事件概率及数学期望

事件和的概率

引入：从52张扑克牌中抽取一张，求恰好抽到黑桃或A的概率.

1、概念：

事件A出现或事件B出现：

图示：

加法公式：

理解：

2．例题分析

例1：把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10个形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，求卡片上出现偶数或出现大于6的数的概率.

例2：某远程教育网在某时段播放20套不同的节目，其中，9套是公民学历教育类节目，8套是外语类节目，5套既是公民学历教育类节目，又是外语类节目. 求在该时段随机选择一套节目，选到公民学历教育类节目或外语类节目的概率.

例3：. 把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10个形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，求卡片上出现小于3或大于6的数的概率.

概念：

提问：“对立事件”和“互不相容事件”有什么区别？

例4：从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取一张，求下列事件A与事件B的和的概率：

(1)事件A为“出现J”，事件B为“出现K”；

(2)事件A为“出现K”，事件B为“出现梅花”；

(3)事件A为“出现红色牌”，事件B为“出现黑色牌”；

(4)事件A为“出现有人头的牌”，事件B为“出现红色牌”.

独立事件积的概率

概念---互相独立事件

如果事件A出现和事件Ｂ出现,相互之间没有影响,那么称事件Ａ和事件Ｂ互相独立.

注1. 对立事件性质

注２.互不相容事件或互斥事件

注3.如果事件A和事件Ｂ互相独立.则对立事件的性质：

概率乘法公式

2、例题精析

例1 如果100件产品有５件次品,那么返回抽取２件产品都是次品的概率是多少？

例２从一副52张的扑克牌中随机抽取2张牌,求下列事件的概率:

（1）在放回抽取的情况下,两张牌都是K;

（2）在不放回抽取的情况下,两张牌都是K.

例3从一副52张的扑克牌中第一张抽取到Q,重新放回第二张抽取到有人头的牌,求这两事件都发生的概率.

例4从一副52张的扑克牌中随机抽取4张牌,求下列事件的概率:

（1）在放回抽取的情况下,4张牌都是A;

（2）在不放回抽取的情况下,4张牌都是A.

例4 试证明：将一颗骰子接连抛掷４次至少出现一次６点的可能性大于将两颗骰子接连抛掷2４次至少出现一次双６点的可能性.

例5一名工人维护甲乙丙３台独立的机床,在一小时内,甲乙和丙需要维护的概率分别为0.9、0.8、0,85,求一小时内下列事件的概率

(1)没有一台机床需要维护;

(2)至少有一台机床不需要维护.

例6 如图所示的电路中,己知Ａ、Ｂ、Ｃ三个开关(图中从上往下三个开关分别ABC)断开的概率分别是0.3、0.2、0.2,求电路不通的概率.

例7 在射击训练中,小强射中9环及以上频率为0.20,射中7环及8环频率0.40,射中3环至6环频率0.10,计算小强射击成绩7环及以上频率和射击成绩3环及以下频率.

例8 己知甲射手射中目标的频率为80%,乙射手射中目标的频率为70%,如果甲乙两人的射击相互独立,那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的频率是多少？

例9甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；

（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？

例10 已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．

（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；

（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？

例11某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求

（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；（2）甲、乙两人中至少有一人获二等奖的概率．

例12某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：

（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率。

（3）5次预报中恰．好．第1次、第2次、第3次、第5次准确的概率；

（4）5次预报中第1次、第2次、第3次、第5次准确的概率；

（5）5次预报中恰．好．第4次准确的概率；（6）5次预报中至多有1次准确的概率。

四、作业布置

1.掷一颗骰子，求出现下列事件的概率：

(1)点数不是素数；(2)点数小于5或者为奇数；(3)点数小于3或者大于4；

(4)点数是偶数或者素数.

2.从一副52张扑克牌中随机抽取一张，求出现下列事件的概率：

(1)这张牌不是红桃；(2)这张牌是K；(3)这张牌是红桃或黑桃；(4)这张牌不是红桃或7；

(5)这张牌既非红桃又非7.

3. 从1、2、3、4中随机选取两个数，ξ表示这两个数之和，求ξ可能取得的值以及取这些值的概率.

4. 掷两颗骰子，求点数之和分别为下列值的概率：

(1) 11或12；(2)偶数或3的倍数；(3)奇数或大于9.

5. 加工一个产品要经过三道工序,第一、二、三道工序不出废品的概率0.9、0.95、0.8,若假定各工序是否出废品为独立的,则经过这三道工序加工加工出来的产品不出废品的概率是多少?

6.甲乙两种种子的发芽率分别为0.8、0.7,从两种种子中随机地各取一粒,求 (1)两粒种子都是发芽种子的概率;(2) 两粒种子中一粒发芽、一粒不发芽的概率; (3) 两粒种子中至少有一粒发芽的概率.

7.己知事件A 、B 是相互独立事件,P(A)=0.2,44.0)B A B A AB (P =++,求P(B)

8甲乙丙三个人独立地破译某种密码,他们能破译出密码的概率分别为0.3、0.2、0.25,求能破译出密码的概率.. 9.甲乙丙三人独立完成某次测试,他们测试合格的概率为，

10

7

53

54、

、求 (1)三人中有且只有２人测试合格的概率; (2)三人中至少有1人测试不合格的概率. 10.在四次独立试验中,事件Ａ出现的概率相同,若事件Ａ至少发生一次的概率为

81

65,求事件Ａ在一次试验中出现

的概率.

11甲、乙两歼击机飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为 ____ 12甲、乙两人独立地解决一道数学题，已知甲能解对的概率为m ，乙能解对的概率为n ，那么这道数学题被得到正确解答的概率为 13．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.

方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：

(1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率.

14．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是

14

，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管

的概率是多少？（结果保留两个有效数字）

15． 某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？

4.3. 随机变量和数学期望

随机变量的概念

一般地，我们把定义在基本空间Ω上的函数叫做随机变量. 注： 1.随机变量实质:

2.随机变量将__________与________联系在一起.通过随机变量，我们可以将随机事件转化为____. 例1.在旋转一枚均匀硬币的实验中，用随机变量ξ表示所有的基本事件及其概率.