第5章 非正弦交流电路

a0 ∞ f (t ) = + ∑ ak cos kωt 2 k =1
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5.1 非正弦周期量的分解
3.周期函数为奇谐波函数 3.周期函数为奇谐波函数
T 的周期函数称为奇谐波函数， 满足 f (t ) = − f (t + 2 ) 的周期函数称为奇谐波函数，其波形特 点是：将函数f )波形移动半个周期后 图中虚线) 波形移动半个周期后( 点是：将函数f ( t )波形移动半个周期后(图中虚线)，与原 函数波形对称于横轴，即镜像对称。矩形波、梯形波、 函数波形对称于横轴，即镜像对称。矩形波、梯形波、三角 波都是奇谐波函数， 波都是奇谐波函数，它们的傅里叶级数展开式表示为
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5.1 非正弦周期量的分解
傅里叶级数是一个收敛级数， 傅里叶级数是一个收敛级数，理论上应取无限多项方能 准确表示出原非正弦周期函数， 准确表示出原非正弦周期函数，但在实际工程计算时只取有 限的几项，项取多少可根据工程所需精度而定。如表5.1.1 5.1.1中 限的几项，项取多少可根据工程所需精度而定。如表5.1.1中 矩形波傅里叶展开式中，若取式中前三项，即取到5次谐波， 矩形波傅里叶展开式中，若取式中前三项，即取到5次谐波， 并分别画出各谐波的曲线然后相加，得到如图5.1.3a)所示曲 并分别画出各谐波的曲线然后相加，得到如图5.1.3a)所示曲 可以看出，合成曲线与方波相差较大。若取展开式中前4 线，可以看出，合成曲线与方波相差较大。若取展开式中前4 即取到7次谐波，其合成曲线如图5.1.3b)所示 所示， 项．即取到7次谐波，其合成曲线如图5.1.3b)所示，就更接 近方波了。 近方波了。
T I av = 1 ∫0 idt = I 0 T
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5.2 非正弦周期量的有效值
对于一个在一周期内有正、负的周期量， 对于一个在一周期内有正、负的周期量，其平均值可能 很小，甚至为零。为了对周期量进行测量和分析( 很小，甚至为零。为了对周期量进行测量和分析(如整流效 果)，常把交流量的绝对值在一个周期内的平均值定义为整流 平均值，以电流为例， 平均值，以电流为例，其整流平均值
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5.2 非正弦周期量的有效值
5.2.1电压、 5.2.1电压、电流的有效值 电压
非正弦周期信号的有效值定义与正弦波一样。如果一个 非正弦周期信号的有效值定义与正弦波一样。 非正弦周期电流流经电阻R时，电阻上产生的热量和一个直流 非正弦周期电流流经电阻R 电流I流经同一电阻R时，在同样时间内所产生的热量相同， 电流I流经同一电阻R 在同样时间内所产生的热量相同， 这个直流电流的数值I，叫做该非正弦电流的有效值。周期电 这个直流电流的数值I 叫做该非正弦电流的有效值。 流、周期电压的有效恒等于它们的方均根值。 周期电压的有效恒等于它们的方均根值。
I = I 02 + I 12 + I 22 + L + I k2 U = U 02 + U 12 + U 22 + LU k2
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5.2 非正弦周期量的有效值
5.2.2电压、 5.2.2电压、电流的平均值 电压
除有效值外，对非正弦周期量还引用平均值。非正弦周 除有效值外，对非正弦周期量还引用平均值。 期量的平均值是它的直流分量，以电流为例，其平均值 期量的平均值是它的直流分量，以电流为例，
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5.1 非正弦周期量的分解
5.1.2周期函数与傅里叶级数 5.1.2周期函数与傅里叶级数
凡是满足狄利克雷条件的周期函数都可以分解为傅里叶 级数，电工中遇到的周期函数都是满足狄利克雷条件的。 级数，电工中遇到的周期函数都是满足狄利克雷条件的。
f(t ) = a0
2 +
∑ (ak cos k ωt k
f (t ) = ∑ bk sin kωt
k =1
∞
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5.1 非正弦周期量的分解
2.周期函数为偶函数 2.周期函数为偶函数 满足f(t)＝f(-t)的周期函数称为偶函数， 满足f(t)＝f(-t)的周期函数称为偶函数，如图5.1.5所 f(t) 的周期函数称为偶函数 5.1.5所 示的半波整流波，其波形对两于纵轴。半波整流、 示的半波整流波，其波形对两于纵轴。半波整流、全波整流 波都是偶函数。它们的傅里叶级数展开式中b 波都是偶函数。它们的傅里叶级数展开式中bk＝0，即无正弦 谐波分量， 谐波分量，可表示为
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5.1 非正弦周期量的分解
在电子设备、 在电子设备、自动控制等技术领域大量应用的脉冲电路 电压和电流的波形也都是非正弦的， 5.1.1(a)、(b)、 中，电压和电流的波形也都是非正弦的，图5.1.1(a)、(b)、 就是几种常见的非正弦交流电波形。 （c）就是几种常见的非正弦交流电波形。 上述各种激励与响应的波形虽然各不相同，但如果它们 上述各种激励与响应的波形虽然各不相同， 都是按一定规律周而复始地变化着，故则称为非正弦周期量。 都是按一定规律周而复始地变化着，故则称为非正弦周期量。 不按正弦规律做周期性变化的电流或电压， 不按正弦规律做周期性变化的电流或电压，称为非正弦周期 电流或电压。 电流或电压。
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5.1 非正弦周期量的分解
1.周期函数为奇函数 1.周期函数为奇函数 满足f(t)＝ f(t)的周期函数称为奇函数， 满足f(t)＝-f(t)的周期函数称为奇函数，其波形对称于 f(t) 的周期函数称为奇函数 原点。矩形波、梯形波、三角波都是奇函数。 原点。矩形波、梯形波、三角波都是奇函数。它们的傅里叶 级数展开式中， =0， =0，即无直流分量， 级数展开式中，a0=0，ak=0，即无直流分量，无余弦谐波分 表示为： 量，表示为：
f (t ) = ∑ (ak cos kωt + bk sin kωt )
k =1
∞
式中，无直流分量，无偶次谐波，只含奇次谐波， 式中，无直流分量，无偶次谐波，只含奇次谐波，因而 称此种函数为奇谐波函数。 称此种函数为奇谐波函数。
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5.1 非正弦周期量的分解
综上所述，根据周期函数的对称性， 综上所述，根据周期函数的对称性，不仅可预先判断它 包含的谐波分量的类型，定性地判定哪些谐波不存在( 包含的谐波分量的类型，定性地判定哪些谐波不存在(这在工 程上常常是要用到的) 并且使傅里叶系数的计算得到简化。 程上常常是要用到的)，并且使傅里叶系数的计算得到简化。 傅里叶级数展开式中存在的谐波分量的系数仍可用式(5.1.2) 傅里叶级数展开式中存在的谐波分量的系数仍可用式(5.1.2) 计算确定。 计算确定。 如果周期函数f 如果周期函数f（t）同时具有两种对称性，则在它的傅 同时具有两种对称性， 里叶级数展开式中也应兼有两种对称的特点。 里叶级数展开式中也应兼有两种对称的特点。
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5.1 非正弦周期量的分解
非正弦周期电流产生的原因很多，通常有以下三种情况： 非正弦周期电流产生的原因很多，通常有以下三种情况： 1.采用非正弦交流电源。如方波发生器， 1.采用非正弦交流电源。如方波发生器，锯齿波发生器 采用非正弦交流电源 等脉冲信号源，输出的电压就是非正弦周期电压。 等脉冲信号源，输出的电压就是非正弦周期电压。 2.同电路中有不同频率的电源共同作用。 2.同电路中有不同频率的电源共同作用。 同电路中有不同频率的电源共同作用 3.电路中存在非线性元件。 3.电路中存在非线性元件。如图5.1.2所示的二极管整流 电路中存在非线性元件 5.1.2所示的二极管整流 电路就是这样。 电路就是这样。
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5.2 非正弦周期量的有效值
周期量的有效值等于它的各次谐波(包括直流分量， 周期量的有效值等于它的各次谐波(包括直流分量，其有 效值即为I 有效值的平方和的平方根。 效值即为I0)有效值的平方和的平方根。周期量的有效值与各 次谐波的初相无关， 次谐波的初相无关，它不是等于而是小于各次谐波有效值的 和。
T I rect = 1 ∫0 i dt T
对上下半周期对称的周期电流， 对上下半周期对称的周期电流，则有
I rect
2 T i dt = ∫02 T
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5.3 非正弦周期电流电路中的平均 功率
平均功率
非正弦周期性电流电路中，不同次（包括零次）谐波电 非正弦周期性电流电路中，不同次（包括零次） 压、电流虽然构成瞬时功率，但不构成平均功率；只有同次 电流虽然构成瞬时功率，但不构成平均功率； 谐波电压、电流才构成平均功率；电路的功率等于各次谐波 谐波电压、电流才构成平均功率； 功率（包括直流分量，其功率为U0I0）的和。 功率（包括直流分量，其功率为U 的和。 在这里所指的平均功率只适用于同频率的非正弦电压和 电流， 电流，电路消耗的平均功率为
=1
∞
+ bk sin k ωt ) +ψ ) k
f(t ) = A0 +
∑ Ak sin(k ωt k
=1
∞
其中
2 2 Ak = ak + bk2 ak ψk = arc tan bk
A0 =
a0
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5.1 非正弦周期量的分解
一个周期函数可分解为直流分量、基波及各次谐波之和。 一个周期函数可分解为直流分量、基波及各次谐波之和。 若要确定各分量，则需计算确定各分量的振幅A 和初相位。 若要确定各分量，则需计算确定各分量的振幅Ak和初相位。 由式(5.1.2) (5.1.2)、 (5.1.4)可知 确定周期函数f 可知， )的各 由式(5.1.2)、式(5.1.4)可知，确定周期函数f ( t )的各 分量，实质上是计算傅里叶系数a bk的值 的值。 分量，实质上是计算傅里叶系数a0，ak，bk的值。 将周期函数f )分解为直流分量 分解为直流分量、 将周期函数f ( t )分解为直流分量、基波和一系列不同 频率的各次谐波分量之和，称为谐波分析。 频率的各次谐波分量之和，称为谐波分析。它可以利用公式 (5.1.1)～(5.1.4)进行分析 进行分析， (5.1.1)～(5.1.4)进行分析，但工程上更多的是利用查表法 进行分析。 5.1.1列出了电工技术中常遇到的几种周期函数 进行分析。表5.1.1列出了电工技术中常遇到的几种周期函数 的博里叶级数展开式。 的博里叶级数展开式。
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wenku.baidu.com 5.1 非正弦周期量的分解
为了直观地表示一个周期函数分解为各次谐波后， 为了直观地表示一个周期函数分解为各次谐波后，其中 包含哪些频率分量及各分量占有多大比重，可画出如图 包含哪些频率分量及各分量占有多大比重，可画出如图5.1.4 所示频谱图，用横坐标表示各谐波的频率， 所示频谱图，用横坐标表示各谐波的频率，用纵坐标方向的 线段长度表示各次谐波振幅的大小。 线段长度表示各次谐波振幅的大小。这种频谱只表示各谐波 振幅，所以称为振幅频谱。 振幅，所以称为振幅频谱。 工程中常见的非正弦波具有某种对称性， 工程中常见的非正弦波具有某种对称性，波的对称性与 傅里叶系数有密切关系。对某非正弦波进行傅里叶分解时， 傅里叶系数有密切关系。对某非正弦波进行傅里叶分解时， 可先根据波的对称性，直观地判断出某些谐波分量存在与否， 可先根据波的对称性，直观地判断出某些谐波分量存在与否， 从而可简化傅里叶级数分解计算。 从而可简化傅里叶级数分解计算。
第5章
非正弦交流电路
5.1 非正弦周期量的分解 5.2 非正弦周期量的有效值 5.3 非正弦周期电流电路中的平均功率
5.1 非正弦周期量的分解
5.1.1非正弦周期量的产生 5.1.1非正弦周期量的产生
在电工技术中，除了正弦激励和响应外，还会遇到非正 在电工技术中，除了正弦激励和响应外， 弦激励和响应；且当电路中有几个不同频率的正弦激励时， 弦激励和响应；且当电路中有几个不同频率的正弦激励时， 响应一般也是非正弦的；电力工程中应用的正弦激励只是近 响应一般也是非正弦的； 似的，因为发电机产生的电压虽力求按正弦规律变动，但由 似的，因为发电机产生的电压虽力求按正弦规律变动， 于制造等方面的原因，其电压波形是周期变化的，但与正弦 于制造等方面的原因，其电压波形是周期变化的， 波形或多或少会有差别。由于发电机和变压器等主要设备中 波形或多或少会有差别。 都存在非正弦周期电流或电压，分析电力系统的工作状态时， 都存在非正弦周期电流或电压，分析电力系统的工作状态时， 有时也需考虑这些周期电流、电压因其波形与正弦波的差异 有时也需考虑这些周期电流、 而带来的影响。 而带来的影响。