四边形及特殊四边形综合题型非常实用超经典教程文件
精华：特殊平行四边形知识归纳和题型精讲 verygood
四边形相关知识归纳和常见题型精讲性质和判定总表 矩形菱形正方形的矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)矩形性质1: 矩形的四个角都是直角．矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分．如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，由性质2有AO=BO=CO=DO=21AC=21BD ．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．矩形的判定方法．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形． 矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形判定方法4： (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形．例1已知：如图 ，矩形 ABCD ，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长．例2 已知：如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AE=BC ． 求证：CE ＝EF ．例3．如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF =EC ，DE =4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长．例4、中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC F ．(1)求证：AB=CF ；(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时，四边形ABFC 是矩形，并说明理由．FE DC B A菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形的性质性质1 菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．例1 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ． 求证：∠AFD=∠CBE ．例2已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ． 求证：四边形AFCE 是菱形．例3、如图，在ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形.例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。
四边形综合(解析版)--中考数学抢分秘籍(全国通用)
四边形综合--中考数学抢分秘籍（全国通用）概率预测☆☆☆题型预测解答题☆☆☆①三角形全等的判定考向预测②特殊四边形的判定四边形综合题是全国中考常考题型。
好多学生因特殊四边形的定理弄混淆而失分。
1．从考点频率看，三角形的综合和四边形的综合会二选一，四边形综合题以考查特殊四边形性质和判定为主，除了考查四边形的性质和判定外，还会结合三角形的全等进行考查。
2．从题型角度看，以解答题为主，分值8-12分左右！平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质图形边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等对角线互相垂直平分，每一条菱形对边平行，四边相等对角相等对角线平分一组对角对角线互相垂直平分、相等，正方形对边平行，四边相等四个角都是直角每一条对角线平分一组对角平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定图形判定平行四边形1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
5：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
矩形1：有三个角是直角的四边形是矩形2：有一个角是直角的平行四边形是矩形3：对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形1：四边都相等的四边形是菱形。
2：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形1：有一组邻边相等的矩形是正方形2：有一个角是直角的菱形是正方形3：对角线互相垂直的矩形是正方形4：对角线相等的菱形是正方形典例1．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，且BE ＝DF ．求证：(1)△ABE ≌△CDF ；(2)四边形AECF 是平行四边形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB CD ∥，AB CD =，根据平行线的性质可得ABE CDF ∠=∠，结合已知条件根据SAS 即可证明ABE CDF △≌△；（2）根据ABE CDF △≌△可得,AE CF AEB CFD =∠=∠，根据邻补角的意义可得AEF CFE ∠=∠，可得AE CF ∥，根据一组对边平行且相等即可得出．【详解】（1）证明：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，AB CD =，∴ABE CDF ∠=∠，又BE DF =，∴ABE CDF △≌△（SAS ）；（2）证明：∵ABE CDF △≌△，∴,AE CF AEB CFD=∠=∠AEF CFE∴∠=∠∴AE CF ∥，∴四边形AECF 是平行四边形【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．典例2．如图，在▱ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，EF 过点O 且分别交AB 、DC 于点E 、F ，连接DE 、BF ．求证：(1)△DOF ≌△BOE ；(2)DE =BF ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形ABCD 的性质，利用ASA 即可证明△DOF ≌△BOE ；（2）证明四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，O 是BD 的中点，∴AB ∥DC ，OB =OD ，∴∠OBE =∠ODF ．在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB OD BOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOE ≌△DOF （ASA ）；（2）证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴EO =FO ，∵OB =OD ，∴四边形BEDF 是平行四边形．∴DE =BF ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解决问的关键．典例3．如图，▱ABCD 中，E 为BC 边的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，延长EC 至点G ，使CG =CE ，连接DG 、DE 、FG ．(1)求证：△ABE ≌△FCE ；(2)若AD =2AB ，求证：四边形DEFG 是矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由平行四边形的性质推出∠EAB =∠CFE ，利用AAS 即可判定△ABE ≌△FCE ；（2）先证明四边形DEFG 是平行四边形，【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，再证明DF =EG ，即可证明四边形DEFG 是矩形．∴AB CD ，∴∠EAB =∠CFE ，又∵E 为BC 的中点，∴EC =EB ，∴在△ABE 和△FCE 中，EAB CFE BEA CEF EC EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△FCE (AAS)；（2）证明：∵△ABE ≌△FCE ，∴AB =CF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =DC ，∴DC =CF ，又∵CE =CG ，∴四边形DEFG 是平行四边形，∵E 为BC 的中点，CE =CG ，∴BC =EG ，又∵AD =BC =EG =2AB ，DF =CD +CF =2CD =2AB ，∴DF =EG ，∴平行四边形DEFG 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE ≌△FCE 是解题的关键．典例4．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P 处，折痕为EF ．(1)求证：PDE CDF △≌△；(2)若4cm,5cm CD EF ==，求BC 的长．【答案】(1)证明见解析(2)163cm【分析】（1）利用ASA 证明即可；（2）过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，求出FG 的长，设AE =xcm ，用x 表示出DE 的长，在Rt △PED 中，由勾股定理求得答案．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠B =∠ADC =∠C =90°，由折叠知，AB =PD ，∠A =∠P ，∠B =∠PDF =90°，∴PD =CD ，∠P =∠C ，∠PDF =∠ADC ，∴∠PDF -∠EDF =∠ADC -∠EDF ,∴∠PDE =∠CDF ，在△PDE 和△CDF 中，P C PD CD PDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴PDE CDF △≌△（ASA ）；（2）如图，过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形,∴AB =CD =EG =4cm ，又∵EF =5cm ，∴223GF EF EG =-=cm,设AE =x cm ，∴EP =x cm ，由PDE CDF △≌△知，EP =CF =x cm ，∴DE =GC =GF +FC =3+x ，在Rt △PED 中，222PE PD DE +=,即()22243x x +=+，解得，76x =，∴BC =BG +GC =77163663++=(cm ）．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．典例5．如图，四边形ABCD 是菱形，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ．(1)求证：△ABE ≌△ADF ；(2)若AE =4，CF =2，求菱形的边长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）利用AAS 即可证明△ABE ≌△ADF ；（2）设菱形的边长为x ，利用全等三角形的性质得到BE =DF =x −2，在Rt △ABE 中，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD （菱形的四条边相等），∠B =∠D （菱形的对角相等），∵AE ⊥BC AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD =90°（垂直的定义），在△ABE 和△ADF 中，AEB AFD B D AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADF (AAS)；（2）解：设菱形的边长为x ，∴AB =CD =x ，CF =2，∴DF =x −2，∵△ABE ≌△ADF ，∴BE =DF =x −2（全等三角形的对应边相等），在Rt △ABE 中，∠AEB =90°，∴AE 2+BE 2=AB 2（勾股定理），∴42+(x −2)2=x 2，解得x =5，∴菱形的边长是5．【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．典例6．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC <．点D 是AC 的中点，过点D 作DE AC ⊥交BC 于点E .延长ED 至点F ，使得DF DE =，连接AE 、AF 、CF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若14BE EC =，则tan BCF ∠的值为_______．【答案】(1)见解析(2)15【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；（2）设BE a =，则4EC a =，根据菱形的性质可得4AE EC a ==，AE FC ∥，勾股定理求得AB ，根据BCF BEA ∠=∠，tan BCF ∠=tan AB BEA BE∠=，即可求解．【详解】（1）证明： AD DC =，DE DF =，∴四边形AECF 是平行四边形，∵DE AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形；（2）解： 14BE EC =，设BE a =，则4EC a =，四边形AECF 是菱形；4AE EC a ∴==，AE FC ∥，∴BCF BEA ∠=∠，在Rt ABE △中，()2222415AB AE BE a a a =-=-=，∴tan BCF ∠=15tan 15AB a BEA BE a∠===，故答案为：15．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键．典例7．如图，已知四边形ABCD 是正方形，G 为线段AD 上任意一点，CE BG ⊥于点E ，DF CE ⊥于点F ．求证：DF BE EF =+．【答案】证明见解析【分析】先根据正方形的性质可得,90BC CD BCD =∠=︒，从而可得90BCE DCF ∠+∠=︒，再根据垂直的定义可得90BEC CFD ∠=∠=︒，从而可得CBE DCF ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理证出BCE CDF ≅ ，根据全等三角形的性质可得,BE CF CE DF ==，最后根据线段的和差、等量代换即可得证．【详解】证明： 四边形ABCD 是正方形，,90BC CD BCD ∴=∠=︒，90BCE DCF ∴∠+∠=︒，,CE BG DF CE ⊥⊥ ，90BEC CFD ∴∠=∠=︒，90BCE CBE ∴∠+∠=︒，CBE DCF ∴∠=∠，在BCE 和CDF 中，90BEC CFD CBE DCF BC CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE CDF AAS ∴≅ ，,BE CF CE DF ∴==，CE CF EF BE EF ∴=+=+，DF BE EF ∴=+．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．典例8．四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH 称为中点四边形．（1）我们知道：无论四边形ABCD 怎样变化，它的中点四边形EFGH 都是平行四边形．特殊的：①当对角线AC BD =时，四边形ABCD 的中点四边形为__________形；②当对角线AC BD ⊥时，四边形ABCD 的中点四边形是__________形．（2）如图：四边形ABCD 中，已知60B C ∠=∠=︒，且BC AB CD =+，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD 的中点四边形EFGH 的形状并进行证明．【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析【分析】（1）①连接AC 、BD ，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH 都是平行四边形，根据邻边相等中考四边形综合题常考的是平行四边形、矩形、菱形和正方形。
专题24 特殊四边形(归纳与讲解)(原卷版)
专题24 特殊四边形【专题目录】技巧1：利用矩形的性质巧解折叠问题技巧2：利用特殊四边形的性质巧解动点问题【题型】一、矩形的性质【考点总结】二、正方形1、菱形具有平行四边形的所有性质；2、菱形的四条边都相等；几何描述：∵四边形ABCD是菱形∵AB=BC=CD=AD3、菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。
几何描述：∵四边形ABCD是菱形∵AC∵BD,AC平分∵BAD, CA平分∵BCD，BD平分∵CBA，DB平分∵ADC3、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。
【技巧归纳】技巧1：利用矩形的性质巧解折叠问题 【类型】一、利用矩形的性质巧求折叠中的角1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：(1)以点A 所在直线为折痕，折叠纸片，使点B 落在边AD 上，折痕与BC 交于点E ； (2)将纸片展平后，再一次折叠纸片，以点E 所在直线为折痕，使点A 落在BC 上，折痕EF 交AD 于F ，求∠AFE 的度数．【类型】二、利用矩形的性质巧求折叠中线段的长2．图①为长方形纸片ABCD ，AD ＝26，AB ＝22，直线L ，M 皆为长方形的对称轴．今将长方形纸片沿着L 对折后，再沿着M 对折，并将对折后的纸片左上角剪下直角三角形，形成一个五边形EFGHI ，如图②，最后将图②的五边形展开后形成一个八边形，如图③，且八边形的每一边长恰好均相等．(1)若图②中的HI 长度为x ，请用x 分别表示剪下的直角三角形的勾长和股长． (2)请求出图③中八边形的一边长的数值，并写出完整的解题过程． 【类型】三、利用矩形的性质巧证折叠中线段的关系3．如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于F ，连接AE.求证：(1)BF ＝DF ；(2)AE ∥BD.【类型】四、利用矩形的性质巧求折叠中线段的比4．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为31，求MN DN的值．技巧2：利用特殊四边形的性质巧解动点问题 【类型】一、平行四边形中的动点问题1．如图，在▱ABCD 中，E ，F 两点在对角线BD 上运动(E ，F 不重合)，且保持BE ＝DF ，连接AE ，CF.请你猜想AE 与CF 有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由．【类型】二、菱形中的动点问题2．如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，动点E 在边BC 上，动点F 在边CD 上．(1)如图①，若E 是BC 的中点，∠AEF ＝60°，求证：BE ＝DF ； (2)如图②，若∠EAF ＝60°，求证：△AEF 是等边三角形．【类型】三、矩形中的动点问题3．在矩形ABCD 中，AB ＝4 cm ，BC ＝8 cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD ，BC 于点E ，F ，垂足为O.(1)如图①，连接AF ，CE.试说明四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长．(2)如图②，动点P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周，即点P 自A→F→B→A 停止，点Q 自C→D→E→C 停止．在运动过程中，已知点P 的速度为5 cm /s ，点Q 的速度为4 cm /s ，运动时间为t s ，当以A ，C ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【类型】四、正方形中的动点问题4．如图，正方形ABCD 的边长为8 cm ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的动点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH.(1)求证：四边形EFGH 是正方形；(2)判断直线EG 是否经过一个定点，并说明理由．【题型讲解】【题型】一、矩形的性质例1、如图，矩形ABCD 中，AB 3=，BC 4=，EB//DF 且BE 与DF 之间的距离为3，则AE 的长是( )AB ．38C ．78D ．58【题型】二、证明四边形是矩形例2、如图，在∵ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别是线段BC 、AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：∵BDE∵∵F AE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．例交A例A【题型】五、证明四边形是正方形例5、已知：如图，四边形ABCD中，AD∵BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∵CBE：∵BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．【题型】六、探索菱形的性质例121824A例28A例8、如图，在Rt∵ABC中，∵ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F 为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2B．2.5C．3D．4特殊四边形（达标训练）一、单选题1．如图，四边形ABCD为菱形，O为对角线AC的中点，OA=30∠=︒，则菱形的周长为BAC（A2，A3A4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF．若CD=AF的长为（）A ．3BCD 5．如图，在ABCD 中，AD AB >，按以下步骤作图：（1）以点A 为圆心，AB 的长为半径作弧，交AD 于点E ；（2）分别以点B 、E 为圆心，大于12BE 的长为半径作弧，两弧在∵BAD 的内部交于点G ，连接AG并延长交BC 于点F ．若AB ＝5，BE ＝6，则AF 的长是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10二、填空题6．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点．且BE CF =，连接BF 、DE ，则BF DE +的最小值为______．7．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，=6AC ，=4BC ．点F 为射线CB 上一动点，过点C 作CM AF ⊥于M ，交AB 于E ，D 是AB 的中点，则DM 长度的最小值是______三、解答题8．如图所示，BEF 的顶点E 在矩形ABCD 对角线AC 的延长线上，1BC AB AE ==，与FB 交于点G ，连接AF ，满足ABF ∵CEB ，其中A 对应C B ，对应E F ，对应B(1)(2)1AC2，则A3A．12AE BC⋅B．12AF CD⋅C．AC BD⋅D．BC DG⋅4．菱形两条对角线的长分别为2和4，则该菱形的边长为（）AB C．D．55．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在F处，BF交AD于点E．若62BDC∠=°，则DBF∠的度数为（）A．31︒B．28︒C．62︒D．56︒二、填空题6．如图，将一张正方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∵BAC的内部，若∵CAD'=33°，则∵CAE的度数为_____7．如图，在菱形ABCD中，已知BD＝8，AC＝6，则菱形ABCD的边长为______．三、解答题8．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE DF=，连接AE和BF相交于点M．求证：AE BF=．∠，EF//AB．求证：9．已知：如图，在□ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分ABC四边形ABFE是菱形．。
经典：特殊四边形专题复习
c
b
b
b aa
b
c
c
c
c
c
37
专题二 折叠问题
1)将菱形ABCD按图折叠，使A与B重合，折痕为 MN， ∠A与∠1之间数量关系∠为1（＝2∠A ）。
D
C
M1
AN
B
38
2）已知：以三角形ABC的三边为边，在BC的同一侧分别作 三个等边三角形，即ΔABD、 ΔBCE、 ΔACF
（1）四边形ADEF是什么四边形？说明理由。
∵ＡＣ⊥ＢＤ ∴∠１＝９０°
D
∵ＧＨ是⊿ＡＣＤ的中位线
∴ＧＨ∥ＡＣ
２
（三角形的中位线平行于第三边 且等于第三边的一半）
Ｈ
３
∴∠２＝∠１＝９０°
Ｇ ４
１
O
C
５Ｆ
∵ＥＨ是⊿ＡＢＤ的中位线 ∴ＥＨ∥ＢＤ
（三角形的中位线平行于第三边） A
Ｅ
B
∴∠３＝∠２＝９０°， 同理可得：∠４＝９０°， ∠５＝９０°
∴四边形ＥＦＧＨ是矩形．（三个角是直角的四边形是矩形） 23
对角线上两点，且AE＝CF．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
A
D
EF
B
C
21
［例题］一张四边形纸板ＡＢＣＤ形状如图，
（１）若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并且使它的四个
顶点分别落在四边形ＡＢＣＤ的四条边上，可怎样剪？
解：分别取ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ， ＤＡ的中点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，可
剪得中点四边形ＥＦＧＨ为平行 D
7
5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分
别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一
个条件，使四边形EFGH为 正方形 ，并说
微专题11 特殊四边形的综合应用++++课件+2025年中考数学总复习人教版(山东)
∠ = ∠ ,
=
∴△BCG≌△DCE(SAS),
∴BG=DE,
延长BG交DE于点H,如图,
16
∵△BCG≌△DCE,
∴∠CBG=∠CDE,
又∵∠CBG+∠BGC=90°,
∴∠CDE+∠DGH=90°,
∴∠DHG=90°,
∴BH⊥DE,
即BG⊥DE.
答案:BG=DE
②经探究发现S是关于t的函数,请写出S关于t的关系式;
(2)若存在两个时刻t1,t2(t1<t2)对应的Rt△ADM的面积S相等.请直接写出“t1+t2”的值.
29
【解析】(1)①当t=3时,BP=3,CP=4-3=1,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠C=90°,AD=CD=4,
∵AP⊥PM,
19
∴DG=DO-OG= - ;
当正方形CEFG绕点C旋转到如图位置时,连接BD,
由(1)(2)可知,BG=DE,BG⊥DE,
∴BG⊥DG,∴∠BGD=90°,
∵AB=5,CE=2,
∴BD= + =5 ,EG= + =2 ,
设BG=DE=x,则DG=x+2 ,
在Rt△BGD中,BG2+DG2=BD2,
BG⊥DE
17
(2)(1)中得到的结论仍然成立,在题图2中证明如下:
∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形,
∴BC=CD,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,
∴∠BCG=∠DCE,
∴△BCG≌△DCE(SAS),
∴BG=DE,∠CBG=∠CDE,
又∵∠BHC=∠DHO,∠CBG+∠BHC=90°,
(完整版)四边形题型归纳,推荐文档
AB=cm,AD=24，BC=26，∠
的速度运动，动点3的速度向点
发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，）=
）当为何值时，四边形
，是否存在值使△CDQ为等要三角形，若存在请直接写出的值
36;
，，，则点就是四边形的准内点．
与的角平分线相交于点．
求证：点是四边形的准内点．
③若是任意凸四边形的准内点，则
AF，
4
）=6
t=
CE=BC-AD=2．3一（一）∴=7
(4) =2,,
t,
＝BD∥BD
＝BD∥BD
，过点作，∵平分，∴
．
∴是四边形的准内点．
平行四边形对角线的交点就是准内点，如图
或者取平行四边形两对边中点连线的交点就是准内点，如图
梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点就是准内点．如图△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则：。
2023年中考数学特殊四边形问题精讲
中考特殊四边形问题【考纲解读】1．了解：多边形的概念，平行四边形的相关概念，多边形的内角和与外角和定理；矩形、菱形、正方形的概念及其之间的相互关系.2．理解：多边形的内角和定理，平行四边形的性质与判定；矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定定理.3．会：求一个多边形的内角和；用判定定理方法证明一个四边形是平行四边形（特殊的平行四边形）；会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明.4．掌握：多边形的外角和定理，平行四边形的性质定理与判定定理；矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定定理.5．能：用多边形的外角和定理来解决相关问题；能运用平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的性质解决相关线段或角的问题；熟练运用特殊四边形的判定及性质定理对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明；能综合运用特殊四边形的性质和判定定理解决问题，发现决定中点四边形形状的因素.【命题形式】1．从考查的题型来看，主要以选择题或解答题的形式进行考查，属于中、高档题，难度比较大，综合性比较强.2．从考查的内容来看，重点涉及的有：多边形的内外角和定理，平行四边形的性质与判定定理，多边形与平行四边形的应用；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的性质与判定定理及其综合应用.3．从考查的热点来看，主要涉及的有：多边形的内外角和定理，平行四边形的性质与判定定理，多边形与平行四边形的实际综合应用；平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定定理；特殊四边形的图形平移、轴对称、旋转与生产实际相结合的综合问题一、十字架模型：例1．正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．（1）如图1，求证AE⊥BF；（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN BN；【答案】（1）见解析；（2）见解析；【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得AB =BC ，90ABC BCD ∠=∠=︒，用SAS 证明ABE BCF △△≌，得BAE CBF ∠=∠，根据三角形内角和定理和等量代换即可得；（2）过点B 作BH BN ⊥，交AN 于点H ，根据正方形的性质和平行线的性质，用SAS 证明AGB AGM ≌，得BAG MAG ∠=∠，根据角平分线性质得45BHA GAN ∠=∠=︒，则HBN 是等腰直角三角形，用SAS 证明ABH CBN ≌，得AH =CN ，在Rt HBN 中，根据勾股定理即可得；【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC ，90ABC BCD ∠=∠=︒，在ABE △和BCF △中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE BCF △△≌（SAS ），∴BAE CBF ∠=∠，∵1801809090AEB BAE ABC ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴90AEB CBF ∠+∠=︒，∴180()1809090EGB AEB CBF ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，∴AE BF ⊥；（2）如图所示，过点B 作BH BN ⊥，交AN 于点H，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AC ，90ABC HBN ∠=∠=︒，∵90HBN HBA ABN ∠=∠+∠=︒，90ABC CBN ABN ∠=∠+∠=︒，∴HBA CBN ∠=∠，由（1）得，AE BF ⊥，∴90AGB AGM ∠=∠=︒，∴90HBG AGM ∠=∠=︒,∴//HB AE ，∴BHA EAN ∠=∠，在AGB 和AGM 中，AG AG AGB AGM GB GM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AGB AGM ≌（SAS ），∴BAG MAG ∠=∠，∵AN 平分DAM ∠，∴DAN MAN ∠=∠，∴90BAG MAG MAN DAN ∠+∠+∠+∠=︒，2290MAG MAN ∠+∠=︒，45MAG MAN ∠+∠=︒，45GAN ∠=︒，∴45BHA GAN ∠=∠=︒，∴180180904545BNH HBN BHA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴HBN 是等腰直角三角形，∴BH =BN ，在ABH 和CBN 中，BH BN HBA CBN AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABH CBN ≌（SAS ），∴AH =CN ，在Rt HBN中，根据勾股定理HN ==，∴AN CN AN AH HN +=+=；【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．例2．已知四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，且AB CE >．（1）如图1，连接BG 、DE ，求证：BG DE =；（2）如图2，将正方形CEFG 绕着点C 旋转到某一位置，恰好使得//CG BD ，BG BD =.①求BDE ∠的度数；②若正方形ABCDCEFG 的边长的值．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BDE =60°；（3【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可以得出BC =DC ，CG =CE ，∠BCD =∠GCE =90°，再证明△BCG ≌△DCE 就可以得出结论；（2）①根据平行线的性质可以得出∠DCG =∠BDC =45°，可以得出∠BCG =∠BCE ，可以得出△BCG ≌△BCE ，得出BG =BE 得出△BDE 为正三角形就可以得出结论；②延长EC 交BD 于点H ，通过证明△BCE ≌△BCG 就可以得出∠BEC =∠DEC ，就可以得出EH ⊥BD ，BH =12BD ，由勾股定理就可以求出EH 的值，从而求出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 和CEFG 为正方形，∴BC =DC ，CG =CE ，∠BCD =∠GCE =90°.∴∠BCD +∠DCG =∠GCE +∠DCG ，∴∠BCG =∠DCE .在△BCG 和△DCE 中，BC DC BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCG ≌△DCE (SAS ).∴BG =DE ；（2）①连接BE .由（1）可知：BG =DE .∵CG //BD ，∴∠DCG =∠BDC =45°.∴∠BCG =∠BCD +∠GCD =90°+45°=135°.∵∠GCE =90°，∴∠BCE =360°−∠BCG −∠GCE =360°−135°−90°=135°.∴∠BCG =∠BCE .∵BC =BC ，CG =CE ，在△BCG 和△BCE 中，BC BC BCG BCE GC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCG ≌△BCE (SAS ).∴BG =BE .∵BG =BD =DE ，∴BD =BE =DE .∴△BDE 为等边三角形．∴∠BDE=60°.②延长EC 交BD 于点H ，在△BCE 和△DCE 中，DE BE DC BC CE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△BCG (SSS )，∴∠BEC =∠DEC ，∴EH ⊥BD ，BH =12BD .∵BC =CD Rt △BCD 中由勾股定理，得∴BD 2.∴BE =2∴BH =1.∴CH =1.在Rt △BHE 中，由勾股定理，得EH==∴CE∴正方形CEFG【点睛】此题考查四边形综合题，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，勾股定理，正方形的性质，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理.二、对角互补模型：例3．已知：90,ABC ADC AD DC ∠=∠=︒=，求证：BC AB +．【答案】见解析【解析】【分析】过点D 作BA 的垂线交BA 的延长线于点E ，过点D 作BC 的垂线交BC 于点F ，根据AAS 证明DEA DFC ≌△△得,EA FC ED FD ==，再证明四边形EBFD 是正方形，由勾股定理进一步得出结论．【详解】证明：过点D 作BA 的垂线交BA 的延长线于点E ，过点D 作BC 的垂线交BC 于点F ，如图．易知360DAB ABC BCD ADC ∠+∠+∠+∠=︒．∵90ABC ADC ∠=∠=︒，∴180DAB BCD ∠+∠=︒．又180DAB DAE ∠+∠=︒，∴DAE BCD ∠=∠．∵,DE AB DF BC ⊥⊥，∴90DEB DFC ∠=∠=︒．又AD CD =，∴()DEA DFC AAS ≌，∴,EA FC ED FD==又,DE AB DF BC ⊥⊥，90ABC ∠=︒，∴四边形EBFD 是正方形，∴222,ED BF FD EB EB ED BD ===+=，∴222EB BD =，∴EB BD =，∴EB BF +=．∵,EB BA EA BF BC CF =+=-，∴BA EA BC CF ++-=．∵EA FC =，∴BA BC +=．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理等知识，由勾股定理得出2EB BD =是解答本题的关键．例4．把两个完全相同的正2n 边形拼一起，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形的中心O 处，如图所见和如图所见分别为2n =和3n =的情形，（1）求如图所见中重叠部分与阴影部分的面积比；（2）求如图所见中重叠部分与阴影部分的面积比；（3）请直接写出正2n 边形重叠部分与阴影部分的面积比.【答案】（1）1:3；(2)1:2；（3）11n n -+【解析】【分析】利用正多边形性质，如图所见中重叠部分面积转化为AOB ∆，如图所见中重叠部分面积转化为四边形ABCO ，由此归纳正2n 边形重叠部分与阴影部分的面积比为正2n 边形内角与360︒减去内角的差的比.【详解】（1）连结AO ，BOO 为正方形ABCD 的中心，90AOB ∠=︒∴，45ABO CBO BAO ∠=∠=∠=︒AO BO ∴=90MON ∠=︒，AOM BON∴∠=∠AOM BON ∴∆≅，AOB MONB S S ∆∴=四边形，又14AOB ABCD S S ∆=正方形∴重叠部分面积和阴影部分面积比为1:3（2）连结OA ，OB ，OCO 为正六边形ABCDEF 的中心OA OB OC ∴==60AOB BOC ∠=∠=︒又120MON ∠=︒60AOM BOM ∴∠+∠=︒60BOM NOC ∠+∠=︒AOM CON ∴∆≅∆∴重叠部分面积为2AOBS ∆∴重叠部分与阴影部分的面积比为1:2（3）由（1）、（2）可得，正2n 边形重叠部分与阴影部分的面积比为11n n -+.【点睛】面积割补法经常将不规则图形转化为规则图形，让问题得解，本问题体现从特殊到一般规律的探寻，注意第三问对一般结论的探求.正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形．本题的解决思路是需要掌握的内容．三、与正方形有关的三垂线例5．四边形ABCD 为正方形，点E 为线段AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥DE ，交射线BC 于点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．（1）如图，求证：矩形DEFG 是正方形；（2）若AB ＝4，CE ＝CG 的长度；（3）当线段DE 与正方形ABCD 的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC 的度数．【答案】（1）见解析；（2）（3）∠EFC ＝130°【解析】【分析】（1）作EP ⊥CD 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，证明Rt △EQF ≌Rt △EPD ，得到EF ＝ED ，根据正方形的判定定理证明即可；（2）通过计算发现E 是AC 中点，点F 与C 重合，△CDG 是等腰直角三角形，由此即可解决问题；（3）分两种情形：①如图3，当DE 与AD 的夹角为40°时，求得∠DEC ＝45°＋40°＝85°，得到∠CEF ＝5°，根据角的和差得到∠EFC ＝130°，②如图4，当DE 与DC 的夹角为40°时，根据三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】（1）证明：如图1，作EP ⊥CD 于P ，EQ ⊥BC 于Q，∵∠DCA ＝∠BCA ，∴EQ ＝EP ，∵∠QEF ＋∠FEC ＝45°，∠PED ＋∠FEC ＝45°，∴∠QEF ＝∠PED ，在△EQF 和△EPD 中，QEF PED EQ EP EOF EPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EQF ≌△EPD （ASA ），∴EF ＝ED ，∴矩形DEFG 是正方形；（2）如图2中，在Rt △ABC 中，AC＝∵CE ＝∴AE ＝CE ，∴点F 与C 重合，此时△DCG 是等腰直角三角形，∴四边形DECG是正方形，∴CG＝CE＝（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，∠DEC＝45°＋40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°，②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EFC＝∠EDC＝40°，综上所述，∠EFC＝130°或40°．【点睛】此题考查了正方形的判定以及性质，涉及了全等三角形的证明、等腰直角三角形等性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．例6．探究证明：（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM；（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：EF BC AM AB；（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求DNAM的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4 5．【解析】【分析】（1）由矩形的性质结合等角的余角相等，可证明∠NBC=∠MAB，进而证明△BCN∽△ABM，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可；（2）过点B作BG∥EF交CD于G，由两组对边分别平行判定四边形BEFG是平行四边形，再根据平行四边形的性质，可证明△GBC∽△MAB，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可；（3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，可得四边形ABSR是平行四边形，再由含有一个90°角的平行四边形是矩形，证明四边形ABSR是矩形，进而得到∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．，结合（2）中结论可证明△ACD≌△ACB，由全等三角形对应角相等得到∠ADC=∠ABC，再由等角的余角相等，证明△RAD∽△SDC，根据相似三角形对应边成比例，设SC=x，解得DR、DS 的长，再结合勾股定理解题即可．【详解】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C=90°∴∠NBA+∠NBC=90°．∵AM⊥BN，∴∠MAB+∠NBA=90°，∴∠NBC=∠MAB，∴△BCN∽△ABM，∴BNAM=BCAB（2）结论：EFAM=BCAB理由：如图2中，过点B作BG//EF交CD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴四边形BEFG是平行四边形，∴BG=EF．∵EF⊥AM，∴BG⊥AM，∴∠GBA+∠MAB=90°．∵∠ABC=∠C=90°，∴∠GBC+∠GBA=90°，∴∠MAB=∠GBC，∴△GBC∽△MAB，∴BGAM=BCAB，∴EFAM=BCAB（3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴四边形ABSR是矩形，∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．∵AM⊥DN，∴由（2）中结论可得：DNAM=BSAB∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ACD≌△ACB，∠ADC=∠ABC=90°，∴∠SDC+∠RDA=90°．∵∠RAD+∠RDA=90°，∴∠RAD=∠SDC，∴△RAD∽△SDC，∴CD AD =SC RD，设SC=x ，∴510=x RD∴RD=2x ，DS=10-2x ，在Rt △CSD 中，∵222CD DS SC =+，∴52=（10-2x ）2+x2，∴x=3或5（舍弃），∴BS=5+x=8，∴DN AM =BS AB =810=45【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键．四、正方形与45°的基本图：例7．已知正方形ABCD 中，∠MAN ＝45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点M ，N ，AH ⊥MN 于点H ．（1）如图①，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ＝DN 时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN ＝45°，AH ⊥MN 于点H ，且MH ＝2，AH ＝6，求NH 的长．（可利用（2）得到的结论）【答案】（1）AB ＝AH ；（2）成立，证明见解析；（3）3【解析】【分析】（1）由BM ＝DN 可得Rt △ABM ≌Rt △ADN ，从而可证∠BAM ＝∠MAH ＝22.5°，Rt △ABM ≌Rt △AHM ，即可得AB ＝AH ；（2）延长CB 至E ，使BE ＝DN ，由Rt △AEB ≌Rt △AND 得AE ＝AN ，∠EAB ＝∠NAD ，从而可证△AEM ≌△ANM ，根据全等三角形对应边上的高相等即可得AB ＝AH ；（3）分别沿AM ，AN 翻折△AMH 和△ANH ，得到△ABM 和△AND ，分别延长BM 和DN 交于点C ，可证四边形ABCD 是正方形，设NH ＝x ，在Rt △MCN 中，由勾股定理列方程即可得答案．【详解】解：（1）∵正方形ABCD ，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝∠BAD ＝90°，在Rt △ABM 和Rt △ADN 中，AB AD B D BM DN ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt △ABM ≌Rt △ADN （SAS ），∴∠BAM ＝∠DAN ，AM ＝AN ，∵∠MAN ＝45°，∴∠BAM +∠DAN ＝45°，∴∠BAM ＝∠DAN ＝22.5°，∵∠MAN ＝45°，AM ＝AN ，AH ⊥MN∴∠MAH ＝∠NAH ＝22.5°，∴∠BAM ＝∠MAH ，在Rt △ABM 和Rt △AHM 中，BAM MAH B AHMAM AM ⎧∠=∠⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt △ABM ≌Rt △AHM （AAS ），∴AB ＝AH ，故答案为：AB ＝AH ；（2）AB ＝AH 成立，理由如下：延长CB 至E ，使BE ＝DN，如图：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠D ＝∠ABE ＝90°，∵BE＝DN，∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAB+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，又AM＝AM，∴△AEM≌△ANM（SAS），∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB＝AH．（3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，如图：∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴AB＝AH＝AD＝6，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，∴四边形ABCD是矩形，∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD＝6．由（2）可知，设NH＝x，则MC＝BC﹣BM＝BC﹣HM＝4，NC＝CD﹣DN＝CD﹣NH＝6﹣x，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，∴（2+x）2＝42+（6﹣x）2，解得x＝3，∴NH＝3．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质定理，全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．例8．分层探究（1）问题提出：如图1，点E、F别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF，解题思路：把△ABE绕点A逆时针旋转度至△ADG，可使AB与AD重合．由∠FDG＝ADG+∠ADC＝180°，则知F、D、G三点共线，从而可证△AFG≌（），从而得EF＝BE+DF，阅读以上内容并填空．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．探究：若∠B、∠D都不是直角，当∠B、∠D满足什么数量关系时，仍有EF＝BE+DF？（3）联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，并且∠DAE＝45°．猜想BD、CE、DE的数量关系，并给出理由．【答案】（1）90，△AFE，SAS；（2）∠B+∠D＝180°；（3）EF2＝BE2+FD2，理由见解析【解析】【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AFE进而得到EF＝FG，即可得EF＝BE+DF；（2）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF，与（1）的证法类同；（3）把△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接EE′，根据旋转的性质，可知△AFD≌△ABE′得到BE′＝FD，AE′＝AF，∠D＝∠ABE′，∠EAD＝∠E′AB，在Rt△ABD中的，AB＝AD，可求得∠E′BD＝90°，所以E′B2+BE2＝E′E2，证△AE′E≌△AE′F，利用FE＝EE′得到EF2＝BE2+FD2．【详解】解：（1）∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，∴点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFG ≌△AFE （SAS ），∴EF ＝FG ，即EF ＝BE +DF ，故答案为：90，△AFE ，SAS ；（2）当∠B +∠D ＝180°时，EF ＝BE +DF ，如图2∵AB ＝AD ，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB 与AD 重合，∴∠BAE ＝∠DAG ，∵∠BAD ＝90°，∠EAF ＝45°，∴∠BAE +∠DAF ＝45°，∴∠EAF ＝∠FAG ，∵∠ADC +∠B ＝180°，∴∠FDG ＝180°，∴点F 、D 、G 共线，在△AFE 和△AFG 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△AFG （SAS ），∴EF ＝FG ，即EF ＝BE +DF ，故答案为：∠B +∠D ＝180°；（3）猜想：EF 2＝BE 2+FD 2，证明：把△AFD 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABE ′，连接EE ′，如图3，∴△AFD ≌△ABE ′，∴BE ′＝FD ，AE ′＝AF ，∠D ＝∠ABE ′，∠EAD ＝∠E ′AB ，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°，∴∠ABD +∠ABE ′＝90°，即∠E ′BD ＝90°，∴E ′B 2+BE 2＝E ′E 2，又∵∠FAE ＝45°，∴∠BAE +∠EAD ＝45°，∴∠E ′AB +∠BAE ＝45°，即∠E ′AE ＝45°，在△AEE ′和△AEF 中，AE AE E AE FAE AE AF ⎧=⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△AEE ′≌△AEF （SAS ），∴EE ′＝FE ，∴EF 2＝BE 2+DF 2．【点睛】本题主要考查了几何变换综合，结合全等三角形的性质与判定计算是关键．。
四边形经典题型演示文稿
2、分别以△ABC的三边为边向同一侧作等边 △ABD、△BCE、△ACF，连接DE、EF.
求证：四边形AFED是平行四边形.
E
F
D
A
B
C
3、已知如图，在四边形ABCD中，E、F 分别为AB、CD的中点.
求证： EF1(ACBD)
2
A D
E F
B
C
4、求证三角形三条中线能组成一个三 角形的三边.
连接EC,BG （1）判断EC与BG的关系并证明.
E
D
G
A
F
B
C
（2）求证：△AGE的面积与△ABC的
面积相等.
E
D
G
A
F
(3)设AM是△ABC的中线
B
C
求证：EG=2AM
E
D
G
A
F
B
M
C
(4) 若延长中线MA交EG于H， 求证：AH⊥EG
(5)写出（4）的逆命题，并证明其正确性.
E
H
D
G
A
F
B
2
A MD
C
B
N
16、已知如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， E是CD的中点，EF⊥AB于F， AB=6cm,EF=5 cm 。求梯形ABCD的面积。
A F
B
D E C
17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB=DC，对角线AC与BD交于点O, ∠AOD=60°，E、F、G分别是OB、CD、
AD
E
B
F
C
13、已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC， AC⊥BD，且BD=8，求该梯形的面积.
A
四边形基础提升专练与特殊四边形有关的计算和证明作业
四边形基础提升专练与特殊四边形有关的计算和证明作业pptxx年xx月xx日•四边形的定义和基本属性•特殊四边形的性质和判定•四边形证明的常用方法•特殊四边形的计算•特殊四边形证明的常用计算方法•四边形基础提升专练•特殊四边形证明专练•正方形证明专练目录01四边形的定义和基本属性定义1四边形是指由四条直线段连接的封闭图形。
定义2四边形可以分成两个三角形，通过三角形边角关系进行计算和证明。
四边形的定义四边形的分类梯形平行四边形Array有两组对边平行，但不相等的四边两组对边分别平行的四边形。
形。
矩形正方形对角线相等且互相平分的四边形。
四边相等且四个角都是直角的四边形。
四边形的边角关系四个角都是直角的四边形是矩形。
对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
对角线互相垂直的四边形是菱形。
02特殊四边形的性质和判定总结词平行四边形是一种特殊的四边形，具有两组对边分别平行的特性详细描述平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等且互补平行四边形的性质和判定矩形是一种特殊的平行四边形，具有相等的对角和相对的两个角总结词矩形的四个角都是直角，对角线相等，相邻两边互相垂直详细描述矩形的性质和判定总结词菱形是一种特殊的平行四边形，具有相等的两条对角线详细描述菱形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分菱形的性质和判定总结词正方形是一种特殊的矩形和菱形，具有全部相同的特性详细描述正方形不仅具有菱形和矩形的全部性质，还具有相邻边互相垂直的特性正方形的性质和判定03四边形证明的常用方法平行四边形证明方法定义法根据平行四边形的定义，如果四边形两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定定理，可以证明一个四边形是平行四边形。
一个角是直角的平行四边形是矩形根据矩形的定义，一个角是直角的平行四边形是矩形。
回归教材重难点03 四边形与特殊四边形(解析版)
回归教材重难点03 四边形与特殊四边形本考点是中考五星高频考点，难度中等及中等偏上，在全国各地市的中考试卷中都有考查。
（2022年天津市中考数学试卷第17题）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于 ．【分析】如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于M，连接FB，先证明FH是△CDE的中位线，得FH＝1，再证明△AEG≌△FHG（AAS），得AG＝FG，在Rt△CBM 中计算BM和CM的长，再证明BF是中位线，可得BF的长，由勾股定理可得AF的长，从而得结论．【解答】解：如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于M，连接FB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∴FH∥AB，∴∠FHG＝∠AEG，∵F是CE的中点，FH∥CD，∴H是DE的中点，∴FH是△CDE的中位线，∴FH＝CD＝1，∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝1，∴AE＝FH，∵∠AGE＝∠FGH，∴△AEG≌△FHG（AAS），∴AG＝FG，∵AD∥BC，∴∠CBM＝∠DAB＝60°，Rt△CBM中，∠BCM＝30°，∴BM＝BC＝1，CM＝＝，∴BE＝BM，∵F是CE的中点，∴FB是△CEM的中位线，∴BF＝CM＝，FB∥CM，∴∠EBF＝∠M＝90°，Rt△AFB中，由勾股定理得：AF＝＝＝，∴GF＝AF＝．故答案为：．【点评】此题考查的是菱形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．四边形在初中数学教材中分《平行四边形》与《特殊平行四边形》两大部分，因为其考点多，性质及判定各有特点的同时又兼具相似点，解题中大部分还需要转化思想、归纳思想、分类讨论思想等，所以考察难度通常较大，题目也比较综合，在中考中常以压轴题形式出现本考点是中考五星高频考点，难度较大，个别还会以压轴题出现，在全国各地市的中考试卷中均有考查。
2024年中考数学二轮复习题型突破课件—两个特殊四边形的综合题
△ODC为等边三角形.∴ DO＝CD＝4，∠ODC＝60°.∴ DF＝ DO＝2.在
Rt△CDF中，∠CFD＝90°，CD＝4，DF＝2，∴ 由勾股定理，得CF＝
− ＝2 .由（1）知，四边形OCDE是菱形，∴ EF＝CF＝
FD＝FO，ED＝EO，CD＝CO.在△FDC和△FOE
中，
∠＝∠，
∵ ＝，
∴ △FDC≌△FOE.∴ CD＝EO.
第6题
∠＝∠，
又∵ ED＝EO，CD＝CO，∴ ED＝EO＝CD＝CO.∴
四边形OCDE是菱形.
1
2
3
4
5
6
（2） 当CD＝4时，求EG的长.
（2） ∵ 四边形ABCD为矩形，∴ ∠BCD＝∠CDA＝90°，DO＝CO.
2024年中考数学二轮复习题型突破课件—两个特殊四边形的综合题
主讲人：XXX
类型1 已知一个特殊四边形，判断另一个四边形为特殊四边形的证明
题
方法指导：解答此类题，一般应根据已知特殊四边形的性质得出边或角
的关系，再结合相关数学知识，将其转化为能够使结论成立的边或角的
条件，进而推理判断，得出结论.
典例1 （2023·黄山黟县模拟）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，
B
）
A.
B. 1
C. 2
D. 1＋
典例6图
[思路点拨] 过点A作AM⊥CD，交CD于点M.先证当OE的长最小时，EG
的长最小，此时OE⊥AB；再证AE＝OM，将问题转化为求DO，DM的
差.而DO的长可由△DOE∽△COG而求得，DM的长可在Rt△ADM中，
四边形及特殊四边形综合题型非常实用超经典
1. I ■濯博〕抨形纸片也BCD中,AB=5, AD=4.口〕如图3四地形血EF是正杷花纸HABCD中裁剪出的-t正方电.你能再在/矩形中战算出一个面枳显大的正方邢,最大面税是多少？说明理由；年〕语用矩影纸片⑪6舅拼成一个面葩最大的工方雁一要荥।在因2豹瘦影A3G中面昭捱过蛆,绊在网喑中画出用地空出的抵片拚成的正方彩示意怪I便正方雍的顶点都在网格的格点上..图22. 〔2021、相阳】在一个边长为a 〔单位:cm〕的正方形■AECD中,点E、N分别是城段AC, CD上的动点, 连第D 王井§正长交至方形g选手点3过点M作MMIM不出交岫于M一〔1〕如圉1*当点H与点二重台,求证：DF-MW〕〔2〕如图3 I限试点J1从点C出没;,以1 cm/5的速度相二D向点D运动,点E同时从点2出器,以w速度带AC向点匚运劭,运动时间为t 〔t>UJ 5①判断命题“当点F品边轴中点时,那么点M是边CD前三等分点〞的真假,并说明理由.②连结FM、FL △■NF能否为等腰三角形？假设能,请写出a, t之间的关系；假设不能,请说明理由.3. 12021 •岳酣〕某数学兴建小组开展了一次课外活动,过程如下；如图1,正方病犯二D中,AB=S,将三#1瓶放在三方眼AHCD上,使三伸板拘直南顶点与D点重合.三南板的一边交AE干点F.另一曲交BC的迎也绕~F点Q11 〕靛证：DP=DQ；12〕如图2.小明在图1的根底上作上FDQ的平份额州交BC干点E,建检PE,佗发观FEtDQE存在一定的鞭量关系,请磨洌他的结论并予以证实,凸〕如图3固定三角板直角顶点在D点不动,转动三角板,债三角板的一边交AB的延长基于点P,另一边交15c的吊上长扰干点0* 〔5作/PD.的平弁姓DE交EC弓正长期干点口连探FE.假设颔：AP=3t①谙帮小甲算出△0EP 的面IF.3, 〔2021 •岳阳〕某数学兴理小组开展了一次课外活动,过程妞下：如图1,正方弛AKD中,AB=6,耨三角朝赦在正方形舶⑪上,使三角板的苴角顶点与口点至合.三用翘的一边交AE于点P,另一边交趾的迤长线于点.,Cl〕求证：BP^DQ；〔2〕如图3小明在图1的根底上作?PDG的平分线〞交EC千点E,连接FEi他发现PE和QE存在一定的数量关章.诸者洌他的结论并予以证目九口〕如因3固定三角板直角顶点在D点中动,转助三由祇,使二希板.的一边交AD的延K毂丁点P,另一边交6c的延长我干点Q,0作/PDQ的平分线DE交EC延长制干点E,连番FE,假设祝AP=3i 5橘帮小用其出△DEF的面积.4, 12S3・营口〕邦图1,ZiABC为等腰直角三角形,,F是AC边上的一个动点〔点F与虫匚不重合〕,以3为一边在等膻直角M角把外作正方形3的,连慢EF. AD.门〕①清旭图1中战设EF、好的敬斌关系及所在直或的位置关不,直击写出转域#②将图1中的正方形CDEF,跷着点C拄顺时畀〔或逆时针〕方向旋转任意角度.：得到如图2、图3%情兆.图2中HF交K千点H,交好干点0,请你判断Q〕中得到的结诒是否仍然成立,并选取图2证实你的判断.ry辉百翦中的等腰直角三角形AE匚改为直角三角毒ABC. 2*CB=9Q".正方至「DEF效拈拒形匚/EF.加图L 且乩=4,BC=3,CD寺CF=L BF文AC干点H,奕曲于点.,连修肛AF,求现2+AF速胤5. [2021•扬州〕如图L在梯形比CD中,XB//CD, ZB=90-r AB:入CD=1,BC=m,P为线段BC上的一动点.且和已C不叁合.遑推P& 1±P作FE_LP上交UD所在直燃于E.设BPu. CE=y.U〕求y与工的函数关系式1〔ZJ假设点F在然段时二运动时,点已总在我段匚D上,求m的收俏泡围;.〕如困3假设■=%将也FK沿PE翻折星APEC位置,ZBAt=tO',束BP长.6,1加1“天门〕一弗矩形抿片,翦下一个正方不,剌下一个矩用,称为第一次操作।在耨下的矩形纸片甲再算下一个正方形,恻下一个矩兔,林力舞二次操作；•七假设在第n次操作后,剜下的矩形为正方形,刻秫庖拒用柏M介奇异拒花.加图1,牛^^85中・假设鼾=2. FC=6,那么称疹布gCD为2阶奇异始形.ML 国211〕判断与操作：机网2.推茏AECD长知a窗为"它是奇异矩施吗？如果县.谙写出它是几盼奇异拒强.并在图中画出趣劳绩；如果不是,请说明理由.I"探究与计葬：矩形ABCD的一劫长为2G另一边长为aQ<£.〕,且它是3阶奇异矩形.语画出正形阳CD及就前裁妁示意图,并在图的下方写出a的值.〔T眄纳与拓展：已由咔E形aBCD两邻边的长分别为b,c lb<c〕,且它是4阶奇异矩形,求b；c1直接与匕/男1.7,〔改1〞塘化〕,在中,ZEAC=PO-,/AEC=4E-,扃口为宜城BC 上一动点〔点D 不与点& C 重合1 .以M 为边微正方形ADEF,建奏CF『1〕如图1.当点「在姓㈱B 匚上时一京江门+CD=RJL2J 如图2,三点D 在绿段机的延长坡上时,其他条件不变,请邕饯写出Ch BC F CD 三条续殿之间的关 和 C 〕加阚3号点D 在辅阳DC 的反向延代蚊上时।且点& F 先现在直蛾D 二的荫侧,其他崭传不变। ①清直接写出5, BC, CD 三条墟段之间的关系；②假设正方邦ADEF 的边长为2打,对雨城口口相交手点0,连携.C.求8的长度.BD C 5 CDE 即 圄2 废3 心【2021•沈阳〕定义.我们把三痛形被一边中级分南的两个三 黄我叫做“友好三角报〞.性质：如黑两个三角茏是“友好三角形",那幺这两个三角形的面 积相等./埋解：如图® 在△虹匚中,CU 是小辿上的中线,那么A gC .利△BCD 是''友好三箱形〞,并且S^AC 口匚5占日CB.应用；加图②,在矩花AICD 中,A3=＜〔 BC =5点E 在⑪上,点F 在QC上,/E=BF. AF 与口E 文干点.,〔1 〕求证：AAOE F D AA0E 是"哀好三角形“f〞〕连接0D, SAAOEfD ADOE-S "哀仔三雷形',,束四边形CDQF 的面*乳探究；在AAIC 中,IAGO 〞,制二%点D 在战段必上,床接CD, △AC 和△UCD 是“京奸三角形〞,将 AACD 沿口所在直线翻折：得到"'CD, SAA- 8与乙轴匚垂合邰分的面积等千色ABC 面秒的请直接写出A ABC 的面根.孔【20 13•绍兴【假设一个矩形峋一边是另一边的两陪・剧稗这个矩兆为方形,加图1 .矩用MBCD 中, iiC=iAiJ ,那么就AifCD 为力鼎.8^ -------------------------C “/\ 图］— ------------ 西 ------------ C门〕设a ,b 是方形的一组邻边长,写出a ,b 的僧1一组即可〕. 12〕在AAEC 中.席前.4分副三茎分,遑结网协对应的警分自,风这些生结蛙为一讫作炜眼.使这些矩 弟的坦班匚1,E?C 『 B3C31见5的时边升别在刈匚？.叫匚“鹏匚4r 制上.如版Z 所示.①假设K:25, BC 边上的高为2口,判断以小匚1为一边的矩形是不是方形？为什么？②假设以羽.3为一边的矩形为方形,求6C 与耽边上的高之匕.A10 . 三•上海〕布矩於ABCD中,点F是访W上的动点, i车楼AEP,续般BP的垂直平分墩交边队于点g集足为点M.殡培QF U如座〕.己知&口=1 " AB=5> 城&F=x, EQ=y.11 J求了关于主的函象解析苴,并写出文的取H范围；〔2〕当以AP长为半径的0P和以QC长为半艳的㈤Q外切时,求x §的豆13〕点E在边CD上,过点E作直线QP的垂线,垂足为F,如果EF=EC=%来算的值.11.峰口厂陕西〕问题舞完；।1〕谑在图①中作出防等直理,使它门将囱面四等分：〔2〕就图②,H是正方形内一定点,请在图①中作出两箸直蛾〔耍求其中■,需直辕必须过点N〕使它们将正方雍ABCD的面积四等分,并调用理由.间欧辆总；।3〕妣团⑨I,在四边班AB⑪中,AB^CD,AB4CD=BC,点P是心的中点,和具AB=a> CD=b,且匕〕与建区在这BC 上是皆存在一点3俺砥所在直线耨四沟形必匚口晌面积分成相等的两局部7如否存在.求出B.的蛆।假设不存在,说明理由-12, 〔£口13-盘据〕如国,正方形S8CD的边坛是3,总F是百盘皿上一总,炭接F&将战段T辍点F逆时甘旋转g.*得到坡段Fa 在直埃B让取点F, «BF=BP,且点F与点正在目C同侧,煌技£F, CF.I 1〕如斛,当点F在匚用正将境上时.求证：四边雁PUFWg平行四功平,।2〕如图,当点F在续段EC上时,西边形PCFE是否还是平行四边形,说明理由；〔3J在12〕的条件下,四边花■PCFE的囱积是香痼最大值？假设有.请求出倒积的最大值及此讨眠性；艳澄有,请说明理日,◎A D13, 〔£013*宁夏】在口仙CD中.尸是M地上的壬意一点F比于总作rElAHi 交AD T E$M CE, or. 已如/R-6."；〔1〕著EC=J AB=S,当AP的长为多少时,ACPE的面积最大,并求ti 面积的最大值.〔2〕试探钻当ACFEM ACPB讨r =AEC0的两访息E与EC应满与什么美14, 0013♦宁波〕假设」十四地形的一条对用或怛四地形外戊两十等腰三用施,我们化这绿对角战叫这十E3边效的和四续,这个四地先叫傲和喈四边形.如藁形,就是和喈四边书.〔I〕如图L,花乘形AES轧ZMD = 12O",工1=7旷-m平分WAEJ 求证：BP是梯形好匚口的和谐线：〔力如囹力正同入1日的网搭圈上〔四个小正方形的边长为.有一个扇形BA隔点儿B. C均在格点二,清在做题卷给出的两个网格图上各校一个点口,使得以3人C、D为顶点的四边惚的两条时用纸都是和偕线,井画出响面的和谐四边形fUJ四边形4FCD甲,工E=AD=BJ ZBAD=9O* . K是四边形ABCD附和喑转,袁^BCD的底款.15* 〔之口1＞南平〕在矩形,ECD中,点E在耻边上,迂E作EFL式千F, G为姚度小的.AB中点,比饯bF, FG* Gb.读广=卜.m 证实,也ECF皇等腰三猖郭,［2〕当k为何值叶. AB即星等协三角花？〔3〕我们知道；在一个三角形F,等边所取阴角相等；反过天,等角所对的边也相等.雪实上,在一个三用形■不,较大的边所讨的珅也朝大；反之也成立.利用上述精怆,探究工为3BGF分别为料角.直用,林用三角形时।k的取咆范围.16.吐口1"连云港〕外明在一次戮孕犬趣小粗活动甲,对一个数学问题作如下探克；何庖惜喳：如图】,西冲形AECDP, ADVEG ,点E*DC边的中点,宴偻肥并健性交B匚的延长续子点F,不证：£四边?I八日CD二W&,4BF〔3花示面积.问颍汪移！如图M在己如希角I/A0日内有一个定点: 过点P注意作一条直姓NN*分别交射蛆.工OB于点出H,卜明将直姓Mil绕着点P旋转的过程中发现,六聃酊的面在存在最小他,请问当直线啥什也位置时,Alffnij 的面租最小,并说碉理由.实际巨用：短困3,假设在道蹿OM OEN间有一村庄Q发生及情।防疫部I］方案以公路.4 OB和经过防役站P的一条直述MM为隔蕾姓,建立一小面四是小的三角形隔墓区△MOL SmZAOB=65" , /POE=Mn * OF-4kni试求△NON的面积,［结果精确副口,1M1/〕〔多海数提：sin€C =0.91, tan€G0 =£.£m J717.〔之口13•铜州】如图L等腰直角三角板的一个金角残点与正方癌AB8的顶点@台,：#此三角板绕点上旋弟・史三角板中该银甬的酉吸边用那么文正力形的两边DC, DC看点E, F,这搽EF.U〕猜测更、EF、DF三室然段之间的影量关系,并证实你的猜测；1曾在困］中.过息且作&M_LEF于白砧请直接写出AN和AB的救星美系‘i3〕如困2.解Rt △必匚泪斜边AC第井得到口 F. F分裂是EC. F幼二的点,ZEAF=|Z RAD P连揍faEFi百点A作且K,EF干点儿试猜测MM与m之间的蚊量关系.并证实你的猜测.13. 〔20心•仁西〕呆学校活动小组在作三角寿的拓展图形।研无其性质时,块历了如下过程；・操作发现：在等腰乙4匚中, Rg触,外却以阳和队为斜边,向心细［的外倒］作等腰直角三用形,如用I所示F其中DF_LA阡京F, EGL2C于点孰M是HL：的中点,连桂HD和兄晨那么卜’列玷论正确的选项是—序号即可」〔ll J ftF=AC=iAB, ®Kr=MEj③整个图形是轴时球图璐,®ZD£B-ZDMB.•教学患考：在任意A ABC中,分别以AE将M为斜述,问A ABC叼外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是讥的甲点,遮餐心和处,那么却与HE具有怎样的教堂却位置关案？请给出证实过程：・类比探究J在注意&AEC中,也分那么以研和K为能功,向也立E匚粕内侧作等域百隹三的形,如图胃所示.科导EC峋中点,送捱MDfOMEr试判断△脏工的形戕.窖：^圜I 邳至3电12.马,江面〕莫勃学港幼小线荏作三漳府的拓展四宠,研究苴性质时.经历了如下过程,L〕操作发现：在等腰人葡父0, AP=kC,分别口.和就力同地,向AAB「的扑倒作篝腰直角二扇形.加图 1 斯元.其中BF_L妞于点F.我J.AC于点G・I是EC的中点,左俣时和ME,那么下到弟校正瑞的是f庠序号即可〕OAF=AJs^ABj ©HD=nE:⑤差卞困形是轴方称图形！®M3£JIE,年〕赣学里考।在任意AAEC中.分别以AB和比匚先斜劾.向△虹匚的外制作等腰宜角三角褥,如图2所示.M 是EUE为中点.连接N.和ME,那么mfPME具有怎样的熬量关系？靖^出证实过程,〔3〕箕比探究।【1〕在任意3 ABC中,仍分别以AE和耻为斜边,向&ABC的内网作等腰直角三角形,摭图3所示,H是EC的中点,逢候就和ME,横划断自肥.的形状.答工^Ti】在三边苣不相等的△ABC中〔见备用图〕,值分别以AB和,匚力斜边,向& ABC的内侧作〔非等腰〕直角三角形AED和〔非等腰〕直用三角龙ACE,比是BC的中点,连揍HDfOME,更隹〔2〕中的转论此时仍然成立,你认为需培甯一堂什么祥的条件？〔限用题中竽母裹亲〕笄说明理由.图1 图上圜32Q. tZDl3"i"Iit〕加圉［口,在Et&RBC,汇£6 二改〞,分别以21、£C为一辿向外作正方形ABFG、ECED,沈踣且1〕、CH 皿与CF交十点N,〔I〕求证:iiDDSAFBC;12〕如图［2〕,皿=心求四边用AFM的面以।〔打在也以日「中,丧BC=a. AC=L. AE=c.当/血匚日工00'时, 工十b? 在任意ZiABC中,匚上二丁-b」十k.就H=之的情形,挤无k的取值范围〔只甫身出你有到豹经蛇即可〕.2\.【MIL 何北]一透明的敞口正方体容器月成口-父& C ,芸育一挡濠俗,梭娘登在苏平具国上•容 郡底部的澳斜角为u 〔ZCDE=u,划图1所刀〕.探冗 如圄：,海面刖好过楼口,并与棱31r 突亍点电 此酎 裱体酊形状为直三核柱・其三现鼠及尺寸如图工明示.廨袂问题：11） C0与口E 的位宣美再是 ,叫的匕是 H ILI〔2〕求液体的体积〔聿考算法；直棱柱体积M 液-底面积5△日CQK 高AU 〕布展；在国I 的老瑞上,以校A3力地喑容翥向左或向右旋转,但不就便裱体流上,图3索冕4是其正回示息图. 假设液面与梭L L 或CB 安于点汽 设FCK, by=y.分别就图:林图4束?与它的图坡关系式,并写出柏业的日的花 22, [£口1尸杭州1如图,正方殆ABCE 的边长为明对称中央为点F ,点F 为E 边上一4■动氯,点EiEAE 边上,且满足条件/EPFN5“,圉+两块现翼局部蜃形关 干苴域“成轴对林,谦宅十的面枳和为£入〔1 〕取此 Z4PE=ZCFf , 昂 fi 〕设四边把二JtPF 的画科为为,CF =1f, y=--①求产美子支的两姬薜籽式和白麦置量的取值质阖.并求出产的最丈值, ②当图中对曲阴影局部图形关千点P 成中央计群时,求了的值一23, 12021■需山I 〕我十知逋,新形是特殊的平行四诂雁,所以毛形除了县扁 平行四劫制的一日性底逐有其痔殊的性展：同洋.黄金殂弗-具聘铢的建强,因 此黄金娅不百亏一股矩形不一样的知诉.产行四边帝姆81 ZA=6O* , AB=2a, AD=排CJ 〕把所钻的干可四地形AEU 月两种吉太乃・刹拜■作说明〔:见题答卡表格里胸而例〕;要求।用直处段廿制, 分刹戒的图彦是学习过的特殊图膨且不超出四T.今刻出医用说用五例：①另•割成两个菱电・②曲中要好的边区都为山锐角都盟AT .〔5〕图P 美子电.用我料由续叁有帝F 美羊或同题.现在符计算两萦对苴线的长旗.要束：计篁对角续ED 长 的过程中要有必要的论证,直接写匕对角躺式的丑,24, 12021-^^D l 1J 如图1,MMUABC ,以A 孔 M 为边向心越.外作等边AABD 和等边凸息北,逅铁BE.分别明期 …3 3 f 31求U 的旗射.『；主：仁工近旷=r ns4 1 - =-. t an37n = —j 4 4 阳1阳视图CD,清保完成图形,弃证用：BE=CD f〔尺尬车图,不写傲注.保翟作四痕迹〕1C2〕如圉2,I △&BC,以AE、AC为这向外作正方形AEFD和正方形心CGE.连接BE, 8 B王与口有什么粼量关系？同西说唯理由：〔3〕运用II〕、12J麻箸群所和、案的蛉腺和知识,完成下题：加国水要测量池塘南岸相近的西点& E的距离.已姓测得上ABC=d5" , ZCAE=aO' , AB=BC=1O口米.AC-AE^求EE的毛、图1 S32 国；25, [2口13・长春：1如圈口1.在口乩或0中.AB = 13. BC=FO,目匚边上的高为12.点P从点三出发.沿日TTT运动,汨口7趋动酎豹速型海每秒】3]单位长度,沿以一DT运事廿的速更为号秒储单位长度.点Q从点发沿冲万句话前.透隹上每种Q个单位米度.F...两点同时出庭.当点Q到达点「时・F〞.两点同股停止运动.设点F的运动时闻为工,秒〕.隹纬PQ.〔1〕当点P'沿人-口-A运动时.乘心峋长「同含t晌代额苴奉示：.C2〕连结蛆,在点F沿E-且一口运动过程依当点F与点6、京且不重合时,记也力.的面积为文求弓与t之闰的国蚊关系式.[3〕过点Q作QE产品,交知于点％连结质.知图②,在点F沿H-H-D运第It程中,兰线段FQ怙过的圉形[阴影部曲,袂姚段飕分或面限相喏的两甥分的Mr邑C4J谯点6 D关干盲我国的对祢点分期为C r、D',富防与出C'1/7BC0HBW.WE. LZQIA 北京.阅读下面材料।小明遇目这样一个问题:如图住辿#:力a 的正方形知二U 今边上升刖盗取&kBF=CG 二DH 二1,当 2：AF^-ZEClT=«Zi ；nTr=^DEF=46I 时,求正方形MNPQ 的面积.小朋馍现,分别位长0E ,WF- KG, P □类F A , ；3, MC,皿的延长线十点七S, L W. c 甘导&RQF. ASLK. &TN ：L LVFE 是四个金亭的等腰直角三用带1如图2〕清回都L 1〕言耀上述四个等用自单三用形悌成一个新的正方影I 无缝煦不重登.,明这个知正方彩的边性为— 此〕求正方形MNFQ 的面积.,行〕券考小明思考间遢的方法..解央同世,如国人在等功必印眈等坨二分利起取的二fE 二C 力再力■刷过点D* 2. F 作/, AC,小的番战,得壬］等边 21. 12口:3・玄徽〕我*1把由不平行干底通的自线截等牌三弟用的再照所得的四初形称为■,准等脾祥出〞.加 ［1〕花圈1所示的“准莘雅梯带〞 53年,选择言通的一个及点51一导直或潜四3并虹口 7到或一一一等腰榜 建■和一个三用格或分割威一个等脖三用形匍一个椁W 〔.回出一叫不育理周目.：〔2〕如图⑵在“准等腰择形“ AB 匚.中E 为边配上一点,假设蟠*DE, JiE//DC,录泣: 〔3〕在由不平咛于耻的直蛙ADtUPDC 所得的四边彝此5中,NBAD 与5AM 的平分独文千点E.假设£B=EG请同当点E 在四辿形肥⑪内部时L 即图0所示情形J ,四边形A3CD 是不是,,他等腰梯形中,为什么？看点E 不在 困过形AEG 内静时,情况又将如何？写出价的结轮.i 不必说明理由I图⑴阿⑵ 、：丁 置⑶R5_BEDC~EC"6RPQ.假设S3RPCF*、111ALi 的长为 ____ .因］,四曲弗他二〕即为“准等腰梯茏".具口/U/C.23, SQOT •临夏州J ［Cl〕- 〔3〕, 1 口分］如图,己知等边AAEC和点F,设点F到3 Alic三地AB、式、EC1或具延长线〕的犯篙分别为hi. h?、心,也&BC的岛为h.在瓦门〕中,点「是边口匚的中点,此叶h^.,可得结论i hi十tiMhj=h.在图〔2〕—f nl中,点P分趴在线能MC上.HC外长线上、A/iFX：内〞△蝇C外.〔］〕请保穷工图 e —〔5〕中,hr hj. h3,匕之间的关系,〔亘悭月出结论〕〔2〕证实他〔2J所耨结论,⑶证实圉⑷所铝结论.〔.在凰16?中,假设凹也形附仃是第腰梯外,/E=』C=6M , RS=n, BC=n,点P在梯帝内,且点？到凹边而、R八5J E 的距着分别是hhh2.tq,桥形的高为h贝色「h〞四、h之间的美不郁,国〔4〕与国〔6i中的等武有何关不¥。
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1.（2013•濡博）隹形妊片A?CD中，AD=4・（1）如图1,四边形NNEF是在矩彫垠HADCD中裁剪上的一个正方形.你能百左该更陀中裁勢出一彳面枳最大的王方形，最大面积是多少？说明理由；（2）请用距形纸片AECD剪拼戍一个面积杲大的正方形.宴軌在图啲矩电"CD中面出裁剪药并在网洛屮画岀月裁劈出的纸片护成的王万形示息:图（使正方形的顶点割在网洛的梏魚上）・图1 图22.（2013•孩阳）在一个边长为a （单位：5）的正方形ABCDP,点E. M分别是线段AC, CD上的动点，连结DE 并証长交正方形的边于点F・过点附tMN丄DF子H.交AD于N.（1）如图1,步成M与点C垂合，求证；DF机皿（2）如图2,假设点M从点C出发，以lcm/s的透厦沿CD向点D运动，点E冋时从点盍出发，以匹皿/s透度沿AC向点C运幼，运动时间为t （t>0）;①判断命题“当点F是边.比中点时，则点M杲边CD豹三等分点"的真假，并说明理由.②连结F恥FN, AMKF能否为等腰三角形？若能，请写出a, t之间的关系；若不能，请说明理由.图I §23.(2013-岳阳)某数学兴趣小组开疑了一次课外:舌动，过程如下：如图1,正方BABCD中，AB=6,料三侑换敲在正方形ABCD上，便三偉板対言角顶点与D点垂合・三角板的一访交AB干点P.另T力交BC的证*线于点Q.(1)求证:DP=DQ;(2)如图2,小明在囹1旳基础上作ZPDQ的平分线DE交BC干点E,连孩PE・伦发现PE利QE存在一定旳数重关系，请猜洌他的结论并予以证明；(3)如图3,固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延壬线于点P,另一边交RC的証*线干点Q.仍作ZPDQ的平分线DEbRC3正*■尖干点E.诈椅PE.若AR： AP=3： 4,请帮小甲算出△ DEP的面移・3. (2013-岳阳)某数学兴趣小组开疑了一次课外:舌动，过程如下：如图1,正方BABCD中，AB=6,料三角陨咸在正方形ABCD上.使三兔板的直角顶点与D点垂合・三角板的一边交AB于点P.另一边交BC的延*线干点Q.(1)求证：DP=DQ；(2)如图2,小明在图1旬基础上作ZPDG的平分线DE交BC干点E,逹接PE・也发现PE利QE存在一定府数量关挙•请涪洌他的结论并予以证明：(3)如图3,圈定三外板直角顶点在D点不动，转动三•葩板，使三角朕的一边交AD的延K绪于点IS矣一边交BC的延长线干点Q,仍作ZPDQ旳平分线DE交BC延长线于点E,连接PE,若AB： AP=3： 4,请帮小甲算出△ DEP的面秩・4.（2013-营口）如图1, △.IBC为等腰直角三角形，ZACB=90e . F是AC边上的一个动点（点F与A、C不垂合），以CF为一边在竽脛直角三克形外作正方形CDE?,连渎BF、AD.（1）①猜想图1中线段EF. AE的数虽关系及所直直我盯位還关系，直麦写出结沱；②烬图1中的正方形CDEF,绕看点C按顺时纤（或逆讨针）方向能转任意角度a,得到如图2、图3的情形. 图2中BF交AC手点H,交AD于点0,请你判斷①中得到的结论是否仍然成立，并迭取图2证明你的判断.（2）将京题中的等腰直角三角形AM改沽宜角三角形A肚.ZArB=9f）B.正方形CDFF改为矩形CDFF.如图4 且AC=4, BC=3, CD二? CF=b EF交AC干点H,交AD干点0,苣接BD. AF,求BD—AF?贰值.图1 图2 图3 图45.（2013*扬州）如图1,在梯形ABCD中，AE/7CD, ZB=90* » AB=2, CD=1» BC=m. P为线段BC上的一动点.且和B、C不重台.崔拷PA.辻P作PE丄PA交CD所在直线于E.设BP=x. CE=y.（1）求y与x的函数关系式$（2）若点F在线段EC上运动疔，点E总在线段CD上，求m的取值范Bh（3）如图2,若血二4,将APECiSPE翻挤至ZkPEG位蚩，ZBAG=90* ,求BP长.图1 E26.（2013-天门）一张距形纸片，剪下一个正方形，刻下一个矩形，称为第一次陨作，在耐下的矩形纸斗于再勇卜•一个正方形，剌F—个住形，林为第二次摂作;若在弟n次操作后，则F的矩形为正方形，则称原那老为罰奇异并形.如图1.申形ARCD中.若和二2・RC=6・刖称审形ARCD响2阶奇异距形.址困2,链形ABCD长为5・蓝力2・它昱奇异矩形叫？如杲星，谄写出它星JI阶奋异矩形.#在图中画出栽剪线；如果芥是，请说明理由.（2）探究与计算:己如矩形ABCD的一边长为20,男一边长为a （a<20）.且它是3阶专启矩形，需酉出矩形ABCD及裁剪线的示意图・手在图的下方写岀a的值.（3）归纳与拓熙已知矩形AECD两邻边的长分別为b, c （b<c）,且它是4阶奇异矩齐，求b： c （直復写出结杲）.（2）左ZUBC 中.睜AB ・AC 分别三笨外 注结茂访对应的竽分点，氐这些淫结线为一边作雄形.便这些距 形的边匹C2，方3。
3，叭6的对边分別在B2C2，"C3，庁4匚4，比上，如图2所示.①若BC=25, 3C 边上的高为25判断以为一边的矩形是不是方形？为什么？②若以E3C3为一边的矩形为方形*，求BC 与EC 边上的高之比•7. （2D13・绥化）己知，在厶ABC 中，NBAO9CT . ZABC=45-'点D 为直线BC 上一勒点（点D 不与点B, C 重合）•以AD 为边傲正方形ADEF,连接CF（1） 丸图仁当点D 在线段3C 上时.求证CF4CD=BC,（2） 苑图2,当点D 在线段3C 的延长线上时，其他条件平变，1 青宜扶与出CF, BC, CD 三条线段N 间豹关系：（3） 丸图3,当点D 左线徴3C 的反向爼长线上吋，且点加F 升別左直线DC 的两侧，其'也*件不更@请直接写岀CF, BC, CD 三金銭段之间的关系；◎若Hl 方形ADEF 的边长为2返，对角线AE, DF 相交干点0,連扶0C ・求0C 旳长阪却图2 圏3 8. （2013-沈阳）定义■我们把三角形浹一边中线分成的两个三角形叫做•'友好三角形”・性质：如果两个三角形是“友奸三角形”，那么这两个三角形的面 积相等・埋解：知图①，ttAABC 屮，C1是舫边上的屮线，那么△/!）和△BCD 昱“友好三角形”,并且SAACD=SABCD-应用：如图②，左矩形ADCD 中，A3二4, DC"，点E 左AD 上，点E 奁巩上・AE=DF. AF 与DE 交干点0.（1） 求证：AAOB^fl AA0E 是•友好三角形"；（2） 连接0D,若厶AOE 和ADOE 昱“友垛三角形”，求四i 力形CDOF 幣面枳.採究：在ZiADC 中，ZA=30° , AE=4,点D 左线段A 刁上，连接CD,和△乃CD 是“友奸三角形卯，将△ACD 沿CD 所在直线翻折，得 到CD,若厶A ，CD 与AADC 垂合邯分的面积等TZ-AEC 面积的请直麥写出△ABC 的面积・49・（2013•绍兴）若一个矩形的一达是另一边的两喑.则称这个矩形为方形.如图1・矩形人BCD 中.bC=2AB,则J^AbCL 为方彫.图①10・（2013*卜海）右聊形ABCD中，点P杲i力A3卜的动点，诈後朮PBP.绒段BP妁垂倉平分绞交边BC子点Q.垂定为点皿联结7VQP （如图）•己知AD=13, AB=5, ^AP=x, DQ=y・U）求y关于X的函数解祈荒，并芍出X的取值电田；/厂（2）当以AP长为半径的OP和以QC长为半径的:DQ外切旳，求* B Q的鱼（3）点E在边CD上，过点E作直线QP由垂线，垂足为F,如昊EF=EC=4,求工的值.11.（2013-陕西）问题探充：（1）请亡图①中作出声好亘钱，滾它们将圆而四尊分；（2）如图②，X是正方形AECD内一定点，请衣图②中作出两务直线（妄求其中一*直线必须过点M）使它们将正方Jt^ABCD的面积四等分，并说田理生.问题解距（3）丸圉③，左四边形A3CD中，A3//CD. ABYDTC,点P是A：）的中点，如黒AB二a, CD=b»且b>a,那么在边EC上昱否农左一点Q.使PQ所在直线将Q边形ABCD的面枳分成相尊的两部分？如若存在.求出BQ的长i① ②③12.（2013-S棉）如图•正方形AECD的边长是3,总P是直线肌上一总，连拱FA,得我段P破点P逆时什加辂9CT得刊线段FE,在直线BA±JU^F,便BF=BP,且点F与点E左BC同傀，连扶EF, CF.（1）如图.当点P在CR证长城上时.求证，四边形PfFE昱平行贝边形，（2）如图，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说用理由；（3）（L（2）的条件卩，四边形PCFE的回积是台有最大值？若有，情求岀已积的童丈值及此若没13.（2013•宁夏）在QAbCD中，P是AE边上的任意一点，址？点作PE 丄缸，交&D于E,迄络CE, CF. L L^ZA-GD";（1）^BC=8, AB=6,当AP約长为多少时，ACPE的面积杲大，并求出而稅的協大佰.（2）式探兗当厶CPE空厶CPB时，q虹CD的两功AB与EC內潇莓什么关系？有，请说明理自.山・（2013•宁渡）若一个四边形的一务对対弍把四边殄分成两彳•等藤三角形，我们吃这余对角线叫这个四边形的知谐线，这个四边形叫做甸谐四址形.如菱形勅是和谐四边形•（1）如图I,在棉形AbCD中，AD/7BC» ZBAD=12O" , ZC=75* » FD平分ZABC.求：I： BD是祥毎AbCD的和谐泼：（2）知图2,在12X16的阿格虜上（弩个小正方形旳边长为1）有一个崩形BAC,点A. B. C規在移点上，请在答题卷给出BJP1个网格图上各找一个点D,使得以A、旅C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并回出书卫的和洁四边形；（3）囚边形AECD中，AB=AD=BC, ZBAD=90e . AC是囚边形ABCD旳村谐线，求乙BCD的復数.问题迁移：如图2:在己如扳命ZAOB內有一个定点P・过点P汪恵作一*直线MN,分别文射线0入OB 干点M、N.小明将直浅MN绕着点Pit转的辻程中发玫，AJION的面税存在锻小偽i百I可当宜线MN壬什么位宣D, ZiMOIi 的no积最小，并说明玫由・丈际応田：如因3.若左道跑OA、0E之间有一村庄Q炭生疫惰，防疫部门计划以公路OA. 0B和疑讨防疫站P的一辜直老MJI为厲籀姒建立一个贡稅最小的三角形厲离区厶MN.5?^KSZAOB=66° • ZPOB=30B•15.（2013-南干）在矩形*ECD中，点E在BC边上，迁E作EFI A C于F, G为线段AE的屮点，连播BF、FG、GB.设餡=上・fl） i咖ABGF是等曝三角形;（2）当k%何值B仁ABGF呈等i力三角形？（3）我们知逋：在一个三角形中，等边所对旳角弔等；反过沫，等甬折对的边也相等.事买上，在一个三曲影卩，较夫旳边折对的角也较丈；反乙也成立.利用上述结佗，採究：当4BGF分别为祝用、豆鸽、純免三角形讨・k餉取追范匡.16.（2013^云港）小明在一次数学兴趣*组活动P，对-个数学问题作如下抹究：何题情竟：刘I图】，四边形AECD屮，AD〃EC,点E奘DC边的屮点，连炭AE并址长:交BC的延长线于煩F,求证:AA0P=4ki»试^ZiMON的面积.（纯晃栢确刮0. lkN）（少老数拒* sinC6* ^0. 91, tan66P ^2・25, JJ17・（2013•棉州）如图1,竽脛苴角三角板的一个锐角顶点与正方形&3CD的顶点A垂Q 將此三角板绕点A；fe 荊，便三曲板中该锐甬的两承边分别文正方形的两边DC, DC干点E, F,连摂EF・（1）猜想EE、EF. EF三余钱段之间策数量关系，并证明你的猜想；（2）左图1中，过点A乍/丄EF于点M,请直扶写出AM君AB的数星关和（3）勿因2.AABCiS^边“戮护得到R令AADC. F. F分別昱BC・CD边上的点.2EAF=lzBAD.连接EF,过点A作AH丄EF于点恥述猎^AM^ABZ间的数重关系•并证明你的猜想.18.（2013-江西）杲学狡活动小纟且査作三角形的托展图形，研究其性质时，经历了如下过程：•操作发现：在等^^ABC中，AB=A3, 以他和AC为斜边，向△ ABC的外侧作等展宜角三用形，対图I所示，其中DF丄・丄上于点卜，EG丄乩于点G, M是肌的屮点，连按HD和ME,则卜'列纟吉论正佛的是I填序号即可）OAFrJ.G=-A3,②MI=ME,③整个图形昱轴对迩图形,①ZDZB二/DME.•或学总考：在任意AABC中，分別以AE^IAC为斜达，P1AABCB9外侧作等啟亘角三用形，如图2听示，M是BC的尸点，连殘MD和HE,则XD与ME具有怎徉的数命和勺昔关耒？情给岀讦明辻稈：•类比采究：存仟意AARC中.仆I分别以AR和AC%笳劝.向AMC的氏侧作等博直俸三角形.如图3所示.W^BC.的中点.诈接初和HE.试到S T AMED的形状.答： ^BEBMC®119. （2013-江冏）莫数学活动小纽左作三臬形的拓展困形•研究夏哇质BE.经厉了如下过程三门）禅作叢观・在等If AABCra. AB=AC.芬别以AR 和AC 为斜边.fS ： AABC 的外他作等脛直审三甬形.如因1 所示，苴中DF 丄AB 于点F, EG 丄AC 于点S H 昙BC 的中点.连疾MD 君ME,则下列结论正确的是 （填库号 即可）G ）AF=A5=|A E J ©HD=nE;③签个图形是魅对称图形I ④MD 丄JIE.乙（2） 数誉思考，在任意△ ABCA,分别E.AB 和AC 光斜込 向ZiABC 的加侧作等侵直角三角形.如图2所示.M 昱BC 的中点.连接HD 和ME.则KD 和ME 貝有层样徹数量关系？请給出订旧过程，（3） 歩比探究，（i ） 在任意4ABC 中，仍分别以AB 和AC 力斜边，向4ABC 的內側作等肢直角三甬形，知因3所示，J （是EC 的中点,连戻HDHME,式判断AMED 的形状.答. ________ ・（ii ） 在三边互不相等WAABC 中（见备用图）,仍分别以AB 和机为翁边,向AABC 的内侧件（非等］更）直角 三角形ABD 和（非竽腥）直希三角形ACE, H 是BC 的中点，连摂ND 和ME,宴使（2）中妁垢饥此科仍然成立，你 认为需倉加一个什么禅旳条俏?（限用题中宇舒表示）并说明理由・2O ・（2013*河池）如图（1）,在Kt AABC> ZACB=90* 以AB 、BC 为—边向外作正方形ABFGs BCED>连结AD 、CF,CF 交于点N.（1）求证：AABD^AFBC ； （2）孔图（2）,已知口=乩 求四边影AFDC 的面枳2 （3） 在ZiA3C 中.设BC=a ・ AC=b. AE=c.当ZACEKOc 2-^a ?-«-b 2.汪任恵 A ABC 中，c 2=a 2^b 2i-k.就冲3, b=2 的•情 膨，探究k 的取值范围（只需与出你得到和樂论即可）.B M CS1 备甲蚤21. （2013*河北）一透明的敢口正方体容^ABCD-A Z B z C* D z装有一空襪体，檢AB彷终在冰平冥団上，容器底部囱侦斜角为u（ZCBE=u,如图1所示）.採冗如图1,液面吐廿过樓C6并与梭九‘文于总Q,此时液体酊形状为直三檢柱，其三视图及尺寸如图2所示.廨决间题：（1） _______________________ CQJ5DE的垃莖关并是, DQ的长是diiu（2）求液体的体积；（参君算法：直梭柱体积V液二底面积3厶BCQX高Ab）托展：在图I的菇砒上，以檢A巧为轴睜吝益向左或向右炭转・但不能便•夜体镒岀，图了或图4是其正页牙怠图. 若液旧与梭L C或CtJ交于点P, i殳PC=“ BW=y.分别就图I麻圏4求的函数关系式，并写岀相血的a的范S.22・（2013•杭州）如图，己知IE方形ABCL的边长为％对称中心为点厂点F为BC边上一个功点，点E在AB边上，且满足条仔/EPF=45° , 13屮阴块阴炭部分匪形关干育线AC成轴对称，设它们的面积和为S仆（1）求证.ZAPE=ZCFP,J?i（2）设匹边形CKPF対面积为$2・CF=*・卩=石・①求y关于父的茴数解析式和自变豈乂的取值范阖.笄求出y的呆大值：②当盪中两渔阴影部分因殄工千点P咸中心对称时.丈y的值.23・（2013•佛山）我们知谊，矩形杲特殊旳平行E9边形，所以領形除了具备平行四边形的一也性质还有旦特味的性质：同徉.黄全矩乘昙粹洙的矩乡.因此黄金矩开?有弓一班矩形不一样的知证・己知平行囚边形ABCD. ZA=60* , AB=2a, AD F・（】）把所給的干仃四边形ABCD月两冲方式分劃并作说明（见题苔卡表拮里的示例）；妾求：用直纣:段分削, 分割戎的图形是学习过的持殊图形且个趙出四个.分劃勾农分劃或些那说便M例；D _________ .,r/ / /A L-------- L----------- z5示创:①分割成两彳奏形.②两八菱形的边长都为「锐角邪为60・・（2）因中关干边.甬押对角境会有若干关手或同融.现在酒廿宜两辛对角线旳长復.墓求'计篡对角址FD长的过注中宴有必要的论込，直接弓出对角线AC的长.24・（2013•德州）（1）如图】，已知OABC,以A沢AC为边向△ ABC；b作寻边和等边ZXACE,连涙BE, CD•语3 3⑶求a的度数.儡59・-0.41- =-. 537•亍阳1B F C你宪战图影，并证Hh BE二CD,（尺规件图，不写他法，保留作图痕竝）:（2）如图2.已知4ABG 以人氏AC为达向外件正方形ABFD和正方形A：GE・连接BE. CD. BE弓CI有什么救量关系？简亞说班理由：（J）运用（1） . （2）解答中所秩累的疑老和知识，完成下题：如图h要测量,也塘朗岸相疋的阴柬6 E豹匪离，已经测毒厶At兀=4丁，ZCAE=yU* , AB=tC=]OU术，AC=AE,求BE的怅.图1 国丄㈤'25.（2013・*暮）如图①.左nABCn中.AB=13. BC=5 0. BC边上的鬲为12・点P”、点B出发.沿B-A-D7运动，沿DP逗戢叶的送度为每秒13个单泣K度，涪A・D・A运动吹的速度为每秒8个单住K度•点Q八点D出发芒RC 方向运动.速度为每秒5个单位长厦.P. Q两点辰时出炭•半点Q到达点厂时.P、Q两点同时停止运动.设点P的运功时间为I （秒）・崖络FQ・（1）当点P沿AD7远动时.求应的长（用令弋的代数式丢示）•（2）迄结AQ，左点P沿E-A-D运动辻茨中，当烧P与点叭点A不車合时・记厶APQ的面积为S.求5与七之间的函效关不式.（3）楚点Q作QK/7AB,交AD于点R,连结BR，知图②•在点P沿旷AD运劫过程白，誇统段FQ扫过的图形（阴影岀分）被娛轻BR分茨面积相竽的西部幷时七仗值・（4）该点C. E关干旨纯PQ的对称点分别为「• D',肓谖与出C' D* "BC时t旳頂.26.（2013 -北审）朗读下面材料,小明遇目这样一个河题：知因L,住边长为a （a^> 2）的正方形AES各边上分和祓取AE=BF=CG=PH=： 1,当ZAFQ=ZBGM=ZCnK=^IEP=4 5e B*> 求正方形K1TFQ的面积.小期友观.分别超长QE・MF. N&. PH交FA. CB. HC. ED的俎长线干点E. S. T. W.可得ARQF. ASMC.△ TNH, Z.肛E是E3个全等的等腰直角三甬形（如囹2）需回答，U）若将上述四个睪聘直第三曲形桥成一个新的正方形（无缝陳不重登），则这个新正方形的边《为—（2）求正方形MNPQ的面积.（3）歩老小驸思考问迪的方法.昭逵间題，如图"在等边GbC各边上分別截麻紅二BE=CF,再分别过点D，E, F作BC, AC. AB的垂农得到等边ARPQ.若S厶RPQ=*・刖AD的长为______ ・图（1）圏⑵勺图⑴27・（20：3•安像）钱II把由不平行干底功E勺自线截等腰三第形的两愣沪得旳四讷形称奘’•准等腮祎形"・如四边形ABM即为“准箸僂梯形'・M«ZB^ZC.P A（1）在图1所示的“准等腰梯带"ADCD中,选择合适的一个顶点列一媒吏钱将四边形ABCD分別成一个等腰梯形和一个三弟形或分別成一个等腭三侑形和一个梯形（画岀一神示鳥幻即可）:（2）如图2,往“准等腰样形M ABCD中Z1B=ZC・E为边BC上一扁，若ABZ/DE, AE/7DC,求证：磐=器；£/G 2r C （3） it由不平疔千BW的直绞AD社厶PDC所徉的四边形ADCD«, ZBAD与/ADC的平分线交于点E・若ED二EC, 请问当点E在四边形ABCD内部吋（助图3折示情形），囚边形A3CI；是不是“花尊谡梯形”，为什么7若点E不在四边形"CD内部时•情况又将如何？写岀惊的结论.（木必说明理由）28・（2007-临夏州）［（1） - （3） , 10分］如图，己知等边ZiABC和点F,设点P到AABC三边A取AC、BC （或具延便线）旳朮离分别为h仆ha h3, ZkABC的鬲为h・左图（1）中，点F是边DC的中点，此DThj-O,可得结论；hph2Mi3»h.衣图（2）—（5）中•点P分别存线捋龙上、WC証长统上、AABC內、AABC外.（1）语探究■图（2）—（5）中，细、迪・"、hZ问的关轧〔直按写出结栓）（2）证明虜（2）折倡纯论；（3）证羽圉（4）所得结论.（4）在图（6）中,若凹边形R3CS是竽團第形，ZB=ZC=60- , RS=n. BC=n,点P窪梯形內.且点P刮四边弥、RS、SCs Cb的距离分昂是F? h3、侨形餉鬲力h，贝山［、h2、h3> h, h之间时关系为:,因（4）与因（6）中的等式有何关系？(>)。