人教A版数学必修二第三章第七课时导学案3.3.2两点间的距离

合集下载

人教A版高中数学必修2第三章直线与方程3.3 直线的交点坐标与距离公式课件(7)

|P1P2| x2y2.
精品PPT
【微思考】当A,B两点在坐标轴上时,利用两点间的距离公式求|AB|距离还适用吗? 提示:适用,因为两点间的距离公式适用于平面内任意两点.
精品PPT
【即时练】求下列两点间的距离. (1)A(-2,5),B(-2,-5). (2)A(3,4),B(2,-1). (3)A(0,0),B(3,4).
1 实数k的取值范围是 ( ) 2
A.－6k－2 C.－5k1
22
B.－1k0 6
D. k1 2
精品PPT
(2)过l1:3x-5y-10=0和l2:x+y+1=0的交点,且平行于l3:x+2y-5=0
的直线方程为
.
(3)求经过点(2,3)且经过l1:x+3y-4=0与l2:5x+2y+6=0的交点的直线方程.
精品PPT
【解析】(1)正确.若点A(a,b)在直线l:Ax+By+C=0上,则一定有Aa+Bb+C=0. (2)正确.交点在两条直线上,所以交点坐标同时满足两条直线的方程,故一定是这两条直线方程组成的二元一次方程组的解,这种说法正确. (3)错误.两点间距离公式对求任意两点间的距离都适用. 答案:(1)√ (2)√ (3)×
(2)结论:|P1P2|=__P _1_P 2 __ ___x _2 _ __x1 __2_ __y _2_ _y _1_2 ____.
(3)特例:点P(x,y)到原点O(0,0)的距离|OP|=__________.
x2 y2
精品PPT
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若点A(a,b)在直线l:Ax+By+C=0上,则点A的坐标一定适合直线l的方程. ( ) (2)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解. ( ) (3)当A,B两点的连线与坐标轴平行或垂直时,两点间的距离公式不适用. ( )

人教版数学必修二课件3.3.2两点间的距离(共34张PPT)

教学重难点
重点
➢两点间距离公式的应用。
难点
➢两点间距离公式的推导过程。
思考
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?总结得出两点间的距离公式。
（1）x1≠x2, y1=y2
y
P1
P2
o
x
| P1P2 || x2 x1 |
（2） x1 = x2, y1 ≠ y2
y
A(a,b)
B(-c,0) o
C(c,0) x
| AB | (a c)2 b2 ,| AC | (a c)2 b2 | AO | a2 b2 ,| OC | c. | AB |2 | AC |2 2(a2 b2 c2 ), | AO |2 | OC |2 a2 b2 c2 . | AB |2 | AC |2 2(| AO |2 | OC |2 )
| P1P2 | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
2、坐标法证明简单平面几何问题的步骤：第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关的代数运算；第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系。
随堂练习
1、求下列两点间的距离： (1)A(6，0),B(-2，0) (2)C(0，-4),D(0，-1）
习题答案
1. (1) | AB | 8; (2) | CD | 3; (3) | PQ | 2 10; (4) | MN | 13。
2. a=±8。
y
P2
P1
o
x
| P1P2 || y2 y1 |
（3）x1≠x2,y1≠y2
y P1(x1,y1)
Q (x2,y1)
P2(x2,y2)

高中数学 3.3.2点到直线的距离及两条平行直线间的距离练习新人教A版必修2-新人教A版高一必修2

3.3.2点到直线的距离及两条平行直线间的距离基础梳理1．点P0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0练习1：点P 0(0，5)到直线2x －y ＝02．平行直线Ax ＋By ＋n ＝0，Ax ＋By ＋m ＝0练习2：直线y ＝a 与直线y ＝b 的距离d ＝|b －a |．►思考应用1．点P(x ，y)到直线y ＝b 的距离为|b －y|，点P(x ，y)到直线x ＝a 的距离d ＝|a －x|．2．已知直线l 1：3x ＋y －3＝0，l 2：6x ＋2y ＋1＝0，l 1与l 2是否平行？若平行，求l 1与l 2间的距离．解析：l 1方程可化为6x ＋2y －6＝0，l 1∥l 2，由两平行线间的距离公式得d ＝|－6－1|36＋4＝71020. 自测自评1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为(D ) A ．1 B . 3 C ．2 D . 5解析：d ＝|－5|1＋22＝ 5.2．若点(2，k)到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是(D )A ．1B ．－3C ．1或53D ．－3或173解析：由点到直线的距离公式|10－12k ＋6|52＋122＝4，解得k ＝－3或k ＝173. 3．点P(－2，0)到直线y ＝3的距离为3．4．两条平行直线3x ＋4y －2＝0，3x ＋4y －12＝0之间的距离为2．解析：d ＝|－2＋12|32＋42＝105＝2. 基础达标1．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(D) A ．4 B.21313C.52613D.72613 解析：∵3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0平行，∴m ＝4.∴两平行线间的距离：d ＝|－3－12|32＋22＝7213＝72613. 2．两平行线y ＝kx ＋b 1与y ＝kx ＋b 2之间的距离是(B )A ．b 1－b 2 B.|b 1－b 2|1＋k2 C ．|b 1－b 2| D ．b 2－b 1解析：两直线方程可化为kx －y ＋b 1＝0，kx －y ＋b 2＝0. ∴d ＝|b 1－b 2|1＋k2. 3．过点(1，2)且与原点距离最大的直线方程是(A )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0解析：所求为过A (1，2)，且垂直OA 的直线，∴k ＝－12， ∴y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 4．点P (m －n ，－m )到直线x m ＋y n ＝1的距离等于(A )A.m 2＋n 2B.m 2－n 2C.n 2－m 2D.m 2±n 2解析：直线方程可化为nx ＋my －mn ＝0，故d ＝|（m －n ）n －m 2－mn |m 2＋n 2＝|mn －n 2－m 2－mn |m 2＋n2＝m 2＋n 2. 5．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为(D ) A ．2x ＋y ＝0B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0解析：根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，因为两直线间的距离等于55，所以d ＝|c －1|22＋12＝55，解得c ＝0，或c ＝2. 所以所求直线方程为2x ＋y ＝0，或2x ＋y ＋2＝0. 6．垂直于直线x －3y ＋1＝0且到原点的距离等于5的直线方程是________．解析：由题意，可设所求直线方程为3x ＋y ＋c ＝0，则|c |2＝5. ∴|c |＝10，即c ＝±10.答案：3x ＋y －10＝0或3x ＋y ＋10＝07．求点P (3，－2)到下列直线的距离：(1)y ＝34x ＋14； (2)y ＝6；(3)x ＝4.解析：(1)把方程y ＝34x ＋14写成3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式得 d ＝|3×3－4×（－2）＋1|32＋（－4）2＝185. (2)因为直线y ＝6平行于x 轴，所以d ＝|6－(－2)|＝8.(3)因为直线x ＝4平行于y 轴，所以d＝|4－3|＝1.巩固提升8．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(A)A．8 B．2 2C. 2 D．169．直线l在x轴上的截距为1，又有两点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则l的方程为________．解析：显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1；设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.∵点A，B到l的距离相等，∴|－2k＋1－k|k2＋1＝|4k－5－k|k2＋1.∴|1－3k|＝|3k－5|，∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0.综上，l的方程为x＝1，或x－y－1＝0.答案：x＝1，或x－y－1＝010．求与直线2x－y－1＝0平行，且和2x－y－1＝0的距离为2的直线方程．解析：解法一由已知可设所要求的直线方程为2x－y＋c＝0，则两条平行直线间的距离为d＝|c－（－1）| 22＋（－1）2，∴|c＋1|5＝2，∴|c＋1|＝2 5.∴c＝－1±25，所求直线方程为2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝0. 解法二设所要求的直线上任意一点P(x，y)，则P到直线2x－y－1＝0的距离为d＝|2x－y－1|22＋（－1）2，∴|2x－y－1|5＝2，∴2x－y－1＝±2 5.∴所要求的直线方程为2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝0.1．点到直线的距离公式是本节的重要公式，其用途十分广泛，在使用此公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．2．点到直线的距离的特殊形式：P(x0，y0)到直线y＝b的距离为|y0－b|，到直线x＝a 的距离为|x0－a|；若P(x0，y0)在直线上，公式也适用，此时d＝0.3．在求两平行线间距离时要注意首先将两直线方程中x，y的系数化为相同的．。

数学必修Ⅱ人教A版3.3.2《两点间的距离》精品教案

课题:两点间距离课型：新授课教学目标：知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，会用坐标法证明简单的几何问题。

过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题教学重点：两点间距离公式的推导教学难点：应用两点间距离公式证明几何问题。

教学过程：一、情境设置，导入新课课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题平面直角坐标系中两点间距离公式：()()22122221PP x x y y =-+-。

分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，直线12PN N 12与P 相交于点Q 。

在直角ABC 中，2221212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ，过点向y 轴作垂线，垂足为()220N y ，，于是有 2222221212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-，所以，2221212PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。

由此得到两点间的距离公式()()22122221PP x x y y =-+-在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。

二、例题分析例1．以知点A （-1，2），B （27 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。

解：设所求点P （x ，0），于是有()()()()2222102207x x ++-=-+-由 PA PB =得 2225411x x x x ++=-+解得 x=1。

所以，所求点P （1，0）且 ()()22110222PA =++-=通过例题，使学生对两点间距离公式理解。

应用。

设问：本题能否有其它解法同步练习：书本106页第1，2 题例2 .证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

高中数学3.3.2两点间的距离全册精品教案新人教A版必修2

由图象可知： | PA| + | PC| ≥ | AC′ |
当 P是 AC′与 l 的交点 P(11, 26) 时“ =”成立， 77
∴ P(11, 26) . 77
例 3 如图，一束光线经过 P (2 ， 1) 射到直线 l ： x + y + 1 = 0 ，反射后穿过点 Q (0 ， 2) 求：（ 1）入射光线所在直线的方程；（ 2）沿这条光线从 P 到 Q的长度 .
证明：如图所示，以顶点 A 为坐标原
第二步：进行有关代数运
点， AB边所在的直线为 x 轴，建立直算 .
角坐标系，有 A(0 ， 0).
第三步：把代数结果“翻
设 B ( a， 0) ， D( b， c) ，由平行四边译”成几何关系 .
形的性质的点 C的坐标为 ( a + b， c) ，
思考：同学们是否还有其
（三）教学方法
启发引导式
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习数轴上两点的距离公式 .
设问一：
复习引入
同学们能否用以前所学知识解决以下问题：
已知两点 P1 ( x1 ， y1) ， P2
设置情境导入新课
( x2， y2) 求| P1P2|
过 P1、 P2 分别向 x 轴和 y 轴作垂
在教学过程中，可以提出
因此
| PA | (1 2) 2 (0 2) 2 2 2
例 2 证明平行四边形四条边的平方
此题让学生讨论解决，再
和等于两条对角线的平方和 .
由学生归纳出解决上述问题的
分析：首先要建立直角坐标系，用坐
基本步骤：
标表示有关量，然后用代数进行运算，

(完整版)高中数学：3.3.2《两点间的距离》教学案(新人教版A版必修2)

§ 3.3.2两点间的距离【教学目标】1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.【重点难点】教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.【教学过程】一、导入新课、展示目标问题已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?二、检查预习、交流展示核对课前预习中的答案。

1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。

三、合作探究、精讲精练探究一平面内两点间的距离公式问题 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.教师①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).学生回答①|AB|=|x B-x A|,|CD|=|y C-y D|.②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.③图1在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|，所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-教师 ④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.变式训练1课本106页练习第一题例2 已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x ，0)，于是有2222)70()2()20()1(-+-=-++x x .由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22.点评：引导学生熟练设点及应用距离公式。

人教A版高中数学必修2教案第三章

_3.1直线的倾斜角与斜率3．1.1倾斜角与斜率[提出问题]在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1：直线l的位置能够确定吗？提示：不能．问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？提示：无数条．问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？提示：倾斜程度不同．[导入新知]1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l 的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.3．倾斜角与直线形状的关系[化解疑难]对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件：①x 轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x 轴的倾斜程度．(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.[提出问题]日常生活中，常用坡度(坡度＝升高量前进量)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度32＞22.问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以．问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？提示：可以．问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？提示：与倾斜角的正切值相等． [导入新知]1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α.2．斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时，直线P 1P 2没有斜率．3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．[化解疑难]1．倾斜角α与斜率k 的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x 轴(平行于y 轴或与y 轴重合)．(2)直线的斜率也反映了直线相对于x 轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．2．斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y 2－y 1，分母必须是x 2－x 1；反过来，如果分子是y 1－y 2，分母必须是x 1－x 2，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1x 2－x 1.(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．[例1] (1)若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．30°或150°D ．60°或120°(2)下列说法中，正确的是( )A ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0D ．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α[解析] (1)如图，直线l 有两种情况，故l 的倾斜角为60°或120°.(2)对于A ，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B ，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C ，当直线平行于x 轴时，α＝0°，sin α＝0，故C 不正确，故选D.[答案] (1)D (2)D [类题通法]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [活学活用]1．直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角范围是( ) A ．[0°，90°) B ．[90°，180°) C ．(90°，180°)D ．(0°，180°)解析：选C 直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角范围是(90°，180°)．2．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°解析：选D 当0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角是α＋45°.当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l 1的倾斜角为α－135°，故应选D.[例2] (1)已知过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y ＝________； (2)过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为________； (3)已知过A (3,1)，B (m ，－2)的直线的斜率为1，则m 的值为________． [解析] (1)直线AB 的斜率k ＝tan 135°＝－1，又k ＝－3－y 2－4，由－3－y 2－4＝－1，得y ＝－5.(2)由斜率公式k ＝4－mm ＋2＝1，得m ＝1.(3)当m ＝3时，直线AB 平行于y 轴，斜率不存在．当m ≠3时，k ＝－2－1m －3＝－3m －3＝1，解得m ＝0.[答案] (1)－5 (2)1 (3)0 [类题通法]利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．[活学活用]3．(2012·河南平顶山高一调研)若直线过点 (1,2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°解析：选A 设直线的倾斜角为α，直线斜率k ＝(2＋3)－24－1＝33，∴tan α＝33. 又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.[例3] 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．[解] 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得yx 的最大值为2，最小值为23.[类题通法]根据题目中代数式的特征，看是否可以写成y 2－y 1x 2－x 1的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．[活学活用]4．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围．解：y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]， ∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)． ∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53.∴y ＋1x ＋1的取值范围为[－16，53]．6.倾斜角与斜率的关系[典例] 已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点，则l 的倾斜角的取值范围________；直线l 的斜率k 的取值范围________．[解析] 如图，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1，则直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，∴直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°；要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1.[答案] 45°≤α≤135° k ≤－1或k ≥1 [易错防范]1．本题易错误地认为－1≤k ≤1，结合图形考虑，l 的倾斜角应介于直线PB 与直线P A 的倾斜角之间，要特别注意，当l 的倾斜角小于90°时，有k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，则有k ≤k P A .2.如图，过点P 的直线l 与直线段AB 相交时，因为过点P 且与x 轴垂直的直线PC 的斜率不存在，而PC 所在的直线与线段AB 不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即k P A ≤k ≤k PB .解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．[成功破障]已知直线l 过点P (3,4)，且与以A (－1,0)，B (2,1)为端点的线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：∵直线P A 的斜率k P A ＝4－03－(－1)＝1，直线PB 的斜率k PB ＝4－13－2＝3，∴要使直线l与线段AB 有公共点，k 的取值范围为[1,3]．[随堂即时演练]1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是( ) A ．任一直线都有倾斜角，都存在斜率 B ．倾斜角为135°的直线的斜率为1C ．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan αD ．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)解析：选D 任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以A 、C 错误；倾斜角为135°的直线的斜率为－1，所以B 错误；只有D 正确．2．已知经过两点(5，m )和(m,8)的直线的斜率等于1，则m 的值是( ) A ．5 B ．8 C.132D ．7解析：选C 由斜率公式可得8－m m －5＝1，解之得m ＝132.3．直线l 经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角为________．解析：k l ＝1－0－1－0＝－1，因此倾斜角为135°. 答案：135°4．已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，实数a 的值为________．解析：∵A 、B 、C 三点共线， ∴k AB ＝k BC ，即53－a＝9a ＋75，∴a ＝2或29.答案：2或295．已知A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，求m 的值．解：由题意直线AC 的斜率存在，即m ≠－1. ∴k AC ＝(－m ＋3)－4m ＋1，k BC ＝(m －1)－42－(－1).∴(－m ＋3)－4m ＋1＝3·(m －1)－42－(－1).整理得：－m －1＝(m －5)(m ＋1)，即(m ＋1)(m －4)＝0， ∴m ＝4或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝4.[课时达标检测]一、选择题1．给出下列说法，正确的个数是( )①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等； ②一条直线的倾斜角为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A 若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，②错；所有垂直于y 轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．2．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝( ) A ．－32B.32C ．－1D ．1解析：选C tan 45°＝k AB ＝y ＋34－2，即y ＋34－2＝1，所以y ＝－1.3.如图，设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 1＜k 3＜k 2C ．k 2＜k 1＜k 3D ．k 3＜k 2＜k 1解析：选A 根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A 正确． 4．经过两点A (2,1)，B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞－1 C ．－1＜m ＜1D ．m ＞1或m ＜－1解析：选C ∵直线l 的倾斜角为锐角， ∴斜率k ＝m 2－11－2＞0，∴－1＜m ＜1.5．(2012·广州高一检测)如果直线l 过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0,2] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．(0,3]解析：选B 过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限．二、填空题6．已知a ＞0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝________. 解析：若平面内三点共线，则k AB ＝k BC ，即a 2＋a 2－1＝a 3－a 23－2，整理得a 2－2a －1＝0，解得a ＝1＋2，或a ＝1－2(舍去)．答案：1＋ 27．如果直线l 1的倾斜角是150°，l 2⊥l 1，垂足为B .l 1，l 2与x 轴分别相交于点C ，A ，l 3平分∠BAC ，则l 3的倾斜角为________．解析：因为直线l 1的倾斜角为150°，所以∠BCA ＝30°，所以l 3的倾斜角为12×(90°－30°)＝30°.答案：30°8．已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，y －1x －2的取值范围为________．解析：y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率，因为点M 在函数x ＋2y＝6的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A ⎝⎛⎭⎫1，52，B ⎝⎛⎭⎫3，32，由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞三、解答题9．已知直线l 过点A (1,2)，B (m,3)，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围．解：设l 的斜率为k ，倾斜角为α，当m ＝1时，斜率k 不存在，α＝90°，当m ≠1时，k ＝3－2m －1＝1m －1，当m ＞1时，k ＝1m －1＞0，此时α为锐角，0°＜α＜90°，当m ＜1时，k ＝1m －1＜0，此时α为钝角，90°＜α＜180°.所以α∈(0°，180°)，k ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． 10．已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)， (1)求直线AB 和AC 的斜率．(2)若点D 在线段BC (包括端点)上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．解：(1)由斜率公式可得直线AB 的斜率k AB ＝2－3－4－3＝17.直线AC 的斜率k AC ＝－2－30－3＝53.故直线AB 的斜率为17，直线AC 的斜率为53.(2)如图所示，当D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.3．1.2 两条直线平行与垂直的判定[提出问题]平面几何中，两条直线平行同位角相等．问题1：在平面直角坐标中，若l1∥l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？提示：相等．问题2：若l1∥l2，则l1，l2的斜率相等吗？提示：不一定，可能相等，也可能都不存在．问题3：若l1与l2的斜率相等，则l1与l2一定平行吗？提示：不一定．可能平行也可能重合．[导入新知]对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.[化解疑难]对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在.[提出问题]已知两条直线l1，l2，若l1的倾斜角为30°，l1⊥l2.问题1：上述问题中，l1，l2的斜率是多少？提示：k1＝33，k2＝－ 3.问题2：上述问题中两直线l1、l2的斜率有何关系？提示：k1k2＝－1.问题3：若两条直线垂直且都有斜率，它们的斜率之积一定为－1吗？提示：一定．[导入新知]如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.[化解疑难]对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k 1≠0且k 2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．[例1] 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)； (3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)； (4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5)．[解] (1)由题意知，k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，又k BC ＝5－(－3)－3－3＝－43≠－45，故l 1∥l 2.(2)由题意知，k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，k FG ＝4－(－1)3－(－2)＝1，故直线l 1与直线l 2重合．(3)由题意知，k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合．(4)由题意知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2. [类题通法]判断两条不重合直线是否平行的步骤[活学活用]1．试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行．解：由题意直线CD 的斜率存在，则与其平行的直线AB 的斜率也存在．k AB ＝m －0－5－(m ＋1)＝m －6－m ，k CD ＝5－30－(－4)＝12，由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m －6－m ＝12，得m ＝－2.经验证m ＝－2时直线AB 的斜率存在，所以m ＝－2.[例2] 已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，求a 的值．[解] 设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2.∵直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，且2≠－1， ∴l 2的斜率存在．当k 2＝0时，a －2＝3，则a ＝5，此时k 1不存在，符合题意．当k 2≠0时，即a ≠5，此时k 1≠0，由k 1·k 2＝－1，得－3－a a －2－3·a －2－3－1－2＝－1，解得a ＝－6.综上可知，a 的值为5或－6. [类题通法]使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．总之，l 1与l 2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l 1⊥l 2；l 1与l 2斜率都存在时，满足k 1·k 2＝－1.[活学活用]2．已知定点A (－1,3)，B (4,2)，以A 、B 为直径作圆，与x 轴有交点C ，则交点C 的坐标是________．解析：以线段AB 为直径的圆与x 轴的交点为C ，则AC ⊥BC .设C (x,0)，则k AC ＝－3x ＋1，k BC ＝－2x －4，所以－3x ＋1·－2x －4＝－1，得x ＝1或2，所以C (1,0)或(2,0)．答案：(1,0)或(2,0)[例3] 已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．[解] 由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得k AB ＝5－32－(－4)＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，所以AB ∥CD .由k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行．又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形． [类题通法]1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．2．证明两直线平行时，仅有k 1＝k 2是不够的，注意排除两直线重合的情况． [活学活用]3．已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，试求点D 的坐标．解：设D (x ，y )，则k AB ＝23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－23，k CD ＝y －4x ，k DA ＝yx －1.因为AB ⊥CD ，AD ∥BC ，所以，k AB ·k CD ＝－1，k DA ＝k BC，所以⎩⎨⎧1×y －4x＝－1，y x －1＝－23.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－6.即D (10，－6)．8.利用平行或垂直确定参数值[典例] 已知直线l 1经过A (3，m )，B (m －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，m ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求m 的值； (2)若l 1⊥l 2，求m 的值． [解题流程]欲求m 的值，需根据l 1∥l 2或l 1⊥l 2列出关于m 的关系式由直线l 1过A 、B 两点，直线l 2过C 、D 两点，求斜率[规范解答]由题知直线l 2的斜率存在且k 2＝2－(m ＋2)1－(－2)＝－m 3①.(2分)(1)若l 1∥l 2，则直线l 1的斜率也存在，由k 1＝k 2，得2－m m －4＝－m 3，解得m ＝1或m ＝6，(4分)经检验，当m ＝1或m ＝6时，l 1∥l ③2.(6分)(2)若l 1⊥l 2，当k 2＝0②时，此时m ＝0，l 1斜率存在，不符合题意；(8分)当k 2≠0②时，直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，且k 1·k 2＝－1，即－m 3·2－m m －4＝－1，解得m ＝3或m ＝－4，(10分) 所以m ＝3或m ＝－4时，l 1⊥l ③2.(12分)[名师批注]①处易漏掉而直接利用两直线平行或垂直所具备的条件来求m 值，解答过程不严谨 ②处讨论k 2＝0和k 2≠0两种情况③此处易漏掉检验做解答题要注意解题的规范 [活学活用]已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－(－m －3)＝2－(m ＋1)，k CD＝3m ＋2－m 3－(－m )＝2(m ＋1)m ＋3.因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1. 综上，m 的值为1或－1.[随堂即时演练]1．下列说法正确的有( )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直； ④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选A 若k 1＝k 2，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于x 轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．2．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．相交但不垂直D ．垂直解析：选D 设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1.3．已知△ABC 中，A (0,3)、B (2，－1)，E 、F 分别为AC 、BC 的中点，则直线EF 的斜率为________．解析：∵E 、F 分别为AC 、BC 的中点， ∴EF ∥AB . ∴k EF ＝k AB ＝－1－32－0＝－2. 答案：－24．经过点(m,3)和(2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________．解析：由题意可知k l ＝14，又因为k l ＝m －32－m ，所以m －32－m ＝14，解得m ＝145.答案：1455．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)．解：(1)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110.∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴．k 2＝40－4010－(－10)＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－(－1)＝－1，∴k 1＝k 2.又k AM ＝3－1－1－0＝－2≠k 1，∴l 1∥l 2. (4)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.[课时达标检测]一、选择题1．已知过点P (3,2m )和点Q (m,2)的直线与过点M (2，－1)和点N (－3,4)的直线平行，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选B 因为MN ∥PQ ，所以k MN ＝k PQ ，即4－(－1)－3－2＝2－2mm －3，解得m ＝－1.2．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形解析：选C 如右图所示，易知k AB ＝－1－12－(－1)＝－23，k AC ＝4－11－(－1)＝32，由k AB ·k AC ＝－1知三角形是以A 点为直角顶点的直角三角形．3．已知点A (－2，－5)，B (6,6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( )A ．(0，－6)B ．(0,7)C ．(0，－6)或(0,7)D ．(－6,0)或(7,0)解析：选C 由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1，即y ＋52·(－y －66)＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0,7)． 4．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥AD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD 中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题意得k AB ＝－4－26－(－4)＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，k AD ＝12－22－(－4)＝53，k AC＝6－212－(－4)＝14，k BD ＝12－(－4)2－6＝－4，所以AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AC ⊥BD .5．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解析：选B 如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD ＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－312，故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直．所以四边形ABCD 为平行四边形．二、填空题6．l 1过点A (m,1)，B (－3,4)，l 2过点C (0,2)，D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________. 解析：∵l 1∥l 2，且k 2＝1－21－0＝－1，∴k 1＝4－1－3－m ＝－1，∴m ＝0.答案：07．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2∥l 1，且l 2过点A (－2，－1)和B (3，a )，则a 的值为________．解析：∵l 2∥l 1，且l 1的倾斜角为45°，∴kl 2＝kl 1＝tan 45°＝1，即a －(－1)3－(－2)＝1，所以a＝4.答案：48．已知A (2,3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为________时，AB ⊥CD .解析：设点D (x,0)，因为k AB ＝－1－31－2＝4≠0，所以直线CD 的斜率存在．则由AB ⊥CD 知，k AB ·k CD ＝－1，所以4·－2－0－1－x ＝－1，解得x ＝－9.答案：(－9,0) 三、解答题9．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行？解：(1)由k AB ＝m －32m 2＝tan 135°＝－1，解得m ＝－32，或m ＝1. (2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3. 则m －32m 2＝－13，解得m ＝32，或m ＝－3. (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34，或m ＝－1.10．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值．解：当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在，则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m－1－1，解得m ＝3；当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB k CD ＝－1，即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1，解得m ＝－92.综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3；当l 1⊥l 2时，m 的值为－92.3．2直线的方程3．2.1 直线的点斜式方程[提出问题]斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x 轴，桥塔所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．问题1：已知某一斜拉索过桥塔上一点B ，那么该斜拉索位置确定吗？提示：不确定．从一点可引出多条斜拉索．问题2：若某条斜拉索过点B (0，b )，斜率为k ，则该斜拉索所在直线上的点P (x ，y )满足什么条件？提示：满足y －bx －0＝k .问题3：可以写出问题2中的直线方程吗？提示：可以．方程为y －b ＝kx . [导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程y －y 0＝k (x －x 0)叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或x ＝x 0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程y ＝kx ＋b 叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P (x 0，y 0)和斜率k ；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线． 2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．[例1](1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________．(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________．[解析](1)∵直线平行于y轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x＝－5.(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，∴直线方程为y－2＝2(x－1)，即2x －y＝0.[答案](1)x＝－5(2)y－4＝－(x－3)(3)2x－y＝0[类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.[活学活用]1．写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－5＝4(x－2)．(2)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan45°＝1.∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2.(3)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0.∴直线的点斜式方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.[例2] (1)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________． (2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解析] (1)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－33，由斜截式可得所求的直线方程为y ＝－33x －3. (2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[答案] (1)y ＝－33x －3 [类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]2．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5的直线方程．解：∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝33.∵所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y ＝33x －5.[例3] 当a 为何值时，(1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？ [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直，∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4，则k 3＝－1，k 4＝a 2－2. ∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合，当b 1≠b 2时，两直线平行；当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [活学活用]3．(1)若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直，则a ＝________. (2)若直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行，则a ＝________. 解析：(1)由题意可知kl 1＝2a －1，kl 2＝4. ∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.(2)因为l 1∥l 2，所以a 2－2＝－1，且2a ≠2，解得a ＝－1，所以a ＝－1时两直线平行．答案：(1)38(2)－17.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值．[解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m .∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m.由l 1∥l 2，得⎩⎨⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m，解得m ＝－1.∴m 的值为－1. [易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合． [成功破障]当a 为何值时，直线l 1：y ＝－2ax ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－3)x ＋2平行？解：∵l 1∥l 2，∴a 2－3＝－2a 且2a ≠2，解得a ＝－3.[随堂即时演练]1．直线y ＝2x －3的斜率和在y 轴上的截距分别等于( ) A ．2,3 B ．－3，－3 C ．－3,2 D ．2，－3答案：D2．直线l 经过点P (2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( ) A ．y ＋3＝x －2 B ．y －3＝x ＋2 C ．y ＋2＝x －3D ．y －2＝x ＋3 解析：选A ∵直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线l 的方程为y ＋3＝x －2.3．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________．解析：α＝60°，k ＝tan 60°＝3，由点斜式方程，得y ＋4＝3(x ＋2)．答案：y ＋4＝3(x ＋2)4．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________．解析：∵直线y ＝－3x －4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，∴斜率为－3，又截距为2，∴由斜截式方程可得y ＝－3x ＋2. 答案：y ＝－3x ＋25．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程．解：(1)由y ＝2x ＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线的斜率是2. ∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)由y ＝3x －5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线的斜率是－13.∴所求直线方程为y ＋2＝－13(x ＋2)，即x ＋3y ＋8＝0.[课时达标检测]一、选择题1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1解析：选C 直线的方程可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.2．直线y ＝ax －1a的图象可能是( )解析：选B 由y ＝ax －1a可知，斜率和截距必须异号，故B 正确．3．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4。

【精编】人教版高中数学必修二导学案：第三章第三节两点间的距离

第三章第三节两点间的距离三维目标1．理解平面内两点间的距离公式的推导过程；2．掌握两点间距离公式及其简单应用；3．会用坐标法证明一些简单的几何问题.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1.在坐标轴上，两点A 、B 之间的距离AB 是如何计算的？问题2.平面直角坐标系下两点1P (错误！未找到引用源。

)、2P (错误！未找到引用源。

)，如何求1P 、2P 两点之间的距离12PP ？问题3.请尝试用两点间的距离公式完成下列各题：（1）求错误！未找到引用源。

两点之间的距离.（2）若(,5)(0,10)17,?A a B a 与间的距离是则值为多少（3）已知点A (3,6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标.A BPP=问题4.请从向量的角度证明两点间的距离公式12【学做思2】=，并求出PA的值.1. 已知点),在x轴上求一点P,使得PA PB【思考】结合图象，本题还有没有其它的解法呢？2.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.【方法总结】【变式】已知△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|＝|CD|.达标检测1. △ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为( )A.26B.65C.29D.132. 直线l的倾斜角为30°，且过点B(0,1)，直线l交x轴于点A，则|OA|、|AB|的值分别为( )A．1,2 B.3，2 C．1， 3 D.33，23. 已知A(1,2)，B(5，－2)，在x轴上有一点P(x,0)满足|PA|＝|PB|，在y轴上有一点Q(0，y)，它在线段AB的垂直平分线上，则(x，y)为( )A．(3，－3) B．(3,3) C．(－3,3) D．(－3，－3)4. 光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是( ) A．5 2 B．2 5 C．510 D．10 55. 已知AO是△ABC的边BC的中线，证明|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．。

人教A版高中数学必修2课件3.3.2两点间的距离公式课件

知识点—— 两点间的距离公式
两点间的距离公式
【两点间的距离公式】
P1 P2
x2 x2 y2 y1
2
2
两点间的距离公式
【公式推导】已知平面上的两点P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ，如何求 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 的距离P1P2 . 由图易知 P1Q N 1 N 2 x2 x1 P2Q M 1 M 2 y2 y1 ∴ P P 2 PQ 2 P Q 2 P P x x 2 y y 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2
两点间的距离公式
【变式训练】根据两点的距离公式 |PM|2 =(a-5)2+(2a-8)2=52, 即 5a2-42a+64=0， 32 解得 a=2或 a . 32 645 P , P(2,4)或 5 5 . y8 x5 所以直线PM的方程为 4 8 2 5 或即4x-3y+4=0或 24x-7y-64=0.
两点间的距离公式
【典型例题】
以知点A（-1，2），B（2， 7 ），在x轴上求一点，使 |PA|=|PB| ,并求|PA|的值. 解法一：设所求点P（x，0），于是有由|PA|=|PB|得 x 2 2 x 5 x 2 4 x 11 解得 x=1. 所以，所求点P（1，0）且
所以所求点P的坐标为（1，0）.因此
PA
1 2 0 2
2
2
2 2
两点间的距离公式
【变式训练】在直线2x-y=0 上求一点P ，使它到点 M(5，8) 的距离为5，并求直线PM 的方程.
思路点拨：求点的坐标，需要把点的坐标设出来，利用两点间的距离公式进行计算.

2020-2021学年数学人教A版必修2学案：3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离

3．3 直线的交点坐标与距离公式3．3.1 两条直线的交点坐标3．3.2 两点间的距离[目标] 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2.会用代数方法判定两直线的位置关系；3.记住两点间的距离公式并会应用．[重点] 求两直线的交点坐标、两点间的距离公式及应用．[难点] 方程组解的个数与两线相交、平行或重合的对应关系的理解．知识点一两条直线的交点坐标[填一填]1．求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．2．应用：可以利用两直线的交点个数判断两直线的位置关系．一般地，将直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 当方程组有唯一解时，l 1和l 2相交，方程组的解就是交点坐标；当方程组无解时，l 1与l 2平行；当方程组有无数组解时，l 1与l 2重合．[答一答]1．在下列直线中，与直线x ＋3y －4＝0相交的直线为( C )A.x ＋3y ＝0B.y ＝－13x －12C.x 2＋y 3＝1D.y ＝－13x ＋4解析：A 、B 、D 选项的斜率都是－13，且与x ＋3y －4＝0平行，C选项的斜率是－32，所以x 2＋y 3＝1与x ＋3y －4＝0相交．2．若两直线的方程组成的方程组有解，两直线是否交于一点？提示：不一定．两条直线是否交于一点，取决于联立两条直线方程所得的方程组是否有唯一解．若方程组有无穷多个解，则两条直线重合．知识点二两点间的距离公式[填一填]1．公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．名师点拨：坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点间距离公式的推广．[答一答]3．两点间的距离公式中点P 1，P 2的位置有先后之分么？提示：点P 1，P 2的位置没有先后之分，即距离公式也可以写为|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.4．对于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，当P 1P 2平行于x 轴时，如何求P 1，P 2的距离，当P 1P 2平行于y 轴时，如何求P 1，P 2的距离？提示：当P 1P 2平行于x 轴时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|.当P 1P 2平行于y 轴时，|P 1P 2|＝|y 1－y 2|.5．式子x 2＋y 2的几何意义是什么？提示：x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离．类型一求两条直线的交点[例1] (1)直线x ＋2y －4＝0与直线2x －y ＋2＝0的交点坐标是( )A.(2,0)B.(2,1)C.(0,2)D.(1,2) (2)两直线2x ＋3y －k ＝0与x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，则k 的值为( )A.－24B.6C.±6D.24 [解析] (1)解方程组⎩⎨⎧ x ＋2y －4＝0，2x －y ＋2＝0，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝2.即直线x ＋2y －4＝0与直线2x －y ＋2＝0的交点坐标是(0,2)．(2)在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0，得y ＝k 3，在x －ky ＋12＝0中，令x ＝0，得y ＝12k ，所以12k ＝k 3，解得k ＝±6.[答案] (1)C (2)C解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.(1)若一条直线的方程是斜截式，常常应用代入消元法解方程组.(2)若直线的方程都是一般式，常常应用加减消元法解方程组.[变式训练1] 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：(1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0.(2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12.(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.解：(1)解方程组⎩⎨⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－103，y ＝143. 所以l 1与l 2相交，且交点坐标为－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0. 因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合．(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2.类型二求过两条直线交点的直线方程[例2] 已知两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0.(1)求两直线的交点；(2)求过两直线的交点和坐标原点的直线l 的方程．[解] (1)由方程组⎩⎨⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝2.即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．(2)解法1：∵直线过点(－2,2)和坐标原点，∴其斜率k ＝2－2＝－1，∴直线方程为y ＝－x ，一般式为x ＋y ＝0.解法2：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0，将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1，∴l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.解法2用到过两直线交点的直线系方程，避免了求两直线的交点.选择不同的方法求解题目，可以训练自己的解题思路，使思路更开阔.[变式训练2] 求经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程．解：方法1：由方程组⎩⎨⎧ 2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－35，y ＝－75.∵直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行， ∴直线l 的斜率k ＝－3.∴根据点斜式有y －(－75)＝－3[x －(－35)]，即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.方法2：∵直线l 过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点，∴设直线l 的方程为2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0.∵直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行，∴λ＋23＝λ－31≠2λ－3－1，解得λ＝112. 从而所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.类型三两点间距离公式的应用[例3] 已知点A (－2,1)，B (1，－2)，直线y ＝2上一点P ，使|AP |＝|BP |，则P 点坐标为________．[解析] 设P (x,2)，∵点A (－2,1)，B (1，－2)，直线y ＝2上一点P ，使|AP |＝|BP |，∴(x ＋2)2＋(2－1)2＝(x －1)2＋(2＋2)2，解得x ＝2.∴P (2,2)．[答案] (2,2)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.[变式训练3] 已知点A (－1,2)，B (1,3)，P 在直线y ＝2x 上，求|P A |2＋|PB |2取得最小值时点P 的坐标．解析：设P点坐标为(x,2x)，∵|P A|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(2x－2)2＋(x －1)2＋(2x－3)2＝10x2－20x＋15＝10(x－1)2＋5，∴|P A|2＋|PB|2≥5.(当且仅当x＝1时取等号)∴当|P A|2＋|PB|2取得最小值5时，点P的坐标为(1,2)．类型四对称问题命题视角1：点关于点的对称问题[例4]已知不同的两点P(a，－b)与Q(b＋1，a－1)关于点(3,4)对称，则ab＝()A.－5B.14C.－14D.5[分析]利用中点坐标公式求解．[解析]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a＋b＋12＝3，a－b－12＝4，即⎩⎨⎧a＋b＝5，a－b＝9，解得⎩⎨⎧a＝7，b＝－2，故ab＝7×(－2)＝－14.[答案] C点关于点的对称问题一般用中点坐标公式即可解决．[变式训练4]点(1，y)关于(－1,0)的对称点坐标是(x,2)，则x＝－3，y＝－2.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x 2＝－1，y ＋22＝0得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝－2.命题视角2：点关于线、线关于线的对称问题[例5] 已知直线l ：y ＝3x ＋3，求(1)点P (4,5)关于直线l 的对称点的坐标；(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程．[解] (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则线段PP ′的中点M 在对称轴上，且直线PP ′垂直于对称轴，即⎩⎪⎨⎪⎧ y ′＋52＝3×x ′＋42＋3，y ′－5x ′－4×3＝－1，解得⎩⎨⎧ x ′＝－2，y ′＝7.所以点P ′的坐标是(－2,7)．(2)由题意，得l 1上任一点P 1(x 1，y 1)关于l 的对称点P 2(x 2，y 2)一定在l 2上，反之也成立．故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 22＝3×x 1＋x 22＋3，y 1－y 2x 1－x 2×3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－45x 2＋35y 2－95，y 1＝35x 2＋45y 2＋35. 把(x 1，y 1)代入y ＝x －2，整理得7x 2＋y 2＋22＝0，所以直线l 2的方程为7x ＋y＋22＝0.(1)点A (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y －y 0x －x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1(AB ≠0)，A ·x ＋x 02＋B ·y ＋y 02＋C ＝0求得．(2)求直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称的直线l 2的方程的方法：转化为点关于直线对称，在l 1上任取两点P 1和P 2，求出P 1，P 2关于l 的对称点，再用两点式可求出l 2的方程．[变式训练5] 已知两点A (3，－3)，B (5,1)，直线l ：y ＝x ，在直线l 上求一点P 使|P A |＋|PB |最小．解：如图，作点A 关于直线l 的对称点A ′，易知A ′(－3,3)．连接BA ′交直线l 于点P ，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＝|A ′B |.又直线A ′B 的方程为x ＋4y －9＝0，与y ＝x 联立解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，95.1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( C )A.(4,1)B.(1,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 解析：由方程组⎩⎨⎧ x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. 2．已知M (2,1)，N (－1,5)，则|MN |等于( A )A.5B.37C.13D.4 解析：|MN |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5.3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( A )A.2x ＋y －8＝0B.2x －y －8＝0C.2x ＋y ＋8＝0D.2x －y ＋8＝0解析：首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.4．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是a ≠2.解析：l 1与l 2相交则有：a 4≠36，∴a ≠2.5．已知△ABC 的三个顶点的坐标是A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)．(1)判断△ABC 的形状；(2)求△ABC 的面积．解：(1)因为|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213，|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213，又|BC|＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226，所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，所以△ABC是等腰直角三角形．(2)△ABC的面积S△ABC＝12|AC|·|AB|＝12×213×213＝26.——本课须掌握的两大问题1．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但此方程中不含l2；一般形式是m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(m2＋n2≠0)，是过l1与l2交点的所有直线方程．2．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．。

高中数学 332(两点间的距离)教案新人教A版必修2 教案

两点间的距离教学要求：使学生理解并掌握平面上任意两点间的距离公式，使学生初步了解解析法证明，教学中渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想. 教学重点：猜测两点间的距离公式.教学难点：理解公式证明分成两种情况.教学过程：一、复习准备：1. 提问：我们学习了有向线段，现在有问题是：如果A 、B 是x 轴上两点，C 、D 是y 轴上两点，它们坐标分别是x A 、x B 、y C 、y D ，那么|AB|、|CD|又怎样求？(|AB|=|x B -X A |，|CD|=|y C -y D |) 2. 讨论：如果A 、B 是坐标系上任意的两点，那么A 、B 的距离应该怎样求呢？二、讲授新课：1. 教学两点间的距离公式：①讨论：(1)求B(3，4)到原点的距离是多少?根据是什么?(通过观察图形，发现一个Rt △，应用勾股定理得到的)②讨论：(2)那么B(2,2x y )到A(1,1x y )又是怎样求呢?根据是什么?根据(1)的方法猜想,(2)也构造成Rt △→给出两点间的距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，则||AB =③ 出示例1：已知点(1,2),A B -（1）：求||AB 的值（2）：在X 轴上求一点P ，使||||PA PB =，并求||PA 的值（讨论：点P 应该怎么设？怎样利用两点间的距离公式？）④(2,5),(3,7)A B ,求||AB 的值,并在y 轴上求一点p ,使︱|||PA PB =⑤ 示例2:证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.(分析:首先建立适当的坐标系,用坐标表示有关量,然后进行代数运算,最后把代数运算”翻译”成几何关系)⑥ 出示例3：已知(1,2)3450A B C ABC ∆点，（，），（，），求证：是等腰三角形 (分析:通过利用两点的距离公式,找出两边相等,并有两边的斜率关系说明A 、B 、C 、三点不共线，从而证明是等腰三角形)⑦ 练习：已知ABC ∆的顶点坐标是(2,1)A B C ，（-2，3），（0，-1）,求ABC ∆三条中线的长度 2．小结：两点间的距离公式，两点间的距离公式的应用三、巩固练习：1、求两点(0,4)(0,1)A B --与间的距离2、已知点(,5)(0,10)17,?A a B a -与间的距离是则值为多少3、已知点(,2),(2,3),(1,1),||||P a Q M PQ PM --=且，求a 的值4、求在x 轴上与点(5,12)A 的距离为13的点的坐标5、已知(1,2)A B ，（5，2），若10=PA ，2=PB ，求点P 的坐标6、求函数y 作业：《习案》二十三课时。

数学：3.3.2《两点间的距离》课件(新人教版a版必修2)

3.2.2 两点间的距离
问题提出
1.在平面直角坐标系中，根据直线的方程可以确定两直线平行、垂直等位置关系，以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置关系. 2.平面上点与点之间的相对位置关系一般通过什么数量关系来反映？
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离公式可作怎样的变形？
|P 1P 2 || x2 x1 | 1 k
2
思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距离公式又可作怎样的变形？
1 |P 1P 2 || y2 y1 | 1 2 k
|P 1P 2 || x2 x1 | 1 k
2
1 | y2 y1 | 1 2 k
思考3:上述两个结论是两点间距离公式的两种变形，其使用条件分别是什么？
思考4:若已知 x1 x2 和 x1 x2 ，如何求 | x2 x1 | ？
/xiaoxue/ 数学辅导语文补习英语补习班
数学（汉语拼音：shù xué；希腊语：μ α θ η μ α τ ι κ ；英语：Mathematics），源自于古希腊语的μ θ η μ α （máthēma），其有学习、学问、科学之意。古希腊学者视其为哲学之起点，“学问的基础”。另外，还有个较狭隘且技术性的意义——“数学研究”。即使在其语源内，其形容词意义凡与学习有关的，亦会被用来指数学的。其在英语的复数形式，及在法语中的复数形式+es成mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数（Mathematic

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

§ 3.3.2两点间的距离学习目标
1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.
2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.
3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题. 学习过程
一、课前准备
（预习教材P 104~106，找出疑惑之处）
1．直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点 .
2．若直线111:1l a x b y +=与直线222:1l a x b y +=的交点为(2,1)-，则112a b -= .
3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y -10+=与5y x =+的交点?
二、新课导学
※ 学习探究
问题1：已知数轴上两点,A B ，怎么求,A B 的距离？
问题2：怎么求坐标平面上,A B 两点的距离？及,A B 的中点坐标？
新知：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则21221221)()(||y y x x P P
-+-=. 特殊地：(,)P x y 与原点的距离为22||y x OP +=.
※ 典型例题
例1 已知点(8,10),(4,4)A B -, 求线段AB 的长及中点坐标.
变式：已知点(1,2),A B -，在x 轴上求一点，使PA PB =,并求PA 的值.
例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
变式：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等.
※动手试试
练1.已知点(1,2),(3,4),(5,0)
是等腰三角形.
A B C，求证：ABC
练2.已知点(4,12)
A，在x轴上的点P与点A的距离等于13，求点P的坐标.
三、总结提升
※学习小结
1.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系.
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 两点(1,3),(2,5)A B -之间的距离为（）.
A ．
B
C
D ．3
2. 以点(3,0),(3,2),(1,2)A B C ---为顶点的三角形是（）.
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．以上都不是
3. 直线a x ＋2y ＋８＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值（）.
A ．2-
B ．2
C ．1
D ．1-
4. 已知点(1,2),A B -，在x 轴上存在一点P ，使P A P B =，则PA = .
5. 光线从点M (－2，3）射到x 轴上一点P (1，0)后被x 轴反射，则反射光线所在的直线的方程 . 课后作业
1. 求经过直线23y x =+和320x y -+=3的交点，且垂直于第一条直线的直线方程.
2. 已知a 为实数，两直线1l ：01=++y ax ，2l ：0=-+a y x 相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上.。