《机械原理》拉伸压缩与剪切解读
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Mechanics of Materials
2019/2/22 16
圣维南Adhé mar Jean Claude Barréde Saint-Venant (1797～1886) 法国力学家。
圣维南原理(Saint-Venant's principle) —— 杆端截面在外力作用点附近的应力一般是 非均匀分布的，但是外力的作用方式只影响局 部范围的应力分布，离开作用点一定距离（轴 向范围约为离杆端1~2个杆的横向尺寸）后，应 力的分布就趋于均匀化。 圣维南原理表明：局部荷载作用仅仅影响一个比较小的范围， 在较远的部位可以忽略这些不均匀的局部影响。该原理已为大 量实验与计算所证实。材料力学和弹性力学的很多重要结论都 是建立在该原理的基础之上。
Mechanics of Materials
2019/2/22 13
② 应力分布规律
a
F b d
c
F
根据平面假设，杆件变形后任意两个横截面之间所有 纵向线段的伸长相等。
由材料的均匀连续性假设，可以推断出内力在横截面
上均匀分布，且其方向垂直于横截面，因此横截面上只有 正应力，而且均匀分布。
Mechanics of Materials
Mechanics of Materials
2019/2/22 17
四、 轴向拉（压）时斜截面上的应力
设直杆的轴向拉力为 F ，横截面 F 积为A，斜截面k-k上的内力为 k
k
F k
F F
斜截面上各点沿 x 方向伸长，变 形仍是均匀分布，因此斜截面上 的应力仍然是均匀分布。 斜截面k-k上的应力
Mechanics of Materials
2019/2/22
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杆件受拉伸或压缩的力学模型
F F
F
F
受力与变形特点 —— 作用在杆件上的外力（合力）的作 用线与杆的轴线重合，杆件沿轴向伸长或缩短。
Mechanics of Materials
2019/2/22
6
二、轴向拉压杆横截面的内力
1. 轴力—截面上分布内力的合力。轴向拉压时横截面上的 轴力垂直于截面，必过截面的形心。 m F m F FN FN F F
15
FN A
对于图示的小锥度连续变截面杆，平 面假设和横截面应力均匀分布仍然成 立，其任意x横截面的应力为 A(x)
x
l
dFN ( x) ( x)dA( x)
FN ( x ) ( x )dA( x ) ( x ) A( x )
A
F
FN ( x) ( x) A( x)
则整个横截面上的内力为
A A
应力的函数形式？
FN dFN dA
Mechanics of Materials
2019/2/22 12
① 杆件拉伸实验 平面假设
【实验结果】所有纵线伸长相等，横线仍为直线并保持与纵 线垂直；矩形格被拉长，但直角保持不变。
由此可以假定：横截面变形前后均为平面——平面假设
轴力的正负号规定——拉伸时轴力为正，方向背离截面；压 缩时为负，方向指向截面。轴向外力的正负号规定也是如此。
Mechanics of Materials
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2 、轴力图 —— 表示横截面上的轴力沿截面位置变化情况的 图形。一般以杆件的轴线为横坐标表示截面位置，纵轴表示
轴力大小。 3kN
材料力学
Mechanics of Materials
轴向拉伸、压缩与剪切
第2章 轴向拉伸、压缩与剪切
主要内容
拉伸压缩时的内力和应力
拉伸压缩时材料的力学性能 拉伸压缩时的失效与强度条件 拉伸压缩的变形与应变能 拉伸压缩超静定问题
Biblioteka Baidu
剪切与挤压的实用计算
2
Mechanics of Materials
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FN F
m F
m
FN dA
A
F
由于应力均匀分布， 即σ＝const，因此
F
σ
FN
FN dA A
A
FN A
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2019/2/22
σ 的方向与轴力 FN 相同，拉应力为正 ( 背 离截面），压应力为负（指向截面）。 单位：帕斯卡Pa。
Mechanics of Materials
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三、轴向拉（压）杆横截面上的应力
图示受轴向拉伸构件，由截面 F 法求得m－m横截面的内力为 m F
FN F
欲求m—m横截面上某一点的 应力σ，在横截面上包含该点 F 取微面积 dA，其上的微内力 为
m
FN σ
dA A
dFN dA
15kN
10kN
B
FN
max
10kN
x
-10
最大轴力所在截面称为危险截面。在集中力作用处的两侧， 轴力值有突变，这样的截面称为控制面。
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5kN A 5 FN + C
15kN
10kN B
x
--
10
结论——轴力等于截面一侧外力的代数和。外力背离截面 为正，指向截面为负。 【求内力时注意】① 求内力时，外力不能沿作用线随意 移动。② 截面不能刚好截在外力作用点处。
FN(kN) （ +） 5kN 2kN
3
（－）
x
2
Mechanics of Materials
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【例】求图示杆件的内力，并作轴力图。
【解】（1）用截面法计算各段内力 AC 段：作截面 1-1 ， 取左段 5kN A 5kN 1 1 C FN1 15kN 5kN 15kN 2 2 10kN B
F
x
0，FN 1 5 0
FN 1 5kN
CB段：作截面2-2， 取左段
FN2
F
x
0，FN 2 15 5 0
9
FN 2 10kN
Mechanics of Materials
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（2）绘制轴力图
以杆的轴线为横坐标， 表示截面位置，纵轴表 示轴力大小。 最大轴力值在CB段 5kN A C FN（kN） 5 +
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材料力学
Mechanics of Materials
轴向拉伸与压缩
§2-1 拉伸压缩时的内力与应力
§2-1 拉伸压缩时的内力与应力
一、工程中的轴向拉伸或压缩问题
Mechanics of Materials
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§2-1 拉伸压缩时的内力与应力
一、工程中的轴向拉伸或压缩问题
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圣维南Adhé mar Jean Claude Barréde Saint-Venant (1797～1886) 法国力学家。
圣维南原理(Saint-Venant's principle) —— 杆端截面在外力作用点附近的应力一般是 非均匀分布的，但是外力的作用方式只影响局 部范围的应力分布，离开作用点一定距离（轴 向范围约为离杆端1~2个杆的横向尺寸）后，应 力的分布就趋于均匀化。 圣维南原理表明：局部荷载作用仅仅影响一个比较小的范围， 在较远的部位可以忽略这些不均匀的局部影响。该原理已为大 量实验与计算所证实。材料力学和弹性力学的很多重要结论都 是建立在该原理的基础之上。
Mechanics of Materials
2019/2/22 13
② 应力分布规律
a
F b d
c
F
根据平面假设，杆件变形后任意两个横截面之间所有 纵向线段的伸长相等。
由材料的均匀连续性假设，可以推断出内力在横截面
上均匀分布，且其方向垂直于横截面，因此横截面上只有 正应力，而且均匀分布。
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四、 轴向拉（压）时斜截面上的应力
设直杆的轴向拉力为 F ，横截面 F 积为A，斜截面k-k上的内力为 k
k
F k
F F
斜截面上各点沿 x 方向伸长，变 形仍是均匀分布，因此斜截面上 的应力仍然是均匀分布。 斜截面k-k上的应力
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杆件受拉伸或压缩的力学模型
F F
F
F
受力与变形特点 —— 作用在杆件上的外力（合力）的作 用线与杆的轴线重合，杆件沿轴向伸长或缩短。
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二、轴向拉压杆横截面的内力
1. 轴力—截面上分布内力的合力。轴向拉压时横截面上的 轴力垂直于截面，必过截面的形心。 m F m F FN FN F F
15
FN A
对于图示的小锥度连续变截面杆，平 面假设和横截面应力均匀分布仍然成 立，其任意x横截面的应力为 A(x)
x
l
dFN ( x) ( x)dA( x)
FN ( x ) ( x )dA( x ) ( x ) A( x )
A
F
FN ( x) ( x) A( x)
则整个横截面上的内力为
A A
应力的函数形式？
FN dFN dA
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① 杆件拉伸实验 平面假设
【实验结果】所有纵线伸长相等，横线仍为直线并保持与纵 线垂直；矩形格被拉长，但直角保持不变。
由此可以假定：横截面变形前后均为平面——平面假设
轴力的正负号规定——拉伸时轴力为正，方向背离截面；压 缩时为负，方向指向截面。轴向外力的正负号规定也是如此。
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2 、轴力图 —— 表示横截面上的轴力沿截面位置变化情况的 图形。一般以杆件的轴线为横坐标表示截面位置，纵轴表示
轴力大小。 3kN
材料力学
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轴向拉伸、压缩与剪切
第2章 轴向拉伸、压缩与剪切
主要内容
拉伸压缩时的内力和应力
拉伸压缩时材料的力学性能 拉伸压缩时的失效与强度条件 拉伸压缩的变形与应变能 拉伸压缩超静定问题
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剪切与挤压的实用计算
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FN F
m F
m
FN dA
A
F
由于应力均匀分布， 即σ＝const，因此
F
σ
FN
FN dA A
A
FN A
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σ 的方向与轴力 FN 相同，拉应力为正 ( 背 离截面），压应力为负（指向截面）。 单位：帕斯卡Pa。
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三、轴向拉（压）杆横截面上的应力
图示受轴向拉伸构件，由截面 F 法求得m－m横截面的内力为 m F
FN F
欲求m—m横截面上某一点的 应力σ，在横截面上包含该点 F 取微面积 dA，其上的微内力 为
m
FN σ
dA A
dFN dA
15kN
10kN
B
FN
max
10kN
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最大轴力所在截面称为危险截面。在集中力作用处的两侧， 轴力值有突变，这样的截面称为控制面。
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5kN A 5 FN + C
15kN
10kN B
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结论——轴力等于截面一侧外力的代数和。外力背离截面 为正，指向截面为负。 【求内力时注意】① 求内力时，外力不能沿作用线随意 移动。② 截面不能刚好截在外力作用点处。
FN(kN) （ +） 5kN 2kN
3
（－）
x
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【例】求图示杆件的内力，并作轴力图。
【解】（1）用截面法计算各段内力 AC 段：作截面 1-1 ， 取左段 5kN A 5kN 1 1 C FN1 15kN 5kN 15kN 2 2 10kN B
F
x
0，FN 1 5 0
FN 1 5kN
CB段：作截面2-2， 取左段
FN2
F
x
0，FN 2 15 5 0
9
FN 2 10kN
Mechanics of Materials
2019/2/22
（2）绘制轴力图
以杆的轴线为横坐标， 表示截面位置，纵轴表 示轴力大小。 最大轴力值在CB段 5kN A C FN（kN） 5 +
2019/2/22
材料力学
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轴向拉伸与压缩
§2-1 拉伸压缩时的内力与应力
§2-1 拉伸压缩时的内力与应力
一、工程中的轴向拉伸或压缩问题
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§2-1 拉伸压缩时的内力与应力
一、工程中的轴向拉伸或压缩问题