中点四边形课件 ppt课件
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中点四边形ppt
快速练习：
（1）中点四边形是菱形，原四边形是（ D ） A 矩形 B 菱形 C 正方形 D 对角线相等的四边形 （2）中点四边形是矩形，原四边形是（ D ） A 矩形 B 菱形 C 正方形 D 对角线互相垂直的四边形 （3）中点四边形是正方形，原四边形是（ D ） A 矩形 B 正方形 C 对角线互相垂直且平分的四边形 D 对角线互相垂直且相等的四边形 （4）一个梯形的中点四边形是菱形，这个梯形是 （等腰梯形 ）
什么情况是矩形呢？ 若四边形EFGH是矩形，则FH⊥BC B 连接AO ∵FH//AO ∴AO⊥BC E G O A F H C
小结1: 从一般到特殊的研究方法
我们从原四边形两条对角线的位置关系 和数量关系探索了中点四边形的形状变化， 从中我们可以体会到当原四边形从一般到特 殊的变化中（也就是对角线关系从一般到特 殊），常常伴随着中点四边形从一般到特殊 的变化。
H A
D G
证明：连接AC、BD．
E
∵AE=EB,BF=FC, B F ∴EF∥ AC EF=1/2AC． 同理GH ∥ AC GH=1/2AC． ∴EF ∥ GH EF=GH=1/2AC， ∴四边形EFGH是平行四边形． 注：同理 HE=FG=1/2BD ∴EF+FG+GH+HE=AC+BD
C
分析:根据上题我们有“任意四边形 的中点四边形都是平行四边形” ，再结 合四边形对角线的关系我们可以得出 结论：（课堂点睛P55第4题）
B
D
F
E
C
中点四边形： 定义：顺次连接一个四边形四边中点所 得四边形称为这个四边形的中点四边形。 思考：依次连接任意四边形各边中点 所成的中点四边形是什么图形呢？
已知：如图，点E、
苏科版八年级数学下册第九章《中点四边形课件》公开课课件(共14张PPT)
(3)写出四边形AnBnCnDn的面积;
A
(4)求四边形A5B5C5D5的周长.
A1
D2
D1
D3
C3
A2
…
C2
B
D
A3
B3
B1
B2
C1
C
图13
D
G
H
C
F
A
E
B
问题2：已知: 平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是
四边中点，试说明四边形EFGH的形状并说明理由
H
A
D
E
G
B
C
F
问题3：如果四边形ABCD是矩形，则四边形 EFGH是什么特殊四边形呢？
A
H
D
答案：菱形 E
B
G C F
问题4：如果四边形 ABCD是菱形，则四边形
EFGH是什么特殊的四边形呢？
•
问题5：如果四边形 ABCD是正方形，则四边
形EFGH又是什么特殊四边形？
A
H
D
答案：正方形 E
G
B
C
F
已知：在四边形ABCD中， E、F、G、H分别是
四边中点; （1）如果AC=BD，则
四边形EFGH是 菱形。
（2）如果AC⊥BD，则
D G
H
C
四边形EFGH是 矩形 。
F
A
（3）如果AC=BD、 AC⊥BD，
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/242021/7/242021/7/24Jul-2124-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/242021/7/242021/7/24Saturday, July 24, 2021
中点四边形课件
学习目标：
1.理解中点四边形的概念; 2.掌握中点四边形的判定、证明及 应用; 学习重难点： 中点四边形的判定、证明及应用;
复习旧知：
三角形中位线:
如图，在△ABC中,D、E分别是AB、AC的
中点. DE就是△ABC的中位线.
几何语言： ∵ D、E分别是AB、AC的中点 D ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE=
G
∵ E、F是AB、BC边中点
∴EF是△ABC中位线 1 ∴EF∥AC且EF＝ 2 AC ∴EF ∥ HG且EF ＝ HG ∴四边形EFGH为平行四边形。
B
F
C
1 同理：HG ∥ AC且HG ＝ AC 2
结论：任意四边形的中点四边形都为平行 四边形。 (对角线既不相等又不垂直）
平行四边形的中点四边形是什么形 状？
探究三：
已知:如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD各 边的中点，且AC⊥BD,则四边形EFGH是什么形 状呢？为什么？
D
H
A
G
O E
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
F
结论：对角线互相垂直 的四边形的中点四边形 为矩形。
想一想：
菱形的中点四边形是什么形状?
A E B F C G H
D
结论：菱形的中点四边形是矩形。
探究四：
“任中平”
“平中平” • 矩形的中点四边形是________________； 菱形 “矩中菱” ________________； • 菱形的中点四边形是 矩形
• 正方形的中点四边形是 ______________； “菱中矩”
正方形
“正中正”
“我”的命运由 对角线 主宰
原四边形的对角线
1.理解中点四边形的概念; 2.掌握中点四边形的判定、证明及 应用; 学习重难点： 中点四边形的判定、证明及应用;
复习旧知：
三角形中位线:
如图，在△ABC中,D、E分别是AB、AC的
中点. DE就是△ABC的中位线.
几何语言： ∵ D、E分别是AB、AC的中点 D ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE=
G
∵ E、F是AB、BC边中点
∴EF是△ABC中位线 1 ∴EF∥AC且EF＝ 2 AC ∴EF ∥ HG且EF ＝ HG ∴四边形EFGH为平行四边形。
B
F
C
1 同理：HG ∥ AC且HG ＝ AC 2
结论：任意四边形的中点四边形都为平行 四边形。 (对角线既不相等又不垂直）
平行四边形的中点四边形是什么形 状？
探究三：
已知:如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD各 边的中点，且AC⊥BD,则四边形EFGH是什么形 状呢？为什么？
D
H
A
G
O E
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
F
结论：对角线互相垂直 的四边形的中点四边形 为矩形。
想一想：
菱形的中点四边形是什么形状?
A E B F C G H
D
结论：菱形的中点四边形是矩形。
探究四：
“任中平”
“平中平” • 矩形的中点四边形是________________； 菱形 “矩中菱” ________________； • 菱形的中点四边形是 矩形
• 正方形的中点四边形是 ______________； “菱中矩”
正方形
“正中正”
“我”的命运由 对角线 主宰
原四边形的对角线
中考专题复习中点四边形(实用资料)ppt
边形是菱形 求证：四边形EFGH是矩形。
3、依次连接菱形ABCD各边中点得四边形EFGH，再依次连接四边形EFGH各边中点得四边形MNPQ，则四边形EFGH，四边形MNPQ
的形状是（
）
3、如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是BC,CD的中点，AF,DE相交于点G，则可得结论：
依次连接矩形四边中点得到的四边形是什么四边形?
H A
E
D G C
F B
问题6：
依次连接怎样一个四边形四边中点的图形是矩形？
连接对角线互相垂直的四边形四条边中点得到 的四边形是矩形
问题7：
依次连接怎样一个四边形四边中点的图形是正方形？
问题8：
依次连接普通平行四边形四边中点得到的四边形是什么四边形?
求证：四边形EFGH是菱形。
连接对角线相等的四边形四条边中点得到的四边形是菱形
平行四边形
问题2：
依次连接矩形四边中点得到的四边形是什么四边形?
已知：如图，E、F、G 、H分别是矩形ABCD四条边AB、 BC、CD、DA的中点， 求证：四边形EFGH是菱形。
A
H
D
E
G
B
F
C
问题3：
依次连接等腰梯形四边中点的四边形是什么四边形？
已知：如图，E、F、G 、H分别是等腰梯形ABCD四 条边AB、BC、CD、DA的中点， 求证：四边形EFGH是菱形。
连接对角线互相垂直的四边形四条边中点得到的四边形是矩形
连接对角线互相垂直的四边形四条边中点得到的四边形是矩形
H 依次连接矩形四边中点得到的四边形是什么四边形? A D 3、如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是BC,CD的中点，AF,DE相交于点G，则可得结论：
3、依次连接菱形ABCD各边中点得四边形EFGH，再依次连接四边形EFGH各边中点得四边形MNPQ，则四边形EFGH，四边形MNPQ
的形状是（
）
3、如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是BC,CD的中点，AF,DE相交于点G，则可得结论：
依次连接矩形四边中点得到的四边形是什么四边形?
H A
E
D G C
F B
问题6：
依次连接怎样一个四边形四边中点的图形是矩形？
连接对角线互相垂直的四边形四条边中点得到 的四边形是矩形
问题7：
依次连接怎样一个四边形四边中点的图形是正方形？
问题8：
依次连接普通平行四边形四边中点得到的四边形是什么四边形?
求证：四边形EFGH是菱形。
连接对角线相等的四边形四条边中点得到的四边形是菱形
平行四边形
问题2：
依次连接矩形四边中点得到的四边形是什么四边形?
已知：如图，E、F、G 、H分别是矩形ABCD四条边AB、 BC、CD、DA的中点， 求证：四边形EFGH是菱形。
A
H
D
E
G
B
F
C
问题3：
依次连接等腰梯形四边中点的四边形是什么四边形？
已知：如图，E、F、G 、H分别是等腰梯形ABCD四 条边AB、BC、CD、DA的中点， 求证：四边形EFGH是菱形。
连接对角线互相垂直的四边形四条边中点得到的四边形是矩形
连接对角线互相垂直的四边形四条边中点得到的四边形是矩形
H 依次连接矩形四边中点得到的四边形是什么四边形? A D 3、如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是BC,CD的中点，AF,DE相交于点G，则可得结论：
各种四边形各边中点连线课件
数学竞赛中的应用
• 数学竞赛中的中点连线问题：在数学竞赛中，中点 连线问题是一个常见的题型，通常涉及到几何、代 数和解析几何等多个知识点。这类问题需要参赛者 具备严密的逻辑推理能力和扎实的数学基础，以找 到最优的解决方案。
05
中点连线在数学中的发展 与前景
中点连线在数学中的地位与作用
中点连线是几何学中的基本概念，它在数学中具有重要的地 位和作用。通过中点连线，我们可以研究几何图形的性质、 关系和变化，解决各种几何问题。
分类与特性
分类
根据四边形的对边关系，可分为平行 四边形、梯形、不规则四边形等。
特性
平行四边形对角相等且平行；梯形只 有一组对边平行；不规则四边形则无 特定特性。
面积与周长的计算
面积
根据四边形的不同类型，面积计算公式也不同。平行四边形面积=底×高；梯 形面积=(上底+下底)×高/2；不规则四边形面积需要通过分割或特殊性质来求 解。
各种四边形各边中点连线课件
目录
• 四边形的定义与性质 • 四边形各边中点连线 • 中点连线性质与定理 • 中点连线在实际生活中的应用 • 中点连线在数学中的发展与前景
01
四边形的定义与性质
定义与性质
定义
四边形是由四条线段首尾顺次连 接围成的平面图形。
性质
四边形具有不稳定性，即容易变 形；相对边相等且平行；相对角 相等或互补。
中点连线在数学教育中的意义与价值
中点连线是数学教育中的重要内容之一，通过学习中点连 线，学生可以掌握基本的几何知识和技能，培养逻辑思维 能力、空间想象能力和解决问题的能力。
中点连线的学习对于提高学生的数学素养和综合素质具有 重要意义，同时也有助于培养学生的创新意识和实践能力 。
课题学习;中点四边形课件
04
中点四边形的推广与拓展
中点多边形的概念与性质
总结词
中点四边形的基本概念和性质
详细描述
中点四边形是指通过连接任意四边形的对角线，将四边形划分为四个三角形，其中每条 对角线上的中点连线的交点所构成的四边形。中点四边形具有一些基本的性质，如它的
四边长度相等，四个内角均为直角等。
中点多边形的构造方法
性质
总结词
中点四边形具有一些特殊的性质，如面积性质、周长性质等。
详细描述
中点四边形具有一些特殊的性质。首先，它的面积等于原平行四边形的面积的一 半。其次，它的周长等于原平行四边形的两条对角线的长度之和。此外，中点四 边形的对角线还具有一些特殊的性质，如长度性质等。
分类
总ห้องสมุดไป่ตู้词
中点四边形可以根据原平行四边形的不同类型进行分类。
中点四边形在现代数学中的应用
几何学中的中点四边形
01
在几何学中，中点四边形被广泛应用于图形变换、对称性等领
域。
代数与解析几何中的中点四边形
02
通过代数和解析几何的方法，中点四边形在解决某些数学问题
上展现出独特的优势。
计算机图形学中的中点四边形
03
在计算机图形学中，中点四边形被用于生成平滑的曲线和曲面
THANKS
感谢观看
在计算机图形学中的应用
计算机图形学是研究计算机生成和操作图形的科学，而中点四边形在其中也有着 广泛的应用。例如，在绘制几何图形时，可以利用中点四边形的性质和定理，提 高绘图的精度和效率。
在计算机动画和游戏设计中，中点四边形也有着重要的应用。通过中点四边形的 性质和定理，可以实现图形的平滑变换和动态更新，从而提高动画和游戏的真实 感和流畅度。
人教版八年级下中点四边形课件张
A H D
E
B F C G D H
A
B F
平行四边形
G
C
平行四边形
菱形
G
C
小组合作探究:
平行四边形 任意四边形的中点四边形都是________； 平行四边形 平行四边形的中点四边形是__________； 菱形 矩形的中点四边形是________________； 菱形的中点四边形是________________； 矩形 正方形的中点四边形是______________； 正方形 梯形的中点四边形是________________； 平行四边形 平行四边形 直角梯形的中点四边形是____________； 菱形 等腰梯形的中点四边形是____________。
E G
B
F
C
练习4：
点O是△ABC所在平面内 是 所在平面内 一动点，连结OB、OC，并把 一动点，连结 、 ， AB、OB 、 OC、CA的中点 、 的中点D、 、 、 的中点 E、F、G顺次连结起来，设 顺次连结起来， 、 、 顺次连结起来 DEFG能够成四边形。 能够成四边形。 能够成四边形 （1）如图，当点 在△ABC内 ）如图，当点O在 内 求证：四边形DEFG是平行 时，求证：四边形 是平行 四边形； 四边形； 移到△ 外时， （2）当点 移到△ABC外时， ）当点O移到 外时 上小题的结论是否仍成立？ 上小题的结论是否仍成立？
A B H D C B G C F A E究:
平行四边形 任意四边形的中点四边形都是________； 平行四边形 平行四边形的中点四边形是__________； 菱形 矩形的中点四边形是________________； 菱形的中点四边形是________________； 正方形的中点四边形是______________； 梯形的中点四边形是________________； 直角梯形的中点四边形是____________； 等腰梯形的中点四边形是____________。
四边形各边中点的连线知识讲解
2 n1
A、①② B、②③ C、②③④ D、①②③④
九年级数学(上)第三章 证明(三)
回顾与思考
特殊四边形的性质
驶向胜利的彼岸
平行四边形
矩形
对边平行
边
且相等
对边平行 且相等
菱形
对边平行 四边相等
正方形
对边平行 四边相等
对角相等 四个角都是 对角相等 四个角都是
角 邻角互补
90°
邻角互补
90°
对 角 线
互相平分
互相平分 且相等
互相平分 互相平分 且垂直 垂直且相等
A1
D2
D1
D3
C3
四边形1A42B2C2D2的周长 B 是_____。
A2
D
C2
四边1形0A3B3C3D3的周长 是_____。
A3
B1
B3
B2
C1
7
C
独立
作业
知识的升华2013年 驶向胜利
中考数学试题
的彼岸
如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD， 顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形
A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得 到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形 AnBnCnDn．下列结论正确的有（ ） ①四边形A2B2C2D2是矩形； ②四边形A4B4C4D4是菱形； a b ③四边形A5B5C5D5的周长是 4 ④四边形AnBnCnDn的面积是 a b
正方形、等腰梯形的各边中点顺次连接得到什
么形状的四边形。
动,不如
（1） 顺次连结平行四边 形各边中点所得的四边形是 什么？
（2）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是什么？
A、①② B、②③ C、②③④ D、①②③④
九年级数学(上)第三章 证明(三)
回顾与思考
特殊四边形的性质
驶向胜利的彼岸
平行四边形
矩形
对边平行
边
且相等
对边平行 且相等
菱形
对边平行 四边相等
正方形
对边平行 四边相等
对角相等 四个角都是 对角相等 四个角都是
角 邻角互补
90°
邻角互补
90°
对 角 线
互相平分
互相平分 且相等
互相平分 互相平分 且垂直 垂直且相等
A1
D2
D1
D3
C3
四边形1A42B2C2D2的周长 B 是_____。
A2
D
C2
四边1形0A3B3C3D3的周长 是_____。
A3
B1
B3
B2
C1
7
C
独立
作业
知识的升华2013年 驶向胜利
中考数学试题
的彼岸
如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD， 顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形
A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得 到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形 AnBnCnDn．下列结论正确的有（ ） ①四边形A2B2C2D2是矩形； ②四边形A4B4C4D4是菱形； a b ③四边形A5B5C5D5的周长是 4 ④四边形AnBnCnDn的面积是 a b
正方形、等腰梯形的各边中点顺次连接得到什
么形状的四边形。
动,不如
（1） 顺次连结平行四边 形各边中点所得的四边形是 什么？
（2）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是什么？
中点四边形
九(上)第三章 证明（三）
3.2.3特殊的平行四边形
创设情境 将一块不规则的四边形铁皮 剪成平行四边形，让你剪， 你打算怎样剪呢？
想一想
为什么四边形EFGH是平行四边形？如何证明？
G ● D
●
C
证明：
F
∵E、H分别是AB、AD的中点 ∴EH是△ABD的中位线
H● A
●
E G ● D
1 ∴EH∥BD EH ＝ BD B 2 1 同理可得: FG∥BD FG ＝ 2 BD C
的图形呢？先猜一猜，动手画一画，再证明。
D H● A E
●
G
●
C
●
F B
请大家动手画图，猜想, 测量， 分组讨论并证明！
结论：
任意四边形的中点四边形都是 平行四边形 ； 平行四边形的中点四边形是 平行四边形 ； 矩形 菱形的中点四边形是_____________；
菱形 矩形的中点四边形是______________；
∴ EH∥FG
●
EH＝FG
H● A
●
F
B
∴四边形EFGH是平行四边形
中点四边形的定义： 顺次连接一个四边形四边中点所得到的 四边形称为这个四边形的中点四边形。
G ● D
●
C
D
C
H● A
●
F B
E
A
B
试一试
依次连接正方形各边的中点，能得到一个怎样
的图形呢？先猜一猜，动手画一画，再证明。
D
●
G
C
H●
一展
身手
在下图中,ABCDXA表示一条环行高速公路,X表示 一座水库,B,C表示两个大市镇.已知ABCD是一个正方 形,XAD表示是一个等边三角形.假如政府要铺设两条 输水管XB和XC,从水库向B,C两个市镇供水,那么这条 水管的夹角(即∠BXC)是多少度?
3.2.3特殊的平行四边形
创设情境 将一块不规则的四边形铁皮 剪成平行四边形，让你剪， 你打算怎样剪呢？
想一想
为什么四边形EFGH是平行四边形？如何证明？
G ● D
●
C
证明：
F
∵E、H分别是AB、AD的中点 ∴EH是△ABD的中位线
H● A
●
E G ● D
1 ∴EH∥BD EH ＝ BD B 2 1 同理可得: FG∥BD FG ＝ 2 BD C
的图形呢？先猜一猜，动手画一画，再证明。
D H● A E
●
G
●
C
●
F B
请大家动手画图，猜想, 测量， 分组讨论并证明！
结论：
任意四边形的中点四边形都是 平行四边形 ； 平行四边形的中点四边形是 平行四边形 ； 矩形 菱形的中点四边形是_____________；
菱形 矩形的中点四边形是______________；
∴ EH∥FG
●
EH＝FG
H● A
●
F
B
∴四边形EFGH是平行四边形
中点四边形的定义： 顺次连接一个四边形四边中点所得到的 四边形称为这个四边形的中点四边形。
G ● D
●
C
D
C
H● A
●
F B
E
A
B
试一试
依次连接正方形各边的中点，能得到一个怎样
的图形呢？先猜一猜，动手画一画，再证明。
D
●
G
C
H●
一展
身手
在下图中,ABCDXA表示一条环行高速公路,X表示 一座水库,B,C表示两个大市镇.已知ABCD是一个正方 形,XAD表示是一个等边三角形.假如政府要铺设两条 输水管XB和XC,从水库向B,C两个市镇供水,那么这条 水管的夹角(即∠BXC)是多少度?
中点四边形课件
∴ 四边形CODP是平行四边形
AC，DO =
且AC=BD ∴CO=DO ∴四边形CODP是菱形
4. ②如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结
论应变为什么？ ③如果题目中的矩形变为正方形(图二)， 结论又应变为什么？
A O D C D P B A B O C
P
图一
图二
5. ABC绕着点 C顺时针旋转 180得 CED，当ABC是什么形状时 , 四边形 ABED是： 1、菱形？ 2、矩形？ 3、正方形？
课题: 探究 ：中点四边形
三角形 中位线 的性质 定理:三角形的中位线平行于第三边, 且等于第三边的一半. A
∵DE是△ABC的中位线, 1 ∴DE∥BC, DE BC . 2
B D E
C
这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系 的根据.
已知:如图,点E、F、G、H分别是四边形 顺次连接任意四边形各边中点 ABCD 各边中点。 所成的四边形是什么形状 ? 求证：四边形EFGH为平行四边形。
A G E H D
证明平行四边形 EGFH 是正方形．
B
F
C
3、如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧 分别作3个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF。 （1）四边形ADEF是什么四边形？ （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？ （3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？ （4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？ （5）当△ABC满足什么条件时， 平行四边形ADFE不存在；
D
k
E F A
N
M
B
C
4.①如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
过点D作 DP∥OC，且 DP=OC，连结CP， 试说明：四边形CODP是的形状。
人教部初二八年级数学下册 探究中点四边形的形状 名师教学PPT课件
结合刚才的证明过程，小组讨论并思考：
❖ （1）中点四边形的形状与原四边形的什么有 着密切的关系？
❖ （2）要使中点四边形是菱形，原四边形一定 是矩形吗？
❖ （3）要使中点四边形是矩形，原四边形一定 是菱形吗？
结论：
❖ （1）中点四边形的形状与原四边形的对角线有 密切关系；
❖ （2）只要原四边形的两条对角线 相等 ，就能 使中点四边形是菱形；
❖ （3）只要原四边形的两条对角线 互相垂直 ， 就能使中点四边形是矩形；
❖ （4）要使中点四边形是正方形，原四边形要符 合的条件是 相等且互相垂直 。
牛刀小试：
1.请你设计一个中点四边形为正方形，
但原四边形又不是正方形的四边形，并说
出பைடு நூலகம்法。
答案举例 H
A E
D
B
G
F
C
这一节课你学到了什么？
1、中点四边形的定义； 2、中点四边形的形状与原四边形 的对角线的关系。
第三边的一半.
A
D
E
B
C
这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍 分关系的根据.
新课
中点四边形的定义
顺次连接四边形各边中点所成 的四边形叫做中点四边形
已顺知次:连如接图任,点意E四、边F、形G各、边H中分点别所是成四的边四形边形是 什A么BC求形D证状各：?边四中边点并形。证E请一F同G证H学为们平画行一四画边、看形一。看、猜一猜
F
D
CB
G
C
小组合作探究:
❖ 任意四边形的中点四边形都是平__行__四_边__形_； ❖ 平行四边形的中点四边形是_平__行__四_边__形__； ❖ 矩形的中点四边形是______菱__形________； ❖ 菱形的中点四边形是______矩__形________； ❖ 正方形的中点四边形是____正__方_形_______；
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C
FG
D
G
C
F
D
“我”的命运由对角线主宰
原四边形的对角线
中点四边形
既不相等又不垂直 相等
平行四边形 菱形
垂直
矩形
相等且垂直
正方形
小组合作交流:
❖ 任意四边形的中点四边形都是平__行__四_边__形_； ❖ 平行四边形的中点四边形是_平__行__四_边__形__； ❖ 矩形的中点四边形是______菱_形_________； ❖ 菱形的中点四边形是________________； ❖ 正方形的中点四边形是______________； ❖ 梯形的中点四边形是________________； ❖ 直角梯形的中点四边形是____________； ❖ 等腰梯形的中点四边形是____________。
D
E
H
A
C O
F
G
B
对角线互相垂直的四 边形的中点四边形为 矩形
我思考,我进步6
顺次连接正方形各边中点所成的四 边形是什么四边形?
A
H
D
E
G
B
C
F
正方形的中点四边形是正方形
我思考,我进步5
已顺知次:如连图接,点对E、角F线、相G、等H且分别互是相四垂边直形 的 四边AB形C各D各边边中中点点，所A成C=的BD四且边AC形⊥是BD什。么 四边求形证：? 四边形EFGH是正方形
“我”的命运谁主宰
——探究中点四边形
时堰镇后港中学数学教研组
知识回顾 1
如下图：在三角形ABC中，点D是AB的中
点，点E是AC的中点。
DE为三角形ABC的 中位线
定理:三角形的中位线平行于第三边,
且等于第三边的一半.
A
∵DE是△ABC的中位线,
D
E
∴DE∥BC, DE 1 BC.
2
B
C
这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系
C
填空：
❖ （1）中点四边形的形状与原四边形的对角线有 密切关系；
❖ （2）只要原四边形的两条对角线 相等 ，就能 使中点四边形是菱形；
❖ （3）只要原四边形的两条对角线 互相垂直， 就能使中点四边形是矩形；
❖ （4）要使中点四边形是正方形，原四边形要符 合的条件是 对角线相等且互相垂直 。
我思,我进步6
驶向胜
想一想,做一做
利的彼 岸
中点四边形的面积与原四边形的面积的
关系，并说出理由。
举例
A
H
E
D
B
G
F
结论:
1. 任意四边形的中点四边形都为平行 四边形。
2. 中点四边形为特殊的平行四边形的 决定因素取决于原四边形对角线是否相 等和垂直。
3.中点四边形的面积总等于原四边形 面积的一半
思考题:
探究四边形中一组对边的中点 和两条对角线的中点构成的四 边形的形状？
求证：四边形请E同F学GH们为画平一行画四、边看形一。看、
A
E 猜一猜证并明：证连一接证AC
H
D
G
B ∵ E、F是AB、BC边中点
1
F ∴EF∥AC且EF＝ A2 C
C
同理：HG ∥ AC且HG ＝
1
2 AC
∴EF ∥ HG且EF ＝ HG
∴四边形EFGH为平行四边形。
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
D
E
H
A
O
C
F
G
B
对角线相等且垂直的四 边形的中点四边形为正 方形
结合刚才的证明过程，小组讨论并思考：
❖ （1）中点四边形的形状与原四边形的什么有着密
切的关系？ 对角线
❖ （2）要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是 矩形吗？
❖ （3）要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是
菱形吗？
B
A
G
E
E
H
AB
的依据.
中点四边形的定义 ❖ 顺次连接四边形各边中点所得的
四边形叫做中点四边形。
B
A C
D
我思,我进步1
驶向胜
想一想,做一做
利的彼 岸
给你一个四边形纸片，你能把它折成平
行四边形吗？
举例
我思考,我进步1
顺已次知:连如接图,任点意E、四F、边G、形H各分边别是中四点边形
所AB成CD的各四边边中形点。是什么形?
其它各种四边形的中点四边形边是何种四
A边矩形形A呢EBC？D 先B观察并菱猜形AD一BCD猜,再证A明.正E方形ABCBD
E
F
H
FA
CH
F
D
G
D
G
C
菱形
矩形B
D 正方G形 C
梯形ABCD
A EB
直角梯形ABCD
A EB
等腰梯形ABCD
AE B
H
FH
F
H
F
D
C
D 平行四G 边形 C 平行四G边形 D 菱形G
求证：四边形E请FG同H是学菱们形画一画、看一看、 A E 猜一猜并证一证
H
B
F
D
G
C
对角线相等的四边 形的中点四边形为 菱形
我思考,我进步4
A
E
H
B
D
F
G
C
顺次连接菱形各边中点所成的四边
形是什么四边形?
A
E
H
B
D
F
G
C
菱形的中点四边形是矩形。
我思考,我进步5
已顺知次:如连图接,点对E、角F线、G互、相H分垂别直是的四四边形边形 各边A求B中证C：D点各四所边边成中形点的EF，四G且H边是AC形矩⊥形是BD什。么四边形?
任意四边形的中点四 边形都为平行四边形
我思考,我进步2
顺次连接矩形各边中点所成的四边 形是什么四边形？
连结两条对角线
H
A
B
E
G
C
D
F
矩形的中点四边形是菱形。
我思考,我进步3
已顺知次:如连图接,点对E、角F线、G相、等H分的别四是边四形边形各边
中点AB所CD成各的边四中点边，形且是AC什=B么D形。 ?