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2014年高考导数专题(含详细解答)-含答案

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专题03 导数与应用-2014年高考数学试题分项版解析(解析版)

专题03 导数与应用-2014年高考数学试题分项版解析(解析版)

专题3 导数与应用1. 【2014高考安徽卷文第15题】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3yx =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =3. 【2014高考湖南卷文第9题】若1201x x <<<，则（ ）A.2121ln ln xxe e x x ->-B.2121ln ln x xe e x x -<-C.1221xxx e x e >D.1221xxx e x e <①②解得1,2,a b =-⎧⎨=-⎩所以3a b +=-．【考点】导数与切线斜率．5. 【2014高考江西卷文第10题】在同意直角坐标系中，函数22322()2ay ax x y a x ax x a a R =-+=-++∈与的图像不可能的是（ ）6. 【2014高考江西卷文第11题】若曲线P x x y 上点ln =处的切线平行于直线P y x 则点,012=+-的坐标是_______. 【答案】(,)e e 【解析】试题分析：因为ln 1y x '=+，设切点(,)a b ，则ln 12,,k a a e =+==又ln ,b a a e ==(,).P e e 考点：利用导数求切点7. 【2014高考辽宁卷文第12题】当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 【答案】C 【解析】试题分析：不等式32430ax x x -++≥变形为3243ax x x ≥--．当0x =时，03≥-，故实数a 的取值8. 【2014高考全国1卷文第12题】已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-9. 【2014高考全国2卷文第11题】若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞10.【2014高考上海卷文第9题】设,0,()1,0,x a xf xx xx-+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f是()f x的最小值，则a的取值范围是.12. 【2014高考北京卷文第20题】已知函数3()23f x x x =-. （1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论） 【答案】(1)2;(2) (3,1)--;(3)详见解析.【解析】试题分析：（1）求导数，导数等于0求出x ，再代入原函数解析式，最后比较大小，即可；（2）设切点，由相切得出切线方程，然后列表并讨论求出结果;(3)由（2）容易得出结果.同零点”， '()g x =21212x x -=12(1)x x -，()g x 与'()g x 的情况如下：x(,0)-∞0 (0,1)1 (1,)+∞'()g x+ 0 -+ ()g xt+31t +所以，(0)3g t =+是()g x 的极大值，(1)1g t =+是()g x 的极小值，当(0)30g t =+≤，即3t ≤-时，此时()g x 在区间(,1]-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点，当(1)10g t =+≥，1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和[0,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点.当(0)0g >且(1)0g <，即31t -<<-时，因为(1)70g t -=-<，(2)110g t =+>，所以()g x 分别为区间[1,0),[0,1)-和[1,2)上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和[1,)+∞上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是(3,1)--.13.【2014高考大纲卷文第21题】函数f(x)=a x3+3x2+3x(a≠0). （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.考点：1.函数的导数；2.导数性质的应用. 14. 【2014高考福建卷文第22题】已知函数()x f x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-.（1）求a 的值及函数()f x 的极值；（2）证明：当0x >时，2x xe <（3）证明：对任意给定的正数e ，总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞时，恒有xx ce <（3）思路一：对任意给定的正数c ，取01x c=， 根据2x x e <.得到当0x x >时，21x e x x c>>. 思路二：令1(0)k k c=>，转化得到只需ln ln x x k >+成立. 分01k <≤，1k >，应用导数研究()ln ln h x x x k =--的单调性. 思路三：就①1c ≥，②01c <<，加以讨论. 试题解析：解法一：②若01c <<，令()xh x ce x =-，则'()1xh x ce =-， 令'()0h x =得1ln x c=. 当1lnx c >时，'()0h x >，()h x 单调递增. 取022ln x c =，22ln0222()2ln2(ln )ch x cec c c=-=-， 易知22ln 0c c->，又()h x 在0(,)x +∞内单调递增， 所以当0(,)x x ∈+∞时，恒有0()()0h x h x >>，即xx ce <.综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有xx ce <.考点：导数的计算及导数的应用，全称量词与存在量词，转化与化归思想，分类讨论思想.15. 【2014高考广东卷文第21题】已知函数()()32113f x x x ax a R =+++∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，试讨论是否存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）()3232000011111111233222f x f x x ax a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++-⋅++⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦323200011113222x x a x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦20000001111113224222x x x x x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20000111236122x x x x a ⎛⎫⎛⎫=-+++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()200011414712122x x x a ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭， 若存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，【考点定位】本题以三次函数为考查形式，考查利用导数求函数的单调区间，从中渗透了利用分类讨论的思想处理含参函数的单调区间问题，并考查了利用作差法求解不等式的问题，综合性强，属于难题.16. 【2014高考湖北卷文第21题】π为圆周率，⋅⋅⋅=71828.2e 为自然对数的底数. （1）求函数xxx f ln )(=的单调区间； （2）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数；（3）将3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.【答案】（1）单调增区间为),0(e ，单调减区间为),(+∞e ；（2）最大数为π3，最小数为e 3；（3）e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3.【解析】试题分析：（1）先求函数)(x f 的定义域，用导数法求函数)(x f 的单调区间；（2）利用（1）的结论结合函17. 【2014高考湖南卷文第21题】已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>.（1）求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++<. 【答案】(1) 单调递减区间为()()()2,21*k k k N ππ+∈,单调递增区间为()()()()21,22*k k k N ππ++∈.(2)详见解析【解析】试题分析:(1)对函数()f x 求导得到导函数()()'0f x x >,求()'f x 大于0和小于0的解集得到单调减区间和单调增区间,但是必须注意正余弦的周期性和原函数的定义域()0,+∞.的,故()11n n x n ππ+<<+,因此, 当1n =时,2211423x π=<; 当2n =时,()222121112413x x π+<+<; 当3n ≥时,()22222221231111111+4121n x x x x n π⎡⎤+++<++++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦()()222221231111111+51221n x x x x n n π⎡⎤⇒+++<+++⎢⎥⨯--⎣⎦2222212311111111+51221n x x x x n n π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⇒+++<+-++- ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦221162613n ππ⎛⎫=-<< ⎪-⎝⎭, 综上所述,对一切的*n N ∈,2221211123n x x x +++<. 【考点定位】导数 单调性 放缩法 裂项求和 18. 【2014高考江苏第19题】已知函数()xxf x e e -=+，其中e 是自然对数的底数.（1）证明：()f x 是R 上的偶函数； （2）若关于x 的不等式()1xmf x em -≤+-在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0(1,)x ∈+∞，使得3000()(3)f x a x x <-+成立，试比较1a e -与1e a -的大小，并证明你的结论.个幂的大小比较，我们同样适当变形，要比较它们的大小，就是要比较1a -与(1)ln e a -的大小，为此研19. 【2014高考江西文第18题】 已知函数x a ax x x f )44()(22++=，其中0<a .（1）当4-=a 时，求)(x f 的单调递增区间; （2）若)(x f 在区间]4,1[上的最小值为8，求a 的值.，min ()min{(1),(4)},f x f f =由于(1)8,f ≠所以2(4)2(6416)8,f a a =++=且(4)(1),f f <解得10a =-或6a =-(舍)，当10a =-时，()f x 在(1,4)上单调递减，满足题意，综上10a =-.试题解析：（1）定义域：[0,),+∞而 2222442012(10)(2)()(84)222x ax a x ax a x a x a f x x a x xxx++++++'=++==，当4-=a 时，2(52)(2)()x x f x x--'=，由()0f x '=得25x =或2x =，列表： x2(0,)5 252(,2)5 2 (2,)+∞ ()f x '+-+20. 【2014高考辽宁文第21题】已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，1sin 2()()11sin x xg x x x ππ-=-+-+.证明：（Ⅰ）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（Ⅱ）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+>.．因此存在唯一的1(,)2x ππ∈，使得1()0g x =．由于10x t π=-，00x t <，所以01x x π+>．【考点定位】１、函数的零点；2、利用导数判断函数单调性；3、利用导数求函数的最值．21. 【2014高考全国1文第21题】设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0（1）求b;（2）若存在01,x ≥使得()01a f x a <-，求a 的取值范围。

2014高考导数压轴题终极解答

2014高考导数压轴题终极解答

29.（转换变量后为根的分布）已知函数3()f x x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；
（2） 设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<
<． 30.已知函数()()3
2
3,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()
1,1f 处的切线方程为20y +=．
⑴求函数()f x 的解析式；
⑶ 若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．
（Ⅱ）若ln 0x kx -<在R +上恒成立，求k 的取值范围 （Ⅲ）已知10x >，20x >且12x x e +<，求证1212x x x x +>
121n ++-()1---x k
(2) 若0a >，且对(0,2]x e ∈时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围.
(3) 若12x x ≠，且12()()f x f x =，求证：12 4.x x +>
89.已知函数()ln(1),()1x
f x x
g x e =+=-， （Ⅰ）若()()F x f x px =+，求()F x 的单调区间；
()0g a =，若存在，求正整数m 的值；若不存在，说明理由。

当0x >时，()f x n >恒成立，求正整数n 的最大值。

（I）求S关于x的函数关系式，并写出该函数的定义域；
最小？。

2014全国各地数学高考试题圆锥曲线、数列、导数专项训练答案

2014全国各地数学高考试题圆锥曲线、数列、导数专项训练答案

考点14 圆锥曲线及其标准方程【4】（A ，新课标Ⅰ，理10）、C 解析：如图所示,过点Q 作QM l ⊥ 于M ，则||||QM QF =， ∵4FP FQ = ∴||3||4PQ PF = 由相似三角形的性质，可知||||||4PQ QM PF =，∴||||3QF QM ==. 【5】（A ，广东，文8）、D 解析：05k <<，∴50k ->，160k ->，从而两曲线都为双曲线，又16(5)(16)5k k +-=-+，故两双曲线的焦距相等.【6】（A ，广东，理4）、D 解析：09k <<，∴90k ->，250k ->，故两曲线都为双曲线，又25(9)(9)k k +-=-+，故两双曲线的焦距相等.【9】（B ，全国大纲，文9理6）、A解析：1AF B ∆的周长为11||||||AF AB F B ++1221||||||||AF AF F B F B =+++ 1221(||||)(||||)AF AF F B F B =+++ 224433a a a a =+==⇒=.而离心率33331333c e c a a ==⇒=⨯=⨯=， 所以222312b a c =-=-=， 从而所求椭圆的方程为22132x y +=. 【10】（B ，全国大纲，理9）、A解析：根据双曲线定义可得12||||2F A F A a -=，又因为12||2||F A F A =，所以21||2,||4AF a AF a ==，而离心率22ce c a a==⇒=，所以12||4F F a =，在12AF F ∆中，由余弦定理得222212121212||||||cos 2||||AF F F AF AF F AF F F +-∠=2224161612244a a a a a +-==⨯⨯.【11】（B ，全国大纲，文11）、C解析：设双曲线右焦点坐标为(,0)c ，由双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=得：223bc a b =+，结合222a b c +=和2ca=得：2c =，所以24c =. 【12】（B ，天津，文6理5）、AQ (2,0)Px y F O M第4题图解析：∵渐近线斜率为2，∴2=b a，∵焦点为（-5，0），∴5c =，∵222+=a b c ，∴225,20==a b .【13】（B ，重庆，文8）、D解析：由题意223,12|PF |-|PF b ab =-（|）得,3422ab b a -=得b a =4，4=ab， 所以1722222=+===ab a ac a c e . 【14】（B ，重庆，理8）、B解析：设P 在右支上，12||||2PF PF a -=，因12129||||3,||.||,4PF PF b PF PF ab +==所以 212(||||)PF PF -=212(||||)PF PF +-124PF PF ⋅，即ab b a 99422-=，由222c b a =+得35=a c . 【16】（B ，山东，理10）、A 解析：由已知得2231()1()2b b aa-⋅+=， 所以12b a =，双曲线的渐近线方程为12y x =±， 即20x y ±=.【17】(B ，辽宁，理10)、D 解析：∵点()2,3A -在抛物线2:2C y px =的准线上，∴2,42pp -=-=，∴()2,0F ，设过A 的切线的斜率为k ，则切线方程为()32y k x -=+.解方程组()2328y k x y x⎧-=+⎪⎨=⎪⎩， 得23208y k y k ⋅-++=. ∵方程组只有一组解，∴方程有一个解()()2142308kk ∆=--⨯+=， ∴()2230k k -+=，∴22320k k +-=，∴12k =，或2k =-(负值舍去). AB O Fyx第17题图∴214028y y ⋅-+=，∴216640y y -+=， ∴()8,8B ，∴804823k -==-. 【18】（C ，湖北，理9）、A解析：设椭圆的短半轴为a ，双曲线的实半轴为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，121||||2PF PF a -=， 所以11||a a PF +=，12||a a PF -=，因为6021=∠PF F ，由余弦定理得))(()()(41121212a a a a a a a a c -+--++=，所以212234a a c +=，即221134e e +=， 由柯西不等式知：111433e e +≤. 【19】（C ，福建，理9）、D解析：圆22(6)2x y +-=的圆心(0,6)C ,半径2r =，设 00(,)Q x y ，则2200110x y +=， 22220000(6)1010(6)CQ x y y y =+-=-+- 2029()503y =-++，当023y =-时，CQ 取得最大值52，所以PQ 的最大值是5262r +=.【20】（A ，北京，文10）、221x y -=解析：由题意知双曲线焦点在x 轴上，2=c ，据顶点坐标知1a =.由221c a +=求得1b =，则双曲线C 的方程为221x y -=.【21】（A ，北京，理11）、22-=1312x y ；2y x =±． 解析：双曲线1422=-x y 的渐近线为2y x =±，故C 的渐近线为x y 2±=.设C ：mx y =-224并将点()2,2代入C 的方程，解得3-=m 故C 的方程为3422-=-x y ，即112322=-yx ．【22】（A ，上海，文4理3）、2x =-解析：因椭圆 22195x y +=的2c =，所以22p=，所以抛物线的准线方程为2x =-. 【23】（A ，四川，文11）、52解析：由题意，1,2==b a ，所以5=c所以，25==a c e . 【24】（A ，陕西，文11）、1-=x解析：由抛物线准线定义知，准线方程为：1-=x .【25】（B ，江西，文14）、33解析：设点O 为坐标原点，在12Rt F F B ∆中，O 为12F F 的中点，2BF x ⊥轴，OD x ⊥轴，所以点D 为1F B 的中点，又1AD F B ⊥，所以1AF AB =，由椭圆对称性知122AF AB AF ==，通径22b AB a =，所以21232b AF AF a a +==，易得33e =. 【26】（B ，安徽，理14）、12322=+y x解析：由题意，22b AF =，)3,35(2b c B --代入椭圆方程中得：32,3122==b c ，所以:E 12322=+y x .【27】(B ，辽宁，文15理15)、12解析：设线段MN 的中点为P ，连结12,PF PF .∵M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ， ∴1222412AN BN F P F P a +=+==.OxyBANF 1F 2MPE FG xyAB CD O第27题图 第28题图【28】（B ，湖南，理15）、2+1解析：如图，因为原点O 为AD 的中点，抛物线()2:20M y px p =>经过点C ，所以点D为抛物线M 的焦点、直线AB 为抛物线M 的准线.又因为点F 在抛物线M 上，所以DF a b =+，即2b a b =+，解得21ba=+. 【29】（C ，山东，文15）、y x =±解析：由题意知2224p a c +=，所以2p b =，所以 由点(,)c b -在双曲线上可得222c a =，即a b =，所以双曲线的渐近线方程为y x =±.【30】（B ，重庆，理21）解析：（I ）设).0,(),0,(21c F c F -其中222b ac -=由22121=DF F F 得.2222211c F F DF ==从而.222221221121==⋅=∆c F F DF S F DF 故1=c 从而.221=DF 由211F F DF ⊥得292212122=+=F F DF DF 因此.2232=DF 所以22221=+=DF DF a ，故2=a ，.1222=-=c ab 因此，所求椭圆的标准方程为.1222=+y x （II ）如下页图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆222x y +1=相交，111(,)P x y ，222(,)P x y 是两个交点，10y >,20y >.2211,P F P F 是圆C 的切线，且2211P F P F ⊥.由圆和椭圆的对称性，易知21x x =-，12y y =，121||2||PP x =. 由（I ）知).0,1(),0,1(21F F -所以1111(1,)FP x y =+， 2211(1,)F P x y =--. 再由2211P F P F ⊥得0)1(2121=++-y x .由椭圆方程,122121=+y x 知1)1(22121=++x x ， 即043121=+x x 解得 143x =-或10x =.当01=x 时，21,P P 重合，此时题设要求的圆不存在.当341-=x 时，过21,P P 分别与2211,P F P F 垂直的直线的交点即为圆心C . 由2211,P F P F 是圆C 的切线，且2211P F P F ⊥，21CP CP ⊥，又.21CP CP =故圆C 的半径.2342221211===x P P CP 【31】（C ，重庆，文21）解析：（I ）设12(,0),(,0)F c F c -，其中222c a b =-，由12122F F DF =得1212222F F DF c ==从而，c F F DF S F ΔDF 222221221121===1c = 从而22DF 1=，112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，所以2322DF = yxP 1P 2DF 1F 2OC第30(II)、31(II)题图所以12222a DF DF =+=，故2a =，2b =221a c -=.因此，所求椭圆的标准方程为2212x y +=.（II ）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，111222(,),(,)P x y P x y 是两个交点，01>y ，02>y ，1122,F P F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥.由圆和椭圆的对称性易知2112,x x y y =-=由（I ）知12(1,0),(1,0)F F -. 所以11112211(1,),(1,)F P x y F P x y =+=-- 再由1122F P F P ⊥得2211(1)0x y -++=.由椭圆方程得2121)1(21+=-x x ，即043121=+x x ，解得341-=x ，或01=x . 当10x =时，12,P P 重合，题设要求的圆不存在.当143x =-时，过12,P P 分别与1122,F P F P 垂直的直线的交点即为圆心C .由2211,P F P F 是圆C 的切线，且2211P F P F ⊥，21CP CP ⊥，又.21CP CP =故圆C 的半径.2342221211===x P P CP 设0(0,)C y ,由111CP F P ⊥,得10111 1.1y y y x x -⋅=-+ 而11113y x =+=，故05.3y =综上，存在满足题设条件的圆，其方程为22532()39x y +-=. 考点15 直线与圆锥曲线【1】（B ，新课标II ，文10）、C解析：法1 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线方程得3(,0)4F ，依题设直线AB 方程为33()34y x =-，由方程组233()343y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消y 得2219216x x -+0=， ∴21AB k a =+V 144191344=+-12=.法2 易得抛物线23y x =的焦点()3,04F ，从而直线AB 的方程为：33()34y x =-. 由233()343x y y x ⎧==-⎪⎨⎪⎩消y 得21616890x x -+=，所以12212x x +=，12||=3122x x AB ++=.【2】（B ，新课标II ，理10）、D解析：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线方程得3(,0)4F ，依题意设直线AB 方程为33()34y x =-，由方程组233()343y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩消x 得293304y y --=，∴1233y y +=，1294y y =-， ∴12y y -21212()46y y y y =+-=，012113962244A B S OF y y ∆∴=⨯⨯-=⨯⨯=.【3】（B ，湖北，文8）、A 解析：由于b a ,是关于t 的方程0sin cos 2=+θθt t 的两个不等实根，所以sin cos a b θθ+=-，0ab =过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点 的直线为222()b a y a x a b a--=--， 即y =(b+a)x -ab ，即sin cos y x θθ=-，因为双曲线22221cos sin x y θθ-=的一条渐近线方程为sin cos y x θθ=-，所以过),(2a a A ),(2b b B ，两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为0．【4】（C ，四川，文10理10）、B解析：由题意)0,41(F ，设),(),,(222121y y B y y A ，由2=⋅OB OA ，知2212221=+y y y y ，所以221-=y y 或1，又点B A ,在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以221-=y y .而AFO ∆的面积⨯=211S ||81||4111y y =⨯，设直线AB 与x 轴的交点为C ，直线AB 的方程为)(212122121y x y y y y y y ---=-，令0=y ，知21y y x -=，即2||=OC ，所以ABO ∆的面积|2|||22111122y y y y S +=-⨯⨯=，故=+21S S |2|||89||81|2|11111y y y y y +=++3≥，当且仅当|2|||8911y y =，即34||1=y 时等号成立.【5】（B ，江西，理15）、22解析：设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则2A B x x +=，2A B y y +=，将,A B 两点代入椭圆方程得222222221(1)1(2)A AB B x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由(1)(2)-得 22()()()()0A B A B A B A B x x x x y y y y a b +-+-+=则22221()02a b +⋅-=，即222222()a b a c ==-，可得离心率22e =. 【6】（B ，浙江，文17理16）、52解析：不妨设A 点为直线30x y m -+=与渐近线b y x a =的交点，联立30x y m by x a -+=⎧⎪⎨=⎪⎩可得：33am x b abm y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，即A 点的坐标为,33am bm A b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，同理可得,33am bm B b a b a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.令AB 中点为C ，则()()()()223,3333ma mb C b a b a b a b a ⎛⎫ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭.由PA PB =，所以PC AB ⊥，即1PC AB k k ⋅=-.因为13AB k =，所以3PC k =-.因为点(),0P m ，所以()()()()()2222223333=3933mb b a b a b ma a b a m b a b a +-=----+- 所以，222554542c a e e =⇒=⇒=. 【7】（B ，湖南，文14）、()1(1)-∞-+∞，，解析：机器人的运动轨迹方程为24y x =，设过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =+，代入24y x =，整理得2222(24)0k x k x k +-+=，所以22222(24)416160k k k k ∆=--⨯⨯=-+<，解得：()1(1)k ∈-∞-+∞，，.【8】（B ，新课标I ，理20）解析：（I ）设(,0)F c ，∵2233c =∴3c = 又∵32c a =∴2a =∴2222(3)1b =-=故E 的方程为2214x y +=. （II ）当l x ⊥轴时不合题意，故设:2l y kx =-，()11,P x y ，22(,)Q x y ，由22244y kx x y =-⎧⎨+=⎩消去y ，得 22(14)16120k x kx +-+=. ∵直线l 与E 交于P 、Q 两点∴()222=(16)412(14)16430k k k ∆--⋅⋅+=->即234k >∴222224143=11441k k PQ k k k ∆+⋅-+=++ 又点O 到直线PQ 的距离221d k =+.∴OPQ ∆的面积221443241OPQk S d PQ k ∆-=⋅=+ 设243(0)k t t -=>，则2243k t =+∴244414424OPQ t S t t t ∆==≤=++ 当且仅当2t =即72k =±时等号成立所以，当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为722y x =-或722y x =--. 【9】（B ，新课标II ，文20理20）解析：(I)根据22c a b =-及题设知2(,)b M c a，223b ac =，将222b ac =-代入223b ac =，解得12c a =，2c a =-（舍去）.故C 的离心率是12.(II)由题意，原点O 为12F F 的中点，2MF ∥y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a =……①，由 15MN F N =得112DF F N =.设11(,)N x y ，由题意知10y <，则112(),22,c x c y --=⎧⎨-=⎩即113,21,x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，代入C 的方程，得2229114c a b +=. ②将①及22c a b =-代入②得229(4)1144a a a a-+=，解得7a =，2428b a ==故，7a =，27b =. 【10】（B ，湖北，文22理21）解析：（I ）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+，即22(1)||1x y x -+=+，化简整理得22(||)y x x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩（II ）在点M 的轨迹C 中，记1:C 24y x =，2:C 0(0)y x =<. 依题意，可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+ 由方程组21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩可得244(21)0.ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =.故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4.（2）当0k ≠时，方程①216(21)k k ∆=-+- ②，设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则 由1(2)y k x -=+，得kk x 120+-=. ③ （i ）若00,0,x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1-<k ，或21>k .即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l与轨迹C 恰好有一个公共点.（ii ）若00,0,x ∆=⎧⎨<⎩或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<.即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点.当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点.故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.（iii ）若00,0,x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<.即当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合（I ）（II ）可知，当(,1)k ∈-∞-1(,)2+∞ {0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.【11】（B ，江西，文20） 解析：（I ）设直线AB 方程为2y kx =+，代入24x y =，得24(2)x kx =+，即2480x kx --=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：128x x =-，直线AO的方程为11yy x x =；BD 的方程为2x x =.解得交点D 的坐标为2121x x y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩.由于128x x =-，2114x y =，则有121122112y x y x x y x x ===-， 因此动点D 在定直线2y =-上（0x ≠）.（II ）依题意知切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为(0)y ax b a =+≠，代入24x y =得24()x ax b =+，即2440x ax b --=，由2(4)160a a ∆=+=，化简整理得2b a =-，故切线l 的方程可写为2y ax a =-.分别令2 2y y ==-、得 1222(,2), (,2) N a N a a a+-+-，则222222122()4()8MN MN a a a a-=-+-+=，即2221MN MN -为定值8.【12】（B ，江苏，文理17） 解析：（I ）22==a BF ，又⎪⎭⎫ ⎝⎛3134，C ，∴131234222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛b ，解得1=b .所以椭圆方程为1222=+y x ； （II ）直线2BF 方程为1=+byc x ，与椭圆方程12222=+b y a x 联立方程组，解得A 的坐标为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+223222,2c a b c a c a ， 则C 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++223222,2c a b c a c a .∴13233F C b k a c c=+，又c bk AB -=， 由AB C F ⊥1得32313b b a c c c ⎛⎫⋅-=- ⎪+⎝⎭即42243b a c c =+，∴()4222223c c a c a +=-，化简得55==a c e . 【13】（B ，安徽，理19）解析：（I ）设直线21,l l 的方程分别为)0,(,2121≠==k k x k y x k y ，则由,1x k y =x p y 122=联立得).2,2(112111k p k p A 由,1x k y =x p y 222=联立得).2,2(122122k p k p A 同理可得),2,2(212211k p k p B ).2,2(222222k p k p B 所以)22,22(112121122111k p k p k p k p B A --= ),11,11(21221221k k k k p --= )22,22(122221222222k pk p k p k p B A --=),11,11(21221222k k k k p --=故,222111B A p pB A =所以，.//2211B A B A（II ）由（I ）知，.//2211B A B A 同理可得 .//,//22112211A C A C C B C B所以111222~A B C A B C ∆∆因此，2221121)(B A B A S S =.又由（I ）中的 ,222111B A p p B A =知.212211p p B A B A =故.222121p p S S =【14】（B ，辽宁，文20）解析：（I ）设切点坐标为()00,x y ()000,0x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为()0000x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形的面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由于22000042x y x y +=≥，知当且仅当002x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为()2,2.（II ）设C 的标准方程为()222210x y a b a b+=>>.点()()1122,,,A x y B x y .由点P 在C 上知22221a b +=，并由222213x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22243620b x x b ++-=， 又12,x x 是方程的根，因此12221224362x x b b x x b ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩.由11223,3y x y x =+=+，得241224824822b b AB x x b -+=-=⋅. 由点P 到直线l 的距离为32及13222PAB S AB ==△得429180b b -+=， 解得26b =或3，因此236,3b a ==(舍去)或223,6b a ==.从而所求的C 的方程为22163x y +=. 【15】（B ，辽宁，理20）解析：（I ）设切点坐标为()00,x y ()000,0x y >>， 则切线斜率为0x y -，切线方程为 ()0000x y y x x y -=--，即004x x y y +=， 此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形的面积为000014482S x y x y =⋅⋅=. 由于22000042x y x y +=≥，知当且仅当002x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此P 点的坐标为()2,2.由题意知222222213a b a b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得221,2a b ==，故1C 的方程为2212y x -=. （II ）由（I ）知2C 的焦点坐标为()()3,0,3,0-，由此设2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >. 由()2,2P在2C 上，得22112213b b +=+，解得213b =，因此2C 的方程22163x y +=. 显然，l 不是直线0y =.设l 的方程为3x my =+，点()11,A x y ，()22,B x y .由223163x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得 ()2222330m y my ++-=，又12,y y 是方程的根，因此11212223232m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②由113x my =+，223x my =+，得1222122432662x x m m x x m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩③④因为()112,2AP x y =--，()222,2BP x y =--，由题意知0AP BP ⋅=，所以()12122x x x x -+ ()1212240y y y y +-++= ⑤ 将①②③④代入⑤整理得222646110m m -+-=，解得3612m =-或612m =-+. 因此直线l 的方程为36(1)302x y ---=或 6(1)302x y ++-=.【16】（B ，陕西，文20）解析：（I ）由题设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===，，，222213c a b a c b 解得1,3,2===c b a ，∴椭圆的方程为13422=+y x . （II ）由题设，以21,F F 为直径的圆的方程为122=+y x ，圆心到直线l 的距离52m d =，由1<d 得25<m .(*)∴212d CD -= 2245525412m m -=-=.设),(11y x A ，),(22y x B ，由221,431,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得 0322=-+-m mx x ，由求根公式可得m x x =+21，3221-=m x x .∴[])3(4)21(1222--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=m m AB24215m -=.由435=CD AB 得 145422=--mm ，解得33±=m ，满足(*).∴直线l 的方程为3321+-=x y 或3321--=x y .【17】（B ，陕西，理20）解析：（I ）在1C ，2C 的方程中，令0=y ，可得1=b ，且)0,1(-A ，)0,1(B 是上半椭圆1C 的左右顶点.设1C 的半焦距为c ，由23=a c 及1222==-b c a 得 2=a .2=∴a ，1=b .（II ）法1 由（I ）知，上半椭圆1C 的方程为)0(1422≥=+y x y .易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为)0)(1(≠-=k x k y ，代入1C 的方程，整理得042)4(2222=-+-+k x k x k （*）.设点P 的坐标为),(P P y x ， 直线l 过点B ，∴1=x 是（*）的一个根.由求根公式，得，4422+-=k k x P ，从而482+-=k k y P ，点P 的坐标为)48,44(222+-+-k kk k .同理，由2(1)(0),1(0),y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为)2,1(2k k k ----. )4,(422-+=∴k k kAP ， )2,1(+-=k k AQ .AQ AP ⊥ ∴0=⋅AQ AP ，即[]0)2(44222=+-+-k k k k ，0≠k ，0)2(4=+-∴k k ，解得38-=k .经检验，38-=k 符合题意，故直线l 的方程为)1(38--=x y .法2 设直线l 的方程为)0(1≠+=m my x ，其余同解法1.【18】（C ，全国大纲，文22理21）解析：（I ）设0(,4)Q x ，代入22y px =得08x p=， 所以8PQ p =，0822p p QF x p=+=+， 由题设得85824p p p+=⨯.解得2p =-或2p =， 所以C 的方程为24y x =.（II ）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为1x my =+（0m ≠），代入24y x =得2440y my --=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y m +=，124y y =-，故AB 的中点为2(21,2)D m m +.222114(1)AB m y y m =+-=+.又l '的斜率为m -，所以l '的方程为2123x y m m=-++. 将上式代入24y x =，并整理得：2244(23)0y y m m +-+=. 设33(,)M x y ，44(,)N x y ，则344y y m+=-，2344(23)y y m =-+.故MN 的中点为2222(23,)E m m m++-.22432214(1)211m m MN y y m m ++=+-=， 由于MN 垂直平分AB ，故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而2221144AB DE MN +=，即22222224(1)(2)(2)m m m m+++++222224(1)(21)m m m++= 化简得210m -=，解得1m =或1m =-.所求直线l 的方程为：10x y --=或10x y +-=.【19】（C ，北京，文19）解析：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为12422=+y x . 所以42=a ，22=b ，从而2222=-=b a c . 因此2=a ，2=c .故椭圆C 的离心率22==a c e . （II ）法1 设点A ，B 的坐标分别为()2,t ，()00,y x ，其中00≠x . 因为OB OA ⊥，所以0=⋅OB OA 即0200=+y tx ，解得02x y t -=，又422020=+y x ，所以()()202022-+-=y t x AB=()20200022-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y x =4420202020+++x y y x=4822020++x x （4020≤<x ）. 4822020≥+x x （4020≤<x ），且当420=x 时等号成立. ∴28AB ≥.故线段AB 长度的最小值为22. （II ）法2 设00(,)A x y ，00(,)B y x λλ-，则02200224x x y λ=⎧⎨+=⎩ ∴ 2024x λ=2202220y λλ-=≥ ∴ 2220021||2(1)OA x y λ=+=+∴ 22||2(1)OB λ=+∴ 2222222(1)||||||AB OA OB λλ+=+=2212(2)2(22)8λλ=++≥+=当且仅当21λ=时取等号，故线段AB 长度的最小值为22. 【20】（C ，北京，理19）解析：（I ）椭圆的标准方程为：12422=+y x ，2=a ，2=b ，则2=c ，离心率22==a c e ． （II ）由题意知，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为kx y =．又OB OA ⊥.法1：①当0=k 时，()0,2±A ，易知)2,0(B ，此时直线AB 的方程为2=+y x 或2=+-y x ．原点到直线AB 的距离为2，此时直线AB 与圆222=+y x 相切．②当0≠k 时，直线OB 的方程为x ky 1-=， 联立⎩⎨⎧=+=4222y x kx y 得点A 的坐标 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++22212,212k k k或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-22212,212k k k ； 联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=21y x k y 得点B 的坐标()2,2k -，由点A 的坐标的对称性知，无妨取点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++22212,212k k kA 进行计算，于是直线AB 的方程为：()222212222212kk y x k kk-+-=+++=()k x kk k k 22112122++++-，即02221121222=++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k y k k x k k ，原点到直线AB 的距离 2211212222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=k k k k k d ，此时直线AB 与圆222=+y x 相切．综上知，直线AB 一定与圆222=+y x 相切．法2：①当0=k 时，()0,2±A ，易知)2,0(B ，此时2=OA ，2=OB ，222222=+=AB ，原点到直线AB 的距离22222=⨯=⋅=AB OBOA d ，此时直线AB 与圆222=+y x 相切．②当0≠k 时，直线OB 的方程为x ky 1-=，设()11,y x A ，()22,y x B ，则121x k OA +=， ()221y k OB -+=212k +=，联立⎩⎨⎧=+=4222y x kx y 得点A 的坐标⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++22212,212k k k或⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-22212,212k k k ； 于是22221121k k x k OA A ++=+=，212k OB +=．()()()2222221122142114kk k k k AB ++=++++=． 所以()22112212211222222=+++⋅++=⋅=k k k kk ABOB OA d ，直线AB 与圆222=+y x 相切．综上知，直线AB 一定与圆222=+y x 相切． （II ）法3：设00(,)A x y ，00(,)B y x λλ-，则02200224x x y λ=⎧⎨+=⎩ ∴ 2024x λ=2202220y λλ-=≥即21λ≥ ∴ 2220021||2(1)OA x y λ=+=+∴ 22||2(1)OB λ=+∴ 2222222(1)||||||AB OA OB λλ+=+=设点O 到直线AB 的距离为d ，则2222||||2||OA OB d AB ⋅==即2d = 所以直线AB 与圆222xy +=相切.【21】（C ，天津，文18）解析：（I ）设椭圆右焦点2F 的坐标为（c ，0）.由1232=AB F F ，可得2223a b c +=，又 222b ac =-，则2212c a =.所以椭圆离心率22e =.（II ）由（I ）知222a c =，22b c =.故椭圆方程为222212+=x y c c，设00(,)P x y 由1(,0)F c -，(0,)B c 有100(,)F P x c y =+，1(,)F B c c =，由已知，110FB FP ⋅=，即00()0x c c y c ++=又0c ≠，故有000x y c ++=. ①，因为点P 在椭圆上，故22002212+=x y c c. ②.由①②可得200340x cx +=，而点P 不是椭圆顶点， 故043x =-代入①得03c y =即点P 的坐标为4(,)33c c-. 设圆的圆心为11(,)T x y ，则142323c c c x -+==-，12323c ccy +==，进而圆的半径22115(0)()3r x y c c =-+-=.由已知有22222TF MF r =+，又222MF =，故有222225()(0)8339c c c c ++-=+，解得23c =所以，所求椭圆为22163+=x y .【22】（C ，天津，理18）解析：（I ）设椭圆右焦点2F 的坐标为)0,(c 由1232=AB F F ，可得2223a b c +=， 又222b ac =-，则2212c a =. 所以椭圆离心率e =22. （II ）由（I ）知222a c =，22b =c .故椭圆方程为222212+=x y c c，设00P x ,y .（）由1F c 0,B(0,c)（-，），有100F P =x +c,y （），1F B =c,c （），因为以线段PB 为直径的圆经过点1F ，所以11F P F B =0⋅，即00()0x c c y c ++=，又0c ≠，故有000x y c ++=①，因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c+= ②.由①②可得043020=+cx x . 而点P 不是椭圆顶点，故c x 340-=代入①得30cy =即点P 的坐标为)3,34(cc -.设圆的圆心为),(11y x T ，则1402323c c x -+==-，12323c cc y +==，进而圆的半径22115(0)()3r x y c c =-+-= 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =，由l 与圆相切，可得1121kx y r k -=+，即222()53331c k c c k --=+,整理得2810k k -+=，解得154±=k .所以，直线l 的斜率为415+或415-. 【23】（C ，上海，文22理22）解析：理解点被直线分割、直线为曲线的一条分割线是解题的关键.（I ）、（II ）只需直接用题设的定义即可.（I ）因(121)(12)0+-⋅--<，所以又定义知，点A 、B 被直线10x y +-=分割. （II ）双曲线的渐近线为12y x =±，当12k ≤-或12k ≥时，把y kx =代入双曲线2241x y -=得22(14)1k x -=.因2140k -≤，故上述方程无实数解，即直线y kx =与双曲线2241x y -=不相交，又存在两点(1,0),(1,0)-满足20k η=-<，根据分割线的定义，12k ≤-或12k ≥.（Ⅲ）法1 设(,)M x y ，根据题设得E 方程是22(2)||1x y x +-⋅=(0)x ≠.因0x =不满足上述方程，且以x -代x 上述方程不变知曲线关于y 对称，所以直线0x =是的一条分割线.若y kx =是E 的另一条分割线，代入E 的方程得222[(2)]1x kx x +-⋅=. 要直接证明这个方程有解是困难的，变形为2221(2)x kx x +-=，记221(2)y x kx =+-，221y x =，则1y 是开口向上的二次函数，2y 是关于y 轴对称的幂函数，它们总有交点，即直线y kx =与E 有交点，与分隔线的定义矛盾.所以E 有且仅有一条分割线0x =. （Ⅲ）法2（数形结合法）曲线E ：22(,)(2)10F x y x y x =+-⋅-=满足：由(,)(,)F x y F x y -=知，曲线E 关于y 轴对称；由(,)(,4)F x y F x y =-知，曲线E 关于y =2轴对称；由(,)(,4)F x y F x y =--知，曲线E 关于点(0,2)中心对称；222221(2)10(2)=0x y x y x x+-⋅-=⇒--≥， [)(]1,00,1,x ∈-取曲线E 在y 右侧且20x →时y 趋于无穷大，可得y 轴为曲线E 的渐近线，得曲线E 上点的纵坐标范围为y ∈R ，数形结合可得曲线E 上任意一点与原点连线的斜率范围为R ，即过原点而斜率存在的直线一定与曲线E 相交，故都不是曲线E 的分割线.即通过原点的直线中，有且仅有一条直线y 轴是E 的分割线.（Ⅲ）法3（函数方程思想1）对于任意一条直线()y a a =∈R 与曲线E ：22(,)(2)10F x y x y x =+-⋅-=，由22(),(2)10.y a a x y x =∈⎧⎪⎨+-⋅-=⎪⎩R 得 422(2)10x a x +--=，令2t x =，得 22(2)10t a t +--=.因2(2)40a ∆=-+>恒成立，且1210t t =-<，所以方程有正实数解0t ，存在与之相应的00x ≠，从而在E 上存在00(,)x y ，其与原点连线的直线斜率存在.即过原点而斜率存在的直线一定与曲线E 相交，故都不是曲线E 的分割线.所以，通过原点的直线中，有且仅有一条直线y 轴是E 的分割线.（Ⅲ）法4（函数方程思想2）对于任意一条直线()y kx k =∈R 与曲线E ：22(,)(2)10F x y x y x =+-⋅-=，由22(2)10.y kx x y x =⎧⎪⎨+-⋅-=⎪⎩得 222(1)2410k x kx x ⎡⎤+-+-=⎣⎦，得方程2432(1)2410,k x kx x +-+-=令2432()(1)241f x k x kx x =+-+-，22(0)1,(1)(1)30,(1)(1)10(0)(1)0,(0)(1)0f f k f k f f f f =--=++>=-+><-<由函数的零点存在性定理，无论k 取何实数，函数()f x 在区间(0,1)(1,0)-和有实根，则过原点而斜率存在的直线一定与曲线E 相交，故都不是曲线E 的分割线. 【24】（C ，江西，理20）解析：（I ）设(,0)F c ，可知21c a =+，直线OB 方程为1y x a =-，直线BF 方程为1()y x c a =-，直线OA 的方程为1y x a=，则(,)c A c a ，(,)22c c B a -，()322AB c c a a k c a c --==-.又因为AB OB ⊥，所以31()1a a⋅-=-，解得 23a =，故双曲线C 的方程为2213x y -=.（II ）由（I ）知直线l 的方程为0013x xy y -=0(0)y ≠与直线AF ：2x =交点0023(2,)3x M y -；与直线32x =的交点0363(,)26x N y -. 则202220022200020(23)(3)(23)4(36)1333(2)4(6)x MF y x x y x NF y --==⋅-+-+ 由220013x y -=，代入整理得2243MF NF=，所求定值 为233MF NF=. 【25】（C ，四川，文20）解析：（I ）由已知可得，236==c a c ，， 所以6=a . 又由222c b a +=，解得2=b ，所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . （II ）设T 点的坐标为()m ,3-，则直线TF 的斜率m m k TF -=----=)2(30.当0≠m 时，直线PQ 的斜率mk PQ 1=，直线PQ 方程是2-=my x . 当0=m 时，直线PQ 方程是2-=x ，也符合2-=my x 的形式.设()()2211,,,y x Q y x P ，将直线PQ 的方程与椭圆方程联立，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=126222y x m y x ，消去x ，得()024322=--+my y m，其判别式为 ()0381622>++=∆m m .所以32,34221221+-=⋅+=+m y y m m y y ， ()312422121+-=-+=+m y y m x x .因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以QT OP =，即()()2211,3,y m x y x ---=所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+-=+343312221221m m y y m x x解得1±=m .此时，四边形OPTQ 的面积 212122y y OF S S OPQ OPTQ -⋅⋅⨯==32324)34(2222=+-⋅-+=m m m .【26】（C ，四川，理20）解析：（I ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧=-==+42222222b a c b b a ，解得2,622==b a .所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . （II ）（i ）由（I ）可得F 的坐标是)0,2(-，设T 点的坐标是),3(m -，则直线TF 的斜率m m k TF -=----=)2(30.当0≠m 时，直线PQ 的斜率mk PQ 1=，直线PQ 的方程是2-=my x . 当0=m 时，直线PQ 的方程是2-=x ，也符合2-=my x 的形式.设),(),,(2211y x Q y x P ，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=126222y x my x . 消去x ，得024)3(22=--+my y m ， 其判别式0)3(81622>++=m m ∆.所以32,34221221+-=+=+m y y m m y y ， 3124)(22121+-=-+=+m y y m x x .所以PQ 的中点M 的坐标为)32,36(22++-m mm 直线OM 的斜率3mk OM -=.又直线OT 的斜率3mk OT -=，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ . （ii ）由（i ）可得，1||2+=m TF ，221221)()(||y y x x PQ -+-=]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+-⋅-++=m m m m3)1(2422++=m m . 所以，222||1(3)||241TF m PQ m +=⋅+ 33)44(241)4141(24122=+⋅≥++++⋅=m m 当且仅当14122+=+m m ，即1±=m 时，等号成立，此时||||PQ TF 取得最小值.所以当||||PQ TF 最小时，T 点的坐标是)1,3(-或)1,3(--.【27】（C ，广东，文20理20） 解析：（I ）依题可知5c =，53c e a ==， 3a ∴=，222b a c =-=.∴椭圆C 的标准方程为22194x y += ①. （II ）法1 当切线的斜率为0或不存在时，P 的坐标为(32±±，）；当切线的斜率存在且不为0时，设切线的方程为00()y y k x x -=- ②. 联立①②消去y ，得220049()36x kx y kx ++-=，即2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++-+--=因为直线与椭圆相切，所以0∆=，即2220000[18()]4(49)[9()36]0k y kx k y kx --+--=化简得2220000(9)2(4)0x k x y k y --+-= ③， 过点P 的两条切线互相垂直，∴③中的两根满足：121k k =-，∴2020419y x -=--，即220013x y += ④当切线的斜率为0或不存在时，P 的坐标满足④，所以点P 的轨迹方程为2213x y +=.（II ）法2 记两切线为12l l ，，依题意可设010cos :sin x x t l y y t θθ=+⎧⎨=+⎩ ②， 020cos()2:sin()2x x t l y y t πθπθ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ ③，联立①②，消去x y ，，得 22004(cos )9(sin )36x t y t θθ+++=，即2200(45sin )(8cos 18sin )t x y t θθθ+++220049360x y ++-=，由0∆=，得200)sin 18cos 8(y x θθ+222004(45sin )(4936)x y θ=++-，化简得 200(4cos 9sin )x y θ+20(45sin )(4x θ=++ 20936)y - ④同理，得200[4cos()9sin()]22x y ππθθ+++22200[45sin ()](4936)2x y πθ=+++-，即)3694)(cos 9sin 4(20000-++-=y x y x θθ ⑤④+⑤，得)3694(1381620202020-+=+y x y x ， 化简，得132020=+y x .所以点P 的轨迹方程为2213x y +=.（II ）法3 当切线的斜率为0或不存在时，P 的坐标为(32±±，）；当切线的斜率存在且不为0时，设切线的方程为00()y y k x x -=-.令3x X =，2yY =，则3x X =，2y Y =. 于是椭圆22194x y +=转化为圆221X Y +=，切线00()y y k x x -=-转化为00320kX Y kx y --+=.由于伸缩变换后圆与直线仍是相切的，故圆心到直线的距离00221(3)(2)kx y d k -+==+-，即2200()94kx y k -+=+，化简得2220000(9)240x k x y k y --+-= ②，过点P 的两条切线互相垂直，∴②中的两根满足：121k k =-，∴2020419y x -=--，即220013x y += ③， 当切线的斜率为0或不存在时，P 的坐标满足③，所以点P 的轨迹方程为2213x y +=. 【28】（C ，山东，文21）解析：（Ｉ）由题意知2232a b a -=，可得 224a b =，椭圆C 的方程可简化为2224x y a +=，将y x =代入可得55ax =±，因此 25410255a ⨯=，可得2a =，因此1b =，所 以椭圆C 的方程为2214x y +=． （II ）（i ）设11(,)A x y 11(0)x y ≠，22(,)D x y ，则11(,)B x y --，因为直线AB 的斜率11AB y k x =，又 AD AB ⊥，所以直线AD 的斜率11x k y =-．设直线 AD 的方程是y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠．由2214y kx mx y =++=⎧⎪⎨⎪⎩可得 222(14)8440k x mkx m +++-=，所以221418k mkx x +-=+，因此221214122)(k mm x x k y y +=++=+，由题意12x x ≠-，所以1211121144y y y k x x k x +==-=+，所以直线BD 的方程为1111()4yy y x x x +=+，令0y =得13x x =，即1(3,0)M x ,可得1212yk x =-,所以1212k k =-，即12λ=-，因此，存在常数12λ=-使得结论成立．（ii ）直线BD 的方程1111()4yy y x x x +=+，令0x =，得134y y =-，即13(0,)4N y -，由（i ）知1(3,0)M x ，可得OMN ∆的面积11111393248S x y x y =⋅⋅=，因为22111114x x y y ≤+=，当且仅当 11222x y ==时取等号，此时S 取最大值98，所以OMN ∆面积的最大值为98． 【29】（C ，山东，理21） 解析：（I ）由题意知(,0)2p F ，即32pAF =+，代 入cos 323p AF π+⋅=得2p =，即C 的方程是24y x =； （II ）（ⅰ）由（I ）知(1,0)F ．设00(,)A x y0(0)x ≠，11(,0)(1)D x x >，由FA FD =知1011x x -=+，即102x x =+，也即0(2,0)D x +，所以00012AB y yk x x ==--．设直线1l 的方程是02y y x b =-+，代入抛物线24y x =有22200(4)04y x by x b -++=，由0∆=知020by +=，解得20044(,)E y y - （1）若204y ≠时，0E AE E y y k x x -==-02020444y y y y --=-02044y y -，直线AE 的方程为00204()4y y y x x y -=--，整理得0204(1)4yy x y =--，恒过定点(1,0)；（2）若204y =时，直线AE 的方程为1x =，也过(1,0)； 综上所述，直线AE 恒过定点(1,0)F ． （ii ）由（i ）知直线AE 恒过定点(1,0)F ，所以000011(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++， 设直线AE 的方程为1x my =+，因为点00(,)A x y 在直线AE 上，代入得001x m y -=，设22(,)B x y ，直线AB 的方程为000()2y y y x x -=--，因为00y ≠，所以0022x y x y =-++， 代入抛物线24y x =有2008840y y x y +--=， 所以0208y y y +=-，2008y y y =--，20044x x x =++，所以点B 到直线AE 的距离是000002484()14(1)1x m y x y x d x m ++++-+==+ 0014()x x =+，则ABE ∆的面积 00001114()(2)162S x x x x =⋅+++≥，当且仅当001x x =，即01x =时取等号．所以ABE ∆的面积最小值为16.【30】（C ，安徽，文21）。

2014年5月 高考数学20、21 圆锥曲线+导数 含答案详解

2014年5月 高考数学20、21 圆锥曲线+导数 含答案详解

2014年5月向波的高中数学组卷一．解答题（共6小题）1．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．2．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（2，0）的引斜率为k的直线与椭圆C相交于两点G、H，设P为椭圆C上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围？3．已知函数g（x）=xlnx（Ⅰ）求g（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若x1，x2∈（，1），x1+x2＜1，求证：x1x2＜（x1+x2）4．4．（2013•成都二模）巳知椭圆E：（a＞b＞0）以抛物线y2=8x的焦点为顶点，且离心率为（I）求椭圆E的方程（II）若F为椭圆E的左焦点，O为坐标原点，直线l：y=kx+m与椭圆E相交于A、B 两点，与直线x=﹣4相交于Q点，P是椭圆E上一点且满足，证明为定值并求出该值．5．（2009•四川）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，右准线方程为x=2．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且，求直线l的方程．6．（2012•成都模拟）如图，线段AB过y轴上一点N（0，m），AB所在直线的斜率为k（k≠0），两端点A，B到y 轴的距离之差为4k．（1）求出以y轴为对称轴，过A，O，B三点的抛物线方程；（2）过抛物线的焦点F作动弦CD，过C，D两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求出的值．2014年5月向波的高中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）1．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；（Ⅱ）f′（x）=1﹣，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点⇔方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．（Ⅱ）f′（x）=1﹣，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；②当a＞0时，令f′（x）=0，得e x=a，x=lna，x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．综上，当当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，所以k的最大值为1．点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．2．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（2，0）的引斜率为k的直线与椭圆C相交于两点G、H，设P为椭圆C上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围？考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，求出几何量，即可求椭圆C的方程；（2）设直线y=k（x﹣2），联立椭圆，△＞0，得，条件转换一下就是，根据弦长公式，得到，然后把把P点的横纵坐标用t，x1，x2表示出来，设G（x1，y1），H（x2，y2），其中要把y1，y2分别用直线代换，最后还要根据根系关系把x1，x2消成k，得，代入椭圆，得到关系式，所以，根据利用已经解的范围得到．解答：解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，∴b=1，=，∵a2=b2+c2，∴a=，b=1，∴椭圆C的方程为…（3分）（2）设G（x1，y1），H（x2，y2），设直线y=k（x﹣2），联立椭圆，可得（1+2k2）x2﹣8kx+8k2﹣2=0△=（﹣8k）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，得，…（5分）条件转换一下就是，∵x1+x2=，x1x2=根据弦长公式，•＜，得到．…（7分）设P（x，y），则∵，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），∴x=（x1+x2），y=（y1+y2）根据x1+x2=，x1x2=，把x1，x2消成k，得（9分）然后代入椭圆，得到关系式，…（11分）∴，∵，∴实数t的取值范围为…（13分）点评：本题考查椭圆的方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，有难度．3．已知函数g（x）=xlnx（Ⅰ）求g（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若x1，x2∈（，1），x1+x2＜1，求证：x1x2＜（x1+x2）4．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，利用导数的几何意义即可求g（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求函数f'（x），利用函数的单调性和导数之间的关系即可求出的单调区间；（Ⅲ）根据基本不等式的解法即可证明不等式．解答：解（Ⅰ）函数的定义域为{x|x＞0}，∵g（x）=xlnx∴g'（x）=lnx+1，∴g'（1）=1，g（1）=0，∴g（x）在x=1处的切线方程为y=x﹣1．（Ⅱ）∵，∴，由f'（x）=0，得，当a=﹣1，y=f（x）的单调增区间（0，+∞），当a＜﹣1时，函数y=f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是（Ⅲ），∴在上g（x）是增函数，上是减函数∵，∴g（x1+x2）=（x1+x2）ln（x1+x2）＞g（x1）=x1ln⁡x，即，同理．∴=．又∵，当且仅当“x1=x2”时，取等号．又，x1+x2＜1，ln（x1+x2）＜0，∴，∴ln⁡x1+lnx2＜4ln（x1+x2），即：x1x2＜（x1+x2）4．成立．点评：本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，综合性较强，运算量较大．4．（2013•成都二模）巳知椭圆E：（a＞b＞0）以抛物线y2=8x的焦点为顶点，且离心率为（I）求椭圆E的方程（II）若F为椭圆E的左焦点，O为坐标原点，直线l：y=kx+m与椭圆E相交于A、B 两点，与直线x=﹣4相交于Q点，P是椭圆E上一点且满足，证明为定值并求出该值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由抛物线的焦点可求得a，由可求得c，再由b2=a2﹣c2可求得b；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l方程、椭圆方程消掉y得x的二次方程，根据及韦达定理可用k、m表示点P坐标，代入椭圆方程可得关于k、m的方程①，由①及向量的数量积公式可求得为定值；解答：解：（Ⅰ）抛物线y2=8x的焦点即为椭圆E的顶点，即a=2，又，所以c=1，b=，所以椭圆E的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立⇒（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由韦达定理，得，y1+y2=k（x1+x2）+2m=，将P（）代入椭圆E方程，得，整理，得4m2=4k2+3，又F（﹣1，0），Q（﹣4，m﹣4k），∴，，故=．点评：本题考查椭圆方程、向量的数量积运算，考查方程思想，考查学生综合运用知识解决问题的能力．5．（2009•四川）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，右准线方程为x=2．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由已知得，解得，由此能得到所求椭圆的方程．（2）由题意知F1（﹣1，0）、F2（1，0），①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=﹣1，由得设、，，这与已知相矛盾．②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），设M（x1，y1）、N（x2，y2），联立，消元得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0．再由根与系数的关系进行求解．解答：解：（1）由已知得，解得∴∴所求椭圆的方程为（2）由（1）得F1（﹣1，0）、F2（1，0）①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=﹣1，由得设、，∴，这与已知相矛盾．②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），设M（x1，y1）、N（x2，y2），联立，消元得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0∴，∴．又∵∴∴化简得40k4﹣23k2﹣17=0解得k2=1或k2=（舍去）∴k=±1∴所求直线l的方程为y=x+1或y=﹣x﹣1点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，合理解答．6．（2012•成都模拟）如图，线段AB过y轴上一点N（0，m），AB所在直线的斜率为k（k≠0），两端点A，B到y 轴的距离之差为4k．（1）求出以y轴为对称轴，过A，O，B三点的抛物线方程；（2）过抛物线的焦点F作动弦CD，过C，D两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求出的值．考点：抛物线的标准方程；轨迹方程；抛物线的应用．专题：计算题．分析：（1）设出直线AB的方程和抛物线的方程，及A，B点坐标，根据图象可推断出由图可知x1＞0，x2＜0且|x1|﹣|x2|=4k，进而求得x1+x2，进而根据韦达定理求得x1+x2的表达式，最后建立等式求得p，则抛物线方程可得．（2）设出C，D坐标，进而可表示出过C，D两点的切线的方程，求得两条切线的交点，设CD的直线方程代入抛物线方程消去y，进而求得才C，D两点横坐标的积，求得点M的横坐标，推断出点M的轨迹方程，表示出，和进而求得的值．解答：解：（1）AB所在直线方程为y=kx+m，抛物线方程为x2=2py，且A（x1，y1），B（x2，y2），∵由图可知x1＞0，x2＜0．|x1|﹣|x2|=4k，即x1+x2=4k．把y=kx+m代入x2=2py得x2﹣2pkx﹣2pm=0，∴x1+x2=2pk．∴2pk=4k，∴p=2．故所求抛物线方程为x2=4y．（2）设．过抛物线上C、D两点的切线方程分别是．∴两条切线的交点M的坐标为（）．设CD的直线方程为y=nx+1，代入x2=4y得x2﹣4nx﹣4=0．∴x3x4=﹣4，故M的坐标为（）．故点M的轨迹为y=1．∴∵而，=﹣1点评：本题主要考查了抛物线的标准方程，直线方程，向量的基本运算．。

2014年全国高考试卷导数部分汇编(上)

2014年全国高考试卷导数部分汇编(上)

2014年全国高考试卷导数部分汇编（上）1. （2014安徽理18文20）设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >．⑴讨论()f x 在其定义域上的单调性；⑵当[01]x ∈，时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值． 【解析】 ⑴ ()f x 的定义域为2()'()123f x a x x -∞+∞=+--，，．令'()0f x =，得1212x x x x ==<， 所以12'()3()()f x x x x x =---．当1x x <或2x x >时，'()0f x <；当12x x x <<时，'()0f x >． 故()f x 在1()x -∞，和2()x +∞，内单调递减，在12()x x ，内单调递增． ⑵ 因为0a >，所以1200x x <>，． ①当4a ≥时，21x ≥．由⑴知，()f x 在[01]，上单调递增． 所以()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值． ②当04a <<时，21x <由⑴知，()f x 在2[0]x ，上单调递增，在2[1]x ，上单调递减．所以()f x 在2x x ==又(0)1(1)f f a ==，，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =处和1x =处同时取得最小值； 当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值．评析 本题考查利用导数求函数的单调区间和最大（小）值，同时考查分类讨论的思想，分为讨论的关键是确定分类的标准．2. （2014安徽理21）设实数0c >，整数1p >，*n N ∈．⑴证明：当1x >-且0x ≠时，(1)1p x px +>+； ⑵数列{}n a 满足11pa c >，111p n n np c a a a p p-+-=+．证明：11p n n a a c +>>． 【解析】 ⑴ 用数学归纳法证明：①当2p =时，22(1)1212x x x x +=++>+，原不等式成立． ②假设(2*)p k k k =N ≥，∈时，不等式(1)1k x kx +>+成立． 当1p k =+时，12(1)(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k k x x x x kx k x kx k x ++=++>++=+++>++所以1p k =+时，原不等式也成立．综合①②可得，当10x x >-，≠，对一切整数1p >，不等式(1)1p x px +>+均成立． ⑵ 证法一：先用数学归纳法证明1pn a c >． ①当1n =时，由题设11pa c >知1pn a c >成立． ②假设(1*)n k k k =N ≥，∈时，不等式1pn a c >成立． 由111pn n n p c a a a p p-+-=+易知0*n a n >N ，∈． 当1n k =+时，11111p k k p k k a p c ca a p p p a -+⎛⎫-=+=+- ⎪⎝⎭． 当10pk a c >>得11110p k cp p a ⎛⎫-<-<-< ⎪⎝⎭． 由⑴中的结论得11111ppk p k k a c p a p a +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+->+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．11p p k kcc p a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 因此1pk ac +>，即11pk a c +>．所以1n k =+时，不等式1rn a c >也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式1pn a c >均成立． 再由1111n p n n a ca p a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭可得11n n a a +<，即1n n a a +<．综上所述，11pn n a a c +>>，*n N ∈．证法二：设111()p p p cf x x x x c p p --=+，≥，则p x c ≥， 并且11()(1)10p p p c p c f x p x p p p x ---⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，1p x c >． 由此可得，()f x 在1p c ⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭，上单调递增．因而，当1px c >时，11()()p pf x f c c >=， ①当1n =时，由110pa c >>，即1p a c >可知12111111111p p p c c a a a a a p p p a -⎡⎤⎛⎫-=+=+-<⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，并且121()pa f a c =>，从而112p a a c >>．故当1n =时，不等式11pn n a a c +>>成立．②假设(1*)n k k k =N ≥，∈时，不等式11pk k a a c +>>成立，则当1n k =+时，11()()()p k k f a f a f c +>>，即有112pk k a a c ++>>． 所以1n k =+时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式11pn n a a c +>>均成立．3. （2014安徽文15）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：⑴直线l 在点()00P x y ，处与曲线C 相切； ⑵曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线:0l y =在点()00P ，处“切过”曲线C ：2y x = ②直线:1l x =-在点()10P -，处“切过”曲线C ：2(1)y x =+ ③直线:l y x =在点()00P ，处“切过”曲线C ：sin y x = ④直线:l y x =在点()00P ，处“切过”曲线C ：tan y x = ⑤直线:1l y x =-在点()10P ，处“切过”曲线C ：ln y x = 【解析】 ①③④①直线0l y =：在()00P ，处与曲线3C y x =：相切，且曲线C 位于直线l 的两侧，①对； ②直线1l x =-：不是曲线()21C y x =+：在()10P -，处的切线，②错； ③中cos y x '=，cos 01=，因此曲线sin C y x =：在()00P ，处的切线为l y x =：，设()s i n f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-≥，即()f x 是增函数，又()00f =，从而当0x ＜时，()0sin f x x x ⇒＜＜，当0x ＞时，()0sin f x x x ⇒＞＞，即曲线sin C y x =：在()00P ，附近位于直线l 的两侧，③正确；④中22sin 111cos cos cos 0x y x x ⎛⎫'='== ⎪⎝⎭，，因此曲线tan C y x =：在()00P ，处的切线为l y x =：，设()tan g x x x =-，则()21ππ10cos 22g x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭＜＜≤，即()g x 在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，上是减函数，且()00g =，同③得④正确；⑤中1111y x '==，，因此曲线ln C y x =：在()10P ，处的切线为1l y x =-：，设()()1l n 0h x x x x =--＞，则()111x h x x x-'=-=，当01x ＜＜时，()0h x '＜，当1x ＞时，()0h x '＞，因此当1x =时，()()min 10h x h ==，因此曲线C 在()10P ，附近位于直线l 的一侧，故⑤错误．因此答案为①③④评析 本题考查导数的几何意义及导数在函数中的应用，解题时结合图象可简化运算和推理的过程．4. （2014北京理18）已知函数()πcos sin 02f x x x x x ⎡⎤=-,∈,⎢⎥⎣⎦，⑴求证：()0f x ≤；⑵若sin x a b x <<对π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 【解析】 ⑴ ()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+--=-，π02x ⎡⎤∈,⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤，从而()f x 在π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()f x 在π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上的最大值为()00f =，所以()()00f x f =≤． ⑵ 法一：当0x >时，“sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”；“sin xb x<”等价于“sin 0x bx -<”， 令()sin g x x cx =-，则()cos g x x c '=-．当0c ≤时，()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．当1c ≥时，因为对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上单调递减．从而()()00g x g <=对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．当01c <<时，存在唯一的0π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭，使得()00cos 0g x x c '=-=，且当()00x x ∈,时，()0g x '>，()g x 单调递增；当0π2x x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减．所以()()000g x g >=．进一步，“()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当ππ1022g c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≥，即20πc <≤．综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立；当且仅当1c ≥时，()0g x <对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．所以，若sin x a b x <<对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1．法二： 令()sin π02x g x x x ⎛⎤=,∈, ⎥⎝⎦， 则()2cos sin x x xg x x ⋅-'=，由⑴知，()0g x '≤，故()g x 在π02⎛⎤, ⎥⎝⎦上单调递减，从而()g x 的最小值为π22πg ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2πa ≤，a 的最大值为2π．b 的最小值为1，下面进行证明：()sin h x x bx =-，π02x ⎡⎫∈,⎪⎢⎣⎭，则()cos h x x b '=-，当1b =时，()0h x '≤，()h x 在π02⎡⎫,⎪⎢⎣⎭上单调递减，从而()()max 00h x h ==，所以sin 0x x -≤，当且仅当0x =时取等号．从而当π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭时，sin 1x x <．故b 的最小值小于等于1．若1b <，则()cos 0h x x b '=-=在π02⎛⎫, ⎪⎝⎭上有唯一解0x ，且()00x x ∈,时，()0h x '>，故()h x 在()00x ,上单调递增，此时()()00h x h >=，sin sin 0xx bx b x->⇒>与恒成立矛盾，故1b ≥， 综上知：b 的最小值为1．5. （2014北京文20）已知函数3()23f x x x =-．⑴求()f x 在区间[]21-，上的最大值；⑵若过点(1)P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；⑶问过点(12)(210)(02)A B C -，，，，，分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）【解析】 ⑴ 由()323f x x x =-得()263f x x '=-.令()0f x '=，得x =或x =.因为()210f -=-，f ⎛ ⎝⎭()11f f ==-⎝⎭所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为f ⎛= ⎝⎭⑵ 设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -， 因此()()2000631t y x x -=--.整理得32004630x x t -++=.设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”.()()21212121g x x x x x '=-=-. ()g x 与()g x '的情况如下：当(0)30g t =+≤，即3t -≤时，此时()g x 在区间(]1-∞，和(1)+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点． 当(1)10g t =+≥，即1t -≥时，此时()g x 在区间(0)-∞，和[)0+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当()00g >且()10g <，即31t -<<-时，因为()()1702110g t g t -=-<=+>，， 所以()g x 分别在区间[)10-，，[)01，和[)12，上恰有1个零点. 由于()g x 在区间()0-∞，和()1+∞，上单调，所以()g x 分别在区间()0-∞，和[)1-∞，上恰有1个零点.综上可知，当过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是()31--，. ⑶ 过点()12A -， 存在3条直线与曲线()y f x =相切； 过点()210B ， 存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点()02C ， 存在1条直线与曲线()y f x =相切.：6. （2014大纲理7）曲线1e x y x -=在点()11，处切线的斜率等于（ ） A ．2e B ．eC ．2D ．1【解析】 C7. （2014大纲理16）若函数()cos2sin f x x a x =+在区间ππ62⎛⎫⎪⎝⎭，上是减函数，则a 的取值范围是____________．【解析】 (]2-∞， 8. （2014大纲理22）函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+． ⑴讨论()f x 的单调性；⑵设11a =，1ln(1)n n a a +=+，证明：2322n a n n <++≤． 【解析】 ⑴ ()f x 的定义域为()1-+∞，，()()()()222'1x x a a f x x x a ⎡⎤--⎣⎦=++（i ）当12a <<时，若()212x a a ∈--，，则()'0f x >，()f x 在()212a a --，是增函数；若()220x a a ∈-，，则()'0f x <，()f x 在()220a a -，是减函数；若()0x ∈+∞，，则()'0f x >，()f x 在()0+∞，上增函数． （ii ）当2a =时，()'0f x ≥，()'0f x =成立当且仅当0x =，()f x 在()1-+∞，是增函数． （iii ）当2a >时，若()10x ∈-，，则()'0f x >，()f x 在()10-，是增函数； 若()202x a a ∈-，，则()'0f x <，()f x 在()202a a -，是减函数；若()22x aa ∈-+∞，，则()'0f x >，()f x 在()22a a -+∞，是增函数．⑵ 由⑴知，当2a =时，()f x 在()1-+∞，是增函数 当()0x ∈+∞，时，()()00f x f >=，即()()2ln 102xx x x +>>+ 又由⑴知，当3a =时，()f x 在[)03，是减函数．当()03x ∈，时，()()00f x f <=，即()()3ln 1033xx x x +<<<+． 下面用数学归纳法证明2322n a n n <++…（i ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立；（ii ）设当n k =时结论成立，即12322a k k <++≤． 当1n k =+时．()122222ln 1ln 1=2322k k k a a k k k +⨯⎛⎫+=+>+>⎪++⎝⎭++． ()133332ln 1ln 12332k k k a a k k k +⨯⎛⎫+=++<= ⎪++⎝⎭++≤ 即当1n k =+时有12333k a k k +<++≤，结论成立 根据（i ）（ii ）知对任何*n ∈N 结论都成立．9. （2014大纲文21）函数()()32330f x ax x x a =++≠．⑴讨论()f x 的单调性；⑵若()f x 在区间()12，是增函数，求a 的取值范围． 【解析】 ⑴ ()2363f x ax x '=++，()0f x '=的判别式()361a ∆=-．（i ）若1a ≥，则()0f x '≥，且()0f x '=当且仅当1a =，1x =-，故此时()f x 在R 上是增函数．（ii ）由于0a ≠，故当1a <，()0f x '=有两个根；1x =2x =若01a <<，则当()2x x ∈-∞，或()1x x ∈+∞，时()0f x '>， 故()f x 分别在()2x -∞，，()1x +∞，上是增函数； 当()21x x x ∈，时，()0f x '<，故()f x 在()21x x ，上是减函数； 若0a <，则当()1x x ∈-∞，或()2x +∞，时，()0f x '<， 故()f x 分别在()1x -∞，，()2x +∞，上是减函数； 当()12x x x ∈，时，()0f x '>，故()f x 在()12x x ，上是增函数．⑵ 当0a >，0x >时，()23630f x ax x '=++>，故当0a >时，()f x 在区间()12，上是增函数． 当0a <时，()f x 在区间()12，上是增函数当且仅当()10f '≥且()20f '≥，解得504a -<≤．综上，a 的取值范围是()5004⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭∪，，． 10. （2014福建理14）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______．【解析】 22e11. （2014福建理20文22）已知函数()e x f x ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-．⑴求a 的值及函数()f x 的极值； ⑵证明：当0x >时，2e x x <；⑶证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()0x x ∈+∞，，恒有2e x x c <． 【解析】 本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想． ⑴ 由()x f x e ax =-，()x f x e a '=- 又'(0)11f a =-=-，得2a =． 所以()e 2'()e 2x x f x x f x =-=-，， 令'()0f x =，得ln 2x =．当ln 2x <时，'()0()f x f x <，单调递减； 当ln 2x >时，'()0()f x f x >，单调递增． 所以当ln 2x =时，()f x 取得极小值， 且极小值为ln 2(ln 2)e 2ln 22ln 4f =-=-， ()f x 无极大值．⑵ 令2()e x f x x =-，则'()e 2x g x x =-， 由⑴得'()()(ln 2)0g x f x f =>≥， 故()g x 在R 上单调递增，又(0)10g =>，x因此，当0x >时，()(0)0g x g >>，即2e x x <． ⑶ 理科解法一：①若1c ≥，则e e x x c ≤．又由⑵知，当0x >时，2e x x <． 所以当0x >时，2e x x c <．取00x =，当0()x x +∞∈，时，恒有2e x x c <． ②若01c <<，令11k c=>，要使不等式2e x x c <成立，只要2e x kx >成立． 而要使2e x kx >成立，则只要2ln()x kx >，只要2ln ln x x k >+成立． 令()2ln ln h x x x k =--，则22'()1x h x x x-=-=． 所以当2x >时，'()0h x >，()h x 在(2)+∞，内单调递增． 取01616x k =>，所以()h x 在0()x +∞，内单调递增， 又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+， 易知ln ln 250k k k k >>>，，，所以0()0h x >．即存在016x c=，当0()x x +∞∈，时，恒有2e x x c <． 综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0()x x +∞∈，时，恒有2e x x c <． 理科解法二：对任意给定的正数c ，取0x =，由⑵知，当0x >时，2e xx >，所以2222e e e 22x x xx x ⎛⎫⎛⎫=⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当0x x >时，222241e 222xx x x x c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此，对任意给定的正数c ，总存()0x ∈+∞，时，恒有313x x e < 理科解法三：首先证明当(0)x +∞∈，时，恒有21e 3x x <．证明如下：令31()e 3x h x x =-，则2'()e x h x x =-．由⑵知，当0x >时，3e x x <，从而'()0()h x h x <，在(0)+∞，上单调递减， 所以()(0)10h x h <=-<，即31e 3x x <．取03x c =，当0x x >时，有2311e 3x x x c <<． 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当()x x ∞∈，+时，恒有2e x x c <． 文科解法一：对任意给定正数c ，取01x c=所以当0x x >时，21e x x x c>> ，即e x x c <．因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0()x x +∞∈，时，恒有e x x c <． 文科解法二：令1(0)k k c=>，要使不等式e x x c <成立，只要e x kx >成立．而要使e x kx >成立，则只需要ln()x kx >，即ln ln x x k >+成立． ①若01k <≤，则ln 0k ≤，易知当0x >时，ln ln ln x x x k >+≥成立．即对任意[)1c ∈+∞，，取00x =，当0()x x ∈+∞，时，恒有e x x c <． ②若1k >，令()ln ln h x x x k =--，则11'()1x h x x x-=-=， 所以当1x >时，'()0()h x h x >，在(1)+∞，内单调递增， 取04x k =．0()4ln(4)ln 2(ln )2(ln 2)h x k k k k k k =--=-+-．易知ln ln 2k k k >>，，所以0()0h x >． 因此对任意(01)c ∈，，取04x c=，当0()x x ∈+∞，时，恒有e x x c <． 综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0()x x +∞∈，时，恒有e x x c <． 文科解法三： ①若1c ≥，取00x =，由⑵的证明过程知，e 2x x >，所以当0()x x +∞∈，时，有e e 2x x c x x >>≥，即e x x c <． ②若01x <<，令()e x h x c x =-，则'()e 1x h x c =-． 令'()0h x =得1ln x c=．当1ln x c>时，'()0()h x h x >，单调递增．取022ln x c=， 22ln0222()e2ln2ln ch x c c cc ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 易知22ln 0c c->，又()h x 在()0x +∞，内单调递增． 所以当0()x x ∈+∞，时，恒有0()()0h x h x >>，即e x x c <．综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0()x x +∞∈，时，恒有e x x c <． 注：对c 的分类可有不同的方式，只要解法正确，均相应给分．12. （2014广东理10）曲线5e 2x y -=+在点(0,3)处的切线方程为____________． 【解析】530x y +-=． 55e x xy -'=-，05y '=-，切线过点(0,3)，由点斜式写出直线方程53y x =-+． 13. （2014广东文11）曲线5e 3x y =-+在(02)-，处的切线方程为____________． 【解析】520x y ++= 14. （2014广东文21）已知函数321()1()3f x x x ax a =+++∈R⑴求函数()f x 的单调区间；⑵当0a <时，试讨论是否存在0110122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∪，，使得01()2f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【解析】 ⑴ 函数的定义域为R ，()22f x x x a '=++．①当1a <时，令()0f x '>，则2201x x a x ++>⇒>-或1x <-，所以()f x 的单调递增区间为(1-∞-，和()1-+∞；令()0f x '<，可得11x -<-+所以()f x 的单调递减区间为(11--+．②当1a ≥时，()0f x '≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上是增函数．⑵ 0a <时，10-．由⑴知，()f x在()1-++∞上是增函数． ①()1111701172244212551211442f f a a a a a ⎧⎛⎫⎧⎧+++- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⇒⇒-⎨⎨⎨⎪⎪⎪>->--⎪⎪⎪⎩⎩⎩，≤≤≥≤， 则7012a -<≤， 不存在0110122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，使得()012fx f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②()1705721254121142f f a a a ⎧⎛⎫⎧><- ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⇒-<<-⎨⎨⎪⎪>--⎪⎪⎩⎩，，，存在0110122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ③15124a -⇒=-， 不存在0110122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，使得()012f xf ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ④()1251252123512131142f f a a a ⎧⎛⎫⎧- ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⇒-<<-⎨⎨⎪⎪-<<--⎪⎪⎩⎩，≤≤≤， 不存在0110122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，使得()012f xf ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ⑤()12512552125124131142f f a a a ⎧⎛⎫⎧>>- ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⇒-<<-⎨⎨⎪⎪-<<-<-+⎪⎪⎩⎩，，，存在0110122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ⑥113a -⇒-≤，()f x 在()01，上是单调函数， 故不存在0110122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 综上所述，当25557124412a ⎛⎫⎛⎫∈---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，时， 存在0110122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 当2557012412a ⎛⎫⎧⎫⎡⎫∈-∞---⎨⎬ ⎪⎪⎢⎝⎭⎩⎭⎣⎭，，时，不存在0110122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．15. （2014湖北理6）函数()(),f x g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()(),f x g x 为区间[]11-，上的一组正交函数，给出三组函数：①()()11sin cos 22f x x g x x ==，；②()()11f x x g x x =+=-，； ③()()2f x x g x x ==，其中为区间[]11-，的正交函数的组数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 C由①得111()()sin cos sin 222f xg x x x x ==，是奇函数，所以11()()d 0f x g x x -=⎰，所以①为区间[]11-，上的正交函数；由②得2()()1f xg x x =-，∴131121114()()d (1)33x f x g x x x dx x ---⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰，所以②不是区间[]11-，上的正交函数；由③得3()()f x g x x =，是奇函数，所以11()()d 0f x g x x -=⎰，所以①为区间[]11-，上的正交函数．故选C ．16. （2014湖北理22）π为圆周率，e 2.71828= 为自然对数的底数．⑴求函数ln ()=xf x x的单调区间⑵求3e πe π3e ,3,e ,π,3,π这6个数中的最大数与最小数；⑶将3e πe π3e ,3,e ,π,3,π这6个数从小到大的顺序排列，证明你的结论．【解析】 ⑴ 函数()f x 的定义域为(0)+∞，． 因为ln ()x f x x =，所以2l ln ()xf x x-'=． 当()0f x '＞，即0e x ＜＜，函数()f x 单调递增； 当()0f x '＜，即e x ＜，函数()f x 单调递减． 故函数()f x 的单调递增区间为（0e ，），单调递减区间为（e +∞，）． ⑵ 因为e <3π<，所以eln3eln ππlne πln3＜，＜，即e e ππln3ln πln e ln3＜，＜． 于是根据函数ln e πx x y x y y ===，，在定义域上单调递增，可得e e 33ππ3ππe e 3＜＜，＜＜． 故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中．由e 3π＜＜及⑴的结论，得(π)(3)(e)f f f ＜＜，即ln πln3lneπ3e＜＜． 由ln πln 3π3＜，得3πln πln 3＜，所以π33π＞； 由ln 3ln e 3e ＜，得e 3ln 3ln e ＜，所以e 33e ＜． 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3．⑶ 由⑵知，e e 3πe 33ππ33e ＜＜＜，＜． 又由⑵知，ln πlneπe＜得e ππe ＜． 故只需比较3e 与e π和πe 与3π的大小．由⑴知，当0e x ＜＜时，1()(e)=e f x f ＜，即ln 1ex x ＜．在上式中，令2e πx =，又2e e π＜，则2e e ln ππ＜，从而e 2ln ππ-＜，即得eln π2π-＞．由①得，e 2.72e ln πe 2 2.72 2.7(20.88)π 3.1⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞＞＞ 3.0243>，即e ln π>3，亦即e 3ln πln e ＞，所以3e e π＜．又由①得，3e 3ln π66e ππ--＞＞＞，即3ln ππ＞，所以π3e π＞． 综上可得，e 3e π3π3e πe π3＜＜＜＜＜． 即6个数从小到大的顺序为e 3e π3π3e πe π3，，，，，． 评析 本题考查了函数和导数的结合应用；考查了不等式求解的能力；考查了分析问题、解决问题的综合能力．充分考查了考生的综合素质在平时的学习过程中应充分培养综合解决问题的能力．17. （2014湖北文21）π为圆周率，e 2.71828=为自然对数的底数．⑴求函数ln ()xf x x=的单调区间； ⑵求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数．【解析】 ⑴ 函数()f x 的定义域为()0+∞，．因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=．当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为()0e ，，单调递减区间为()e +∞，． ⑵ 因为e 3π<<，所以eln 3eln π<，πln e πln 3<，即e e ln 3ln π<，ππln e ln 3<． 于是根据函数ln y x =，e x y =，πx y =在定义域上单调递增，可得 e e 33ππ<<，3ππe e 3<<．故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中．由e 3π<<及⑴的结论，得(π)(3)(e)f f f <<，即ln πln3lneπ3e<<． 由ln πln3π3<，得3πln πln 3<，所以π33>π； 由ln 3ln e 3e<，得e 3ln 3ln e <，所以e 33e <． 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3．18. （2014湖南理9）已知函数()()sin f x x ϕ=-，且()2π300f x dx =⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ）A ．5π6x =B ．7π12x =C ．π3x =D ．π6x =【解析】 A函数()f x 的对称轴为ππ2x k ϕ-=+ππ2x k ϕ⇒=++，因为()2π32πsin d 0cos cos 03x x ϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰πsin 03ϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭， 所以π2π3k ϕ=+或4π2π3k +，则5π6x =是其中一条对称轴，故选A ． 19. （2014湖南理22）已知常数0a >，函数()()2ln 12xf x ax x =+-+．⑴讨论()f x 在区间()0+∞，上的单调性； ⑵若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且()()120f x f x +>，求a 的取值范围．【解析】 ⑴ 对函数()f x 求导可得()()2412a f x ax x '=-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++，因为()()2120ax x ++>，所以当10a -≤时，即1a ≥时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 在()0+∞，上单调递增；当1a ≤时，()0f x x '=⇒=则函数()f x在区间0⎛ ,⎝⎭上单调递减，在⎫⎪,+∞⎪⎝⎭上单调递增的． ⑵ 由⑴可知，当1a ≥时，()f x 不存在极值点，因而01a <<． 又()f x的极值点只可能是12x x ==-，且由()f x 的定义可知，1x a>-且2x ≠-，所以1a ->-，2--，解得12a ≠，此时12x x ，分别是()f x 的极小值点和极大值点．而()()()()1212121222ln 1ln 122x x f x f x ax ax x x +=+-++-++ ()2122212121212444ln 1224x x x x ax ax a x x x x x x ++=+++-+++=()()()22412ln 21ln 2122121a a a a a ---=-+--- 令21a x -=，由01a <<且12a ≠知， 当102a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<．记()22ln 2g x x x=+-①当10x -<<时，()()22ln 2g x x x =-+-，所以()2222220x g x x x x -'=-=<，因此()g x 在区间()10-，上单调减，从而()()140g x g <-=-<， 故当102a <<时，()()120f x f x +<． ②当01x <<时，()22ln 2g x x x =+-，()2222220x g x x x x -'=-=<，因此()g x 在区间()01，上单调递减，从而()()10g x g >=， 故当112a <<时，()()120f x f x +>． 综上，满足条件的a 的取值范围为112⎛⎫⎪⎝⎭，． 20. （2014湖南文9）若1201x x <<<，则（ ）A ．2121e e ln ln x x x x ->-B ．2121e e ln ln x x x x -<-C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x x x x <【解析】 C21. （2014湖南文21）已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>．⑴求()f x 的单调区间；⑵记i x 为()f x 的从小到大的第()i i *∈N 个零点，证明：对一切*n ∈N ，有2221211123n x x x +++<． 【解析】 ⑴ ()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-令()0f x '=，得()*πx k k =∈N ．当()()()2π,21πx k k k ∈+∈N 时，sin 0x >，此时()0f x '<； 当()()()()21π,22πx k k k ∈++∈N 时，sin 0x <，此时()0f x '>， 故()f x 的单调递减区间为()()()2π,21πk k k +∈N ，单调递增区间为()()()()21π,22πk k k ++∈N ．⑵ 由⑴知，()f x 在区间()0,π上单调递减，又π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故1π2x =，当*n ∈N 时，因为()()()()()()1π1π1π11110nn f n fn n n n +⎡⎤⎡⎤+=-+-++<⎣⎦⎣⎦，且函数()f x 的图象是连续不断的，所以()f x 在区间()()π,1πn n +内至少有一个零点． 又()f x 在区间()()π,1πn n +上是单调的，故()1π1πn n x n +<<+． 因此当1n =时，221142π3x =<； 当2n =时，()22212111241π3x x +<+<； 当3n ≥时，()2222221211111141π21n x x x n ⎡⎤+++<++++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦()()21115π1221n n ⎡⎤<+++⎢⎥⨯--⎢⎥⎣⎦211111151π22321n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2211626π1π3n ⎛⎫=-<< ⎪-⎝⎭． 综上所述，对一切*n ∈N ，2221211123n x x x +++<．22. （2014江苏理11）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线()2by ax a b x=+，为常数过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是_______．【解析】3- 由已知，452b a +=-，又∵22b y ax x '=-，∴7442b a -=-，解得2b =-，1a =- ∴3a b +=-23. （2014江苏理19）已知函数()e e x x f x -=+，其中e 是自然对数的底数⑴证明：()f x 是R 上的偶函数；⑵若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；⑶已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立，试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．【解析】 ⑴ x ∀∈R ,()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数⑵ 由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤∵(0,)x ∈+∞，∴e e 10xx-+->，即e 1e e 1x x x m ---+-≤对(0,)x ∈+∞恒成立令e x t =(1)t >，则211tm t t --+≤对任意(1,)t ∈+∞恒成立.∵22111111(1)(1)131+11t t t t t t t t --=-=---+-+-+-+-≥，当且仅当2t =时等号成立 ∴实数m 的取值范围为1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦⑶ ()e e x x f x -'=-，当1x >时()0f x '>，∴()f x 在(1,)+∞上单调增 令3()(3)h x a x x =-+，()3(1)h x ax x '=--∵0a >，1x >，∴()0h x '<，即()h x 在(1,)x ∈+∞上单调减∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2e f a =+<，即11(e )2ea >+ ∵e 1e 111ln ln lne (e 1)ln 1ea a a a a a ----=-=--+设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则e 1e 1()1a m a a a ---'=-=，11(e )2ea >+ 当11(e )e 12ea +<<-时()0m a '>，()m a 单调增；当e 1a >-时()0m a '<，()m a 单调减 因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m ==∴当e a >时()0m a <，当11(e )e 2ea +<<时()0m a >，当e a =时()0m a =∵e 11()0e a m a a --<⇔<，e 11()0e a m a a -->⇔>，e 11()0e a m a a --=⇔=综上所述，当11(e e )e 2a -+<<时e 11e a a -->；当e a =时e 11e a a --=；当e a >时e 11e a a --<24. （2014江苏理23）已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N⑴求12πππ2()()222f f +的值⑵证明：对任意*n ∈N，等式1πππ()()444n n nf f -+=都成立．【解析】 ⑴ 0()sin xf x x =,两边求导得01()()cos f x xf x x +=两边再同时求导得122()()sin f x xf x x +=- (*)将π2x =代入(*)式得12πππ2()()1222f f +=-⑵ 下证命题：1sin ,4cos ,41()()sin ,42cos ,43n n x n kx n k nf x xf x x n k x n k -=⎧⎪=+⎪+=⎨-=+⎪⎪-=+⎩，*k ∈N 恒成立当0n =时，0()sin xf x x =成立当1n =时，10()()cos xf x f x x +=，由(1)知成立 当2n =时，21()2()sin xf x f x x +=-，由(1)知成立当3n =时，上式两边求导322()()2()cos xf x f x f x x ++=-，即32()3()cos xf x f x x +=- 假设当n m =(3)m ≥时命题成立，下面证明当1n m =+时命题也成立 若14m k +=，*k ∈N ，则41m k =-，*k ∈N由1()()cos m m mf x xf x x -+=-两边同时求导得1()()()sin m m m xf x f x mf x x +++= 即1(1)()()sin m m m f x xf x x +++=，命题成立同理，若141m k +=+，*k ∈N ，则4m k =，*k ∈N由1()()sin m m mf x xf x x -+=两边同时求导得1(1)()()cos m m m f x xf x x +++=，命题成立 若142m k +=+，*k ∈N ，则41m k =+，*k ∈N由1()()cos m m mf x xf x x -+=两边同时求导得1(1)()()sin m m m f x xf x x +++=-，命题成立 若143m k +=+，*k ∈N ，则42m k =+，*k ∈N由1()()sin m m mf x xf x x -+=-两边同时求导得1(1)()()cos m m m f x xf x x +++=-，命题成立 综上所述，命题对*n ∀∈N 恒成立 代入π4x =得1πππ()()444n n nf f -+=两边同时取绝对值得1πππ()()444n n nf f -+=25. （2014江西理8）若()()1202d ,f x x f x x =+⎰则()1d f x x =⎰（ ）A ．1-B ．13-C ．13D ．1【解析】 B令()10d f x x m =⎰，则()22f x x m =+，所以()()111230011d 2d 2233f x x x m x x mx m m ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰，解得13m =-，故选B ．26. （2014江西理13）若曲线e x y -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________． 【解析】 ()ln 2,2-令()e x f x -=，则()'e x f x -=-，令()00P x y ，，则()00'e 2x f x -=-=-，解得0ln 2x =-，所以0ln 20e e 2x y -===，所以点P 的坐标为()ln 2,2-．27. （2014江西理18）已知函数()()2f x x bx bb =++∈R ．⑴当4b =时，求()f x 的极值；⑵若()f x 在区间103⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，求b 的取值范围．【解析】 ⑴ 当4b =时，()52'x x f x -+=，由()'0f x =得2x =-或0x =．当()2x ∈-∞-，时，()'0f x <，()f x 单调递减； 当()20x ∈-，时，()'0f x >，()f x 单调递增； 当102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()'0f x <，()f x 单调递减，故()f x 在2x =-处取极小值()20f -=，在0x =处取极大值()04f =．⑵ ()'f x =，因为当103x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0<，依题意，当103x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，有()532x b +-≤0，从而()53203b +-≤．所以b 的取值范围为19⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，28. （2014江西文11）若曲线ln y x x =上点P 处的切线平行于直线210x y -+=，则点P 的坐标是_______． 【解析】 ()e e ， 29. （2014江西文18）已知函数22()(44f x x ax a =++0a <. ⑴当4a =-时，求()f x 的单调递增区间； ⑵若()f x 在区间[14]，上的最小值为8，求a 的值． 【解析】 ⑴ 当4a =-时，由()25220x x f x--'==得25x =或2x =，由()0f x '>得 205x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，或()2x ∈+∞，，故函数()f x 的单调递增区间为205⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()2+∞，．⑵ ()0f x a '=<， 由()0f x '=得10ax =-或2a x =-．当010a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()f x 单调递增；当102aa x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，时，()f x 单调递减；当2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()f x 单调递增．易知()()220f x x a =+，且02a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．①当12a-≤，即20a -<≤时，()f x 在[]14，上的最小值为()1f ，由()21448f a a =++=，得2a =±，均不符合题意．②当142a<-≤，即82a -<-≤时，()f x 在[]14，上的最小值为02a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，不符合题意．③当42a ->，即8a <-时，()f x 在[]14，上的最小值可能在1x =或4x =处取得，而()18f ≠，由()()24264168f a a =++=得10a =-或6a =-（舍去），当10a =-时()f x 在()14，上单调递减，()f x 在[]14，上的最小值为()48f =，符合题意．综上，10a =-．30. （2014辽宁理11文12）当[]21x ∈-，时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]53--，B ．968⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．[]62--，D ．[]43--，【解析】 C31. （2014辽宁理14）正方形的四个顶点()11A --，，()11B -，，()11C ，，()11D -，分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是．【解析】 2332. （2014辽宁理21）已知函数()()()()8cos π2sin 13f x x x x x =-+-+， ()()()23πcos 41sin ln 3πx g x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭证明：⑴存在唯一0π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使()00f x =；⑵存在唯一1ππ2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使()10g x =，且对⑴中的0x ，有01πx x +<．在0(0)x ，上()u t 是增函数，又(0)0u =，从而当0(0]t x ∈，时，()0u t >，所以()u t 在0(0]x ，上无零点在0π2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上()u t 为减函数，由()00u x >，π4ln 202u ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，知存在唯一10π,2t x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使1()0u t =.所以存在唯一的1π02t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使1()0u t =. 因此存在唯一的11πππ2x t ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，，使1()h x h =11(π)()0t u t -==. 因为当ππ2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，1sin 0x +>，故()(1sin )()g x x h x =+与()h x 有相同的零点，所以存在唯一的1ππ2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使1()0g x =． 因1110πx t t x =->，，所以01πx x +<．33. （2014辽宁文21）已知函数()π(cos )2sin 2f x x x x =---，2()(π1πx g x x =--． 证明：⑴存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0=f x ； ⑵存在唯一1π(,π)2x ∈，使1()0=g x ，且对⑴中的0x ，01πx x +>． 【解析】 ⑴ 当π(0,)2∈x 时，()ππsin 2cos 0f x x x '=+->，所以()f x 在π(0,)2上为增函 数，又(0)f 2πππ20,()4022=--<=->f ，所以存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0=f x ． ⑵ 当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，化简得cos 2()(π)11sin πx x g x x x =-⋅+-+ 令πt x =-，记()(π)=-u t g t =cos 211sin πt t t t --++，π[0,]2∈t ()().π(1sin )f t u t t '=+ 由⑴得，当0(0,)∈t x 时，()0u t '<当0π(,)2∈t x 时，()0u t '>． 在0π(,)2x 上()u t 为增函数，由π()02=u 知，当0π,2t x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0<u t ．所以()u t 在0π,2t x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上无零点． 在0(0,)x 上()u t 为减函数，由(0)1=u 及0()0u x <知存在唯一00(0,)∈t x ，使0()0=u t ． 于是存在唯一0π(0,)2t ∈，使()00u t =． 设10ππ(,π)2x t =-∈，则100()(π)()0g x g t u t =-==，因此存在唯一的1π(,π)2x ∈，使1()0=g x ．由于1000π,x t t x =-<，所以01πx x +>．。

2014高考函数与导数汇编及详细解答

2014高考函数与导数汇编及详细解答

2014高考函数与导数解答题汇编1．[2014·江西卷18] 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围． 解：(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x （x ＋2）1－2x，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0.所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，－x1－2x<0， 依题意当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，19.2.[2014·安徽卷18] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 18．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减， 所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．3．[2014·北京卷18] 已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.(1)求证：f (x )≤0；(2)若a <sin xx <b 对x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．18．解：(1)证明：由f (x )＝x cos x －sin x 得f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .因为在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上f ′(x )＝－x sin x <0，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．从而f (x )≤f (0)＝0.(2)当x >0时，“sin x x >a ”等价于“sin x －ax >0”，“sin xx <b ”等价于“sin x －bx <0”．令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c .当c ≤0时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．当c ≥1时，因为对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，g ′(x )＝cos x －c <0，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，从而g (x )<g (0)＝0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．当0<c <1时，存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2使得g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0.g (x )与g ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的情况如下：因为g (x )在区间(0，x 0)上是增函数，所以g (x 0)>g (0)＝0.进一步，“g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立”当且仅当g ⎝⎛⎭⎫π2＝1－π2c ≥0，即0<c ≤2π.综上所述，当且仅当c ≤2π时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立；当且仅当c ≥1时，g (x )<0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．所以，若a <sin x x <b 对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.4．[2014·福建卷20] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 20．解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2.所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2.令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以当x ＝ln 2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f (x )无极大值． (2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4>0， 故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0， 所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x .(3)证明：①若c ≥1，则e x ≤c e x .又由(2)知，当x >0时，x 2<e x . 故当x >0时，x 2<c e x .取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .②若0<c <1，令k ＝1c >1，要使不等式x 2<c e x 成立，只要e x >kx 2成立．而要使e x >kx 2成立，则只要x >ln(kx 2)，只要x >2ln x ＋ln k 成立． 令h (x )＝x －2ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－2x ＝x －2x.所以当x >2时，h ′(x )>0，h (x )在(2，＋∞)内单调递增．取x 0＝16k >16，所以h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增．又h (x 0)＝16k －2ln(16k )－ln k ＝8(k －ln 2)＋3(k －ln k )＋5k ， 易知k >ln k ，k >ln 2，5k >0，所以h (x 0)>0. 即存在x 0＝16c，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 方法二：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝4c ，由(2)知，当x >0时，e x>x 2，所以e x＝e x 2·e x 2>⎝⎛⎭⎫x 22·⎝⎛⎭⎫x 22，当x >x 0时，e x>⎝⎛⎭⎫x 22⎝⎛⎭⎫x 22>4c ⎝⎛⎭⎫x 22＝1c x 2，因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)首先证明当x ∈(0，＋∞)时，恒有13x 3<e x .证明如下：令h (x )＝13x 3－e x ，则h ′(x )＝x 2－e x .由(2)知，当x >0时，x 2<e x ，从而h ′(x )<0，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以h (x )<h (0)＝－1<0，即13x 3<e x .取x 0＝3c ，当x >x 0时，有1c x 2<13x 3<e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .5．[2014·湖北卷22] π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝ln xx 的单调区间；(2)求e 3，3e ，e π，πe ，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．22．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1－ln x x 2.当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)因为e<3<π，所以eln 3<eln π，πln e<πln 3，即ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π. 于是根据函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e <πe <π3，e 3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中．由e<3<π及(1)的结论，得f (π)<f (3)<f (e)，即ln ππ<ln 33<ln ee .由ln ππ<ln 33，得ln π3<ln3π，所以3π>π3；由ln 33<ln e e，得ln 3e <ln e 3，所以3e <e 3.综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e .(3)由(2)知，3e <πe <π3<3π，3e <e 3.又由(2)知，ln ππ<ln e e ，得πe <e π.故只需比较e 3与πe 和e π与π3的大小．由(1)知，当0<x <e 时，f (x )<f (e)＝1e ，即ln x x <1e.在上式中，令x ＝e 2π，又e 2π<e ，则ln e 2π<e π，从而2－ln π<e π，即得ln π>2－eπ.①由①得，eln π>e ⎝⎛⎭⎫2－e π>2.7×⎝⎛⎭⎫2－2.723.1>2.7×(2－0.88)＝3.024>3， 即eln π>3，亦即ln πe >ln e 3，所以e 3<πe .又由①得，3ln π>6－3eπ>6－e>π，即3ln π>π，所以e π<π3.综上可得，3e <e 3<πe <e π<π3<3π，即这6个数从小到大的顺序为3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π.6．[2014·湖南卷22] 已知常数a ＞0，函数f (x )＝ln(1＋ax )－2xx ＋2.(1)讨论f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且f (x 1)＋f (x 2)＞0，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a1＋ax －2（x ＋2）－2x （x ＋2）2＝ax 2＋4（a －1）（1＋ax ）（x ＋2）2.(*)当a ≥1时，f ′(x )>0，此时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．当0<a <1时，由f ′(x )＝0得x 1＝21－a a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝－21－a a 舍去.当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在区间(0，x 1)上单调递减，在区间(x 1，＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，21－a a 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫21－a a ，＋∞上单调递增．(2)由(*)式知，当a ≥1时，f ′(x )≥0，此时f (x )不存在极值点，因而要使得f (x )有两个极值点，必有0<a <1.又f (x )的极值点只可能是x 1＝21－a a 和x 2＝－21－aa，且由f (x )的定义可知，x >－1a且x ≠－2，所以－21－a a >－1a ，－21－a a ≠－2，解得a ≠12.此时，由(*)式易知，x 1，x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点．而f (x 1)＋f (x 2)＝ln(1＋ax 1)－2x 1x 1＋2＋ln(1＋ax 2)－2x 2x 2＋2＝ln[1＋a (x 1＋x 2)＋a 2x 1x 2]－4x 1x 2＋4（x 1＋x 2）x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4＝ln(2a －1)2－4（a －1）2a －1＝ln(2a －1)2＋22a －1－2.令2a －1＝x .由0<a <1且a ≠12知，当0<a <12时，－1<x <0；当12<a <1时，0<x ＜1. 记g (x )＝ln x 2＋2x－2.(i)当－1<x <0时，g (x )＝2ln(－x )＋2x －2，所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0，因此，g (x )在区间(－1，0)上单调递减， 从而g (x )<g (－1)＝－4<0.故当0<a <12时，f (x 1)＋f (x 2)<0.(ii)当0<x <1时，g (x )＝2ln x ＋2x －2，所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0，因此，g (x )在区间(0，1)上单调递减，从而g (x )>g (1)＝0.故当12<a <1时，f (x 1)＋f (x 2)>0.综上所述，满足条件的a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.7．[2014·江苏卷19] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13.(3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立， 当且仅当最小值g (1)<0，故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e－12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.8．[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝(cos x －x )(π＋2x )－83(sin x ＋1)，g (x )＝3(x －π)cos x －4(1＋sin x )ln⎝⎛⎭⎫3－2x π.证明：(1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<π.21．证明：(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝－(1＋sin x )·(π＋2x )－2x －23cos x <0，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数．又f (0)＝π－83>0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2－163<0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)记函数h (x )＝3（x －π）cos x 1＋sin x－4ln ⎝⎛⎭⎫3－2πx ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.令t ＝π－x ，则当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，t ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.记u (t )＝h (π－t )＝3t cos t 1＋sin t －4 ln ⎝⎛⎭⎫1＋2πt ，则u ′(t )＝3f （t ）（π＋2t ）（1＋sin t ）. 由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )>0，当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，u ′(t )<0.故在(0，x 0)上u (t )是增函数，又u (0)＝0，从而可知当t ∈(0，x 0]时，u (t )>0，所以u (t )在(0，x 0]上无零点．在⎝⎛⎭⎫x 0，π2上u (t )为减函数，由u (x 0)>0，u ⎝⎛⎭⎫π2＝－4ln 2<0，知存在唯一t 1∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2，使u (t 1)＝0，故存在唯一的t 1∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使u (t 1)＝0.因此存在唯一的x 1＝π－t 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使h (x 1)＝h (π－t 1)＝u (t 1)＝0.因为当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，1＋sin x >0，故g (x )＝(1＋sin x )h (x )与h (x )有相同的零点，所以存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0.因为x 1＝π－t 1，t 1>x 0，所以x 0＋x 1<π.9．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ；(2)证明：f (x )>1.21．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b xe x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e ，故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e.设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x )．所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .因为g min (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1e ＝h (1)＝h max (x )，所以当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.10．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )＝e x －e －x －2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x ＞0时，g (x )＞0，求b 的最大值； (3)已知1.414 2＜2＜1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．21．解：(1)f ′(x )＝e x ＋e －x －2≥0，当且仅当x ＝0时，等号成立， 所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g (x )＝f (2x )－4bf (x )＝e 2x －e －2x －4b (e x －e －x )＋(8b －4)x ，g ′(x )＝2[e 2x ＋e －2x －2b (e x ＋e －x )＋(4b －2)]＝2(e x ＋e －x －2)(e x ＋e －x －2b ＋2)．(i)当b ≤2时，g ′(x )≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．而g (0)＝0，所以对任意x >0，g (x )>0.(ii)当b >2时，若x 满足2<e x ＋e －x <2b －2，即0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g ′(x )<0.而g (0)＝0，因此当0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g (x )<0.综上，b 的最大值为2.(3)由(2)知，g (ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2.当b ＝2时，g (ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－312>0.692 8；当b ＝324＋1时，ln(b －1＋b 2－2b )＝ln 2，g (ln 2)＝－32－22＋(32＋2)ln 2<0，ln 2<18＋228<0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.11．、[2014·全国卷] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a (a >1)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2.22．解：(1)易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2.(i)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数； 若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)是增函数．(ii)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，所以f (x )在(－1，＋∞)是增函数. (iii)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，0)是增函数； 若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0， 所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． (2)由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数． 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln(x ＋1)>2xx ＋2(x >0)．又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在[0，3)是减函数． 当x ∈(0，3)时，f (x )<f (0)＝0，即ln(x ＋1)<3xx ＋3(0<x <3)．下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3n ＋2.(i)当n ＝1时，由已知23<a 1＝1，故结论成立．(ii)假设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln ⎝⎛⎭⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3，a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln ⎝⎛⎭⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n ＝k ＋1时，有2k ＋3 <a k ＋1≤3k ＋3，结论成立．根据(i)(ii)知对任何n ∈N *结论都成立．12．[2014·山东卷] 设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． 20．解：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1x ＝x e x －2e x x 3－k （x －2）x 2＝（x －2）（e x －kx ）x 3.由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增． 所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，当k ≤0时，函数f (x )在(0，2)内单调递减，故f (x )在(0，2)内不存在极值点； 当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞)． 因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ， 当0<k ≤1时，当x ∈(0，2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增， 故f (x )在(0，2)内不存在两个极值点．当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （ln k ）<0，g （2）>0，0<ln k <2，解得e<k <e22.综上所述，函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e ，e 22. 13．[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明． 21．解：由题设得，g (x )＝x1＋x (x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x 1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立． (2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a（1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， 故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x 1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立． 方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x 1＋x，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n xx ＋1d x ＝⎠⎛0n ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)，结论得证．14．，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围． 21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1. 同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2. 故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12<a <e2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0. 由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2，则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0，解得e －2<a <1. 当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))． 若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0， 故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)．15．、[2014·天津卷] 设f (x )＝x －a e x (a ∈R )，x ∈R .已知函数y ＝f (x )有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2. (1)求a 的取值范围；(2)证明：x 2x 1随着a 的减小而增大；(3)证明：x 1＋x 2随着a 的减小而增大．20．解：(1)由f (x )＝x －a e x ，可得f ′(x )＝1－a e x . 下面分两种情况讨论：(i)a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立，可得f (x )在R 上单调递增，不合题意． (ii)a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a .当x 变化时，f ′(x )这时，f (x )的单调递增区间是(－∞，－ln a )；单调递减区间是(－ln a ，＋∞)．于是，“函数y ＝f (x )有两个零点”等价于如下条件同时成立：①f (－ln a )>0；②存在s 1∈(－∞，－ln a )，满足f (s 1)<0；③存在s 2∈(－ln a ，＋∞)，满足f (s 2)<0.由f (－ln a )>0，即－ln a －1>0，解得0<a <e －1.而此时，取s 1＝0，满足s 1∈(－∞，－ln a )，且f (s 1)＝－a <0；取s 2＝2a ＋ln 2a，满足s 2∈(－ln a ，＋∞)，且f (s 2)＝⎝⎛⎭⎫2a －e 2a ＋⎝⎛⎭⎫ln 2a －e 2a <0. 故a 的取值范围是(0，e －1)．(2)证明：由f (x )＝x －a e x ＝0，有a ＝x e x .设g (x )＝xe x ，由g ′(x )＝1－x e x ，知g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．并且，当x ∈(－∞，0]时，g (x )≤0; 当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>0.由已知，x 1，x 2满足a ＝g (x 1)，a ＝g (x 2)．由a ∈(0，e －1)及g (x )的单调性，可得x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)．对于任意的a 1，a 2∈(0，e －1)，设a 1>a 2，g (ξ1)＝g (ξ2)＝a 1，其中0<ξ1<1<ξ2；g (η1)＝g (η2)＝a 2，其中0<η1<1<η2.因为g (x )在(0，1)上单调递增，所以由a 1>a 2，即g (ξ1)>g (η1)，可得ξ1>η1.类似可得ξ2<η2.又由ξ1，η1>0，得ξ2ξ1<η2ξ1<η2η1，所以x 2x 1随着a 的减小而增大．(3)证明：由x 1＝a e x 1，x 2＝a e x 2，可得ln x 1＝ln a ＋x 1，ln x 2＝ln a ＋x 2.故x 2－x 1＝ln x 2－ln x 1＝ln x 2x 1.设x 2x 1＝t ，则t >1，且⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝tx 1，x 2－x 1＝ln t ，解得x 1＝ln t t －1，x 2＝t ln tt －1，所以x 1＋x 2＝（t ＋1）ln t t －1.① 令h (x )＝（x ＋1）ln xx －1，x ∈(1，＋∞)，则h ′(x )＝－2ln x ＋x －1x （x －1）2. 令u (x )＝－2ln x ＋x －1x ，得u ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2.当x ∈(1，＋∞)时，u ′(x )>0.因此，u (x )在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的x ∈(1，＋∞)，u (x )>u (1)＝0，由此可得h ′(x )>0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增．因此，由①可得x 1＋x 2随着t 的增大而增大．而由(2)，t 随着a 的减小而增大，所以x 1＋x 2随着a 的减小而增大．16．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a ∈R )．(1)若f (x )在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M (a )，m (a )，求M (a )－m (a )； (2)设b ∈R ，若[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1，1]恒成立，求3a ＋b 的取值范围．22．解：(1)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋3x －3a ，x ≥a ，x 3－3x ＋3a ，x <a ，所以f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3，x ≥a ，3x 2－3，x <a .由于－1≤x ≤1，(i)当a ≤－1时，有x ≥a ， 故f (x )＝x 3＋3x －3a ，此时f (x )在(－1，1)上是增函数，因此，M (a )＝f (1)＝4－3a ，m (a )＝f (－1)＝－4－3a ，故M (a )－m (a )＝(4－3a )－(－4－3a )＝8. (ii)当－1<a <1时，若x ∈(a ，1)，则f (x )＝x 3＋3x －3a .在(a ，1)上是增函数；若x ∈(－1，a )， 则f (x )＝x 3－3x ＋3a 在(－1，a )上是减函数．所以，M (a )＝max{f (1)，f (－1)}，m (a )＝f (a )＝a 3.由于f (1)－f (－1)＝－6a ＋2，因此，当－1<a ≤13时，M (a )－m (a )＝－a 3－3a ＋4；当13<a <1时，M (a )－m (a )＝－a 3＋3a ＋2.(iii)当a ≥1时，有x ≤a ，故f (x )＝x 3－3x ＋3a ，此时f (x )在(－1，1)上是减函数，因此，M (a )＝f (－1)＝2＋3a ，m (a )＝f (1)＝－2＋3a ，故M (a )－m (a )＝(2＋3a )－(－2＋3a )＝4.综上，M (a )－m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧8，a ≤－1，－a 3－3a ＋4，－1<a ≤13，－a 3＋3a ＋2，13<a <1，4，a ≥1.(2)令h (x )＝f (x )＋b ，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋3x －3a ＋b ，x ≥a ，x 3－3x ＋3a ＋b ，x <a ，h ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3，x >a ，3x 2－3，x <a .因为[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1，1]恒成立， 即－2≤h (x )≤2对x ∈[－1，1]恒成立，所以由(1)知，(i)当a ≤－1时，h (x )在(－1，1)上是增函数，h (x )在[－1，1]上的最大值是h (1)＝4－3a ＋b ，最小值是h (－1)＝－4－3a ＋b ，则－4－3a ＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，矛盾．(ii)当－1<a ≤13时，h (x )在[－1，1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (1)＝4－3a ＋b ，所以a 3＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，从而－2－a 3＋3a ≤3a ＋b ≤6a －2且0≤a ≤13.令t (a )＝－2－a 3＋3a ，则t ′(a )＝3－3a 2>0，t (a )在⎝⎛⎭⎫0，13上是增函数，故t (a )>t (0)＝－2， 因此－2≤3a ＋b ≤0.(iii)当13<a <1时，h (x )在[－1，1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (－1)＝3a ＋b ＋2，所以a 3＋b ≥－2且3a ＋b ＋2≤2，解得－2827<3a ＋b ≤0；(iv)当a ≥1时，h (x )在[－1，1]上的最大值是h (－1)＝2＋3a ＋b ，最小值是h (1)＝－2＋3a ＋b ，所以3a ＋b ＋2≤2且3a ＋b －2≥－2，解得3a ＋b ＝0.综上，得3a ＋b 的取值范围是－2≤3a ＋b ≤0.17．[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x －cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； (3)若f (x )有极值，求c 的取值范围．20．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝2a e 2x ＋2b e －2x －c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )，即2(a －b )(e 2x －e －2x )＝0.因为上式总成立，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，所以a ＝1，b ＝1.(2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e －2x －3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x －3＝1>0， 故f (x )在R 上为增函数．(3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c ，而2e 2x ＋2e －2x ≥22e 2x ·2e －2x ＝4，当且仅当x ＝0时等号成立． 下面分三种情况进行讨论：当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c >0，此时f (x )无极值．当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －4>0，此时f (x )无极值．当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1，2＝c ±c 2－164>0，则f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1，x 2＝12ln t 2. 当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0. 从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．。

2014年高考数学函数与导数

2014年高考数学函数与导数

2014年高考数学函数与导数一、选择题1.【2014·全国卷Ⅰ（理3，文5）】设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数2. 【2014·全国卷Ⅰ（理6）】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ）3. 【2014·全国卷Ⅰ（理11，文12）】已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为（ ）A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）4. 【2014·全国卷Ⅱ（理8）】设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 35【2014·全国卷Ⅱ（理12）】设函数()x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A. ()(),66,-∞-⋃∞B. ()(),44,-∞-⋃∞C. ()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞6.【2014·全国卷Ⅱ（文3）】函数()f x 在0x=x 处导数存在，若p ：f ‘（x 0）=0；q ：x=x 0是()f x 的极值点，则（ ）（A ）p 是q 的充分必要条件（B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （C ）p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 (D) p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 7.【2014·全国卷Ⅱ（文11）】若函数()ln f x kx x =-在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是（ ）（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞8. 【2014·全国大纲卷（理7）】曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ） A ．2e B ．e C ．2 D ．1 9. 【2014·全国大纲卷（理12）】函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--10.【2014·全国大纲卷（文5）】函数1)(1)y x =>-的反函数是（ ） A ．3(1)(1)x y e x =->- B ．3(1)(1)x y e x =->- C ．3(1)()x y e x R =-∈ D ．3(1)()x y e x R =-∈11.【2014·全国大纲卷（文12）】奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1 12. 【2014·山东卷（理3）】函数()f x =）（A ）1(0,)2（B ）(2,)+∞（C ）1(0,)(2,)2+∞（D ）1(0,][2,)2+∞13.【2014·山东卷（文3）】函数()f x =的定义域为（ ）(A) (0,2) (B) (0,2] (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞14.【2014·山东卷（理5）】已知实数,x y 满足x y a a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（ ） （A ）221111x y >++（B ）22ln(1)ln(1)x y +>+ （C ）sin sin x y > （D ）22x y > 15.【2014·山东卷（文5）】已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）(A) 33x y > (B) sin sin x y > (C) 22ln(1)ln(1)x y +>+ (D) 221111x y >++ 16.【2014·山东卷（文6）】已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是（ ）(A) 0,1a c >> (B) 1,01a c ><< (C) 01,1a c <<> (D) 01,01a c <<<< 17.【2014·山东卷（文9）】对于函数()f x ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（ ）(A) ()f x = (B) 3()f x x =(C) ()tan f x x =(D) ()cos(1)f x x =+18.【2014·山东卷（理6）】直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）（A ）B ）C ）2（D ）419.【2014·山东卷（理8）】已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞20.【2014·安徽卷（理6）】设函数()(f x x R ∈)满足()()f x f x sinx π+=+.当0x π≤≤时，()0f x =，则236f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A.12 C.0 D.12-21.【2014·安徽卷（文、理9）】若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为（ ） A. 5或8 B. 1-或5 C. 1-或4- D. 4-或822.【2014·安徽卷（文5）】设3log 7a =， 3.32b =， 3.30.8c =，则（ ）A. b a c <<B. c a b <<C. c b a <<D. a c b <<23.【2014·浙江卷（理6，文8）】已知函数32()f x x ax bx c =+++ 且0(1)(2)(3)3f f f ≤-≤-≤-≤，则（ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c 24.【2014·北京卷（理2）】下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A y =2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+25.【2014·北京卷（文2）】下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A.x y e -= B.y x = C.ln y x = D.y x = 26.【2014·北京卷（文6）】已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）A.()0,1B.()1,2C.()2,4D.()4,+∞27.【2014·天津卷（文4）】设2log a p =，12log b p =，2c p -=，则（ ）（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >> （D ）c b a >>28.【2014·福建卷（理4，文8）】若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）29.【2014·福建卷（理7，文8）】已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数 B.C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,130.【2014·辽宁卷（理3，文3）】已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >> 31.【2014·辽宁卷（理11）】当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--32.【2014·辽宁卷（文10）】已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ） A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343-- C ．1347[,][,]3434 D ．3113[,][,]4334--33.【2014·陕西卷（理3）】定积分1(2)x x e dx +⎰的值为（ ）.2A e + .1B e + .C e .1D e -34.【2014·陕西卷（文、理7）】下列函数中，满足“()()()f xy f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （D ）()3x f x =35.【2014·湖南卷（理3）】已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1,f x g x x x -=++(1)(1)f g +则＝（ ） A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．336.【2014·湖南卷（文4）】下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -= 37.【2014·湖南卷（理10）】已知函数221()(0)()ln()2x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A．(-∞ B．(-∞ C．( D．( 38.【2014·湖南卷（文9）】若1201x x <<<，则（ ）A.2121ln ln x x e e x x ->-B.2121ln ln x x e e x x -<-C.1221x x x e x e >D.1221x x x e x e < 39【2014·江西卷（理2）】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞D. ),1[]0,(+∞-∞40.【2014·江西卷（理3）】已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. -141.【2014·江西卷（文4）】已知函数2,0()()2,0x x a x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩，若[(1)]1f f -=，则=a （ ）1.4A 1.2B .1C .2D 42【2014·江西卷（理8）】若120()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰（ ）A.1-B.13-C.13D.143.【2014·湖北卷（理6）】若函数(),()f x g x 满足11()g()0f x x dx -=⎰ ，则称(),()f x g x 为区间[]1,1-上的一组正交函数，给出三组函数：①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f ==。

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题3：导数1(导数的概念、运算和几何意义)带详细答案

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题3：导数1(导数的概念、运算和几何意义)带详细答案

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题3：导数（导数的概念、运算和几何意义）（一）导数的概念和运算填空题1．（2015•天津文）已知函数()f x axlnx =，(0,)x ∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若f '（1）3=，则a 的值为 3 ．【考点】导数的乘法与除法法则【分析】由题意求出()f x '，利用f '（1）3=，求a ．【解答】解：因为()f x axlnx =，所以1()f x alnx ax alnx a x'=+=+，又f '（1）3=，所以3a =；故答案为：3．【点评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．2．（2016•天津文）已知函数()(21)x f x x e =+，()f x '为()f x 的导函数，则(0)f '的值为 3 ． 【考点】导数的运算【分析】先求导，再带值计算． 【解答】解：()(21)x f x x e =+，()2(21)x x f x e x e ∴'=++，00(0)2(201)213f e e ∴'=+⨯+=+=． 故答案为：3．【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．3．（2018•天津文10）已知函数()x f x e lnx =，()f x '为()f x 的导函数，则f '（1）的值为 e ． 【考点】导数的运算【分析】根据导数的运算法则求出函数()f x 的导函数，再计算f '（1）的值． 【解答】解：函数()x f x e lnx =， 则1()x xf x e lnx e x'=+； f ∴'（1）11e ln e e =+=．故答案为：e ．【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题． （二）导数的几何意义选择题1．（2014•新课标Ⅱ理）设曲线(1)y ax ln x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则(a = ) A ．0B ．1C ．2D ．3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】根据导数的几何意义，即0()f x '表示曲线()f x 在0x x =处的切线斜率，再代入计算． 【解答】解：11y a x '=-+， (0)12y a ∴'=-=，3a ∴=．故选：D ．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视． 2．（2014•大纲版理）曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A ．2eB ．eC ．2D ．1【考点】导数及其几何意义【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率． 【解答】解：函数的导数为111()(1)x x x f x e xe x e ---'=+=+， 当1x =时，f '（1）2=，即曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率k f ='（1）2=， 故选：C ．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．3．（2014•陕西文）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．321122y x x x =-- B ．3211322y x x x =+- C ．314y x x =- D ．3211242y x x x =+- 【考点】函数解析式的求解及常用方法；导数及其几何意义【分析】由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案．【解答】解：由函数图象知，此三次函数在(0,0)上处与直线y x =-相切，在(2,0)点处与36y x =-相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线．A 、2312y x x '=--，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是1-，3，符合题意，故A 正确；B 、2332y x x '=+-，将0代入，此时导数为3-，不为1-，故B 错误；C 、2314y x '=-，将2代入，此时导数为1-，与点(2,0)处切线斜率为3矛盾，故C 错误；D 、2324y x x '=+-，将0代入，此时导数为2-，与点(0,0)处切线斜率为1-矛盾，故D 错误．故选：A ．【点评】本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一． 4．（2014•陕西理）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．3131255y x x =- B ．3241255y x x =- C ．33125y x x =- D ．3311255y x x =-+ 【考点】函数解析式的求解及常用方法；导数及其几何意义【分析】分别求出四个选项中的导数，验证在5x =±处的导数为0成立与否，即可得出函数的解析式． 【解答】解：由题意可得出，此三次函数在5x =±处的导数为0，依次特征寻找正确选项：A 选项，导数为2331255y x '=-，令其为0，解得5x =±，故A 正确； B 选项，导数为2641255y x '=-，令其为0，5x =±不成立，故B 错误； C 选项，导数为291125y x '=-，令其为0，5x =±不成立，故C 错误； D 选项，导数为2911255y x '=-+，令其为0，5x =±不成立，故D 错误． 故选：A ．【点评】本题考查导数的几何意义，导数几何意义是导数的重要应用．5．（2016•四川文理）设直线1l ，2l 分别是函数,01(),1lnx x f x lnx x -<<⎧=⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则PAB ∆的面积的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设出点1P ，2P 的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线1l 与2l 的斜率，由两直线垂直求得1P ，2P 的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A ，B 两点的纵坐标，得到||AB ，联立两直线方程求得P 的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得PAB ∆的面积的取值范围．【解答】解：设11(P x ，1)y ，22(P x ，212)(01)y x x <<<， 当01x <<时，1()f x x '=-，当1x >时，1()f x x'=，1l ∴的斜率111k x =-，2l 的斜率221k x =， 1l 与2l 垂直，且210x x >>，∴1212111k k x x =-=-，即121x x =． 直线11111:()l y x x lnx x =---，22221:()l y x x lnx x =-+． 取0x =分别得到1(0,1)A lnx -，2(0,1)B lnx -+，121212|||1(1)||2()||2|2AB lnx lnx lnx lnx lnx x =---+=-+=-=．联立两直线方程可得交点P 的横坐标为12122x x x x x =+， ∴1212121121122||||2122PAB P x x S AB x x x x x x x ∆==⨯⨯==+++． 函数1y x x=+在(0,1)上为减函数，且101x <<， ∴111112x x +>+=，则1111012x x <<+，∴112011x x <<+． PAB ∴∆的面积的取值范围是(0,1)．故选：A ．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．6．（2016•山东文理）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( ) A ．sin y x =B ．y lnx =C ．x y e =D ．3y x =【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数()y f x =的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1-，进而可得答案．【解答】解：函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数()y f x =的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1-， 当sin y x =时，cos y x '=，满足条件； 当y lnx =时，10y x'=>恒成立，不满足条件； 当x y e =时，0x y e '=>恒成立，不满足条件； 当3y x =时，230y x '=>恒成立，不满足条件； 故选：A ．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．7．（2018•新课标Ⅰ文理）设函数32()(1)f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为( ) A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用函数的奇偶性求出a ，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程． 【解答】解：函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数， 可得1a =，所以函数3()f x x x =+，可得2()31f x x '=+， 曲线()y f x =在点(0,0)处的切线的斜率为：1， 则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为：y x =． 故选：D ．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力． 8．（2019新课标Ⅱ文10）曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为( ) A ．10x y π---=B ．2210x y π---=C ．2210x y π+-+=D ．10x y π+-+=【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x π=时的导数，再由直线方程点斜式得答案．【解答】解：由2sin cos y x x =+，得2cos sin y x x '=-， |2cos sin 2x y πππ=∴'=-=-，∴曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为12()y x π+=--，即2210x y π+-+=． 故选：C ．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．9．（2019•新课标Ⅲ文理）已知曲线x y ae xlnx =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则( ) A ．a e =，1b =-B ．a e =，1b =C ．1a e -=，1b =D ．1a e -=，1b =-【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求得函数y 的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得102ae ++=，可得a ，进而得到切点，代入切线方程可得b 的值．【解答】解：x y ae xlnx =+的导数为1x y ae lnx '=++， 由在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+， 可得102ae ++=，解得1a e -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-， 故选：D ．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．填空题 1．（2014•广东文）曲线53x y e =-+在点(0,2)-处的切线方程为 520x y ++=． ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可． 【解答】解：5x y e '=-， 0|5x y =∴'=-．因此所求的切线方程为：25y x +=-，即520x y ++=． 故答案为：520x y ++=．【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题．2．（2014•广东理）曲线52x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为 53y x =-+． ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程． 【解答】解；55x y e -'=-，5k ∴=-，∴曲线52x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为35y x -=-，即53y x =-+．故答案为：53y x =-+【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题．3．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2(by ax a x=+，b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 3- ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由曲线2(by ax a x =+，b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，可得2|5x y ==-，且27|2x y ='=-，解方程可得答案．【解答】解：直线7230x y ++=的斜率72k =-，曲线2(by ax a x =+，b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，22b y ax x ∴'=-， ∴4527442b a b a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩，故3a b +=-， 故答案为：3-【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到2|5x y ==-，且27|2x y ='=-，是解答的关键．4．（2014•江西文）若曲线y xlnx =上点P 处的切线平行与直线210x y -+=，则点P 的坐标是 (,)e e ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论． 【解答】解：函数的定义域为(0,)+∞，函数的导数为1()1f x lnx xlnx x'=+=+， 直线210x y -+=的斜率2k =，曲线y xlnx =上点P 处的切线平行与直线210x y -+=， ()12f x lnx ∴'=+=，即1lnx =，解得x e =，此时y elne e ==， 故点P 的坐标是(,)e e ， 故答案为：(,)e e ．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义． 5．（2014•江西理）若曲线x y e -=上点P 的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是 (2,2)ln - ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先设(,)P x y ，对函数求导，由在在点P 处的切线与直线210x y ++=平行，求出x ，最后求出y ． 【解答】解：设(,)P x y ，则x y e -=，x y e -'=-，在点P 处的切线与直线210x y ++=平行， 2x e -∴-=-，解得2x ln =-，2x y e -∴==，故(2,2)P ln -． 故答案为：(2,2)ln -．【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P 处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．6．（2015•新课标Ⅰ文）已知函数3()1f x ax x =++的图象在点(1，f （1）)处的切线过点(2,7)，则a = 1 ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．【解答】解：函数3()1f x ax x =++的导数为：2()31f x ax '=+，f '（1）31a =+，而f （1）2a =+， 切线方程为：2(31)(1)y a a x --=+-，因为切线方程经过(2,7)， 所以72(31)(21)a a --=+-， 解得1a =． 故答案为：1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．7．（2015•新课标Ⅱ文）已知曲线y x lnx =+在点(1,1)处的切线与曲线2(2)1y ax a x =+++相切，则a =8 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出y x lnx =+的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线2(2)1y ax a x =+++相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△0=得到a 的值． 【解答】解：y x lnx =+的导数为11y x'=+， 曲线y x lnx =+在1x =处的切线斜率为2k =，则曲线y x lnx =+在1x =处的切线方程为122y x -=-，即21y x =-． 由于切线与曲线2(2)1y ax a x =+++相切， 故2(2)1y ax a x =+++可联立21y x =-， 得220ax ax ++=，又0a ≠，两线相切有一切点， 所以有△280a a =-=， 解得8a =． 故答案为：8．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键． 8．（2015•陕西文）函数x y xe =在其极值点处的切线方程为 1y e=- ．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程． 【解答】解：依题解：依题意得x x y e xe '=+， 令0y '=，可得1x =-， 1y e∴=-．因此函数x y xe =在其极值点处的切线方程为1y e =-．故答案为：1y e=-．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．9．（2015•陕西理）设曲线x y e =在点(0,1)处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 的切线垂直，则P 的坐标为(1,1) ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用x y e =在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标． 【解答】解：()x f x e '=，0(0)1f e '∴==．x y e =在(0,1)处的切线与1(0)y x x=>上点P 的切线垂直∴点P 处的切线斜率为1-．又21y x '=-，设点0(P x ，0)y 2011x ∴-=-， 01x ∴=±，0x >，01x ∴=01y ∴=∴点(1,1)P故答案为：(1,1)【点评】本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中．10．（2016•新课标Ⅱ理）若直线y kx b =+是曲线2y lnx =+的切线，也是曲线(1)y ln x =+的切线，则b = 12ln - ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可 【解答】解：设y kx b =+与2y lnx =+和(1)y ln x =+的切点分别为1(x ，1)kx b +、2(x ，2)kx b +； 由导数的几何意义可得12111k x x ==+，得121x x =+ 再由切点也在各自的曲线上，可得11222(1)kx b lnx kx b ln x +=+⎧⎨+=+⎩联立上述式子解得1221212k x x ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩；从而112kx b lnx +=+得出12b ln =-．【点评】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题11．（2016•新课标Ⅲ文）已知()f x 为偶函数，当0x …时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是 2y x = ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由已知函数的奇偶性结合0x …时的解析式求出0x >时的解析式，求出导函数，得到f '（1），然后代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：已知()f x 为偶函数，当0x …时，1()x f x e x --=-，设0x >，则0x -<，1()()x f x f x e x -∴=-=+，则1()1x f x e -'=+，f '（1）012e =+=．∴曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是22(1)y x -=-．即2y x =．故答案为：2y x =．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题．12．（2016•新课标Ⅲ理）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()()3f x ln x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是 210x y ++= ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由偶函数的定义，可得()()f x f x -=，即有0x >时，()3f x lnx x =-，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：()f x 为偶函数，可得()()f x f x -=，当0x <时，()()3f x ln x x =-+，即有0x >时，()3f x lnx x =-，1()3f x x'=-， 可得f （1）133ln =-=-，f '（1）132=-=-，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程为(3)2(1)y x --=--，即为210x y ++=．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．13．（2017•新课标Ⅰ文）曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为 10x y -+= ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．【解答】解：曲线21y x x =+，可得212y x x'=-， 切线的斜率为：211k =-=．切线方程为：21y x -=-，即：10x y -+=．故答案为：10x y -+=．【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．14．（2017•天津文）已知a R ∈，设函数()f x ax lnx =-的图象在点(1，f （1）)处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l 在y 轴上的截距．【解答】解：函数()f x ax lnx =-，可得1()f x a x'=-，切线的斜率为：k f ='（1）1a =-， 切点坐标(1,)a ，切线方程l 为：(1)(1)y a a x -=--，l 在y 轴上的截距为：(1)(1)1a a +--=．故答案为：1．【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．15．（2018•新课标Ⅱ文12）曲线2y lnx =在点(1,0)处的切线方程为 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在1x =的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：2y lnx =，2y x ∴'=， 当1x =时，2y '=∴曲线2y lnx =在点(1,0)处的切线方程为22y x =-．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．16．（2018•新课标Ⅱ理13）曲线2(1)y ln x =+在点(0,0)处的切线方程为 2y x = ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在0x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：2(1)y ln x =+，21y x ∴'=+， 当0x =时，2y '=，∴曲线2(1)y ln x =+在点(0,0)处的切线方程为2y x =．故答案为：2y x =．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．17．（2018•新课标Ⅲ理14）曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a = ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可．【解答】解：曲线(1)x y ax e =+，可得(1)x x y ae ax e '=++，曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，可得：12a +=-，解得3a =-．故答案为：3-．【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力．18．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用导数求平行于0x y +=的直线与曲线4(0)y x x x=+>的切点，再由点到直线的距离公式求点P 到直线0x y +=的距离的最小值．【解答】解：由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-，设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0(x ，004)x x +， 由20411x -=-，解得000)x x =>． ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，4=． 故答案为：4．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．19．（2019江苏11）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y lnx =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(e -，1)(e -为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设0(A x ，0)lnx ，利用导数求得曲线在A 处的切线方程，代入已知点的坐标求解0x 即可．【解答】解：设0(A x ，0)lnx ，由y lnx =，得1y x '=， ∴001|x x y x ='=，则该曲线在点A 处的切线方程为0001()y lnx x x x -=-， 切线经过点(,1)e --，∴0011e lnx x --=--， 即00e lnx x =，则0x e =． A ∴点坐标为(,1)e ．故答案为：(,1)e ．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．20．（2019•新课标Ⅰ文理）曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】对23()x y x x e =+求导，可将0x =代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．【解答】解：23()x y x x e =+，23(31)x y e x x '∴=++，∴当0x =时，3y '=，23()x y x x e ∴=+在点(0,0)处的切线斜率3k =，∴切线方程为：3y x =．故答案为：3y x =．【点评】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题关键，属基础题．21．（2019•天津文11）曲线cos 2x y x =-在点(0,1)处的切线方程为 ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】本题就是根据对曲线方程求导，然后将0x =代入导数方程得出在点(0,1)处的斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．【解答】解：由题意，可知：1sin 2y x '=--， 011|sin 022x y ='=--=-． 曲线cos 2x y x =-在点(0,1)处的切线方程：112y x -=-， 整理，得：220x y +-=．故答案为：220x y +-=．【点评】本题主要考查函数求导以及某点处导数的几何意义就是切线斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．本题属基础题．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试分类汇编5—函数导数与积分T(理科)

2014年普通高等学校招生全国统一考试分类汇编5—函数导数与积分T(理科)

2014高考数学分类汇编—函数导数定积分(一) 函数及其表示1.[2014·安徽卷] 6． 设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12[解析]6．A. 由已知可得，f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝⎛⎭⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6 ＝f ⎝⎛⎭⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝2sin 5π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin 5π6＝12. 2．[2014·北京卷] 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)[解析] 2．A. 由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.3．[2014·福建卷] 7． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)[解析]7．D 由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]； ∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．4．[2014·江西卷]2. 函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A ．(0，1]B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)[解析]2．C. 由x 2－x >0，得x >1或x <0.5．[2014·山东卷] 3．函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) [解析] 3．C 根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. (二) 反函数(高中针对指对函数)6．[2014·全国卷] 12．函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＋y ＝0对称，则y ＝f (x )的反函数是( )A ．y ＝g (x )B ．y ＝g (－x )C ．y ＝－g (x )D ．y ＝－g (－x )[解析] 12．D. 设(x 0，y 0)为函数y ＝f (x )的图像上任意一点，其关于直线x ＋y ＝0的对称点为(－y 0，－x 0)．根据题意，点(－y 0，－x 0)在函数y ＝g (x )的图像上，又点(x 0，y 0)关于直线y ＝x 的对称点为(y 0，x 0)，且(y 0，x 0)与(－y 0，－x 0)关于原点对称，所以函数y ＝f (x )的反函数的图像与函数y ＝g (x )的图像关于原点对称，所以－y ＝g (－x )，即y ＝－g (－x )．（三） 函数的单调性与最值7．[2014·北京卷] 2． 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)[解析]2．A 由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A. 8. [2014·福建卷] 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)[解析] 7．D 由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]； ∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．9. [2014·广东卷] 21．设函数f (x )＝1（x 2＋2x ＋k ）2＋2（x 2＋2x ＋k ）－3，其中k <－2. (1)求函数f (x )的定义域D (用区间表示)；(2)讨论函数f (x )在D 上的单调性；(3)若k <－6，求D 上满足条件f (x )>f (1)的x 的集合(用区间表示)．解法一：21.(1).可知222(2)2(2)30x x k x x k +++++->， 22[(2)3][(2)1]0x x k x x k ∴+++⋅++->，223x x k ∴++<-或221x x k ++>，2(1)2x k ∴+<--(20)k -->或2(1)2x k +>-(20)k ->，|1|x∴+<|1|x +>，1∴-<1x <-1x <-1x >-+所以函数()f x 的定义域D 为(,1-∞-(1-1-(1)-+∞；(2). 22(2)(22)2(22)'()x x k xx f x +++++=-2(21)(22)x x k x ++++=-，由'()0f x >得2(21)(22)0x x k x ++++<，即(1)()(1)0x xx +++<，1x ∴<-或11x -<<-，结合定义域知1x <-11x -<<-所以函数()f x 的单调递增区间为(,1-∞-，(1,1--，同理递减区间为(11)--，(1)-+∞；(3).由()(1)f x f =得2222(2)2(2)3(3)2(3)3x x k x x k k k +++++-=+++-，2222[(2)(3)]2[(2)(3)]0x x k k x x k k ∴++-++++-+=，22(225)(23)0x x k x x ∴+++⋅+-=，(11(3)(1)0x x x x ∴++⋅+-=，1x ∴=-1x =-或3x =-或1x =，6k <-，1(1,1∴∈--，3(11)-∈--，11-<-11->-结合函数()f x 的单调性知()(1)f x f >的解集为(11--(13)--(1,1-(11--．解法二：解：（1）依题意有222(2)2(2)30x x k x x k +++++-> ()()222+3210x x k x x k ++⋅++->2,31,13k k k <-∴+<-<-故222+3=021=0x x k x x k ++++-，均有两根记为12341111x x x x =-=-=-=-注意到3124x x x x >>>，故不等式()()222+3210x x k x x k ++⋅++->的解集为()()()4213,,,x x x x -∞⋃⋃+∞ ，即()()()4213,,,D x x x x =-∞⋃⋃+∞（2）令()222=(2)2(2)3,g x x x k x x k x D +++++-∈ 则()()()()'22=2(2)222(22)412+1g x x x k x x x x x k ++⋅+++=+⋅++ 令()'0g x =，注意到2,11k k <-+<-，故方程2210x x k +++=有两个不相等的实数根记为5611x x =-=-，且71x =-注意到3512641x x x x x x >>>->>>结合图像可知在区间()()23,1,,x x -+∞上()'0g x >，()g x 单调递增在区间()()41,,1,x x -∞-上()'0g x <，()g x 单调递减 故()f x 在区间()()23,1,,x x -+∞上单调递减，在区间()()41,,1,x x -∞-上单调递增.（3）(1)f ==在区间D 上，令()()1f x f =，，即 2222(2)2(2)3=812x x k x x k k k +++++-++()()222(2)2(2)350x x k x x k k k +++++-+⋅+=()()2223250x x k k x x k k ⎡⎤⎡⎤++-+++++=⎣⎦⎣⎦22232250x x x x k ⎡⎤⎡⎤+-+++=⎣⎦⎣⎦()*方程22250x x k +++=的判别式8160k ∆=-->，故此方程()*有4个不相等的实数根，记为8910111,3,11x x x x ==-=-=-注意到6k <-，故，1211,13x x =->=-<-，故89,x x D ∈(103110x x -=-+-+=>，故10x D ∈4112420k k x x -----==>故11x D ∈ 结合()()()4213,,,D x x x x =-∞⋃⋃+∞和函数的图像可得()(1)f x f >的解集为()()()()1142981310,,,,x x x x x x x x ⋃⋃【品题】函数题（1）考查了数轴标根法，4个根，学过这个方法的学生就能快速做出第一问.我记得考纲上有这样一句“试题中函数一般不超过3次”这次真超过4次了.（2）考查了复合函数单调性，利用导数作工具，这个题还是很容易的，而且不涉及到分类讨论，就是题目的根太多太多了.（3）利用数形结合的思想，容易知道所求的范围，接下来只要根不求错，那就没问题了. 总的来说，本题就是根太多，结合图像，不要搞错咯~~二次函数问题依旧是备考的重点，也是难点，平时努力了，也未必有大收获.附：()g x x 3x 5x1-1x 2x 6x 4()f x 的大致图像为x 10x 3x 1x 8x 9x 2x 4x 1110. [2014·四川卷] 12．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． [解析] 12．1 由题意可知，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 11. [2014·四川卷] 15．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ； ④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋x x 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B . 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)[解析] 15．①③④ 若f (x )∈A ，则f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时f (x )没有最大值和最小值，故②错误．当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (a 0)＝b －g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋x x 2＋1(x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝x x 2＋1(x ＞－2)． 易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确． 12. [2014·四川卷] 21． 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值；(2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．解：21． (1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e 2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e 2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当12<a <e 2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e 2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b . (2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负．故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点； 当a ≥e 2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意． 所以12<a <e 2. 此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2，则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0，解得e －2<a <1.当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))．若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0.又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0，故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)．(四) 函数的奇偶性与周期性13. [2014·福建卷] 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)[解析]7．D. 由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]； ∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．14．[2014·湖南卷] 3．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[解析]3．C 因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.15. [2014·新课标全国卷Ⅰ] 3．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数[解析] C 由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.16.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 15． 已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．[解析] (－1，3) 根据偶函数的性质，易知f (x )>0的解集为(－2，2)，若f (x －1)>0，则－2<x －1<2，解得－1<x <3.(五) 二次函数17．[2014·全国卷] 若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．[解析] 16．(－∞，2] 。

2014年高考导数专题(含详细解答)

2014年高考导数专题(含详细解答)

导数及其应用导数的运算1. 几种常见的函数导数： ①、c '= （c 为常数）； ②、n(x)'= （R n ∈）； ③、)(sin 'x = ；④、)(cos 'x = ； ⑤、x (a )'= ； ⑥、x (e )'= ； ⑦、a (log x )'= ； ⑧、(lnx )'= .2. 求导数的四则运算法则：()u v u v '''±=±；v u v u uv '+'=')(；2)(v v u v u v u '-'=' )0(2'''≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v u v vu v u注：① v u ,必须是可导函数. 3. 复合函数的求导法则： )()())((x u f x f x ϕϕ'∙'=' 或 '∙'='x u x u y y变式三：8.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y =x ＋1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( )A .1B . 2C .－1D .－29.【2009江西卷文】若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于( )A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64D ．74-或710.（2010全国卷理数2）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =A 、64B 、32C 、16D 、8 11.【2012高考安徽理19】（本小题满分13分） 设1()(0)xxf x ae b a ae =++>. （I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值；（II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =；求,a b 的值. 12. 【2009福建卷理】若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .二、求单调性或单调区间2.（2009江苏卷）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .4.【2009天津卷理】（本小题满分12分）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈(1)当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； (2)当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.三、求函数的极值与最值2.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值.3.【2012高考重庆理16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.） 设13()ln 1,22f x a x x x =+++其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. （Ⅰ） 求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的极值.4.（2011·福建卷理科·Ｔ18）(本小题满分13分) 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中3<x <6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （I ）求a 的值.（II ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.四、判断函数的零点3.【2012高考全国卷理10】已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝A .－2或2 ；B .－9或3 ；C .－1或1；D .－3或14.【2012高考江苏18】（16分）若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y = 的极值点. 已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．五、导数与图像1．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数()()1nmf x axx =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则,m n 的值可能是 A ．1,1m n == B ．1,2m n == C ．2,1m n == D ．3,1m n ==2.（2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．3.【2010江西理数】如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()'y S t =的图像大致为六、导数与不等式2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f （x ）的定义域为R ，f （－1）=2，对任意x ∈R ，2)(>'x f ， 则f （x ）＞2x ＋4的解集为A .（－1，1）B .（－1，＋∞）C .（－∞，－1）D .（－∞，＋∞）5.（2009全国卷Ⅱ理）(本题满分12分) 设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （II ）证明：()21224In f x -> ab ab ao xoxy b aoxy o xyb y6.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）已知函数f (x )=21x 2－ax ＋(a －1)ln x ，1a >. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212()()1f x f x x x ->--.7.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++（1）如3a b ==-，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明βα-＜6.8.【2012高考新课标理21】（本题满分12分）已知函数()f x 满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值.9.【2012高考辽宁理21】（本小题满分12分) 设()ln(1)1(,,,)f x x x ax b a b R a b =+++++∈为常数，曲线()y f x =与直线32y x =在(0，0)点相切. (Ⅰ)求,a b 的值.(Ⅱ)证明：当02x <<时，9()6xf x x <+.10.【2012高考山东理22】(本小题满分13分) 已知函数ln ()xx kf x e +=（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1x g x e -><+.5.(2009陕西卷理)（本小题满分12分）已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a > ()I 若()f x 在x =1处取得极值，求a 的值； ()II 求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.6.（2011·浙江高考理科·Ｔ22）（本题满分14分）设函数()f x ＝2()ln x a x -，a ∈R（Ⅰ）若x ＝e 为()y f x =的极值点，求实数a ；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈（0,3e ]，恒有()f x ≤42e 成立. 注：e 为自然对数的底数．7.【2012高考浙江理22】(本小题满分14分) 已知a ＞0，b ∈R ，函数()342f x ax bx a b =--+．(Ⅰ) 证明：当0≤x ≤1时，(ⅰ) 函数()f x 的最大值为|2a －b |﹢a ；(ⅱ) ()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0；(Ⅱ) 若－1≤()f x ≤1对x ∈[0，1]恒成立，求a ＋b 的取值范围．8.【2012高考湖南理22】（本小题满分13分）已知函数()f x =axe x =-，其中a ≠0.(1) 若对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合.(2) 在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 12()x x <，记直线AB 的斜率为K ， 问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.9.【2012高考天津理20】(本题满分14分) 已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0，其中.0>a（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的),,0[+∞∈x 有)(x f ≤2kx 成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明∑=<+--ni n i 12)12ln(122（*N n ∈）.10.（2009广东卷理）（本小题满分14分）已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=． （1）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q 的距离的最小值为2，求m 的值； （2）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．导数及其应用__答案一、求曲线的切线（导数几何意义） 8、B ；9、A ；10. A .11、【解析】（I ）设(1)xt e t =≥；则2222111a t y at b y a at at at-'=++⇒=-=， ①当1a ≥时， ()f x 的最小值为1a b a++.②当01a <<时， ()f x 的最小值为2b +. （II ）221,2a b e ==； 12、{}|0a a <. 二、求单调性或单调区间2、(1,11)-； 4、（I ）3e ；（II ）（1）a 若＞32，函数的极大值为.3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数函数的极小值为.)34()2()22--=--a e a a f ，且（2）a 若＜32，则函数的极大值为.)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在数函数的极小值为.3)2()2(2)(2aae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数三、求函数的极值与最值2、2；3、（1）1a =-；（2）()f x 在1x =处取得极小值()13f =.4、（I ）2a =；（II ）当4x =时，函数()f x 取得最大值42.四、判断函数的零点3、A ；4、（1）==3a b -0，；（2）()g x 的极值点是－2；（3）当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9 个零点.五、导数与图像1、m=1，n=2；2、A ；3、A .六、导数与不等式2、B .5、解: （I ）()2222(1)11a x x af x x x x x++'=+=>-++，令2()22g x x x a =++，其对称轴为12x =-. 由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根，其充要条件为480(1)0a g a ∆=->⎧⎨-=>⎩，得102a <<⑴ 当1(1,)x x ∈-时，()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数； ⑵ 当12(,)x x x ∈时，()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数；⑶ 当2,()x x ∈+∞时，()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数； （II ）由（I ）21(0)0,02g a x =>∴-<<，222(2)a x x =-+2 ()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2设()()221(22)1()2h x x x x ln x x =-++>-，则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++ ⑴ 当1(,0)2x ∈-时，()0,()h x h x '>∴在1[,0)2-单调递增； ⑵ 当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞单调递减.()1112ln 2(,0),()224x h x h -∴∈->-=当时，故()22122()4In f x h x -=>．6、解析： (1)()f x 的定义域为(0,)+∞. ()f x'2'11(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x --+--+-=-+==2分 （i ）若11a -=，即2a =，则()f x '2'(1)()x f x x-=，故()f x 在(0,)+∞单调增加. (ii) 若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <；当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加.(iii) 若11a ->，即2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加.(2) 考虑函数 ()()g x f x x =+21(1)ln 2x ax a x x =-+-+ 则211()(1)2(1)1(11)a a g x x a x a a x x--'=--+≥--=---g 由于1<a <5，故()0g x '>，即g(x )在(4， ＋∞)单调增加，从而当120x x >>时有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--，当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---·········12分7、（1）()(,3),(0,3)303f x -∞--+∞在单调增加，在（，），（，）单调减.(2)3223'()(3)(36)[(6)].xx x f x x x ax b ex x a e e x a x b a ---=-++++++=-+-+-由条件得：3'(2)0,22(6)0,4,f a b a b a =+-+-==-即故 从而3'()[(6)42].x f x e x a x a -=-+-+-因为'()'()0,f f αβ==∴3(6)42(2)()()x a x a x x x αβ+-+-=---2(2)(()).x x x αβαβ=--++ 将右边展开，与左边比较系数得，2, 2.a αβαβ+=-=- 故2()4124.a βαβααβ-=+-=-又(2)(2)0,2()40.βααβαβ--<-++<即由此可得 6.a <- 于是 6.βα->8、解：（1）()f x 的解析式为21()2xf x e x x =-+，且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）21()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥，得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=- ()00,()0F x x e F x x e ''>⇔<<<⇔>， 则当x e =时，max ()2eF x =当1,a e b e =-=时，(1)a b +的最大值为2e 9、（1）b=－1，=0a（2）证：首先由均值不等式得：当>0x 时，()2+11<+1+1=+2x x x，故+1<+12xx再次记()()9=-+6xh x f x x ，则()()()()()()22211542++154+654'=+-=-<-+12+14+12+1+6+6+6x x h x x x x x x x x ()()()()32+6-216+1=4+1+6x x x x ， 令()()()3=+6-216+1g x x x ，则当0<<2x 时，()()2'=3+6-216<0g x x因此()g x 在()0,2内是减函数，又由()0=0g ，得()<0g x ，∴()'<0h x因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，于是当0<<2x 时， ()9<+6xf x x …12分 10、解：（Ⅰ）k=1；（Ⅱ）()f x 的增区间为（0，1）；减区间为（1，)+∞.（Ⅲ）21()()'()(1ln )x x g x x x f x e x x x +=+=⋅--，先研究1ln x x x --，再研究1x x e+.① 记()1ln ,0i x x x x x =-->，'()ln 2i x x =--，令'()0i x =，得2x e -=，当(0x ∈，2)e -时，'()0i x >，()i x 单增； 当2(x e -∈，)+∞时，'()0i x <，()i x 单减 . ∴22max ()()1i x i e e --==+，即21ln 1x x x e ---≤+.② 记1(),0x x j x x e +=>，'()0x x j x e=-<，∴()j x 在(0，)+∞单减，∴()(0)1j x j <=， 即11x x e+<综①、②知，2211()(1ln )(1)1x x x x g x x x x e e e e--++=--≤+<+.七、求参数范围5、解（Ⅰ） 1.a =（Ⅱ）①当2a ≥时，()f x 的单调增区间为(0,).+∞②当02a <<时， ()),aaf x a a+∞2-2-的单调减区间为（0，单调增区间为（，）. （Ⅲ）若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞ 6、（Ⅰ）∴a e = 或3a e =.（Ⅱ） ①当01x <≤时，对于任意的实数a ，恒有2()04f x e ≤<成立， ②当13x e <≤，由题意，首先有22(3)(3)ln(3)4f e e a e e =-≤，解得2233ln(3)ln(3)e ee a e e e -≤≤+， 由（Ⅰ）知'()()(2ln 1)a f x x a x x =-+-， 令 ()2ln 1ah x x x=+-，则(1)10h a =-<，()2ln 0h a a =>， 且23ln(3)(3)2ln(3)12ln(3)133e e e ah e e e ee +=+-≥+-=12(ln 3)03ln(3)e e ->.又()h x 在（0，＋∞）内单调递增，∴函数()h x 在（0，＋∞）内有唯一零点，记此零点为0x ， 则013x e <<，01x a <<.从而，当0(0,)x x ∈时，'()0f x >；当0(,)x x a ∈时，'()0f x <；当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >， 即()f x 在0(0,)x 内单调递增，在0,()x a 内单调递减，在(,)a +∞内单调递增.∴要使2()4f x e ≤对](1,3x e ∈恒成立，只要 2200022()()ln 4,(1)(3)(3)ln(3)4,(2)f x x a x e f e e a e e ⎧=-≤⎪⎨=-≤⎪⎩ 成立. 000()2ln 10ah x x x =+-=，知0002ln a x x x =+ （3）将（3）代入（1）得232004ln 4x x e ≤，又01x >，注意到函数23ln x x 在[1，＋∞)内单调递增，故01x e <≤ 再由（3）以及函数2x ln x ＋x 在（1， ＋∞)内单调递增，可得13a e <≤. 由（2）解得，2233ln(3)ln(3)e e e a e e e -≤≤+. ∴233ln(3)ee a e e -≤≤综上，a 的取值范围为233ln(3)ee a e e -≤≤.7、 (Ⅰ) (ⅰ)()2122f x ax b '=-．当b ≤0时，()2122f x ax b '=-＞0在0≤x ≤1上恒成立，此时()f x 的最大值为：()1423f a b a b a b =--+=-＝|2a －b |﹢a ；当b ＞0时，()2122f x ax b '=-在0≤x ≤1上的正负性不能判断，此时()f x 的最大值为：()max 2max{(0)1}max{()3}32b a b af x f f b a a b a b b a ->⎧==--=⎨-<⎩，，（），()，＝|2a －b |﹢a ；综上所述：函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a －b |﹢a ；(ⅱ) 要证()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0，即证()g x ＝－()f x ≤|2a －b |﹢a ． 亦即证()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a －b |﹢a ，∵()342g x ax bx a b =-++-，∴令()212206b g x ax b x a'=-+=⇒=． 当b ≤0时，()2122g x ax b '=-+＜0在0≤x ≤1上恒成立，此时()g x 的最大值为：()03g a b a b =-<-＝|2a －b |﹢a ；当b ＜0时，()2122g x ax b '=-+在0≤x ≤1上的正负性不能判断，()max max{()1}6bg x g g a=，（） 4max{2}36463662bb a b b a a bb a ba b ab a b a =+--⎧≤+-⎪=⎨>⎪-⎩，，，≤|2a －b |﹢a ；综上所述：函数()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a －b |﹢a ．即()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0在0≤x ≤1上恒成立．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a －b |﹢a ，且函数()f x 在0≤x ≤1上的最小值比－(|2a －b |﹢a )要大．∵－1≤()f x ≤1对x ∈[0，1]恒成立，∴|2a －b |﹢a ≤1． 取b 为纵轴，a 为横轴．则可行域为：21b a b a ≥⎧⎨-≤⎩和231b aa b <⎧⎨-≤⎩，目标函数为z ＝a ＋b ．作出可行域，由图易得：当目标函数为z ＝a ＋b 过P(1，2)时，有max 3z =． ∴所求a ＋b 的取值范围为：(]3-∞，．8、解：（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x 1axe x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠，故0a >.而()1,ax f x ae '=-令11()0,ln .f x x a a'==得 当11ln x a a <时，()0,()f x f x '<单调递减；当11ln x a a >时，()0,()f x f x '>单调递增，故当11ln x a a =时，()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当 111ln 1a a a-≥. ①令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减. 故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{}1.（Ⅱ）由题意知，21212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==--- 令2121()(),ax ax axe e xf x k ae x x ϕ-'=-=--则121()12121()()1,ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 212()21221()()1.ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1t F t e t =--，则()1tF t e '=-.当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.te t -->从而21()21()10a x x ea x x ---->，12()12()10,a x x e a x x ---->又1210,ax e x x >-2210,ax e x x >- ∴1()0,x ϕ<2()0.x ϕ> 因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，∴存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=2()0,()axx a e x ϕϕ'=>单调递增，故这样的c 是唯一的，且21211ln()ax ax e e c a a x x -=-. 故当且仅当212211(ln ,)()ax ax e e x x a a x x -∈-时， 0()f x k '>.综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为212211(ln ,)()ax ax e e x a a x x --.9、解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,)a -+∞ ()ln()f x x x a =-+11()101x a f x x a a x a x a+-'⇒=-==⇔=->-++ ()01,()01f x x a f x a x a ''>⇔>-<⇔-<<-，得1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔=（Ⅱ）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥ 则()0g x ≥在[0,+)x ∈∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔≥=…………（*）(1)1ln 200g k k =-+≥⇒>， 1(221)()2111x kx k g x kx x x +-'=-+=++ ①当1210()2k k -<<时，0012()00()(0)02kg x x x g x g k-'≤⇔≤≤=⇒<=与（*）矛盾 ②当12k ≥时，min ()0()(0)0g x g x g '≥⇒==符合（*）， ∴实数k 的最小值为12（Ⅲ）由（2）得：21ln(1)2x x x -+<对任意的0x >值恒成立取2(1,2,3,,)21x i n i ==- ：222[ln(21)ln(21)]21(21)i i i i -+--<-- 当1n =时，2ln 32-< 得：=12ln (2+1)<221ni n i --∑ 当2i ≥时，2211(21)2321i i i <---- 得：121[ln(21)ln(21)]2ln 3122121ni i i i n =-++-<-+-<--∑.10、（1）依题可设1)1()(2-++=m x a x g (0≠a )，则a ax x a x g 22)1(2)('+=+=；又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴=，即1a =m x x m x x g ++=-++=∴21)1()(22， ()()2g x mf x x x x==++，设(),o o P x y ，则200202022)()2(||x m x x y x PQ ++=-+=m m m m m x m x 2||2222222220220+=+≥++=当且仅当202202x m x =时，2||PQ 取得最小值，即||PQ 取得最小值2当0>m 时，2)222(=+m 解得12-=m 当0<m 时，2)222(=+-m 解得12--=m（2）由()()120my f x kx k x x =-=-++=(0≠x )，得()2120k x x m -++= ()* 当1k =时，方程()*有一解2m x =-，函数()y f x kx =-有一零点2mx =-；当1k ≠时，方程()*有二解()4410m k ⇔∆=-->，若0m >，11k m >-，函数()y f x kx =-有两个零点)1(2)1(442k k m x ---±-=， 即1)1(11---±=k k m x ；若0m <，11k m <-，函数()y f x kx =-有两个零点)1(2)1(442k k m x ---±-=， 即1)1(11---±=k k m x ；当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ⇔∆=--=， 11k m=-， 函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=11综上，①当1k =时， 函数()y f x kx =-有一零点2mx =-；②当11k m >-(0m >)，或11k m <-（0m <）时，函数()y f x kx =-有两个零点1)1(11---±=k k m x ；③当11k m =-时，函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=11.。

2014年高考数学(文)真题分类汇编2(函数与导数)

2014年高考数学(文)真题分类汇编2(函数与导数)

2014年全国高考数学试题汇编二(函数与导数)★（2014年安徽卷)若函数()f x 是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为(1)()sin x x f x xπ-⎧=⎨⎩(01)(12)x x ≤≤<≤，则2941()()46f f += ．（答案：516) ★（2014年北京卷）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A xy e -=B 3y x = C ln y x = D ||y x =★（2014年山东卷）函数()f x =的定义域为（ ）A (0,2)B (0,2]C (2,)+∞D [2,)+∞★（2014年湖南卷）下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ) A 21()f x x=B 2()1f x x =+C 3()f x x =D ()2xf x -=★（2014年江苏卷）已知函数()xxf x e e -=+，其中e 是自然对数的底数．（1）证明：()f x 是R 上的偶函数； （2)若关于x 的不等式()1xmf x em -≤+-在(0,)+∞上恒成立,求实数m 的取值范围；(3）已知正数a 满足：存在0[1,)x ∈+∞，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1a e -与1e a-的大小,并证明你的结论．★（2014年四川卷)已知函数2()1xf x e ax bx =---，其中a ，b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数．（1)设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，证明：21e a -<<． ★(2014年重庆卷）下列函数为偶函数的是（ ） A ()1f x x =-B 2()f x x x =+C ()22x xf x -=-D ()22x xf x -=+★(2014年广东卷）下列函数为奇函数的是（ )A 1()22xx f x =-B 3()sin f x x x =C ()2cos 1f x x =+D 2()2xf x x =+ ★(2014年湖北卷）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()3f x x x =-，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为( ）A {1,3}B {3,1,1,3}--C {2-D {2-★（2014年湖南卷）若3()ln(1)xf x e ax =++是偶函数，则a = ．(答案：32-） ★（2014年全国卷)奇函数()f x 的定义域为R ．若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）A 2-B 1-C 0D 1★（2014年新课标全国卷Ⅱ)偶函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -= ．(答案：3）★（2014年全国新课标卷Ⅰ）设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论中正确的是（ ) A ()()f x g x 是偶函数 B |()|()f x g x 是奇函数C ()|()|f x g x 是奇函数D |()()|f x g x 是奇函数★（2014年四川卷）设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10(),01x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = ．（答案：1)★（2014年江苏卷）已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 ．（答案：(2-） ★(2014年全国卷)函数cos 22sin y x x =+的最大值为________．（答案：32） ★（2014年安徽卷）设log 7a =， 1.12b =, 3.10.8c =，则（ )A b a c <<B c a b <<C c b a <<D a c b <<★（2014年福建卷）若函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象如图12-所示，则下列函数图象正确的是( ）图1。

2014年高考理科数学试题分类汇编-导数-word版含答案

2014年高考理科数学试题分类汇编-导数-word版含答案

2014年高考数学试题汇编 导数一．选择题1。

（2014大纲）曲线1x y xe -=在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．1 【答案】C ． 2。

（2014浙江）已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f ( )A.3≤c B 。

63≤<c C 。

96≤<c D. 9>c C3。

（2014陕西)定积分1(2)x x e dx +⎰的值为（ ).2Ae + .1B e + .C e .1D e -【答案】 C 【解析】C e e e e x dx e x x x 选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+4. （2014湖南）已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ） A 。

56x π=B 。

712x π= C 。

3x π= D.6x π=5(2014山东）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）42（C)2（D ）46. (2014新课标II ）设曲线y=a x-ln(x+1)在点（0，0）处的切线方程为y=2x ，则a = A 。

0 B. 1 C 。

2 D. 3 【答案】 D..3.2)0(,0)0(.11-)(),1ln(-)(D a f f x a x f x ax x f 故选联立解得且==′=∴+=′∴+= 7. （2014江西）若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰( ）A 。

1- B.13- C 。

13D 。

1 【答案】B 【解析】设()1m f x dx=⎰，则2()2f x x m=+，()111123011()2()2233f x dx x f x dx dx x mx m m =+=+=+=⎰⎰⎰，所以13m =-.8。

2014高考数学典型试题解析3-1导数及导数的运算

2014高考数学典型试题解析3-1导数及导数的运算

一、选择题1．(文)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为()A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5 D．y＝2x[答案] A[解析]该题考查导数的几何意义，注意验证点在曲线上．y′＝－3x2＋6x在(1,2)处的切线的斜率k＝－3＋6＝3，∴切线方程为y－2＝3(x－1)．即y＝3x－1.(理)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析]本题考查了导数的概念、运算以及导数的几何意义．y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．已知f0(x)＝cos x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N＋，则f2013(x)＝()A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x[答案] B[解析] f 1(x )＝－sin x ，f 2(x )＝－cos x ，f 3(x )＝sin x ， f 4(x )＝cos x ，f 5(x )＝－sin x …，故f n (x )的周期为4， ∴f 2013(x )＝f 1(x )＝－sin x .3．(文)已知函数f (x )在x ＝1处的导数为－12，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝12x 2－ln x B ．f (x )＝x e x C ．f (x )＝sin x D ．f (x )＝1x ＋x[答案] D[解析] 本题考查导数的运算，据导数的运算公式知只有D 符合题意．(理)若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角[答案] C[解析] f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＝e x(sin x ＋cos x )＝2e xsin(x ＋π4)．f ′(4)＝2e 4sin(4＋π4)＜0，则此函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为钝角，故选C.4．若函数f (x )＝12sin2x ＋sin x ，则f ′(x )是( ) A ．仅有最小值的奇函数 B ．仅有最大值的偶函数C ．既有最大值又有最小值的偶函数D ．非奇非偶函数 [答案] C[解析] f (x )＝sin x cos x ＋sin x ，则f ′(x )＝cos x cos x ＋sin x ·(－sin x )＋cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1，显然f ′(x )是偶函数，又因为cos x ∈[－1,1]，所以函数f ′(x )既有最大值又有最小值．5．(文)若曲线y ＝x－12在点(a ，a－12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8[答案] A[解析] 求导，得y ′＝－12x－ 32(x >0)，所以曲线y ＝x－12在点(a ，a － 12)处的切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝a ＝－12a－32，由点斜式，得切线l的方程为y －a －12＝－12a－ 32(x －a )，易求得直线l 与x 轴，y 轴的截距分别为3a ，32a － 12 ，所以直线l 与两个坐标轴围成的三角形面积S ＝12×3a ×32a － 12 ＝94a 12 ＝18，解得a ＝64.(理)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12 C.23 D ．1[答案] A [解析]本小题考查的内容是导数的几何意义． y ′＝(e －2x ＋1)′＝－2·e －2x ，令x ＝0，y ′＝－2，∴k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2.如下图，联立⎩⎨⎧y ＝－2x ＋2y ＝x，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝23，∴S ＝12×1×23＝13.6．(文)若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．6 D ．－6[答案] C[解析] ∵f (x )＝13x 3－f ′(－1)x 2＋x ＋5， ∴f ′(x )＝x 2－2f ′(－1)x ＋1，∴f ′(－1)＝(－1)2－2f ′(－1)(－1)＋1， 解得f ′(－1)＝－2.∴f ′(x )＝x 2＋4x ＋1，∴f ′(1)＝6.(理)设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(－π<φ<0)，若f (x )＋f ′(x )是偶函数，则φ的值是( )A.π3B.π6 C ．－π3 D ．－π6 [答案] C[解析] f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3，显然当φ＝－π3时，f (x )＋f ′(x )＝2cos 3x 是偶函数．二、填空题7．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________．[答案] ln2－1[解析] 由已知条件可得k ＝(ln x )′＝1x ＝12，得切点的横坐标x ＝2，切点坐标为(2，ln2)，由点(2，ln2)在切线y ＝12x ＋b 上可得b ＝ln2－1.8．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．[答案] (1，e) e[解析] 设切点坐标为(x 0，e x0)， 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝e x0. 切点与原点连线的斜率k ′＝e x0x 0.∵k ＝k ′，∴e x 0＝e x0x 0.∴x 0＝1，∴切点为(1，e)，k ＝e.三、解答题9．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．[分析] (1)在点P 处的切线以点P 为切点．(2)过点P 的切线，点P 不一定是切点，需要设出切点坐标． [解析] (1)∵y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′⎪⎪⎪x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′⎪⎪x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0.∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0.∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0.∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2. 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.一、选择题1．(文)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22[答案] B[解析] 本题考查导数几何意义，求导公式． ∵y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，∴y ′|x ＝π4＝12. (理)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率．．．是－10ln2(太贝克/年)，则M (60)＝( ) A ．5太贝克 B ．75ln2太贝克 C ．150ln2太贝克 D ．150太贝克[答案] D[解析] 本题考查导数在生活中的应用． M ′(t )＝－M 030ln2·2－t30，∴M ′(30)＝－M 060ln2＝－10ln2，∴M 0＝600，∴M (t )＝600·2－t30，∴M (60)＝600·2－2＝150.2．(文)若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的斜倾角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3 [答案] B[解析] y ′＝3x 2－6x ＋3－3＝3(x －1)2－3≥－ 3 ∴tan α≥－3 α∈(0，π) ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，故选B.(理)已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)…(x －100)，则f ′(0)＝( ) A ．0 B ．1002 C ．200 D ．100![答案] D[解析] 解法1：f ′(0)＝lim Δx →0f (0＋Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0Δx (Δx －1)(Δx －2)…(Δx －100)－0Δx＝lim Δx →0[(Δx －1)(Δx －2)…(Δx －100)]＝(－1)(－2)…(－100)＝100！.解法2：∵f ′(x )＝[x (x －1)(x －2)…(x －100)]′＝x ′[(x －1)(x －2)…(x －100)]＋x [(x －1)(x －2)…(x －100)]′ ＝(x －1)(x －2)…(x －100)＋x [(x －1)(x －2)…(x －100)]′， ∴f ′(0)＝(－1)(－2)…(－100)＋0＝100！.解法3：由多项式展开式的性质知，f (x )＝a 101x 101＋a 100x 100＋…＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则f ′(x )＝b 100x 100＋b 99x 99＋…＋b 1x ＋a 1，∴f ′(0)＝a 1. 又a 1＝(－1)(－2)…(－100)＝100！，∴f ′(0)＝100！. 二、填空题3．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________．[答案]2[解析] 作直线y ＝x －2的平行线使其与曲线y ＝x 2－ln x 相切，则切点到直线y ＝x －2的距离最小．由y ′＝2x －1x ＝1，得x ＝1，或x ＝－12(舍去)． ∴切点为(1,1)，它到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|1－1－2|12＋(－1)2＝22＝ 2.4．(文)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．[答案] (－2,15)[解析] ∵y ＝x 3－10x ＋3，∴y ′＝3x 2－10.由题意，设切点P 的横坐标为x 0，且x 0<0,3x 20－10＝2，∴x 20＝4，∴x 0＝－2，∴y 0＝x 30－10x 0＋3＝15，∴点P 的坐标为(－2,15)．(理)若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，0)[解析] f ′(x )＝2ax ＋1x ，x ∈(0，＋∞)．∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )＝0有解，即2ax ＋1x ＝0有解，∴a ＝－12x 2，∴a ∈(－∞，0)．三、解答题5．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，求a 的值．[解析] 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32， 当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564， 当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以a ＝－1或－2564.6．已知函数f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝2x 2＋b ，它们的图像在x ＝1处有相同的切线．(1)求函数f (x )和g (x )的解析式；(2)如果F (x )＝f (x )－mg (x )在区间[12，3]上是单调增函数，求实数m的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝4x ，由条件知⎩⎨⎧ f (1)＝g (1)f ′(1)＝g ′(1)，∴⎩⎨⎧ 1＋a ＝2＋b 3＋a ＝4，∴⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝2x 2. (2)F (x )＝f (x )－mg (x )＝x 3＋x －2mx 2，∴F ′(x )＝3x 2－4mx ＋1，若F (x )在区间[12，3]上为增函数，则需F ′(x )≥0，即3x 2－4mx ＋1≥0，∴m ≤3x 2＋14x .令h (x )＝3x 2＋14x ，x ∈[12，3]，则h (x )在区间[12，3]上的最小值是h (33)＝32，因此，实数m 的取值范围是m ≤32.7．设曲线y ＝e －x (x ≥0)在点M (t ，e －t )处的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S (t ).(1)求切线l 的方程；(2)求S (t )的最大值.[解析] (1)因为f ′(x )＝(e －x )′＝－e －x ，所以切线l 的斜率为－e －t ，故切线l 的方程为y －e －t ＝－e －t (x －t )，即e －t x ＋y －e －t (t ＋1)＝0.(2)令y ＝0得x ＝t ＋1，又令x ＝0得y ＝e －t (t ＋1)，∵t ≥0，∴t ＋1＞0，e －t (t ＋1)＞0，∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t (t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t ，从而S ′(t )＝12e －t (1－t )(1＋t )．∵当t ∈(0,1)时，S ′(t )>0，当t ∈(1，＋∞)时，S ′(t )<0，所以S (t )的最大值为S (1)＝2e .。

2014年高考导数压轴题汇编

2014年高考导数压轴题汇编

2014年高考导数压轴题汇编1.[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值；(2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e 2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e 2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当12<a <e 2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e 2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b . (2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负．故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点； 当a ≥e 2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意． 所以12<a <e 2. 此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2，则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0，解得e －2<a <1.当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))．若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0.又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增．所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0，故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)．2．[2014·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *.(1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p. 21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立．②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x . 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立．(2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p. ①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p成立．由a n ＋1＝p －1p a n ＋c pa 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c pa －p k ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1. 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k p ＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1p>1＋p · 1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k . 因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p， 所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立． 综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p均成立． 再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n<1， 即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *. 方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p，则x p ≥c ， 所以f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p ⎝⎛⎭⎫1－c x p >0. 由此可得，f (x )在[c 1p ，＋∞)上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1p. ①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p 1>c 可知 a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p， 故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p 成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p)， 即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p， 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p均成立． 3．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值；(2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .20．解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2.所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2.令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以当x ＝ln 2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x .由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4>0，故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0，所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x .(3)证明：①若c ≥1，则e x ≤c e x .又由(2)知，当x >0时，x 2<e x .故当x >0时，x 2<c e x .取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .②若0<c <1，令k ＝1c>1，要使不等式x 2<c e x 成立，只要e x >kx 2成立． 而要使e x >kx 2成立，则只要x >ln(kx 2)，只要x >2ln x ＋ln k 成立．令h (x )＝x －2ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－2x ＝x －2x. 所以当x >2时，h ′(x )>0，h (x )在(2，＋∞)内单调递增．取x 0＝16k >16，所以h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增．又h (x 0)＝16k －2ln(16k )－ln k ＝8(k －ln 2)＋3(k －ln k )＋5k ，易知k >ln k ，k >ln 2，5k >0，所以h (x 0)>0.即存在x 0＝16c，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .方法二：(1)同方法一．(2)同方法一．(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝4c ， 由(2)知，当x >0时，e x >x 2，所以e x ＝e x 2·e x 2>⎝⎛⎭⎫x 22·⎝⎛⎭⎫x 22， 当x >x 0时，e x >⎝⎛⎭⎫x 22⎝⎛⎭⎫x 22>4c ⎝⎛⎭⎫x 22＝1c x 2，因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .方法三：(1)同方法一．(2)同方法一．(3)首先证明当x ∈(0，＋∞)时，恒有13x 3<e x . 证明如下：令h (x )＝13x 3－e x ，则h ′(x )＝x 2－e x . 由(2)知，当x >0时，x 2<e x ，从而h ′(x )<0，h (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以h (x )<h (0)＝－1<0，即13x 3<e x . 取x 0＝3c ，当x >x 0时，有1c x 2<13x 3<e x . 因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .4．[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式；(2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g (x )＝x 1＋x(x ≥0)． (1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ， g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x 1＋x，结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x 1＋kx. 那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x1＋kx 1＋x 1＋kx＝x 1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax 1＋x恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax 1＋x(x ≥0)， 则φ′(x )＝11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax 1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0，∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减，∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax 1＋x不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋n n ＋1， 比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)， 在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x 1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n . 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立． ②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)． 那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)， 即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)， 在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x 1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12， ln 3－ln 2>13， ……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1， 上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1， 结论得证．方法三：如图， x x ＋1d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋n n ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1> x x ＋1d x ＝ ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)， 结论得证．5．[2014·湖北卷] π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝ln x x的单调区间； (2)求e 3，3e ，e π，πe ，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数； (3)将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论． 22．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln x x ，所以f ′(x )＝1－ln x x 2. 当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减． 故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)因为e<3<π，所以eln 3<eln π，πln e<πln 3，即ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π.于是根据函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e <πe <π3，e 3<e π<3π. 故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中． 由e<3<π及(1)的结论，得f (π)<f (3)<f (e)，即ln ππ<ln 33<ln e e . 由ln ππ<ln 33，得ln π3<ln3π，所以3π>π3； 由ln 33<ln e e，得ln 3e <ln e 3，所以3e <e 3. 综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e .(3)由(2)知，3e <πe <π3<3π，3e <e 3. 又由(2)知，ln ππ<ln e e ，得πe <e π. 故只需比较e 3与πe 和e π与π3的大小． 由(1)知，当0<x <e 时，f (x )<f (e)＝1e， 即ln x x <1e. 在上式中，令x ＝e 2π，又e 2π<e ，则ln e 2π<e π，从而2－ln π<e π，即得ln π>2－e π.① 由①得，eln π>e ⎝⎛⎭⎫2－e π>2.7×⎝⎛⎭⎫2－2.723.1>2.7×(2－0.88)＝3.024>3， 即eln π>3，亦即ln πe >ln e 3，所以e 3<πe .又由①得，3ln π>6－3e π>6－e>π，即3ln π>π， 所以e π<π3. 综上可得，3e <e 3<πe <e π<π3<3π， 即这6个数从小到大的顺序为3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π.6．[2014·湖南卷] 已知常数a ＞0，函数f (x )＝ln(1＋ax )－2x x ＋2. (1)讨论f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且f (x 1)＋f (x 2)＞0，求a 的取值范围．22．解：(1)f ′(x )＝a 1＋ax －2（x ＋2）－2x （x ＋2）2＝ax 2＋4（a －1）（1＋ax ）（x ＋2）2.(*) 当a ≥1时，f ′(x )>0，此时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．当0<a <1时，由f ′(x )＝0得x 1＝21－a a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝－21－a a 舍去.当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在区间(0，x 1)上单调递减，在区间(x 1，＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，21－a a 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫21－a a ，＋∞上单调递增． (2)由(*)式知，当a ≥1时，f ′(x )≥0，此时f (x )不存在极值点，因而要使得f (x )有两个极值点，必有0<a <1.又f (x )的极值点只可能是x 1＝21－a a 和x 2＝－21－a a ，且由f (x )的定义可知， x >－1a且x ≠－2， 所以－21－a a >－1a ，－21－a a ≠－2， 解得a ≠12.此时，由(*)式易知，x 1，x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点． 而f (x 1)＋f (x 2)＝ln(1＋ax 1)－2x 1x 1＋2＋ln(1＋ax 2)－2x 2x 2＋2＝ln[1＋a (x 1＋x 2)＋a 2x 1x 2]－4x 1x 2＋4（x 1＋x 2）x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4＝ln(2a －1)2－4（a －1）2a －1＝ln(2a －1)2＋22a －1－2. 令2a －1＝x .由0<a <1且a ≠12知， 当0<a <12时，－1<x <0； 当12<a <1时，0<x ＜1. 记g (x )＝ln x 2＋2x－2. (i)当－1<x <0时，g (x )＝2ln(－x )＋2x －2，所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0， 因此，g (x )在区间(－1，0)上单调递减，从而g (x )<g (－1)＝－4<0.故当0<a <12时，f (x 1)＋f (x 2)<0. (ii)当0<x <1时，g (x )＝2ln x ＋2x －2， 所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0， 因此，g (x )在区间(0，1)上单调递减，从而g (x )>g (1)＝0.故当12<a <1时，f (x 1)＋f (x 2)>0. 综上所述，满足条件的a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.7．[2014·全国大纲卷] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax x ＋a(a >1)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2. 22．解：(1)易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2. (i)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数； 若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)是减函数；若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)是增函数．(ii)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，所以f (x )在(－1，＋∞)是增函数. (iii)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，0)是增函数；若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数．(2)由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln(x ＋1)>2x x ＋2(x >0)． 又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在[0，3)是减函数．当x ∈(0，3)时，f (x )<f (0)＝0，即ln(x ＋1)<3x x ＋3(0<x <3)． 下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3n ＋2. (i)当n ＝1时，由已知23<a 1＝1，故结论成立． (ii)假设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln ⎝⎛⎭⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3，a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln ⎝⎛⎭⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n ＝k ＋1时，有2k ＋3 <a k ＋1≤3k ＋3，结论成立． 根据(i)(ii)知对任何n ∈结论都成立．8．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.21．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b xe x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e ，故a ＝1，b ＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e .设函数g (x )＝x ln x ， 则g ′(x )＝1＋ln x ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x )．所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .因为g min (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1e ＝h (1)＝h max (x )， 所以当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.9．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )＝e x －e －x －2x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x ＞0时，g (x )＞0，求b 的最大值； (3)已知1.414 2＜2＜1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)． 21．解：(1)f ′(x )＝e x ＋e －x －2≥0，当且仅当x ＝0时，等号成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． (2)g (x )＝f (2x )－4bf (x )＝e 2x －e －2x－4b (e x －e －x )＋(8b －4)x ，g ′(x )＝2[e 2x ＋e－2x－2b (e x ＋e －x )＋(4b －2)]＝2(e x ＋e －x －2)(e x ＋e －x －2b ＋2)．(i)当b ≤2时，g ′(x )≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．而g (0)＝0，所以对任意x >0，g (x )>0.(ii)当b >2时，若x 满足2<e x ＋e －x <2b －2，即0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g ′(x )<0.而g (0)＝0，因此当0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g (x )<0.综上，b 的最大值为2.(3)由(2)知，g (ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2.当b ＝2时，g (ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－312>0.692 8；当b ＝324＋1时，ln(b －1＋b 2－2b )＝ln 2，g (ln 2)＝－32－22＋(32＋2)ln 2<0，ln 2<18＋228<0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.10．[2014·山东卷] 设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． 20．解：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1x＝x e x －2e x x 3－k （x －2）x 2＝（x －2）（e x －kx ）x 3.由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，当k ≤0时，函数f (x )在(0，2)内单调递减，故f (x )在(0，2)内不存在极值点； 当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞)． 因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ， 当0<k ≤1时，当x ∈(0，2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增， 故f (x )在(0，2)内不存在两个极值点．当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （ln k ）<0，g （2）>0，0<ln k <2，解得e<k <e 22.综上所述，函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e ，e 22.11．[2014·天津卷] 设f (x )＝x －a e x (a ∈R )，x ∈R .已知函数y ＝f (x )有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2. (1)求a 的取值范围；(2)证明：x 2x 1随着a 的减小而增大；(3)证明：x 1＋x 2随着a 的减小而增大． 20．解：(1)由f (x )＝x －a e x ，可得f ′(x )＝1－a e x . 下面分两种情况讨论：(i)a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立，可得f (x )在R 上单调递增，不合题意． (ii)a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－ln a )－ln a (－ln a ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － f (x )－ln a －1这时，f (x )的单调递增区间是(－∞，－ln a )；单调递减区间是(－ln a ，＋∞)．于是，“函数y ＝f (x )有两个零点”等价于如下条件同时成立：①f (－ln a )>0；②存在s 1∈(－∞，－ln a )，满足f (s 1)<0；③存在s 2∈(－ln a ，＋∞)，满足f (s 2)<0.由f (－ln a )>0，即－ln a －1>0，解得0<a <e －1.而此时，取s 1＝0，满足s 1∈(－∞，－ln a )，且f (s 1)＝－a <0；取s 2＝2a ＋ln 2a，满足s 2∈(－ln a ，＋∞)，且f (s 2)＝⎝⎛⎭⎫2a －e 2a ＋⎝⎛⎭⎫ln 2a －e 2a <0. 故a 的取值范围是(0，e －1)．(2)证明：由f (x )＝x －a e x ＝0，有a ＝x e x .设g (x )＝xe x ，由g ′(x )＝1－x e x ，知g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．并且，当x ∈(－∞，0]时，g (x )≤0; 当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>0.由已知，x 1，x 2满足a ＝g (x 1)，a ＝g (x 2)．由a ∈(0，e －1)及g (x )的单调性，可得x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)．对于任意的a 1，a 2∈(0，e －1)，设a 1>a 2，g (ξ1)＝g (ξ2)＝a 1，其中0<ξ1<1<ξ2；g (η1)＝g (η2)＝a 2，其中0<η1<1<η2.因为g (x )在(0，1)上单调递增，所以由a 1>a 2，即g (ξ1)>g (η1)，可得ξ1>η1.类似可得ξ2<η2. 又由ξ1，η1>0，得ξ2ξ1<η2ξ1<η2η1，所以x 2x 1随着a 的减小而增大．(3)证明：由x 1＝a e x 1，x 2＝a e x 2，可得ln x 1＝ln a ＋x 1，ln x 2＝ln a ＋x 2.故x 2－x 1＝ln x 2－ln x 1＝ln x 2x 1.设x 2x 1＝t ，则t >1，且⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝tx 1，x 2－x 1＝ln t ，解得x 1＝ln t t －1，x 2＝t ln tt －1，所以x 1＋x 2＝（t ＋1）ln t t －1.① 令h (x )＝（x ＋1）ln x x －1，x ∈(1，＋∞)，则h ′(x )＝－2ln x ＋x －1x（x －1）2. 令u (x )＝－2ln x ＋x －1x ，得u ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2.当x ∈(1，＋∞)时，u ′(x )>0.因此，u (x )在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的x ∈(1，＋∞)，u (x )>u (1)＝0，由此可得h ′(x )>0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增．因此，由①可得x 1＋x 2随着t 的增大而增大．而由(2)，t 随着a 的减小而增大，所以x 1＋x 2随着a 的减小而增大．12．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a ∈R )．(1)若f (x )在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M (a )，m (a )，求M (a )－m (a )； (2)设b ∈R ，若[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1，1]恒成立，求3a ＋b 的取值范围．22．解：(1)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋3x －3a ，x ≥a ，x 3－3x ＋3a ，x <a ，所以f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3，x ≥a ，3x 2－3，x <a .由于－1≤x ≤1，(i)当a ≤－1时，有x ≥a ， 故f (x )＝x 3＋3x －3a ，此时f (x )在(－1，1)上是增函数，因此，M (a )＝f (1)＝4－3a ，m (a )＝f (－1)＝－4－3a ，故M (a )－m (a )＝(4－3a )－(－4－3a )＝8. (ii)当－1<a <1时，若x ∈(a ，1)，则f (x )＝x 3＋3x －3a .在(a ，1)上是增函数；若x ∈(－1，a )， 则f (x )＝x 3－3x ＋3a 在(－1，a )上是减函数．所以，M (a )＝max{f (1)，f (－1)}，m (a )＝f (a )＝a 3. 由于f (1)－f (－1)＝－6a ＋2，因此，当－1<a ≤13时，M (a )－m (a )＝－a 3－3a ＋4；当13<a <1时，M (a )－m (a )＝－a 3＋3a ＋2.(iii)当a ≥1时，有x ≤a ，故f (x )＝x 3－3x ＋3a ，此时f (x )在(－1，1)上是减函数，因此，M (a )＝f (－1)＝2＋3a ，m (a )＝f (1)＝－2＋3a ，故M (a )－m (a )＝(2＋3a )－(－2＋3a )＝4.综上，M (a )－m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧8，a ≤－1，－a 3－3a ＋4，－1<a ≤13，－a 3＋3a ＋2，13<a <1，4，a ≥1.(2)令h (x )＝f (x )＋b ，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋3x －3a ＋b ，x ≥a ，x 3－3x ＋3a ＋b ，x <a ，h ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3，x >a ，3x 2－3，x <a .因为[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1，1]恒成立， 即－2≤h (x )≤2对x ∈[－1，1]恒成立，所以由(1)知，(i)当a ≤－1时，h (x )在(－1，1)上是增函数，h (x )在[－1，1]上的最大值是h (1)＝4－3a ＋b ，最小值是h (－1)＝－4－3a ＋b ，则－4－3a ＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，矛盾．(ii)当－1<a ≤13时，h (x )在[－1，1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (1)＝4－3a ＋b ，所以a 3＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，从而－2－a 3＋3a ≤3a ＋b ≤6a －2且0≤a ≤13.令t (a )＝－2－a 3＋3a ，则t ′(a )＝3－3a 2>0，t (a )在⎝⎛⎭⎫0，13上是增函数，故t (a )>t (0)＝－2， 因此－2≤3a ＋b ≤0.(iii)当13<a <1时，h (x )在[－1，1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (－1)＝3a ＋b ＋2，所以a 3＋b ≥－2且3a ＋b ＋2≤2，解得－2827<3a ＋b ≤0； (iv)当a ≥1时，h (x )在[－1，1]上的最大值是h (－1)＝2＋3a ＋b ，最小值是h (1)＝－2＋3a ＋b ，所以3a ＋b ＋2≤2且3a ＋b －2≥－2，解得3a ＋b ＝0.综上，得3a ＋b 的取值范围是－2≤3a ＋b ≤0.13．[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； (3)若f (x )有极值，求c 的取值范围． 20．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝2a e 2x ＋2b e －2x －c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )，即2(a －b )(e 2x －e－2x)＝0.因为上式总成立，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，所以a ＝1，b ＝1. (2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e －2x－3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－3≥22e 2x ·2e－2x－3＝1>0，故f (x )在R 上为增函数． (3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－c ，而2e 2x ＋2e－2x≥22e 2x ·2e－2x＝4，当且仅当x ＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论：当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－c >0，此时f (x )无极值． 当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－4>0，此时f (x )无极值．当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1，2＝c ±c 2－164>0，则f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1，x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0. 从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．。

2014年高考数学(文)真题分类汇编：函数与导数

2014年高考数学(文)真题分类汇编：函数与导数

第二单元函数与导数1．[2014·北京卷2] 下列函数中，定义域是R且为增函数的是() A．y＝e－x B．y＝x3 C．y＝ln x D．y＝|x|【答案】B2．[2014·山东卷3] 函数f(x)＝1log2x－1的定义域为()A．(0，2) B．(0，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)【答案】C3．[2014·全国卷5] 函数y＝ln(3x＋1)(x＞－1)的反函数是()A．y＝(1－e x)3(x＞－1) B．y＝(e x－1)3(x＞－1)C．y＝(1－e x)3(x∈R) D．y＝(e x－1)3(x∈R)【答案】D4．[2014·北京卷2] 下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－x B．y＝x3 C．y＝ln x D．y＝|x|【答案】B5．[2014·湖南卷4] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是()A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x【答案】A6．[2014·重庆卷4] 下列函数为偶函数的是()A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x 【答案】D7．[2014·广东卷5] 下列函数为奇函数的是()A．2x－12x B．x3sin x C．2cos x＋1 D．x2＋2x【答案】A8．[2014·湖北卷9] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3} B．{－3，－1，1，3} C．{2－7，1，3} D．{－2－7，1，3} 【答案】D9．[2014·山东卷9] 对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是() A．f(x)＝x B．f(x)＝x2C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)【答案】D10．[2014·江西卷10] 在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图像不可能是( )【答案】B 11．[2014·全国卷] 奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1 【答案】D12．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数 【答案】C12．[2014·湖南卷] 若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A ．e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1＞x 1e x 2D ．x 2e x 1＜x 1e x 2 【答案】C12．[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3] 【答案】C13．[2014·安徽卷] 设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b 【答案】B14．[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A B C D 【答案】B15．[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b 【答案】D16．[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．x 3>y 3 B ．sin x >sin y C ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) D.1x 2＋1>1y 2＋1【答案】A17．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x【答案】B 18．[2014·四川卷] 已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 【答案】B19．[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |＋|PB |的取值范围是( )A ．[5，2 5 ]B ．[10，2 5 ]C ．[10，4 5 ]D ．[25，4 5 ] 【答案】B20．[2014·天津卷] 设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a 【答案】C21. [2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D 【答案】D22．[2014·山东卷] 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( )图1-1A ．a >1，x >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1 【答案】D 23．[2014·四川卷] 已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 【答案】B24．[2014·重庆卷] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋23 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3 【答案】D25．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )的零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞) 【答案】C26．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3＜c ≤6C ．6＜c ≤9D ．c ＞9【答案】C27．[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 【答案】A28．[2014·湖北卷] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3} 【答案】D29．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x <0(a ∈R )．若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 【答案】A30．[2014·北京卷] 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，图1-2记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )图1-2A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟 【答案】B31．[2014·陕西卷] 如图1-2所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )图1-2A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x【答案】A32．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞) 【答案】D33．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1) 【答案】C34．[2014·湖南卷] 若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．【答案】－3235．[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝______． 【答案】516、36．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．【答案】(－∞，8]37．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________．【答案】338．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． 【答案】139．[2014·天津卷] 函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________． 【答案】(－∞，0)40．[2014·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．【答案】1041．[2014·安徽卷] ⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________.【答案】27842．[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎫－22，043．[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________． 【答案】3244．[2014·广东卷] 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________．【答案】5 15．[2014·湖北卷] 如图1-4所示，函数y ＝f (x )的图像由两条射线和三条线段组成． 若∀x ∈R ，f (x )＞f (x －1)，则正实数a 的取值范围为________．【答案】⎝⎛⎭⎫0，1645．[2014·江苏卷] 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎫0，1246．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．【答案】(－∞，8]47．[2014·福建卷] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．【答案】248．[2014·浙江卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2， x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.【答案】249．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．【答案】(1，2)50．[2014·广东卷] 曲线y ＝－5e ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 【答案】5x ＋y ＋2＝051．[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．【答案】－352．[2014·江西卷] 若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【答案】(e ，e) [解析] 由题意知，y ′＝ln x ＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，令ln x ＋1＝2，得x ＝e ，所以y ＝eln e ＝e ，所以P (e ，e)．53．[2014·安徽卷] 若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(i)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(ii)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧．则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①直线l ：y ＝0在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3；②直线l ：x ＝－1在点P (－1，0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)2； ③直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ； ④直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ； ⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1，0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x . 【答案】①③④54．[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②若函数f (x )∈B ，则f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∈/B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号) 【答案】①③④55．[2014·江西卷] 将连续正整数1，2，…，n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ，F (n )为这个数的位数(如n ＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F (12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p (n )为恰好取到0的概率．(1)求p (100)；(2)当n ≤2014时，求F (n )的表达式；(3)令g (n )为这个数中数字0的个数，f (n )为这个数中数字9的个数，h (n )＝f (n )－g (n )，S ＝{n |h (n )＝1，n ≤100，n ∈N *}，求当n ∈S 时p (n )的最大值．解：(1)当n ＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p (100)＝11192.(2)F (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，1≤n ≤9，2n －9，10≤n ≤99，3n －108，100≤n ≤999，4n －1107，1000≤n ≤2014.(3)当n ＝b (1≤b ≤9，b ∈N *)，g (n )＝0；当n ＝10k ＋b (1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N )时，g (n )＝k ； 当n ＝100时，g (n )＝11，即g (n )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤9，k ，n ＝10k ＋b ，11，n ＝100.1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ， 同理有f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤8，k ，n ＝10k ＋b －1，1≤k ≤8，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ，n －80，89≤n ≤98，20，n ＝99，100.由h (n )＝f (n )－g (n )＝1，可知n ＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以当n ≤100时，S ＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}． 当n ＝9时，p (9)＝0.当n ＝90时，p (90)＝g （90）F （90）＝9171＝119.当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )＝g （n ）F （n ）＝k 2n －9＝k 20k ＋9，由y ＝k20k ＋9关于k单调递增，故当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )的最大值为p (89)＝8169.又8169<119，所以当n ∈S 时，p (n )的最大值为119.56．[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )， 所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13.(3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，当且仅当最小值g (1)<0， 故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e－12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.57．[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1.21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b ，所以g ′(x )＝e x －2a . 当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12＜a ＜e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增， 于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12＜a ＜e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)证明：设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知， f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12＜a ＜e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a ))，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b ＞0，g (1)＝e －2a －b ＞0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有 g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2＜a ＜1.所以，函数f (x )在区间(0，1)内有零点时，e －2＜a ＜1.58．[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )， 所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13. (3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，当且仅当最小值g (1)<0，故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e－12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.59．[2014·全国卷] 函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝0的判别式Δ＝36(1－a )．(i)若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1时成立．故此时f (x )在R 上是增函数．(ii)由于a ≠0，故当a ＜1时，f ′(x )＝0有两个根；x 1＝－1＋1－a a ，x 2＝－1－1－a a.若0＜a ＜1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(x 2，x 1)是减函数．若a ＜0，则当x ∈(－∞，x 1)或(x 2，＋∞)时，f ′(x )＜0，故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)是减函数；当x ∈(x 1，x 2)时f ′(x )＞0，故f (x )在(x 1，x 2)是增函数．(2)当a ＞0，x ＞0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＞0，故当a ＞0时，f (x )在区间(1，2)是增函数．当a ＜0时，f (x )在区间(1，2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a ＜0.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－54，0∪(0，＋∞)．60．[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln x ＋mx ，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a ＜1恒成立，求m 的取值范围．解：(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，则f ′(x )＝x －e x 2，∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增． ∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)，设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图所示)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．(3)对任意的b >a >0，f （b ）－f （a ）b －a <1恒成立，等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立．(*) 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx －x (x >0)，∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减． 由h ′(x )＝1x －mx 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14(x >0)恒成立， ∴m ≥14⎝⎛⎭⎫对m ＝14，h ′（x ）＝0仅在x ＝12时成立， ∴m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞.61．[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 20．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，且x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．62．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)解：(1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3.令f ′(x )＝0，得x ＝－22或x ＝22. 因为f (－2)＝－10，f ⎝⎛⎭⎫－22＝2，f ⎝⎛⎭⎫22＝－2，f (1)＝－1， 所以f (x )在区间[－2，1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3， 所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)， 因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0， 设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”． g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．结合图像知，当g (x )有3个不同零点时，有⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝t ＋3>0，g （1）＝t ＋1－0，解得－3<t <－1.故当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切． 63．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ， 得f ′(x )＝e x －a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )有极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4＞0， 即g ′(x )＞0.所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0， 所以当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x . (3)证明：对任意给定的正数c ，取x 0＝1c ，由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x .所以当x ＞x 0时，e x ＞x 2＞1cx ，即x <c e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 方法二：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)证明：令k ＝1c (k ＞0)，要使不等式x ＜c e x 成立，只要e x ＞kx 成立．而要使e x ＞kx 成立，则只需要x >ln(kx )， 即x ＞ln x ＋ln k 成立．①若0＜k ≤1，则ln k ≤0，易知当x ＞0时，x ＞ln x ≥ln x ＋ln k 成立． 即对任意c ∈[1，＋∞)，取x 0＝0， 当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .②若k ＞1，令h (x )＝x －ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，所以当x ＞1时，h ′(x )＞0，h (x )在(1，＋∞)上单调递增．取x 0＝4k ，h (x 0)＝4k －ln(4k )－ln k ＝2(k －ln k )＋2(k －ln 2)， 易知k ＞ln k ，k ＞ln 2，所以h (x 0)＞0.因此对任意c ∈(0，1)，取x 0＝4c ，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)证明：①若c ≥1，取x 0＝0， 由(2)的证明过程知，e x ＞2x ，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，有c e x ≥e x ＞2x ＞x ， 即x ＜c e x .②若0＜c ＜1，令h (x )＝c e x －x ，则h ′(x )＝c e x －1. 令h ′(x )＝0得x ＝ln 1c.当x ＞ln 1c时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增．取x 0＝2ln 2c，则h (x 0)＝c e2ln 2c －2ln 2c＝2⎝⎛⎭⎫2c －ln 2c ， 易知2c －ln 2c＞0，又h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有h (x )＞h (x 0)＞0， 即x ＜c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .64．[2014·江苏卷] 已知函数f 0(x )＝sin xx (x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.(1)求2f 1⎝⎛⎭⎫π2＋π2f 2⎝⎛⎭⎫π2的值；(2)证明：对任意的n ∈N *，等式⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n ⎝⎛⎭⎫π4＝22都成立． 解： (1)由已知，得f 1(x )＝f ′0(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝cos x x －sin xx 2， 于是f 2(x )＝f 1′(x )＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′－⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝ －sin x x －2cos x x 2＋2sin xx3， 所以f 1⎝⎛⎭⎫π2＝－4π2，f 2⎝⎛⎭⎫π2＝－2π＋16π3. 故2f 1⎝⎛⎭⎫π2＋π2f 2⎝⎛⎭⎫π2＝－1.(2)证明：由已知得，xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf 0′(x )＝cos x ， 即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin ⎝⎛⎫x ＋π2. 类似可得2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)， 3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2， 4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin(x ＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立． (i)当n ＝1时，由上可知等式成立．(ii)假设当n ＝k 时等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2. 因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf k －1′(x )＋f k (x )＋xf k ′(x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )，⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2′＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2·⎝⎛⎭⎫x ＋k π2′＝sin ⎣⎡⎦⎤x ＋（k ＋1）π2，所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin ⎣⎡⎦⎤x ＋（k ＋1）π2， 因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(i)(ii)可知，等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立． 令x ＝π4，可得nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋n π2(n ∈N *)， 所以⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n ⎝⎛⎭⎫π4＝(n ∈N *)．65．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0. (1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －b .由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1， (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝⎛⎭⎫x －a 1－a (x －1)．(i)若a ≤12，则a 1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a 1－a 的充要条件为f (1)<a a －1，即1－a 2－1<aa －1，解得－2－1<a <2－1.(ii)若12<a <1，则a 1－a>1，故当x ∈⎝⎛⎭⎫1，a1－a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞时，f ′(x )>0.f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1的充要条件为f ⎝⎛⎭⎫a 1－a <aa －1. 而f ⎝⎛⎭⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1>aa －1，所以不合题意．(iii)若a >1, 则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1，符合题意．综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．66．[2014·山东卷] 设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)由题意知，当a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)．此时f ′(x )＝2（x ＋1）2，所以f ′(1)＝12. 又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a x ＋2（x ＋1）2＝ax 2＋（2a ＋2）x ＋a x （x ＋1）2.当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ， 由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)， ①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12（x －1）2x （x ＋1）2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ③当－12＜a ＜0时，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点， 则x 1＝－（a ＋1）＋2a ＋1a ，x 2＝－（a ＋1）－2a ＋1a .因为x 1＝a ＋1－2a ＋1－a＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0，所以，x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得，当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－（a ＋1）＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）＋2a ＋1a ，－（a ＋1）－2a ＋1a 上单调递增．67．[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)证明：数列{b n }为等比数列；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由已知得，b n ＝2a n ＞0，当n ≥1时，b n ＋1b n＝2a n ＋1－a n ＝2d .故数列{b n }是首项为2a 1，公比为2d 的等比数列．(2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2，所以d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2n ＝n ·4n .于是，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)×4n －1＋n ×4n ，4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋1，因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝（1－3n ）4n ＋1－43，所以，S n ＝（3n －1）4n ＋1＋49.68．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝x 2－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1，求a 的取值范围．解：(1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a >0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎭⎫0，1a ；单调递减区间是(－∞，0)，⎝⎛⎭1a ，＋∞. 当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝1a时，f (x )有极大值，且极大值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝13a 2. (2)由f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫32a ＝0及(1)知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32a 时，f (x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫32a ，＋∞时，f (x )<0.设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （x ）x ∈（1，＋∞），f （x ）≠0，则“对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B ，显然0∉B .下面分三种情况讨论：(i)当32a >2，即0<a <34时，由f ⎝⎛⎭⎫32a ＝0可知，0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集． (ii)当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0，且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故A ＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)．由f (1)≥0，有f (x )在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B ，所以A ⊆B .(iii)当32a <1，即a >32时，有f (1)<0，且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故B ＝⎝⎛⎭⎫1f （1），0，A ＝(－∞，f (2))，所以A 不是B 的子集．综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，32.69．[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1.21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b ，所以g ′(x )＝e x －2a . 当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12＜a ＜e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增， 于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12＜a ＜e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)证明：设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知， f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12＜a ＜e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a ))，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b ＞0，g (1)＝e －2a －b ＞0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2＜a ＜1.所以，函数f (x )在区间(0，1)内有零点时，e －2＜a ＜1.70．[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，且x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．71．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)解：(1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3.令f ′(x )＝0，得x ＝－22或x ＝22. 因为f (－2)＝－10，f ⎝⎛⎭⎫－22＝2，f ⎝⎛⎭⎫22＝－2，f (1)＝－1， 所以f (x )在区间[－2，1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)， 因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0， 设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”． g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．结合图像知，当g (x )有3个不同零点时，有⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝t ＋3>0，g （1）＝t ＋1－0，解得－3<t <－1.故当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切． 72．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ， 得f ′(x )＝e x －a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )有极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4＞0， 即g ′(x )＞0.所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0， 所以当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x .(3)证明：对任意给定的正数c ，取x 0＝1c ，由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x .。

2014年高考数学真题解析之导数真题(理科)

2014年高考数学真题解析之导数真题(理科)

（Ⅰ）当 k 0 时，求函数 f ( x ) 的单调区间； （Ⅱ）若函数 f ( x ) 在 (0, 2) 内存在两个极值点，求 k 的取值范围. 5． （本小题满分 12 分） 已知函数 （1）当 时，求 （2）若
. Байду номын сангаас极值；
1 在区间 (0, ) 上单调递增，求 b 的取值范围. 3
6．设函数 f x
f ( x ) 1 (1 a ) x x 2 x 3 ,其中 a 0 .
f ( x) 在其定义域上的单调性； f ( x) 取得最大值和最小值时的 x 的值.
*
（2）当 x [0,1] 时，求
17．设实数 c 0 ，整数 p 1 ， n N . （1）证明：当 x 1 且 x 0 时， (1 x ) 1 px ；
试题解答： （Ⅰ） g ( x ) e 2ax b, g ( x ) e 2a
变形为 x ln x xe x
f ( x) g ( x) 的充分不必要条件，意即当 f ( x) g ( x) 成立，最值之间不一定有上述关系．
试题解析： （I）函数的定义域为 (0, ) ． f ' ( x ) ae x ln x 由题意可得， f (1) 2, f (1) e ．故 a 1, b 2 ．
（1）若 b （2）若 b
1 ，求 a2 , a3 及数列 {an } 的通项公式； 1 ，问：是否存在实数 c 使得 a2 n c a2 n 1 对所有 n N * 成立？证明
．已知函数 y = f ( x) 有两个零点 x1 , x2 ，
你的结论. 9．已知函数 且 x1 < x2 ． （1）求 a 的取值范围； （2）证明

2014高考题分类大题(导数)

2014高考题分类大题(导数)

三、解答题87.【2014·全国卷Ⅰ（理21）】(本小题满分12分)设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >. 【解析】112()'()1.(1)2,'(1).a 1, 2.x x x x a b bf x f x ae nx e e e x x xf f e b ==∞=+-+====（I ）函数的定义域为(0,+),由题意可得故 ……5分 122()1,()11.()1,'()1.x x x f x e n e f x x nx xe x e g x x nx g x nx =-=+>>-==（II ）由（I ）知从而等价于设函数则11(0,)'()0;(,)'()0.x g x x g x e e∈<∈+∞>所以当时，当时，11(),()11.g x g x e ee e+∞∞故在（0,）单调递减，在（）单调递增，从而在(0,)的最小值为g()=-……8分2(),'()(1).(0,1)'()0;(1,)'()0.()1()(0,)(1).0()(),() 1.x x h x xe h x e x ex h x x h x h x h x h ex g x h x f x --=-=-∈>∈+∞<∞∞=->>>设函数则所以当时当时，故在（0,1）单调递增，在(1,+)单调递减，从而在的最大值为综上，当时，即……12分88.【2014·全国卷Ⅰ（文21）】设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0(Ⅰ)求b ；(Ⅱ)若存在01,x ≥使得()01af x a <-，求a 的取值范围。

2014高考数学第一轮复习_导数应用(含答案)

2014高考数学第一轮复习_导数应用(含答案)

第3讲导数的应用(二)【高考会这样考】1．利用导数求函数的极值．2．利用导数求函数闭区间上的最值．3．利用导数解决某些实际问题．基础梳理1．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．三个防范(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念． (2)f ′(x 0)＝0是y ＝f (x )在x ＝x 0取极值的既不充分也不必要条件．如①y ＝|x |在x ＝0处取得极小值，但在x ＝0处不可导； ②f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )＝x 3的极值点．(3)若y ＝f (x )可导，则f ′(x 0)＝0是f (x )在x ＝x 0处取极值的必要条件．双基自测1．(2011·福建)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )．A ．2B ．3C ．6D ．9解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函数f (x )在x ＝1处的导数值为零，12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号．答案 D2．已知函数f (x )＝14x 4－43x 3＋2x 2，则f (x )( )． A ．有极大值，无极小值 B ．有极大值，有极小值 C ．有极小值，无极大值 D ．无极小值，无极大值解析 f ′(x )＝x 3－4x 2＋4x ＝x (x －2)2，f ′(x )，f (x )随x 变化情况如下3．(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )． A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件解析 y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0解得x ＝9(－9舍去)．当0＜x ＜9时，y ′＞0；当x ＞9时，y ′＜0，则当x ＝9时，y 取得最大值，故选C4．(2011·广东)函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．解析 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)当x ＜0时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，当x ＞2时，f ′(x )＞0，故当x ＝2时取得极小值．答案 25．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析 ∵f (x )在x ＝1处取极值，∴f ′(1)＝0，又f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2，∴f ′(1)＝2×1×(1＋1)－(1＋a )(1＋1)2＝0，即2×1×(1＋1)－(1＋a )＝0，故a ＝3.答案 3考向一 函数的极值与导数【例1】►(2011·重庆)设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )的极值．[审题视点] 由条件x ＝－12为y ＝f ′(x )图象的对称轴及f ′(1)＝0求得a ，b 的值，再由f ′(x )的符号求其极值．解 (1)因f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b .从而f ′(x )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 62＋b －a 26，即y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－a 6对称，从而由题设条件知－a 6＝－12，解得a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0，解得b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，即6(x －1)(x ＋2)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－2,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 从而函数f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝21， 在x 2＝1处取得极小值f (1)＝－6.【训练1】 (2011·安徽)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立．因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.考向二 函数的最值与导数【例2】►已知a 为实数，且函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )．(1)求导函数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求函数f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值． [审题视点] 先化简再求导，求极值、端点值，进行比较得最值． 解 (1)f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，得f ′(x )＝3x 2－2ax －4.(2)因为f ′(－1)＝0，所以a ＝12，有f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，所以f ′(x )＝3x 2－x －4. 令f ′(x )＝0，所以x ＝43或x ＝－1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0，所以f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值分别为92、－5027.一般地，在闭区间[a ，b ]上的连续函数f (x )必有最大值与最小值，在开区间(a ，b )内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上单调递增，则f (a )是最小值，f (b )是最大值；反之，则f (a )是最大值，f (b )是最小值． 【训练2】 函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象 在点P (1,0)处的切线与直线3x ＋y ＝0平行(1)求a ，b ；(2)求函数f (x )在[0，t ](t >0)内的最大值和最小值． 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax由已知条件⎩⎨⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝－3，即⎩⎨⎧ a ＋b ＋1＝0，2a ＋3＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， f ′(x )与f (x )随x 变化情况如下：由f (x )＝f (0)当0<t ≤2时，f (x )的最大值为f (0)＝2最小值为f (t )＝t 3－3t 2＋2； 当2<t ≤3时，f (x )的最大值为f (0)＝2，最小值为f (2)＝－2； 当t >3时，f (x )的最大值为f (t )＝t 3－3t 2＋2，最小值为f (2)＝－2.考向三 用导数解决生活中的优化问题【例3】►(2011·江苏)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[审题视点] 由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实际意义． 解 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时ha＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.【训练3】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y＝1128 000x3－380x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解(1)设汽车以x千米/小时的速度行驶时，其耗油量为f(x)＝100x⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x3－380x＋8＝x21 280＋800x－154(0<x≤120)，f(40)＝17.5(升)，因此从甲地到乙地要耗油17.5升．(2)f′(x)＝x640－800x2＝x3－512 000640x2＝(x－80)(x2＋80x＋6 400)640x2又0<x≤120，令f′(x)＝0解得x＝80，当0<x<80时，f′(x)<0；当80<x≤120时，f′(x)>0.则当x＝80时，f(x)取到最小值f(80)＝11.25(升)因此当汽车以80千米/小时行驶时耗油最省，最小耗油量为11.25升．。

高三数学导数试题答案及解析

高三数学导数试题答案及解析

高三数学导数试题答案及解析1. [2014·广东四校联考]已知函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则函数g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________．【答案】6x－y－5＝0【解析】因为y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，所以f′(2)＝2，f(2)＝3.由g(x)＝x2＋f(x)得g′(x)＝2x＋f′(x)，所以g(2)＝22＋f(2)＝7，即点(2，g(2))为(2,7)，g′(2)＝4＋f′(2)＝6，所以g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0.2.已知函数在处的切线的斜率为.（1）求实数的值及函数的最大值；（2）证明：．【答案】（1），不存在；（2）参考解析【解析】（1）由函数在处的切线的斜率为，通过求导以及将x=1代入导函数即可得到的值.根据的对函数求导，由定义域的范围即可得到导函数的正负，从而可得函数的单调性.（2）需证明，由题意可得令=1.即可构造.只需令.即可得到.所以只需证明在单调递减即可.由题意可得结论成立.（1）由已知可得函数的定义域为（2分）在是单调递增的最大值不存在（6分）（2）由（1）令，则,,当且仅当时等号成立令则【考点】1.函数的导数.2.函数的最值问题.3.构建新的函数的创新思维.3.等差数列中的是函数的极值点，则A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】，令，解得，，∴，，选A．【考点】导数，等差数列的性质．4.设(Ⅰ)的图象关于原点对称，当时，的极小值为，求的解析式。

(Ⅱ)若，是上的单调函数，求的取值范围【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】(Ⅰ)由题意知，函数是奇函数，利用奇函数的定义可求出，由函数在处取得极小值为，可得，，进而求出在，一般地，多项式函数为奇函数，则偶次项系数为0，连续可导的函数在某点处取得极值，则该点处导数为0，但连续可导的函数在某点处导数为0，则该处不一定取得极值，所以用以上方法求出函数解析式后，还需进行验证；(Ⅱ)函数在某区间上是单调函数，则导函数在该区间上导数大于等于0恒成立，所以问题又转化为不等式恒成立问题，本题导函数是二次函数，其恒成立问题可用判别式判断，也可分离参数转化为最值问题.试题解析：(Ⅰ)因为的图象关于原点对称，所以有即， 1分所以，所以，所以 3分由，依题意，，，解之，得 6分经检验符合题意 7分故所求函数的解析式为.(Ⅱ)当时，，，因为是上的单调函数，所以恒成立，即恒成立 8分即成立，所以 12分【考点】奇函数、导数与单调性、极值.5.已知函数，，.（1）求证：函数在上单调递增；（2）若函数有四个零点，求的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）实数的取值范围是.【解析】（1）直接利用导数证明函数在上单调递增，在证明过程中注意导函数的单调性；（2）将函数的零点个数问题转化为函数图象的交点个数问题处理，但需注意将式子中的绝对值符号去掉，并借助函数的最值出发，构造有关参数的不等式组，再求解参数的取值范围.试题解析：（1），，，，，所以，且函数在上单调递增，故函数在上单调递增，，即，故函数在上单调递增；（2），，，当时，，则，所以且，，故函数在上单调递减，由（1）知，函数在上单调递增，故函数在处取得极小值，亦即最小值，即，令，则有，则有或，即方程与方程的实根数之和为四，则有，解得或，综上所述，实数的取值范围是.【考点】1.函数的单调性；2.函数的零点个数6.对于R上可导的任意函数，若满足，则必有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以,1-x≥0即x≤1时，<0, 1-x≤0即x≥1时，>0,即函数在[1,+∞)上的单调增，在（-∞，1）上单调递减，所以f(0)>f(1),f(2)>f(1) f(0)+f(2)>2f(1) 所以f(0)+f(2)>="2f(1)" ，故选C.【考点】函数导数的性质7.已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围为 .【答案】【解析】由题意知在有定义，即在恒成立，即，又在增，故在恒成立，因为，故，综上可知,.【考点】利用导数研究函数单调性、函数最值.8.（本小题满分13分）已知函数.(1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.(2）记函数，若的最小值是，求函数的解析式.【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先函数的求导数，在构造一个函数，对其求导，求出单调区间，找h（x）的最大值即可.（2）先整理出g（x）的解析式，然后求导，利用导数求出g（x）取最小值－6时，对应a的值，即可求出f（x）的解析式.试题解析：⑴∴在上恒成立令∵恒成立∴∴(2)∵易知时, 恒成立∴无最小值,不合题意∴令,则(舍负)列表如下,(略)可得,在 (上单调递减，在上单调递增，则是函数的极小值点。

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导数及其应用导数的运算1. 几种常见的函数导数：①、c '= （c 为常数）； ②、n(x )'= （R n ∈）； ③、)(sin 'x = ；④、)(cos 'x = ；⑤、x(a)'= ； ⑥、x (e )'= ； ⑦、a (log x )'= ； ⑧、(ln x )'= .2. 求导数的四则运算法则：()u v u v '''±=±；v u v u uv '+'=')(；2)(v v u v u v u '-'=' )0(2'''≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v u v vu v u注：① v u ,必须是可导函数. *3. 复合函数的求导法则： )()())((x u f x f x ϕϕ'•'=' 或 '•'='x u x u y y一、求曲线的切线（导数几何意义）导数几何意义：0()f x '表示函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 的斜率；函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 方程为000()()()y f x f x x x '-=-1.（2009全国卷Ⅱ理）曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为( )A . 20x y --=B . 20x y +-=C .450x y +-=D . 450x y --= 2.【2012高考广东理12】曲线y =x 3－x ＋3在点（1，3）处的切线方程为 ．变式一：3.（2009江西卷理）设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为( )A ．4B ．14-C ．2D ．12- 4.【2009安徽卷理】已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是( )A .21y x =-B .y x =C .32y x =-D .23y x =-+变式二：5.（2009江苏卷）在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 . 6.【2009陕西卷理】设曲线1*()n y xn N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则1299a a a +++的值为 .7.（2010辽宁理数）已知点P 在曲线y =41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 A 、[0,4π) B 、[,)42ππ C 、3(,]24ππ D 、3[,)4ππ变式三：8.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y =x ＋1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( )A .1B . 2C .－1D .－2 9.【2009江西卷文】若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于( )A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．74-或7 10.（2010全国卷理数2）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =A 、64B 、32C 、16D 、8 11.【2012高考安徽理19】（本小题满分13分） 设1()(0)xx f x ae b a ae=++>. （I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值；（II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =；求,a b 的值. 12. 【2009福建卷理】若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .二、求单调性或单调区间1、利用导数判定函数单调性的方法：设函数)(x f y =在某个区间D 内可导，如果)(x f '＞0，则)(x f y =在区间D 上为增函数； 如果)(x f '＜0，则)(x f y =在区间D 上为减函数； 如果)(x f '=0恒成立，则)(x f y =在区间D 上为常数.2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式)(x f '＞0的解集与函数)(x f y =定义域的交集，就是)(x f y =的增区间；不等式)(x f '＜0的解集与函数)(x f y =定义域的交集，就是)(x f y =的减区间.1、函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是( )A . )2,(-∞B .(0,3)C .(1,4)D . ),2(+∞2.（2009江苏卷）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .3.（2009安徽理）（本小题12分） 已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x=-+->，讨论()f x 的单调性. 4.【2009天津卷理】（本小题满分12分）已知函数22()(23)(),xf x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈(1)当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； (2)当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.三、求函数的极值与最值1、极值的判别方法：当函数)(x f 在点0x 处连续时，① 如果在0x 附近的左侧)(x f '＞0，右侧)(x f '＜0，那么)(0x f 是极大值； ② 如果在0x 附近的左侧)(x f '＜0，右侧)(x f '＞0，那么)(0x f 是极小值. 也就是说0x 是极值点的充分条件为0x 点两侧导数异号，而不是)(x f '=0. 2、最值的求法：求f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下：(1) 求 f (x ) 在区间 (a ，b ) 内的极值(极大值或极小值)；(2) 将 y = f (x ) 的各极值与端点处的函数值 f (a )、f (b ) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.注：极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 1.【2012高考陕西理7】设函数()xf x xe =，则（ ）A . 1x =为()f x 的极大值点B .1x =为()f x 的极小值点C . 1x =-为()f x 的极大值点D . 1x =-为()f x 的极小值点[学 2.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值.3.【2012高考重庆理16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.） 设13()ln 1,22f x a x x x =+++其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. （Ⅰ） 求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的极值.4.（2011·福建卷理科·Ｔ18）(本小题满分13分) 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中3<x <6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （I ）求a 的值.（II ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 5．【2011·江苏高考·Ｔ17】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D 四个点重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜 边的两个端点，设)(cm x FB AE ==.（1）某广告商要求包装盒的侧面积S )(2cm 最大，试问x 应取何值？ （2）某厂商要求包装盒的容积V )(3cm 最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.四、判断函数的零点1.（2010天津理数）函数f(x )=23xx +的零点所在的一个区间是 A .（－2，－1）； B .（－1,0）； C .（0,1）； D .（1,2）2.（2009天津卷理）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = ( ) A .在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点； B .在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点；C .在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点；D .在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点.3.【2012高考全国卷理10】已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝A .－2或2 ；B .－9或3 ；C .－1或1；D .－3或14.【2012高考江苏18】（16分）若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y = 的极值点. 已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．五、导数与图像1．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数()()1nm f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则,m n 的值可能是 A ．1,1m n == B ．1,2m n == C ．2,1m n == D ．3,1m n ==2.（2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是( )A ．B．C．D．3.【2010江西理数】如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S=，则导函数()'y S t=的图像大致为六、导数与不等式利用导数求解（证明）不等式主要方法是：将不等式()()t x g x≥左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数()()()f x t xg x=-，通过对()f x求导，根据()f x'的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明.1.（2011·江西高考理科·Ｔ4）若()224lnf x x x x=--，则()f x'＞0的解集为A．()0,+∞B.()()1,02,-⋃+∞C.()2,+∞D.()1,0-2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f（x）的定义域为R，f（－1）=2，对任意x∈R，2)(>'xf，则f（x）＞2x＋4的解集为A.（－1，1）B.（－1，＋∞）C.（－∞，－1）D.（－∞，＋∞）3.【2009江西卷理】（本小题满分12分）设函数()xef xx=(1) 求函数()f x的单调区间；(2) 若0k>，求不等式()f'()(1)()0x k x f x+->的解集．ababao xo x o x o xy4.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分.设函数()3233f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、，且12[10],[1,2].x x ∈-∈， （I ）求b c 、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(),b c 的区域； (II)证明：()21102f x -≤≤-5.（2009全国卷Ⅱ理）(本题满分12分) 设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （II ）证明：()21224In f x ->6.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）已知函数f (x )=21x 2－ax ＋(a －1)ln x ，1a >. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212()()1f x f x x x ->--.7.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++（1）如3a b ==-，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明βα-＜6.8.【2012高考新课标理21】（本题满分12分）已知函数()f x 满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值.9.【2012高考辽宁理21】（本小题满分12分) 设()ln(1)(,,,)f x x ax b a b R a b =++∈为常数，曲线()y f x =与直线32y x =在(0，0)点相切. (Ⅰ)求,a b 的值.(Ⅱ)证明：当02x <<时，9()6xf x x <+.10.【2012高考山东理22】(本小题满分13分) 已知函数ln ()xx kf x e+=（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1x g x e -><+.七、求参数范围1.（2009北京理）（本小题共13分）设函数()(0)kx f x xe k =≠（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围.2．（2011·安徽高考理科·Ｔ16）设2()1xe f x ax =+，其中a 为正实数（Ⅰ）当a 43=时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.3. （2011·新课标全国高考理科·Ｔ21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围.4．（2011·北京高考理科·T18）(13分)已知函数2()()x kf x x k e=-.（I ）求()f x 的单调区间；（II ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有1()f x e≤，求k 的取值范围.5.(2009陕西卷理)（本小题满分12分）已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a > ()I 若()f x 在x =1处取得极值，求a 的值；()II 求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.6.（2011·浙江高考理科·Ｔ22）（本题满分14分）设函数()f x ＝2()ln x a x -，a ∈R（Ⅰ）若x ＝e 为()y f x =的极值点，求实数a ；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈（0,3e ]，恒有()f x ≤42e 成立. 注：e 为自然对数的底数．7.【2012高考浙江理22】(本小题满分14分) 已知a ＞0，b ∈R ，函数()342f x ax bx a b =--+．(Ⅰ) 证明：当0≤x ≤1时，(ⅰ) 函数()f x 的最大值为|2a －b |﹢a ；(ⅱ) ()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0；(Ⅱ) 若－1≤()f x ≤1对x ∈[0，1]恒成立，求a ＋b 的取值范围．8.【2012高考湖南理22】（本小题满分13分）已知函数()f x =axe x =-，其中a ≠0.(1) 若对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合.(2) 在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 12()x x <，记直线AB 的斜率为K ， 问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.9.【2012高考天津理20】(本题满分14分) 已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0，其中.0>a（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的),,0[+∞∈x 有)(x f ≤2kx 成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明∑=<+--ni n i 12)12ln(122（*N n ∈）.10.（2009广东卷理）（本小题满分14分）已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=．（1）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q ，求m 的值； （2）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．导数及其应用__答案一、求曲线的切线（导数几何意义）1、B ；2、012=+-y x ；3、A ；4、A ；5、（－2，15）；6、－2；7、D ；8、B ；9、A ；10. A .11、【解析】（I ）设(1)xt e t =≥；则2222111a t y atb y a at at at-'=++⇒=-=， ①当1a ≥时， ()f x 的最小值为1a b a++.②当01a <<时， ()f x 的最小值为2b +. （II ）221,2a b e ==； 12、{}|0a a <. 二、求单调性或单调区间1、D ；2、(1,11)-；3、①当0a <<()f x 在(0,)+∞上是增函数.②当a =()f x 在(0,)+∞上也是增函数. ③当a >()f x 在和)+∞上单调递增， 在(22a a 是上单调递减.4、（I ）3e ；（II ）（1）a 若＞32，函数的极大值为.3)2()2(2)(2aae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数函数的极小值为.)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在函数 （2）a 若＜32，则函数的极大值为.)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在数函数的极小值为.3)2()2(2)(2aae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数三、求函数的极值与最值1、D ；2、2；3、（1）1a =-；（2）()f x 在1x =处取得极小值()13f =.4、（I ）2a =；（II ）当4x =时，函数()f x 取得最大值42.5、（1）当15=x 时，S 取得最大值.（2）当20=x 时取最大值，此时21=a h 四、判断函数的零点1、B ；2、D ；3、A ；4、（1）==3a b -0，；（2）()g x 的极值点是－2；（3）当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9 个零点.五、导数与图像1、m=1，n=2；2、A ；3、A .1、C ；2、B .3、 (1) ()f x 的单调增区间是[1,)+∞； 单调减区间是(,0)(0,1]-∞，.(2)当 01k <<时， 解集是1{1}x x k <<；当 1k =时，解集是∅；当 1k >时， 解集是1{1}x x k<<.4.(1)略；(2)由题意有()22223630f x x bx c '=++=．．．．．．．．．．．．①又()32222233f x x bx cx =++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②由①、②消去b 可得()32221322cf x x x =-+．又2[1,2]x ∈，且[2,0]c ∈-，2110()2f x ∴-≤≤-.5、解: （I ）()2222(1)11a x x a f x x x x x ++'=+=>-++，令2()22g x x x a =++，其对称轴为12x =-. 由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根，其充要条件为480(1)0a g a ∆=->⎧⎨-=>⎩，得102a <<⑴ 当1(1,)x x ∈-时，()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数； ⑵ 当12(,)x x x ∈时，()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数； ⑶ 当2,()x x ∈+∞时，()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数； （II ）由（I ）21(0)0,02g a x =>∴-<<，222(2)a x x =-+2 ()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2设()()221(22)1()2h x x x x ln x x =-++>-，则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++ ⑴ 当1(,0)2x ∈-时，()0,()h x h x '>∴在1[,0)2-单调递增； ⑵ 当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞单调递减.()1112ln 2(,0),()224x h x h -∴∈->-=当时，故()22122()4In f x h x -=>．6、解析： (1)()f x 的定义域为(0,)+∞. ()x'2'11(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x --+--+-=-+==2分 （i ）若11a -=，即2a =，则()f x '2'(1)()x f x x-=，故()f x 在(0,)+∞单调增加.(ii) 若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <；当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加.(iii) 若11a ->，即2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加.(2) 考虑函数 ()()g x f x x =+21(1)ln 2x ax a x x =-+-+则21()(1)(1)11)a g x x a x a x x-'=--+≥--=- 由于1<a <5，故()0g x '>，即g(x )在(4， ＋∞)单调增加，从而当120x x >>时有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--，当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---·········12分7、（1）()(,3),(0,3)303f x -∞--+∞在单调增加，在（，），（，）单调减.(2)3223'()(3)(36)[(6)].xx x f x x x ax b ex x a e e x a x b a ---=-++++++=-+-+-由条件得：3'(2)0,22(6)0,4,f a b a b a =+-+-==-即故 从而3'()[(6)42].xf x e x a x a -=-+-+-因为'()'()0,f f αβ==∴3(6)42(2)()()x a x a x x x αβ+-+-=---2(2)(()).x x x αβαβ=--++ 将右边展开，与左边比较系数得，2, 2.a αβαβ+=-=- 故βα-==又(2)(2)0,2()40.βααβαβ--<-++<即由此可得 6.a <- 于是 6.βα->8、解：（1）()f x 的解析式为21()2x f x e x x =-+，且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）21()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥，得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>则当x =max ()2e F x =当1,a b ==(1)a b +的最大值为2e 9、（1）b=－1，=0a（2）证：首先由均值不等式得：当>0x 时，)+1+1=+2x x +12x再次记()()9=-+6xh x f x x，则()()()()()22215454+654'=<-+14+1+6+6+6x h x x x x x x ()()()()32+6-216+1=4+1+6x x x x ， 令()()()3=+6-216+1g x x x ，则当0<<2x 时，()()2'=3+6-216<0g x x因此()g x 在()0,2内是减函数，又由()0=0g ，得()<0g x ，∴()'<0h x因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，于是当0<<2x 时， ()9<+6xf x x …12分 10、解：（Ⅰ）k=1；（Ⅱ）()f x 的增区间为（0，1）；减区间为（1，)+∞.（Ⅲ）21()()'()(1ln )x x g x x x f x e x x x +=+=⋅--，先研究1ln x x x --，再研究1x x e+.① 记()1ln ,0i x x x x x =-->，'()ln 2i x x =--，令'()0i x =，得2x e -=，当(0x ∈，2)e -时，'()0i x >，()i x 单增； 当2(x e -∈，)+∞时，'()0i x <，()i x 单减 . ∴22max ()()1i x i e e --==+，即21ln 1x x x e ---≤+.② 记1(),0x x j x x e +=>，'()0x x j x e=-<，∴()j x 在(0，)+∞单减，∴()(0)1j x j <=，即11x x e+<综①、②知，2211()(1ln )(1)1x x x x g x x x x e e e e--++=--≤+<+.七、求参数范围1、（Ⅰ）y x =；（Ⅱ）由()f x'()()'10kxf x kx e =+=，得()10x k k=-≠， 若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，若0k <，则当1,x k ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增， 当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， （Ⅲ）由（Ⅱ）知，若0k >，则当且仅当11k-≤-，即1k ≤时，函数()f x ()1,1-内单调递增， 若0k <，则当且仅当11k-≥，即1k ≥-时，函数()f x ()1,1-内单调递增， 综上可知，函数()f x ()1,1-内单调递增时，k 的取值范围是[)(]1,00,1-.2、（Ⅰ）当时，34=a 令0)(='x f ，则03842=+-x x .解得21,2321==x x ， 列表得∴21=x 是极小值点，22=x 是极大值点. （Ⅱ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合222)1(21)(ax axax e x f x+-+='与条件a >0， 知0122≥+-ax ax 在R 上恒成立，因此.0)1(4442≤-=-=∆a a a a 由此并结合a>0，知10≤<a .3、（Ⅰ）1a =，1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x =++，∴22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--. 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=.① 设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x+--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h(x )递减.而(1)0h =， 故当(0,1)x ∈时， ()0h x >，可得21()01h x x>-； 当x ∈(1，＋∞)时，h(x ) < 0，可得211x - h （x ）>0从而当x >0，且x ≠1时，f （x ）－（1ln -x x ＋x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x ＋xk. ② 设0< k<1.由于2(1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下， 且244(1)0k ∆=-->，对称轴x =111k >-.当x ∈(1，k -11)时，(k －1)(x 2 ＋1)＋2x >0， 故h '(x ）>0，而h （1）=0，故当x ∈（1，k -11）时，h(x ) > 0，可得211x-h(x ) < 0，与题设矛盾. ③设k ≥1. ∵ x >0且x ≠1，∴此时2(1)(1)20k x x -++>⇒'h （x ）>0，而h （1）=0， 故当x ∈（1，＋∞）时，h （x ）>0，可得211x- h （x ）<0，与题设矛盾. 综合得，k 的取值范围为（－∞，0]4、 (Ⅰ)当k>0时，()f x 的单调增区间是(,)k -∞-和(,)k +∞；单调减区间是(,)k k -.当0k <时，()f x 的单调减区间是(,)k -∞和(,)k -+∞；单调增区间是(,)k k -.（Ⅱ）当0k >时，因为11(1)k kf k ee ++=>，∴不会有(0,)x ∀∈+∞，1()f x e≤. 当0k <时，由（1）知()f x 在(0,)+∞上的最大值是24()k f k e -=.∴1(0,),()x f x e ∀∈+∞≤等价于241()k f k e e -=≤，解得102k -≤<. 故当(0,)x ∀∈+∞，1()f x e ≤时，k 的取值范围是1[,0)2-. 5、解（Ⅰ） 1.a =（Ⅱ）①当2a ≥时，()f x 的单调增区间为(0,).+∞②当02a <<时，()f x +∞的单调减区间为（0）. （Ⅲ）若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞ 6、（Ⅰ）∴a e = 或3a e =.（Ⅱ） ①当01x <≤时，对于任意的实数a ，恒有2()04f x e ≤<成立， ②当13x e <≤，由题意，首先有22(3)(3)ln(3)4f e e a e e =-≤，解得33e a e -≤≤+ 由（Ⅰ）知'()()(2ln 1)af x x a x =-+-，令 ()2ln 1ah x x x=+-，则(1)10h a =-<，()2ln 0h a a =>，且(3)2ln(3)12ln(3)13ah e e e e=+-≥+-=2(ln 30e ->. 又()h x 在（0，＋∞）内单调递增，∴函数()h x 在（0，＋∞）内有唯一零点，记此零点为0x ， 则013x e <<，01x a <<.从而，当0(0,)x x ∈时，'()0f x >；当0(,)x x a ∈时，'()0f x <；当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >， 即()f x 在0(0,)x 内单调递增，在0,()x a 内单调递减，在(,)a +∞内单调递增.∴要使2()4f x e ≤对](1,3x e ∈恒成立，只要 2200022()()ln 4,(1)(3)(3)ln(3)4,(2)f x x a x e f e e a e e ⎧=-≤⎪⎨=-≤⎪⎩ 成立.000()2ln 10ah x x x =+-=，知0002ln a x x x =+ （3） 将（3）代入（1）得232004ln 4x x e ≤，又01x >，注意到函数23ln x x 在[1，＋∞)内单调递增，故01x e <≤ 再由（3）以及函数2x ln x ＋x 在（1， ＋∞)内单调递增，可得13a e <≤. 由（2）解得，33e a e -≤≤+∴33e a e ≤≤ 综上，a的取值范围为33e a e ≤≤.7、 (Ⅰ) (ⅰ)()2122f x ax b '=-．当b ≤0时，()2122f x ax b '=-＞0在0≤x ≤1上恒成立，此时()f x 的最大值为：()1423f a b a b a b =--+=-＝|2a －b |﹢a ；当b ＞0时，()2122f x ax b '=-在0≤x ≤1上的正负性不能判断，此时()f x 的最大值为：()max 2max{(0)1}max{()3}32b a b af x f f b a a b a b b a ->⎧==--=⎨-<⎩，，（），()，＝|2a －b |﹢a ； 综上所述：函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a －b |﹢a ；(ⅱ) 要证()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0，即证()g x ＝－()f x ≤|2a －b |﹢a ． 亦即证()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a －b |﹢a ，∵()342g x ax bx a b =-++-，∴令()212206b g x ax b x a'=-+=⇒=． 当b ≤0时，()2122g x ax b '=-+＜0在0≤x ≤1上恒成立，此时()g x 的最大值为：()03g a b a b =-<-＝|2a －b |﹢a ；当b ＜0时，()2122g x ax b '=-+在0≤x ≤1上的正负性不能判断，()max max{)1}6bg x g g a=，（） 4max{2}36463662bb a b b a a bb a ba b ab a b a =--⎧≤-⎪=⎨>⎪-⎩，，，≤|2a －b |﹢a ；综上所述：函数()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a －b |﹢a ．即()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0在0≤x ≤1上恒成立．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a －b |﹢a ，且函数()f x 在0≤x ≤1上的最小值比－(|2a －b |﹢a )要大．∵－1≤()f x ≤1对x ∈[0，1]恒成立，∴|2a －b |﹢a ≤1． 取b 为纵轴，a 为横轴．则可行域为：21b a b a ≥⎧⎨-≤⎩和231b aa b <⎧⎨-≤⎩，目标函数为z ＝a ＋b ．作出可行域，由图易得：当目标函数为z ＝a ＋b 过P(1，2)时，有max 3z =． ∴所求a ＋b 的取值范围为：(]3-∞，．8、解：（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x 1axe x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠，故0a >.而()1,axf x ae '=-令11()0,ln .f x x a a'==得 当11ln x a a <时，()0,()f x f x '<单调递减；当11ln x a a >时，()0,()f x f x '>单调递增，故当11ln x a a =时，()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当 111ln 1a a a-≥. ①令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{}1. （Ⅱ）由题意知，21212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==--- 令2121()(),ax ax ax e e x f x k ae x x ϕ-'=-=-- 则121()12121()()1,ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 212()21221()()1.ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1t F t e t =--，则()1t F t e '=-.当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.t e t -->从而21()21()10a x x e a x x ---->，12()12()10,a x x e a x x ----> 又1210,ax e x x >-2210,ax e x x >- ∴1()0,x ϕ<2()0.x ϕ> 因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，∴存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=2()0,()axx a e x ϕϕ'=>单调递增，故这样的c 是唯一的，且21211ln ()ax ax e e c a a x x -=-. 故当且仅当212211(ln ,)()ax ax e e x x a a x x -∈-时， 0()f x k '>. 综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为212211(ln ,)()ax ax e e x a a x x --. 9、解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,)a -+∞()ln()f x x x a =-+11()101x a f x x a a x a x a+-'⇒=-==⇔=->-++ ()01,()01f x x a f x a x a ''>⇔>-<⇔-<<-，得1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔=（Ⅱ）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥则()0g x ≥在[0,+)x ∈∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔≥= …………（*）(1)1ln 200g k k =-+≥⇒>， 1(221)()2111x kx k g x kx x x +-'=-+=++ ①当1210()2k k -<<时，0012()00()(0)02k g x x x g x g k-'≤⇔≤≤=⇒<=与（*）矛盾 ②当12k ≥时，min ()0()(0)0g x g x g '≥⇒==符合（*）， ∴实数k 的最小值为12（Ⅲ）由（2）得：21ln(1)2x x x -+<对任意的0x >值恒成立 取2(1,2,3,,)21x i n i ==-：222[ln(21)ln(21)]21(21)i i i i -+--<-- 当1n =时，2ln32-< 得：=12ln (2+1)<221ni n i --∑当2i ≥时，2211(21)2321i i i <---- 得：121[ln(21)ln(21)]2ln 3122121n i i i i n =-++-<-+-<--∑. 10、（1）依题可设1)1()(2-++=m x a x g (0≠a )，则a ax x a x g 22)1(2)('+=+=；又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴=，即1a =m x x m x x g ++=-++=∴21)1()(22， ()()2g x m f x x x x==++，设(),o o P x y ， 则2002020202)()2(||x m x x y x PQ ++=-+=m m m m m x m x 2||2222222220220+=+≥++= 当且仅当202202x m x =时，2||PQ 取得最小值，即||PQ 取得最小值2 当0>m 时，2)222(=+m 解得12-=m 当0<m 时，2)222(=+-m 解得12--=m （2）由()()120m y f x kx k x x=-=-++=(0≠x )，得()2120k x x m -++= ()* 当1k =时，方程()*有一解2m x =-，函数()y f x kx =-有一零点2m x =-； 当1k ≠时，方程()*有二解()4410m k ⇔∆=-->，若0m >，11k m >-，函数()y f x kx =-有两个零点)1(2)1(442k k m x ---±-=，即1)1(11---±=k k m x ； 若0m <，11k m <-，函数()y f x kx =-有两个零点)1(2)1(442k k m x ---±-=， 即1)1(11---±=k k m x ； 当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ⇔∆=--=， 11k m=-， 函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=11 综上，①当1k =时， 函数()y f x kx =-有一零点2m x =-； ②当11k m >-(0m >)，或11k m <-（0m <）时，函数()y f x kx =-有两个零点1)1(11---±=k k m x ；③当11k m =-时，函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=11.。

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