事件概率及数学期望

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概率分布与数学期望

概率分布与数学期望例谈离数型随机变量概率分布与数学期望数学期望=每个个数X每个它的概率，再相加从2008年全国各省市高考数学试题中，概率统计考题，可谓“军书十二卷，卷卷有爷名”，显然它是高考的必考内容，特别是离散型随机变量概率分布与数学期望内容的考题分布极为广泛，确实是一个重要考点，但纵观其解法，可以归纳为定义法、公式法、分析法与变量推理法四种，2009年考生务必对上述四种解题方法引起高度重视，本文就其命题特点，解题规律作专题阐述，以飨读者。

一、定义法求解概率分布与数学期望定义法即根据随机事件的概率、随机变量、概率分布、数学期望的定义求解概率分布与数学期望的方法。

可使用本法解题的考题，一般以古典离散型概率为特征，它可直接利用排列组合的加法原理与乘法原理写出离散型随机变量概率的计算式，进而求得随机变量各值条件下的概率分布与数学期望。

此类题型解题思路明确，利用定义法求解，其方法容易掌握。

例1，（08浙江理）一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1；从袋中任意摸出2个球，得到黑球的概率是25．个球，至少得到1个白球的概率是79（1）若袋中共有10个球，（1）若袋中共有10个球，（ⅰ）求白球的个数；（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．（2）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1．并指出袋中哪种颜色的个黑球的概率不大于710球个数最少．分析：本题是以古典概率为题材的高考题，由于从袋中摸球是有回放地摸球，且每次摸球都是互相独立的，系互不影响事件，所发生的概率是等可能的。

故可根据概率定义，利用排列组合计算方法求解随机变量各值的概率。

解：袋中共有10个球，且至少得到1个白球7，设其中有X个白球，我们将至少得到的概率为97，又∵P（A）一个白球的事件为A，则P（A）=9=9721021110=+C C C C x x ，∴9721021110=+C C C C x x ，化简后解之得x=5或14（舍去），∴袋中有5个白球。

有关概率和期望问题的研究

有关概率和期望问题的研究河北唐山一中鬲融摘要在各类信息学竞赛中（尤其是ACM竞赛中），经常出现一些与概率和期望有关的题目。

这类题目需要较高的数学水平和一定的算法技巧，必须经过仔细分析，选择合适的数学模型和算法才能顺利的解决问题。

本文就对这类题目的一些常见方法进行了研究。

数学基础这里写的数学基础是有关概率和期望的一点简单的计算法则，虽然我们都很熟悉，但是有时也可能会忘记使用，所以在这里列出来，也作为以后内容的基础。

概率的运算➢两个互斥事件，发生任一个的概率等于两个事件的概率和➢对于不相关的事件或者分步进行的事件，可以使用乘法原则。

➢对于一般情况p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)期望的运算➢E(φ)= Σφi P i，这是期望的定义，其中φi是一个取值，而P i是取这个值的概率➢期望有“线性”，也就是说对于不相关的两个随机变量φ和ξ，E(φ±ξ)=E(φ)±E(ξ)；E(φξ)=E(φ)E(ξ)；E(φ/ξ)=E(φ)/E(ξ)➢在某些情况下，期望可以表示成一个无穷的等比数列，然后利用极限的思想来求。

当然，这些只是最基础的知识，要解决好概率和期望的问题，还需要掌握一些组合数学的知识。

常用方法方法1 直接计算这种方法说起来很简单，就是推导出一个数学公式，然后通过程序来计算这个式子的值。

这样的题目在与概率和期望有关的题目中比例不小，但是由于它们大都需要一定的组合数学基础，而一旦推导出公式，对算法的要求并不太高，而时间复杂度往往也比较低，所以这类问题不是本文的重点。

有关内容可以在任何一本组合数学书中学到。

例一百事世界杯之旅1“……在2003年6月之前购买的百事任何饮料的瓶盖上都会有一个百事球星的名字。

只要凑齐所有百事球星的名字，就可以参加百事世界杯之旅的抽奖活动，获取球星背包、随身听，更可以赴日韩观看世界杯。

还不赶快行动！……” 你关上电视，心想：假设有n 个不同球星的名字，每个名字出现的概率相同，平均需要买几瓶饮料才能凑齐所有的名字呢？输入输出要求输入一个数字n ，2≤n ≤33，表示不同球星名字的个数。

概率论与数理统计知识点总结(超详细版)

概率论与数理统计知识点总结(超详细版)eik则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。

在概率论中，样本空间和随机事件是基本概念。

如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作A⊂B。

当A和B中至少有一个发生时，称A∪B为事件A和事件B的和事件。

当A和B同时发生时，称A∩B为事件A和事件B的积事件。

当A发生、B不发生时，称A-B为事件A和事件B的差事件。

如果A和B互不相容，即A∩B=∅，则称A和B是互不相容的，或互斥的，基本事件是两两互不相容的。

如果A∪B=S且A∩B=∅，则称事件A和事件B互为逆事件，又称事件A和事件B互为对立事件。

在概率论中，还有一些运算规则。

交换律指A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律指(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；分配律指A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；德摩根律指A∪B=A∩B，A∩B=A∪B。

频率与概率是概率论的重要概念。

在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值nAn称为事件A发生的频率。

概率指对于随机试验E的每一事件A赋予一个实数P(A)，称为事件的概率。

概率P(A)满足非负性，即对于每一个事件A，0≤P(A)≤1；规范性，即对于必然事件S，P(S)=1；可列可加性，即设A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞）。

概率还有一些重要性质，包括P(∅)=0，P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞），如果A⊂B，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤1，P(A)=1-P(A')，以及P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

等可能概型又称为古典概型，是指试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同。

如果事件A 包含k个基本事件，即A={e1}∪{e2}∪…∪{ek}，则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。

概率论——数学期望

概率论——数学期望
数学期望是概率论中一个重要的概念，用于描述随机变量的平均值。

在数学上，数学期望可以定义为随机变量的每个可能取值乘以其对应的概率，并将这些乘积相加。

设随机变量X的取值有n个，分别记为x1, x2, …, xn，对应的概率为p1, p2, …, pn。

则X的数学期望E(X)可以表示为：
E(X) = x1*p1 + x2*p2 + … + xn*pn
数学期望可以理解为随机变量所取得值的加权平均。

每个取值乘以其概率，再将所有乘积相加，就得到了数学期望。

数学期望在实际应用中有着广泛的应用，例如在赌博中，可以用数学期望来计算每次下注的预期收益；在保险业中，可以用数学期望来评估保险责任的大小；在金融学中，可以用数学期望来衡量金融产品的风险与回报等。

需要注意的是，数学期望不一定是随机变量取值的实际可能值，而是其平均值。

因此，即使随机变量的可能值与数学期望相差较大，在大量重复实验中，随机变量的平均取值仍然趋近于数学期望。

这正是数学期望的统计意义所在。

数学期望是概率论中用于描述随机变量的平均值的概念。

它可以通过将随机变量的可能取值与对应的概率相乘，再将所有乘积相加得到。

数学期望在实际应用中有着广泛的应用，可以用于预测和评估各种概率事件的平均效果。

概率论与数理统计_重要公式

、随机事件与概率、随机变量及其分布' P (x =Xk)； ,P(a ：： X 乞 b) = F(b)-F(a)」(t)dt21、分布函数F(x)二 P(X 乞 x)概率密度函数J f (x)dx = 1JO计算概bP(a 兰 X 兰 b)=J a f(x)dx 率a _ 4 IIP(X < a)= P(X ::: a)(一)P(X _ a) = P(X a) = Ua<TP(a EX 乞b)= ：」(b)->(a )ct aF (x)二P(X 乞x)二、P(X = k)k兰xF(x)二P(X 乞x)二f(t)dt般正态分布的分布函数与密度函数的重要关系F '(x)二f (x) F(x)二P(X 乞x) x-f(t)dt4、随机变量函数Y=g(X)的分布离散型：P(Y = yj 二 ' P j,i =1,2,llI，g(X j)=y '连续型：①分布函数法，②公式法f Y(y) = f x (h(y)) h (y) (x = h(y)单调)h(y)是g(x)的反函数三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律：P(X二X i,丫二yj二P j ,i, j =1,2川1联合分布函数F(X,Y)瓦瓦P ijx i _x x _y边缘分布律: 条件分布律: P i = P(x =人)二.p ij p j 二P(Y = y j)八P jj iP i：P(X=xiY=y j)= , i=1,2,111，P(Y =y j X =X i)=Pj联合密度函数f (x, y) f(x, y)—0-be -beL.」”.J(x,y)dxdy =12、连续型二维随机变量及其分布①分布函数及性质概率计算公式分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量x y分布函数：F (x , y )= _ f (u , v ) dudv0 乞 F (x, y)叮 F (x, y) = P{X 乞 x,Y 乞 y}分布函数：F x (x)二y-::F Y (y)二f (u,v)dudv_nO _nO-Ho密度函数：f x (x)「 f (x,v)dv-hof Y (y)=.f (u,y)du随机变量X 、丫相互独立=F(x,y)二F x (x)F Y (y)，离散型： P{X =i,丫二 j} = P{X =i}P{Y = j} P j 二 P i.p .j，连续型f(x, y) =f x (x)f Y (y)4、二维随机变量和函数的分布(卷积公式)离散型：P(Z 二zQ 二'、 P(X 二x i ,丫二y j )注意部分可加性连续型：f z (z)二 _f(x, z-x)dx 二 _f(z-y,y)dy四、随机变量的数字特征1、数学期望②性质：E(C)=C, E[E(X)]=E(X)，E(CX)=CE(X)，E(X _ Y) = E(X ) _ E(Y)E(XY)二 E(X)E(Y)(正对逆错)i J2、方差①定义：二必护)-[£(七『2③条件概率密度f(x,y) ~<y < 耘,fxY (xy) f YX (yx)=-oOf x (x)' 3、随机变量的独立性二空也：:：x< ::fY (y)性质： F(G ："1, -；jj (x,y), P((x,y) "G f(x,y)dxdyf(u,v)dvdu①定义: 离散型 +□0E(X) = W xk p k ，连续型 E(X) =k 二 1xf (x)dx E(aX - b) = aE(X) - b ，当 x 、Y 相互独立时：随机变量g(X)的数学期望②边缘分布函数与边缘密度函数-kcx②性质：D(C)=0，D(aX 士b) = a2D(X)，D(X 士Y) = D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y) 当X、Y相互独立时：D(X -Y)二D(X) D(Y)3、协方差与相关系数①协方差：Cov(X, Y)二E(X Y)-E(X)E( Y),当 X 、Y 相互独立时：Cov(X , Y) = 0②相关系数："爲爲，当 X 、Y 相互独立时」XY = 0(X ‘Y不相关) ③协方差和相关系数的性质：Cov(X,X)二D(X) , Cov(X,Y)二Cov(Y,X)Cov(X 1 X 2,Y) =Cov(X 「Y) Cov(X 2,Y) , Cov(aX c,bY d)二 abCov(X,Y)Cov(x,a)=0(a 为常数),D(aX _bY) =a 2D(X) b 2D(Y)_2abCov(X,Y)分布数学期望E (X ) 方差D (X )0-1 分布 b(1, p) p p(1-p) 二项分布b(n, p) npnp(1-p) 泊松分布P 仏) XX均匀分布U(a,b)a +b (b - a)212正态分布N (巴即) 卩2 CT指数分布e(^)112n Z. A五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式 2D (X )若 E(X) =»,D(X),对于任意 g >0有 P { X —E (X )z2、大数定律：①切比雪夫大数定律：若X< X n 相互独立，nn2 2 1 p 1E(X i) = #i ,D(X i )=丐且⑴ i < C ，贝上一^ X i 一一 —J E(X i ),( n T°o ) n i 二 n y②伯努利大数定律：设n A 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则> 0,有：1」号,卩- p v 乞=13、★中心极限定理① 列维一林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量X i (i =1,2,111)，均值为，方差为▽2 >0，当 n 充分大时有：Y n=(》X k-n»)/届_=-> N (0,1)kT/② 棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理：随机变量X 〜B (n , p )，则对任意x 有：③辛钦大数定律: 若X 1,|)(,X n 独立同分布，且E (X i )」，则X in i =1n＞：:X —np x ilim P{ x}-——e^dt= >(x)n p(1-p) 二n h_n P③近似计算：P(^ X k^b)—( )-：-( )kj J n^ J n u六、数理统计的基本概念1、总体和样本的分布函数n 设总体X〜F(x),则样本的联合分布函数F(X1，X2…X n)二i【F(x k)k2、统计量样本均值：X i，样本方差：S2(X i -X)2 = 1n y n J吕1n _样本标准差：S=. (X i -X)2，样本k阶原点距：初-—1 n _样本k阶中心距：B k (X i-X)k,k=1,2,3川n i 二n一2、(Xi2— nX ) n—1 y1 n kA k X i ,k 二1,2n y3、三大抽样分布-/ 2(1) 分布(卡方分布)：设随机变量X〜B(0,1)(i =1,2,111, n)且相互独立,则称统计量2=X「X「-X-服从自由度为n的2分布，记为2~ 2(n)性质：① E[ 2(n)]=n ,D[ 2(n) ] = 2n ②设X ~ 2(m),Y~ 2(n)且相互独立，则X Y~ 2(m n)⑵t分布：设随机变量X ~N(0,1),Y~ 2( n)，且X与Y独立，则称统计量X 自由度为n的t分布，记为T ~ t(n)n性质：① E(T) = 0(n 1),D仃) (n 2)n —21② lim h(x)」(x) = en 一. , 2 二2x~2⑶F分布：设随机变量X ~ 2(m),Y~ 2(n)，且X与丫独立，则称统计量F(m, n) 服从第一自由度为m ,第二自由度为n的F分布，记为F〜F(m, n),性质：设F ~ F(m, n)，则1F ~ F(n,m)。

概率论公式

概率论公式1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( AB A A A AA =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==- 反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=n i i n i i A A 11=== ni i n i i A A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃)()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率()=A B P )()(A P AB P乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k kB A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量(1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k(2) 二项分布 ),(p n B若P ( A ) = p nk p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理0lim >=∞→λn n np 有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k e p p C kkn n k n k n n λλ(3) Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλ6．连续型随机变量(1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a a b x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b ax x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F x λ(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=x t t e x F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ +∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x x td 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()(⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8. 连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x Ay x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x e y x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ 9. 二维随机变量的条件分布 0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y = )()()(y f xf x y f Y X X Y =)(x y f X Y )(),(x f y x f X = )()()(x f y fy x f X Y Y X = 10.随机变量的数字特征数学期望∑+∞==1)(k k k p x X E ⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩 )(k X E X 的 k 阶绝对原点矩 )|(|k X E X 的 k 阶中心矩 )))(((k X E X E - X 的方差 )()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((-- X ,Y 的二阶混合原点矩 )(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 ()))())(((Y E Y X E X E -- X ,Y 的相关系数 XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -= 协方差 ()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --= )()()(Y E X E XY E -= ())()()(21Y D X D Y X D --±±=相关系数 )()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。

概率论与数理统计-数学期望_图文

因每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M, 所以，对第i 个盒子，一个球不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)。故N个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n ，即
最常用的数字特征是：期望和方差。
第四章数字特征
§4.1 数学期望
4.1.1 离散型随机变量的数学期望概念引入：
某车间对工人生产情况进行考察，车工小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量。如何定义 X 的平均值？
若统计了100天小张生产产品的情况，发现： 32天没有出废品；30天每天出一件废品； 17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。
可以得到这n天中，每天的平均废品数为
这是以频率为权的加权平均
由频率与概率的关系，
不难想到：求废品数X的平均值时，用概率替代频率，得平均值为：
这样，就得到一个确定的数
这是以概率为权的加权平均
——随机变量X的期望(均值) 。
定义1: 设X是离散型随机变量, 概率分布为 P{X=xk}=pk , k=1,2, …。
解：设组织货源 t 吨。显然，应要求
2000≤t ≤4000。国家收益Y(单位:万元)是X
的函数Y=g(X)。表达式为
由已知条件, 知X的概率密度函为
可算得当 t = 3500 时， E(Y)=-2t2 + 14000t-8000000
达到最大值 1.55×106。因此，应组织3500吨货源。
概率论与数理统计-数学期望_图文.ppt
前面讨论了随机变量及其分布。如果我们知道了随机变量 X 的概率分布，那么，关于 X 的全部概率特征也就知道了。
然而，在实际问题中，概率分布是较难确定的。且有时在实际应用中，我们并不需要知道随机变量的所有性质，只要知道其一些数字特征就够了。

数学期望公式3篇

数学期望公式第一篇：基础概念与定义数学期望是概率论中的一个重要概念，它可以用于描述随机变量的平均值，也可以用于评价随机事件的平均结果。

在现代数学、统计学以及应用科学等领域，数学期望被广泛应用。

本文将介绍数学期望的基础概念与定义。

数学期望，又称为期望值或期望数，是指对于一组数据，分别乘以它们出现的概率后再相加得到的结果。

从数学上来说，对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)可以用下面的公式来表示：E(X) = Σ(x*p(x))其中，x为X的可能取值，p(x)为X取值为x的概率，Σ表示对所有可能取值x的求和操作。

同样的，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)可以用下面的积分形式来表示：E(X) = ∫x*f(x)dx其中，f(x)为X的概率密度函数。

在实际应用中，数学期望可以用来解决很多问题。

例如，对于平均身高为175cm的人群，如果我们想知道某一个个体身高与平均身高的差距有多大，我们可以计算出这个人的身高与平均身高的差值，并将其除以人群总数。

这样，得到的结果就是所有个体身高与平均身高之差的平均值，即身高的数学期望。

通过比较这个差值与标准差，我们可以了解这个人的身材是否比较健康和匀称。

另外，数学期望还可以用于描述随机事件的效果。

例如，当我们掷骰子时，我们可以计算出每个点数和其对应的概率，然后将它们相乘再相加，得到的结果就是掷骰子的数学期望。

如果我们掷了十次骰子，我们可以将每次掷骰子得到的点数的平均值与掷骰子的数学期望相比较，了解我们掷骰子的效果如何。

总之，数学期望是衡量随机变量的均值的一种方法，它可以用于处理多种实际问题。

在实际应用中，要根据实际情况选择相应的数学期望公式进行计算和分析。

在下一篇文章中，我们将继续介绍数学期望的一些重要性质和应用。

第二篇：数学期望的性质和应用数学期望作为概率论中的一个重要概念，其具有多种性质和应用。

通过了解这些性质和应用，我们可以更深入地了解数学期望的本质。

概率公式总结

一、随机事件和概率1、随机事件及其概率、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X Eb)二F(b) P(a ：：： X <b)二F(b) — F(a)2、散型随机变量3三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布 P i.=P(X=X j )=' P(X=X i ,Y=y j )=' pjP j=P(丫 = yj)=' P(X=X j ,Y=yj)=' pjjji i2、离散型二维随机变量条件分布x y3、连续型二维随机变量(X ,Y )的分布函数F (x, y)=匕打二f (u,v)dvdu4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数x ■: : ■::分布函数： Fx (x) f (u,v)dvdu y -beF Y (y) f (u,v)dudv5、二维随机变量的条件分布 s(yx)—XY (xy)fyp —四、随机变量的数字特征1、数学期望■bo 鈕离散型随机变量： E(X) X k P k连续型随机变量： E(X ) = xf (x)dxk=1一北2、数学期望的性质(1) E(C) =C,C 为常数 E[E(X)] =E(X) E(CX) =CE(X)pi j= P(X=xi 丫= yj)史二二上,i”P(Y =y j)P j.pj i= P(Y = yjX =x i)7 丫知P(X =X i )P i .密度函数：fx (x)二 f(x,v)dv_f?0■ho fY(y)二 f(u, y)du⑵ E(X _Y) =E(X) -E(Y) E(aX —b)二aE(X) _b EGX1 C n X n) ^汨*) C n E(X n)⑶若XY相互独立则：E(XY) =E(X)E(Y) (4)[E(XY)]2空 E2(X)E2(Y)3、方差：D(X) =E(X2) —E2(X)4、方差的性质2 2(1)D(C) =0 D[D(X)] =0 D(aX _b) =a2D(X) D(X) :：: E(X _C)2(2)D(X _Y) =D(X) D(Y) _2Cov(X,Y) 若 XY 相互独立则： D(X 二丫)= D(X) D(Y)5、协方差：Cov(X,Y) =E(X,Y) -E(X)E(Y) 若 XY 相互独立则： Cov(X,Y)=06、相关系数：P XY = P(X，丫) = Cov(X,Y)若XY相互独立则：P XY =0即XY不相关W(X)jD(Y)7、协方差和相关系数的性质(1) Cov(X,X) =D(X) Co VX,Y) =Co VY,X) ⑵ Cov(X i X2,Y) =Cov(X i,Y) C OV(X2,Y) Cov(aX c,bY d) =abCo%,Y) 8、常见数学分布的期望和方差五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若 E(X) ==D(X) =；「2,对于任意0 有 P{X -E(X) 一 } 一卫孚或 P{X -E(X) ：： } 一1-卫冷91n1nXT X n相互独立且n T旳时，丄瓦Xi ― 丄瓦E(X i) n y nid2、大数定律：若⑸样本k 阶中心距：n1 _— k B k 二M k (X i -X)k,k =2,3…⑹次序统计量：设样本 (人必2…X n )的观察值区也…冷)，将“X ?…冷按照由小到大的次序重新排列，得到X (1)岂乂⑵乞…岂Xg ，记取值为X(Q 的样本分量为X(Q ，则称X (1)岂X (2) <<X (n)为样本以皿 X .)的次序统计量。

高中概率分布与期望值计算

高中概率分布与期望值计算概率是数学中非常重要的概念，它用来描述某个事件发生的可能性大小。

在高中数学中，学习概率分布和期望值的计算是必不可少的内容。

本文将详细介绍高中阶段概率分布与期望值的计算方法。

一、概率分布概率分布是指随机变量取各个值时，这些值发生的概率分别是多少。

在概率分布中，主要有离散概率分布和连续概率分布两种情况。

1. 离散概率分布离散概率分布是指随机变量只能取有限个或可数个数值的概率分布。

常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布和几何分布等。

以二项分布为例，假设一人投篮命中率为p，投篮n次，命中k次的概率可以用二项分布来表示。

二项分布的概率公式为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个中取出k个的组合数。

2. 连续概率分布连续概率分布是指随机变量可以取任意实数的概率分布。

常见的连续概率分布有正态分布、均匀分布和指数分布等。

以正态分布为例，正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1/√(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，μ表示均值，σ表示标准差。

二、期望值的计算期望值是指随机变量在多次试验中的平均取值。

期望值的计算方法根据概率分布的不同而不同。

下面以离散概率分布和连续概率分布为例进行说明。

1. 离散概率分布的期望值计算对于离散概率分布，期望值的计算公式为：E(X) = ∑(x*P(X=x))其中，x表示随机变量的取值，P(X=x)表示随机变量取值为x的概率。

以二项分布为例，假设投篮n次，命中k次，命中率为p，则命中次数的期望值为：E(X) = ∑(k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k))2. 连续概率分布的期望值计算对于连续概率分布，期望值的计算公式为：E(X) = ∫(x*f(x))dx其中，f(x)为概率密度函数。

以正态分布为例，假设随机变量服从正态分布，其期望值为μ，标准差为σ，则期望值为：E(X) = ∫(x*(1/√(2πσ^2))*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2)))dx三、总结高中阶段学习概率分布与期望值的计算是数学中的重要内容。

概率论数学期望

概率论数学期望数学期望公式是：e(x) = x1*p(x1） + x2*p(x2）+ …… + xn*p(xn) = x1*f1(x1）+ x2*f2(x2）+ …… + xn*fn(xn)在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）的意思是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。

它反映随机变量平均取值的大小。

须要特别注意的就是，期望值并不一定等同于常识中的“希望”——“期望值”也许与每一个结果都不成正比。

期望值就是该变量输入值的平均数。

期望值并不一定涵盖于变量的输入值子集里。

大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。

历史故事在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得法郎的奖励。

当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这法郎才比较公平？用概率论的科学知识，不难获知，甲获得胜利的可能性小，乙获得胜利的可能性大。

因为甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2）=1/4，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为1－(1/4)=3/4，甲有75%的期望获得法郎；而乙期望赢得法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1/2)*(1/2)=1/4，即乙有25%的期望获得法郎奖金。

可知，虽然无法再展开比赛，但依据上述可能性推测，甲乙双方最终胜利的客观希望分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的*75%=75(法郎)，乙应分得奖金的的×25%=25(法郎)。

这个故事里发生了“希望”这个词，数学希望由此而来。

高中数学概率与期望值解题技巧

高中数学概率与期望值解题技巧概率与期望值是高中数学中重要的概念和解题方法，它们在各个领域都有广泛的应用。

掌握概率与期望值的解题技巧，对于高中学生来说非常重要。

本文将从几个常见的题型入手，介绍概率与期望值的解题技巧，并给出具体例子进行说明。

一、概率的计算概率是指某个事件发生的可能性。

在计算概率时，我们需要知道事件的样本空间和事件的发生数。

下面以“抛硬币”为例进行说明。

例题1：抛掷一枚硬币，问正面朝上的概率是多少？解析：硬币的样本空间为{正面，反面}，而正面朝上的事件只有一个，即{正面}。

因此，正面朝上的概率为1/2。

例题2：一副扑克牌中，从中随机抽取一张牌，问抽到红心的概率是多少？解析：扑克牌的样本空间为52张牌，其中红心有13张。

因此，抽到红心的概率为13/52，即1/4。

二、条件概率条件概率是指在已知某个条件下，事件发生的概率。

在计算条件概率时，我们需要知道条件事件的发生数和事件的发生数。

下面以“扑克牌”为例进行说明。

例题3：一副扑克牌中，从中随机抽取一张牌，已知抽到的牌是红心，问这张牌是红桃的概率是多少？解析：已知抽到的牌是红心，说明样本空间缩小为红心牌。

而红心牌中红桃牌有1张，因此，这张牌是红桃的概率为1/13。

例题4：一副扑克牌中，从中随机抽取两张牌，已知第一张牌是红心，问第二张牌也是红心的概率是多少？解析：已知第一张牌是红心，说明样本空间缩小为红心牌。

而红心牌中红心牌有12张，因此，第二张牌也是红心的概率为12/51。

三、期望值的计算期望值是指随机变量的平均值，它可以用来衡量一个随机事件的平均结果。

在计算期望值时，我们需要知道事件的可能结果和每个结果的概率。

下面以“骰子”为例进行说明。

例题5：掷一颗均匀的六面骰子，问掷出的点数的期望值是多少？解析：六面骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}，每个点数的概率为1/6。

因此，点数的期望值为(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。

例题6：掷两颗均匀的六面骰子，问两颗骰子的点数之和的期望值是多少？解析：两颗骰子的样本空间为{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，每个点数之和的概率可以通过列举得到。

事件概率及数学期望

事件和的概率引入：从52张扑克牌中抽取一张，求恰好抽到黑桃或A的概率.1、概念：事件A出现或事件B出现：图示：加法公式：理解：2．例题分析例1：把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10个形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，求卡片上出现偶数或出现大于6的数的概率.例2：某远程教育网在某时段播放20套不同的节目，其中，9套是公民学历教育类节目，8套是外语类节目，5套既是公民学历教育类节目，又是外语类节目. 求在该时段随机选择一套节目，选到公民学历教育类节目或外语类节目的概率.例3：. 把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10个形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，求卡片上出现小于3或大于6的数的概率.概念：提问：“对立事件”和“互不相容事件”有什么区别？例4：从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取一张，求下列事件A与事件B的和的概率：(1)事件A为“出现J”，事件B为“出现K”；(2)事件A为“出现K”，事件B为“出现梅花”；(3)事件A为“出现红色牌”，事件B为“出现黑色牌”；(4)事件A为“出现有人头的牌”，事件B为“出现红色牌”.独立事件积的概率概念---互相独立事件如果事件A出现和事件Ｂ出现,相互之间没有影响,那么称事件Ａ和事件Ｂ互相独立.注1. 对立事件性质注２.互不相容事件或互斥事件注3.如果事件A和事件Ｂ互相独立.则对立事件的性质：概率乘法公式2、例题精析例1 如果100件产品有５件次品,那么返回抽取２件产品都是次品的概率是多少？例２从一副52张的扑克牌中随机抽取2张牌,求下列事件的概率:（1）在放回抽取的情况下,两张牌都是K;（2）在不放回抽取的情况下,两张牌都是K.例3从一副52张的扑克牌中第一张抽取到Q,重新放回第二张抽取到有人头的牌,求这两事件都发生的概率.例4从一副52张的扑克牌中随机抽取4张牌,求下列事件的概率:（1）在放回抽取的情况下,4张牌都是A;（2）在不放回抽取的情况下,4张牌都是A.例4 试证明：将一颗骰子接连抛掷４次至少出现一次６点的可能性大于将两颗骰子接连抛掷2４次至少出现一次双６点的可能性.例5一名工人维护甲乙丙３台独立的机床,在一小时内,甲乙和丙需要维护的概率分别为0.9、0.8、0,85,求一小时内下列事件的概率(1)没有一台机床需要维护;(2)至少有一台机床不需要维护.例6 如图所示的电路中,己知Ａ、Ｂ、Ｃ三个开关(图中从上往下三个开关分别ABC)断开的概率分别是0.3、0.2、0.2,求电路不通的概率.例7 在射击训练中,小强射中9环及以上频率为0.20,射中7环及8环频率0.40,射中3环至6环频率0.10,计算小强射击成绩7环及以上频率和射击成绩3环及以下频率.例8 己知甲射手射中目标的频率为80%,乙射手射中目标的频率为70%,如果甲乙两人的射击相互独立,那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的频率是多少？例9甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？例10 已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？例11某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；（2）甲、乙两人中至少有一人获二等奖的概率．例12某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率。

随机事件的概率与期望值的关系分析

随机事件的概率与期望值的关系分析在概率论与数理统计的学习中，我们常常会遇到计算随机事件的概率以及确定其期望值的问题。

概率论与数理统计是应用广泛的数学分支，它通过研究随机现象的规律性，为实际问题提供了有力的工具和方法。

本文将探讨随机事件的概率与期望值之间的关系，并分析其实际应用。

一、随机事件的概率概率是研究随机事件发生可能性大小的量度。

它的计算方法有多种，根据具体问题的不同，我们常用的有经典概率、几何概率和统计概率等。

1. 经典概率经典概率也称为古典概率，是指在具有确定性结果的试验中，某个事件发生的可能性。

其计算公式为：P(A) = N(A) / N(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间中的元素个数。

例如，掷一枚公正的骰子，求出现点数6的概率。

由于骰子的点数有6个可能的结果，而出现点数6的结果只有1个，因此利用经典概率公式可以得出：P(6) = 1/62. 几何概率几何概率是指通过几何方法来计算事件发生的可能性。

其计算公式为：P(A) = S(A) / S其中，P(A)表示事件A发生的概率，S(A)表示事件A对应的几何部分的面积、长度或体积，S表示样本空间对应的几何部分的面积、长度或体积。

例如，从一个半径为1的单位圆中随机选取一点，求该点到圆心的距离小于等于0.5的概率。

将这个问题转化为几何问题，可以将满足条件的区域看作是一个半径为0.5的圆在单位圆内部所占的面积。

因此可以计算得出：P(A) = π * (0.5)^2 / π * 1^2 = 0.253. 统计概率统计概率是根据实际观测数据来计算事件发生的可能性。

其计算公式为：P(A) = n(A) / n其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n表示总的观测次数。

例如，一批产品中有10%的次品率，从中随机抽取1个样本，求该样本为次品的概率。

由于次品率为10%，因此可以计算得出：P(次品) = 0.1二、随机事件的期望值期望值是研究随机事件结果集中趋势的一个指标，也是对随机事件结果的平均描述。

概率的常用九大公式

概率的常用九大公式1. 频率（Frequency）公式：贝叶斯公式的一种，有P（A）=N（A）/N，其中P（A）是关于A事件发生的概率，N（A）是关于A事件发生的频率，N是样本量总数。

2. 马尔可夫（Markov）公式：这是一种时间序列分析公式，它可以用来推测一个事件未来发生的可能性，一般表示成P（X1|X0），用于表示X1在X0发生的条件下发生的概率。

3. 条件概率（Conditional Probability）公式：用于表示两个随机事件之间的相关性，也就是在一个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率，一般表示成P（A|B），即在B发生的条件下A发生的概率。

4. 期望值（Expectation）公式：它是一种预测性的概率公式，用于表示在某种情况下一次独立实验的期望值，一般用数学期望L（X）表示，即L（X）=E（X1,X2,…,Xn）=∑（XiP（X））。

5. 概率密度函数（Probability Density Function）公式：用于描述概率分布的函数，它可以用来估算某种事件发生的概率，也可以通过概率分布函数得出事件发生的期望值和方差，一般表示为f（x）。

6. 泊松分布（Poisson Distribution）公式：这是一种偏斜正态分布，用于模拟像火灾，概率等不定期发生的场景，一般表示为P（X=k）=（e‘^k*k!）/λ^k。

7. 伯努利概率（Bernoulli Probability）公式：它是一种描述计算双结果概率的模型，一般表示为P（X=x）=p^x x(1-p)^1-x，其中p为发生一次事件的概率。

8. 多项式分布（Multinomial Distribution）公式：多项式分布是一种描述多次可能发生的结果概率的模型，一般表示为P（X=x）=n!/x1!x2!……xk!pi1pi2……pik，其中x1，x2，……，xk分别为各种可能结果出现次数，pi1，pi2，……，pik分别为发生各种可能结果的概率。

概率与数学期望

概率与数学期望离散概率初步⼀个经典的例⼦就是抛硬币：连续抛3次硬币，恰好有两次正⾯的概率有多少：抛3次硬币，⼀共有8可能：HHH , HHT , HTH , HTT , THH ,THT , TTH ,TTT这⼋种情况的概率是相等的这⾥的{HHH , HHT , HTH , HTT , THH ,THT , TTH ,TTT}⽤专业术语讲就是样本空间“恰好有两个正⾯”这个事件可以表⽰为：A={HHT , HTH , THH}所以P(A)=3/8接下来要说的就是⼀个经典问题：⽣⽇问题⼀共有23个⼈，⾄少两个⼈的⽣⽇相同的概率超过50%，为了简单起见，每个⼈的⽣⽇都不是2⽉29⽇实际上这个例⼦和抛硬币有异曲同⼯之妙每个⼈的⽣⽇是365天中等概率选择的，因此样本空间是|S|=365^23接下来要计算“⾄少两个⼈的⽣⽇相同”，这个不⼤好统计，所以我们遵循原则：正难则反先计算出任何两个⼈的⽣⽇都不同，然后⽤总数减去就好了，于是有式⼦在实际计算的时候，A(365,23)和365^23都是⽆法直接计算的但是概率是⼀个不超过1的double，并且此处不需要太⾼的精度，所以我们直接计算：double P(int n,int m){double ans=1.0;for (int i=0;i<m;i++) ans*=(n-i);return ans;}double birthday(int n,int m){double ans=P(n,m);for (int i=1;i<=m;i++) ans/=n;return 1-ans;}但是如果m太⼤，上⾯那个程序就会爆掉我们的解决⽅法是边乘边除：double birthday(int n,int m){double ans=1.0;for (int i=0;i<m;i++) ans*=(double)(n-i)/n;return 1-ans;}和int，ll⼀样，double类型也要时刻注意溢出条件概率公式：P(A|B)=P(AB)|P(B)P(A|B)：在事件B发⽣的前提下，事件A发⽣的概率P(AB)：事件A和B同时发⽣的概率贝叶斯公式P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)这也是条件概率中很重要的⼀个公式全概率公式把样本空间S分成若⼲个不想交的部分B1，B2，B3，…，Bn，则P(A)=P(A|B1)*P(B1)+P(A|B2)*P(B2)+…+P(A|Bn)*P(Bn)这⾥的P(A|B)是指B事件发⽣的条件下，事件A发⽣的概率其实ta的思想很简单：⽐如，参加NOI，得到⾦牌，银牌，铜牌，当炮灰的概率分别是0.1,0.2,0.3,0.4，在这种情况下，保送上清华的概率分别是1.0,0.8,0.5,0.1，则被报送的总概率是0.1*1.0+0.2*0.8+0.3*0.5+0.4*0.1使⽤全概率公式的关键就是划分时间空间只有把所有情况不重复，不遗漏的进⾏分类，并计算出每个事件的概率，才能得出正确的答案数学期望简单地说，随机变量X的数学期望EX就是所有可能值按概率加权的和⽐如⼀个随机变量有1/2的概率等于1,1/3的概率等于2,1/6的概率等于3那么这个随机变量的数学期望为1/21+1/32+1/63在⾮正式场合中，可以说这个随机变量“在平均情况下的值”为1/21+1/32+1/63在解决和数学期望相关的题⽬时，⼤多数是可以直接考虑定义法解决求出各个取值和对应的概率当然，如果是等概率事件（所有事件的概率完全相等）我们可以⽤：各个情况之和/总情况数量（相当于求⼀个平均值，不是⼀般的好⽤啊）如果遇到困难，我们可以考虑⼀下两个法宝：期望的线性性质：有限个随机变量之和的数学期望等于每个的数学期望之和即E(X+Y)=EX+EY全期望公式：类似全概率公式，把所有情况不重复，不遗漏的分成若⼲类，每个计算数学期望，最后把这些数学期望按照每类的概率加权求和实际上，我们最常⽤的就是全概率公式把样本空间S分成若⼲个不想交的部分B1，B2，B3，…，Bn，则P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)*P(Bn)这⾥的P(A|B)是指B事件发⽣的条件下，事件A发⽣的概率全期望公式类似全概率公式，把所有情况不重复，不遗漏的分成若⼲类，每个计算数学期望，最后把这些数学期望按照每类的概率加权求和练习给出⼀个有向⽆环的连通图，起点为 1，终点为 N，每条边都有⼀个长度。

概率与数学期望

1、一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.2、甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23,假设各局比赛结果相互独立.(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望3、某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,X Y,求3X 的概率;(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?4、在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; (Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.。

概率与数学期望

概率与数学期望概率与数学期望是数学中两个重要的概念，被广泛应用于统计学、金融学、工程学等各个领域。

本文将从概率的定义和计算方法，以及数学期望的概念和应用角度进行论述。

一、概率概率是描述事件发生可能性大小的数值，通常用0到1之间的数表示。

在概率论中，我们通过对样本空间和事件的定义来计算概率。

以掷骰子为例，假设我们有一个均匀的六面骰子，那么掷出1的概率就是1/6。

概率的计算可以通过频率和理论推导两种方法。

1.1 频率法频率法是通过实验重复进行，并统计事件发生的次数来计算概率。

以抛硬币为例，我们进行100次实验，发现正面朝上的次数是50次，那么正面朝上的概率就是50/100=0.5。

1.2 理论推导法理论推导法是通过已知的条件和概率公式，利用数学推导来计算概率。

概率的公式包括加法法则、乘法法则和全概率公式。

以两个骰子点数和为例，我们可以通过列举所有可能的结果来计算概率。

例如，点数和为7的概率是多少？我们可以得知可能的结果有36个，其中点数和为7的结果有6个，因此概率为6/36=1/6。

二、数学期望数学期望是一个随机变量的平均值，表示对该变量的预期结果。

数学期望可以帮助我们了解随机变量的整体特征，并进行决策和预测。

数学期望的计算可以通过离散型和连续型两种情况。

2.1 离散型数学期望对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为E(X) = ΣxP(X=x)，其中x表示随机变量的可能取值，P(X=x)表示随机变量取值为x的概率。

以扑克牌为例，我们可以计算一手五张牌中点数的数学期望。

根据扑克牌的规则，点数2到10的概率为4/52，而J、Q、K的概率为4/52，A的概率为1/52。

因此，一手五张牌中点数的数学期望为(2+3+...+10)*4/52 + (11+12+13)*4/52 + 1*1/52 = 6.9231。

2.2 连续型数学期望对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为E(X) = ∫xf(x)dx，其中f(x)表示随机变量的概率密度函数。

概率论公式总结

（5）八
大F分(x布1)
F二(项x2)分；布
3
。
qF(1)p,0limpF(1x,)k00,，1,2,F(,n，) x
lim F(x) 1
x
；4。
F(x 0) F(x) ，即 F(x则) 是称右随连机续变的；量5.X P服(X从参x数) 为Fn(x，) pF(的x 二0项) 。分对布于。离记散型为
上为常数 1 ，即 ba
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间
f
(
x)

b
1
a
,
0,
a≤x≤b 其他
（ x1 , x2 ）内的概率为
P( x1

X

x2 )

x2 b
x1 a
.
指数分布
ex ,
x 0,
f (x)
0,
x 0,
其中 0 ，则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。
j
Y 的边缘分布为
P j P(Y y j ) pij (i, j 1,2,) 。
i
X 的边缘分布密度为
连续型
f X (x)
f (x, y)dy；

Y 的边缘分布密度为
离散型

fY ( y)
f (x, y)dx.

pij pi p j
连续型
随机变量的函数

P(X x) P(x X x dx) f (x)dx 。积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论
中所起的作用与 P( X xk) pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
.