有限元理论方法
计算电磁学中的有限元方法
计算电磁学中的有限元方法随着计算机技术的不断发展和应用，计算电磁学研究的范围和深度不断提高，其应用领域也越来越广泛。
有限元方法是计算电磁学研究中重要的数值分析方法之一，其可模拟复杂电磁场问题，有着广泛的应用。
本文将简要介绍计算电磁学中的有限元方法的一些基本原理和应用。
一、有限元法基本理论有限元方法是数值分析中一种重要的数学工具，其基本思想是将整个计算区域分割成若干个简单的单元，然后在每个单元内选取一个适当的基函数，通过求解基函数系数来表示数值解。
这种思想很容易扩展到计算电磁场问题上，因为电磁场分布可以被视为由一些小电磁场单元组成。
有限元方法的基本过程包括建立有限元模型、离散化、求解以及后处理。
其中建模是有限元方法中最重要的一个环节。
在建模过程中，首先需要选取合适的计算区域，并将其离散化为若干个小单元（如三角形、四边形等）。
然后，我们需要选取适当的基函数，并确定它们所对应的系数的初始值。
一旦有限元模型被建立，我们就可以进行求解了。
具体来说，有限元法的求解过程需要求解一个大规模的稀疏矩阵方程，其中系数矩阵和右侧向量都与电磁场有关。
这个过程需要借助计算机的优势，通过矩阵解法算法完成求解。
最后，我们通过后处理来获得我们需要的电磁场信息或工程参数，例如电势、磁场强度、感应电动势等。
二、有限元法应用领域有限元法在计算电磁学中广泛应用。
其应用范围涉及电机、变压器、电力电子、雷达、电磁兼容等多个领域。
有限元法可用于仿真复杂的电磁场分布问题，例如在电机设计中，有限元法可用于电机磁场分析、电机振动分析以及谐波分析等。
在电力电子领域中，有限元法可用于设计电感元件和变压器等。
另外，有限元法在雷达技术中也有着广泛的应用，可用于雷达天线设计和仿真。
三、有限元法的优缺点有限元法作为一种数值分析方法，具有一定优缺点。
有限元法的主要优点在于它具有很强的适应性和通用性，可用于模拟各种复杂的材料和几何形状。
此外，有限元法允许我们针对不同的模型选择不同的元素类型和元素尺寸，因此可以根据实际需求自由选择不同的模型。
有限元的理论基础
有限元的理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
1.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
（Weigh ted residual method WRM ）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。
设问题的控制微分方程为:在V 域内 在S 边界上式中 :L 、B ——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f 、g ——为与未知函数u 无关的已知函数域值；u ——为问题待求的未知函数 ()0B u g -=(5.1.2)()0L u f -=(5.1.1)混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。
对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。
无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：(1)试函数应由完备函数集的子集构成。
已被采用过的试函数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。
(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。
(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。
若计算问题具有对称性，应充分利用它。
显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。
按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。
其中伽辽金法的精度最高。
2、虚功原理——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。
有限元法的理论和要点
有限元法的理论和要点(1)有限元法的理论正规想学有限元的理论的人请选专门的参考书学习。
这里粗略说明一下有限元法的理论概要。
说明是简短的，而使用的是专门术语。
现在有不理解的地方，以后再学。
每积累一点经验，都会加深一点理解的。
有限元法有位移法、应力法、混合法。
以下举最普通的位移法说明一下。
(2)看不见的有限元的内容●有限元法一个黑箱分析系统[图 1 有限元法的模型]把作为对象的物体分割成小部分（称这部分为单元）再输入边界条件（约束、载荷）。
把各个小部分的结构特性用公式近似。
把这些小的部分组合起来就可得到全部力的平衡方程式。
使用给出的边界条件解出平衡方程式。
从结果求得单元内部的应力、应变、位移等。
有限元法的困难的理论和公式作为黑箱。
用户可以把 CAE 系统作为黑箱子来使用。
最重要的是准备适当的输入数据。
输入数据决定结果。
即输入数据的制作方法左右着结果。
●黑箱的内容是什么？有限单元法的理论是一种 Rayleigh-Ritz 法和 Galerkin 法。
以结构分析的情况为例，是一种用能量原理把未知数的位移，以近似解求出的数值分析法。
●有限单元法的结果正确吗？用数学公式表示单元内部的位移场（称这为位移函数）。
单元的位移函数满足完全性和合适性条件，有限单元法的近似解是收敛于严密解的，这可以用数学来证明。
所谓完全性就是位移函数可以表示刚体位移和常应变状态。
合适条件是在单元内部及单元的边界它的位移是连续的。
(2)要点：有限元分析法对于结构分析是非常有效的手段。
但是，想改变认识，由有限单元分析得到的结果，可以说要超过你所制成的输入数据以上的东西是没有的。
即使使用多么好的程序，输入的数据精度差的话，结果也差的。
普通人有限元分析入门方法--理论学习篇
普通人有限元分析入门方法--理论学习篇展开全文（这文章写的时候估计会被喷，我已经做好心理准备的！）文章开始前，我要先说明：就像文章题目说的一样，本文只是从一个很普通的有限元分析工程人员的角度出发，既没有华丽的学历背景，也没有超一流的企业研发经验，更没有超高的智商，只是从一个普普通通的分析工程师角度和大家说说作为一个普通凡人如何去看待有限元分析学习的问题。
本人在网络上浸淫多年，有限元分析的学习也经历了整整10个年头，从一个无知小白到现在能够解决一些问题的工程人员，一路走来的心酸也是只有自己才知道。
回忆最初的起步，以及网络上看到很多新手学习的艰辛，想到写这样一篇文章，说说咱们这种普通人该如何去玩有限元分析。
我打算把文章分为理论学习篇、软件操作学习篇、实际应用学习篇和有限元分析行业市场分析篇四个部分，主要针对学习有限元分析5年以内的群体。
理论学习篇一说到有限元分析理论学习，我就觉得我上的那个是假大学，为啥随便来几个不是新手的人都是学过这么多课的，看过这么多书的，我上的大学不都是浪出来的么？我相信很多新手和我的感觉是一样一样的。
首先我以我目前的认知以及在网上很多人解答新手的问题来大致罗列下出镜率比较高的理论科目，并大致评估下学习需要的时间（假设我们从20岁开始为有限元分析打基础）。
大学本科四年掌握：高等数学、线性代数、材料力学、理论力学、概率统计，到这里24岁，这一阶段大多数的步调基本一致，接下来开始：1.弹性力学（1年）；2.数值方法（0.5年）；3.有限单元法（1年）；4.振动力学（1年）；5.损伤力学（1年）；6.张量分析（1年）；7.线性空间（1年）；8.软件应用（0.5年）。
把以上的内容相加，大概7年时间，WTF！这些学完已经30+了，这玩意我还是按照及其保守的时间，实际操作起来只会长不会短，有人说我可以一起学，有这种想法的人可以试试，或者去问问身边群里那些正在学习的人（这类人肯定不少，而且多数都是新手），听听他们学习之后的感受。
声学覆盖层的有限元计算基本理论
声学覆盖层的有限元计算基本理论声学覆盖层的有限元计算基本理论是指利用有限元方法对声学覆盖层进行数值计算的基本原理和理论框架。
有限元方法是一种常用的工程数值分析方法，通过将连续介质划分为有限个小单元，在每个小单元内建立适当的数学模型，通过求解这些小单元的方程组，得到整个连续介质的近似解。
下面将从有限元方法的基本原理、声学覆盖层的数学模型以及声学覆盖层的边界条件等方面进行介绍。
有限元方法的基本原理是将连续介质划分为有限个小单元，通过在每个小单元内建立适当的数学模型，通过求解这些小单元的方程组，得到整个连续介质的近似解。
有限元方法的基本步骤包括：1.建立连续介质的几何模型，即将连续介质进行离散化；2.在每个小单元内建立适当的数学模型，通常使用一些基函数来近似描述介质内的场量；3.将整个连续介质划分为小单元后，得到一个离散的数学模型，可以通过有限元法得到每个小单元内场量的近似解；4.将每个小单元的解组合起来，得到整个连续介质的近似解；5.进行误差估计和收敛性分析，以确保得到的近似解具有一定的准确性。
声学覆盖层的数学模型是建立在声学基本方程的基础上的。
声学基本方程包括声场方程、质量守恒方程和能量守恒方程。
在声学覆盖层中，通常采用声场方程和能量守恒方程来描述声波在声学覆盖层内的传播。
声场方程可以用来描述声波的传播特性，其可以通过有限元方法进行求解。
能量守恒方程可以用来描述声波在声学覆盖层中的能量转换和传播损耗。
通过对声学覆盖层的数学模型进行离散化，可以得到一个离散的数学模型，可以通过有限元法得到声波在覆盖层内的传播特性和能量转换的近似解。
声学覆盖层的边界条件是指在有限元方法中需要给定的边界条件，用于确定问题的完整解。
常用的边界条件有：自由边界条件、固定边界条件、声压边界条件和声辐射边界条件等。
自由边界条件是指在边界上声波不反射和不折射。
固定边界条件是指在边界上声波的速度为零。
声压边界条件是指在边界上给定声压或其导数。
有限元方法的数学理论
有限元方法的数学理论有限元方法是一种数值计算方法，用于求解常微分方程、偏微分方程和积分方程等数学问题。
它通过将求解区域分割成有限数量的简单形状（如三角形、四边形等）的小区域，将求解问题转化为在这些小区域上的近似解的求解问题。
在有限元方法的数学理论中，有以下几个重要概念：1. 有限元空间：有限元空间是定义在求解区域上的函数空间，它由离散化的形状函数（也称为有限元函数）和它们所对应的节点组成。
形状函数是一组基函数，它们用于近似描述在每个小区域上的解。
2. 变分问题和弱形式：有限元方法通过引入变分问题和弱形式来求解原始的偏微分方程问题。
变分问题是将原始问题转化为一个能够描述解的变分和测试函数的问题。
弱形式是变分问题的特定形式，它通过引入积分和部分积分来简化求解过程。
3. 有限元离散化：有限元方法利用离散化技术将求解区域划分成有限数量的小区域，称为单元。
每个单元上的解用形状函数近似表示，并通过求解线性方程组来得到近似解。
有限元离散化同时确定了单元之间的连接方式，以及解在相邻单元之间的边界条件。
4. 误差估计和收敛性分析：有限元方法通过误差估计和收敛性分析来评估数值解的精度。
误差估计是通过比较数值解和精确解之间的差异来确定数值解的误差大小。
收敛性分析则是研究如果将离散化细化，数值解是否趋向于精确解。
5. 稳定性和收敛阶：有限元方法的稳定性和收敛阶是评价该方法的两个重要性质。
稳定性指的是当离散化细化时，数值解的稳定性是否得到保持。
收敛阶指的是当离散化细化时，数值解的误差与离散化大小的关系。
以上是有限元方法的几个数学理论方面的介绍，了解这些理论可以帮助我们更好地理解有限元方法的原理和应用。
有限元理论
有限元理论
有限元理论（finite element theory）是一种数值分析方法，它的核心思想是将实体的几何形状分解为若干有限的元素，以及在这些元素上建立一系列的数学方程，从而确定这些元素的性质。
有限元理论主要用于分析复杂几何形状实体的力学、热力学等性质。
有限元理论的应用覆盖面很广，可用于分析各种结构物的变形、振动、强度和稳定性，还可以用于分析流体的流动特性，从而提高设计的效率和准确性。
在有限元理论中，实体的几何形状被划分为几何单元，比如点、线、面和体，每个单元又由若干个有限元素构成。
为了求解几何形状实体的变形、振动、强度和稳定性，需要建立若干个有限元素的数学方程，从而确定各有限元素的性质，从而求解实体的整体性能。
有限元理论可以使用计算机求解，其优点是准确、快速。
另外，有限元理论还可以用来分析复杂的材料性质，比如金属、塑料等，从而更好地了解这些材料的性能，提高设计的效率和准确性。
总之，有限元理论是一种有效的数值分析方法，它可以用来分析复杂的几何形状实体的力学、热力学等性质，并可以用于分析各种材料的性质，从而提高设计的效率和准确性，因此在工程设计中受到了广泛的应用。
弹性力学与有限元分析
m α 式中： = ∑i ， α1,α2 ,⋯ 2m 为待定系数。把位移函
i=1
n+1
数的这种描述形式称为广义坐标形式。 在确定二维多项式的项数时，需参照二维帕斯卡三 角形，即在二维多项式中，若包含帕斯卡三角形对称轴 一侧的任意一项，则必须同时包含它在对称轴另一侧的 对应项。
1 x x2 x3 x4 y xy y2 y3
1、结构的离散化——单元划分 2、假设单元的位移插值函数和形函数 3、计算单元刚度矩阵 4、载荷移置——把非节点载荷等效地移置 到节点上 5、计算结构刚度矩阵，形成结构刚度方程 6、引入位移边界条件，求解方程 7、计算应力与应变
三、两种平面问题
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题两大类。 体力——指分布于物体体积内的外力，它作用于 物体内部的各个质点上，如重力、磁力 和运动时的惯性力等。 面力——指均布于物体表面上的外力，它作用于 物体表面的各个质点上，如物体间的接 触力和气体压力等。
f (x, y)，把位移函数的这种描述形式称为插值函数形
式。 形函数具有以下两个性质： 1、形函数 Ni在节点 处的值为0。 2、在单元中任意一点，3个形函数之和为1，即：
i处的值为1，而在其余两个节点
Ni (x, y) + N j (x, y) + Nm (x, y) = 1
六、计算单元刚度矩阵
U(x, y) Ni f (x, y) = = V(x, y) 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
Ui V i 0 U j Nm Vj Um Vm
其中 Ni , N j , Nm 称为单元位移的形状函数，简称形函 数，其值为：
1、用单元节点位移表示单元中任一点的应变，得
第3章 有限元分析的数学求解原理-三大步骤
U x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
X u Y v Z w dV X u Y v Z w d W
V V
用 * 表示；引起的虚 应变分量用 * 表示
j Vj
Ui
i Vi
0 X
y
¼ 1-9 Í
ui* * vi wi* * * u j ， v* j w*j
x* * y * z * * xy *yz * 18 zx
19
7.间接解法：最小势能原理
20
最小势能原理
W U 0
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定 平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值
0 表明在满足位移边界条件的所有可能位移 最小势能原理： 中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实 际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功 原理完全等价。 n m
虚功原理的矩阵表示
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：
* 式中
U i u i* V i v i* W i w i* U j u *j V j v *j W j w *j
* 是 的转置矩阵。
T
*
F
T
同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚 功是： * * * * * * * T x x y y z z xy xy yz yz zx zx
27
⑴解析法
有限元法理论格式与求解方法pdf
有限元法理论格式与求解方法pdf有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于力学、流体力学、电磁学等领域的工程问题中。
本文将介绍有限元法的理论格式和求解方法。
有限元法的理论格式：有限元法通过将实际问题离散化为有限个小区域，再在每个小区域内建立数学模型，最后通过求解这些局部模型得到全局解。
下面是有限元法的一般理论格式：（1）建立刚度矩阵：根据问题的边界条件和材料特性，将每个小区域的数学模型转化为线性方程组。
这一步骤的关键是确定每个小区域内的自由度。
（2）装配刚度矩阵：将每个小区域内的线性方程组组装成整体的线性方程组。
这一步骤涉及到各个小区域之间的约束条件和连接方式。
（3）施加边界条件：根据问题的边界条件，在整体线性方程组中施加相应的边界条件。
这一步骤将限制整体线性方程组的自由度。
（4）求解线性方程组：通过求解整体线性方程组，得到有限元法的解。
有限元法的求解方法：有限元法的求解方法通常分为以下几种：（1）直接法：直接法是指直接求解整体线性方程组的方法，例如高斯消元法、LU分解法等。
直接法的优点是精度高、收敛速度快，但对大规模问题求解的时间和内存开销较大。
（2）迭代法：迭代法是指通过迭代计算逼近解的方法，例如雅可比迭代法、Gauss-Seidel迭代法、共轭梯度法等。
迭代法的优点是求解速度快、内存开销小，但收敛性和稳定性有时较低。
（3）稳健法：稳健法是指针对病态问题设计的求解方法，例如预处理共轭梯度法、牛顿迭代法等。
稳健法的优点是能够处理病态问题，但相对于直接法和迭代法，稳健法的复杂性较高。
（4）并行算法：为了加快大规模问题的求解速度，通常采用并行算法。
并行算法可以将问题划分为多个子问题，然后分别求解，最后通过通信和同步操作将各个子问题的解组合起来。
并行算法的优点是能够充分利用多核处理器和分布式计算资源。
总结：有限元法作为一种广泛应用的数值计算方法，其理论格式和求解方法具有一定的一般性。
有限元法基本原理及应用教学设计
有限元法基本原理及应用教学设计一、引言有限元法作为结构力学、流体力学、热力学等学科中最常用的数值分析方法之一，已经广泛地用于工程领域。
本文将介绍有限元法的基本原理，并结合教学实践，提出一些应用场景下的教学方法。
二、有限元法基本原理有限元法是一种通过将连续体分割成一系列互相联系的单元，再在每个单元内进行局部近似的方法。
其基本步骤如下：1.确定问题的几何形状，将其离散化为有限数量的单元。
2.寻找适当的函数形式，用于单元内的场函数近似。
3.根据边界条件、本构关系等确定模型中所需的参数。
4.利用有限元法求解离散模型中的场函数，获得结果。
其中，第一步和第二步是离散化的过程，第三步是确定问题的物理参数，第四步是利用有限元方法来求解局部近似的结果。
三、教学设计3.1 教学目标通过本教学，学生应该能够：1.理解有限元法的基本原理。
2.能够根据问题特点选择有限元法模型，熟练掌握其求解方法。
3.能够独立地完成一定的有限元法计算，掌握基本的讨论和分析技巧。
3.2 教学内容教学内容的设计应该以让学生掌握有限元法的基本原理和中小型有限元法计算实验为主。
具体包括：1.有限元法基本概念和基本原理。
2.有限元法求解流程。
3.有限元法中力学问题的处理方法。
4.有限元法计算程序的操作实践及其调试过程。
3.3 教学方法教学方法应该根据教学目标和教学内容来选择。
具体而言，可以采用以下教学方法：1.讲授法：介绍有限元法的基本理论、公式、步骤等。
2.组织实践：每个学生都可以应用所学的有限元法计算流程，通过校内实践检验所得结果，加深学习效果。
3.讨论演示法：引导学生根据教材内容和实践结果展开讨论，举一反三，形成总结性的详细讨论分享现象，并进行比较，以及某些特殊情况的讨论。
4.自学法：学生在自习时间用充足的学习资料在当地的工程和计算机实验室研读，掌握有限元法的道理和方法。
3.4 教学评估教学评估应包括考试成绩和实际计算结果。
在学年末进行考试，考试的内容应该包括基本理论和实践的实际应用以及进行有限元法计算产生结果的分析。
第二章有限元分析基本理论
第二章有限元分析基本理论有限元分析是一种数值计算方法，广泛应用于结构分析、流体力学、热传导等工程领域。
它通过将连续的物理问题离散化为有限个简单的子问题，再通过数值方法求解这些子问题，最终得到原始问题的近似解。
有限元分析的基本理论包括三个方面：离散化、加权残差和求解方法。
首先是离散化。
离散化是指将原始的连续问题转化为离散的子问题。
有限元分析中常用的离散化方法是将求解区域分割成有限的子域，称为单元。
每个单元内部的场量（如位移、温度等）可以用其中一种函数近似表示。
离散化的关键是选择适当的单元形状和适量的节点，使得子问题的离散解能够较好地近似原问题的解。
接下来是加权残差方法。
加权残差方法是有限元分析的核心思想，用于构造子问题的弱型方程。
弱型方程是原始问题的一种积分形式，由应力平衡和边界条件推导而来。
在加权残差方法中，我们引入加权函数，将弱型方程乘以权函数，再对整个求解区域进行积分，从而将连续问题转化为离散问题。
通过选择合适的权函数，可以使得该离散问题具有良好的数学特性，比如对称、正定等。
最后是求解方法。
有限元分析的求解方法主要包括直接法和迭代法。
直接法适用于小型问题，通过对离散问题的系数矩阵进行直接求解，得到场量的离散解。
而迭代法适用于大型问题，通过迭代求解线性代数方程组，得到场量的近似解。
迭代法的常用算法有雅可比法、高斯-赛德尔法、共轭梯度法等。
在求解中还需要注意计算误差的控制和收敛性的判定。
除了这三个基本理论，有限元分析还有一些相关的概念和技术。
例如，网格生成用于生成离散化的单元网格；后处理用于对离散解进行可视化和数据分析；材料模型用于描述材料的本构关系。
这些概念和技术在具体的有限元分析应用中，有着重要的作用。
综上所述，有限元分析的基本理论包括离散化、加权残差和求解方法。
离散化将连续问题转化为离散子问题，加权残差方法用于构造子问题的弱型方程，求解方法用于求解离散问题。
掌握这些基本理论，对于理解和应用有限元分析方法具有重要意义。
有限元法的理论基础
有限元法的理论基础有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。
能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。
下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。
1.虚位移原理虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。
反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。
可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。
所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。
虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。
2.最小势能原理最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。
根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。
最小势能原理仅适用于弹性力学问题。
2.2有限元法求解问题的基本步骤弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。
2.2.1问题的分类求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。
对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。
2.2.2建模在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。
(计算物理学)第10章有限元方法
使用数值方法求解线性方程组，得到每个节点的物 理量值。
03
求解线性方程组是有限元方法的核心步骤，其结果 的精度和稳定性对整个计算过程至关重要。
04
有限元方法的实现与应用
有限元分析软件介绍
COMSOL Multiphysics
COMSOL是一款强大的有限元分析软件， 支持多物理场模拟，包括电磁场、流体动力 学、化学反应等。
求解方程
通过有限元方法求解微分方程， 得到每个有限元的位移、应力 等结果。
建立模型
根据实际问题建立数学模型， 包括几何形状、材料属性、边 界条件等。
施加载荷和约束
根据实际情况，对有限元施加 适当的载荷和约束条件。
结果后处理
对求解结果进行后处理，包括 绘制云图、生成动画等。
有限元方法的应用领域
01
02
案例二：机械零件的应力分析
总结词
机械零件的应力分布和最大承受载荷是设计 时必须考虑的重要因素，有限元方法能够精 确模拟零件在不同工况下的应力状态。
详细描述
利用有限元方法，可以建立机械零件的模型 并模拟其在工作过程中所承受的应力分布。 这种方法能够预测零件在不同工况下的最大 承受载荷，为设计优化提供依据，提高零件
03
结构分析
用于分析结构的应力、应 变、位移等，广泛应用于 航空航天、汽车、土木工 程等领域。
流体动力学
用于分析流体动力学问题， 如流体流动、传热等，广 泛应用于能源、环境等领 域。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
电磁场分析
用于分析电磁场问题，如 电磁波传播、电磁感应等， 广泛应用于通信、雷达、 电子设备等领域。
05
有限元方法的优缺点与改进 方向
03
有限元方法
有限元方法有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种基于物理数学原理和工程力学理论的数值计算方法，它广泛应用于工程领域中结构分析、流体力学和热传导等问题的求解。
本文将为读者介绍有限元方法的原理、应用和发展，并探讨其在工程实践中的重要性。
有限元方法的核心思想是将一个连续的物理问题离散化，通过将其分解为许多小的有限单元，利用数值计算的方法来求解整个问题。
因此，所使用的数学模型将物理问题转化成一个由大量独立节点和元素组成的离散系统，并通过求解节点上的未知量（通常是位移或其他物理量）来得到问题的数值解。
有限元方法的工作流程主要包括以下几个步骤：建立物理模型、离散化、确定边界条件、建立刚度矩阵和荷载向量、组装和求解代数方程组、后处理结果。
首先，将真实的物理问题抽象成一个数学模型，包括几何形状、材料性质和加载条件等。
然后，将物理模型离散化为许多小的有限单元，通常是三角形或四边形。
接下来，根据边界条件确定节点的约束和加载条件。
然后，根据离散化后的模型建立刚度矩阵和荷载向量，用于描述各个单元之间的相互作用关系和力的传递。
随后，将每个单元的刚度矩阵和荷载向量组装成整个系统的刚度矩阵和荷载向量。
最后，通过求解代数方程组，得到节点上的位移或其他物理量的数值解，并进行后处理分析，如应力、应变和位移等。
有限元方法在工程实践中具有重要的意义。
首先，它可以帮助工程师和科学家研究和理解各种复杂的物理现象和工程问题。
其次，通过有限元分析，可以在设计阶段对工程结构进行性能预测和优化，提高产品质量和工程效率。
此外，有限元方法还能为工程实践提供快速、准确和经济的解决方案，节约成本和时间。
近年来，随着计算机技术和数值算法的不断发展，有限元方法在计算规模、精度和可视化方面取得了重大突破。
在结构分析领域，有限元方法已经成为工程设计和分析的重要工具。
同时，在流体力学和热传导等领域，也有广泛的应用。
有限元方法的发展使得工程师和科学家能够更好地理解和解决复杂的工程问题。
有限元基本理论
一、有限单元法的基本思想（1）将一个连续域化为有限个单元并通过有限个结点相连接的等效集合体。
由于单元能按照不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。
（2）有限元法利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场数。
单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表达。
（3）一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个结点上的数值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
（4）一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。
显然，随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
图1 有限元分析流程图二、有限元分析过程概述1 结构的离散化结构的离散化是有限单元法分析的第一步，它是有限单元法的基本概念。
所谓离散化简单地说，就是将要分析的结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。
如果分析的对象是桁架，那么这种划分十分明显，可以取每根杆件作为一个单元，因为桁架本来是由杆件组成的。
但是如果分析的对象是连续体，那么为了有效地逼近实际的连续体，就需要考虑选择单元的形状和分割方案以及确定单元和结点的数目等问题。
2 选择位移模式在完成结构的离散之后，就可以对典型单元进行特性分析。
此时，为了能用结点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布作出一定的假设，也就是假定位移是坐标的某种简单的函数，这种函数称为位移模式或插值函数。
选择适当的位移函数是有限单元法分析中的关键。
通常选择多项式作为位移模式。
其原因是因为多项式的数学运算（微分和积分）比较方便，并且由于所有光滑函数的局部，都可以用多项式逼近。
有限元理论与方法
有限元理论与方法有限元法是一种数值计算方法，用于求解复杂物理问题的近似解。
它将连续问题离散化为离散问题，并通过求解离散问题来近似求解原问题。
有限元法广泛应用于结构力学、流体力学、电磁场等领域。
有限元法的理论基础是分片连续函数空间的降维表示。
它将求解区域分割成许多简单的有限元单元，例如三角形、四边形或立方体等。
每个单元内的解通过一组形函数进行近似表示，形函数通常是局部性质的，即只在该单元内非零。
通过建立形函数与解之间的关系，可以将原问题转化为求解离散问题。
在解离散问题时，有限元法通过构建代数方程组以及边界条件来获得解。
代数方程组通常通过对能量变分或Galerkin方法进行离散化得到。
通过求解代数方程组，可以获得有限元法的近似解。
有限元法具有许多优点。
首先，它适用于各种不规则的几何形状。
通过将问题的几何形状分割为简单的单元，可以处理复杂的几何形状。
其次，有限元法具有高自由度的适应性。
通过增加或减少单元的数量，可以调整有限元方法的精度。
此外，它还可以处理不同类型的物理现象。
通过选择适当的形函数，可以将有限元法应用于结构、流体、热力学等各种领域。
然而，有限元法也存在一些局限性。
首先，它是一种近似方法，因此在求解过程中可能引入误差。
在实际应用中，需要评估误差，并确保误差的控制在允许范围内。
其次，有限元法在处理大规模问题时可能需要大量的计算资源。
解决大规模问题可能需要并行计算或者使用高性能计算机。
此外，有限元法对网格质量和网格依赖性较为敏感，因此需要谨慎选择网格划分方法。
总的来说，有限元理论和方法是一种重要的数值计算方法，广泛应用于科学和工程领域。
它的理论基础是分片连续函数空间的降维表示，以及代数方程组的离散化求解。
有限元法具有适应各种几何形状、高自由度的特点，并可应用于各种物理现象。
然而，它也存在误差引入、计算资源需求大等局限性。
为了获得精确的解，需要在实际应用中合理选择方法和调整参数。
有限元法的基础理论
一、里兹法与迦辽金法（摘自电磁场有限元方法 金建铭） 1. 里兹法里兹法是一种变分方法，其中边值问题用变分表达式（也称泛函）表示，泛函的极小值对应于给定边界条件下的控制微分方程。
通过求泛函相对于其变量的极小值可得到近似解。
2. 伽辽金法伽辽金法属于残数加权方法类型，它通过对微分方程的残数求加权的方法得到方程的解。
若u是方程的近似解，将u 代入方程可得到非零的残数： r Luf =- u的最佳近似应能使残数r 在Ω内所有点上有最小值。
残数加权方法要求： 0i i R rd ωΩ=Ω=⎰这里i R 表示残数的加权积分，i ω是所选的加权函数。
在伽辽金法中，加权函数与近似解展开中所用的函数相同。
通常，这样可得到最精确的解。
二、有限元方法里兹法和伽辽金法中，在整个解域内找出能表示或至少近似表示问题真实解的试探函数是非常重要的。
然而对于许多问题，这个步骤是十分困难的，对二维和三维问题尤其如此。
为此，我们可将整个区域划分成小子域，并应用定义在每个子域上的试探函数。
因为子域是小区域，因而在每一子域内函数的变化不大，所以定义在子域上的试探函数通常比较简单。
这正是有限元法的基本思想。
应用里兹法的过程通常称为里兹有限元法或变分有限元法，而应用伽辽金方法的过程通常称为伽辽金有限元方法。
有限元法与经典里兹法和伽辽金法的不同之处是在试探函数的公式上。
在经典里兹法和伽辽金法中，试探函数由定义在全域上的一组基函数组成。
这种组合必须能够（至少近似）表示真实解，也必须满足适当的边界条件。
在有限元法中，试探函数是由定义在组成全域的子域上的一组基函数构成。
因为子域很小，所以定义在子域上的基函数能够十分简单。
三、关于形函数（摘自有限元法在电磁计算中的应用 张榴晨）对于一个待求的微分方程，用一组线性独立的尝试函数i ψ和待定系数i C 来表示方程的近似解，并用加权余数法（迦辽金法）来求解这些待定系数。
求解待定系数的代数方程组为：1[]1,2,,ni j i j i d C q d j n ψψψΩΩ=∇∇Ω=Ω=∑⎰⎰这里j ψ为所选择的加权函数，应用迦辽金法时，所选取的加权函数即为尝试函数。
有限元理论与方法-第1讲
青岛大学讲稿学院：机电工程学院教研室：车辆工程课程名称：有限元法基础任课教师：张洪信备讲授内容注第1讲(第1周)第一章有限元法及ANSYS概述CAE即计算机辅助工程，指工程设计中的分析计算与仿真。
CAE软件可分为专用和通用两类，前者主要是针对特定类型的工程或产品用于产品性能分析、预测和优化的软件。
它以在某个领域中的应用深入而见长，如美国ETA公司的汽车专用CAE软件LS／DYNA3D及ETA／FEMB等。
通用软件可对多种类型的工程和产品的物理力学性能进行分析、模拟、预测、评价和优化，以实现产品技术创新。
它以覆盖的应用范围广而著称，如ANSYS、PA TRAN、NASTRAN和MARC等。
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有：有限单元法（Finite Element Method，FEM）、边界元法（Boundary Element Method，BEM）和有限差分法（Finite Difference Method，FDM）等，但就其实用性和应用的广泛性而言，主要还是有限单元法。
作为一种离散化的数值解法，有限单元法首先在结构分析，然后又在其他领域中得到广泛应用。
1.1 发展与现状离散化的思想可以追溯到20世纪40年代。
1941年A.Hrennikoff首次提出用离散元素法求解弹性力学问题，当时仅限于用杆系结构来构造离散模型，但能很好地说明有限元的思想。
如果原结构是杆系，这种方法的解是精确的，发展到现在就是大家熟知的矩阵分析法。
究其实质这还不能说就是有限单元法的思想，但结合以后的有限元理论，统称为广义有限单元法。
1943年R．Courant在求解扭转问题时为了表征翘曲函数而将截面分成若干三角形区域，在各三角形区域设定一个线性的翘曲函数，这实质上就是有限单元法的基本思想（对里兹法的推广），这一思想真正用于工程中是在电子计算机出现后。
20世纪50年代因航空工业的需要，美国波音公司的专家首次采用三节点三角形单元，将矩阵位移法用到平面问题上。
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关于有限元分析法及其应用举例摘要：本文主要介绍有限元分析法，作为现代设计理论与方法的一种，已经在众多领域普遍使用。
介绍了它的起源和国内外发展现状。
阐述了有限元法的基本思想和设计方法。
并从实际出发，例举了有限元法的一个简单应用———啤酒瓶的应力分析和优化,表明了利用有限元分析法的众多优点。
随着计算机的发展，基于有限元分析方法的软件开发越来越多。
本文也在其软件开发方面进行阐述，并简单介绍了一下主流软件的发展情况和使用范围。
并就这一领域的未来发展趋势进行阐述。
关键词：有限元分析法软件啤酒瓶Abstract：This thesis mainly introduces the finite element analysis, as a moderndesign theory and methods used widely in in most respects. And this paperintroduces its origins and development in world. It also expounds the basic thinkingand approach of FEM..Proceed from the actual situation,this text holds the a simpleapplication of finite-element method———the analysis and optimized of an beerbottle and indicate the the numerous benefits of finite element analysis .Ascomputers mature and based on the finite element analysis of the softwaredevelopment is growing. This article introduces its application in the softwaredevelopment aspects as well, and briefly states the development and scope of themainstream software. And it’s also prospect future development tendency in thisarea .Key: Finite Element Analysis Software Beer bottle0 绪论有限元法(Finite Element Method，FEM)，是计算力学中的一种重要的方法，它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。
有限元法最初应用在工程科学技术中，用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。
对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题，有限元法则是一种有效的分析方法。
有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。
由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域；然后对单元(小区域)进行力学分析，最后再整体分析。
这种化整为零，集零为整的方法就是有限元的基本思路。
（1）就国外发展来说，20世纪50年代，有限元法作为处理固体力学问题的方法出现。
1943年，Courant第一次提出单元概念[1]。
1945～1955年，Argyris等人在结构矩阵分析方面取得了很大进展⋯。
1956年，Turner、Clough等人把刚架位移法的思路推广应用于弹性力学平面问题⋯。
1960年，Clough首先把解决弹性力学平面问题的方法称为“有限元法-D]，并描绘为“有限元法一Rayleigh Ritz 法+分片函数”。
FEM 理论研究的重大进展，引起了数学界的高度重视。
自2O世纪6O年代以来，人们加强了对FEM 数学基础的研究。
如大型线性方程组和特征值问题的数值方法、离散误差分析、解的收敛性和稳定性等。
FEM 理论研究成果为其应用奠定了基础，计算机技术的发展为其提供了条件。
20世纪70年代以来，相继出现了一些通用的有限元分析(FEA：Finite Element Analysis)系统，如SAP、ASKA、NASTRAN等，这些FEA 系统可进行航空航天领域的结构强度、刚度分析，从而推动了FEM 在工程中的实际应用。
20世纪80年代以来，随着工程工作站的出现和广泛应用，原来运行于大中型机上的FEA系统得以在其上运行，同时也出现了一批通用的FEA系统，如ANSYS—PC、NISA，SUPERSAP等[ 。
20世纪90年代以来，随着微机性能的显著提高，大批FEA系统纷纷向微机移植，出现了基于Windows的微机版FEA系统。
（2）就我国有限元法的发展，是从八十年代开始的。
在1981年ADINA飞线性结构分析程序的引进，一时间许多一直无法解决的工程难题都迎刃而解。
大家也都开始认识到有限元分析程序的确是工程师应用计算机进行分析计算的重要工具。
但是当时限于国内大中型计算机很少，大约只有杭州汽轮器厂的Siemens7738和沈阳鼓风机厂的IBM4310安装有上述程序，所以用户算题非常不方便，而且费用昂贵。
PC机的出现及其性能奇迹般的提高，为移植和发展PC版的有限元程序提高了必要的运行平台，可以说国内FEA软件的发展一直是围绕着PC平台做文章。
在国内开发比较成功并拥有较多用户的有限元分析系统有大连理工大学工程力学系的FIFEX95、北京大学力学与科学工程系的SAP84,中国农机科学研究院的MAS5.0和杭州自动化技术研究院的MFEP4.0等。
我们现在正处在学习和追赶世界发展水平的阶段。
1 有限元分析法的基本思想和设计方法1.1 有限元基本思想有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本思想是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
（1）物体离散化将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一部称作单元部分。
离散后单元于单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定。
用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。
如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。
（2）分析单元的力学性质根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。
此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。
（3）选择位移模式位移法：选择节点位移作为基本未知量称为位移法；力法：选择节点力作为基本未知量时称为力法；混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。
位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。
（4）计算等效节点力物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。
但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。
因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上得力。
（5）单元组集利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程：KU=F式中：K是结构的总体刚度矩阵；U是节点位移列阵；F是载荷列阵。
确定总体刚度方程的方法有三种：1.直接利用总体刚度系数的定义在求出整体结构中各节点力和节点位移关系的基础上获得总体刚度矩阵。
此方法只在简单情况下才能采用。
2.集成法将整体坐标系的单元刚度矩阵按照节点编码顺序对号入座，迭加形成总体刚度矩阵。
3.利用节点间的刚度系数直接写出总体刚度矩阵总体刚度矩阵对角线上的刚度系数Kij等于连接节点i和节点j之间几个单元的刚度系数之和。
（6）求解未知节点位移可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。
节点的支撑条件有两种：一种是节点沿某个方向的位移为零，另一种是节点沿某个方向的唯一为一给定值。
（7）计算单元内部应力和应变根据求解的节点位移，采用所选定的位移函数，计算单元内非节点处的应力和应变。
通过上述分析，可以看出，有限元法的基础思想是“一分一合”。
分是为了进行单元划分，合则是为了对整体结构进行综合分析。
1.2 设计方法（1）划分单元网格，并按照一定的规律对单元和结点编号（2）选定直角坐标系，按程序要求填写和输入有关信息。
（3）使用已经编好的程序进行上机计算。
计算程序中对输入的各种信息进行加工、运算。
（4）对计算成果进行整理、分析，用表格或图线示出所需的位移及应力。
事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。
理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是计算量相应增大。
为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。
有限元法中的相邻的小区域通过边界上的结点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出结点处的应力或者变形，非结点处的应力或者变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。
大多数有限元程序都是以结点位移作为基本变量，求出结点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。
有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。
2 有限元分析法的应用优点有限元法的优点是解题能力强，可以比较精确地模拟各种复杂的曲线或曲面边界，网格的划分比较随意，可以统一处理多种边界条件，离散方程的形式规范，便于编制通用的计算机程序，在固体力学方程的数值计算方面取得巨大的成功。
但是在应用于流体流动和传热方程求解的过程中却遇到一些困难，其原因在于，按加权余量法推导出的有限元离散方程也只是对原微分方程的数学近似。
当处理流动和传热问题的守恒性、强对流、不可压缩条件等方面的要求时，有限元离散方程中的各项还无法给出合理的物理解释。