地球表面两点间最短距离
知道两点经纬度求两点距离公式
知道两点经纬度求两点距离公式计算两点之间的距离是地理学中的一个基本问题。
在计算两点距离之前，我们首先需要明确计算距离的参考系。
通常情况下，我们使用经度（表示东西方的位置）和纬度（表示南北方的位置）来确定地球上的位置。
在计算两点之间的距离时，我们可以使用不同的方法。
其中，最常用的方法包括欧几里得距离、大圆距离和球面三角法。
1.欧几里得距离：欧几里得距离又称为直线距离，它是二维欧几里得空间中两点之间的直线上的距离。
对于平面上的两个点(x1,y1)和(x2,y2)，欧几里得距离公式如下：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)然而，由于地球是一个球体而不是一个平面，欧几里得距离并不适用于计算地球上两点之间的距离。
2.大圆距离：大圆距离也称为球面距离，它是地球上两点之间沿着地球表面的最短距离。
大圆距离公式如下：d=R*θ其中，R是地球的半径（通常取平均半径6371公里），θ是两点之间的中心角。
计算大圆距离时，我们需要先将经纬度转换为弧度，然后使用球面三角法计算中心角。
3.球面三角法：余弦定理公式如下：cos(c) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b) * cos(γ)其中，a和b是两个点分别与地球球心的连线与地球赤道的夹角，c 是两个点之间的中心角，γ是两个点之间的经度差。
为了计算中心角，我们需要首先将经纬度转换为弧度。
对于两个经纬度坐标点（φ1,λ1）和（φ2,λ2），其中φ表示纬度，λ表示经度，转换公式如下：φ = latitude * π / 180λ = longitude * π / 180然后，就可以使用余弦定理计算两点之间的距离了。
以上这些方法都可以计算两个经纬度坐标之间的球面距离。
对于一些较短距离的计算，例如在城市范围内，使用欧几里得距离可能是比较准确的。
对于大范围距离的计算，推荐使用球面三角法。
最后，还需要注意的是，上述公式都是基于地球模型的简化情况，实际地球的形状更接近于一个略扁的椭球体。
高中地理选择性必修1经度和纬度知识点专项练习题(一)
选择性必修1经度和纬度知识点专项练习题（一）一、单选题读世界局部地区某月等温线示意图,完成下面小题。
1．图中PQ两点间东西距离约为（）A．2200千米B．1100千米C．550千米D．275千米2．此时（）A．亚欧大陆等温线向南凸出B．北京、上海等盛行东南季风C．非洲最南端气候高温多雨D．地中海气候区温和多雨3．图中海峡（）A．是德雷克海峡B．沟通了北冰洋和太平C．终年封冻D．是俄罗斯和加拿大的分界线读“某国家略图”，完成下面小题。
4．图中国家所在的大洲是（）A．非洲B．大洋洲C．南美洲D．亚洲5．图中两座山位于（）A．北半球西半球B．北半球东半球C．南半球西半球D．南半球东半球6．图中城市基多位于北京的（）A．东南方B．东北方C．西南方D．西北方7．图中四段线段实际长度的比较，正确的是（）A．AB=AC=CD=BD B．AB=AC=BD>CD C．AC=BD>AB>CD D．AB>AC=BD>CD全球卫星导航系统（GNSS）技术可用于定位、导航。
若甲、乙两地的信号接收机显示的经纬度坐标为甲（80°25'01″N,77°06'58″E），乙（69°22'24″N,76°22'40″E）。
据此完成下列小题。
8．甲、乙两地的直线距离约为（）A．820千米B．1220千米C．1020千米D．1420千米9．甲地在乙地的（）A．西北方B．西南方C．东北方D．东南方10．晴朗的夜晚,同一时间两地观测到北极星的状况是（）A．两地都刚好露出地平线B．甲地看到的北极星仰角大于乙地C．甲地看到的北极星仰角小于乙地D．都看不到北极星北极航道是连接大西洋和太平洋的海上捷径。
随着全球气候变暖，北极冰区逐渐缩小，北极航道的商业价值越来越得到人们的关注。
自2013年“永盛”轮首航北极东北航道以来，中国货轮已经多次航行在这条航线上。
新高中地理高考专题01 地球与地图(精选练习)-备战2022年高考地理一轮复习考点帮(新高考专用)
专题01 地球与地图考点帮你练一、选择题（2021·江苏高三零模）尼泊尔拥有多条著名徒步旅行线路，是世界徒步旅行胜地。
2019年10月，小明乘机抵达加德满都，然后乘汽车前往博克拉，开始沿图示线路顺时针徒步旅行。
下图示意旅行线路及行程安排。
据此完成下面小题。
1．若汽车时速为50千米，小明从加德满都前往博克拉大约需要（）A．2小时B．4小时C．6小时D．8小时2．北京时间12：00时，小明在徒步前行中发现太阳位于自己的右前方，此时小明最可能位于（）A．①处B．②处C．③处D．④处【答案】1．B2．B【分析】1．从图中可知，加德满都和博克拉经度相差大约2°，两地纬度都接近30°，可以计算出两地距离为111千米×2×cos 30°，加上公路线的弯曲估算大约为200千米，汽车时速为50 千米，故大约需要4小时。
故选B。
2．根据所学知识可以计算出，当北京时间12∶00时，当地地方时在10;00 之前，正处于上午，太阳位于东南方。
由图中可以看出，当小明在②处时正向东走，太阳在其右前方，B正确。
③④处向南走，太阳位于左侧，C、D错误。
①处向西北方向走，太阳位于后方，A错误。
故选B。
（2021·北京高三一模）中国南极考察主要有三条航线：a航线（弗里曼特尔港一中山站）、b航线（霍巴特港一中山站）、c航线（利特尔顿港－长城站）。
读图,完成下面小题。
3．我国选择a航线的次数最多，主要考虑的是（）A．航程最短B．沿途补给C．顺风顺水D．避开海雾4．c航线（）A．跨越了南温带与南寒带B．跨越了日界线C．考察船上国旗常飘向东北D．考察船向东航行【答案】3．A4．B【分析】3．由图可知，与其他航线比较，a航线（弗里曼特尔港一中山站）航程最短，A正确；由图文材料无法推测a航线是否有沿途补给，B错误；a航线需穿越西风带和西风漂流，C错误；海雾主要是在寒暖流交汇海区或寒流经过的温暖海区或暖流经过的纬度较高的海区，与其他航线比较，a航线海雾状况不好判断，无特殊之处，D错误。
球面距离的几种证明方法
球面距离的几种证明方法
球面距离是指在椭球面上，任意两点之间的最短路径，它是椭球面上任意两点的距离。
在地球表面的航行中，球面距离是最常见的几何距离，它以地球表面的维度和经度表示。
需要定义两点的维度经度，使用数学计算就能求出两点之间的球面距离，求出的球面距离与实际距离无论大小都有较大的差异，所以球面距离的应用非常广泛。
在此，本文将介绍几种球面距离的证明方法。
第一种证明方法：三角形证明法。
通过建立两点之间的三角形，定义出三条边长，利用三角形和地球球面之间的特殊关系，可以计算出三角形的面积，进而确定两点之间的球面距离。
第二种证明方法：空间分析法。
通过对两点之间连接的弧的长度和圆心角的空间分析，可以求出两点之间的球面距离。
第三种证明方法：旋转投影法。
这种证明方法基于地球球面的旋转特性，将空间点图投影到局部圆锥曲面上，求出局部圆锥曲面上的距离，最终得出两点之间的球面距离。
第四种证明方法：GPS定位法。
GPS定位法是利用GPS定位技术，根据卫星定位两点坐标，通过计算得出两点的经纬度和高度，最后求出两点之间的球面距离。
第五种证明方法：椭球体参数法。
地球表面最短距离的计算
地球表面最短距离的计算摘要：本论文探讨在仅知经纬度的情况下，地球表面最短距离计算的问题。
本文通过利用极点、已知地点的地理坐标构建球面三角形，引入球面三角形的第一五元素公式；用经纬度代换公式中的球心角的角度（弧度），成功的解决了利用经纬度计算地球表面任意两地间最短距离的问题。
导出了通过经纬度求两地最短距离的公式，并简化了特殊情况下的计算公式。
非常适合于地理学习、全球定位与导航等问题中的最短距离计算。
（球面距离）=2πR•arcos[sinW1sinW2+cosW1cosW2cos(J1-J2)]/3600关键词：经纬度，球面距离，球面三角形，第一五元素公式，反余弦在地理科学的学习与应用中，我们时常遇到求地球表面两地间最短距离的情况。
在条件特殊时：如两点都在赤道上、或在同一经线上时较容易。
但当两地不再同一经线或赤道上时我们就难以获得准确答案。
笔者经过长时间的思考学习，总结了球面上任意两点间距离的计算方法，效果不错。
现介绍如下，以供大家参考。
1.公式推导球面距离，就是球面上经过这两点的大圆的劣弧的长度。
而地球表球面上每个地点的位置是由经度、纬度来确定的，如果能利用经纬度来计算球面距离，我们就可以确定任意两地间的球面距离（不考虑地形影响，下同）。
如左图：设M （W1，J1）、L（W2，J2）为地球表面两点，N为极点，表示两点之间的最短距离（球面距离），、分别表示极点至M、L的经线长。
依球面三角形概念可知：N、M、L共三点构成了球面三角形NML的三个顶点，、、构成了球面三角形的三条边。
它们的夹角、弧度、弧长等可根据球面三角形的性质进行相关计算得出。
为方便计算，按经纬度划分原则，将东经记为正，西经记为负；北纬记为正，南纬记为负。
例；东经60度记作J= +600、西经60度记作J =-600、北纬60度记作W=+600、南纬60度记作W=-600；用a、b、c分别表示三条边、、所对应的球心角，W1 W2分别M、L纬度,J1J2分别表示M、L两地的经度，A表示两地所在经线的夹角且小于1800，R为地球半径。
地球表面最短距离计算
地球表面最短距离的计算摘要：本论文探讨在仅知经纬度的情况下，地球表面最短距离计算的问题。
本文通过利用极点、已知地点的地理坐标构建球面三角形，引入球面三角形的第一五元素公式；用经纬度代换公式中的球心角的角度（弧度），成功的解决了利用经纬度计算地球表面任意两地间最短距离的问题。
导出了通过经纬度求两地最短距离的公式，并简化了特殊情况下的计算公式。
非常适合于地理学习、全球定位与导航等问题中的最短距离计算。
（球面距离）=2πrarcos[sinw1sinw2+cosw1cosw2cos(j1-j2)]/3600关键词：经纬度，球面距离，球面三角形，第一五元素公式，反余弦在地理科学的学习与应用中，我们时常遇到求地球表面两地间最短距离的情况。
在条件特殊时：如两点都在赤道上、或在同一经线上时较容易。
但当两地不再同一经线或赤道上时我们就难以获得准确答案。
笔者经过长时间的思考学习，总结了球面上任意两点间距离的计算方法，效果不错。
现介绍如下，以供大家参考。
1.公式推导球面距离，就是球面上经过这两点的大圆的劣弧的长度。
而地球表球面上每个地点的位置是由经度、纬度来确定的，如果能利用经纬度来计算球面距离，我们就可以确定任意两地间的球面距离（不考虑地形影响，下同）。
如左图：设m（w1，j1）、l（w2，j2）为地球表面两点，n为极点，表示两点之间的最短距离（球面距离），、分别表示极点至m、l的经线长。
依球面三角形概念可知：n、m、l共三点构成了球面三角形nml的三个顶点，、、构成了球面三角形的三条边。
它们的夹角、弧度、弧长等可根据球面三角形的性质进行相关计算得出。
为方便计算，按经纬度划分原则，将东经记为正，西经记为负；北纬记为正，南纬记为负。
例；东经60度记作j= +600、西经60度记作j =-600、北纬60度记作w=+600、南纬60度记作w=-600；用a、b、c分别表示三条边、、所对应的球心角，w1 w2分别m、l纬度,j1j2分别表示m、l两地的经度，a表示两地所在经线的夹角且小于1800， r为地球半径。
球面上两点间最近距离
--精品--
地球上两点间的最短距离
1.最短距离的判断依据： 球面上两点间的最短距离为 两点所在大圆的劣弧。
2.大圆： 球面上任意两点与球心所构
成的平面与球面相交所得的圆， 即大圆的圆心为球心。
--精品--
观察判断：
图示的圆 有没有大 圆？
--精品--
判断图中AB、
CD、EF是
3.位于南半球：
---南半球偏南。 C
先向东南，
D
再想向东北。 --精品--
B A
地球上两点间的最短距离
晨昏圈上
在晨线上 在昏线上 分别在晨线和昏线上
D A
----球面上两点 间的最短距离为 大圆的劣弧。
C B
--精品--
例1.图中ACB为晨昏线
1.由A到B的最短航线是
(B )
A.由A点出发沿纬线向 东到B
否为球面
两点间的
最短距离。
A
E F
B
C D
--精品--
画出图中 甲乙两点
甲
间的最短
距离？
乙
--精品--
找出图中
甲乙两点 间的最短
甲
距离？
----红色的线、
乙
蓝色的线哪
个正确？有
正确的么？
--精品--
图中甲乙两 点间的最 短距离？
----球面上 两点间最短 距离为过两 点大圆的劣 弧。
甲 乙
--精品--
相对的经线过较近的极点。
（即：纬度差小于180°--精品）--
二、同一纬线上两点间的最短距离
1.赤道上
AB之间
AC之间
---正东或正西， C
（两点间经度差
地球表面上两点间最短距离(航线)方向的确定
地球表面上两点间最短距离（航线）方向的确定作者：***来源：《中学政史地·高中文综》2016年第03期在复习经纬网的内容时，地球表面上两点间最短航线方向的确定，是我们的拦路虎。
由于有的同学对这类问题缺乏足够的空间想象能力，只是机械地背一些结论，造成在解这类试题时经常出错。
针对有些同学空间想象能力和数学水平不太高等情况，本文旨在帮助他们全面正确认识地球表面上两点间最短航线方向的确定问题。
地球表面上两点之间的最短航线，指的是两点所在大圆的劣弧。
一、认识大圆过球面上两点的大圆就是经过这两点以地心为圆心的圆。
在地球上有三种情况大圆是确定的，如图1中的赤道、经线圈、晨昏圈。
在图2中，很显然，甲、乙、丙所在圆的圆心是地心，其所在的圆就是大圆，其他的圆都不是大圆。
二、确定劣弧大圆上两点间的最短航线或距离就是两点所在大圆的劣弧。
所谓劣弧，即两点间的弧度小于180°。
如图3中的⌒AB和⌒CD都是过大圆的劣弧，而⌒EF虽然是劣弧，但不是大圆上的劣弧。
图4中甲和乙之间的弧线，只有最上面的弧是过大圆的劣弧。
三、确定地球上两点间最短航线的方向沿着劣弧的行进方向就是最短航线的方向。
1.两点在同一经线圈上或者在赤道上（1）两点在同一经线上，向正北或向正南走，不转向。
如图5， A到B是向正北走；反之，B到A是向正南走。
（2）两点在两条经线上（经度相对，两点的经度差等于180°），过极点要转向。
如在通过北极点之前，先向正北走，过北极点后转向正南；反之，在通过南极点之前，先向正南走，过南极点后转向正北。
如图6，从A到B先向正北走，过北极点后向正南走；从B 到A是先向正北走，过北极点后向正南走。
（3）两点在赤道上，向正东走或向正西走，不转向。
如图7， A到B是向正东走；反之，B到A是向正西走。
2.两点既不在同一经线上，也不在赤道上地球上任意两点和地心必然确定一个大圆，一定存在一个纬线圈和这个大圆相切，切点即为这个大圆的纬度最高点，若大圆劣弧航线经过切点，则发生转向，转向点为切点；若大圆劣弧航线不经过切点，则不发生转向。
根据经纬度确定地球上两点之间的最短路程
根据经纬度确定地球上两点之间的最短路程王伟民(安徽省太和县宫集镇中心学校ꎬ安徽阜阳２３６６５２)摘㊀要:以例举的方式ꎬ分三种情况分别介绍如何根据地球表面两点的经纬度ꎬ确定两点之间的最短路程ꎬ以及最短路径长度的计算方法.关键词:地球表面ꎻ经线ꎻ纬线ꎻ最短路径ꎻ圆弧长度中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１３－０１３１－０３收稿日期:２０２３－０２－０５作者简介:王伟民(１９６４－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀由于球体的表面是曲面不是平面ꎬ所以ꎬ沿地球表面运行质点的运动轨迹一定是曲线ꎬ而非直线.运用数学知识可以证明ꎬ在球面上连接任意两点的所有曲线中ꎬ过这两点及球面球心的平面与球面的交线(是一个半径等于球面半径的圆)上ꎬ这两点之间的圆弧(劣弧)的长度最短.运用这一结论ꎬ对于地球表面上给定的两点ꎬ在已知它们经度和纬度的情况下ꎬ依地球半径作为已知条件ꎬ利用数学知识可以确定两地间最短路径的长度.１同一经线上两点之间的最短路程例１㊀已知地球的半径为６４００ｋｍꎬＥ㊁Ｆ是地球表面上的两点ꎬ其经纬度坐标分别为Ｅ(２０ʎＷꎬ５０ʎＮ)㊁Ｆ(２０ʎＷꎬ４０ʎＳ)ꎬ求地球表面上这两点间最短路径的长度.分析㊀依题意可知ꎬＥ㊁Ｆ两点在同一条经线上ꎬ由于经线所在圆的圆心就是地球的球心ꎬ所以ꎬ地球表面上同一经线上两点间的最短路程ꎬ等于这两点之间的经线圆弧的长度.解析㊀设地球的半径为Ｒꎬ球心为点ＯꎬＥ㊁Ｆ两点间的经线圆弧的长度为ｌꎬ则有ｌ＝ＲøＥＯＦ(øＥＯＦ单位为弧度)＝６.４ˑ１０３ｋｍˑ５０ʎ＋４０ʎ１８０ʎπʈ１００５３ｋｍ答:地球表面上这两点间最短路径的长度为１００５３ｋｍ.㊀２同一纬线上两点之间的最短路程需要说明的是ꎬ如果两点在同一条纬线上(即一个点在另一个点的正东或正西方向)ꎬ且这条纬线不是赤道的话ꎬ它们之间的最短路径不是经过这两点纬线圆弧的长度(相当一部分人有这种错误观点ꎬ认为地球表面上东西方向上两点之间最短路径的长度ꎬ等于这两点之间纬线圆弧的长度).例题２㊀已知地球的半径为６４００ｋｍꎬＥ㊁Ｆ是地球表面上的两点ꎬ其经纬度坐标分别为Ｅ(２０ʎＷꎬ６０ʎＮ)㊁Ｆ(８０ʎＷꎬ６０ʎＮ)ꎬ求地球表面上这两点间最短路径的长度分析㊀如图１所示ꎬ设Ｏ是地球球心ꎬ直线ＯＤ是地球的地轴(Ｄ为北极极点)ꎬ圆弧ＡＢ所在的圆是地球的赤道ꎬ圆弧ＥＦ所在的圆是纬度为β＝π３的１３１一条纬线(即øＢＯＦ＝β＝π３)ꎬ圆弧ＡＤ㊁ＢＤ是分别经过Ｅ㊁Ｆ两点且经度相差α＝π３的两条经线(即øＡＯＢ＝α＝π３)ꎬ为确定球面上Ｅ㊁Ｆ两点之间的最短路程ꎬ只需求出线段ＥＦ(是球面的一条弦ꎬ图中未画出)对球心Ｏ点所张的角øＥＯＦ的角度大小即可.图１解析㊀由图１可知øＥＣＦ＝øＡＯＢ＝α＝π３ＣＦ＝ＣＥ＝ＲｃｏｓβＥＦ＝２ＣＦｓｉｎα２＝２Ｒｃｏｓβｓｉｎα２øＥＯＦ＝２ａｒｃｓｉｎ１２ＥＦＯＦ＝２ａｒｃｓｉｎＲｃｏｓβｓｉｎα２Ｒ＝２ａｒｃｓｉｎ(ｃｏｓβｓｉｎα２)＝２ａｒｃｓｉｎ１４所以ꎬ球面上Ｅ到Ｆ的最短路径的长度是以地球半径Ｒ为半径ꎬ弧度大小为２ａｒｃｓｉｎ１４的圆心角所对的弧长ꎬ大小为２Ｒａｒｃｓｉｎ１４.２Ｒａｒｃｓｉｎ１４＝２ˑ６.４ˑ１０３ｋｍˑａｒｃｓｉｎ１４ʈ３２３６ｋｍꎬ答:地球表面上这两点间的最短路径的长度是３２３６ｋｍ.我们将这一数据与过ＥＦ两点纬线上ꎬ圆弧ＥＦ的长度相比较ꎬ设该圆弧长度为ｌꎬ则ｌ＝ＣＦ øＥＣＦ＝(Ｒｃｏｓβ)π３＝π６ˑ６.４ˑ１０３ｋｍʈ３４５０ｋｍ可以看出ꎬ纬线上ＥＦ两点间的圆弧长度比球面上经过ＥＦ的最大圆的圆弧长度多出了１１４ｋｍ.３地球表面任意两点间的最短路程例题３㊀如图２所示ꎬ已知地球的半径为６４００ｋｍꎬＥ㊁Ｆ是地球表面上的两点ꎬ其经纬度坐标分别为Ｅ(２０ʎＷꎬ１５ʎＳ)㊁Ｆ(８０ʎＷꎬ７５ʎＮ)ꎬ求地球表面上这两点之间最短路径的长度.分析㊀由题目条件可知ꎬＥ㊁Ｆ两点既不在同一条经线上ꎬ也不在同一条纬线上.参照上面两例题的解法ꎬ我们只需确定Ｅ㊁Ｆ两点所对地球球心圆心角的大小即可.解析㊀如图２所示ꎬ分别作出过Ｅ㊁Ｆ两点的地球的经线和纬线ꎬ并作出赤道平面.设øＥＡＣ＝α(两条经线的经度之差)ꎬ半径ＯＣ㊁ＯＦ与赤道平面的夹角分别是β和θꎬ由题目条件可知øＥＡＣ＝α＝６０ʎꎬβ＝１５ʎꎬθ＝７５ʎꎬ则:ＡＥ＝ＡＣ＝ＲｃｏｓβＢＤ＝ＢＦ＝ＲｃｏｓθʑＥＣ＝２ＡＣｓｉｎα２＝２Ｒｃｏｓβｓｉｎα２ＤＦ＝２ＢＦｓｉｎα２＝２Ｒｃｏｓθｓｉｎα２ＥＤ＝ＣＦ＝２Ｒｓｉｎβ＋θ２图２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图３将图２中的等腰梯形ＥＣＦＤ隔离出来单独分析ꎬ如图３所示ꎬ过其顶点Ｄ㊁Ｆ作该梯形的两条高线ＤＰ和ＦＱꎬ垂足分别为Ｐ㊁Ｑꎬ由勾股定理可知２３１ＥＦ２－ＣＦ２＝ＥＱ２－ＱＣ２ʑＥＦ＝ＣＦ２＋(ＥＱ＋ＱＣ)(ＥＱ－ＱＣ)＝ＣＦ２＋ＥＣ ＤＦ＝４Ｒ２ｓｉｎ２β＋θ２＋４Ｒ２ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２＝２Ｒｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２所以ꎬ图２中ꎬøＥＯＦ的大小(单位为弧度)为øＥＯＦ＝２ａｒｃｓｉｎ１２ＥＦＲ＝２ａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２所以ꎬ地球表面ꎬＥ㊁Ｆ两点之间的最短路径的的长度ｌ为ｌ＝Ｒ øＥＯＦ＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２＝２Ｒａｒｃｓｉｎ１２＋２＋３２＋６１２＋６１４＝２Ｒａｒｃｓｉｎ３４＝２ˑ６.４ˑ１０３ｋｍ ａｒｃｓｉｎ３４ʈ１０８５５ｋｍ答:地球表面上这两点间的最短路径的长度是１０８５５ｋｍ.例３解答中ꎬ所导出的根据地球表面两点的经纬度确定两点之间最短路径长度的计算公式ｌ＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２ꎬ是一个普遍适用的公式ꎬ它涵盖了已知两点在同一条经线㊁同一条纬线ꎬ以及已知两点既不在同一条经线也不在同一条纬线等多种情形.该公式中ꎬ当β＝－θ时ꎬ公式演变为ｌ＝２Ｒａｒｃｓｉｎ(ｃｏｓβｓｉｎα２)ꎬ这就是例２中ＥＦ两点在同一条纬线上的情形.当α＝０时ꎬｌ＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２＝２Ｒａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎβ＋θ２)＝２Ｒａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎβ＋θ２)＝Ｒ(β＋θ)ꎬ这正是例１中两点在同一条经线的状况.看该公式的一个实际应用.例４㊀已知北京和悉尼两座城市的经纬度坐标分别如下:北京(１１６.４６ʎＥꎬ３９.２ʎＮ)㊁悉尼(１５０.８８ʎＥꎬ３３.９２ʎＳ)ꎬ试求北京和悉尼间最短航线的长度(地球半径取６４００ｋｍ).解析㊀依题意知ꎬα＝１５０.８８ʎ－１１６.４６ʎ＝３４.４２ʎꎬβ＝３３.９２ʎꎬθ＝３９.２ʎ所以ꎬ两城市间的最短航线长度ｌ为ｌ＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２３６.５６ʎ＋ｃｏｓ３３.９２ʎｃｏｓ３９.２ʎｓｉｎ２１７.２１ʎʈ８２００ｋｍ答:北京和悉尼间最短航线的长度约为８２００ｋｍ.当然ꎬ这里计算出的数据只是理论数据ꎬ两地间的实际航线还要受地理环境等多种因素的影响ꎬ飞机的实际飞行路线很可能会偏离 标准 的圆弧线ꎬ中途出现 拐弯 的情形ꎬ所以实际航线的长度会比理论值大一些.参考文献:[１]陈龙.追溯 源头 拨开云雾见 真身 :例析 与圆相关的最值问题 [Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(６):８４－８６.[２]许婷婷.例谈立体图形表面最短距离[Ｊ].高中数理化ꎬ２０１９(１０):１６－１７.[３]牛可新.巧解 求曲线上的点到直线的最短距离 题[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１３(９):９９.[责任编辑:李㊀璟]３３１。
定距离,定范围
(2)、同一条纬线（纬度为α ）上，经度相差1°的两地距离 相差约 111×cos α 千米。
依据： ① 纬线的长度由赤道向两极递减。 ② 任意一条纬线都跨360 °的经度（纬线是圆）。 ③ 同一纬线上，经度相差1°的两地距离＝ 此纬线的周长/360 °
④ 任意一条纬线（纬度为α）的周长＝赤道周长× cos α
图中的区域ABQP和ABDC的面积哪个大？
P
S
例题：
某人从赤道以北50公里处出发，依次向正 西、正南、正东、正北各走100公里，最后他 位于（ A ） A．出发点 B．出发点以西 C．出发点以北 D．出发点以东
赤道
例题、某人从赤道以北30公里处出发，依次 向正西、正南、正东、正北各走100公里，最 后他位于（ D ） A．出发点 B．出发点以西 C．出发点以北 D．出发点以东
（3）、赤道上经度相差1°的两地距离为111千米；
南北纬60°上经度相差1°的两地距离为111/2千米
（4）、纬度越大，同一纬线上经度相差1°的两地距离越短。
（纬线的长度由赤道向两极递减）
练习：
计算图中AB、CD、PQ、AC、BQ的长度
C D B
Q
N
思考，AD间的距离该如何计算？
A
（5）、基于距离的区域面积估算
读经纬网图，回答：图中阴影部分实际 面积的大小是：
20°
25°
A、甲等于乙 C、甲小于乙
B、甲大于乙 D、无法确定
读下图，回答问题。
（1）图中甲、乙、丙区域 内实际面积的比较为 A.甲>乙>丙 B.乙>甲>丙 C C.丙>乙>甲 D.丙>甲>乙 （2）图中a、b、c、d中不能观测到北极星 A.a B.b C.c D.d
地球上两点间距离的计算方法
地球上两点间距离的计算方法1.地球表面距离的球面三角法计算：这是最常用的方法之一，适用于中长距离的计算（通常距离小于1000公里）。
该方法假设地球是一个球体，通过计算两点之间的弧长来确定两点之间的距离。
根据勾股定理和地球的半径，我们可以使用以下公式计算两点之间的距离：d = R * arccos(sen(φ1) * sen(φ2) + cos(φ1) * cos(φ2) * cos(Δλ))其中：-d是两点之间的距离-R是地球的半径（通常取平均值6371公里）-φ1、φ2是两点间的纬度-Δλ是两点间的经度差这种方法的一个缺点是，它基于地球是一个完全规则的球体，实际上地球是稍微扁平的椭球体。
因此，在长距离和需要更高精度的计算中，你可能需要采用其他方法。
2.大圆航线计算法：这种方法考虑了地球的椭球形状，是航海、航空导航中常用的方法。
大圆航线是连接两点之间在地球表面上最短距离的弧线。
为了找到大圆航线的长度，我们需要使用霍博斯公式：d = R * arccos(sen(φ1) * sen(φ2) + cos(φ1) * cos(φ2) * cos(Δλ))这与球面三角法计算方法相同。
大圆航线计算法的优点是它考虑了地球的椭球形状，因此适用于长距离的计算。
3.VTISL法：VTISL法是一种用于计算地球上两点之间距离的近似方法，它根据两点之间的纬度和经度计算出一个系数，并将其乘以地球表面半径。
这个方法适用于全球尺度的计算，例如计算两个城市之间的距离。
这个方法的公式是：d = R * (Δφ^2 + Δλ^2 * cos(φm)^2) ^ 0.5其中：-d是两点之间的距离-R是地球的半径（通常取平均值6371公里）-Δφ是纬度差-Δλ是经度差-φm是两点纬度的平均值VTISL法是一个近似方法，对于全球尺度的计算是可行的，但对于较小的距离可能会有一定的误差。
4.卫星测距系统：卫星测距系统（如GPS）通过使用卫星和接收器之间的信号传输时间来计算接收器与卫星之间的距离。
高中地理必考专题07 地球和地图(中图版)(含答案及解析)
作业07 地球和地图一、单选题乌鲁木齐河发源于天山山脉北坡的喀拉乌成山主峰天格尔II峰（4486米）。
乌鲁木齐河源1号冰川由东西两支小冰斗一山谷冰川汇流而成。
下图示意1号冰川景观和等高线分布。
据此完成下面小题。
1．左图中的B点应右图中的（）A．①B．②C．③D．④2．A、B两点的最大相对高差（单位：米）可能为（）A．199B．299C．399D．4993．乌鲁木齐河径流量可能具有的特点是（）A．有两个主汛期B．没有断流期C．年际变化量大D．日变化率大【答案】1．A 2．B 3．D【解析】1．由于乌鲁木齐河发源于天山山脉北坡的喀拉乌成山，根据图中信息，B高于A，所以A为南部山峰，B为北部山峰，排除CD。
又因为B点高度距离山峰最高处有一定差距，对应①。
故A正确，故选A。
2．由上题可知，A点所在高度为3800-3900米，B点所在高度为4000-4100米，依据十字相减法，可得出A、B两点的相对高差在100-300米之间，因此最大高度差为299米，B正确。
3．乌鲁木齐河的补给类型主要是季节性冰雪融水，河流流量主要受气温影响，因此只有一个主汛期在夏季，而冬季气温低，没有冰雪融水，因此存在断流期，排除AB。
冰雪融水受气温影响大，由于气温的年际变化小，日变化大，因此流量年变化量小，日变化量大。
故D正确，故选D。
【点睛】本题特别要注意的是气温的年际变化是很小的，一般都是在1—2℃范围变化，而气温的日变化可以较大，可以在10—20℃范围变化，因此以冰雪融水补给为主的河流，流量年变化量小，日变化量大。
下图为我国某高原（石灰岩广布）局部区域等高线地形图。
为了促进该区域社会经济的发展，当地计划修建一条由周边地区通往P地的公路。
据此完成下面小题。
4．该地貌类型为（）A．冲积扇B．三角洲C．黄土地貌D．天坑5．在甲、乙、丙、丁四地中，最可能发育有瀑布的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．图中该条由周围地区通往P地的公路，最合理的线路是（）A．①B．②C．③D．④【答案】4．D 5．A 6．B【解析】4．此题的等高线地形图和正常的地形图不太一样，其是外高内低的，说明其地形大致呈盆状，同时材料中提到此地是位于我国石灰岩广布的某高原，故最有可能是云贵高原的喀斯特地貌。
球面上两点之间的距离计算
球面上两点之间的距离计算
一、概述
球面上两点之间的距离是指在球形表面上连接两个点所经过的最短路径，它等于圆周上两点之间的弧长。
由于球面是一种曲面，因此确定球面
上任意两点之间的距离，有许多算法可以实现，但最常使用的方法是根据
空间几何的球面余弦定理进行计算。
在球体地理学、航空航天等领域，准
确计算地球表面上两点之间的距离非常重要。
因此，计算球形表面上两点
之间的距离受到越来越多的关注和重视。
二、球面余弦定理
球面余弦定理是计算球形表面上任意两点距离的基础，它描述了球面
上任意三个点的关系：如果A、B、C是球面上任意三个点，则A点到B点
的距离与A点到C点的距离、B点到C点的距离的余弦值之间存在如下等式：
cos (a) = cos (b) * cos (c) + sin (b) * sin (c) * cos (A)
其中a、b、c是A点到B点、A点到C点、B点到C点的线段的弧度，A是ABC三点所在的夹角的弧度值。
由于在球形表面上，BA和BC线段的
长度以及ABC夹角的大小都是已知的，可以将它们代入上面表达式，得到cos (a) = cos (BA) 和cos (C)，从而求出A点到B点的弧长，即所求
距离。
三、详细算法
1.设定三点A、B、C，其中B和C为待求距离AB的端点，A为中间点（如果A和B点重合，则求BC间的距离）。
2.计算B点和C点经纬。
地图学题库及答案
地图学习题集参考答案一、名词解释1．大地经纬度：大地经纬度是建立在地球参考椭球面上的地理坐标系，大地经度是指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角(1分)。
自本初面向东为东经0-180度，向西为西经0-180度（1分）。
大地纬度是指过该点与椭球面垂直的直线与赤道面的夹角。
（1分）自赤道向北为北纬0-90度，向南为南纬0-90度。
(1分)2. 墨卡多投影：墨卡托投影是正轴等角圆柱投影，由墨卡托于1569年专门为航海的目的设计的，故名。
其设计思想是令一个与地轴方向一致的圆柱切于或割于地球，将球面上的经纬网按等角条件投影于圆柱表面上，然后将圆柱面沿一条母线剪开展展成平面，即得墨卡托投影。
在墨卡托投影中，面积变形最大。
在纬度60度地区，经线和纬线比都扩大了2倍，面积比P=m*n=2*2=4，扩大了4倍，愈接近两极，经纬线扩大的越多，在φ=80度时，经纬线都扩大了近6倍，面积比扩大了33倍，所以墨卡托投影在80度以上高纬地区通常就不绘出来了。
在墨卡托投影上等角航线表现为直线。
3．变形椭圆：取地面上一个微分圆，将它投影到平面上将为一个椭圆（少数情况下为正圆），（1分）通过研究其在投影平面上的变化，作为地图投影变形的几何解释，这样的椭圆称为变形椭圆。
（2分）利用变形椭圆能更为科学和准确地阐述地图投影变形的概念、变形性质及变形大小。
（1分）。
4.视觉变量：视觉变量是构成图形的基本要素，它包括：形状、尺寸、方向、颜色、网纹5个方面（2分）。
在细分时，颜色的色相、亮度、彩度也可以理解为独立的视觉变量；网纹的排列、纹理、方向也具备视觉变量特性（2分）。
5．地图：是遵循一定的数学法则，将地理信息通过科学的概括综合，运用符号系统表示在一定的载体上的图形，以传递它们的数量、质量在时间和空间上的分布规律和发展变化。
6地球参考椭球体：地球椭球体是对地球形状的理想模拟，参考椭球体是对地球形状的第三级逼近，即与局部地区大地水准面切合的最好的椭球体。
地球椭球面上两点间椭球面距离的准确计算
地球椭球面上两点间椭球面距离的准确计算在人们日常生活中，要用到地图。
当我们使用地图时，会遇到不少问题：比如地图是怎样绘制出来的？为什么要这样画？地图上的各种符号是做什么用的？这里就涉及到一个地理知识，叫做椭球面上两点间椭球面距离的准确计算。
1、把两个地球椭球面重合于一个平面内。
即：两点重合。
根据地球椭球面上曲率半径相等的特性，这两个平面应该是相互垂直的。
因此，两点之间的最短路程，在椭球面上就是最大距离。
若两点间距离等于最大距离，则称这两个椭球面是相似的。
由于地球表面是一个曲面，且有一定的弧度，因而不可能在任何点都能找到两点的最短路程。
当然，从一点到另一点的最短路程也有可能发生。
只有当两点距离小于最大距离时，才能得到最短路程。
2、两个椭球之间的最短距离为，记作“ r”。
根据最短路程公式可知，椭球面上两点间最短路程的椭球面曲率半径与它们的距离成正比，所以，两点间的最短路程总是大于两点间的最大距离，这是椭球面上两点间的最短距离的一般规律。
地图上采用的是大圆曲线，因为小圆曲线的长度变化范围很大，不利于表示精确位置；同时，如果小圆曲线的半径增加，又带来了制图的困难。
所以，采用了大圆曲线。
在计算地球表面两点间的距离时，也是按照大圆曲线计算的。
但是，在计算较大面积的两点间的最短路程时，必须考虑到大圆曲线上的一些近似数值。
为了方便起见，地图上用一条双线，将大圆曲线分成若干条双曲线段，而每一条双曲线段又被划分成若干条单曲线段，使单曲线段的长度等于双曲线段的长度，这样就得到了两点间的最短路程的椭球面曲率半径。
3、如果把地球表面划分成8块区域，那么，通过每块区域的最短路程的椭球面曲率半径是，这是分配给各块区域的大小和形状相同的椭球面的曲率半径。
将通过各块区域的最短路程的椭球面曲率半径累加起来，即得到整个地球表面的大小和形状相同的椭球面曲率半径。
这样，各个不同的椭球面的曲率半径就可以转化成同一个椭球面的曲率半径了。
4、假设在某区域上有N个点，每个点都在椭球面上一个不同的点，但N个点又不属于同一个区域。
高中地理选择性必修1地球的模型——地球仪相关知识练习题
……○…………订…………○_______班级：___________考号：__________……○…………订…………○高中地理地球的模型——地球仪相关知识练习题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题地球仪是地球的模型，下图为“地球仪示意图”。
读下图，完成下面小题。
1．图中地球仪（ ） A ．所见范围为东半球 B ．与地球的形状完全相同 C ．经纬线都是圆圈状D ．地轴与纬线所在平面垂直2．北京市某同学运用地球仪演示地球公转的过程中，需要做到（ ） ①地轴始终指向北极星附近 ②地轴倾斜的角度保持23°26′不变 ③沿椭圆轨迹顺时针水平移动地球仪 ④使“地球”公转的同时还在自转 A ．①③ B ．①④C ．②③D ．③④下图为南半球经纬网图。
据此完成下列小题。
试卷第2页，共10页……○…………装………○…………线…………○……※※请※※不※※要※※在※※……○…………装………○…………线…………○……3．图中P 经线的经度为（ ） A ．90°EB ．120°EC ．90°WD ．120°W4．图中①②③水域分别为（ ） A ．太平洋、大西洋、印度洋 B ．大西洋、太平洋、印度洋 C ．印度洋、大西洋、太平洋 D ．大西洋、印度洋、太平洋2021年3月18日至19日，中美两国在阿拉斯加州安克雷奇举行高层战略对话，这是中美元首除夕通话后的首次高层接触。
阿拉斯加州位于北美大陆西北端，其中安克雷奇与北京和华盛顿的距离相当。
读下图“美国阿拉斯加局部区域图”，完成下列小题。
5．北京的地理坐标是（40°N ，116°E ），安克雷奇位于我国北京的（ ） A ．西南方B ．西北方C ．东北方D ．东南方6．央视记者从北京出发至华盛顿（39°N ，77°W ），经转机抵达安克雷奇。
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先东南再东北
相关练习：
从甲地（70°N，80°E）到乙地（70°N， 150°E），若不考虑地形因素，最近的走法是
C
冬至日，（12月22日）凌晨4点（地方时）一架飞机从 甲地（60°N、100°W）起飞，沿最近航线匀速飞行， 8小时后抵达乙地（60°N、80°E）。据此回答各题。
一、两地之间的最短航线问题
球面上最短距离的判断
球面最短距离,是经过两点的大圆的劣弧长度。 凡是地球的大圆，其圆心必定是地心且均分地球。 赤道、经线圈、晨昏圈都是大圆。
最短距离的判断主要分三种情况： 1、两点都在赤道上 2、两点在相对经线上 3、两点既不在赤道上，也不在相对经线上
1、看所求的两点是否同位于赤道，若同位 于赤道上，赤道即为大圆，所以沿赤道向 东或向西走劣弧即可。
60
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A到C的最短航线所沿方向是_先__向__东__北__再__向__东南 A到D的最短航线所沿方向是_先__向__西__北__再__向__西南
形式二：极地俯视图
判：
1到2地最短航线所沿 方向 先西北再西南
1到3地最短航线所沿 方向 先东北再东南
1到4地最短航线所沿 方向 先北再南
形式三：侧俯视图（能看到其中一极）
A 1、飞机出发时的行航向
A、朝北 B、朝南 2、飞机途中航向
C、朝西南 D、朝东北
D
A、一直不变
B、先朝东北后朝东南
C、先朝西北后朝西南 D、先朝北后朝南
3、这架飞机若以同样速度，沿北纬60°航行，抵达
乙地大致需要
D
A、16小时 B、12小时 C、20小时 D、24小时
谢谢收看！
制作人：株洲市一中唐文利
3、若两地的经度差不等于180°，则经过这 两点的大圆不是经线圈，而是与经线圈斜交， 其最短航线不经过极点。
阴影部分为夜半球， 从A到B走最近线路， 该怎么走？
先向东北，再向东南
A到B走最短航 线所沿方向是 先向东北再向 东南
A到B走最短航 线所沿方向是 先向东南再向 东北
形式一：方格状经纬网图
2、若两地的经度差等于180°，则通过这两点的大圆是 经线圈。这两点的最短距离经过极点。这类情况有分为 三类： （1）若同在北半球，最短航线须 经过北极点，其航向一定是先向 正北，过北极点后再向正南。
（2）若同在南半球，最短航线须 经过南极点，其航向一定是先向正 南，过南极点后再向正北。
（3）若两地位于不同半球，需要考 虑经过北极点为劣弧还是经过南极 点为劣弧，然后在确定最短航向的 走向和航程。