工程流体力学第八章

第八章 可压缩流体的 流动
本章重点掌握
1 等熵的基本概念 2 定常可压无摩擦绝热管流的基本方程
3 收缩喷嘴的计算
问题：什么是可压缩流体？
可压缩流体：流体密度ρ≠cont，如 气体（Ma>0.3) 爆炸和水锤情形下的液体 不可压缩流体：流体密度 ρ=cont,如 液体 气体（马赫数Ma<0.3)
1V1 A1 2V2 A2
3 滞止关系式
T0 k 1 1 Ma 2 T 2
临界压比：
k k
p0 T k 1 (1 Ma 2 ) k 1 ( 0 ) k 1 p 2 T
p* 2 k 1 ( ) p0 k 1
k
状态方程： 过程方程：
p1
p RT
p2

k 1
等熵定常可压流动的方程： 1 定常等熵流的能量方程
总焓不变：h01 h02 总温不变：T01 T02 总压不变：p01 p02
V12 V22 h1 h2 2 2
k p1 V12 k p2 V22 k 1 1 2 k 1 2 2
2 连续性方程
kR V12 kR V22 T1 T2 k 1 2 k 1 2
一、声速与马赫数 1 声速
声速（a）是小扰动压力波在静止介质中的传播速
度,反映了介质本身可压缩性的大小。
dF dV B p1=p+dp V1=dv 1=+d dV
dF dV A
p,,V=0
A
B
若活塞间流体不可压：扰动 瞬时传递到B,声速a→∞
若活塞间流体可压：
dF A p1,1 V=dV p, V=0 B 扰动后 扰动前 x
p0无穷远 p0喉道 T0无穷远 T0喉道
大气环境 调节阀
大容器
（2）最大速度状态：以可逆和绝热方式使气体压强和温 度降低到零、速度达到最大时所对应的状态。利用最大速 度描述的能量方程为：
k p V Vmax const k 1 2 2 a V Vmax const k 1 2 2
p2 p3
p2 p3
p*
p3
p3 p p0 p0 超临界，p2>p3
*
喷嘴出口流量与环境压强的关系
临界压比：流动马赫数达到音速时静压与总压之比
p* k 1 2 k 1 2 k 1 (1 Ma2 ) ( ) p0 2 k 1
k k
对于完全气体,k=1.4，则临界压比为0.5283
扰动不可到达区 / 静音区
扰动中心
(d ) Ma>1
马赫角θ：马赫锥的半角
a 1 sin V Ma
Ma增加，马赫角减少。
马赫线 V>a

θ


思考：位于地面的观察者，超速飞机掠过头顶上方时
能否听到发动机强度的轰鸣？
思考：飞行马赫数越大，扰动可到达区域越大还是越 小？
三、气体一维定常等熵可压流的基本方程

2k
对于收缩喷嘴：必先判断工作状态
p3 p* （1）临界工作点 p0 p0
V2 a
*
环境压强,P3 P1,T1 V1=0 2 2
s
M a2 1 G G max
p2 p* p3 , 气流充分膨胀
(2) 亚临界工作点
p3 p p0 p0
*
p2=p3, Ma2<1，气体在喷嘴出口完全膨胀
h c pT
cp kR k 1
p RT
k p1 V12 k p2 V22 k 1 1 2 k 1 2 2
四 喷管中的等熵流动 1 气流参数与截面面积变化的关系
1 V 1 A 2 V s A( M a 1) s 1 2 1 V M a s V s 1 p 2 1 V kM a p s V s
降到临界压力时，它的流量就达到最大。继续减小p3不
再影响喷嘴内的流动，流量也不改变。
例8－1： 大容器内的空气通过收缩喷嘴流入绝对压强为 50kpa的环境中，已知容器内的温度是1500C，喷嘴出口 直径为2cm，在喷嘴出口气流速度达到声速，容器罐内 的压强至少为多少？并计算相应的质量流量。
P3 2 2
速度 p,T,
加速
减速 减速 加速
只有先收缩后扩张管才能将亚音流加速到超音流
Ma 1 Ma 1 Ma 1
throat deLaval nozzle
2 渐缩喷嘴的流动 设：气流流动等熵； 容器足够大，气体压强足够高，使得容器内 气流接近静止且压强不变： V1=0,p1=const,T1=const 环境压, P3 p1=p01=p02 T1=T01=T02 2
p
Hale Waihona Puke 23、三种特定状态 （1）滞止状态：以可逆和绝热方式使气体的速度降低到 零时所对应的状态。相应的参数称为滞止参数或总参数， 如滞止焓/总焓、滞止温度/总温、滞止压强/总压….
1 p 内能：u CV T k 1 kR k p a2 静焓：h u C pT T ＝ k 1 k 1 k 1 p V2 滞止焓：h0 h C pT0 2
定义：
气体一维定常等熵可压流的能量方程可为：
V2 u const 2 p
h0 const
V h const 2
2
T0 const, p0 const
即滞止焓、总温、总压沿流向保持不变。
滞止压强和温度与静压静温的关系
T0 k 1 1 Ma 2 T 2 k p0 T0 k k1 k 1 2 k 1 ( ) (1 Ma ) p T 2 0 T0 k 11 ( ) T
dp p a k kRT d
R 287m2 /( k s 2 ) Cp k Cv
其中，R为气体常数,k为绝热指数，对于完全气体取1.4， Cp、Cv分别为定压和定容比热（293页）。
2 马赫数
V Ma a
马赫数反映介质可压缩性对流体流动影响的大小，当 Ma 小于0.3时，可当作不可压缩流动处理。 根据马赫数对流动进行分类 Ma<1:亚音速流 Ma>1:超音速流 Ma>3:高超音速流
P1,T1 V1=0 s 2
根据能量方程：V2
2k p0 p2 [1 ( ) k 1 0 p0
k 1 k
]
喷嘴出口质量流量为：
G 2V2 A2 0 A2 2k p0 p2 p2 [( ) ( ) k 1 0 p0 p0
G 环境压强,P3 P1,T1 V1=0 2 2 p* Gmax
Ma=1
4 小结 对于一维定常可压等熵流有:沿流向
总焓不变：h01 h02 总温不变：T01 T02 总压不变：p01 p02
h01 h02
2 V h0 h
2
V12 V22 h1 h2 2 2
V12 V22 C pT1 C pT2 2 2
kR V12 kR V22 T1 T2 k 1 2 k 1 2
p1=p+dp 1=+d V1=dv

在可压缩流体介质中压强扰动一有限速度传播， 此速度即声速。
取与声波波面一起运动的控制体：
dF a-dV a
A
x
B
由连续性方程与动量方程：
dp 1 a d P
声速代表了介质可压缩性的大小，可压缩性越大， 声速越小。
对于完全气体，声波的传播是可逆绝热过程，其声 速大小为：
2 k k 1 k
]
超临界 临界点 亚临界
s
p2 p3
p2 p3
p3
喷嘴出口流量与环境压强的关系
收缩喷嘴的三种工作状态：亚临界、临界和超临界 收缩喷嘴的工作状态的判别：
p3 p* p0 p0 亚临界，p2=p3
Gmax
G 超临界
临界点 亚临界
p3 p p0 p0
*
临界，p2=p3

4tV
(b ) Ma<1 扰动中心
扰动源后方能量分散、 频率下降
实际例子：站台上的人听 到的火车进站、出站的汽 笛声调不一样。
当扰动源静止，来流以亚音速自左向右运动：
4 ta

V<a
扰动中心 (b ) Ma<1
扰动波向上游传播速度a-V、下游传播速度a+V 经足够长时间扰动波能传播到流场各处
3 Ma=1. (扰动源以音速向左运动）
马赫线
扰动不可 到达区/寂 静区



t=0
(
c ) Ma=1
扰动中心
即：扰动源运动马赫数为1时，扰动不能传播到扰动源 的前方，在其左侧形成一个寂静区。
当扰动源静止，来流以音速自左向右运动：
马赫线 V=a t=0
扰动不可到达 区/寂静区
s
管道内的等熵流动
速度沿流动方向的变化率不仅与截面面积变化率相关， 还与运动速度是大于或小于声速相关。 速度沿流向的变化率总与压强和密度的变化率相反。
表8－1 截面变化对流速与压力等参数的影响
Ma<1 亚音流
Ma>1 超音流
1 V 1 A 2 V s A( M a 1) s 1 2 1 V M a s V s 1 p 2 1 V kM a p s V s
1 什么是等熵流动？
无摩擦(不计粘性）、绝热的流动即为等熵流。 2 定常等熵可压缩流动的基本方程 连续性方程
VA const
d dV dA const V A
运动方程
dV 1 dp V dx dx
能量方程
V u const 2