函数定义域总结
函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=x tan 中2ππ+≠k x ；y=x cot 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法（2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法（5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法（8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(例2 求下列函数的定义域：① 14)(2--=xx f ②2143)(2-+--=x x x x f②=)(x f x11111++④xx x x f -+=)1()(⑤373132+++-=x x y\例3 若函数aax axy 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。
练习：设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域例7已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域已知f(3x －1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。
[2,25-）练习：已知f(x 2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是（ ）Ａ．[]1,1-Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦已知函数()11xf x x+=-的定义域为Ａ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ，则（ ）Ａ．A B B =Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =2、求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}.例1 求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f ③ xx y 1+=（记住图像）例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；练习：1、求函数y =3+√(2－3x)的值域2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域例3 求函数y=4x －√1-3x(x ≤1/3)的值域。
完整版)专升本高等数学知识点汇总
完整版)专升本高等数学知识点汇总常用的高等数学知识点汇总如下：一、常见函数的定义域总结如下：1) y=kx+b，y=ax^2+bx+c，一般形式的定义域为x∈R。
2) y=1/x，分式形式的定义域为x≠0.3) y=sqrt(x)，x根式的形式定义域为x≥0.4) y=log_a(x)，对数形式的定义域为x＞0.二、函数的性质1、函数的单调性：当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)，f(x)在x1，x2所在的区间上是增加的。
当x1＜x2时，恒有f(x1)＞f(x2)，f(x)在x1，x2所在的区间上是减少的。
2、函数的奇偶性：定义函数y=f(x)的定义区间D关于坐标原点对称，若x∈D，则有- x∈D：1) 偶函数f(x)——对于任意x∈D，恒有f(-x)=f(x)。
2) 奇函数f(x)——对于任意x∈D，恒有f(-x)=-f(x)。
三、基本初等函数1、常数函数：y=c，定义域为(-∞,+∞)，图形是一条平行于x轴的直线。
2、幂函数：y=x^u，(u是常数)。
它的定义域随着u的不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数：定义y=f(x)=a^x，(a是常数且a＞0，a≠1)。
图形过(0,1)点。
4、对数函数：定义y=f(x)=log_a(x)，(a是常数且a＞0，a≠1)。
图形过(1,0)点。
5、三角函数：1) 正弦函数：y=sin(x)，T=2π，D(f)=(-∞,+∞)，f(D)=[-1,1]。
2) 余弦函数：y=cos(x)，T=2π，D(f)=(-∞,+∞)，f(D)=[-1,1]。
3) 正切函数：y=tan(x)，T=π，D(f)={x|x∈R,x≠(2k+1)π/2，k∈Z}，f(D)=(-∞,+∞)。
4) 余切函数：y=cot(x)，T=π，D(f)={x|x∈R,x≠kπ，k∈Z}，f(D)=(-∞,+∞)。
四、极限一、求极限的方法：1、代入法：将x的值代入函数中求得对应的y值。
改写后的文章：高等数学中常用的知识点汇总如下：一、常见函数的定义域总结如下：1) y=kx+b，y=ax^2+bx+c，一般形式的定义域为x∈R。
函数定义域值域求法总结 (1)
函数定义域、值域求法总结1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。
2、在同一对应法则作用下，括号内整体的取值范围相同。
一般地，若已知 f(x)的定义域为[a,b]，求函数f[g(x)]的定义域时，由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用，从而范围相同。
因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围。
一般地，若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b]，求函数 f(x)的定义域时，由于x和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x≤b 时，g(x)的取值范围。
定义域是X 的取值范围，g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响，所以它们的范围相同。
一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法（10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义， 而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ? ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ?2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[?1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
求定义域的方法总结
求定义域的方法总结
8种求定义域的方法
可根据不同函数的八种类型，分为以下八种方法来求函数的定义域:
①整式的定义域为R。
整式可以分为单项式还有多项式，单项式比如y＝4x，多项式比如y＝4x+1。
这时候无论是单项式还是多项式，定义域均为｛x｜x∈R｝，就是x可以等于所有实数。
②分式的定义域是分母不等于0。
例如y＝1/（x-1），这时候的定义域只需要求让分母不等于即可，即x-1≠0，定义域为｛x｜x≠1｝。
③偶数次方根定义域是被开方数≥0。
例如根号下x-3，这时候定义域就是让x-3≥0，求出来定义域为｛x｜x≥3｝。
④奇数次方根定义域是R。
例如三次根号下x-3，定义域就是｛x｜x∈R｝。
⑤指数函数定义域为R。
比如y＝3^x，定义域为｛x｜x∈R｝。
⑥对数函数定义域为真数＞0。
比如log以3为底（x-1）的对数，让x-1＞0，即定义域为｛x｜x＞1｝。
⑦幂函数定义域是底数≠0。
比如y＝（x-1）^2，让x-1≠0，即定义域为｛x｜x≠1｝。
⑧三角函数中正弦余弦定义域为R，正切函数定义域为x≠π/2+kπ。
这时候求定义域画个图就可以看出来了，只要记住三角函数图像，即可求出定义域。
这八种类型是常见函数类型，求定义域时首先要分辨清楚它们属于哪个类型的函数，然后根据基本的定义域来求复杂函数定义域。
常见函数解析式定义域值域的求法总结
常见函数解析式定义域值域的求法总结
一、常见函数解析式
1、二次函数
解析式：y=ax2+bx+c
定义域：全实数集
值域：ax2+bx+c的值
2、三角函数
解析式：y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx
定义域：全实数集
值域：[-1,1]
3、反三角函数
解析式：y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx，
y=arcsecx，y=arccscx
定义域：-[1,1],(-∞,+∞)
值域：[-π/2,π/2]
4、双曲函数
解析式：y=sinhx，y=coshx，y=tanhx，y=cothx，y=sechx，y=cschx 定义域：全实数集
值域：[-1,1]
5、对数函数
解析式：y=lgx，y=lnx
定义域：x>0
值域：(-∞,+∞)
6、指数函数
解析式：y=ex
定义域：全实数集
值域：(0,+∞)
二、定义域和值域的求法
1、函数的定义域
定义域的求法：一般取出函数的变量，求出它所在的域，如果有多个变量，一般要满足多个变量的取值范围，才能满足函数的定义域，比如：函数f(x,y)=x2+y2，则它的定义域就是x,y取得所有实数
2、函数的值域
值域的求法：一般取定义域，将变量取不同的值，将函数求出不同的值并且收集，得到函数的值域，比如：函数f(x)＝x2+x+2，值域就是1，3，5，7……。
函数定义域知识点整理
函数定义域知识点整理一、定义域概念在函数中，定义域指定了输入值的可接受范围。
也就是说，它是函数中所有可能输入值的集合。
定义域通常由数值或表示数值的变量组成。
举个例子：函数f(x) = 1 / x，则定义域通常是所有除数不为零的实数，因为当x = 0时，除法运算将无法进行。
二、常用函数的定义域1、多项式函数：f(x) = ax^n+bx^n-1+...+k （a≠0，x∈R）定义域为实数集R。
3、对数函数：f(x) = loga(x)（a > 0，a ≠ 1）定义域为(0，+∞)。
4、三角函数：sin(x)，cos(x)，tan(x)，cot(x)，sec(x)，csc(x)6、有理函数：f(x) = p(x) / q(x)，p(x)和q(x)都是多项式函数定义域为x使得q(x) ≠ 0的所有实数。
7、根式函数：f(x) = √x定义域为x≥0（或x>0）。
定义域分别为[-1，1]，[-1，1]，(-∞，+∞)，(-∞，+∞)，[1，+∞)，(-∞，-1]∪[1，+∞)。
三、特殊情况的定义域1、分式函数中：分母等于0时，函数无定义。
比如，f(x) = 1 / (x-2)，定义域为除去x = 2的所有实数。
1、拆分法：将复合函数中的函数逐一拆分，保证每个函数都有定义。
2、代数法：通过解方程，使得函数中不存在负数、非正数、除数为0等无法计算的情况。
3、图像法：通过函数图像，确定函数值的可行区间。
4、限定法：通过限定自变量的取值范围，确定函数值的可行范围。
五、补充说明1、同一个函数在不同的应用场景中，可能对应不同的定义域。
因此，在确定函数定义域时，需要根据实际情况加以考虑。
2、特别地，当要对一个函数进行简化、去除歧义等操作时，也需要明确该函数的定义域。
函数定义域求法总结
函数定义域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
（1）分母不为（2）偶次根式的被开方数 。
（3）对数中的真数 。
（4）指数、对数的底数（5）y=tanx 中 ；y=cotx 中 等等。
( 6 )0x 中 。
二、抽象函数的定义域1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
一、 求函数的定义域1、 求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-+-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为 ；函数f x ()-2的定义域为 ；3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ； 函数1(2)f x+的定义域为 。
4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
高一数学定义域知识点总结
高一数学定义域知识点总结在高一数学学习过程中，定义域是一个常见而重要的概念，它涉及到函数的取值范围和合法性。
下面将对高一数学中与定义域相关的知识点进行总结和归纳。
一、定义域的基本概念定义域是指函数中自变量的取值范围，也即是使函数有意义并能得到有效输出的自变量取值范围。
在数学中，我们常常通过解方程或不等式来确定函数的定义域。
定义域通常用数学符号表示，比如用集合的形式表示为{自变量 | 条件}。
二、常见函数的定义域1. 一元一次函数的定义域：一元一次函数通常表示为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
对于一元一次函数来说，定义域为全体实数集R，即所有实数都是函数的定义域。
2. 幂函数的定义域：幂函数的形式为f(x) = x^a，其中a为常数。
当x>0时，幂函数有定义，所以定义域为(0, +∞)。
当a为分数时，要满足根式的分母不为0。
3. 指数函数的定义域：指数函数的形式为f(x) = a^x，其中a为常数且a>0且a≠1。
由于指数函数的幂次可以取到所有实数，所以定义域为全体实数集R。
4. 对数函数的定义域：对数函数的形式为f(x) = loga(x)，其中a为常数且a>0且a≠1。
对于对数函数来说，只有正实数x能够使函数有定义，所以定义域为(0, +∞)。
5. 二次函数的定义域：二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数且a≠0。
二次函数的定义域为全体实数集R，因为平方项的值总是非负的。
6. 有理函数的定义域：有理函数是多项式函数和多项式函数的商。
对于有理函数来说，需要注意分母不能为0，因此需要去除函数中分母的取值为0的点，其他的点都属于有理函数的定义域。
三、确定函数定义域的方法确定函数的定义域主要有以下几种方法：1. 对于多项式函数、指数函数和对数函数来说，定义域为全体实数集R，即所有实数都是函数的定义域。
2. 对于分式函数来说，需要注意分母不能为0。
定义域是什么？确定函数定义域的方法总结
定义域是什么？确定函数定义域的方法总结
函数的三要素分别是定义域：函数自变量x的取值范围；值域：函数因变量y的取值范围；以及y和x的对应法则。
对于两个存在函数对应关系的非空集合D、M，集合D中的任意一个数，在集合M中都有且仅有一个确定的数与之对应，则集合D称为函数定义域。
扩展资料
确定函数定义域的方法
函数定义域对函数图象、解析式等都起着决定性的作用，要使得函数解析式中的所有式子有意义，需要找出所有对函数自变量有限制的条件，进而求出函数的定义域。
以下几种情况需要同学们格外注意：
1、关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
2、关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
3、关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
4、关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
5、实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
函数定义域、值域,解析式求法总结
函数定义域、值域，解析式求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒⎩⎨⎧≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
函数定义域值域求法总结精彩
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求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
常用的求值域的方法：（1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x ⇒ 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax 第一页∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
函数的定义域与值域知识点及题型总结
函数的定义域与值域知识点及题型总结函数的定义域与值域知识点及题型总结知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意：1) 分式的分母不为零；2) 偶次方根的被开方数大于或等于零；3) 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；4) 零次幂或负指数次幂的底数不为零；5) 三角函数中的正切$y=\tan x$的定义域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$，其中$k\in Z$；6) 已知$f(x)$的定义域求解$f(g(x))$的定义域，或已知$f(g(x))$的定义域求解$f(x)$的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；7) 对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域。
二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：1) 观察法；2) 配方法；3) 图像法；4) 基本不等式法；5) 换元法；6) 分离常数法；7) 判别式法；8) 单调性法；9) 有界性法；10) 导数法。
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式。
题型归纳及思路提示题型1 函数定义域的求解思路提示：对求函数定义域问题的思路是：1) 先列出使式子$f(x)$有意义的不等式或不等式组；2) 解不等式组；3) 将解集写成集合或区间的形式。
二、给出函数解析式求解定义域例 2.10 函数$y=\frac{\ln(x+1)-x}{-3x+4}$的定义域为（）。
A。
$(-4,-1)$ B。
$(-4,1)$ C。
$(-1,1)$ D。
$(-1,1]$分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解。
解：$x+1>0$，$-3x+4\neq 0$，即$x\neq\frac{4}{3}$。
解不等式$\ln(x+1)>x-4$，得$-1<x<1$。
故选C。
变式1 函数$y=x\ln(1-x)$的定义域为（）。
A。
1函数定义域值域求法总结
x 1
x
x
0
x
0
∴定义域为：x | x 1或 1 x 0
⑤要使函数有意义,必须：
x2 30
3x 7 0
xxR73
即 x< 7 或 x> 7
3
3
∴定义域为:{x | x 7} 3
例3
若函数 y
ax2 ax 1 的定义域是Ｒ,求实数 a
的取值范围 新疆 王新敞
奎屯
a
解：∵定义域是Ｒ,∴ ax2 ax 1 0恒成立， a
∴这个函数的定义域是{ x | x 1且 x 2 }
同时有意义,
另解：要使函数有意义,必须:
x 1 0 x 1
2 x 0
x
2
例 2 求下列函数的定义域：
① f (x) 4 x2 1
1 函数定义域值域求法总结 ② f (x) x2 3x 4 x 1 2
③ f (x) 1 1 1 1 1 x
（注意：f(x)中的 x 与 f(2x-1）中的 x 不是同一个 x，即它们意义不同。) 解：∵ｆ(x)的定义域为[－1，1], ∴－1≤2ｘ－1≤1,解之 0≤x≤１, ∴f（2ｘ-1)的定义域为[０,1］。
例 6 已知已知 f(x）的定义域为[-1，1]，求 f(x2)的定义域。 答案:-１≤x2≤1 x２≤1 -1≤x≤1
4
∴函数 y
f (x
1) 4
f
(x
1 4
)
的定义域为：
x
|
3 4
x
3
4
例 5 已知 f(x）的定义域为[－1，１]，求 f（2ｘ－１）的定义域。 分析：法则 f 要求自变量在[－1,1]内取值,则法则作用在 2x－1 上必也要求２x－1 在 [-1,１]内取值， 即－1≤2x－１≤1，解出ｘ的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考ｆ(2x-1）中 2x－１与 f(ｘ)中的 x 位置相同,范围也应一样，∴-1≤2x-１≤1,解出 x 的取值范围就是复合函 数的定义域。
高中数学函数定义域知识点总结
a 变化对图象的影 响
在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．
五、对数函数
（1）对数的定义
①若 ax =N (a > 0,且a ≠ 1) ，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x = loga N ，其
中 a 叫做 底数， N 叫做真数． ②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化： x= loga N ⇔ ax = N (a > 0, a ≠ 1, N > 0) ．
2a
2a
当x=
−b 2a
时，fmin (x) =
4ac − b2 4a
；当 a < 0 时，抛物线开口向下，函数在 (−∞, − b ] 2a
上递增，在[− b , +∞) 上递减，当 x = 2a
−b 2a
时，
fmax (x) =
4ac − b2 4a
．
三、幂函数
（1）幂函数的定义 一般地，函数 y = xα 叫做幂函数，其中 x 为自变量，α 是常数．
① 加 法 ： loga M + loga N = loga (MN ) loga M − loga N = loga MN
②减法：
③数乘：= n loga M loga M n (n ∈ R)
⑤
log= ab M n
n b
loga
M
(b
≠
0,
n
∈
R)
loga N=
logb N (b > 0,且b ≠ 1) logb a
过定点
图象过定点 (0,1) ，即当 x = 0 时， y = 1．
奇偶性 单调性
函数值的 变化情况
(完整版)高中数学-函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
定义域的求法1、直接定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义， 而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒ 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37-或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x 2 定义域的逆向问题例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 (定义域的逆向问题) 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-a ax ax∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于练习：322log+-=mx x y 定义域是一切实数，则m 的取值范围；3 复合函数定义域的求法例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
高一函数定义域知识点总结
高一函数定义域知识点总结函数是数学中非常重要的一个概念，而定义域是函数的一个关键概念。
在高一的学习中，我们接触到了函数的定义域，下面对高一函数定义域的知识点进行总结。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它把一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用字母表示，如f、g或h。
在函数中，每个元素的映射都有一个输入和输出，而输入称为自变量，输出称为因变量。
二、定义域的概念在函数中，定义域指的是自变量的取值范围。
也就是说，在定义域中，自变量能够取的所有值。
我们通常用符号表示定义域，例如D(f)表示函数f的定义域。
三、定义域的确定方法确定函数的定义域需要根据函数的特点和给定条件。
接下来，我们将介绍一些常见的函数类型和确定定义域的方法。
1. 分数函数对于一个分数函数，首先要排除分母为0的情况，因为在数学中，除数不能为0。
其次，还需要考虑分式中的开方运算，要确保开方函数的被开方数不能为负数。
根据这些条件，就可以确定分数函数的定义域。
2. 平方根函数平方根函数的定义域需要满足它的被开方数不小于0，即不能取负数。
因此，我们需要将平方根函数的被开方数大于等于0的范围确定为其定义域。
3. 绝对值函数绝对值函数的定义域需要满足它的自变量可以取任意实数。
因为绝对值函数的定义域包含了整个实数集。
4. 对数函数对数函数的定义域需要确保它的自变量大于0，因为对数函数的底数不能为0或1。
5. 指数函数指数函数的定义域可以是有限区间或者整个实数集，具体取决于指数函数的形式和给定条件。
四、注意事项在确定函数的定义域时，需要注意一些特殊情况。
例如，在分式中，要排除分母为0的情况。
在开方函数中，要确保被开方数不为负数。
同时，在函数中可能会存在其他约束条件，如不等式或范围限制，也需要考虑到这些条件来确定定义域。
总结：通过以上的总结，我们了解了高一函数定义域的知识点。
函数的定义域是自变量的取值范围，不同类型的函数有不同的确定方法。
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函数定义域总结
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定义域的求法
一、常规型
注意根号，分式，对数，幂函数，正切
2、常见的定义域
①当f(x)是整式时，定义域为R 。
②当f(x)是分式时，定义域为使分母不为零的x 的取值的集合。
③偶次根式的定义域是使被开方式非负的x 的取值的集合。
④零指数幂或负指数幂的定义域是使幂的底数不为0的x 的取值的集合。
⑤对数式的定义域是使真数大于0且底大于0不等于1的x 的取值的集合。
⑥正切函数y=tanx, , y=x x 1 x 1 x a log tan x 21-x 32
-x x 0
1求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。
2 求函数2x
161x sin y -+=的定义域。
复合函数定义域的求法
（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。
其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。
测试：设函数()f x 的定义域为[]0,1，求函数()()(0)y f x a f x a a =++->的定义域。
（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
测试：已知函数(1)f x +的定义域为[]2,3-，求函数f(x)的定义域。
（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(t(x))的定义域。
其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，也就是t(x)的值域，求出t(x)的定义域
测试、已知函数(1)f x +的定义域为[]2,3-，求函数(21)y f x =-的定义域。
三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为
R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例1 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。
例2 已知函数3
kx 4kx 7kx )x (f 2+++=
的定义域是R ，求实数k 的取值范围。
四 参数型
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。
例6 已知)x (f 的定义域为［0，1］，求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域。
解：因为)x (f 的定义域为［0，1］，即1x 0≤≤。
故函数)x (F 的定义域为下列不等式组的解集：
⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1a x 01a x 0，即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a 1x a a 1x a 即两个区间［－a ，1－a ］与［a ，1+a ］的交集，比较两个区间左、右端点，知
（1）当0a 2
1≤≤-时，F （x ）的定义域为}a 1x a |x {+≤≤-； （2）当21a 0≤
≤时，F （x ）的定义域为}a 1x a |x {-≤≤； （3）当21a >或2
1a -<时，上述两区间的交集为空集，此时F （x ）不能构成函数。
五 对数有关定义域为R
（1）y =log 2
2c bx ax ++（a ≠0）的定义域为R,则满足 （2）当值域为R 则满足
定义域的作用分析
一．利用函数的定义域判断函数是否是同一函数
例1．判断函数2()lg f x x =与()g x =2lg x 是否同一函数
二．函数定义域是构成函数关系式的重要组成部分
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数关系式时必须考虑所求函数的定
义域，否则所求函数关系式就可能出错.另外，根据函数定义可知函数定义域是非空的数的集合，若一个关系式中某一个变量取值范围的集合是空集，那么这个关系式中的几个变量之间就不能构成一个函数关系式．
例1．把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，求矩形面积S 与矩
形长x 的函数关系式.
解：设矩形的长为x cm ，则宽为2250x -cm ，由题意得： 2250x x S -=，故所求的函数关系式为：2250x x S -=.
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x 的范围，解题思
路还不够严密．因为当自变量x 取负数或不小于50的数时，S 的值是负数或零，即矩形的面积为非正数，这与实际问题相矛盾，故还要补上自变量x 的范围：500<<x ，所以函数关系式为：2250x x S -=（500<<x ）.
评析：从此例可以看出，用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的
取值范围对实际问题的影响.若考虑不到这一点，结果很有可能出错.
例3．判断式子
解：要使上面的式子有意义，则1-x 2≥0且x 2-1>0，其解集为空集，由函数定义可知这个式子不表示函数关系式．
评注：解题时若忽视了定义域的作用，则很可能得到一个错误结果．
三．函数定义域对函数值域的限制作用
函数的值域是指全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定后，函数值也
随之而定.因此在求函数值域时，应特别注意函数定义域.
其实以上结论只是对二次函数)0(2>++=a c bx ax y 在R 上适用，而在指定的定义域区间],[q p 上，它的最值应分如下情况：
⑴当p a
b <-
2时)(x f y =在],[q p 上单调递增函数)()(),()(max min q f x f p f x f ==； ⑵当q a b >-2时，)(x f y =在],[q p 上单调递减函数)()(),()(min max q f x f p f x f ==；
⑶当q a b p ≤-
≤2时)(x f y =在],[q p 上最值情况是：a
b a
c a b f x f 44)2()(2min -=-=， )}(),(m ax {)(max q f p f x f =．即最大值是)(),(q f p f 中最大的一个值。
例4．求函数32-+=x x y 的值域．
错解：令3,32+=-=t x x t 则
∴22)1(322)3(222≥++=++=++=t t t t t y ，故所求的函数值域是),2[+∞．
四．函数定义域对函数奇偶性的作用
例1．判断函数
y=(1+x) 错解∵21)(x x f --=，∴)()(x f x f =-，∴函数
例6：判断函数y=sinx ，x ∈[0，6π]的周期性．
六．函数定义域对函数单调区间的作用 函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的
情况，而函数的单调区间是函数定义域的子集，所以讨论函数单调性一定要在函数的定义域内讨论函数的单调区间．
例1．指出函数)3lg()(2x x x f +=的单调区间．
七．函数定义域对求反函数的影响
有些函数不存在反函数，但在其单调区间内存在反函数，在求这类函数的反函数时，除注意其值域外，也要注意定义域
例8．求函数)20(242≤≤++-=x x x y 的反函数．
错解：函数)20(242≤≤++-=x x x y 的值域为y ∈ [2 , 6]，
又6)2(2+--=x y ，即y x -=-6)2(2，∴y x -±=-62，
∴所求的反函数为y=2 ±6-x (2≤x ≤6)．
八．函数定义域对解不等式、方程或求值的作用
有时巧用函数的定义域，可以避免复杂的变形与讨论，
例9．设x 、y
为实数，且y =，试求lg(x+y)之值． 解：x 应满足⎪⎩
⎪⎨⎧≠+≥-≥-01010122x x x ，即x ＝1，将其代入已知等式，得y ＝0，
故lg(x+y)=lg1=0．。