高一数学必修1第一章集合全章教案

第一章集合与函数概念
§1．1集合
教学目标：
(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；
(2)知道常用数集及其专用记号；
(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；
(4)会用集合语言表示有关数学对象；
教学重点.难点
重点：集合的含义与表示方法.
难点：表示法的恰当选择.
1.1.1集合的含义与表示
（一）集合的有关概念:
⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。

2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，
而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)
⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；
⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

5.常用的数集及记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.
整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；
6.关于集合的元素的特征
⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。

“中国古代四大发明”
（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大
的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.
⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。

.
如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}
⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
⑶大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；
⑶非负奇数；⑷某校2011级新生；⑸血压很高的人；
7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”两种)
⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；
⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4∉A，等等。

练：A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32∉A.
8.空集：是指不含任何元素的集合。

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

空集不是无；它是内部没有元素的集合。

可以将集合想象成一个装有元素的袋子，而空集的袋子是空的，但袋子本身确实是存在的。

用符号Ø或者{ }表示。

注意：{Ø}是有一个Ø元素的集合，而不是空集。

举例
当两圆相离时，它们的公共点所组成的集合就是空集；
当一元二次方程的根的判别式值△<0时，它的实数根所组成的集合也是空集。

8.集合的分类
观察下列三个集合的元素个数
1. {4.8, 7.3, 3.1, -9};
2. {x∈R∣0<x<3};
3. {x∈R∣x2+1=0}
由此可以得到
集合的分类
:
:
:()
empty set ⎧
⎪
⎨
⎪∅-
⎩
有限集含有有限个元素的集合
无限集含有无限个元素的集合
空集不含有任何元素的集合
（二）例题讲解：
例1．用“∈”或“∉”符号填空：
⑴8 N ； ⑵0 N ； ⑶-3 Z ； ；
例2．已知集合P 的元素为21,,3m m m --, 若2∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。

练：⑴给出下面四个关系:3∈R,0.7∉Q,0∈{0},0∈N,其中正确的个数是:( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
（2）求集合{2a ,a 2+a }中元素应满足的条件?
（3）若t
1t 1+-∈{t},求t 的值. 1.1.2
一、集合的表示方法
⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{
}”括起来表示集合的方法叫列举法。

如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；
说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；
⑵一般不必考虑元素之间的顺序；
⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；
⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；
⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。

当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。

⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{}1,2,3,4,5,......
例1．用列举法表示下列集合：
(1) 小于5的正奇数组成的集合；
(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；
(3) 从51到100的所有整数的集合；
(4) 小于10的所有自然数组成的集合；
(5) 方程2
x x =的所有实数根组成的集合；
⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，
在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

一般格式：{}()x A p x ∈ 如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2
+1} 说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}是不同的两个
集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z 。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。

写法{实数集}，{R}也是错误的。

例2．用描述法表示下列集合：
(1) 由适合x 2-x-2>0的所有解组成的集合;
(2) 到定点距离等于定长的点的集合;
(3) 方程220x -=的所有实数根组成的集合
(4) 由大于10小于20的所有整数组成的集合。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，
一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

练： 1．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数
2．集合A ＝{x|43
x -∈Z ，x ∈N}，则它的元素是 。

3.判断下列两组集合是否相等？
（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与B={正整数}
课后作业：
§1.2.1 集合间的基本关系
教学目的：
（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；
教学难点：集合的交集与并集、补集；
1.2.1集合间的基本关系
⒈子集：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这 两个集合有包含关
系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。

记作：()A B B A ⊆⊇或 读作：A 包含于B ，或B 包含A
当集合A 不包含于集合B 时，记作A ⊈B(或B ⊉A)
用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系： 2.真子集定义：若集合A B ⊆，但存在元素,x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集。

记作：A B （或B A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）
3.集合相等 定义：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B
中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ⊆⊆且，则A B =。

如：A={x|x=2m+1，m ∈Z}，B={x|x=2n-1，n ∈Z}，此时有A=B 。

4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。

记作：φ
用适当的符号填空：
φ {}0； 0 φ ； φ {φ}； {}0 {φ}
5.几个重要的结论：
⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A 都有φ⊆A 。

⑵空集是任何非空集合的真子集；
⑶任何一个集合是它本身的子集；
⑷对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆。

练习 ⑴2 N ； {2} N ； φ A;
⑵已知集合A ＝{x|x 2
－3x ＋2＝0}，B ＝{1,2}，C ＝{x|x<8,x ∈N}，则
A B ； A C ； {2} C ； 2 C
说明：
⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系； ⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

⑶结论：一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为2n 个，其真子集数为2n -1个，
特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

1.2.2 集合间的基本运算
考察下列集合，说出集合C 与集合A ，B 之间的关系：
（1）{1,3,5}A =，{}{2,4,6},1,2,3,4,5,6B C ==；
（2）{}A x x =是有理数，{}{},
B x x
C x x ==是无理数是实数； 1.并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B
的并集，即A 与B 的所有部分，
记作A ∪B ， 读作：A 并B 即A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}。

Venn 图表示：
B A 表示：A B ⊆
2.交集定义：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 、B 的交集（intersection set ），记作：A ∩B 读作：A 交B 即：A ∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}
Venn 图表示：
常见的五种交集的情况：
说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.
3. 全集、补集概念及性质：
全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么
就称这个集合为全集,记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

补集的定义：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫作集
合A 相对于全集U 的补集,
记作：U C A ，读作：A 在U 中的补集，即{},U C A x x U x A =∈∉且
Venn 图表示：（阴影部分即为A 在全集U 中的补集） A
U
C U A
说明：补集的概念必须要有全集的限制
课后作业：
§1．2函数及其表示
教学目标:
1、 掌握函数的三种表示方法：列表法、图 像法、解析法，体会三种表示方法的特点。

2、 掌握函数图像的画法及解析式的求法。

了解区间的概念。

3、 理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用 教学重点：通过实例领悟构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域、值域。

教学难点：了解映射概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射。

理解映射与函数的关系。

知识点一、函数的定义
A B A(B) A B B A B A （阴影部分即为A 与B 的交集）
1．函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作：y=f(x)，x A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．
区间表示：
{x|a≤x≤b}=[a，b]；
；；
.
规律方法指导
1.函数定义域的求法
(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
2.函数值域的求法
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数
等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.
经典例题
类型一、函数概念
1.下列各组函数是否表示同一个函数？
(1)
(2)
(3)
(4)
思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.
总结：函数概念含有三个要素，只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.
(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.
【变式1】判断下列命题的真假
(1)y=x-1与是同一函数；(2)是同一函数；
2.求下列函数的定义域(用区间表示).
(1)； (2)；(3).
思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.
总结：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.
【变式1】求下列函数的定义域：
(1)； (2)； (3).
3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1).
思路点拨：由函数f(x)符号的含义，f(3)表示在x=3时，f(x)表达式的函数值.
【变式1】已知函数.
(1)求函数的定义域；(2)求f(-3)，的值；(3)当a＞0时，求f(a)×f(a-1)的值.
【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：
(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))
思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．
4. 求值域(用区间表示)：
(1)y=x2-2x+4；.
知识点二、函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
3．复合函数：
知识点三、映射与函数
1.映射定义：
设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.
象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.
注意：
(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；
(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；
(3)a的象记为f(a).
2.函数：
设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).
注意：
(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；
(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；
(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；
(4)原象集合=定义域，值域=象集合.
类型二、映射与函数
5. 下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射?
(1)A=R，B=R，对应法则f：取倒数；
(2)A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆；
(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f：作圆的内接三角形．
思路点拨：根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．
【变式1】判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则
②A=N*，B={0，1}，对应法则f:x→x除以2得的余数；
③A=N，B={0，1，2}，f：x→x被3除所得的余数；。