微积分经管类第四版课件(吴赣昌)第三章资料

《概率论与数理统计经管类》第四版 (吴赣昌著) 课后习题答案中国人民大学出版社

点。
解： Ω = { (正，正)，（正，反），（反，正），（反，反） }
A = { (正，正)，（正，反） }； B = { （正，正），（反，反） }
C = { (正，正)，（正，反），（反，正） }
2. 在掷两颗骰子的试验中，事件 A, B,C, D 分别表示“点数之和为偶数”，“点数
之和小于 5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为 3”。试写出样本空间及事
即[1 − P(A)]P( AB) = P(A)[P(B) − P( AB)] ∴ P(AB) = P( A)P(B) ，故 A与 B 独立。 5. 设事件 A 与 B 相互独立，两个事件只有 A 发生的概率与只有 B 发生的概率都是 1 ，求 P(A) 和 P(B). 4 解：∵ P(AB) = P(AB) = 1 ，又∵ A与 B 独立
n 9 9
网 c 11. 设一批产品共 100 件，其中 98 件正品，2 件次品，从中任意抽取 3 件（分三
案 . 种情况：一次拿 3 件；每次拿 1 件，取后放回拿 3 次；每次拿 1 件，取后不放回拿 3
p 次），试求：
答 sh （1）取出的 3 件中恰有 1 件是次品的概率；
后 k （2）取出的 3 件中至少有 1 件是次品的概率。
解：
令 A = “两件中至少有一件不合格”， B = “两件都不合格”
C42
P(B |
A) =
P( AB) P( A)
= P(B) 1− P(A)
=
1
−
C120 C62
C120
=1 5
n 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统 I 和 II。两种报警系统单独使用
网 c 时，系统 I 和 II 有效的概率分别 0.92 和 0.93，在系统 I 失灵的条件下，系统 II 仍有效

微积分-经管类.-第四版-课件-(吴赣昌)-第二章

x)
0),
f ( x) lim h0
f ( x h) h
f (x)
lim h0
u( v(
x x
h) h)
h
u( x) v( x)
lim
h0
u(
x
h)v( x) u( x)v( v( x h)v( x)h
x
h)
lim
h0
[u(
x
h)
u(
x
)]v( v( x
x) u( x)[v( h)v( x)h
nn
i
1
k 1
ki
fi(
x
)
fk ( x).
例 1 求 y x3 2x2 sin x 的导数.
解
y ( x3 ) (2x2 ) (sin x)
3x2 4x cos x.
例 2 求 y 2 x sin x 的导数.
解
y (2 x sin x) 2( x sin x)
2[( x) sin x) x(sin x)]
x
)
lim
h0
sin(
x
h) h
sin
x
lim cos( x
h0
h2 )
sin h
h 2
cos
x,
2
即 (sin x) cos x.
(sin x) x4 cos x x4
2 2
.
例6 求函数 y xn(n为正整数) 的导数.
解
(
xn
)
lim
h0
(
x
h)n h
xn
lim[nx n1
h0
n(n 2!
lim
xa
(

微积分-经管类.-第四版-课件-(吴赣昌)-第四章

求 f ( x).
解设 t ln x, 则当0 x 1时, t 0, f (t ) 1.
于是 f (t) f (t)dt t C1, 即 f ( x) x C1
当 1 x 时, 0 t , f (t) et ,
x
2

1

1
1 x
2

dx

x
2dx

1dx

1
1 x
2
dx
x3 x arctan x C .
3
完
例
求不定积分
1 x x2 x(1 x2 )
dx.
解
1 x x2 x(1 x2 )
dx

x (1 x2 x(1 x2 )
)
dx

得
C2 1.
所以
x, x 0
f ( x) e x 1,
. 0 x
完
例求满足下列条件的 F ( x). F ( x) 1 x , F (0) 1. 13 x
解根据题设条件, 有
F(x)

F( x)dx

1 1 3
x x

x
2 3
dx

3 2
x
2 3

3 5
x
5 3
C;
(2)
4

e
x
2 3x

32 x
dx

4

e 3

x

2
3x

(呕心整理)概率论与数理统计经管类第四版课后题标准答案吴赣昌著

概率论：第一章习题笔记习题1-2题型分类：计算事件逻辑运算的概率2、思路：①首先将问题中的P[（A∪B）−C）]进行转换成逻辑语言P[(A∪B)∩C]；②将互不相容进行逻辑语言化，3、思路：将题目进行逻辑语言化后（如2题），进行韦恩图，帮助确定事件发生概率。

4、思路：明确逻辑语言后，进行韦恩图绘制，快速确定事件概率总结：可以从韦恩图出发，然后再将韦恩图转换成数学符号表达；掌握基本的运算法则，例如习题中的第2题目习题1-31、；如题目问取到的两个球中有黑球则包含两种情况，一是两个都是黑球，一思路：C82=7∗82∗1是一黑一白4、思路：①答案中的P=A；②颜色全相同+颜色不全相同=110、解法2：思路：①一共包含三种情形②A33是排列（在总数为3的样本总量中拿三个数来进行排列）；1*4*4是排列对象的样本个数；③基本的想法是选框（可供选择的框框）放数（能够放进去的数字）eg:一般来说第一个数字有三个框可以选择C31，假设次数框内需要填入的是偶数，则C31∗3④此题考虑了顺序，选框放数习题1-43、问题归类：条件概率事件；没有说明顺序，事件A：两件中有一件是不合格产品包含了两种情况（需要注意古典概型）思路：判断是交事件还是条件概率事件：交事件说法：求第一件和第二件都是不合格品的概率；条件概率事件说法：在已知第一件为不合格品下，求第二件也是不合格品的概率4、见作业本①思路：明确逻辑关系之间的等量关系式：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)6、见作业本①思路：①乘法法则，通过树状图明确概率分布，进行条件概率的符号化②需要说明事件之间的独立性习题1-54、5、思路：①对立事件，转换成计算成功率（可利用乘法法则，进行条件概率的符号化）；需要说明事件之间的独立性6、思路：无人照管而停工的，同时又有一名工人进行照管；所以出现停工的事件应该是两台以上的机器同时需要照管8、伯努利实验思路：对逻辑语句的理解：不少于三次≥3总习题一1、思路：交事件：只有；并事件：至少10、16、思路：乘法法则进行条件概率的符号化17、思路：①条件概率：将文字符号化；②乘法法则都可以实现条件概率的符号化，或者说乘法法则就是条件概率；③贝叶斯公式实现已知条件的运用，树状图就是贝叶斯23、思路：①设事件：目标事件-这批微机被接受；条件事件-随机抽取的微机中有i台是次品②目标事件为某一事件的概率，可以考虑全概率事件③文字符号化24、思路：（1）①全概率事件，寻求条件概率，将文字符号化（2）①问题是条件概率：很有可能需要用到贝叶斯公式进行转换③贝叶斯公式与全概率公式的联系，全概率公式作为贝叶斯公式的分母总结：（1）并事件、交事件的逻辑关系（2）古典概型中注意事件的完备性，充分考虑可能存在的情况（3）注意C、A之间组合排列的对应关系（3）乘法法则---条件概率（全概率事件）（4）注意判断问题是条件概率（一般用贝叶斯公式），还是某一事件的概率（一般用全概率事件）（5）如果根据题目设置随机变量：eg：总习题23本题目研究的问题是被接受的概率与抽取到次品数量之间的关系，所以A为抽取的次品数量；B产品被接受第二章习题笔记习题2-23、思路：①不考虑顺序，只考虑组合关系②式子中的1表示该随机变量的取值X=？必须在北抽取的三个数字中，只有一种变化，即该随机变量的取值 4、离散型随机变量的分布律思路：①根据分布律直接将对应的概率进行运算 5、7、返回型离散型随机变量求分布律思路：①最后一个分布律满足问题条件，前面对应的分布律都是问题要求：如取到正品̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅②可以写出通式 9、伯努利试验思路：①实验次数较多，计算较为繁琐的时候，可以使用二项分布的泊松近似进行求解，参数λ=np；②泊松分布公式：10、泊松分布与伯努利试验思路：①随机变量为每页印刷错误②问题是四页中没有印刷错误，参杂了伯努利试验，重数是页数，所以要注意区别题目信息的作用习题2-33、求解离散型随机变量分布函数思路：①理解分布函数与分布律之间的关系，累加关系；右连续，单调递增4、离散型随机变量的条件概率思路：P{X<2丨X≠1}不是交事件，是条件概率事件，所以P=0.4/（0.4+0.2），对于条件概率事件一定要用逻辑符号进行表示5、通过连续型随机变量的分布函数求解概率思路：①理解分布律与分布函数之间的关系，累加关系，右连续；②掌握相关的分布函数与分布律之间的运算关系习题2-42、根据概率密度函数求解概率和分布函数思路：①明确分布函数、概率密度函数、概率之间的关系②分布函数与概率密度是累的形式，如何确定积分符号∫的上下标，下标都是从−∞开始（因为分布函数都是累加的形式） 3、通过分布函数和概率密度函数的性质求解参数思路：①当X →+∞时，F 等于1②∫f (t )dt =1+∞−∞求解参数；两个1的运用③在连续型随机变量中，对于p {−1<X <−2}概率的求解不用像离散型随机变量一样关注端点值，直接F(-2)-F(-1)即、可；④在求概率P 的时候可以通过分布函数求解，也可以通过概率密度积分求解，但是进行概率密度积分的时候注意断点，因为有可能需要进行分段求解 5、均匀分布与伯努利试验思路：①通过均匀分布确定P ，n=10；②伯努利试验的标志是多个样本，多重试验，问个数10次，4页、10个等等 6、正态分布的标准化与分位数思路：①标准化②P{X≤3}其中3是分位数，=ϑ（3）7、正态分布相关参数的求解思路：①标准化，便于查表②明确正态分布表的概率计算方式，是≤；③区别分位数与随机变量所在区间P{X≤3}则分位数为3：其中随机变量的区间为(−∞，3)；分位数为3，正态分布表显示的是分位数左边的概率总和，即P{X≤3}。

(呕心整理)概率论与数理统计-经管类第四版课后题答案-吴赣昌著

概率论：第一章习题笔记习题1-2题型分类：计算事件逻辑运算的概率2、思路：①首先将问题中的P[（A∪B）−C）]进行转换成逻辑语言P[(A∪B)∩C]；②将互不相容进行逻辑语言化，3、思路：将题目进行逻辑语言化后（如2题），进行韦恩图，帮助确定事件发生概率。

4、思路：明确逻辑语言后，进行韦恩图绘制，快速确定事件概率总结：可以从韦恩图出发，然后再将韦恩图转换成数学符号表达；掌握基本的运算法则，例如习题中的第2题目习题1-31、；如题目问取到的两个球中有黑球则包含两种情况，一是两个都是黑球，一思路：C82=7∗82∗1是一黑一白4、思路：①答案中的P=A；②颜色全相同+颜色不全相同=110、解法2：思路：①一共包含三种情形②A33是排列（在总数为3的样本总量中拿三个数来进行排列）；1*4*4是排列对象的样本个数；③基本的想法是选框（可供选择的框框）放数（能够放进去的数字）eg:一般来说第一个数字有三个框可以选择C31，假设次数框内需要填入的是偶数，则C31∗3④此题考虑了顺序，选框放数习题1-43、问题归类：条件概率事件；没有说明顺序，事件A：两件中有一件是不合格产品包含了两种情况（需要注意古典概型）思路：判断是交事件还是条件概率事件：交事件说法：求第一件和第二件都是不合格品的概率；条件概率事件说法：在已知第一件为不合格品下，求第二件也是不合格品的概率4、见作业本①思路：明确逻辑关系之间的等量关系式：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)6、见作业本①思路：①乘法法则，通过树状图明确概率分布，进行条件概率的符号化②需要说明事件之间的独立性习题1-54、5、思路：①对立事件，转换成计算成功率（可利用乘法法则，进行条件概率的符号化）；需要说明事件之间的独立性6、思路：无人照管而停工的，同时又有一名工人进行照管；所以出现停工的事件应该是两台以上的机器同时需要照管8、伯努利实验思路：对逻辑语句的理解：不少于三次≥3总习题一1、思路：交事件：只有；并事件：至少10、16、思路：乘法法则进行条件概率的符号化17、思路：①条件概率：将文字符号化；②乘法法则都可以实现条件概率的符号化，或者说乘法法则就是条件概率；③贝叶斯公式实现已知条件的运用，树状图就是贝叶斯23、思路：①设事件：目标事件-这批微机被接受；条件事件-随机抽取的微机中有i台是次品②目标事件为某一事件的概率，可以考虑全概率事件③文字符号化24、思路：（1）①全概率事件，寻求条件概率，将文字符号化（2）①问题是条件概率：很有可能需要用到贝叶斯公式进行转换③贝叶斯公式与全概率公式的联系，全概率公式作为贝叶斯公式的分母总结：（1）并事件、交事件的逻辑关系（2）古典概型中注意事件的完备性，充分考虑可能存在的情况（3）注意C、A之间组合排列的对应关系（3）乘法法则---条件概率（全概率事件）（4）注意判断问题是条件概率（一般用贝叶斯公式），还是某一事件的概率（一般用全概率事件）（5）如果根据题目设置随机变量：eg：总习题23本题目研究的问题是被接受的概率与抽取到次品数量之间的关系，所以A为抽取的次品数量；B产品被接受第二章习题笔记习题2-23、思路：①不考虑顺序，只考虑组合关系②式子中的1表示该随机变量的取值X=？必须在北抽取的三个数字中，只有一种变化，即该随机变量的取值 4、离散型随机变量的分布律思路：①根据分布律直接将对应的概率进行运算 5、7、返回型离散型随机变量求分布律思路：①最后一个分布律满足问题条件，前面对应的分布律都是问题要求：如取到正品̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅②可以写出通式 9、伯努利试验思路：①实验次数较多，计算较为繁琐的时候，可以使用二项分布的泊松近似进行求解，参数λ=np；②泊松分布公式：10、泊松分布与伯努利试验思路：①随机变量为每页印刷错误②问题是四页中没有印刷错误，参杂了伯努利试验，重数是页数，所以要注意区别题目信息的作用习题2-33、求解离散型随机变量分布函数思路：①理解分布函数与分布律之间的关系，累加关系；右连续，单调递增4、离散型随机变量的条件概率思路：P{X<2丨X≠1}不是交事件，是条件概率事件，所以P=0.4/（0.4+0.2），对于条件概率事件一定要用逻辑符号进行表示5、通过连续型随机变量的分布函数求解概率思路：①理解分布律与分布函数之间的关系，累加关系，右连续；②掌握相关的分布函数与分布律之间的运算关系习题2-42、根据概率密度函数求解概率和分布函数思路：①明确分布函数、概率密度函数、概率之间的关系②分布函数与概率密度是累的形式，如何确定积分符号∫的上下标，下标都是从−∞开始（因为分布函数都是累加的形式） 3、通过分布函数和概率密度函数的性质求解参数思路：①当X →+∞时，F 等于1②∫f (t )dt =1+∞−∞求解参数；两个1的运用③在连续型随机变量中，对于p {−1<X <−2}概率的求解不用像离散型随机变量一样关注端点值，直接F(-2)-F(-1)即、可；④在求概率P 的时候可以通过分布函数求解，也可以通过概率密度积分求解，但是进行概率密度积分的时候注意断点，因为有可能需要进行分段求解 5、均匀分布与伯努利试验思路：①通过均匀分布确定P ，n=10；②伯努利试验的标志是多个样本，多重试验，问个数10次，4页、10个等等 6、正态分布的标准化与分位数思路：①标准化②P{X≤3}其中3是分位数，=ϑ（3）7、正态分布相关参数的求解思路：①标准化，便于查表②明确正态分布表的概率计算方式，是≤；③区别分位数与随机变量所在区间P{X≤3}则分位数为3：其中随机变量的区间为(−∞，3)；分位数为3，正态分布表显示的是分位数左边的概率总和，即P{X≤3}。

《微积分》PPT课件

第九章
重积分
1
§9.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结
微积分Ⅰ
第九章
重积分
2
一、利用直角坐标计算二重积分
1、积分区域的类型设积分区域 D 可以用不等式 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b 来表示, 则称 D 为 X －型区域, 其中函数 1 (x)、 2 (x) 在区间 [a, b] 上连续.
微积分Ⅰ
第九章
重积分
22
例 7 求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所
围成的立体的体积 V.
z
2 2
解设两个直圆柱方程为
2 2 2
x y R , x z R . 由立体关于坐标平面的对 o R y 称性可知, 所求体积为第一卦限部分体积的 8 倍. x ∵所求立体在第一卦限部分可看成是一个曲顶柱体, 它的顶为柱面 z R2 x 2 ,
若改变该二次积分的次序, 则 D 变为 Y －型区域,
微积分Ⅰ
第九章
重积分
15
2 D {( x , y ) | 0 y 1, 1 1 y x 2 y }, 即
dx
0
1
2 x x2
0
2 y
f ( x, y)dy dx
1
2
2 x
0
f ( x, y)dy
f ( x , y )d a [ ( x ) f ( x, y)dy]dx.
D
b
上式右端的积分称为先对 y、后对 x 的二次积分. 就是说, 先把 x 看作常数, 把 f (x, y) 只看作 y 的函数, 并对 y 计算从 1(x) 到 2(x) 的定积分; 然后把所得的结果 (是 x 的函数) 再对 x 计算在区间 [a, b] 上的定积分. 这个先对 y、后对 x 的二次积分也常记作

概率论与数理统计(经管类·第四版)吴赣昌主编

A B
A1 , A2 ,, An 的积事件 ——
Ai
i 1
n
A1 , A2 ,, An , 的积事件 ——
Ai
i 1

5. 事件的差
—— A 与B 的差事件
A B
A B

A B
A B 发生
事件 A 发生，但事件 B 不发生
6. 事件的互斥(互不相容)
AB —— A 与B 互斥
确定性现象随机现象 ——
每次试验前不能预言出现什么结果每次试验后出现的结果不止一个在相同的条件下进行大量观察或试
验时，出现的结果有一定的规律性 —— 称之为统计规律性
§1.1 随机事件
基本术语对某事物特征进行观察, 统称试验. 若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示
可在相同的条件下重复进行
试验结果不止一个,但能明确所有的结果试验前不能预知出现哪种结果
样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果组成的集合称为样本空间记为样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为
样本点(or基本事件) 常记为， = {}
随机事件 —— 的子集, 记为 A ,B ,… 它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
完备事件组?niia1???naaa21?若两两互斥且naaa21?则称为完备事件组naaa21?或称为的一个划分??1ana1?na2a3a??吸收律aaa???????aaa???????运算律对应事件运算集合运算aaba??abaa????幂等律aaa??aaa???差化积abababa?????重余律aa??交换律abba???baab??结合律cbacba?????bcacab??分配律cbcacba??????cababca????ccbaba??baab????niiniiaa11?????niiniiaa11????反演律运算顺序

解析几何课件(第四版)

交线为椭圆.
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z a2 x2 y2 2 表示怎样的曲线？例2 方程组 a 2 a 2 ( x ) y 2 4
解
z a x y
2 2
2
上半球面,
a 2 a 2 圆柱面, ( x ) y2 2 4
交线如图.
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§2.2
曲面的方程
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以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 、半径为 R 的球面方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
根据题意有
| MM 0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
所求方程为 x x0 y y0 z z0 R 2
.
旋转一周得旋转曲面 S
M(x,y,z) S
f (y1, z1)=0
z1 z
| y 1 | MP
S
x y2 2zFra bibliotekz1C
o
y1
y
.
x
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f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
P M
z
N (0, y1 , z1 )
.
z
x2 2 y
y
o
平面
y
o
x
抛物柱面抛物柱面方程：
x
y x
平面方程：
x 2y
2
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y x
返回
只含 x, y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为 xoy 面上曲线 C :F ( x , y ) 0 .

微积分经管类.ppt

lim
n
(n
1)(2n 6n2
1)
1 3
.
证明:
xn
1 3
=
(n 1)(2n 1) 6n2
1 3
1 2n
1 6n2
1 1 1 2n 3n
1 2n
任用给定义0证, 取明数N列极[ 2限1 存], 在则时当, 关n键是N 从时绝,对值不等式
出发, 由
是否最小).
>0,(n找到1)(使2n绝对1)值不1 等式成立的N(并不在乎N
6n2
3
所以
lim
n
(n
1)(2n 6n2
1)
1 3
.
证明 lim n
xn
A
整理| xn A |
| xn A |
No
好解？
| xn A | 可直接放大？
No 限制 n 的范围
Yes
解之得 N
Yes
|
xn
A |
M n
套定义
所以 lim n
xn
A
练习1
证明:
证明
(1)n
lim
n
(n
1)2
0
•当n>N时, 点xn全都落在邻域 (A, A ) 内
(
)
A AA A
事实上,只有有限个(至多只有N个)落在其外.
❖关于极限定义的说明
1. ε是任意给定的.
2. N 与ε有关, 且不唯一. 3. 并不是所有的数列都有极限，如
{ lnn }, {(-1)n+1} 的极限是不存在的.
4. 数列{xn}以 A 为极限,我们称 {xn} 是收敛的，且收敛于 A. 若数列{xn}无极限，则称数列 {xn}发散。

概率论与数理统计所有完整PPT及相关答案(理工类第四版吴赣昌主编答案)

古典概型与几何概型
条件概率

事件的独立性
1.1 随机事件
一、随机现象
确定性的——在一定条件下必然发生的现象随机性的——在一定条件下，具有多种可能的结果，但事先又不能预知确切的结果

1)拋掷一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是正面朝下，并且在拋掷之前无法预知拋掷的结果。 2)足球比赛，其结果可能是胜、平、负，但在比赛之前无法预知其结果。 3)投掷一个骰子，其结果有6种，即可能出现1,2,3,4,5,6点，但每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。 4)股市的变化。
概率论与数理统计
教师: 高璟
e-mail: gaojane@ 工程数学教研室
引
言
概率论与数理统计是
研究什么的
经典的数学理论如微积分学、微分方程等都是研究确定性现象的有力的数学工具。对于某些随机现象，虽然对个别试验来说，无法预言其结果，但在相同的条件下，进行大量的重复试验或观察时，却又呈现出某些规律性（如拋掷硬币）。随着社会生产与科学技术的发展，研究随机现象的统计规律性的理论和方法获得了迅速的发展，形成了数学的一个重要分支，并被广泛应用于工业、农业、军事、科技、经济等领域。
概率论与数理统计——研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科
应用范围广泛。例如：气象预报、水文预报、地震预报、产品质量检验、产品的可靠性评估、寿命预测、生物统计、卫生统计、保险、金融等各领域。
经典数学与概率论与数理统计是相辅相成，互相渗透的。
第1章随机事件及其概率

随机事件随机事件的概率
随机试验的例子
E1：拋掷一枚质地均匀的硬币，观察正面和反面出现的情况； E2：掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数； E3：记录某网站一分钟内受到的点击次数； E4：从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿命。 E5: 从装有三个白球（记号为1,2,3）与两个黑球（记号为4,5）的袋中任取两球，(1)观察两球的颜色； (2)观察两球的号码

微积分课件-经管类(吴赣昌中国人民大学)CH1第三节常用经济函数

C (x ) 10x 270000
而需求函数为
x 900P 45000 C (P ) 9000P 270000
R (P ) P ( 900P 45000) 900P 2 45000P
L(P ) R (P ) C (P ) 900(P 2 60P 800) 900(P 30)2 90000
称为单位成本函数或平均成本函数。成本函数是单调增加函数，称为成本曲线。
C x C x , x 0 x
例5 某工厂生产某产品，每日最多生产200单位，它的日固定成本为150元，生产一个单位产品的可变成本为16元。求该厂日总成本函数及平均成本函数。
C C x 150 16x , 0 x 200
§1.3 常用经济函数
一、单利与复利
利息：借款者向贷款者支付的报酬，它是根据本金的数额按一定比例计算出来的。主要有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等形式
单利计算公式：设初始本金为p元，银行年利率为r，则：
第一年未本利和： s 1 第二年未本利和： s 2 ……
第n年未本利和：
p rp p (1 rห้องสมุดไป่ตู้)
R R p (1 r ) 得p n (1 r )
n
R表示第n年后到期票据金额，r表示贴现率，p为贴现金额， 1/(1+r)n为贴现因子。
若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据，且每张票据的贴现率都是相同的，则一次性向银行转让票据而得到的现金为：
R2 p R0 2 (1 r ) (1 r )
到期的票据金额
R1
1 Rn n (1 r )

微积分经管类第四版吴赣昌习题全解第三章中值定理与导数的应用

第3章中值定理与导数的应用习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。

（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。

知识点：罗尔中值定理。

思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。

解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。

令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。

（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。

令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。

★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。

知识点：拉格朗日中值定理。

思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。

解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。

又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：(01),ξ=，∴5(01)12,ξ∃=∈，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。

★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。

大学课程《微积分》PPT课件：微积分3章6节

由
R P Q P f (P),
R
f
(P) Pf (P)
f (P)1
f (P)
f
P (P)
f (P)(1),
知：
(1) 若 | |1 , 需求变动的幅度小于价格变动的幅度. R 0,
R递增. 即价格上涨, 总收益增加; 价格下跌, 总收益减少.
(2) 若 | |1, 需求变动的幅度大于价格变动的幅度.R 0 , R递减. 即价格上涨, 总收益减少; 价格下跌, 总收益增加.
于是总利润为：L R C0 (Q)
a ( b t)Q ( c)Q2
对其求导得，L b t 2( c)Q，

令L
0得驻点：Q0
bt， 2( c)
又L 2( c) 0
可见，驻点为最大值点。因此，企业为使税后利润最大，所生产的商品量为
bt Q0 2( c)
。于是所得总税收为：
边际成本函数为： C( x) x
50
所以在产量为100个水平上的边际成本
C(100) 100 2（元/个） 50
上述计算结果说明：生产前100个产品时，均摊在每个产品上的成本为10元，
在此水平上生产第101个产品，所需要增添的成本大约为2元
例 2 设某企业的产品的成本函数与收益函数分别为：
C(x) 1000 400x 1 x2 （元） 2
例8（讲义例8）一玩具经售商以下列成本及收益函数销售某种产品: C(x) 2.4x 0.0002x2, 0 x 6000 R(x) 7.2x 0.001x2, 0 x 6000
试问何时利润随产量增加(即增加产量可使利润增加)?
例9 某企业的成本函数为
，其中 C 0.5x 5000

经济数学微积分PPT课件

思考题
x
sin
1 x
,
试问函数 f ( x) 10,
5 x2 ,
x0 x 0 在x 0处
x0
的左、右极限是否存在？当x 0 时， f ( x) 的
极限是否存在？
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思考题解答
lim f ( x) lim (5 x2 ) 5,
x0
x0
lim f ( x) lim x sin 1 0,
证
取
xn
1 n
,
lim
n
xn
0,
且 xn 0;
y sin 1 x
取
xn
4n
1
1
,
lim
n
xn
0,
2
且 xn 0;
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而 limsin 1 limsinn 0,
n
x n n
而 limsin 1 limsin4n 1
n
xn n
2
lim1 1, n
二者不相等, 故 limsin 1 不存在.
四、讨论：函数(x) x 在 x 0 时的极限是否
x 存在?
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练习题答案
一、1．0.0002；四、不存在.
2. 397.
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感谢您的观看！
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过程时刻从此时刻以后
f (x)
n n N
x x x N
x N x N x N
f (x) A
过程时刻从此时刻以后
f (x)
x x0
x
x
0
0 x x0 0 x x0