笔算开n次方的方法
笔算开方
笔算开立方的方法方法一1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；5．用同样方法继续进行下去。
方法二第1、2步同上。
第三步，商完后，落下余数和后面紧跟着的三位，如果后面没有就把余数后面添上三个0；第四步，将要试商的数代入式子“已商数×要试商数×（10×已商数+要试商数）×3 0+要商数的立方”，最接近但不超过第三步得到的数者，即为这一位要商的数。
然后重复第3、4步，直到除尽。
开方算法的历史记载九章算术《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤和现在的基本一样．所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步．问为方几何．”“答曰：二百三十五步．”这里所说的步是我国古代的长度单位。
开立方原文开立方〔立方适等，求其一面也。
〕术曰：置积为实。
借一算，步之，超二等。
〔言千之面十，言百万之面百。
〕议所得，以再乘所借一算为法，而除之。
〔再乘者，亦求为方幂。
以上议命而除之，则立方等也。
〕除已，三之为定法。
〔为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。
〕复除，折而下。
〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。
开平幂者，方百之面十；开立幂者，方千之面十。
据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，折下一等也。
〕以三乘所得数，置中行。
〔设三廉之定长。
〕复借一算，置下行。
〔欲以为隅方。
立方等未有定数，且置一算定其位。
〕步之，中超一，下超二等。
〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长，故又降一等也。
初中数学幂的运算技巧
初中数学幂的运算技巧嘿，小伙伴们，今天咱们来聊聊幂的运算技巧。
这可是个妙不可言的话题，特别是在初中数学里，搞懂了它，简直是如鱼得水，游刃有余。
说到幂，大家可能会想起那些看似复杂的公式，心里小小的不安其实是多余的。
咱们就像一把钥匙，轻松打开这个大门，看看里面的世界。
咱们得搞清楚什么是幂。
简单来说，幂就是一个数乘以自己几次，比如说2的3次方，听起来有点吓人，但其实就是2×2×2，乍一看是不是觉得这事儿不难？这就好比你去超市买零食，拿了三袋，每袋都是两块钱，最后算下来就是六块，容易吧！这里的幂就像是你拿的袋数，乘的次数。
咱们聊聊幂的运算规则，这些规则可真是咱们的好帮手，平时做题的时候就像有个小精灵在耳边提醒。
比如，两个相同底数的幂相乘，咱们只需把指数加起来，嘿，简单吧？就像咱们一起吃零食，你拿了两袋，我也拿了两袋，那一共就是四袋，没什么复杂的。
这就是幂的乘法规则。
再说说幂的除法，简单来说，就是底数相同，指数要相减。
你想想，如果我有四袋零食，朋友借走了两袋，那我还剩下两袋，大家都能明白吧！这也是个省心的操作，就像考试的时候，能省下不少时间。
记住这点，日后做题就像喝水一样顺畅。
对了，还有幂的零次方，听起来有点奇怪，但其实它也有自己的魅力。
任何数的零次方都等于一。
就像你上课的时候，老师问你问题，你一时半会答不上来，但一说零次方，大家都默契地给出答案，没错，就是一。
这小小的规则在考试的时候，往往能让你加分不少，真是意想不到的好帮手。
幂的负数就更有意思了，负数的幂其实就是把这个数变成分数，底数在分母，指数变正，比如说2的2次方，实际上就是1/(2的2次方)，也就是1/4。
就像生活中的逆转剧情，负数反而让事情变得清晰明了，简直让人刮目相看。
咱们说说一些日常生活中的应用。
你知道吗，幂运算在科技和计算中可大有用场，比如计算面积、体积，甚至在编程时，幂运算也是个重要的部分。
想象一下，如果你要计算一个立方体的体积，边长的立方就能让你算得出，挺酷的吧？这就好比用数学的魔法，把复杂的问题变简单。
算n次方的简便方法
算n次方的简便方法以算n次方的简便方法为标题，写一篇文章。
在日常生活和数学中，我们经常需要计算一个数的n次方。
对于小的n值，我们可以通过重复乘法来计算，但是对于大的n值，这种方法就显得非常耗时。
那么有没有一种简便的方法来计算n次方呢？答案是肯定的。
在计算n次方时，我们可以利用数学中的一些性质和技巧，使得计算更加简单快捷。
下面，我将介绍几种常用的简便方法。
1. 平方乘法法：这是一种最基本的方法，即通过不断地平方和乘法来计算n次方。
例如，要计算2的8次方，我们可以先计算2的4次方，然后再将结果平方得到2的8次方。
这种方法的优点是简单易懂，但对于大的n值来说，仍然不够高效。
2. 二进制法：这是一种更加高效的方法。
我们知道，任何一个正整数n都可以表示为若干个2的幂次之和。
例如，22可以表示为2^4 + 2^2 + 2^1。
那么，对于一个数a的n次方，我们可以利用二进制表示n，并根据二进制中1的位置来计算a的幂次。
具体做法是，将n转化为二进制表示，然后从高位到低位遍历二进制数，如果当前位为1，则将结果乘以a，然后将a平方。
例如，要计算2的22次方，我们可以将22转化为二进制，得到10110，然后从高位到低位遍历，第一位为1，则结果乘以2，第二位为0，则结果不变，第三位为1，则结果乘以4，第四位为1，则结果乘以16，最后得到2的22次方。
这种方法的优点是计算速度快，适用于大的n 值。
3. 分治法：这是一种将问题分解为更小问题来解决的方法。
对于一个数a的n次方，我们可以将n分解为n/2和n-n/2两部分，然后分别计算a的n/2次方和a的n-n/2次方，最后将两部分的结果相乘即可得到a的n次方。
这种方法的优点是适用于任意的n值，并且可以通过递归来实现。
例如，要计算2的22次方，我们可以先计算2的11次方，然后将结果平方得到2的22次方。
这种方法的缺点是递归的性能开销较大。
通过以上几种简便方法，我们可以更加高效地计算一个数的n次方。
笔算开立方
笔算开方的方法和口算开方的方法作者：Goube笔算开方很容易，先把被开方数自小数点左右分为每两个数一个区，如 1049.76（以下都以这个数为例）可分为10‘49.76，然后从高位区开始算，过程有点象除法竖式，下面就是正文：从高位区开始，10开方的整数是3，这整数3便是结果的最高位数字，余数1（10-3*3）和下一区和在一起便是149，用20(专用数字，从第二区开始一直用到完）去乘前面已开方结果3，便市60（20*3），记住，这个数的个位数不是固定的，它可是必须与除得的商相同且须尽量大，继实例部分，第二步用149除以60（60不是真正的除数，因为它的个位数是所得的商），这样可得出商的约数，如以上除的整数部分是2，那么须把60+2为62作为除数，得商2与除数62的个位数相同，因此商2便是结果的第二位数（既为32），余数为25（149-62*2），被开方数的整数区用完了便在结果32后加“.”既以后的算出来的结果为小数部分，剩下的都与第二部分相同下面与你们共同来完成它吧：把余数25和下一区放在一起为2576，试用除数为20*32=640，则商为4，4+640为644，2576除以644刚好为4（4恰为除数644的个位数）没余数，则4为结果的最后一位了，既结果为32.4。
这结果可是精确的数哦，如果后面还除不尽的话，就在被开方数的小数部分后加00……还是每两数为一区，用以上的方法一直精确下去，结果可是与计算器算出来一样哦。
口算开方先以13为例，第一，我们要知道哪两个数的平方介于13之间，这两个数为3和4。
第二，算出3和4的平方，3为9，4为16。
第三，用13减去9得4，16减9得7。
第四，将第三步中的差值相除，用4除以7得0.571428571。
最后3加上这个商即为结果3.571428571。
而用计算机得的结果为3.605551275，误差为0.03。
再以1998为例，用此方法得出的结果为44.696629213，计算机结果为44.69899328，误差为0.002。
怎么开根号
怎么开根号
根号是一个数学符号。
根号是用来表示对一个数或一个代数式进行开方运算的符号。
若aⁿ=b，那么a是b开n次方的n次方根或a是b的1/n次方。
开n次方手写体和印刷体用表示，被开方的数或代数式写在符号左方√￣的右边和符号上方一横部分的下方共同包围的区域中，而且不能出界。
开根号的计算方法
1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开分成几段，表示所求平方根是几位数。
2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。
3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。
4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。
5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试。
6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。
笔算n次方根和笔算正余切值方法
徒手开n次方根的方法:原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:我们求2301781.9823406 的5次方根:第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;23'01781.98234'06000'00000'00000'..........从高位段向低位段逐段做如下工作:初值a=0,差c=23(最高段)第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1差c=23-b^5=22,与下一段合成,c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234第4步:a=18,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,b取最大值7说明:这里可使用近似公式估算b的值:当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值差c=1508808527;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000第5步:a=187,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=2833590858436800000第6步:a=1872,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000 .............................最后结果为:18.724....../question/8563091.html论三角函数的笔解方法三角数学发展到今天，已经达到相当完美的程度，但它却并不完善，是因为在解题时须通过查表或计算器才能完成，试想，在生活中，我们随时随地都有可能去计算一个数据，但我们不可能随时随地都带着函数表或计算器，没了它们怎么办呢？这人问题不容忽视，它的解决在三角数学领域里应该占有举足轻重的地位。
笔算开n次方的方法
笔算开n次方的方法：1、把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一段，把开方的小数部分从小数点第一位起向由每隔n位为一段，用撇号分开；2、根据左边第一段里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a；3、从第一段的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数；4、把n(10a)^(n-1)去除第一个余数，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）；5、设试商为b。
如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果(10a+b)^n-(10a)^n 大于余数，就把试商逐次减1再试，直到(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数为止。
6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a要取为全部k位数字）。
例如计算987654321987654321的五次算术根，就算到小数点后四位。
3 9 7 1. 1 9 2 95√987'65432'19876'54321.00000'00000'00000'00000243________________________________________________744 65432......................................74465432/(5×30^4)整数部分是18，用9作试商659 24199......................................39^5-30^5_____________________________________________85 41233 19876................................854123319876/(5×390^4)的整数部分是7，用7作试商83 92970 61757................................397^5-390^5____________________________________________1 48262 58119 54321..........................1482625811954321/(5×3970^4)的整数部分是1，用1作试商1 24265 57094 08851..........................3971^5-3970^5___________________________________________23997 01025 45470 00000....................23997010254547000000/(5×39710^4)的整数部分是1，用1作试商12433 44352 06091 99551....................39711^5-39710^5_________________________________________11563 56673 39378 00449 00000..............1156356673393780044900000/(5×397110^4)的整数部分是9，用9作试商11191 17001 57043 20516 21599..............397119^5-397110^5_________________________________________372 39671 82334 79932 78401 00000........3723967182334799327840100000/(5×3971190^4)的整数部分是2，用2作试商248 70419 01386 56554 83574 43232........3971192^5-3971190^5_______________________________________123 69252 80948 23377 94826 56768 00000..123692528094823377948265676800000/(5×39711920^4)的整数部分是9，用9作试商111 91704 90192 14028 71518 74119 30649..39711929^5-39711920^5_______________________________________11 77547 90756 09349 23307 82648 69351这样就得到987654321987654321的五次算术根精确到小数点前四位为3971.1929。
笔算开立方和N次方
今年在某次物理竞赛中忘了带计算器，需要计算开立方。
当时不知道怎么笔算，所以只好一位一位地试。
因此，我便想研究出一种开立方的笔算方法（我知道现在有，但是苦于找不到，所以只好自己来了）。
在刚开始研究是我不知道该如何入手，所以就去找了初二时候的代数书，里面有开平方笔算法和推导过程。
它是这么写的：在这里，我“定义”a^b=a的b次方。
(10a+b)^2 = 100a^2+20ab+b^2 = 100a^2+b(20a+b)a代表的是已经计算出来的结果，b代表的是当前需要计算的位上的数。
在每次计算过程中，100a^2都被减掉，剩下b(20a+b)。
然后需要做的就是找到最大的整数b'使b'(20a+b')<=b(20a+b)。
因此，我就照着书里的方法，推导开立方笔算法。
(10a+b)^3 = 1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3 = 1000a^3+b[300a^2+b(30a%2笔算开立方一天，我遇到了一道需要用到310的近似值的物理题。
我没带计算器或《中学数学用表》，只好逐个计算一些数的立方，并与10比较，好不容易才把小数点后第二位数字确定下来。
这促使我寻求笔算开立方的方法。
笔算开平方的方法我是掌握的。
我想笔算开立方的方法应该与它有些关联，不妨先把笔算开平方的主要步骤回忆一下：1．将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组；2．根据最左边一组，求得平方根的最高位数；3．用第一组数减去平方根最高位数的平方，在其差右边写上第二组数；4．用求得的最高位数的20倍试除上述余数，得出试商。
再用最高位数的20倍与试商的和乘以试商，若所得的积不大于余数，试商就是平方根的第二位数，若大于，就减小试商再试。
5．用同样方法继续进行下去。
类似地，若要写出笔算开立方的法则，显然第1步中的“两”应改为“三”，第2、3步中的“平”应改为“立”，而第5步不变化。
关键是第4步如何进行。
笔算开方的一般方法
对正数A笔算开n次方第一步，从A的末位开始，n位归一节，直到最左侧不足或恰好为n位；（如对123456789开立方，则分段位123 456 789）（设M为通过该方法，成功取得的前若干位结果，k为即将取得的下一位数值。
）第二步，对最左端试开n次方（试开n次方是指，寻找正整数k，使得n k≤B且()1+k n>B,这里B是要试开的数），结果设为a，则a为当前M。
然后将n a写到A最左侧那段并右对齐，求差，设为b。
第三步，将A的后面n个数接到b后面，记为B。
对下一位k，当且仅当[a n1-*M n1-+a n2-*M n2-*k +。
+a1*M*k n2-+a0*k n1-] *k≤B且[ a n1-*M n1-+a n2-*M n2-*()1+k+。
+a1*M* ()12+-k n+a0*()11+-k n]*(k+1)>B时，k为所求。
（这里，{}an为杨辉三角的第n层，a n1-=c n n1-*101-n，。
a1=c n1*101，a0=c n0第四步，将步骤三所求得的k接在M后，形成新的M，然后按照步骤三继续求下一个k，知道最右段用完。
第五步，在没有数字的（小数点后面）添上n个0，形成B，继续步骤三，知道需要的精确度。
对于有小数的数A，在第五步中，用后面的小数代替n个0，继续求下一个k。
______by仰星不颦下面是用该方法求123456789开立方，即n=3时的过程4 9 73123456789（3位归段,123试开立方得4，则4为当前M）64 （参见第二步，64为a的n次方）300*42+30*4*9+9259 456 （把后面3位接到差59后，试开数k=9）53 649 （300*42+30*4*9+92）*9的值300*492+30*49*7+72 5 807 789 （试开数k=7）5 114 473 （300*492+30*49*7+72）*7的值693 316 000 （后补0，下面重复步骤三）。
笔算开方方法
笔算开方方法
笔算开n 次方并不难，这里的n 可以是一切不为0的实数，如果开不尽就保留X 位小数。
还有时候，n 为0.5（就是平方）甚至更小。
若n 为有理数，就由下面的公式导出来。
p q n y y y q p
==
也可以先算开方后算乘方。
按公式，先是将n 转换成分数q 分之p 然后计算。
如果n 为负数就可以用下面的公式计算。
n n y y --=1
即y 的倒数开负n 次方（负负得正）
接着就是笔算开正整数次方了。
1. 先按n 位分一节（从小数点起）
2. 求最高一节的最大n 次方所得的一位数。
3. 落下下面一节后，然后设a 为以“商”数，b 为试商数，做得除数。
∑=---n r r r n b a r n r n 1)1()())!
(!!(
上面是求除数公式，还可以根据需要用乘法分配律简化。
4. 检验除数，使下面的式子成立，若不成立重新更改b 的值。
（c 等于已落下数）
c b a r n r n c b a
r n r n r n r r n n r r r n >+-≤-∑∑=-=-)1())!
(!!(
))!(!!(1)(1
)( 5. 在竖式顶端对应的节里写上b 的值，并用除数乘以b 与c 求差，若差大于0就重复
3至5步。
6. 竖式顶端的值就是这个的结果。
很简单的。
笔算开平方、开立方、甚至开nn;1次方根的探讨.doc
笔算开平方、开立方、甚至开n (n>1) 次方根的探讨我们可以用竖式进行除法计算，同样也可以用竖式进行开平方、开立方、甚至开n (n>1)次方的计算。
1、 笔算开平方的具体步骤：（附例说明）例1、计算41.524第一步：从小数点起两位、两位向左、向右分节，试找平方根的首位（首位尽可能大，并且平方后与被开方数第一节作差非负）。
第二步：顺次下移被开方数的后继两位数，找平方根的第二位数字（平方根第一位乘以20加上要商数字的和作为除数）。
第三步：再下移被开方数的后继两位数字，不足补零相应地给平方根点上小数点，试找平方根的第三位数字（平方根前两位数乘以20加上要商数字的和作新除数）。
2 2 2 2 2. 941.425'' 41.425'' 41.425''4 4 41 42 1 2 4 42 12 484 844041 449 40414041（1） （2） （3）这样做到最后刚好整除，便结束运算。
否则可继续做下去，到要精确的数位。
2、笔算开平方的理论证明ba b ab a b ab a b a +=++∴++=+102010020100)10(22222 )0,0(>>b a用竖式演算： a 10 + b2220100b ab a ++2100ab a +20 222020b ab b ab ++由于a 可以取大于10的整数，故找到平方根的第一位数字后，可类似地次找到其它数位上的数。
3、笔算开立方的理论证明b a b ab b a a b ab b a a b a +=+++∴+++=+10303001000303001000)10(3322332233用竖式演算：b a +103332231000a303001000b ab b a a +++ 2230300b ab a ++ 3223223030030300b ab b a b ab b a ++++4、笔算开立方的具体步骤：（附例说明）例2、计算3584.40707第一步：从小数点起向左、向右三位、三位分节，试找立方根的第一位（要求立方根的第一位尽可能大，并且立方后与被开方数第一节作差非负）。
笔算n次方根和笔算正余切值方法
笔算n次方根和笔算正余切值方法徒手开n次方根的方法:原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:我们求2301781.9823406 的5次方根:第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;23'01781.98234'06000'00000'00000'..........从高位段向低位段逐段做如下工作:初值a=0,差c=23(最高段)第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1差c=23-b^5=22,与下一段合成,c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234第4步:a=18,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,b取最大值7说明:这里可使用近似公式估算b的值:当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即: b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值差c=1508808527;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000第5步:a=187,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=2833590858436800000第6步:a=1872,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000 .............................最后结果为:18.724....../doc/5d60660203d8ce2f006623ec.html/question/8563091.html论三角函数的笔解方法三角数学发展到今天，已经达到相当完美的程度，但它却并不完善，是因为在解题时须通过查表或计算器才能完成，试想，在生活中，我们随时随地都有可能去计算一个数据，但我们不可能随时随地都带着函数表或计算器，没了它们怎么办呢？这人问题不容忽视，它的解决在三角数学领域里应该占有举足轻重的地位。
幂的快速计算方法
幂的快速计算方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊幂的快速计算方法，这可真是个超有用的本事呢！咱先从简单的例子说起哈。
比如 2 的 3 次方，那就是 2×2×2，等于8 呗。
可要是数字大一点，次方数高一点，那靠这样一个一个乘可得费老劲了。
咱可以找规律呀！就像玩游戏找通关秘籍一样。
比如说，2 的 4 次方，不就是 2 的 3 次方再乘个 2 嘛，那就是 8×2 等于 16 呀。
这就有点门道了吧！再比如 10 的几次方，这就更好玩啦。
10 的 2 次方就是 100，10 的3 次方就是 1000，你瞧，多简单明了！那 10 的4 次方不就是在 1000后面加个 0 嘛，这不是手到擒来嘛！还有哦，同底数幂相乘，底数不变指数相加，这可是个大宝贝呀！就像搭积木一样，把小的凑成大的。
比如说 2 的 3 次方乘 2 的 4 次方，那不就是 2 的 7 次方嘛。
那要是遇到除法呢？嘿，也有招！同底数幂相除，底数不变指数相减。
这就像分糖果一样，按比例来分。
咱再说说负数次方。
哎呀呀，这可别被吓到啦！负数次方就相当于求倒数的正数次方。
比如说 2 的负 3 次方，不就是 1 除以 2 的 3 次方嘛，算起来也不难呀。
想象一下，要是你掌握了这些方法，那算幂的时候不就跟玩儿似的，唰唰几下就出来了，多牛啊！其实呀，数学里好多东西就跟生活中的小窍门一样，找到了就特别好使。
幂的计算方法也是，一旦你掌握了，那在数学的世界里就能畅游啦！所以啊，大家可别小瞧了这幂的快速计算方法，它能让你的数学之路走得更顺畅呢！别再死记硬背啦，多找找规律，多玩玩这些数字游戏，你会发现数学的乐趣无穷大呀！就这么去试试吧，相信你会有大收获的！加油哦！。
简便的计算次方的方法
简便的计算次方的方法计算次方是数学中常见的操作之一，用于求一个数的某个整数次方。
在实际应用中，有些次方的计算较为复杂，需要进行多次乘法运算，耗费时间和精力。
但是，有一些简便的方法可以帮助我们快速地计算次方，本文将介绍其中两种常见的方法。
一、连乘法连乘法是最基本的计算次方的方法之一，适用于较小的次方数。
具体步骤如下：1. 选择一个基准数（底数），通常选择要进行次方运算的数。
2. 根据指数数值，重复进行乘法运算，将基准数连续乘以自身，乘法次数为指数减1。
以计算2的4次方为例：2^4 = 2 * 2 * 2 * 2 = 16当指数较大时，连乘法的计算过程较为繁琐，容易出错。
因此，我们可以借助快速幂算法来简化计算。
二、快速幂算法快速幂算法是一种更高效的计算次方的方法，适用于大数的次方运算。
它基于以下观察：任何偶数次方均可以利用前一次的结果求得。
具体步骤如下：1. 选择一个基准数（底数），通常选择要进行次方运算的数。
2. 将指数数值转换为二进制表示。
3. 从二进制转换后的数值中选择最低位（最右边的一位），如果为1，则进行乘法运算，将基准数与结果相乘，若为0则直接取下一位，并将基准数平方。
4. 不断重复步骤3，直到二进制数值处理完毕。
以计算2的10次方为例：2^10 = 2^(1010) = 2^(1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0)根据快速幂算法，我们来逐步计算：初始：结果 = 1，基准数 = 2第1步：结果 = 2 * 2 = 4，基准数 = 4第2步：结果 = 4 * 4 = 16，基准数 = 16第3步：结果 = 16 * 16 = 256，基准数 = 256通过快速幂算法，我们可以快速计算出较大数的次方结果，提高了计算效率。
综上所述，连乘法和快速幂算法是两种常见的简便计算次方的方法。
连乘法适用于次方较小的情况，而快速幂算法适用于次方较大的情况。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法，以提高计算效率。
笔算开n次方的方法
笔算开n次方笔算开n次方的方法：1、把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一段，把开方的小数部分从小数点第一位起向右每隔n位为一段，用撇号分开；2、根据左边第一段里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a；3、从第一段的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数；4、把n(10a)^(n-1)去除第一个余数，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）；5、设试商为b。
如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果(10a+b)^n-(10a)^n大于余数，就把试商逐次减1再试，直到(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数为止。
6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a要取为全部k位数字）。
例如计算987654321987654321的五次算术根，就算到小数点后四位。
3 9 7 1. 1 9 2 95√987'65432'19876'54321.00000'00000'00000'00000243________________________________________________744 65432......................................74465432/(5×30^4)整数部分是18，用9作试商 659 24199......................................39^5-30^5_____________________________________________85 4123319876................................854123319876/(5×390^4)的整数部分是7，用7作试商83 9297061757................................397^5-390^5____________________________________________1 482625811954321..........................1482625811954321/(5×3970^4)的整数部分是1，用1作试商1 242655709408851..........................3971^5-3970^5___________________________________________23997010254547000000....................23997010254547000000/(5×39710^4)的整数部分是1，用1作试商12433443520609199551....................39711^5-39710^5_________________________________________1156356673393780044900000..............1156356673393780044900000/(5×397110^4)的整数部分是9，用9作试商1119117001570432051621599..............397119^5-397110^5_________________________________________372 3967182334799327840100000........3723967182334799327840100000/(5×3971190^4)的整数部分是2，用2作试商248 7041901386565548357443232........3971192^5-3971190^5_______________________________________123 692528094823377948265676800000..123692528094823377948265676800000/(5×39711920^4)的整数部分是9，用9作试商111 917049019214028715187411930649..39711929^5-39711920^5_______________________________________11 775479075609349233078264869351这样就得到987654321987654321的五次算术根精确到小数点前四位为3971.1929。
开n次方根的直式计算与原理
補充教材開n 次方根的直式計算與原理范志軒 編輯壹、二次方根在10進位的數字中，若要建構開次方根號的直式計算，得要先觀察數字在次方運算下的進位規律，譬如以二次方為例：一位數字x ：010x <<20100x ⇒<<二位數字x ：10100x ≤<210010000x ⇒≤<三位數字x ：1001000x ≤<2100001000000x ⇒≤< ………n 位數字x ：11010n n x -≤<2(1)221010n n x -⇒≤<上述的規律顯示：2n 或21n -位數字的平方根為n 位數字，因此若要反向求出二次方根，例如622521 的平方根，可以先觀察到此數為6位數，所以平方根為3位數。
其次，若已知622521 的平方根為3位數，如何決定其值？二次方根直式計算法(1) 首先，由小數點位置開始向左或向右每二位數標上一撇，由左至右，分成第一小節，第二小節，……，以622521為例，共可分成三小節，而每一小節恰可計算出平方根的一位數字(2) 由第一小節開始，估算出正整數a ，使得2a 最接近此節的數字將第一小節的數減去2a ，連同次一小節的數字下降至下一列(3) 令110a a =，估算求出正整數b ，使得()12a b +乘以b 最接近此列上的數 用此列上的數減去()12a b +乘以b ，再連同次一小節的數字下降至下一列62'25'2149 13252a =7a =取749 1325118414121777148b =取88()12a b +=()1=2a b b+⨯8110a a =(4) 令()21010a b a ⨯+=，估算求出正整數c ，使得()22a c +乘以c 最接近此列上的數用此列上的數減去()22a c +乘以c ，再連同次一小節上的數字降下至下一列(5) 若此時降下的數字為0，則開二次根號結束，平方根為10010a b c ++否則令()31010010a b c a ⨯++=，繼續上述步驟，直到降下的數字為0或算出所要求的位數為止計算二次方根的原理 x a β=+()()2222x a a a βββ=+=++ ⇒ ()222x a a ββ-=+ 令b βγ=+，代入上式()()222x a a b b γγ-=+++()()222a b b a b γγ=++++⇒()()22222x a a b b a b γγ--+=++令c γω=+，代入上式()()()22222x a a b b a b c c ωω--+=++++()()22222a b c c a b c ωω=++++++()()()22222222x a a b b a b c c a b c ωω--+-++=+++…………重複上述步驟，直到算出所要求的位數為止 由原理對直式運算作檢驗例如對622521的平方根運算進行觀察622521()2700β=+…………觀察兩側數字，估算得700a =()26225217002700ββ⇒-=⨯+令80βγ=+，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得80b = ()()262252170027008080γγ⇒-=⨯+++()()2622521700270080802700280γγ⇒--⨯+=⨯+⨯+令9γ=，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得9c = ()()262252170027008080270028099⇒--⨯+=⨯+⨯+()()262252170027008080270028099⇒--⨯+-⨯+⨯+ 622521490000118400141210=---=49 13251184141211412107771488()22a c +=8915699()2=2a c c +⨯9c =取()21010a b a ⨯+=故62251的平方根為70070080700809789βγ+=++=++=貳、三次方根開三次方根的直式運算若是仿照求二次方根的原理與步驟，考慮三次方根的求法，可得以下直式求法：(1) 首先，由小數點位置開始向左或向右每三位數標上一撇，由左至右，分成第一小節，第二小節，……，而每一小節恰可計算出立方根的一位數字 (2) 由第一小節開始，估算出正整數a ，使得3a 最接近此節的數字並將第一小節的數減去2a ，連同次一小節的數字下降至下一列(3) 令110a a =，估算求出正整數b ，使得()221133a a b b ++乘以b 最接近此列上的數並用此列上的數減去()221133a a b b ++乘以b ，再連同次一小節的數字下降至下一列(4) 令()21010a b a ⨯+=，估算求出正整數c ，使得()222233a a c c ++乘以c 最接近此列上的數，並用此列上的數減去()222233a a c c ++乘以c ，再連同次一小節上的數字降下至下一列(5) 若此時降下的數字為0，則開三次根號結束，立方根為10010a b c ++否則令()31010010a b c a ⨯++=，繼續上述步驟，直到降下的數字為0或算出所要求的位數為止例如對491169069開立方根，其直式運算如下：計算三次方根的原理x a β=+()()3332233x a a a a ββββ=+=+++ ⇒ ()332233x a a a βββ-=++令b βγ=+，代入上式()()()()233233x a a a b b b γγγ-=+++++()()()()22223333a ab b b a b a b γγγ=+++++++⇒()()()()2332223333x a a ab b b a b a b γγγ--++=++++ 令c γω=+，代入上式343 14816913155216617069166170697897a =取3a =8b =取9c =取110a a =()221133a a b b b ++=()222233a a c c c ++=()21010a b a ⨯+=()()()()()()()2233223333x a a ab b b a b a b c c c ωωω--++=+++++++()()()()()()22223333a b a b c c c a b c a b c ωωω=+++++++++++()()()22222222x a a b b a b c c a b c ωω--+-++=+++()()()()()()()22332222333333x a a ab b b a b a b c c c a b c a b c ωωω⇒--++-++++=++++++…………重複上述步驟，直到算出所要求的位數為止 由原理對直式運算作檢驗例如對491169069的立方根運算進行觀察491169069()3700β=+…………觀察兩側數字，估算得700a =()32249116906970037003700βββ⇒-=⨯+⨯⨯+令80βγ=+，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得80b =()()()()23249116906970037003700808080γγγ⇒-=⨯+⨯⨯++++()()322224911690697003700370080808037803780γγγ⇒--⨯+⨯⨯+=⨯+⨯⨯+令9γ=，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得9c =()()322224911690697003700370080808037803780999⇒--⨯+⨯⨯+=⨯+⨯⨯+ ()()322224911690697003700370080808037803780999⇒--⨯+⨯⨯+-⨯+⨯⨯+ 491169069343000000131552000166170690=---=故491169069的立方根為70070080700809789βγ+=++=++=參、n 次方根很明顯的，由前文中平方根與立方根的求法不難發現，此方法可推廣至n 次方根，只要利用二項式定理將()nn x a b =+展開，首項n a 移至等號左側，而右側則提出b ，此時令b c d =+並且估算c 的值使得等號兩側數字最接近，將c 代入後乘開，再重複上述步驟直到求出所需要的位數即可，方法雖然有規律性變化，但是從實際的計算中可以發現，在估算最接近數字時，計算過程異常龐大，在進行三次或三次以上方根的計算時，若無計算機協助，以人工進行直式運算顯然不切實際，甚至不如採用十分逼近法恰當，然而在求次方根的過程中，同學仍可觀察到規律變化的優美性質，若是具有程式設計能力的同學，可嘗試設計開n 次方根的演算法，這會是一個不錯的練習。
怎样笔算开方？——开方心得【范本模板】
怎样笔算开方?——开方心得怎样笔算开方？在没有计算器也没有任何资料的情况下，需要笔算开方怎么算呢？下面就简单地介绍一下:第一步：先分节.把被开方数分节,从小数点向两边分,每两位数一节。
（从个位起向左每隔两位为一节，若带有小数，,从小数点起向右每隔两位一节)用“,”号将各节分开；如625分节为6’25，5625分节为56'25,11278分为1’12'78，等等，一个数可分为几节，开方后就有几位。
由于有小数点与无小数点的笔算方法是一样的，所以下面就以整数开方为例来说明.第二步：在被开方数的上方画一个根号，就开始算了,比如9'61这个数,上面打上根号,先看第一节9，3×3=9所以在根号上与9对齐的位置“商”3，3×3=9把9写在下面减去,就像除法那样在961下面减。
减完后还余下61,为了明白这里的原理,你可以借助于图形去理解，你画一个正方形，边长是两位数，十位是3，个位暂时还不知道，3×3=9 减去就是在左下角挖去一个900的正方形，还余下61就是挖去后剩下的像“7”字形的面积.也可以看作是由两个全等的长方形与一个小正方形组成的.再不明白你就想一想(30+？)的平方展开式中的后两项。
第三步：把“商”3乘以20，3×20=60考虑(60+？）×？=61 61×1=61 好了,在根号上方与第二节对齐处写1, 61×1=61 从下面减去得0，这样就完了,961开方是31.那么,这一步的原理又是什么呢?你再观看图形,注意左下角挖去一个900的正方形后还剩下的像“7"字形的面积,把它掰直成”1”字形的长方形,再看这个长方形的长是(2×30+？)，也就是(3×20+？),宽是？,它的面积是61,那么不就是考虑（60+?)×？=61吗。
再以625开方来练习一下,先分节为6'25，打上根号，先看第一节6，由于3平方不够，只能在第一节上面“商"2,2平方是4，像做除法那样在下面减4,余下225，2×20=40。
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笔算开n次方
笔算开n次方的方法：
1、把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一段，把开方的小数部分从小数点第一位起向右每隔n位为一段，用撇号分开；
2、根据左边第一段里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a；
3、从第一段的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数；
4、把n(10a)^(n-1)去除第一个余数，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）；
5、设试商为b。
如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果(10a+b)^n-(10a)^n大于余数，就把试商逐次减1再试，直到(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数为止。
6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a要取为全部k位数字）。
例如计算987654321987654321的五次算术根，就算到小数点后四位。
3 9 7 1. 1 9 2 9
5√987'65432'19876'54321.00000'00000'00000'00000
243
________________________________________________
744 65432......................................74465432/(5×30^4)整数部分是18，用9作试商 659 24199......................................39^5-30^5
_____________________________________________
85 41233 19876................................854123319876/(5×390^4)的整数部分是7，用7作试商
83 92970 61757................................397^5-390^5
____________________________________________
1 4826
2 58119 54321..........................1482625811954321/(5×3970^4)的整数部分是1，用1作试商
1 24265 57094 08851..........................3971^5-3970^5
___________________________________________
23997 01025 45470 00000....................23997010254547000000/(5×39710^4)的整数部分是1，用1作试商
12433 44352 06091 99551....................39711^5-39710^5
_________________________________________
11563 56673 39378 00449 00000..............1156356673393780044900000/(5×397110^4)的整数部分是9，用9作试商
11191 17001 57043 20516 21599..............397119^5-397110^5
_________________________________________
372 39671 82334 79932 78401 00000........3723967182334799327840100000/(5×3971190^4)的整数部分是2，用2
作试商
248 70419 01386 56554 83574 43232........3971192^5-3971190^5
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123 69252 80948 23377 94826 56768 00000..123692528094823377948265676800000/(5×39711920^4)的整数部分是9，用9作试商
111 91704 90192 14028 71518 74119 30649..39711929^5-39711920^5
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11 77547 90756 09349 23307 82648 69351
这样就得到987654321987654321的五次算术根精确到小数点前四位为3971.1929。