4自动控制系统的频域分析(第一部分)解析

4 控制系统的频域分析

通常采用以下三种形式来表示系统的频率特性： 1)幅相频率特性：是在极坐标系上表示幅值比 和相位差，也称为乃魁斯特(Nyquist)图或极 坐标图； 2)对数频率特性图：是在半对数坐标系上表示 的幅频特性图和相频特性图，也称为伯德 (Bode)图； 3)对数幅相频率特性图：是在对数坐标系中表 示幅值比和相位差之间的关系，也称为尼柯尔 斯(Nichois)图。
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对于最小相位系统，其对数幅频特性和 相频特性具有一一对应的关系，即根据 系统的对数幅频特性，可以唯一的确定 系统的相频特性和传递函数，反之亦然。 而非最小相位系统就不存在这种关系。
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最小相位系统的判断 在 时，最小相位系统的相角为-90°(n-m)，
5)将个各环节的幅值相加，得到系统的幅值曲线；
6)作各环节的相角曲线，相加得到系统的相角曲线。
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例：
10( j 3) G( j ) ( j )( j 2)[( j )2 ( j ) 2]
4.3.3最小相位系统 定义：在s右半平面上即无极点，又无零点的开环 传递函数，称为最小相位传递函数，否则为非最 小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统 称为最小相位系统。 性质：对于相同阶次的基本环节，当频率ω从0变 化到＋∞时，最小相位的基本环节造成的相移是 最小的。对于最小相位系统，知道了系统的幅频 特性，其相频特性就唯一确定了。
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7)延时环节
G( s ) e
Ts
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绘制幅相频率特性图，可以用来讨论和 研究系统的动态特性，当绘制时必须算 出不同频率下的幅值和相角或者不同频 率下的实部和虚部，若是几个环节串联 的系统，则必须采用模数相乘，相角相 加的方法来计算总的幅值和相角，计算 量较大。
的。所谓半对数坐标系，指它的横坐标
采用对数分度，标注时只标注频率ω值，
而纵坐标表示幅值或相角。
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这种坐标的特点：
1)若在横坐标上取两点，满足 1 / 2 10，则两点 之间的距离为 lg(1 / 2 ) 1 ,也就是频率变换10倍， 在横坐标上的线性刻度为一个单位。在横坐标上刻 度为一个单位叫做一个“十倍频程”（dec)，若频 率变化一倍，则 lg(1 / 2 ) 0.301 ，表示频率每变 化一个倍频程，横轴上距离为0.301个单位；
t g (nt )[cos( nt ) j sin(nt )] Re( ) j Im( )
n 0
N 1
G ( j ) Re 2 ( ) Im 2 ( )
G( j ) atc tan
Im( ) Re( )
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4.5由频率特性曲线求系统传递函数
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设最小相位系统和非最小相位系统的传递函数 分别为：
1 T2 s G1 ( s) 1 T1 s
1 T2 s G2 ( s) 1 T1s
式中 T1 T2 0
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显然，这两个系统的对数幅频特性完全 相同，而相频特性却不完全相同。最小 相位系统的相角变化范围很小，而非最 小相位系统的相角随ω的增加从0变化到 趋于-180°。
L(ω)/dB

-40 40 -20 40 0 20
0 -40
11.4
2
5Fra Baidu bibliotek
7
15
25
ω
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2)和均匀分度相比，这种按对数分度，便于在较
宽的频率范围内研究频率特性； 3)幅值的乘法运算转化为加法运算。
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4.3.1典型环节的伯德图 1)比例环节
G ( j ) k
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2)积分环节
1 G ( j ) j
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4.2幅相频率特性图 频率特性是个矢量，给出不同的频率ω值， 就可以计算出相应的幅值和相角，在复平 面上画出ω值由0上升为∞时的频率特性 G(jω)矢量，把各矢量的端点连成曲线， 即为幅相频率特性图（乃氏图）。
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4.2.1典型环节的乃氏图 1)比例环节
G( s) k
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4.1频率特性概述
定义：频率特性指控制系统或元件在正
弦输入信号作用下的稳态响应，即系统
或元件在正弦信号作用下的稳态响应的
振幅、相位与作用频率之间的依赖关系。
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对于线性定常系统，当系统的输入为正 弦信号时，经过足够长的时间后，系统 运动到达稳定状态，则系统的输出为何
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2)积分环节
1 G (s) s
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3)微分环节
G ( s) s
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4)惯性环节
1 G(s) Ts 1
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5)一阶微分环节
G(s) Ts 1
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6)二阶振荡环节
1 G( s) (TS )2 2Ts 1
这里n和m分别表示传递函数分母、分子的最高次数。 时，相角不等于 非最小相位系统在 -90°(nm)。因此检查控制系统在 时的相角是否等 于-90°(n-m)便可以判断系统是否为最小相位系统。
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4.4由单位脉冲响应求系统的频率特性
已知单位脉冲函数的拉氏变换为： L[ (t )] 1 其象函数不包含s，故单位脉冲函数的傅氏 变换也为1，即： F[ (t )] 1 这说明单位脉冲函数隐含着幅值相等的各种 频率。如果对系统输入一个单位脉冲，则相当 于用等单位强度的所有频率去激发系统。
对于二重积分
G ( j )
1 ( j )
2
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3)微分环节
G( j ) j
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4)一阶惯性环节
1 G ( j ) jT 1
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5)一阶微分环节
G( j) 1 j
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6)二阶振荡环节
种形式？
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当线性定常系统的输入为正弦信号时，输出 亦为正弦信号，但输出的幅值和相位都和输 入的不同，并且都是输入频率的函数。 当 0 时，相应的求出 G( ) 和G( ) ， 就可以在频率域内对系统进行描述，即系统 的频率特性。
这里： G( ) 称为幅频特性； G( ) 称为相频特性。
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频率特性是以输出量和输入量随频率变化的幅 值比和相位差来表达的。幅值比和相位差都是 输入信号的函数，如果让频率ω从零变化到无 穷大，将其某个环节或系统相应的频率特性计 算出来，并在相应的坐标系中绘制成曲线，从 而可以一目了然的看出幅值比和相位差随频率 的变化情况，这在频域分析系统时，具有直观 性。可以从这些曲线的某些特点判断系统的稳 定性、快速性和其它性能，从而对系统进行分 析和综合。

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频率特性函数的求取方法： 1）如果已知系统的微分方程，可将输入变量以正 弦函数代入，求系统的输出变量的稳态解，输出 变量的稳态解与输入正弦函数的复数比即为系统 的频率特性函数； 2)如果已知系统的传递函数，可将系统传递函数 中的s代之以jω，即得到系统的频率特性函数； 3)可以通过实验的手段求出。
G( j ) g (t )e jt dt
0

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对于渐进稳定的系统，系统的单位脉冲响应随 时间的增长逐渐趋于零，因此利用计算机采集 足够多的点并用多点求和的方法可近似得出系 统的频率特性，即：
N 1 n 0 jnt
G( j ) t g (nt )e
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在实际应用中，经常采用以10为底的对数 表示幅频特性，其对数幅频特性表示为：
L() 20lg G( j)
L(ω)采用的单位为分贝（db)。
N1 1 ，则称 若N1和N2之间满足20 lg N2
N1比N2大，两者相差1db。
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对数频率特性图是画在半对数坐标轴上

Ⅰ型系统
K1 ( 1 j 1)( 2 j 1) G( j ) j (T1 j 1)(T2 j 1)
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Ⅱ型系统
K1 ( 1 j 1)( 2 j 1) G( j ) ( j ) 2 (T1 j 1)(T2 j 1)
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当 xi (t ) (t )，X i ( j ) 1 ，则系统的传递函数等 于其输出象函数，即：
X o ( j ) G( j ) X o ( j ) X i ( j )
系统单位脉冲响应的傅氏变换即为系统的频率 特性。
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由此，为了识别系统的传递函数，可以产生一 个近似的单位脉冲信号作为系统的输入，记录 系统响应的曲线g(t)，则系统的频率特性可表 示为：
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4.3对数频率特性图（伯德图） 对任意环节的频率特性，取对数后得：
j ( ) ln G ( j ) ln G ( j ) e ln G ( j ) j ( )
其中：实部为描述幅频特性的对数与ω之间的 关系，称为对数幅频特性；虚部是幅角随ω的 变换关系，称为对数相频特性。对数频率特 性图是由对数幅频特性和对数相频特性两条 曲线所组成的。
1 G( j ) 2 T ( j )2 2 T ( j ) 1
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4.3.2一般系统伯德图的作图方法
1)将传递函数化为典型环节的组成形式； 2)令s＝jω，求出G（jω）； 3)找出各环节的转角频率，作各环节幅值渐近线； 4)利用误差修正线修正渐近线，得到精确曲线；
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例：某最小相位系统的近似对数幅频特性曲线 图如下，试确定系统的开环传递函数。

某系统开环传递 函数如右所示， 试绘制其伯德简 图。 某最小相位系统 伯德图如右所示， 试写出系统开环 传递函数表达式。
24(0.25s 0.5) G( s) j (5s 2)(0.05s 2)[(s) 2 ( s) 2]
实际中有很多系统的物理模型很难抽象的很 准确，其传递函数很难用纯数学分析的方法求 出。对于这样的系统，可以通过实验测出系统 的频率特性曲线，进而根据该曲线求出系统的 传递函数。

0型系统
K 0 ( 1 j 1)( 2 j 1) G( j ) (T1 j 1)(T2 j 1)