矢量的方向余弦
矢量知识
⇒
v −B
v B
v B
v C
v B
v A
v v v A+ B +C = 0
推论： 任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。 在直角坐标系中两矢量的减法运算：
v v v v v A − B = ( Ax − Bx ) i + ( Ay − By ) j + ( Az − Bz ) k
3.乘法： 3.乘法： 乘法
v Ax
γ
o
α
β
v Ay
y
x
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。 加法: 加法
v B
v C
v v v C = A+ B
v C
v B
v A
⇒
v A
v v v v a.满足交换律： A + B = B + A v v v v v v v v b.满足结合律： ( A + B) + (C + D) = ( A + C ) + ( B + D)
→ →
A⋅ B = 0.
功W
= F ⋅ ∆r
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
大小 矢量的数乘： 矢量的数乘： B = m A矢量 mA
r r 方向 m > 0, B与 A的 方 向 一 致 ； 反 之 相 反 。
： （2）矢量的矢积（叉乘） 两矢量相乘得到新矢量的乘法 矢量的矢积（叉乘） r
v v v v A = Ax i + Ay j + Az k
v 模的计算： | A |= A2 + A2 + A2 x y z
矢量基本概念
(一) 矢量基本概念定 义 既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。
表示法定 义 有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度）AB ，a。
特殊的向量零矢量：长度为0的向量。
零向量的方向是不确定的。
单位矢量：长度为1的矢量。
向量之间的关系两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。
反矢量：长度相同，方向相反的矢量。
共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。
共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。
关于向量之间的关系，有下面结论：零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）； 共线矢量必共面； 两矢量必共面；三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。
(二) 矢量的運算（一）矢量的加法矢量的和（三角形法则）设已知矢量a ，b ，以空间任意一点O 为始点接连作矢量a OA，b AB 得一折线OAB ，从折线的端点O 到另一端点B 的矢量c OB，叫做两矢量a 与b 的和，记做b a c 。
矢量的和（平行四边形法则）如图示，有b a c。
一般地：矢量的加法还满足多边形法则：n n n A A A A OA OA 1211...运算规律：1） 1） 交换律：a b b a； 2） 2） 结合律：)()(c b a c b a。
矢量的差若a c b，则称c 为矢量a与b的差，并记作b a c。
由定义，得矢量减法的几何作图法：矢量加法的性质（1）)(b a b a（2）||||||b a b a（3）||||||（4） ||||||2121a a a a a n ||n a（二）矢量的数乘定义（数量乘矢量）实数 与矢量的乘积 是一个矢量， （1） （1） 其模为||||||a a ；（2） （2） 其方向由下列规则决定：当0 时， 与方向相同；当0 时， 与方向相反；当0 或0 时，是零向量，方向不定。
定义如果0a 与a 同向，而且为单位向量，那么称0a为与a 同向的单位向量，或a 的单位向量。
由定义，0|| ||0a数量乘法的运算规律 1）结合律：)()(2）第一分配律：a a a )(3）第二分配律：b a b a )(由矢量加法与数乘运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算。
《电磁场与电磁波》矢量分析
梯度:增加最快的方向
l M0 g el
方向导数=梯度在该方向上的投影
小结 等值面:只能反映标量分布的总体趋势 梯度:场中每点变化最快的方向和最大的变化率
求场
解：
在点(0,0.5,1) 处的梯度。
矢量场的通量和散度
矢量线：描述矢量场的线 形象直观地描述矢量场
大小：疏密 方向：切线方向
矢量线的疏密可定性表征矢量场的大小 实际需定量描述，故引入通量
A dS
V 0 V S
对散度作体积分，就得到通量
高斯公式 通量=散度的体积积分 矢量函数的面积分与体积分的相互转换
S A dS 面
divA lim 1
A dS 点
V 0 V S
体
实现了“面-点-体 ”的转化
矢量场的环量和旋度
通量: 有向曲面上的面积分值，表示体积内 的通量源,分布强度用散度来描述
A B AB cos =Ax Bx Ay By Az Bz
Bcosθ:B在A方向上的投影 B
A ex 2ey 3ez
B 4ex 5ey 6ez
A
B cos
A B 14 25 36 32
矢量标量积满足交换律和结合律
AB B A
kA pB kpA B AB+C A B AC
l M0 =0, 沿l方向不变
l M0
几个问题：
1）方向导数是标量？矢量？ 标量 2）不同方向的变化快慢是一样的？ 不是
l 方向改变，方向导数值也变 3）方向导数能反映哪方向的变化率最大？ 不能 4）标量能准确刻画标量场的空间变化率？不能
3 梯度
l M0 g el | g | cos(g, el )
场中的每一点只与一等值面/线对应 等值面的稀密程度反映场量的空间分布
《弹性力学》试题参考答案(参考题)
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++=)(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。
试求薄板面积的改变量S ∆。
题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。
由q E)1(1με-=得，)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。
矢量运算法则
推论：三个非零矢量共面的条件。
vvv A(BC) 0
v vv
h BC v
A
v C
v B
在直角坐标系中：
vvv
aˆx aˆy aˆz
A (B C) ( Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) Bx By Bz
v v v Ax Ay Az A (B C) Bx By Bz
•面元：
v dS1
h2h3du2du3aˆu1
v dS2 h1h3du1du3aˆu2
v dS3 h1h2du1du2aˆu3
•体元： dV h1h2h3du1du2du3
电磁场与电磁波
四、标量场的梯度
1. 标量场的等值面 以温度场为例：
第1章 矢量分析
等温面
热源
可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力
v F
、速度
vv
、电场
v E
等
vv 矢量表示为： A | A| aˆ
其中：|
A|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
高中物理常见的矢量和标量
高中物理常见的矢量和标量高中物理常见的矢量和标量物理学是一门研究物质运动和相互作用的科学，而矢量和标量是物理学中常见的两种量。
它们在描述物理现象和计算物理量时起着重要的作用。
本文将介绍高中物理中常见的矢量和标量，并探讨它们的特点和应用。
一、矢量矢量是具有大小和方向的物理量。
在物理学中，常用箭头表示矢量，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
矢量的大小称为矢量的模，用数值表示。
矢量的方向可以用角度或者方向余弦表示。
高中物理中常见的矢量有位移、速度、加速度、力等。
以位移为例，位移是物体从一个位置到另一个位置的位移量，它既有大小又有方向。
当物体沿直线运动时，位移的大小等于物体的位移量，方向由起点指向终点。
当物体沿曲线运动时，位移的大小等于物体的位移量的代数和，方向由起点指向终点的切线方向。
矢量的运算有加法和减法。
矢量的加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量，其大小等于两个矢量的大小之和，方向由两个矢量的方向决定。
矢量的减法是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量，其大小等于两个矢量的大小之差，方向由两个矢量的方向决定。
二、标量标量是只有大小而没有方向的物理量。
在物理学中，标量用普通字母表示，如时间、质量、温度等。
标量的大小用数值表示，没有方向。
高中物理中常见的标量有时间、质量、温度、功等。
以时间为例，时间是物体运动所经历的时间间隔，它只有大小没有方向。
时间的单位有秒、分钟、小时等。
标量的运算有加法、减法、乘法和除法。
标量的加法是指将两个标量相加得到一个新的标量，其大小等于两个标量的大小之和。
标量的减法是指将一个标量减去另一个标量得到一个新的标量，其大小等于两个标量的大小之差。
标量的乘法是指将两个标量相乘得到一个新的标量，其大小等于两个标量的大小之积。
标量的除法是指将一个标量除以另一个标量得到一个新的标量，其大小等于两个标量的大小之商。
三、矢量和标量的应用矢量和标量在物理学中有着广泛的应用。
电磁场理论练习题
第一章 矢量分析1.1 3ˆ2ˆˆz y x e e eA -+= ，z y e eB ˆ4ˆ+-= ，2ˆ5ˆy x e eC -= 求（1）ˆA e ；（2）矢量A 的方向余弦；（3）B A ⋅；（4）B A ⨯；（5）验证()()()B A C A C B C B A ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ ；（6）验证()()()B A C C A B C B A ⋅-⋅=⨯⨯。
1.2 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，则可确定该未知矢量。
设A 为已知矢量，X A B ⋅=和X A B ⨯=已知，求X 。
1.3 求标量场32yz xy u +=在点（2,-1,1）处的梯度以及沿矢量z y x e e el ˆ2ˆ2ˆ-+= 方向上的方向导数。
1.4 计算矢量()()3222224ˆˆˆz y x e xy e x eA z y x ++= 对中心原点的单位立方体表面的面积分，再计算A ⋅∇对此立方体的体积分，以验证散度定理。
1.5 计算矢量z y e x e x eA z y x 22ˆˆˆ-+= 沿(0,0)，(2,0)，(2,2)，(0,2)，(0,0)正方形闭合回路的线积分，再计算A ⨯∇对此回路所包围的表面积的积分，以验证斯托克斯定理。
1.6 f 为任意一个标量函数，求f ∇⨯∇。
1.7 A 为任意一个矢量函数，求()A ⨯∇⋅∇。
1.8 证明：A f A f A f ⋅∇+∇=∇)(。
1.9 证明：A f A f A f ⨯∇+⨯∇=⨯∇)()()(。
1.10 证明：)()()(B A A B B A ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇。
1.11 证明：A A A 2)(∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇。
1.12 ϕρϕρϕρρsin cos ˆ),,(32z e ez A += ，试求A ⋅∇，A ⨯∇及A 2∇。
1.13 θθθϕθϕθcos 1ˆsin 1ˆsin ˆ),,(2re r e r e r A r ++= ，试求A ⋅∇，A ⨯∇及A 2∇。
预篇：矢量分析和场论基础
Fx ( x, y , z ) F ( x, y, z ) F ( x, y , z ) dx + x dy + x dz x y z Fy ( x, y, z ) Fy ( x, y , z ) Fy ( x, y, z ) dFy = dx + dy + dz x y z Fz ( x, y , z ) Fz ( x, y , z ) Fz ( x, y , z ) dFz = dx + dy + dz x y z
11
四,标量场与矢量场
场是一个标量或一个矢量的位置函数, 场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任 一个点都有一个确定的标量值或矢量. 一个点都有一个确定的标量值或矢量. 例如,在直角坐标下, 例如,在直角坐标下, 标量场 如温度场,电位场,高度场等; 如温度场,电位场,高度场等; 矢量场 如流速场,电场,涡流场等. 如流速场,电场,涡流场等.
A × B = -B × A
(1 )若
A B = A C ,是否意味着 B 总等于 C ?
(2)已知 A = ex + be y + cez , B = ex + 3e y + 8ez ) 各为多少? 若使 A ⊥ B 或者 A // B ,则b,c各为多少? , 各为多少
9
4.矢量的三重标积 矢量的三重标积
C B A 0 0 B C A
C = A+ B
C = A B = A + ( B )
6
2.矢量的标积 矢量的标积 矢量的标乘又称点乘
A B = A B cos α = AB cos α
在直角坐标系中, 在直角坐标系中,其解析式为
A B = Ax Bx + Ay B y + Az Bz
矢量的运算
得：
r • r r1 • r1 r1 • r2 r2 • r1 r2 • r2
r 2 r12 r22 2r1r2 cos
上式开方得： r r12 r22 2r1r2 cos
11
例3、设在直角坐标系中的两个矢量分别为：
矢量的运算运算矢量向量矢量运算矢量的矢量的运算向量的运算矢量的叉乘数的运算复数的运算
矢量基础
一、矢量与标量
标量：由大小及单位或量纲表示。运算服从普通 的代数运算法则。
矢量：由大小及方向表示，其合成服从平行 四边形法则。
二、矢量的基本概念
矢量的书写方法：印刷上用黑体字表示 r 。 r 手写时在字符上加一箭号 表示。
两矢量相互垂直时， 点积为0。
10
例2、设有两个矢量分别为：r1
、r2
他们间的夹角为θ。
试证明矢量合成的平行四边形法则，即两矢量的
合矢量r的大小为：
r
r12 r22 2r1r2 cos
解： r r1 r2
两边对自身点乘
r • r (r1 r2 ) • (r1 r2 )
A B A (B)
定义为：加上 B 矢量的负矢量。
A
AB
B
3
矢量与数量相乘：记为
C mA
定义为： C = | m | A （即C的模为A的m倍）
当m大于0时, C与A方向相同。 当m小于0时，C与A方向相反。
利用上述乘法的定义，任意一个矢量都可以表示为该矢量的
8
j )m
写出该矢量的模和单位矢量，并用图表示该矢量。
6
Y
矢量的运算法则
z
v Az
v A
根据矢量加法运算：
vv v v A Ax Ay Az
vo
Ax
x
其中：
v
v
v
Ax Axaˆx , Ay Ayaˆy , Az Azaˆz
v Ay
y
v 所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
矢量运算法则
v
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
矢量运算法则
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量，标量三重积。
v vv A (B C)
矢量，矢量三重积。
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即 aˆx aˆy 0, aˆx aˆz 0, aˆy aˆz 0 aˆx aˆx 1, aˆy aˆy 1, aˆz aˆz 1
有两矢量点积：
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
矢量运算法则
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： z
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
o y
x
(AyBz AzBy )aˆx (AzBx AxBz )aˆy (AxBy AyBx )aˆz
Ax Bx Ay By Az Bz •结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
1.2 位置矢量 运动方程 位移
位置矢量运动方程位移r* Px yz xzyo kz j y i x r++=（2）位矢 的值为 r （1）确定质点P 某一时刻在坐标系里的位置的物理量称位置矢量, 简称位矢 . r式中 、 、 分别为x 、y 、z方向的单位矢量.i j k ikjrr=222zy x ++==αcos =γcos =βcos （3）位矢 的方向余弦rPrαβγxzyor x ry rz二、运动方程 xzyokt z j t y i t x t r)()()()(++=)(t x x =)(t y y =)(t z z =分量式 从中消去参数 得轨迹方程),,(=z y x f t )(t r )(t x )(t y )(t z三、位移xy oBBr Ar A r∆Ar BBr Ar∆xyor r r A B ∆+=AB r r r-=∆∴（1）经过时间间隔 后, 质点位置矢量发生变化, 由始点 A 指向终点 B的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的位移矢量 . 位移矢量也简称位移.t ∆r ∆222zy x r ∆+∆+∆=∆ 位移的大小为=A r =B r jy y i x x r A B A B)()(-+-=∆AB r r r -=∆所以位移 若质点在三维空间中运动，kz z j y y i x x r A B A B A B)()()(-+-+-=∆又 j y i x A A +j y i x B B +Ar B Br Ar∆xyoBx Ax B y Ay AB yy -AB x x -（2）路程（ ）: 质点实际运动轨迹的长度.s ∆222zy x r ∆+∆+∆=∆ 位移的物理意义 ① 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关，只决定于质点的始末位置.② 反映了运动的矢量性和叠加性.kz j y i x r∆+∆+∆=∆讨 论（3）位移与路程的区别② 一般情况, 位移大小不等于路程.r s∆≠∆④ 位移是矢量, 路程是标量.s∆)(1t r1p )(2t r 2p r∆xyOz's ∆③ 什么情况？ s r ∆=∆不改变方向的直线运动; 当时 . 0→∆t s r ∆=∆① P 1P 2 两点间的路程是不唯一的, 可以是 或而位移 是唯一的. r∆s ∆'s ∆s ∆Thanks!。
《矢量分析与场论》数量场的方向导数和梯度
u du l ds
l
M
M0
C
2.方向导数
以 s 为参 数的参数方程为： 证：设曲线
x x( s),
C
l
M
y y ( s),
z z ( s)
M0
C
则 沿 曲 线C ， 函 数 ，
u u[ x( s), y( s), z ( s)]
根据复合函数的求导定理，有
du u dx u dy u dz ds x ds y ds z ds
u u lim s s 0 s
2.方向导数 定理 3 ：若在点 M处函数 u 可微、曲线
光滑， C
则有：
u du s ds
u du 存在时，有 s ds
证：
du u 故当 lim s 0 s ds
。
2.方向导数 推论：若在点 M 处函数 u 可微、曲线 C 光滑， 则有：
2 2 2
令：
x y z cos a , cos , cos l l l
分别表示 l 在 x, y, z 轴上的方向余弦，于是得到：
l cosai cos j cosk
2 2 2
cos cos cos 1
2.方向导数
l
与 G 的方向一致时，即 cos(G, l ) 1 时，
的方向导数。
当方向
方向导数取最大值。
3.梯度 最大值为：
u G l
矢量 G 的方向就是函数 u(M变化率最大的方向， )
其模正好是最大变化率的数值。
把 G 叫做函数 u(M )在给定点处的梯度。
矢量的运算法则
dSR R2 sin d daR dS R sin dRda
dS RdRd a
体元：
dV R2 sin dRd d
工程电磁场
在不同旳坐标系中，梯度旳计算公式：
在直角坐标系中：
x
aˆx
y
aˆ y
z
aˆz
在柱坐标系中：
r
aˆr
r
工程电磁场
主要旳场论公式
1. 两个零恒等式
(1) () 0 任何标量场梯度旳旋度恒为零。
(2) ( F ) 0
任何矢量场旳旋度旳散度恒为零。
工程电磁场
2. 拉普拉斯算子 2 ()
在直角坐标系中：
2
2
x 2
2
y 2
2
z 2
在圆柱坐标系中：
2
1 r
(r )
r r
( )
( A) A A
(A) A A
(A B) (A)B (B )A A( B) B( A)
(A B) B A A B (A B) A B B A (B )A (A)B
球坐标系中：
F
1 R2
(R2FR ) R
1
R sin
(F sin )
1
R sin
F
正交曲线坐标系中：
F
1
Fu1h 2 h 3
( Fu2
h1h3
)
(Fu3 h1h2
)
h1h2h3 u1
u2
u3
工程电磁场
旋度公式：
F
Fz y
Fy z
aˆx
Fx z
Fz x
aˆ y
航天器姿态的描述与姿态动力学
航天器姿态运动学
x
y
z
x ' cos 1 cos 2
cos 3
y ' cos 1 cos 2
z ' cos 1 cos 2
cos 3
cos 3
方向余弦矩阵(Direction
Cosine Matrix) 为正交矩
阵，有时以表格形式给出
➢ 直接求取方向余弦矩阵比较困难，因此引入内框架坐标系oxyz和
的本体坐标系Oxyz。变换矩阵为
x cos
y sin
z 0
sin
cos
0
0
0
1
15
航天器姿态运动学
综合以上变换，坐标系OXYZ与Oxyz之间的直接转换关系即为
系 O 中的分量分别为：
O 轴为 ，
O 轴为 sin ， O 轴为
cos 。再将
O 轴和 O 轴分量按Ox和Oy轴分解，其结果表示如下：
x sin sin cos
y sin cos sin
标轴保持平行。
质心轨道坐标系
简称轨道坐标系。这是一个以航天器质心为原点的正
交坐标系，如图所示。
卫星轨道平面为坐标平面，O为卫星质心，z
轴由质心指向地心（当地垂线），x轴在轨道
平面内与z轴垂直并指向卫星速度方向，y轴与
x、z轴右手正交且与轨道平面法线平行
3
航天器姿态运动学
本体坐标系Oxyz
又称为星体坐标系。在此坐标系中，原点0在航天器质心，Ox，
几何数学的矢量
几何数学的矢量全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：几何数学是数学中的一个重要分支，它研究的是几何形状的性质和空间关系。
而在几何数学中，矢量是一个至关重要的概念，它可以用来描述方向和大小，是描述空间中物理量的有效工具。
矢量在我们日常生活和工程领域中都有着广泛的应用，比如在力学、物理学、计算机图形学等领域都可以看到矢量的身影。
那么，什么是矢量呢？矢量是指具有大小和方向的量，可以用箭头来表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
在数学中，通常把矢量表示为一组有序的实数的集合，比如在二维空间中，一个矢量可以表示为一个二元组（a，b），其中a和b分别是矢量在X轴和Y轴上的分量。
在三维空间中，一个矢量可以表示为一个三元组（a，b，c），其中a、b和c分别是矢量在X轴、Y轴和Z轴上的分量。
矢量有很多基本运算，比如加法、减法、数乘等。
矢量的加法是按照平行四边形法则进行的，即两个矢量的和是由其始点和终点构成的平行四边形的对角线。
矢量的减法则是通过加上另一个矢量的负向量来实现的，即A-B=A+(-B)。
而矢量的数乘是将一个矢量乘以一个实数，得到一个新的矢量，其大小是原矢量的大小与实数的乘积，方向不变或者相反，取决于实数的正负。
矢量还有很多几何应用，比如平行和垂直。
两个矢量A和B被称为平行的，如果它们的方向相同或者相反，不管大小如何。
而两个矢量A 和B被称为垂直的，如果它们的点积为零。
点积是两个矢量之间的一种乘积运算，它的计算方法是将两个矢量的对应分量相乘再相加。
如果两个矢量的点积为零，则说明它们相互垂直。
除了常见的二维和三维矢量，还有一些特殊的矢量，比如零矢量、单位矢量和平行于坐标轴的矢量。
零矢量是一个大小为零的矢量，它的起点和终点重合。
单位矢量是一个大小为1的矢量，它通常表示坐标轴上的正方向。
而平行于坐标轴的矢量是指其在某一个坐标轴上的分量为零，可以看做是只在一个方向上移动的矢量。
在实际应用中，矢量有很多用途，比如表示力、速度、加速度等物理量，描述电磁场、位移场等场的强度和方向，还可以用来计算平面和立体图形的面积、体积等几何性质。
什么是矢量
什么是矢量矢量是指具有大小和方向的物理量，它们可以取任意值。
但在某一点上它们的数值只能是这个值的整数倍。
矢量的加法和减法满足交换律和结合律。
矢量还满足一些运算定律：1、对于标量与矢量的乘积 A= fA (其中 a 为非零常数);2、在复合运算下，矢量的大小不变性质。
3、标量和矢量的叉积为0.矢量的乘法则满足分配律，即0的平方为1。
由此我们可以看出标量、矢量及它们之间的相互关系：矢量和标量同属于标量类；矢量又和标量统称为向量，因而也叫做数量；矢量既有方向，又有大小，所以它们又是矢量；向量是具有大小和方向的直线矢量，因此它是矢量；而通过直角坐标系表示的坐标轴上各点的方向都是该点到两坐标轴正向的单位矢量。
数量和向量虽然同属于标量范畴，却有明显的区别。
首先，数量没有方向，且长度无限，而向量总有唯一确定的方向，即方向余弦（正余弦）是向量的长度单位；其次，数量在方向的任何地方都可以存在，而向量的方向必须有确定的点来限制。
在物理学中，矢量有着十分重要的作用，从宏观上说，若没有力学运动的矢量描述，那么自然界将是混乱的，运动速度、加速度等将失去意义。
人造卫星绕地球转的实验表明，若没有惯性参考系下给出的完全准确的物理参照系的坐标系，那么宇航员就很难测得当时他在真空中沿轨道飞行的初速度，从而不可能获知火箭在发射后经过了多远距离才进入预订轨道这样的精确情况。
因此，牛顿的万有引力定律和伽利略的落体运动规律依赖于惯性参考系。
所谓力学运动就是指刚体绕定点作简谐振动或使刚体在其惯性参考系内受到作用力，因此它应被视为惯性运动。
力学运动的基本特征是每一个物理量的值在其各个不同的独立方向上成比例。
什么是矢量呢？就拿地球为例子吧！你站在北京东南角看月亮，地球就好像一个圆形的大盘子似的，盘子的大部分面积都朝着太阳，而四周高地与海洋代表着四季冷暖的变化，你越往西走天气就会慢慢的热起来，而越靠近赤道天气就越凉爽，如果地球上全是陆地，那么季节的变化更加剧烈，最终就没有春夏秋冬的分别，有时甚至没有白天黑夜之分，地球在我们眼里是一个移动着的旋转椭球体，对我们来讲，我们看见的是假象，可是在世界另外一端的宇宙空间，我们是以三维世界看地球的，当然，看见的只是几张二维平面图片罢了。
matlab两向量的余弦
matlab两向量的余弦摘要：1.引言2.MATLAB 中计算两个向量的夹角余弦的方法3.用MATLAB 计算两个向量距离的代码4.计算两个向量夹角的余弦值5.两向量矢量和的方向余弦与这两向量的方向余弦的关系6.结论正文：在MATLAB 中，向量是一个非常重要的概念。
向量可以表示空间中的点或者方向，同时也可以用来进行数学运算。
在向量的运算中，计算两个向量的夹角余弦是非常常见的一种操作。
本文将介绍如何在MATLAB 中计算两个向量的夹角余弦，并提供相应的代码示例。
首先，我们需要了解如何在MATLAB 中计算两个向量的距离。
这可以通过以下代码实现：```matlabfunction [a] = mynormalize(a)amax = max(a);a = a / amax;a = ceil(a);end[your vector data 1];[your vector data 2];a = [your vector data 1];b = [your vector data 2];a = mynormalize(a);b = mynormalize(b);```在这个代码中，我们首先找到向量a 和向量b 的最大值，然后将它们除以最大值，使得两个向量的值都在0 到1 之间。
接下来，我们使用CEIL 函数将向量a 和向量b 的值向上取整，使得它们成为整数。
在计算两个向量的夹角余弦之前，我们需要先计算两个向量的点积。
在MATLAB 中，可以通过以下代码实现：```matlabdotproduct = sum(a * b);```接下来，我们需要计算两个向量的模长。
在MATLAB 中，可以通过以下代码实现：```matlabmagnitude1 = sqrt(sum(a.^2));magnitude2 = sqrt(sum(b.^2));```现在，我们可以使用以下公式计算两个向量的夹角余弦：```matlabcosvalue = dotproduct / (magnitude1 * magnitude2);```最后，我们可以使用以下代码将计算出的夹角余弦输出：```matlabfprintf("The cosine of the angle between the two vectors is: %f", cosvalue);```需要注意的是，在计算两个向量的夹角余弦时，我们假设两个向量是单位向量。
矢量的方向余弦
矢量的方向余弦矢量的方向余弦矢量与坐标轴（或坐标矢量）所成的角称为矢量的方向角,方向角的余弦称为矢量的方向余弦。
一个矢量的方向完全可由它的方向角来决定。
矢量的方向余弦也可用矢量的分量来表示。
定理1.7.6非零矢量的方向余弦是(1.7−10)且(1.7−11)式中的分别为矢量与轴,轴,轴的交角，即矢量的三个方向角。
证因为且,所以,从而同理可证（1.7-10）其余两式成立。
由（1.7-10）立即可知（ 1.7-11）成立。
从定理1.7.6可以看出，空间的每一个矢量都可以由它的模与方向余弦决定，特别地，单位矢量的方向余弦等于它的分量，即有(1.7−12)3) 两矢量的交角定理1.7.7设空间中两个非零矢量为和,那么它们夹角的余弦是：（1.7-1 3）证因为,所以，但是,| ,所以（1.7-13）成立。
推论矢量与相互垂直的充要条件是(1. 7-14)在平面直角坐标系下，平面上的矢量也有完全类似的结论. 设平面上的两矢量为与, 那么有(1.7− 6′)(1.7− 7′ )(1.7− 8′ )平面上两点间的距离为(1.7− 9′)矢量α的方向余弦可以表示为(1.7−10′)且(1.7−11′)在平面上的情形，我们还可以单独用从到的有向角来决定矢量的方向。
设, （图1-37），那么,因此，平面上的非零矢量的方向，完全可由轴（或坐标矢量）到矢量的有向角来决定，所以平面上的矢量可写成(1.7−12′)矢量 a与 b的交角的余弦为( 1 .7−13′)矢量 a与 b垂直的充要条件为(1. 7−1 4′)。
方向余弦 单位矢量
方向余弦单位矢量方向余弦是表示两个方向之间的夹角关系的一种数学概念。
在空间解析几何中，我们经常需要通过各类向量的分析来描述物体的运动、力学性质等。
而在向量分析中，方向余弦是一种很重要的工具，可以用来描述任意两个向量之间的夹角。
在三维空间中，一个任意的向量可以用三个分量来表示，比如在直角坐标系中，一个向量可以表示为v=(bx,by,bz)的形式。
而方向余弦就是利用这三个分量来描述向量之间的夹角关系。
方向余弦可以看作是两个向量在不同坐标轴上的投影量，因此它描述了它们的夹角。
设两个向量a和b的方向余弦分别为l1、l2、l3。
假设它们的夹角为α，那么有以下等式：l1=cosαl2=cosβl3=cosγ其中，α、β、γ分别为向量a和b在x、y、z坐标轴方向上的夹角，cos表示余弦函数。
另外，方向余弦还可以表示一个向量在空间中的投影量，因此我们还可以用方向余弦来表示一个单位矢量。
单位矢量是指长度为1的向量，它是由原始向量除以其模长得到的。
在空间解析几何中，我们常常需要使用单位矢量来表示一个向量的方向，因为它具有很重要的物理意义。
假设一个三维向量v的模长为|v|，那么从v中提取出单位向量u的方法如下：u=v/|v|这里，除号表示向量的除法。
这个过程可以理解为将原始向量v投影到一个单位球面上，然后得到在球面上的一个方向向量，也就是单位矢量u。
在表示单位矢量时，我们通常用方向余弦来描述它相对于坐标系x、y、z轴的方向。
设一个单位矢量a的方向余弦为l1、l2、l3，则有以下等式：|a|=√(l1²+l2²+l3²)这里，|a|表示向量a的模长，也就是单位矢量的长度。
另外，我们还可以用方向余弦来表示两个单位矢量之间的夹角关系。
假设两个单位矢量a和b的夹角为θ，则有以下等式：cosθ=a·b这里，·表示向量的点积。
这个公式告诉我们，当两个单位矢量之间的夹角为θ时，它们的点积等于它们之间的余弦值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
矢量的方向余弦
矢量的方向余弦
矢量与坐标轴（或坐标矢量）所成的角称为矢量的方向角,方向角的余弦称为矢量的方向余弦。
一个矢量的方向完全可由它的方向角来决定。
矢量的方向余弦也可用矢量的分量来表示。
定理1.7.6非零矢量的方向余弦是
(1.7−10)
且
(1.7−11)
式中的分别为矢量与轴,轴,轴的交角，即矢量的三个方向角。
证因为且,
所以,
从而
同理可证（1.7-10）其余两式成立。
由（1.7-10）立即可知（ 1.7-11）成立。
从定理1.7.6可以看出，空间的每一个矢量都可以由它的模与方向余弦决定，特别地，单位矢量的方向余弦等于它的分量，
即有 (1.7−12)
3) 两矢量的交角
定理1.7.7设空间中两个非零矢量为和,那么它们夹角的余弦是：
（1.7-13）证因为
,
所以，
但是,
| ,
所以（1.7-13）成立。
推论矢量与相互垂直的充要条件是
(1.7-14)
在平面直角坐标系下，平面上的矢量也有完全类似的结论. 设平面上的两矢量为
与, 那么有
(1.7− 6′)
(1.7− 7′ )
(1.7− 8′ )
平面上两点间的距离为
(1.7− 9′)
矢量α的方向余弦可以表示为
(1.7−10′)
且 (1.7−11′) 在平面上的情形，我们还可以单独用从到的有向角来决定矢量的方向。
设, （图1-37），那么
,
因此，平面上的非零矢量的方向，完全可由轴（或坐标矢量）到矢量的有向角来决定，所以平面上的矢量可写成
(1.7−12′)
矢量 a与 b的交角的余弦为
( 1.7−13′)
矢量 a与 b垂直的充要条件为
(1.7−1 4′)。