1.4(1)命题的形式及等价关系
1.4命题的形式及等价关系 教案
第一章：集合与命题第四节：命题的形式及等价关系【知识梳理：】复习巩固：在初中，我们已学过命题，真命题，假命题。
命题：表示判断的语句。
真命题：正确的命题。
假命题：错误的命题。
命题 “全等三角形的面积相等”的条件与结论各是什么？本节将进一步研究命题与其有关的命题的概念。
例题讲解：1.1命题例1：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？1.个位数是5的自然数能被5整除；2.凡直角三角形都相似；3.上课请不要讲话；4.互为补角的两个角不相等；5.你是高一学生吗？结论：①命题必定由条件与结论两部分组成。
②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可）[说明]：构造反例有时候很不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段。
③真命题的确定：作出证明，方法⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧同一法反证法间接证明直接证明 [说明]:反证法既是一种重要的数学思想,也是命题证明的一种方法.1.2：推出关系：一般地，如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β”。
换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。
例2：设α表示“两个角是对顶角”，β表示为“两个角相等”，问能用“⇒”表示α、β之间关系吗？解：α⇒β关系成立，但反过来不行。
例3：在下列各题中，用符号“⇒”或“⇔”把α、β这两件事联系起来。
1. α：实数x 满足92=x ，β：3=x 或3-=x 。
（“α⇔β”）2. α：U B A = ，β：U B U A ==或（U 为全集）。
（“α⇒β”）3. α：B A ⊆，β：A B A = 。
（“α⇔β”）4. α：0=ab ，β：0=a 。
（“β⇒α”）课堂巩固：1.判断下列命题的真假（1）不含任何元素的集合是空集（2）0是{0,1,2}的真子集（3）A,B 为两个集合，如果A ∩B=A ，那么B A ≠⊂ 2.用符”号⇔⇐⇒、、”表示下列事件的推出关系：（1）：αAB C ∆是等边三角形；：βAB C ∆是轴对称图形，α β；（2）：α实数x 适合12=x ；：β1=x ，α β课堂练习：在下列各题中，用符号“⇒”或“⇒”或“⇔”把α、β这两件事联系起来：（1） α：x 适合方程0652=+-x x ，β：3x 2==或x ；（2） α：3x -=，β：3=x ；（3） α：B A ⊆，β：B B A = ；（4） α：集合N M =，β：A N N M =。
命题的形式及等价关系
根据命题正确与否，我们将命题分为真命题和假命题
一. 命题的概念 1. 命题是表示判断的语句.
基本形式：A是B，或A不是B；
通常用陈述句表示.
注意：“是”和“不是”不一定出现在
句中 2.
命题可以由条件和结论两部分组成
可以表示成：如果……，那么…… 若…… ，则……
反证法的证明思路： 证明命题p是真命题 要证明命题p成立，即证明非p不成立 理论依据
反证法的证明过程： 先假设非p成立，依据已经学过的公理、定理进行推理，推 出与已知或公理矛盾，这样就说明假设不成立，即p成立
反证法的证明过程：
先假设非p成立，依据已经学过的公理、定理进行推理，推 出与已知或公理矛盾，这样就说明假设不成立，即p成立
判断下列命题的真假并说明理由：
1.如果一元二次方程 ax2 bx c 0a 0满足 ac 0 ，
那么这个方程有实数根。
由ac 0 ac 0 4ac 0 b2 4ac 0 这个方程有实数根 所以该命题是真命题
2.如果一元二次方程 ax2 bx c 0a 0有实根，
§1.4 命题的形式及等价关系
一. 命题的概念 命题是表示判断的语句.
基本形式：A是B，或A不是B； 通常用陈述句表示.
注意：“是”和“不是”不一定出现在 句中
判断下列语句哪些是命题，哪些不是命题
（1）个位数为5的自然数能被5整除； （2）凡直角三角形都相似； （3）上课请不要讲话； （4）互为补角的两个角不相等； （5）你是高一学生吗？ （6）奇数和奇数相加是偶数
1. 命题是表示判断的语句.
2. 命题可以由条件和结论两部分组成 3. 命题的分类 4. 推出关系
1.4 命题的形式及等价关系 3：等价关系
分析：本例的逆否命题为：
如果AB AC，那么BD CE
E
D
B
1
2
C
例2、写出下列命题的其它三个命题：
T （1）设a,b都是实数，如果ab 0 ，那么 a,b中至少有一个为零。
T 逆命题：如果a,b中至少有一个为零，那 么 ab 0 。 T 否命题：如果 ab 0 ，那么a,b都不为零。 T 逆否命题：如果a,b都不为零，那么 ab 0 。
1.4命题的形式 及等价关系
3.等价命题
• 引例. 已知命题“两个有理数的和是有理数”。 • 写出上述命题的逆命题、否命题、逆否命题； • 判断上述四种命题的真假，并说明理由。
原命题：如果两个数都是有理数， 那么这两个数的和是有理数。 逆命题：如果两个数的和是有理数，
真 假 假 真
那么这两个数是有理数。
原命题
互否
互逆 互逆否
逆命题
互否
否命题
互逆
逆否命题
注：当我们证明某个命题有困难 时，就可尝试用证明它的逆否命题来 代替证明原命题。
1 sin ，则 30 如证明 感到困难时， 2
可以来证明它的逆否命题。
1 即： 30 时， sin 2
例1：已知BD、CE分别为 ABC的 B、C 的角平分线， BD CE 求证AB AC
2
2
逆否命题： 若x 0或y 0, 则x
y 0
2
说明：“且”的否定为“或”；“或”的否定为 “且”。
课堂小结
否命题：如果两个数不都是有理数， 那么这两个数的和不是有理数。 逆否命题：如果两个数的和不是有理数， 那么这两个数不都是有理数。
等价等价 命题。记作
浦东新王牌暑假班高一数学暑假班晋s老师命题的形式及等价关系
1.4命题的形式及等价关系 教学目的：：1.理解四种命题之间的互相关系，能由原命题写出其他三种形式；2.知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；3.掌握等价关系的概念，初步掌握反证法。
4.理解充分、必要条件的概念；5.掌握充分、必要条件的判断方法。
6.掌握集合的包含关系和推出关系、充分必要条件之间的联络。
教学内容：1、命题：可以判断对错的语句。
真命题：判断为正确的命题。
假命题：判断为错误的命题。
通常可以化简为：,αβ若则的形式。
2、推出关系：一般地，假设α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β〞。
换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。
3、传递性：α⇒β，β⇒γ，那么α⇒γ4、命题的四种形式：假设把命题：,αβ若则称为原命题；那么我们把命题：,βα若则，称为原命题的逆命题，简称逆命题。
命题：,αβ若则称为原命题的否命题，简称否命题。
命题：,βα若则成为原命题的逆否命题，简称逆否命题。
其中αβ和分别是αβ和的否认形式。
5、充分条件：一般地，用α、β分别表示两件事，假设α成立，可以推出β也成立，即α⇒β，那么α叫做β的充分条件。
[说明]：①可以解释为：为了使β成立，具备条件α就足够了；②可进一步解释为：有它即行，无它也未必不行；③结合实例解释为：x = 0 是xy = 0 的充分条件，xy = 0不一定要 x = 0.6、必要条件：假设β⇒α，那么α叫做β的必要条件。
[说明]：①可以解释为假设β⇒α，那么α叫做β的必要条件，β是α的充分条件；②无它不行，有它也不一定行；③结合实例解释为：如 xy = 0是x = 0的必要条件，假设xy ≠0，那么一定有 x ≠0；假设xy = 0也不一定有 x = 0。
注：根据子集的定义，我们可以发现，将符合具有性质α的元素的集合记为A ，将符合具有性质β元素的集合记为B ，假设A B ⊆，那么αβ⇒,即αβ是的充分条件；反之，假设αβ⇒，那么A B ⊆，也即αβ若是的充分条件，那么由满足条件α的元素组成的集合是由满足条件β的元素组成的集合的子集。
上海地区高中一年级数学知识点归纳
高一数学知识点归纳第一章 集合与命题1.1集合与元素 （1）集合的概念常把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合. （2）集合中的元素集合中的各个对象叫做这个集合的元素,集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.重要结论：已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.1.3集合的基本运算 名称 记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A∅=∅ （3）A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）AA ∅= （3）AB A ⊇ AB B ⊇BA补集A C U{|,}x x U x A ∈∉且()()()B C A C B A C U U U ⋃=⋂ ()()()B C A C B A C U U U ⋂=⋃1.4命题的形式及等价关系（1）命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的述句.“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.（2）逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。
集合的运算(不等式单元复习基础知识与题型) (4)
§1.4命题的形式及等价关系（1）A 组1．判断下列语句是否为命题：(1)3>π； （ ）(2)5a =, 则5a ≥； （ ）(3)小可是医生； （ ） (4)3是无理数吗？ （ ）(5)9是65的约数； （ ）(6)连接A 、B 两点； （ ）是；是；是；否；是；否2．判断下列命题的真假：(1)0132=++x mx 是一元二次方程 。
（ ）(2)空集是任何集合的真子集。
（ ）(3))(0)1(2R x x ∈<-。
（ ）(4)若B B A A B A =⋃=⋂则,。
（ ）(5)三角形既有外接圆，也有内切圆。
（ ）假；假；假；真；真3．用符号⇔⇐⇒,,表示事件的推出关系：（1）:αABC ∆是等边三角形；:βABC ∆是轴对称图形。
αβ（2）:α一次函数b kx y +=的图像经过第一、二、三象限；:β:α一次函数bkx y +=中，0,0>>b k 。
α β（3）:α实数x 适合12=x ；:β1=x 。
α β⇐⇔⇒,,4．若C B B A ⇒⇒,，则A C 。
⇒5．若A B B A ⇒⇒,，则A B 。
⇔B 组填空题6． 已知命题0:>x P ，命题012:2=--x x Q 。
则“P 且Q ”的运算结果为_________；“P 或Q ”的运算结果为________________。
21+=x ；0>x 或21-=x7．“x 不大于y ”是指_______________。
y x y x =<或8．已知的推出关系是则命题βαβα,.:);,,,(:ca b d x R d c b a d cx b ax --=∈+=+_____。
),(⇔⇐⇒或填βα⇐。
9．d c b a >>且 d b c a +>+. ),(⇔⇐⇒或填⇒10．022=+y x 0=xy .),(⇔⇐⇒或填⇒11．如果c b a ,,为实数，设0:===c b a A ，c b a B ,,:至少有一个为0；0||:2=++c b a C ；则A B ；A C ；B C 。
命题公式间的逻辑等价关系
这些具体的逻辑等价式都被称为原来命题定律的代入实例。
II \ L_>
A, B构成的等价式A 1 B为重言式。
在此要注意区别“0”与
首先，“1”是一种逻辑联结词，是一种逻辑运算，A1பைடு நூலகம்的结果仍是一个命题公式。 I +2 (6 5)XVI593 =…
而逻辑等价“0”则是描述了两个公式A与B之间的一种逻辑关系，A 0 B表示“命题 公式A与命题公式B是逻辑等价的”，A 0 B的结果不是命题公式。
1
11
1
1
-=1.4.1命题公式间的逻辑等价
夕 最基本、最重要的逻辑等价公式:
1）双重否定律
A 会一I―iA 2) 幕等律
A AVA
A D AAA
3)交换律
AVB D BVA AAB D BAA
4）结合律
(AVB) VC D AV(BVC)
(AAB)AC D AA(BAC)
-1.4.1命题公式间的逻辑等价
1.4命题公式间的关系
-=1.4命题公式间的关系
公式间两类重要的关系：逻辑等价和逻辑蕴涵。
•=1.4.1命题公式间的逻辑等价
定义1.12
设A, B是两个命题公式，若对出现在A与B中的所有命题变元的任一组赋值， 公式A和B的真值都相同，则称公式A与B是逻辑等价或称逻辑相等，记作A0B. 逻 辑等价也称为等价的、逻辑等值的、等值的。
M 1.4.1命题公式间的逻辑等价
❷ 最基本、最重要的逻辑等价公式：
9） 同一律 AA1=A
AV0A
10） 排中律 AV—A 1
11） 矛盾律 A A —iA e 0
12） 蕴涵律 A—B e —AVB
13） 等价律 A〜B e （A—B）A （B—A）
1.4 命题的形式及等价关系
1.4 命题的形式及等价关系考点诠释1.命题：可以判断真假的语句叫做命题。
2.四种命题（1）四种命题：原命题：如果p ，那么q （或若p 则q ）；逆命题：若q 则p ； 否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p 。
（2）四种命题之间的相互关系若 则否命题原命题若 则若 则逆否命题互 逆互 逆互 为互为逆 否逆否互 否互 否q p 若 则逆命题q p q p q p这里，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题。
3.原命题与它的逆否命题同为真假，原命题的逆命题与否命题同为真假，所以对一些命题的真假判断（或推证），我们可通过对与它同真假的（具有逆否关系的）命题来判断（或推证）。
例题精析例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若1≤q ，则方程022=++q x x 有实根； （2）若y x ,都是奇数，则y x +是偶数； （3）若0=xy ，则00==y x 或思维引领本题考查四种命题及其真假判断。
.精辟分析（1）原命题是真命题；逆命题：若方程022=++q x x 有实根，则1≤q 是真命题； 否命题：若1>q ，则方程022=++q x x 无实根，是真命题； 逆否命题：若方程022=++q x x 无实根，则1>q 是真命题； （2）原命题是真命题；逆命题：若y x +是偶数，则y x ,都是奇数，是假命题； 否命题：若y x ,不都是奇数，则y x +不是偶数，是假命题； 逆否命题：若y x +不是偶数，则y x ,不都是奇数，是真命题； （3）原命题为真命题；逆命题：若00==y x 或，则0=xy ，是真命题； 否命题：若0≠xy ，则00≠≠y x 且，是真命题； 逆否命题：若00≠≠y x 且，则0≠xy ，是真命题；方法规律总结（1）“原命题”与“逆否命题”同真同假．．．．，“逆命题”与“否命题”同真同假．．．．，但“互逆”或“互否”的命题真假性未必相同。
1.4命题的形式及等价关系
3.四种命题形式
原命题：若，则； 逆命题：若，则；
否命题：若 ，则 ； 逆否命题：若 ，则 ．
例 2.写出命题：“一组对边平行 且两对角线相等的四边形是平 行四边形”的逆命题、否命题 和逆否命题．
例 3.下列词语的否定形式是什么？ 大于，一定是，且，都是， 都不是，至少有一个， 至多有一个．
1.4 命题的形式及等价关系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1.命题
可以判断真假的语句叫做命 题，命题通常用陈述句表述．正确 的命题叫做真命题，错误的命题叫 做假命题．
1.命题
一般地，命题是由题设(条件) 和结论两部分组成的，常写成“如
果 ，那么 ”的形式． 是题设， 是已知事项； 是结论，是由已知
事项推出的事项．
例如： “对顶角相等”．请把这个命
4.等价命题
一般地，原命题与它的逆否命题是同
真或同假的，即如果，那么 ；
如果 ，那么 ．
对于命题 A 与 B 来说，如果有 AB， 且 BA，那么，命题 A、B 叫做等价命 题．原命题与其逆否命题就是等价命题．
4.等价命题
例 5.判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)若实数 a、b 满足 a+b≠3，
则 a≠1 且 b≠2； (2)若实数 a 与 b 的积不是有理数，
则 a，b 至少有一个不是有理数．
例 6.写出命题：“若 a b 4， 则 a 1且 b 2 ”的逆命题、
否命题和逆否命题，并判断它
们的真假．
例 7.请写出 A B 的等价命题.
小结
1、命题； 2、推出关系； 3、四种命题形式； 4、等价命题.
xy
3.四种命题形式 一个命题由条件和结论两部分组成，
命题的形式及其等价关系
教学资源信息表命题的形式及等价关系上市高桥中学一、教学内容分析：根据命题的形式及等价关系的内容，教科书上分为三个课时.第一课时学习的内容是命题与推出关系；第二课时学习的内容是命题的四种形式；第三课时学习的内容是等价命题。
根据师训时黄老师提出的要求及考虑到本校学生的实际情况，我将这节课的内容分为了两课时，第一课时学习的内容是命题与推出关系及命题的四种形式，理解推出关系及命题证明的意义，会写出命题的四种形式.第二课时学习的内容先着重强调否命题的否定形式（既是新课，又是复习，同时也作为第二课时的引入部分），让学生发现命题的四种形式之间的相互关系，掌握等价命题的概念，能利用互为逆否命题的等价性来解决一些简单命题的证明。
命题的概念在初中已经出现，所以命题概念的教学不应是第一节课的重点，只须强调命题是一个可以判断真假的陈述句。
本节的教学重点是真命题与假命题证明的思想方法。
真命题的证明方法：可以从已知条件出发，根据已学的公理、定理、公式等应用推出关系，得出所要证明的结论。
也可应用间接证法，如反证法等证明方法。
假命题的证明方法：只需举反例，即举出一个满足命题的条件而不满足命题结论的例子。
在写命题的四种形式时。
学生有很难分清一个命题的条件与结论，此时可将给定的命题写成“如果…，那么…”的形式。
一个命题的否命题是将原命题的条件和结论都写成否定形式，这在教学中是一个难点，可多举一些例子进行说明。
“是”与“不是”是互相排斥的，用集合的观点看，两者的“并”是全集，两者的“交”是空集。
在第二课时中，注重学生通过实例发现互为逆否命题的两个命题是同真同假的。
学会在证明原命题困难的情况下，转而证明它的逆否命题。
如遇到“如果不…，那么不…”常可转化为证明它的逆否命题。
等价命题在数学上应用广泛，要知道两个互为逆否命题必等价，但等价命题不一定是互为逆否命题。
二、教学目标设计：能判断什么样的语句是命题，理解推出关系及命题证明的意义，掌握真命题与假命题证明的思想方法,理解命题的四种形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题、否命题与逆否命题，掌握等价命题的概念,通过利用互为逆否命题的等价性来解决一些简单命题的的证明。
1.4(1)(2)命题的形式及等价关系
1.4（1）命题与推出关系 导学单班级____________ 姓名____________ 学号______________一、学习目标：理解推出关系，会判断命题的真假。
二、学习过程：1、__________________________________叫做命题。
【说明】：通常用陈述句表述，“如果……，那么……”由题设和结论两部分。
2、 命题的类型：_____________________________。
3、练习：例1 下列语句哪些不是命题, 哪些是命题?1）3是15的约数2）3是15的约数吗3）上课请不要讲话4）0.2是整数5）个位数是5的自然数能被5整除6）互为补角的两个角不相等7)凡直角三角形都相似例2 判断下列命题的真假，并说明理由(1) 如果a ，b 都是奇数，那么积ab 也是奇数；(2) 若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有实根，则0ac <；提醒：要证明一个命题是假命题，只要____________________________这在数学上称为举反例。
而确定一个命题是真命题，就必须作出证明。
4、推出关系：①“αβ⇒”的意义______________________________________________。
②“αβ⇒/”的意义______________________________________________。
③“αβ⇔”的意义：_______________________________________。
【注意】1、推出关系满足传递性：αβ⇒，βγ⇒，那么αγ⇒2、通常在解题中代数式的变形必须是等价的，如求解方程例3 用符号,,⇒⇐⇔表示下列事件的推出关系：1）:0m α= :0mn β= ______________2）:αx = :β()0x x R >∈ ______________3）:α两直线平行 :β内错角相等 ______________4）:αx y > :β22x y x y +>+ _______________5）:α四边形ABCD 是平行四边形 :β四边形ABCD 是矩形 ________ 例4 写出与“一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有一正根，一负根” 等价的命题：1.4（2）四种命题形式及等价命题导学单班级____________ 姓名____________ 学号______________一、学习目标：理解四种命题的形式及其相互关系，能写出简单命题的逆命题、否命题与逆否命题。
命题的形式及等价关系
1.4 命题的形式及等价关系基础热身：(1)命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） .A 若2x ≥1，则x ≥1或x ≤1-.B 若11x -<<，则21x < .C 若1x >或1x <-，则21x > .D 若x ≥1或x ≤1-，则2x ≥1(2)命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在定义域内是减函数,则log 20a <”的逆否命题是（ ）A 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数B 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数C 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数D 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数知识梳理：1.命题：可以判断真假的语句叫做命题。
说明:(1)命题通常用陈述句表述。
数学中的定义、公理、定理等, 都是数学命题。
在数学中，一般只研究数学命题。
(2)命题一般地由条件、结论两部分组成。
命题常写成“如果α，那么β”的形式。
对于这样的命题，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论。
注意:α、β也都是命题，可能是简单命题，也可能是复合命题。
简单命题：不含逻辑联结词的命题。
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。
如：(1)3是12的约数.(2)3是12的约数且3是15的约数.2．判断命题的真假：正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。
（1） 确定一个命题是真命题必须作出证明；①直接证明；②间接证明（同一法、反证法）直接法：即从已知条件出发，依据所学过的公理，定理，公式进行逐步推理，从而得出结论。
高中数学高一第一学期1.4命题的形式及等价关系-导学案-沪教版(2019)
命题的形式及等价关系【学习目标】1．知道命题、真命题、假命题，理解命题的推出关系、等价关系，推出关系的传递性；2．在探究命题推出关系的过程中，体会举反例判断假命题的要领，初步会用推出关系的传递性证明一个命题是真命题的方法；3．能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系【学习重难点】重点：理解命题的推出关系。
难点：会判断四种命题的真假【学习过程】 一、知识梳理1．命题的定义用语言、符号或式子表达的，可以 叫做命题.注意：（1）命题定义的要点：一、能判断真假 二、陈述句（2）科学测想也是命题，因为随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它的真假.例如“在2012年前，将有人类登上火星”等2．命题的推出关系：一般地说，如果命题α成立可以推出命题β成立，那么就说由α可以推出β，并用记号“βα⇒”，读作“α推出β”。
也就是说，βα⇒表示以α为______、β为______的命题是______命题。
如果α成立不能推出β成立，记为“βα⇒/”，读作“α推不出β”。
换言之，βα⇒/表示以α为条件、β为结论的命题是______命题。
3．命题的真假判断为真的语句叫做 ，判断为假的语句叫做 .注意：（1）一个命题要么是真命题，要么是假命题。
（2）要判断一个命题是真命题，需进行论证，而要判断一个命题是假命题，只需 即可4．命题的结构命题的一般形式为“若p则q”,也可写成“如果p那么q”，“只要p就有q”等形式。
P 叫做，q叫。
注意（1）命题的一般形式为“若p则q”,但也有命题不是这种标准形式，我们可以通过分析命题的条件和结论，将命题改写为“若p则q”的形式。
（2）改写命题前后的真假性不发生变化。
（3）在将有大前提的命题改写为“若p则q”的形式时，大前提应保持不变，改后仍作为大前提，不要写在条件p中。
5．四种命题及其关系（1）四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q(p⇒q)；逆命题：；否命题：；逆否命题：。
命题的四种形式及关系
命题的四种形式及关系1. 什么是命题？在逻辑学中，命题是一个陈述句，它可以被判断为真或假。
命题是逻辑推理的基本单位，通过对命题的分析和组合，我们可以进行有效的推理和论证。
2. 命题的四种形式2.1 简单命题简单命题是最基本的命题形式，它不能再被分解为更小的命题。
简单命题通常用一个字母或一个词来表示，例如：P、Q、R等。
简单命题可以是真（True）或假（False）。
例如，“太阳从东方升起”这个陈述就是一个简单命题，它可以被判断为真。
2.2 复合命题复合命题由多个简单命题通过逻辑运算符连接而成。
常见的逻辑运算符有：•否定（Negation）：表示取反关系，用符号”¬“表示。
•合取（Conjunction）：表示与关系，用符号”∧“表示。
•析取（Disjunction）：表示或关系，用符号”∨“表示。
•条件（Implication）：表示蕴含关系，用符号”→“表示。
•双条件（Biconditional）：表示等价关系，用符号”↔“表示。
例如，命题”P并且Q”可以表示为P∧Q，命题”P或者Q”可以表示为P∨Q。
2.3 合取范式合取范式是一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的合取构成。
合取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。
例如，命题”(P∨Q)并且(¬R)“就是一个合取范式。
在合取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。
2.4 析取范式析取范式是另一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的析取构成。
析取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。
例如，命题”(P∧¬Q)或者R”就是一个析取范式。
在析取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。
3. 命题的关系3.1 等价关系两个命题被称为等价关系，如果它们具有相同的真值表。
换句话说，两个等价的命题在所有情况下都具有相同的真假值。
等价关系可以用双条件符号”↔“来表示。
例如，命题”P并且Q”和命题”Q并且P”是等价命题，可以表示为P∧Q ↔ Q∧P。
高中数学上册 1.4《命题的形式及等价关系》教案（4） 沪教版
命题教材：四种命题的关系目的：要求学生明白得四种命题的关系，并能利用那个关系判定命题的真假。
进程：一、温习：四种命题 提问：说出命题“假设两个三角形全等，那么这两个三角形相似”的逆命题、否命题、逆否命题。
（解答略）二、1．接温习提问：原命题与逆否命题互逆否，否命题与逆命题互逆否，逆命题与逆否命题互逆。
小结：得表：2．若是原命题为真，那么逆命题、否命题、逆否命题真假设何？例：原命题：“若 a =0 那么 ab = 0”是真命题逆命题：“假设ab = 0 那么 a = 0”是假命题否命题：“假设 a 0 那么 ab 0”是假命题 逆否命题：“假设 ab 0 那么 a 0”是真命题小结：原命题为真，逆命题不必然为真，否命题也不必然为真，逆否命题为真。
3．又例：假设四边形 ABCD 为平行四边形，那么对角线相互平分。
它的逆命题、否命题、逆否命题均为真。
三、例题： P32 例二 （略）又例：命题“假设 x = y 则 x 2 = y 2”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判定它的真假。
原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若p 则q逆否命题 若q 则p 否 互逆 互逆 互 否 互 否 互 为 逆 互 为 逆 否解：逆命题：假设x2 = y2则x = y （假，如x = 1, y = 1）否命题：假设x y 则x2 y2（假，如x = 1,y = 1）逆否命题：假设x2 y2则x y （真）又例：写出命题：“若x + y = 5则x = 3且y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判定它们的真假。
解：逆命题：假设x = 3 且y = 2 则x + y = 5 （真）否命题：假设x+ y 5 则x 3且y 2 （真）逆否命题：假设x 3 或y 2 则x + y 5 （假）四、作业。
2019-2020年高一数学上册必修11.4《命题的形式及等价关系》教案4篇
2019-2020年高一数学上册必修11.4《命题的形式及等价关系》教案4篇教学过程设计逆命题：若 x = 0或 y = 0 则 xy = 0否命题：若 xy0 则 x0且 y 0逆否命题：若 x0且 y 0 则xy0.常见词的否定词语是都是大于所有的任一个至少一个至多一个 P或q P且q词语的否定不是至少有一个（不都是不大于某些某一个一个也没有至少两个 P 且q P或 q若⌝p 则q逆否命题若⌝q 则⌝p4、四种命题及其形式原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题若┑p则┑q；逆否命题若┑q则┑p.5、若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件★当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若┑则┑”成立，6、反证法：步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。
命题一、选择：1、≥（ A ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D即不充分也不必要条件2、给出如下的命题：①对角线互相垂直且相等的平面四边形是正方形；②00=1；③如果x+y是整数，那么x,y都是整数；④<3或>3.其中真命题的个数是……( D )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 .3、已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件．那么是成立的：（ A ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件4、一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ C ）（A）（B）（C）（D）二、填空：5、写出“a,b均不为零”的（1）充分非必要条件是（2）必要非充分条件是：＿＿（3）充要条件是（4）非充分非必要条件是 06、在以下空格内填入“充分非必要条件”，“必要非充分条件”，“充要条件”，“非充分非必要条件”（1）“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充要条件（2）“a＞2且b＞2”是“a+b＞4且ab＞4”的充分非必要条件（3）的_______必要非充分________条件7、的一个充分不必要条件是_______________8、指出下列各题中甲是乙的什么条件？（1）甲：a、b、c成等比数列；乙：b2=ac______充分非必要条件_________________.（2）甲：______必要非充分________（3）甲：直线l1∥l2，乙：直线l1与l2的斜率相等______非必要非充分_____三、解答9、已知命题P：方程x2＋mx＋1=0有两个不相等的负根；Q：方程4x2＋4(m－2)x＋1=0无实根.若P或Q为真，P且Q为假，求m的取值范围.答案：10、试写出一元二次方程，①有两个正根②两个小于的根③一个正根一个负根的一个充要条件。
1.4命题的形式及等价关系
什么是命题？ 一、什么是命题？ 命题是可以判断真假的语句。 命题是可以判断真假的语句。 下列哪些语句是命题，哪些不是命题？ 例1、下列哪些语句是命题，哪些不是命题？如果是 命题，请判断它们的真假。 命题，请判断它们的真假。 个位数是5的自然数都能被5整除； （1）个位数是5的自然数都能被5整除； 上课请不要讲话； 直角三角形都相似； （2）直角三角形都相似；（3）上课请不要讲话； 互为补角的两个角相等； （4）互为补角的两个角相等； 如果两个三角形的三条边对应相等， （5）如果两个三角形的三条边对应相等，那么两个 三角形全等； 三角形全等； 你是一个高中生吗？ （6）你是一个高中生吗？
原命题： 原命题：
如果两个三角形都是正三角形， 如果两个三角形都是正三角形，那么这两个三角形相似 都是正三角形
真 假
逆命题： 逆命题：
如果两个三角形相似，那么这两个三角形都是正三角形 如果两个三角形相似，那么这两个三角形都是正三角形 都是
否命题： 否命题：
如果两个三角形不都是正三角形，那么这两个三角形不相似 如果两个三角形不都是正三角形， 不都是正三角形
1.4.2 四种命题形式
什么是原命题的逆命题？ 1、什么是原命题的逆命题？ 原命题：如果α 那么β 原命题：如果α，那么β。 将结论与条件交换，就得到原命题的逆命题： 原命题的逆命题 将结论与条件交换，就得到原命题的逆命题： 如果β 那么α 如果β，那么α。 命题(1):平行四边形的对角线互相平分。 命题(1):平行四边形的对角线互相平分。 (1):平行四边形的对角线互相平分 命题(2):对角线互相平分的四边形是平行四边形。 命题(2):对角线互相平分的四边形是平行四边形。 (2):对角线互相平分的四边形是平行四边形 命题(1)与对命题(2)互为逆命题。 命题(1)与对命题(2)互为逆命题。 (1)与对命题(2)互为逆命题
§1.4 (1)命题的形式及等价关系
说明：本系列教案,学案，经多次使用，修改，其中有部分来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。
为了一个课件，我们仔细研磨；为了一个习题，我们精挑细选；为了一点进步，我们竭尽全力；没有最好，只有更好！制作水平有限，错误难免，请多指教：28275061@【教学内容的课时安排】本章总共15课时，其中§1.4 (1)命题的形式及等价关系一、教学目标设计理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；掌握等价关系的概念.二、教学重点及难点了解命题的构成；会用举反例法说明一个命题为假命题；知道真命题需要证明.三、教学用具准备多媒体四、学过程设计(一)、复习回顾在初中，我们已学过命题，真命题，假命题.命题：表示判断的语句.真命题：正确的命题.假命题：错误的命题.命题“全等三角形的面积相等”的条件与结论各是什么？本节将进一步研究命题与其有关的命题的概念.[说明]通过学生回顾以前的知识，唤起他们原有认知结构中的知识结点，从而为下面的要学习的一些下位概念的同化和顺应提供最近发展区.(二)、讲授新课1．命题例1：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（1）个位数是5的自然数能被5整除；（2）凡直角三角形都相似；（3）上课请不要讲话；（4）互为补角的两个角不相等；（5）你是高一学生吗？结论：①命题必定由条件与结论两部分组成.②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可）.③真命题必须证明.2、推出关系：一般地，如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β”.换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题.例2：设α表示“两个角是对顶角”，β表示为“两个角相等”，问能用“⇒”表示α、β之间关系吗？例3：在下列各题中，用符号“⇒”或“⇔”把α、β这两件事联系起来.(1).α：实数x 满足92=x ，β：3=x 或3-=x ；(2).α：U B A = ，β：U B U A ==或（U 为全集）； (3).α：B A ⊆，β：A B A = ； (4).α：0=ab ，β：0=a3、α与β等价：如果α⇒β，β⇒α，那么记作βα⇔，叫做α与β等价4、传递性：α⇒β，β⇒γ，则α⇒γ（类比推出关系的传递性，你能再举一些具有传递关系的关系吗？说说看）三、巩固练习：课本P/17 练习1.4（1）——1，2，3四、课堂小结：本节课主要介绍了真假命题判断的方法及命题的推出关系.五、教学反思（1）命题的有关概念在初中平面几何中已经学过,因此可以通过具体的例子帮助学生回顾旧知,为以后进一步研究命题做好铺垫.在推出关系的教学中,要强调命题的条件和结论,要结合并集的概念强调“或”的三层含义.（2）理解推出关系具有传递性，为以后学习充要条件做好准备. （3）要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用.本单元中引进的数学符号、记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每一符号引进时，说明其意义，配备适当的例题、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运用这些符号.导学案§1.4 (1)命题的形式及等价关系学习目标⒈知道“命题”、“推出”的意义；知道命题的结构“如果α，那么β”．⒉．掌握真假命题判断的方法及命题的推出关系；理解“证明“的意义学习重点：学会找一个命题的条件和结论，了解推出关系的定义.学习难点：判断命题的真假并说明理由学习过程：一、知识回顾1、_________________语句叫做命题，命题通常用_______________表述._________________叫做真命题._________________假命题.2、在数学中常见的命题由_______与________两部分组成.二、新知导学1、推出关系：一般地，如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号_______表示，读作“_______”.换言之，α⇒β表示以____为条件，____为结论的命题是真命题.2、α与β等价：如果α⇒β，β⇒α，那么记作________ ___，叫做α与β.3、传递性：α⇒β，β⇒γ，则_____________.三、问题探究例1：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，请写出命题的条件与结论（1）如果两直线平行，那么同位角相等（2）全等三角形的面积相等（3）上课请不要讲话（4）你主动学习了吗？反思：命题必定由条件与结论两部分组成.例2：判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由.(1).个位数是5的自然数能被5整除；(2).凡直角三角形都相似；(3).互为补角的两个角不相等；说明：举反例，即：举出一个满足条件，不满足结论的例子.例3：设α表示“两个角是对顶角”，β表示为“两个角相等”，问能用“⇒”表示α、β之间关系吗？例4：在下列各题中，用符号“⇒”或“⇔”把α、β这两件事联系起来.(1). α：实数x 满足92=x ，β：3=x 或3-=x . __________(2). α：B A ⊆，β：A B A = .__________ (3). α：0=ab ，β：0=a .__________四、学习小结1. 用“或”、“且”、“非”填空：⑴ 若()()130x x -+=，则1x =_______3x =-； ⑵ 若0ab ≠，则0a ≠_______0b ≠； ⑶ 若0x ≥，则x 是_______负实数．2. 判断下列命题的真假（在题后括号中填“真”或“假”）：（1） 如果b a ,都是奇数，那么b a +是偶数……………………………（ ） （2） 一组对边平行且两对对角线相等的四边形是平行四边形…………（ ） （3） 如果2<a ，那么2<a ……………………………………………（ ） （4） 如果A B A = ，那么B B A = …………………………………（ ）3. 在下列各题中，用符号“⇒”或“⇐”或“⇔”把命题α与β联系起来．⑴ α：x 是方程2320x x -+=的根 β：2x =⑵ α：5x =- β：||5x =⑶ α：A B ⊆ β：A B A =（4）α：x 适合方程0652=+-x x ， β：3x 2==或x ；（5）α：B A ⊆， β：B B A = ；。
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1.4 (1)命题的形式及等价关系
上海市松江一中曹素玲
一、教学内容分析
命题的有关概念在初中平面几何中已学过，本章在此基础上对命题作较深入的研究，特别强调要确定命题真假都必须证明。
举反例既可以确定一个命题是假命题，同时它又是一个重要的数学思想。
推出关系是数学证明中最重要的逻辑关系。
教材用比较通俗的说法给出了推出关系的意义及符号。
教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念，这给我们今后证明一个命题为真（假）命题可转化该命题的等价命题（通常是逆否命题）为真（假）命题提供了理论依据。
本小节首先从初中数学的命题知识入手，给出推出关系，等价关系的概念，接着，讲述四种命题的关系，最后，在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法。
二、教学目标设计
理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；掌握等价关系的概念，初步掌握反证法。
三、教学重点及难点
理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据。
四、教学用具准备
多媒体
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、复习回顾
在初中，我们已学过命题，真命题，假命题。
命题：表示判断的语句。
真命题：正确的命题。
假命题：错误的命题。
命题“全等三角形的面积相等”的条件与结论各是什么？
本节将进一步研究命题与其有关的命题的概念。
[说明]通过学生回顾以前的知识，唤起他们原有认知结构中的知识结点，从而为下面的要学习的一些下位概念的同化和顺应提供最近发展区。
二、讲授新课
1．命题
例1：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（课本例题）
1.个位数是5的自然数能被5整除；
2.凡直角三角形都相似；
3.上课请不要讲话；
4.互为补角的两个角不相等；
5.你是高一学生吗？
解：1.真命题
它可以写成10k+5的形式（k是非负整数），而10k+5=5
（2k+1），所以10k+5能被5整除。
2.假命题
取三个角分别是900、450、450的直角三角形，它与三个角
分别是900、600、300的直角三角形不相似。
3.不是命题 不是判断语句。
4.假命题
取一个角为900，另一个角也为9000，它们是互补的，但
它们相等了.
5.不是命题 是疑问句，不是表示判断的陈述句。
结论：①命题必定由条件与结论两部分组成。
②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足
结论的例子，一个即可）
[说明]：构造反例有时候很不容易，要充分注意命题的条件和结论，
还要注意极端情况，或运用类比手段。
③真命题的确定：作出证明，方法⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧同一法反证法间接证明直接证明 [说明]:反证法既是一种重要的数学思想,也是命题证明的一种方法.
2、推出关系：
一般地，如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β”。
换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。
例2：设α表示“两个角是对顶角”，β表示为“两个角相等”，问能用“⇒”表示α、β之间关系吗？（补充例题）
解：α⇒β关系成立，但反过来不行。
例3：在下列各题中，用符号“⇒”或“⇔”把α、β这两件事联系
起来。
（补充例题）
1. α：实数x 满足92=x ，β：3=x 或3-=x 。
（“α⇔β”）
2. α：U B A = ，β：U B U A ==或（U 为全集）。
（“α⇒β”）
3. α：B A ⊆，β：A B A = 。
（“α⇔β”）
4. α：0=ab ，β：0=a 。
（“β⇒α”）
3、α与β等价：
如果α⇒β，β⇒α，那么记作βα⇔，叫做α与β等价
4、传递性：α⇒β，β⇒γ，则α⇒γ
三、巩固练习：
课本P/17 练习1.4（1）——1，2
四、课堂小结：
本节课主要介绍了真假命题判断的方法及命题的推出关系.
五、作业布置：
1、书面作业：P/20，习题1.4——1
2、拓展作业：在下列各题中，用符号“⇒”或“⇒”或“⇔”
把α、β这两件事联系起来：
（1） α：x 适合方程0652=+-x x ，β：3x 2==或x ；
（2） α：3x -=，β：3=x ；
（3） α：B A ⊆，β：B B A = ；
（4） α：集合N M =，β：A N N M =。
六、教学设计说明
（1）命题的有关概念在初中平面几何中已经学过,因此可以通过
具体的例子帮助学生回顾旧知,为以后进一步研究命题做好铺垫。
在推出关系的教学中,要强调命题的条件和结论,要结合并集的概念强调“或”的三层含义。
（2）理解推出关系具有传递性，为以后学习充要条件做好准备。
（3）要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用。
本单元中引进的数学符号、记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每一符号引进时，说明其意义，配备适当的例题、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运用这些符号。