§3.3多维随机变量函数的分布

X，Y独立 pX (x) pY (z x)dx
X，Y独立 pX (z x) pY ( y)dy
T X Y
pT (t) p(x, x t)dx
不独立
X，Y独立
pX (x) pY (x t)dx
pT (t) p( y t, y)dy
不独立
X，Y独立
pX ( y t) pY ( y)dy
pZ (z) pX ,Y (zy, y) | y | dy (X ,Y ) (Z,Y )
证明： P(X Y k) P( X i)P(Y k i) i 0, k i 0 k 0,1,2....
i
i
i
e 1 1 i!
k i
e 2
2
(k i)!
(1 2 ) k e (12 )
k!
i
k! i!(k
i)!
1
1 2
i
2 1 2
k i
(1 2 ) k e (12 )
X—Y不服从泊松分布
=1
k!
例3.3.3 二项分布的可加性
b(n, p) b(m, p) b(n m, p)
b(n1, p) b(nr , p) b(n1 nr , p)
推广 b(n, p) b(n, p) b(nr, p)
{X n}独立同为参数为1, p的二项分布 ， 则和分布 X1 X n ~ b(n, p)
|
(X ,Y) (Z,V )
Z X Y Z X Y Z XY ZX
Y
pZ (z) pX ,Y (x, z x)dx
(X,Y) (X,Z)
pZ (z) pX ,Y (z y, y)dy
pZ (z)
p
X
,Y
(x,
z x
)
|
1 x
dx |
(X,Y) (Z,Y) (X,Y) (X,Z)
例3.3.6 正态分布的可加性
N
(
1
,
2 1
)
N
(
2
,
2 2
)
N (1
2
,
2 1
2 2
)
X ~ N (, 2 )， 则aX b ~ N (a b, a 2 2 ) P119，定理2.6.2
{X n}独立同为正态分布 ， 则
a1 X 1
an X n
~
N (a11
an
n
,
a12
2 1
an2
2 n
pU (u) pU ,V (u, v)dv
不独立
u1
p X ,Y (v, v ) v dv
独立性
p
X
(v)
pY
(
u v
)
1 v
dv
v x, u xy
| (x, y) | 1 1
(u, v)
y1 ||
v
x0
不独立
p
X
,Y
(
u v
,
v)
1 v
dv
独立性
p
X
(u v
)
pY
(v)
即b(1, p) b(1, p) b(n, p)
2、连续场合下的卷积公式
Z X Y
z x
FZ (z) P(Z z) P( X Y z)
p(x, y)dydx (F (x, z x) F (x,))dx
pZ (z) p(x, z x)dx 不独立
பைடு நூலகம்
pZ (z) p(z y, y)dy 不独立
i
i
不独立 P( X Y k) P( X k j,Y j) P( X Y k) P( X k j,Y j)
j
j
X，Y独立 P( X k j)P(Y j) X，Y独立 P( X k j)P(Y j)
j
j
X，Y不独立 例3.3.1
X,Y独立
例3.3.2 泊松分布的可加性 例3.3.3 二项分布的可加性
1 v
dv
v y, u xy
| (x, y) | 1 1
(u, v)
y0 ||
v
x1
四、商公式
已知X
~
pX (x),Y
~
pY ( y)相互独立，
则U
X Y
~
pU (u)
pU (u) pU ,V (u, v)dv
不独立 p X ,Y (uv, v) v dv
独立性 pX (uv) pY (v) | v | dv
和分布仍为此类分布，类型不变
例3.3.2 泊松分布的可加性
P(1) P(2 ) P(1 2 )
P(1 ) P(n ) P(1 n )
推广
X ~ P(1),Y ~ P(2 ), 且X与Y相互独立,则X Y ~ P(1 2 )
{X n}独立同为参数为 的泊松分布 ， 则和分布 X1 X n ~ P(n)
证明: p(u, v) p(u v , u v ) | (x, y) | V X Y
2 2 (u,v) 且U ,V相互独立
p(
u
2
v
,
u
2
v
)
|
1
1 1
|
p(u v , u v) 1 2 22
1 1
1 2
pX
(u
2
v)
pY
(u
2
v)
1 2
( uv )2
1
2
e 2 2
2
1
e
1 2
(u
2 2 2
)2
v2 2 2
2 2 2
边际分布U ~ N(2,2 2 ),
V ~ N(0,2 2 )
P150例3.2.5
(uv )2
1
2
e 2 2
2 p(u, v) pU (u) pV (v)
U，， 相互独立
三、积分布
已知X ~ pX (x),Y ~ pY ( y)且相互独立 ， 则U XY ~ pU (u)
v x, y uv
| (x, y) | | 0 (u,v) 1
v |v
u
( X ,Y ) ~ pX ,Y (x, y), Z g1 ( X ,Y ),V g2 ( X ,Y ),
则(Z,V )
~
p( z, v)
pX ,Y (x(z, v), y(z, v))|
(x, y) ( z, v)
v y, x uv
| (x, y) | | v (u,v) u
0 |v
1
已知X
~
pX (x),Y
~
pY ( y)相互独立，
则U
Y X
~
pU (u)
pU (u) pU ,V (u, v)dv
不独立 p X ,Y (v, uv) v dv
独立性 pX (v) pY (uv) | v | dv
pY ( y) n (1 ey )n1 ey pZ (z) n (ez )n1 ez
y0
n(enz ) z 0 Z ~ E(n)
变量变换法
已知(X ,Y ) ~ p(x, y),U g1(X ,Y ),V g2 (X ,Y ), 则求(U ,V ) ~ p(u, v)
p(u, v) p(x(u,v), y(u, v))| (x, y) | (u, v)
n
X i ~ N (0,1)且相互独立 ， 则
X
2 i
~
2 (n)
i 1
P121 例2.6.3
二、最值分布
离散场合 一般情况下 例3.3.1
连续场合 相互独立情况下
已知条件 分布函数 Fi (x) 同分布函数 F(x) 同密度函数 p(x) 同指数分布 E()
Y max{ X1,..., X n}
§3.3 多维随机变量函数的分布
刘妍丽主讲
一、和分布、差分布
1、离散场合下的卷积公式
不独立 P( X Y k) P(X i,Y k i) P(X Y k) P(X i,Y i k)
i
i
X，Y独立 P( X i)P(Y k i) X，Y独立 P(X i)P(Y i k)
)
例3.3.7 伽玛分布的可加性
Ga(1, ) Ga(2 , ) Ga(1 2 , ) 推广 Ga(1, ) Ga( n , ) Ga(1 n , )
Ga(,) Ga(,) Ga(n,)
E() .... E() Ga(n,)
2 (n1 ) 2 (nr ) 2 (n1 nr )
n
FY ( y) Fi ( y) i 1
Z min{ X1,..., X n}
n
FZ (z) 1 (1 Fi (z)) i 1
FY ( y) (F ( y)) n FZ (z) 1 (1 F (z)) n
pY ( y) n (F ( y)) n1 p( y) pZ (z) n (1 F (z)) n1 p(z)
证明: P((X ,Y ) D) p(x, y)dxdy ( x, y)D
p(x(u, v), y(u, v))| (x, y) | dudv
( x, y)D
(u, v)
P((U ,V ) D)
p(u,v)dudv ( u ,v )D
例3.3.9
X ,Y ~ N (, 2 )相互独立 ,则 U X Y ~ N (2,0,2 2 ,2 2 ,0)