初中数学二次函数综合题及答案
初中数学专题训练《二次函数》综合练习题及解析
专题47 二次函数综合（1）【典例分析】例1、如图，分别过点P i(i,0)(i=1、2、…、n)作x轴的垂线，交y=12x2的图象于点A i，交直线y=−12x于点B i.则1A1B1+1A2B2+⋯+1A nB n的值为()A. 2nn+1B. 2C. 2n(n+1)D. 2n+1【答案】A【解析】【分析】此题考查了二次函数综合题，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键．根据A i的纵坐标与B i纵坐标的绝对值之和为A i B i的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果．【解答】解：根据题意得：A i B i=12x2−(−12x)=12x(x+1)，∴1A iB i =2x(x+1)=2(1x−1x+1)，∴1A1B1+1A2B2+⋯+1A nB n=2(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=2nn+1．故选：A．例2、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(0,2)，(1,0)，顶点C在函数y=13x2+bx−1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，则点D与其对应点D′间的距离为______．【答案】2【解析】解：如图，过C作GH⊥x轴，交x轴于G，过D 作DH⊥GH于H，∵A(0,2)，B(1,0)，∴OA=2，OB=1，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∴∠ABO+∠CBG=90°，∵∠ABO+∠OAB=90°，∴∠CBG=∠OAB，∵∠AOB=∠BGC=90°，∴△AOB≌△BGC，∴BG=OA=2，CG=OB=1，∴C(3,1)，同理得：△BCG≌△CDH，∴CH=BG=2，DH=CG=1，∴D(2,3)，∵C在抛物线的图象上，把C(3,1)代入函数y=13x2+bx−1中得：b=−13，∴y=13x2−13x−1，设D′(x,y)，由平移得：D与D′的纵坐标相同，则y=3，当y=3时，13x2−13x−1=3，解得：x1=4，x2=−3(舍)，∴DD′=4−2=2，则点D与其对应点D′间的距离为2，故答案为：2．作辅助线，构建全等三角形，先根据A和B的坐标求OB和OA的长，证明∴△AOB≌△BGC，BG=OA=2，CG=OB=1，写出C(3,1)，同理得：△BCG≌△CDH，得出D的坐标，根据平移的性质：D与D′的纵坐标相同，则y=3，求出D′的坐标，计算其距离即可．本题考查出了二次函数图象与几何变换--平移、三角形全等的性质和判定、正方形的性质，作辅助线，构建全等三角形，明确D与D′的纵坐标相同是关键．例3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(−1,0)，B(4,0)，C(0,−4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．【答案】解：(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得{a−b+c=016a+4b+c=0c=−4，解得{a=1b=−3c=−4，∴抛物线解析式为y=x2−3x−4；(2)作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO=PC，此时P点即为满足条件的点，∵C(0,−4)，∴D(0,−2)，∴P点纵坐标为−2，代入抛物线解析式可得x2−3x−4=−2，解得x=3−√172(小于0，舍去)或x=3+√172，∴存在满足条件的P点，其坐标为(3+√172,−2)；(3)∵点P在抛物线上，∴可设P(t,t2−3t−4)，过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B(4,0)，C(0,−4)，∴直线BC解析式为y=x−4，∴F(t,t−4)，∴PF=(t−4)−(t2−3t−4)=−t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=12PF⋅OE+12PF⋅BE=12PF⋅(OE+BE)=12PF⋅OB=1(−t2+4t)×4=−2(t−2)2+8，2∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2−3t−4=−6，∴当P点坐标为(2,−6)时，△PBC的最大面积为8．【解析】【试题解析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中确定出P点的位置是解题的关键，在(3)中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．(1)由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；(3)过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．【好题演练】一、选择题1.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b=0；②2c<3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，a=−√2．2其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，=1，∴对称轴为直线x=−b2a∴b=−2a，∴2a+b=0，故①正确，当x=1时，0=a−b+c，∴a+2a+c=0，∴c=−3a，∴2c=3b，故②错误；∵二次函数y=ax2−2ax−3a，(a<0)∴点C(0,−3a)，当BC=AB时，4=√9+9a2，∴a=−√7，3当AC=BC时，4=√1+9a2，∴a=−√15，3∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；∵二次函数y=ax2−2ax−3a=a(x−1)2−4a，∴顶点D(1,4a)，∴BD2=4+16a2，BC2=9+9a2，CD2=a2+1，若∠BDC=90°，可得BC2=BD2+CD2，∴9+9a2=4+16a2+a2+1，∴a=−√2，2若∠DCB=90°，可得BD2=CD2+BC2，∴4+16a2=9+9a2+a2+1，∴a=−1，∴当△BCD是直角三角形时，a=−1或−√2，故④错误．2故选：B．=1，可得b=−2a，可判断①；将点A坐标代入解析式由图象可得对称轴为直线x=−b2a可得c=−3a，可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求a的值，可判断③；由直角三角形的性质和两点距离可求a=−1或−√2，可判断④，即可求解．2本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．2.如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题需根据自变量的取值范围，并且可以考虑求出函数的解析式来解决.根据条件可知△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，设AE为x，则AH=1−x，根据勾股定理EH2=AE2+AH2= x2+(1−x)2，进而可求出函数解析式，求出答案．【解答】解：∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．设AE为x，则AH=1−x，根据勾股定理，得EH2=AE2+AH2=x2+(1−x)2即s=x2+(1−x)2，s=2x2−2x+1，∴所求函数开口向上的抛物线，对称轴是直线x=1，2∴自变量的取值范围是0<x<1．故选B．3.如图，点E(x1,y1)，F(x2,y2)在抛物线y=ax2+bx+c上，且在该抛物线对称轴的同侧(点E在点F的左侧)，过点E、F分别作x轴的垂线，分别交x轴于点B、D，交直线y=2ax+b于点A、C.设S为四边形ABDC的面积．则下列关系正确的是()A. S=y2+y1B. S=y2+2y1C. S=y2−y1D. S=y2−2y1【答案】C【解析】【分析】此题考查了二次函数与一次函数的综合应用问题．此题难度较大，解题的关键是抓住点与函数的关系，注意根据整式的运算法则将原整式变形，注意数形结合思想的应用．首先根据题意可求得：y1，y2的值，A与C的坐标，即可用x1与x2表示出AB，CD，BD的值，(AB+CD)⋅BD，然后代入其取值，整理变形，易得四边形ABCD是直角梯形，即可得S=12即可求得S与y1、y2的数量关系式．【解答】解：根据题意得：y1=ax12+bx1+c，y2=ax22+bx2+c，点A的坐标为：(x1,2ax1+b)，点C的坐标为：(x2,2ax2+b)，∴AB=2ax1+b，CD=2ax2+b，BD=x2−x1，∵EB⊥BD，CD⊥BD，∴AB//CD，∴四边形ABCD是直角梯形，∴S=12(AB+CD)⋅BD=12(2ax1+b+2ax2+b)(x2−x1)=a(x2+x1)(x2−x1)+b(x2−x1)=(ax22+bx2)−(ax12+bx1)=(ax22+bx2+c)−(ax12+bx1+c)=y2−y1．即S=y2−y1．故选C．4.如图(1)所示，E为矩形ABCD的边AD上一边，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE−ED−DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图(2)(曲线OM为抛物线的一部分)则下列结论正确的是()A. AB：AD=3：4B. 当△BPQ是等边三角形时，t=5秒C. 当△ABE∽△QBP时，t=7秒D. 当△BPQ的面积为4cm2时，t的值是√10或475秒【答案】D【解析】【分析】此题是二次函数综合题，主要考查动点问题的函数图象、矩形的性质、三角形的面积公式等知识．解题的关键是读懂图象信息求出相应的线段，学会转化的思想，把问题转化为方程的思想解决，属于中考常考题型．先根据图象信息求出AB、BC、BE、AE、ED，A 、直接求出比，B 、先判断出∠EBC ≠60°，从而得出点P 可能在ED 上时，△PBQ 是等边三角形，但必须是AD 的中点，而AE >ED ，所以点P 不可能到AD 中点的位置，故△PBQ 不可能是等边三角形；C 、利用相似三角形性质列出方程解决，分两种情况讨论计算即可，D 、分点P 在BE 上和点P 在CD 上两种情况计算即可． 【解答】解：由图象可知，AD =BC =BE =5，CD =AB =4，AE =3，DE =2， A 、∴AB ：AD =4：5，故A 错误， B 、∵tan∠ABE =AEAB =34， ∴∠ABE ≠30° ∴∠PBQ ≠60°，∴点P 在ED 时，有可能△PBQ 是等边三角形， ∵BE =BC ，∴点P 到点E 时，点Q 到点C ，∴点P 在线段AD 中点时，有可能△PBQ 是等边三角形， ∵AE >DE ，∴点P 不可能到AD 的中点，∴△PBQ 不可能是等边三角形，故B 错误， C 、∵△ABE∽△QBP ，∴点E 只有在CD 上，且满足BCAB =CQAE ， ∴54=CQ 3， ∴CQ =154．∴t =(BE +ED +DQ)÷1=5+2+(4−154)=294．故C 错误， D 、①如图(1)在Rt △ABE 中，AB =4，BE =5 sin∠AEB =AB BE =45， ∴sin∠CBE =45 ∵BP =t ，∴PG =BPsin∠CBE =45t ，∴S △BPQ =12BQ ×PG =12×t ×45t =25t 2=4， ∴t =−√10(舍)或t =√10， ②当点P 在CD 上时，S △BPQ =12×BC ×PC =12×5×(5+2+4−t)=52×(11−t)=4，∴t =475，∴当△BPQ 的面积为4cm 2时，t 的值是√10或475秒，故D 正确， 故选D ．5. 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =1318(x −3)2−32与y 轴相交于点A ，顶点为B ，直线l:y =−43x +b 经过点A ，与抛物线的对称轴交于点C ，点P 是对称轴上的一个动点，若AP +35PC 的值最小，则点P 的坐标为( )A. (3,1)B. (3,114) C. (3,165) D. (3,125)【解析】【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用，三角形相似的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，点到直线的距离，垂线段最短．过点C作CD⊥y轴于D，作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，连接AA′，CA′，过点A作AE⊥CA′交抛物线对称轴于点P，此时点A到A′C距离最小．先求出A、C的坐标，再证△ADC∽△CEP和勾股定理求得PE=35PC，此时PA+35PC=AE值最小．再利用抛物线的对称性与三角形面积公式求出AE长，从而求出CE长，即可求出PC 长，继而得出点P坐标．【解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴于D，作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，连接AA′，CA′，过点A作AE⊥CA′交抛物线对称轴于点P，此时点A到A′C距离最小．∵抛物线y=1318(x−3)2−32，∴抛物线的对称轴为直线x=3，令x=0，则y=5，∴A(0,5)，把A(0,5)代入y=−43x+b，得b=5，∴y=−43x+5，当x=3时，y=1，∴C(3,1)，∴D(0,1)，∴OA=5，CD=3，∴AD=4，CF=4，∵点A与点A′关于直线x=3对称，∴A′(6,5)，CA′=CA=5，∠ACP=∠ECP，∴AA′=6，∵S△ACA′=12AA′·CF=12CA′·AE，∴6×4=5AE，∴AE=245，∵CF//y轴，∴∠CAD=∠ACP，∴∠CAD=∠ECP，∵∠ADC=∠CEP=90°，∴△ADC∽△CEP，∴PECD =PCAC=CEAD即PE3=PC5=CE4，∴PE=35PC，CE=45PC，∴PA+35PC=AE=245值最小，在Rt△ACE中，CE=√AC2−AE2=√52−(245)2=75，∴PC=74，∴PG=PC+CG=74+1=114，∴P(3,114).故选B．二、填空题6.抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数)的顶点为P，且抛物线经过点A(−1,0)，B(m,0)，C(−2,n)(1<m<3,n<0)，下列结论：①abc>0，②3a+c<0，③a(m−1)+2b>0，④a=−1时，存在点P使△PAB为直角三角形．其中正确结论的序号为______．【答案】②③【解析】解：将A(−1,0)，B(m,0)，C(−2,n)代入解析式y=ax2+bx+c，∴对称轴x=m−12=−b2a，∴−ba=m−1，∵1<m<3，∴ab<0，∵n<0，∴a<0，∴b>0，∵a−b+c=0，∴c=b−a>0①abc<0；错误；②当x=3时，y<0，∴9a+3b+c=9a+3(a+c)+c=12a+4c=4(3a+c)<0，②正确；③a(m−1)+2b=−b+2b=b>0，③正确；④a=−1时，y=−x2+bx+c，∴P(b2,b+1+b24)，若△PAB为直角三角形，则△PAB为等腰直角三角形，∴AP的直线解析式的k=1，∴b+1+b24=b2+1，∴b=−2，∵b>0，∴不存在点P使△PAB为直角三角形．④错误；故答案为②③；由已知可以确定a<0，b>0，c=b−a>0；①abc <0；②当x =3时，y <0，即9a +3b +c =9a +3(a +c)+c =12a +4c =4(3a +c)<0； ③a(m −1)+2b =−b +2b =b >0； ④a =−1时，P(b2,b +1+b 24)，则△PAB 为等腰直角三角形，b +1+b 24=b2+1，求出k =−2不合题意；本题考查二次函数的图象及性质；能够熟练掌握二次函数的图象，根据给出的点判断函数系数a ，b ，c 的取值情况是解题的关键．7. 如图，已知点A(3,3)，点B(0,2)，点A 在二次函数y =x 2+bx −9的图象上，作射线AB ，再将射线AB 绕点A 按逆时针方向旋转45°，交二次函数图象于点C ，则点C 的坐标为______．【答案】(−2,−7)【解析】解：∵点A(3,3)在二次函数y =x 2+bx −9的图象上， ∴9+3b −9=3， 解得b =1，∴二次函数为y =x 2+x −9，过B 作BF ⊥AC 于F ，过F 作FD ⊥y 轴于D ，过A 作AE ⊥DF 于E ，则△ABF 为等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB(AAS)，设BD =a ，则EF =a ， ∵点A(3,3)和点B(0,2)，∴DF =3−a =AE ，OD =OB −BD =2−a ， ∵AE +OD =3， ∴3−a +2−a =3， 解得a =1， ∴F(2,1)，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则{2k +b =13k +b =3，解得{k =2b =−3，∴y =2x −3，解方程组{y =2x −3y =x 2+x −9，可得{x =3y =3或{x =−2y =−7， ∴C(−2,−7)， 故答案为：(−2,−7)．根据待定系数法求得b ，得到二次函数的解析式，过B 作BF ⊥AC 于F ，过F 作FD ⊥y 轴于D ，过A 作AE ⊥DF 于E ，则△ABF 为等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB ，依据全等三角形的性质，即可得出F(2,1)，进而得出直线AC 的解析式，解方程组即可得到C 点坐标． 本题主要考查了二次函数图象，旋转的性质以及二次函数图象上点的坐标特征的运用，解决问题的关键是利用45°角，作辅助线构造等腰直角三角形．8. 如图，已知直线y =12x +1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y =12x 2+bx +c与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1,0). 在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM −MC|的值最大，求出点M 的坐标______．【答案】(32,−12) 【解析】 【分析】本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等.根据直线的解析式求得点A(0,1)，那么把A ，B 坐标代入y =12x 2+bx +c 即可求得函数解析式，据此知抛物线的对称轴，点C 关于对称轴的对称点为点B.易得当|AM −MC|的值最大时，连接AB 交对称轴的一点就是M.令过AB 的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M 坐标． 【解答】解：∵直线y =12x +1与y 轴交于点A ，∴点A 坐标为(0,1)，将A(0,1)、B(1,0)坐标代入y =12x 2+bx +c 得{c =112+b +c =0, 解得：{b =−32c =1． ∴抛物线的解折式为y =12x 2−32x +1=12(x −32)2−18； 则抛物线的对称轴为x =32，B 、C 关于x =32对称， ∴MC =MB ，要使|AM −MC|最大，即是使|AM −MB|最大，由三角形两边之差小于第三边得，当A 、B 、M 在同一直线上时|AM −MB|的值最大． 易知直线AB 的解析式为y =−x +1 ∴{y =−x +1x =32，解得：{x =32y =−12．则M(32,−12)， 故答案为：(32,−12).9. 如图，抛物线y =−x 2+2x +3交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点C 关于抛物线的对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，则四边形EDFG 周长的最小值为______．【答案】√2+√58 【解析】解：如图，在y=−x2+2x+3中，当x=0时，y=3，即点C(0,3)，∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴对称轴为x=1，顶点D(1,4)，则点C关于对称轴的对称点E的坐标为(2,3)，作点D关于y轴的对称点D′(−1,4)，作点E关于x轴的对称点E′(2,−3)，连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′=DE+D′E′=√(1−2)2+(4−3)2+√(−1−2)2+(4+3)2=√2+√58，∴四边形EDFG的周长的最小值为：√2+√58．故答案是：√2+√58．根据抛物线解析式求得点D(1,4)、点E(2,3)，作点D关于y轴的对称点D′(−1,4)、作点E关于x轴的对称点E′(2,−3)，从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+ FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案．本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称−最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键．10.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点(−2,0)和(−1,0)之间(包括这两点)，顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点，则：(1)abc______0(填“>”或“<”)；(2)a的取值范围是______．【答案】(1)<；(2)−34≤a ≤−225 【解析】解：(1)观察图形发现，抛物线的开口向下， ∴a <0，∵顶点坐标在第一象限， ∴−b2a >0， ∴b >0，而抛物线与y 轴的交点在y 轴的上方， ∴c >0， ∴abc <0； 故填<(2)顶点C 是矩形DEFG 上(包括边界和内部)的一个动点，当顶点C 与D 点重合，顶点坐标为(1,3)，则抛物线解析式y =a(x −1)2+3，由{a(−1−1)2+3≥0a(−2−1)2+3≤0，解得−34≤a ≤−13；当顶点C 与F 点重合，顶点坐标为(3,2)，则抛物线解析式y =a(x −3)2+2， 由{a(−1−3)2+2≥0a(−2−3)2+2≤0，解得−18≤a ≤−225； ∵顶点可以在矩形内部， ∴−34≤a ≤−225．解法二：由题意及图可知：当抛物线经过(−2,0)，顶点为F(3,2)时，抛物线开口最大，解得a =−225；当抛物线经过(−1,0)，顶点为D(1,3)时，抛物线开口最小，解得a =−34，∵当a <0时，a 越小抛物线的开口越小，a 越大抛物线的开口越大，故填−34≤a ≤−225【分析】(1)观察图形发现，由抛物线的开口向下得到a<0，顶点坐标在第一象限得到b>0，抛物线与y轴的交点在y轴的上方推出c>0，由此即可判定abc的符号；(2)顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点，当顶点C与D点重合，可以知道顶点坐标为(1,3)且抛物线过(−1,0)，则它与x轴的另一个交点为(3,0)，由此可求出a；当顶点C与F点重合，顶点坐标为(3,2)且抛物线过(−2,0)，则它与x轴的另一个交点为(8,0)，由此也可求a，然后由此可判断a的取值范围．本题主要考查了抛物线的解析式y=ax2+bx+c中a、b、c对抛物线的影响，在对于抛物线的顶点在所给图形内进行运动的判定，充分利用了利用形数结合的方法，展开讨论，加以解决．三、解答题11.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=x+1相交于A(−1,0)，B(4,m)两点，且抛物线经过点C(5,0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A、点B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．①当PE=2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵点B(4,m)在直线y=x+1上，∴m=4+1=5，∴B(4,5)，把A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式可得{a −b +c =016a +4b +c =525a +5b +c =0，解得{a =−1b =4c =5，∴抛物线的解析式为y =−x 2+4x +5；(2)①设P(x,−x 2+4x +5)，则E(x,x +1)，D(x,0)，则PE =|−x 2+4x +5−(x +1)|=|−x 2+3x +4|，DE =|x +1|， ∵PE =2ED ，∴|−x 2+3x +4|=2|x +1|，当−x 2+3x +4=2(x +1)时，解得x =−1或x =2，但当x =−1时，P 与A 重合不合题意，舍去， ∴P(2,9)；当−x 2+3x +4=−2(x +1)时，解得x =−1或x =6，但当x =−1时，P 与A 重合不合题意，舍去， ∴P(6,−7)；综上可知P 点坐标为(2,9)或(6,−7)；②设P(x,−x 2+4x +5)，则E(x,x +1)，且B(4,5)，C(5,0)， ∴BE =√(x −4)2+(x +1−5)2=√2|x −4|，CE =√(x −5)2+(x +1)2=√2x 2−8x +26，BC =√(4−5)2+(5−0)2=√26，当△BEC 为等腰三角形时，则有BE =CE 、BE =BC 或CE =BC 三种情况， 当BE =CE 时，则√2|x −4|=√2x 2−8x +26，解得x =34，此时P 点坐标为(34,11916)；当BE =BC 时，则√2|x −4|=√26，解得x =4+√13或x =4−√13，此时P 点坐标为(4+√13,−4√13−8)或(4−√13,4√13−8)；当CE =BC 时，则√2x 2−8x +26=√26，解得x =0或x =4，当x =4时E 点与B 点重合，不合题意，舍去，此时P 点坐标为(0,5)； 综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为(34,11916)或(4+√13,−4√13−8)或(4−√13,4√13−8)或(0,5)．【解析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、两点间距离公式、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)①中用P 点坐标分别表示出PE 和ED 的长是解题关键，在(2)②中用P 点坐标表示出BE 、CE 和BC 的长是解题的关键，注意分三种情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．(1)由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可得到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E 点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标．12.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3,0)，顶点C的坐标为(1,4)．(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式；(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；(3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2√2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【答案】解：(1)∵抛物线的顶点C的坐标为(1,4)，∴可设抛物线解析式为y=a(x−1)2+4，∵点B(3,0)在该抛物线的图象上，∴0=a(3−1)2+4，解得a=−1，∴抛物线解析式为y=−(x−1)2+4，即y=−x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，∴D点坐标为(0,3)，∴可设直线BD 解析式为y =kx +3，把B 点坐标代入可得3k +3=0，解得k =−1， ∴直线BD 解析式为y =−x +3；(2)设P 点横坐标为m(m >0)，则P(m,−m +3)，M(m,−m 2+2m +3)， ∴PM =−m 2+2m +3−(−m +3)=−m 2+3m =−(m −32)2+94，∴当m =32时，PM 有最大值94；(3)如图，过Q 作QG//y 轴交BD 于点G ，交x 轴于点E ，作QH ⊥BD 于H ，设Q(x,−x 2+2x +3)，则G(x,−x +3)，∴QG =|−x 2+2x +3−(−x +3)|=|−x 2+3x|， ∵△BOD 是等腰直角三角形， ∴∠DBO =45°， ∴∠HGQ =∠BGE =45°，当△BDQ 中BD 边上的高为2√2时，即QH =HG =2√2， ∴QG =√2×2√2=4， ∴|−x 2+3x|=4，当−x 2+3x =4时，△=9−16<0，方程无实数根， 当−x 2+3x =−4时，解得x =−1或x =4， ∴Q(−1,0)或(4,−5)，综上可知存在满足条件的点Q ，其坐标为(−1,0)或(4,−5)．【解析】(1)可设抛物线解析式为顶点式，由B 点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D 点坐标，利用待定系数法可求得直线BD 解析式；(2)设出P 点坐标，从而可表示出PM 的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；(3)过Q 作QG//y 轴，交BD 于点G ，过Q 和QH ⊥BD 于H ，可设出Q 点坐标，表示出QG 的长度，由条件可证得△DHG 为等腰直角三角形，则可得到关于Q 点坐标的方程，可求得Q 点坐标．本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识．在(1)中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在(2)中用P 点坐标表示出PM 的长是解题的关键，在(3)中构造等腰直角三角形求得QG 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．13. 如图，已知顶点为C(0,−3)的抛物线y =ax 2+b(a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点，直线y =x +m 过顶点C 和点B ．(1)求m 的值；(2)求函数y =ax 2+b(a ≠0)的解析式；(3)抛物线上是否存在点M ，使得∠MCB =15°？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)将(0,−3)代入y =x +m ， 可得：m =−3；(2)将y =0代入y =x −3得：x =3， 所以点B 的坐标为(3,0)，将(0,−3)、(3,0)代入y =ax 2+b 中， 可得：{b =−39a +b =0，解得：{a =13b =−3， 所以二次函数的解析式为：y =13x 2−3； (3)存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ， ∵OB =OC ，∴∠OCB +∠OBC =45°， 则∠ODC =45°+15°=60°， ∴∠OCD =30°， ∴OD =12CD ，在Rt △COD 中，CD 2=OC 2+OD 2，即(2OD)2=32+OD 2， 解得OD =√3，设DC 为y =kx −3，代入(√3,0)，可得：k =√3， 联立两个方程可得：{y =√3x −3y =13x 2−3， 解得：{x 1=0y 1=−3,{x 2=3√3y 2=6，所以M 1(3√3,6)；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC =45°−15°=30°， ∴OC =12CE ，∴CE =2OC =6，在Rt △COE 中，CE 2=OC 2+OE 2，即62=32+OE 2， 解得OE =3√3，设EC 为y =kx −3，代入(3√3,0)可得：k =√33，联立两个方程可得：{y =√33x −3y =13x 2−3， 解得：{x 1=0y 1=−3,{x 2=√3y 2=−2， 所以M 2(√3,−2)，综上所述M 的坐标为(3√3,6)或(√3,−2)．【解析】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键． (1)把C(0,−3)代入直线y =x +m 中解答即可；(2)把y =0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； (3)分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可．14. 如图，直线y =−23x +c 与x 轴交于点A(3,0)，与y 轴交于点B ，抛物线y =−43x 2+bx +c 经过点A ，B ．(1)求点B 的坐标和抛物线的解析式；(2)M(m,0)为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ．①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点M 的坐标；②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M ，P ，N 三点为“共谐点”.请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值．【答案】解：(1)∵y =−23x +c 与x 轴交于点A(3,0)，与y 轴交于点B ， ∴0=−2+c ，解得c =2， ∴B(0,2)，∵抛物线y =−43x 2+bx +c 经过点A ，B ， ∴{−12+3b +c =0c =2，解得{b =103c =2，∴抛物线解析式为y=−43x2+103x+2；(2)①由(1)可知直线解析式为y=−23x+2，∵M(m,0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P(m,−23m+2)，N(m,−43m2+103m+2)，∴PM=−23m+2，AM=3−m，PN=−43m2+103m+2−(−23m+2)=−43m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴−43m2+103m+2=2，解得m=0(舍去)或m=2.5，∴M(2.5,0)；当∠NBP=90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，BC=−43m2+103m+2−2=−43m2+103m，∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴NCOB =CBOA，∴m2=−43m2+103m3，解得m=0(舍去)或m=118，∴M(118,0)；综上可知当以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点M 的坐标为(2.5,0)或(118,0)； ②当M ，P ，N 三点成为“共谐点”时m 的值为12或−1或−14．【解析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)①中利用相似三角形的性质得到关于m 的方程是解题的关键，注意分两种情况，在(2)②中利用“共谐点”的定义得到m 的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．(1)把A 点坐标代入直线解析式可求得c ，则可求得B 点坐标，由A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)①由M 点坐标可表示P 、N 的坐标，从而可表示出MA 、MP 、PN 、PB 的长，分∠NBP =90°和∠BNP =90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m 的方程，可求得m 的值； ②用m 可表示出M 、P 、N 的坐标，由题意可知有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点，可分别得到关于m 的方程，可求得m 的值． 解(1)见答案； (2)①见答案；②由①可知M(m,0)，P(m,−23m +2)，N(m,−43m 2+103m +2)，∵M ，P ，N 三点为“共谐点”，∴有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点， 当P 为线段MN 的中点时，则有2(−23m +2)=−43m 2+103m +2，解得m =3(三点重合，舍去)或m =12；当M 为线段PN 的中点时，则有−23m +2+(−43m 2+103m +2)=0，解得m =3(舍去)或m =−1；当N 为线段PM 的中点时，则有−23m +2=2(−43m 2+103m +2)，解得m =3(舍去)或m =−14；综上可知当M ，P ，N 三点成为“共谐点”时m 的值为12或−1或−14．15.如图，抛物线y=ax2+bx−3经过点A(2,−3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．(1)求抛物线的解析式；(2)点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)由y=ax2+bx−3得C(0.−3)，∴OC=3，∵OC=3OB，∴OB=1，∴B(−1,0)，把A(2,−3)，B(−1,0)代入y=ax2+bx−3得{4a+2b−3=−3a−b−3=0，∴{a=1b=−2，∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3；(2)设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，∵A(2,−3)，C(0,−3)，∴AF//x轴，∴F(−1,−3)，∴BF=3，AF=3，∴∠BAC=45°，设D(0,m)，则OD=|m|，∵∠BDO=∠BAC，∴∠BDO=45°，∴OD=OB=1，∴|m|=1，∴m=±1，∴D1(0,1)，D2(0,−1)；(3)设M(a,a2−2a−3)，N(1,n)，①以AB为边，则AB//MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴于E，AF⊥x轴于F，则△ABF≌△NME，∴NE=AF=3，ME=BF=3，∴|a−1|=3，∴a=4或a=−2，∴M(4,5)或(−2,5)；②以AB为对角线，BN=AM，BN//AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，∴M(0,−3)，综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M(4,5)或(−2,5)或(0,−3)．【解析】(1)待定系数法即可得到结论；(2)连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF//x轴，得到F(−1,−3)，设D(0,m)，则OD=|m|即可得到结论；(3)设M(a,a2−2a−3)，N(1,n)，①以AB为边，则AB//MN，AB=MN，如图2，过M 作ME⊥对称轴于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME= BF=3，得到M(4,5)或(−2,5)；②以AB为对角线，BN=AM，BN//AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．。
初中数学二次函数综合基础训练题1(附答案详解)
初中数学二次函数综合基础训练题1（附答案详解）1．如图，抛物线G ：y 1＝a （x+1）2+2与H ：y 2＝﹣（x ﹣2）2﹣1交于点B(1，﹣2)，且分别与y 轴交于点D 、E ．过点B 作x 轴的平行线，交抛物线于点A 、C ，则以下结论：①无论x 取何值，y 2总是负数；②抛物线H 可由抛物线G 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x ＜1时，随着x 的增大，y 1﹣y 2的值先增大后减小；④四边形AECD 为正方形．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 2．设抛物线2(0)y ax bx c ab =++≠的顶点为M ,与y 轴交于N 点，连接直线MN ，直线MN 与坐标轴所围三角形的面积记为S.下面哪个选项的抛物线满足S=1( )A ．23(1)1y x =--+B ．2(0.5)( 1.5)y x x =-+C ．214133y x x =-+ D ．()22142y a x x =+-+ (a 为任意常数)3．已知抛物线21:(1)12C y x =--，顶点为D ，将C 沿水平方向向右（或向左）平移m 个单位，得到抛物线1C ，顶点为1D ，C 与1C 相交于点Q ，若160DQD ︒∠=，则m等于（ ）A ．43±B ．3±C ．﹣2或3D ．﹣4或434．抛物线()231y x =-+关于x 轴对称的抛物线的表达式为（ ）A ．()231y x =---B ．()231y x =-- C ．()231y x =-++ D ．()231y x =++5．如图所示，直线(0)y kx b k =+≠与抛物线2(0)y ax a =≠交于,A B 两点，且点A 的横坐标是2,-点B 的横坐标是3,则以下结论:①0x >时，直线(0)y kx b k =+≠与抛物线2(0)y ax a =≠的函数值都随着x 的增大而增大；②AB 的长度可以等于5；③OAB 有可能成为等边三角形；④当32x -<<时，2ax kx b +<时，其中正确的结论是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④6．在平面直角坐标系中，对于点(),P x y 和(),'Q x y ，给出如下定义：如果()()0'0y x y y x ⎧≤⎪=⎨-<⎪⎩，那么称点Q 为点P 的“伴随点”． 例如：点()5,6的“伴随点”为点()5,6；点()5,6-的“伴随点”为点()5,6--． （1）直接写出点()2,1A 的“伴随点”'A 的坐标．（2）点(),1B m m +在函数3y kx =+的图象上，若其“伴随点”'B 的纵坐标为2，求函数3y kx =+的解析式．（3）点C D 、在函数24y x =-+的图象上，且点C D 、关于y 轴对称，点D 的“伴随点”为'D ．若点C 在第一象限，且'CD DD =，求此时“伴随点”'D 的横坐标． （4）点E 在函数()212y x n x =-+-≤≤的图象上，若其“伴随点”'E 的纵坐标'y 的最大值为()13m x ≤≤，直接写出实数n 的取值范围．7．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +1与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，点A 的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x ＝1．（1）求点B 的坐标及抛物线的解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，使△PBC 的面积为1，求出点P 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数()230y ax bx a =++≠的图像经过点()1,0A -，点()3,0B ，与y 轴交于点C ，（1）求a 、b 的值：（2）若点P 为直线BC 上一点，点P 到直线A 、B 两点的距离相等，将该抛物线向左(或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点P ，求新抛物线的顶点坐标. 9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣2x 2+(m +9)x ﹣6的对称轴是x ＝2．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A ，求点A 的坐标；（3）抛物线y ＝﹣2x 2+(m +9)x ﹣6与y 轴交于点C ，点A 关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B ，两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分（包含点A 、B 、C ）记为图象M ．将直线y ＝2x ﹣2向下平移b （b ＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围 ．10．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，3），点P 在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为23．（1）求抛物线的表达式以及点P 的坐标；（2）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”．①当D 在射线AP 上，如果∠DAB 为△ABD 的特征角，求点D 的坐标；②点E 为第一象限内抛物线上一点，点F 在x 轴上，CE ⊥EF ，如果∠CEF 为△ECF 的特征角，求点E 的坐标．11．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且关于直线1x =对称，点A 的坐标为(-1，0)．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，若点P 在y 轴上时，BP 和BC 的夹角为15°，求线段CP 的长度．12．已知m,n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m<n ，抛物线y=－x 2+bx+c 的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；(3)P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标．13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：221y mx mx m =++-沿x 轴翻折得到抛物线2C .（1）求抛物线2C 的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ① 当1m =时，求抛物线1C 和2C 围成的封闭区域内(包括边界)整点的个数；② 如果抛物线C 1和C 2围成的封闭区域内(包括边界)恰有7个整点，求m 取值范围． 14．综合与探究如图，抛物线y ＝﹣33x 2﹣23x +3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线l 经过B 、C 两点，点M 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，连接CM ，将线段MC 绕点M 顺时针旋转90°得到线段MD ，连接CD 、BD ．设点M 运动的时间为t （t ＞0），请解答下列问题：（1）求点A 的坐标与直线l 的表达式；（2）①请直接写出点D 的坐标（用含t 的式子表示），并求点D 落在直线l 上时t 的值； ②求点M 运动的过程中线段CD 长度的最小值．15．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点0(1)A ，,(50)B ，,4(0)C ，．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P 是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC +的值为最小的点P 坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E ，使四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E 坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）16．设,a b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a x b ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[],a b ．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m x n ≤≤时，有m y n ≤≤，我们就称此函数是闭区间[],m n 上的“闭函数”．如函数4y x =-+，当1x =时，3y =；当3x =时，1y =，即当13x ≤≤时，有13y ≤≤，所以说函数4y x =-+是闭区间[]1,3上的“闭函数”（1）反比例函数2019y x=是闭区间[]1,2019上的“闭函数”吗?请判断并说明理由； （2）若二次函数26y x x k =-+是闭区间[]3,4上的“闭函数”，求k 的值；（3）若一次函数(0)y kx b k =+≠是闭区间[],m n 上的“闭函数”，求此函数的表达式(可用含,m n 的代数式表示)．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 经过点（0，6），其对称轴为直线x =32．在x 轴上方作平行于x 轴的直线l 与抛物线交于A 、B 两点（点A 在对称轴的右侧），过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、C ．设A 点的横坐标为m ．（1）求此抛物线所对应的函数关系式．（2）当m 为何值时，矩形ABCD 为正方形．（3）当m 为何值时，矩形ABCD 的周长最大，并求出这个最大值．18．已知，二次函数2y ax bx c =++的图像经过点()()()3,0,1,0,0,3A B C -（1）求此函数的解析式，并写出其顶点坐标；（2）在线段AC 上是否存在点P (不含A C 、两点)，使ABP △与ABC 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由19．过反比例函数 y= k x (k < 0)的图象上一点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 B ，O 为坐标原点， 且△ABO 的面积 S △ABO = 4 ．（1）求 k 的值；（2）若二次函数 y = ax 2 与反比例函数 y=k x (k < 0)的图象交于点C(-2，m) ，请结合函数的图象写出满足 ax 2< k x的x 的取值范围．20．如果正比例函数y ＝ax （a ≠0）与反比例函数y ＝b x（b ≠0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣3，﹣2）那么另一个交点的坐标为_____．参考答案1．B【解析】【分析】①由非负数的性质，即可证得y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，即可得无论x取何值，y2总是负数;②由抛物线l1：y1＝a（x+1）2+2与l2：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），可求得a 的值，然后由抛物线的平移的性质，即可得l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到;③由y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，可得随着x的增大，y1﹣y2的值减小;④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得AF＝CF＝DF＝EF，又由AC⊥DE，即可证得四边形AECD为正方形.【详解】解：①∵（x﹣2）2≥0,∴﹣（x﹣2）2≤0,∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0,∴无论x取何值，y2总是负数;故①正确;②∵抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与抛物线H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2）, ∴当x＝1时，y＝﹣2,即﹣2＝a（1+1）2+2,解得：a＝﹣1;∴y1＝﹣（x+1）2+2,∴H可由G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到;故②正确;③∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6,∴随着x的增大，y1﹣y2的值减小;故③错误;④设AC与DE交于点F,∵当y＝﹣2时，﹣（x+1）2+2＝﹣2,解得：x＝﹣3或x＝1,∴点A（﹣3,﹣2）,当y＝﹣2时,﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2,解得：x＝3或x＝1,∴点C（3，﹣2）,∴AF＝CF＝3，AC＝6,当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5,∴DE＝6，DF＝EF＝3,∴四边形AECD为平行四边形,∴AC＝DE,∴四边形AECD为矩形,∵AC⊥DE,∴四边形AECD为正方形.故④正确.故选：B.【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括函数最值、函数图形平移及与一元二次方程的关系，做题的时候需要灵活应用知识点.2．D【解析】【分析】求出各选项中M、N两点的坐标，再求面积S，进行判断即可；【详解】A 选项中，M 点坐标为（1，1），N 点坐标为（0，-2），113=1-2-1=3=222S ⨯⨯⨯，故A 选项不满足；B 选项中，M 点坐标为1--22⎛⎫ ⎪⎝⎭，，N 点坐标为（0，3-2），113111=--2--=--=222428S ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 选项不满足；C 选项中，M 点坐标为(2，1-3），点N 坐标为（0，1），1144=2--1=1=2333S ⨯⨯⨯，故选项C 不满足；D 选项中，M 点坐标为（22a +1，24-+2a +1），点N 坐标为（0，2），()2222221241244=-+2-2==2a +1a +12a +1a +1a +1S ⨯⨯⨯⨯，当a=1时，S=1，故选项D 满足；【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键. 3．A 【解析】 【分析】先表示出平移后的函数为21(1)12y x m =---，得到(1,1)D -，1(1,1)D m +-，求出Q 点的横坐标为：22m +，代入21(1)12y x =--求得22,128m m Q ⎛⎫+-⎪⎝⎭，再根据等腰直角三角形的性质得到2222211128m mm ⎛⎫+⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，解出m 即可求解.【详解】 抛物线21:(1)12CC y x =--沿水平方向向右（或向左）平移m 个单位得到 21(1)12y x m =---∴(1,1)D -，1(1,1)D m +-，∴Q 点的横坐标为：22m +， 代入21(1)12y x =--求得22,128m m Q ⎛⎫+-⎪⎝⎭， 若160DQD ︒∠=，则1DQD ∆是等边三角形，∴1||QD DD m ==， 由勾股定理得，2222211128m m m ⎛⎫+⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+， 解得43m =±， 故选A ．【点睛】此题主要考查二次函数与几何，解题的关键是熟知二次函数的性质及直角三角形的性质. 4．A 【解析】 【分析】先确定抛物线()231y x =-+的顶点坐标为（3， 1），再利用关于x 轴对称的点的坐标特征得到新抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出新抛物线解析式． 【详解】解：抛物线()231y x =-+的顶点坐标为（3， 1），而（3， 1）关于x 轴对称的点的坐标为（3，-1），所以所求抛物线的解析式为()231y x =---． 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．5．C【解析】【分析】①根据图象得到一次函数y=kx+b为增函数，抛物线当x大于0时为增函数，本选项正确；②AB长不可能为5，由A、B的横坐标求出AB为5时，直线AB与x轴平行，即k=0，与已知矛盾；③三角形OAB不可能为等边三角形，因为OA与OB不可能相等；④直线y=-kx+b 与y=kx+b关于y轴对称，作出对称后的图象，故y=-kx+b与抛物线交点横坐标分别为-3与2，找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可．【详解】解：①根据图象得：直线y=kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y=ax2（a≠0）当x＞0时为增函数，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；②由A、B横坐标分别为-2，3，若AB=5，可得出直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；③若OA=OB，得到直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾，∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；④直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称，如图所示：可得出直线y=-kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为-3，2，由图象可得：当-3＜x＜2时，ax2＜-kx+b，即ax2+kx＜b，本选项正确；则正确的结论有①④．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与二次函数的增减性，关于y轴对称点的性质，利用了数形结合的思想，熟练对称性质及数形结合思想是判断命题④的关键．6．（1）点A＇的坐标为（2，1）；（2）y=53x+3；（3）D＇117；（4）－2≤n≤0、1≤n≤3【解析】 【分析】（1）根据题意，2＞0x =，则1y =,即可求解. （2）分0,＜0m m ≥时，两种情况分别求解.（3）设点C 的横坐标为n ，点C 在函数y=－x 2+4的图象上，CD =DD ＇，即可求解. （4）通过画图即可求解. 【详解】解：（1）点A ＇的坐标为（2，1）． （2）①当m ≥0时， m +1=2，m =1; ∴B （1，2）,∵点B 在一次函数y=kx+3图象上， ∴k +3=2， 解得：k =-1;∴一次函数解析式为y=-x+3; ②当m ＜0时， m +1=-2，m =-3; ∴B （-3，-2）．∵点B 在一次函数y=kx+3图象上， ∴-3k +3=-2， 解得：k =53， ∴一次函数解析式为y=53x+3; （3）设点C 的横坐标为n ，点C 在函数y=－x 2+4的图象上， ∴点C 的坐标为（n ，-n 2+4），∴点D 的坐标为（-n ，-n 2+4），D ＇（-n ，n 2-4）; ∵CD =DD ＇， ∴2n =2（-n 2+4），解得：n ;∵点C在第一象限，∴取1117 2n-+=，21172n--=（舍）;∴D＇的横坐标为1172-．（4）－2≤n≤0、1≤n≤3．解析如下：当左边的抛物线在上方时，如图①、图②．－2≤n≤0,当右边的抛物线在上方时，如图③、图④．1≤n≤3;【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，对新定义的理解需要做到理解透彻.7．（1）点B的坐标为：B（3，0），抛物线解析式为y＝﹣13x2+23x+1；（2）P点坐标为（1，43）或（2，1）．【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称性确定B（3，0），然后利用交点式求抛物线解析式；（2）作PQ∥y轴于Q，如图，利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=13-x+1，设P（t，13-t2+23t +1）（0＜t＜3），则Q（t，13-t+1），则PQ=13-t2+t，利用三角形面积公式得到12×3×（13-t2+t）=1，然后解方程求出t即可得到P点坐标．【详解】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴B（3，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，∵﹣3a＝1，∴a＝13 -，∴抛物线解析式为y＝13-x2+23x+1；（2）作PQ∥y轴于Q，如图，当x＝0时，y＝13-x2+23x+1＝1，则C（0，1）设直线BC的解析式为y＝mx+n，把C（0，1），B（3，0）代入得130nm n=⎧⎨+=⎩，解得131mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC的解析式为y＝13-x+1，设P（t，13-t2+23t+1）（0＜t＜3），则Q（t，13-t+1）∴PQ＝13-t2+23t+1﹣（13-t+1）＝13-t2+t，∵△PBC的面积为1，∴12×3×（13-t2+t）＝1，整理得t2﹣3t+2＝0，解得t1＝1，t2＝2，∴P点坐标为（1，43）或（2，1）．故答案为：（1）点B的坐标为：B（3，0），抛物线解析式为y＝﹣13x2+23x+1；（2）P点坐标为（1，43）或（2，1）．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．8．（1）1a =-，2b =；（2）平移后函数的顶点为()14或()14+ 【解析】 【分析】(1)将点A(-1,0)和点B(3,0)代入得到a ，b 的方程组，求出方程组的解得到a ，b 的值；(2)先求出P 点的坐标，令2y =得11x =+21x =-个单个单位，即可求得新抛物线的顶点坐标. 【详解】 (1)∵抛物线()230y axbx a =++≠的图像经过点()1,0A -，点()3,0B ，∴030933a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解这个方程组得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴1a =-，2b =(2）∵点P 到直线A 、B 两点的距离相等， ∴点P 在抛物线的对称轴上，设直线BC 的解析式为y=kx+b ,经过()3,0B ，C(0,3), ∴y=-x+3,又∵点P 为直线BC 上一点，()1,2P令2y =得11x =+21x =个单位 原函数顶点为()1,4∴平移后函数的顶点为()14或()14 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．9．（1）y =﹣2x 2+8x ﹣6，顶点坐标为（2，2）；（2）A (5322，)；（3）702<≤b ． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求出m 的值，进而求出抛物线的解析式以及顶点坐标； （2）先求出平移后的抛物线解析式，然后求出交点坐标； （3）根据图象即可写出b 的取值范围． 【详解】（1）∵抛物线y =﹣2x 2+（m +9）x ﹣6的对称轴是x =2， ∴()9222m +-=⨯-．∴m =﹣1．∴抛物线的表达式为y =﹣2x 2+8x ﹣6． ∴y =﹣2（x ﹣2）2+2． ∴顶点坐标为（2，2）．（2）由题意得，平移后抛物线表达式为y =﹣2（x ﹣3）2+2， ∵﹣2（x ﹣2）2=﹣2（x ﹣3）2，∴52x =． ∴A (5322，)．（3）点A 坐标为(5322，)，则点B 的坐标为73,22⎛⎫⎪⎝⎭， 设直线y =2x ﹣2向下平移b （b ＞0）个单位经过点B ， 则y =2x ﹣2﹣b ，故32=7﹣2﹣b ， 解得b =72，设直线y =2x ﹣2向下平移b （b ＞0）个单位经过点A ，32=5﹣2﹣b，b=32，由()222232y x by x=--⎧⎪⎨=--+⎪⎩，消去y得到：2x2﹣10x+14﹣b=0，由题意：△=0，∴100﹣8（14﹣b）=0，∴b=32，观察图象可知：平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，则72b≤＜．【点睛】此题主要考查抛物线的对称轴、解析式求解以及坐标和一次函数综合问题，熟练掌握，即可解题.10．（1）y＝﹣x2+2x+3；点P（1，3；（2）①D（0，3或（3，3）；②点E113+1132+）．【解析】【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C（0，3），则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝2，即可求解；（2）①当α＝60°，∠DBA＝β1=2α＝30°时，△ABD为直角三角形，即可求解；当∠ADB ＝β时，则∠ABD＝90°，即可求解；②∠CEF为△ECF的特征角，则△CEF为等腰直角三角形，则△CNE≌△EMF（AAS），即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C（0，3），则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝2，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；点P（1，23）；（2）由点A、P的坐标知，∠P AB＝60︒，直线AP的表达式为：y＝3（x+1）…①，当α＝60︒，∠DBA＝β1=2α＝30︒时，△ABD为直角三角形，由面积公式得：y D×AB＝AD•BD，即y D×4＝2×3解得：y D3点D在AP上，故点D（03；当∠ADB＝β时，则∠ABD＝90︒，故点D（3，3；综上，点D的坐标为：（033，3；（3）∠CEF为△ECF的特征角，则△CEF为等腰直角三角形，过点E 分别作x 轴、y 轴的垂线交于点M 、N ，则△CNE ≌△EMF （AAS ），则EN ＝EM ，即x ＝y ，x ＝y ＝﹣x 2+2x +3，解得：x ＝1132； 故点E 113+113+）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，掌握二次函数的性质是解题的关键.11．（1）y ＝x 2－2x －3；（2）33或33．【解析】【分析】(1)先根据题意得出点B 的坐标，再利用待定系数法求解可得；(2)分点P 在点C 上方和下方两种情况，先求出∠OBP 的度数，再利用三角函数求出OP 的长，从而得出答案．【详解】(1)∵二次函数的对称轴是直线1x =， ∴1221b b a -=-=⨯， ∴b =-2．将A(-1，0)代入22y x x c =-+中，解得3c =-．∴二次函数的表达式为223y x x =--；(2)∵A(-1，0)，对称轴是直线x =1，∴点B 的坐标为(3，0)．又∵当0x =时，3y =-，∴点C 的坐标为(0，-3)，∴OB =OC ，∴∠OBC =45°．如图，若点P 在点C 上方，则∠OBP=∠OBC-∠PBC=30°，∴OP=OBtan ∠OBP 3333=⨯=， ∴CP 33=-；若点P 在点C 下方，则∠OBP′=∠OBC+∠P′BC=60°，∴OP′=OBtan ∠OBP′3333=⨯=，∴CP′333=-，综上，线段CP 的长度为33-或333-．【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用．12．(1)、y=－x 2－4x+5；(2)、15；(3)、(－,0)或(－,0).【解析】试题分析：(1)、首先求出方程的解得出点A 和点B 的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式；(2)、根据二次函数的解析式得出点C 的坐标和顶点坐标，过D 作x 轴的垂线交x 轴于M ，从而求出△DMC 、梯形MDBO 和△BOC 的面积，然后得出面积；(3)、设P 点的坐标为（a,0），得出直线BC的方程，则PH与直线BC的交点坐标为(a，a+5)，PH与抛物线的交点坐标为H(a,－a2－4a+5)，然后根据EH=EP和EH=EP两种情况分别求出点P 的坐标.试题解析：(1)、解方程x2－6x+5=0，得x1=5,x2=1.由m<n，m=1,n=5,所以点A、B的坐标分别为A（1，0）,B（0，5）．将A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入y=－x2+bx+c,得解这个方程组得所以，抛物线的解析式为y=－x2－4x+5.(2)、由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0，解这个方程得x1=－5,x2=1,所以C点的坐标为（－5，0）．由顶点坐标公式计算得点D（－2，9）．过D作x轴的垂线交x轴于M．则S△DMC=×9×(5－2)=，S梯形MDBO=×2×(9+5)=14，S△BOC=×5×5=，所以，S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC－S△BOC=14+－=15．(3)、设P点的坐标为（a,0），因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5)，PH与抛物线y=－x2－4x+5的交点坐标为H(a,－a2－4a+5)．由题意，得①EH=EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)=(a+5).解这个方程，得a=－或a=－5（舍去）.②EH=EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)=(a+5)，解这个方程,得a=－或a=－5（舍去），∴P点的坐标为(－,0)或(－,0)．考点：二次函数的综合应用13．（1）（-1，-1）；（2）①整点有5个．②19m≤14．【解析】【分析】（1）可先求抛物线1C 的顶点坐标，然后找到该店关于x 轴对称的点的坐标即为抛物线2C 的顶点坐标.（2）① 先求出当1m =时，抛物线1C 和2C 的解析式并画在同一个直角坐标系中即可确定整点的个数；②结合整点的个数，确定抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围，从而代入抛物线解析式中确定m 的取值范围.【详解】（1）∵2221(1)1y mx mx m m x =++-=--∴1C 的顶点坐标为(1,1)-∵抛物线1C ：221y mx mx m =++-沿x 轴翻折得到抛物线2C .∴2C 的顶点坐标为（1-，1）（2）①当1m =时，21:2C y x x =+，22:2C y x x =--．根据图象可知，1C 和2C 围成的区域内(包括边界)整点有5个．②抛物线在1C 和2C 围成的区域内 (包括边界) 恰有7个整点，结合函数图象，可得抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围为 1≤2x ＜．将（1，0）代入221y mx mx m =++-，得到 14m =，将（2，0）代入221y mxmx m =++-，得到 19m =， 结合图象可得19m ＜≤14． 【点睛】 本题主要考查二次函数，掌握二次函数的图象和性质及整点的定义是解题的关键.14．（1）A （﹣3，0），y（2）①点D 落在直线l 上时，t ＝6﹣；②CD．【解析】【分析】（1）解方程求出点A 、点B 的坐标，根据二次函数的性质求出点C 的坐标，利用待定系数法求出直线l 的表达式；（2）①分点M 在AO 上运动、点M 在OB 上运动两种情况，DN ⊥x 轴于N ，证明△MCO ≌△DMN ，根据全等三角形的性质得到MN ＝OCDN ＝OM ＝3﹣t ，得到点D 的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征求出t ；②根据等腰直角三角形的性质、垂线段最短解答．【详解】（1）当y ＝02， 解得x 1＝1，x 2＝﹣3，∵点A 在点B 的左侧，∴A （﹣3，0），B （1，0），当x ＝0时，yC （0），设直线l 的表达式为y ＝kx +b ，将B ，C两点坐标代入得，k b 0b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得，k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则直线l 的表达式为y（2）①如图1，当点M 在AO 上运动时，过点D 作DN ⊥x 轴于N ，由题意可知，AM ＝t ，OM ＝3﹣t ，MC ⊥MD ，则∠DMN +∠CMO ＝90°，∠CMO +∠MCO ＝90°，∴∠MCO ＝∠DMN ，在△MCO 与△DMN 中，OCH NHD COM MND MC MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MCO ≌△DMN （AAS ），∴MN ＝OC 3DN ＝OM ＝3﹣t ，∴D （t ﹣3t ﹣3）；同理，如图2，当点M 在OB 上运动时，点D 的坐标为：D （﹣3+t 3t ﹣3）将D 点坐标代入直线BC 的解析式y 3x 3t ﹣33×（﹣3+t 33， t ＝6﹣3D 落在直线l 上时，t ＝6﹣3②∵△COD 是等腰直角三角形，∴CM ＝MD ，∴线段CM 最小时，线段CD 长度的最小，∵M 在AB 上运动，∴当CM ⊥AB 时，CM 最短，CD 最短，即CM ＝CO 3根据勾股定理得，CD 的最小值为6．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、等腰三角形的性质特点.15．（1）2545442y x x -+＝，函数的对称轴为：3x ＝；（2）点8(3)5P ，；（3）存在，点E 的坐标为12(2,)5-或12,)5(4-． 【解析】【分析】 1（）根据点AB 、的坐标可设二次函数表达式为：()()()21565y a x x a x x +--＝﹣＝，由C 点坐标即可求解；2（）连接B C 、交对称轴于点P ，此时PA PC +的值为最小，即可求解； 3（）512E E OEBF S OB y y ⨯⨯四边形＝＝＝，则125E y ＝，将该坐标代入二次函数表达式即可求解． 【详解】解：1（）根据点0(1)A ，,(50)B ，的坐标设二次函数表达式为：()()()21565y a x x a x x +--＝﹣＝，∵抛物线经过点4(0)C ，， 则54a ＝，解得：45a ＝，抛物线的表达式为：()()2224416465345555245y x x x x x --+--+＝=＝ ， 函数的对称轴为：3x ＝；2（）连接B C 、交对称轴于点P ，此时PA PC +的值为最小，设BC 的解析式为：y kx b +＝，将点B C 、的坐标代入一次函数表达式：y kx b +＝得：05,4k b b =+⎧⎨=⎩解得：4,54k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩直线BC 的表达式为：4y x 45=-+， 当3x ＝时，85y ＝， 故点835P （，）；3（）存在，理由： 四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形， 则512E E OEBF S OB y y ⨯⨯四边形＝＝＝ ， 点E 在第四象限，故：则125E y ＝-， 将该坐标代入二次函数表达式得：()24126555y x x -+＝＝-， 解得：2x ＝或4，故点E 的坐标为122,5（-）或12,5（4-）． 【点睛】 本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中2（），求线段和的最小值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法． 16．（1）反比例函数2019y x=是闭区间[1,2019]上的“闭函数”，理由见解析；（2）12k =；（3）y x =或y x m n =-++ 【解析】【分析】（1）由k ＞0可知反比例函数2019y x=在闭区间[1，2019]上y 随x 的增大而减小，然后将x ＝1，x ＝2019分别代入反比例解析式的解析式，从而可求得y 的范围，于是可做出判断；（2）先求得二次函数的对称轴为x ＝3，a ＝1＞0，根据二次函数的性质可知26y x x k=-+在闭区间[]3,4上y 随x 的增大而增大，然后将x ＝3，y ＝3，x ＝4，y ＝4分别代入二次函数的解析式，从而可求得k 的值；（3）当k ＞0时，将（m ，m ）、（n ，n ）代入直线的解析式得到关于k 、b 的方程组，从而可求得k ＝1、b ＝0，故此函数的表达式为y ＝x ；当k ＜0时，将（m ，n ）、（n ，m ）代入直线的解析式得到关于k 、b 的方程组，从而可求得k ＝−1、b ＝m ＋n 的值，从而可求得函数的表达式．【详解】(1)反比例函数2019y x =是闭区间[1,2019]上的“闭函数” 理由如下 反比例函数2019y x=在第一象限，y 随x 的增大而减小， 当1x =时，2019y =当2019x =时，1y =,即图象过点(1,2019)和(2019,1)当12019x ≤≤时，有12019y ≤≤，符合闭函数的定义，反比例函数2019y x=是闭区间[1，2019]上的“闭函数” (2)由于二次函数26y x x k =-+的图象开口向上,对称轴为3x =,二次函数26y x x k =-+在闭区间[3,4]内，y 随x 的增大而增大 当3x =时，3y =,12k ∴=当4x =时，4y =,即图象过点(3,3)和(4,4)当34x ≤≤时，有34y ≤≤，符合闭函数的定义，12k ∴=(3)因为一次函数(0)y kx b k =+≠是闭区间[],m n 上的“闭函数”，根据一次函数的图象与性质，有①当0k >时，即图象过点(),m m 和(),n nm k b m nk b n +=⎧⎨+=⎩，解得 10k b =⎧⎨=⎩. y x ∴=②当k 0<时，即图象过点(),m n 和(),n m ,mk b n nk b m+=⎧⎨+=⎩ 解得1 k b m n =-⎧⎨=+⎩∴直线解析式为y x m n =-++综上所述，当k ＞0时，直线的解析式为y ＝x ，当k ＜0，直线的解析式为y ＝−x ＋m ＋n ．【点睛】本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．17．（1）y=-x2+3x+6；（2）m=；（3）当52m=时，矩形ABCD的周长最大为372．【解析】【分析】（1）首先根据对称轴求得b值，然后代入点（0，6）求得c值即可；（2）首先用含m的代数式表示出线段AB、AD的长，然后利用正方形ABCD的AB=CD得到有关m的等式求得m的值即可；（3）表示出正方形的周长，然后利用配方法求最值即可；【详解】（1）∵对称轴为直线x=32，∴32(1)2b-=⨯-，∴b=3．把（0，6）代入y=-x2+3x+c得，6=-0+3×0+c，解得c=6．∴此抛物线所对应的函数关系式为y=-x2+3x+6．（2）根据题意，得32()23,2AB m m=-=-AD=-m2+3m+6．∵矩形ABCD为正方形，AB=AD．∴2m-3=-m2+3m+6，解得m=．∵点A在对称轴的右侧，∴32 m>．∴m=（舍去）．∴m=．（3）设矩形ABCD 的周长为C ．225372(23)(36)2()22C m m m m ⎡⎤=-+-++=--+⎣⎦． ∴当52m =时，矩形ABCD 的周长最大为372． 【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式.18．（1）223y x x =-++，顶点为(1，4)；（2）存在，点P 的坐标为(1833，) 【解析】【分析】（1）已知了抛物线图象上三点的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式；用配方法将抛物线解析式化为顶点式，然后求出其顶点坐标；（2）可分两种情况：①△ABP ∽△ABC ，此时AB:AB=AP:AC ，P 、C 重合，此种情况不合题意；②△ABP ∽△ACB ，得AB:AC=AP:AB ，由此可求出AP 的长；易求得直线AC 的解析式，可根据直线AC 的解析式设出P 点的坐标，再由AP 的长求出P 点的坐标．【详解】（1）由题意得：93003a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴此函数解析式为2y x 2x 3=-++，∵()222232131(1)4y x x x x x =-++=--+++=--+，∴顶点为(1，4)；（2）假设存在点P ，使△ABP 与△ABC 相似，①△ABP ∽△ABC ，此时AB:AB=AP:AC ，∴AP=AC ，即P 、C 重合，此种情况不合题意；②△ABP ∽△ACB ，得AB:AC=AP:AB ，∵()()()3,0,1,0,0,3A B C -，∴()314AB =--=，AC ===∴223AB AP AC === 直线AC 的解析式为：3y kx =+，则033k =+，解得：1k =-，∴直线AC 的解析式为：3y x =-+，设P ()3x x -+，，其中03x <<，3= 解得：1211733x x ==，(舍去)． ∴点P 的坐标为(1833，) ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、抛物线顶点坐标的求法、相似三角形的判定和性质等知识；需注意的是（2）题在不确定相似三角形对应边和对应角的情况下，要分类讨论，以免漏解．19．（1）-8；（2）-2<x<0．【解析】【分析】(1)设点A 的坐标为 (x y ，)，根据反比例函数k y x=中k 的几何意义，即可得出k 的值； (2)令2x =-，可求出m 的值，即得出点C 的坐标，将点C 的坐标代入二次函数的解析式中求出a 值，画出图形，结合图象即可得出结论．【详解】(1)设点A 的坐标为(x y ，)，∵A 是反比例函数k y x=的图象上的一点，∴xy k =，∵△ABO 的面积是4，∴ABO 142S k ==， ∴8k =，由题知k 0<，∴8k =-；(2)由(1)知，反比例函数为8y x=-， ∵二次函数2y ax =与反比例函数8y x =-的图象交于第二象限的点(2,)C m -， ∴0a > ，函数图象如图，根据图象可知当20x -<<时，抛物线在反比例函数图象的下方，∴不等式2k ax x <的解集为：20x -<<． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式、待定系数法求函数解析式以及反比例函数k y x=中k 的几何意义，解决该题型题目时，要正确理解k 的几何意义，画出函数图象，利用数形结合解决不等式的问题是解题的关键．20．（3，2）．【解析】【分析】本题有两种方法：（1）是把(-3,-2)代入y ax =和b y x= ，求出表达式后，在联立求出另外一个点的坐标． （2）另一种是正比例函数和反比例函的图像数都是中心对称图形，他们的交点也成中心对称，从而得出结论．【详解】(-3,-2)代入y ax =和b y x=，得 236y x y x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得32x y =-⎧⎨=-⎩ 或32x y =⎧⎨=⎩故另一个交点坐标为(3，2)【点睛】第一种方法需要通过计算，涉及求函数表达式及解一元二次方程来解决的，是常规解法，第二种方法在建立在理解的基础上分析到的，涉及了中心对称的知识点，正比例函数和反比例函数的图像都是中心对称图形。
初中数学二次函数综合基础训练题3(附答案详解)
初中数学二次函数综合基础训练题3（附答案详解）1．在同一坐标系中，函数y ＝ax 2+bx 与y ＝b x的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知 23M x x =-， 5N x =-(x 为任意实数)，则M 、N 的大小关系为( ) A ．M N < B ．M N > C ．M N D ．不能确定 3．课堂上，老师给出一道题：如图，将抛物线C ：y ＝x 2﹣6x +5在x 轴下方的图象沿x 轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线C 在x 轴上方的图象记为G ，已知直线l ：y ＝x +m 与图象G 有两个公共点，求m 的取值范围甲同学的结果是﹣5＜m ＜﹣1，乙同学的结果是m ＞54．下列说法正确的是（ ）A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙的结果合在一起也不正确4．如图，抛物线y=-x 2+2x+m+1交x 轴于点A （a ，0）和B （B ，0），交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D ．下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=4；③抛物线上有两点P （x 1,y 1）和Q （x 2,y 2），若x 1<1< x 2，且x 1+ x 2>2，则y 1> y 2；④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当m=2时，四边形EDFG 周长的最小值为，其中正确判断的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2经过A （﹣1，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）M 在抛物线上，线段MA 绕点M 顺时针旋转90°得MD ，当点D 在抛物线的对称轴上时，求点M 的坐标；（3）P 在对称轴上，Q 在抛物线上，以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P 的坐标．6．如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点D ，抛物线的顶点为C ．（1）求A ，B ，C ，D 的坐标；（2）求四边形ABCD 的面积．7．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B ，与y 轴交下点C ，请仅用无刻度直尺按要求作图：（1）在图1中，直线l 为对称轴，请画出点C 关于直线l 的对称点；（2）在图2中，若CD x 轴，请画出抛物线的对称轴.8．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点A (1，b )．(1)求a ，b 的值；(2)求抛物线y ＝ax 2与直线y ＝－2的两个交点B ，C 的坐标(B 点在C 点右侧)；(3)求△OBC 的面积．9．抛物线y ＝﹣x 2+mx +n 与x 轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是直线x ＝1， （1）抛物线与x 轴的另一个交点坐标为 ；m ＝ ，n ＝ ．（2）画出此二次函数的图象；（3）利用图象回答：当x 取何值时，y ≤0？10．二次函数2642y x x =--(1)写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.(2)判断点()3, 4-是否在该函数图象上，并说明理由.(3)求出以该抛物线与两坐标轴的交点为顶点的三角形的面积.11．若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数.(2)已知关于x 的二次函数y 1=2x 2﹣4mx+2m 2+1，和y 2=x 2+bx+c ，其中y 1的图象经过点A(1，1)，若y 1+y 2与y 1为“同簇二次函数”，求函数y 2的表达式，并求当0≤x≤3时，y 2的取值范围.12．定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2＝ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y＝2x2﹣2x+2是黄金抛物线．（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；（3）将黄金抛物线y＝2x2﹣2x+2沿对称轴向下平移3个单位．①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明．13．已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）图象的对称轴是直线x＝2，且经过点P（3，0）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若y≤0，请直接写出x的取值范围；（3）若抛物线y＝ax2+bx+3﹣t（a≠0，t为实数）在0＜x＜3.5的范围内与x轴有公共点，求出t的取值范围．14．如图，抛物线y=﹣12x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，点B的坐标；（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．15．一个抛物线形状与二次函数y ＝x 2的图象形状和顶点相同，但开口方向不同． （1）求抛物线解析式．（2）如果该抛物线与一次函数y ＝kx ﹣2相交于A 、B 两点，已知A 点的纵坐标为﹣1，求△OAB 的面积．16．如图，已知抛物线2142y x x =--+与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）若点E 与点C 关于抛物线的对称轴对称，求梯形AOCE 的面积.17．已知抛物线y ＝ax 2+bx+3过A(﹣3，0)，B(1，0)两点，交y 轴于点C ,(1)求该抛物线的表达式．(2)设P 是该抛物线上的动点，当△PAB 的面积等于△ABC 的面积时，求P 点的坐标． 18．已知函数y 1＝－13x 2 和反比例函数y 2的图象有一个交点是 A a 1）． （1）求函数y 2的解析式；（2）在同一直角坐标系中，画出函数y 1和y 2的图象草图；（3）借助图象回答：当自变量x 在什么范围内取值时，对于x 的同一个值，都有y 1＜y 2？ 19．已知：抛物线2y x bx c =-++，经过点A(-1,-2)，B(0,1).（1）求抛物线的关系式及顶点P 的坐标.（2）若点B′与点B 关于x 轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m 个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′.①求∠P′B B′的大小.②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M 处，设点N 在（1）中的抛物线上，当△MN B′的面积等于63时，求点N 的坐标.20．如图，抛物线223y x mx m =-+与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点()0,3C -.（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E 为线段OC 上一动点，试求22AE EC +的最小值； （3）点D 是y 轴左侧的抛物线上一动点，连接AC ，当DAB ACO =∠∠时，求点D 的坐标.21．如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，EF ∥AB 交AD 于点F ，连接BF ．（1）如图1，若AB ＝4，DE 2，求BF 的长；（2）如图2．连接AE ，交BF 于点H ，若DF ＝HF ＝2，求线段AB 的长；（3）如图3，连接BF ，AB ＝2，设EF ＝x ，△BEF 的面积为S ，请用x 的表达式表示S ，并求出S 的最大值；当S 取得最大值时，连接CE ，线段DB 绕点D 顺时针旋转30°得到线段DJ，DJ与CE交于点K，连接CJ，求证：CJ⊥CE．22．已知抛物线y=kx2-4kx+3k(k>0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y 轴交于点C，顶点为D.（1）如图1，请求出A、B两点的坐标；（2）点E为x轴下方抛物线y=kx2-4kx+3k(k>0)上一动点.①如图2，若k=1时，抛物线的对称轴DH交x轴于点H，直线AE交y轴于点M，直线BE交对称轴DH于点N，求MO+NH的值；②如图3，若k=2时，点F在x轴上方的抛物线上运动，连接EF交x轴于点G，且满足∠FBA=∠EBA，当线段EF运动时，∠FGO的度数大小发生变化吗？若不变，请求出tan∠FGO的值；若变化，请说明理由.23．在Rr△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，点O为AB的中点，点D、E分别为AC、AB边上的动点，且保持DO⊥EO，连接CO、DE交于点P．（1）求证：OD＝OE；（2）在运动的过程中，DP•EP是否存在最大值？若存在，请求出DP•EP的最大值；若不存在，请说明理由．（3）若CD＝2CE，求DP的长度．24．如图，A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点在抛物线y＝ax2+bx+c上，D为直线BC上方抛物线上一动点，E在CB上，∠DEC＝90°（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，F 为AB 的中点，连接CF ，CD ，当△CDE 中有一个角与∠CFO 相等时，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．25．在平面直角坐标系中，抛物线21y x 6x 42=-+的顶点M 在直线L ：y kx 2=-上． ()1求直线L 的函数表达式；()2现将抛物线沿该直线L 方向进行平移，平移后的抛物线的顶点为N ，与x 轴的右交点为C ，连接NC ，当tan NCO 2∠=时，求平移后的抛物线的解析式．26．二次函数 223y x x =++ 图像的对称轴是直线____.27．已知抛物线y ＝x 2﹣4x +h 的顶点A 在直线y ＝﹣4x ﹣1上，则抛物线的顶点坐标为_____．28．二次函数223y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，A 1，A 2，A 3，…，A 2009在y 轴的正半轴上，B 1，B 2，B 3，…，B 2009在二次函数223y x =第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2008B 2009A 2009都为等边三角形，计算出△A 2008B 2009A 2009的边长为_____．29．（在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a＜0）交x轴于A，B两点，若此抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）有且只有8个整点（横、纵坐标都是整数的点），则a的取值范围是__．30．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3…如此进行下去，则C2019的顶点坐标是_____．参考答案1．D【解析】试题解析：A、根据反比例函数得出b＞0，根据二次函数得出a＞0，b＜0，所以b的范围不同，故本选项错误；B、根据反比例函数得出b＞0，根据二次函数得出a＜0，b＜0，所以b的范围不同，故本选项错误；C、根据反比例函数得出b＜0，根据二次函数得出a＞0，b＞0，所以b的范围不同，故本选项错误；D、根据反比例函数得出b＞0，根据二次函数得出a＜0，b＞0，所以b的范围相同，故本选项正确；故选D．2．B【解析】【分析】首先根据题意分别画出两个函数图像，然后根据图像即可比较大小.【详解】根据题意，分别画出函数图像，如图所示根据图像即可判定M N故答案为B.【点睛】此题主要考查利用函数图像进行比较大小，熟练掌握，即可解题. 3．C【解析】【分析】当直线过抛物线与x轴右侧的交点时，恰有一个交点；直线y＝x+m向上移，经过g左侧交点之前均为两个交点；继续向上平移，直到经过G中间的顶点（3，4）之前均为三个交点；最终向上平移，均有两个交点.【详解】解：令y＝x2﹣6x+5＝0，解得（1，0），（5，0）将点（1，0），（5，0）分别代入直线y＝x+m，得m＝﹣1，﹣5；∴﹣5＜m＜﹣1由题可知，图象C关于x轴对称的抛物线的顶点为（3，4），a=-1则解析式为y=-x2+6x-5联立265y x m y x x =+⎧⎨=-+-⎩25(5)0x x m -++=254200m ∆=--≤∴m ＞54综上所述，m ＞54或﹣5＜m ＜﹣1 故选C ．【点睛】本题主要考查抛物线与直线的交点问题，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.4．C【解析】【分析】【详解】试题解析：①当x ＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x ＜b 时，y ＞0；当x ＞b 时，y ＜0，故本选项错误；②二次函数对称轴为x=-22(1)⨯-=1，当a=-1时有12b -+=1，解得b=3，故本选项错误； ③∵x 1+x 2＞2， ∴122x x +＞1， 又∵x 1-1＜1＜x 2-1，∴Q 点距离对称轴较远，∴y 1＞y 2，故本选项正确；④如图，作D 关于y 轴的对称点D′，E 关于x 轴的对称点E′，连接D′E′，D′E′与DE 的和即为四边形EDFG 周长的最小值．当m=2时，二次函数为y=-x2+2x+3，顶点纵坐标为y=-1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（-1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，-3）；则22(21)(34)2-+-=22(12)(34)58--+--=；∴四边形EDFG258故选C．考点：抛物线与x轴的交点．5．（1）y＝﹣x2+x+2；（2）点M（1021012-）或（102-，1102--）或（1+102，13310+1﹣10213310-）；（3）点P（12，14）或（12，﹣154）或（12，34）．【解析】【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），即可求解；（2）设点M（m，﹣m2+m+2）顺时针旋转90°此时点M即为点D（﹣m2+m+2，﹣m﹣1），即可求解；（3）分BC是平行四边形的边、BC是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），﹣2a＝2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）设点M（m，﹣m2+m+2），过点M作y轴的平行线HN，交过点A与x轴的平行线于点H，交x轴于点N，∵∠DMH+∠HDM＝90°，∠DMH+∠AMN＝90°，∴∠DHM＝∠AMN，又∵∠MHD＝∠ANM＝90°，AM＝MD，∴△MDH≌△AMN（ASA），∴DH＝MN，即：﹣m2+m+2＝|12﹣m|，解得：m＝10±或110，故点M 10101-）或（10110--）或（1013310+11013310-）；（3）设点Q（m，n），n＝﹣m2+m+2，点P（12，s），点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，2），①当BC是平行四边形的边时，点C向右平移2个单位向上平移2个单位得到B，同样点Q（P）向右平移2个单位向上平移2个单位得到点P（Q），则m+2＝12，n﹣2＝s或m﹣2＝12，n+2＝s，解得：s＝14或﹣154，故点P（12，14）或（12，﹣34）；②当BC是平行四边形的对角线时，m+12＝2，n+s＝2，解得：s＝34，故点P（12，34），综上，故点P的坐标为：（12，14）或（12，﹣154）或（12，34）．【点睛】本题考查了二次函数的综合性问题，能够正确求出函数解析式以及读懂题干意思，画出具体图形，求出点的坐标是解题的关键6．（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣4），D（0，﹣3）；（2）9．【解析】【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得A，B，C，D的坐标；（2）根据（1）中求得的点A，B，C，D的坐标，可以求得四边形ABCD的面积．【详解】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝（x﹣1）2﹣4，∴当y＝0时，x1＝3，x2＝﹣1，当x＝0时，y＝﹣3，该函数的顶点坐标为（1，﹣4），∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（0，﹣3）；（2）连接OC，如图所示，∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（0，﹣3），∴四边形ABCD的面积是：S△AOD+S△ODC+S△OCB＝313134++=9 222⨯⨯⨯．【点睛】本题考查了二次函数中点的特征以及四边形的面积，掌握二次函数的性质是解题的关键7．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）运用画对称轴的作图技巧，连接CB交于对称轴一点，再连接A点与此点，与函数图像的交点即对称点，（2）用无刻度直尺连接CB,AD交于一点，连接AC,BD并延长交于一点，再连接这两点，此线即直线m.【详解】解：（1）如图1，点E即为所求（画法不唯一）；（2）如图2，直线m即为所求.【点睛】本题考查轴对称图形的画法，抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质以及画对称轴的作图技巧是解题的关键.8．（1）a= -1 b= -1 (2) B(2,-2) 2,-2) （3）面积是2,【解析】试题分析：()1将点A 代入23y x =-求出b ，再把点A 代入抛物线2y ax =求出a 即可． ()2解方程组2{2,y x y =-=-即可求出交点坐标． ()3利用三角形面积公式即可计算．试题解析：()1∵点()1,A b 在直线23y x =-上，1b ∴=-，∴点A 坐标()1,1-，把点()1,1A -代入2y ax =得到1a =-， ()1 1.a b ∴==-()2由2{2,y x y =-=-解得2{2x y ==-2{ 2.x y =-=-∴点C 坐标()2,2,--点B 坐标)2,2.- ()3 12222 2.2BOC S =⨯=9．（1）（3，0），m ＝2，n ＝3；（2）图象见解析；（3）当x ≤﹣1或x ≥3时y ≤0．【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称性求得另一个交点，然后根据待定系数法即可求得m 、n 的值；（2）求得顶点，画出图象即可；（3）观察图形可直接得出y ≤0时，x 的取值范围；【详解】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+mx +n 与x 轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是直线x ＝1， ∴抛物线与x 轴另一个交点坐标为（3，0），把（﹣1，0），（3，0）代入y ＝﹣x 2+mx +n 得-1-0930m n m n +=⎧⎨-++=⎩， 解得23m n =⎧⎨=⎩， 故答案为（3，0），m ＝2，n ＝3；（2）∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点为（1，4）；画出此图象如图：（3）由图象可知：当x ≤﹣1或x ≥3时y ≤0．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.10．（1）开口向下，对称轴为直线1x =-,顶点为(1,8)-；（2）不在函数图象上，理由详见解析；（3） 12.【解析】【分析】（1）先把抛物线解析式配成顶点式得到22(1)8y x =-++，然后根据二次函数的性质写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；（2）将3x =代入函数解析式求出对应的y 即可判断；（3）确定抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)，然后根据三角形面积公式求解．【详解】解：（1）解：（1）226422(1)8y x x x =--=-++20a =-<，∴抛物线开口向下；22(1)8y x =+-，∴抛物线对称轴方程为1x =-，顶点坐标(1,8)--；开口向下，对称轴为直线1x =-,顶点为1,8-（）（2）不在函数图象上.理由：当3x =时，29436244y =-⨯-⨯+=-≠-所以点4-（3，）不在函数图象上. （3）令0y =，得26420x x --=，解得13x =-，21x =，所以抛物线与x 轴的交点坐标为(3,0)-，(1,0)，当x=0时，y=6.抛物线与y 轴交于点0,6A （），()1136122ABC S ∆=⨯+⨯= 【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象为抛物线；对称轴为直线2b x a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为(0,)c . 11．(1) y=（x －1）2+3和y=2（x －1）2+3（答案不唯一）；(2)y 2 =x 2 -2x+1，02y 4≤≤.【解析】【分析】（1）根据“同簇二次函数”的定义写出两个即可；（2）将A 代入y 1=2x 2−4mx+2m 2+1中，可求出y 1与x 的函数关系式，并求出此抛物线的顶点坐标，从而求出y 1+y 2与x 的函数关系式，再根据“同簇二次函数”的定义即可求出b 、c ，从而求出函数y 2的表达式，最后根据二次函数的性质自变量的取值范围和对称轴的位置关系求最值即可.【详解】(1)根据“同簇二次函数”的定义：两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，故这两个二次函数可以为：y=（x －1）2+3和y=2（x －1）2+3；(2)把A(1,1)代入y 1=2x 2−4mx+2m 2+1得2−4m+2m 2+1=1，解得m=1，则y 1=2x 2−4x+3=2（x －1）2+1,∴y 1=2x 2−4x+3顶点坐标为（1,1），且y 1+y 2=3x 2+（b−4）x+c+3∵y 1+y 2与y 1为“同簇二次函数” ∴()()241234334143b c b -⎧-=⎪⨯⎪⎨⨯+--⎪=⎪⨯⎩解得：b=-2，c=1y 2 =x 2 -2x+1 此抛物线的开口向上，对称轴为：21221b x a -=-=-=⨯ ∴0≤x≤3包含对称轴∴当1x =时，y 2取最小值，此时y 2=0，当x=3时，y 2取最大值，此时y 2=4∴02y 4≤≤【点睛】此题考查的是新定义问题，掌握二次函数的图像及性质和“同簇二次函数”的定义是解决此题的关键.12．（1）如y ＝x 2，y ＝x 2﹣x +1，y ＝x 2+2x +4等（答案不唯一）；（2）详见解析；（3）①y ＝2x2﹣2x﹣1；②符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣12，12），（32，12）．【解析】【分析】（1）按照黄金抛物线的定义给a、b、c赋值即可；（2）将ac＝b2代入判别式当中，消去ac，然后对b分等于0和不等于0两种情讨论即可；（3）①根据“上加下减”写出平移后的抛物线解析式即可；②根据所给的限制条件，只能画出四种图形，分别写出相应的P点坐标即可；【详解】（1）答：如y＝x2，y＝x2﹣x+1，y＝x2+2x+4等；（2）依题意得b2＝ac，∴△＝b2﹣4ac＝b2﹣4b2＝﹣3b2，∴当b＝0时，△＝0，此时抛物线与x轴有一个公共点，当b≠0时，△＜0，此时抛物线与x轴没有公共点；（3）①抛物线y＝2x2﹣2x+2向下平移3个单位得到的新抛物线的解析式为y＝2x2﹣2x﹣1，②存在．如图：若BQ＝AO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，P点的坐标为：（0，﹣1），（1，﹣1），此时，△AOB≌△BQP；若BQ＝BO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，令2x2﹣2x﹣1＝12，解得：x＝﹣12或x＝32，∴P点的坐标为：（﹣12，12），（32，12）．此时，△AOB≌△PQB；综上所述，有四个符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣12，12），（32，12）．【点睛】此题主要考查新定义下抛物线的性质，熟练掌握，即可解题.13．（1）y＝x2﹣4x+3；（2）1≤x≤3；（3）﹣1≤t＜3．【解析】【分析】（1）利用对称性得到抛物线经过点（1，0）．然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可；（3）对于抛物线y＝x2﹣4x+3﹣t，当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＝0时，满足条件，此时t＝﹣1，当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＞0时，若x＝0，y＝x2﹣4x+3﹣t＞0，满足条件，此时﹣1＜t＜3，然后综合两种情况即可．【详解】（1）∵对称轴为x＝2，点B（3，0），∴抛物线经过点（1，0）．将（1，0）、（3，0）代入得：9a+3b+3＝0且a+b+3＝0解得a＝1，b＝﹣4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）由（1）得知抛物线过点（1，0）和（3，0），且a＝1，可判定开口向上，故当1≤x≤3时，y≤0；（3）由（1）可知y＝ax2+bx+3﹣t的解析式为y＝x2﹣4x+3﹣t，当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＝0时，解得t＝﹣1，抛物线与x轴的交点为（2，0）；当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＞0时，解得t＞﹣1，若x＝0，y＝x2﹣4x+3﹣t＞0，抛物线y＝ax2+bx+3﹣t（a≠0，t为实数）在0＜x＜3.5的范围内与x轴有公共点，即t＜3，∴t的范围为﹣1≤t＜3．【点睛】此题主要考查抛物线的对称性、待定系数法求解析式以及根的判别式的运用，熟练掌握，即可解题.14．(1) A（﹣4，0），B（2，0）；(2)△ACP最大面积是4.【解析】【分析】（1）令y=0，得到关于x 的一元二次方程﹣12x2﹣x+4=0，解此方程即可求得结果；（2）先求出直线AC解析式，再作PD⊥AO交AC于D，设P（t，﹣12t2﹣t+4），可表示出D点坐标，于是线段PD可用含t的代数式表示，所以S△ACP=12PD×OA=12PD×4=2PD，可得S△ACP关于t 的函数关系式，继而可求出△ACP面积的最大值．【详解】(1)解：设y=0，则0=﹣12x2﹣x+4∴x1=﹣4，x2=2∴A（﹣4，0），B（2，0）(2)作PD⊥AO交AC于D设AC解析式y=kx+b∴404bk b=⎧⎨=-+⎩解得：14 kb=⎧⎨=⎩∴AC解析式为y=x+4.设P（t，﹣12t2﹣t+4）则D（t，t+4）∴PD=（﹣12t2﹣t+4）﹣（t+4）=﹣12t2﹣2t=﹣12（t+2）2+2∴S△ACP=12PD×4=﹣（t+2）2+4∴当t=﹣2时，△ACP最大面积4.【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法进行求解.15．（1）y＝﹣x2；（2）3．【解析】【分析】（1）由图象形状和顶点相同，但开口方向不同可知二次项系数a互为相反数即可得出函数解析式.（2）利用抛物线解析式和点A的纵坐标求出A的坐标，把A的坐标代入y=kx-2，根据待定系数法求得解析式，然后解析式联立求得B的坐标，利用S△OAB=S△AOG+S△BOG求解即可．【详解】解：（1）形状与二次函数y＝x2的图象形状和顶点相同，但开口方向不同，此抛物线解析式为y＝﹣x2．（2）∵A点的纵坐标为﹣1，把y＝﹣1代入y＝﹣x2，解得x＝±1，∴A（1，﹣1）或（﹣1，﹣1）把A（1，﹣1）代入y＝kx﹣2得，﹣1＝k﹣2，解得k＝1，把A（﹣1，﹣1）代入y＝kx﹣2得﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，∴一次函数表达式为y＝x﹣2或y＝-x﹣2，∴令x ＝0，得y ＝﹣2，∴G （0，﹣2），I .当一次函数表达式为y ＝﹣x ﹣2时，由一次函数与二次函数联立可得22y x y x =--⎧⎨=-⎩， 解得11x y =-⎧⎨=-⎩或24x y =⎧⎨=-⎩， ∴B （2，﹣4）， ∴S △OAB ＝S △AOG +S △BOG ＝()122+12⨯⨯＝3， II .同理证得当一次函数表达式为y ＝x ﹣2时，S △OAB ＝3，故△OAB 的面积为3．【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是分两种情况正确的求出点B 的坐标．16．（1）A （-4,0），B （2,0），C,0,4）；（2）12【解析】【分析】（1）在抛物线的解析式中，令x=0可以求出点C 的坐标，令y=0可以求出A 、B 点的坐标；（2）先求出E 点坐标，然后求出OA ，OC ，CE 的长计算面积即可.【详解】解：（1）当y=0时，212x --x+4=0，解得x 1=－4，x 2=2， ∴A （－4，0），B （2，0），当x=0时，y=4，∴C （0，4）；（2）y=212x -﹣x+4=12-（x+1）2+92，∴抛物线y=212x -﹣x+4的对称轴是直线x=－1， ∴E 的坐标为（－2，4），则OA=4，OC=4，CE=2，S 梯形AOCE =(24)4122+⨯= 【点睛】本题是对二次函数的基础考查，熟练掌握二次函数与x 轴，y 轴交点坐标的求解及梯形面积知识是解决本题的关键.17．(1)y ＝﹣x 2﹣2x+3；(2)P 点坐标为(﹣，﹣3)或(﹣1，﹣3)．【解析】【分析】（1）把A 与B 坐标代入求出a 与b 的值，即可确定出表达式；（2）先求出点C 的坐标，从而确定△ABC 的面积，再根据△PAB 的面积等于△ABC 的面积求出P 的坐标即可．【详解】解：(1)把A 与B 坐标代入得：933030a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩， 则该抛物线的表达式为y ＝﹣x 2﹣2x+3；(2)由抛物线解析式得：C(0，3)，∴△ABC 面积为12×3×4＝6， ∴△PAB 面积为6，即12×|y P 纵坐标|×4＝6，即y P 纵坐标＝3或﹣3， 当y P 纵坐标＝3时，可得3＝﹣x 2﹣2x+3，解得：x ＝﹣2或x ＝0(舍去)，此时P 坐标为(﹣2，3)；当y P 纵坐标＝﹣3时，可得﹣3＝﹣x 2﹣2x+3，解得：x ＝﹣，此时P 坐标为(﹣，﹣3)或(﹣1，﹣3)．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 18．（1）23y x =-；（2）作图见解析；（3）x ＜0，或x ＞3. 【解析】分析：（1）利用A 点在二次函数的图象上，进而利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）根据二次函数的性质以及反比例函数的性质画出草图即可；（3）利用函数图象以及交点坐标即可得出x 的取值范围．详解：（1）把点A （a ，-1）代入y 1=−13x 2， 得-1=−13a ， ∴a=3．设y 2=k x，把点A （3，-1）代入， 得 k=−3，∴y 2=−3． （2）画图；（3）由图象知：当x ＜0，或x 3时，y 1＜y 2．点睛：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及二次函数的性质和比较函数的大小关系，利用数形结合得出是解题关键．19．（1）221y x x =-++，顶点坐标()12P ，；（2）①120P BB ''∠=，②当63MNB S '∆=时，点N 的坐标为()47N -，或()27N --，.【分析】（1）把点A （-1，-2）B （0,1）代入2y x bx c =-++即可求出解析式；（2）①设抛物线平移后为()2112y x m =--++，代入点B’(0,-1)即可求出m ，得出顶点坐标 ()P '，连结P B '，P’B’，作P’H ⊥y 轴，垂足为H ，得P H '=，P’B=2求出tan P H P BH BH∠='='得60P BH ∠=',故可得P BB ∠''的度数②根据题意作出图形，根据旋转的性质与MNB S '∆=，解得三角形的高6h =；故设()7N a -，或()5N a ，分别代入221y x x =-++即可求出N 的坐标.【详解】（1）把点A （-1，-2）B （0,1）代入2y x bx c =-++得2=11b c c ---+⎧⎨=⎩解得=21b c ⎧⎨=⎩∴抛物线的关系式为：221y x x =-++，得y=-(x-1)2+2； ∴顶点坐标为()12P ，. （2）①设抛物线平移后为()2112y x m =--++，代入点B’(0,-1)得，-1=-(m-1)2+2解得11m =，21m =（舍去）；∴(212y x =-++，得顶点()P ' 连结P B '，P’B’，作P’H ⊥y 轴，垂足为H ，得P H '=，=2∵tan P H P BH BH∠='=' ∴60P BH ∠=',∴18060120P BB ∠=-=''.②∵2BB '=,2P B '=即BB P B '=',∴30BP B P B B ''''∠=∠=;∵线段P B ''以点B '为旋转中心顺时针旋转120，点P '落在点M 处; ∴90OB M ∠=',B M B P '=''∴//MB x '轴，23B M B P ''='=;设MNB ∆'在B M '边上的高为h ，得：632MNB B M h S '∆⋅'==，解得6h =； ∴设()7N a -，或()5N a ，分别代入221y x x =-++得 2721a a -=-++解得：4a =或2a =-∴()47N -，或()27N --，， 2521a a =-++方程无实数根舍去，∴综上所述：当63MNB S '∆=时，点N 的坐标为()47N -，或()27N --，.【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，并根据题意作出图形进行求解.20．（1）223y x x =+-；（2）22AE EC +=（3）D 的坐标为1013,39⎛⎫- ⎪⎝⎭ 或811,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）把点()0,3C 代入抛物线表达式即可求出m ，即可得到抛物线的解析式；（2）连接BC ,过点A 作AF BC ⊥于点F ，交y 轴于点E ，当A E F 、、 三点共线时，22AE EC +最小值为AF ，再根据由三角形面积公式得：11•·22BC AF AB OC =，即可求出22AF = ；（3） 过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点H ，设点D 的坐标为()2,23m m m +- ，利用tan tan DAB ACO ∠=∠即BH AOAH CO=，代入即可求出m 的值，再求出D 点坐标 【详解】解：（1）把点()0,3C 代入抛物线表达式得：9630m m ++= ， 解得：1m =-故该抛物线的解析式为：223y x x =+-（2）连接BC ,过点A 作AF BC ⊥于点F ，交y 轴于点E由223y x x =+-，得：()3,0B - ，()0,3C -OB OC ∴= ,即45ABC ∠=，4,32AB BC ∴==由三角形面积公式得：11•·22BC AF AB OC = 即：11324322AF ⨯=⨯⨯ ，解得：22AF =在Rt CEF ∆中，2EF =，2AE AE EF AF ∴=+=∴当A E F 、、 三点共线时，2AE EC +最小值为22AF =2222AE EC ∴+= （3）过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点H ，设点D 的坐标为()2,23m m m +-DAB ACO ∠=∠ tan tan DAB ACO ∴∠=∠，即BH AOAH CO=223113m m m +-∴=-或223113m m m --+=-解得：103m =-或1（舍去1m =），或1m =或83- （舍去1m =） 过点D 的坐标为1013,39⎛⎫- ⎪⎝⎭ 或811,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知三角函数的定义与性质及最值的求法. 21．（1）5；（2）8；（3）21329S (x 224=--+，92，见解析. 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得AB ＝AD ＝4，∠A ＝90°，∠BDA ＝45°＝∠DBA ，由平行线性质可得∠DFE ＝∠A ＝90°，∠DEF ＝∠DBA ＝∠EDF ＝45°，可得DF ＝1，AF ＝3，由勾股定理可求BF 的长；（2）由题意可得DF ＝EF ＝FH ＝2，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠BAE ＝∠FHE ＝∠BHA ，可得AB ＝BH ，由勾股定理可求AB 的长；（3）由三角形面积公式可求S △BEF ＝12EF×AF ＝12x （﹣x ）＝219224x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭由二次函数性质可得x ＝2时，S 取得最大值，即点E 是BD 中点，由旋转的性质和直角三角形的性质可证四边形JCEN 是矩形，可证CJ ⊥CE ． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝4，∠A ＝90°，∠BDA ＝45°＝∠DBA ， ∵EF ∥AB∴∠DFE ＝∠A ＝90°，∠DEF ＝∠DBA ＝∠EDF ＝45° ∴DF ＝EF∴DE DF ∴DF ＝1∴AF ＝AD ﹣DF ＝3∴BF 5（2）∵DF ＝EF ，DF ＝HF ＝2， ∴EF ＝2＝FH ∴∠FEH ＝∠FHE ∵EF ∥AB∴∠FEH ＝∠BAE ， ∴∠BAE ＝∠FHE ＝∠BHA ∴AB ＝BH∵在Rt △ABE 中，BF 2＝AF 2+AB 2， ∴（AB+2）2＝（AB ﹣2）2+AB 2， ∴AB ＝8，AB ＝0（不合题意舍去） ∴AB ＝8（3）如图，过点J 作JN ⊥BD 于，∵S△BEF＝12EF×AF＝12x（2x）＝2132924x⎛-+⎝⎭∴当x＝322时，S△BEF最大值为94，∵x＝322，∴EF＝32 2∵EF∥AB∴12 EF DE DFAB BD AD===∴BD＝2DE，AD＝2DF∵CB＝CD，BD＝2DE，∴CE⊥BD，BD＝2CE，∵旋转∴JD＝BD，∠JDB＝30°，又∵JN⊥BD∴JD＝2JN，∴BD＝2JN，∴JN＝CE，∵JN⊥BD，CE⊥BD∴JN∥CE，且CE＝JN∴四边形JCEN是平行四边形，∵JN⊥BD∴四边形JCEN是矩形∴CJ⊥CE【点睛】本题是四边形综合题，正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转的性质，二次函数的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．22．（1）A (1,0)、B (3,0)；（2）①2MO NH +=，②不会变化，tan FGO ∠=4. 【解析】 【分析】（1）令y =kx 2-4kx +3k=0，求得x 1=1,x 2=3,故A （1,0）B （3,0）（2）①过点 E 作 EK ⊥ x 轴于点k ，设 E (m , m 2-4m +3)，易证∆BKE ∽ ∆BHN , ∆AKE∽ ∆AOM ，则K KB KE KE A HB HN MO AO ，==，故23431m m m HN --+-=,24311m m m MO -+--=，求出NH = m -1, MO = -m + 3得()132MO NH m m +=-+-+=；②过点 E 作 EN ⊥ x 轴于点N ，作FH ⊥ x 轴于点H 过点 E作 EM ⊥ FH , 交 FH 的延长线于点 M ，设 F (n ,2n 2 - 8n + 6), E (a ,2a 2 - 8a + 6)当n > 3 时，不能满足∠FBA = ∠EBA ,当 n < 1，由∆FHB ∽ ∆ENB ，则N FH HBE NB=， 故2228632863n n w n a a a-+-=-+--，得：n + a = 2()22286286tan tan n n a a FM FGO FEM EM a n-+--+∠=∠==- ， = 8 - 2(n + a) = 4为定值，即tan ∠FGO 的值不变. 【详解】解：（1）令y =kx 2-4kx +3k=0，求得x 1=1,x 2=3,故A （1,0）B （3,0） （2）① y = x 2-4x +3 ，如图 1 过点 E 作 EK ⊥ x 轴于点k ，∵KE ∥HN ∥x 轴，∴∆BKE ∽ ∆BHN , ∆AKE ∽ ∆AOM ，设 E (m , m 2-4m +3)K KB KE KE A HB HN MO AO ，==，即：23431m m m HN --+-=,24311m m m MO -+--= 得： NH = m -1, MO = -m + 3()132MO NH m m ∴+=-+-+=②不会变化。
最新初中数学二次函数综合题及答案(经典题型)复习过程
二次函数试题论：①抛物线1212--=x y 是由抛物线221x y -=怎样移动得到的？ ②抛物线2)1(21+-=x y 是由抛物线221x y -=怎样移动得到的？③抛物线1)1(212-+-=x y 是由抛物线1212--=x y 怎样移动得到的？④抛物线1)1(212-+-=x y 是由抛物线2)1(21+-=x y 怎样移动得到的？⑤抛物线1)1(212-+-=x y 是由抛物线221x y -=怎样移动得到的？选择题：1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ）A -1B 2C -1或2D m 不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系D 圆的周长与半径之间的关系4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—25、抛物线y= 21x 2-6x+24的顶点坐标是（ ）A （—6，—6）B （—6，6）C （6，6）6、已知函数y=ax 2+bx+c,①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２A １ B ２ C ３ D ４7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则c b a + =c a b + =ba c+ 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -218、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ）二填空题：13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。
(专题精选)初中数学二次函数全集汇编及答案
（专题精选）初中数学二次函数全集汇编及答案一、选择题1．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点为(﹣1，3)，与x 轴的交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( )①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m ＜n ；②c ＝a+3；③a+b+c ＜0；④方程ax 2+bx+c ＝3有两个相等的实数根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】 试题分析：由抛物线与x 轴有两个交点，可知b 2-4ac ＞0，所以①错误；由抛物线的顶点为D （-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，所以②正确；由抛物线的顶点为D （-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x=2b a=-1，可得b=2a ，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选C ．考点：二次函数的图像与性质2．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）A ．原数与对应新数的差不可能等于零B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为21100m ， 设新数与原数的差为y 则2211100100y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵10100-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，21100m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．故答案选：D ．【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．3．对于二次函数()21202y ax a x a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，下列说法正确的个数是（ ） ①对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()2,1和()0,0两点；②若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有001x <<；③当0x ≥时，y 随x 的增大而增大；④若()14,P y ，()()24,0Q m y m +>是函数图象上的两点，如果12y y >总成立，则112a ≤-． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐个判断即可．【详解】 对于()21202y ax a x a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭当2x =时，142(2)12y a a =+-=，则二次函数的图象都经过点()2,1当0x =时，0y =，则二次函数的图象都经过点()0,0则说法①正确 此二次函数的对称轴为1212124a x a a-=-=-+ 0a <Q1114a∴-+> 01x ∴>，则说法②错误 由二次函数的性质可知，抛物线的开口向下，当114x a<-+时，y 随x 的增大而增大；当114x a ≥-+时，y 随x 的增大而减小 因11104a-+>> 则当1014x a <-≤+时，y 随x 的增大而增大；当114x a≥-+时，y 随x 的增大而减小 即说法③错误 0m >Q44m ∴+>由12y y >总成立得，其对称轴1144x a=-+≤ 解得112a ≤-，则说法④正确 综上，说法正确的个数是2个故选：B ．【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．4．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A．﹣1＜x＜1 B．﹣3＜x＜﹣1 C．x＜1 D．﹣3＜x＜1【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到答案.【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标是（﹣3，0），∴当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．所以答案为：D．【点睛】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x轴的一个交点即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标.5．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②3a+b＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个互异实根．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象和性质，开口向下，可得a<0，对称轴x=1，利用顶点坐标，图象与x轴的交点情况，对照选项逐一分析即可．【详解】①∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，∴当x ＝﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b +c ＜0，所以①不符合题意；②∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a＝1，即b ＝﹣2a ， ∴3a +b ＝3a ﹣2a ＝a <0，所以②不符合题意；③∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a-＝n ， ∴b 2＝4ac ﹣4an ＝4a （c ﹣n ），所以③符合题意；④∵抛物线与直线y ＝n 有一个公共点，∴抛物线与直线y ＝n ﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝n ﹣1有两个不相等的实数根，所以④符合题意．故选：B ．【点睛】 本题考查了二次函数的图象和性质的应用，二次函数开口方向，对称轴，交点位置，二次函数与一次函数图象结合判定方程根的个数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．6．在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点（x 1，m ）、（x 2，m ）、（x 3，m ），则x 1+x 2+x 3的结果是（ ） A ．3122m -+ B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D【解析】【分析】 根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果．【详解】 解：如图，在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点A （x 1，m ）、B （x 2，m ）、C （x 3，m ），∵y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）∴抛物线的对称轴为直线x ＝m+1， ∴232x x +＝m+1， ∴x 2+x 3＝2m+2， ∵A （x 1，m ）在直线y ＝﹣12x 上， ∴m ＝﹣12x 1， ∴x 1＝﹣2m ， ∴x 1+x 2+x 3＝﹣2m+2m+2＝2，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形．7．将抛物线243y x x =-+平移，使它平移后图象的顶点为()2,4-，则需将该抛物线（ ）A ．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位B ．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位C ．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位D ．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位【答案】C【解析】【分析】先把抛物线243y x x =-+化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】∵抛物线243y x x =-+可化为()221y x =--∴其顶点坐标为：(2,−1)，∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位．故选C.【点睛】本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.8．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）A．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）B．当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3 2C．当m≠0时，函数图象经过同一个点D．当m<0时，函数在x>14时，y随x的增大而减小【答案】D【解析】分析：A、把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B、令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．详解：因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；A、当m=﹣3时，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；B、当m＞0时，令y=0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0，解得：x1=1，x2=﹣12﹣12m，|x2﹣x1|=32+12m＞32，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32，此结论正确；C、当x=1时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）=0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．D、当m＜0时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=14m m -，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时，11114444m m m -=->，即对称轴在x=14右边，因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．故选D ．点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．9．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．0＜t ＜5B ．﹣4≤t ＜5C ．﹣4≤t ＜0D ．t ≥﹣4【答案】B【解析】【分析】先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解；【详解】解：∵对称轴为直线x ＝2，∴b ＝﹣4，∴y ＝x 2﹣4x ，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4，∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5，∴﹣4≤t ＜5；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．10．如图，坐标平面上，二次函数y ＝﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？( )A．1 B．12C．43D．45【答案】D【解析】【分析】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．【详解】解：∵y＝﹣x2+4x﹣k＝﹣(x﹣2)2+4﹣k，∴顶点D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)，∴OC＝k，∵△ABC的面积＝12AB•OC＝12AB•k，△ABD的面积＝12AB(4﹣k)，△ABC与△ABD的面积比为1：4，∴k＝14(4﹣k)，解得：k＝45．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（）①c＞0；②b2－4ac＜0；③ a－b＋c＞0；④当x＞－1时，y随x的增大而减小．A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0，故③正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．12．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线1122y x=+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a＜98C．1≤a＜98或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜98【答案】C【解析】【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．【详解】∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，∴令1122x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0∴△＝9﹣8a＞0∴a＜9 8①当a＜0时，110111 aa++≤⎧⎨-+≤⎩解得：a≤﹣2∴a≤﹣2②当a＞0时，110111 aa++≥⎧⎨-+≥⎩解得：a≥1∴1≤a＜9 8综上所述：1≤a＜98或a≤﹣2故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，与x轴另一交点为A，顶点为B，若△AOB为等边三角形，则b的值为（）A3B．﹣3C．﹣3D．﹣3【答案】B【解析】【分析】根据已知求出B（﹣2,24b ba a-），由△AOB为等边三角形，得到2b4a＝tan60°×（﹣2ba），即可求解；【详解】解：抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，∴c＝0，B（﹣2,24b ba a-），∵△AOB为等边三角形，∴2b4a＝tan60°×（﹣2ba），∴b＝﹣3【点睛】本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键．14．一次函数y=ax+b 与反比例函数y=c x在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据题中给出的函数图像结合一次函数性质得出a ＜0，b ＞0，再由反比例函数图像性质得出c ＜0，从而可判断二次函数图像开口向下，对称轴：2b x a =-＞0，即在y 轴的右边，与y 轴负半轴相交，从而可得答案.【详解】解：∵一次函数y=ax+b 图像过一、二、四，∴a ＜0，b ＞0，又∵反比例 函数y=c x 图像经过二、四象限， ∴c ＜0，∴二次函数对称轴：2b x a=-＞0， ∴二次函数y=ax 2+bx+c 图像开口向下，对称轴在y 轴的右边，与y 轴负半轴相交， 故答案为B.本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y 轴的交点坐标等确定出a 、b 、c 的情况是解题的关键．15．二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．t ＞﹣5B ．﹣5＜t ＜3C ．3＜t≤4D ．﹣5＜t≤4【答案】D【解析】【分析】 先根据对称轴x=2求得m 的值，然后求得x=1和x=5时y 的值，最后根据图形的特点，得出直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4．【详解】∵抛物线的对称轴为x ＝2， ∴22m -=-，m=4 如图，关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x 2+mx 与直线y=t 的交点的横坐标当x=1时，y=3，当x=5时，y=﹣5，由图象可知关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解， 则直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，∴﹣5＜t≤4．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程有解，反映在图象上即图象与x 轴(或某直16．已知抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点．下列结论：①4c <；②当1x =时，y 有最小值2c -；③方程22420x x c -+-=有两个不等实根；④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则52c =；其中正确的结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B【解析】【分析】根据“抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点”即可判断①③；根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c 表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断④．【详解】解：∵抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点，∴2242x x c -+=有两个不相等的实数根，即22420x x c -+-=有两个不相等的实数根，故③正确，∴1642(2)0c ∆=-⨯⨯->，解得：4c <，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上，∴当x=1时，2y c =-为最小值，故②正确；若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则顶点（1，c-2）到直线y=2的距离等于两交点距离的一半，∵顶点（1，c-2）到直线y=2的距离为2-（c-2）=4-c ，∴两交点的横坐标分别为1-（4-c ）=c-3与1+（4-c ）=5-c∴两交点坐标为（c-3,2）与（5-c,2），将（c-3,2）代入224y x x c =-+中得：22(3)4(3)2c c c ---+= 解得：72c =或4c = ∵4c <， ∴72c =，故④错误， ∴正确的有①②③，故选：B ．【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系．17．抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数），0a >，顶点坐标为1(,)2m .给出下列结论：①若点1(,)n y 与点23(2)2n y -，在该抛物线上，当12n <时，则12y y <；②关于x 的一元二次方程210ax bx c m -+-+=无实数解，那么（ ）A ．①正确，②正确B ．①正确，②错误C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误【答案】A【解析】【分析】①根据二次函数的增减性进行判断便可；②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m ，再把m 代入一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误．【详解】解：①∵顶点坐标为1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,12n < ∴点（n ，y 1）关于抛物线的对称轴x=12的对称点为（1-n ，y 1）， ∴点（1-n ，y 1）与2322n y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在该抛物线的对称轴的右侧图像上, 31(1)2022n n n ⎛⎫---=-< ⎪⎝⎭Q 3122n n ∴-<- ∵a ＞0，∴当x ＞12时，y 随x 的增大而增大， ∴y 1＜y 2，故此小题结论正确； ②把1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y=ax 2+bx+c 中，得1142m a b c =++, ∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0中， △=b 2-4ac+4am-4a 2211444()4042b ac a a b c a a b a ⎛⎫=-+++-=+-< ⎪⎝⎭ ∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确；故选A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第①小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负．18．已知抛物线y=x2+2x上三点A（﹣5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2【答案】C【解析】【分析】首先求出抛物线y=x2+2x的对称轴，对称轴为直线x=-1；然后根据A、B、C的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解；由B离对称轴最近，A次之，C最远，则对应y的值大小可确定.【详解】∵抛物线y=x2+2x，∴x=-1，而A（-5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），∴B离对称轴最近，A次之，C最远，∴y2＜y1＜y3．故选:C．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．19．如图抛物线交轴于和点，交轴负半轴于点，且.有下列结论：①；②；③.其中，正确结论的个数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a、b、c的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论．【详解】解：根据图象可知a ＞0，c ＜0，b ＞0， ∴, 故③错误； ∵.∴B （-c ，0）∴抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A （-2，0）和B （-c ，0）两点， ∴， ac 2-bc+c=0 ∴，ac-b+1=0， ∴，故②正确； ∴，b=ac+1 ∴,∴2b-c=2，故①正确；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．20．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()1,2，将抛物线21322y x x =-+沿坐标轴平移一次，使其经过点P ，则平移的最短距离为（ ）A ．12B ．1C ．5D ．52【答案】B【解析】【分析】先求出平移后P 点对应点的坐标，求出平移距离，即可得出选项．【详解】 解：21322y x x =-+=()215322x --， 当沿水平方向平移时，纵坐标和P 的纵坐标相同，把y=2代入得：解得：x=0或6，平移的最短距离为1-0=1；当沿竖直方向平移时，横坐标和P的横坐标相同，把x=1代入得：解得：y=12 -，平移的最短距离为152=22⎛⎫--⎪⎝⎭，即平移的最短距离是1，故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能求出平移后对应的点的坐标是解此题的关键．。
初中数学二次函数综合题及答案
初中数学二次函数综合题及答案1.若二次函数y=2x^2+3x+6的顶点为(-1,1)，求其对称轴方程。
解：由题意，可知顶点坐标为(-1,1)，由二次函数的对称性可知对称轴方程为x=-12. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(1,4)，(2,9)，(3,16)，求该二次函数的表达式。
解：代入已知点(1,4)，(2,9)，(3,16)得到以下方程组：a+b+c=4(1)4a+2b+c=9(2)9a+3b+c=16(3)解以上方程组得到a=1，b=1，c=2，所以该二次函数的表达式为y=x^2+x+23. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴交于点(-1,0)和(2,0)，且过点(1,6)，求该二次函数的表达式。
解：由题意，可知x轴交点为x=-1和x=2，且过点(1,6)，代入得到以下方程组：a-b+c=0(1)4a+2b+c=0(2)a+b+c=6(3)解以上方程组得到a=2，b=4，c=0，所以该二次函数的表达式为y=2x^2+4x。
4. 二次函数y=ax^2+bx+c通过点(1,5)，并且关于直线x=3对称，求该二次函数的表达式。
解：由题意可知，该二次函数关于直线x=3对称，所以对称轴方程为x=3，代入点(1,5)得到以下方程组：a+b+c=5(1)9a+3b+c=5(2)解以上方程组得到a=-1，b=6，c=0，所以该二次函数的表达式为y=-x^2+6x。
5.已知二次函数的图象经过点(1,3)，且顶点坐标为(2,1)，求该二次函数的表达式。
解：由题意可知，该二次函数的顶点坐标为(2,1)，代入点(1,3)得到以下方程组：4a+2b+c=1(1)a+b+c=3(2)解以上方程组得到a=-1，b=4，c=0，所以该二次函数的表达式为y=-x^2+4x。
6.已知二次函数的图象经过点(1,-3)，且焦点在直线y=4上，求该二次函数的表达式。
解：由题意可知，该二次函数的焦点在直线y=4上，设焦点坐标为(x1,y1)。
初中数学二次函数综合复习基础题(含答案)
初中数学二次函数综合复习基础题一、单选题(共13道，每道8分)1.若二次函数的图象经过原点，则a的值必为（）A.1或2B.0C.1D.2答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数表达式2.在同一坐标系中，作，，的图象，它们的共同特点是()A.抛物线的开口方向向上B.都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大C.都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小D.都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数图象特征3.对于反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数的大致图象是（）A. B.C. D.答案：C试题难度：三颗星知识点：二次函数图象初步判定4.抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（）A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位答案：B试题难度：三颗星知识点：二次函数图像平移5.已知二次函数，当x=-1时有最大值，把x=-5，-2，1时对应函数值分别记为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A.y1＜y2＜y3B.y1＞y2＞y3C.y2＞y1＞y3D.y2＞y3＞y1答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数图像增减性、对称轴固定6.若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A. B.C. D.答案：C试题难度：三颗星知识点：二次函数图像增减性、对称轴固定7.（2011四川雅安）已知二次函数的图象如图，其对称轴为直线x=-1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0.则正确的结论是（）A.①②③④B.②④⑤C.②③④D.①④⑤答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数数形结合8.二次函数的图象经过点A（0，-3），B（2，-3），C（-1，0）．则此二次函数的表达式为（）A. B.C. D.答案：A试题难度：三颗星知识点：二次函数一般式9.有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线x=2；乙说：与x轴的两个交点距离为6；丙说：抛物线与x轴的交点和其顶点围成的三角形面积等于9，请选出一个满足上述全部条件的一条抛物线的解析式：（）A. B.C. D.答案：B试题难度：三颗星知识点：二次函数顶点式10.二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．求二次函数的解析式（）A. B.C. D.答案：A试题难度：三颗星知识点：二次函数交点式11.若直线与二次函数的图象交于A、B两点，求以A、B及原点O为顶点的三角形的面积（）．A. B.C. D.无法计算答案：C试题难度：三颗星知识点：二次函数初步综合12.设一元二次方程的两根分别为，，且，则，满足（）A. B.C. D.且答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数图象与方程、不等式13.设一元二次方程的两根分别为，，且，则二次函数的函数值y>m时自变量x的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B试题难度：三颗星知识点：二次函数图象与方程、不等式。
中考数学二次函数综合题(含答案)
热点专题8 二次函数综合题型《课程标准》对二次函数这一知识点的学习要求比较高，它最能体现初中代数的综合性和能力性，因此，二次函数在近几年中考试卷中已形成必不可少的题型,2019年中考中对二次函数的考查角度有所调整，将二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，促使我们在复习中把二次函数作为最核心的内容之一来学习，预计仍会以二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，在此过程中会以周长、面积、相似、等腰三角形，特殊四边形以及新定义问题为载体进行命题.考向1 二次函数之周长与最值问题1．（2019·常德中考改编）如图11，已知二次函数图象的顶点坐标为A （1，4），与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为（－1，0）． （1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值．解（1）设抛物线的解析式为y=()214a x -+，把B （－1，0）代入解析式得：4a ＋4=0，解得a =－1，xx yy备用图图11CADB B H N G DAMCOO∴y=－()214x -+=－223x x ++；（2）∵四边形MNHG 为矩形，∴MN ∥x 轴，设MG=NH=n ，把y=n 代入y=－223x x ++，即n =－223x x ++， ∴223x x n -+-=0，由根与系数关系得M N x x +=2，M N x x •=n －3， ∵()2M N x x -=()2+M N x x －4M N x x •， ∴()2M N x x -=4－4（n －3）=16－4n ，∴设矩形MNHG 周长为C ，则C=2（MN ＋MG ）=2（n ）2n ，令t ，则n =4－2t ，∴C=－22t ＋4t ＋8=－2()2110t -+， ∵－2＜0，∴t=1时，周长有最大值，最大值为10．考向2二次函数之面积问题2．（2019·衡阳）如图，二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A （－1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E .（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P 在线段OB （点P 不与O 、B 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN 、MB ，请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）把A （－1，0），B （3，0）代入y=x 2＋bx ＋c ，得01,093,b c b c =-+⎧⎨=++⎩解得2,3.b c =-⎧⎨=-⎩∴该抛物线的函数表达式为y=x 2－2 x －3； （2）∵CP ⊥EB ，∴∠OPE ＋∠BCP=90°，∵∠OPE ＋∠OEP=90°，∴∠OEP=∠BPC ， ∴tan ∠OEP=tan ∠BPC ．∴OP OE =BCPB． 设OE=y ，OP=x ，∴y x =43x-． 整理，得y=－14x 2＋x=－14（x －32）2＋916． ∴当OP=32时，OE 有最大值，最大值为916，此时点P 在（32，0）处.（3）过点M 作MF ⊥x 轴交BN 于点F ，∵N （0，－3），B （3，0）， ∴直线的解析式为y=－3 m.设M （m, m 2－2 m －3）,则MF=m 2－3m ，∴△MBN 的面积=12OB·MF=32( m 2－3m) =32( m －32) 2 －278.点M 的坐标为（32，－278）时，△MBN 的面积存在最大值.考向3 二次函数之等腰三角形问题3．（2019·兰州）二次函数22y ax bx =++的图象交x 轴于点（-1，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN ⊥x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒.（1）求二次函数22y ax bx =++的表达式；（2）连接BD ，当t=32时，求△DNB 的面积；（3）在直线MN 上存在一点P ，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标； （4）当t=54时，在直线MN 上存在一点Q ，使得∠AQC+∠OAC=90°,求点Q 的坐标.解：（1）将点A （-1，0），B （4，0）代入y=ax 2+bx+2，∴a=12-，b=32，∴213222y x x =-++；（2）设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，将点B （4，0），C （0，2）代入解析式，得：402k bb+=⎧⎨=⎩，解得：122kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴BC的直线解析式为122y x=-+，当t=32时，AM=3，∵AB=5，∴MB=2，∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），∴S△DNB =S△DMB -S△MNB =12×MB×DM-12×MB×MN=12×2×2=2；（3）∵BM=5-2t，∴M（2t-1，0），设P（2t-1，m），∵PC2=（2t-1）2+（m-2）2，PB2=（2t-5）2+m2，∵PB=PC，∴（2t-1）2+（m-2）2=（2t-5）2+m2，∴m=4t-5，∴P（2t-1，4t-5），∵PC⊥PB，∴47451 2125t tt t--•=---，∴t=1或t=2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）；（4）当t=54时，M（32，0），∴点Q在抛物线对称性x=32上，如图，过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x=32的交点分别为Q1与Q2，∵AB=5，∴AM=52，∵∠AQ1C+∠OAC=90°，∠OAC+∠MAG=90°，∴∠AQ1C=∠MAG，又∵∠AQ1C=∠CGA=∠MAG，∴Q1（32，52-），∵Q1与Q2关于x轴对称，∴Q2（32，52），∴Q点坐标分别为（32，52-），（32，52）.考向4 二次函数之相似三角形问题4．（2019·娄底）如图（14），抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A （－1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C ，且过点D （2，－3）．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线OD 下方时，求△POD 面积的最大值．（3）直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当△OBE 与△ABC 相似时，求点Q 的坐标．解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A （－1，0），点B （3，0），∴设抛物线的解析式为()()13y a x x =+-． 又∵抛物线过点 D （2，－3）， ∴()()21233a +-=-，∴1a =， ∴()()211323y x x x x =⨯+-=--．（2）如图，设PD 与y 轴相交于点F ，OD 与抛物线相交于点G ，设P 坐标为（2,23m m m --）， 则直线PD 的解析式为23y mx m =--，它与y 轴的交点坐标为F （0，－2m －3），则OF=2m+3．∴()()()21112323222ODP S OF D P m m m m ∆=⨯-=+-=-++点的横坐标点的横坐标 由于点P 在直线OD 下方，所以322m -<<． ∴当()1122214b m a =-=-=⨯-时，△POD 面积的最大值2211114933242416ODPS m m ∆⎛⎫=-++=-+⨯+= ⎪⎝⎭；（3）①由223y x x =--得抛物线与y 轴的交点C （0，－3），结合A （－1，0）得直线AC 的解析式为33y x =--， ∴当OE ∥AC 时，△OBE 与△ABC 相似； 此时直线OE 的解析式为3y x =-．又∵2233y x x y x ⎧=--⎨=-⎩的解为111232x y ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，221232x y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩；∴Q的坐标为⎝⎭和⎝⎭． ②如图，作EN ⊥y 轴于N ，由A （－1，0），B （3，0），C （0，－3） 得AB=3－(－1)=4，BO=3，=当BE OB BA BC=即4BE=时 ，△OBE 与△ABC 相似； 此时BE=又∵△OBC ∽△ONE ，∴NB=NE=2，此时E 点坐标为（1，－2），直线OE 的方程为2y x =-．又∵2232y x x y x ⎧=--⎨=-⎩的解为11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩；∴Q的坐标为-和(．综上所述，Q 的坐标为13,22⎛-+- ⎝⎭，13,22⎛--+ ⎝⎭，-，(．考向5 二次函数之特殊四边形问题5.（2019•广安）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧），与y 轴交于点N ，过A 点的直线:l y kx n =+与y 轴交于点C ，与抛物线2y x bx c =-++的另一个交点为D ，已知(1,0)A -，(5,6)D -，P 点为抛物线2y x bx c =-++上一动点（不与A 、D 重合）． （1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作//PE x 轴交直线l 于点E ，作//PF y 轴交直线l 于点F ，求PE PF +的最大值；（3）设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A 、D 的坐标代入直线表达式得：056k n k n -+=⎧⎨+=-⎩，解得：11k n =-⎧⎨=-⎩，故直线l 的表达式为：1y x =--，将点A 、D 的坐标代入抛物线表达式， 同理可得抛物线的表达式为：234y x x =-++；（2）直线l 的表达式为：1y x =--，则直线l 与x 轴的夹角为45︒， 即：则PE PE =，设点P 坐标为2(,34)x x x -++、则点(,1)F x x --，2222(341)2(2)18PE PF PF x x x x +==-++++=--+， 20-<，故PE PF +有最大值，当2x =时，其最大值为18；（3）5NC =，①当NC 是平行四边形的一条边时，设点P 坐标为2(,34)x x x -++、则点(,1)M x x --， 由题意得：||5M P y y -=，即：2|341|5x x x -++++=，解得：2x =±0或4（舍去0)，则点P 坐标为(23--或(2-，3-或(4,5)-；②当NC 是平行四边形的对角线时，则NC 的中点坐标为1(2-，2)，设点P 坐标为2(,34)m m m -++、则点(,1)M n n --，N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形，则NC 的中点即为PM 中点，即：122m n+-=，234122m m n -++--=，解得：0m =或4-（舍去0)， 故点(4,3)P -；故点P 的坐标为：(2+3--或(2，3-+或(4,5)-或(4,3)-．考向6 二次函数之角度存在性问题6. (2019·泰安) 若二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A(3,0)、B(0,－2),且过点C(2,－2).(1)求二次函数表达式;(2)若点P 为抛物线上第一象限内的点,且S △PBA =4,求点P 的坐标；(3)在抛物线上(AB 下方)是否存在点M,使∠ABO=∠ABM ？若存在,求出点M 到y 轴的距离;若不存在,请说明理由.解：(1)∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点(0,－2),∴c=－2,又∵抛物线过点(3,0)(2,－2)∴9320 4222a b a b +-=⎧⎨+-=-⎩,解得2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, ∴抛物线的表达式为224233y x x =--； (2)连接PO,设点P(224,233m m m --)；则S △PAB =S △POA +S △AOB －S △POB =2124113(2)32223322m m m ⨯⋅--+⨯⨯-⨯=23m m -,由题意得:m 2－3m=4,∴m=4,或m=－1(舍去),∴224233m m --=103, ∴点P 的坐标为(4,103).(3)设直线AB 的表达式为y=kx+n,∵直线AB 过点A(3,0),B(0,－2),∴3k+n=0,n=－2,解之,得:k=23,n=－2, ∴直线AB 的表达式为:y=23x －2, 设存在点M 满足题意,点M 的坐标为(t,224233t t --). 过点M 作ME ⊥y 轴,垂足为E,作MD ⊥x 轴交于AB 于点D,则D 的坐标为(t,23t －2), MD=2223t t -+,BE=|224+33t t -|. 又MD ∥y 轴,∴∠ABO=∠MDB,又∵∠ABO=∠ABM,∴∠MDB=∠ABM,∴MD=MB,∴MB=2223t t -+. 在Rt △BEM 中,2224+33t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭+t 2=22223t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,解之,得:t=118, ∴点M 到y 轴的距离为118.考向7 二次函数之新定义问题7．（2019江西省）特例感知：(1)如图1，对于抛物线121+--=x x y ，1222+--=x x y ，1323+--=x x y 下列结论正确的序号是 ；①抛物线1y ，2y ，3y 都经过点C(0，1)；②抛物线2y ，3y 的对称轴由抛物线1y的对称轴依次向左平移21个单位得到；③抛物线1y ，2y ，3y 与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.形成概念：(2)把满足12+--=nx x y n （n 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在(2)中，如图2.①“系列平移抛物线”的顶点依次为1P ，2P ，3P ，…，n P ，用含n 的代数式表示顶点n P 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：1C ，2C ，3C ，…，n C ，其横坐标分别为-k -1，-k -2，-k -3，…，-k -n(k 为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由；③在②中，直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点1A ，2A ，3A ，…，n A ，连接n n A C ，11--n n A C ，判断n n A C ，11--n n A C 是否平行？并说明理由.解：（1）对于抛物线121+--=x x y ，1222+--=x x y ，1323+--=x x y 来说，∵抛物线1y ，2y ，3y 都经过点C(0，1)，∴①正确；∵抛物线1y ，2y ，3y 的对称轴分别为：21)1(211-=-⨯--=x ，1)1(222-=-⨯--=x ，23)1(233-=-⨯--=x ， ∴抛物线2y ，3y 的对称轴由抛物线1y 的对称轴依次向左平移21个单位得到，∴②正确；∵抛物线1y ，2y ，3y 与直线y=1的另一个交点的横坐标分别为：-1、-2、-3， ∴抛物线1y ，2y ，3y 与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.∴③正确.答案：①②③；（2）①由12+--=nx x y n 可知，顶点坐标为n P （2n -，442+n ）， ∴该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式为144)2(44222+=+-=+=x x n y ； ②当横坐标分别为-k -1，-k -2，-k -3，…，-k -n(k 为正整数)，对应的纵坐标为：12+--k k ，122+--k k ，132+--k k ，…，12+--nk k ，∴1C 2C 2222)]12()1[()]2()1[(+---+--+-----=k k k k k k 2222)121()21(-+++--+++--=k k k k k k 21k +=，2C 3C 2222)]13()12[()]3()2[(+---+--+-----=k k k k k k 2222)1312()32(-+++--+++--=k k k k k k 21k +=，…， 1-n C n C 2222)}1(]1)1({[)}()]1({[+---+---+------=nk k k n k n k n k 2222]11)1([)1(-+++---++++--=nk k k n k n k n k 21k +=， ∴相邻两点的距离相等，且距离为：21k +.③将y=1代入12+--=nx x y n 可得112=+--nx x ，∴x=-n （0舍去）， ∴点1A （-1，1），2A （-2，1），3A （-3，1），…，n A （-n ，1）.∵当横坐标分别为-k -1，-k -2，-k -3，…，-k -n(k 为正整数)，对应的纵坐标为：12+--k k ，122+--k k ，132+--k k ，…，12+--nk k ，∴点1C （-k -1，12+--k k ），2C （-k -2，122+--k k ），3C （-k -3，132+--k k ），…，n C （-k -n ，12+--nk k ）.设n n A C ，11--n n A C 的解析式分别为：y=px+q ，y=mx+n ，则⎩⎨⎧+--=+--=+-1)(12nk k q p n k q np ，⎩⎨⎧+---=+---=+--1)1()]1([1)1(2k n k n m n k n m n ， 解得p=k+n ，m=k+n -1，∴p≠m ，∴n n A C ，11--n n A C 不平行.。
(完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)
二次函数总复习经典练习题1．抛物线y=－3x2＋2x－1 的图象与坐标轴的交点情况是( )(A) 没有交点．(B) 只有一个交点．(C) 有且只有两个交点．(D) 有且只有三个交点．2．已知直线y=x 与二次函数y=ax2－2x－ 1 图象的一个交点的横坐标为1，则 a 的值为( )(A)2 ．(B)1 ．(C)3 ．(D)4 ．3．二次函数y=x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ ABC的面积为( ) (A)6 ．(B)4 ．(C)3 ．(D)1 ．24．函数y=ax 2＋bx＋ c 中，若a> 0，b< 0，c<0，则这个函数图象与x 轴的交点情况是( )(A) 没有交点．(B) 有两个交点，都在x 轴的正半轴．(C) 有两个交点，都在x 轴的负半轴．(D) 一个在x 轴的正半轴，另一个在x 轴的负半轴．5．已知(2 ，5) 、(4 ，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c 上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是( ) a(A) x= ．(B) x=2．(C) x=4．(D) x=3．b6．已知函数y=ax2＋bx＋ c 的图象如图 1 所示，那么能正确反映函数y=ax＋ b 图象的只可能是( )7．二次函数y=2x2－4x＋5 的最小值是_____ ．28．某二次函数的图象与x轴交于点( －1，0) ，(4 ，0) ，且它的形状与y=－x2形状相同．则这个二次函数的解析式为_____ ．9．若函数y=－x2＋4 的函数值y> 0，则自变量x 的取值范围是______ ．10．某品牌电饭锅成本价为70 元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：801001101008060为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为元．11．函数y=ax 2－（a－3）x＋ 1 的图象与x 轴只有一个交点，那么 a 的值和交点坐标分别为12．某涵洞是一抛物线形, 它的截面如图3 所示, 现测得水面宽AB 1.6m, 涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m, 在图中的直角坐标系内, 涵洞所在抛物线的解析式为13．（本题8 分）已知抛物线y=x2－2x－2 的顶点为A，与y 轴的交点为B，求过A、B 两点的直线的解析式．14．（本题8分）抛物线y=ax2＋2ax＋a2＋2的一部分如图3所示，求该抛物线在y 轴左侧与x 轴的交点坐标．15．（本题8 分）如图4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a> 0）的顶点是C（0，1），直线l ：y＝－ax＋3 与这条抛物线交于P、Q两点，且点P 到x 轴的距离为2．（1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）求点Q的坐标．16．（本题8 分）工艺商场以每件155 元购进一批工艺品．若按每件200 元销售，工艺商场每天可售出该工艺品100 件；若每件工艺品降价 1 元，则每天可多售出该工艺品 4 件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？17．（本题10 分））杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐设施开放后，从第 1个月到第x 个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y=ax2＋bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元) ，g也是关于x 的二次函数．(1) 若维修保养费用第 1 个月为 2 万元，第 2 个月为 4 万元．求y 关于x 的解析式；(2) 求纯收益g 关于x 的解析式；(3) 问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？18(本题10分)如图所示，图4- ①是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱A3B3=50m，5 根支柱A1B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5 之间的距离均为15m，B1B5∥ A1A5，将抛物线放在图4- ②所示的直角坐标系中．(1) 直接写出图4- ②中点B1、B3、B5的坐标；(2) 求图4- ②中抛物线的函数表达式；(3) 求图4- ①中支柱A2B2、A4B4 的长度．B319、如图5，已知A(2，2)，B(3，0)．动点P( m，0)在线段OB上移动，过点P作直线l 与x 轴垂直．(1) 设△ OAB中位于直线l 左侧部分的面积为S，写出S与m之间的函数关系式；(2) 试问是否存在点P，使直线l 平分△ OAB的面积？若有，求出点P 的坐标；若无，请说明理由．更多学习方法和中高考复习资料，免费下载，扫一扫关注微信：答案：一、1．B 2 ．D 3 ．C 4 ．D 5 ．D 6．B二、 7．3 8 ．y =－ x ＋3x ＋4 9 ．－ 2< x <2 10 ．1301 115 211． a =0， （ ，0）；a =1，（－1，0）；a =9，（ ，0） 12 ． y x 23 3 413．抛物线的顶点为 （1，－ 3），点 B 的坐标为 （0，－ 2）．直线 AB 的解析式为 y =－x －2 14．依题意可知抛物线经过点 （1，0） ．于是 a ＋ 2a ＋ a 2＋ 2=0，解得 a 1=－1，a 2=－2．当 a = －1 或 a =－2 时，求得抛物线与 x 轴的另一交点坐标均为 （ －3，0）2 15． （1） 依题意可知 b =0，c =1，且当 y =2 时，ax 2＋1=2①，－ ax ＋3=2②．由①、②解得 a =1， x =1．故抛物线与直线的解析式分别为： y =x 2＋ 1，y =－ x ＋3；（2） Q （ －2，5）216．设降价 x 元时，获得的利润为 y 元．则依意可得 y =（45－x ）（100 ＋4x ）= －4x 2＋80x ＋4500， 即 y =－4（x －10）2＋4900．故当 x =10时， y 最大=4900（元）2217． （1） 将（1，2）和（2，6） 代入 y =ax 2＋bx ，求得 a =b =1．故 y =x 2＋x ；（2） g =33x －150－y ， 22即 g =－x 2＋32x －150；（3） 因 y =－（x －16） 2＋106，所以设施开放后第 16 个月，纯收益最大．令 g =0，得－ x 2＋ 32 x － 150=0．解得 x =16± 106 ，x ≈16－ 10.3=5.7（ 舍去 26.3） ．当 x =5 时， g <0， 当 x =6 时， g >0，故 6 个月后，能收回投资18．（1） B 1（ 30，0）， B 3 （0，30） ， B 5 （30，0） ；（2）设抛物线的表达式为 y a （x 30）（x 30） ，把 B 3 (0，30) 代入得 y a(0 30)(0 30) 30．1∴ a ．30∵所求抛物线的表达式为： y3）∵ B 4 点的横坐标为 15， 1 45∴B 4 的纵坐标 y 4 (15 30)(15 30) ．4 30 2∵ A 3B 3 50 ，拱高为 30，1 (x 30)(x 30) ． 30∴立柱A4B445 8520 (m) ．22由对称性知：85A2B2 A4B4 (m) ．2四、1 2 1 119．（1）当0≤m≤2时，S= m2；当2<m≤3时，S= ×3×2－（3 －m）（－2m＋6）= －m22 2 2＋6m－6．（2）若有这样的P点，使直线l 平分△ OAB的面积，很显然0<m<2．由于△ OAB3 1 3的面积等于3，故当l 平分△ OAB面积时，S= ．∴ m2．解得m= 3 ．故存在这样2 2 2的P点，使l 平分△ OAB的面积．且点P的坐标为（3 ，0）．。
(完整版)初中数学二次函数试题及答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关系式中，届丁二次函数的是（x 为自变量）（） _1。
_ 1A. '*B..「•C.「LD ； - ! !2. 函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是（） A. （1 , -4） B.（-1 , 2） C. （1 , 2） D.（0, 3）3. 抛物线y=2（x-3）2的顶点在（） A.第一象限 B.第二象限C. x 轴上D. y 轴上4. 抛物线* 丁 +冠斗的对称轴是（） A. x=-2B.x=2C. x=-4D. x=45. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）A. ab>0, c>0B. ab>0, c<0C. ab<0, c>0D. ab<0, c<06. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，贝U 点 .象限（） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a 丰0）的图象的顶点 图象交x 轴丁点A （m , 0）和点B,且m>4,那么 8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax 2+bx 的图象只可能是（）9. 已知抛物线和直线E 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对 称轴7.如图所示, P 的横坐标是4, AB 的长是（）A. 4+m C. 2m-8B. m D. 8-2m为直线x=-1 , P l（X1, y i）, P2（X2, y2）是抛物线上的点，P3（X3, y3）是直线£上的点，且-1<X1<X2, X3<-1,则y i, y2, y3的大小关，系是（）A. y1 <y2<y3B. y2<y3<y 1 ；''顼\ \芝C. y3<y1<y2D. y2<y1<y3 :10. 把抛物线A = 的图象向左平移2个单位，再向上平■移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）A.L—B. - / J如- D.-二、填空题（每题4分，共32分）11. 二次函数y=X2-2X+1的对称轴方程是.12. 若将二次函数y=X2-2X+3配方为y=（X-h）2+k的形式，贝U y=.13. 若抛物线y=X2-2X-3与X轴分别交丁A、B两点，则AB的长为14. 抛物线y=X2+bX+c，经过A（-1 , 0）, B（3, 0）两点，则这条抛物线的解析式为.15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴丁A、B两点，交y轴丁C点, 且△ ABC 是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0（m/s）竖直向上抛物出，在1不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：2（其中g是常数，通常取10m/s2）.若v0=10m/s,则该物体在运动过程中最高点距地面 m.17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2,且与y轴的交点坐标为(0, 3)的抛物线的解析式为.和(:*18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点 4 ，则y i的值是.三、解答下列各题(19、20每题9分,21、22每题10分，共38分)319. 若二次函数的图象的对称轴方程是a，并且图象过A(0, -4)和B(4,0)(1)求此二次函数图象上点A关丁对称轴对称的点A '的坐标；(2)求此二次函数的解析式；20. 在直角坐标平■面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交x 轴丁点A(XI, 0)、B(x2, 0),且(X I+1)(X2+1)=-8.(1) 求二次函数解析式；(2) 将上述二次函数图象沿x轴向右平■移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C,顶点为P,求z\POC的面积.21. 已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交丁A、B两点，其中A点坐标为(-1, 0),点C(0, 5),另抛物线经过点(1, 8), M为它的顶点.(1) 求抛物线的解析式；(2) 求/\ MCB 的面积，△ MCB.22. 某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件, 而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.答案与解析： 一、选择题1. 考点：二次函数概念.选A.2.考点：求二次函数的顶点坐标.解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求 .法二，将二次函数解析式由 一般形式转换为顶点式，即 y=a(x-h)2+k 的形式，顶点坐标即为 (h , k), y=x 2-2x+3=(x-1)2+2,所以顶点坐标为(1, 2),答案选C.3. 考点：二次函数的图象特点，顶点坐标.解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数 y=2(x-3)2的顶 点为(3, 0),所以顶点在x 轴上，答案选C.4.考点：数形结合，二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象为抛物线，其对称轴为抛物线 "-丁 +枣一'，直接利用公式，其对称轴所在直线为5.考点：二次函数的图象特征.抛物线与y 轴交点坐标为(0, c)点，由图知，该点在x 轴上方，」> 0答案选C.6.考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的 符号特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，，-'：.-一 > o,又《0,.,一 > 0,抛物线对称轴在y 轴右侧,*抛物线与y 轴交点坐标为(0, c)点，由图知，该点在 x 轴上方,解析:解析: 由图象，抛物线开口方向向下,抛物线对称轴在y 轴右侧,——> 又：队 < 0,「一 ab < 0,在第四象限，答案选 D.7.考点：二次函数的图象特征.解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的图象的顶点P的横坐标是4,所以抛物线对称轴所在直线为x=4,交xM丁点D,所以A、B两点关丁对称轴对称，因为点A(m , 0),且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C.8.考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状.解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，一小<o, &《a <o 2摩所以二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y轴左侧，交坐标轴丁(0, 0)点.答案选C.9.考点：一次函数、二次函数概念图象及性质.解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1 ,且-1<x1<x2,当x>-1时，由图象知，y 随x的增大而减小，所以y2<y1；乂因为x3<-1,此时点P3(x3, y3)在二次函数图象上方，所以y2<y1<y3.答案选D.10.考点：二次函数图象的变化.抛物线+做+ - 1矿+3的图象向左平移2个单位得到尸=-2折+ 1)+3 ,再向上平移3个单位得到乃-23 + W+6 .答案选C.、填空题11.考点：二次函数性质.汗二一攵二一己二1解析：二次函数y=x2-2x+1,所以对称轴所在直线方程*2答案x=1.12.考点：利用配方法变形二次函数解析式.解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.答案y=(x-1)2+2.13.考点：二次函数与一元二次方程关系.解析：二次函数y=x2-2x-3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2-2x-3=0 的两个根，求得x1=-1, x2=3，则AB=|x2-x1|=4.答案为4.14.考点：求二次函数解析式.1 —b+4=0解析：因为抛物线经过A(-1 , 0), B(3, 0)两点，曾死解得b=-2,c=-3,答案为y=x2-2x-3.15.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一.解析：需满足抛物线与x轴交丁两点，与y轴有交点，及△ ABC是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-1.16.考点：二次函数的性质，求最大值.解析：直接代入公式，答案：7.17.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一.解析：如：y=x2-4x+3.18.考点：二次函数的概念性质，求值.M提示L a3 +a-Fb3a3+a+1 +b3 =O r- (a+y)J+b a=0)答案：- 4三、解答题19.考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式解析：(1)A' (3, -4)b 3■-- =—2a 2l$a + 4b+ c =仁=—4(2)由题设知：L•■-y=x2-3x-4 为所求(3)20.考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式 .解析：(1)由已知x i, x2是x2+(k-5)x-(k+4)=0的两根、+ 与=—(k- 5)乂(x i + 1)(x2+1)=-8x1x2+(x1+x2)+9=0. .-(k+4)-(k-5)+9=0. . k=5•■-y=x2-9为所求(2)由已知平移后的函数解析式为：y=(x-2)2-9且x=0 时y=-5. .C(0, -5), P(2, -9)■- =]"罚=5a=-l解得=＞抛物线的解析式为c=5(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0 , x i=5 , x2=-1••• B(5, 0)由y = -x a+4x+5 = -(x-2)a+9，得M(2 , 9)作ME ± y轴丁点E,21.解：(1)依题意：a- b + c - 0,-c = 5a4b + c-8则"I I可得，△ MCB =15.22.思路点拨：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式：总利润=单个商品的利润X销售量.要想获得最大利润，并不是单独提高单个商品的利润或仅大幅提高销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最大.因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全可以找出总利润与商品的价格之间的关系，利用这个等式寻找出所求的问题，这里我们不妨设每件商品降价x 元，商品的售价就是(13.5-x)元了.单个的商品的利润是(13.5-X-2.5)这时商品的销售量是(500+200X)总利润可设为y元.利用上面的等量关式，可得到y与x的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润.解：设销售单价为降价x元.则y= (1S5 - jr - 2.5)(500+2001)=(11-为〔5。
初中数学二次函数大题专练10题(含答案解析)
1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，-3)，A点的坐标为(-1，0)。
（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标，并求出四边形ABPC的最大面积；（3）若点Q为抛物线对称轴上一动点，直接写出使△QBC为直角三角形的点Q的坐标。
2.如图，抛物线过，两点．备用图（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，且位于第一象限，当的面积为3时，求出点P的坐标；（3）过B作于C，连接OB，点G是抛物线上一点，当时，请直接写出此时点G的坐标．3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，连接．（1）求抛物线的解析式及点的坐标；（2）点在抛物线上，连接，当时，求点的坐标；（3）点从点出发，沿线段由向运动，同时点从点出发，沿线段由向运动，、的运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，、同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点，使、运动过程中的某一时刻，以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．5.如图，抛物线y= x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．6.如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B 在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值．7.如图，直线y=﹣x+ 分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+ 经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH 周长的最大值．8.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．10.如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）解：A(-1，0)，C(0，-3)在y=x2+bx+c 上，∴，解得∴二次函数的解析式为y=x2- 2x-3（2）解：在y=x2-2x-3中，令y=0可得0=x2-2x-3，解得x=3或x=-1，∴B(3，0)，且C(0，-3)，经过B，C两点的直线为y=x-3设点P的坐标为(x，x2-2x-3)如图，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，与直线BC交于点E，则E(x，x-3)∵S四边形ABPC=S△ABC+S△BCP= ×4×3+ (3x-x2)×3= x2+ x+6=(x )2+∴当x= 时，四边形ABPC的面积最大，此时P点坐标为( ，)，四边形ABPC的最大面积为（3）(1，)或(1，)或(1，2)或(1，-4)【解析】【解答】解：（3）∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴对称轴为x=1，∴可设Q点坐标为(1，t)∵B(3，0)，C(0，-3)，∴BQ2=(1-3)2+t2=t2+4，CQ2=12+(t+3)2=t2+6t+10，BC2=18∵△QBC为直角三角形，∴有∠BQC=90°，∠CBQ=90°和∠BCQ=90°三种情况．①当∠BQC=90°时，则有BQ2+CQ2=BC2，即t2+4+t2+6t+10=18，解得t= 或t= 。
初中数学二次函数综合题及答案(经典题型)印.pdf
选择题： 1、y=(m-2)xm2- m 是关于 x 的二次函数，则 m=（ ）
A -1 B 2 C -1 或 2 D m 不存在
2、下列函数关系中，可以看作二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是（ ）
A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B 我国人中自然增长率为 1%，这样我国总人口数随年份变化的关系
a
b
=
b+c a+c
A -1 B 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
=
a+b 1
C
2
的值是（ ）
1
D-
2
-1 0
x
8、已知一次函数 y= ax+c 与二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（
x ）
y
y
y
y
x
A
B
x
x
x
C
D
二填空题： 13、无论 m 为任何实数，总在抛物线 y=x2＋2mx＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线 x＝２，最小值为－２，则关于方程 ax2+bx+c＝－２的根为—
且交点 M 始终位于抛物线上 A、C 两点之间时，试探究：当 n 为何值时，四边形 AMCN 的面积取得最大值，并求出这个最大
值．
y
y
l:x＝n
M
A
A
O
B
D
C x
O
B
C
N
x
D
6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC 与 y 轴相交于点 M，且 M 是 BC
初二数学二次函数试题答案及解析
初二数学二次函数试题答案及解析1.发射一枚炮弹，经过x秒后炮弹的高度为y米，x，y满足y=ax2+bx，其中a，b是常数，且a≠0．若此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则炮弹达到最大高度的时刻是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒【答案】B【解析】由于炮弹在第6s与第14s时的高度相等，即x取6和14时y的值相等，根据抛物线的对称性可得到抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x="6+" =10，然后根据二次函数的最大值问题求解．∵x取6和14时y的值相等，∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=6+=10，即炮弹达到最大高度的时间是10s．故选：B．【考点】二次函数的应用．2.已知直线y=b（b为实数）与函数 y=的图像至少有三个公共点，则实数b的取值范围 .【答案】0<b≤1.【解析】先作函数图象，只要把图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折即可得到的图像，如图所示，因为函数顶点（2，-1）关于X轴对称的点（2,1），结合图像可看出实数b的取值范围是0<b≤1.【考点】二次函数的图像.3.已知抛物线上有一点M(x，)位于轴下方．(1)求证：此抛物线与x轴交于两点；(2)设此抛物线与轴的交点为A(，0)，B(，0)，且<，求证：<<．【答案】见试题解析.，)代入函数关系式，根据＜0，就【解析】(1)本小题只需证明，即△＞0．将M(x可以得到.(2)根据根与系数的关系可得，，∴，∴，故．试题解析：（1）∵上有一点M位于x轴下方，∴∴，∴，∴△＞0，∴此抛物线与x轴交于两点；（2）∵，，∴，∴，故．【考点】①二次函数与x轴的交点；②根与系数的关系；③配方法.4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．（1）若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝CF ，求证：△AED ≌△CFD ；（2）当点F 、E 分别从C 、A 两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA 、AB 运动，到点A 、B 时停止；设△DEF 的面积为y ，F 点运动的时间为x ，求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F 、E 分别沿CA 、AB 的延长线继续运动，求此时y 与x 的函数关系式．【答案】（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC ，为证明△AED ≌△CFD 提供了重要的条件；（2）；（3）【解析】（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC ，为证明△AED ≌△CFD 提供了重要的条件；（2）利用S 四边形AEDF =S △AED +S △ADF =S △CFD +S △ADF =S △ADC ="9" 即可得到y 与x 之间的函数关系式；（3）依题意有：AF=BE=x-6，AD=DB ，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，从而得到△ADF ≌△BDE ，利用全等三角形面积相等得到S △ADF =S △BDE 从而得到S △EDF =S △EAF +S △ADB 即可确定两个变量之间的函数关系式． （1）∵∠BAC=90° AB=AC=6，D 为BC 中点 ∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45° ∴AD=BD=DC ∵AE=CF∴△AED ≌△CFD （SAS ） （2）依题意有：FC=AE=x ， ∵△AED ≌△CFD∴S 四边形AEDF =S △AED +S △ADF =S △CFD +S △ADF =S △ADC =9 ∴S △EDF =S 四边形AEDF -S △AEF =9-(6-x)x=x 2-3x+9 ∴；（3）依题意有：AF=BE=x-6，AD=DB ，∠ABD=∠DAC=45° ∴∠DAF=∠DBE=135° ∴△ADF ≌△BDE ∴S △ADF =S △BDE∴S △EDF =S △EAF +S △ADB =(x-6)x+9=x 2-3x+9 ∴．【考点】动点问题的综合题点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.5. 某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元。
人教版初中数学九年级二次函数(经典例题含答案)
二次函数经典例题答案班级小组姓名成绩（满分120）一、二次函数（一）二次函数的定义（共4小题，每题3分，共计12分）例 1.下列函数：①225y xz =++；②258y x x =-+-；③2y ax bx c =++；④()()2324312y x x x =+--；⑤2y mx x =+；⑥21y bx =+（b 为常数，0b ≠）；⑦220y x kx =++，其中y 是x 的二次函数的有②⑥.例1.变式1.函数24233y x x =--中，a =3-，b =34，c =2-.例1.变式2.若()232my m x -=-是二次函数，且2m >，则m 等于（B）A.C. D.5例1.变式3.已知函数()22346mm y m m x -+=+-是二次函数，求m 的值.2122342:1,2602,31m m m m m m m m m -+===+-≠∴≠≠-∴ 解：由题意得：解得的值为（二）列二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例2.一台机器原价60万元，每次降价的百分率均为x ,那么连续两次降价后的价格y (万元)为（C ）A.()601y x =-B.()601y x =+ C.()2601y x =- D.()2601y x =+例2.变式1.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s (米)与时间t (秒)的数据如下表:写出用t 表示s 的函数关系式:22t s =.例2.变式2.矩形的长为x cm，宽比长少2cm，请你写出矩形的面积y (2cm )与x (cm)之间的关系式xx y 22-=.时间t (秒)1234…距离s (米)281832…例2.变式3.某商场将进价为每套40元的某种服装按每套50元出售时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装销售单价每提高1元，销量就减少5套.如果商场将销售单价定为x 元,请你写出每天销售利润y (元)与销售单价x (元)之间的函数表达式.[]2200075055)50(300)40(2-+-=⨯---=x x y x x y 即解：由题意得：二、二次函数的图象和性质（一）形如2y ax =和2y ax c =+的二次函数的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例3.对于二次函数2y x =-的图象，在y 轴的右边，y 随x 的增大而减小.例3.变式1.二次函数2y ax =的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内.（1）22y x =如图（D ）；（2）212y x =如图（C ）；（3）2y x =-如图（A）；（4）213y x =-如图（B）；（5）219y x =如图（F）；（6）219y x =-如图（E）.例3.变式2.与抛物线222y x =-+开口方向相同,只是位置不同的是（D）A.22y x =B.2211y x =- C.221y x =+ D.221y x =--例3.变式3.坐标平面上有一函数22448y x =-的图象,其顶点坐标为（C ）A.()0,2- B.()1,24- C.()0,48- D.()2,48（二）二次函数()2y a x h =-与()2y a x h k =-+的图像和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例4.将抛物线2y x =-向左平移2个单位长度后,得到的抛物线的表达式是(A )A.()22y x =-+ B.22y x =-+ C.()22y x =-- D.22y x =--例4.变式1.二次函数()221y x =-，当x 1<时,y 随着x 的增大而减小，当x 1>时,y 随着x 的增大而增大.例4.变式2.已知二次函数()2231y x =-+.有下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线3x =-；③其图象顶点坐标为(3，-1)；④当3x <时,y 随着x 的增大而减小.则其中说法正确的有（A ）A.1个B.2个C.3个D.4个例4.变式3.将抛物线21y x =+先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，那么所得抛物线的表达式是（B ）A.()222y x =++ B.()222y x =+- C.()222y x =-+ D.()222y x =--（三）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例5.二次函数225y x x =+-有(D)A.最大值为-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-6例5.变式1.如图是二次函数224y x x =-++的图象，使1y ≤成立的x 的取值范围是（D ）A.13x -≤≤B.1x ≤-C.1x ≥ D.13x x ≤-≥或例5.变式2.抛物线2y x bx c =++向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度，所得图象的表达式为223y x x =--，求b ，c 的值.,2234)21(:32324)1(3222222==∴+=+-+-=--=--=--=c b x x x y x x y x x x y 得个单位个单位，再向上平移向左平移将抛物线解：例5.变式3.如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列4个结论：①0abc <；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->，其中正确结论的有（B）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④三、确定二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例6.已知二次函数的图象的顶点坐标是（-2，-3），且经过点（0,5），求这个函数表达式.5823)2(22:53)20()5,0(3)2()3,2(),0()(22222++=-+=∴==-+∴-+=∴--≠++=x x x y a a x a y a k h x a y 解得此二次函数图象经过点又坐标为此二次函数图象的顶点达式为解：设此二次函数的表 例6.变式1.已知抛物线与y 轴交点的纵坐标为52-，且还经过（1，-6）和（-1,0）两点，求抛物线的表达式.22(0)5(0,),(1,6),(1,0)251226305215322y ax bx c a c a a b c b a b c c y x x =++≠---⎧⎧=-=-⎪⎪⎪⎪++=-=-⎨⎨⎪⎪-+=⎪⎪=-⎩⎩∴=---解：设抛物线表达式为将代入得：解得：抛物线表达式为：例6.变式2.已知，一抛物线与x 轴的交点是A（-2,0），B（1,0），且经过点C（2,8）.（1）求该抛物线的函数表达式；4224228240024)8,2(),0,1(),0,2()0(22-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+--≠++=x x y c b a c b a c b a c b a C a c bx ax y 抛物线表达式为：解得：代入得：将解：设抛物线表达式为（2）求该抛物线的顶点坐标.)29,21(2921(242222---+=-+=顶点坐标为：x x x y 例6.变式3.已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过A(-1,0),B(3,0),C (0,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴.（1）求抛物线的函数表达式;321)3,0()1)(3(2++-=∴-=+-=x x y a C x x a y 抛物线表达式为：代入，解得：将点线表达式为：解：由题意得：设抛物（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标.:,(2,3,,(1,0),(2,30123111,2(1,2)l C C C AC l P PAC AC y kx m A C k m k k m m AC y x x y P ''∴'∆''=+--+==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩'∴=+==解过直线作点的对称点）连接交直线于点此时的周长最小设直线表达式为将）代入得：解得：直线表达式为：令则点的坐标为：四、二次函数的应用（一）利用二次函数解决“面积最大问题”（共4小题，每题3分，共计12分）例7.小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积是（A）A.24cm B.28cm C.216cm D.232cm 例7.变式1.在Rt ABC ∆中，∠A=90°，AB=4,AC=3，D 在BC 上运动(不与B,C 重合),过点D 分别向AB,AC 作垂线,垂足分别为E,F,则矩形AEDF 的面积最大值为3.例7.变式2.如图,正方形ABCD 的边长为2cm,E,F,G,H 分别从A,B,C,D 向B,C,D,A 同时以0.5cm/s的速度移动,设运动时间为t(s).(1)求证:△HAE≌△EBF；)90,,:SAS EBF HAE B A EB HA BF AE （由题意得：解∆≅∆∴=∠=∠==(2)设四边形EFGH 的面积为S(2cm ),求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；)40(4221)5.02()5.0(901,5.02,5.0222222222≤≤+-=-+=+==∴∴=∠+∠∆≅∆+=∆-===t t t t t AE AH HE S HEFG AHE DHG EBF HAE AE AH HE AEH Rt t AH t AE DH 是正方形四边形可得）又由（中则解：由题意得 (3)t 为何值时,S 最小？最小是多少？222)2(21422122最小，最小为时，当S t t t t S =∴+-=+-=例7.变式3.在青岛市开展的创建活动中，某小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长度为40m 的栅栏围成(如图所示).若设花园BC 边的长为x m ，花园的面积为y 2m .(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；）（解：由题意得：15020212402≤<+-=-⋅=x x x x x y (2)满足条件的花园面积能达到2002m 吗?若能，求出此时的x 的值；若不能，请说明理由；.20015020,2002m x x x y 到此时花园的面积不能达的取值范围是而，时当∴≤<==(3)根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？.5.18715150,20202122m y x x y x x x x y 有最大值，最大值为时，当的增大而增大随范围内，在对称轴为直线线图象是开口向下的抛物=∴≤<=+-=（二）二次函数的综合运用（共4小题，每题3分，共计12分）例8.一件工艺品进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（A）A.5元B.10元C.0元D.3600元例8.变式1.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55y x =-+的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（B ）A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m例8.变式2.某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元?元租金高，每张床收费则为使租出的床位少且时，时，为整数，则又因为有最大值时，当则有元元，每天收入为个解：设每张床位提高1602031001120031120025.22100001000200)10100)(20100(202=⨯+======-=++-=-+=y x y x x y abx x x x x y y x 例8.变式3.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.(1)假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)3200242525048)(20002400(2++-=+--=x x x x y 由题意得：（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?元即每台冰箱应降价降价越多越好要使百姓得到实惠，则解得：得：代入将200200200,1004800320024252,30002425248002122=∴===++-++-==x x x x x x x y y (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？元。
完整版)初中数学二次函数综合题及答案
完整版)初中数学二次函数综合题及答案二次函数题选择题：1、若y=(m-2)x^2-m是关于x的二次函数，则m=（）A。
-1.B。
2.C。
-1或2.D。
m不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)模型的是（）A。
在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B。
我国人口自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C。
矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系D。
圆的周长与半径之间的关系4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x^2，则抛物线的解析式是（）A。
y=-(x-2)^2+2.B。
y=-(x+2)^2+2C。
y=-(x+2)^2+2.D。
y=-(x-2)^2-25、抛物线y=1/2x^2-6x+24的顶点坐标是（）A。
(-6,-6)。
B。
(-6,6)。
C。
(6,6)。
D。
(6,-6)6、已知函数y=ax^2+bx+c，图象如图所示，则下列结论中正确的有（）个①abc0.④2c<3bA。
1.B。
2.C。
3.D。
47、函数y=ax^2-bx+c（a≠0）的图象过点（-1，1），则b+c/a的值是（）A。
-1.B。
1.C。
-2.D。
2二填空题：8、已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（）A。
A。
B。
B。
C。
C。
D。
D13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x^2+2mx+m上的点的坐标是（）m,m）16、若抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，最小值为-2，则关于方程ax^2+bx+c=-2的根为（）1±√317、抛物线y=(k+1)x^2+k^2-9开口向下，且经过原点，则k=（）2或-2解答题：（二次函数与三角形）1、已知：二次函数y=x^2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，-2）．1）求此二次函数的解析式．解：因为对称轴为x=1，所以顶点坐标为（1，k），其中k为最小值．又因为经过点（2，-2），所以方程组4+2b+c=k1+b+c=k解得b=-3，c=2，k=0，所以二次函数的解析式为y=x^2-3x+2．2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△XXX的面积最大，并求出最大面积．解：易得B、C两点坐标分别为（0，2）和（3，0）．设点E的横坐标为x，则其纵坐标为y=x^2-3x+2．则△XXX的面积为S(x)=1/2(3-x)(x^2-3x+2-2)，化简得S(x)=-1/2x^3+9/2x^2-8x+3．对S(x)求导得S'(x)=-3/2x^2+9x-8，令其等于0得x=2或4/3，代入S(x)得S(2)=4和S(4/3)=16/27，故△XXX的最大面积为4，当且仅当E的坐标为（2，-2）时取得．2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0，4)，顶点为（1，2）．1）求抛物线的函数表达式；2）在抛物线上取一点P，作△ABC的高PH，交AB于点H，求证：PH=2BP．解：（1）因为抛物线与x轴交于A、B两点，所以其解析式为y=a(x-a)(x-b)，其中a<1<b．因为顶点为（1，2），所以方程组a(1-a)(1-b)=2a(b-a)(b-1)=4解得a=1/2，b=3/2，所以抛物线的函数表达式为y=1/2(x-1)^2+2．2）设点P的坐标为（x,y），则PH的长度为y-4，BP的长度为x-1．根据△ABC的面积公式得4=1/2y(x-1)，即y=8/(x-1)．又因为P在抛物线上，所以y=1/2(x-1)^2+2．将y代入上式得x^3-3x^2+2x-8=0，解得x=2或-1±√3．当x=2时，PH=2BP成立，当x=-1±√3时，PH≠2BP不成立．故结论成立．2、设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形。
初中函数综合试题(卷)(附答案解析解析)
二次函数与其他函数的综合测试题一、选择题：（每小题3分，共45分）1．已知h 关于t 的函数关系式为221gt h，（g 为正常数，t 为时间），则函数图象为（）（A ）（B ）（C ）（D ）2．在地表以下不太深的地方，温度y （℃）与所处的深度x （k m ）之间的关系可以近似用关系式y ＝35x ＋20表示，这个关系式符合的数学模型是（）（A ）正比例函数（B ）反比例函数．（C ）二次函数（D ）一次函数3．若正比例函数y ＝（1－2m ）x 的图像经过点A （1x ，1y ）和点B （2x ，2y ），当1x ＜2x 时1y ＞2y ，则m 的取值范围是（）（A ）m ＜0（B ）m ＞0（C ）m ＜21（D ）m ＞214．函数y = k x + 1与函数xyk 在同一坐标系中的大致图象是（）OxyOxyOxyOxy（A ）（B ）（C ）（D ）5．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数c xc aax y )(2与一次函数y ＝a x ＋c 的大致图像，有且只有一个是正确的，正确的是（）（A ）（B ）（C ）（D ）6．抛物线1)1(22x y的顶点坐标是（）A ．（1，1）B ．（1，－1）C ．（－1，1）D ．（－1，－1）7．函数y =a x +b 与y =a x 2+bx +c 的图象如右图所示，则下列选项中正确的是（）A ． a b >0， c>0 B． a b <0， c>0 C ． a b >0， c<0 D ． a b <0， c<08．已知a ，b ，c 均为正数，且k=bac cab cba ，在下列四个点中，正比例函数kxy 的图像一定经过的点的坐标是（）A ．（l ，21） B ．（l ，2） C ．（l ，－21） D．（1，－1）9．如图，在平行四边形ABCD 中，AC=4，B D=6，P 是BD 上的任一点，过P 作EF ∥AC ，与平行四边形的两条边分别交于点E ，F ．设BP =x ，EF =y ，则能反映y 与x 之间关系的图象为……………（）10．如图4，函数图象①、②、③的表达式应为（）（A ）x y 25，2x y，xy 4（B ）x y 25，2x y ，x y 4（C ）x y25，2xy，xy4A BCDEFP（D ）x y25，2x y，xy411．张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系（）12．二次函数y =x 2-2x +2有（）A ．最大值是 1B ．最大值是 2C ．最小值是 1 D．最小值是 213．设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是反比例函数y =x2图象上的两点，若x 1<x 2<0，则y 1与y 2之间的关系是（）A ．y 2< y 1<0B ．y 1< y 2<0C ．y 2> y 1>0D ．y 1> y 2>0 14．若抛物线y =x 2-6x +c 的顶点在x 轴上，则c 的值是 ( )A ． 9B ． 3C ．-9D ． 015．二次函数2332xxy 的图象与x 轴交点的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．不能确定二、填空题：（每小题3分，共30分）1．完成下列配方过程：122px x＝________________22px x＝____________2x；2．写出一个反比例函数的解析式，使它的图像不经过第一、第三象限：_________．3．如图，点P 是反比例函数2y x上的一点，P D ⊥x 轴于点D ，则△P OD 的面积为；4、已知实数m 满足022mm，当m =___________时，函数11m x m xym的图象与x 轴无交点．5．二次函数)1()12(22m x m x y 有最小值，则m ＝_________；6．抛物线322xxy向左平移5各单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为___________；7．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价__________；8．某学生在体育测试时推铅球，千秋所经过的路线是二次函数图像的一部分，如果这名学生出手处为A （0，2），铅球路线最高处为B （6，5），则该学生将铅球推出的距离是________；9．二次函数)0(2a c bxaxy的图像与x 轴交点横坐标为－2，b ，图像与y 轴交点到圆点距离为3，则该二次函数的解析式为___________；10．如图，直线)0(2k kxy与双曲线xk y在第一象限内的交点R ，与x 轴、y 轴的交点分别为P 、Q ．过R 作RM ⊥x 轴，M 为垂足，若△OPQ 与△PRM 的面积相等，则k 的值等于．三、解答题：（1－3题，每题7分，计21分；4－6题每题8分，计24分；本题共45分）1已知二次函数c bx xy 2的图像经过A （0，1），B （2，－1）两点．（1）求b 和c 的值；（2）试判断点P （－1，2）是否在此函数图像上？2．已知一次函数y kx k 的图象与反比例函数8yx的图象交于点P (4，n )．（1）求n 的值．（2）求一次函数的解析式．3．看图，解答下列问题．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；x第3题图y P DO（2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象．4．已知函数y=x2+bx-1的图象经过点（3，2）（1）求这个函数的解析式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x>0时，求使y≥２的x的取值范围．5．某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表所示：每件销售价（元）50 60 70 75 80 85 …每天售出件数300 240 180 150 120 90 …假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律．（1）观察这些统计数据，找出每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系，并写出该函数关系式．（2）门市部原设有两名营业员，但当销售量较大时，在每天售出量超过168件时，则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行，设营业员每人每天工资为40元．求每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大（纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计）6．如图，一单杠高 2.2米，两立柱之间的距离为 1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状．（1）（2）（1）一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；（2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4米的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳长正好各为2米，木板与地面平行．求这时木板到地面的距离（供选用数据：36.3≈１.8，64.3≈１.9，36.4≈２.1）7．已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2．（Ⅰ）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，试求m的值；（Ⅱ）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且△MNC的面积等于27，试求m 的值．参考答案：一、选择题： 1．A 2．D 3．D 4．B 5．D 6．A 7．D 8．A9．A 10．C 11．D 12．C 13．C 14．A 15．C 二、填空题：1．2p ，21p ，p ，21p．2y =x2 3． 1 4．2或－1 5．45 6．1082x xy7．10元或20元8．6＋52 9．3412xxy或3412x xy 10．22三、解答题：1．2．解：（1）由题意得：84n，2.n （2）由点P （4，2）在ykxk 上，24,kk 25k．一次函数的解析式为2255yx．3．解：（1）由图可知A （－1，－1），B （0，－2），C （1，1）设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c依题意，得121ab c c abc，，解得212a b c，，∴y ＝2x 2＋x －2．（2）y ＝2x 2＋x －2＝2（x ＋41）2－817∴顶点坐标为（－41，817），对称轴为x ＝－41（3）图象略，画出正确图象4．解：（1）函数y =x 2+bx -1的图象经过点（3，2）∴9+3b -1=2，解得b =-2 ．∴函数解析式为y =x 2-2x -1（2）y =x 2-2x -1=(x -1)2-2 ，图象略，图象的顶点坐标为（1，-2）（3）当x =3 时，y =2，根据图象知，当x ≥３时，y ≥２∴当x >0时，使y ≥２的x 的取值范围是x ≥3．5．解：（1）由统计数据知，该函数关系为一次函数关系，每天售出件数y 与每件售价x 之间的函数关系为：x y 6600．（2）当168y时，6006168x ，解得：72x；设门市部每天纯利润为z①当72x时，168y52807063406600402xx x z当70x时，5280maxz②当72x 时，168y 53207062406600402x x x z 70x 时，y 随x 的增大而减少72x时，52965320262max z 5280529672x当时，纯利润最大为5296元．6．（1）（2）解：（1）如图，建立直角坐标系，设二次函数解析式为y ＝ax 2＋c∵D （－0.4，0.7），B （0.8，2.2），∴．＝＋，＝＋2.264.07.016.0c a c a ∴．＝，＝2.0528c a ∴绳子最低点到地面的距离为0.2米．（2）分别作EG ⊥AB 于G ，FH ⊥AB 于H ，AG ＝21（AB －EF ）＝21（1.6－0.4）＝0.6．在Rt △AGE 中，AE ＝2，EG ＝22AG AE －＝226.02＝64.3≈1.9．∴ 2.2－1.9＝0.3（米）．∴木板到地面的距离约为0.3米．7．解： (I)设点Ａ（x 1，0），B (x 2，0) ，则x 1，x 2是方程x 2－mx ＋m －2＝0的两根．∵x 1 ＋x 2＝m ，x 1·x 2 =m－2 ＜0 即m ＜2；又AB ＝∣x 1 x 2∣＝121245x x x x 2（+），∴m 2－4m＋3=0 ．解得：m =1或m =3(舍去) ，∴m 的值为 1 ．（II ）设M (a ，b )，则N (－a ，－b ) ．∵M 、N 是抛物线上的两点，∴222,2.a ma m b ama m b L L ①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 ．∴a 2＝－m ＋2．∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N ．∴2am ．这时M 、N 到y 轴的距离均为2m ，又点C 坐标为（0，2－m ），而S △M N C = 27 ，∴2×12×（2－m ）×2m =27 ．∴解得m =－7 ．。
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二次函数题 选择题：１、y=(m-2)x m2- m 是关于ｘ的二次函数，则m=( ) A -1 B 2 Ｃ －１或2 D m 不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数y ＝ax ２＋b ｘ+c （a ≠0)模型的是( ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系Ｂ 我国人中自然增长率为１％，这样我国总人口数随年份变化的关系 Ｃ 矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是( ) A y=—( x-2）2+2 B y=—( x+2)２+2 C ｙ＝— （ ｘ＋2）2+2 D y=—( x-2)2—2 ５、抛物线y=21 x 2-６x+2４的顶点坐标是()A （—6,—6)B (—６,6）C (6,6)D （6,—6) 6、已知函数ｙ＝a ｘ２+bx+ｃ,图象如图所示，则下列结论中正确的有( )个 ①abc 〈0 ②a ＋c 〈b ③ a+b+ｃ 〉0 ④ ２ｃ〈3ｂ A １ B 2 Ｃ ３ Ｄ ４ 7、函数ｙ=ａx ２-bx+c(a ≠0)的图象过点(-１,0）,则cb a + ＝c a b + =ba c+ 的值是（ )A -1B 1C 21D －218、已知一次函数ｙ= ax+ｃ与二次函数y=ａx 2+bx+ｃ（a ≠0)，它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ）Ａ Ｂ C D二填空题:13、无论m 为任何实数,总在抛物线y=x 2+2ｍx ＋m 上的点的坐标是————————————。
16、若抛物线y ＝a ｘ2＋b ｘ＋c （ａ≠０）的对称轴为直线x ＝2,最小值为-2，则关于方程ax ２＋bx+ｃ=－２的根为————————————。
１7、抛物线y=（k ＋１)x 2+k 2-9开口向下，且经过原点,则k=—————————解答题：(二次函数与三角形)1、已知:二次函数ｙ＝x 2＋ｂx+c ，其图象对称轴为直线x ＝1，且经过点（2，﹣)．（1）求此二次函数的解析式.（2)设该图象与ｘ轴交于Ｂ、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△ＥBC 的面积最大，并求出最大面积．1 —1 0xyyx-1xyyxyxy2、如图,在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧）,与y 轴交于点C (0,4),顶点为(１，错误!). (1)求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点Ｄ，试在对称轴上找出点P ，使△C ＤP 为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P 的坐标．（3）若点Ｅ是线段ＡB 上的一个动点（与A 、B 不重合)，分别连接AC 、ＢC ,过点E 作ＥF ∥AC 交线段BC 于点F ，连接CE ，记△CEF 的面积为Ｓ，S 是否存在最大值?若存在,求出S 的最大值及此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图,一次函数y ＝－4ｘ-4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、Ｃ两点，抛物线ｙ＝43x 2+bx ＋c的图象经过A 、C 两点,且与x 轴交于点Ｂ． （1）求抛物线的函数表达式；(2)设抛物线的顶点为D ,求四边形A ＢD Ｃ的面积；（3)作直线MN 平行于x 轴，分别交线段AC 、B Ｃ于点M 、Ｎ.问在x 轴上是否存在点P ，使得△PMN 是等腰直角三角形?如果存在，求出所有满足条件的P 点的坐标;如果不存在,请说明理由．(二次函数与四边形）4、已知抛物线217222y x mx m =-+-． (1)试说明：无论ｍ为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；(2)如图,当该抛物线的对称轴为直线x =3时,抛物线的顶点为点C ，直线y =ｘ－1与抛物线交于A 、Ｂ两点,并与它的对称轴交于点D ．①抛物线上是否存在一点P 使得四边形AC ＰD 是正方形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由；②平移直线ＣD ,交直线AB 于点Ｍ,交抛物线于点Ｎ，通过怎样的平移能使得C 、D 、Ｍ、N 为顶点的四边形是平行四边形．COAyxDB C OAyxDB MNl :x ＝n5、如图，抛物线ｙ＝mx 2-１1mx +2４ｍ (m <0) 与x 轴交于Ｂ、C 两点(点B 在点C 的左侧）,抛物线另有一点Ａ在第一象限内,且∠BAC ＝90°.(1)填空：O Ｂ=_ ▲ ，OC ＝＿ ▲ ；(2）连接OA ，将△OAC 沿x 轴翻折后得△ODC ,当四边形OAC Ｄ是菱形时,求此时抛物线的解析式；(３)如图２,设垂直于x 轴的直线l ：ｘ=ｎ与（2）中所求的抛物线交于点M ,与ＣＤ交于点Ｎ,若直线l 沿x 轴方向左右平移，且交点Ｍ始终位于抛物线上Ａ、Ｃ两点之间时,试探究：当n 为何值时，四边形A ＭＣN 的面积取得最大值,并求出这个最大值.６、如图所示,在平面直角坐标系中，四边形ＡBCD 是直角梯形,BC ∥AD,∠BA Ｄ=９0°，ＢC 与y 轴相交于点M,且M 是ＢC 的中点,Ａ、B 、D 三点的坐标分别是A （ 1 0-，)，B （ 1 2-，),D （３，0）.连接ＤM,并把线段DM 沿DA 方向平移到ＯN.若抛物线2y ax bx c =++经过点D 、M 、N ．（1)求抛物线的解析式．(2)抛物线上是否存在点P,使得PA=ＰC,若存在，求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由．(3)设抛物线与ｘ轴的另一个交点为Ｅ,点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q 在什么位置时有|QE-Q Ｃ|最大?并求出最大值.７、已知抛物线223 (0)y ax ax a a =--<与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧）,与ｙ轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．(１）求A 、B 的坐标；（2)过点D 作DH 丄y 轴于点Ｈ,若ＤＨ=ＨC ，求ａ的值和直线CD 的解析式;（3)在第(２)小题的条件下，直线ＣD 与ｘ轴交于点E,过线段OB 的中点N 作N Ｆ丄x 轴,并交直线ＣD 于点F ，则直线N Ｆ上是否存在点Ｍ,使得点M 到直线CD 的距离等于点M 到原点Ｏ的距离?若存在,求出点M 的坐标;若不存在，请说明理由．(二次函数与圆)8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax ２+bx ＋c （ａ≠0)的图象经过M （1，0)和N （３,０)两点，且与ｙ轴交于Ｄ(0，3），直线l 是抛物线的对称轴．1)求该抛物线的解析式．2)若过点Ａ（﹣1,0)的直线AB 与抛物线的对称轴和ｘ轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式． 3）点Ｐ在抛物线的对称轴上，⊙Ｐ与直线AB 和ｘ轴都相切，求点P 的坐标.９、如图，y 关于x 的二次函数y ＝﹣（ｘ+ｍ)（x ﹣3ｍ)图象的顶点为M,图象交ｘ轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于D 点．以AB 为直径作圆，圆心为C.定点E 的坐标为(﹣3，0),连接ＥD.（m ＞0） （１)写出A 、Ｂ、D 三点的坐标；（2）当m 为何值时M 点在直线E Ｄ上?判定此时直线与圆的位置关系;（３)当m 变化时，用m 表示△AED 的面积S ，并在给出的直角坐标系中画出S 关于m 的函数图象的示意图。
1０、已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，且与x 轴交于A 、Ｂ两点.与y 轴交于点C.其中AI(1,0),C(0,3-).(１)（３分)求抛物线的解析式;（2)若点Ｐ在抛物线上运动(点P 异于点A ）.①（4分)如图l ．当△PBC 面积与△ABC 面积相等时．求点Ｐ的坐标；②（5分)如图2．当∠PCB=∠ＢＣA 时,求直线ＣP 的解析式。
答案:１、解:(1）由已知条件得，(2分)解得b=﹣,ｃ=﹣,∴此二次函数的解析式为ｙ=x 2﹣x ﹣；（1分）（2）∵x 2﹣x ﹣=0，∴x 1=﹣１，x ２=3，∴B(﹣1，０),C （3，0）,∴ＢC=4，（1分)∵E 点在x 轴下方，且△EBC 面积最大,∴E 点是抛物线的顶点,其坐标为(１,﹣3）,(1分)∴△EBC 的面积＝×4×3=6.(1分)2、（1）∵抛物线的顶点为(1,＼f(9,２)) ∴设抛物线的函数关系式为y =a ( x －1） ２+错误!∵抛物线与ｙ轴交于点C （0,4)， ∴ａ (0－1)2＋＼f （9，２）=4 解得ａ=-＼f(1，２)∴所求抛物线的函数关系式为y =-＼f(1,2)( x －1) ２+错误!（2)解:P 1 (1，＼r(,17)），P 2 (1，-，17)， Ｐ3 （1,８),P ４ (1,178）,(3）解:令－错误!（ x －1) 2+错误!＝0，解得x １＝-2，x 1＝4∴抛物线y ＝-错误!( x －1） 2+错误!与x 轴的交点为A (-２,0) Ｃ （4,0） 过点Ｆ作FM ⊥ＯＢ于点Ｍ,∵E Ｆ∥AC ,∴△BEF ∽△BAC ,∴MFOC＝＼ｆ(ＥB ,AB ) 又 ∵OC ＝4，AB =6,∴MF ＝错误!×ＯC ＝错误!EB设E 点坐标为 (ｘ，0）,则ＥB =４-x ,MF ＝＼f(2,3) (4-x ) ∴S =Ｓ△BCE -S △BEF ＝错误! ＥB ·OC -错误! EB ·MF ＝错误! ＥＢ(ＯC －M Ｆ)=＼f(1,2） (4-x )[4-２３(4-x ）]=－错误!x 2＋错误!x +错误!=-错误!( x －1) 2＋3∵a ＝-＼f(1,3)＜0,∴S 有最大值 当x ＝1时,S 最大值=3 此时点E 的坐标为 (１,0） 3、（１)∵一次函数y ＝-４x -4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点,∴A (－１,0) C （0，-４） 把Ａ （-１,0) C (0，-4)代入ｙ=错误!x 2+bx +c 得 ∴错误! 解得错误! ∴y ＝错误!ｘ2-错误!x －4(2)∵ｙ=错误!x 2-错误!ｘ－４＝错误!（ x -1) 2－错误! ∴顶点为Ｄ（１,－错误!） 设直线DC 交x 轴于点E 由D (１，-错误!）C (０，-４)易求直线CD 的解析式为y ＝－错误!x －4易求E (-3，0),B （3,0） Ｓ△EDB ＝1２×6×＼ｆ(１６,３)=16S △E ＣA =＼ｆ（1,２)×2×4＝4 S 四边形ＡBDC ＝S △ED Ｂ-S △E ＣA ＝12 (3)抛物线的对称轴为x =-1做BC 的垂直平分线交抛物线于E,交对称轴于点D 3 易求AB 的解析式为y ＝－错误!x +错误!∵D 3E 是BC 的垂直平分线 ∴D 3E ∥A Ｂ设Ｄ3E 的解析式为y =-３x +ｂ∵D ３E 交ｘ轴于（-1，0)代入解析式得b =-＼r(,3), ∴y ＝－＼r(,3)ｘ-错误!把ｘ＝-１代入得y =0 ∴D 3 （-1，０), 过B 做B Ｈ∥x 轴，则BH =1错误!在Ｒt △D 1ＨＢ中，由勾股定理得D 1Ｈ=错误! ∴D １（－1,错误!＋错误!)同理可求其它点的坐标。