微积分经管类第四版课件(吴赣昌)第三章资料

f ( x0 ) f( x0 ) 0; f ( x0 ) f( x0 ) 0.
所以，
f ( x0 ) 0. 证毕.
完
一、罗尔(Rolle)定理
设函数f ( x)满足条件： (1)在闭区间[a,b]上连续; (2)在开区间(a,b)内可导;
(3) f (a) f (b),
则(a,b)内至少存在一点 (a b),使得 f ( ) 0
(2, 3) 内.
完
例 2 证明方程 x 5 5 x 1 0 有且仅有一个小于
1的正实根.
证 设 f ( x) x 5 5x 1 1, 则 f ( x) 在 [0,1]上 连续, 且 f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理, 存在
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0,
第三章 中值定理与导数的应用
3.1 中值定理
• 罗尔定理 • 拉格朗日中值定理 • 柯西中值定理
y
f (0 ) 0
y f (x)
f (1 ) 0
o
0
1
x
费马引理 设函数 f ( x) 在点 x0的某邻域 U ( x0 )
内有定义，并且在 x0 处可导，如果对任意的
x U( x0 ), 有
f ( x) f ( x0 ) (或 f ( x) f ( x0 )).
不妨设 M f (a), 则在 (a,b) 内至少存在一点 使 f ( ) M . x (a,b), 有 f ( x) f ( ), 故由费马引理知
f ( ) 0. 证毕.
例如， f ( x) x2 2x 3 ( x 3)( x 1). 在[1,3]上连续，在 (1,3)上可导，且
则
f ( x0 ) 0.
证 不妨设 x U( x0 )时，f ( x) f ( x0 ).
则对 x0 x U( x0 ), 有 f ( x0 x) f ( x0 ),
从而 当 x
0
时， f ( x0
x) x
f ( x0 )
0;
当
x
0
时， f
( x0
x) x
f ( x0 )
0.
由极限的保号性，及函数 f ( x) 在 x0 处可导
y
y
oa
bx
f ( x)在端点b不连续
oa
bx
f (a) f (b)
例 1 不求导数，判断函数
f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)
的导数有几个零点及这些零点所在的范围.
解 因为 f (1) f (2) f (3) 0, 所以 f ( x) 在闭 区间 [1, 2] 、[2, 3] 上满足罗尔定理的三个条件，
即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1) 0.
因为 f ( x) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条件,
所以至少存在一点 (在 x0 , x1 之间), 使得 f ( ) 0.
但
f ( x) 5( x 4 1) 0 ( x (0,1)),
完
y
A
oa
B
bx
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
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y
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y
o
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y
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y
o
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y
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y
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y
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y源自文库
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
y f (x) A
o a
f ( ) f (b) f (a)
导致矛盾, 故 x0 为唯一实根.
完
例 设函数 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可 导, 且 f (a) f (b) 0. 若存在常数 c (a,b), 使得
f (a) f (c) 0, 试证至少存在一点 (a,b), 使得 f ( ) 0.
证 因 f (a) f (b) 0, 故 f (a) 和 f (b) 同号, 不妨设 f (a) 0, f (b) 0. 又因为 f (a) f (c) 0, 所以 f (c) 0. 在 [a,c]和 [c,b] 上 f ( x) 连续, 由于 f (a) 和 f (c) 异号, f (c) 和 f (b) 异号, 所以, 至少存在一点 x1 (a,c), 使 f ( x1) 0;
f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1(1 (1,3)), 则有 f ( ) 0.
注：一般情况下，定理结论中导数函数的零点 是 不易找到的.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满 足,其结论可能不成立.
y
y
oa c b x f ( x)在C点不连续
oa c b x f ( x)在C点不可导
至少存在一点x2 (c,b), 使 f ( x2 ) 0.
在区间 [ x1, x2 ] 上, f ( x) 显然满足罗尔定理的三个
条件, 即 f ( x) 在 [ x1, x2 ]上连续, 在( x1, x2 )内可导,
f ( x1) f ( x2 ), 所以至少存在一点
( x1, x2 ) (a,b), 使 f ( ) 0.
从而，在 (1, 2) 内至少存在一点 1, 使 f (1) 0,
即 1 是 f ( x) 的一个零点； 又在 (2, 3) 内至少存在一点 2 , 使
f ( 2 ) 0,
即 2 也是 f ( x) 的一个零点；
又因为 f ( x)为二次多项式，最多只能有两个零点，
故 f ( x) 恰好有两个零点，分别在区间 (1, 2) 和
费马引理
y
怎样证明罗尔定理 ？
y f (x)
闭区间上连续函数的 最大最小值定理！
oa
bx
证 f ( x)在 [a,b] 连续，必存在最大值 M 和最小 值 m.
(1) 若M m, 则 f ( x) M . 取 (a,b), 都有 f ( ) 0.
(2) 若 M m, f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得.
ba B
x b
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日中值定理 如果函数 f(x) （1）在闭区间[a, b]上连续, （2）在开区间(a, b)内可导,
那末在(a, b)内至少有一点 ，使得 f (b) f (a) f ( )(b a) (a b).
结论亦可写成 f ( ) f (b) f (a) .