2020年扬州中学教育集团树人学校中考数学一模试卷(含答案解析)

2020年扬州中学教育集团树人学校中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.实数4的相反数是()
A. −1
4B. −4 C. 1
4
D. 4
2.3个人站成一排，其中小亮“站在中间”与“站在两端”这两个事件发生的可能性是()
A. 一样
B. “站在中间”的可能性大
C. “站在两端”的可能性大
D. 无法确定
3.据统计，我国高新技术产品出口额达40.570亿元，将数据40.570亿用科学记数法表示为()
A. 4.0570×109
B. 0.40570×1010
C. 40.570×1011
D. 4.0570×1012
4.要使√3−x有意义，则实数x的取值范围是()
A. x≤3
B. x<3
C. x≥3
D. x≠0
5.若a，b为等腰△ABC的两边，且满足|a−5|+√b−2=0，则△ABC的周长为()
A. 9
B. 12
C. 15或12
D. 9或12
6.如图，在⊙O中，∠BOC=120°，则∠BAC=()
A. 120°
B. 150°
C. 60°
D. 30°
7.如图，长方形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AB边上，将纸片沿CE折叠，点B落
在点F处，EF，CF分别交AD于点G，H，且EG=GH，则AE的长为()
A. 2
3B. 1 C. 3
2
D. 2
8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是()
A. a<0
B. c>0
C. a+b+c>0
D. b2−4ac>0
二、填空题（本大题共11小题，共38.0分）
9.9的算术平方根是_____．
10.直角三角形的两直角边的长分别为6cm、8cm，则斜边上高的长是______cm．
11.六张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、正方形、矩形、平行四边形、圆、菱形，现从
中随机抽取一张，卡片上画的恰好既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为______．
12.若3a m bc2和−2a3b n c2是同类项，则m+n=______ ．
13.若x2+x=1，则3x4+3x3+3x+1的值为______．
14.已知一组数据−3，−2，x，1，3，6的中位数是1，则其众数为________．
15.如果多边形的每个外角都是45°，那么这个多边形的边数是______．
16.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=______．
17.如图，正方形OAPB，矩形ADFE的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E
(x>0)图象上，则EF的长为________．
是AP的中点，点P，F在函数y=1
x
18.如图∠MON=90°，四边形ABCD为矩形，A、B两点分别在射线ON、
OM上，AD=2，AB=4，A、B两点在ON、OM上滑动时，C、D
点随之运动，则线段OD的最大值为．
19.某市举办“体彩杯”中学生篮球赛，初中男子组有市直学校的A，B，C三个队和县区学校的D，
E，F，G，H五个队.如果从A，B，D，E四个队与C，F，G，H四个队中各抽取一个队进行首场比赛，那么参加首场比赛的两个队都是县区学校队的概率是．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
20.先化简：x2−2x+1
x2+2x ÷(1−3
x+2
)，然后在0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值．
四、解答题（本大题共8小题，共80.0分）
21.计算：2sin30°+(π−3.14)0+|1−√2|+(−1)2018．
22.校园安全问题已成为社会各界关注的热点问题，区教育局要求各学校加强对学生的安全教育，
教育局安全科为了调查学生对“安全知识”内容的了解程度(程度分为：“A：十分熟悉”、“B：了解较多”、“C：了解较少、D：不了解”)，对我校中学部学生进行了抽样调查．我们将这次调查的结果绘制了以下两幅不完整统计图，如图1，图2，请你根据图中提供的信息解答下列
问题：
根据以上信息，解答下列问题
(1)补全条形统计图；
(2)本次抽样调查了_____名学生；在图1中扇形统计图中，求出“D”的部分所对应的圆心角等
于_____度．
(3)若我校中学部共有3100名学生，请你估计所有学生中，对“安全知识”内容的了解程度为
“A：十分熟悉”和“B：了解较多”的学生共有多少名？
23.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且∠1=∠2，CD=BE，CD与BE相交于
点O.求证：
(1)AB=AC．
(2)OB=OC．
24.如图，在直角坐标系中△ABC的A.B.C三点坐标为A(7,1)、B(8,2)、C(9,0)．
(1)请在图中画出△ABC的一个以点P(12,0)为位似中心，相似比为3的位似图形△A′B′C′(要求与
△ABC同在P点一侧)，再画出△A′B′C′关于y轴对称的△A″B″C″；
(2)写出A′的坐标______．
(x>0)的图象交于Ａ(m,6)，Ｂ(3,n)两点．25.如图，一次函数y=−2x+8与反比例函数y=k
x
(1)求反比例函数的解析式
>0的解集．
(2)根据图象直接写出关于x的不等式−2x+8−k
x
26.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O
交BC于点，连接AE交CD于点，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=
∠ADF．
(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由．
(2)若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．
27.如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边上AB上，将△ADE绕点D
逆时针旋转90°至△DCF．
(1)在图中作出△DCF；
(2)连接EF，若BD=BF，求BE的长；
(3)若∠ADE=2∠EFC，连接EF交BD于H，求证：HF=HE+HD．
28.如图所示，已知抛物线经过点A(−2,0)、B(4,0)、C(0,−8)，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与
直线y=x−4交于B、D两点．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)求D点坐标；
(3)点P为抛物线上的一个动点，且在直线BD下方，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的
坐标．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：
此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．
根据互为相反数的定义即可判定选择项．
解：∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，∴4的相反数是−4；
故选：B．
2.答案：C
解析：
本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能
性等于所求情况数与总情况数之比．
要求“小亮站在正中间”与“小亮站在两端”这两个事件发生的可能性的大小，只需求出各自所占
的比例大小即可得到相应的可能性，比较即可．
，“小亮站在解：3个人站成一排，小亮站在那个位置都有可能，“小亮站在正中间”的可能性为1
3
两端”的可能性有2
，这两个事件发生的可能性不相等．
3
故选C．
3.答案：A
解析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值⩾10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.解：40.570亿=4057000000=4.0570×109，故选：A．
4.答案：A
解析：
此题考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式有意义则被开方数为非负数．
根据二次根式的被开方数为非负数，可得出关于x的一元一次不等式，解出即可得出答案．
解：∵√3−x有意义，
∴3−x≥0，
解得：x≤3．
故选A．
5.答案：B
解析：
根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据b是腰长和底边长两种情况讨论求解．本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．
解：根据题意得a−5=0，b−2=0，
解得a=5，b=2，
(1)若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，
不能组成三角形；
(2)若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，
能组成三角形，
周长为2+5+5=12．
故选B．
6.答案：A
解析：解：作BC弧所对的圆周角∠BDC，如图，
则∠BDC=1
2∠BOC=1
2
×120°=60°，
而∠BDC+∠BAC=180°，
所以∠BAC=180°−60°=120°．故选A．
作BC弧所对的圆周角∠BDC，如图，根据圆周角定理得∠BDC=1
2
∠BOC=60°，然后利用圆内接四边形的性质求∠BAC的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7.答案：B
解析：
根据折叠的性质得到∠F=∠B=∠A=90°，BE=EF，根据全等三角形的性质得到FH=AE，GF= AG，得到AH=BE=EF，设AE=x，则AH=BE=EF=4−x，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．解：∵将△CBE沿CE翻折至△CFE，
∴∠F=∠B=∠A=90°，BE=EF，
在△AGE与△FGH中，
{∠A=∠F
∠AGE=∠FGH EG=GH
，
∴△AGE≌△FGH(AAS)，
∴FH=AE，GF=AG，
∴AH=BE=EF，
设AE=x，则AH=BE=EF=4−x，∴DH=x+2，CH=6−x，
∵CD2+DH2=CH2，
∴42+(2+x)2=(6−x)2，
∴x=1，
∴AE=1，
故选：B．
8.答案：D
解析：
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=a−b+c，然后根据图象判断其值．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：A.由二次函数的图象开口向上可得a>0，故此选项错误；
B.根据二次函数的图象与y轴交于负半轴知：c<0，故此选项错误；
C.把x=1代入y=ax2+bx+c得：y=a+b+c，由函数图象可以看出当x=1时，二次函数的值为负，即a+b+c<0；故此选项错误；
D.由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2−4ac>0，故此选项正确．
故选D．
9.答案：3
解析：
本题主要考查了算术平方根，关键是熟练掌握算术平方根的定义.根据算术平方根的定义可得结果．解：∵32=9，
∴9的算术平方根是3．
故答案为3．
10.答案：4.8
解析：解：∵直角三角形两直角边分别为6cm，8cm，
∴斜边长为√62+82=10cm．
∵直角三角形面积=1
2×6×8=1
2
×10×斜边的高，
得：斜边高=4.8cm．
故答案为：4.8．
本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的应用，看清条件即可．先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，然后从直角三角形面积的两种求法入手，代入公式后计算即可．
11.答案：2
3
解析：略
12.答案：4
解析：解：由题意，得
m=3，n=1，
m+n=3+1=4，
故答案为：4．
根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．
本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关．13.答案：4
解析：解：∵x2+x=1，
∴3x4+3x3+3x+1
=3x2(x2+x)+3x+1
=3x2+3x+1
=3(x2+x)+1
=3+1
=4；
故答案为4．
把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．
本题考查了代数式求值，整体代入法；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
14.答案：1
解析：
本题考查了众数及中位数的知识，根据中位数的定义，当数据有偶数个时，中位数即是正中间两个数的平均数，继而得出x的值，再根据众数的定义即可求解．
解：∵数据个数是偶数个，且中位数为1，
∴x=1，
则其众数为1．
故答案为1
15.答案：8
解析：
本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系是解题关键．
根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
解：多边形的边数是：360°
45°
=8，
故答案为：8．
16.答案：√5
5
解析：解：由勾股定理可知：AC=√42+22=2√5，
由锐角三角函数的定义可知：sinA=
2√5=√5
5
，
故答案为：√5
5
；
根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
17.答案：1
解析：
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意可以求得点P的坐标，从而可以求得点F的坐标，本题得以解决．
解：设点P的坐标为(a,1
a
)，
∵四边形OAPB是正方形，
∴a=1
a
，解得a=1或a=−1(舍去)，
∴点P的坐标为(1,1)，
∴点E的横坐标为1，
∵点E是AP的中点，四边形ADFE是矩形，∴AE=DF=1
2
，
当y=1
2时，1
2
=1
x
，得x=2，
∴点F的坐标为(2,1
2
)，
∴EF=2−1=1．
故答案为1．
18.答案：2√2+2
解析：
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形三边的关系，矩形的性质，勾股定理的运用，解答此题可取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．
解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD<OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
∵AB=4，BC=2，
∴OE=AE=1
2
AB=2，
DE=√AD2+AE2=√22+22=2√2，
∴OD的最大值为：2√2+2，
故答案为2√2+2．
19.答案：3
8
解析：
本题考查列表法或者画树状图进行概率的计算.本题参考答案是通过列表发现分别从A，B，D，E四个队抽出一个队员和从C.F.G.H四个队抽出一个队员组成一个对抗小组参加首场比赛共有16中等可能情况，其中符合抽出的两个小队都是来自县区学校队的有6种等可能情况，所以首场参加比赛的
两个队都是来自县区学校对的概率为3
8
．
解：列表如下：
由表可知共有16种等可能的结果，两个队都是县区学校队的有(F,D)，(F,E)，(G,D)，(G,E)，(H,D)，(H,E)，共6种结果，
因此P(两个队都是县区学校队)=6
16=3
8
．
20.答案：解：原式=(x−1)2
x(x+2)÷(x+2
x+2
−3
x+2
)
=
(x−1)2
x(x+2)
÷
x−1
x+2
=
(x−1)2
x(x+2)
⋅
x+2
x−1
=x−1
x
，
∵x≠1且x≠0，x≠−2，∴x=2，
则原式=2−1
2=1
2
．
解析：本题主要考查分式的混合运算−化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
21.答案：解：原式=2×1
2
+1+√2−1+1，
=1+1+√2−1+1，
=2+√2．
解析：本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、乘方4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
22.答案：解：(1)∵被调查的总人数为30÷30%=100(人)，
∴C对应的人数为100−(30+45+5)=20(人)，
补全图形如下：
(2)100、18；
(3)估计这所中学的所有学生中，对“安全知识”内容的了解程度为“A：十分熟悉”和“B：了解较
多”的学生共有3100×(30%+45%)=2325(人)．
答：对“安全知识”内容的了解程度为“A：十分熟悉”和“B：了解较多”的学生共有2325人．
解析：
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
(1)由A的人数及其所占百分比可得总人数，根据各项目人数之和等于总人数求得C的人数，据此可补全图形；
(2)用360°乘以D项目人数占总人数的比例可得；
(3)总人数乘以样本中A、B的百分比之和可得．
解：(1)见答案；
(2)由(1)知被调查的总人数为100人
“D”的部分所对应的圆心角等于360°×5%=18°，
故答案为100、18；
(3)见答案．
23.答案：证明：(1)在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD(AAS)，
∴AB=AC；
(2)由(1)可知AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠1=∠2，
∴∠ABC−∠1=∠ACB−∠2，即∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC．
解析：本题主要考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，利用条件证明△ABE≌△ACD是解题的关键．
(1)由条件可证明△ABE≌△ACD，可证得结论；
(2)由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，则可求得∠OBC=∠OCB，可证得OB=OC．
24.答案：(1)如图所示：△A′B′C′，△A″B″C″即为所求；
(2)(−3,3)．
解析：
(1)直接利用位似图形的性质以及结合关于y轴对称点的性质得出答案；
(2)利用(1)中所画图形得出答案．
此题主要考查了位似变换以及轴对称变换，正确得出对应点坐标是解题关键．
解：(1)见答案；
(2)A′的坐标为：(−3,3)，
故答案为：(−3,3)．
25.答案：解：(1)把A(m,6)，B(3,n)两点分别代入y=−2x+8得6=−2m+8，n=−2×3+8，解得m=1，n=2，
∴A点坐标为(1,6)，B点坐标为(3,2)，
把A(1,6)代入y=k
求得k=1×6=6，
x
∴反比例函数解析式为y=6
；
x
>0的解集为1<x<3．
(2)不等式−2x+8−k
x
解析：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察图象的能力．
(1)把A(m,6)，B(3,n)两点分别代入y=−2x+8可求出m、n的值，确定A点坐标为(1,6)，B点坐标为(3,2)，然后利用待定系数法求反比例函数的解析式；
(2)观察函数图象得到当1<x<3，一次函数的图象在反比例函数的图象上方．
26.答案：解：(1)AB是⊙O的切线，理由是：
∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠CEF=90°，
∵∠FDP=∠CEP，∠CAE=∠ADF，
∴∠ADF+∠FDP=∠CAE+∠CEF=90°，
∴AB⊥CD，
∴AB是⊙O的切线；
(2)∵∠FDP=∠CEP，∠DPF=∠EPC，
∴△DPF∽△EPC，
∴PD
PE =PF
PC
=1
2
，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DEC+∠ACB=180°，∴DE//AC，
∴△DPE∽△CPA，
∴PD
PC =PE
PA
，
∴PD
PE =PC
PA
=1
2
，
设PF=x，则PC=2x，
∴2x
x+5=1
2
，
x=5
3
，
∴CP=2x=10
3
．
解析：(1)根据同弧所对的圆周角相等得：∠FDP=∠CEP，证明∠ADP=90°，可得AB是⊙O的切线；
(2)证明△DPF∽△EPC，可得PD
PE =PF
PC
=1
2
，再证DE//AC，得△DPE∽△CPA，则PD
PE
=PC
PA
=1
2
，设PF=x，
则PC=2x，代入可得x=5
3
，则可得CP的长．
本题考查了圆周角定理、切线的判定及三角形相似的性质和判定，第二问有难度，利用三角形相似的性质：对应边的比相等列式可得结论．
27.答案：解：(1)△DCF如图1所示．
(2)如图2中，
由题意：Rt△DAE≌Rt△DCF(AAS)，
∴AE=CF，
∵CF=BF−BC=BD−BC=6√2−6，
∴BE=AB−AE=AB−CF=6−(6√2−6)=12−6√2．
(3)如图3中，在HF上取一点P，使FP=EH、连接DP，
由(1)Rt△DAE≌Rt△DCF得△EDF是等腰直角三角形，∴DE=DF，∠DEF=∠DFE=45°，
∴△DEH≌△DFP(SAS)，
∴DH=DP，∠EDH=∠FDP，在△DHE和△FHB中，∵∠DEF=∠HBF=45°，∠EHD=∠BHF(对顶角)，
∴∠EDH=∠1=1
2∠2=1
2
×45°−∠EDH，
∴∠EDH=15°，∠FDP=15°，
∴∠HDP=90°−15°−15°=60°，
∴△DHP是等边三角形，
∴HD=HP，
∴HF=HE+HD．
解析：(1)根据要求画出图形即可．
(2)证明AE=CF，求出BD，BF即可解决问题、
(3)如图3中，在HF上取一点P，使FP=EH、连接DP，证明△DPH是等边三角形即可解决问题．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．28.答案：解：(1)抛物线的表达式为：y=a(x+2)(x−4)=a(x2−2x−8)，
故−8a=−8，解得：a=1，
故抛物线的表达式为：y=x2−2x−8；
(2)联立y=x−4和y=x2−2x−8，
得x2−2x−8=x−4，
解得：x=4或−1(舍去4)，
故点D(−1,−5)；
(3)过点P作y轴的平行线交BD于点H，
设点P(x,x2−2x−8)，则点H(x,x−4)
△BDP面积=1
2×PH×(x B−x D)=1
2
×(x−4−x2+2x+8)×(4+1)=5
2
(−x2+3x+4)=
−5
2(x−3
2
)
2
+35
8
，
∵−5
2<0，故面积有最大值为：35
8
；此时，x=3
2
，
即点P(3
2,−35
4
).
解析：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
(1)抛物线的表达式为：y=a(x+2)(x−4)=a(x2−2x−8)，故−8a=−8，解得：a=1，即可求解；
(2)联立y=x−4和y=x2−2x−8，即可求解；
(3)△BDP面积=1
2×PH×(x B−x D)=1
2
×(x−4−x2+2x+8)×(4+1)=5
2
(−x2+3x+4)=
−5
2(x−3
2
)
2
+35
8
，即可求解．。