2018届高三数学(理)一轮总复习练习-第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-4 Word版含答案

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2018届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时作业27平面向量的基本定

课时作业27平面向量的基本定理及坐标表示基础达标演练、选择题 1. 设平面向量 a = ( - 1,0) , b =(0,2)，贝U 2a - 3b =( )则c = 2a -》b ,选B.A. (6,3)B. (-2, - 6)C. (2,1)D. (7,2)解析：2a - 3b = ( — 2,0) - (0,6) = ( — 2,- 6). 答案：B2•若向量 a = (1,1) , b = (1 , - 1) , c = ( - 1,2)，则c 等于（31 C尹2b3 1 D.—b2 2解析：设 c = xa + yb ,则(—1,2) = x (1,1) + y (1 , - 1) = (x + y ,x - y )x + y =— 1 x - y = 2，解得3y=-1 3 B.-a —j b2 21x= 23.在厶 ABC 中，点 P 在 BC 上,且 BP= 2PC 点 Q 是 AC 的中点，若P2 (4,3) , PQ= (1,5),则BC 等于（）答案：BA. ( - 2,7)B.(-6,21)C (2 , - 7)D. (6 , - 21)解析：BO= 3PO 3(2 PQ- PA = 6PQ- 3PA= (6,30) -(12,9) = ( - 6,21).答案：B4.已知向量 a = (1 — sin 0 , 1) , b = i ?, 1 + sin0 ，若a // b ,则锐角0 =()nAW解得 m=± 2,又 n <0. • m=- 2, x = m=- 2.答案：B=-c 都可以唯一地表示成 c =入a +卩b (入，卩为实数)，贝U 实数m 的取值范围是()A. ( —s, 2) C. ( —s ,)D. ( —s , 2) U (2 , +s)解析：由题意知向量a , b 不共线，故2m^3m-2,即m^2.答案：D二、填空题解析：由答案：(4,7)Z P O8. (2017 •雅安模拟)已知向量 a = ( .3 , 1) , b = (0, — 1) , c = (k , .3),若 a — 2b 与 c 共线，贝y k= __________ .解析：•/ a — 2b = ( . 3 , 3),且 a — 2b // c ,CnC.y_ 5 n Dp解析：因为 a / b ,所以(1 — sin 0 ) x (1 + sin 0 ) — 1x 卜 0,得 sin 20 1,所以sin 0=±¥ ,故锐角0=n r .答案：B5. 设向量a = (x, 1) , b = (4 , x )，且a , b 方向相反，则 x 的值是(A. B. C.D. 解析：因为a 与b 方向相反，所以b = na , nr O ,则有(4,x ) = mx, i ),••=mx6.已知平面直角坐标系内的两个向量 a = (1,2) , b = ( m,3m- 2),且平面内的任一向量 B. (2 ,+s)7.已知O 为坐标原点，A (1,1) , C (2,3)且2AC = CB 则OB 勺坐标是 _____________ .T TT T T T T T T2AC = CB 得 2( 0(— OA = OB- OC 得OB= 3OC — 2OA= 3(2,3) — 2(1,1) = (4,7).•- 3x 3 —3k= 0,解得k= 1.答案：19.已知向量a= (x, 2) , b= (4 , y), c = (x , y)( x>0 , y>0)，若a// b，则| c| 的最小值解析：a / b? xy = 8,所以| c| = x2+ y2> 2xy = 4(当且仅当x = y = 2 2时取等号).答案：410.已知向量AC AD 和A 醉正方形网格中的位置如图所示，若AC=入AB+卩AD ,贝U 入卩5答案：—3 三、解答题11 .已知 A — 2,4) , B (3 , — 1) , C ( — 3,— 4)，设 AB= a , BC = b , CA= c ,且CM= 3c ,CN=— 2b .(1) 求 3a + b — 3c ;(2) 求满足a = nb + nc 的实数 m n ； ⑶求M N 的坐标及向量MN 勺坐标.解：由已知得 a = (5 , — 5), b = ( — 6,— 3) , c = (1,8)解析：建立如图所示的平面直角坐标系 xAy ,则AC= (2 , — 2) , AB= (1,2) , AD= (1,0),2 =入 + [1 , 由题意可知(2 , — 2)=入(1,2) +1(1,0)，即* —2=2 入,解得)=—1，1 = 3,=— 3.(1)3 a+ b—3c = 3(5 , - 5) + ( —6, —3) —3(1,8) = (15 —6-3,—15-3-24) = (6 ,-(2) v nb+ nc = ( —6m+ n,- 3m^ 8n).—6m+ n= 5,—3m+ 8n = — 5 ,解得m=—1 ,n=—1.即所求实数m的值为一1, n的值为一1.(3)设0为坐标原点，vCM= OM—0C= 3c,「. OMk 3c+ 0C= (3,24) + ( —3 , —4)=(0,20).即M0,20)，又v CN= ON- 0C=—2b,「. 0N=—2b+ 0C= (12,6) + ( —3, —4)= (9,2).即N(9,2) ,••• MN= (9 , —18).12. (2017 •枣庄校级月考)若点M>^ ABC所在平面内一点，且满足(1)求厶ABMW A ABC的面积之比. AM= 3AB+ ；AC4 4⑵若N为AB中点，AM与CN交于点0,设B0= xBM^ yBN,求x , y 的值.解：(1)由AM= |A B+ ^AC可知M B, C三点共线.如图令BM=入BC# AM= AB+ BM= AB+ 入BC= AB+ 入(AC- AB = (1 —入)人聊入AC 所以⑵由B0= xBM^ yBN# B0= xBW yBAxB0= [BO yBN由0, M A三点共线及Q N, C三点共线••>«生冲击名綾n1.在平面直角坐标系中，向量n = (2,0)，将向量n 绕点O 按逆时针方向旋转石后得向3量m 若向量a 满足| a — m- n | = 1,则| a |的最大值是()A. 2 3— 1B. 2 3+ 1C. 3D. 6+2 +1解析：依题意，m= (1，-. 3)，所以 m + n = (3 , 3).设 a = (x , y )，又| a — m-n | = 1,所以(x — 3)2+ (y — ,3)2= 1.所以向量a 的终点坐标(x , y )的轨迹是以(3 , 3)为圆心，半径为1的圆.所以|a |的最大值为圆心(3 , 3)到原点的距离加上半径.所以|a |的最大值为，32+；3 2+ 1 = 2 3+ 1.答案：B2. (2017 •河北石家庄一模)A , B, C 是圆O 上不同的三点，线段 CO 与线段AB 交于点Q 点O 与点D 不重合)，若0(=入OA +卩OB 入，卩€ R)，贝U 入+卩的取值范围是()A. (0,1)B. (1 ,+^)C. (1 , \ 2]D. ( —1~~~< 入一<所以mO =入01 OB 即。

2018年高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入课时达标24平面向量的概念及其线性运算理

2018年高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时达标24 平面向量的概念及其线性运算理[解密考纲]本考点重点考查向量的概念、线性运算，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下．一、选择题1．在△ABC 中，已知M 是BC 的中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( A ) A ．12a －b B ．12a ＋b C ．a －12b D ．a ＋12b解析：AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a ，故选A ．2．(2017·河北石家庄模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( D )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb解析：因为a ，b ，是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则a 与b 共线同向，故D 正确．3．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，实数λ∈(1,2)，则( B ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 一定共线解析：∵OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，∴OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴AM →＝λAB →.∵λ∈(1,2)，∴点B 在线段AM 上．4．如图所示，在△ABC 中，若BC →＝3DC →，则AD →＝( C )A ．23AB →＋13AC →B ．23AB →－13AC →C ．13AB →＋23AC →D ．13AB →－23AC → 解析：AD →＝CD →－CA →＝13CB →－CA →＝13(AB →－AC →)＋AC →＝13AB →＋23AC →，故选C ．5．(2017·甘肃兰州模拟)已知D 为△ABC 的边AB 的中点，M 在边DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( C )A ．15 B ．25 C ．35 D ．45解析：由5AM →＝AB →＋3AC →得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →，则2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5，故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.6．(2017·云南大理模拟)已知O 是△ABC 所在平面外一点且满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ为实数，则动点P 的轨迹必须经过△ABC 的( B ) A ．重心 B ．内心C ．外心D ．垂心解析：如图，设AB→|AB →|＝AF →，AC →|AC →|＝AE →，已知AF →，AE →均为单位向量．故□AEDF 为菱形，所以AD 平分∠BAC ，由OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|得AP →＝λAD →，又AP →与AD →有公共点A ，故A ，D ，P 三点共线，所以P 点在∠BAC 的平分线上，故P 的轨迹经过△ABC 的内心．二、填空题7．(2017·吉林长春模拟)已知m ，n 满足|m|＝2，|n|＝3，|m －n|＝17，则|m ＋n|＝3.解析：由平行四边形的对角线与边的关系及|m －n|与|m ＋n|为以m ，n 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，得|m －n|2＋|m ＋n|2＝2|m|2＋2|n|2＝26，又|m －n|＝17，故|m ＋n|2＝26－17＝9，故|m ＋n|＝3.8．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝3.解析：由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM →＝23AD →，因为AD 为中线，则AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，所以m ＝3.9．设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为－1.解析：∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1.三、解答题10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，CD →＝13CA →＋λCB →，求实数λ的值．解析：如图，D 是AB 边上一点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于点F ，连接CD ，则CD →＝CE →＋CF →.因为CD →＝13CA →＋λCB →，所以CE →＝13CA →，CF →＝λCB →.由△ADE ∽△ABC ，得DE BC ＝AE AC ＝23，所以ED →＝CF →＝23CB →，故λ＝23.11．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，求实数m 的值．解析：由N 是OD 的中点得AN →＝12AD →＋12AO →＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AD →＋14AB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.12．如图，△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，求1m ＋1n的值．解析：由GA →＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D ，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA→＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6.。

2018版高考一轮总复习数学(理)习题第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入4-3含答案

（时间：40分钟）1．设a ,b 是向量．则“|a ｜＝|b |”是“｜a ＋b |＝|a －b ｜”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析当｜a ｜＝｜b |＝0时，｜a ｜＝|b ｜⇔｜a ＋b ｜＝|a －b ｜.当|a |＝｜b |≠0时，|a ＋b ｜＝|a －b ｜⇔（a ＋b ）2＝(a －b )2⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b ，推不出｜a |＝|b ｜.同样，由|a ｜＝|b |也不能推出a ⊥b 。

故选D 。

2．已知向量a 与b 的夹角是错误!，且｜a |＝1，｜b ｜＝4，若（3a ＋λb ）⊥a ，则实数λ＝( )A ．－错误!B ．错误!C ．－2D ．2 答案 A解析因为(3a ＋λb )⊥a ,所以(3a ＋λb )·a ＝3a 2＋λa ·b ＝3＋2λ＝0，解得λ＝－错误!.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，错误!＝(1，－2)，错误!＝(2，1)，则错误!·错误!＝（）A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 A解析错误!＝错误!＋错误!＝（1，－2)＋(2,1)＝(3，－1）,所以错误!·错误!＝（2，1)·(3，－1)＝2×3＋1×（－1)＝5.4．在△ABC 中，∠C ＝90°,且CA ＝CB ＝3,点M 满足BM ，→＝2错误!,则错误!·错误!＝（ )A ．18B ．3C ．15D ．12答案 A解析由题意可得△ABC 是等腰直角三角形,AB ＝3错误!，错误!＝错误!，故错误!·错误!＝(错误!＋错误!)·错误!＝错误!2＋错误!·错误!＝9＋（错误!－错误!)·错误!＝9＋错误!2－错误!·错误!＝9＋9－0＝18，故选A.5．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b （m ∈R ），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝（ )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 D解析 a ＝(1,2），b ＝(4,2),则c ＝m a ＋b ＝（m ＋4，2m ＋2），｜a ｜＝错误!,|b |＝2错误!，∴a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴错误!＝错误!,∴错误!＝错误!,解得m＝2.6．已知向量a＝(1，－1）,b＝（6，－4)．若a⊥（t a＋b)，则实数t的值为________．答案－5解析根据已知，a2＝2，a·b＝10。

[推荐学习]2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的

2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.4 数系的扩充与复数的引入模拟演练文[A 级基础达标](时间：40分钟)1．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2B ． 3C ． 2D ．1答案 B解析解法一：由已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|1－a i|＝2.∴1＋a 2＝2.∵a >0，∴a ＝ 3.解法二：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|a ＋i||i|＝|a ＋i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝ 3. 2．[2016·北京高考]复数1＋2i2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i答案 A 解析 1＋2i 2－i＝＋＋2－i2＋i＝2＋i ＋4i ＋2i 24－i 2＝5i 5＝i ，故选A. 3．[2016·全国卷Ⅲ]若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i答案 C解析 ∵z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴4i z z －1＝4i4＝i ，故选C.4．[2015·湖南高考]已知－2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 D 解析由－2z＝1＋i ，得z ＝－21＋i＝－2i 1＋i ＝－－1＋i 1－i＝－1－i. 5．[2017·安徽模拟]设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 A解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ·z i ＋2＝2z 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，所以2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i.6．[2016·天津高考]i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________．答案 1解析 ∵z ＝21＋i＝1－i ，∴z 的实部为1.7．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.答案5解析 ∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－b ，0＝1＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋－2＝ 5.8．[2014·湖南高考]满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数是________．答案 12－i2解析由已知得z ＋i ＝z i ，则z (1－i)＝－i ，即z ＝－i1－i＝－＋－＋＝1－i 2＝12－i2. 9．[2017·金华模拟]已知z ∈C ，解方程z ·z －－3i z －＝1＋3i.解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i.根据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.10．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i是实数，i 是虚数单位．(1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝b i －－1＋i 1－i＝b －＋b ＋2＝b －22＋b ＋22i.又因为z －21＋i 是实数，所以b ＋22＝0，所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0.解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)．[B 级知能提升](时间：20分钟)11．复数z 为实数的充分不必要条件是( ) A ．z ＝z B ．|z |＝z C ．z 2为实数 D ．z ＋z 为实数答案 B解析 z ＝z ⇔z ∈R .|z |＝z ⇒z ∈R ，反之不行，例如z ＝－2.z 2为实数不能推出z ∈R ，例如z ＝i.对于任何z ，z ＋z 都是实数．故选B.12．复数m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵m (3＋i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i ，设在复平面内对应的点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －2，y ＝m －1，消去m 得x －3y －1＝0，因为直线x －3y －1＝0经过第一、三、四象限，所以复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选B.13．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．答案3解析 ∵|z －2|＝x －2＋y 2＝ 3∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y xmax ＝31＝ 3. 14．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解存在．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2i. 又z ＋3＝a ＋3＋b i 实部与虚部互为相反数，z ＋5z是实数，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ⎝⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b ，因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a ＝－b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。

2018届高三数学(理)一轮总复习练习-第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4-1Word版含答案

课时规范训练[A 级基础演练]1．(2017·四川泸州检测)已知D 为△ABC 的边BC 的中点，△ABC 所在平面内有一点P ，满足P A →＝PB →＋PC →，则|PD →||AD →|的值为( )A ．1 B.13 C.12D ．2解析：选A.因为P A →＝PB →＋PC →，所以P A 必为以PB ，PC 为邻边的平行四边形的对角线，因为D 为边BC 的中点，所以D 为边P A 的中点，|PD→||AD →|的值为1，故选A.2．已知△ABC 中，平面内一点P 满足CP →＝23CA →＋13CB →，若|PB →|＝t |P A →|，则t 的值为( )A ．3B ．13 C ．2D ．12解析：选 C.由题意可知PB →＝CB →－CP →＝CB →－⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →＋13CB →＝23(CB →－CA →)＝23AB →，同理可得P A →＝－13AB →，∴|PB →|＝2|P A →|，即t ＝2.3．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )A ．aB ．bC ．cD ．0解析：选D.依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.4．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2 BD →，CE→＝2 EA →，AF →＝2 FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( ) A ．反向平行 B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A.由题意得AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE→＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →， CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，因此AD→＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →－AB →) ＝CB→＋23BC →＝－13BC →，故AD→＋BE →＋CF →与BC →反向平行．5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23 C ．x ＝14，y ＝34 D ．x ＝34，y ＝14解析：选A.由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP→＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.6．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析：选C.因为向量a |a |的方向与向量a 相同，向量b|b |的方向与向量b 相同，且a |a |＝b|b |，所以向量a 与向量b 方向相同，故可排除选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |，故a ＝2b 是a |a |＝b |b |成立的充分条件．7．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝．解析：由已知得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]， ∴⎩⎨⎧λ＝－k ，3k ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－13，k ＝13.答案：－138．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λ AO →，则λ＝．解析：因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB→＋AD →＝AC →.又O 为AC 的中点，所以AC→＝2 AO →，所以AB →＋AD →＝2 AO →.因为AB →＋AD →＝λ AO →，所以λ＝2.答案：29．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC→|，则|AM →|＝．解析：由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|得AB →⊥AC →，则AM 为直角三角形ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM→|＝12|BC →|＝2. 答案：210．设a 、b 是两个非零向量．若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，则实数k ＝．解析：因为8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，所以存在实数λ使得8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )，即(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0.因为a 与b 是两个不共线的非零向量，所以⎩⎨⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，所以k ＝2λ＝±4.答案：±4[B 级能力突破]1．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D.∵A 、B 、C 三点共线， ∴存在实数t ，满足AB→＝tAC →，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，又a ，b 是不共线的向量， ∴⎩⎨⎧λ＝t 1＝μt ，∴λμ＝1.2．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( )A.23 B ．43 C ．－3D ．0解析：选D.∵CD→＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →又CD→＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23， ∴r ＋s ＝0，故选D.3．已知△ABC 的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若aGA →＋bGB→＋33cGC →＝0，则角A 为( ) A.π6B.π4C.π3 D ．π2解析：选A.∵G 为△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0.∵aGA→＋bGB →＋33cGC →＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －33c GA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －33c GB →＝0，∴a －33c ＝0，b －33c ＝0， ∴a ＝33c ，b ＝33c ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，＝13c 2＋c 2－13c 22×33c ·c ＝32，∴A ＝π6.4．设O 在△ABC 的内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为．解析：设AC ，BC 的中点分别为M ，N ，则已知条件可化为(OA→＋OC →)＋2(OB →＋OC→)＝0，即2OM →＋4ON →＝0，所以OM →＝－2ON →，说明M ，O ，N 三点共线，即O 为中位线MN 上的一个三等分点，S △AOC ＝23S △ANC ＝23·12S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABC S △AOC ＝3.答案：35.(2017·山西临汾模拟)如图，△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP→＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，则1m ＋1n＝．解析：由GA→＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D ，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA →＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6.答案：66．(2017·河南郑州一中模拟)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB→＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n 的值； (3)求M ，N 的坐标及向量MN→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)， ∴⎩⎨⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点， ∵CM→＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， ∴M (0，20)．又∵CN→＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， ∴N (9，2)， ∴MN →＝(9，－18)．。

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.2 精品

所以BD AD=(A-B1,-1)-(2,4)=(-3,-5).
答案:(-3,-5)
考向一平面向量基本定理及其应用
【典例1】(1)如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基
底的是 ( )
A.e1与e1+e2 C.e1+e2与e1-e2
B.e1-2e2与e1+2e2 D.e1-2e2与-e1+2e2
【解析】选D.由题意得
P1P
1 3
或P1P2
P1P=2 (3,-3).
设P(x,y),则 P1=P(x-1,y-3),
当P1P 13时P1P,2(x-1,y-3)=
(3,-13),
3
所以x=2,y=2时,即P(2,2).
当P1P 23时P1P,2(x-1,y-3)=
(3,-23),
3
所以x=3,y=1,即P(3,1).
4 xy
AP AB BP AB② y BN,
xy
①×y+②×x得 AP x AB y AC，
x y 4(x y)
令 y 得 y2 =， x,代8入得m=
4(x y) 11
3
3. 11
答案: 3
11
【加固训练】 1.(2015·广州模拟)设a是已知的平面向量且a≠0,关于向量a的分解,有如下四个命题: ①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c; ②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc; ③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ, 使a=λb+μc;
3
3
故
2
t, 3
2 2
解得
t，

2018届高三数学(理)高考总复习教师用书：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 Word版含答案

第四章⎪⎪⎪平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则 (1)交换律：a＋b ＝b ＋a ； (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )平行四边形法则减法求a 与b 的相反向量－b的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa．[小题体验]1．下列四个命题中，正确的命题是()A．若a∥b，则a＝b B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若|a|＝|b|，则a∥b D．若a＝b，则|a|＝|b|答案：D2．(教材习题改编)化简：(1)(AB―→＋MB―→)＋BO―→＋OM―→＝________．(2)NQ―→＋QP―→＋MN―→－MP―→＝________．答案：(1)AB―→(2)03．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．答案：－131．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．[小题纠偏]1．若菱形ABCD的边长为2，则|AB―→－CB―→＋CD―→|＝________．解析：|AB―→－CB―→＋CD―→|＝|AB―→＋BC―→＋CD―→|＝|AD―→|＝2．答案：22．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的________条件．解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q ．若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ>0，故q ⇒/ p ． ∴p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要考点一平面向量的有关概念(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0．假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3．2．(易错题)给出下列命题： ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ．其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ．②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→．③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②．答案：①②[谨记通法]向量有关概念的5个关键点(1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0．(5)相等相量：方向相同且长度相等．如“题组练透”第2题易混淆有关概念．考点二向量的线性运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2017·武汉调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→等于( )A ．OM ―→B ．2OM ―→C ．3OM ―→D ．4OM ―→解析：选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→．2．(2017·唐山统考)在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝( )A ．12AB ―→＋12AD ―→B ．34AB ―→＋12AD ―→C ．34AB ―→＋14AD ―→D ．12AB ―→＋34AD ―→解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→．又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB―→＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝⎛⎭⎫AB ―→＋AD ―→＋12 AB ―→ ＝34AB ―→＋12AD ―→． 3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE ―→＝λ1AB―→＋λ2AC ―→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝12AB ―→＋23BC ―→＝12AB ―→＋23(BA ―→＋AC ―→)＝－16AB ―→＋23AC ―→，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12．答案：12[谨记通法]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．考点三共线向量定理的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 同向．解：(1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB ―→． ∴AB ―→，BD ―→共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵ka ＋b 与a ＋kb 同向，∴存在实数λ(λ>0)，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，即ka ＋b ＝λa ＋λkb ．∴(k －λ)a ＝(λk －1)b ． ∵a ，b 是不共线的两个非零向量，⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1，又∵λ>0，∴k ＝1．[由题悟法]共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ―→＝λAC ―→，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[即时应用]如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ―→＝23AD ―→，AB ―→＝a ，AC ―→＝b ．(1)用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ―→，BE ―→，BF ―→； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ，使AD ―→＝12AG ―→，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG ―→＝a ＋b ， AD ―→＝12AG ―→＝12(a ＋b )，AE ―→＝23AD ―→＝13(a ＋b )，AF ―→＝12AC ―→＝12b ，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ―→＝23BF ―→，又因为BE ―→，BF ―→有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若AB ―→＋AD ―→＝λAO ―→，则λ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选B 根据向量加法的运算法则可知，AB ―→＋AD ―→＝AC ―→＝2AO ―→，故λ＝2． 2．在△ABC 中，AD ―→＝2DC ―→，BA ―→＝a ，BD ―→＝b ，BC ―→＝c ，则下列等式成立的是( ) A ．c ＝2b －a B ．c ＝2a －b C ．c ＝32a －12bD ．c ＝32b －12a解析：选D 依题意得BD ―→－BA ―→＝2(BC ―→－BD ―→)，即BC ―→＝32BD ―→－12BA ―→＝32b －12a ．3．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→．又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．4．(2017·扬州模拟)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ―→＝12NC ―→，P 是BN 上一点，若AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值是________．解析：如图，因为AN ―→＝12NC ―→，P 是BN ―→上一点．所以AN ―→＝13AC ―→，AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋23AN ―→，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13．答案：135．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→＝________．(用a ，b 表示)解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b ．答案：b －a －a －b二保高考，全练题型做到高考达标1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ―→＝a ，AD ―→＝b, 则BE ―→等于( )A ．12b －aB ．12a －bC ．－12a ＋bD ．12b ＋a解析：选C BE ―→＝BA ―→＋AD ―→＋12DC ―→＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选C ．2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b ．整理得λa ＋b ＝ka ＋(2λk －k )b ．由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12．又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12．3．下列四个结论：①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝0；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝0；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝0，其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝0，①正确；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝AB ―→＋MO ―→＋OM ―→＝AB ―→，②错；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝CB ―→＋BC ―→＝0，③正确；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0，④正确．故①③④正确．4．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC ―→＝2BD ―→，CE ―→＝2EA ―→，AF ―→＝2FB ―→，则AD ―→＋BE ―→＋CF ―→与BC ―→( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A 由题意得AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋13BC ―→，BE ―→＝BA ―→＋AE ―→＝BA ―→＋13AC ―→，CF ―→＝CB ―→＋BF ―→＝CB ―→＋13BA ―→，因此AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝CB ―→＋13(BC ―→＋AC ―→－AB ―→)＝CB ―→＋23BC ―→＝－13BC ―→，故AD ―→＋BE ―→＋CF ―→与BC ―→反向平行．5．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ∵D 为AB 的中点，则OD ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，又OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→＝0，∴OD ―→＝－OC ―→，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABC S △AOC＝4．6．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ―→＝3NC ―→，得AN ―→＝34AC ―→＝34(a ＋b )，AM ―→＝a ＋12b ，所以MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b ．答案：－14a ＋14b7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC ―→2＝16，|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|，则|AM ―→|＝________．解析：由|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|可知，AB ―→⊥AC ―→，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM ―→|＝12|BC ―→|＝2．答案：28．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，给出下列命题：①AD ―→＝12a －b ；②BE ―→＝a ＋12b ；③CF ―→＝－12a ＋12b ；④AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝0．其中正确命题的个数为________．解析：BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AD ―→＝12CB ―→＋AC ―→＝－12a －b ，故①错；BE ―→＝BC ―→＋12CA ―→＝a ＋12b ，故②正确；CF ―→＝12(CB ―→＋CA ―→)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．∴正确命题为②③④．答案：39．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，试用a ，b 表示AD ―→，AG ―→．解：AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12a ＋12b ．AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋23BE ―→＝AB ―→＋13(BA ―→＋BC ―→)＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→) ＝13AB ―→＋13AC ―→ ＝13a ＋13b ． 10．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2．(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→＝2e 1－8e 2， ∴AB ―→＝2BD ―→．又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF ―→＝λBD ―→(λ∈R)，即3e 1－ke 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ. 解得k ＝12．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→． ∵点E 在线段CD 上， ∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2．∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12．即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12．答案：⎣⎡⎦⎤0，12 2．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1．证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→ ＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)，即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线．又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ，∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)．又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→．故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→，即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0． ∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1．第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21．(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2． 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．[小题体验]1．已知a ＝(4,2)，b ＝(－6，m )，若a ∥b ，则m 的值为______．答案：－32．(教材习题改编)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________．答案：(－6,19)3．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b ．解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b ．因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2．由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －131．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0．[小题纠偏]1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________．答案：02．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3．答案：－3考点一平面向量基本定理及其应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．如图，在三角形ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则AO ―→＝( )A ．12a ＋12bB ．12a ＋13bC ．14a ＋12bD ．12a ＋14b解析：选D ∵在三角形ABC 中， BE 是AC 边上的中线， ∴AE ―→＝12AC ―→．∵O 是BE 边的中点，∴AO ―→＝12(AB ―→＋AE ―→)＝12AB ―→＋14AC ―→＝12a ＋14b ．2．(易错题)如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作▱OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→．解：∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ， BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b ．∵OD ―→＝a ＋b ，∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→ ＝23OD ―→＝23a ＋23b ， ∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b ．综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b ．[谨记通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理，如“题组练透”第2题．考点二平面向量的坐标运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b ＝12(－6,8)＝(－3,4)，故选A ．2．已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ―→＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ―→＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，则MN ―→＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ， ∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)．[谨记通法]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考点三平面向量共线的坐标表示(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴ka －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12．(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32．[由题悟法] 向量共线的充要条件(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)；(2)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．[即时应用]1．已知向量OA ―→＝(k,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B ．43C ．12D ．13解析：选A AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→，AC ―→共线， ∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23．2．(2017·贵阳监测)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )∥(m －n )，则λ＝________．解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，又(m ＋n )∥(m －n )，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0．答案：0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析：选B 由题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(AC ―→－AB ―→)－AB ―→＝AC ―→－2AB ―→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．2．已知A (－1，－1)，B (m ，m ＋2)，C (2,5)三点共线，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A AB ―→＝(m ，m ＋2)－(－1，－1)＝(m ＋1，m ＋3)， AC ―→＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥AC ―→， ∴3(m ＋3)－6(m ＋1)＝0， ∴m ＝1．故选A ．3．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，且BP ―→＝2PA ―→，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A 由题意知OP ―→＝OB ―→＋BP ―→，又BP ―→＝2PA ―→，所以OP ―→＝OB ―→＋23BA ―→＝OB―→＋23(OA ―→－OB ―→)＝23OA ―→＋13OB ―→，所以x ＝23，y ＝13． 4．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝________．解析：因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得cos 2θ＝12，所以cos θ＝±22，又∵θ为锐角，∴θ＝π4．答案：π45．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ―→＝2PC ―→，点Q 是AC 的中点，若 PA ―→＝(4,3)，PQ ―→＝(1,5)，则BC ―→＝________．解析：AQ ―→―→＝PQ ―→－PA ―→＝(－3,2)， ∴AC ―→＝2AQ ―→＝(－6,4)． PC ―→＝PA ―→＋AC ―→＝(－2,7)， ∴BC ―→＝3PC ―→＝(－6,21)．答案：(－6,21)二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．2．已知向量a ，b 不共线，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D 由题意可得c 与d 共线，则存在实数λ，使得c ＝λd ，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ，解得k ＝－1．c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d ，故c 与d 反向．3．在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝( )A ．－2B ．－4C ．－3D ．－1解析：选D ∵a －12b ＝(3,1)，∴a －(3,1)＝12b ，则b ＝(－4,2)．∴2a ＋b ＝(－2,6)．又(2a ＋b )∥c ，∴－6＝6x ，x ＝－1．故选D ．4．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为( )A ．23B ．－23C ．32D ．－32解析：选B 设P (x ，y )，则由AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，∴x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5．又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23．故选B ．5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A ．14a ＋12bB ．12a ＋14bC ．23a ＋13bD ．13a ＋23b解析：选C 如图，∵AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，∴AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝12a ＋12b ．∵E 是OD 的中点， ∴|DE ||EB |＝13， ∴|DF |＝13|AB |．∴DF ―→＝13AB ―→＝13(OB ―→－OA ―→)＝13×⎣⎡⎦⎤－12BD ―→－⎝⎛⎭⎫－12AC ―→ ＝16AC ―→－16BD ―→＝16a －16b ， ∴AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b ，故选C ．6．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2,1)，c ＝(3,2)．若向量c 与向量ka ＋b 共线，则实数k ＝________．解析：ka ＋b ＝k (1,3)＋(－2,1)＝(k －2,3k ＋1)，因为向量c 与向量ka ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1．答案：－17．已知向量OA ―→＝(1，－3)，OB ―→＝(2，－1)，OC ―→＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ―→，AC ―→不共线． ∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1．答案：k ≠18．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ＝________．解析：以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO ―→＝(－1,1)，b ＝OB ―→＝(6,2)，c ＝BC ―→＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4．答案：49．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k ．解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613．10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ―→＝a ，BC ―→＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ―→，DF ―→，CD ―→．解：EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ―→＝DE ―→＋EF ―→＝－16b ＋⎝⎛⎭⎫13b －a ＝16b －a ， CD ―→＝CF ―→＋FD ―→＝－12b －⎝⎛⎭⎫16b －a ＝a －23b ．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．设OP ―→＝x OA ―→，OQ ―→＝y OB ―→，则1x ＋1y ＝________．解析：∵点P ，G ，Q 在一条直线上，∴PG ―→＝λPQ ―→． ∴OG ―→＝OP ―→＋PG ―→＝OP ―→＋λPQ ―→＝OP ―→＋λ(OQ ―→－OP ―→) ＝(1－λ)OP ―→＋λOQ ―→＝(1－λ)x OA ―→＋λy OB ―→，① 又∵G 是△OAB 的重心， ∴OG ―→＝23OM ―→＝23×12(OA ―→＋OB ―→)＝13OA ―→＋13OB ―→．② 而OA ―→，OB ―→不共线，∴由①②，得⎩⎨⎧(1－λ)x ＝13，λy ＝13.解得⎩⎨⎧1x ＝3－3λ，1y ＝3λ.∴1x ＋1y＝3．答案：32．已知三点A (a,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a >0，b >0．(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值．解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以OA ―→＝BC ―→，即(a,0)＝(2,2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.故a ＝2，b ＝2．(2)因为AB ―→＝(－a ，b )，BC ―→＝(2,2－b )，由A ，B ，C 三点共线，得AB ―→∥BC ―→，所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ，因为a >0，b >0，所以2(a ＋b )＝ab≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即(a ＋b )2－8(a ＋b )≥0，解得a ＋b ≥8或a ＋b ≤0．因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥8，即a ＋b 的最小值是8．当且仅当a ＝b ＝4时，“＝”成立．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a 和b ，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB 就是a与b 的夹角设θ是a 与b 的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°θ＝0°或θ＝180°⇔a ∥b ，θ＝90°⇔a ⊥b定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b投影 |a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影， |b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积(1)a·b ＝b·a ．(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ． 4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ．结论几何表示坐标表示模 |a |＝a·a |a |＝x 21＋y 21夹角 cos θ＝a·b|a||b| cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0|a·b |与|a||b|的关系 |a·b |≤|a||b||x 1x 2＋y 1y 2|≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)[小题体验]1．已知|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ为( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6答案：D2．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则a ·b ＝_____．答案：－103．(2016·山东高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(ta ＋b )，则实数t 的值为________．解析：∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)， ∴ta ＋b ＝(t ＋6，－t －4)．又a ⊥(ta ＋b )，则a ·(ta ＋b )＝0，即t ＋6＋t ＋4＝0，解得t ＝－5．答案：－51．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立．3．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b ． 4．在用|a |＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2再进行开方．[小题纠偏] 1．给出下列说法：①向量b 在向量a 方向上的投影是向量；②若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角，若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角； ③(a ·b )c ＝a (b ·c )；④若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0．其中正确的说法有________个．答案：02．(2016·北京高考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________．解析：由题意得|a |＝1＋3＝2，|b |＝3＋1＝2，a·b ＝1×3＋3×1＝23．设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝232×2＝32．∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6．答案：π6考点一平面向量的数量积的运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3D ．－11解析：选C ∵a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)， ∴(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－3．2．已知AB ―→＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB ―→在CD ―→方向上的投影为( )A ．－322B ．－3 5C ．322D ．3 5解析：选C 因为点C (－1,0)，D (4,5)，所以CD ―→＝(5,5)，又AB ―→＝(2,1)，所以向量AB ―→在CD ―→方向上的投影为|AB ―→|cos 〈AB ―→，CD ―→〉＝AB ―→·CD ―→|CD ―→|＝1552＝322．3．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________．解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝(－2)2＋(－6)2＝210，又|b|＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10．答案：104．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，D 为BC 的中点，则AB ―→·AD ―→＝________．解析：法一：由题意知，AC ＝BC ＝2，AB ＝22， ∴AB ―→·AD ―→＝AB ―→·(AC ―→＋CD ―→) ＝AB ―→·AC ―→＋AB ―→·CD ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos 45°＋|AB ―→|·|CD ―→|cos 45° ＝22×2×22＋22×1×22＝6．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A (0,2)，B (－2,0)， D (－1,0)，∴AB ―→＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)， AD ―→＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，∴AB ―→·AD ―→＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6．答案：6[谨记通法]向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a |·|b |cos θ 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题，如“题组练透”第1题易错考点二平面向量数量积的性质(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直．[题点全练]角度一：平面向量的模1．已知e 1，e 2是单位向量，且e 1·e 2＝12．若向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________．解析：∵e 1·e 2＝12，∴|e 1||e 2|cos e 1，e 2＝12，∴e 1，e 2＝60°．又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴b ，e 1＝b ，e 2＝30°．由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝132＝233．答案：233角度二：平面向量的夹角2．(2017·山西四校联考)已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3解析：选B ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2cos a ，b ＝0，∴cos a ，b ＝22，∴a ，b ＝π4．3．(2017·江西八校联考)在△ABC 中，AB ―→＝(2，3)，AC ―→＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．解析：由题意得，(|AB ―→|· |AC ―→|)2＝(|AB ―→|·|AC ―→|·cos 〈AB ―→，AC ―→〉)2＋(|AB ―→|·|AC ―→|·sin 〈AB ―→，AC ―→〉)2，即(|AB ―→|·|AC ―→|)2＝(AB ―→·AC ―→)2＋(|AB ―→|·|AC ―→|·sin 〈AB ―→，AC ―→〉)2， ∴|AB ―→|·|AC ―→|·sin 〈AB ―→，AC ―→〉＝2－3， ∴S △ABC ＝12|AB ―→|·|AC ―→|·sin 〈AB ―→，AC ―→〉＝1－32．答案：1－32角度三：平面向量的垂直4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94解析：选B ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n·(t m ＋n )＝0，即t m·n ＋|n |2＝0，∴t|m||n|cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0．又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n|2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4．故选B ．[通法在握]平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要注意θ∈[0，π]． (2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ． ②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2． ③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2．(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |．[演练冲关]1．(2017·合肥质检)已知不共线的两个向量a ，b 满足|a －b |＝2且a ⊥(a －2b )，则|b |＝( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4解析：选B 由a ⊥(a －2b )得，a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝0，则|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|b |＝2，故选B ．2．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．解析：a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9＋2－9×1×1×13＝8．∵|a |2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－12×1×1×13＝9，∴|a |＝3．∵|b |2＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－6×1×1×13＝8，∴|b |＝22，∴cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223．答案：2233．已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2．若AP ―→＝λ AB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．解析：BC ―→＝AC ―→－AB ―→，由于AP ―→⊥BC ―→，所以AP ―→·BC ―→＝0，即(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→) ＝－λAB ―→2＋AC ―→2＋(λ－1)AB ―→·AC ―→ ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12 ＝0，解得λ＝712．答案：712考点三平面向量与三角函数的综合(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R ． (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．解：(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1．又π3<2A ＋π3＜7π3， ∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3．∵a＝7，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－3bc＝7．①∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，所以2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，②由①②，可得b＝3，c＝2．[由题悟法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等．[即时应用](2017·临沂模拟)已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R．(1)若m⊥n，求角α；(2)若|m－n|＝2，求cos 2α的值．解：(1)若m⊥n，则m·n＝0，即为－sin α(sin α－2)－cos2α＝0，即sin α＝12，可得α＝2kπ＋π6或α＝2kπ＋5π6，k∈Z．(2)若|m－n|＝2，即有(m－n)2＝2，即(2sin α－2)2＋(2cos α)2＝2，即为4sin2α＋4－8sin α＋4cos2α＝2，即有8－8sin α＝2，可得sin α＝34，即有cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×916＝－18．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设x∈R，向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，则a·b＝() A．－6B．10C ． 5D ．10解析：选D ∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)且a ∥b ，∴－4－2x ＝0，x ＝－2，∴a ＝(1，－2)，a ·b ＝10，故选D ． 2．(2017·河南八市重点高中质检)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b )＝8，|a |＝2，则|b |等于( )A ． 3B ．2 3C ．3D ．4解析：选D 因为a ·(a －b )＝8，所以a ·a －a ·b ＝8，即|a |2－|a ||b |cos a ，b ＝8，所以4＋2|b |×12＝8，解得|b |＝4．3．已知|a |＝3，|b |＝2，(a ＋2b )·(a －3b )＝－18，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B (a ＋2b )·(a －3b )＝－18， ∴a 2－6b 2－a ·b ＝－18，∵|a |＝3，|b |＝2，∴9－24－a ·b ＝－18， ∴a ·b ＝3，∴cos a ，b ＝a ·b |a ||b |＝36＝12， ∴a ，b ＝60°．4．已知a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，且(a ＋b )⊥(a －b )，则m 的值是________．解析：a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－2－m )， ∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴m (m ＋2)－(m －4)(m ＋2)＝0， ∴m ＝－2．答案：－25．△ABC 中，∠BAC ＝2π3，AB ＝2，AC ＝1，DC ―→＝2BD ―→，则AD ―→·BC ―→＝________．解析：由DC ―→＝2BD ―→，得AD ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)．∴AD ―→·BC ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝13(AC ―→2＋AC ―→·AB ―→－2AB ―→2)。

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.4 精品

复数 a+bi=c+di⇔_a_=_c_且__ 相等 _b_=_d_(a,b,c,d∈R)
内容
意义
备注
共轭 a+bi与c+di共轭⇔_a_=_ 复数a(a为实数)的复数 _c_且__b_=_-_d_(a,b,c,d∈R) 共轭复数是a
建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫复平面做复平面,x轴叫做_实__ _轴__,y轴叫做_虚__轴__
命题方向2:复数的除法运算
【Hale Waihona Puke 例4】(2014·全国卷Ⅰ) (1 i)3 = ( )
(1 i)2
A.1+i
B.1-i
C.-1+i
D.-1-i
【解题导引】根据幂的运算法则把(1+i)3降幂运算.
【规范解答】选D.
(1 i)3 (1 i)2
2i(1 i) 2i
1 i.
【一题多解】解答本题,还有以下解法:
D.4+3i
【解析】选A.因为a+i=2-bi,所以a=2,b=-1,
所以(a+bi)2=(2-i)2=4-4i+i2=3-4i.
3.(2014·大纲版全国卷)设z= 10i ,则z的共轭复数为
3i
()
A.-1+3i B.-1-3i C.1+3i D.1-3i
【解析】选D.z
10i 3i
10i3 i 3 i(3 i)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.因为z=i·(1+i)=-1+i,而(-1,1)对应的
点在第二象限,所以选B.
考向三复数的四则运算

2018高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入课

课时分层训练(二十六) 数系的扩充与复数的引入A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·南昌一模)在复平面内，复数(1＋3i)·i 对应的点位于( )【导学号：66482219】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [复数(1＋3i)i ＝－3＋i 在复平面内对应的点为(－3，1)，位于第二象限，故选B.]2．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3A [(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A.] 3．(2016·山东高考)若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z －＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i B [∵z ＝21－i＝＋－＋＝＋2＝1＋i ，∴z －＝1－i.]4．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2B [∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]5．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是 ( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22D [对于A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，是真命题；对于B ，C 易判断是真命题；对于D ，若z 1＝2，z 2＝1＋3i ，则|z 1|＝|z 2|，但z 21＝4，z 22＝－2＋23i ，是假命题．]6．若i 为虚数单位，图443中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )【导学号：66482220】图443A ．EB ．FC ．GD ．HD [由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z1＋i ＝3＋i 1＋i＝＋－＋－＝4－2i 2＝2－i.∴表示复数z1＋i 的点为H .]7．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．iD ．0D [z ＝1＋2i1－i ＝1＋＋2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z2 019＝－z 2 0201－z＝1－i 2 0201－i ＝1－i4×5051－i＝0.] 二、填空题8．(2016·江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．5 [因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.] 9．已知a ∈R ，若1＋a i 2－i 为实数，则a ＝________.－12 [1＋a i 2－i ＝＋a＋－＋＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a5i.∵1＋a i 2－i 为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12.] 10．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________.【导学号：66482221】3 [∵|z －2|＝x －2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y xmax ＝31＝ 3.] B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，则下列命题中错误的是 ( )A ．z 21＝z 2 B ．|z 1|＝|z 2| C ．z 31－z 32＝1D ．z 1，z 2互为共轭复数C [依题意，注意到z 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝1－34－32i ＝－12－32i ＝z 2，因此选项A 正确；注意到|z 1|＝1＝|z 2|，因此选项B 正确；注意到z 1＝－12－32i ＝z 2，因此选项D 正确；注意到z 31＝z 21·z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1，同理z 32＝1，因此z 31－z 32＝0，选项C 错误．综上所述，选C.]2．设f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( )【导学号：66482222】A ．1B ．2C ．3D ．无数个C [f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合中共有3个元素．]3．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．3或6 [∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ， ∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3， ∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3.]4．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i，则z 1·z 2＝________.【导学号：66482223】12＋32i [z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i ＝12＋32i.]。

2018高考数学文理一轮复习检测：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第2讲含答案精品

第四章第二讲A 组基础巩固一、选择题1．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为导学号 30071253( B )A ．(－8,1)B ．(－1，－32)C ．(1，32)D ．(8，－1)[解析] 设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)．而12MN →＝12(－8,1)＝(－4，12)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－4，y ＋2＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32.∴P (－1，－32)．故选B ． 2．(2016·上海黄浦区一模)已知向量a ＝(－3,4)，则下列能使a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )成立的一组向量e 1，e 2是导学号 30071254( C )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(－1,2)B ．e 1＝(－1,3)，e 2＝(2，－6)C ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(3，－1)D ．e 1＝(－12，1)，e 2＝(1，－2)[解析] 作为基底的向量e 1，e 2不共线即可．e 1＝(0,0)，e 2＝(－1,2)共线；e 1＝(－1,3)，e 2＝(2，－6)共线；e 1＝(－1,2)，e 2＝(3，－1)不共线；e 1＝(－12，1)，e 2＝(1，－2)共线，故选C ．3．(2017·甘肃省天水一中高三上学期开学数学试题)设向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋b 与a －2b 平行，则实数m 等于导学号 30071255( D )A ．－2B ．2C ．12D ．－12[解析] 由向量的数乘及坐标加减法运算求得m a ＋b 与a －2b 的坐标，代入向量共线的坐标表示求解m 的值．解：∵a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，则m a ＋b ＝m (2,3)＋(－1,2)＝(2m －1,3m ＋2)， a －2b ＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)，又m a ＋b 与a －2b 平行，∴(2m －1)×(－1)－4×(3m ＋2)＝0，即m ＝－12．故选D ．4．(2017·安徽省六安一中高三上学期月考(三)数学试题)已知两点A (1,0)，B (1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝150°，设OC →＝－2OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ＝导学号 30071256( C )A ．－1B ．－12C ．12D ．1[解析] 由题设OC →＝－2OA →＋λOB →(λ∈R )可得C (－2＋λ，3λ)，三角函数的定义可得tan ∠AOC ＝－33，即3λλ－2＝－33，解之得λ＝12，故应选C ． 5．(2016·辽宁大连模拟)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为导学号 30071257( A )A ．(35，－45)B ．(45，－35)C ．(－35，45)D ．(－45，35)[解析] 因为AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5，所以与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝(35，－45)．故选A ．6．已知e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，下列说法不正确的个数为导学号 30071258( B )①λe 1＋u e 2(λ，u ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋u e 2的实数对(λ，u )有无穷多个；③若向量λ1e 1＋u 1e 2与λ2e 1＋u 2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋u 1e 2＝λ(λ2e 1＋u 2e 2)；④若实数λ，u 使得λe 1＋u e 2＝0，则λ＝u ＝0． A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量均为零向量时，即λ1＝λ2＝u 1＝u 2＝0时，这样的λ有无数个．故选B ．7．(2016·湖北襄樊一模)已知OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是导学号 30071259( C )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1[解析] 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →与AC →共线．因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)．所以1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1，故选C ．8．(2017·四川省成都市石室中学高三上学期期中数学试题)在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AB 中点，CE 交AD 于点F ，若EF →＝λAB →＋μAC →，，则λ＋μ＝导学号 30071260( B )A ．－16B ．16C ．－13D ．1[解析] 由于本题是选择题，不妨设△ABC 为等边三角形，由题意可得F 是△ABC 的重心，即可得到EF →＝13EC →＝－16AB →＋13AC →，继而求出λ，μ的值，问题得以解决．解：不妨设△ABC 为等边三角形，D 是BC 中点，E 是AB 中点，CE 交AD 于点F ， ∴F 是△ABC 的重心，∴EF →＝13EC →＝13(EB →＋BC →)＝13(12AB →＋AC →－AB →)＝－16AB →＋13AC →，∵EF →＝λAB →＋μAC →，∴λ＝－16，μ＝13，∴λ＋μ＝16，故选B ．二、填空题9．(2017·江苏省连云港市外国语学校高三下学期第一次调研数学试题)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为－3.导学号 30071261[解析] 直接利用向量的坐标运算，求解即可．解：向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)可得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9m －2n ＝－8，解得m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝－3.故答案为：－3．10．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝23a ＋－13b .导学号 30071262[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧e 1＋2e 2＝a －e 1＋e 2＝b解得⎩⎨⎧e 1＝13(a －2b )e 2＝13(a ＋b )∴e 1＋e 2＝23a －13b ．11．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝(－2,0)或(－2,2).导学号 30071263[解析] 设b ＝(x ，y )，则a ＋b ＝(x ＋2，y －1)． ∵|a ＋b |＝1，∴(x ＋2)2＋(y －1)2＝1．又∵a ＋b 平行于y 轴，∴x ＝－2，代入上式，得y ＝0或2． ∴b ＝(－2,0)或b ＝(－2,2)．三、解答题12．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求：导学号 30071264 (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ [答案] (1)58 (2)k ＝－13，反向[解析] (1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)，故|a ＋3b |＝72＋32＝58． (2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，因为k a －b 与a ＋3b 平行，所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13．此时k a －b ＝(k －2，－1)＝(－73，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．13．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.导学号 30071265 (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． [答案] (1)t 2<0且t 1＋2t 2≠0 (2)略[解析] (1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0．(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)． ∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， ∴A ，B ，M 三点共线．B 组能力提升1．(2017·山西大学附中期中数学试题)已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α＝导学号 30071266( A )A ．34B ．－34C ．43D ．－43[解析] 根据题设条件，由a ∥b ，知3sin α＝4cos α，由此能求出tan α．解：∵向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，∴3sin α＝4cos α，∴tanα＝sin αcos α＝34.故选A ．2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，则C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是导学号 30071267( A )[解析] 由题意知OC →＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，从而选A ．3．(2016·东北三校二联)已知向量AB →与向量a ＝(1，－2)的夹角为π，|AB →|＝25，点A 的坐标为(3，－4)，则点B 的坐标为导学号 30071268( A )A ．(1,0)B ．(1，－1)C ．(0,1)D ．(－1,1)[解析] 依题意，设AB →＝λa ，其中λ<0，则有|AB |→＝|λa |＝－λ|a |，即25＝－5λ，λ＝－2，AB →＝－2a ＝(－2,4)，因此点B 的坐标为(－2,4)＋(3，－4)＝(1,0)．4．(2016·怀化一模)如图所示，在△ABC 中，D 为AB 的中点，F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋2y的最小值为导学号 30071269( B )A ．8＋2 2B ．8C ．6D ．6＋2 2[解析] 因为D 为AB 的中点，所以AB →＝2AD →，因为AF →＝x a ＋y b ，所以AF →＝2xAD →＋yAC →，因为F 的线段CD 上，所以2x ＋y ＝1，又x ，y >0，所以1x ＋2y ＝(2x ＋y )(1x ＋2y )＝4＋y x ＋4xy ≥4＋2y x ·4x y ＝8，当且仅当y ＝2x ＝12时取等号，所以1x ＋2y的最小值为8． 5．(2016·南宁模拟)如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .导学号 30071270(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．[解析] (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b ．(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →．因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，所以(2－λ)a －b ＝x (2a －53b )．因为a 与b 不共线，由平面向量基本定量，得⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2x ，－1＝－53x ，，解得⎩⎨⎧x ＝35，λ＝45.，故λ＝45．。

2018届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时作业28 平面向量的数

课时作业28 平面向量的数量积一、选择题1．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，则|a ＋b |＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：由题意可得|a |＝|b |＝1，又它们的夹角为π3，所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b＝1＋1＋2×1×1×cos π3＝3，故|a ＋b |＝3，故选C.答案：C2．(2017·河北唐山一模)已知向量a ，b 满足a ·(a －b )＝2，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π2C.5π6D.2π3解析：由a ·(a －b )＝2，得a 2－a ·b ＝2，即|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1－2cos 〈a ，b 〉＝2.所以cos 〈a ，b 〉＝－12，所以〈a ，b 〉＝2π3，故选D. 答案：D3．(2016·山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94D ．－94解析：由n ⊥(t m ＋n )可得n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，所以t ＝－n 2m·n＝－n 2|m |·|n |cos 〈m ，n 〉＝－|n |2|m |×|n |×13＝－3×|n ||m |＝－3×43＝－4.故选B.答案：B4．(2017·商丘模拟)在△ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →的值为( )A ．－2B ．2C ．±4D ．±2解析：S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin∠BAC ＝12×4×1×sin∠BAC ＝ 3.∴sin ∠BAC ＝32，cos∠BAC ＝±12，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos∠BAC ＝±2.答案：D5．(2017·江西赣中南五校一联)△ABC 外接圆圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →，且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在向量BC →方向的投影为( )A.12B.32 C ．－12D ．－32解析：因为2AO →＝AB →＋AC →⇒2AO →＝OB →－OA →＋OC →－OA →，所以OB →＝－OC →，所以O ，B ，C 三点共线，即AB ⊥AC .又因为|OA →|＝|AB →|＝1，所以|BC →|＝2，所以BA →·BC →＝BA →·(AC →－AB →)＝1，故向量BA →在向量BC →上的投影为12，选A.答案：A6．如图，已知点P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )A ．最大值为8B ．为定值6C ．最小值为2D ．与P 的位置有关解析：设BC 的中点为D ，连接AD ，AP →，AD →的夹角为θ，则有AP →·(AB →＋AC →)＝2AP →·AD →＝2|AD →|·(|AP →|cos θ)＝2|AD →|2＝6.答案：B 二、填空题7．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则(AE →＋AF →)·BD →等于________．解析：如图，将矩形放入直角坐标系中，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,1)，D (0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，F (1,1)，所以AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫2，12，AF →＝(1,1)，BD →＝(－2,1)，所以AE →＋AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫3，32，所以(AE →＋AF →)·BD→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32·(－2，1)＝－6＋32＝－92.答案：－928．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.解析：由已知得cos β＝a ·b|a ||b |＝e 1－2e 2e 1－e 2a 2·b 2＝9|e 1|2－9e 1·e 2＋2|e 2|29|e 1|2＋4|e 2|2－12e 1·e 2·9|e 1|2＋|e 2|2－6e 1·e 2， ∵e 1与e 2是单位向量，其夹角为α，且cos α＝13，∴|e 1|2＝|e 2|2＝1，e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos α＝13.∴cos β＝9－9×13＋29＋4－12×13·9＋1－6×13＝232. 答案：2239．设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a ＋c )·(b ＋c )的最大值为________．解析：法1：设向量c 与a ＋b 的夹角为θ，则有|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋b 2＋2a ·b＝2，(a ＋c )·(b ＋c )＝(a ＋b )·c ＋c 2＝1＋2cos θ，故最大值是1＋ 2.法2：∵a ，b 是单位向量，且a ·b ＝0，故可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)．又c 是单位向量，故可设c ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π)．∴(a ＋c )·(b ＋c ) ＝(1＋cos θ，sin θ)·(cos θ，1＋sin θ) ＝(1＋cos θ)cos θ＋sin θ(1＋sin θ) ＝cos θ＋cos 2θ＋sin θ＋sin 2θ ＝1＋cos θ＋sin θ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∴(a ＋c )·(b ＋c )的最大值为1＋ 2. 答案：1＋ 2 三、解答题10．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16.(1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3. ②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768. ∴|4a －2b |＝16 3. (2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )， ∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0， ∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0.即16k －16(2k －1)－2×64＝0，∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．11．如图，O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠AOC ＝120°，向量OA →，OB →，OC →的模分别为2，3，4.(1)求|OA →＋OB →＋OC →|；(2)若OC →＝mOA →＋nOB →，求实数m ，n 的值．解：(1)由已知条件易知OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos∠AOB ＝－3，OA →·OC →＝|OA →|·|OC →|·cos∠AOC ＝－4，OB →·OC →＝0，∴|OA →＋OB →＋OC →|2＝OA →2＋OB →2＋OC →2＋2(OA →·OB →＋OA →·OC →＋OB →·OC →)＝9，∴|OA →＋OB →＋OC →|＝3.(2)由OC →＝mOA →＋nOB →可得，OA →·OC →＝mOA →2＋nOA →·OB →，且OB →·OC →＝mOB →·OA →＋nOB →2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4m －3n ＝－4，－3m ＋3n ＝0，∴m ＝n ＝－4.1．已知AB →，AC →是非零向量，且满足(AB →－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：∵(AB →－2AC →)⊥AB →⇒(AB →－2AC →)·AB →＝0，即AB →·AB →－2AC →·AB →＝0.(AC →－2AB →)⊥AC →⇒(AC →－2AB →)·AC →＝0，即AC →·AC →－2AB →·AC →＝0，∴AB →·AB →＝AC →·AC →＝2AB →·AC →，即|AB →|＝|AC →|，而cos ∠A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴∠A ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．答案：C2．已知△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC →的中点，则|AD →|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：由题知AD →＝12(AB →＋AC →)，AB →·AC →＝－16，∴|AB →|·|AC →|cos ∠BAC ＝－16.在△ABC 中，由余弦定理得，|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →||AC →|cos ∠BAC ， ∴102＝|AB →|2＋|AC →|2＋32，|AB →|2＋|AC →|2＝68.∴|AD →|2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(68－32)＝9，∴|AD →|＝3.答案：D3．若向量a ，b 满足|2a ＋3b |＝1，则a·b 的最大值为________．解析：|2a ＋3b |＝1，则4|a |2＋9|b |2＋12a ·b ＝1，又4|a |2＋9|b |2≥12|a |·|b |≥12a ·b ，所以24a ·b ≤12a ·b ＋12|a |·|b |≤12a ·b ＋4|a |2＋9|b |2＝1，即a ·b 的最大值为124.答案：1244．已知在平面直角坐标系xOy 中，A (－4,0)，C (4,0)，AB ＝7，BC ＝9，点P 满足PA →·PC →＝－7，求|PB →|的取值范围．解：设P (x ，y )，∵PA →＝(－4－x ，－y )，PC →＝(4－x ，－y )，PA →·PC →＝－7，∴(x ＋4)(x －4)＋y 2＝－7，化简整理得x 2＋y 2＝32，点P 的轨迹是以O (0,0)为圆心，半径为3的圆．因为AB ＝7，BC ＝9，所以点B 是(x ＋4)2＋y 2＝72和(x －4)2＋y 2＝92的交点，即B (－2,35)或B (－2，－35)，显然点B 在圆x 2＋y 2＝32之外，如图，点B 到圆心O (0,0)的距离为7，因此7－3≤|PB →|≤7＋3，即|PB →|的取值范围是[4,10]．。

2018高考数学文理一轮复习检测：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3讲含答案精品

第四章第三讲A 组基础巩固一、选择题1．(2017·内蒙古赤峰二中高三上学期第三次模拟数学试题)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝导学号 30071303( C )A ．－92B ．0C ．3D ．152[解析] (2a －3b )⊥c ，可得(2a －3b )·c ＝0，解出即可．解： 2a －3b ＝(2k －3，－6)， ∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3.故选C ．2．(2016·长沙雅礼中学月考)已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝导学号 30071304( B )A ．－1B ．0C ．1D ．2[解析] 由已知得|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°， ∴(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos 〈a ，b 〉－|b |2 ＝2×1×1×cos60°－12＝0，故选B ．3．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为导学号 30071305( A )A ．322B ．3152C ．－322D ．－3152[解析] AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，|CD →|＝52，故AB →在CD →上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322．4．(2016·湛江模拟)若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 坐标为导学号 30071306( D )A ．(6，－3)B ．(－6,3)C ．(－3,6)D ．(3，－6)[解析] 设b ＝(x ，y )，由两个向量的夹角公式得cos180°＝－1＝a ·b|a |·|b |＝－x ＋2y 5×35，∴x －2y ＝15，① ∵x 2＋y 2＝35，②由①②联立方程组并解得x ＝3，y ＝－6，即b ＝(3，－6)，故选D ．简解：由题意可知b ＝λa (λ<0)∴|b |＝λ|a |即|λ|＝|b ||a |＝355＝3，∴λ＝3，即b ＝(3，－6)．5．(2017·重庆一中期中)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝导学号 30071307( A )A ．5B ． 5C ．4 2D ．31[解析] 由a ⊥b 知a ·b ＝0，即x －4＝0，∴x ＝4∴a ＋b ＝(5,0)∴|a ＋b |＝5，故选A ． 6．(2017·甘肃省武威十八中高三上学期第三次月考数学试题)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )则a 与b 的夹角为导学号 30071308( C )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6[解析] 由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量a ，b 的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．解：由已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，所以a ·(2a ＋b )＝0，即2a 2＋|a ||b |cos θ＝0，所以cos θ＝－12，θ∈[0，π]，所以θ＝2π3；故选C ．7．(2017·湖南省示范性高中高三上学期百校联考数学试题)在△ABC 中，AB →·BC →3＝BC →·CA→2＝CA →·AB →1，则sin A ：sin B ：sin C ＝导学号 30071309( C )A ．B ．C ．53D ．53[解析] 由条件利用两个向量的数量积的定义可得2a 2＋2c 2－2b 2＝3a 2＋3b 2－3c 2＝6b 2＋6c 2－6a 2＝k ，由此求得a 、b 、c 的值，利用正弦定理可得sin A ：sin B ：sin C 的值．解：△ABC 中，∵AB →·BC →3＝BC →·CA →2＝CA →·AB→1，∴AB →·BC →·cos (π－B )3＝BC →·CA →·cos (π－C )2＝CA →·AB →·cos (π－A )1即ac ·cos B 3＝ab ·cos C 2＝bc ·cos A1，即ac 3·a 2＋c 2－b 22ac ＝ab 2·a 2＋b 2－c22ab ＝bc b 2＋c 2－a 22bc，即 2a 2＋2c 2－2b 2＝3a 2＋3b 2－3c 2＝6b 2＋6c 2－6a 2，设2a 2＋2c 2－2b 2＝3a 2＋3b 2－3c 2＝6b 2＋6c 2－6a 2＝k ，求得 a 2＝5k ，b 2＝3k ，c 2＝4k ， ∴a ＝5k ，b ＝3k ，c ＝4k ＝2k ，∴由正弦定理可得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ＝532，故选C ．[点拨] 本题主要考查两个向量的数量积的定义，正弦定理，属于中档题．8．(2017·湖南长沙雅礼中学期中)在边长为2的正三角形△ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →导学号 30071310( D )A ．－2B ．－83C ．－23D ．－1[解析] 由题意可知AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝23AC →－AB →．∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)(－AB →＋23AC →)＝12(－|AB →|2－13AC →·AB →＋23|AC →|2)＝－1，故选D ．二、填空题9．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)，且a ⊥b ，则x ＝－23.导学号 30071311[解析] 因为a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)，a ⊥b ，所以x ＋2(x ＋1)＝0，解得x ＝－23．10．(2016·北京)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为π6.导学号 30071312 [解析] a ·b ＝23，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝232×2＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π6． 11．已知a ＝(－1，－2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为(－53，0)∪(0，＋∞).导学号 30071313[解析] ∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为钝角， ∴a ·(a ＋λb )<0，即(－1，－2)·(1＋λ，2＋λ)<0． ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0． ∴λ>－53．当a 与a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ，即(1＋λ，2＋λ)＝m (－1，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝－m ，2＋λ＝－2m ，解得λ＝0．即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，综上可知，实数λ的取值范围为(－53，0)∪(0，＋∞)．三、解答题12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.导学号 30071314 (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |；(3)若AB →＝a ，AC →＝b ，作△ABC ，求△ABC 的面积． [答案] (1)120° (2)13，37 (3)3 3 [解析] (1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，得4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61。

【推荐精选】2018届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时作业29 平面向量的应用

课时作业29 平面向量的应用一、选择题1．在△ABC 中，“△ABC 为直角三角形”是“AB →·BC →＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若△ABC 为直角三角形，角B 不一定为直角，即AB →·BC →不一定等于0；若AB →·BC →＝0，则AB ⊥BC ，故角B 为直角，即△ABC 为直角三角形，故“△ABC 为直角三角形”是“AB →·BC →＝0”的必要不充分条件．答案：B2．已知点M (－3,0)，N (3,0)，动点P (x ，y )满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则点P 的轨迹的曲线类型为( )A ．双曲线B ．抛物线C ．圆D ．椭圆解析：MN →＝(3,0)－(－3,0)＝(6,0)，|MN →|＝6，MP →＝(x ，y )－(－3,0)＝(x ＋3，y )，NP →＝(x ，y )－(3,0)＝(x －3，y )，∴|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝6x ＋2＋y 2＋6(x －3)＝0，化简可得y 2＝－12x .故点P 的轨迹为抛物线．答案：B3．(2017·河南适应性测试)已知向量m ＝(1，cos θ)，n ＝(sin θ，－2)，且m ⊥n ，则sin2θ＋6cos 2θ的值为( )A.12 B ．2 C ．2 2D ．－2解析：由题意可得m·n ＝sin θ－2cos θ＝0，则tan θ＝2，所以sin2θ＋6cos 2θ＝2sin θcos θ＋6cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ＋6tan 2θ＋1＝2.故选B. 答案：B4．已知O 为坐标原点，a ＝(－1,1)，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，当△AOB 为等边三角形时，|AB →|的值是( )A.269 B.429 C.263D.83解析：设b ＝(x ，y )，∵|OA →|＝|OB →|＝|AB →|，∴|a －b |＝|a ＋b |＝2|b |，∴⎩⎨⎧a ·b ＝0|a |＝3|b |，∴⎩⎨⎧－x ＋y ＝02＝3·x 2＋y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33y ＝33或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－33，y ＝－33，∴|AB →|＝2|b |＝263，故选C.答案：C5．(2017·福建质检)平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，AB →·AD →＝4，点P 在边CD 上，则PA →·PB →的取值范围是( )A ．[－1,8]B ．[－1，＋∞)C ．[0,8]D ．[－1,0]解析：由题意得AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|·cos∠BAD ＝4，解得∠BAD ＝π3，以A 为原点，AB所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (5，3)，D (1，3)，因为点P 在边CD 上，所以不妨设点P 的坐标为(a ，3)(1≤a ≤5)，则PA →·PB →＝(－a ，－3)·(4－a ，－3)＝a 2－4a ＋3＝(a －2)2－1，则当a ＝2时，PA →·PB →取得最小值－1，当a ＝5时，PA →·PB →取得最大值8，故选A.答案：A6．在△ABC 中，满足|AC →|＝|BC →|，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角C 的大小为( ) A.π3 B.π6 C.2π3D.5π6 解析：设△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，由(AB →－3AC →)⊥CB →，可得(AB →－3AC →)·CB→＝(AB →－3AC →)·(AB →－AC →)＝c 2＋3b 2－4AB →·AC →＝c 2＋3b 2－4cb cos A ＝c 2＋3b 2－2(b 2＋c 2－a 2)＝0，即b 2－c 2＋2a 2＝0.又由|BC →|＝|AC →|可得a ＝b ，则c 2＝3a 2，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋a 2－3a 22a 2＝－12，所以△ABC 的内角C ＝2π3. 答案：C 二、填空题7．(2017·广西二市模拟)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 、Q 分别是边AB 、BC 边上的动点且DP →⊥AQ →，则CP →·QP →的最小值为________．解析：如图所示，由条件易证△ABQ ≌△DAP ，∴设AP ＝BQ ＝t (0<t <2)，建立平面直角坐标系，则C (0,2)，P (2，t )，Q (2－t,2)，∴CP →＝(2，t －2)，QP →＝(t ，t －2)，∴CP →·QP →＝2t ＋t 2－4t ＋4＝(t －1)2＋3≥3，当且仅当t ＝1时，等号成立，故所求最小值为3.答案：38．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是________．解析：由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0，即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12.又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.答案：2π39．设向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若以向量a ＋b 与a －2b 为邻边所作的平行四边形是菱形，则cos(β－α)＝________.解析：由题意知，|a ＋b |＝|a －2b |，所以a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－4a ·b ＋4b 2，所以2a ·b ＝b 2，即4cos(β－α)＝1，所以cos(β－α)＝14.答案：14三、解答题10．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，32，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求tan2x 的值；(2)求函数f (x )＝(a ＋b )·b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的值域．解：(1)∵a ∥b ，∴sin x ·(－1)－32·cos x ＝0，即sin x ＋32cos x ＝0，tan x ＝－32.∴tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝125. (2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝a ·b ＋b 2＝sin x cos x －32＋cos 2x ＋1＝12sin2x －32＋12cos2x ＋12＋1 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∵－π2≤x ≤0，∴－π≤2x ≤0，－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－22≤22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤12， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0.所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝ 6.即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤2＋2，即△ABC 的面积的最大值为32＋32.1．(2017·河北衡水中学调研)已知单位向量a ，b ，若a·b ＝0，且|c －a |＋|c －2b |＝5，则|c ＋2a |的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[22，3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤655，22 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤655，3 解析：由题设单位向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，所以c －a ＝(x －1，y )，c －2b ＝(x ，y －2)，所以x －2＋y 2＋x 2＋y －2＝5，即(x ，y )到A (1,0)和B (0,2)的距离和为5，即表示点(1,0)和(0,2)之间的线段，|c ＋2a |＝x ＋2＋y 2，表示(－2,0)到线段AB 上点的距离，最小值是点(－2,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离，|c ＋2a |min ＝65＝655，最大值为(－2,0)到(1,0)的距离是3，所以|c ＋2a |的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤655，3，故选D.答案：D2．(2017·安徽皖北协作体联考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(2cos C －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1)，若m ⊥n ，且a ＋b ＝10，则△ABC 周长的最小值为( )A ．10－5 3B ．10＋5 3C ．10－2 3D ．10＋2 3解析：∵m ⊥n ，∴m·n ＝0，即2cos 2C －cos C －2cos C －2＝0，整理得2cos 2C －3cos C －2＝0，解得cos C ＝－12，cos C ＝2(舍去)，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab (1＋cos C )＝102－2ab (1－12)≥100－(a ＋b 2)2＝100－25＝75，∴c ≥53，则△ABC 的周长为a ＋b ＋c ≥10＋5 3.故选B.答案：B3．P ，Q 为三角形ABC 中不同的两点，若3PA →＋2PB →＋PC →＝0,3QA →＋4QB →＋5QC →＝0，则S △PAB S△QAB为( ) A ． B ．C ．D ．解析：设△ABC 为AB ＝AC ＝2的等腰直角三角形，建立坐标系如图，设A (0,0)，B (2,0)，C (0,2)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由3PA →＋2PB →＋PC →＝0得3(－x 1，－y 1)＋2(2－x 1，－y 1)＋(－x 1，2－y 1)＝(0,0)，得2－6y 1＝0，y 1＝13，则S △PAB ＝16S △CAB .由3QA →＋4QB →＋5QC →＝0得3(－x 2，－y 2)＋4(2－x 2，－y 2)＋5(－x 2,2－y 2)＝(0,0)， 10－12y 2＝0，y 2＝56，则S △QAB ＝512S △CAB ，S △PAB S △QAB ＝25，故选B.答案：B4．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________．解析：如图所示，取AC 中点D .∴OA →＋OC →＝2OD →.∴OD →＝BO →.∴O 为BD 中点， ∴面积比为高之比．答案：5．(2016·浙江卷)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝1，若e 为平面单位向量，则|a ·e |＋|b ·e |的最大值是________．解析：由a ·b ＝1，|a |＝1，|b |＝2可得两向量的夹角为60°，建立平面直角坐标系，可设a ＝(1,0)，b ＝(1，3)，e ＝(cos θ，sin θ)，则|a ·e |＋|b ·e |＝|cos θ|＋|cos θ＋3sin θ|≤|cos θ|＋|cos θ|＋3|sin θ|＝3|sin θ|＋2|cos θ|≤7，所以|a ·e |＋|b ·e |的最大值为7.答案：7。

2018版高中数学一轮全程复习(课件)第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1

答案：D
第十九页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
考向二平面向量的线性运算[自主练透型] [例 2] (2017·武汉市武昌区调研)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内的任意一点，则O→A＋O→B＋O→C＋O→D等于( ) A.O→M B．2O→M C．3O→M D．4O→M
＋kb)，即 ka＋b＝λa＋λkb.
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b 是不共线的两个非零向量，
k－λ＝0， λk－1＝0，
解得λk＝＝11，
或kλ＝＝－－11，，
又∵λ>0，∴k＝1.
第二十八页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
第二十九页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
所以A→M＝12(A→B＋A→C)＝12(A→B＋A→D＋D→C)＝12(A→B＋A→D＋12A→B)＝34 A→B＋12A→D.
答案：B
第二十二页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
考向三共线向量定理及其应用[互动讲练型] [例 3] 如图，在△ABC 中，D，F 分别是 BC，AC 的中点， A→E＝23A→D，A→B＝a，A→C＝b.
第十四页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
第十五页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
[授课提示：对应学生用书第 068 页] 考向一平面向量的有关概念[自主练透型] [例 1] 下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A、B、C、D 四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．

2018版高考一轮总复习数学(理)习题第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-4 Word版含答案

(时间：分钟)．若为正实数，为虚数单位，＝，则＝( )．．．．答案解析解法一：由已知＝，得＝(＋)·(－)＝－＝.∴＝.∵>，∴＝.解法二：∵＝＝＋＝＝，∴＝.．复数＝( )．．＋．－．－答案解析＝＝＝＝，故选.．若＝＋，则＝( )．．－．．－答案解析∵＝(＋)(－)＝，∴＝＝，故选.．已知＝＋(为虚数单位)，则复数＝( )．＋．－．－＋．－－答案解析由＝＋，得＝＝＝＝－－.．设是虚数单位，是复数的共轭复数．若·＋＝，则＝( )．＋．－．－＋．－－答案解析设＝＋(，∈)，则由·＋＝得(＋)(－)＋＝(＋)，即(＋)＋＝＋，所以＝，＋＝，所以＝，＝，即＝＋＝＋.．是虚数单位，复数满足(＋)＝，则的实部为．答案解析∵＝＝－，∴的实部为.．若＝－，其中，都是实数，是虚数单位，则＋＝.答案解析∵，∈，且＝－，则＝(－)(－)＝(－)－(＋)，∴(\\(＝－，＝＋，))∴(\\(＝，＝－，))∴＋＝－＝＝.．满足＝(为虚数单位)的复数是．答案－解析由已知得＋＝，则(－)＝－，即＝＝＝＝－.．已知∈，解方程·－＝＋.解设＝＋(，∈)，则(＋)(－)－(－)＝＋，即＋－－＝＋.根据复数相等的定义，得(\\(＋－＝，,－＝，))解之得(\\(＝－，＝))或(\\(＝－，＝.))∴＝－或＝－＋.．已知复数＝(∈)，是实数，是虚数单位．()求复数；()若复数(＋)所表示的点在第一象限，求实数的取值范围．解()因为＝(∈)，所以＝＝＝＝＋.又因为是实数，所以＝，所以＝－，即＝－.()因为＝－，∈，所以(＋)＝(－)＝－＋＝(－)－，又因为复数(＋)所表示的点在第一象限，所以(\\(－>，,－>.))解得<－，即∈(－∞，－)．(时间：分钟)．复数为实数的充分不必要条件是( )．＝．＝．为实数．＋为实数答案解析＝⇔∈＝⇒∈，反之不行，例如＝－为实数不能推出∈，例如＝.对于任何，＋都是实数．故选.．复数(＋)－(＋)(∈，为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限答案解析∵(＋)－(＋)＝(－)＋(－)，设在复平面内对应的点的坐标为(，)，则(\\(＝－，＝－，))消去得－－＝，。

(全国通用)近年高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入重点强化训练2 平面向量

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重点强化训练(二）平面向量A组基础达标(建议用时：30分钟）一、选择题1．(2017·石家庄模拟）已知a，b是两个非零向量，且｜a＋b|＝|a|＋｜b|，则下列说法正确的是（)【导学号：31222166】A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ,使a＝λbD[因为a,b是两个非零向量，且｜a＋b｜＝|a｜＋|b|.则a与b共线同向，故D正确．］2．（2014·全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝错误!，｜a－b｜＝错误!，则a·b＝( ）A．1 B．2C．3 D．5A［｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝10,｜a－b|2＝（a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1。

2018年高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时达标27数系的扩充与复数

2018年高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时达标27数系的扩充与复数的引入理［解密考纲］复数的计算以选择题或填空题的形式出现，主要考查复数的概念和复数代数形式的四则运算.、选择题•河北三市二联)若复数z =^+色+ a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a 可以是(22解析：根据已知得a = 2, b = 1，所以(a + b i) = (2 + i) = 3+ 4i.3. i 是虚数单位，若若~ = a + b i( a , b € R )，则lg( a + b )的值是(1. (2017A. — 4B.— 3C. 1D. 2解析：若 a + 3iz = i 一 + a = (3 + a ) — a i 在复平面上对应的点在第二象限，则a <— 3,选A.2.已知a, b € R, i 是虚数单位，若a — i 与2 + b i 互为共轭复数，则(a + b i) 2= ( D ) A. 5 — 4i B. 5 + 4i C. 3 — 4i D. 3 + 4i A. — 2B.— 1C. 0D.3a = 一2，1 b =- 23 1 2-戸=a+bi,故选C.4. (2017 •甘肃兰州模拟 )已知复数 z = (a — 1) + (a — 1)i( € R)是纯虚数，则 a =A. 0B. 1C.— 1D.±l解析：由题意得-2a— 1 = 0,解得a =— 1.a — 1工 0,5.I■满足= i(i 为虚数单位)的复数z =(A. 1 11+ 1i B. 1 1. 2 — 2i C.D.1 1.2 — 2i—i 11解析：去掉分母，得z + i = z i ，所以(1 — i) z =— i ，解得z = — = - — -i ，选B .1 — i 22、填空题7. （2017 •山东日照模拟）若复数z = 1 + i （i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z 2=0.解析：因为z = 1 + i ，所以z = 1 — i ,2 2 2 2则 z + z = (1 + i) + (1 — i) = 2i — 2i = 0.33 &在复平面上，复数2对应的点到原点的距离为• —5解析：由题意可知三、解答题10.计算： (1)- 1 +3 川；6.已知复数 z = 1+ a i( a € R)(i是虚数单位）,=—才 5i则a =(A. 2B.— 2C.±2D.解析: 1 — a i 3 4由题意可得 1 + a i = — 5 + ，即1 — ai1— a 2— 2a i__1 + a 2 =3 4 1 — a 25 +5i ，二 i+F3 — 2a = 45，1 + a 2 = 5,••• a =— 2,故选 B .9.若复数 z 满足(1 + 2i) z = |3 + 4i|(i解析：•/ (1 + 2i) z = |3 + 4i| = 5，为虚数单位），则复数z = 1 — 2i.5 5 I —•-z =~~N=1 — 2i.l + 2i1 — i1 + i1 — i 1+ i 1 + i — 1+ i⑶+ 2+h + —F = — + ^T~ =— 1.1— '3i = 3+丄一丄=_—i_ =—i '3—i — 1— .3iy/3 +i $羽 +i $护+ i护+i半-i 41—曇4 4z211 •已知z 是复数，z + 2i , 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z + a i) 2在复平面2 — i上对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围.z x — 2i 解析：设 z = x + y i( x, y € R),则 z + 2i = x + (y + 2)i ,由题意得 y =— 2. v=——r2 — i 2 — i1112=5(x — 2i)(2 + i) = 5(2x + 2) + £(x — 4)i.由题意得 x = 4, A z = 4— 2i. /• (z + a i)= (12 +22卩2 + 4a — a 2>0,4a — a ) + 8( a — 2)i.由于(z + a i)在复平面上对应的点在第一象限，A.. R5 a- 2 旳,解得2<a <6. A 实数a 的取值范围是(2,6) •3 22 — 12.复数乙=+ (10 — a )i , Z 2= + (2 a — 5)i ,若z 1+ z 是实数，求实数 a 的 a + 5 1 — a值.解析： z 1 + z 2=+ (a 2 10)i + 1 a + (2 a 5)i3 22=不 + 口 + [(a — 10) + (2a — 5川a — 132⑵2 + i；1 — i 1 + i ⑶1 + i 2+1-i 2；1 — ,3i⑷ '.3+12・解析:—1+i?+i— 3 + i (1)3= =i — il + 2i2+；.!丨―1— 3 + 4i + 3 — 3i ⑵2 + i =2 + i丄=—=1 + 2i 2 + i 55 +5—3 +1 1—1 — 3i. —i ・ia+ 3 a— 1 + (a+ 2a—15)iz 1+ z是实数，2A a + 2a—15= 0，解得a=—5 或a= 3. v a+ 5工0,A a^—5,故a= 3.。

【高三数学试题精选】2018高三数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入一轮复习题有解析

2018高三数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
一轮复习题有解析
5 c 05限时规范特训
A级基础达标
1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是( )
A 若a b＝0，则a＝0或b＝0
B 若λa＝0，则λ＝0或a＝0
c 若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D 若a b＝a c，则b＝c
解析当a b＝0时，a与b也可能垂直，故选项A是假命题；
当a2＝b2时，|a|＝|b|，故选项c是假命题；
当a b＝a c时，b与c也可能垂直，故选项D是假命题，选B 答案B
2．[2018 江门市模拟]若四边形ABcD满足AB→＋cD→＝0，(AB→－AD→) Ac→＝0，则该四边形一定是( )
A．直角梯形 B．菱形
c．矩形 D．正方形
解析由AB→＋cD→＝0知，AB→＝Dc→，
即AB＝cD，AB∥cD
∴四边形ABcD是平行四边形．
又(AB→－AD→) Ac→＝0，
∴DB→ Ac→＝0，即Ac⊥BD，
因此四边形ABcD是菱形，故选B
答案B
3．[2018 四川模拟]设a、b都是非零向量，下列四个条中，使a|a|＝b|b|成立的充分条是( )
A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－b
c．a∥b D．a＝2b。

2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.2平面向量的基本定理及坐标表示模拟演练文

2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.2 平面向量的基本定理及坐标表示模拟演练文[A 级基础达标](时间：40分钟)1．[2016· 衡水模拟]已知点A (－1,1)，B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 C解析 AB →＝(3，y －1)，a ＝(1,2)，AB →∥a ，则2×3＝1×(y －1)，解得y ＝7，故选C. 2．[2017·贵阳监测]已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若m a －n b 与2a ＋b 共线(其中m ，n ∈R 且n ≠0)，则mn＝( )A ．－2B ．2C ．－12D ．12答案 A解析因为m a －n b ＝(m ＋2n,2m －3n )，2a ＋b ＝(0,7)，m a －n b 与2a ＋b 共线，所以m ＋2n ＝0，即m n＝－2，故选A.3．已知在▱ABCD 中，AD →＝(2,8)，AB →＝(－3,4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM →＝( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－6B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，6C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－6 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，6 答案 B解析因为在▱ABCD 中，有AC →＝AB →＋AD →，AM →＝12AC →，所以AM →＝12(AB →＋AD →)＝12×(－1,12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，6，故选B.4．[2017·广西模拟]若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝( ) A ．－12a ＋32bB ．12a －32b C ．32a －12b D ．－32a ＋12b答案 B解析设c ＝λ1a ＋λ2b ，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝12，λ2＝－32，所以c ＝12a －32b .5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(22，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则函数f (x )＝3x ＋|λ|x ＋1(x >－1)的最小值为( ) A ．10 B ．9 C ．6D ．3答案 D 解析 ∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ，∴|λ|＝|b ||a |＝31＝3.f (x )＝3x ＋3x ＋1＝3(x ＋1)＋3x ＋1－3≥2x ＋3x ＋1－3＝6－3＝3，当且仅当3(x ＋1)＝3x ＋1，即x ＝0时等号成立，∴函数f (x )的最小值为3，故选D.6．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案－54解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，据题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.7．已知点A (7,1)，B (1,4)，若直线y ＝ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.答案 1解析设C (x 0，ax 0)，则AC →＝(x 0－7，ax 0－1)，CB →＝(1－x 0,4－ax 0)．因为AC →＝2CB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0－7＝－x 0，ax 0－1＝－ax 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，a ＝1.8．[2017·大同模拟]在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝________.答案 2 2解析因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.9．已知三点A (a,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a >0，b >0.(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值．解 (1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以OA →＝BC →，即(a,0)＝(2,2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.故a ＝2，b ＝2.(2)因为AB →＝(－a ，b )，BC →＝(2,2－b )，由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥BC →，所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ，因为a >0，b >0，所以2(a ＋b )＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即(a ＋b )2－8(a ＋b )≥0，解得a ＋b ≥8或a ＋b ≤0.因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥8，即a ＋b 的最小值是8. 当且仅当a ＝b ＝4时，“＝”成立．10．[2017·南宁模拟]如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个三等分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解 (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，所以(2－λ)a －b ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫2a －53b . 因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2x ，－1＝－53x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，λ＝45，故λ＝45.[B 级知能提升](时间：20分钟)11．已知O 为坐标原点，且点A (1，3)，则与OA →同向的单位向量的坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32答案 A解析与OA →同向的单位向量a ＝OA→|OA →|，又|OA →|＝1＋32＝2，故a ＝12(1，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，故选A. 12．[2017·安徽模拟]在平面直角坐标系中，O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →按逆时针旋转3π4后，得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－72，－2)B ．(－72，2)C ．(－46，－2)D ．(－46，2)答案 A解析解法一：设OP →＝(10cos θ，10sin θ)，其中cos θ＝35，sin θ＝45，则OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π4，10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π4＝(－72，－2)．解法二：将向量OP →＝(6,8)按逆时针旋转3π2后得OM →＝(8，－6)，则OQ →＝－12(OP →＋OM →)＝(－72，－2)．13．[2017·枣庄模拟]在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，且满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________.答案 13解析由已知得，3OC →＝2OA →＋OB →，即OC →－OB →＝2(OA →－OC →)，即BC →＝2CA →，如图所示，故C 为BA 的靠近A 点的三等分点，因而|AC →||AB →|＝13.14．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，求实数m 的值．解由N 是OD 的中点，得AN →＝12AD →＋12AO →＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AD →＋14AB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.。

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