2-3 空间刚架问题的有限元法
空间杆系有限元法也称空间桁架位移法.
3.4.6 杆件内力
引入边界条件后，求解公式，得出各节点的位
移值，由公式和公式可得出ij杆端内力为
{ F}e = [T] [K]e e
T
将公式展开并代入公式整理可得杆件内力表达 式为
EA N [cos(u j ui ) cos (v j vi ) cos (w j wi ) lij
当网架支承在独立柱上时，由于它的弯曲刚度 不是很大，在采用无侧移铰支座时除竖向仍然 看作无位移外，两个水平方向应看成弹性支承， 支承的弹簧刚度由悬臂柱的挠度公式得出：
K cx
3Ec I cy H
3
K cy
Ec——支承柱的材料弹性模量； Icy、Icx——分别为支承柱绕截面y、x轴的截面惯 性矩； H——支承悬臂柱长度。
以图26所示的空间桁 架节点 3 为例，说 明总刚矩阵及总刚方 程的建立。该桁架共 有9个单元，5个节点， 单元及节点编号如图 示。相交于节点3的 杆件有⑥⑦⑧⑨。
图3.26 单元及节点编号
变形协调条件为连于同一节点上的杆端位移相 等 ，即： 内外力平衡条件为汇交于同一节点的杆端内力 之和等于该节点上的外荷载，即： 连于节点3的杆端力与各节点位移关系为：
无侧移铰接支座，支承节点在竖向，边界线切线 和法向都无位移。 单向可侧移支座，竖向和边界切线方向位移为零， 而边界法向为自由。 双向可侧移的铰接支座，只有竖向位移为零，两 个水平方向都为自由。 在网架的四角处，至少一个角上的支座必须是无 侧移的，相邻的两角可以是单向可侧移的，相对 的角可以是双向可侧移的。 这种做法既防止网架的刚体移动，又提供了不少 于6根的约束链杆数。在工程实践中，如果温度 应力不大，也可考虑四角都用无侧移铰支座。
杆件结构的有限元法
第一篇 有限元法
第二章 杆件结构的有限元法
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺 寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中 常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类 型钢等都属于杆件。
杆件结构可分为珩杆和梁两种。
和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。
Ke 1 kkaa
ka
ka
中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列
k k
1 11
1 21
k
1 12
k
1 22
0
0
0 0 0
第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵 的第2行、第3行的第2列、第3列元素上
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2－3 杆件系统的有限元法
一、铰支杆系统的有限元计算格式 上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。 均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
AE F1 L u1
k AE L
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
F F12ALE11 11uu12
坐标变换
由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。 由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。
第1章 有限元法概述
第一章有限元法概述第一节有限元法的发展及基本思想随着现代工业、生产技术的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械及工程结构。
为此目的，人们必须预先通过有效的计算手段，确切地预测即将诞生的机械和工程结构，在未来工作时所发生的应力、应变和位移。
但是传统的一些方法往往难以完成对工程实际问题的有效分析。
弹性力学的经典理论，由于求解偏微分方程边值问题的困难，只能解决结构形状和承受载荷较简单的问题，对于几何形状复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变，以及几何非线性、材料非线性等问题往往遇到很多麻烦，试图按经典的弹性力学方法获得解析解是十分困难的，甚至是不可能的。
因此，需要寻求一种简单而又精确的数值分析方法。
有限元法正是适应这种要求而产生和发展起来的一种十分有效的数值计算方法。
这个方法起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。
1960年美国的克劳夫(C l o u g h)采用此方法进行飞机结构分析时，首次将这种方法起名为“有限单元法”(finite element method），简称“有限元法”。
有限单元法的基本思想，是在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定大小的单元，这些单元仅在有限个节点上相连接，并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。
对于每个单元,根据分块近似的思想，选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律，并按弹性理论中的能量原理(或用变分原理)建立单元节点力和节点位移之间的关系。
最后，把所有单元的这种关系式集合起来，就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组，解这些方程组就可以求出物体上有限个离散节点上的位移。
图1.1是用有限元法对直齿圆柱齿轮的轮齿进行的变形和应力分析，其中图1.1(a)为有限元模型，图1.1(b)是最大切应力等应力线图。
在图1.1(a)中采用8节点四边形等参数单元把轮齿划分成网格，这些网格称为单元；网格间互相连接的点称为节点；网格与网格的交界线称为边界。
有限元方法的发展及应用
有限元⽅法的发展及应⽤有限元⽅法的发展及应⽤摘要：有限元法是⼀种⾼效能、常⽤的计算⽅法。
有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它⼴泛地应⽤于以拉普拉斯⽅程和泊松⽅程所描述的各类物理场中。
⾃从1969年以来，某些学者在流体⼒学中应⽤加权余数法中的迦辽⾦法或最⼩⼆乘法等同样获得了有限元⽅程，因⽽有限元法可应⽤于以任何微分⽅程所描述的各类物理场中，⽽不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。
基本思想：由解给定的泊松⽅程化为求解泛函的极值问题。
1有限元法介绍1.1有限元法定义有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是⽤较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它是起源于20世纪50年代末60年代初兴起的应⽤数学、现代⼒学及计算机科学相互渗透、综合利⽤的边缘科学。
有限元法的基本思想是将求解域看成是由许多称为有限元的⼩的互连⼦域组成，对每⼀单元假定⼀个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满⾜条件(如结构的平衡条件），从⽽得到问题的解。
这个解不是准确解，⽽是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于⼤多数实际问题难以得到准确解，⽽有限元不仅计算精度⾼，⽽且能适应各种复杂形状，因⽽成为⾏之有效的⼯程分析⼿段。
有限元法最初应⽤在⼯程科学技术中,⽤于模拟并且解决⼯程⼒学、热学、电磁学等物理问题。
1.2有限元法优缺点有限元⽅法是⽬前解决科学和⼯程问题最有效的数值⽅法，与其它数值⽅法相⽐，它具有适⽤于任意⼏何形状和边界条件、材料和⼏何⾮线性问题、容易编程、成熟的⼤型商⽤软件较多等优点。
（1）概念浅显，容易掌握，可以在不同理论层⾯上建⽴起对有限元法的理解，既可以通过⾮常直观的物理解释来理解，也可以建⽴基于严格的数学理论分析。
（2）有很强的适⽤性，应⽤范围极其⼴泛。
它不仅能成功地处理线性弹性⼒学问题、费均质材料、各向异性材料、⾮线性应⽴-应变关系、⼤变形问题、动⼒学问题已及复杂⾮线性边界条件等问题，⽽且随着其基本理论和⽅法的逐步完善和改进，能成功地⽤来求解如热传导、流体⼒学、电磁场等领域的各类线性、⾮线性问题。
有限单元法简介
3．非线性边界(接触问题) 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽 视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到一些接触问题，如： • 齿轮传动； • 冲压成型； • 轧制成型； • 橡胶减振器； • 紧配合装配等 当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑 非线性边界条件。实际的非线性可能同时出现上述两种或三种 非线性问题。
(2)有限元法的理论基础和离散格式
研究工作的进展包括: • 将多场变量的变分原理用于有限元分析，发展了混合型(单元内包括多个场变量)、 杂交型(某些场变量仅在单元交界面定义)的有限元表达格式，并研究了各自的收 敛性条件； • 将与微分方程等效的积分形式——加权余量法，用于建立有限元的表达格式，从 而将有限元的应用扩展到不存在泛函或泛函尚未建立的物理问题； • 有限元解的后验误差估计和应力磨平方法的研究进展，不仅改进了有限元解的精 度，更重要的是为发展满足规定精度的要求，以细分单元网格或提高插值函数阶 次为手段的自适应分析方法提供了基础。
这一过程是有限元分析的核心部分，有限元理 论主要体现在这一过程中。
有限元分析的后处理主要包括： • 对计算结果的加工处理 • 对计算结果的编辑组织 • 对计算结果的图形表示
它可以把有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员直 接需要的信息，如应力分布状况、结构变形状态等，并且绘成直 观的图形，从而帮助设计人员迅速地评价和校核设计方案。
(3)有限元方程的解法
现在用于大型复杂工程问题的有限元分析，自由度达几十万个甚至上百 万个已是经常的情况，这是与计算机软、硬件发展相配合的大型方程组解法 的研究进展密不可分。有限元求解的问题从性质上可以归结为三类，即: ①独立于时间的平衡问题(或稳态问题) 最后归结为求解系数矩阵元素在对角线附近稀疏分布的线性代数方程组。 此类问题至今主要是采用直接解法，先后发展了循序消去法、三角分解法、 波前法等。近年来，为了适应求解大型、特大型方程时减少计算机存储和提 高计算速度的需要，迭代解法特别是预条件共轭梯度法受到更多的重视，并 已成功地应用。
第3章空间问题有限元分析
(2)
式中，为待定系数，由单元结点的位移和坐标决定。将四个 结点的坐标（xi, yi, zi）、（xj, yj, zj）、（xm, ym, zm）、（xn,
yn, zn）和结点位移（ui, vi, wi）、（uj, vj, wj）、（um, vm, wm）、（un, vn, wn）代入（2）式可得12个联立方程，解方 程组便可求出。将这十二个系数回代到（2）式，则得到 由结点位移和形函数表示的单元内任一点的位移表达式：
e u5
e w8
w
w1e
1
e 7
e u8
8
e v7
e v8
2)坐标变换 8 x N i r , s, t x i i 1 8 y N i r , s, t y i i 1 8 z N i r , s, t z i i 1
6 A3 S i DBi V
(9)
返回
其中
A1 1
1 2 A2 2(1 )
A3
361 1 2
E1
显然单元中的应力也是常量。因此，四面体单元是常应力 单元。 三、单刚矩阵 对于四面体单元，利用虚功原理，采用类似平面问题 的处理方法可以得到其单刚矩阵
S j Sm Sn (8)
e
式中：[S]为四面体单元的应力矩阵，其分块形式为：
bi A1bi A1bi A2 ci 0 A2 d i A1ci ci A1ci A2 bi A2 d i 0 A1 d i A1 d i di （i, j, m, n） 0 A2 ci A2 bi
采用四面体单元处理弹性力学空间问题时，首先将要研究 的空间结构划分为一系列有限个不相互重叠的四面体。每个四 面体为一个单元，四面体的顶点即为结点。这样连续空间结构 就被离散为由四面体单元所组成的有限元网格。
弹性力学及有限元方法-空间问题
4．2 应变与应力
– 将假定的位移代入式(4．12)，得到单元内应
变为：
– 将应变矩阵[B]按节点分块表示为：
– 由(4．12)，得到应变矩阵[B]中任一子矩阵 [Bi] 为：
• 其中bi、ci及D如前，而
• 按物理关系式，有应力 • 注意轴对称问题三角形单元的形函数虽与平面
问题三角形单元相同，但其应变、应力则不相
• 同理，用v式可求得a5到a8 ，用w求得a9到 a12 ,为：
• 用矩阵记法统一表达为：
• [N]为形状函数矩阵，可表示为：
• [I]为三阶单位矩阵，而各节点的形状函数 可按下式计算得到，即
• 如记矩阵
为四面体单元的体积，其他系 数皆可由[L]确定，如
• 为矩阵第一行各元素的代数余子式。同样 可以确定al、bl、cl、dl…an、bn、cn、dn等， 它们是矩阵[L]第二、三、四行元素的代数 余子式。
• 轴对称问题中，上述截面内任一点p，实 际上代表一个半径为r的圆周(图4-2)，当 此圆周上各点都有径向位移u时，圆周被 拉伸，多出一个环向应变q。有：
• 全部应变的4项分量与两项位移分量之间 的几何关系（几何方程），以矩阵表示为:
• 轴对称问题的4项应力分量，以列阵表示为：
• 轴对称问题的应力与应变间的物理关系仍写为：
用位移法，就是只研究这个代表截面的位 移求得一个截面的位移分布，也就有了整 个三维结构内的位移分布，从而可以求得 体内任一点的应变及应力。这样，一个三 维问题，就可以转化为一个二维问题。 由于结构的变形是对称于中心轴的，因而 子午面内各点都只有沿径向r的位移u和沿 轴向z的位移w，一般应为截面坐标r，z的 函数，即
• 单元内应变为常值，按物理方程，单元内的 应力也是常值。当然，一般受力情况下，三 维体内有限大小的四面体内的应力并不是常 值，用常应力单元来代替它，只是近似的。 • 对此单元，单元间的应力是不连续的。只有 当单元划分得较小时，单元内的应力才会接 近于常值，此时计算的应力在单元间的不连 续才会比较小，因而可以作为真实应力分布 的近似。 • 一般，把这种单元应力的计算值作为单元中 心一点的应力近似值是比较适当的。
结构有限元法(绪论)
有限单元法的应用 有限单元法在应用上已远远超过了原来的范围。
它已由弹性力学平面问题扩展到空间问题和板壳问题， 能对原子能反应堆、拱坝、飞机、船体、涡轮叶片等 复杂结构进行应力分析；它已出平衡问题扩展到稳定 问题与动力问题，由弹性问题扩展到弹塑性与粘弹性 问题，由结构的应力分析扩展到结构的优化设计。除 此，它在流体力学、热传导、磁场、建筑声学、 生物力学等等方面部有不同程度的应用。
近几十年来，随着电子计算机的高速化和普遍化， 有限元继续不断地向更加广阔、更加深入的方面发展。
有限单元法的发展借助于两个重要工具，在理论 推导方面，采用了矩阵方法，在实际计算中，采用了 电子计算机。有限元、矩阵、计算机是三位一体的。 由于有了现代化的、先进的计算工具，使得有限单元 法近年来以惊人的速度骤然崛起。
又有效的数值方法。
有限单元法的发展历史 有限单元法最初是在五十年代作为处理固体力学
问题的方法出现的。 追溯历史，早在一九四三年，库兰特(courant)已
应用了“单元”概念。在一九五六年，特纳(Turner) 等人把刚架位移法的解题思路，推广应用于弹性力学 平面问题。他们把连续体划分成一个个三角形的和矩 形的单元，单元中位移函数首先采用了近似表达式， 推导了单元刚度矩阵，建立了单元结点位移与结点力 之间的单元刚度方程。
即物体在引起形变的外力被除去以后，能够完 全恢复其原来的形状，这种性质称为“弹性”。如 果材料又服从虎克定律，即外力与变形之间的关系 成正比，这种弹性就叫做“线性弹性”。在这一假 定下的物体只能发生线性弹性变形。
（2）假设物体是连续的 这假设认为整个物体的体积都被组成这个物体
的物质所填满，而不留下任何空隙。这样物体中应 力、应变和位移等等物理量就可看成是连续的，因 而我们就可用坐标的连续函数来表示它们的变化规 律。
有限元法_精品文档
12
一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题）
21
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
22
4）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
26
2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。
空间问题有限元法
2010年3月 郑玲 教授
重庆大学 汽车工程系
力与位移
单元内各点位移
u ( x, y, t ) {f}= v ( x , y , t )
注意: 注意: 位移是时间的连续函数 单元内各点应变
（5-2）
{ε } = [ B]{δ }e
（5-3）
2010年3月 郑玲 教授
重庆大学 汽车工程系
2010年3月 郑玲 教授 重庆大学 汽车工程系
(4-14)
等效节点力
四面体单元节点力
[ F ]e = {{Fi e }T
{F je }T
e T {Fm }
e T T {F p } }
四面体单元等效节点力
体积力
{F p }e = ∫∫∫[ N ]T {FV }dV
V
表面力
{Fp }e = ∫∫ [ N ]T {F }dS
2010年3月 郑玲 教授
ε x = ∂u ∂x , γ xy = ∂v ∂x + ∂u ∂y ε y = ∂v ∂y , γ yz = ∂w ∂y + ∂v ∂z ε z = ∂w ∂z , γ zx = ∂u ∂z + ∂w ∂x
0 ∂N j ∂y 0 ∂N j ∂y ∂N j ∂z 0 0 0 ∂N j ∂z 0 ∂N j ∂y ∂N j ∂x ∂N m ∂x 0 0 ∂N m ∂y 0 ∂N m ∂z 0 ∂N m ∂y 0 ∂N m ∂x ∂N m ∂z 0 0 0 ∂N m ∂z 0 ∂N m ∂y ∂N m ∂x ∂N p ∂x 0 0 ∂N p ∂y 0 ∂N p ∂z 0 ∂N p ∂y 0 ∂N p ∂x ∂N p ∂z ui 0 vi wi 0 u j vj ∂N p ∂z w j um 0 vm ∂N p w m ∂y u p ∂N p vp ∂x w p
第六章 刚架结构的有限单元法
假想平面梁单元内各点在局部坐标下均产生虚位移 f * ，则由 式（6-9）可写出： 式中 {δ * } 是梁单元各结点处的虚位移。由式（6-11）可求得梁单
e
{ }
{ f }= [ N ] {δ }
* *
e
元的虚应变：
{ε }= [ B ] {δ }
* *
T * e e * T
e
根据弹性体的虚功原理，梁单元内的应力在虚应变上的虚变形 能应等于单元等效结点载荷在结点虚位移上所做的虚功：
2 x2 x3 + 2 x− l l
。这样，就可以把(6-8)式的两个式子合并成
x 1− 0 u l f = = 3 x2 2 x3 v 0 1− 2 + 3 l l 0 2 x2 x3 x− + 2 l l x l 0 0 3 x2 2 x3 − 3 2 l l
[
]
(6-4)
{ 式中 [ h ( x ) ] = [ 1 x ] ； a x } = a1
[ H ( x ) ] = [1
x x2
[
a2 ] ；
T
x 3 ；{a y } = [ a3 a4
]
a5
a6 ]
T
~ 如果把梁单元两结点ij的轴向位移写成 { u } = u i
~ 和转角写成 { v } = v i
Qj 和 N ；剪力 和 Qi；弯矩 和 M i ；与这些结点 Mj Nj i 力相对应的结点位移分量分别为 ， u i , u j , vi , v j , θ i , θ j
当这些结点力与结点位移都取为正方向时，就可以把单元ij的这些 结点位移和结点力分别组成单元的结点位移向量 δ 向量 R e 。
2、空间问题的有限元法
机电工程学院
由平面问题转为空间问题，给有限元分析带来两个主要
难题：
1、空间离散化不太直观，人工离散很容易出错。 2、未知量的数量剧增，对计算机的存储和计算时间要 求较高。
车辆工程技教研室
机电工程学院
解决问题： 1、编程建模 2、采用高精度单元
由于通用软件有很好的前后处理功能，因此空间问题基本上都靠软件来解决。
或： f N
e
（由结点位移表示的单元内位移）
N1 N 0 0
0 N1 0
0 0 N1
N2 0 0
0 N2 0
0 0 N2
N3 0 0
0 N3 0
0 0 N3
N4 0 0
0 N4 0
0 0 N4
形函数矩阵
车辆工程技教研室
机电工程学院
1. 基本变量 单元内任一点位移:
u { f } v w 单元内任一点应变:
{ } x y z xy yz zx
单元内任一点应力:
T
{ } x y xy yz zx z 车辆工程技教研室
T
机电工程学院
其中：
A1
A1c r cr A1c r A2br A2 d r 0
A1d r A1d r dr 0 A2 cr A2br
(r 1,2,3,4)
1
,
1 2 A2 , 21
E 1 A3 361 1 2
设单元内任一点的位移为坐标的 线性函数:
u ( x, y, z ) 1 2 x 3 y 4 z v( x, y, z ) 5 6 x 7 y 8 z w( x, y, z ) x y z 9 10 11 12
5 弹性力学空间问题有限元法
系数为已知，V的四面体的体积。
2.单元应变矩阵 知道单元内各点的位移后，就可确定单元内任一点的应变，位移表达式代入 几何方程式，得
x y z xy yz zx
B Bi B j
e
T
Bm B p
三、总刚集成 将每个单元在总体坐标系中的刚度矩阵进行叠 加，便可得到结构的总刚度矩阵。
四、载荷移置 作用在结构的各类载荷同样需要移置为等 效的节点载荷，移置方法与平面问题相同。
1、集中力的移置 设作用在单元上的集中力为
Pc pcx
e
pcy
pcz
T
由
Pc
移置后产生的等效节点载荷为
Sj
Sm
S p
e
l i, j, m, p
式中
A1
1
A2
1 2 2 1
A3
36 1 1 2
E 1
4. 单元刚度矩阵
由虚位移原理推导出单元的刚度方程
k B D B dxdydz BT D BV
e i
R
e j
R
e m
R
e T p
则有
R
e
Rle Nl Pv dV
V
l i, j, m, p
e
因此，由各类载荷移置产生的单元总的等效节点载荷列阵为
RP RP RP
e e
c s
v
五、约束处理和求解线性方程组
ANSYS 算例 5-1
RPc
e l
R
空间杆系有限元法的基本假定
空间杆系有限元法的基本假定
《空间杆系有限元法的基本假定》
空间杆系有限元法是一种用于计算结构力学的数值分析方法，它的基本假定是：杆系中的杆件可以看作是线性的；杆件的材料是等参数的；杆件的结构是稳定的；力学系统是定常的；外力是稳定的；杆件的变形是均匀的；杆件的变形是有限的；杆件的变形是连续的；杆件的变形是可逆的。
空间杆系有限元法的基本假定是建立在结构力学的基本原理和结构力学的基本假设上的，这些假设可以简单地表述为：杆件的材料是等参数的；杆件的结构是稳定的；力学系统是定常的；外力是稳定的；杆件的变形是均匀的；杆件的变形是有限的；杆件的变形是连续的；杆件的变形是可逆的。
空间杆系有限元法的基本假定是建立在结构力学基本原理和结构力学基本假设之上的，它是一种比较可靠的结构力学分析方法，可以用来求解空间杆系的力学问题。
空间有限元法PPT课件
Lc-4
第4页/共16页
位移模式（续） 将上式中的第一式应用于4个结点，则有：
2001年10月1日
Lc-5
第5页/共16页
位移模式（续）
由上式可解出a1,a2,a3和a4再代回位移分量的表 达式，可得：
式中：
为形函数，其中：
2001年10月1日
Lc-6
第6页/共16页
位移模式（续）
2001年10月1日
• 分块形式：
2001年10月1日
Lc-13
第13页/共16页
单元刚度矩阵和结点载荷向量（续）
式中子矩阵可以表达为：
其中：
2001年10月1日
Lc-14
第14页/共16页
单元刚度矩阵和结点载荷向量（续）
经过与平面问题中同样的推导，单元的体积力向量 和表面力向量可以用下列公式计算：
经叠加，组合，得有限元支配方程：
2001年10月1日
Lc-15
第15页/共16页
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2001年10月1日
ANSYS培训教程 – 版本 5.5 – XJTU MSSV (001128)
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Lc-16
空间问题的有限单元法
Definition
• 用有限单元法求解弹性力学空间问题，首先也要将 连续的空间物体用一系列的单元离散化。
• 空间问题中，最简单的是四面体单元。离散的空间 结构是这些单元只在节点处以空间铰相互连接的集 合体。
2001年10月1日
Lc-1
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空间问题的有限单元法（续）Exe Nhomakorabeacise
2001年10月1日
Lc-2
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有限元法( 空间问题)
− kin k jn − kmn knn
式中子矩阵[krs]为3×3的矩阵 ：
[krs] =[Br ]T [D][Bs ]V Abrcs + A2crbs Abr ds + A2dr ds brbs + A2 (crcs +dr ds ) 1 1 A3 Acrbs + A2brcs crcs + A2 (dr ds +brbs ) Acr ds + A2drcs = 1 1 V 36 Adrbs + A2br ds Adrcs + A2cr ds dr ds + A2 (brbs +crcs ) 1 1 (r , s = i, j, m, n)
由此可解出代定常数a 再代回到式（ ） 由此可解出代定常数 1~a4再代回到式（4-3）的 第1式，可得形函数 式 可得形函数u:
u i = a1 + a 2 xi + a3 y i + a 4 z i
u = N i ui + N j u j + N m um + N n un
1 其中：N i = ( ai + bi x + ci y + d i z ) (i, j, m, n ) 6V
四面体
角锥体
棱柱体
1、位移模式
采用与平面8结点四边形等参元类似的位移模式 与坐标变换式：
u = ∑ N i u i v = ∑ N i vi w = ∑ N i wi
20 20 20 i =1 20 i =1 20 i =1 20
x = ∑ N i xi y = ∑ N i y i z = ∑ N i z i
空间杆件结构的有限单元法.
第二章 空间杆件结构的有限单元法 第一节 局部坐标系下的单元分析图2-1 所示为空间刚架中的仁一杆件单元。
选取局部坐标系时，去形心轴为x 轴，哼截面的主轴分别为坐标系的y 轴和z 轴。
x 、y 、z 轴的方向按右手定则确定。
这样，单元在x y 平面内的位移与x z 平面内的位移是彼此独立的。
设杆截面面积为A ，在x z 平面内的抗弯刚度为y EI ，线刚度lEI i y y =；在x y 平面内的抗弯刚度为x EI ，线刚度lEI i xx =；杆件的抗扭刚度为lGJ。
空间刚架单元的两端分别与结点I 和j 相联结。
每一个结点有六各界点位移分量和六个结点力分量。
在局部坐标系下空间杆件的杆端位移列阵eδ和杆端力列阵eF 分别为[]Tzj zjxj j j jziyi xi i i ie w v u w v u θθθθθθδ=[]Tzjyj xjjjjziyixiiiie M M M Z Y X M M M Z Y X F =其中u 为轴向位移，w v 、为横向位移，x θ为杆件的扭转角，z y θθ、分别为绕y 轴和z 轴弯曲时的转角；X 为杆件单元的轴力，Z Y 、分别为沿y 轴和z 轴作用的剪力，z y x M M M 、、为作用在杆端的力偶矩。
这里力偶矩和角位移的指向按照右手定则用双箭头表示；力和线位移的指向用单箭头表示。
图2-1中所示的杆端力和杆端位移为正方向。
与平面单元的推导方法一样，首先求出当杆端位移eδ中的一个分量为1，而其余分量均为零时的杆端力。
图2-2所示为当单元○e 的i 端发生单位位移时，杆端力与杆端位移之间的关系。
图中未绘出的杆端力和杆端位移分量，在该情况下数值为零。
图2-1依同样方法可以确定当单元j 端发生单位位移时，杆端力与杆端位移之间的关系。
当单元的杆端位移分量为任意值时，可以写出空间单元刚度方程，以矩阵表示为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----------------=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡zj yj xj j j j zi yi xi i i i z z z z y y y y y y y y z z z z z z z z y y y y y y y y z z z z zj yj xj j j j zi yi xi i i i w v u w v u l EI l EI lEI l EI l EI l EI l EI l EI l GJ l GJ l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EAl EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l GJ l GJl EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA lEAM M M Y X M M Z Y X θθθθθθ 40602060040600020600000000000006012000601200600012060001200000000000200060400060020600040600000000000006012000601200600012060001200000000000222223232323222223232323（2-1）式（2-1）可以简写为e e e k F δ= （2-2）其中单元刚度矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----------------=l EI l EI lEI l EI l EI l EI l EI l EI l GJ l GJ l EI l EI l EI l EI l EI lEI l EI l EI l EA l EAl EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l GJ l GJl EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA lEAk z z z z y y y y y y y y z z z z z z z z y y y y y y y y z z z z e 40602060040600020600000000000006012000601200600012060001200000000000200060400060020600040600000000000006012000601200600012060001200000000000222223232323222223232323 （2-3）式（2-3）为局部坐标系中的空间单元刚度矩阵。
刚架结构有限元
对于梁的弯曲问题，由材料力学知识可知，应力-应变相当于内力矩与曲率关系， 近似表达式为：
d 2w M EI 2 dx
x, y EI 62 123x
L L
4 6x L L2
6 12 x L2 L3
w1 2 6 x z1 2 DB e L L w2 z 2
以上两式写成矩阵形式
6 L 12 6 L w1 Fy1 12 M 2 2 Z 1 EI 6 L 4 L 6 L 2 L z 2 Fy 2 L3 12 6 L 12 6 L w2 2 2 M Z 2 6 L 2 L 6 L 4 L z 2
T T T
任一点处虚位移引起的虚应变为 * x, y ，该处应力为 x, y
T
e*
F
T e
* 内应力所做的功（单位体积上的应变能）为： Wint x, y x, y
虚位移引起的虚应变同样成立:
x, y B
第三章 刚架结构的有限元法
直接刚度法推导梁单元有限元格式
Fy1 y
w1
Fy 2
w2
z1
1 L
x z2
2
M z1
M z1
平面刚架结构 — 梁单元
F
y1
M Z1
Fy 2
M Z 2
T
T
w1 Z 1
w2 Z 2
由结构力学可知：梁所受弯矩与变形之间的关系，列方程
6 EI 4 EI 6 EI 2 EI M z1 2 w1 z1 2 w2 z 2 L L L L M z 2 6 EI w1 2 EI z1 6 EI w2 4 EI z 2 2 2 L L L L
土木工程中的有限元法
第四章 杆件问题的有限单元法
第四章 杆件问题的有限单元法
Hale Waihona Puke 第四章 杆件问题的有限单元法
第四章 杆件问题的有限单元法
第四章 杆件问题的有限单元法
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第四章 杆件问题的有限单元法
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第四章 杆件问题的有限单元法
第四章 杆件问题的有限单元法
第四章 杆件问题的有限单元法
同样
E2 A2 l 2 E2 A2 l 2
E2 A2 l2 uB E2 A2 E2 A2 uC l2 l2
1 1 uB E2 A2 1 1 u l C 2
0 E2 A2 l2 E2 A2 l2
0 u A PA E2 A2 uB PB l2 uC PC E2 A2 l2
第四章 杆件问题的有限单元法
式4.2左端的第 1 项实质为
E1 A1 l 1 E1 A1 l 1
0 ~ u A PA E2 A2 u B 0 l2 uC PC E2 A2 l2
第四章 杆件问题的有限单元法
E1 A1 l1 E1 A1 l1 0 E1 A1 l1 E1 A1 E2 A2 l1 l2 E2 A2 l2 0 u A PA E2 A2 uB PB l2 uC PC E2 A2 l2
第四章 杆件问题的有限单元法
第四章 杆件问题的有限单元法
第四章 杆件问题的有限单元法