32 边缘分布 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度
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3.2边缘分布
f ( x, y ) = 1 2π σ 1σ 2 − 1 ( x − µ1 ) 2 exp 2 2 2 1− ρ 2(1 − ρ ) σ 1
( y − µ2 )2 − 2ρ + , 2 σ 1σ 2 σ 2 −∞ < x < ∞, − ∞ < y < ∞,
• 其中µ1,µ2,σ1,σ2,ρ都是常数,且σ1>0,σ2>0, |ρ|<1.称(X,Y)为 服从参数µ1,µ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布, 记为 (X,Y)~N(µ1,µ2,σ12,σ22,ρ). 试求二维正态随机变量的边缘 概率密度.
x →+∞
= F ( ∞， y )
三、离散型随机变量的边缘分布律
对于二维离散型随机变量( X , Y )，已知其联合分布律为
Pij = P { X = xi ， Y = y j }
( i，j = 1， 2， ⋯)
现求随机变量 X 的边缘分布律为：
P{ X = xi } = ∑ pij ,
j =1
∞
+∞ −∞
f ( x, y ) d x
(2.4)
例2 设随机变量X和Y具有联合概率密度 6, x 2 ≤ y ≤ x, f ( x, y ) = 0, 其它. 求边缘概率密度f X ( x), fY ( y ).
y y=x y=x2 o 1
解:
f X ( x) = ∫
∞
y
−∞
f ( x, y ) d y
则分量 X 的边缘分布函数为 FX ( x ) = P { X ≤ x} = P { X ≤ x， Y < ∞}
= lim F ( x， y ) = F ( x， ∞ )
( y − µ2 )2 − 2ρ + , 2 σ 1σ 2 σ 2 −∞ < x < ∞, − ∞ < y < ∞,
• 其中µ1,µ2,σ1,σ2,ρ都是常数,且σ1>0,σ2>0, |ρ|<1.称(X,Y)为 服从参数µ1,µ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布, 记为 (X,Y)~N(µ1,µ2,σ12,σ22,ρ). 试求二维正态随机变量的边缘 概率密度.
x →+∞
= F ( ∞， y )
三、离散型随机变量的边缘分布律
对于二维离散型随机变量( X , Y )，已知其联合分布律为
Pij = P { X = xi ， Y = y j }
( i，j = 1， 2， ⋯)
现求随机变量 X 的边缘分布律为：
P{ X = xi } = ∑ pij ,
j =1
∞
+∞ −∞
f ( x, y ) d x
(2.4)
例2 设随机变量X和Y具有联合概率密度 6, x 2 ≤ y ≤ x, f ( x, y ) = 0, 其它. 求边缘概率密度f X ( x), fY ( y ).
y y=x y=x2 o 1
解:
f X ( x) = ∫
∞
y
−∞
f ( x, y ) d y
则分量 X 的边缘分布函数为 FX ( x ) = P { X ≤ x} = P { X ≤ x， Y < ∞}
= lim F ( x， y ) = F ( x， ∞ )
概率论-第三章-3.2 边缘分布
缘分布是不够,而必须将他们作为一 个整体来研究.
整体大于部分之和!
例 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两
次,每次取一件,记
1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律. 解 (1)有放回的情形.此时
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2
e
2 1 2
1
2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．
整体大于部分之和!
例 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两
次,每次取一件,记
1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律. 解 (1)有放回的情形.此时
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2
e
2 1 2
1
2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．
边缘概率密度和边缘分布函数的关系
边缘概率密度和边缘分布函数的关系
边缘概率密度函数和边缘分布函数是概率统计中的两个重要概念，它们描述了多维随机变量中各个分量的单独概率分布。
下面是关于边缘概率密度函数和边缘分布函数的详细解释和它们之间的关系：
1.边缘概率密度函数：
-对于一个多维随机变量，边缘概率密度函数描述了每个随机变量分量的概率分布，独立地考虑每个分量。
-假设有一个二维随机变量(X,Y)，边缘概率密度函数fX(x)和
fY(y)分别描述了X和Y分量的概率分布。
fX(x)表示在给定Y的条件下，X取某个值x的概率密度；fY(y)表示在给定X的条件下，Y取某个值y的概率密度。
2.边缘分布函数：
-边缘分布函数是描述随机变量各个分量的概率分布的函数。
-对于一个二维随机变量(X,Y)，边缘分布函数FX(x)和FY(y)分别表示X和Y分量的边缘分布函数。
FX(x)表示随机变量X小于等于某个值x的概率；FY(y)表示随机变量Y小于等于某个值y的概率。
3.边缘概率密度函数和边缘分布函数的关系：
-边缘概率密度函数和边缘分布函数是通过求导和积分相互转换的关系。
-对于二维随机变量(X,Y)，边缘分布函数可以通过边缘概率密度函数求解。
例如，对于X分量，可以通过积分fX(x)来计算FX(x)：FX(x)=∫fX(x)dx。
-同样地，边缘概率密度函数可以通过边缘分布函数的求导得到。
例如，对于X分量，可以通过对FX(x)求导来计算fX(x)：
fX(x)=d/dx(FX(x))。
边缘概率密度函数和边缘分布函数提供了描述多维随机变量中各个分量单独概率分布的工具，可以用于研究和分析多变量统计问题。
概率论与数理统计教学课件-3-2边缘分布
边缘分布与联合分布的关系
联合分布
描述多个随机变量同时发生的概率分 布。
关系
对于离散型随机变量，边缘分布可以 通过求和联合分布中相应事件的概率 得到；对于连续型随机变量，边缘分 布可以通过积分联合分布得到。
边缘分布的几何意义
几何解释
在概率空间中，边缘分布描述了一个随机变量在固定其他随机变量取值时的概 率分布情况。
边缘分布的数学表达式为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其中 $a$ 和 $b$ 是给定的范围。
对于均匀分布，其概率密度函 数为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其 中 $a$ 和 $b$ 是随机变量 $X$ 的取值范围。这个表达式表示 在给定范围内，随机变量 $X$ 的取值是均匀分布的。
3
边缘分布的计算
对于超几何分布，其边缘分布就是抽取某一特定 类型的样本的概率。
04
边缘分布的应用场景
统计分析
描述性统计
在统计分析中，边缘分布用于描 述数据的基本特征，如均值、中 位数、众数等。这些统计量可以 帮助我们了解数据的集中趋势和 离散程度。
异常值检测
通过比较数据点与边缘分布的统 计量，可以检测出异常值，这些 值可能对数据分析产生重大影响。
在概率论与数理统计中，边缘分布在处理多维随机变量问 题时具有重要作用，可以帮助我们简化问题，提取所需的 信息。
下节预告
条件分布的概念
在概率论与数理统计中，条件分布是指在某个随机变量取值的条件下，其他随机变量的 概率分布。
条件分布的性质
条件分布具有依赖性，即条件分布的取值受其他随机变量的影响；同时，条件分布的取 值范围和概率密度函数形式与联合概率分布有关。
数据可视化
边缘分布可以用于绘制直方图、 箱线图等，帮助我们直观地了解 数据分布情况。
第二节 边缘分布
y
dy
0 0
cxe
y
x
dx
c 2
0
y e
2
y
dy
c 2
xe y f x， y 0
0 x y 其它
2 c
所以，
⑵．当 x 0 时，
f X x
c 1
f x ， y dy
x>0,y>0 其它
求边缘分布函数 解： FX(x)= F(x, +∞)
1 e x 0,
x>0, 其它
FY(y)＝
1 e y F(+∞,y) 0,
y>0 其它
2、边缘概率密度
对连续型 r.v ( X,Y )， X和Y的联合概率密度为 f ( x, y ) 则( X,Y )关于X的边缘概率密度为
3 2 2y y
2
0
x
24 5
0 y 1
),
2
注意取值范围
即
12 2 x ( 2 x ), f X (x) 5 0,
0 y ), fY ( y ) 5 2 2 0,
0 y 1 其它
X
y1 p 11
p 21
p i1
y2 p 12
p 22
pi2
„ „ „
yj p1 j
p2 j
„
x)
i
x1
x2
xi
„ p „ p
1j
2 j
„
p ij
„p
ij
概率论与数理统计32边缘分布解析
y)
lim [
y
1
2
(arctan
x
2
)(arctan
y )]
2
1
2
(arctan
x
)
2
1
arctan
x
1, 2
- x
FY
(
y)
1
arctan
y
1 2
,
- y
设离散型二维随机变量(X,Y)的分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1,2,).
则由联合分布函数与边缘分布函数、联合分布律关
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义：
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函
数 F x, y, 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 FX x, FY y, 依次称为二维随机
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
FX x PX x PX x,Y F x,
把第一行和最后一行拿出来就是Y的分布；把第一列 和最后一列拿出来就是X的分布。
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
练习 袋中有2只白球和3只黑球，从中摸球，记
Xi
1, 第i次 摸 出 白 球 0, 第i次 摸 出 黑 球i
1,2,
试求 ( X1 , X 2 )的联合概率分布和边缘概率分
布。
解： （I）有放回摸球
X1
X2 0 1
0
33 55
32 55
1
23 22
5 55 5
PX2 ( y)
3 5
2 5
PX1 ( x)
北邮概率论与数理统计3.2边际分布
§3.2 边缘分布二维随机向量),(Y X 的联合分布（联合分布函数或联合分布列或联合概率密度）完整地刻画了随机变量X 和Y 作为一个整体的概率分布规律。
为应用方便，我们还需要从这个完整的信息中挖掘出某些方面的信息。
这个完整的信息中包含如下信息：（1）每个分量（或部分分量）的概率分布，即边缘分布。
（2）各分量之间的统计联系。
本章将要介绍的随机变量的独立性，及条件分布以及下一章介绍的相关系数就是用来反映和描述他们的统计联系.一．边缘分布 1.边缘分布函数设二维随机向量),(Y X 具有联合分布函数为),(y x F ，而X 和Y 都是随机变量，各自也有分布函数，将它们分别记为)(x F X 和)(y F Y ,依次称为为),(Y X 关于X 和关于X 的边缘分布函数. 由概率的性质可得),(),(lim },{}{+∞==∞<≤=≤∆+∞→x F y x F Y x X P x X P y可见由),(Y X 的联合分布函数),(y x F 可以X 的边缘分布函数: ),()(+∞=x F x F X (1) 类似地可得),(Y X 关于Y 的边缘分布函数为),()(y F y F Y +∞= (2) 例3.2.1 设二维随机向量),(Y X 的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=λ-----其他,00,0,1),(y x e e e y x F xy y x y x这个分布称为二维指数分布，其中参数0≥λ，求边缘分布函数。
解：易得X ，Y 的边缘分布函数分别为⎩⎨⎧<≥-=+∞=-0,00,1),()(x x e x F x F x X⎩⎨⎧<≥-=+∞=-0,00,1),()(y y e y F y F y Y这两个边缘分布同为指数分布，且与参数λ无关。
这说明边缘分布确定不了联合分布。
也说明联合分布中不仅含有每个分量的信息，还含有各分量之间统计联系方面的信息。
2．边缘分布律如果),(Y X 为二维离散型随机向量，那么它的每个分量都是离散随机变量。
3.2 边缘分布-
fX (x)
f ( x, y)dy 0.
(1,1)
y x2
1x
当0 x 1时,
fX (x)
f ( x, y)dy
x
6 dy
x2
6( x x2 ).
因而得
6( x x2 ), 0 x 1,
f
X
(
x
)
0,
其它.
当 y 0或 y 1时,
P{ X P{ X
x,Y ,Y
} F(x, y} F(,
) y)
2. 离散型：
设( X ,Y )的分布率为P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2, ;
关于X的边缘分布率： P{X
xi }
j 1
pij
pi ,
y
(1,1)
1 yx
fY ( y)
f ( x, y)d x 0.
y
当0 y 1时,
y x2
O
x
fY ( y)
f (x, y)d x
y
y 6d x 6( y y) 6( y y).
得
fY
(
y
)
6( 0,
y y),
0 y 1, 其它.
YX0 1
0 0.1 0.2 1 0.3 0.4
解：关于X和Y的边缘分布分别为
X0 1 Y pk 0.4 0.6 pk
01 0.3 0.7
.
设(X ,Y ) ~
3.2边缘分布
二、二维离散型随机向量的边缘分布 Y
X
……………
y1
y2 p12 Leabharlann 22… … … …yj p1j … p2j …
P{X=xi}
x1 x2
p11 p21
p1. p2.
xi
pi1
…
pi2
pij …
…
p .
i
P{Y=yj}
p.1
p.j …
1
p.2
…
(i
= 1,2, …)
(j =1,2, …)
-1 0 1 pi ·
三
、二维连续型随机变量边缘概率密度函数
p(x,y)
[
x
设（X，Y）的联合概率密度
由于 所以
P{ X x, Y }
p( u, v )dv ]du
边缘密度函数的几何解释
例4
已知（X，Y）的联合概率密度
求（X，Y）边缘概率密度 解
例5 设（X，Y）服从区域D：抛物线y =x2和直线y= x所围成的 区域上的均匀分布，求X和Y的联合、边缘概率密度。 解 由于D的面积为 故X，Y联合概率密度为
设 (X,Y) 的联合分布列为
则 (X,Y) 的边缘分布列为
pij = P{X=xi ,Y=yj}
即
X
x1 x2 · · · xi · · ·…
的边缘分布函数为：
· · p i. · · · pi. p1.p2. ·
(X,Y)
FX(x) = F(x,+∞) =
例3、已知随机变量X和Y的分布列分别为 X -1 0 1/2 1 1/4
0
X，Y边缘概率密度：当0≤x≤1时
边缘分布函数与边缘分布密度
边缘分布函数与边缘分布密度概率密度与分布函数密度函数和分布函数概率密度分布函数概率密度求分布函数密度函数求分布函数由概率密度求分布函数分布函数密度函数概率密度和分布函数边缘分布函数
山东农业大学
概率论与数理统计
§3.2 边 缘 分 布
主讲人：程述汉 苏本堂
3.2.1 边缘分布函数与边缘分布密度 3.2.2 随机变量的独立性 3.2.3 条件分布
3
1 1 3 18
1 18
联立以上两式求得 2 ， 1
9
9
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
例5 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数=2
和=1的指数分布，求 PX Y 1
解 据题意，X的密度函数为 fX (x)
Y的密度函数为
e y， y 0
fY
(
y)
0
，y 0
4x(1 x)2， 0 x 1
f X (x) 0，
其它
同理可得
4 y 3， 0 y 1 fY ( y) 0， 其它
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
例3 设(X，Y)服从N(μ1， σ12； μ2，σ22；ρ)， 求边缘密度。
解
令
u
x 1 ,v 1
y 2 ,则有 2
山东农业大学
3.2.3 条件分布
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
条件概率公式：P(B | A)=P(AB)/P(A)，P(A)＞0
一、离散型随机向量(X, Y)的条件分布
类似地，当P{X=xi}＞0时,在X=xi的条件下，Y的条 件分布为
P{Y
yj
|
X
xi}
山东农业大学
概率论与数理统计
§3.2 边 缘 分 布
主讲人：程述汉 苏本堂
3.2.1 边缘分布函数与边缘分布密度 3.2.2 随机变量的独立性 3.2.3 条件分布
3
1 1 3 18
1 18
联立以上两式求得 2 ， 1
9
9
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主讲人：程述汉 苏本堂
例5 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数=2
和=1的指数分布，求 PX Y 1
解 据题意，X的密度函数为 fX (x)
Y的密度函数为
e y， y 0
fY
(
y)
0
，y 0
4x(1 x)2， 0 x 1
f X (x) 0，
其它
同理可得
4 y 3， 0 y 1 fY ( y) 0， 其它
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主讲人：程述汉 苏本堂
例3 设(X，Y)服从N(μ1， σ12； μ2，σ22；ρ)， 求边缘密度。
解
令
u
x 1 ,v 1
y 2 ,则有 2
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3.2.3 条件分布
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
条件概率公式：P(B | A)=P(AB)/P(A)，P(A)＞0
一、离散型随机向量(X, Y)的条件分布
类似地，当P{X=xi}＞0时,在X=xi的条件下，Y的条 件分布为
P{Y
yj
|
X
xi}
边缘分布函数和边缘密度函数
边缘分布函数和边缘密度函数边缘分布函数和边缘密度函数，是概率论和数理统计学中的重要概念。
它们能够帮助我们更加深入地理解随机变量之间的关系，为我们的模型和分析提供便利和支持。
边缘分布函数，又称为边际概率分布函数，是指在一个多维随机变量的联合分布函数中，只保留其中一个或部分随机变量的分布函数。
我们可以通过对多维随机变量的联合分布函数进行求导得到边缘概率密度函数，从而计算出随机变量的概率分布，也就是得到该随机变量的“边缘分布”。
以一个例子来说明，假设我们有两个随机变量X和Y，它们的联合分布函数可以表示为F(x,y)。
如果我们只关注变量X，那么我们可以通过对联合分布函数F(x,y)求偏导数，得到变量X的边缘分布函数。
同样地，如果我们只关注变量Y，那么我们也可以通过对F(x,y)求偏导得到变量Y的边缘分布函数。
边缘分布函数一般表示为F(x)或F(y)，其中F(x)表示变量X的边缘分布函数，F(y)表示变量Y的边缘分布函数。
那么边缘密度函数呢？边缘密度函数，也叫边际概率密度函数，是边缘分布函数的导数，它描述了单个随机变量的概率密度分布情况。
与边缘分布函数类似，边缘密度函数同样可以通过多维随机变量的联合密度函数求解得到。
比如在上述例子中，如果我们已知多维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数，那么我们可以通过对其求偏导获得变量X和变量Y的边缘密度函数f(x)和f(y)。
边缘密度函数可以被看作是概率的“密度”，即它代表了在一个小区间内随机变量取某个特定值的概率。
同样地，边缘密度函数也可以被用于计算概率和期望等几乎所有统计分析中的重要量。
那么这两个概念有什么实际用途呢？我们可以通过边缘分布函数和边缘密度函数来分析和预测不同随机变量之间的关系。
例如，在金融领域中，我们可以通过使用边缘分布函数和边缘密度函数来分析不同投资组合中各个资产的风险和收益特征。
又如在医学领域中，我们可以通过边缘分布函数和边缘密度函数来检验某种药物对不同性别、不同年龄、不同身体状况的人群的疗效表现。
概率论第三章-边缘分布
则 ( X , Y ) 关于 X 的边缘分布律为
P{ X xi } P{ X xi , (Y y j )}
P{ X xi , Y y j }
j 1
j 1
,i 1 , 2 ,
记做 pi
同理 P{Y y j }
p
i 1
ij
, j 1 , 2 , 记做 p j
o
1
x
注：联合分布 书69页：例5，6
维正态分布； ② 边缘分布与ρ无关，说明了由边缘分布不能确 定联合分布。
0 1/4 0 1/4 1/2
1 0 1/2 0 1/2
1/4
三、连续型随机变量的边缘概率密度
若 是二维连续型随机变量, 其概率密度为
f ( x , y ) , 则:
FX ( x) F ( x , ) f X (x)
同理
x
f (u , v) dv du
0 1/2
1 1/2
pi · 1/4
且P{XY=0}=1，求(X,Y)的分布律 解、 P{XY≠0}=0= P{X≠0, Y≠0} Y X =P{X=-1, Y=1}+ P{X=1, Y=1} 从而P{X=-1, Y=1}=P{X=1, Y=1}=0 -1 0 1 pi · p· j 1/4 1/2
y
解:
的概率密度为
0 1
y=x x
当0 x 1 当 x other
f X (x) f ( x , y )dy 0 2 dy 2 x
f X ( x) 0
x
f X ( x)
例2. 上服从均匀分布, 密度 和 的概率密度为
P{ X xi } P{ X xi , (Y y j )}
P{ X xi , Y y j }
j 1
j 1
,i 1 , 2 ,
记做 pi
同理 P{Y y j }
p
i 1
ij
, j 1 , 2 , 记做 p j
o
1
x
注：联合分布 书69页：例5，6
维正态分布； ② 边缘分布与ρ无关，说明了由边缘分布不能确 定联合分布。
0 1/4 0 1/4 1/2
1 0 1/2 0 1/2
1/4
三、连续型随机变量的边缘概率密度
若 是二维连续型随机变量, 其概率密度为
f ( x , y ) , 则:
FX ( x) F ( x , ) f X (x)
同理
x
f (u , v) dv du
0 1/2
1 1/2
pi · 1/4
且P{XY=0}=1，求(X,Y)的分布律 解、 P{XY≠0}=0= P{X≠0, Y≠0} Y X =P{X=-1, Y=1}+ P{X=1, Y=1} 从而P{X=-1, Y=1}=P{X=1, Y=1}=0 -1 0 1 pi · p· j 1/4 1/2
y
解:
的概率密度为
0 1
y=x x
当0 x 1 当 x other
f X (x) f ( x , y )dy 0 2 dy 2 x
f X ( x) 0
x
f X ( x)
例2. 上服从均匀分布, 密度 和 的概率密度为
概率统计3.2 边缘分布
1 1 arctan x , x .
2
2
FY ( y) F (, y)
1 1 arctan y , y .
2
2
(3) P(X 2) 1 P(X 2) 1 FX (2)
1
1 2
1
arctan
2 2
1/ 4.
二维离散型随机变量的边缘分布
记作
P(X xi ) pij pi•, i 1,2,
x
FX (x) f (u,v)dvdu
y
FY ( y) f (u,v)dudv
fX (x)
f (x, y)dy
fY ( y) f (x, y)dx
已知联合密度可以求得边缘密度
例 设随机变量X， Y 服从区域D 上的均匀分布．
其中D {(x, y) | x 0, y 0, x y 1}， 2
j1
记作
P(Y y j ) pij p•j , j 1,2,
i1
由联合分布律可确定边缘分布律
联合分布律 及边缘分布律
Y X x1 xi p• j
y1
p11 pi1
p•1
yj
p1 j pij
p•
j
pi•
p1•
pi
1
•
例(P55.1) 设随机变量 X 在 1,2,3三个数中等可能地取 值，另一个随机变量 Y 在1~X 中等可能地取一整数 值，试求 X, Y 的边缘分布律。
二维随机变量的边缘分布函数
由联合分布函数 边缘分布函数, 逆不真.
FX (x) PX x
y
PX x,Y
F(x,)
xx
FY (y) PY y
y y
PX ,Y y
概率论第三章ch3_2
例题：已知二维随机变量( X , Y )的联合概率密度为
求关于X，Y 的边缘概率密度 fX(x), fY ( y ) .
解：
对称区间上的 奇函数！
仅由概率密度 函数无法确定 联合概率密度 函数！但是如 果还有它们之 间联系的条件 则可能！
例题：已知二维随机变量( X , Y )的边缘分布律为
并且P{XY=0}=1，求关于X，Y 的联合分布律。 解：
所以 X服从正态分布即
同理可得Y的分布密度：
二元正态分布的边缘分布是一元正态分布并且与 参数ρ无关。
例题：已知二维随机变量( X , Y )的联合概率密度为
求关于Y 的边缘概率密度 fY ( y ) . 解：
当0<y<1与y>1 时被积函数非0 区域不同!
二维随机变量( X , Y )的联合概率密度图
解：X=1,2，3,4，而 Y=1，。。。，X
故所求的边缘分布律与联合分布律为：
边缘密度函数的求法
若已知连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y), 则也可求出它的边缘概率密度函数。事实上：
例4：设区域D是由曲线y=x2与直线y=x围成，并且随机向量 (X，Y)服从D上的均匀分布，求联合概率密度与边缘概率 密度函数。
二维随机变量( X , Y )的联合概率密度图
function bbb
[x,y]=meshgrid(0:0.1:4);
z=f(x,y); mesh(x,y,z);
function z=f(x,y) z=zeros(size(x));
l=(x>=1&y>1./x&y<=x);
z(l)=1./(2*x(l).^2.*y(l));
3.2,3.4边缘分布及独立性
相互独立的充分必要条件是：对 (X ,所Y)有可能
的取值 ( x有i , y j )
P{X xi ,Y y j} P{X xi} P{Y y j} ,
即对所有的 (i, j)
pij pi p j
例2 设 ( X 的,Y联) 合分布律为
X Y 1 0 1
1 1 12 1 6 1 12
2 1 24 1 12 1 24
3.2，3.4 边缘分布及独立性
一、边缘分布函数 设二维随机变量（X,Y)的联合分布函数
为F(x,y) FX ( x) P{X x} P{X x,Y }＝F ( x,)
FY ( y) P{Y y} P{ X ,Y y}＝F (, y)
将以上 FX和( x) 称F维Y (二y)维随机 变量
f (x, y) fX (x) fY ( y) .
即对任何 x,都y 成立
1
21 2
1
2
exp{
2(1
1
2
)
[(
x 1 1
)2
2( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2]}
1 2
2
1
( x1 )2
e 212
1
( y2 )2
e 2
2 2
2 1
2 2
特别取 x 1, y 2 上式化为：
4 1 8 14 18
证明X与 Y分布 3
1 4
p1•
p•1
1 11
p12
6
3
2
p1•
p•2
类似可以验证：
对所有的 (i, j) pij pi p j 成立，所以 X与 Y分布相互立。
例3 已知
X Y 1 0 1
0 1/ 4 0 1/ 4
的取值 ( x有i , y j )
P{X xi ,Y y j} P{X xi} P{Y y j} ,
即对所有的 (i, j)
pij pi p j
例2 设 ( X 的,Y联) 合分布律为
X Y 1 0 1
1 1 12 1 6 1 12
2 1 24 1 12 1 24
3.2，3.4 边缘分布及独立性
一、边缘分布函数 设二维随机变量（X,Y)的联合分布函数
为F(x,y) FX ( x) P{X x} P{X x,Y }＝F ( x,)
FY ( y) P{Y y} P{ X ,Y y}＝F (, y)
将以上 FX和( x) 称F维Y (二y)维随机 变量
f (x, y) fX (x) fY ( y) .
即对任何 x,都y 成立
1
21 2
1
2
exp{
2(1
1
2
)
[(
x 1 1
)2
2( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2]}
1 2
2
1
( x1 )2
e 212
1
( y2 )2
e 2
2 2
2 1
2 2
特别取 x 1, y 2 上式化为：
4 1 8 14 18
证明X与 Y分布 3
1 4
p1•
p•1
1 11
p12
6
3
2
p1•
p•2
类似可以验证：
对所有的 (i, j) pij pi p j 成立，所以 X与 Y分布相互立。
例3 已知
X Y 1 0 1
0 1/ 4 0 1/ 4
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联合分布律 及边缘分布律
Y y1 X x1
p11
p1 j
xi
pi1
pij
p• j
p•1
yj
pi•
p• j
1
计算机科学与技术学院 8
pi•
第3章 多维随机变量及其分布
p1•
例(P61) 设随机变量 X 在 1,2,3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个数中等可 能地取值，另一个随机变量 Y 在1~X 中等可 能地取一整数值，试求 X, Y 的边缘分布律。
D
1
o
x
16
计算机科学与技术学院
同理，随机变量 Y 的边缘密度函数为
fY ( y )
f ( x, y )dx
2
y
x y 1 2
y 1 , 0 y 2 fY y 2 其它 0,
D
D
1
o
x
第3章 多维随机变量及其分布
计算机科学与技术学院
17
X， Y 的联合分布律为
Y X
1 2 3
第3章 多维随机变量及其分布
1
2 0
3 0 0
1 3 1 6 1 9
1 6 1 9
1 9
计算机科学与技术学院 9
X， Y 的联合与边缘分布律
Y X
1 2 3 1 2 0 3 0 0
pi
1 3 1 3 1 3
1
1 3 1 6 1 9
1 6 1 9
1 9
p j
第3章 多维随机变量及其分布
11 18
5 18
2 18
计算机科学与技术学院
10
例 箱子里装有4只白球和2只黑球，在其中随 机地取两次，每次取一只。考虑两种试验： (1) 有放回抽样，(2) 不放回抽样。 我们定义随机变量 X，Y 如下，写出X和Y的 联合分布律和边缘分布律 。
0, 若第一次取出的是黑球 , X 1, 若第一次取出的是白球 .
2 ， 例 设二维随机变量 X， Y ~ N 1， 2， 12， 2
试求 X 及 Y 的边缘密度函数．
X， Y 的联合密度函数为 解：
f ( x, y ) 1 2 1 2 1 2
2 2 1 x 2 x y y 1 1 2 2 exp 2 2 2 1 2 2 2 1 1
2 2 2
这表明，X ~ N 1，
2
第3章 多维随机变量及其分布
Y ~ N ，
2 2
计算机科学与技术学院 19
通过本题，我们有如下几条结论： 结 论（一） （ ） 二维正态分布的边缘分布是一维正态分布
2 2 即若 X， Y ~ N 1， 2， 1 ， 2，
第3章 多维随机变量及其分布
计算机科学与技术学院
18
f X x
f X x
fY y
f x， y dy
1 e 2 1
1 2 2 e
x 1 2
2 2 1
x
y
2 1
y 2 2
边缘分布 也称为 边沿分布 或 边际分布
第3章 多维随机变量及其分布
计算机科学与技术学院
2
1. 二维随机变量的边缘分布函数
由联合分布函数
FX ( x) P X x
边缘分布函数, 逆不真. y x y y x
计算机科学与技术学院 3
P X x, Y
F ( x,)
p j
第3章 多维随机变量及其分布
1
计算机科学与技术学院 13
3. 二维连续型随机变量的边缘分布
FX ( x) f (u , v)dvdu
x
FY ( y ) f (u , v)dudv
y
f X ( x) f ( x, y )dy
fY ( y ) f ( x, y )dx
2. 二维离散型随机变量的边缘分布
P( X xi ) pij pi ,
j 1 记作
i 1,2,
P(Y y j ) pij p j ,
i 1
记作
j 1,2,
由联合分布律可确定边缘分布律
第3章 多维 随机变量及其分布 计算机科学与技术学院 7
FY ( y ) PY y
x
P X , Y y
F (, y )
第3章 多维 随机变量及其分布
例 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为 x y F ( x, y ) A B arctan C arctan 2 2 x , y 其中A , B , C 为常数. (1) 确定A , B , C ； (2) 求X 和Y 的边缘分布函数； (3) 求P (X > 2).
解： 区域 D 的面积为
A 1
2
X， Y 的联合密度函数为
1, f x， y 0,
第3章 多维随机变量及其分布
y
y x 1 2
x， y D x， y D
D
D
1
o
x
15
计算机科学与技术学院
当 0 x 1 时，
f X x
f x， y dy 0dy 1dy 0dy
第3章 多维随机变量及其分布 计算机科学与技术学院 4
解 (1) F (,) A B C 1 2 2 F (,) A B C 0 2 2
(2)
FX ( x) F ( x,)
F (,) A B C 0 2 2 1 B ,C , A 2 2 2
1 1 x arctan , 2 2 x .
计算机科学与技术学院 5
第3章 多维随机变量及其分布
FY ( y ) F (, y )
1
计算机科学与技术学院 12
1
p j
第3章 多维随机变量及其分布
(2) 不放回抽样
X
0
Y
P(X=0)=2/6 P(Y=0)=1/5
0
1
pi
1 15 4 15
1 3
4 P(X=0)=2/6 1 P(Y=1)=4/5 15 3 6 P(X=1)=4/6 2 P(Y=1)=3/5 3 15
2 3
1
P(X=1)=4/6 P(Y=0)=2/5
0 2 (1 x )
0
2 (1 x )
21 x
当 x 0或x 1 时， f X x 0
随机变量 X 的边缘密度函数为
y
2 D
y x 1 2
21 x 0 x 1 f X x 其它 0
第3章 多维随机变量及其分布
则有，
X ~N
1， 12
Y ~ N 2，
2 2
结 论（二） （ ） 上述的两个边缘分布中的参数与二维正态分 布中的常数ρ无关
第3章 多维随机变量及其分布 计算机科学与技术学院 20
已知联合密度可以求得边缘密度
第3章 多维 随机变量及其分布 计算机科学与技术学院 14
例 设随机变量 X， Y 服从区域 D 上的均匀分布． y 其中D {( x, y ) | x 0, y 0, x 1}， 2 试求随机变量 X， Y 的边缘密度函数．
1 1 y arctan , y . 2 2
(3) P ( X 2) 1 P ( X 2) 1 FX ( 2)
1 1 2 1 arctan 2 2 1/ 4.
第3章 多维随机变量及其分布 计算机科学与技术学院 6
0, 若第二次取出的是黑球 , Y 1, 若第二次取出的是白球.
第3章 多维随机变量及其分布
计算机科学与技术学院
11
(1) 有放回抽样
P(X=0)=2/6 P(X=1)=4/6 P(Y=0)=2/6 P(Y=1)=4/6
X
0
Y
0
1
pi
1 9 2 9
1 3
2 9 4 9
2 3
1 3 2 3
§3.2 边缘分布 • 边缘分布函数 • 边缘分布律 • 边缘概率密度
第3章 多维 随机变量及其分布
计算机科学与技术学院
1
边缘分布
如果 X， Y 是一个二维随机变量，则它的分量 X
关于二维随机变量 X， Y 的边缘分布．
或者Y 是一维随机变量，因此，分量 X 或者Y 也有分布．我们称 X 或者Y 的分布为 X 或者Y