【免费下载】概率论与数理统计案例

实例1 发行彩票的创收利润
某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润.解：设每张彩票中奖的数额为随机变量X , 则
X 10000
5000
1000
100
10
p
51/1052/10510/105100/1051000/100
p 每张彩票平均能得到奖金
05512
()10000500001010
E X p =⨯
+⨯++⨯ 0.5(),=元每张彩票平均可赚20.50.3 1.2(),
--=元因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为：100000 1.2120000().
⨯=元实例2 如何确定投资决策方向?
某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资?
解：设 X 为投资利润，则
X
8
-2p
0.3 0.7
()80.320.71(),
E X =⨯-⨯=万元存入银行的利息:故应选择投资.
1050.5(),%⨯=万元实例3　商店的销售策略
某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记使用寿命为X （以年计），规定
1,1500;12,2000;23,
2500;
3,3000.
X X X X ≤<≤<≤>一台付款元一台付款元一台付款元一台付款元10
,
1e
,0,()10
0,
0.x X x f x x Y
-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 设寿命服从指数分布概率密度为试求该商店一台家用电器收费的数学期望
解：1
1001{1}e d 10x P X x -≤=
⎰0.11e -=-0.0952,=21011
{12}e d 10x P X x -<≤=⎰0.10.2e e --=-0.0861,
=31021
{23}e d 10x P X x -<≤=⎰0.20.3e e 0.0779,
--=-=1031
{3}e d 10
x P X x +∞->=⎰0.3e 0.7408.
-==Y
因而一台收费的分布律为Y
1500
2000
2500
3000
p
0.0952 0.0861 0.0779 0.7408
()2732.15,E Y =得2732.15
.
即平均一台家用电器收费元例1 某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，可以认为每个电
话分机用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候?
解：
令，
),260,2,1(01 =⎩
⎨⎧=k k k X K 个分机不要用外线第个分机要用外线
第是260个相互独立的随机变量，且，
26021,,,X X X 04.0)(=i X E 表示同时使用外线的分机数，根据题意应确定最小的使
26021X X X m +++= x 成立。

由上面定理，有
%95}{≥<x m P ⎰∞
--≈⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--≤
--=<b t
dt e p p p x p p p
m P x m P 22
21)1(260260)
1(260260}{π查得，故，取，于是
95.09505.0)65.1(>=Φ65.1=b 61
.1504.026096.004.026065.1260)1(260≈⨯+⨯⨯⨯=+-=p p p b x 也就是说，至少需要16条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候。

例2 用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为100克，标准差为10克，一箱内装200袋味精，求一箱味精净重大于20500克的概率。

解： 设一箱味精净重为克，箱中第袋味精的净重为克，.
X k k X 200,,2,1 =k 是200个相互独立的随机变量，且，
20021,,,X X X 100)(,100)(==k k X D X E
2
100)(,20000)(,20000)()(20021===+++=X D X D X X X E X E 因而有 }
20500{1}20500{≤-=>X P X P
0002
.0)54.3(121005002
100200001=Φ-≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=X P 例3设一批产品的强度服从期望为14，方差为4的分布。

每箱中装有这种产品100件，问：
（1）每箱产品的平均强度超过14.5的概率是多少？（2）每箱产品的平均强度超过期望14的概率是多少？
解：设是第件产品的强度，相互独立，则
(1,2,,100)i X i = i 1100,,X X 记，则近似有
()14,var() 4.i i E X X ==100
1
1
100i i X X ==
∑，于是
14
~(0,1)0.2X N -==（1）1414.51414
{14.5}{
}{ 2.5}1(2.5)0.00620.20.20.2
X X P X P P φ--->=>=>≈-=可见，100件产品的平均强度超过14.5的概率非常之小。

（2）14141414
{14}{}{0}(0)0.50.20.20.2
X X P X P P φ--->=>=>≈=于是，100件产品的平均强度超过14的概率为50%。

例4
计算机在进行数字计算时，遵从四舍五入原则，为简单计，现在对小数点后面第一位
进行舍入运算，则舍入误差X 可以认为服从[-0.5,0.5]上的均匀分布，若独立进行了
100
次数字计算，球这些计算的平均舍入误差落在区间 上的概率。

[解：设是第次运算中产生的误差，相互独立，都服从[-
(1,2,,100)i X i = i 1100,,X X 0.5,0.5]上的均匀分布。

这时，则记，则近似有1
()0,var().12
i i E X X ==10011100i i X X ==∑
，于是平均舍入误差落在区间
100
100
1001
~(0,1)i
i Y X N ==
=
[
上的概率为
100100
11
1{{{33}(3)(3)0.9973100i i i i P X P X P X φφ==≤≤=≤≤=-≤≤≈--=∑例5某公司有200名员工参加一种资格证书考试。

按往年经验该考试通过率为0.8,。

试计算这200名员工至少有150人考试通过的概率。

解：设，依题意知，
1,(1,2,,200)0i i X i i ⎧==⎨
⎩ 第人通过考试
，第人未通过考试
是考试通过人数，且近似有
2001
{1}0.8,2000.8160,(1)32,i i i P X np np p X ====⨯=-=∑
，于是
200
~(0,1)N
200
200
200
1
{150} 1.77}1( 1.77)0.96
i i P X P P φ=≥=≥=≥-≈--=∑即至少有150名员工通过这种资格考试的概率为0.96。

例8某市保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年需交付保险费160元，若一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获2万元赔金。

已知该市人员一年内从此项业务所得到的总收益在20万到40万元之间的概率是多少？
解：设，依题意知，
1,(1,2,,5000)0i i X i i ⎧==⎨
⎩ 第个被保险人发生重大事故
，第个被保险人未发生重大事故。

，
是5000个被保险人中一年发生重大事故的人数，保险
5000
1
{1}0.005,25,i i i P X np X ====∑公司一年内从此项业务所得到的总收益为万元，于是
5000
1
0.01650002
i
i X
=⨯-∑
50005000
1
1
5000
{200.0165000240}{2030}
(1.0025)( 1.0025)0.6839
i i i i P X P X P φφ==≤⨯-≤=≤≤=≤≤≈--=∑∑。