图形的计数
四年级奥数第二讲图形的计数问题含答案
四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。
练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。
图形的计数奥数拓展
千里之行，始于足下。
图形的计数【奥数拓展】
【例1】
下面的图形有多少个？你会数吗？
【例2】
你能按照这个侧面图算算砌好这面墙一共需要多少块砖吗？
【例3】
数一数，下面的方块各有多少？
如图所示为一堆转，中央最高一摞是10块，它的左右两边各是9块，再往两边是8块、7块、6块、5块、4块、3块、2块、1块。
问：这堆砖共有多少块？
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朽木易折，金石可镂。
【例4】
下面这堆木方块共有多少块？(中间画阴影的部分从上到下是空心)
这堆木方块共有多少块？(中间画阴影的部分从上到下是空心)
【例5】
用10个小正方体摆成一个“工”字形(如下图)，然后又将表面涂成粉色(下面也被涂色)，最后又把小正方体分开，数一数；
⑴3面涂成粉色的小正方体有( )个。
⑵4面涂成粉色的小正方体有( )个。
⑶5面涂成粉色的小正方体有( )个。
千里之行，始于足下。
将8个小立方块组成“丁”字型，再将表面都涂成粉色，然后再把小立方块分开。
⑴3面被涂成粉色的小立方块有( )个。
⑵4面被涂成粉色的小立方块有( )个。
⑶5面被涂成粉色的小立方块有( )个。
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一年级下册数学讲义-思维拓展：图形的计数(含答案PDF)全国通用
第二讲图形的计数一、平面图形1、规则图形方法：开火车①单层总数=基本线段数依次加到1②多层三角形A、边到边B、角到边2、不规则图形方法：分类数①按大小②按方向二、立体图形1、分层数2、空白=实心-空心3、分割法【例1【解析】要数清图中一共有多少个圆点点，小朋友们不妨先想一想我们有哪些观察角度。
方法一：从上到下观察，分层数，那么总数是：1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49（个）方法二：斜着看，有7排7列个圆点点，总数是：7+7+7+7+7+7+7=49（个）【例2】时钟1时敲1下，2时敲2下，3时敲3下，……照这样敲下去，从1时起到时钟共敲28下时，时钟显示是几时？当共敲80下的时候又是几时？【解析】注意：13点的时候指针指向1，敲击一下，敲击的次数与时钟上时针所指数字相同；记住一些常用的加和结果可以方便解题。
（1）1+2+3+4+5+6+7=28（下），所以共敲28次的时候是7时的最后一次敲击。
（2）从1时到12时一共敲了1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（下）（这里小朋友要是背过常用加和结果就可以迅速发现从1加到12的结果是78了），过了12时，又会从1开始敲，78+1+1=80（下），所以敲击第80下的时候，时钟显示的是2时，此时正好敲2时的第一下。
【例3】艾迪、薇儿、加加、减减和6个士兵一起分54颗珍珠。
要求每个人都分到珍珠，但分到的珍珠颗数又不能一样多，怎么分？如果不能分，至少应该有多少颗珍珠才能够分？【解析】小朋友们一定要注意，一共有10个人，不要见到数字6就以为只有6个人啦。
每个人都分到珍珠，但颗数又不能相同，我们不知道分到珍珠最多的人可以分到多少颗，但是我们可以让分的最少的只分到1个，然后其他人依次比上一个人多拿一个，这样就能算出至少需要多少颗珍珠才够分。
至少需要的珍珠数为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（颗），所以54颗珍珠不够分。
图形的计数（四年级奥数秋季思维训练教程）
图形的计数（四年级奥数秋季思维训练教程）教学内容：第二讲图形的计数（四年级秋季思维训练教程）课时：第一、二课时课型：新授课教学目的：知识与技能理解并掌握数线段的两种方法：基本线段法、定端点法。
学会灵活地将数图形（三角形、正方形、长方形等）问题转化为数线段问题。
过程与方法通过引导学生复习旧知，鼓励学生总结归纳数线段的基本方法，培养学生的观察能力、抽象概括能力，增强学生探究问题的本领。
在观察、分析图形的过程中，要逐步培养学生掌握从特殊到一般的研究问题的方法。
情感态度与价值观在观察、总结归纳数线段的基本方法的过程中，体会探索新知的乐趣，养成善于思考，勇于探索，乐于交流的习惯。
在数图形个数时，要求按一定的顺序去做，做到不遗漏，不重复，提高学生的逻辑思维能力，养成严密的数学思维习惯。
教学重、难点：重点：通过观察、分析复杂图形并数出其中基本图形的个数的过程中，促进学生掌握类比转化的方法，培养学生分析和解决问题的能力。
难点：如何将复杂图形的计数问题转化为线段的计数问题教具、学具准备：教学过程：复习旧知，凝疑导入同学们，看看我左手上是什么？（粉笔）数数有几只？（三只）。
再看看老师右手上拿了什么？（纸）瞅瞅它们共有几张呢？我们两三岁时家人就开始教我们数数了，所以刚刚那两个问题对同学们来说都是小菜一碟，有没有？但是，不知，同学们还是否记得我们之前学过一种稍微复杂一点的数数问题---数线段。
下面我们来简单地复习一下：问题一：数一数下面图形中共有多少条线段？(10条)线段：有两个端点的直线组成的图形要求：不遗漏不重复展示与总结：定端点法：4+3+2+1=10（条）基本线段法：有4条基本线段由两条基本线段组成的线段：3条由三条基本线段组成的线段：2条由四条基本线段组成的线段：1条共有4+3+2+1=10（条）这道题有没有唤起同学们对以前学过知识的记忆呢？同学们应该都知道，学习是一个连续且不断发展的过程，随着我们年龄和年级的不断增加，我们会对同一个大问题进行更深入的研究，所以，理所当然，数数问题也需要我们对它进行更深一步的探究。
第二讲图形的计数教案
第二讲图形的计数知识点：本讲学习的主要内容有：（一）线段、角、三角形的计数；（二）长方形、正方形、立体的计数。
图形计数是指对满足一定条件的某图形进行观察并逐一数出来。
在计数过程中，必须有次序有条理地进行计数：做不重复也不遗漏。
最常用的方法是：分类计数，利用基本图形计数。
教学目标：通过本讲的学习，学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成；掌握图形的基本方法做到不重不漏；能正确，有序，合理，迅速地数出图形。
重难点：1.学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成。
2.掌握数图形的基本方法做到不重复不遗漏。
3.能够正确能正确，有序，合理，迅速地数出图形。
第一课时教学时间：教学内容：数线段和角教学目标：1.通过学习让学生掌握数角和线段的方法，做到不遗漏不重复，并能正确，有序，合理，迅速地数出图形。
2.培养学生思维的有序性和良好的学习习惯。
重难点：1.掌握数线段和角的方法，做到不遗漏不重复。
2.能够正确，有序，合理，迅速地数出图形。
教学过程：一.例题1如下图中有多少条线段？ＡＢＣＤＥ（1）学生先独立数一数，并交流结论。
（2）教师引导学生得出正确答案，并总结方法方法一：将图中的线段AB、BC、CD、DE看作是基本线段，那么：由1条基本线段构成的线段有AB、BC、CD、DE共4条；由2条基本线段构成的线段有AC、BD、CE共3条；由3条基本线段构成的线段有AD、BE共2条；由4条基本线段构成的线段有AE共1条；方法二：从线段的两个端点出发去数：以A点为左端点的线段有AB、AC、AD、AE共4条；以B点为左端点的线段有BC、BD、BE共3条；以C点为左端点的线段有CD、CE共2条；以D点为左端点的线段有DE共1条；2.仿练：如图，数一数图中各有多少条线段？二、教学数角1.例2如下图中共有几个角？O A（1）组织学生数一数，并交流数的方法和结论（2）教师引导学生得出正确答案，并总结方法方法一：将图中AOB COD看作基本角，那么：由1个基本角构成的角有AOB BOC COD 共3个；由2个基本角构成的角有AOC BOD 共2个；由3个基本角构成的角有AOD共1个；方法二：从角的一边出发来数以OA为一边的角有AOB AOC AOD 共3个；以OB为一边的角有BOC BOD 共2个；以OC 为一边的角只有COD1个。
枚举法—图形计数
枚举法图像计数要求：分类要全面，枚举要清，分类不全，就会造成遗漏，当分类确定之后，要例1、下列图中有多少个三角形分析：分类：第一类有6个第二类有6个第三类有3个总共有6+6+315（个）例2、下图中有多少个正方形？分类：由1个正方形组成的有24个。
由4个正方形组成的有13个。
由9个正方形组成的有4个。
由正方形组成的有1个总共：24+13+4+1=42个练习1：你能数出下面中共有多少个三角形？在图中，一共有多少个四边形，多少条线段图中一共有多少个正方形例3、如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米，问这样的最短路线共有多少条？请一一画出来。
B枚举计数例3、在算盘上用两粒珠子可以表示几个不同的三位数，分别是哪几个数？分析：根据两粒珠子的位置，将其分类：1）两粒珠子分别均在上面：则有505 550 有2个2)两粒珠子分别均在下面：则有101 110 200 有3个3)1粒珠子在上面，1粒在下面：150 510 105 501 600 有5个总共2+3+5=10个例4、用数字7 、8、9可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数字？分析：根据百位上的数字不同，可以分成三类百位上是7的有789 798百位上是8的有879 897百位上有9的有978 987总共有2+2+2=6个例5、往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要经过常州，无锡，苏州三站。
问：铁路部门要为这趟车准备多少张车票分析：根据起点位置的不同进行分类南京：南京—常州南京—无锡南京—苏州南京—上海常州：常州—无锡常州—苏州常州—上海无锡：无锡—苏州无锡—上海苏州：苏州—上海总共有：（4+3+2+1）×2=20（种）例6、在10和1000之间有多少个数是3的倍数？分析：10÷3=3……1所以在10以内有3个是3的倍数1000÷3=333……1所以在1000以内有333个是3的倍数。
奥数2年级图形计数
图形计数：计算某一图形的个数。
要求： 1、计数时不重复，即不能 把同一图
形计数两次。 2、不遗漏。 3、要按一定的顺序或按一某一个标
准统一分类去计算，即有规律地 计数。
图形计数方法： 1、线段端点法 2、基本图形数量法 3、分式法 4、分类法
典型例题 例1：下图中有多少条线段？
AB C
D
练习： 下图中有多少条线段？
练习： 下图中有多少条线段？
……
A C1 C2
C20 B
典型例题 例2：下图中有多少个三角形？
练习 下图中有多少个三角形？
典型例题 例3：下图中有多少个三角形？
A
D NM
BF E
CHale Waihona Puke 练习 下图中有多少个三角形？
典型例题 例4：下图中有多少个长方形？
练习 下图中有多少个长方形？
典型例题 例4：下图中有多少个正方形？
练习 下图中有多少个正方形？
从武汉到上海的客船，中途要停靠5 站，航运公司要为这艘客船准备多 少种不同的船票价？
有10个小朋友，每个小朋友都要和 其他小朋友拍手，这些小朋友一共 要拍多少次手？
五年级上册数学试题-奥数：图形定稿全国通用
（2）
3
例 6．如图，从甲地到乙地有 2 条路可走，从乙地到丙地有 3 条路可走；从甲地到丁地有 4 条路可走， 从丁地到丙地有 2 条路可去。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
【试一试】 1、如果线段 AB 上共有 8 个点（包括 A、B 两点），那么，共有多少条线段？
2、联结 A、B、C、D 四个城市的道路如图所示： （1）从 A 城经 B 城到 C 城的不同走共有多少种？ （2）从 A 城到 C 城的不同走法共有多少种？
厘米?
AE
FB
D H
【试一试】
GC
1、求出阴影部分的周长。
2、如右图，阴影部分是正方形，求出最大的长方形的周长。
5 厘米
A
B
E
H
7 厘米
C
D
E
G
当堂测试
1、下图是一个锯齿状的零件，每一个锯齿的两条线段都长 2 厘米，求这个零件的周长．
2、求图 12、图 13 的周长。
3、图 14 是一座楼房的平面图，这座楼房平面图的周长是多少米？
例 1．一个等腰三角形中，有一个内角的度数是另一个内角的 4 倍，则这个等腰三角形的顶角是 _________度。
【试一试】
1、17 点整，钟面上的分针和时针所组成的角是（ ）。
A、锐角
B、直角
C、钝角
D、平角
2、在直角、锐角、平角、钝角中，度数最小的角是（ ）。
A、 直角
B、锐角
C、平角
D、钝角
3、在一个直角三角形中，已知一个锐角是 68°，则另一个锐角是（ ）。
能力测试（一）…………………………………………………………………25
第六讲
割补 …………………………………………………………28
图形中的计数
第10讲图形中的计数小朋友们，在生活中我们经常遇到这样的问题，图形中有多少个三角形？图形中有多少个长方形？现在我们就来讨论这个问题．数一数，图中共有多少条线段？【正确答案】我们在数数时，总是按照一定顺序数，1，2，3，…，从小到大，而且每次加1．一段为一条的有4条；两段为一条的有3条；三段为一条的有2条；四段为一条的有1条.一共有4+3+2+1=10（条）数一数，图中共有多少条线段？【正确答案】21条数一数，下图中有多少个角？【正确答案】如图，一共有6个数一数，图中共有几个角？【正确答案】45个数一数，下图中有多少个三角形？【正确答案】图中有小三角形，有大三角形，按从小到大的顺序数，先数小三角形．如图，有四个小三角形，1、2、3、4，再数大三角形，只有一个，所以一共有4+1=5（个）三角形．【正确答案】27个数一数，下图中共有多少个长方形？【正确答案】按从小到大的顺序数一个一个有4个；两个合为一个有4个；四个合为一个有1个所以共有4+4+1=9（个）长方形．【正确答案】45个数一数，下面的立体图中有多少个三角形？【正确答案】立体图形，我们也要找一个顺序．如下面的分解图，可以知道一共有4个三角形数一数，图中共有多少个长方形？【正确答案】15个数一数，图中一共有多少个三角形？【正确答案】一共有3+4+1=8（个）三角形数一数，下图中有几个圆？【正确答案】6个数一数，图中一共有多少个正方形？解一共有4+5+1=10（个）正方形下图中共有14个正方形，请你都找出来。
【正确答案】14个数一数，图中共有几个小正方体木块。
【正确答案】上层有4个小正方体木块，下层有5个小正方体木块．共有4+5=9（个）小正方体木块．用剪刀将下面的平面展开图剪下来，看看能不能折叠成正方体。
（1）（2）（3）【正确答案】（1）（3）能折成正方体（2）不能1.数一数，下列各图中有多少个三角形？（1）（2）（3）【正确答案】（1）3个（2）8个（3）5个2.数一数，下列各图中有多少个正方形？（1）（2）（3）【正确答案】（1）6个（2）3个（3）7个3.数一数，下图中有多少个长方形？（1）（2）（3）【正确答案】（1）11个（2）18个（3）5个4.找出只含一个圆圈的正方形的个数。
第六讲几何图形的计数问题
第六讲几何图形的计数趣谈一、常用的几个简单几何图形的计数公式1．数线段、三角形、（锐）角的公式数出图6－1中各条线段上线段的总条数。
图6－1(a)中只有两个点A、B、只有一条线段。
图6－1(b)中有A、B、C三个点，这三个点将线段AC分割成AB、BC两条小线段，这两条小线段连起来组成一条新线段AC，所以图6－1(b)中有三条线段算式为2＋1＝3。
图6－1(c)中有A、B、C、D四个点，这四个点将线段AD分割成AB、BC、CD三条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成两条新线段AC、BD，然后相邻的三条小线段连起来组成一条新线段AD，所以图6－1(c)中共有6条线段，算式为3＋2＋1＝6。
图6－1(d)中在有A、B、C、D、E五个点，这五个点将线段AE分割成AB、BC、CD、DE四条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成三条新线段AC、BD、CE；再将相邻的三条小线段连起来又组成两条新线段AD、BE；最后相邻的四条小线段连起来又组成一条新线段AE。
所以图6－1(d)中共有10条线段。
算式为4＋3＋2＋1＝10。
图6－1(e)中有A、B、C、D、E、F六个点，这六个点将线段分割成AB、BC、CD、DE、EF五条小线段；这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段AC、BD、CE、DF；然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段AD、BE、CF；再将相邻四条小线段连起来又组成两条新线段AE、BF；最后五条相邻小线段连起来又组成一条新线段AF。
所以图6－1（e）中共有15条线段。
算式为5＋4＋3＋2＋1＝15。
将上述几种情况一般化，如果某条线段上共有n个点（包括两个端点），那么这n个点将线段分割成n－1条小线段，这n－1条小线段中，任意相邻两条小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－2条。
另外，这n－1条小线段中，任意三条相邻小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－3条。
小学奥数第五讲：图形的计数
小学奥林匹克数学第一集：第五讲：图形的计数一、数一数小朋友，你知道中有多少个三角形吗？我们可以这样想，图中的小三角形一共有4个，大三角形有1个，所以一共有5个三角形。
在数数时，要做到有次序，有条理，不遗漏也不重复，这样才能正确地数数。
例1：数一数下图各有几条线段？分析：我们可以照下面的方法数：解：共有线段4+3+2+1=10（条）例2：图中有多少个小正方体？分析：这个图形是由小正方体组成的。
可以采用数数的方法，按顺序数。
也可以根据图形的组成规律进行计算，如果每2个一摞，一共有4摞。
解：方法一：一个一个地数出8个正方体。
方法二：2×4=8（个）答：共有8个小正方体。
例3：将9个小正方体组成如图所示的“十”字形，再将表面涂成红色，然后将小正方体分开。
问（1）2面涂成红色的有几个？（2）4面涂成红色的有几个？（3）5面涂成红色的有几个？分析：整个图形表面涂成红色。
只有“粘在一起的”面没有涂色。
中间的一个小正方体2面涂色，四端的4个小正方体都是5面涂色，剩下的四个小正方体都是4面涂色。
解：（1）2面涂成红色的小正方体只有1个。
（2）4面涂成红色的小正方体有4个。
（3）5面涂成红色的小正方体有4个。
例4：亮亮从1写到100，他一共写了多少数字“1”？分析：在1到100这100个数中，“1”可能出现在个位、十位或百位上。
应分三种情况计数：“1”在个位上的数有：1、11、21、31、41、51、61、71、81、91共10个；“1”在十位上的数有：10、11、12、13、14、15、16、17、18、19共10个；“1”在百位上的数有：100 只有1个。
解：10+10+1=21（个）答：共写21个。
例5：27个小方块堆成一个正方体。
如果将表面涂成黄色，求：（1）3面涂成黄色的小方块有几块？（2）1面涂成黄色的小方块有几块？（3）2面涂成黄色的小方块有几块？分析：涂色的有26个小方块。
3面涂色的只有顶点上的8个小方块；1面涂色的只有六个面上中间的小方块；其余的必然是2面涂色的小方块。
数学好玩《数图形的学问》教案
1.教学重点
-图形的分类：强调三角形、四边形等平面图形的分类及特点。
-图形计数的规律：线段、角、三角形数量的关系及其在实际问题中的应用。
-解决问题的方法：学会运用所学知识解决生活中的图形计数问题。
举例：讲解三角形分类时，重点强调等腰三角形、等边三角形的特点；在图形计数中，重点引导学生发现线段、角、三角形数量之间的规律；通过实际案例，如教室内的图形计数，强调解决问题的方法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《数图形的学问》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要数图形的情况？”（如：数教室里的瓷砖图形）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索数图形的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调图形分类和计数规律这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与图形计数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示图形计数的基本原理。
2.培养学生的观察能力、空间想象能力和逻辑思维能力，提高数学思考水平。
3.培养学生发现、总结和运用规律的能力，提升数学抽象和推理素养。
4.培养学生合作交流、积极参与的学习态度，发展团队协作能力。
5.激发学生学习数学的兴趣，培养良好的数学学习习惯和探究精神。
本节课将紧扣核心素养目标，引导学生通过探索和实践，提高图形计数能力，培养数学学科核心素养。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对图形计数这一概念表现出浓厚的兴趣。通过引入日常生活中的例子，他们能够更快地理解抽象的数学概念。在讲授理论部分时，我注意到有些学生在理解图形分类和计数规律上存在一定难度，这时我及时通过举例和图示进行了详细的解释，帮助他们逐步攻克了这些难点。
第3课、图形计数进阶
第3课、图形计数进阶1、分类枚举方法 ①按大小枚举 ②按方向枚举 ③按组成部分枚举 例：按大小 按方向和大小 按组成部分2、打枪法 ①线段、角的计数 ②规则图形内三角形的计数 ③长方形的计数 例：3、对应法①长方形总数（一个长方形对应两个长和两个宽）=长枪×宽枪理解方式：长的选择由打枪法得出，宽的选择由打枪法得出，因为长与宽不能独立组成长方形，所以用乘法相连FE D C BA例：长方形总数=（3+2+1）×（4+3+2+1）②含“☆”的长方形a.一个长方形对应4条边，分别在“☆”的上下左右含“☆”的长方形=上边的选择×下边的选择×左边的选择×右边的选择 例：222 3含“☆”长方形总数=2×2×2×3b.鼠标法，即一条对角线对应一个长方，而两个点又对应一条对角线 含“☆”的长方形=左上点的选择×右下点的选择 例：含“☆”长方形总数=4×6③不规则图形对应规则图形（一般将不规则图形补成长方形或正方形） 例：在上图中含有多少个“ ”，图形可以翻转、旋转一个2×3的长方形 含有四个上图图形：经过翻转、旋转可得：而原图中2×3的长方形共24个，所以共有 个数：4×24 例：用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中， 面积等于1平方厘米的三角形有多少个？面积等于1平方厘米的分类统计如下：直角三角形类的：一个中含有4个， 共4个 所以此类三角形共4×4=16（个）等腰三角形类的 ： 一个 中含有2个， 共4个 所以此类三角形共2×4=8（个）另一类 ：在 中含有8个， 共一个所以面积为1三角形共：16+8+8=32（个）。
五年级上册数学试题-奥数：图形定稿(无答案)全国通用
目录第一讲图形的计数（一） (2)第二讲图形的计数（二） (7)第三讲角的计算 (11)第四讲巧求周长 (14)第五讲图形的分与合 (20)能力测试（一） (25)第六讲割补 (28)第七讲平移、旋转、对称 (33)第八讲添辅助线 (38)第九讲等积变形 (43)第十讲格点与面积 (48)能力测试（二） (53)第一讲图形的计数（一）图形的计数问题，实际上就是数几何图形中线段、角、三角形、四边形等的个数问题。
在对图形计数时，通常采用的是枚举法，即把所要计数的对象一一列举出来，然后计算它的总和。
用枚举法计数时需注意：（1）弄清被数图形的特性与变化规律；（2）要按一定的顺序去数，做到不遗漏、不重复。
例1．下图中有多少条线段？【试一试】下图中各有多少条线段？（1）（2）例2．下面图形中有几个角？【试一试】下图中各有多少个角？（1） （2）例3．下图中共有多少个三角形？【试一试】数一数图中共有多少个三角形？A B C D EOD C B AA B ED C A B C DE FA B C D E F F G HI A B C DAB CA E DBC OE F D A B C O例4．右图中有多少个三角形？【试一试】数一数,图中有多少个三角形？（1）例5．下图中各有多少个长方形？【试一试】下图中各有多少个长方形？（1）（2）例6．如图，从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走；从甲地到丁地有4条路可走，从丁地到丙地有2条路可去。
从甲地到丙地共有多少种不同的走法？（2【试一试】1、如果线段AB 上共有8个点（包括A 、B 两点），那么，共有多少条线段？2、联结A 、B 、C 、D 四个城市的道路如图所示：（1）从A 城经B 城到C 城的不同走共有多少种？（2）从A 城到C 城的不同走法共有多少种？当堂测试1、数一数下图中各有多少条线段？2、数一数下图中有多少个锐角？3、数一数下图中各有多少个三角形。
奥数-05图形计数+答案
（ ）个
（ ）个
4
（ ）个
【例 7】
下图中各有多少个三角形？
分层法： 上 层： 下 层： 上下层： 总 数：
下图中，有多少个正方形？
解析：利用开小火车法： 火车头为最小正
5
练习一 下图中，有多少个正方形？
1、
2、
3、
（ ）个
（ ）个
（ ）个
【例 2】
下图形中，长方形有多少个？ 解析，先将<格 1>与<格 2>隐去，剩下的
练习一
2
【例 2】 数出右图中共有多少条线段。 解析：(加法原理)从基本图形(只包含
最短线段)的个数出发，按序递增，依次数 出它们的个数，并求出它们的和是多少。最 小线段(基础线段)的数量为火车头，有 3
条，由两条基础线段拼成的线段有 2 条，由三条基础线段拼成的线段有 1 条，共有 3＋2＋1＝6(条)。
练习七 下列图形中各有多少个三角形？
按分类加法原理
4＋3＋2＋1＝10(个) 4(个) 4＋3＋2＋1＝10(个) 10＋4＋10＝24(个)
【例 8】 下图中有多少个三角形？ 解析：假设每一个最小三角形的边长为 1。按边
的长度来分类计算三角形的个数。 边长为 1 的三角形，从上到下一层一层地数，有
一、图形计数方法——分类计数法
它是指先把所要计数的对象按性质、特点进行分类，统计出每一类的个数，再求 各类之和。分类计数的理论基础是“加法原理”。
运用加法原理的关键问题：确定分类的方法。 举例：下图中共有多少个图形？ 可以分成圆、正方形、三角形和长方形 4 类，统计出各类的个数，再相加。也可 以按位置分上、中、下分别统计，再求和。
图形计数知识点总结
图形计数知识点总结一、排列和组合在图形计数中，排列和组合是最基本的计数方法。
排列是指一组元素按照一定顺序进行排列的方式，通常用P(n, r)表示，公式为P(n, r) = n! / (n - r)!。
组合是指从一组元素中挑选出一定数量的元素的方式，不考虑元素的顺序，通常用C(n, r)表示，公式为C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)。
图形计数中，排列和组合的应用非常广泛。
比如在计算一个多边形的对角线数量时，就可以用到排列和组合的知识。
一个n边形的对角线数量可以由公式Dn = n(n-3)/2计算得到，其中n表示多边形的边数。
这个公式的推导过程涉及到排列和组合的知识，对于学生来说可以通过这个例子更好地理解排列和组合的概念。
二、图形的对称性图形的对称性是图形计数中一个很重要的概念。
对称性可以分为轴对称和中心对称两种。
轴对称是指图形关于一个轴对称，即图形的一部分关于某条直线对称于另一部分。
而中心对称是指图形关于一个点对称，即图形的每一点关于这个点对称。
对称图形的计数问题常常涉及到排列和组合的知识。
比如求一个正方形的对角线数量，就可以通过利用正方形的对称性来简化问题，从而得到答案。
对称性还与图形的旋转、平移等操作有关，这些操作在图形计数中也是经常考虑的问题。
三、图形的面积和周长图形的面积和周长是图形计数中另一个重要的知识点。
对于各种几何图形，学生需要了解如何计算其面积和周长，并且知道它们的公式和计算方法。
比如正方形的面积和周长分别为A = a * a和C = 4 * a，其中a表示正方形的边长。
在图形计数中，面积和周长的计算是经常用到的，尤其是在计算图形的数量和排列时。
例如，求一条给定长的线段上平均分成几段，使得每段的长度都是整数，就需要用到对线段长度的因数分解，进而通过面积和周长的计算方法来解决问题。
总的来说，图形计数是一个涉及到很多基本数学知识的重要领域。
通过排列和组合、图形的对称性、图形的面积和周长等知识点的学习，学生可以更好地理解几何图形的性质和特点，从而为更复杂的图形计数问题打下坚实的基础。
12、几何：平面图形计数
13、平面图形计数
一、练习题
1、数一数，下面图中有多少个三角形？
2、数一数，下图中有多少条线段？
A B C D E
3、数一数，下图中有多少个三角形？
4、数一数，下图中有多少个长方形？
第 1 页/共 4 页
5、数一数下图中有多少个长方形？
第 3 页/共 4 页 二、答案
1、答案解析：首先，编号；第二，分类枚举。
1个：①、②、③ 3个
2合1： 1个
3合1：1个 1个
共3+1+1=5（个）
2、答案解析：首先，编号；第二，分类枚举。
图中有4个基础的小线段，按照逻辑，线段的总数为：1+2+3+4=10（个）
3、答案解析：首先编号，第二，分类枚举。
图中有4个基础的小三角形，按照逻辑，三角形的总数为：1+2+3+4=10（个）
4、答案解析：首先编号，第二，分类枚举。
①
② ③
① ③ ② ④
图中有4个基础的小长方形，按照逻辑，长方形的总数为：1+2+3+4=10（个）
5、答案解析：第一层（红色部分），基础的小长方形有4个，可组成的长方形有：1+2+3+4=10（个），第二层（绿色部分）和第一层相同，也是10个，一、二层可组合成一个较大的基础的长方形（蓝色部分），同样的，也有10个长方形，因此，共有10+10+10=30（个）。
① ③ ② ④。
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图形的计数
【知识要点】
1.要想准确地数出图形中所包含的某一个几何图形的个数，关键是要掌握有条理、有次序地数图形的方法，常用的方法有按顺序数和分类数两种
2.如果一条线段上有n 个分点（包括两个端点）时，那么它上面线段的总条数为 ()1231n ++++-
3.标准图形中长方形的个数是由标准图形相邻两边上线段的条数所确定的，即标准图形中长方形的个数等于相邻两边上线段条数的乘积
4.在数较复杂的图形的个数时，可以先按照一定的标准，把要计数的图形分成不同的类别，一类一类地去数（或算），最后把各类的个数合并起来
【典型题解】
例1.数出下面图形中有多少条线段？
分析：我们可按顺序数线段：首先固定端点A ，以点A 为左端点的线段有5条，再固定端点B ，以点B 为左端点的线段有4条，再依次固定端点C D E F 、、、，分别数出以点C D E F 、、、为左端点的线段的条数，依次是3条、2条、1条、0条，最后求出所有条数之和，也可以直接用计算方法去计算
解：()12345155215++++=+⨯÷=（条）
例2.数出图中锐角的个数
分析：这图是由顶点O 引出的八条射线所组成，每两条射线
夹一个锐角。
如果在图中加条虚线，就可发现，所要数的角
其实就是加虚线后构成的三角形中以O 点为顶点的角，并且
角的个数就是从O 点引出的射线将虚线所截得的线段的条
数，我们可用计算方法求出虚线上线段的条数
解：()1234567177228++++++=+⨯÷=（个）
所以，图中有28个锐角
例3.分别数出下面各图形里长方形的个数
分析与解
（1）先把AD作为宽，再配以AB上不同的线段为长，就得到一个长方形。
而AB上线段共有123410
⨯=（个），即+++=条，所以这个图形中长方形的个数是：10110
()
+++⨯=（个）
1234110
（2）思想同上：AD上线段共有123410
+++=（条）
+++=（条）
AB上线段共有123410
所以，这个图形中长方形的个数是：1010100
⨯=（个）
例4.数出44
⨯的方格图中正方形的个数
分析：这种图形中正方形的个数，可以用分类的方法数，即依次数
出边长分别为1个长度单位、2个长度单位、3个长度单位……的正
方形个数，然后再把个数相加
解：（1）边长为1个长度单位的正方形的个数为：4416
⨯=（个）（2）边长为2个长度单位的正方形的个数为：339
⨯=（个）
（3）边长为3个长度单位的正方形的个数为：224
⨯=（个）（4）边长为4个长度单位的正方形的个数为：1（个）
所以，共有正方形1694130
+++=（个）
【能力训练】
A 卷
1.数出下列每条线上线段的总条数
2.下图共有（）条线段
3.下图共有（）条线段
4.下图共有（）条线段
5.数出下面各图中三角形的个数
6.数出下图中，共有（）个三角形
7.数出下面各图中，锐角的个数
8.下图中共有（）个锐角
9. 图中共有（）个三角形
10.图中共有（）个正方形
B 卷
1.数出下面各图中的三角形的个数
2.图中共有（）个三角形
3.数出下面各图中长方形的个数
4.图中共有（）个长方形
5.图中共有（）条线段
6.数出下图中共有多少个三角形
7.数出下面各图中正方形的个数
8.图中共有多少个三角形
9.数出下面各图形中长方形的个数
10.数一数，下图共有多少个三角形
C 卷
1.图中共有（）个三角形
2.图中共有（）个长方形
3.图中共有（）个正方形
4.图中共有（）个长方形
5.数出下图中含有﹡号的长方形个数
6.数出图中长方形的个数
7.数一数，下图一共有多少个三角形
8.数一数，下面图形中共有多少个长方形（包括正方形）
9.在下图中，各种大小的形如“△”的正三角形与各种大小的形如“▽”的正三角
形的个数之差是多少？
10.三根木棍可以摆成一个小三角形，那么下面这个图形是由多少根木棍组成的？。