32 边缘分布 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度

F (,) A B C 0 2 2 1 B ,C , A 2 2 2
1 1 x arctan , 2 2 x .
计算机科学与技术学院 5
第3章 多维随机变量及其分布
FY ( y ) F (, y )
联合分布律 及边缘分布律
Y y1 X x1
p11
p1 j
xi
pi1
pij
p• j
p•1

yj





pi•


p• j

1
计算机科学与技术学院 8
pi•
第3章 多维随机变量及其分布
p1•


例(P61) 设随机变量 X 在 1,2,3三个数中等可 能地取值，另一个随机变量 Y 在1~X 中等可 能地取一整数值，试求 X, Y 的边缘分布律。
2 2 2
这表明，X ~ N 1，
2
第3章 多维随机变量及其分布
Y ~ N ，
2 2
计算机科学与技术学院 19
通过本题，我们有如下几条结论： 结 论（一） （ ） 二维正态分布的边缘分布是一维正态分布
2 2 即若 X， Y ~ N 1， 2， 1 ， 2，
X， Y 的联合分布律为
Y X
1 2 3
第3章 多维随机变量及其分布
1
2 0
3 0 0
1 3 1 6 1 9
1 6 1 9
1 9
计算机科学与技术学院 9
X， Y 的联合与边缘分布律
Y X
1 2 3 1 2 0 3 0 0
pi
1 3 1 3 1 3
1
1 3 1 6 1 9
1 6 1 9
0, 若第二次取出的是黑球 , Y 1, 若第二次取出的是白球.
第3章 多维随机变量及其分布
计算机科学与技术学院
11
(1) 有放回抽样
P(X=0)=2/6 P(X=1)=4/6 P(Y=0)=2/6 P(Y=1)=4/6
X
0
Y
0
1
pi
1 9 2 9
1 3
2 9 4 9
2 3
1 3 2 3


第3章 多维随机变量及其分布
计算机科学与技术学院
18
f X x
f X x
fY y


f x， y dy
1 e 2 1
1 2 2 e
x 1 2
2 2 1
x
y
2 1
y 2 2
边缘分布 也称为 边沿分布 或 边际分布
第3章 多维随机变量及其分布
计算机科学与技术学院
2
1. 二维随机变量的边缘分布函数
由联合分布函数
FX ( x) P X x
边缘分布函数, 逆不真. y x y y x
计算机科学与技术学院 3
P X x, Y
F ( x,)
则有，
X ~N

1， 12

Y ~ N 2，

2 2

结 论（二） （ ） 上述的两个边缘分布中的参数与二维正态分 布中的常数ρ无关
第3章 多维随机变量及其分布 计算机科学与技术学院 20
2 ， 例 设二维随机变量 X， Y ~ N 1， 2， 12， 2
试求 X 及 Y 的边缘密度函数．
X， Y 的联合密度函数为 解：
f ( x, y ) 1 2 1 2 1 2
2 2 1 x 2 x y y 1 1 2 2 exp 2 2 2 1 2 2 2 1 1
1 9
p j
第3章 多维随机变量及其分布
11 18
5 18
2 18
计算机科学与技术学院
10
例 箱子里装有4只白球和2只黑球，在其中随 机地取两次，每次取一只。考虑两种试验： (1) 有放回抽样，(2) 不放回抽样。 我们定义随机变量 X，Y 如下，写出X和Y的 联合分布律和边缘分布律 。
0, 若第一次取出的是黑球 , X 1, 若第一次取出的是白球 .
0 2 (1 x )
0
2 (1 x )

21 x
当 x 0或x 1 时， f X x 0
随机变量 X 的边缘密度函数为
y
2 D
y x 1 2
21 x 0 x 1 f X x 其它 0
第3章 多维随机变量及其分布
解： 区域 D 的面积为
A 1
2
X， Y 的联合密度函数为
1, f x， y 0,
第3章 多维随机变量及其分布
y
y x 1 2
x， y D x， y D
D
D
1
o
x
15
计算机科学与技术学院
当 0 x 1 时，
f X x


f x， y dy 0dy 1dy 0dy
FY ( y ) PY y
x
P X , Y y
F (, y )
第3章 多维 随机变量及其分布
例 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为 x y F ( x, y ) A B arctan C arctan 2 2 x , y 其中A , B , C 为常数. (1) 确定A , B , C ； (2) 求X 和Y 的边缘分布函数； (3) 求P (X > 2).



已知联合密度可以求得边缘密度
第3章 多维 随机变量及其分布 计算机科学与技术学院 14
例 设随机变量 X， Y 服从区域 D 上的均匀分布． y 其中D {( x, y ) | x 0, y 0, x 1}， 2 试求随机变量 X， Y 的边缘密度函数．
§3.2 边缘分布 • 边缘分布函数 • 边缘分布律 • 边缘概率密度
第3章 多维 随机变量及其分布
计算机科学与技术学院
1
边缘分布
如果 X， Y 是一个二维随机变量，则它的分量 X
关于二维随机变量 X， Y 的边缘分布．
或者Y 是一维随机变量，因此，分量 X 或者Y 也有分布．我们称 X 或者Y 的分布为 X 或者Y
D
1
o
x
16
计算机科学与技术学院
同理，随机变量 Y 的边缘密度函数为
fY ( y )

f ( x, y )dx
2
y
x y 1 2
y 1 , 0 y 2 fY y 2 其它 0,
D
D
1
o
x
第3章 多维随机变量及其分布
计算机科学与技术学院
17
1
计算机科学与技术学院 12
ห้องสมุดไป่ตู้
1
p j
第3章 多维随机变量及其分布
(2) 不放回抽样
X
0
Y
P(X=0)=2/6 P(Y=0)=1/5
0
1
pi
1 15 4 15
1 3
4 P(X=0)=2/6 1 P(Y=1)=4/5 15 3 6 P(X=1)=4/6 2 P(Y=1)=3/5 3 15
2 3
1
P(X=1)=4/6 P(Y=0)=2/5
2. 二维离散型随机变量的边缘分布
P( X xi ) pij pi ,
j 1 记作
i 1,2,
P(Y y j ) pij p j ,
i 1

记作
j 1,2,
由联合分布律可确定边缘分布律
第3章 多维 随机变量及其分布 计算机科学与技术学院 7
1 1 y arctan , y . 2 2
(3) P ( X 2) 1 P ( X 2) 1 FX ( 2)
1 1 2 1 arctan 2 2 1/ 4.
第3章 多维随机变量及其分布 计算机科学与技术学院 6
第3章 多维随机变量及其分布 计算机科学与技术学院 4
解 (1) F (,) A B C 1 2 2 F (,) A B C 0 2 2
(2)
FX ( x) F ( x,)
p j
第3章 多维随机变量及其分布
1
计算机科学与技术学院 13
3. 二维连续型随机变量的边缘分布
FX ( x) f (u , v)dvdu
x

FY ( y ) f (u , v)dudv
y

f X ( x) f ( x, y )dy
fY ( y ) f ( x, y )dx