第六章 点的合成运动习题课共18页
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理论力学：第6章 点的合成运动
2 2 r
，
aeτ 0 ，解出 aa＝142r。所以小环 M 的加速度为 142r。
6-23 已知 O1 A O2 B l 1.5 m，且 O1A 平行于 O2 B ，题 6－23 图所示位置，
滑道 OC 的角速度=2 rad/s，角加速度 =1 rad/s2，OM = b =1 m。试求图示位置
第 6 章 点的合成运动
6-7 题 6－7 图所示曲柄滑道机构中，杆 BC 为水平，而杆 DE 保持铅直。 曲柄长 OA=10 cm，以匀角速度 = 20 rad/s 绕 O 轴转动，通过滑块 A 使杆 BC 作 往复运动。求当曲柄与水平线的交角为 = 0、30、90时，杆 BC 的速度。
·8·
由图得 vr＝ve＝b＝2 m/s， va O1 l 。
得到 O1
l
b cos 45
21
1.5
2 2
1.89 rad/s 。
（2）求加速度。动点，动坐标系的选择不变，则动点 M 的加速度图如图（c）
所示。由加速度合成定理
aa ae ar aC
即 aan aaτ aeτ aen ar aC
时 O1A 的角速度和角加速度。
M
45 45
vr
ve
va
x
ae
ane
ana
45
ar
aC
aa
（a）
（b）
（c）
题 6-23 图
解：（1）求速度。
选取 M 为动点，动坐标系固连于滑道 OC 上，则动点 M 的速度图如图（b）
所示。由速度合成定理
va＝ve＋vr
沿 OC 轴的垂直方向投影得
理论力学 第6章 点的合成运动
求：杆OA的角速度。 分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，
因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析 就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接 触点为动点。
18
解: 取凸轮上C点为动点, 动系固结于OA杆上, 静系固结于基座。
绝对运动: 直线运动, 绝对速度: va v, 方向
们的方向不变，是常矢量，所以
di ' dt
0,
dy' dt
0,
dz' dt
0
）
又
dvO' dt
aO' ae ,
ar
d2 dt
x'i'
2
d2 dt
y'
2
j' d 2z'k' dt 2
aa ae ar —牵连运动为平动时点的加速度合成定理 即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度 与相对加速度的矢量和。
2r 2r 3 6r
（）
19
§6-3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z' 的曲线AB
运动, 而曲线AB同时又随同动系O'x'y'z' 相对静系Oxyz平动。
由于牵连运动为平动，故
ve vO' , ae aO'
由速度合成定理 va ve vr
相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 vr 与相对加速度ar
牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 ve与牵连加速度 ae
牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是 设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时 该点叫牵连点。
因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析 就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接 触点为动点。
18
解: 取凸轮上C点为动点, 动系固结于OA杆上, 静系固结于基座。
绝对运动: 直线运动, 绝对速度: va v, 方向
们的方向不变，是常矢量，所以
di ' dt
0,
dy' dt
0,
dz' dt
0
）
又
dvO' dt
aO' ae ,
ar
d2 dt
x'i'
2
d2 dt
y'
2
j' d 2z'k' dt 2
aa ae ar —牵连运动为平动时点的加速度合成定理 即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度 与相对加速度的矢量和。
2r 2r 3 6r
（）
19
§6-3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z' 的曲线AB
运动, 而曲线AB同时又随同动系O'x'y'z' 相对静系Oxyz平动。
由于牵连运动为平动，故
ve vO' , ae aO'
由速度合成定理 va ve vr
相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 vr 与相对加速度ar
牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 ve与牵连加速度 ae
牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是 设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时 该点叫牵连点。
理论力学第六章 点的合成运动 [同济大学]
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解： 从例6-2已知得： 1 =
vr r 3 , 2
ω 4
O
解： 从上例已知得： 1 =
r
M
ω 4
va
A
aaτ =0 ，
3 , 4
aan=2r aen=
ωr 8
x’
2
ac 21vr 2 r
va
30°
3 1 1/ s2 8
2
动点取A，
va v A
ar
dvr d 2 x ' ' d 2 y ' ' d 2 z ' ' 2 r 2 j 2 k dt dt dt dt
dx ' di ' dy ' dj' dz ' dk ' dt dt dt dt dt dt
ar ω vr
a a ae a r ac； ac= 2vr
ve
a n a ae a rn a rτ
矢量
1.瞬时状态； 2.可解两个未知量 (大小，方向)。
例6-5 曲柄滑道机构，OA=01A=r=10cm, =30°,=4, 求: 转到30°时直杆的加速度a。 va vr 动点取A； 绝对:圆周； ve 解：相对:圆周；牵连:直线。 [速度] =
a a ae a r ac； aa a an ae aen ar arn ac；
例6-8 曲柄绕O转动，並通过滑块M带动滑槽绕O′摆动， ’ y 求摆动到30°时的角加速度1。
例6-9 将例6-8滑槽改变为图示牛头刨床机构，MA=2r, 求:刨床刨刀的速度，加速度。
vr
dv e dω dr r ω dt dt dt α r ω v e ω v r ae ω v r
点的运动合成习题参考解答
解：用点的复合运动求解，取重物 B 为动点，动系与水平悬臂固连，则牵连运
动为定轴转动，相对运动为直线运动。
由于
vr
=
dx dt
=
−0.5 m/s
( ←)
方向与轴 x 的正向相反。
当 t = 10 s 时， ve = x ⋅ω = 15 × 0.1 = 1.5 m/s , 方向指向轴 z 的正向。速度图见上
2. 图示曲柄滑道机构中，曲柄长 AB = r，绕轴 O 以ω作匀速转动，滑槽 DΕ与水 平线成60°角。求当ϕ =0、30°、60°时，杆 BC 的速度。
解：本题机构 BC 作平动，可以用点的运动学方法求解。这里应用点的合成运动 求解，以滑块 A 为动点，动系与构件 BC 固结，考虑一般位置速度图如下图所示。
可得
aa = ae + ar
aBC = ae = va sinθ = OA⋅ω 2 sinθ = 0.4 × 0.25sin 30o = 0.05 m/s2 (↓)
6. 小车的运动规律为 x = 50 t2，x 以 cm 计，t 以 s 计。车上摆杆 OM 在铅垂面内
绕轴 O 转动，其转动规律为ϕ = π sin πt 。如 OM = 60 cm。求 t = 1 s 时摆杆端
由 va = ve + vr 和速度三角形，以及正弦定理有
ve sin(30o
−ϕ)
=
va sin60o
⇒
v BC
= ve
=
va sin60 o
sin(30o
−ϕ)
将 va = rω 及ϕ =0、30°、60° 分别代入上式解得当ϕ =0、30°、60° 时，
vBC =
3 rω, 3
点的合成运动
r '
M1(m1)
§8−2 点的速度合成定理
va vr ve
绝对速度 相对速度
M '(m')
牵连速度
z' x'
M2(m2)
速度合成定理 动点的绝对速度等于其相 对速度与牵连速度的矢量 和。
y'
va
r
vr
M(m)
ve r 1
r '
M1(m1)
§8−2 点的速度合成定理
va vr ve
§8−1 合成运动基本概念 合成 本概
动点－摇杆上 A'点。 动系－固连于
'
曲柄OA。
§8−1 合成 合成运动基本概念 本概 练习题 4
动点－滑块 动点 滑块 A 。 动系－固连于 T形槽杆BAC。
§8−1 合成运动基本概念 合成 本概
动点－ T形槽 杆上 A'点。 动系－固连于 曲柄OA。
§8−1 合成运动基本概念 合成 本概
试比较其共同点
§8−1 合成运动基本概念 合成 本概
试比较其共同点
§8−1 合成 合成运动基本概念 本概 4. 相对运动 相对运动方程 r r (t )
x x(t )
y y (t )
z z (t )
s s(t )
M
§8−2 点的速度合成定理
y'
解： （1） 运动分析 动点－滑块 M 。
M
动系－ Ax'y'固连于摇杆 AB。 定系－固连于机座。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。
x'
相对运动－沿AB的直线运动。 牵连运动－摇杆绕A轴的摆动。
§8−2 点的速度合成定理
点的合成运动
其转动规律为 3 sin( t)。设杆长 O’M =60cm，求其端点
M在
t
1
9
sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的加速度。
O'
3
解：动点：M，动系：小车
arn arτ φ M ae
A
B
3 sin( t) 30
9
t1s
3
O
习题 8.12图
3 2 cos t 0.95rad / s
（3）运动分析： 绝对运动：顶杆上 A点的铅垂直线运动； 相对运动：由于凸 轮逆时针转动，在 凸轮上的观察者看 到顶杆沿凸轮的轮 廓线向顺时针运动，如图：
牵连运动： 凸轮绕O轴的转动。 速度分析如图所示。
（4）由速度合成定理：
va ve vr
得： vA va vetg btg
O1 ae
A
A
aa O2 φ
C
ar
B
ae 0, ae aen
D
aCD ae sin 600 O1A2 sin 600
0.1 4 3 0.346m / s 2
8.12：小车按规律 x 50t2 运动(x以cm计，t以s计)。车上立柱
顶端O’处铰接一短杆O’M ，故 O’M可在图面内绕O’ 轴转动，
va sin 60o 90o ve sin 60o
E
ve
sin
sin
30 o 60 o
sin 30o
ve sin 60o
(1) 0 :
r D
a
A φ ve
C
Bφ ω
O
60°
点的合成运动
2013年7月5日
理论力学CAI
42
1.牵连运动为转动时点的加速度合成定理
设一圆盘以匀角速度 绕 定轴Ｏ顺时针转动，盘上圆槽 内有一点M以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那么M点
相对于定系的绝对加速度应是
多少呢？
2013年7月5日
理论力学CAI
43
选点M为动点，动系固结于圆盘上，
则M点的牵连运动为匀速转动， 为常数
y'
y u
x'
M
O
M O
y'
x'
x
O'
2013年7月5日
理论力学CAI
4
车刀以匀速横向走刀，卡盘匀角速度转动，求刀尖相对工件的轨迹。
2013年7月5日
理论力学CAI
5
§8-1 相对运动、牵连运动、绝对运动
归纳为：一点，两系，三种运动
一点
动点：做合成运动的点。
两系
定参考系（定系）：固结于地面（地球）。如机座。 动参考系（动系）：固结于某运动着的刚体上。
ar = 2l sin
理论力学CAI
37
课后作业1（浙大）
作业题 7-7 7-8 7-9
2013年7月5日
理论力学CAI
38
课后作业1
思考题 8-1 8-2 作业题 8-7 8-8
8-3
8-10
2013年7月5日
理论力学CAI
39
例题
例 曲柄滑杆机构
= 45o 时，, a ; 已知: OA＝l ,
例题
已知：AB匀角速度转动。 求：M在导槽EF及BC中运动的速度与加速度。
E
B
C M
理论力学《点的合成运动》答案
0 0 0 0
4
动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。 动系平动， v A = v CBDE = v BC 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度。 相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。 牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。
→ → →
vr
900 − ϕ A
120 0
va
ϕ
ve = vBC
ϕ O
5
相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。 牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。
ve = OC ⋅ ω =
→ → →
0.4 × 0.5 = 0.231( m / s ) cos 30 0
va = ve + vr va = ve 0.2 = = 0.267( m / s ) 0 cos 30 cos 2 30 0
BC作平动，故
v BC = v a = 1.155lω 0
[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动， 其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ 。凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。设在图所示瞬时， ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。 解： 动点：Ｂ。 动系：固连于凸轮Ａ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。 牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。
θ = 40.930
→ →
即 v 与 v1 之间的夹角为 θ = 40.93 。 种子走过的水平距离为：
0
s = v x t = v cos θ ⋅ t h = vyt +
1 2 gt 2 1 2 gt 2
h = v sin θt +
0.25 = 2.65 sin 40.930 t + 0.5 × 9.8t 2
4
动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。 动系平动， v A = v CBDE = v BC 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度。 相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。 牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。
→ → →
vr
900 − ϕ A
120 0
va
ϕ
ve = vBC
ϕ O
5
相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。 牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。
ve = OC ⋅ ω =
→ → →
0.4 × 0.5 = 0.231( m / s ) cos 30 0
va = ve + vr va = ve 0.2 = = 0.267( m / s ) 0 cos 30 cos 2 30 0
BC作平动，故
v BC = v a = 1.155lω 0
[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动， 其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ 。凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。设在图所示瞬时， ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。 解： 动点：Ｂ。 动系：固连于凸轮Ａ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。 牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。
θ = 40.930
→ →
即 v 与 v1 之间的夹角为 θ = 40.93 。 种子走过的水平距离为：
0
s = v x t = v cos θ ⋅ t h = vyt +
1 2 gt 2 1 2 gt 2
h = v sin θt +
0.25 = 2.65 sin 40.930 t + 0.5 × 9.8t 2
点的合成运动
点的合成运动一、是非题1. 在研究点的合成运动问题时，所选的动点必须相对地球有运动。
（ × ）2. 牵连速度是动参考系相对于静参考系的速度。
（ × ）3. 牵连运动为定轴转动时，科氏加速度始终为零，动点在空间里一定作直线运动。
（ × ）4. 如果考虑地球自转，则在地球上的任何地方运动的物体（视为质点），都有科氏加速度。
（ √ ）5. 用合成运动的方法分析点的运动时，若牵连角速度00≠ω，相对速度0≠r v ，则一定有不为零的科氏加速度。
（ × ）6. 牵连速度是动参考系相对于固定参考系的速度。
（ × ）7. 当牵连运动为定轴转动时，牵连加速度等于牵连速度对时间的一阶导数。
（ × ）8. 当牵连运动为平动时，相对加速度等于相对速度对时间的一阶导数。
（ √ ）9. 在点的复合运动中，下述等式是否一定成立（式中各导数均为相对静系求导）：A. t d d e e v a =， ( × ) B. t d d r rv a =， ( × ) C. t v a d d e e=， ( × ) D. t v a d d r r=， ( × ) E.t v d d a a =a ， ( √ ) F. tv a a d d a =。
( × ) 10. 在点的复合运动中，请选出正确的说法：A. 若0,0e =≠v r ，则必有0=C a ， ( × )B. 若0,0e =≠a r ，则必有0=C a ， ( × )C. 若0≠e n a ，则必有0=C a ， ( × )D. 若0,0r ≠≠v ϕ，则必有0≠a ， ( × )E. 若0,0r ≠≠a ω，则必有0≠a ( × )这里r 为动点的绝对矢径，上面所指皆为某瞬时。
11. 在点的复合运动中，下述说法是否成立：A. 若v r 为常量，则必有0r =a ， （ × ）B. 若ω为常量，则必有0e =a ， （ × ）C. 若ω||r v ，则必有0c =a 。
第六章 点的合成运动习题课
aa = ae + ar + aC 式中 aC = 2ωe ×v r 称为科氏加速度。
注意：Байду номын сангаас
动系平移时的加速度合成定理和速度合成定理在形 式上相同，但速度合成定理里有3个矢量，而动系平移时的加 速度合成定理最多可有6个矢量。动系转动时的加速度合成定 理里有科氏加速度，最多可有7个矢量，所以求解速度和加速 度矢量式的方法大多数情况下不同。求解速度的问题，一般归 结为求解三角形的问题。求解加速度问题，因涉及的矢量较多， 通常采用在轴上投影的方法解决，计算相对复杂一些，且要注 意与刚养成的列平衡方程的习惯，方程右边等于零区别开来， 此处用的是合矢量投影定理，不要按方程右边等于零计算。加 速度合成定理一般为平面矢量式，可求解两个未知数。
注意： 在静(动)力学中求约束力时，用来表示约束力的符号 一般具有任意性，无硬性规定，在其他地方也有这样的情况。 但在表示绝对、相对、牵连速度与加速度时，一般要用上面 规定的符号表示，因为基本在国内所有理论力学教材和其他 教材中，都用这种符号，这已经约定俗成。在这种情况下， 如果再自己重新规定一些符号已无意义，在平时考试和考研 中，一定要注意这一点。 思考： 1. 在上面三种运动的定义中，为什么定义了绝对位移 与轨迹，相对位移与轨迹，而不定义牵连位移与轨迹?在说到 位移、轨迹、速度、加速度时，是对点而言，还是对物体(刚 体)而言?说一个刚体的位移、轨迹、速度、加速度对不对?牵 连运动是一个点的运动还是一个物体(刚体)的运动? 2. 在定义牵连速度、加速度时，为什么不说动参照物 上与动点重合的那一点，而说成动系上与动点重合的那一点? 参照物和参考系有无区别?
t ae 3v 2 则 αOA = = 2R 4R2 （
例5 点M在杆OA上按规律x=20+30t2（其中， t以s计； x以 mm计)运动，同时杆 OA 绕轴 O 以φ=2t rad的规律转动，如 图所示。求当t ＝1 s 时，点 M 的加速度大小。 解：取点M为动点，动系固结于OA杆上。
第6章 点的合成运动理论力学
33
例 题 6-5
已知：凸轮半径R ，v0 ， a0 ，试求：j =60o时, 顶杆AB的加速度。
解：取杆AB上的点A为 动点，动系与凸轮 固连。
理论力学电子教案
点的运动合成
34
例 题 6-5
绝对速度va = ? , 方向∥AB ； 相对速度vr = ? , 方向CA; 牵连速度ve=v0 , 方向 → ; 由速度合成定理
上面的推导过程中，动参考系并未限制作何运动， 因此点的速度合成定理对任意的牵连运动都适用。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，每一速度包 括大小‚方向两个元素，总共六个元素，已知任意四 个元素，就能求出其余两个。
理论力学电子教案
点的运动合成
15
例 题 6-1
凸轮顶杆机构中半径 为 R 的半圆形凸轮以等速 度 v0沿水平轨道向右运动， 带 动 顶 杆 AB 沿 铅 垂 方 向 运动，如图所示，试求 j = 60º 时，顶杆 AB 的速 度。
va ve vr
v0 cot 60 0.577v0 v AB va
此瞬时杆AB的速度方向 向上。
理论力学电子教案
点的运动合成
19
例 题 6-2
军舰以速度 v=37.04 km/h 的速度前进，直
升 飞 机 以 每 小 时 18
km/h 的速度垂直降落。
点的运动合成
21
3. 速度分析 绝对速度 va：大小已知，方 向沿铅垂方向向下。 牵连速度 ve ：大小已知，方 向水平向右。 相对速度 vr ：大小方向均 未知，为所要求的量。 应用速度合成定理 va ve vr
2 vr ve va 41.18 km / h ， 2
北大理论力学课件第六章 点的合成运动
vr
2 2
vr
va x'
O´
va= 18 km﹒h-1
-1
ve va 41.18 km h
25.92
11.43m / s .
应用速度合成定理
v a v r v 理论力 ; e
学
例6－3：曲柄绕0转动，並通过滑块M带动滑槽绕0‘摆动， y‟ 求:摆动到300时的角速度1。
a1 ae a2 ar
t 0
ve vr
ve’
lim
t 0
lim
t 0
lim
t 0
a1：相对运动引起牵连运动大小改变； a2：牵连运动引起相对运动方向改变； y
vr ’
vr”
v r’
y„
aa ae ar ac；
vr’– vr”
dt ae a r ve ,
2 ' 2 ' 2 ' d x ' d y ' d z ' ar i j k； 2 2 2 dt dt dt
dvr
2 ' 2 ' ' ' ' ' ' ' d x ' d y ' d z d x di d y dj d z dk ' a r ω v r； i j k 2 2 2 dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt
理论力学
例6－2：军舰以20节（1节=1.852 km﹒h-1）的速度前进，直升飞机 以每小时18 km的速度垂直降落。求直升飞机相对于军舰的速度。 ` 解： 动点－直升飞机。 y' 动系－O'x'y'，固连于军舰。 M
2 2
vr
va x'
O´
va= 18 km﹒h-1
-1
ve va 41.18 km h
25.92
11.43m / s .
应用速度合成定理
v a v r v 理论力 ; e
学
例6－3：曲柄绕0转动，並通过滑块M带动滑槽绕0‘摆动， y‟ 求:摆动到300时的角速度1。
a1 ae a2 ar
t 0
ve vr
ve’
lim
t 0
lim
t 0
lim
t 0
a1：相对运动引起牵连运动大小改变； a2：牵连运动引起相对运动方向改变； y
vr ’
vr”
v r’
y„
aa ae ar ac；
vr’– vr”
dt ae a r ve ,
2 ' 2 ' 2 ' d x ' d y ' d z ' ar i j k； 2 2 2 dt dt dt
dvr
2 ' 2 ' ' ' ' ' ' ' d x ' d y ' d z d x di d y dj d z dk ' a r ω v r； i j k 2 2 2 dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt
理论力学
例6－2：军舰以20节（1节=1.852 km﹒h-1）的速度前进，直升飞机 以每小时18 km的速度垂直降落。求直升飞机相对于军舰的速度。 ` 解： 动点－直升飞机。 y' 动系－O'x'y'，固连于军舰。 M
工程力学习题
B
已知 f=0， 1 , G2 , a 90 G 1.
A
q
G2
B
不计杆重，求平衡位置q 角。
分别研究A、B轮，受力如图， 由相应力△，有
G1
a
A
G1 FAB G2 FAB , sin( q ) sina sin(a q ) sin
FNA
q
FAB
a G1
a
q
θ
a0
A
以运送物料。设某瞬时曲柄
与铅垂线成 q 角。曲柄的角 速度为 w0 ，角加速度为 a0 ，
D
方向如图所示，试求此瞬时 送料槽D的速度和加速度。
8
B
C
静力学
例题3-9
第四章 平面任意力系
组合梁AC和CE用铰链C相连，A端为固定端， E端为活动铰链支座。受力如图所示。已知： l =8 m，F=5 kN，均布载荷集度q=2.5 kN/m，力偶 矩的大小M= 5 kN•m，试求固端A，铰链C和支座 E的约束力。 F A H B l/8 l/8 l/4 q C l/4
可表示为
y
A
a
d2 x dt 2
rw 2 coswt cos 2wt .
O
C
l
B x
4
运动学
例 题 8-3
第三章 点的合成运动
B
凸轮顶杆机构中半径为R
的半圆形凸轮以等速度
y'
v0 沿水平轨道向右运动，
A
v0
带动顶杆AB沿铅垂方向 运动，如图所示，试求
x'
R O n
30º 时，顶杆AB的速度。
y A O
C
已知 f=0， 1 , G2 , a 90 G 1.
A
q
G2
B
不计杆重，求平衡位置q 角。
分别研究A、B轮，受力如图， 由相应力△，有
G1
a
A
G1 FAB G2 FAB , sin( q ) sina sin(a q ) sin
FNA
q
FAB
a G1
a
q
θ
a0
A
以运送物料。设某瞬时曲柄
与铅垂线成 q 角。曲柄的角 速度为 w0 ，角加速度为 a0 ，
D
方向如图所示，试求此瞬时 送料槽D的速度和加速度。
8
B
C
静力学
例题3-9
第四章 平面任意力系
组合梁AC和CE用铰链C相连，A端为固定端， E端为活动铰链支座。受力如图所示。已知： l =8 m，F=5 kN，均布载荷集度q=2.5 kN/m，力偶 矩的大小M= 5 kN•m，试求固端A，铰链C和支座 E的约束力。 F A H B l/8 l/8 l/4 q C l/4
可表示为
y
A
a
d2 x dt 2
rw 2 coswt cos 2wt .
O
C
l
B x
4
运动学
例 题 8-3
第三章 点的合成运动
B
凸轮顶杆机构中半径为R
的半圆形凸轮以等速度
y'
v0 沿水平轨道向右运动，
A
v0
带动顶杆AB沿铅垂方向 运动，如图所示，试求
x'
R O n
30º 时，顶杆AB的速度。
y A O
C
点的运动合成
1、刚体作定轴转动，动点M在刚体内沿平行于转动轴的 直线运动，若取刚体为动坐标系，则任一瞬时动点的牵 连加速度都是相等的。（ × ） 2．在研究点的合成运动问题时，所选的动点必须相 对地球有运动。〔 × ） 3．在点的合成运动中，动点在某瞬时的牵连速度是 指该瞬时和动点相重合的动坐标上的一点的速度。（ √ ） 4、用合成运动的方法分析点的运动时，若牵连角速 度ωe≠ 0，相对速度vr ≠ 0。则一定有不为零的科氏加速 度。（ × ） 5、在点的合成运动问题中，设在一般情况下的牵连速度 为ve，相对速度为vr ，则牵连加速度为 a dve ，相对 e dt dvr 加速度为 。（ × ）
va ve B a vr vA A
3.1半径为R的圆轮以匀角速度ω沿水平轨道作纯滚动，OA
杆作定轴转动，若取轮心C为动点，以OA杆为动坐标，试 在轮心C上画出绝对速度、相对速度和牵连速度的方向。
A vr ω va ve O
3.2
ds ve (a b sint )' b cos t dt
7
ar dt
1、平行四边形机构，在图示瞬时，杆O1A以角速度 2.1 ω转动。淆块M相对AB杆运动，若取M为动点， AB为动坐标，则该瞬时动点的牵连速度与杆AB间 的夹角为 2 。 ①0；②30； ③60；④90。
A M
B
ω O1
60°
O2
60°
2一曲柄连杆机构，在图示位置时（φ=60， 2.2 OA⊥AB），曲柄OA的角逸度为ω，若取滑块B 为动点，动坐标与OA固连在一起，设OA长r， 则在该瞬时 动点牵连速度的大小为 2 。 ②2r ω ；
O1
va
O
L
在图示机构中，凸轮D和水平杆AB通过小滑块A连接，凸 轮D沿铅垂滑道运动．带动AB杆水平运动。己知：滑块 6 A相对于D的运动方程为xA＝1＋t2，yA＝t3，式中xA、yA 以cm计，t以s计。当t＝1s时；凸轮D恰处图示位置，试 求该瞬时AB杆上B点的速度和加速度。
va ve B a vr vA A
3.1半径为R的圆轮以匀角速度ω沿水平轨道作纯滚动，OA
杆作定轴转动，若取轮心C为动点，以OA杆为动坐标，试 在轮心C上画出绝对速度、相对速度和牵连速度的方向。
A vr ω va ve O
3.2
ds ve (a b sint )' b cos t dt
7
ar dt
1、平行四边形机构，在图示瞬时，杆O1A以角速度 2.1 ω转动。淆块M相对AB杆运动，若取M为动点， AB为动坐标，则该瞬时动点的牵连速度与杆AB间 的夹角为 2 。 ①0；②30； ③60；④90。
A M
B
ω O1
60°
O2
60°
2一曲柄连杆机构，在图示位置时（φ=60， 2.2 OA⊥AB），曲柄OA的角逸度为ω，若取滑块B 为动点，动坐标与OA固连在一起，设OA长r， 则在该瞬时 动点牵连速度的大小为 2 。 ②2r ω ；
O1
va
O
L
在图示机构中，凸轮D和水平杆AB通过小滑块A连接，凸 轮D沿铅垂滑道运动．带动AB杆水平运动。己知：滑块 6 A相对于D的运动方程为xA＝1＋t2，yA＝t3，式中xA、yA 以cm计，t以s计。当t＝1s时；凸轮D恰处图示位置，试 求该瞬时AB杆上B点的速度和加速度。
习题解答(点的合成运动)
根据速度合成定理 做速度平等四边形如图。
vvco seco s 可得
，又知
O可1得A上的A点，为e又动知点，Oa 2A杆为动系，机架为定系。
O1A上的A点为动点，O2A杆为动系，机架为定系。
v v e 绝对运动为直线运动,相对运动为直线运动,牵连运动为定轴转动。
绝对运动为直线运动,相对运动为直线运动,牵连运动为定轴转动。
习题7-7
解法提示:
va
ve
1
30
o1
a 30
2
vr
A
a
ve
va
1 vr
A
30
o1
30
2
o2
o2
习题7-7
va
解法提示a:
① O1A上的A点为动点，O2A杆 为动系，机架为定系。
② 绝对运动为圆周运动,相对 运动为直线运动,牵连运动
ve
vr
A
1
30
为定轴转动。
o1
③ 根据速度合成定理 vavevr
CD上的C点为动点，AB杆为动系，机架为定系。
根据速度合成定理 做速度平等四边形如图。
绝对运动为圆周运动,相对运动为直线运动,牵连运动为定轴转动。
O2A上的A点为动点，O1A杆为动系，机架为定系。
根据速度合成定理 做速度平等四边形如图。
vvv a r e 绝对运动为圆周运动,相对运动为直线运动,牵连运动为定轴转动。
做速度平等四边形如图。
a 30
2
④ 可得vevaco3s0 ，又知
vaw 1 a ,ve22aco 3s0
o2
21/21.5ra/sd
习题7-7
解法提示b: