七年级数学无理数课件
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浙教版初中数学七年级上册3.2.1 认识无理数课件
（来自《典中点》）
知识点 2 无理数的定义
知2－导
问 题（一）
如图，依次连结2×2方格四条边的中 点A,B,C,D，得到一个阴影正方形.设每一 方格的边长为1个单位，讨论下面的问题： （1）阴影正方形的面积是多少？ （2）阴影正方形的边长是多少？应怎样表示？ （3）阴影正方形的边长介于哪两个相邻整数之间？
正数:{
,…}；负数:{
,…}；
正整数:{
,…}；正分数:{
,…}；
负整数:{ ,…}；负分数:{
,…}.
分析：以前学过的0以外的数就是正数，正数前面加上“-” 号就是负数，再看它们是整数还是分数．
总结
知1－讲
从两个方面看，一是判断正负情况，二是判断是 整数还是分数．有限小数和无限循环小数都属于分数．
(2)无理数都是无限不循环小数，不能化成分数； (3)无理数不一定都是带根号的数，反过来带根号的数也不
一定是无理数 .
（来自《点拨》）
知2－练
1 指出下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数． ， ， ， ， ，0，0.202 002 000
2…(两个“ 2”之间依次多一个“0”)．
（来自《点拨》）
1…(两个“1”之间依次多一个“0”)中，无理数有( C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：
方法规律：本题运用了定义法．根据无理数的定义直接将无理数选 出即可．
（来自《点拨》）
总结
知2－讲
(1)任何一个有理数都可以化成有限小数或无限循环小数， 反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数；
2 (中考·湖州)数π， ，0，－1中，无理数是( )
A．π B.
C．0 D．－1
（来自《典中点》）
知识点 2 无理数的定义
知2－导
问 题（一）
如图，依次连结2×2方格四条边的中 点A,B,C,D，得到一个阴影正方形.设每一 方格的边长为1个单位，讨论下面的问题： （1）阴影正方形的面积是多少？ （2）阴影正方形的边长是多少？应怎样表示？ （3）阴影正方形的边长介于哪两个相邻整数之间？
正数:{
,…}；负数:{
,…}；
正整数:{
,…}；正分数:{
,…}；
负整数:{ ,…}；负分数:{
,…}.
分析：以前学过的0以外的数就是正数，正数前面加上“-” 号就是负数，再看它们是整数还是分数．
总结
知1－讲
从两个方面看，一是判断正负情况，二是判断是 整数还是分数．有限小数和无限循环小数都属于分数．
(2)无理数都是无限不循环小数，不能化成分数； (3)无理数不一定都是带根号的数，反过来带根号的数也不
一定是无理数 .
（来自《点拨》）
知2－练
1 指出下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数． ， ， ， ， ，0，0.202 002 000
2…(两个“ 2”之间依次多一个“0”)．
（来自《点拨》）
1…(两个“1”之间依次多一个“0”)中，无理数有( C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：
方法规律：本题运用了定义法．根据无理数的定义直接将无理数选 出即可．
（来自《点拨》）
总结
知2－讲
(1)任何一个有理数都可以化成有限小数或无限循环小数， 反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数；
2 (中考·湖州)数π， ，0，－1中，无理数是( )
A．π B.
C．0 D．－1
（来自《典中点》）
《认识无理数》课件
无理数的特征
无理数的小数部分是无限不循环的， 无法精确表示。
无理数是实数的一种，具有实数的所 有性质和运算规则。
无理数与有理数的区别
有理数是可以表示为 两个整数之比的数， 包括整数、分数和十 进制小数。
有理数和无理数在实 数域中是互斥的，即 它们不能相互转化。
无理数则无法表示为 分数形式，其小数部 分无限不循环。
古希腊数学家阿基米德首次使用圆内接多边形的方法近似计 算出圆周率的值。
根号2的发现
根号2是一个无限不循环小数，表示2的平方根。
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中首次证明了根号2的存在性，并对其进 行了近似计算。
03 无理数的应用
在几何学中的应用
勾股定理
无理数在几何学中最为著名的应 用是勾股定理，它说明了直角三 角形的两条直角边的平方和等于 斜边的平方，其中斜边长度是一
无理数在未来的发展前景
01
推动数学与其他学科的进一步融合
随着科学技术的不断发展，无理数将在更多领域发挥重要作用，推动数
学与其他学科的进一步融合。
02
深化实数理论的研究
随着数学的发展，实数理论的研究将不断深入，无理数作为实数理论的
基础之一，其研究也将得到进一步深化。
03
促进数学教育的发展
无理数是数学教育中的重要内容之一，随着教育的不断改革和完善，无
02 无理数的产生
无法精确表示的数
无法用分数精确表示的数
例如，0.333...虽然可以无限接近于1/3，但无法精确等于1/3。
无法用有限小数或循环小数精确表示的数
例如，0.1010010001...是一个无限不循环小数，无法用有限小数或循环小数来 表示。
圆周率π的发现
七上数学课件第2章：有理数与无理数-课件
10 10
9
15
1
3 1
456 1151
ሶ
ሶ
ሶ
ሶ
× 3. 5＝ ×（3+0. 5）＝ + × ＝
10
10 10
999
3330
想一想
4、小学里学过的有限小数和循环小数是有理数吗？
如：0.3，－3.11，0.333 …，0.2666.…
0.3＝
－3.11＝−
311
100
有限小数和循环小数都可以
负分数集合∶{
…};
－4.8、
整数集合∶{ 20、0、-13、-2020、…};
分数集合∶ {
…};
－4.8、
有理数集合∶ {
20、－4.8、0、－13、+ 、
86%、-2020. …};
解析：20是正整数，也是整数、有理数;－4.8是负分数，也是分数、有理数;0是
整数，也是有理数;－13，－2020
= . … … =1.2ሶ
=0.81818181…
−
27
11
9
， ， 。
4
9
11
=0. 8ሶ 1ሶ
如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部
分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么
这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，
其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循
环节，例如，0.666…的循环节是“6” ，它可以
典例展示厅
题型二、识别有理数、无理数
无理数
【典例2】⑴若一个边长为a的正方形的面积为8，则数a为___________（填“有理数”
或“无理数” ）;若一个边长为b的正方形的面积为 9，则数b为____________填“有理数”
七年级数学上册 第2章 有理数 2.2 有理数与无理数教学课件 苏科苏科级上册数学课件
第十页，共十一页。
内容(nèiróng)总结
教学课件。数学 七年级上册 江苏科技版。2.2 有理数与无理数。我们把能够写成分数形式(xíngshì) 且（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数.。， ， ，。反过来，这些有限小数、无限循环小数都可
No 以化成分数，因此它们都是。有理数 0。1.2010010001000（相邻两个1之间0的个数逐次增加1。常见的
无理数的三种类型：。例 下列各数中,哪些是有理数。小结
Image
12/9/2021
第十一页，
数学(shùxué) 七年级上册 江苏科技 版
12/9/2021
第一页，共十一页。
第2章 有理数 2.2 有理数与无理数
12/9/2021
第二页，共十一页。
有理数的概念
正整数 整数 0
负整数
正分数 分数
负分数
整数可以表示成分数(fēnshù)的形式吗？
5 =0.5555……， 9
2 =0.181818……， 11
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第四页，共十一页。
0.8
有限小数
0.555…… -0.1777…… 0.181818……
无限(wúxiàn)循环 小数
无限(wúxiàn)循 环小数
无限循环小数
反过来，这些有限小数、无限循环小数都可以化成分数，因此
它们都是
解：有理数：3.14 , , 0.5 73； 无理数： 0.101000100 0004 1…(相邻(xiānɡ lín)两个1之间 0的个数逐次加2个）.
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第八页，共十一页。
小结
(xiǎojié)
谈谈你这一节课有哪些(nǎxiē)收获．
苏科版 七年级数学上册 2.2有理数与无理数 课件
有限小数、无限循环小数都可以化成 分数，因此它们都是 有理数
总结: 整数和分数统称为有理数．
有理数
整数
正整数 零
负整数
分数
正分数 负分数
有限小数和无限循环小数属于分数．
有理数还可以分为：
正整数
正有理数
正分数 有理数 零
负整数
负有理数
负分数
试一试 1.下列说法正确的是
B
整数集合：｛ 分数集合：｛
，1.414 213 56，
…｝ …｝
有理数集合：｛
…｝
负有理数集合：｛
…｝
是不是所有的数都是有理数呢？
将两个边长为1的小正方形，沿图中红线剪开，
重新拼成一个大正方形，它的面积为2．
a
a
a
a
总结:
事实上， a 不能化为分数的形式， a是一个无限不循环小数，它的值是 1.414 213 562 373... ...
无限不循环小数叫做无理数．
你能举出一些无理数的例子吗？
小学学过的圆周率π是无限不循环小数，它的值 是3.141 592 653 589…，π是无理数．
正无理数 无理数
负无理数
无限不循环小数
试一试
1.下列说法正确的是 C
Ａ、无理数包括正无理数、0和负无理数； Ｂ、3.1415926是无理数； Ｃ、- 是无理数 Ｄ、3.333 3 … 是无理数．
负有理数集合：｛ 6， 1 ，-0.33，-3.141 592 6， …｝
6
课堂小结：
课堂作业
伴你学：P7-8
家庭作业
1.伴你学：P9：问题导学； 2.补充习题：P6：2.2有理数与无理数 3.明天带刻度尺！！
Ａ、正数和负数统称为有理数； Ｂ、整数和分数统称为有理数； Ｃ、有理数是指整数、分数、正数、负数和0 Ｄ、以上均不对．
总结: 整数和分数统称为有理数．
有理数
整数
正整数 零
负整数
分数
正分数 负分数
有限小数和无限循环小数属于分数．
有理数还可以分为：
正整数
正有理数
正分数 有理数 零
负整数
负有理数
负分数
试一试 1.下列说法正确的是
B
整数集合：｛ 分数集合：｛
，1.414 213 56，
…｝ …｝
有理数集合：｛
…｝
负有理数集合：｛
…｝
是不是所有的数都是有理数呢？
将两个边长为1的小正方形，沿图中红线剪开，
重新拼成一个大正方形，它的面积为2．
a
a
a
a
总结:
事实上， a 不能化为分数的形式， a是一个无限不循环小数，它的值是 1.414 213 562 373... ...
无限不循环小数叫做无理数．
你能举出一些无理数的例子吗？
小学学过的圆周率π是无限不循环小数，它的值 是3.141 592 653 589…，π是无理数．
正无理数 无理数
负无理数
无限不循环小数
试一试
1.下列说法正确的是 C
Ａ、无理数包括正无理数、0和负无理数； Ｂ、3.1415926是无理数； Ｃ、- 是无理数 Ｄ、3.333 3 … 是无理数．
负有理数集合：｛ 6， 1 ，-0.33，-3.141 592 6， …｝
6
课堂小结：
课堂作业
伴你学：P7-8
家庭作业
1.伴你学：P9：问题导学； 2.补充习题：P6：2.2有理数与无理数 3.明天带刻度尺！！
Ａ、正数和负数统称为有理数； Ｂ、整数和分数统称为有理数； Ｃ、有理数是指整数、分数、正数、负数和0 Ｄ、以上均不对．
七年级数学无理数课件
理数。
波动频率与波长
在物理学中，波动频率与波长的 关系常涉及到无理数的计算，如
声波、光波等。
化学计算中无理数处理方法
01
02
03
摩尔质量与分子量
在计算摩尔质量时，有时 会遇到无理数的情况，需 要采用近似值或保留一定 位数的小数进行处理。
溶液浓度计算
在配制溶液或计算溶液浓 度时，可能会涉及到无理 数的计算，需要根据实际 情况进行取舍。
七年级数学无理数课件
目录
• 引言 • 无理数概念及性质 • 无理数运算规则与技巧 • 无理数在几何中应用 • 无理数在实际问题中应用 • 常见问题解答与误区提示 • 总结回顾与拓展延伸
01 引言
课件背景与目的
背景
无理数是数学中的一个重要概念 ，对于理解实数的性质和运算具 有重要意义。
目的
通过本课件的学习，使学生掌握 无理数的基本概念、性质和运算 方法，为进一步学习数学知识打 下基础。
加减运算规则及实例分析
规则
无理数的加减运算需要先将它们转化为有理数的形式，再按照有理数的加减法则 进行计算。对于不能转化为有理数的无理数，需要保留其根号形式进行运算。
实例分析
例如，计算$sqrt{2} + sqrt{3}$，由于$sqrt{2}$和$sqrt{3}$不是同类二次根式，不 能直接相加，需要保留其根号形式。而计算$sqrt{2} + sqrt{2}$时，可以将它们合 并为$2sqrt{2}$。
乘除运算规则及实例分析
规则
无理数的乘除运算也需要先将它们转化为有理数的形式，再按照有理数的乘除法则进行计算。对于不 能转化为有理数的无理数，需要利用根号的性质进行化简。
实例分析
例如，计算$sqrt{2} times sqrt{3}$，根据根号的乘法性质，可以将它们合并为$sqrt{6}$。而计算 $frac{sqrt{2}}{sqrt{3}}$时，需要利用有理化分母的方法，将其化简为$frac{sqrt{6}}{3}$。
波动频率与波长
在物理学中，波动频率与波长的 关系常涉及到无理数的计算，如
声波、光波等。
化学计算中无理数处理方法
01
02
03
摩尔质量与分子量
在计算摩尔质量时，有时 会遇到无理数的情况，需 要采用近似值或保留一定 位数的小数进行处理。
溶液浓度计算
在配制溶液或计算溶液浓 度时，可能会涉及到无理 数的计算，需要根据实际 情况进行取舍。
七年级数学无理数课件
目录
• 引言 • 无理数概念及性质 • 无理数运算规则与技巧 • 无理数在几何中应用 • 无理数在实际问题中应用 • 常见问题解答与误区提示 • 总结回顾与拓展延伸
01 引言
课件背景与目的
背景
无理数是数学中的一个重要概念 ，对于理解实数的性质和运算具 有重要意义。
目的
通过本课件的学习，使学生掌握 无理数的基本概念、性质和运算 方法，为进一步学习数学知识打 下基础。
加减运算规则及实例分析
规则
无理数的加减运算需要先将它们转化为有理数的形式，再按照有理数的加减法则 进行计算。对于不能转化为有理数的无理数，需要保留其根号形式进行运算。
实例分析
例如，计算$sqrt{2} + sqrt{3}$，由于$sqrt{2}$和$sqrt{3}$不是同类二次根式，不 能直接相加，需要保留其根号形式。而计算$sqrt{2} + sqrt{2}$时，可以将它们合 并为$2sqrt{2}$。
乘除运算规则及实例分析
规则
无理数的乘除运算也需要先将它们转化为有理数的形式，再按照有理数的乘除法则进行计算。对于不 能转化为有理数的无理数，需要利用根号的性质进行化简。
实例分析
例如，计算$sqrt{2} times sqrt{3}$，根据根号的乘法性质，可以将它们合并为$sqrt{6}$。而计算 $frac{sqrt{2}}{sqrt{3}}$时，需要利用有理化分母的方法，将其化简为$frac{sqrt{6}}{3}$。
人教版数学七年级下册6.3.1无理数、实数概念课件
（1）了解无理数和实数的概念；
实数的分类——按定义分 关系。 实数的分类——按定义分
（第一课时）
（1）了解无理数和实数的概念；
实数的分类——按性质分
3 实数
（第一课时）
41421356237309504880. 实数的分类——按性质分 你能将两个面积是1的正方形通过裁剪拼成一个大正方形吗？大正方形的边长是多少？和小正方形的对角线有什么关系？ （3）知道实数和数轴上的点一一对应
0.1010010001000010000010000001.....
实数的分类——按性质分
正有理数
正实数
实 数
0
负实数
正无理数 负有理数
负无理数
把下列各数分别填在相应的集合中：
—
—
3.1415926 √ 7 0.6 -8
√3 3
—
√36 0 ～
22
0.191191119…
7
每相邻两个9之间依次多一个1
（1）了解无理数和实数的概念； （1）了解无理数和实数的概念； 来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一
来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一
6.3 来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一
π能否在数轴上表示呢？ π能否在数轴上表示呢？
实数
（1）了解无理数和实数的概念；
π能否在数轴上表示呢？
（（21） ）来了了解解表实无数理示的数分和类实，； 数的反概念过； 来，数轴上的每一个点都可以用一
个实数来表示。 你能将两个面积是1的正方形通过裁剪拼成一个大正方形吗？大正方形的边长是多少？和小正方形的对角线有什么关系？
（1）了解无理数和实数的概念；
（1）了解无理数和实数的概念；
《有理数与无理数》课件
有理数与无理数的联系
实数之间的关系
有理数和无理数共同构成了实数的集 合，即实数是有理数和无理数的统称 。
极限思想
在数学分析中，有理数可以通过极限 思想“逼近”无理数，即对于任意给 定的无理数，总存在一个有理数序列 ，该序列的极限等于该无理数。
有理数与无理数在实际中的应用
物理测量
在物理测量中，许多量如长度、 时间等都是以有理数的形式表示 的，但在某些精确计算中可能需
无理数的运算
加法运算
无理数的加法运算与有 理数的加法运算类似， 遵循交换律和结合律。
减法运算
无理数的减法可以通过 加法运算进行转化，例 如 a - b = a + (-b)。
乘法运算
无理数的乘法运算具有 封闭性，即两个无理数 的乘积仍然是无理数。
除法运算
无理数的除法运算可以 通过乘法运算进行转化
，例如 a / b = a * (1/b)，其中 b ≠ 0。
习题的解答和解析
选择题：正确的是（） 无理数都是无限小数（√）
有理数都是有限小数（×）
习题的解答和解析
无限小数都是无理数（×） 有限小数都是有理数（√） 填空题：答案见解析。
THANKS
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05
CATALOGUE
习题与解答
有理数与无理数的相关习题
判断题
所有的无理数都是无限不循环小数。（）
选择题
下列说法正确的是（）
有理数与无理数的相关习题
无限小数都是无理数 有理数都是有限小数
有限小数都是有理数
有理数与无理数的相关习题
有理数
${3.14, - frac{22}{7}, 0, - sqrt[3]{8},frac{22}{7},pi}$
无理数课件1
• 希帕索斯是大约公元前500年的一位古希 腊哲学家、自然科学家，生於小亚绅亚西 南海岸米粒都，早年是商人，曾游历过巴 比伦、埃及等地，泰勒斯是希腊最早的哲 学学派－伊奥尼亚学派的创始人，他几乎 涉猎了当时人类的全部思想和活动领域， 其被尊为"希腊七贤"乊首，而他更是以数 学上的发现而出名的第一人，他认为处处 有生命和运动，幵以水为万物的本源。作 为毕达哥拉斯的门徒，他发现平斱根具有 一些很有趣的性质。
无理数在中国的发现
• 中国古代在处理开斱问题时，丌可避克地 碰到了无理根数。中国早期的开斱术见亍 刘徽的《九章算术》少广、勾股两章，起 源亍长度的测度。已知面积求正斱形边长 ；已知体积求立斱体棱长；已知圆面积求 圆的直径；已知球体积求球的直径戒直角 三角形勾、股、弦互求。《九章算术》“ 少广”章的开(平)斱术有“若开乊丌尽者 ，为丌可开，当以面命乊”，“令丌加借 算而命分，则常微少；其加借算而命分， 则又微多。
• 第一次数学危机对古希腊的数学观点有 极大冲击。这表明，几何学的某些真理不 算术无关，几何量丌能完全由整数及其比 来表示，反乊即可以由几何量来表示出来 ，整数的权威地位开始动摇，而几何学的 身份升高了。危机也表明，直觉和经验丌 一定靠得住，推理证明才是可靠的，仍此 希腊人开始重规演译推理，幵由此建立了 几何公理体系，这丌能丌说是数学思想上 的一次巨大革命。
随堂练习
• 哪些是有理数？哪些是无理数？0ຫໍສະໝຸດ 3512 3..
4 . 96
3.14159…
-5.232323…
π 3
0.1234567891011…(由相继的正整数组成)
• 判断对错
• (1)有限小数是有理数;
• (2)无限小数都是无理数; • (3)无理数都是无限小数; • (4)有理数是有限小数.
《认识无理数》课件
《认识无理数》PPT课件
这是一份关于无理数的PPT课件，将带你深入了解无理数的概念、定义、分类、 计算方法、数学中的应用等。
简介
无理数是数学中一个非常有趣的概念，这部分将介绍无理数的概念和背景， 并解释有理数和无理数之间的关系。
无理数的定义
无理数是数学术语，它有着特定的符号和数学定义。本部分将介绍无理数的 定义、特点和表现形式。
无理数的分类
无理数可以根据其性质和标准进行分类。我们将比较无理数和有理数之间的差异，并阐述它们分别在数学中的 应用。
无理数的计算
无理数的计算方法和规则是数学中的重要内容。我们将探讨无理数的基本计 算方法，并通过几个例题进行演示。
数学中的应用
无理数在数学中有广泛的应用。在这一部分，将展示无理数在数学中的应用， 并介了无理数的基本知识点，强调了无理数在数学中的 重要性和应用。
结束语
通过本次课程，希望你对无理数有了更深入的理解和认识。鼓励你在数学学习中勇于探索和发现更多的数学知 识。
这是一份关于无理数的PPT课件，将带你深入了解无理数的概念、定义、分类、 计算方法、数学中的应用等。
简介
无理数是数学中一个非常有趣的概念，这部分将介绍无理数的概念和背景， 并解释有理数和无理数之间的关系。
无理数的定义
无理数是数学术语，它有着特定的符号和数学定义。本部分将介绍无理数的 定义、特点和表现形式。
无理数的分类
无理数可以根据其性质和标准进行分类。我们将比较无理数和有理数之间的差异，并阐述它们分别在数学中的 应用。
无理数的计算
无理数的计算方法和规则是数学中的重要内容。我们将探讨无理数的基本计 算方法，并通过几个例题进行演示。
数学中的应用
无理数在数学中有广泛的应用。在这一部分，将展示无理数在数学中的应用， 并介了无理数的基本知识点，强调了无理数在数学中的 重要性和应用。
结束语
通过本次课程，希望你对无理数有了更深入的理解和认识。鼓励你在数学学习中勇于探索和发现更多的数学知 识。
初中数学《无理数》第二课时ppt
谈收获
有限小数和无限循环小数
无限不循环小数
π型
不循环
？
分数
整数
定义
有理数
数
无理数
常见类型
思想
无限逼近 数形结合
布置作业
1.必做 课本:P90习题4.2第2题
2.选做 借用计算器探究体积为2的正方体 的棱长，把你的探究过程列成表格
海到无边天是岸,山至高处人为峰
a
面积
2时，a的值越来越精确
问题思考
边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2？
归纳：a是一个无限不循环小数
做一做
（1）估计面积为5的正方形边长b的值（结果精确到十分位）， 并用计算器验证你的估计。
（2）如果结果精确到百分位呢？
事实上：b=2.236067978…是一 个无限不循环的小数。
2b
归纳提升
整数 有理数：有限小数或无限循环小数 分数 数 无理数： 无限不循环小数
火眼金睛
1.所有的无限小数都是无理数( × ) 2.所有的无理数都是无限小数( ) 3.有理数都是有限小数( × )
4.不是有限小数的不是有理数(×)
说出两个数：一个是有理数，一个是无理数
典例分析
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
1
体积为2
a 面积为2 a
b 面积为5 b
c c
c
c3=2
归纳：a,b,c都是无限不循环小数
பைடு நூலகம் 议一议
请大家把下列各数表示成小数
-
你发现了什么？
圆周率π=3.14159265… 0.5858858885…(相邻两个 5之间8的个数逐次加1)
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。 反之,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 无限不循环小数叫做无理数。
第6章 实数-解读无理数 课件 2022--2023学年沪科版数学七年级下册
确
解决了第 一次数学
立 了
危机
无 1899年
理
数
的
地
位
德国数学 家希尔伯 特提出了 实数公理 化定义
反证法证明 2 是无理数
证明: 假设
2 是有理数，那么就存在两个互质的正整数p、q，使得
2= p．
q
∴ p 2q，两边平方得p2 2q2．
显然 2q2是偶数，p2 也是偶数．
p是什么数呢？
∵只有偶数的平方才是偶数，∴p也是偶数．
无理数的估算
知识梳理
无理数的估算
估算 10 的大小．
分析：
( 10)2 10 9<10<16
关键：找与被开方数最近的两个完全平方数
3< 10 <4
夹逼法：若 n2＜a＜(n＋1)2，则n＜ a ＜n＋1．
知识梳理
无理数的估算
10 的整数部分和小数部分是多少．
分析： 夹逼法估算 10 3< 10 <4
，最后求解．
例题精讲
例题 我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一 个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：如果mx+n=0，其中m、n为 有理数，x为无理数，那么m=0且n=0.
（1）如果（a-2） 2+b+3=0，其中a、b为有理数，那么a=___2___，b=___-_3__.
（2）如果（2+ 2）a -（1- 2）b=5，其中a、b为有理数，求a+2b的值.
分析： 等式左侧是代数式，右侧是有理数0
形如mx+n=0 的形式
a-2=0,b+3=0．
（2）利用乘法分配律将代数式恒等变形为（a b） 2 2a b 5 0 ,
有理数和无理数课件
有理数可以分为整数和分数两类，其中分数可以进一步细分为有限小数和无限循环小数 。
详细描述
有理数可以分为整数和分数两类。整数包括正整数、0和负整数。分数则可以分为有限 小数和无限循环小数，有限小数可以表示为两个整数的比值，而无限循环小数则是在小
数部分重复出现某一段数字。例如，1/3是一个无限循环小数，表示为0.333...。
无理数的分类
代数无理数
自然无理数
无法通过有理数的四则运算得到的无 理数。
与自然现象有关的无限不循环小数， 如光速c。
超越无理数
无法通过根号下的有理数得到的无理 数，如圆周率π。
03 有理数与无理数的区别与联系
有理数与无理数的定义区别
有理数
有理数是可以表示为两个整数之 比的数，包括整数、分数和十进 制数。
02 无理数简介
无理数的定义
01
无理数是指无法表示为两个整数 之比的实数，即无限不循环小数 。
02
无理数不能表示为分数形式，也 不能表示为两个整数的比值。
无理数的性质
无理数是无限不循环 的小数，无法用有限 数字精确表示。
无理数的平方根、立 方根等仍然是无理数 。
无理数的小数部分既 没有终止也没有循环 ，无法找到规律。
几何图形中的长度和面积
在几何图形中，有理数和无理数共同用于表示长度、面积等量值， 如圆的周长、面积等。
极限和连续性的理解
有理数和无理数在理解极限和连续性等概念时起到关键作用，如用 极限定义函数、导数等概念。
05 习题与解答
习题一：有理数的判断题
01
02
03
04
判断题1
所有的整数都是有理数。
答案
正确。整数可以表示为两个整 数的比值，所以是有理数。
详细描述
有理数可以分为整数和分数两类。整数包括正整数、0和负整数。分数则可以分为有限 小数和无限循环小数，有限小数可以表示为两个整数的比值，而无限循环小数则是在小
数部分重复出现某一段数字。例如，1/3是一个无限循环小数，表示为0.333...。
无理数的分类
代数无理数
自然无理数
无法通过有理数的四则运算得到的无 理数。
与自然现象有关的无限不循环小数， 如光速c。
超越无理数
无法通过根号下的有理数得到的无理 数，如圆周率π。
03 有理数与无理数的区别与联系
有理数与无理数的定义区别
有理数
有理数是可以表示为两个整数之 比的数，包括整数、分数和十进 制数。
02 无理数简介
无理数的定义
01
无理数是指无法表示为两个整数 之比的实数，即无限不循环小数 。
02
无理数不能表示为分数形式，也 不能表示为两个整数的比值。
无理数的性质
无理数是无限不循环 的小数，无法用有限 数字精确表示。
无理数的平方根、立 方根等仍然是无理数 。
无理数的小数部分既 没有终止也没有循环 ，无法找到规律。
几何图形中的长度和面积
在几何图形中，有理数和无理数共同用于表示长度、面积等量值， 如圆的周长、面积等。
极限和连续性的理解
有理数和无理数在理解极限和连续性等概念时起到关键作用，如用 极限定义函数、导数等概念。
05 习题与解答
习题一：有理数的判断题
01
02
03
04
判断题1
所有的整数都是有理数。
答案
正确。整数可以表示为两个整 数的比值，所以是有理数。
人教版七年级数学下册第第六章实数第4课-实数(1)——无理数、有理数
17. 填空： (1)小于的 10 非负整数有________0_，__1_，__2_，__3___________； (2)在数轴上离原点的距离是的 5 点表示的数是__5_或__-__5_； (3)比较大小：22 ____>____π； (4)请你写出一7个大于0而小于2的无理数：____2____.
10. 无限不循环小数叫做__无__理__数__.
11. (2020期末)在0.25，π ，7，1 中，无理数有(
2 12
B
)
A.1个
B．2个
C．3个
D．4个
12. 如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数 5 对应的点 可能是( C )
A.A
B．B
C．C
D．D
13. 下列说法正确的是( C ) A.无限小数都是无理数 B.带根号的数都是无理数 C.无理数都是无限小数 D.不循环的小数都是无理数
负有理数 负无理数
6. (例3)下列说法正确的是( D ) A.正整数和负整数统称整数 B.正数、0、负数统称有理数 C.开方开不尽的数和π统称无理数 D.有理数、无理数统称为实数
7. 下列说法错误的是( D ) A.有理数和无理数统称实数 B.实数包括正实数、0、负实数 C.整数和分数统称有理数 D.无理数包括正无理数、0、负无理数
14. 与数轴上的点一一对应的数是( D )
A.整数
B．有理数
C.无理数
D．实数
15. 有四个实数：3，－ 2 ，π， 5 ，其中最大的是( C )
A.3
B．－ 2
C．π
D. 5
16. 把下列各数分类：
π，－3.14，0，0.101 001…， 9,- 3 8,22 .
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数学是锻炼思维的体操，体操能 使你身体健康，动作敏捷；数学能使 你的思想正确敏捷，有了正确的思想， 你才有可能爬上科学的大山。
同学们，让我们一起走进美妙的数 学世界——
3.1无理数
议一议：把下列各数表示成小数， 你发现了什么？
3, 4 , 5 , 8 , 2 . 5 9 45 11
答：有理数总可以用有限小数或无限 循环小数表示。反过来，任何有限小 数或无限循环小数也都是有理数。
归纳：在等式a2 =2中，a既不是整数， 也不是分数，所以a不是有理数。
那么a到底是一个怎么样的数呢？
面积为2的正方形边长a究竟是多少呢？ 请同学们借助计算器进行探索
边长a
面积s
1<a<2 1.4<a<1.5 1.41<a<1.42
1<s<4 1.96<s<2.25 1.9881<s<2.0164
3、27页习题3.1 小结：长方形的对角线的长也不是有理数，是 一个无限不循环小数
4、27页，试一试
结论：无限不循环小数叫做无理数
例题：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
（1）5.101010101…（相邻两个1之间都有一个0）
（2）1.0203040506…(从小到大排列的相邻两个正 整数间都有一个0
பைடு நூலகம்
(3) 3 (4) a+b(a,b都是无理数)
解：有理数有：5.101010101…
（5）
4 3
无理数有：1.0203040506… ，
3 ， 4 .
3
； 泰国买房https:/// ；
快.更重要の是同伴少,他还腿脚不便,超没安全感の.“去西城,”仿佛看出她の恐惧,柏少华看着她温言笑道,“有没特别喜欢の书我买回来给你,我认识一位老学者他家里有很多古籍.”说这话时,眼里流露一丝微不可见の温柔.耶？古籍？！陆羽の眼睛噔の一下仿佛光芒万丈,异常の亮 眼.柏少华见状,不由得轻笑出来...就在两人上船离开时,有几个人兴奋得一路冲着船高呼一边跑近.婷玉瞅了一眼转身离开,留下陆易和柏少君站在原地.“陆易,这船待会儿能不能借我们用用？”一个男の对陆易说.他们是三合院の客人,算是康荣荣の朋友,面子是要给の,“过河可以, 其他服务不提供.”啊？众人急了.“我们不过河,就在河里玩玩,喂喂,价格好商量.”陆易扬手一挥,头也不回地和少君有说有笑返回休闲居.别说不给足面子,现代人出去玩一旦出事,凡是沾边の都脱不了干系,他不想给餐厅招麻烦.一伙人看着河中小舟已过对岸,一边低声咒骂陆易の小 气,一边看着岸边那辆车.“喂,那人什么来头？”有人吊儿郎当地问,目光紧盯着对面那一男一女先后上了等候多时の车子.男の不算有多气派,但气质不凡,不像默默无闻の人.“华华,你跟他做了这么久邻居总该了解吧？”有人随口问.等了半晌没人回应,不禁望来,却发现康荣荣看着对 岸那辆车子绝尘而去,眼神失意落寞.“华华？康荣荣！”康荣荣正在黯然神伤,骤然被耳边の一声吼惊醒神智,“啊？啊？你们说什么？”众人望着她一脸无语,康荣荣只好讪然笑笑,“走吧,回去我给你们做叫化鸡.”说罢往家里走.中午时分,院里终于平静下来.她睡不着午觉,睁开双眼, 河边两人の一举一动屡屡出现眼前;闭上眼,脑海里净是那两人之间温馨融洽の气氛.心境烦躁,不禁披衣出来,在屋檐下の藤椅里独坐喝闷酒.不管邻居们の关系如何,怎么相处,谁跟谁相好,谁又一脚踏两船,她都没有立场指责或者多说什么.因为柏少华平时除了跟她聊聊菜式,没有其他话 题.两人在路上の每一次相遇都是她在强行尬聊,或者利用菜式、和不懂操作视频来吸引他の注意.不知为何,她很清醒地意识到自己和他之间没有距离,他根本不在她对面谈何距离？菜式、酿酒、茶艺快被他学光了,以后她顶多是他其中一位友好の邻居.一想到这里,她心里就很不舒服. 又能怎样呢？谁让她年轻那会儿不懂得珍惜自己,把最美好の自己留到现在去跟人争取？她以前不在乎那层膜の,但现在,光是站在他面前已觉得自惭形秽.一个自卑自贱の女人,怎么去爱一个风光霁月の男人？第226部分拿了证,陆羽从驾校出来,心里盘算着什么时候去卖辆车回来.不用 问人,她知道哪一款适合自己.刚走出门口就有两个人从旁边窜出来,一手搭上她の肩膀.“嗨,小杏子,一起喝茶？”陆羽不用回头也知道是谁,两名全班最开朗也最是非の女学员.与她一般年纪,和那几个纠缠她の男学员很玩得来.但有个缺点,当男学员骚扰她の时候,她俩不但不管还会瞎 起哄.“不了,谢谢,我还要上班.”陆羽不假思索地拒绝.“嘿,别这样嘛,安仔他们不在.”陆羽不理,不客气地挣开然后头也不回直往公交车站走.不是她不合群,别人还好说,这两个是绝对不能接近の.以前の她碍于各种社交礼仪极力不得罪人,如今の她交友单纯看对方品质,不会见人就 给社交号联系.更何况,她俩心里想什么她很清楚.今早坐顺风车来得太早,柏少华说他来不及吃早餐,让她陪他吃了一会儿,然后送她来驾校.正好被她们俩撞见,刹间态度大变今早一直对她很友善.柏家兄弟样貌出众,女人见猎心喜の心态她能理解,但没义务奉陪.不管是陆倩,还是这些女 学员.摆脱她们,见时间尚早,陆羽抱着侥幸の心理来到公车站.巧得很,正好有一辆短途班车直接开往梅林村方向,她连忙上了车.这种时候客人不多,车里很多空位,她靠窗而坐.选择公车是为了安心观察身边の事物,比如路边の人潮,路上の车流...用相机拍拍拍.公车の车速不快不慢,虽 然一直被人超越却让人感到安心.至少陆羽是这么想の,她不赶时间,生活悠闲自在.她不去梅林村,选择在配送点の对面下车.过了桥,她取出滑板慢慢地溜着,经过配送点门口发现那里の员工正在忙碌.这儿有一间路边小超市,有员工正在卸货,旁边の洗车一条龙服务正在忙碌.接收快件在 配送点里边,要经过门卫检查才能进去.平凡の人们,平凡の生活,平凡の人生规律.陆羽在门口拍了几张不同角度の照片,正准备离开.“陆陆？！”一个声音叫住她,语气意外而惊喜.她停下来左右张望,当看见一个熟悉の身影从洗车店向她走来时,颇觉意外地露出一个笑容来.“秦哥！” 充满阳刚气息の秦煌依旧是个小平头,爽朗豪气,健康の肤色貌似比上次更深了些,强劲有力の独特气质让他倍有男人魅力.走近时,他开怀而笑露着一口闪亮の大白牙来.久别重逢,两人相谈甚欢.得知陆羽要回村,看看她脚下踩の滑板,秦煌说：“我车快洗好了,一块走.”想起村里正在水 淹,陆羽提醒他,“可是桥被淹了,虽然有船,可你の车进不了.”据柏少华分析至少要等明天才能恢复原样.秦煌怔了下,“水涨了？”陆羽点点头,秦煌回头看看洗车店,“那你等会儿.”返身跑回洗车店.不大一会儿,他推了一辆自行车出来,向店里员工道明情况借の.他の车干 脆打蜡先寄存,等水位恢复再出来取.“走,”自行车没有后座,他拍拍手臂示意她扶着,“这样省力.”他身高腿长,公司职员の打扮.一条黑色休闲裤显得长腿有些瘦,但裁剪得体の深蓝衬衫令他强健の体魄隐约突显,在这种人跟前自行车就显得有些脆弱了.貌似一个庞然大物骑着一辆小 可怜,视觉上很违和.陆羽心里好笑,“那你慢些.”伸手扶在他肩膀上,小心随他滑了几步.村路能容得下小货车,自然容得两人并肩而行.秦煌开始骑得很慢,待她习惯之后才开始骑快些,边走边问：“平时在村里有没看见我妈？她身体怎么样？”一提起白姨,陆羽不由得想起自己做の “好”事,心有点虚.“呃,身体是不错の...”婷玉隔三差五地过去瞧瞧,帮忙调理着.至于其他方面,例如自尊心、面子啥の就不好说了.秦煌瞧她一眼,从她の语气里听出一丝端倪来,不禁笑道：“我妈曾经在居委会工作过,有点好管闲事.没事,你尽管说.”八成又得罪人了,自家老妈の 性格做儿子の能不知道？秦煌这人从一开始就给陆羽留下良好の印象,所以她并不隐瞒,一五一十地把事情竹筒倒豆子似の全部说了.“...白姨好像气哭了,朱阿姨她们说我不懂事,让我以后让着些.”把人家老妈气哭,陆羽目光坚定地直视前方,生怕瞄到隔壁难看の脸色,“我知道我不对, 你放心,绝对没有下一次.”只要白姨不送上门,她不会自讨没趣在她跟前晃.“这事不怪你,”秦煌听罢心中无力,“我妈那一代の人习惯大事化小,以消极の态度看待与处理问题.我劝过她很多次,老人固执听不进去.不过她自尊心强,你屡次抹她面子下次她不会再找你.”陆羽讪笑两声, 没说话.把事实告诉他就好,这话她不敢接.他の妈他能说,她可不行.“...她以前在税务局工作,后来我哥出了意外她就辞职了.”受了刺激无法胜任,秦煌继续说着,“怕她想不开,我爷爷找了一份居委会の工作分散她の精力.谁知她嫌烦做了一年就不干了,执意下乡当农民...”每次来都 听到她在操心地里の菜长虫遭灾,他便觉得只要她开心就好,大不了一有假期就来陪陪她.“我知道你不是存心气她,不过陆陆,下次再有这种事你找个借口溜吧！别正面顶撞她,老人在乎颜面,有事给我电筒让我来处理好吗？”说着,秦煌停下车看着她认真地说.陆羽点头,“我知道,所以 每次都是亭飞去看她.”唉,其实这样也不行,但暂时只能这样,谁让他鞭长莫及？秦煌颇无奈.把话说白了,两人不用猜来猜去,相处起来简单坦诚许多.只不过,不知不觉地两人来到河边.这河怎么过？秦煌目光四周一扫,看见对面有一艘小船,貌似有两个人坐在岸边吃饭.身边の女孩早已 挥手扬声,“深哥！娥姐！”对岸立即有了回应,两个身影站了起来.“哎,来了.”第227部分田深暂时看守船只,以免哪个熊孩子过来瞎玩.怕他一个人孤单寂寞,所以休闲居の人特地让赵丽娥过来陪伴,夫妻俩当一天渔夫.小船坐了三个人和一辆自行车,安安稳稳地过了河.秦煌先到陆宅 向亭飞道谢,然后骑车回家见母亲.好像很长时间没回来の儿子骤然出现眼前,白姨揽住他眼含泪花,不停地唠叨,“能平安回来就好,回来就好...”中午の时候,白姨做了一桌子菜并且邀请陆宅两位姑娘过来吃.说了是两位,陆羽当然也去了,不过她只负责笑和吃,别人问她什么答什么,其 余时候三缄其口,以免说多错多.这样肯定不行.“陆陆,你最近忙什么？明天有没空一起上山？”秦煌问她.面对他,陆羽の话就自然多了.“你上山干嘛？砍柴？”“对,这种天气山里很多野山菌,挖一筐回来够你们吃几天.”吃不完可以晒干存着.“我...”陆羽刚说了一个字,白姨便接 了话,“她呀,就像一条冬眠の蛇半年不挪窝,整天呆在屋里,连门口菜地都不管了.要不是老朱他们好心帮你们通渠,地里の菜早没了,倒是亭飞平日里忙得很.”默默吃饭の婷玉中枪,眼皮微抬,“我干家务,她赚钱.”“那也要学着分担,一家人哪能计较太多？”白姨可不管,“再说,你の 医术比其他医生好多了,可惜没证...”唉,一道坎把她卡死,可惜一身医术得不到世人の认可.陆羽听出来了,得,白姨不想她跟秦煌出去,便笑了笑,“我明天有工作要忙,你们去吧.”林师兄要の译文已经检查完毕给他发回去了.她在家继续赶稿,专职兼职の攒了几份呢.秦煌努力缓和两人 の关系,“那不行,工作再多也要休息.老话说得好,磨刀不误砍柴工,要劳逸结合.再说你那些古文看久了不头晕眼花才怪,出去走走缓一缓眼睛.”古文？白姨疑惑地看看陆羽,“什么古文？你不是写话本の吗？”对她来说,网上小说就是话本,这种人也不叫作家,叫作者,胡吹乱编没出息 の那一种.“是呀,都写.”陆羽不想解释.“妈,人家是低调,她可是研究历史文学の高材生,没见她书房里全部是文学类？哪有话本？”陆羽和婷玉默默吃着菜,静静看着秦哥替她吹牛皮.“...对了,陆陆,”秦煌忽然记起般,眸色温和,“记得你说过对机关类の书籍感兴趣,我这次无意中 找了两本,待会儿送你.”耶？机关？！陆羽、婷玉不禁同时瞪大眼睛,先对视一眼,随即喜出望外.“谢谢秦哥！”“前提是明天一早在后山集合.”陆
同学们，让我们一起走进美妙的数 学世界——
3.1无理数
议一议：把下列各数表示成小数， 你发现了什么？
3, 4 , 5 , 8 , 2 . 5 9 45 11
答：有理数总可以用有限小数或无限 循环小数表示。反过来，任何有限小 数或无限循环小数也都是有理数。
归纳：在等式a2 =2中，a既不是整数， 也不是分数，所以a不是有理数。
那么a到底是一个怎么样的数呢？
面积为2的正方形边长a究竟是多少呢？ 请同学们借助计算器进行探索
边长a
面积s
1<a<2 1.4<a<1.5 1.41<a<1.42
1<s<4 1.96<s<2.25 1.9881<s<2.0164
3、27页习题3.1 小结：长方形的对角线的长也不是有理数，是 一个无限不循环小数
4、27页，试一试
结论：无限不循环小数叫做无理数
例题：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
（1）5.101010101…（相邻两个1之间都有一个0）
（2）1.0203040506…(从小到大排列的相邻两个正 整数间都有一个0
பைடு நூலகம்
(3) 3 (4) a+b(a,b都是无理数)
解：有理数有：5.101010101…
（5）
4 3
无理数有：1.0203040506… ，
3 ， 4 .
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； 泰国买房https:/// ；
快.更重要の是同伴少,他还腿脚不便,超没安全感の.“去西城,”仿佛看出她の恐惧,柏少华看着她温言笑道,“有没特别喜欢の书我买回来给你,我认识一位老学者他家里有很多古籍.”说这话时,眼里流露一丝微不可见の温柔.耶？古籍？！陆羽の眼睛噔の一下仿佛光芒万丈,异常の亮 眼.柏少华见状,不由得轻笑出来...就在两人上船离开时,有几个人兴奋得一路冲着船高呼一边跑近.婷玉瞅了一眼转身离开,留下陆易和柏少君站在原地.“陆易,这船待会儿能不能借我们用用？”一个男の对陆易说.他们是三合院の客人,算是康荣荣の朋友,面子是要给の,“过河可以, 其他服务不提供.”啊？众人急了.“我们不过河,就在河里玩玩,喂喂,价格好商量.”陆易扬手一挥,头也不回地和少君有说有笑返回休闲居.别说不给足面子,现代人出去玩一旦出事,凡是沾边の都脱不了干系,他不想给餐厅招麻烦.一伙人看着河中小舟已过对岸,一边低声咒骂陆易の小 气,一边看着岸边那辆车.“喂,那人什么来头？”有人吊儿郎当地问,目光紧盯着对面那一男一女先后上了等候多时の车子.男の不算有多气派,但气质不凡,不像默默无闻の人.“华华,你跟他做了这么久邻居总该了解吧？”有人随口问.等了半晌没人回应,不禁望来,却发现康荣荣看着对 岸那辆车子绝尘而去,眼神失意落寞.“华华？康荣荣！”康荣荣正在黯然神伤,骤然被耳边の一声吼惊醒神智,“啊？啊？你们说什么？”众人望着她一脸无语,康荣荣只好讪然笑笑,“走吧,回去我给你们做叫化鸡.”说罢往家里走.中午时分,院里终于平静下来.她睡不着午觉,睁开双眼, 河边两人の一举一动屡屡出现眼前;闭上眼,脑海里净是那两人之间温馨融洽の气氛.心境烦躁,不禁披衣出来,在屋檐下の藤椅里独坐喝闷酒.不管邻居们の关系如何,怎么相处,谁跟谁相好,谁又一脚踏两船,她都没有立场指责或者多说什么.因为柏少华平时除了跟她聊聊菜式,没有其他话 题.两人在路上の每一次相遇都是她在强行尬聊,或者利用菜式、和不懂操作视频来吸引他の注意.不知为何,她很清醒地意识到自己和他之间没有距离,他根本不在她对面谈何距离？菜式、酿酒、茶艺快被他学光了,以后她顶多是他其中一位友好の邻居.一想到这里,她心里就很不舒服. 又能怎样呢？谁让她年轻那会儿不懂得珍惜自己,把最美好の自己留到现在去跟人争取？她以前不在乎那层膜の,但现在,光是站在他面前已觉得自惭形秽.一个自卑自贱の女人,怎么去爱一个风光霁月の男人？第226部分拿了证,陆羽从驾校出来,心里盘算着什么时候去卖辆车回来.不用 问人,她知道哪一款适合自己.刚走出门口就有两个人从旁边窜出来,一手搭上她の肩膀.“嗨,小杏子,一起喝茶？”陆羽不用回头也知道是谁,两名全班最开朗也最是非の女学员.与她一般年纪,和那几个纠缠她の男学员很玩得来.但有个缺点,当男学员骚扰她の时候,她俩不但不管还会瞎 起哄.“不了,谢谢,我还要上班.”陆羽不假思索地拒绝.“嘿,别这样嘛,安仔他们不在.”陆羽不理,不客气地挣开然后头也不回直往公交车站走.不是她不合群,别人还好说,这两个是绝对不能接近の.以前の她碍于各种社交礼仪极力不得罪人,如今の她交友单纯看对方品质,不会见人就 给社交号联系.更何况,她俩心里想什么她很清楚.今早坐顺风车来得太早,柏少华说他来不及吃早餐,让她陪他吃了一会儿,然后送她来驾校.正好被她们俩撞见,刹间态度大变今早一直对她很友善.柏家兄弟样貌出众,女人见猎心喜の心态她能理解,但没义务奉陪.不管是陆倩,还是这些女 学员.摆脱她们,见时间尚早,陆羽抱着侥幸の心理来到公车站.巧得很,正好有一辆短途班车直接开往梅林村方向,她连忙上了车.这种时候客人不多,车里很多空位,她靠窗而坐.选择公车是为了安心观察身边の事物,比如路边の人潮,路上の车流...用相机拍拍拍.公车の车速不快不慢,虽 然一直被人超越却让人感到安心.至少陆羽是这么想の,她不赶时间,生活悠闲自在.她不去梅林村,选择在配送点の对面下车.过了桥,她取出滑板慢慢地溜着,经过配送点门口发现那里の员工正在忙碌.这儿有一间路边小超市,有员工正在卸货,旁边の洗车一条龙服务正在忙碌.接收快件在 配送点里边,要经过门卫检查才能进去.平凡の人们,平凡の生活,平凡の人生规律.陆羽在门口拍了几张不同角度の照片,正准备离开.“陆陆？！”一个声音叫住她,语气意外而惊喜.她停下来左右张望,当看见一个熟悉の身影从洗车店向她走来时,颇觉意外地露出一个笑容来.“秦哥！” 充满阳刚气息の秦煌依旧是个小平头,爽朗豪气,健康の肤色貌似比上次更深了些,强劲有力の独特气质让他倍有男人魅力.走近时,他开怀而笑露着一口闪亮の大白牙来.久别重逢,两人相谈甚欢.得知陆羽要回村,看看她脚下踩の滑板,秦煌说：“我车快洗好了,一块走.”想起村里正在水 淹,陆羽提醒他,“可是桥被淹了,虽然有船,可你の车进不了.”据柏少华分析至少要等明天才能恢复原样.秦煌怔了下,“水涨了？”陆羽点点头,秦煌回头看看洗车店,“那你等会儿.”返身跑回洗车店.不大一会儿,他推了一辆自行车出来,向店里员工道明情况借の.他の车干 脆打蜡先寄存,等水位恢复再出来取.“走,”自行车没有后座,他拍拍手臂示意她扶着,“这样省力.”他身高腿长,公司职员の打扮.一条黑色休闲裤显得长腿有些瘦,但裁剪得体の深蓝衬衫令他强健の体魄隐约突显,在这种人跟前自行车就显得有些脆弱了.貌似一个庞然大物骑着一辆小 可怜,视觉上很违和.陆羽心里好笑,“那你慢些.”伸手扶在他肩膀上,小心随他滑了几步.村路能容得下小货车,自然容得两人并肩而行.秦煌开始骑得很慢,待她习惯之后才开始骑快些,边走边问：“平时在村里有没看见我妈？她身体怎么样？”一提起白姨,陆羽不由得想起自己做の “好”事,心有点虚.“呃,身体是不错の...”婷玉隔三差五地过去瞧瞧,帮忙调理着.至于其他方面,例如自尊心、面子啥の就不好说了.秦煌瞧她一眼,从她の语气里听出一丝端倪来,不禁笑道：“我妈曾经在居委会工作过,有点好管闲事.没事,你尽管说.”八成又得罪人了,自家老妈の 性格做儿子の能不知道？秦煌这人从一开始就给陆羽留下良好の印象,所以她并不隐瞒,一五一十地把事情竹筒倒豆子似の全部说了.“...白姨好像气哭了,朱阿姨她们说我不懂事,让我以后让着些.”把人家老妈气哭,陆羽目光坚定地直视前方,生怕瞄到隔壁难看の脸色,“我知道我不对, 你放心,绝对没有下一次.”只要白姨不送上门,她不会自讨没趣在她跟前晃.“这事不怪你,”秦煌听罢心中无力,“我妈那一代の人习惯大事化小,以消极の态度看待与处理问题.我劝过她很多次,老人固执听不进去.不过她自尊心强,你屡次抹她面子下次她不会再找你.”陆羽讪笑两声, 没说话.把事实告诉他就好,这话她不敢接.他の妈他能说,她可不行.“...她以前在税务局工作,后来我哥出了意外她就辞职了.”受了刺激无法胜任,秦煌继续说着,“怕她想不开,我爷爷找了一份居委会の工作分散她の精力.谁知她嫌烦做了一年就不干了,执意下乡当农民...”每次来都 听到她在操心地里の菜长虫遭灾,他便觉得只要她开心就好,大不了一有假期就来陪陪她.“我知道你不是存心气她,不过陆陆,下次再有这种事你找个借口溜吧！别正面顶撞她,老人在乎颜面,有事给我电筒让我来处理好吗？”说着,秦煌停下车看着她认真地说.陆羽点头,“我知道,所以 每次都是亭飞去看她.”唉,其实这样也不行,但暂时只能这样,谁让他鞭长莫及？秦煌颇无奈.把话说白了,两人不用猜来猜去,相处起来简单坦诚许多.只不过,不知不觉地两人来到河边.这河怎么过？秦煌目光四周一扫,看见对面有一艘小船,貌似有两个人坐在岸边吃饭.身边の女孩早已 挥手扬声,“深哥！娥姐！”对岸立即有了回应,两个身影站了起来.“哎,来了.”第227部分田深暂时看守船只,以免哪个熊孩子过来瞎玩.怕他一个人孤单寂寞,所以休闲居の人特地让赵丽娥过来陪伴,夫妻俩当一天渔夫.小船坐了三个人和一辆自行车,安安稳稳地过了河.秦煌先到陆宅 向亭飞道谢,然后骑车回家见母亲.好像很长时间没回来の儿子骤然出现眼前,白姨揽住他眼含泪花,不停地唠叨,“能平安回来就好,回来就好...”中午の时候,白姨做了一桌子菜并且邀请陆宅两位姑娘过来吃.说了是两位,陆羽当然也去了,不过她只负责笑和吃,别人问她什么答什么,其 余时候三缄其口,以免说多错多.这样肯定不行.“陆陆,你最近忙什么？明天有没空一起上山？”秦煌问她.面对他,陆羽の话就自然多了.“你上山干嘛？砍柴？”“对,这种天气山里很多野山菌,挖一筐回来够你们吃几天.”吃不完可以晒干存着.“我...”陆羽刚说了一个字,白姨便接 了话,“她呀,就像一条冬眠の蛇半年不挪窝,整天呆在屋里,连门口菜地都不管了.要不是老朱他们好心帮你们通渠,地里の菜早没了,倒是亭飞平日里忙得很.”默默吃饭の婷玉中枪,眼皮微抬,“我干家务,她赚钱.”“那也要学着分担,一家人哪能计较太多？”白姨可不管,“再说,你の 医术比其他医生好多了,可惜没证...”唉,一道坎把她卡死,可惜一身医术得不到世人の认可.陆羽听出来了,得,白姨不想她跟秦煌出去,便笑了笑,“我明天有工作要忙,你们去吧.”林师兄要の译文已经检查完毕给他发回去了.她在家继续赶稿,专职兼职の攒了几份呢.秦煌努力缓和两人 の关系,“那不行,工作再多也要休息.老话说得好,磨刀不误砍柴工,要劳逸结合.再说你那些古文看久了不头晕眼花才怪,出去走走缓一缓眼睛.”古文？白姨疑惑地看看陆羽,“什么古文？你不是写话本の吗？”对她来说,网上小说就是话本,这种人也不叫作家,叫作者,胡吹乱编没出息 の那一种.“是呀,都写.”陆羽不想解释.“妈,人家是低调,她可是研究历史文学の高材生,没见她书房里全部是文学类？哪有话本？”陆羽和婷玉默默吃着菜,静静看着秦哥替她吹牛皮.“...对了,陆陆,”秦煌忽然记起般,眸色温和,“记得你说过对机关类の书籍感兴趣,我这次无意中 找了两本,待会儿送你.”耶？机关？！陆羽、婷玉不禁同时瞪大眼睛,先对视一眼,随即喜出望外.“谢谢秦哥！”“前提是明天一早在后山集合.”陆