锐角三角函数与动点问题

锐角三角函数与动点问题教学设计

吉林省白山市抚松县外国语学校迟金梅

【教学内容分析】

锐角三角函数在中考各种题型中出现的频率非常高，尤其特殊角的三角函数值的应用非常广泛。近几年来，以特殊直角三角形为背景的动点问题也成了各省中考的热点问题，也是难点问题。这类问题通常以特殊几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 它的综合性比较强，能较全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力。很多学生一见到动点问题，就感到头痛，觉得无从下手。本节课就以两道中考题为例，对特殊的锐角三角函数在动点问题中的应用进行了探究，意在让学生经历分析动点问题的一般过程，体会特殊角三角函数值在解决问题过程中的快捷、优化解题过程的作用和优势；通过几何画板的动态演示，让学生感受图形的变化规律，渗透分类讨论思想、数形结合思想和数学建模思想；同时通过专题复习，使学生建构知识体系，形成解决动点问题的一般策略。

【教学目标】

知识与技能：

1、巩固锐角三角函数的概念，熟记特殊角的三角函数值，并能恰当运用锐角的三角函数进行解题；

2、初步养成边读题、边标注、边分析的习惯，学会把动点问题化整为零，分散难点，各个击破；

3、能利用特殊角的三角函数值或特殊三角形的性质和定理解决与特殊直角三角形有关的动点问题。

过程与方法：

经历分析动点问题的一般过程，感受图形的变化规律，渗透分类讨论思想、数形结合思想和数学建模思想，通过专题复习，建构知识体系，形成解决动点问题的一般策略。

情感态度价值观：

通过动手实践、合作交流等活动，培养学生探索的精神和合作交流能力，激发学生学习数学的兴趣和信心。

【教学重点】

在运动变化过程中，探索图形变化规律，借助特殊角的锐角三角函数建立等量关系、表达线段长。

【教学难点】

在复杂图形中探索两个图形重合部分的面积与时间的函数关系，找准图形状态发生改变的临界点，准确画出符合题意的图形。

【教学准备】制作几何画板动态演示课件

教学流程：

一、复习引入

设计意图：通过回顾第28章锐角三角函数知识框架，建构知识体系，同时巩固锐角三角函数的概念，熟记30°、45°、60°角的三角函数值，为新课做准备。

二、合作探究

引例：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5cm ，∠B=30°,点D 由点B 出发，沿B →A 方向以2cm/s 的速度运动到点A 停止。同时点E 由点A 出发，沿A →C 方向以1cm/s 的速度运动到点C 停止。连接DE ，设运动时间为t(s) ，△AED 的面积为y(cm 2). （1）当t 为何值时，△ADE 为直角三角形？ （2）求y 关于t 的函数解析式，并写出自变量的取值范围.

备用图

师生活动：

1. 引导学生边读题、边在图中标注条件、边分析问题;

2. 引导学生分析题目中动点的起点、终点、速度、运动时间的范围，并用含运动时间t 的式子表达有关线段。

3. 逐题分析，重点引导学生在运动变化过程中找准符合题意的图形，通过相似、三角

323

1

3312212知识框架

::

锐角三角函数

函数、特殊三角形三边关系、面积公式等建立等量关系，优化解题策略，渗透数形结合思想和分类讨论思想。 分析：（1） （2）

设计意图：通过一道较为简单的中考题，让学生先热身，初步让学会分析问题的方法，掌握一些基本的解题技巧，发现特殊角三角函数在解决问题过程中的优化作用，渗透数形结合与分类讨论的思想，通过几何画板的动画演示，让学生直观的认识到图形的变化过程，准确把握图形的特征。

三、实战演练

（2016吉林中考题）：如图在等腰直角△ABC 中，∠BAC=90°，

AD ⊥BC 于点D ，点P 从点A 出发，沿A →C

的速度运动到点C 停止。在运动过程中，过点P 作PQ ∥AB 交BC 于Q,以线段PQ 为边，作等腰直角三角形PQM ，且∠PQM=90°，（点M ，C 位于PQ 异侧）.设点P 运动的时间为t(s),△PQM 与△ADC 重叠部分的面积为y(cm 2). （1）当点M 落在AB 上时，t= ; （2）当点M 落在AD 上时，t= ;

（3）求y 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围.

备用图 （1） 备用图（2）

师生活动：

1. 引导学生分析主题干，获得一些基本图形信息。

（认识到图中所有三角形都是等腰

30°

t 30°

t

当∠AED=90°时，∠ADE=30°，AE=

12AD,t=

5

2；当∠ADE=90°时，∠ADE=30°，AD=1

2

AE,t=4.

30°

t A

C

y=1

2AE •DF=12

t 2

（0＜t ＜5）作DF ⊥AC 于F,DF=AD·sinA=AD·sin60°）

直角三角形，为后面具体问题的分析做好铺垫）

2. 研究问题（1），利用几何画板动画演示，让学生认识到点M 的运动变化规律，引导学生准确画出符合题意的图形，尤其Q 点位置的确定（此时Q 与D 点重合,学生易画错），然后借助此时PQ 位置的特殊性及等腰三角形的特征进行求解。 分析：如图当点M 落在AB 上时如图（1），点Q 与点D 重合，此时， AP=DP=PC,即点P 运动到AC 的中点，t=4 （学生可能采用不同的方法，把各种方法加以

比较分析，优化解题策略）

图（1） 图（2）

3. 研究问题（2），学生独立画出图形，如图（2），独立思考后，进行小组交流 最后汇报解题思路；

4. 教师总结解决这类填空问题的关键是准确做出图形，再结合图形的特殊特征建立等量关系求解。

5. 研究问题（3），利用几何画板演示整个图形的变化规律，让学生对△PMQ 与△ADC 的重合部分形状的变化有个直观的认识，找准重合部分图形变化的分界点，确定自变量t 的变化范围，并根据不同的时间范围再画出需要的图形，最后利用特殊图形的特殊特征，用含t 的式子表达所需线段长，建立函数关系。 分析：当0＜t ≤4时，如图（3），2,11

22

PEF AP EF t y S PE EF t ∆=

=

==== 当4＜t ≤16/3时，如图（4），162,163,P Q P C tM E t ===-=-

222

171)(163)326422

2PMQ MEF

y S S t t t ∆∆=-=--=-+-- 当16/3＜t ＜8时，如图（5），22

211)166422

PMQ

PQ y S t t ∆=-=

-+==

2-2t 2-2t