初中数学逆命题和逆定理PPT课件
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八年级数学上册 第十二章 三角形 12.9 逆命题、逆定理课件
例如（1）、内错角相等，两直线(zhíxiàn)平行.
逆命题：两直线平行(píngxíng)，内错角相等真.
（2）、有三个角相等的三角形是等边三角形.
逆命题：如果一个三角形是等边三角形，那么它有三个角相等.
真
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自主学习检测
3.写出下列定理(dìnglǐ)的逆命题，并指出哪些互为逆定理(dìnglǐ). （1）全等三角形的对应角相等.
注意(zhù yì)：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题
第十三页，共二十页。
想一想
定理(dìnglǐ)①两直线平行，同旁内角互补.
定理(dìnglǐ)②同旁内角互补，两直线平行. 这两个(liǎnɡ ɡè)定理是互逆定理吗？
第十四页，共二十页。
典例精析
说出下列命题(mìng tí)的逆命题(mìng tí)，并判定逆 命题(mìng tí)的真假 ①长方形有两条对称轴. 逆命题：有两条对称轴的图形是长方形——真命题. ②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等——真命题.
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第十六页，共二十页。
随堂检测
3.写出下列命题的逆命题，并判断(pànduàn)逆命题的真假
（1）全等三角形的对应边相等. 逆命题：对应(duìyìng)边相等的三角形是全等三角形.---- 真命
（题2）对顶角相等. 逆命题：相等(xiāngděng)的两个角是对顶角.---- 假命题
第十七页，共二十页。
命题：“对角线互相平分的四边形是平行四分边形”
条件是 如__果__一__个__四__边__形__的__对__角___线__互_ 相平，分
八级数学上册(浙教版)课件：2.5 逆命题和逆定理 (共23张PPT)
C．全等三角形的对应角相等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
初中数学
5．下面定理中，没有逆定理的是( D ) A．同旁内角互补，两直线平行 B．全等三角形的对应边相等 C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
D．等角的补角相等
初中数学
6．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出它的逆定理． (1)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等； (2)成轴对称的两个图形是全等图形； (3)等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线互相重合．
解：答案不唯一，如结论：(1)∠DAB＝ ∠DCB；(2)BD平分∠ADC和∠ABC；
初中数学
(3)DB垂直平分AC.结论(1)证明：在△ABD和△CBD中，∵AB＝CB， AD＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠DAB＝∠DCB；结论 (2)证明：同上可证△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝ ∠CBD，即BD平分∠ADC和∠ABC；结论(3)证明：∵AD＝CD，∴点D 在线段AC的垂直平分线上，同理，点B在线段AC的垂直平分线上， ∴DB垂直平分AC
初中数学
真命题 ，那么就叫它 2．如果一个定理的逆命题能被证明是________ 逆定理 ，这两个定理叫做___________ 互逆定理 ． 是原定理的_________
练习2：定理“两直线平行，同旁内角互补”与 同旁内角互补，两直线平行 互为逆定理． _____________________________
(2)请选择一个真命题进行证明．
(先写出所选命题，然后证明)
初中数学
解：答案不唯一，如选择①③⇒②.证明：∵AB＝AC，∴∠B ＝∠C.又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD＝AE
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
初中数学
5．下面定理中，没有逆定理的是( D ) A．同旁内角互补，两直线平行 B．全等三角形的对应边相等 C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
D．等角的补角相等
初中数学
6．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出它的逆定理． (1)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等； (2)成轴对称的两个图形是全等图形； (3)等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线互相重合．
解：答案不唯一，如结论：(1)∠DAB＝ ∠DCB；(2)BD平分∠ADC和∠ABC；
初中数学
(3)DB垂直平分AC.结论(1)证明：在△ABD和△CBD中，∵AB＝CB， AD＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠DAB＝∠DCB；结论 (2)证明：同上可证△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝ ∠CBD，即BD平分∠ADC和∠ABC；结论(3)证明：∵AD＝CD，∴点D 在线段AC的垂直平分线上，同理，点B在线段AC的垂直平分线上， ∴DB垂直平分AC
初中数学
真命题 ，那么就叫它 2．如果一个定理的逆命题能被证明是________ 逆定理 ，这两个定理叫做___________ 互逆定理 ． 是原定理的_________
练习2：定理“两直线平行，同旁内角互补”与 同旁内角互补，两直线平行 互为逆定理． _____________________________
(2)请选择一个真命题进行证明．
(先写出所选命题，然后证明)
初中数学
解：答案不唯一，如选择①③⇒②.证明：∵AB＝AC，∴∠B ＝∠C.又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD＝AE
初中数学八年级上册《2.5逆命题和逆定理》PPT课件
7．(10分)已知命题“若a＞b，则a2＞b2”． (1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明 ；若是假命题，请举出一个反例； (2)写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假；若是真命 题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． 解：(1)假命题 反例：a＝2，b＝－3，有a＞b，但a2＜b2 (2)逆命题：若a2＞b2，则a＞b.假命题，反例a＝－3，b＝－2
DF⊥BC，DG⊥AC， 垂足分别为E，F，G. ∵BD和CD分别是∠ABC， ∠ACB的外角平分线， ∴DE＝DF，DG＝DF， ∴DE＝DG，∴AD是∠BAC的平分线
10．(10分)如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交
于点P.
(1)求证：PA＝PB＝PC.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什 么证结明论：？(1)∵点P是AB，BC的垂直平分线的交 点，
(1)两直线平行，同位角相等； (2)垂直于同一条直线的两直线平行； (解3)：相(等1)的同角位是角内相错等角，；两直线平行，真命题 ((42))有 如一果个两角条是直线60平°行的三，角那形么是这等两边条三直角线形垂．直于同一条 直线，真命题 (3)内错角相等，假命题，举反例略 (4)等边三角形有一个角是60°，真命题
2.5 逆命题和互逆命题
1．(4分)下列说法中，正确的是( )
A．每个命题都有逆命题
A
B．假命题的逆命题一定是假命题
C．每个定理都命题的逆命题是真命题的是( C )
A．如果a＝b，那么a2＝b2
B．平行四边形是中心对称图形
C．在三角形中，等边对等角
3．(4分)下列定理中，有逆定理的是( )
8．(8分)已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”． (1)写出此命题的逆命题； (2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出图 形，写出“已知”，“求证”，“证明”；如果是假命题， 请举反例说明．
八年级上册数学 2.5逆命题和逆定理课件(共16张PPT)
A R P B Q C
命题 ⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b。 条件 结论 真假 真 真 真 假 两直线平行 同位角相等 同位角相等 a＝b a2＝b2 两直线平行 a2＝b2 a＝b
例1：指出下列命题的条件和结论，并说出它们 的逆命题。 如果一个三角形是直角三角形，那么它的 两个锐角互余. 条件：一个三角形是直角三角形. 结论：它的两个锐角互余. 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余， 那么这个三角形是直角三角形.
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵的条件 和结论有什么关系？命题⑶与命题⑷呢？
互逆命题
由表中的原命题与逆命题，你有什么发现？
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第 二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个 命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。 我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做 它的逆命题。
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角 形是等腰三角形. (在同一个三角 形中，等角对等边)是互逆定理
做一做:说出两对互逆定理
做一做:下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请
说出逆定理：
（1）内错角相等，两直线平行. 两直线平行，内错角相等. 有逆定理
（2）对顶角相等.
没有逆定理
（3）三角形两边之和大于第三边. 有逆定理
A
O C
B
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
例2 说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题，并证明这 个逆命题是真命题.
这个定理的逆命题是: 到线段两端距离相 等的点在线段的垂直平分线上．
解:
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且 P ＰＡ＝ＰＢ 求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直 B 平分线上 O
命题 ⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b。 条件 结论 真假 真 真 真 假 两直线平行 同位角相等 同位角相等 a＝b a2＝b2 两直线平行 a2＝b2 a＝b
例1：指出下列命题的条件和结论，并说出它们 的逆命题。 如果一个三角形是直角三角形，那么它的 两个锐角互余. 条件：一个三角形是直角三角形. 结论：它的两个锐角互余. 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余， 那么这个三角形是直角三角形.
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵的条件 和结论有什么关系？命题⑶与命题⑷呢？
互逆命题
由表中的原命题与逆命题，你有什么发现？
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第 二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个 命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。 我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做 它的逆命题。
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角 形是等腰三角形. (在同一个三角 形中，等角对等边)是互逆定理
做一做:说出两对互逆定理
做一做:下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请
说出逆定理：
（1）内错角相等，两直线平行. 两直线平行，内错角相等. 有逆定理
（2）对顶角相等.
没有逆定理
（3）三角形两边之和大于第三边. 有逆定理
A
O C
B
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
例2 说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题，并证明这 个逆命题是真命题.
这个定理的逆命题是: 到线段两端距离相 等的点在线段的垂直平分线上．
解:
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且 P ＰＡ＝ＰＢ 求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直 B 平分线上 O
华师版八上数学1逆命题与逆定理课件
A
C
B
N
如何证明“三角形三条边的垂 直平分线交于一点”？
只需证明其中两条边的垂 直平分线的交点一定在第三条 边的垂直平分线上就可以了. B
A
l
n
O
m
C
点O在AC的垂
l是AB的垂直平分线
直平分线n上
A
OA＝OB OB＝OC
OA＝OC
l
n
O
m是BC的垂直平分线
B
m
C
试试看，现在你会证明了吗？
随堂练习
B
N
∴ △PCA ≌ △PCB（S.A.S.） ∴PA=PB
探索
这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那 么反过来会有什么结果呢？
条件
逆命题是否是 一直线是一线段
性质定理
一个真命题？ 的垂直平分线
结论
该直线上的点到线 段两端的距离相等
逆命题
点到线段两端 的距离相等
该点在线段的 垂直平分线上
已知：如图，QA＝QB.
证明：过点O、Q作射线OQ. ∵OQ⊥OA，QE⊥OB，
O
∴∠QDO＝∠QEO＝90° 在Rt△QDO和Rt△QEO中，
B
E Q
DA
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点 D、E为垂足，QD＝QE. 求证：点Q在∠AOB的平分线上.
∵OQ＝OQ，QD＝QE， ∴Rt△QDO≌Rt△QEO（H.L.） O ∴∠DOQ＝∠EOQ ∴点Q在∠AOB的平分线上.
1. 如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作一点P，
使PA = PB. A
提示：作AB的垂直平 分线AC，垂足为点E，AE = CE.
求证：AB＋CD＝AD ＋BC.
《逆命题和逆定理》课件
1.命题: 2.结构： 3.命题真假：
我们把其中的一个叫做原命题， 另一个叫做它的逆命题.
命题
条件
结论
⑴两直线平行，同位角相等 两直线平行 同位角相等
⑵同位角相等，两直线平行 同位角相等 两直线平行
⑶如果a＝b，那么a2＝b2.
a＝b
a2＝b2
⑷如果a2＝b2，那么a＝b.
a2＝b2
a＝b
观在察两表个中命题的中命，题如，果命第题一⑴个命与题命的题条⑵件有是什第么二个关命 系题的？结命论题，⑶而与第命一个题命⑷题呢的？结论是第二个命题的条件，
请在思举数考例 学真：说命命每出 题题个互 中的命逆 ，逆题定 请命都理 举题有例例是逆子说真命假；出题命一吗题个？吗原？命题是真命题， 逆命题是假命题的例子；
下列说法哪些正确，哪些不正确？
（1）每个定理都有逆定理. × （2）每个命题都有逆命题. √ （3）假命题没有逆命题. × （4）真命题的逆命题是真命题. ×
那么这两个命题叫做互逆命题.
说出下列命题的逆命题，并判定原命题 与逆命题的真假.
(1)同位角相等；
假命题
相等的角是同位角.
假命题
(2)面积相等的三角形全等.
假命题
全等三角形的面积相等.
真命题
(3)在一个三角形中，等角对等边. 真命题 互逆定理
在一个三角形中，等边对等角. 真命题
(4)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具. 真 高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车. 假命题
P
求证：点P在线段AB的垂直平分线上
证明: ⑴当点P不在线段AB上时，
A
O
B
作PC⊥AB于点O
C
∵PA=PB，PO⊥AB， ∴OA=OB（等腰三角形三线合一性质）
我们把其中的一个叫做原命题， 另一个叫做它的逆命题.
命题
条件
结论
⑴两直线平行，同位角相等 两直线平行 同位角相等
⑵同位角相等，两直线平行 同位角相等 两直线平行
⑶如果a＝b，那么a2＝b2.
a＝b
a2＝b2
⑷如果a2＝b2，那么a＝b.
a2＝b2
a＝b
观在察两表个中命题的中命，题如，果命第题一⑴个命与题命的题条⑵件有是什第么二个关命 系题的？结命论题，⑶而与第命一个题命⑷题呢的？结论是第二个命题的条件，
请在思举数考例 学真：说命命每出 题题个互 中的命逆 ，逆题定 请命都理 举题有例例是逆子说真命假；出题命一吗题个？吗原？命题是真命题， 逆命题是假命题的例子；
下列说法哪些正确，哪些不正确？
（1）每个定理都有逆定理. × （2）每个命题都有逆命题. √ （3）假命题没有逆命题. × （4）真命题的逆命题是真命题. ×
那么这两个命题叫做互逆命题.
说出下列命题的逆命题，并判定原命题 与逆命题的真假.
(1)同位角相等；
假命题
相等的角是同位角.
假命题
(2)面积相等的三角形全等.
假命题
全等三角形的面积相等.
真命题
(3)在一个三角形中，等角对等边. 真命题 互逆定理
在一个三角形中，等边对等角. 真命题
(4)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具. 真 高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车. 假命题
P
求证：点P在线段AB的垂直平分线上
证明: ⑴当点P不在线段AB上时，
A
O
B
作PC⊥AB于点O
C
∵PA=PB，PO⊥AB， ∴OA=OB（等腰三角形三线合一性质）
华东师大版八年级数学上册《逆命题与逆定理》课件
观察上面三组命题，你发现了什么？
上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置．
一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设 是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二 个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个 命题叫做它的逆命题.
命题“两直线平行，内错角相等”的 题设为两直线平行； 结论为内错角相等． 因此它的逆命题为 内错角相等，两直线平行.
在△PDO和△PEO中，因为
｛∠∠DPDOOP＝ ＝∠ ∠EPEOOP（（已已知证）），，
PO＝PO（公共边），
O
∴△PDO≌△PEO (A.A.S)
∴PD=PE
A D
1P
2
C
E B
于是就有定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相 等．
问答 ：1、如图，在Rt△ABC 中， BD是∠B 的平分线 ，
那么这个三角形是等边三角形.
3、全等三角形的对应角相等. 题设：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应角相等. 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，
那么这两个三角形全等.
4、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 平分线上.
题设：一个点到一个角的两边距离相等. 结论：它在这个角的平分线上. 逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.
逆命题与逆定理
回
顾
1、命题的概念： 可以判断正确或错误的 句子叫做命题.
例如：两直线平行，内错角相等； 内错角相等，两直线平行；都是命题.
注意：问句和几何作法不是命题！
2、命题都有两部分： 题设和结论
我能行
说出下列命题的题设和结论：
1、两直线平行，内错角相等； 2、内错角相等，两直线平行； 3、如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧 ； 45、 、如平果行小 四明 边发 形烧 的，对那角么线他互一相定平患分了； 肺炎； 6、对角线互相平分的四边形是平行四边形.
上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置．
一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设 是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二 个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个 命题叫做它的逆命题.
命题“两直线平行，内错角相等”的 题设为两直线平行； 结论为内错角相等． 因此它的逆命题为 内错角相等，两直线平行.
在△PDO和△PEO中，因为
｛∠∠DPDOOP＝ ＝∠ ∠EPEOOP（（已已知证）），，
PO＝PO（公共边），
O
∴△PDO≌△PEO (A.A.S)
∴PD=PE
A D
1P
2
C
E B
于是就有定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相 等．
问答 ：1、如图，在Rt△ABC 中， BD是∠B 的平分线 ，
那么这个三角形是等边三角形.
3、全等三角形的对应角相等. 题设：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应角相等. 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，
那么这两个三角形全等.
4、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 平分线上.
题设：一个点到一个角的两边距离相等. 结论：它在这个角的平分线上. 逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.
逆命题与逆定理
回
顾
1、命题的概念： 可以判断正确或错误的 句子叫做命题.
例如：两直线平行，内错角相等； 内错角相等，两直线平行；都是命题.
注意：问句和几何作法不是命题！
2、命题都有两部分： 题设和结论
我能行
说出下列命题的题设和结论：
1、两直线平行，内错角相等； 2、内错角相等，两直线平行； 3、如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧 ； 45、 、如平果行小 四明 边发 形烧 的，对那角么线他互一相定平患分了； 肺炎； 6、对角线互相平分的四边形是平行四边形.
《逆命题、逆定理》课件2
12.9 逆命题、逆定理
1.命题: 2.结构： 3.命题真假：
我们把其中的一个叫做原命题，
另一个叫做它的逆命题. 命题 条件 结论 同位角相等 两直线平行 a2＝b2
⑴两直线平行，同位角相等 两直线平行 ⑵同位角相等，两直线平行 同位角相等 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2.
a＝ b
⑷如果a2＝b2，那么a＝b.
且PA＝PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分
线上.
A
O
C P P P
B
A
P P P
B
证明: (1)当点P不在线段AB上时， 作PC⊥AB于点O ∵PA=PB，PO⊥AB， ∴OA=OB（等腰三角形三线合一性质） ∴PC是AB的垂直平分线. ∴点P在线段AB的垂直平分线上 (2)当点P在线段AB上，结论显然成立； 显然，上述两个命题可称为互逆命题.
2.证明：平行于同一条直线的两条直线平行.
已知：如图12-10，直线a、b、c中，b∥a，c∥a. 求证：b∥c. 证明：作直线d，使它与直线a、b、c都相交.
∵b∥a（已知），
∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∵c∥a（已知），
∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2=∠3（等量代换）. ∴b∥c（同位角相等，两直线平行）.
(2)如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另 外两个角是锐角；
谈谈本节课的收获
下列说法哪些正确，哪些不正确？
（1）每个命题都有逆命题. （2）假命题没有逆命题.
√ × ×
（3）真命题的逆命题是真命题.
1.证明：直角三角形的两个锐角互余.
已知：如图12-11，在△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90°. 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形三 个内角和等于180°）. ∴∠A+∠B=180°-∠C（等式性质）. ∵∠C=90°.（已知）， ∴∠A+∠B=180°-90°（等量代换）. 即 ∠A+∠B=90°.
1.命题: 2.结构： 3.命题真假：
我们把其中的一个叫做原命题，
另一个叫做它的逆命题. 命题 条件 结论 同位角相等 两直线平行 a2＝b2
⑴两直线平行，同位角相等 两直线平行 ⑵同位角相等，两直线平行 同位角相等 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2.
a＝ b
⑷如果a2＝b2，那么a＝b.
且PA＝PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分
线上.
A
O
C P P P
B
A
P P P
B
证明: (1)当点P不在线段AB上时， 作PC⊥AB于点O ∵PA=PB，PO⊥AB， ∴OA=OB（等腰三角形三线合一性质） ∴PC是AB的垂直平分线. ∴点P在线段AB的垂直平分线上 (2)当点P在线段AB上，结论显然成立； 显然，上述两个命题可称为互逆命题.
2.证明：平行于同一条直线的两条直线平行.
已知：如图12-10，直线a、b、c中，b∥a，c∥a. 求证：b∥c. 证明：作直线d，使它与直线a、b、c都相交.
∵b∥a（已知），
∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∵c∥a（已知），
∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2=∠3（等量代换）. ∴b∥c（同位角相等，两直线平行）.
(2)如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另 外两个角是锐角；
谈谈本节课的收获
下列说法哪些正确，哪些不正确？
（1）每个命题都有逆命题. （2）假命题没有逆命题.
√ × ×
（3）真命题的逆命题是真命题.
1.证明：直角三角形的两个锐角互余.
已知：如图12-11，在△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90°. 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形三 个内角和等于180°）. ∴∠A+∠B=180°-∠C（等式性质）. ∵∠C=90°.（已知）， ∴∠A+∠B=180°-90°（等量代换）. 即 ∠A+∠B=90°.
浙教版八下 5.7.逆命题和逆定理 课件
两直线平行 同位角相等
问题：1. 这两个命题有什么联系与区别？
2. 我们还学过类似的一些命题吗？
两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命 题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条
件，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命 题称为另一个命题的逆命题。
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆 命题，所以每个命题都有逆命题。
如果一个定理的逆命题能被证明是真 命题，那么就叫它是原定理的逆定理。
说出下列命题的逆命题，并与同学交流：
(1)对顶角相等； 相等的角是对顶角。
(2)如果a2=b2，那么a=b；如果a=b，那么a2=b2 (3)直角三角形的两个锐角互余；有角两形个。角互余的三角形是直角三 (4)轴对称图形是等腰三角形；等腰三角形是轴对称图形。 (5)正方形的4个角都是直角. 如果一个四边形的4个角都是直角，
那么这个四边形是正方形。
1、你能判断上述互逆命题的真假吗？ 2、说说你对一对互逆命题的真假性的看法，如 果原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题 吗？
例1.说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两
个端点的距离相等 ”的逆命题，并证明这个逆命题是 真命题。
例2.说出命题“如果一个四边形是平行四边形，那么
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我们，还在路上……
八年级 下 册 义务教育课程标准苏科版实验教科书
第五章
平行四边形
场桥中学 张利芬
什么是命题? 命题由哪两部分组成? 一般地，对某一件事情作出正确或不 正确的判断的句子叫做命题。
命题可看做由题设(或条件)和结论两 部分组成。 命题有真有假。
正确的命题是真命题，错误的命题是假命题
同位角相等 两直线平行
【浙教版】数学八年级上册 精美获奖课件：2.5《逆命题和逆定理》ppt课件
等腰三角形 两腰上的中线
相等.
等腰三角形 两腰上的高
相等.
等腰三角形 两底角的角 平分线相等.
提高题：
1、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角
为400，则顶角为80°
。
2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角 为400，则顶5角0°为或130° 。
P58，课内练习：
2． 已知：如图，在△ABC中， AB＝AC，P为BC的中点，
• 已知：ABC中 ， AB=AC.
A
• 求证： B=C.
证明：作 BAC的平分线AD交BC于D
∴ BAD=CAD
在ABD和 ACD中,
B
AB=AC(已知)
BAD=CAD(已证)
AD=AD（公共边）
∴ ABD≌ACD（SAS）∴ B=C（全等三角形的对应角相等）
C D
AD=AD（公共边）
∴ ABD≌ACD（SAS）∴ B=C（全等三角形的对应角相等）
C D
练习1. 如图，在△ABC中，AB=AC，
∠A=50°，求∠ B，∠C的度数。
A
∵ AB=AC
∴ ∠ B= ∠C（等腰
三角形的两个底角
相等）
B
C
∵ ∠A+∠B+∠C=180°，∠A=50° ∴ ∠B+∠C=130° ∴ ∠B=∠C=65°
做一做: 求证：三角形的三条垂直平分线交于一点。
做一做:写出定理“等腰三角形底边上的高线与 中线互相重合”的逆命题，并证明这个逆命题 是真命题。
练习：举例说明下列命题的逆命题是假命题：
(1).如果一个整数的个位数字是5，那么这个整 数能被5整除．
(2).如果两个角都是直角，那么这两个角相等．
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形
全等.”这个逆命题是假命题.举反例如下：
如图， △ABC中,AD是BC边上中线，
AE⊥BC于E,由等底同高可得△ABD
与△ACD面积相等，但显然它们不全
等.所以这个逆命题是假命题.
B
A
C DE
课内练习2
求证:三角形的三条边的垂直平分线交于一点.
已知: △ABC中, AB和AC边的中垂线交于点P.
条件
两直线平行 同位角相等
a＝b a2＝b2
结论
同位角相等 两直线平行 a2＝b2 a＝b
真假
真 真 真 假
说出下列各命题的逆命题，并判定逆命题的真假 ：
(1)同位角相等； 相等的角是同位角. （假） (2)等边三角形有一个角是600； 有一个角是600的三角形是等边
三角形. （假） (3)轴对称图形是等腰三角形；等腰三角形是轴对称图形.（真） (4)飞机是会飞的交通工具. 会飞的交通工具是飞机. （假）
(1)同位角相等； 相等的角是同位角. （假） (2)等边三角形有一个角是600； 有一个角是600的三角形是等边
三角形. （假） (3)轴对称图形是等腰三角形；等腰三角形是轴对称图形.（真） (4)飞机是会飞的交通工具. 会飞的交通工具是飞机. （假）
如何说出原命题的逆命题？
原命题
原命题的条件
原命题的结论
命题
⑴两直线平行，同位角相等. ⑵同位角相等，两直线平行. ⑶如果a＝b，那么a2＝b2. ⑷如果a2＝b2，那么a＝b.
条件
两直线平行 同位角相等
a＝b a2＝b2
结论
同位角相等 两直线平行 a2＝b2 a＝b
真假
真 真 真 假
说出下列各命题的逆命题，并判定逆命题的真假 ：
(1)同位角相等； 相等的角是同位角. （假） (2)等边三角形有一个角是600； 有一个角是600的三角形是等边
我们把其中的一个叫做原定理，另一个叫做它的逆定理.
命题
条件
结论 真假
⑴两直线平行，同位角相等. 两直线平行 同位角相等 真
⑵同位角相等，两直线平行. 同位角相等 两直线平行 真
⑶如果a＝b，那么a2＝b2.
a＝b
a2＝b2
真
⑷如果a2＝b2，那么a＝b.
a2＝b2
a＝b
假
合作交流
说出下列各命题的逆命题，并判定逆命题的真假 ：
判断下列说法是否正确？请说明理由.
（2）每个命题都有逆命题；
命题
⑴两直线平行，同位角相等. ⑵同位角相等，两直线平行. ⑶如果a＝b，那么a2＝b2. ⑷如果a2＝b2，那么a＝b.
条件
两直线平行 同位角相等
a＝b a2＝b2
结论
同位角相等 两直线平行 a2＝b2 a＝b
真假
真 真 真 假
说出下列各命题的逆命题，并判定逆命题的真假 ：
B
(2)当点P不在线段AB上时,作PO⊥AB 于点O
∵PA=PB, PO⊥AB∴OA=OB
∴PO是AB的垂直平分线.
还有其他证明方法吗?
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
例2 说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命 题，判断这个逆命题的真假，并说明理由.
解：逆命题是 “ 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角
说出下列各命题的逆命题，并判定逆命题的真假 ：
(1)同位角相等； 相等的角是同位角. （假） (2)等边三角形有一个角是600； 有一个角是600的三角形是等边
三角形. （假） (3)轴对称图形是等腰三角形；等腰三角形是轴对称图形.（真） (4)飞机是会飞的交通工具. 会飞的交通工具是飞机. （假）
(1)同位角相等； 相等的角是同位角. （假） (2)等边三角形有一个角是600； 有一个角是600的三角形是等边
三角形. （假） (3)轴对称图形是等腰三角形；等腰三角形是轴对称图形.（真） (4)飞机是会飞的交通工具. 会飞的交通工具是飞机. （假）
判断下列说法是否正确？请说明理由.
（3）真命题的逆命题是真命题
三角形. （假） (3)轴对称图形是等腰三角形；等腰三角形是轴对称图形.（真） (4)飞机是会飞的交通工具. 会飞的交通工具是飞机. （假）
判断下列说法是否正确？请说明理由.
（4）定理的逆命题不一定是真命题
命题
⑴两直线平行，同位角相等. ⑵同位角相等，两直线平行. ⑶如果a＝b，那么a2＝b2. ⑷如果a2＝b2，那么a＝b.
Байду номын сангаас2.5
逆命题和逆定理
旧知回顾
下列句子是命题的是
（D ）
A.画∠AOB=45o
B. 正数大于一切负数吗？
C.连结CD
D. 同角的余角相等.
什么是命题? 一般地，对某件事情作出正确或不正确
的判断的句子叫做命题.
命题由哪两部分组成? 题设（条件）和结论
又如何分类?
真命题和假命题
自主学习
请仔细阅读表中的四个命题，填表，并思考：命题 （1）和命题（2）；命题（3）和命题（4）的条件 和结论有什么关系？
命题
条件
结论 真假
⑴两直线平行，同位角相等. 两直线平行 同位角相等 真
⑵同位角相等，两直线平行. 同位角相等 两直线平行 真
⑶如果a＝b，那么a2＝b2.
a＝b
a2＝b2
真
⑷如果a2＝b2，那么a＝b.
a2＝b2
a＝b
假
新知学习
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命
题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件， 那么这两个命题叫做互逆命题.
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
线你段能垂说直出平它分的线的逆性命质题定吗理?逆定理
到一条线段的两个端点距离相等的点,在这条线段
的垂直平分线上.
P
已知:AB是一条线段,P是一点,PA=PB.
求证:点P在线段AB的垂直平分线上.
证明:(1)当点P在线段AB上时,结论显然成A 立. O
逆命题
条件
结论
判断下列说法是否正确？请说明理由.
（1）假命题没有逆命题；
命题
⑴两直线平行，同位角相等. ⑵同位角相等，两直线平行. ⑶如果a＝b，那么a2＝b2. ⑷如果a2＝b2，那么a＝b.
条件
两直线平行 同位角相等
a＝b a2＝b2
结论
同位角相等 两直线平行 a2＝b2 a＝b
真假
真 真 真 假
求证:点P在BC边的中垂线上.
证明:连接AP,BP,CP.
∵PD、PE分别AB、AC的中垂线 ∴AP=BP, AP=CP
B ∴BP=CP ∴点P在BC的中垂线上.
A
D
E
P C
举反例说明下列命题的逆命题是假命题：
(1)如果一个整数的个位数字是5， 那么这个整数能被5整除．
(2) 对顶角相等．
我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
命题
条件
结论 真假
⑴两直线平行，同位角相等. 两直线平行 同位角相等 真
⑵同位角相等，两直线平行. 同位角相等 两直线平行 真
⑶如果a＝b，那么a2＝b2.
a＝b
a2＝b2
真
⑷如果a2＝b2，那么a＝b.
a2＝b2
a＝b
假
新知学习
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就 叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.
知识获得
每个命题都有它的逆命题；
互逆两命题的真假没有必然联系,原命题为真,其逆命题可真可假; 反过来,原命题为假,逆命题也可真可假； 定理的逆命题不一定是真命题.
知识提炼
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题， 那么它是原定理的逆定理， 这两个定理叫做互逆定理.
线你段能垂说直出平线分段线垂的直性平质分定线理的性质定理吗?