华中师大《概率论基础》练习题库及答案
华中师范大学《概率论基础(华师)》期末考试题集汇总
华中师范大学《概率论基础（华师）》奥鹏期末考试题库合集本套合集为考前突击题集汇总，含答案单选题：1.题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：A2.题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：C3.题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：D（4）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：A（5）工厂每天从产品中随机地抽查50件产品，已知这种产品的次品率为0.1%，，则在这一年内平均每天抽查到的次品数为A.0.05B. 5.01C.5D.0.5标准答案：A（6）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：C（7）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：B（8）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项选择图中D选项标准答案：B（9）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：B（10）设A，B为两个互斥事件，且P（A）0，P(B)0，则下列结论正确的是A.P(B|A)0B.P(A|B)=P(A)C.P(A|B)=0D.P(AB)=P(A)P(B)标准答案：C（11）在[0,1]线段上随机投掷两点，两点间距离大于0.5的概率为A.0.25B.0.5C.0.75D.1标准答案：A（12）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：D（13）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：B（14）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：C（15）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：C（16）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：A（17）题面见图片：C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：C（18）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：C（19）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：C（20）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项标准答案：C（21）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项标准答案：B（22）假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的45%、35%、20%。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案导言：概率论是数学中的一门基础学科，主要研究随机现象的规律性和不确定性。
它广泛应用于统计学、金融、工程学、计算机科学等领域。
本文将给出一些概率论考试题及答案，旨在帮助读者加深对概率论知识的理解和掌握。
题目一：计算概率已知一副扑克牌，共有52张牌，其中13张为红心。
从中任意抽取5张牌，求至少一张红心的概率。
解答：首先计算没有红心的情况，即全是黑桃、方片和梅花的概率。
抽取第一张牌时，没有红心的概率为39/52；抽取第二张牌时，没有红心的概率为38/51；以此类推，抽取第五张牌时，没有红心的概率为35/48。
将每次抽取没有红心的概率相乘，即可得到全是非红心牌的概率为(39/52) * (38/51) * (37/50) * (36/49) * (35/48) ≈ 0.359。
因此，至少一张红心的概率为1 - 0.359 ≈ 0.641。
题目二：条件概率在一批产品中，有30%的次品。
已知次品中的20%是由机器A生产的，而合格品中的15%是由机器A生产的。
现从这批产品中随机选取一件，发现该件品质合格。
求此件产品是由机器A生产的概率。
解答：设事件B表示所选产品是由机器A生产的，事件A表示所选产品是合格品。
根据题意，已知P(B) = 0.3，P(A|B) = 0.15，需要求的是P(B|A)。
根据条件概率的定义，我们有P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
首先计算P(A∩B)，即既是合格品又是由机器A生产的概率，即P(A∩B) = P(B) * P(A|B) = 0.3 * 0.15 = 0.045。
其次，计算P(A)，即产品为合格品的概率。
合格品中由机器A生产的概率为0.15，由机器B生产的概率为1 - 0.15 = 0.85。
所以，P(A) = P(A∩B) + P(A∩B') = 0.045 + 0.85 * (1 - 0.2) ≈ 0.881。
最后，根据条件概率的公式，可得P(B|A) = P(A∩B) / P(A) = 0.045 / 0.881 ≈ 0.051。
概率论基础-华中师范大学20年春季考题库及答案
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5.题面见图片：
A. A
B. B
C. C
D. D
[答案]:B
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6.题面见图片：
A. A
B. B
C. C
D. D
[答案]:D
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7.题面见图片：
A. A
B. B
C. C
D. D
B. 0.073
C. 0.146
D. 0.292
[答案]:C
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20.题面见图片：
A. A
B. B
C. C
D. D
[答案]:B
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21.袋中有5个白球，3个黑球。从中任取两个球，则取出的两个球都是白球的概率为（）。
1.题面见图片：
A. A
B. B
C. C
D. D
[答案]:A
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2.题面见图片：
A. A
B. B
C. C
D. D
[答案]:C
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3.假设一个小孩是男是女是等可能的，若某家庭有三个孩子，在已知至少有一个女孩的条件下，求这个家庭中至少有一个男孩的概率为（）。
A. 2/3
B. 13/21
C. 3/4
D. 1/2
华中师大《概率论基础》练习题库及答案
华中师范大学职业与继续教育学院 《概率论基础》练习题库及答案填空题1．设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0;⎰∞∞-dx x p )(= ；Eξ= 。
考查第三章2．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为： ；A,C 发生而B 不发生可表示 ；A,B,C 恰有一个发生可表示为： 。
考查第一章3．设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ϕ，分布函数为)(0x Φ，则)0(0ϕ等于π21，)0(0Φ等于 。
考查第三章 4．设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=51 ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= ，Dξ= 。
考查第五章5．已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 。
考查第五章6．设),(~2σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 考查第五章7．设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ ；∑∞=1i ip= ；Eξ= 。
考查第一章8．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为： ；A 发生而B,C 不发生可表示为： ；A,B,C 恰有一个发生可表示为： 。
9．)4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 。
考查第三章10．设随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则方程012=++x x ξ有实根的概率为 。
考查第三章 较难11．若随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,U=2X+1,V=5Y+10 则U ，V 的相关系数= 。
考查第三章12．若 θ服从[,]22ππ-的均匀分布， 2ϕθ=，则ϕ的密度函数 ()g y ＝ 。
考查第五章13．设4.0)(=A P ，7.0)(=+B A P ，若A 与B 互不相容，则=)(B P ；若A 与B 相互独立，则=)(B P 。
概率论基础试题
第一章 概率论基础一、填空题1．设7.0)(,4.0)(==B A P A P Y ，若A ，B 互不相容，则=)(B P ， 若A ，B 相互独立，则=)(B P ．2．设31)()()(321===A P A P A P ，321,,A A A 相互独立，则321,,A A A 至少出现一个的概率为 ；321,,A A A 恰好出现一个的概率为 ；321,,A A A 最多出现一个的概率为 ．3．一袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机 地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 ．4．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p ．现进行n 次独立试验，则事件A 至少发生一次的概率为 ；而事件A 至多发生一次的概率为 ．5．三个人独立破译密码，他们能单独译出的概率分别为41,31,51，则此密码被译 出的概率为 ． 二、选择题1．设A 、B 为两个事件，则))((B A B A ++表示 （ ）．（A ） 必然事件； (B) 不可能事件；（C ） A 与B 恰有一个发生； (D) A 与B 不同时发生．2．对事件A 、B ，下列命题正确的是 （ ）．（A ） 如果A 、B 互不相容，则A 、B 也互不相容；（B ） 如果A 、B 相容，则A 、B 也相容；（C ） 如果A 、B 互不相容，且0)(>A P ，0)(>B P ，则A 、B 相互独立；（D ）如果A 、B 相互独立，则A 、B 也相互独立．3．设C AB ⊂，则 （ ）．（A ） C AB ⊃ ； （B ） C A ⊂且C B ⊂；（C ） C B A ⊃Y ； （D ）C A ⊂或C B ⊂．4．设A 、B 是任意两个事件，则=-)(B A P （ ）．（A ） )()(B P A P -； （B ） )()()(AB P B P A P +-；（C ） )()(AB P A P -； （D ） )()()(AB P B P A P -+．5．设A 、B 是任意两个事件，则一定有=+)(B A P （ ）．（A ） )()(B P A P +； （B ） )()()()(B P A P B P A P -+；（C ） )()(1B P A P -； （D ） )()()(AB P B P A P -+．三、计算与证明题1．指明在下列各条件下，事件A ，B ，C 之间的包含关系：（1）若A 和B 同时发生，则C 必发生；（2）A 和B 有一个发生，则C 必发生；（3）若A 发生，则B 必不发生；（4）A 和B 同时发生的充分必要条件是C 不发生；（5）A 发生的充分必要条件是B 不发生．2．对任意的随机事件C B A ,,，证明：)()()()(A P BC P AC P AB P ≤-+．3．将3个球随机地投入4个盒子中,求下列事件的概率：（1）A 是任意3个盒子中各有1个球；（2）B 是任意1个盒子中有3个球；（3）C 是任意1个盒子中有2个球,其它任意1个盒子中有1个球．4．把一个表面涂着颜色的立方体等分成1000个小立方体，从这些小立方体中任意取出一个，求它有k面涂着颜色的概率（k = 0, 1, 2, 3）．5．设OA是Ox轴上长为1的线段，B为OA的中点，C为OA上任一点，求线段OC，CA，OB三线段能构成一个三角形的概率．6．已知在1000个灯泡中坏灯泡的个数从0到5是等可能的,试求：（1）从1000个灯泡中任意取出的100个灯泡都是好灯泡的概率；（2）如果任意取出的100个灯泡都是好的，则1000个灯泡都是好灯泡的概率．7．发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“·”及“—”．由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“·”及“—”；又当发出信号“—”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“—”及“·”．求：（1）收报台收到信号“·”的概率；（2）收报台收到信号“—”的概率；（3）当收报台收到信号“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率；（4）当收报台收到信号“—”时，发报台确系发出信号“—”的概率．8．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时, 乙船的停泊时间是两小时, 求它们中的任何一艘都不需等候码头空出的概率．。
概率论基础第一版课后练习题含答案
概率论基础第一版课后练习题含答案第一章试验与事件习题1.1在一家商店的百货部有不少于三只铅笔和不多于五只铅笔。
一名顾客在不知道这一点的情况下购买两只铅笔。
试问顾客买到至少一枝铅笔的概率是多少？答案：假设所有可能购买的铅笔数量为N，并设顾客购买的两支铅笔为A和B。
1. 所有购买方式：- 购买一枝铅笔的情况有3+4+5=12种 - 购买两枝不同的铅笔的情况有$C_{3}^{3} \\times C_{4}^{4} \\times C_{5}^{5} = 1$ 种 - 购买两枝相同的铅笔的情况有C32+C42+C52=20种2. 至少购买一枝铅笔的情况是，购买两枝不同的铅笔、购买两枝相同的铅笔、只购买一枝铅笔。
即(1+20+12)种。
因此，顾客买到至少一枝铅笔的概率为：$P=\\dfrac{1+20+12}{3+4+5 \\choose 2}=0.9$。
习题1.2小明受邀参加某微信群的聚会，詹嫣是这个群的一员。
在该群中，除了詹嫣外，其他人不能辨别出小明和任何一位其他人是否是同一人。
试问，如若只在詹嫣的帮助下，做到让三位不知情的其他成员分不清他与其他成员之间的关系，则考虑以下概率事件： - 以A表示小明与已知一人不是同一人 - 以B表示小明与已知两人不是同一人 - 以C表示已知两人中，至少一人就是小明 - 以D表示已知的三个人均不是小明那么事件A，B，C，D中，哪些是不可能发生的？哪些是必然发生的？哪些是可能发生的？答案：- 不可能发生的事件：B和D。
因为如果小明与已知的两人都不是同一人，那么已知的两人肯定是同一人，与已知的两人中，至少一人就是小明的条件矛盾；如果已知的三个人均不是小明，那么小明就不可能在群里。
- 必然发生的事件：C。
因为在已知的人中，肯定至少有一个人是小明。
- 可能发生的事件：A。
因为无法确定小明是与已知的哪一位不是同一人。
概率论基础试题及答案
概率论基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 随机变量X服从标准正态分布，P(X≤0)的值为：A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.9答案：A2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=10，p=0.3，则P(X=3)的值为：A. 0.0573B. 0.05734C. 0.05735D. 0.0574答案：A3. 若随机变量X与Y相互独立，则P(X>Y)的值为：A. P(X)P(Y)B. P(X) - P(X≤Y)C. 1 - P(X≤Y)D. 1 - P(X)P(Y)答案：C4. 随机变量X服从泊松分布，其期望值为λ，若λ=5，则P(X=3)的值为：A. 0.175467B. 0.175468C. 0.175469D. 0.17547答案：A5. 随机变量X服从均匀分布U(a, b)，其概率密度函数为：A. f(x) = 1/(b-a), a≤x≤bB. f(x) = 1/(a-b), a≤x≤bC. f(x) = 1/(a+b), a≤x≤bD. f(x) = 1/(a-b), b≤x≤a答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 若随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则其概率密度函数为f(x) = __________，其中μ为均值，σ^2为方差。
答案：1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))2. 已知随机变量X服从指数分布，其概率密度函数为f(x) = λe^(-λx)，其中x≥0，则其期望值为E(X) = __________。
答案：1/λ3. 若随机变量X与Y相互独立，且P(X) = 0.6，P(Y) = 0.4，则P(X∩Y) = __________。
答案：0.244. 随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=5，p=0.2，则P(X≥3) = __________。
答案：0.031255. 随机变量X服从几何分布，其概率质量函数为P(X=k) = (1-p)^(k-1)p，其中k=1,2,3,...，则其方差Var(X) = __________。
概率测试题及答案
概率测试题及答案一、选择题1. 一个骰子掷出6点的概率是：A. 1/3B. 1/6C. 1/2D. 1答案：B2. 抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上的概率相等，这个概率是：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 2/3答案：A3. 如果一个事件的发生不影响另一个事件的发生，这两个事件被称为：A. 互斥事件B. 独立事件C. 必然事件D. 不可能事件答案：B二、填空题1. 概率的基本性质是：概率的值介于________和1之间。
答案：02. 如果事件A和事件B是互斥的，那么P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B)，其中P(A∩B) = ________。
答案：0三、简答题1. 什么是条件概率？请给出条件概率的公式。
答案：条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(B)≠ 0。
四、计算题1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
答案：抽到红球的概率为P(红球) = 5/(5+3) = 5/8。
2. 有3个独立事件A、B、C，它们各自发生的概率分别为P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，P(C) = 0.5。
求事件A和事件B同时发生的概率。
答案：事件A和事件B同时发生的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0.3 × 0.4 = 0.12。
五、论述题1. 论述什么是大数定律，并给出一个实际生活中的例子。
答案：大数定律是概率论中的一个概念，它指出随着试验次数的增加，事件发生的相对频率趋近于其概率。
例如，在抛硬币的实验中，随着抛硬币次数的增加，正面朝上的频率会趋近于1/2，即硬币正面朝上的概率。
概率基础测试题及答案解析
概率基础测试题及答案解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从标准正态分布，那么P(X>0)等于多少？A. 0.5B. 0.6826C. 0.8413D. 0.5000答案：A解析：标准正态分布的均值为0，标准差为1，对称轴为X=0，因此P(X>0)等于0.5。
2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.3，那么E(X)等于多少？A. 1.5B. 3C. 2.7D. 0.3答案：B解析：二项分布的期望值E(X)=np，所以E(X)=10*0.3=3。
3. 一组数据的平均数是5，方差是4，那么这组数据的中位数是多少？A. 4B. 5C. 6D. 无法确定答案：B解析：平均数是所有数据的总和除以数据的个数，而中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间的数。
在没有具体数据的情况下，无法确定中位数，但根据平均数的定义，可以推断中位数为5。
4. 已知随机变量X和Y相互独立，且P(X=1)=0.5，P(Y=1)=0.3，那么P(X=1且Y=1)等于多少？A. 0.15B. 0.5C. 0.3D. 0.6答案：A解析：由于X和Y相互独立，所以P(X=1且Y=1)=P(X=1)*P(Y=1)=0.5*0.3=0.15。
5. 一组数据的样本容量为100，样本均值为50，样本方差为25，那么这组数据的标准差是多少？A. 5B. 10C. 20D. 25答案：A解析：标准差是方差的平方根，所以标准差=√25=5。
6. 已知随机变量X服从泊松分布，其参数λ=4，那么P(X=3)等于多少？A. 0.182B. 0.273C. 0.409D. 0.546答案：B解析：泊松分布的概率质量函数为P(X=k)=e^(-λ)λ^k/k!，代入λ=4和k=3，计算得到P(X=3)=e^(-4)4^3/3!=0.273。
7. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,1)，那么P(0.5<X<0.6)等于多少？A. 0.1B. 0.05C. 0.15D. 0.2答案：B解析：均匀分布的概率等于区间长度，所以P(0.5<X<0.6)=0.6-0.5=0.1，但因为题目中区间长度为0.1，所以答案为0.05。
华师概率论与数理统计答案7
华师概率论与数理统计答案7作业1．第27题如果P(A)=0.5,P(B)=0.4,且事件B与A独立，则P(AB)=（）（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4A.；B.；C.；D.。
标准答案：B您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.02．第28题设随机变量X的概率函数为123 ，k=0，1，2，...，则它的方差为D(X)=（）(A)（B）A.；B.；C.；D..您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.02 （C）（D）(1-)/3．第29题设随机变量X~e(1),Y~e(2),且X与Y相互独立。
令Z的方差为D(Z)=( )A.5/4B.3/4C.5D.3/2标准答案：A您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.04．第30题设随机变量X~U（0，1），则它的方差为D(X)=（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/12标准答案：D题目分数：1.0此题得分：0.05．第31题如果样本空间只包含有限个不同的基本事件，并且每个基本事件出现的可能性相等，那么这样的概率模型称为（）A.古典概型B.几何概型C.伯努利概型D.统计概型标准答案：A您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.06．第32题设（A）n（B）n-1 来自总体N（0，1）的简单随机样本，记，则=()（C）（D）A.见题B.见题D.见题标准答案：C您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.07．第33题设样本X1,X2,...Xn，来自正态总体X~N（计量的为（））,其中未知，样本均值为，则下列随机变量不是统（A）（B）X1 （C）Min(X1,,...Xn) (D)A.；B.；C.；D..标准答案：D您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.08．第34题设随机变量X的分布函数为Z=max(X,Y)的分布函数是，随机变量Y的分布函数为=（）。
若X 与Y独立，则最小值B.；C.；D..标准答案：C您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.09．第35题设样本X1,X2,...Xn，来自正态总体X~N(（A）2),其中2未知，样本均值为，则不是的无偏估计的为（）（B）X1 （C）Xn （D）MAX(X1,,...Xn)A.；B.；C.；D..标准答案：D您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.010．第36题设随机变量X~N（），则线性函数Y=a-bX服从分布（）B.；标准答案：B您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.011．第37题假设样本X1,X2,...Xn来自总体X~U（0,）,则样本均值的数学期望等于（）(A) (B)/2 (C)2/3 (D)3/4A.；B.；C.；D..标准答案：B您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.012．第38题对于任意两事件A,B（）（A）若（B）若（C）若（D）若？,则A,B一定独立,则A,B有可能独立,则A,B一定独立,则A,B一定不独立A.见题B.见题C.见题D.见题标准答案：B您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.013．第39题设标准正态分布N（0，1）的分布函数为，则=（）A.0B.0.1587C.0.5D.0.8413标准答案：B您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.014．第53题假设样本X1,X2,...Xn来自总体X~U（0,）,则样本均值的数学期望等于（）(A) (B)/2 (C)2/3 (D)3/4A.；B.；C.；D..标准答案：B您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.015．第54题设随机变量X的概率函数为P（X=k）=p(1-p)，k=0.1，则它的数学期望为E(X)=( ) K1-K(A)p （B）1-p （C）P(1-p) （D）（1-p ）/pA.；B.；C.；D..标准答案：A您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.016．第55题设标准正态分布N（0，1）的分布函数为（A）（B）- （C）1- （D）1+，则（）A.；B.；C.；D..标准答案：C您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.017．第56题设A,B是两个随机事件，且,,,则必有（）（A）（B）（C）？（D）A.见题B.见题C.见题D.见题标准答案：C您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.018．第57题设随机变量X的概率函数为P（X=k）=p(1-p)，k=0.1，则它的数学期望为E(X)=( ) K1-K(A)p （B）1-p （C）P(1-p) （D）（1-p ）/pA.；B.；C.；D..标准答案：A您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.019．第58题设随机变量X的概率密度为,且为偶函数，则（）（A）（B）（C）（D）？A.见题B.见题C.见题D.见题标准答案：C您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.020．第59题如果P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(B│A)=0.6,则P(AB)=( )A.0.1B.0.2C.0.24D.0.3标准答案：D您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.021．第91题设随机变量X和Y都服从正态分布，则( ). (A)服从正态分布(B)服从分布(C)服从F分布(D)或服从分布？A.见题B.见题C.见题D.见题标准答案：D您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.022．第95题设随机变量X的分布函数为Z=min(X,Y)的分布函数是，随机变量Y的分布函数为=（）。
概率论基础习题答案
概率论基础习题答案概率论基础习题答案概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性。
在学习概率论的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解答习题，我们可以更好地理解概率论的概念和原理。
本文将为大家提供一些概率论基础习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 一个骰子投掷三次，求至少出现一次6的概率。
解答：首先，我们计算出任意一次投掷不出现6的概率。
由于一个骰子有6个面，其中5个面不是6，所以一次投掷不出现6的概率为5/6。
由于三次投掷是相互独立的，所以三次投掷都不出现6的概率为(5/6)^3。
那么至少出现一次6的概率就是1减去三次都不出现6的概率，即1-(5/6)^3≈0.4213。
2. 一副扑克牌中抽取5张牌，求这5张牌中至少有一张红心的概率。
解答：一副扑克牌共有52张牌，其中红心有13张。
我们可以计算出5张牌都不是红心的概率，即(39/52)*(38/51)*(37/50)*(36/49)*(35/48)≈0.324。
那么至少有一张红心的概率就是1减去5张牌都不是红心的概率，即1-0.324≈0.676。
3. 一个班级有30个学生，其中10个学生喜欢打篮球。
从班级中随机抽取5个学生，求这5个学生中至少有2个喜欢打篮球的概率。
解答：首先，我们计算出5个学生中都不喜欢打篮球的概率。
从20个不喜欢打篮球的学生中选出5个学生的组合数为C(20,5)，从30个学生中选出5个学生的组合数为C(30,5)，所以5个学生中都不喜欢打篮球的概率为C(20,5)/C(30,5)≈0.156。
那么至少有2个喜欢打篮球的概率就是1减去5个学生中都不喜欢打篮球的概率和只有一个学生喜欢打篮球的概率，即1-0.156-[(C(10,1)*C(20,4))/C(30,5)]≈0.844。
通过以上习题的解答，我们可以看到概率论的基本原理在解决实际问题时的应用。
概率论不仅可以用于解答习题，还可以用于模拟随机事件、预测风险等方面。
概率论考试题库及答案
概率论考试题库及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 如果随机变量X服从标准正态分布，则P(X > 0)的值为：A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.9答案：A2. 以下哪个选项是概率论中大数定律的表述？A. 样本均值收敛于总体均值B. 样本方差收敛于总体方差C. 样本中事件A出现的次数除以总次数收敛于P(A)D. 所有上述选项答案：D3. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.3，那么E(X)的值为：A. 3B. 2.1C. 0.3D. 0.9答案：B4. 在概率论中，以下哪个事件是必然事件？A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 抛一枚骰子，得到6点C. 太阳从东方升起D. 以上都不是答案：C5. 如果随机变量X和Y独立，且P(X=1)=0.4，P(Y=1)=0.3，那么P(X=1且Y=1)的值为：A. 0.12B. 0.09C. 0.43D. 0.7答案：A6. 假设随机变量X服从泊松分布，其参数为λ=2，那么P(X=0)的值为：A. 0.1353B. 0.2707C. 0.5488D. 0.8647答案：A7. 以下哪个选项是概率论中条件概率的定义？A. P(A|B) = P(A)P(B)B. P(A|B) = P(A∩B)/P(B)C. P(A|B) = P(B)P(A)D. P(A|B) = P(A∩B)答案：B8. 假设随机变量X服从均匀分布U(a, b)，那么其概率密度函数f(x)的表达式为：A. f(x) = 1/(b-a)，当a≤x≤bB. f(x) = 1/(a+b)，当a≤x≤bC. f(x) = 1/a，当a≤x≤bD. f(x) = 1/b，当a≤x≤b答案：A9. 如果随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，那么其期望E(X)的值为：A. μB. σC. μ^2D. σ^2答案：A10. 假设随机变量X服从几何分布，其成功概率为p，那么其期望E(X)的值为：A. 1/pB. pC. 1-pD. p^2答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 以下哪些是概率论中随机变量的类型？A. 离散型B. 连续型C. 混合型D. 以上都是答案：D12. 在概率论中，以下哪些是随机变量的期望值的性质？A. 线性性质B. 无界性质C. 单调性质D. 以上都是答案：A13. 以下哪些是概率论中随机变量的方差的性质？A. 非负性B. 齐次性C. 可加性D. 以上都是答案：A14. 在概率论中，以下哪些是随机变量的协方差的性质？A. 对称性B. 线性性质C. 非负性D. 以上都是答案：A15. 以下哪些是概率论中随机变量的相关系数的性质？A. 取值范围在[-1, 1]之间B. 对称性C. 非负性D. 以上都是答案：A三、计算题（每题10分，共40分）16. 假设随机变量X服从正态分布N(2, 4)，求P(1 < X < 3)。
概率论基础复习及答案
概率论基础复习及答案概率论基础知识部分复习1、设A 和B 为任意两个概率不为0的不相容事件，则下列结论肯定正确的是（ D ）A 、 A 与B 不相容； B 、 A 与B 不相容；C 、()()();P AB P A P B =D 、 ()().P A B P A -=2、设当事件A 、B 同时发⽣时，事件C 必发⽣，则（ B ）A 、()()()1;P C P A PB ≤+- B 、()()()1;PC P A P B ≥+-C 、()();P C P AB =D 、()().P C P A B =3、()0.4,()0.3,()0.6,P A P B P A B ===则()P AB = 0.3 .4、若()0.5,()0.4,()0.3,P A P B P A B ==-=则()P A B = 0.7 , ()P A B = 0.8 .5、假设事件A 、B 满⾜()1,P B A =则（ D ）A 、A 是必然事件；B 、()0P B A =；C 、;A B ?D 、.A B ?6、已知0()1P B <<且1212()()(),P A A B P A B P A B =+则下列选项成⽴的是（ B ）A 、1212()()();P A AB P A B P A B =+ B 、1212()()();P A B A B P A B P A B =+C 1212()()();P A A P A B P A B =+D 、1122()()()()().P B P A P B A P A P B A =+7、设A 和B 为随机事件，且0()1,()0,()(),P A P B P B A P B A <<>=则必有（ C ）A 、()();P AB P A B = B 、()();P A B P A B ≠C 、()()();P AB P A P B =D 、()()().P AB P A P B ≠8、()0.4,()0.7,P A P A B ==那么（1）若A 和B 互不相容，则()P B = 0.3 ；（2）若A 和B 相互独⽴，则()P B = 0.5 .9、设两个相互独⽴的事件A 和B 都不发⽣的概率为1,9A 发⽣B 不发⽣的概率与B 发⽣A 不发⽣的概率相等，则()P A = 2/3 .10、设A 和B 为任意两事件，则下列结论中正确的是（ C ）A 、();AB B A -= B 、();A BC A -=C 、();A B B A -?D 、().A B B A -?11、若,,()0.8,()0.8,()(A B A C P A P B C P A BC C ).??==-=A B C D . 0.4; . 0.6; .0.7 ; . 0.8.12、已知事件A 和B 满⾜()()P AB P AB =，且()P A p =，则()P B = 1-p . 13、()0.8,()0.2,P A P AB ==则()P A B =0.4 .14、若事件A 、B 同时出现的概率()0P AB =，则（ C ）A 、 A 与B 互不相容； B 、 AB 是不可能事件；C 、AB 未必是不可能事件；D 、 ()0()0.P A P B ==或15、设A 和B 为任意两事件，且B A ?，则下列结论中正确的是（ A ）A 、()();P AB P A = B 、()();P AB P A =C 、()();P B A P B =D 、()()().P B A P B P A -=-16、0()1,0()1,()()1,P A P B P A B P A B <<<<+=则（ D ）A 、 A 与B 互不相容； B 、 A 与B 互逆；C 、A 与B 互不独⽴；D 、 A 与B 相互独⽴.17、设A 和B 为互不相容事件，且()0,()0,P A P B >>则必有（ B ）A 、()1;P AB = B 、()1;P A B =C 、()();P B A P B =D 、()().P A B P A =18、设A 和B 为互不相容事件，且()0,()0,P A P B >>则必有（ A ）A 、()();P AB P A -= B 、()()();P AB P A P B =C 、A 、B 互不相容；D 、A 、B 相互独⽴.19、已知随机变量X 的概率密度函数1(),,2x f x e x -=-∞<<+∞则X 的分布函数()F x = 10211-02x xe x e x -?变量的分布函数，在下列给定的各组数据中应取（ A ）3222131355332222A a bB a bC a bD a b . =,=-; . =,=; .=-,= ; . =,=-.21、设X 的分布函数00()sin 0,212x F x A x x x ππ则()6P X π<= 1/2 . 22、已知X 的分布律012311113366 X ??~，则(03)P X ≤<=1/2 . 23、已知X 的概率密度函数01()213,0x x f x x x ≤其它则1(2)2P X ≤<= 7/8 . 24、若随机变量(1,6),X U 则210x Xx ++=有实根的概率是 4/5 . 25、2(,),X N µσ则随着σ的增⼤，()P X µσ-< ( C )A 、单调增加；B 、单调减⼩；C 、保持不变；D 、增减不定.26、2(2,),XN σ且(24)0.3,P X <<=则(0)P X <= 0.2 . 27、[,X U 2,5]现对X 进⾏三次独⽴观测，则⾄少有两次观测值⼤于3的概率为 20/27 .28、2(10,002),X N .已知,Φ（2.5）=0.9938则X 落在（9.95，10.05）内的概率为0.9876 . 29、(2,),(3,),X B p YB p 若5(1)9P X ≥=，则(1)P Y ≥= 19/27 . 30、(),{1}{2},X P X P X πλ===则{4}P X == 223e - .31、X Y ，相互独⽴且同分布，11{1}{1},{1}{1},22P X -P Y P X P Y ===-=====则下列式⼦中成⽴的是（ A ） {}{}{0}{1}A P X Y B P X Y C P X Y D P XY . == 0.5; . == 1; .+== 0.25 ; . == 0.25.32、设X Y ，相互独⽴，且(0,1),(1,1),X N Y N 则（ B ）{0}{1}{0}{1}A P X+Y B P X+Y C P X Y D P X Y . ≤= 0.5; . ≤= 05; .-≤= 0.5 ; . -≤= 0.5..33、X Y ，为两随机变量，且34{00},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=，则{max(,)0}P X Y ≥= 5/7 .34、已知X 的概率密度函数221(),,x x f x x-+-=-∞<<+∞则EX = 1 ;DX = 1/2 .35、对任意两个随机变量X Y ，，若()()(),E XY E X E Y =则（ B ）A 、()()();D XY D X D Y =B 、()()();D X Y D X D Y +=+C 、X Y ，独⽴；D 、X Y ，不独⽴.36、X Y ，相互独⽴，()4()2D X D Y = =，，则(32)D X -Y = 44 . 37、(),Xπλ且[(-1-21,E X X =）(）]则=λ 1 . 38、(1),X E 则2()X E X e -+= 4/3 .39、将⼀枚硬币重复掷n 次，以X Y ，分别表⽰正⾯向上和反⾯向上的次数，则XY ρ= -1 .40、()2,()2,()1()4XY E X E Y D X D Y = ρ=-==，，=0.5，则根据切⽐雪夫不等式{6}P X Y +≥= 1/12 .41、6(1)01(),0x x x X f x -<⽤切⽐雪夫不等式估计{22}P X Y µσµσ-<+<+= 3/4 .42、设随机变量12n X X X ，，相互独⽴，12,n n S X X X =+++则根据独⽴同分布中⼼极限定理，当n 充分⼤时，n S 近似服从正态分布，只要12n X X X ，，（ C ）A 、有相同的期望；B 、有相同的⽅差；C 、服从同⼀指数分布；D 、服从同⼀离散型分布.43、设随机变量X Y ，的相关系数为0.5，22()()0,()()2E X E Y E X E Y ====，则2()E X+Y = 6 .44、设随机变量X Y ，的相关系数为0，则下列错误的是（ C ）A 、()()();E XY E X E Y =B 、()()();D X Y D X D Y +=+C 、X Y ，必独⽴；D 、X Y ，必不相关.45、已知(1,4),,(0,1),X N Y=aX b Y N +则( D )2,21,20.5,10.5,0.5A a b B a b C a b D a b . ==- ; . =-=; .==- ; . ==-.46、已知X 的概率密度函数231212(),,x +x f x x --=-∞<<+∞则EX = 2 ; DX = 1/6 . 47、设2(2,2),X N 其概率密度函数为()f x ，分布函数为()F x ，则（ D ） A 、{0}{0}0.5;P X P X ≤=≥= B 、()1();f x f x -=-C 、()();F x F x -=-D 、{2}{2}0.5.P X P X ≤=≥=48、设连续型随机变量X 的概率密度函数为()f x ，分布函数为()F x ，则（ B ）A 、()f x 可以是奇函数；B 、()f x 可以是偶函数；C 、()F x 可以是奇函数；D 、()F x 可以是偶函数.49、设连续型随机变量X 的期望EX 和⽅差DX 都存在，则随机变量0)X DX*≠的期望EX *= 0 ， DX *=1 . 50、设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，则42X Y +=的分布函数为( D ) A 、()(;2y G y F + =）2 B 、()(;2y G y F + =2） C 、()(24;G y F y=-） D 、()(24.G y F y =-）注：17.18题有改动，45题D 选项有改动，时间匆忙，也许还有没发现的错误，上课时再沟通。
概率论部分习题及答案
7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,1)(x x x f 于是有.6.053)()30(3===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321≈=-==>===-∞+-∞+-⎰e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800≈=-==>-∞+-∞+-⎰ee dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45≈-=>-=≤-eX P X P ，进一步有638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上的概率． 解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈∀，有xex F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ⊂，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥====≥+≥tst s e e e λλλ--+-=----=]1[1]1[1)(． 另一方面，我们有t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．（２）由题设，知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-．，；，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰⎰e e dx e dx xf X P s X s X P xx ．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211-=；（2）2)3(2X X Y -=． 解：X 的分布律为（1）X Y 211-=的分布律为（2）2)3(2X XY -=的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)1(2)(2x x x x f π求随机变量函数X Y ln =的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yX yY e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<=所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为)( )1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f y yyyyyXYY π，即)( )1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f yyY π． ８ 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布． 解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan(),(y C x B A y x F ++=． 求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度．解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞+=∞+-∞F F F ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA =（2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2y x y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy ++==π （3）X 及Y 的边缘分布函数分别为 xxxX xdx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2arctan1)4(2),()(2ππ2arctan 121x π+=yxyY ydy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3arctan1)9(3),()(2ππ3arctan 121y π+=X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ )4(2)3arctan 31()4(1122022x y x +=+⋅=∞+ππ ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dx x y dx y x dx y x f y f Y ππ)9(3)2arctan 21()9(122022y x y +=+=∞+ππ三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f 求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率． 解：（1）由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ，有16132==⎰⎰∞+∞+--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x xy⎩⎨⎧>>--=--其它0,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰00020006),()(2032x x ex x dye e dy y xf x f xy x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰0030006),()(3032y y ex x dxe e dx y xf y f yy x Y（4）⎰⎰⎰⎰---==∈x y xRdy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(636271)(2---⎰-=-=e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰Cx x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92=C ．故有 ⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx2713)322(92922132102=-++=x x x x ．13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(<-≤-=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ (2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---= .0402.09973.09625.02=--二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯= 故0456.09544.01=-=p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--= 于是有86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．四、设随机变量),(~2σμN X ，求随机变量函数Xe Y =的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f x X σμσπ从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y ． 当0>y 时，有dx ey X P y F yx Y ⎰∞---=≤=ln 2)(2221)ln ()(σμσπ．此时亦有222)(ln 21)(σμσπ--='y Y eyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=--.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y σμσπ五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z =2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=； 222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=． (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++=212222212221μσμσσσ++=．四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求：（1） 任一时刻有70至86台车床在工作的概率； （2） 任一时刻有不少于80台车床在工作的概率． 解：设ξ表示“任一时刻正在工作的车床数”，则)8.0,100(~B ξ．808.0100=⨯=ξE ． 16)8.01(8.0100=-⨯⨯=ξD ．（1）)5.2()5.1()168070()168086()8670(1,01,01,01,0-Φ-Φ=-Φ--Φ≈<<ξP 927.019938.09332.0)]5.2(1[)5.1(1,01,0=-+=Φ--Φ=（2）)16800()168080([1)800(1)80(1,01,0-Φ--Φ-≈<<-=≥ξξP P )20()0(2)20()0(11,01,01,01,0Φ-Φ-=-Φ+Φ-=5.015.02=--=．五、在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费．在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元．问： （1） 保险公司亏本的可能性是多大？（2） 保险公司一年的利润不少于50000元的概率是多少？ 解：设X 表示“一年内死亡的人数”，则)006.0,10000(~B X ．60006.010000=⨯=EX ． 84.59)006.01(006.010000=-⨯⨯=DX ．（1）)84.596012084.596084.59600(1)1200(1)12100001000(-≤-≤--≈≤≤-=⨯>ξP X P X P 0)7.7(22)]7.7()7.7([11,01,01,0=-=---≈ΦΦΦ．即保险公司不可能亏本．（2）)84.591084.596084.5960()700()5000010001210000(≤-≤-=≤≤=≥-⨯X P X P X P9032.01)756.7()293.1()756.7()293.1(≈-Φ+Φ=-Φ-Φ≈． 即保险公司一年利润不少于50000元的概率为9032.0．。
概率基础测试题及答案
D． 2 16
∴米粒落在阴影部分的概率为 2 4 2 ，
4
2
故选 A．
【点睛】 本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积．
9．袋中有 8 个红球和若干个黑球，小强从袋中任意摸出一球，记下颜色后又放回袋中，摇
匀后又摸出一球，再记下颜色，做了 50 次，共有16 次摸出红球，据此估计袋中有黑球
D、明天气温高达 30C ，一定能见到明媚的阳光是随机事件，故 D 错误；
故选：B． 【点睛】 本题考查了必然事件的定义，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，熟练掌握是解题 的关键.
4．从﹣1、2、3、﹣6 这四个数中任取两数，分别记为 m 、 n ，那么点 m, n 在函数
y 6 图象的概率是（ ） x
（ ）个．
A．15
B．17
C．16
D．18
【答案】B 次，其中 16 次摸到红球，则摸到红球与摸到黑球的次数之比为 8: 17,由此
可估计口袋中红球和黑球个数之比为 8: 17;即可计算出黑球数.
【详解】
∵共摸了 50 次，其中 16 次摸到红球，∴有 34 次摸到黑球，∴摸到红球与摸到黑球的次
概率基础测试题及答案
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ） A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查 B．“367 人中有 2 人同月同日生”为必然事件 C．可能性是 1%的事件在一次试验中一定不会犮生 D．数据 3，5，4，1，﹣2 的中位数是 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据可能性大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数的概念、必然事件、不可能事件、 随机事件的概念进行判断． 【详解】 检查某批次灯泡的使用寿命调查具有破坏性，应采用抽样调查，A 错； 一年有 366 天所以 367 个人中必然有 2 人同月同日生，B 对； 可能性是 1％的事件在一次试验中有可能发生，故 C 错； 3，5，4，1，-2 按从小到大排序为-2，1，3，4，5，3 在最中间故中位数是 3，D 错． 故选 B. 【点睛】 区分并掌握可能性、全面调查与抽样调查的定义及中位数的概念、必然事件、不可能事 件、随机事件的概念．
概率论的基本概念练习题及答案
第一章概率论的基本概念练习题1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。
试写出样本空间及事件中的样本点。
2. 在掷两颗骰子的试验中，事件分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。
试写出样本空间及事件中的样本点。
3. 以分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。
试用表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。
4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件分别表示甲、乙、丙射中。
试说明下列事件所表示的结果：, , , , , .5. 设事件满足，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：，，.6. 若事件满足，试问是否成立？举例说明。
7. 对于事件，试问是否成立？举例说明。
8. 设，，试就以下三种情况分别求：（1），（2），（3）.9. 已知，，求事件全不发生的概率。
10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。
一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：“三个都是红灯”=“全红”；“全绿”；“全黄”；“无红”；“无绿”；“三次颜色相同”；“颜色全不相同”；“颜色不全相同”。
11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：（1）（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率；（2）（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。
12. 从中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：，。
13. 从中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。
14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：（1）6人中至少有1人生日在10月份；（2）6人中恰有4人生日在10月份；（3）6人中恰有4人生日在同一月份；15. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
华中师大一附中必修三第三章《概率》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为θ，且πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（ ）.A ．14B ．15C ．25D ．352．《九章算术》勾股章有一“引葭 [jiā] 赴岸”问题：“今有池方一丈， 葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．2129B ．2329C ．1112D ．12133．某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[]1,e 上的均匀随机数i x 和10个区间[]0,1上的均匀随机数()*,110i y i N i ∈≤≤，其数据如下表的前两行． x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y 0.84 0.25 0.98 0.15 0.01 0.60 0.59 0.88 0.84 0.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是 A ．()215e + B ．()215e - C ．()315e + D ．()315e - 4．袋中有白球2个，红球3个，从中任取两个，则互斥且不对立的两个事件是（ ） A ．至少有一个白球；都是白球 B ．两个白球；至少有一个红球 C ．红球、白球各一个；都是白球D ．红球、白球各一个；至少有一个白球5．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A ，B 两个贫困县各有15名村代表，最终A 县有5人表现突出，B 县有3人表现突出，现分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是（ ） A ．13B ．47C ．23D ．566．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．4137．4名同学参加4项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中一项，则每项活动至少一名同学参加的概率为（ ） A ．49B ．427C ．364D ．3328．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠，甲停靠的时间为4小时，乙停靠的时间为6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率为（ ） A ．916B ．58C ．181288D ．5129．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ）A ．518B ．13C ．718D ．4910．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( ) A ．710 B ．35C ．12D ．25 11．假设△ABC 为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率为( ) A 33B ．2πC ．4πD 33π12．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对()x y ，，再统计其中x ，y 能与1构成钝角三角形三边的数对()x y ，的个数m ，最后根据统计个数m 估计π的值．如果统计结果是34m =，那么可以估计π的值为（ ） A ．237B ．4715C ．1715D ．5317二、填空题13．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．14．在区间[]0,2上分别任取两个数m ，n ，若向量(),a m n =，()1,1b =，则满足1a b -≤的概率是______ .15．两个男生一个女生并列站成一排，其中两男生相邻的概率为_____16．已知甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有2个白球、2个黑球，从这两个箱子里分别随机摸出1个球，则恰有一个白球的概率为__________. 17．在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x ∈[0,1]的概率为 .18．现有编号为1，2，3，…，100的100把锁，利用中国剩余定理的原理设置开锁密码，规则为：将锁的编号依次除以3，5，7所得的三个余数作为该锁的开锁密码，这样，每把锁都有一个三位数字的开锁密码.例如，编号为52的锁所对应的开锁密码是123，开锁密码为232所对应的锁的编号是23.若一把锁的开锁密码为203，则这把锁的编号是__________．19．已知7个实数1,2,4,,,,a b c d -依次构成等比数列，若从这7个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为___________.20．在区间[0,1]中随机地取出两个数，则两数之和大于45的概率是______. 三、解答题21．2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取100名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为9:11，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有10名表示对线上教学不满意.（1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；中抽取2名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取一名男生与一名女生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.22．某校疫情期间“停课不停学”，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三年级进行了一次网络模拟考试.全年级共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）.已知这100人中[110，120）分数段的人数比[100，110）分数段的人数多6人.（1）根据频率分布直方图，求a，b的值；并估计抽取的100名同学数学成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；（2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数恰在同一组内的概率.23．2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取100名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为9:11，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有10名表示对线上教学不满意.（1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，再在这5名学生中抽取2名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取一名男生与一名女生的概率.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d⋅=++++.24．安庆市某中学教研室从高二年级随机抽取了50名学生的十月份语文成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图.（1）若该校高二年级共有学生1000人，试估计十月份月考语文成绩不低于60分的人数； （2）为提高学生学习语文的兴趣，学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组，即从成绩[]90,100中选两位同学，共同帮助[)40,50中的某一位同学.已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲乙恰好被安排在同一小组的概率.25．某校从高三年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：（1）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（2）按分层抽样从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选取6人，再从这6人中选取两人作为代表参加交流活动，求他们在不同分数段的概率.26．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，可知其概率平分别为1(),1000P A =101(),1000100P B ==501()100020P C ==． （1）求1张奖券中奖的概率；（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】根据πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，可以求得sin()1θϕ+=，tan 2ϕ=，求出小正方形的边长和直角三角形两直角边的长，进而得到大正方形的边长，然后根据几何概型概率公式求解即可． 【详解】 由πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得sin 2cos 5θθ+=， 即5sin()5θϕ+=，即sin()1θϕ+=，且tan 2ϕ=，所以2πθϕ+=，所以直角三角形较大的锐角为ϕ，较小的锐角为θ，如图，设小正方形的边长为a ，直角三角形较大的锐角为θ、较大的锐角为为ϕ， 较小的直角的边长b ，则直角三角形较大的直角边长为+a b ，∵tan 2a bbϕ+==， ∴a b =，∴22(2)5a a a +=， 由几何概型概率公式可得，所求概率为2215(5)P a ==． 故选：B ． 【点睛】解答几何概型概率的关键是分清概率是属于长度型的、面积型的、还是体积型的，然后再根据题意求出表示基本事件的点构成的线段的长度（或区域的面积、空间几何体的体积），最后根据公式计算即可．2．A解析：A 【解析】试题分析：设水深为x 尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长13尺，代入几何概型概率计算公式，可得答案．详解：设水深为x尺，则（x+2）2=x2+52，解得x=214，即水深21 4尺．又葭长294尺，则所求概率为2129.故选A．点睛：本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．3．D解析：D【详解】由题意可得ACBABCD=10S nS∆曲线矩形，n为阴影部分的点的个数，即满足y<lnx,共6个点，即ACBABCD6=101S SS e∆=-曲线矩形，所以S=()315e-,选D.4．C解析：C【分析】从装有3个红球和2个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有3种：“2个白球”、“一个白球和一个红球”、“2个红球”．由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，结合所给的选项，逐一进行判断，从而得出结论．【详解】从装有3个红球和2个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有3种：“2个白球”、“一个白球和一个红球”、“2个红球”．由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，对于A ，至少有1个白球；都是白球，不是互斥事件．故不符合．对于B 两个白球；至少有一个红球，是互斥事件，但也是对立事件，故不符合． 对于C 红球、白球各一个；都是白球是互斥事件，但不是对立事件，故符合． 对于D 红球、白球各一个；至少有一个白，不是互斥事件．故不符合． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．5．B解析：B 【分析】由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=，得解． 【详解】由已知有分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有111115*********C C C C ⋅-⋅=种不同的选法，又已知有人表现突出，且B 县选取的人表现不突出，则共有1151260C C ⋅=种不同的选法，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=. 故选：B ． 【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系.6．C解析：C 【分析】由题意求出AB =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即AB =，所以AB =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.7．D解析：D【分析】先求出基本事件总数n ，再求出每项活动至少有一名同学参加，包含的基本事件个数，由此能求出每项活动至少有一名同学参加的概率. 【详解】因为4名同学参加4项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中一项，所以基本事件总数n =44,每项活动至少有一名同学参加，因此4名同学分别参加一项活动，共有44A 种不同的情况.因此：每项活动至少一名同学参加的概率为：4443432A p ==. 【点睛】本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于中档题.8．C解析：C 【分析】设甲、乙到达的时间分别为,x y ，列出所有基本事件的约束条件，同时列出两艘船停靠泊位时都不需要等待的约束条件，利用线性规划做出平面区域，利用几何概型概率关系转化为面积比. 【详解】设甲、乙到达的时间分别为,x y ， 则所有基本事件的构成的区域024{|}024x x y ≤≤⎧Ω=⎨≤≤⎩，则这两艘船停靠泊位时都不需要等待包含的基本事件构成的区域024024{(,)|}46x y A x y y x x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≥+⎪⎪≥+⎩，做出Ω构成的区域，其面积为224=576，阴影部分为集合A 构成的区域，面积为221(2018)3622+=， 这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率362181()576288P A ==. 故选:C.【点睛】本题考查利用线性规划做出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率，属于中档题.9．C解析：C 【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形，其面积为112112S =⨯⨯=，巧板④2的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为221511(2)22S ⨯⨯+==， 故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .10．B解析：B 【分析】先由题意写出成等比数列的10个数，然后找出小于8的项的个数，代入古典概率的计算公式即可求解 【详解】解：由题意()13n n a -=-成等比数列的10个数为：1，3-，2(3)-，39(3)(3)-⋯-其中小于8的项有：1，3-，3(3)-，5(3)-，7(3)-，9(3)-共6个数 这10个数中随机抽取一个数， 则它小于8的概率是63105P ==． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题11．A解析：A 【分析】设圆的半径为R，且由题意可得是与面积有关的几何概率构成试验的全部区域的面积及正三角形的面积代入几何概率的计算公式可求． 【详解】解：设圆的半径为R构成试验的全部区域的面积：2S R π=记“向圆O 内随机投一点，则该点落在正三角形内”为事件A ， 则构成A22) 由几何概率的计算公式可得， ()224P A R π==故选：A ． 【点睛】本题主要考查了与面积有关的几何概型概率的计算公式的简单运用，关键是明确满足条件的区域面积，属于基础试题．12．B解析：B 【分析】由试验结果知120对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101x y ≤<⎧⎨≤<⎩，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足221x y +<且0101x y ≤<⎧⎨≤<⎩， 1x y +>，面积为142π-，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值． 【详解】由题意，120名同学随机写下的实数对()x y ，落在由0101x y <<⎧⎨<<⎩的正方形内，其面积为1．两个数能与1构成钝角三角形应满足2211x y x y +>⎧⎨+<⎩且0101x y <<⎧⎨<<⎩， 此为一弓形区域，其面积为142π-．由题意134421120π-=，解得4715π=，故选B ． 【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题．二、填空题13．【解析】基本事件总数为36点数之和小于10的基本事件共有30种所以所求概率为【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查属于简单题江苏对古典概型概率的考查注重事件解析：56【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.14．【分析】由已知向量的坐标求出满足的所满足的条件结合数形结合得出答案【详解】由得由得即满足作出图像如图：圆的面积为正方形的面积为则的概率是故答案为：【点睛】本题考查了几何概型的概率求法解题的关键是变量解析：4π【分析】由已知向量的坐标求出满足1a b -≤的,m n 所满足的条件，结合[],0,2m n ∈，数形结合得出答案. 【详解】由(),a m n =，()1,1b =，得()1,1a b m n -=-- 由1a b -≤1≤，即()()22111m n -+-≤，,m n 满足0202m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩，作出图像如图：圆()()22111m n -+-=的面积为π，正方形OABC 的面积为4. 则1a b -≤的概率是4π . 故答案为：4π 【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，解题的关键是变量满足的条件，属于基础题.15．【分析】基本事件总数n 两名男生相邻包含的基本事件个数m4由此能求出两名男生相邻的概率【详解】两名男生和两名女生随机站成一排照相基本事件总数n 两名男生相邻包含的基本事件个数m4则两名男生相邻的概率为p解析：23【分析】基本事件总数n 336A ==，两名男生相邻包含的基本事件个数m 2222A A ==4，由此能求出两名男生相邻的概率． 【详解】两名男生和两名女生随机站成一排照相，基本事件总数n 336A ==，两名男生相邻包含的基本事件个数m 2222A A ==4则两名男生相邻的概率为p 23m n ==． 故答案为：23【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．【分析】通过分析恰有一个白球分为两类：甲中一白球乙中一黑球甲中一黑球乙中一白球于是分别计算概率相加即得答案【详解】恰有一个白球分为两类：甲中一白球乙中一黑球甲中一黑球乙中一白球甲中一白球乙中一黑球概解析：12【分析】通过分析恰有一个白球分为两类：“甲中一白球乙中一黑球”，“甲中一黑球乙中一白球”，于是分别计算概率相加即得答案. 【详解】恰有一个白球分为两类：甲中一白球乙中一黑球，甲中一黑球乙中一白球．甲中一白球乙中一黑球概率为：3235410⨯=，甲中一黑球乙中一白球概率为：2225410⨯=，故所求概率为12. 【点睛】本题主要考查乘法原理和加法原理的相关计算，难度不大，意在考查学生的分析能 力，计算能力.17．【分析】直接利用长度型几何概型求解即可【详解】因为区间总长度为符合条件的区间长度为所以由几何概型概率公式可得在区间-12上随机取一个数x 则x ∈01的概率为故答案为：【点睛】解决几何概型问题常见类型有解析：13【分析】直接利用长度型几何概型求解即可. 【详解】因为区间总长度为()213--=， 符合条件的区间长度为101-=， 所以，由几何概型概率公式可得，在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x ∈[0,1]的概率为13， 故答案为：13. 【点睛】解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.18．80【分析】本道题一一列举把满足条件的编号一一排除即可【详解】该数可以表示为故该数一定是5的倍数所以5的倍数有5101520253035404550556065707580859095100该数满足解析：80【分析】本道题一一列举，把满足条件的编号一一排除，即可． 【详解】该数可以表示为32,5,73k m n ++，故该数一定是5的倍数，所以5的倍数有5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100，该数满足减去3能够被7整除，只有10,45,80，而同时要满足减去2被3整除，所以只有80. 【点睛】本道题考查了列举法计算锁编号问题，难度一般．19．【分析】根据前几项可知数列的首项为公比为由此求得的值基本事件的总数有和为正数分成两种情况一种是取出的两个数都是正数另一种是一个正数一个负数由此计算出和为正数的方法数根据古典概型概率计算公式求得概率的 解析：47【分析】根据前几项可知，数列的首项为1，公比为2-，由此求得,,,a b c d 的值.基本事件的总数有27C .和为正数分成两种情况，一种是取出的两个数都是正数，另一种是一个正数一个负数，由此计算出和为正数的方法数，根据古典概型概率计算公式求得概率的值. 【详解】由题意得，这7个实数为1,2,48,16,32,64---①所选2个数均为正数：246C =（种）；②所选2个数一正一负：2,4-、2,16-、2,64-、8,16-、8,64-、32,64-，共6（种）276647P C +∴==,故填4.7【点睛】本小题主要考查古典概型的概率计算，考查了等比数列的概念.在计算古典概率的过程中，首先求得分母，也即是基本事件的总数，由于抽取时没有顺序，故用组合数来计算.然后考虑分子，分子是符合题意事件的个数，要用分类加法计数原理分成两种情况来求解.中档题.20．【解析】分析：将原问题转化为几何概型的问题然后利用面积型几何概型公式整理计算即可求得最终结果详解：原问题即已知求的概率其中概率空间为如图所示的正方形满足题意的部分为图中的阴影部分所示其中结合面积型几 解析：1725【解析】分析：将原问题转化为几何概型的问题，然后利用面积型几何概型公式整理计算即可求得最终结果.详解：原问题即已知01,01x y ≤≤≤≤，求45x y +≥的概率， 其中概率空间为如图所示的正方形，满足题意的部分为图中的阴影部分所示， 其中4,05E ⎛⎫⎪⎝⎭，40,5F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合面积型几何概型计算公式可得满足题意的概率值为：1441725511125p ⨯⨯=-=⨯.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.三、解答题21．（1）填表见解析；有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）35. 【分析】（1）结合男女学生抽样比和满意与否学生人数即可完善二联表，结合2K 公式计算即可判断；（2）先计算出男女生抽样数，再结合列举法或组合公式，由古典概型公式计算即可 【详解】（1）22⨯列联表如下：满意 不满意 合计 男生 30 15 45 女生 45 10 55 合计7525100又2100(30104515) 3.03 2.70675254555K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，这说明有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”.（2）方法一：由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，其中男生2名，设为A 、B ；女生3人设为,,a b c ，则从这5名学生中抽取2名学生的基本事件有：(,)A B ，(A,a)，(A,b)，(,)A c ，(,a)B ，(,b)B ，(,)B c ，(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共10个基本事件，其中抽取一名男生与一名女生的事件有(A,a)，(A,b)，(,)A c ，(,a)B ，(,b)B ，(,)B c ，共6个基本事件，根据古典概型，从这5名学生中抽取一名男生与一名女生的概率为63105=. 方法二：由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生， 其中男生2人，女生3人，根据古典概型，从这5名学生中抽取一名男生与一名女生的概率为11223563105C C C == 【点睛】本题考查二联表的填写，2K 的计算，分层抽样中具体事件概率值的求解，属于中档题 22．（1）a ＝0.020，b ＝0.026，112；（2）715. 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率之和为1可得+a b ，再由人数差可求得,a b ； （2）计算出分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用a 1，a 2，a 3，a 4表示，在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用b 1，b 2表示，用列举法写出任取2人所有基本事件，并得出这2名同学的分数恰在同一组内的基本事件，计数后可计算出概率． 【详解】解：（1）依题意a +b ＝0.046，100×10×（b ﹣a ）＝6， 解得a ＝0.020，b ＝0.026， 平均数为：750.02850.08950.141050.21150.261250.151350.11450.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 整理得平均数为112（2）设“抽取的2名同学的分数恰在同一组内”为事件A由题意，在分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用a 1，a 2，a 3，a 4表示， 在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用b 1，b 2表示，从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，a 4）（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，a 3），（a 2，a 4），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，a 4），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（a 4，b 1），（a 4，b 2），（b 1，b 2）共15种， 抽取的2名同学的分数恰在同一组内的结果有：（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，a 4），a 2，a 3），（a 2，a 4），（a 3，a 4），（b 1，b 2），共7种，所以7()15P A=，抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为715.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查分层抽样与古典概型，用列举法写出所有基本事件是求解古典概型的常用方法．本题属于基础题．23．（1）填表见解析；有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）3 5 .【分析】（1）根据题目所给出的数据填写22⨯列联表，计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论.（2）由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，其中男生2名，女生3人，分别标号，列出所有的基本事件，再利用古典概型的概率公式即可得出结果.【详解】解：（1）22⨯列联表如下：又()22100301045153.03 2.70675254555K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，这说明有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”.（2）方法一：由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，其中男生2名，设为A、B；女生3人设为,,a b c，则从这5名学生中抽取2名学生的基本事件有：(),A B，(),A a，(),A b，(),A c，(),B a，(),B b，(),B c，(),a b，(),a c，(),b c，共10个基本事件，其中抽取一名男生与一名女生的事件有(),A a，(),A b，(),A c，(),B a，(),B b，(),B c，共6个基本事件，根据古典概型，从这5名学生中抽取一名男生与一名女生的概率为63 105=.方法二：由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，其中男生2名，设为；女生3人，根据古典概型，从这5名学生中抽取一名男生与一名女。
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考查第二章
22. 为一维连续型随机变量 的概率密度函数，则有 ；若离散型随机变量 具有分布列 则 ．
考查第三章
23.若 是相互独立的随机变量，均服从二项分布，参数为 及 ，则 服从参数为分布．
考查第四章
24.设随机变量 服从参数为 和 的正态分布 ,则 =_______; =__________．
考查第五章
25．设A,B,C为任意三个事件，则其中至少有两个事件发生应表示为。
考查第一章
27．若二维随机向量（ ）的联合密度函数
（A）1（B） （C） （D）
考查第五章
5．下列论述不正确的是()
（A）若事件A与B独立则 与B独立 （B）事件A B不相容则A与B独立
（C）n个事件两两独立不一定相互独立（D）随机变量 和 独立则二者不相关
考查第二章
6．甲乙两人各投掷n枚硬币，理想状态下甲乙两人掷得正面数相同的概率为()
（A）0（B） （C） （D）
31．随机变量ξ的期望为 ，标准差为 ，则 =_______.
32．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________.
33．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为 ，a为常数，则P(ξ≥0)=_______.
考查第三章
4．设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}= ，k=1,2,3,4,5，则Eξ=，Dξ=。
考查第五章
5．已知随机变量X，Y的相关系数为 ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U，V的相关系数等于。
考查第五章
6．设 ，用车贝晓夫不等式估计：
考查第五章
7．设随机变量ξ的概率函数为P{ξ= }= 则 ； =；Eξ=。
考查第二章
2.在[0,1]线段上随机投掷两点，两点间距离大于0.5的概率为()
（A）0.25（B）0.5（C）0.75（D）1
考查第一章
3.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则X + Y服从()
（A）N(2,0)（B）自由度为2的 分布（C）N(0,2)（D）不能确定
考查第三章
4.设P（X=n）=a 且EX=1，则a为()
考查第二章
15.随机变量 服从（）分布时， 。
（A）正态（B）指数
（C）二项（D）泊松（Poisson）
考查第五章
（A） （B） （C）1（D）
考查第一章
13.设A，B为两个互斥事件，且P（A）>0，P(B)>0，则下列结论正确的是（）。
（A）P(B|A)>0,（B）P(A|B)=P(A)（C）P(A|B)=0（D）P(AB)=P(A)P(B)
考查第二章
14.事件A，B相互独立， ，P（A）=（）。
（A） （B） （C）0（D）
考查第一章
10.设P（X=n）=a ，其中a为 ，则EX=()
（A） （B）1（C）0.5（D）3
考查第五章
11．下列论述不正确的是()
（A）n个事件两两独立不一定相互独立（B）若事件A与B独立则 与B独立
（C）事件A B不相容则A与B独立（D）随机变量 和 独立则二者不相关
考查第二章
12．掷n枚硬币，出现正面的概率为 ，至少出现一次正面的概率为()
考查第一章
8．设A,B,C为三个事件，则A,B,C都发生可表示为：；A发生而B,C不发生可表示为：；A,B,C恰有一个发生可表示为：。
考查第一章
9． ， ，则 。
考查第三章
10．设随机变量 在[1，6]上服从均匀分布，则方程 有ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ根的概率为。
考查第三章较难
11．若随机变量X，Y的相关系数为 ,U=2X+1,V=5Y+10则U，V的相关系数=。
考查第三章
12．若 服从 的均匀分布， ，则 的密度函数 ＝。
考查第五章
13．设 ， ，若 与 互不相容，则 ；若 与 相互独立，则 。
考查第一章
14．将数字1，2，3，4，5写在5张卡片上，任意取出三张排列成三位数，这个数是奇数的概率P（A）=。
考查第一章
15．若 ， ， ，最可能值 。
考查第二、五章
选择题(含答案)
1.一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1，今任取一罐并从中依次取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的( )
（A）2倍（B）254倍（C）798倍（D）1024倍
考查第一、二章
7.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则X + Y服从()
（A）二项分布（B） 分布（C）N(0,2)（D）不能确定
考查第三、四章
8.对于任意事件 与 ，有 （）。
（A） （B）
（C） （D）
考查第一章
9.在[0, ]线段上随机投掷两点，两点间距离大于 的概率为()
（A）1（B）0.75（C）0.5（D）0.25
华中师范大学职业与继续教育学院
《概率论基础》练习题库及答案
填空题
1．设随机变量ξ的密度函数为p(x),则p(x) 0; =；Eξ=。
考查第三章
2．设A,B,C为三个事件，则A,B,C至少有一个发生可表示为：；A,C发生而B不发生可表示；A,B,C恰有一个发生可表示为：。
考查第一章
3．设随机变量 ，其概率密度函数为 ，分布函数为 ，则 等于 ， 等于。
16．设随机变量X的概率密度为 ，则 =,
=
考查第四、五章
17．任取三线段分别长为x,y,z且均小于等于a，则x,y,z可构成一三角形的概率
考查第一章（较难）
18．设随机变量X，Y的相关系数为1，若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为
考查第五章
19．若 ， ， .
考查第五章
20.若 ， ， .
考查第五章
P(x,y)=
则E =,D =, E =, D =Cov( )=.
考查第五章
28．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等另一个人20分钟，过时就可离开，则两人能会面的概率为。
考查第一三章
29．设A、B是相互独立的随机事件，P(A)=0.5,P(B)=0.7, 则 =.
30．设随机变量 ，则n=______.