等差数列通项公式的性质得，，则，所以.故选A.7.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题可以先通过题意计算出以及的值，再通过解得的值。

2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高三(上)月考数学试卷(理科)(二)(解析版)

2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知zi＝2﹣i，则复数z在复平面对应点的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）2．已知sin2α＝，，则sinα﹣cosα的值是（）A．B．C．D．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝，b＝3，A＝60°，则边c＝（）A．1B．2C．4D．64．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）＝36，则S11＝（）A．66B．55C．44D．335．已知集合A＝{x|﹣2＜x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是（）A．[2，3]B．（2，3]C．（﹣∞，3]D．（2，+∞）6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）8．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；当x＞时，f（x+）＝f（x﹣）．则f（6）＝（）A．﹣2B．1C．0D．29．设a＞1，b＞1且ab﹣（a+b）＝1，那么（）A．a+b有最小值2（+1）B．a+b有最大值C．ab有最大值+1D．ab有最小值2（+1）10．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3＝0，则|﹣|的最小值是（）A．﹣1B．+1C．2D．2﹣11．已知函数f（x）＝，且g（x）＝f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪（0，]B．（﹣，﹣2]∪（0，]C．（﹣，﹣2]∪（0，]D．（﹣，﹣2]∪（0，]12．设函数f（x）＝与g（x）＝a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，满分20分）13．若x，y满足不等式组，则的最大值是．14．已知函数，则f（f（﹣2））＝，若f（x）＝10，则x＝．15．已知函数f（x）＝sinωx﹣cosωx（ω＞0），若方程f（x）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为．16．已知数列{a n}中，a1＝﹣1，a n+1＝2a n+3n﹣1（n∈N*），则其前n项和S n＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝3a n﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为数列{b n}的前n项和，求证：．18．已知直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，∠BAC＝120°，，E是BC的中点，F是A1E上一点，且A1F＝3FE．（Ⅰ）证明：AF⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角B﹣A1E﹣B1余弦值的大小．19．如图，椭圆C：＝1（a＞b＞c）的离心率e＝，且椭圆C的短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l过点D（0，），且与椭圆C相交于M，N两点，又点P是椭圆C的上顶点，求△PMN面积的最大值．20．某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：（1）求出表中x，y的值；（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的数学期望．附：．21．已知函数f（x）＝e x（3x﹣2），g（x）＝a（x﹣2），其中a，x∈R．（1）求y＝f（x）在点（1，e）处的切线方程；（2）若对任意x∈R，有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；（3）若存在唯一的整数x0，使得f（x0）≤g（x0），求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为，直线l与y轴的交点为M，与曲线C1相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）（1）t＝2时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求实数a的取值范围．2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知zi＝2﹣i，则复数z在复平面对应点的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）【解答】解：zi＝2﹣i，∴z＝＝＝﹣1﹣2i，∴复数z在复平面对应点的坐标是（﹣1，﹣2），故选：A．2．已知sin2α＝，，则sinα﹣cosα的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由sin2α＝，得2sinαcosα＝，又，∴sinα﹣cosα＝＝．故选：A．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝，b＝3，A＝60°，则边c＝（）A．1B．2C．4D．6【解答】解：由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴13＝9+c2﹣3c，化为c2﹣3c﹣4＝0，解得c＝4．故选：C．4．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）＝36，则S11＝（）A．66B．55C．44D．33【解答】解：由等差数列的性质可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）＝36，∴6a3+6a9＝36，即a1+a11＝6．则S11＝＝11×3＝33．故选：D．5．已知集合A＝{x|﹣2＜x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是（）A．[2，3]B．（2，3]C．（﹣∞，3]D．（2，+∞）【解答】解：∵A∪B＝A，∴B⊆A，①B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；②B≠∅时，，解得2≤m≤3，∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故选：C．6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（）A．﹣B．﹣C．+D．+【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，＝﹣＝﹣＝﹣×（+）＝﹣，故选：A．7．若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）【解答】解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y＝是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：D．8．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；当x＞时，f（x+）＝f（x﹣）．则f（6）＝（）A．﹣2B．1C．0D．2【解答】解：∵当x＞时，f（x+）＝f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）＝f（x），即周期为1．∴f（6）＝f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（1）＝﹣f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）＝x3﹣1，∴f（﹣1）＝﹣2，∴f（1）＝﹣f（﹣1）＝2，∴f（6）＝2．故选：D．9．设a＞1，b＞1且ab﹣（a+b）＝1，那么（）A．a+b有最小值2（+1）B．a+b有最大值C．ab有最大值+1D．ab有最小值2（+1）【解答】解：∵a＞1，b＞1且ab﹣（a+b）＝1，∴1+a+b＝ab，化为（a+b）2﹣4（a+b）﹣4≥0，解得．故选：A．10．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3＝0，则|﹣|的最小值是（）A．﹣1B．+1C．2D．2﹣【解答】解：由﹣4•+3＝0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y＝（x＞0）上．不妨以y＝为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．11．已知函数f（x）＝，且g（x）＝f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪（0，]B．（﹣，﹣2]∪（0，]C．（﹣，﹣2]∪（0，]D．（﹣，﹣2]∪（0，]【解答】解：由g（x）＝f（x）﹣mx﹣m＝0，即f（x）＝m（x+1），分别作出函数f（x）和y＝h（x）＝m（x+1）的图象如图：由图象可知f（1）＝1，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，当h（x）过（1，1）时，m＝此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤，当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）＝﹣2，解得m＝﹣2，此时两个函数有两个交点，当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时，即m（x+1）2+3（x+1）﹣1＝0，当m＝0时，x＝，只有1解，当m≠0，由△＝9+4m＝0得m＝﹣，此时直线和f（x）相切，∴要使函数有两个零点，则﹣＜m≤﹣2或0＜m≤，故选：A．12．设函数f（x）＝与g（x）＝a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：设y＝f（x）与y＝g（x）（x＞0）在公共点P（x0，y0）处的切线相同、f′（x）＝3x﹣2a，g′（x）＝，由题意f（x0）＝g（x0），f′（x0）＝g′（x0），即x02﹣2ax0＝a2lnx0+b，3x0﹣2a＝由3x0﹣2a＝得x0＝a或x0＝﹣a（舍去），即有b＝a2﹣2a2﹣a2lna＝﹣a2﹣a2lna．令h（t）＝﹣t2﹣t2lnt（t＞0），则h′（t）＝2t（1+lnt），于是当2t（1+lnt）＞0，即0＜t＜时，h′（t）＞0；当2t（1+lnt）＜0，即t＞时，h′（t）＜0．故h（t）在（0，）为增函数，在（，+∞）为减函数，于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（）＝，故b的最大值为．故选：A．二、填空题（每小题5分，满分20分）13．若x，y满足不等式组，则的最大值是2．【解答】解：由题意作平面区域如下，，的几何意义是阴影内的点（x，y）与原点的连线的斜率，结合图象可知，过点A（1，2）时有最大值，此时＝＝2，故答案为：2．14．已知函数，则f（f（﹣2））＝﹣10，若f（x）＝10，则x＝﹣3．【解答】解：∵函数，∴f（f（﹣2））＝f（5）＝﹣10，若x≤0，由x2+1＝10，得x＝﹣3，或x＝3（舍去），若x＞0，由﹣2x＝10，得x＝﹣5（舍去），综上所述，若f（x）＝10，则x＝﹣3，故答案为：﹣10，﹣315．已知函数f（x）＝sinωx﹣cosωx（ω＞0），若方程f（x）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为．【解答】解：函数f（x）＝sinωx﹣cosωx（ω＞0），＝2sin（ωx﹣），令2sin（ωx﹣）＝﹣1，解得：，或（k∈Z），所以：或（k∈Z），设直线y＝﹣1与y＝f（x）在（0，+∞）上从左到右的第四个交点为A第五个交点为B，则：，．由于方程f（x）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则：x A＜π≤x B，即：，解得：．故答案为：．16．已知数列{a n}中，a1＝﹣1，a n+1＝2a n+3n﹣1（n∈N*），则其前n项和S n＝2n+2﹣4﹣．【解答】解：∵a n+1＝2a n+3n﹣1（n∈N*），a1＝﹣1，∴a2＝0．n≥2时，a n＝2a n﹣1+3n﹣4，相减可得：a n+1﹣a n＝2a n﹣2a n﹣1+3，化为：a n+1﹣a n+3＝2（a n﹣a n﹣1+3），∴数列{a n﹣a n﹣1+3}为等比数列，首项为4，公比为2．∴a n﹣a n﹣1+3＝4×2n﹣2，∴a n﹣a n﹣1＝2n﹣3．∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2n﹣3+2n﹣1﹣3+…+22﹣3﹣1，＝﹣3（n﹣1）﹣1＝2n+1﹣3n﹣2．∴其前n项和S n＝﹣3×﹣2n＝2n+2﹣4﹣．故答案为：2n+2﹣4﹣．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝3a n﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为数列{b n}的前n项和，求证：．【解答】解：（Ⅰ）2S n＝3a n﹣1，可得n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣，化为a n＝3a n﹣1，可得{a n}为首项为1，公比为3的等比数列，则a n＝3n﹣1，n∈N*；（Ⅱ）证明：＝＝，则T n＝2+++…+，T n＝+++…+，两式相减可得T n＝2+++…+﹣，＝2+﹣，可得T n＝﹣，由＞0，可得T n＜．18．已知直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，∠BAC＝120°，，E是BC的中点，F是A1E上一点，且A1F＝3FE．（Ⅰ）证明：AF⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角B﹣A1E﹣B1余弦值的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AE，AF，在△ABC中，＝，即＝×AE，解得AE＝1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AE，Rt△A1AE中，AA1＝，AE＝1，∴A1E＝2，∴EF＝，∵＝，∴∠AFE是直角，∴A1E⊥AF，∵E是BC中点，且△ABC是等腰三角形，∴AE⊥BC，∵AA1⊥BC，BC⊥AF，BC∩A1E＝E，∴AF⊥平面A1BC．（Ⅱ）解：∵AE⊥BC，如图以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，BE＝＝，∴B（﹣，0，0），A1（0，1，），E（0，0，0），B1（﹣），＝（﹣），＝（0，1，），＝（﹣），设面BA1E的法向量＝（x，y，z），面B1A1E的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（0，﹣，1），，取z＝1，得＝（1，﹣，1），设二面角B﹣A1E﹣B1的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角B﹣A1E﹣B1余弦值为．19．如图，椭圆C：＝1（a＞b＞c）的离心率e＝，且椭圆C的短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l过点D（0，），且与椭圆C相交于M，N两点，又点P是椭圆C的上顶点，求△PMN面积的最大值．【解答】解：（1）由已知得，解得，所以椭圆C的方程是；（2）由已知可知直线l的斜率定存在，设直线l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（1+4k2）x2﹣4kx﹣3＝0，所以，，所以，又，所以，令，，所以，令（），则，所以g（m）在上单调递增，所以当时，此时k＝0，g（m）有最小值，此时S△PMN有最大值．20．某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：（1）求出表中x，y的值；（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中A 类人数和C类人数差的绝对值，求X的数学期望．附：．【解答】解：（1）设抽取的20人中，男、女生人数分别为n1，n2，则，……1分所以x＝12﹣5﹣3＝4，………………2分y＝8﹣3﹣3＝2；…………………3分（2）列联表如下：………………………………………5分计算K2的观测值为，所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；……………………………………………7分（3）X的可能取值为0，1，2，3，则，……………………………………………8分，……………………………………9分，…………………………………………10分，……………………………………………11分所以X分布列为；所以数学期望为E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．………………………………………12分21．已知函数f（x）＝e x（3x﹣2），g（x）＝a（x﹣2），其中a，x∈R．（1）求y＝f（x）在点（1，e）处的切线方程；（2）若对任意x∈R，有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；（3）若存在唯一的整数x0，使得f（x0）≤g（x0），求a的取值范围．【解答】解：（1）依题意，得f'（x）＝e x（3x+1），所以k＝f'（1）＝4e，所以y＝f（x）在点（1，e）处的切线方程为y﹣e＝4e（x﹣1），即y＝4ex﹣3e；（2）由题意，对任意x∈R有e x（3x﹣2）≥a（x﹣2）恒成立，①当x∈（﹣∞，2）时，有恒成立，故，令，则，令F'（x）＝0得x＝0，且x∈（﹣∞，0）时F'（x）＞0，x∈（0，2）时F'（x）＜0，故y＝F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，从而y＝F（x）在x＝0处取得极大值，也即最大值F（0）＝1，故此时有a≥1；②当x＝2时，恒成立，故此时a∈R；③当x∈（2，+∞）时，有恒成立，故，令，则，令F'（x）＝0得，且时F'（x）＜0，时F'（x）＞0，故y＝F（x）在上单调递减，在上单调递增，从而y＝F（x）在处取得极小值，也即最小值，故此时有；综上可得，；（3）因为f（x）＜g（x），即e x（3x﹣2）＜a（x﹣2），由（2）知，令，则，于是有如下表：当x∈（﹣∞，2），存在唯一的整数x0使得f（x0）＜g（x0），等价于存在唯一的整数x0成立，因为F（0）＝1最大，，，所以当时，至少有两个整数成立，所以；当x∈（2，+∞），存在唯一的整数x0使得f（x0）＜g（x0），等价于存在唯一的整数x0成立，因为最小，且F（3）＝7e3，F（4）＝5e4，所以当a＞5e4时，至少有两个整数成立，所以当a≤7e3时，没有整数成立，所有（7e3，5e4]；故a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为，直线l与y轴的交点为M，与曲线C1相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．【解答】解：（1）由（φ为参数），消去参数φ，得曲线C1的普通方程为：（x﹣5）2+y2＝10．由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，得曲线C2的普通方程为：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4．由两圆心的距离，得两圆相交，∴两方程相减可得交线为﹣6x+21＝5，即．∴直线的极坐标方程为；（2）由，得，∴直线l的直角坐标方程：x+y＝4，则与y轴的交点为M（0，4）．直线l的参数方程为，代入曲线C1（x﹣5）2+y2＝10，得．设A，B两点的参数为t1，t2，∴，t 1t2＝31，则t1，t2同号．∴．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）（1）t＝2时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当t＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|，若x≤1，则f（x）＝3﹣2x，于是由f（x）＞2，解得x＜，综合得x＜；若1＜x＜2，则f（x）＝1，显然f（x）＞2不成立；若x≥2，则f（x）＝2x﹣3，于是由f（x）＞2，解得x＞，综合得x＞∴不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜，或x＞}．（2）f（x）≥a+x等价于a≤f（x）﹣x，令g（x）＝f（x）﹣x，当﹣1≤x≤1时，g（x）＝1+t﹣3x，显然g（x）min＝g（1）＝t﹣2，当1＜x＜t时，g（x）＝t﹣1﹣x，此时g（x）＞g（1）＝t﹣2，当t≤x≤3时，g（x）＝x﹣t﹣1，g（x）min＝g（1）＝t﹣2，∴当x∈[1，3]时，g（x）min＝t﹣2，又∵t∈[1，2]，∴g（x）min≤﹣1，即a≤﹣1，综上，a的取值范围是a≤﹣1．。

广东省2019届高三上学期期末联考数学理试卷及答案解析[精品]

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学第一部分选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由复数的运算法则直接计算即可.【详解】，，虚部为【点睛】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题型.2.设，，则下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质，逐项判断即可.【详解】对于A，当a为正数，b为负数时，，所以，A错误；对于B，当a＝2，b＝时，B不成立，所以错误。

对于C，，所以选项C正确；对于D，取反例：【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题型.3.已知是等比数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求公比，再求,最后根据等比数列前n项和公式的结果.【详解】，，.，故,选C.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及通项公式,考查基本求解能力,属基础题.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.如图是一个算法流程图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.7.已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8.的展开式中常数项为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为，故选C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求9.已知是边长为2的等边三角形边上的动点，则的值（）A. 有最大值B. 是定值C. 有最小值D. 与点的位置有关【答案】B【解析】【分析】先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t 代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【详解】设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t , +=+,•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起考查综合题，平时要多注意这方面的练习．10.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合题意，计算出，结合两点距离公式，距离方程，用c表示m，结合，建立关于e的不等式，计算范围，即可。

2018-2019学年度华南师范大学附属中学 2019届高三理科数学月考2(答案)

2018-2019学年度华南师大附中高三年级月考（二）理科数学答案二、填空题 13.14. 43- 15. 16.三、解答题17. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b的公比为q ， ∵13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=，∴331034232q d d q d+++=⎧⎨+-=+⎩，·····3分∴2d =，2q =，∴21n a n =+，12n n b -=．·····6分（2）由（1）知，()()32122n n n S n n ++==+，·····7分·····9分 12分18. 【解析】（1）依题意：()1123456747x =++++++=，·········1分 ()158810141517117y =++++++=，·········2分 721140ii x ==∑，71364i i i x y ==∑，71722177ˆi i i i i x y x ybx x==-∑=-∑36474112140716-⨯⨯==-⨯，·········3分 11243ˆˆa y bx =-=-⨯=，·········4分则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23y x =+．·········5分（2）二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：·········6分()1110224P X ==⨯=，()12111300233P X C ==⨯⨯=， ()1211115600332618P X C ==⨯+⨯⨯=， ()12111900369P X C ==⨯⨯=，()11112006636P X ==⨯=．·········9分所以，总金额的分布列如下表：·········11分总金额X 的数学期望为()11511030060090012004004318936E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元．·········12分 19.【解析】（1）依题意，在等腰梯形ABCD 中，AC =4AB =， ∵2BC =，∴222AC BC AB +=，即BC AC ⊥，·········1分 ∵平面ACEF ⊥平面，∴BC ⊥平面ACEF ，·········2分而AE ⊂平面ACEF ，∴AE BC ⊥．·········3分连接CF ，∵四边形ACEF 是菱形，∴AE FC ⊥，·········4分又∵BCFCC =，∴AE ⊥平面BCF ，∵BF ⊂平面BCF ，∴BF AE ⊥．·········6分（2）取EF 的中点M ，连接MC ，因为四边形是菱形，且60CAF ∠=︒．所以由平面几何易知MC AC ⊥，∵平面ACEF⊥平面ABCD ，∴MC ⊥平面．故此可以CA 、CB 、CM 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：()000C ，，，()0A ，，()020B ，，，)10D-，，()3E ，，)3F，．······7分设平面BEF 和平面DEF 的法向量分别为()1111,,a b c =n ，()2222,,a b c =n ，ABCD ACEF ABCD∵()323BF =-，，，()EF=．∴由111111·0230·00BF b c EF ⎧⎪⎨=-+=⇒==⎪⎪⎩⎩n n 2⎧⇒⎨⎩令13b =，则()1032=，，n ，··9分同理，求得()2031=-，，n ．·········10分∴121212cos 130,===⋅⋅n n n n n n ，故二面角B EF D --．··12分 20. 【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，所以122c e a c a ==⇒=，··········1分 ∵222a b c =+，∴b =．故可设椭圆的方程为：2222143x y c c+=，因为点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上，所以将其代入椭圆的方程得2229141143c c c+=⇒=．·······3分∴椭圆的方程为22143x y +=．·········4分（2）依题意，直线l 不可能与x 轴垂直，故可设直线l 的方程为：()11y k x -=-，·······5分即1y kx k =-+，()11Ax y ，，()22B x y ，为l 与椭圆的两个交点．将1y kx k =-+代入方程2234120x y +-=化简得：()()22224384880kx k k x k k +--+--=．所以21228843k k x x k -+=+，212248843k k x x k --=+．·········7分 E E E E E()()121212121212331111111222221111211y y k x k x k k k x x x x x x ------⎛⎫∴+=+=+=-+ ⎪------⎝⎭()()()()2212222121288243211632221254888843k k k x x k k k x x x x k k k k k --++--=-⋅=-⋅=-++----++．···10分又由()1 34112034120y kx k x kx k x y ⎧⎨=-+⇒+-+-=+-=⎩，解得4843k x k +=+，9343k y k +=+，即C 点的坐标为48934343k k C k k ++⎛⎫ ⎪++⎝⎭，，所以3933634324810143k k k k k k +--+==+-+．因此，12k k +与3k 的关系为：1232k k k +=．·········12分21.【解析】（1）由题意可知，定义域为(0,)+∞，()22211a x x af x x x x-+-'=--=，·······1分方程20x x a -+-=对应的14a ∆=-， 1˚当140a ∆=-≤，即14a ≥时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减；·······2分 2˚当140a ∆=->，即14a <时， ①当104a <<时，方程20x x a -+-=，且0<<此时，()f x在⎝⎭上()0f x '>，函数()f x 单调递增，在10,2⎛- ⎝⎭，12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上()0f x '<，函数()f x 单调递减；·····4分 ②当0a ≤0≤0>，此时当x ⎛∈ ⎝⎭，()0f x '>，()f x 单调递增，当12x ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；综上：当0a ≤时，x ⎛∈ ⎝⎭，()f x的单调增区间为⎛ ⎝⎭，单调减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭；当104a <<时，()f x的单调增区间为⎝⎭，单调减区间为⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭；当14a ≥时，()f x 的单调减区间为()0,+∞。

2019届广东省华南师范大学附属中学高中三年级上学期第二次月考数学理试题解析版

2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知集合A ={A |A 2−2A >0},A ={A |−2<A <3}，则 A ．A ∩A =A B ．A ∪A =A C ．A ⊆A D ．A ⊆A 2．记复数A 的共轭复数为A ，已知复数A 满足(2−i )A =5，则|A |= A ．√3 B ．√5 C ．√7 D ．5 3．下列函数中，既是偶函数又有零点的是 A ．A =A 12B ．A =tan AC ．A =e A+e−AD ．A =ln |A |4．设:12,:21x p x q <，则p 是q 成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．函数A (A )=sin A cos AA 2+1的部分图象可能是A ．B ．C ．D ．6．在等差数列{A A }中，A 3+A 5=12−A 7，则A 1+A 9= A ． 8 B ． 12 C ． 16 D ． 207．已知A2<A <A <34A ，cos (A −A )=1213，sin (A +A )=−35，则sin 2A = A ．5665 B ．−5665 C ．6556 D ．−65568．已知函数A =A sin (A 2A +A )(A >0)在一个周期内的图像如图所示，其中A ,A 分别是这段图像的最高点和最低点，A ,A 是图像与A 轴的交点，且∠AAA =900，则A 的值为A ．2B ．1C ．√3D ．√29．如图，在平面四边形ABCD 中，AA ⊥AA ，AA ⊥AA ，∠AAA =120∘，AA =AA =1. 若点E 为边CD 上的动点，则AA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·AA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为A ．2516 B ．32 C ．2116 D ．310．设{A A }是各项为正数的等比数列，A 是其公比，A A 是其前A 项的积，且A 5<A 6，A 6=A 7>A 8，则下列结论错误．．的是 A ．0<A <1 B ．A 7=1 C ．A 9>A 5 D ．A 6与A 7均为A A 的最大值11．正AAAA 边长为2，点A 是AAAA 所在平面内一点，且满足AA =√32，若AA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AAA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AAA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则A +A 的最小值是 A ．12B ．√52C ．2D ．2√3312．设函数A′(A )是奇函数A (A )(A ∈A )的导函数，当A >0时，ln A ⋅A′(A )<−1AA (A )，则使得(A 2−4)A (A )>0成立的A 的取值范围是A ．(−2,0)∪(0,2)B ．(−∞,−2)∪(2,+∞)C ．(−2,0)∪(2,+∞)D ．(−∞,−2)∪(0,2)二、填空题13．已知向量A ⃑⃑⃑⃑ =(1,2),A ⃑⃑⃑⃑ =(A ,−1)，若A ⃑⃑⃑⃑ //(A⃑⃑⃑⃑ +A ⃑⃑⃑⃑ )，则A ⃑⃑⃑⃑ ⋅A ⃑⃑⃑⃑ =__________． 14．已知1sin cos 5θθ+=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan θ=__________．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号15．由曲线A =1A ，A 2=A 与直线A =2，A =0所围成图形的面积为________． 16．在AAAA 中，A 为AA 的中点，AA =2√3,AA =√7,AA =1，点A 与点A 在直线AA 的异侧，且AA =AA ，则平面四边形AAAA 的面积的最大值为_______.三、解答题17．已知等差数列{A A }的前A (A ∈A ∗)项和为A A ，数列{A A }是等比数列，A 1=3，A 1=1，A 2+A 2=10，A 5−2A 2=A 3．（1）求数列{A A }和{A A }的通项公式；（2）若A A =2A A，设数列{A A }的前A 项和为A A ，求A A ． 18．某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，A 表示第A 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：（1）经过进一步统计分析，发现A 与A 具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出A 关于A 的线性回归方程Â=A ̂A +A ̂；（2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为16，获得“二等奖”的概率为13．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额A 的分布列及数学期望．参考公式：Â=∑A A A A AA =1−AAA∑A A 2A A =1−AA 2，A ̂=A ̅̅̅−A ̂A ̅̅̅，∑7A =1A A A A =364，∑7A =1A A 2=140．19．如图，在梯形AAAA 中，AA //AA ，AA =AA =AA =2，∠AAA =60°，平面AAAA ⊥平面AAAA ，四边形AAAA 是菱形，∠AAA =60°．（1）求证：AA ⊥AA ；（2）求二面角A −AA −A 的平面角的正切值． 20．已知椭圆A :A 2A2+A 2A2=1(A >A >0)的离心率为12，且点A (1，32)在椭圆A 上．（1）求椭圆A 的方程；（2）过点A (1，1)任作一条直线A ，A 与椭圆A 交于不同于A 点的A ，A 两点，A 与直线A :3A +4A −12=0交于A 点，记直线AA 、AA 、AA 的斜率分别为A 1、A 2、A 3．试探究A 1+A 2与A 3的关系，并证明你的结论．21．已知函数A (A )=ln A +AA−A +1−A (A ∈A ).(1)求函数A (A )的单调区间； (2)若存在A >1，使A (A )+A <1−AA成立，求整数A 的最小值. 22．以直角坐标系的原点A 为极点，A 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线A 的极坐标方程为2A sin (A +A6)−3=0，曲线A 的参数方程是{A =2cos A A =2sin A（A 为参数）．（1）求直线A 和曲线A 的普通方程；（2）直线A 与A 轴交于点A ，与曲线A 交于A ，A 两点，求|AA |+|AA |． 23．已知函数A (A )=|A +A |+|2A −1|．（1）当A =−1时，求不等式A (A )≤2的解集；（2）若A (A )≤|2A +1|在A ∈[1，2]上恒成立，求A 的取值范围．2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学（理）试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】首先求得集合A，然后逐一考查所给选项是否正确即可.【详解】求解一元二次不等式A2−2A>0可得A={A|A>2或A<0}，据此可知A∩A={A|−2<A<0或2<A<3}≠A，选项A错误；A∪A=A，选项B正确；集合AB之间不具有包含关系，选项CD错误；本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的包含关系，交集、并集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．B【解析】【分析】利用复数的除法运算得到复数z，进而得到结果.【详解】因为(2−i)A=5，所以A=52−i=2+i，z=2−A，所以|A|=|A|=√5.故选：B【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设A1=A+AA,A2=A+AA(A,A,A,AA)，则A1A2=(A+AA)(A+AA)=AA−AA+(AA+AA)A，A1 A2=A+AAA+AA=(A+AA)(A−AA)(A+AA)(A−AA)=(AA+AA)+(AA−AA)AA2+A2.3．D【解析】【分析】本题可通过偶函数性质与函数是否有零点来得出答案。

2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学(文)试题(解析版)

2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学（文）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.若集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简确定出集合，，即可得到结果【详解】集合，集合，，则,故选【点睛】本题主要考查了集合间的关系，属于基础题。

2.若复数满足 (其中为虚数单位)，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，然后根据题意求出结果【详解】设则解得，故选【点睛】本题主要考查了复数的加减法以及共轭复数的运用，较为基础。

3.已知抛物线的焦点为，准线为，该抛物线上的点到轴的距离为5，且，则焦点到准线的距离是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】分析：根据条件以及抛物线定义得|a|，即可得焦点到准线的距离.详解：因为，点到轴的距离为5，所以,因此焦点到准线的距离是，选C.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．4.在数列中，若，且对所有满足，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：依题意，；；；，所以.考点：递推数列求通项.5.已知函数，则（）A. 在单调递减B. 在单调递减，在单调递增C. 的图象关于点对称D. 的图象关于直线对称【答案】C【解析】【分析】先得到的单调性，然后求出复合函数的单调性【详解】由可得令故在上为增函数故函数在上单调递增，故排除由，故即的图象关于点对称故排除故选【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性和对称性，由同增异减先求出定义域，然后判断函数的单调性即可得到结果。

6.设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意，都有成立，则的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，由已知条件利用等差数列的性质求出和的值，两者相减即可得到的值，得到，令大于列出关于的不等式，求出解集中的最大正整数即可满足题意的的值。

试题 2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含解析

2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．若集合M ={x ||x |≤1}，N ={y ∣y =x 2 ,∣x ∣≤1 }，则 A ． M =N B ． M ⊆N C ． N ⊆M D ． M ∩N =∅ 2．若复数 z 满足2z +z =3−2i (其中 i 为虚数单位)，则z = A ． −1+2i B ． −1−2i C ． 1+2i D ． 1−2i3．已知抛物线x 2=ay(a ≠0)的焦点为F ，准线为l ，该抛物线上的点M 到x 轴的距离为5，且|MF|=7，则焦点F 到准线l 的距离是A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5 4．在数列{}n a 中，若11a =，且对所有n N *∈ 满足212......n a a a n=，则35a a +=A.2516 B.6116 C.259D.31155．已知函数f(x)=lg x 4−x，则A ． f(x)在(0,4)单调递减B ． f(x)在(0,2)单调递减，在(2,4)单调递增C ． y =f(x)的图象关于点(2,0)对称D ． y =f(x)的图象关于直线x =2对称 6．设数列{a n }为等差数列，其前 n 项和为S n ，已知a 1+a 4+a 7=99， a 2+a 5+a 8=93，若对任意n ∈N ∗，都有 S n ≤S k 成立，则k 的值为 A ． 22 B ． 21 C ． 20 D ． 197．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆 x 29+y 24=1 有相同的焦距，一条渐近线方程为x −2y =0，则双曲线C 的方程为A ． x 24−y 2=1 或 y 2−x 24=1 B ． x 2−y 24=1 或 y 2−x 24=1C ．x 24−y 2=1 D ． y 2−x 24=18．若α∈(π4,π)，且3cos2α=4sin (π4−α)，则sin2α的值为 A ． 79 B ． 19 C ． −79 D ． − 199．同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线x =π3对称；③在[−π6,π3]上是增函数的一个函数是A ． y =sin (x2+π6) B ． y =sin (2x −π6) C ． y =cos (2x +π3) D ． y =sin (2x +π6)10．在△ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足bcosC =(3a −c )cosB ，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，则ac 的值为A ． 12B ． 11C ． 10D ． 911．已知函数f (n )=n 2cos (nπ)，且a n =f (n )+f (n +1)，则a 1+a 2+a 3+⋯+a 100= A ． 0 B ． −100 C ． 100 D ． 1020012．已知函数f (x )=a −x 2(1≤x ≤2)与g (x )=x +1的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是A ． [−54,+∞) B ． [1,2] C ． [−54,1] D ． [−1,1]二、填空题13．已知向量a ⃑=(1−m,−2),b ⃗⃑=(5,m −4)，若a ⃑//b ⃗⃑且方向相反，则m =__________. 14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =， 8642a a a =+，则6a 的值是 . 15．已知函数f (x )={e x −3,x >0−x 2−2x +1,x <0，则方程f [f (x )]=2 的解的个数为_______．16．已知函数f (x )=e x−1+x −2(e 为自然对数的底数),g (x )=x 2−ax −a +3. 若存在实数x 1，x 2，使得 f (x 1)=g (x 2)=0．且∣x 1﹣x 2∣≤1，则实数a 的取值范围是________________ .三、解答题17．已知函数f (x )=√3sinωx ⋅cosωx +cos 2ωx −12(ω>0)，其最小正周期为 π2．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号（1）求 f (x ) 的表达式；（2）将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 y =g (x ) 的图象，若关于 x 的方程 g (x )+k =0 在区间 [0,π2]上有解，求实数k 的取值范围．18．已知在△ABC 中，三边长a ，b ，c 依次成等差数列．（1）若sinA:sinB =3:5 ，求三个内角中最大角的度数；（2）若b =1且 BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b 2−(a −c )2，求△ABC 的面积． 19．已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列, 且满足36a a =（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式31223...222n b b b a =+++前n 项和n S .20．设F 1，F 2分别是椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点．（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （2）设过定点M (0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点AB 点），求直线l 的斜率k 的取值范围．21．已知函数f (x )=e x x−a (x −lnx )．（1）当a =1时，试求f (x )在(1,f (1))处的切线方程；（2）若f (x )在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．22．已知平面直角坐标系xoy ，以O 为极点，x 标为(2√3,π6)，直线l 的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ+1=0，曲线C （θ为参数）.（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点到直线l 的距离的最小值.23．已知函数f (x )=|x −a |（1）若f (x )≤m 的解集为[−1,5]，求实数a,m 的值；（2）当a =2且0≤t <2时，解关于x 的不等式f (x )+t ≥f (x +2)2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学（文）试题数学答案参考答案 1．C 【解析】【分析】化简确定出集合M ，N ，即可得到结果【详解】∵集合M ={x ||x |≤1}， ∴集合M ={x |−1≤x ≤1}，∵N ={y ∣y =x 2 ,∣x ∣≤1 }，则N ={y |0≤y ≤1} ∴N ⊆M , 故选C 【点睛】本题主要考查了集合间的关系，属于基础题。

2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学(文)试题(解析版)

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．若集合M ={x ||x |≤1}，N ={y ∣y =x 2,∣x ∣≤1 }，则 A ． M =N B ． M ⊆N C ． N ⊆M D ． M ∩N =∅ 2．若复数 z 满足2z +z =3−2i (其中 i 为虚数单位)，则z = A ． −1+2i B ． −1−2i C ． 1+2i D ． 1−2i3．已知抛物线x 2=ay(a ≠0)的焦点为F ，准线为l ，该抛物线上的点M 到x 轴的距离为5，且|MF|=7，则焦点F 到准线l 的距离是A ． 2B ． 3C ． 4D ． 54．在数列{}n a 中，若11a =，且对所有n N *∈ 满足212......n a a a n =g ，则 35a a +=A.2516B.6116C.259D.31155．已知函数f(x)=lg x4−x ，则A ． f(x)在(0,4)单调递减B ． f(x)在(0,2)单调递减，在(2,4)单调递增C ． y =f(x)的图象关于点(2,0)对称D ． y =f(x)的图象关于直线x =2对称 6．设数列{a n }为等差数列，其前 n 项和为S n ，已知a 1+a 4+a 7=99， a 2+a 5+a 8=93，若对任意n ∈N ∗，都有 S n ≤S k 成立，则k 的值为 A ． 22 B ． 21 C ． 20 D ． 197．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆 x 29+y 24=1 有相同的焦距，一条渐近线方程为x −2y =0，则双曲线C 的方程为A ． x 24−y 2=1 或 y 2−x 24=1 B ． x 2−y 24=1 或 y 2−x 24=1C ．x 24−y 2=1 D ． y 2−x 24=18．若α∈(π4,π)，且3cos2α=4sin (π4−α)，则sin2α的值为A ． 79B ． 19C ． −79D ． − 199．同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线x =π3对称；③在[−π6,π3]上是增函数的一个函数是A ． y =sin (x2+π6) B ． y =sin (2x −π6)C ． y =cos (2x +π3) D ． y =sin (2x +π6)10．在△ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足bcosC =(3a −c )cosB ，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，则ac 的值为A ． 12B ． 11C ． 10D ． 911．已知函数f (n )=n 2cos (nπ)，且a n =f (n )+f (n +1)，则a 1+a 2+a 3+⋯+a 100= A ． 0 B ． −100 C ． 100 D ． 1020012．已知函数f (x )=a −x 2(1≤x ≤2)与g (x )=x +1的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是A ． [−54,+∞) B ． [1,2] C ． [−54,1] D ． [−1,1]二、填空题13．已知向量a ⃑=(1−m,−2),b ⃗⃑=(5,m −4)，若a ⃑//b ⃗⃑且方向相反，则m =__________. 14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =， 8642a a a =+，则6a 的值是 . 15．已知函数f (x )={e x −3,x >0−x 2−2x +1,x <0，则方程f [f (x )]=2 的解的个数为_______．16．已知函数f (x )=e x−1+x −2(e 为自然对数的底数),g (x )=x 2−ax −a +3. 若存在实数x 1，x 2，使得 f (x 1)=g (x 2)=0．且∣x 1﹣x 2∣≤1，则实数a 的取值范围是________________ .三、解答题17．已知函数f (x )=√3sinωx ⋅cosωx +cos 2ωx −12(ω>0)，其最小正周期为 π2．（1）求 f (x ) 的表达式；此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号（2）将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 y =g (x ) 的图象，若关于 x 的方程 g (x )+k =0 在区间 [0,π2]上有解，求实数k 的取值范围．18．已知在△ABC 中，三边长a ，b ，c 依次成等差数列．（1）若sinA:sinB =3:5 ，求三个内角中最大角的度数；（2）若b =1且 BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b 2−(a −c )2，求△ABC 的面积． 19．已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列, 且满足362755,16a a a a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式()31223 (2222)n n n b b b b a n N *=++++∈,求数列{}n b 的前n 项和n S .20．设F 1，F 2分别是椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点．（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值和最小值；（2）设过定点M (0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点AB ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．21．已知函数f (x )=e x x−a (x −lnx )．（1）当a =1时，试求f (x )在(1,f (1))处的切线方程；（2）若f (x )在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．22．已知平面直角坐标系xoy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为(2√3,π6)，直线l 的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ+1=0，曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =−√3+2sinθ （θ为参数）.（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点到直线l 的距离的最小值.23．已知函数f (x )=|x −a |（1）若f (x )≤m 的解集为[−1,5]，求实数a,m 的值；（2）当a =2且0≤t <2时，解关于x 的不等式f (x )+t ≥f (x +2)2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学（文）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】化简确定出集合M，N，即可得到结果【详解】∵集合M={x||x|≤1}，∴集合M={x|−1≤x≤1}，∵N={y∣y=x2,∣x∣≤1}，则N={y|0≤y≤1}∴N⊆M,故选C【点睛】本题主要考查了集合间的关系，属于基础题。