第4讲：怎样用函数描述简谐运动
简谐运动的描述++课件-2022-2023学年高二上学期物理人教版(2019)选择性必修第一册
二、简谐运动的描述方法
【例2】右图是两个简谐运动的振动图像，它们的 Nhomakorabea位差是多少？
【例3】右图为甲、乙两个简谐运动的振动图 像。请根据图像写出这两个简谐运动的位移 随时间变化的关系式。
二、简谐运动的描述方法
【例4】如图所示是某弹簧振子的振动图像。 （1）求振子振动的振幅、周期、频率和初相。 （2）如果从点 O 开始计时，到图中的哪一点为止，振子完成了一次全 振动？如果从点 C 开始计时呢？ （3）当 t=1.4s时，振子对平衡位置的位移是多少？它在一次全振动中 所通过的路程是多少？
二、简谐运动的描述方法
3．图像信息
(1)由图像可以得出质点振动的振幅、周期和频率。 (2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。 (3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向。 (4)确定某时刻质点速度的方向。 (5)比较不同时刻回复力、加速度的大小。 (6)比较不同时刻质点的动能、势能的大小。
二、简谐运动的描述方法
第二节
简谐运动的描述
学习目标
1.会用三角函数公式描述简谐运动，理解简谐运动位移表达式； 2.会用图像描述简谐运动，能从图像中求出振动的振幅、周期、频率和初 相；能借助图像分析振子振动时的位移、速度、加速度的大小和方向的 变化；能根据图像写出简谐运动的函数表达式；
复习回顾
说话或唱歌时，用手摸着喉部，能感 觉到声带的振动。声音大小发生变化，声 带的振动也有变化。一般情况下，女生的 音调比男生高。这些现象表明振动具有不 同的特征。
如何科学地描述振动呢？本节我们将 学习描述振动特征的物理量，并用函数和 图像描述简谐运动。
新课教学
观察与思考：以下两个振子的运动有何不同？
想一想：我们该用哪些物理量来描述简谐运动呢？
大学物理简谐运动
电磁振荡的简谐运动
总结词
电磁振荡的简谐运动是指电磁场中的电荷或电流在电 场和磁场的作用下做周期性振动。这种振动可以产生 无线电波，是通信技术中的重要应用之一。
详细描述
电磁振荡的简谐运动是指电磁场中的电荷或电流在电场 和磁场的作用下做周期性振动。这种振动可以产生无线 电波，是通信技术中的重要应用之一。电磁振荡的频率 范围很广，从低频的无线电波到高频的X射线，都可以 通过电磁振荡产生。在通信技术中，电磁振荡被广泛应 用于信号传输、广播、电视等领域。电磁振荡的振荡频 率、幅度和相位都可以通过电路元件进行调节和控制， 从而实现信息的传输和接收。
实验器材与步骤
步骤 1. 安装摆球和支架，确保摆球可以自由摆动。
2. 将光电门传感器放置在摆球的平衡位置附近，并与数据采集器连接。
实验器材与步骤
3. 启动数据采集器， 记录摆球摆动的位置 和时间数据。
5. 将实验结果与理论 值进行比较，验证简 谐运动的规律。
4. 分析数据，计算摆 球的速度和加速度。
简谐运动的特点
位移与时间的关系是正弦 或余弦函数。
速度和加速度随时间按正 弦或余弦规律变化。
回复力与位移大小成正比， 方向相反。
简谐运动的能量是守恒的。
简谐运动的分类
01
根据位移和时间的关系，简谐运动可分为正弦简谐 运动和余弦简谐运动。
02
根据振幅和频率是否变化，简谐运动可分为自由简 谐运动和受迫简谐运动。
对未来科技发展的影响与启示
简谐运动的研究不仅对于当前科技发 展具有重要意义，也为未来科技发展 提供了启示和方向。
通过深入探索简谐运动背后的物理规 律和原理，可以启发新的科技思想和 实验方法，推动物理学和其他学科的 交叉融合和创新发展。
高三物理简谐运动的公式描述
例1、从Ｘ－t图象可以获取的信息有哪些？
①可求Ａ、Ｔ、f、Ｘ（任 X/cm
意时刻）
右图：
5 0 -5
0.2 0.5
t/s
②判断X、Ｆ、a、Ｖ的方
向 右图：0.2S和0.35S时刻 ③Ｘ、Ｆ、a、Ｖ的变化 规律( 0.2-0.4s)
右图：
例2两个简谐振动分别为
x１＝４asin(4πbt＋π) x2＝2asin（4πbt＋π）
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简谐运动的公式描述
旋 转 矢 量 为了直观地表明简谐运动的三个特征量的物理意义， 可用一个旋转矢量来表示简谐运动。
A
t=t
t = 0 A
t+
(ωt+ φ 2)－（ωt＋ φ １）＝ φ 2－ φ 1
知识应用： 1.一质点作简谐运动，图象如图所示，在0.2s 到0.3s这段时间内质点的运动情况是 （ CD ） A．沿负方向运动，且速度不断增大 B．沿负方向运动的位移不断增大 C．沿正方向运动，且速度不断增大 D．沿正方向的加速度不断减小 弹力、动能、 势能、机械 能、动量呢？
o x x A cos t ） （
因此 ， o 为圆点，旋转矢量 以 投影点的运动是简谐运 动。
·
x
A 的末端在
ox 轴上的
参考圆
用旋转矢量图画简谐运动的
xt
图
T 2 π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
x A cos( t )
矢量 A的
端点在 x 旋转
轴上的投
简谐运动的公式
简谐运动的公式
简谐运动是一种按固定时间周期运行的运动，也是物理
学中经常用到的一种运动形式。
它是由三个物理量共同组成，分别是位置（位置为物体相对于起始点）、速度和加速度，它们之间会有一定的关系。
简谐运动的公式也比较容易推导，可以用x、v、a三个
物理量来表示，其中x表示位置，v表示速度，a表示加速度。
它们之间的关系可以用如下方程式表示：
$$ x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}a_0 t^2 $$
公式中的参数表示什么？x_0表示的是物体的初始位置，
v_0表示的是物体初始的速度，a_0表示的是物体的初始加速度，t表示的是在运动中衡量出来的时间。
用简谐运动的公式可以很容易推导出物体在一个定义域
内的运动规律，并且可以用它模拟各种变化的运动轨迹，例如物体从速度为v_0加速度为a_0的开始状态，可以模拟出物体在各种不同时间段后的位置，总结起来也比较简单：
在简谐运动中，物体的位置x随时间的变化满足一定的
公式：
x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}a_0 t^2
其中x_0、v_0、a_0都是物体在起始状态的物理量，t表示物体在定义域内所衡量出来的时间，通过该公式可以可以很容易推导出物体在定义域内的运动。
简谐运动的描述(高中物理教学课件)完整版
四.简谐运动的表达式
简谐运动的表达式：x＝Asin（ωt＋φ）
位移 振幅
时刻 初相位
圆频率 ω＝2π/T＝2πf
也可以写成：x Asin(2 t )
T
相位
根据一个简谐运动的振幅、周期、初相位，可以知道做 简谐运动的物体在任意时刻的位移，故振幅、周期、初 相位是描述简谐运动特征的物理量。
三角变换
因为 2 ， T 2 2 m
T
k
振动系统本身性质决 定的。
同时放开的两个小球振动步调总是 一致，我们说它们的相位是相同的；
而对于不同时放开的两个小球，我 们说第二个小球的相位落后于第一个 小球的相位。
如何定量的表示相位呢？
三.相位
1.相位：物理学中把（ωt＋φ）叫作相位，其中φ 叫初相位，也叫初相。 由简谐运动的表达式x＝Asin（ωt＋φ）可以知道， 一旦相位确定，简谐运动的状态也就确定了。 2.相位差：两个具有相同频率的简谐运动的相位 的差值。 如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1 和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是Δφ＝(ωt＋φ1) －(ωt＋φ2)＝φ1－φ2此时我们常说1的相位比2超前 Δφ，或者说2的相位比1落后Δφ。
x甲 0.5sin(5t )cm 或者x甲 0.5sin 5tcm
x乙
0.2 sin(2.5t
2
)cm
或者x乙 0.2 cos 2.5tcm
注意： 振动物体运动的范围是振幅的两倍。
二.周期和频率
做简谐振动的振子，如果从A点开始运动，经过O点运动到Aˊ点再 经过O点回到A点，这样的过程物体的振动就完成了一次全振动。 如果从B点向左运动算起，经过O点运动到Aˊ点，再经过O点回到 B点，再经A点返回到B点时，这样的过程也是一种全振动。
简谐运动的描述ppt课件
简谐运动的描述
目录
CONTENTS
1
简谐运动的表达式
2
描述简谐运动的物理量
3
简谐运动的周期性和对称性
4
简谐运动振幅与路程的关系
有些物体的振动可以近似为简谐运
动，做简谐运动的物体在一个位置附近
不断地重复同样的运动。如何描述简谐
运动的这种独特性呢？
知识回顾：
简谐运动的位移图像是一条正弦曲线。
全振动的特点：①位移和速度都会到初状态 ②路程等于4A
②周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示，
单位：s.
③ 频率：单位时间内完成全振动的次数，用f表示，单位：Hz.
周期T与频率f的关系是T＝
知道即可：弹簧振子的周期由哪些因素决定?
周期公式： T 2
m
k
弹簧振子周期（固有周期）和频率由振动系统本身的因素决定（振子的质量m和弹
②若△ = 2 − 1＜0，振动2的相位比1落后△ 。
4.同相与反相：
（1）同相：相位差为零
△ = 2( = 0，1，2， … )
（2）反相：相位差为
△ = (2 + 1)( = 0，1，2， … )
A与B同相
A与C反相
A与D异相
相位差90°
＝（ ＋ ）
一、简谐运动的表达式
相位
x A sin(t )
振幅
圆频率
初相位
二、描述简谐运动的物理量
＝（ ＋ ）
1.振幅：（1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。
振幅
O
振幅
（2）物理意义：振幅是描述振动强弱的物理量。
利用三角函数解简谐运动
解析：由函数关系式可知
当x1＝5cm时,
当x2＝10cm时，
以上主要是应用质点在简谐运动中非特殊时刻的位移和在简谐波中非特殊位置质点的位移，如果是特殊时刻或特殊位置，只要根据周期性就可分析出来。
由图象（1）可知x＝ ，同样的如图（2）x＝ 或x＝
例1.有一振动的弹簧振子，周期为8s，从振子经平衡位置开始计时，在10s内通过的路程为10cm，求：振子在第5秒，第9秒的位移。
解析：由t＝10s＝ 可知，在 内振子通过了 即 ，所以A＝2cm
由函数关系式x＝ ＝ 得
当t1＝5秒时，
当t2＝9秒时，
二、简谐波
简谐运动在介质中的传播过程就形成简谐波，其特点是具有周期性，频率由波源决定，波速由介质性质决定，在分析简谐波时，也经常借助图象，也就是横坐标表在波的传播方向上介质中各质点的平衡位置，纵坐标表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移，波的图象表示某一时刻各质点的位移，应如何确定各质点在该时刻的位移呢？如图（3），A表示振幅，λ表示波长，由三角函数式可知，y＝Asin ，如图（4）应为 或
利用三角函数解简谐运动
简谐波中质点的位移
一、简谐运动
简谐运动是物体在跟偏离平衡位置的大小成正比，并且总是指向平称位置的回复力的作用下的振动。其特点是具有周期性，是变加速运动。在分析简谐运动时，经常借助图象，也就是横坐标为时间轴，纵坐标为某时刻质点的位移，振动图象表示质点位移随时间变化的规律。如图（1）所示，其中A表示振幅，T表示周期，那么要如何说明在某一时刻质点的位移？这里我们介绍用三角函数方法解题：
高中物理选修3-4-简谐运动的描述
简谐运动的描述知识集结知识元简谐运动的振幅、周期和频率知识讲解2．相关物理量：①振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离。
②周期T：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间。
③频率f：单位时间内完成全振动的次数。
④相位：描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。
3．受力特征：①做简谐运动的质点受到的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，通常将这种力称为回复力。
②回复力：F=-kx③若质点受到的回复力为F=-kx，则质点的运动为简谐运动。
4．运动特征位移x：方向始终背离平衡位置，每经过平衡位置位移方向发生改变；远离平衡位置时位移增大，靠近平衡位置时位移减小。
速度v：每经过最大距离处速度方向发生改变，远离平衡位置时速度方向和位移方向相同，靠近平衡位置时速度方向和位移方向相反。
加速度，方向与位移方向相反，总指向平衡位置．简谐运动是一种变加速运动．在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大。
5．振动能量简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能守恒．振动能量与振幅有关，振幅越大，能量越大。
6．周期性：简谐运动是一种复杂的非匀变速运动，要结合牛顿运动定律、动量定理、动能定理、机械能守恒定律来分析解决简谐运动的问题。
（1）简谐运动的对称性：振动物体在振动的过程中，在关于平衡位置对称的位置上，描述物体振动状态的物理量（位移、速度、加速度、动量、动能、势能等）大小相等。
（2）简谐运动的周期性：振动物体完成一次全振动（或振动经过一个周期），描述物体振动状态的物理量（位移、速度、加速度、动量、动能、势能等）又恢复到和原来一样。
简谐运动的周期是由振动系统的特性决定的，与振幅无关。
弹簧振子的周期只决定于弹簧的劲度系数和振子的质量，与其放置的环境和方式无关。
例题精讲简谐运动的振幅、周期和频率例1.如图所示，一质点在x轴上以O为平衡位置做简谐运动，其振幅为8cm，周期为4s。
t=0时物体在x=4cm处，向x轴负方向运动，则（）A．质点在t=1.0s时所处的位置为x=+4cmB．质点在t=1.0s时所处的位置为x=-4cmC．由起始位置运动到x=-4cm处所需的最短时间为sD．由起始位罝运动到x=-4cm处所需的最短时间为s例2.如图所示，一质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从质点通过O点时开始计时，经过0.9s质点第一次通过M点，再继续运动，又经过0.6s质点第二次通过M点，该质点第三次通过M点需再经过的时间可能是（）A．1s B．1.2s C．2.4s D．4.2s例3.如图1所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。
简谐运动的描述课件
详细描述
能量图是用来描述简谐运动时振子的能量随时间变化的 图像。这个图像通常以时间为横坐标，以振子的能量为 纵坐标。在能量图中，我们可以看到振子的能量是如何 随时间变化的，以及在运动过程中能量的转换和损耗。
05
简谐运动的实例分析
单摆的简谐运动
定义
单摆是一种理想的物理模型，由一根固定在一端的轻杆或 细线，另一端悬挂质量块组成。
《简谐运动的描述课件》
2023-10-30
目录
• 简谐运动概述 • 简谐运动的基本概念 • 简谐运动的公式与计算 • 简谐运动的图像描述 • 简谐运动的实例分析 • 简谐运动的总结与展望
01
简谐运动概述
简谐运动的定义
简谐运动的定义
简谐运动是指物体在一定范围内周期性地来回运动，其运动轨迹呈现为正弦 或余弦函数的形状。这种运动是自然界中最简单、最基本的周期性运动之一 。
高阶效应
对于一些高阶的振动系统，除了振幅和频率的变化外，还需要考虑高阶效应的影响。高阶 效应会导致系统的响应呈现出更为复杂的特性。
未来对简谐运动的研究方向与价值
研究方向
未来对简谐运动的研究方向主要包括：研究更为复杂 的振动系统，例如多自由度振动系统和耦合振动系统 ；研究更为精细的振动模型，例如包含更多影响因素 和非线性效应的模型；研究更为高效的求解方法，例 如能够处理大规模数据和复杂情况的数值方法。
加速度与速度
加速度
在简谐运动中，振子的速度会不断变化，因此加速度也会不断变化。加速度是描述速度变化快慢的物 理量。
速度
在简谐运动中，振子的位置不断变化，因此速度也会不断变化。速度是描述物体运动快慢的物理量。
位移与回复力
位移
在简谐运动中，振子的位置会不断变化， 这种变化称为位移。位移是描述物体位置 变化的物理量。
高中物理精品课件：简谐运动的描述
注意：不管以哪里作为开始研究的起点。做简谐运动的物体完成一次全
振动的时间总是相同的。
（2）周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的
周期。
（3）频率：单位时间内完成全振动的次数，用f表示，单位： Hz。
1
（4）周期T与频率f的关系：T＝ 。
f
（5）物理意义：周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，
根据 x A sin 2 t 0 ,可得小球的位移-时间关系为
T
x 0.1sin 2t m
2
x
C
O
B
据此，可以画出小球在第一个周期内的位移一时间图像，如图所示。
(2)由于振动的周期T= 1 s,所以在时间t=5s内，小球一共做了n=5次全振动。
x
o
t
x＝Asin（ωt＋φ）
新知探究
一、描述简谐运动的物理量
1．振幅
位移x的一般函数表达式可写为:x＝Asin（ωt＋φ）,因为∣sin（ωt＋φ）∣≤1，
所以∣x∣≤A，这说明A是物体离开平衡位置的最大距离。
如果用M点和M′点表示水平弹簧振子在平衡位置O点右端及左端最远位置，
则∣OM∣＝∣OM′∣＝A。
3. 初相：φ是t＝0时的相位，称作初相位，或初相。
x1 = A2sin（ωt + φ1 ）
x2 = A2sin（ωt + φ2 ）
3.相位差：Δφ ＝ φ1 － φ2
如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1>φ2时，它
们的相位差是Δφ ＝ φ1 － φ2
①若∆ = 2 − 1 > 0，振动2的相位比1超前∆；
简谐运动的动力学方程
简谐运动的动力学方程
由牛顿第二定律
m d 2x kx dt2
或
d2x k x 0
dt2 m
令
2 k
m
得
d2x2 x 0
dt2
—简谐运动动力学方程
微分方程的解为 x Acos(t)
(1)单摆
如图, 细线的上端固定, 另一 端悬挂一可看作质点, 质量为 m 的重物, 细线的质量和伸长可忽 略不计. 这一振动系统叫做单摆. 重物叫做摆球, 细线叫做摆线.
若把摆球从平衡位置略为拉 开后放手, 摆球就在竖直平面内 来回摆动.
解: 规定: 右方顺时针 > 0 左方逆时针 < 0
在忽略空气阻力的情况下, 合外力沿 切线方向的分力(即重力分力) 为
它拉开一个微小角度 θ后释放. 若忽
略阻力和摩擦力, 则物体将绕轴 O作微 小的自由摆动. 这样的装置叫做复摆.
简谐运动的动力学方程
简谐运动的动力学方程
解: 复摆在力矩 M的作用下的作用下的作用下的作用下,,由
定定轴律转动定M律由m定g轴l转J动定d律2由定轴转动定律由定轴转动
dt2
动力学方程为 d2 mgl
Fτ mgsin
切向运动方程为
mgsin maτ ml
d2
dt2
即
d2 g sin 0
dt2 l
为非简谐运动.
简谐运动的动力学方程
Fτ
当θ很小时 < 50 0.0873rad sin
为简谐运动 d22
dt2
0
单摆的角频率和周期分别为
简谐运动表达式
简谐运动表达式
简谐运动是一种重要的物理现象，它描述了在恢复力作用下，质点沿着直线或曲线作谐振运动的过程。
简谐运动的数学表达式可以使用正弦或余弦函数来表示，通过以下公式进行描述：
$ x(t) = A \times \cos(\omega t + \phi) $
其中，$ x(t) $ 是质点在时间 $ t $ 时的位移，$ A $ 是振幅，$ \omega $ 是角频率，$ \phi $ 是初相位。
在这个表达式中，振幅 $ A $ 表示了简谐运动的最大位移，角频率 $ \omega $ 则代表了单位时间内变化的相位角度。
初相位 $ \phi $ 反映了质点在 $ t=0 $ 时刻的初始位置。
简谐运动的表达式还可以通过正弦函数表示，具体形式如下：
$ x(t) = A \times \sin(\omega t + \phi) $
与余弦函数表示法相比，正弦函数表示法在初始位移上有所不同，但本质是相同的。
简谐运动的表达式不仅适用于描述单摆、弹簧振子等机械振动系统，也能有效描绘声波、光波等波动现象。
通过这一简洁的数学表达式，我们能够更深入地理解和分析复杂的振动运动规律。
总的来说，简谐运动表达式是物理学中重要的数学工具，它通过简单的公式形式，展现了自然界中许多周期性运动现象的共性特征，为我们解释和预测自然现象提供了重要参考。
简谐运动的公式和定义
简谐运动的公式和定义一、简谐运动的公式和定义1、公式：$x=A\sin(ωt+φ)$2、公式中的参数：（1）式中$x$表示振动质点相对于平衡位置的位移，t表示振动的时间。
（2）A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅。
（3）ω称为简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动物体振动的快慢。
3、定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
4、特点：（1）简谐运动是最基本、最简单的振动。
（2）简谐运动的位移随时间按正弦规律变化，所以它不是匀变速运动，应为变力作用下的变加速运动。
5、特征：（1）受力特征：回复力$F=-kx$，$F$（或$a$）的大小与$x$的大小成正比，方向相反。
（2）运动特征：靠近平衡位置时，$a、F、x$都减小，$v$增大；远离平衡位置时，$a、F、x$都增大，$v$减小。
（3）能量特征：振幅越大，能量越大。
在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。
（4）周期性特征：质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期$T$；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为$\frac{T}{2}$。
（5）对称性特征：关于平衡位置$O$对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等。
6、平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
7、回复力的定义：使物体返回到平衡位置的力。
8、回复力的方向：总是指向平衡位置。
9、回复力的来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
二、简谐运动的相关例题（多选）关于简谐运动以及做简谐运动的物体完成一次全振动的意义，以下说法正确的是____A．位移减小时，加速度减小，速度增大B．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同C．动能或势能第一次恢复为原来的大小所经历的过程D．速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程E．物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同答案：ADE解析：当位移减小时，回复力减小，则加速度减小，物体向平衡位置运动，速度增大，故A正确；回复力与位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度与位移方向可以相同，也可以相反；物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，故B错误，E正确；一次全振动，动能和势能可以多次恢复为原来的大小，故C错误；速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程为一次全振动，故D正确。
简谐运动的描述课件
思路分析:正确理解简谐运动的表达式中各个字母所代表的物
理意义是解题的关键。由简谐运动的表达式我们可以直接读出振动
的振幅 A、圆频率 ω(或周期 T 和频率 f)及初相 φ0。
解析:振幅是标量,A、B 的振幅分别是 3 m、5 m,选项 A 错误;A、
2π
B 的周期均为 T=100 s=6.28×10-2 s,选项 B 错误;因为 TA=TB,所以
看,为什么?
1
2
答案:当 为整数或 的奇数倍时,t 时间内通过的路程仍为 ×4A,
1
2
但如果 不是整数,且余数不为 时,则路程不一定等于 ×4A。譬如,余
1
1
数为 ,则 T
4
4
内通过的路程,运动起点不同,路程就会不同,只有起点在
平衡位置或最大位移处时其通过的路程才等于一个振幅(A)。
此时对框架进行受力分析,可知弹簧向上的弹力恰等于框架的重力,
由此可得弹簧的压缩量。根据振幅的定义,找出平衡位置,则振幅可
求。
解析:框架的重力为 Mg,只有当铁球处在最高位置、弹簧被压缩、
框架受到竖直向上的弹力等于 Mg 时,框架对桌面的压力才恰好减
小为零。根据胡克定律,此时弹簧被压缩
Δl= ,铁球静止(处于平衡)
初始状态相同。
②时间特征:历时一个周期。
③路程特征:振幅的 4 倍。
④相位特征:增加 2π。
2.简谐运动中振幅和几个物理量的关系
(1)振幅和振动系统的能量:对一个确定的振动系统来说,系统能
量仅由振幅决定。振幅越大,振动系统的能量越大。
(2)振幅与位移:振动中的位移是矢量,振幅是标量。在数值上,
1简谐运动及简谐运动的描述
第4讲简谐运动、简谐运动的表达式及其图象【基本概念与基本规律】一、简谐运动定义1．机械振动物体在平衡位置附近所做的往复运动叫机械振动。
机械振动的条件是：（1）物体受到回复力的作用；（2）阻力足够小。
2．回复力使振动物体返回平衡位置的力叫回复力。
回复力时刻指向平衡位置。
回复力是以效果命名的力，它是振动物体在振动方向上的合外力，可能是几个力的合力，也可能是某个力或某个力的分力，可能是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等。
3．简谐运动物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力作用下的振动，叫简谐运动。
表达式为：F＝－kx。
4．描述简谐运动的物理量（1）位移x：由平衡位置指向振子所在处的有向线段，最大值等于振幅；（2）振幅A：是描述振动强弱的物理量。
（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的，而位移是时刻在改变的）（3）周期T：是描述振动快慢的物理量。
频率f＝T 1。
【例1】下列属于机械振动选择完整的是（）①乒乓球在地面上的来回上下运动；②弹簧振子在竖直方向的上下运动；③秋千在空中来回的运动；④竖于水面上的圆柱形玻璃瓶上下振动A．①②B．②③C．③④D．②③④。
【例2】关于简谐运动回复力的说法正确的是（）A．回复力F=−kx中的x是指振子相对于平衡位置的位移。
B．回复力F=−kx中的x是指振子从初位置指向末位置的位移 C．振子的回复力一定就是它所受的合力 D．振子的回复力一定是恒力【例3】关于简谐运动的位移、速度、加速度的关系，下列说法中正确的是（）A．位移减小时，加速度增大，速度增大 B．位移方向总跟加速度方向相反，跟速度方向相同 C．物体运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相反。
D．物体向平衡位置运动时，做加速运动，背离平衡位置时，做减速运动。
~ 第 1 页 ~【例4】如图所示，一个弹簧振子沿x轴在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，当振子从B点向O 点运动经过P点时振子的位移为，振子的回复力为，振子速度为，振子的加速度为（填“正”“负”或“零”）图 1二、理解简谐运动重难点1．平衡位置的理解平衡位置是做机械振动物体最终停止振动后振子所在的位置，也是振动过程中回复力为零的位置。
简谐运动表达式
简谐运动表达式
简谐运动是物理学里面一种重要的运动模型，它可以用来描述某些运动物体受到力的作用下所产生的特定移动变化。
它数学上的表达式是F=ma，其中F表示运动物体的受力大小，m表示物体的质量，而a则表示物体在这个力的作用下所受的加速度。
由此可见，简谐运动就是当某个物体受到一定大小的力时，它就会产生一定规律的移动变化，这种规律性的变化就是简谐运动。
简谐运动在物理学中有着非常重要的意义，它可以用来描述不同的运动系统。
比如它可以用来解释传统的摆动运动模型，这是由受力而产生的特定移动轨迹，可以用来描述卫星在太空中的运动轨迹，以及可以用来描述一枚弹簧的振动等等，这些移动物体都可以通过简谐运动模型来描述。
简谐运动不仅可以用来描述不同的物理运动系统，而且还能广泛地应用到生活当中去。
比如当我们在街边看到一个小朋友挥舞着滑板板在滑行时，他运动的过程能够被拟合出正弦曲线，看得出来这也是一种简谐运动，另外当我们玩滑翔伞时，其实也是在进行简谐运动，当你在钢丝索上滑行时，也会受到不同的外力，而这力的作用下你的运动轨迹也会符合简谐运动模型。
简谐运动在人们的生活中涉及面非常广泛，它不仅可以帮助我们理解环境中的运动性质，而且还可以帮助人们形成对物理支配的重要认知，以及对日常生活中种种运动行为和背后机制的深入理解。
总之，简谐运动是物理学里面一种重要、基本的运动模型，它可以用来描述某些物体受力而移动时的特定规律，这种规律性的变化及其涉及到的内容，在物理学中具有重要的理论意义，也在实际生活中有着广泛的应用。
简谐运动的表达式动力学表达式
图8
精品
A.若规定状态a时t=0,则图象为① B.若规定状态b时t=0,则图象为② C.若规定状态c时t=0,则图象为③ D.若规定状态d时t=0,则图象为④ 解析 A选项,t=0时,a点位移为3 cm且向正方向 运动,故图象①对.D选项,t=0时,d点位移为-4 cm 且向正方向运动,故图象④对.B、C与图象②③ 不对应,故A、D对. 答案 AD
侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点
C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？
精品
解析 (1)甲球做自由落体运动
R= 12gt12,所以t1=
2R g
乙球沿圆弧做简谐运动(由于
R，可认为摆
角θ＜5°).此振动与一个摆长为R的单摆振动
精品
(2)简谐运动的表达式 动力学表达式：F=-kx
运动学表达式：x=Asin(ωt+ )
(3)简谐运动的图象 ①物理意义：表示振子的位移随时间变化的规 律，为正弦（或余弦）曲线. ②从平衡位置开始计时，函数表达式为x=
Asinωt,图象如图1.
图1
精品
从最大位移处开始计时，函数表达式为x=
Acosωt，图象如图2.
做受迫振动的物体，它的周期（或频率）等于
驱动力 的周期（或频率），而与物体的固有周
期（或频率） 无 关.
2.共振：做受迫振动的物体，它的
固有频率与驱动力的频率越接近，
其振幅就越大，当二者 相等 时，
振幅达到最大，这就是共振现象.
共振曲线如图3所示.
图3
精品
热点聚焦
热点一 简谐运动规律及应用 1.回复力——F=-kx.（判断一个振动是不是简谐运
T 2
(n为整数)，则物体所处的位置必与原来的位置
利用三角函数解简谐运动
解析：由函数关系式可知
当x1＝5cm时,
当x2＝10cm时，
以上主要是应用质点在简谐运动中非特殊时刻的位移和在简谐波中非特殊位置质点的位移，如果是特殊时刻或特殊位置，只要根据周期性就可分析出来。
由图象（1）可知x＝ ，同样的如图（2）x＝ 或x＝
例1.有一振动的弹簧振子，周期为8s，从振子经平衡位置开始计时，在10s内通过的路程为10cm，求：振子在第5秒，第9秒的位移。
解析：由t＝10s＝ 可知，在 内振子通过了 即 ，所以A＝2cm
由函数关系式x＝ ＝ 得
当t1＝5秒时，
当t2＝9秒时，
利用三角函数解简谐运动
简谐波中质点的位移
一、简谐运动
简谐运动是物体在跟偏离平衡位置的大小成正比，并且总是指向平称位置的回复力的作用下的振动。其特点是具有周期性，是变加速运动。在分析简谐运动时，经常借助图象，也就是横坐标为时间轴，纵坐标为某时刻质点的位移，振动图象表示质点位移随时间变化的规律。如图（1）所示，其中A表示振幅，T表示周期，那么要如何说明在某一时刻质点的位移？这里我们介绍用三角函数方法解题：
二、简谐波
简谐运动在介质中的传播过程就形成简谐波，其特点是具有周期性，频率由波源决定，波速由介质性质决定，在分析简谐波时，也经常借助图象，也就是横坐标表示在波的传播方向上介质中各质点的平衡位置，纵坐标表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移，波的图象表示某一时刻各质点的位移，应如何确定各质点在该时刻的位移呢？如图（3），A表示振幅，λ表示波长，由三角函数式可知，y＝Asin ，如图（4）应为 或
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弹簧振子的x-t图像如图所示，初相是多少？
第一步：画典型的正弦函数图像 第二步：比较 1 比较可知：相差 4 个全振动 第三步：求初相 1 因为一个全振动对应2π，所以 2
4
2
弹簧振子的x-t图像如图所示，初相是多少？
第一步：画典型的正弦函数图像 第二步：比较 3 比较可知：相差 4 个全振动。 第三步：求初相 3 3 因为一个全振动对应2π，所以 2
-20
弹簧振子的x-t图像如图所示， 求：t=0.5s时刻对应的坐标
x 8
0
1
2
3
4
t
-8
x
8 0
1
2
3
4
t
2 sin( ) 4 2
第一步：写出函数表达式 x 8 sin(0.5t ) 第二步：把 t 0.5s 代入 x 8 sin(0.5t )
-8
x 8 sin(0.5t ) 8 sin(0.5 0.5) 8 sin( ) 4 2 8 4 2 5 .7 2
时间与周期的关系 T
弧度 2π
角度
360
30
1 T 12
1 T 6 1 T 4 1 T 3
1 T 2
1 T 8
4 3 2 2 3
6
45
60
90 120
180
这个式子记得吗，在圆周运动中有。
把 t 代入 x A sin 得： x A sin(t ) 问：ω怎么求？ 2 答：用周期求 T
1 T 2
1 ，也就是 2 1
弹簧振子的x-t图像如图所示，初相是多少？
x 8
0
1 2
3
4
t
-8
答：因为是典型的正弦函数图像，所以 x A sin 所以初相 0
弹簧振子的x-t图像如图所示，初相是多少？
x
0
t
第一步：画典型的正弦函数图像 第二步：比较 1 比较可知：相差 2 个全振动。 第三步：求初相 1 因为一个全振动对应2π，所以 2 2
弹簧振子的x-t图像如图所示，请写出函数 表达式。
A=2
T=0.4
第一步：找振幅、周期 2 2 5 第二步：求角速度 0.4 T 第三步：确定相位 2 第四步：写表达式
x A sin(t )
x 2 sin( 5t
2
)
弹簧振子的x-t图像如图所示，请写出函数 的表达式
问：什么是【相位差】？ 答：相位差，相位差，就是相位之差。
x A sin(t 1 )
x A sin(t 2 ) 问： 0 是什么意思？ 答：就是相位相同，表示振子1与振子2的 位置时时刻刻相同，完全同步。
2 1
问： 是什么意思？ 答：就是相位相反，不同步。 因为π相当于 次全振动 也就是振子1与振子2相差 2 次全振动 如： 当振子1在左边振幅处，振子2就在右边振 幅处。 当振子1在平衡位置向右运动，振子2就在 平衡位置向左运动
问：如果从一般位置计时，表达式是什么？ 答： x A sin(t )
这就是简谐运动的一般表达式
问：简谐运动的一般表达式是什么？ 答： x A sin(t ) 问：什么叫【相位】？ t 就是相位 答： 问：什么是【初相】？ 答： 就是初相。 问：【相位】的本质是什么？ 答：就是弧度 问：【初相】有什么作用？ 答：描述振子的初始状态
4 2
弹簧振子的x-t图像如图所示，请写出x关于 t的函数表达式
x
8
0
1 2
3
4
t
-8
x 8 A=8 0 1 2 3 4 t T=4
-8
第一步：找振幅 第二步：找周期 2 2 0.5 第三步：求角速度 T 4 第四步：写表达式
x A sin(t )
x 8 sin(0.5t )
x 20
3
6
9
12
t
-20
x
20 A=20 3 6 9 12
T=12
t
第一步：找振幅、周期 2 2 第二步：求角速度 12 6 3 T 第三步：确定初相 2 第四步：写表达式 3 x A sin(t ) x 20 sin( t ) 6 2
第2讲：怎样用函数描述简谐运动
制作人：张光明
问：【正弦曲线】仅仅表示正弦函数图像吗？ 答：不是，也表示余弦函数图像。
正弦函数图像
正弦曲线
余弦函数图像
在物理学上： 【正弦函数图像】与【余弦函数图像】统称 为正弦曲线。
问：怎样用函数描述简谐运动？ 答：因为简谐运动的x-t图像是正弦曲线， 所以 x A sin 问：θ是角度吗？ 答：不是，是弧度。 我们规定：【一个周期对应的弧度是2π】 反过来：【弧度是2π表示请写出函数 表达式。 x
10
0 -10
2
4
6
8
t
x A=10 10
0
2
4
6
8
t T=8s
-10
第一步：找振幅、周期 2 2 0.25 第二步：求角速度 8 T 第三步：确定相位
x A sin(t )
x 10sin(0.25t )
弹簧振子的x-t图像如图所示。 求：t=1.5s x t=2.5 t=3.5 的坐标
4 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 t
4 2
刚才我们求出来了t=0.5时 x 4 2