第九章 参数估计
参数估计公式
参数估计公式参数估计是统计学中的一个重要概念，用于从样本数据中推断总体的未知参数。
在许多实际问题中，我们往往无法收集到总体的全部数据，而只能通过对一部分样本进行观察和测量来获得信息。
参数估计的目的就是根据样本数据，通过其中一种统计方法，对总体的未知参数进行估计和推断。
通常情况下，参数估计可以分为两种方法：点估计和区间估计。
点估计是一种直接给出总体参数点估计值的方法。
它通过样本数据按照其中一种统计方法计算出一个数值，用来表示总体参数的估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计等。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是一种常用的参数估计方法。
它的基本思想是通过观察到的样本数据，选择使得样本观察到的概率最大化的参数值作为未知参数的估计值。
具体而言，对于给定的样本数据，我们需要假设一个参数取值，然后计算出这个参数取值下样本出现的概率，进而选择使得这个概率最大的参数取值。
最大似然估计可以通过求解参数的导数为零的方程得到，也可以通过数值优化算法进行求解。
矩估计（Method of Moments Estimation, MME）是另一种常用的参数估计方法。
它的基本思想是通过样本的矩来估计总体的矩，从而获得总体的未知参数的估计值。
具体而言，对于一个有k个未知参数的总体，我们可以通过样本的k阶矩来建立k个方程，然后求解这个方程组得到未知参数的估计值。
矩估计可以通过求解方程组得到，也可以通过数值优化算法进行求解。
贝叶斯估计（Bayesian Estimation）是一种利用贝叶斯定理进行参数估计的方法。
贝叶斯估计通过将先验分布和样本数据相结合，计算得到参数的后验分布，从而得到对参数的估计值。
贝叶斯估计既能够通过先验分布来处理参数的不确定性，也能够根据观测数据来更新参数的估计值。
区间估计是一种给出总体参数范围估计的方法。
它通过样本数据，结合统计方法，得到一个区间，使得总体参数有一定的概率落在这个区间内。
参数估计知识点总结
参数估计知识点总结一、参数估计的基本概念参数估计是统计学中的一个重要问题，它是指从样本数据中估计总体参数的值。
在实际问题中，我们往往对总体的某个特征感兴趣，比如总体的均值、方差等，而这些特征通常是未知的。
参数估计就是利用样本数据来估计这些未知的总体参数值的方法。
在参数估计中，有两种主要的估计方法：点估计和区间估计。
点估计是指利用样本数据来估计总体参数的一个具体值，它通常用一个统计量来表示。
而区间估计则是利用样本数据来估计总体参数的一个区间范围，通常用一个区间来表示。
二、点估计点估计是参数估计中的一种方法，它是利用样本数据来估计总体参数的一个具体值。
在点估计中，我们通常使用一个统计量来表示参数的估计值，这个统计量通常是样本数据的函数。
1. 无偏估计无偏估计是指估计量的期望值等于所估计的总体参数的真实值。
对于一个无偏估计而言，平均来说，估计值和真实值是相等的。
无偏估计是统计学中一个很重要的性质，在实际问题中，我们希望能够得到一个无偏估计。
2. 一致估计一致估计是指当样本大小趋于无穷时，估计量收敛于真实参数的概率接近于1。
一致性是估计量的另一个重要性质，它保证了在样本较大的情况下，估计值能够越来越接近真实值。
3. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是利用样本数据来选择最有可能产生观测数据的参数值。
最大似然估计的原理是选择一个参数值，使得样本数据出现的概率最大。
最大似然估计的优点在于它的统计性质良好，且通常具有较好的渐近性质。
4. 贝叶斯估计贝叶斯估计是另一种常用的参数估计方法，它是基于贝叶斯定理的一种参数估计方法。
贝叶斯估计将参数视为随机变量，通过引入先验分布和后验分布来对参数进行估计。
贝叶斯估计的优点在于它能够利用先验知识对参数进行更为准确的估计。
三、区间估计区间估计是另一种常用的参数估计方法，它是利用样本数据来估计总体参数的一个区间范围。
区间估计的优点在于它能够提供参数值的估计范围，同时也能够反映估计的不确定性。
参数估计课件
点估计
点估计
（概念要点）
1. 从总体中抽取一个样本，根据该样本的统计 量对总体的未知参数作出一个数值点的估计
▪ 例如: 用样本均值作为总体未知均值的估计值 就是一个点估计
• 2. 点估计没有给出估计值接近总体未 知参数程度的信息
3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、 最大似然法、最小二乘法等
1.96
0.15 9
21.302,21.498
我们可以95％的概率保证该种零件的平 均长度在21.302～21.498 mm之间
总体均值的区间估计
（非正态总体：实例）
【例】某大学从该 校学生中随机抽取 100 人 ， 调 查 到 他 们平均每天参加体 育 锻 炼 的 时 间 为 26 分 钟 。 试 以 95 ％ 的 置信水平估计该大 学全体学生平均每 天参加体育锻炼的 时间（已知总体方 差为36小时）。
总体1
抽取简单随机样 样本容量 n1 计算X1
所有可能样本 的X1-X2
1 1
2 2
计算每一对样本 的X1-X2
总体2
抽取简单随机样 样本容量 n2 计算X2
1 2
抽样分布
两个总体均值之差的估计
(12、22 已知)
• 1.
假定条件
▪ 两个样本是独立的随机样本
▪ 两个总体都服从正态分布
n(1- p )=60>5，= 0.95，Ｚ/2=1.96
pˆ Z 2
pˆ (1 pˆ ) n
样本。在对其进行访 问 时 ， 有 140 人 说 他 们离开该企业是由于
0.7 1.96 0.7(1 0.7) 200
同管理人员不能融洽
0.636,0.764
海南大学《概率论与数理统计》课件 第九章 点估计
令 X ,
则 ˆ x 1 (0 75 1 90 6 1) 1.22
250
二.极大似然估计法 特点：适用总体的分布类型已知的统计模型
极大似然估计法是求估计用的最多的方法， 它最早是由高斯在1821年提出，但一般将之归 功于费舍尔(R.A.Fisher)，因为费舍尔在1922 年再次提出了这种想法，并证明它的一些性质， 从而使得极大似然法得到了广泛的应用。
18
第二节 估计方法
矩估计法 极大似然估计法
19
一.矩估计法 定义：用样本矩来代替总体矩,从而得到总体 分布中参数的一种估计.这种估计方法称为 矩估计法.它的思想实质是用样本的经验分 布和样本矩去替换总体的分布和总体矩.也 称之为替换原则.
特点：不需要假定总体分布有明确的分布类型。
20
设总体X具有已知类型的概率函数 f(x;θ), θ=(θ1,…,θk) ∈Θ是k个未知参数.(X1,X2,…,Xn)是 来自总体X的一个样本.
2
参数估计的分类：
参 点估计 估计未知参数的值
数
估 计
估计未知参数的取值范围，
区间估计 并使此范围包含未知参数的
真值的概率为给定的值
3
这里所指的参数是指如下三类未知参数：
1.分布中所含的未知参数 .
如：两点分布B（1，p）中的概率p;
正态分布 N (, 2 )中的,． 2、分布中所含的未知参数的函数. 如：服从正态分布N (, 2 )的变量X不超过给定值a的
Xi＝１，反之记 Xi＝ ０ i 1,, n ．则
X1, X2 , , Xn 就是样本．总体分布为二点分
布 B1, ，参数空间 0,1 ，容易得到统计
模型
n
xi
i1
《统计学》课件参数估计
05
06
假设检验法：通过假设检验确定总体参数 是否落在某个范围内。
02
点估计
点估计的概念
数学模型
用样本均值、中位数等统计量 估计总体均值、中位数等参数
样本
来自总体的随机样本，具有代 表性
点估计
用样本统计量估计未知参数的 方法
参数
需要估计的未知量，如总体均 值、方差等
统计量
样本的函数，如样本均值、样 本方差等
区间估计在统计学中具有重要的意义，它可以帮助我们了解未知参数的取值范围，提供更全面的信息 。此外，区间估计还可以用于比较不同样本或不同条件下的参数估计结果，从而进行统计推断和决策 。
单个正态总体参数的区间估计
均值μ的区间估计
对于单个正态总体，我们可以通过样本均值来估计总体均值μ。假设样本容量 为n，样本均值为x，则总体均值μ的95%置信区间为[x-1.96*SE, x+1.96*SE]， 其中SE为样本标准误差。
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总体方差的假设检验
提出假设、计算样本方差、计算卡方 统计量、确定临界值、做出推断结论 。
两个正态总体参数的假设检验
两个总体均值差的假设检验
提出假设、计算样本均值和标准差、计算t统计量、确定临界值、做出推断结论。
两个总体方差比的假设检验
提出假设、计算样本方差、计算卡方统计量、确定临界值、做出推断结论。
用单一的数值估计总体参数，如 用样本均值估计总体均值。
区间估计
给出总体参数的估计区间，如 95%置信区间。
参数估计的方法
点估计方法
01
02
直接估计：根据样本数据直接计算估计量。
插值法：利用已知的点估计结果，通过插 值方法得到更精确的估计。
统计学参数估计
统计学参数估计参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指在推断统计问题中，通过样本数据对总体参数进行估计的过程。
这一过程是通过样本数据来推断总体参数的未知值，从而进行总体的描述和推断。
在统计学中，参数是指总体的其中一种特征的度量，比如总体均值、总体方差等。
而样本则是从总体中获取的一部分观测值。
参数估计的目标就是基于样本数据来估计总体参数，并给出估计的精确程度，即估计的可信区间或置信区间。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是一种通过单个数值来估计总体参数的方法。
点估计的核心是选择合适的统计量作为估计量，并使用样本数据计算出该统计量的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种寻找参数值，使得样本数据出现的概率最大的方法。
矩估计则是通过样本矩的函数来估计总体矩的方法。
然而，点估计只能提供一个参数的具体值，无法提供该估计值的精确程度。
为了解决这个问题，区间估计被引入。
区间估计是指通过一个区间来估计总体参数的方法。
该区间被称为置信区间或可信区间。
置信区间是在一定置信水平下，总体参数的真值落在该区间内的概率。
置信区间的计算通常涉及到抽样分布、标准误差和分位数等概念。
在实际应用中，参数估计经常用于统计推断、统计检验和决策等环节。
例如，在医学研究中，研究人员可以通过对患者进行抽样调查来估计其中一种药物的有效性和不良反应的发生率。
在市场调研中，市场研究人员可以通过抽取部分样本来估计一些产品的市场份额或宣传效果。
参数估计的准确性和可靠性是统计分析的关键问题。
估计量的方差和偏倚是影响估计准确性的主要因素，通常被称为估计量的精确度和偏倚性。
经典的参数估计要求估计量是无偏且有效的，即估计量的期望值等于真值，并且方差最小。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计值的精确程度。
参数估计在统计推断、统计检验和决策等领域具有广泛的应用。
估计量的准确性和可靠性是参数估计的关键问题，通常通过方差和偏倚的分析来评价估计量的性质。
参数估计PPT课件
高维数据问题
随着数据维度的增加，参数估计的准确性和稳定性面临更大的挑战 。
异方差性和非线性问题
在实际应用中，数据往往存在异方差性和非线性关系，这增加了参 数估计的难度。
参数估计的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
贝叶斯推断
区间估计是一种统计推断方法， 它利用样本信息来估计未知参数 的可能取值范围。
区间估计的性质
区间估计给出的是未知参数的一 个可能取值范围，而不是一个具 体的点估计值。
区间估计的优缺点
优点
区间估计能够给出未知参数的一个可能取值范围，从而为决 策者提供更多的信息，有助于理解参数的不确定性。
缺点
由于区间估计给出的范围较宽，可能会引入较大的误差。此 外，对于某些复杂模型，构造有效的区间估计可能比较困难 。
在贝叶斯估计中，先验分布代表了我们对未知参数的先验知识或信念，而后验分布 则是结合先验信息和样本数据后对未知参数的更新信念。
贝叶斯估计的核心思想是将参数看作随机变量，并利用概率论来描述我们对参数的 认知不确定性。
贝叶斯估计的优缺点
优点
贝叶斯估计能够综合考虑先验信息和样本数据，给出参数的后验分布，从而为决 策提供更全面的信息。此外，贝叶斯估计方法灵活，可以适用于不同类型的数据 和问题。
点估计的优缺点
总结词
点估计的优缺点
详细描述
点估计的优点在于它提供了一个简洁的表示未知参数的方法，并且可以利用各种统计方法进行推断和分析。然而 ，点估计也存在一些缺点，如它可能会受到样本误差的影响，导致估计结果不够准确；另外，当样本容量较小时 ，点估计的效果可能会较差。
点估计的常见方法：矩估计、最小二乘法等
参数估计概率统计学
参数估计概率统计学概率统计学是一门研究随机现象的发展规律和统计推断的科学。
参数估计是概率统计学中的一项基本任务，其目的是通过对样本的观测结果进行分析，来估计总体的未知参数。
本文将详细介绍参数估计的概念、方法和应用。
一、概念参数估计是指在一定的统计模型假设下，通过样本数据对总体未知参数进行估计。
总体是指我们想要研究的对象，例如全国人口数量、其中一种产品的平均售价等。
总体参数是对总体性质的数值特征进行度量的统计量，例如总体的均值、方差等。
二、方法参数估计的方法可以分为点估计和区间估计两大类。
1. 点估计：点估计是通过单个数值来估计总体参数。
最常见的点估计方法是最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）。
最大似然估计的思想是选择使得样本观测值出现概率最大的参数值作为估计值。
此外，还有矩估计和贝叶斯估计等方法。
2.区间估计：区间估计是通过一个区间来估计总体参数，其范围表示了参数估计的不确定性。
常见的区间估计方法有置信区间估计和最小二乘法估计。
置信区间估计是在一定置信水平下，通过样本数据获得一个包含未知参数真值的区间。
最小二乘法估计是通过最小化样本观测值与参数估计值之间的误差平方和，来估计参数。
三、应用参数估计在概率统计学中有广泛的应用。
以下是参数估计在实际问题中的几个常见应用：1.市场调研：在市场调研中，研究人员通常通过对一定样本进行数据收集，来估计市场上其中一种产品的平均售价、市场份额等参数，从而为企业做出决策和市场定位提供依据。
2.医学研究：在医学研究中，参数估计可以用来估计其中一种药物的治疗效果、其中一种疾病的发病率等。
通过收集病例数据，可以对总体患病情况进行估计，为医学研究和临床实践提供依据。
3.金融领域：在金融领域，参数估计可以用来估计一些金融指标的未来走势，例如股票价格的波动率、利率等。
通过对过去的市场数据进行分析，可以估计未来金融指标的分布和波动范围，为投资者决策提供参考。
第九章 参数估计
第九章 参数估计本章开始介绍统计推断，即依据母总体中取得的一个简单随机子样队总体进行分析和推断。
统计推断分成两大部分，一是参数估计，另一是假设检验。
参数估计又分点估计与区间估计两种。
前者是用一个适当的统计量作为参数的近似值，我们称之为该参数的估计量，后者则是用两个统计量所界定的区间来指出真实参数值的大致范围。
这里所指的参数是指如下三类未知参数：⒈分布中所含的未知参数θ，如：二点分布(1,)b p 中的概率p ；正态分布2(,)N μσ中的μ和2.σ⒉分布中所含的未知参数θ的函数。
如：服从正态分布2(,)N μσ的变量X 不超过某给定值a 的概率()()a X a μσ-≤=ΦP 是未知参数,μσ的函数；单位产品的缺陷数X 通常服从泊松分布()P λ，则单位产品合格（无缺陷）的概率(0)X e λ==-P 是未知参数λ的函数。
⒊分布的各种特征数也都是未知参数，如：均值()E X ，方差()D X ，分布中位数等。
一般场合，常用θ表示参数，参数θ所有可能取值组成的集合称为参数空间，常用Θ表示，参数估计问题就是根据样本对上述各种未知参数做出估计。
参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。
这里我们先从点估计开始。
设1,,n X X 是来自总体的一个样本，我们用一个统计量1ˆˆ(,,)n X X θθ=的取值作为θ的估计值，ˆθ称为θ的点估计（量），简称估计。
这里如何构造统计量ˆθ并没有明确的规定，只要它满足一定的合理性即可。
这就涉及两个问题：⑴其一是如何给出估计，即估计的方法问题；⑵其二是如何对不同的估计进行评价，即估计的好坏判断标准。
下面介绍一些点估计的方法。
§9.1点估计和估计量的求法人们可以运用各种方法构造出很多θ的估计，本节介绍两种最为常用的点估计方法：矩法和最大似然法。
9.1.1替换原理和矩法估计1900年统计学K.Pearson 家提出了一个替换原则，后来人们称此方法为矩法。
统计学之参数估计
统计学之参数估计
参数估计是统计学的一个重要分支，它主要是用来估计未知参数的值。
参数估计关注模型的参数值，而不是模型本身。
参数估计的主要目的是确
定模型背后的重要参数，包括均值、方差、协方差、系数、正则参数等等。
参数估计的主要方法包括极大似然估计（MLE）、贝叶斯估计、解析
估计。
MLE是最常用的参数估计方法，它的目的是寻找一些未知参数
$\theta$，使得根据已知的样本数据，其概率最大。
MLE是一种极大似然
估计，极大似然估计依赖于模型选择，模型选择是极大似然估计的基础。
MLE的关键点是估计参数，并使参数能够使似然函数是极大值。
贝叶斯估计需要对模型参数和概率分布进行假设，以求出参数的期望值。
与极大似然估计不同，贝叶斯估计注重的是参数的后验概率，它不仅
考虑参数的以前的信息，受到先验假设的影响，而且考虑参数的可能性。
解析估计是为了解决极大似然估计和贝叶斯估计的缺点而发展出来的。
解析估计不仅考虑参数的估计，还考虑参数的分布。
解析估计是一种独特
的参数估计方法，它并不依赖于概率模型，也不需要假定概率分布，只需
要估计参数的值即可。
总之，参数估计是统计学的一个重要分支。
医学统计学课件：参数估计
医学统计学课件：参数估计xx年xx月xx日contents •参数估计概述•参数估计方法•参数估计在医学中的应用•参数估计的优缺点•参数估计的相关计算•医学统计学的未来发展目录01参数估计概述定义与意义参数估计利用样本信息对总体参数进行推断和估计。
意义通过参数估计，利用样本信息对总体特征进行推断、解释和预测，为研究设计和医学实践提供重要依据。
参数估计与点估计的关系参数估计包括点估计和区间估计。
点估计：用样本统计量估计总体参数的方法，是参数估计的基础。
区间估计：在点估计的基础上，给出总体参数的估计区间，是参数估计的拓展。
确定研究问题和研究假设。
设计研究方案和收集数据。
对样本数据进行分析，得到样本统计量和样本信息。
根据样本统计量和样本信息，构造合适的统计量（点估计）或区间估计量（区间估计）。
对所构造的统计量或区间估计量进行假设检验，判断其是否具有统计意义和实际意义。
根据参数估计的结果，进行推断分析和决策。
参数估计的基本步骤02参数估计方法1点估计23点估计是一种对总体参数的数值近似，通常用一个单一的数值来表示。
定义常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
方法点估计的优点是简单、直观，但可能存在精度不足的问题。
特点03特点区间估计的优点是能够给出总体参数的精度范围，但可能存在精度不足的问题。
区间估计01定义区间估计是一种对总体参数的区间范围的估计，通常用一个置信区间来表示。
02方法基于样本统计量和样本容量的信息，利用置信区间的计算公式来得到总体参数的置信区间。
定义贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，通常将总体参数看作是一个随机变量。
方法首先需要建立一个关于总体参数的先验分布，然后结合样本信息进行后验分布的计算，最后利用后验分布进行参数的估计。
特点贝叶斯估计的优点是能够充分利用先验知识和样本信息，从而得到更加精确的参数估计结果。
但是，贝叶斯估计方法需要更多的主观判断和计算成本。
贝叶斯估计03参数估计在医学中的应用样本均数和标准差估计通过分析临床试验数据，可以估计治疗组和对照组的均数和标准差，从而了解治疗效果和病情变化情况。
参数估计的方法与原理
参数估计的方法与原理参数估计是统计学中的重要概念，用于根据样本数据来估计总体参数的值。
在统计分析中，我们经常需要通过对样本数据的分析来推断总体的性质。
而参数估计的方法和原理则帮助我们确定如何从样本数据中得出总体参数的估计值。
一、参数估计的概念参数估计是统计学中的基本问题，在研究中起到了至关重要的作用。
参数是用来描述总体特征的数值，如平均值、方差等。
参数估计则是根据从总体中抽取的样本数据，对总体参数进行估计。
参数估计可以分为点估计和区间估计两种方式。
1. 点估计点估计是通过样本数据得到总体参数的一个单一数值估计。
常用的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是指在给定模型的条件下，选择使观测数据出现的可能性最大的参数值作为估计值。
矩估计则是通过样本矩对总体矩的估计来得到参数的估计值。
2. 区间估计区间估计是指对总体参数进行一个区间的估计，该区间包含了真实参数值的可能范围。
常用的区间估计方法有置信区间估计和贝叶斯区间估计。
置信区间估计是通过样本数据得到参数的一个区间估计，该区间中的值有一定的置信度可以包含真实参数值。
贝叶斯区间估计则基于贝叶斯定理，通过样本数据和先验信息来得到参数的一个区间估计。
二、参数估计的方法参数估计的方法包括最大似然估计、矩估计、贝叶斯估计等。
不同的方法适用于不同的情况和模型。
1. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它假设样本数据是独立同分布的。
最大似然估计的基本思想是找到使观测数据概率最大的参数值。
具体而言，最大似然估计是通过求解目标函数的最大值来得到参数的估计值。
最大似然估计具有一致性、渐进正态性等良好的统计性质，在实际应用中广泛使用。
2. 矩估计矩估计是一种基于样本矩对总体矩的估计来得到参数的方法。
矩估计的基本思想是将总体矩与样本矩相等，然后解方程得到参数的估计值。
矩估计方法简单易用，但在样本较小或模型复杂的情况下可能存在偏差较大的问题。
3. 贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，它将样本数据和先验信息结合起来得到参数的估计值。
社会统计学 第九章 参数估计
[例]研究者要调查某社区居民家庭收入分 布的差异情况，现随机抽查了10户，得到样本 方差为＝200(元2)。试以此资料估计总体家庭 收入分布的差异情况。
[解] 因为样本容量较小，宜用修正样本 方差作为总体方差点估计量。即
＝
＝ห้องสมุดไป่ตู้
＝222.2
第二节 区间估计（Interval estimation)
区间估计的任务是，在点估计值的两侧设置 一个区间，使得总体参数被估计到的概率大大增 加。可靠性和精确性(即信度和效度)在区间估计中 是相互矛盾的两个方面。
10元以内，问样本容量为多少？ （2）若置信水平为90%，平均收入的最大误差在
10元以内，问样本容量为多少？ （3）若置信水平为99%，平均收入的最大误差在
10元以内，问样本容量为多少？ （4）若置信水平为95%，平均收入的最大误差在
20元以内，问样本容量为多少？ （5）改变最大误差，对样本大小有什么影响？ （6）改变置信水平，对样本大小有什么影响？ （983，697，1704，246）
率度
＝
(24)＝2.064
代入公式得
＝52±2.064
＝52±5.06
因此，置信水平95％的总体均值的置信区 间是从46.94到57.06。
2. 大样本总体成数的估计 从总体的均值估计过渡到总体的成数估计，其方法和
思路完全相同，只要用 代替 ，用 代替
若总体成数未知，允许误差取 或
[例]假若从某社区抽取一个由200个家庭组成的样 本，发现其中有36%的家庭由丈夫在家庭开支上作决 定的次数超过半数。试问家庭开支的半数以上由丈夫 决定的家庭的置信区间是多少？（置信水平99%）
层内方差的平均（层间方差不进入）： 回置抽样：
参数估计
第九章参数估计抽样的真正目的在于根据已知的统计量来估计总体参数。
检验特定假设有一定用处，但估计方法的用处更大。
基本上有两种估计，即点估计和区间估计。
第一节点估计点估计也即点值估计，是以一个最适当的样本统计值来代表总体参数值。
为了确定每一种估计究竟如何，就必须掌握某种标准。
估计量如果具有无偏性、一致性和有效性这三个要求或标准，就可以认为这种统计量是总体参数的合理估计或最佳估计。
1．无偏性如果统计量的抽样分布的均值恰好等于被估计的参数之值，那么这一估计便可以认为是无偏估计。
换句话说，从最终的结果来看，估计量的期望值就是参数本身。
2．一致性虽然随机样本和总体之间存在一定的误差，但当样本容量逐渐增加时，统计量越来越接近总体参数，满足这种情况，我们就说该统计量对总体参数是一个一致的估计量。
3．有效性估计量的有效性指统计量的抽样分布集中在真实参数周围的程度。
总而言之，如果一个估计量满足无偏性、一致性和有效性这三条准则，就可称其为最佳估计量。
第二节区间估计如果总体均值正好就是样本的均值，这当然非常好。
但如果两者不尽相同，点估计往往会造成一些不必要的误解。
在许多场合，人们宁愿在原来点估计值两边加一个区间，使得我们对参数在预料之中有相当把握。
因此在推论统计中我们更多采用的是区间估计的方法。
所谓区间估计，就是在一定的抽样平均误差内设一个可置信的区间，然后联系到这个区间的精度，将样本的统计值推断为总体的参数值。
1.精确性和可靠性区间估计的任务是，在点估计值的两侧设置一个区间，使得总体参数被估计到的概率大大增加。
当然，设置一个区间是很容易的，当我们对参数被估计到的信心不足时，我们总可以放宽区间。
如果这个区间的大小不受限制，我们就可以把参数被估计到的信心提高到任何水平。
但是区间加大，估计的效度随之降低。
当我们的信心提高到绝对时，估计的价值也随之丧失贻尽。
这就是说，还存在需要考虑的另一方面——区间估计的精确性问题。
这样一来，我们又宁愿估计区间要尽量小一点，最好就是点估计。
参数估计Parametersestimation
3. 置信度（水平） ：用置信区间估计的可靠性 （把握度） 4. 抽样平均误差 与概率度 Z 抽样平均误差 ：样本均值抽样分布的标准差。 反映在参数周围抽样平均值的平均变异程度。
练习
1、根据居民100户抽样家计调查，居民用于食品 费用占总收入的比例平均为45%，比例的标准差为 20%。求食品费用占居民总收入比例的区间估计（置 信度为95%）。 2、根据某大学100名学生的抽样调查，每月平均 用于购买书籍的费用为4.5元，标准差为5元，求大学 生每月用于购买书籍费用的区间估计（置信度为 95%）。 3、某工厂根据200名青年职工的抽样调查，其中60% 参加各种形式的业余学习。求青年职工参加业余学习 比例的区间估计（置信度为95%）。 （0.41，0.49）（3.52，5.48）（0.54，0.66）
＝170±1.47
因此，有95％的把握，该校学生的平均身高在 168.5 ~ 171.5厘米之间。
第三节 其他类型的置信区间
1. 小样本，且为正态总体 ，总体均值的区间估计(用 分布)
[例] 在一个正态总体中抽取一个容量为25的样本， 其均值为52，标准差为12，求置信水平为95％的总体 均值的置信区间。 [解] 根据题意，总体方差未知，且为小样本，故 用 分布统计量。由95％置信水平查 分布表得概
因此，有95％的把握，该厂妇女的平均从事家务 劳动的时间在2.87 ~ 2.43小时之间。
从来自在“白领犯罪与罪犯生涯：一些初步
研究结果”的一项研究报告的数据表明，白领犯 罪可能是年纪较大者，并且显示比街头罪犯有较 低的犯罪率。给出数据为：白领犯罪发作平均年 龄为54岁， =100，标准差被估计为7.5岁。建立
医学统计学-第九章计数资料的参数估计与卡方检验
率的标准误的计算公式：
p
(1-)
n
式中，δp 为率的标准误，π为总体率,n为样本含量
在实际工作中，由于总体率π很难知道，常用样本率P来代 替，故公式变为：
sp
Sp为率的标准误的估计值
p(1 p)
n
p为样本率
n为样本含量
方法： 1.查表法：当样本含量较小(如n≤50),特别是np或n(1-p）较小时，p呈偏态 分布， 可根据样本含量n和阳性数x，查相关统计学教材“百分率的可信区间” 表，求得总体率可信区间。 2.正态近似法：当样本含量足够大（如n﹥50），且样本率p或1-p均不太小， 如np和n（1-p）均≥5时，样本率的分布近似正态分布,可按下列公式计算 ：
第二步：计算检验统计量
2 ( A T )2
T
式中： A 为实际频数（actual frequency）T 为理论频数（theoretical frequency）
第三步：确定 P 值，得出结论
x2=9.32
ν=（R-1）（C-1）=（2-1）（2-1） 由 2界值表查得 20.05，1 = 3.84 ，
组别 有效 无效 合计
H0成立下的有效率（%）
中药
T11
T12
160
西药
T21
T22
140
72.7% 72.7%
合计 218
82
300
72.7%
T11 =160 ×72.7%= 160×（218/300）=116.3 T12 =160 ×(1-72.7%)= 160×（82/300）=43.7 T21 =140 ×72.7%= 140×（218/300）=101.8 T22 =140×(1-72.7%)= 140×（82/300）=38.2
参数估计方法
参数估计方法
参数估计（Parameter Estimation）是统计学中重要的一个研究目标，也是机器学习
领域中重要的一个问题。
参数估计的目的是从给定的数据中求取一组模型参数，使得模型
最能拟合数据。
常用的参数估计方法有最小二乘法（Least Squares）、极大似然法（Maximum Likelihood）等。
最小二乘法是一种估计统计模型参数的经典方法，其基本思想是求解使得拟合散点的
模型函数的残差的平方和最小的参数向量。
它的优点是简单易行，但不能解决线性模型参
数求解问题而有多解的情况。
极大似然法是在概率论和统计学中广泛使用的参数估计技术，它的基本思想是找到使
出现观测数据最有可能的模型参数，即概率估计参数使得所有观测数据的联合概率（likelihood）最大。
优点是可以给出参数的分布关系，而每个参数的准确值也可以得到。
缺点是计算难度稍大。
此外，对参数估计的选择也会受到具体的应用背景的影响。
例如，在机器学习中，如
果所需要估计的参数太多，可以考虑使用正则化技术，通过引入一定的约束条件来达到减
少估计参数数量的目的。
因此，在实际应用中如何正确选择参数估计方法，以求得最符合实际情况的模型参数，是相当重要的研究课题。
参数估计的方法
参数估计的方法
1 参数估计的概念
参数估计（Parameter Estimation）是指基于样本观测数据，构
建统计模型，用来估计未观测总体参数得出最有效的模型解释参数结
果的过程。
参数估计是统计学里研究重要问题的一个根本步骤，它先
假设一个统计模型，然后求解模型的参数，从而最能满足观测数据的
条件。
2 参数估计的方法
1.参数最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）：最大
似然估计的基础是独立，同分布的随机变量的概率密度函数或概率分
布函数必须可知。
该方法下只需估计一个参数，则把样本数据的似然
函数定义为θ；如果需要估计多个参数，则把样本数据的似然函数定
义为$L(θ)=\prod\limits_i^nf(x_i;θ)$，其中f(x;θ)是关于未知
参数θ 的概率密度函数。
2.方差最小估计（Minimum Variance Estimation）：该方法的基
本思想是选择一种损失函数，把参数估计估计结果误差的.期望最小化，从而得出最优参数估计结果。
3.贝叶斯估计（Bayesian Estimation）：基于先验知识，建模到
后验知识的过程，利用样本信息改进模型参数和变量之间关系的方法。
3 参数估计的作用
参数估计是统计学里研究重要问题的一个根本步骤，它可以帮助我们识别变量之间的相互影响，从而更好的预测未来的发展趋势，决定合适的策略。
在企业战略决策，市场营销，生产服务运筹控制，经济营商模型分析决策管理，投资事前风险分析，社会环境分析等方面都有重要的作用。
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参数估计抽样的真正目的在于根据已知的统计量来估计总体参数。
检验特定假设有一定用处，但估计方法的用处更大。
基本上有两种估计，即点估计和区间估计。
第一节点估计点估计也即点值估计，是以一个最适当的样本统计值来代表总体参数值。
为了确定每一种估计究竟如何，就必须掌握某种标准。
估计量如果具有无偏性、一致性和有效性这三个要求或标准，就可以认为这种统计量是总体参数的合理估计或最佳估计。
1．无偏性如果统计量的抽样分布的均值恰好等于被估计的参数之值，那么这一估计便可以认为是无偏估计。
换句话说，从最终的结果来看，估计量的期望值就是参数本身。
2．一致性虽然随机样本和总体之间存在一定的误差，但当样本容量逐渐增加时，统计量越来越接近总体参数，满足这种情况，我们就说该统计量对总体参数是一个一致的估计量。
3．有效性估计量的有效性指统计量的抽样分布集中在真实参数周围的程度。
总而言之，如果一个估计量满足无偏性、一致性和有效性这三条准则，就可称其为最佳估计量。
第二节区间估计如果总体均值正好就是样本的均值，这当然非常好。
但如果两者不尽相同，点估计往往会造成一些不必要的误解。
在许多场合，人们宁愿在原来点估计值两边加一个区间，使得我们对参数在预料之中有相当把握。
因此在推论统计中我们更多采用的是区间估计的方法。
所谓区间估计，就是在一定的抽样平均误差内设一个可置信的区间，然后联系到这个区间的精度，将样本的统计值推断为总体的参数值。
1.精确性和可靠性区间估计的任务是，在点估计值的两侧设置一个区间，使得总体参数被估计到的概率大大增加。
当然，设置一个区间是很容易的，当我们对参数被估计到的信心不足时，我们总可以放宽区间。
如果这个区间的大小不受限制，我们就可以把参数被估计到的信心提高到任何水平。
但是区间加大，估计的效度随之降低。
当我们的信心提高到绝对时，估计的价值也随之丧失贻尽。
这就是说，还存在需要考虑的另一方面——区间估计的精确性问题。
这样一来，我们又宁愿估计区间要尽量小一点，最好就是点估计。
精确性和可靠性(即效度和信度)在抽样估计中是相互矛盾的两个方面。
两者的对立统一，停留在经验描述水平上是无法真正讲清楚的。
这就要从参数估计的角度(而不仅仅是从假设检验的角度)来运用概率论。
2. 抽样平均误差与概率度区间估计是求所谓置信区间的方法。
置信区间就是我们为了增加参数被估计到的信心而在点估计两边设置的估计区间。
根据中心极限定理，由于抽样平均数的正态分布和第一类错误的危险可以计算的缘故，求置信区间的方法其实很简单。
除了变换一点思路来重温过去的知识，这里不涉及任何新的基本概念。
具体做法是：从点估计值(如样本均值X )起向两侧展开一定倍数（Z ）的抽样平均误差(Xσ)，并估计总体参数μ很可能就包含在这个区间之内（参见图9．1）X -Z X σ≤μ≤X +Z Xσ由此可见，置信区间的大小主要由Z 和Xσ这两个量所决定，并为2Z Xσ。
参数μ的区间估计就归结为求算Z 和Xσ(推而论之，总体均值的区间估计应归结为就各种抽样分布计算概率度和就各种抽样组织方式计算抽样平均误差这两者)。
抽样平均误差Xσ可以认为是决定区间估计效度的关键因素。
Z 则可以认为是决定区间估计信度的关键因素。
整体上，Z 和Xσ的乘积显然就是置信区间之半宽度，用X ∆表示。
为了与抽样平均误差相区别，X ∆被称为抽样极限误差。
抽样极限误差表达了在给定可靠程度的前提下，抽样估计的最大可能范围。
它是效度要求和信度要求的综合表现：置信区间增大，估计的可靠性提高，精确性下降；置信区间减小，估计的可靠性降低，精确性提高。
用置信区间所作的分析和我们的经验认识是一致的。
但不同的是，因为有了Z 和Xσ，我们降低了区间估计的任意性。
3. 区间估计的步骤参数μ的区间估计的步骤具体如下：①首先从总体抽取一个样本，根据收集的样本资料求出它的均值；②根据合乎实际的置信水平查表求得概率度；③根据总体标准差和样本容量求出抽样平均误差；④以样本均值为基难，向两侧展开Z 倍的抽样平均误差的区间，便完成了符合置信水平要求的参数的区间估计。
根据中心极限定理，只要是大样本，样本均值X 的抽样分布就是正态的，于是有X -2/αZ n σ≤μ≤X +2/αZ n σ或者 X -2/αZ nS ≤μ≤X +2/αZ nS第三节 其他类型的置信区间1．σ未知，小样本总体均值的区间估计如果σ未知，要用样本标准差S 代替抽样平均误差中的总体标准差。
此时(n 比较小)不能认为样本均值的抽样分布服从正态分布了，需要改用t 分布。
从而得到总体均值μ的置信区间为（-X 2/αt 1-n S ，+X 2/αt 1-n S ）2．总体成数的估计我们在前面已经指出，成数适用于不同量度层次。
在社会学研究中我们碰到许多定类变量，其估计不是均值，而是比率，这便提出了总体成数的估计问题。
从总体的均值估计过渡到总体的成数估计，其方法和思路完全相同，只要用∧p 代替X ，用npq 代替nσ。
于是有（∧p -2/αZ npq ，∧p +2/αZ npq ）3．总体方差的区间估计总体方差的区间估计，一般都是利用小样本理论来讨论的。
由第八章2χ分布的性质，我们知道有22σnS∽2χ（n -1）因此，对于给定的置信水平1-α，总体方差的区间估计为)22/2k nS（αχ≤2σ≤)22/12k nS（αχ-第四节 抽样平均误差1．简单随机抽祥的抽样误差 在回置抽样条件下 Xσ＝nσ在不回置抽样条件下 Xσ＝nσ·1--N n N2．分层抽样的抽样误差在回置抽样条件下，分层定比抽样的抽样平均误差的计算公式为stXσ＝nstσ＝22nn i i ∑σ＝nii ∑2σω在不回置抽样条件下，分层定比抽样的抽样平均误差的计算公式为stXσ＝nstσ·Nn -1＝∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛-i i i i N n n12σω3．整群抽样的抽样误差对于群规模相等的总体，整群抽样的基本步骤是：①总体划分为R 个群，每个群包含M 个个体，则总体容量N ＝RM ；②从R 个群中随机抽选r 个群，这样总样本容量n ＝r ·M ；③对中选的r 个群的全部个体进行调查，构成我们所需的整群样本。
定比在回置抽样的条件下，整群抽样的抽样平均误差为ctXσ＝rδ＝r1∑=-ri ctiXX12)(在不回置抽样的条件下，其抽样平均误差的计算公式为ctXσ＝r1∑=-ri cti XX 12)(·Rr -14．等距抽祥的抽样误差等距抽样的误差公式，一般都以简单随机抽样的误差公式来代替。
一般说来，如果等距抽样不存在周期误差，这样计算出来的误差会比实际情况大些，也就是误差的估计要保守一些(因为deff 值大于1)。
第五节 样本容量的确定1. 影响样本容量的因素(1)允许误差范围X ∆，即抽样极限误差。
由于随机因素存在，只要进行抽样，就一定存在误差。
允许误差范围是由抽样估计的效度要求所决定的。
一般地说，允许误差范围越小，即抽样估计的效度越高，样本容量要求就越大；反之则越小。
因而样本容量与允许误差范围呈相背趋势。
(2)概率度Z 。
概率度是由置信水平（1 -α）所决定的，抽样估计的信度要求越高，样本容量要求越大；反之，样本容量可以小一些。
(3)被研究总体标志的变异程度σ。
一般来说，如果标志变异程度大，抽样单位数目要求就多；反之就少。
2．确定样本容量(1)估计总体均值所需的样本容量就简单随机抽样而言，在回置抽样条件下， n ＝222XZ ∆σ在不回置抽样条件下， n ＝22222σσZ N NZ X +∆(2)估计总体成数所需的样本容量 在回置抽样的条件下， n ＝22)1(pp p Z ∆-以上是简单随机抽样的样本容量的计算公式，对于其他抽样方法的样本容量问题可根据上述原理作适当替换即可。
如在分层抽样中，可将上述基本公式中的2σ改换成2stσ，)1(p p -改换成)1(p p -；在整群抽样中，可将上述基本公式中的2σ改换成2δ，同时将基本公式中的n 和N 改换为相应的r 和R 即可，其他原理相同。