全主元高斯消去法
齐次线性方程组有非零解的条件
齐次线性方程组有非零解的条件
齐次线性方程组有非零解的条件是：
利用全选主元高斯消去法求解Ax=b(A是n阶矩阵，b是列向量)，当A
的行列式det A != 0时，齐次线性方程组Ax = b才有非零解。
如果
满足这个条件，则齐次线性方程组Ax = b就有非零解。
具体来说，首先要明确的是，只有行列式det A 不等于0的矩阵A，才能用高斯消去法求出非零解。
如果行列式 det A 等于 0，那么A
就不可逆，齐次线性方程组将一直没有解。
因此，为了使齐次线性方
程组有非零解，必须确保行列式det A != 0。
除了行列式det A 的条件外，齐次线性方程组有非零解还要满足
另一个条件，即矩阵A 和列向量b的维数必须相同，即n=m（m为列向
量b的维数，n为A的阶数）。
另外，要求各个方程的右边的b的分量
都不全为0。
从上面的分析可知，齐次线性方程组有非零解的条件是：
（1）行列式det A 不等于0；
（2）矩阵A和列向量b的维数必须相同，即n=m；
（3）各个方程的右边的b的分量都不全为0。
此外，还要确保齐次线性方程组的系数矩阵A在最终得到非零解后，它能满足A×x=b。
如果不满足，那么齐次线性方程组就无法求出
非零解。
而如果满足，那么就可以用全选主元高斯消去法求出非零解，从而解决齐次线性方程组 Ax = b 的有非零解问题。
具有解判定的全选主元高斯消去法解实系数线性方程组的C程序
换 后 的 第 二 个 方 程 加 到 第 ｉｉ＝ ３ ４ … ， （ ， ， ） 个 方 程 上 ， 将 ｄ 一 ３ ４ … ）消 去 。 则 譬（ ，， 如 此 做 下 去 ， 直 到 一 １步 ， 成 消 去 过 程 ， 一 完
得 ：
消 去 法 解 实 系 数 线 性 代 数 方 程 组 的 计 算 过 程
ｂ ２ ｄ２ ７
● ● ●
解 和 无 穷 多 组 解 ， 对 工 程 实 践 中修 正 得 到 这 的 线 性 方 程 组 很 有 好 处 。 工程 实 践 中一 般 要
求 方 程 组 有 唯 一 解 ， 得 到 的 线 性 方 程 组 无 若 解 ， 说 明 至 少 有一 个 方程 不 正 确 ， 纠 正 错 则 需
代 数 方 程 组 的 求 解 问 题 ， 仅 能 解 出唯 一 解 ． 不 而 且 对 不 存 在 唯 一 解 的 情 况 ， 够 判 定 出 无 能
ｆ ｌＴ ａ ｌ 】＋ Ⅱ ２ ， １ ２＋ … 十 ｄｈ ＝ ｂ Ｌ
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Ｌ
＋ 。２ ２ ２＋ … 上 ２Ｔ 一＝ ｂ ２
ｂ】 ｂｚ
● ● ●
２ 实 系 数 线 性 代 数 方 程 组 解 的
情况
多元 一 次 方 程 组 即 线 性 方 程 组 。关 于 数 的 加 、 、 、 等 运 算 的 性 质 通 常 称 为 数 的 减 乘 除 代 数 性 质 线 性 代 数 方 程 组 是 具 有 代 数 性 质 的 多 元 一 次 方 程 组 。在 此 只 讨 论 方 程 个 数 与
一
逐 步 回代 得 原 方 程 组 的 解 ：
＝
一
调 用 全 选 主 元 高 斯 消 去 法 解 方 程 组 ， 得 就 本程 序 的计 算行 列 式 的值定 义 成 函数 ，
全主元高斯消去法发展过程
全主元高斯消去法发展过程1.引言1.1 概述在数学领域中，线性方程组求解一直是一个重要的问题。
而高斯消去法是一种常用的线性方程组求解方法之一，它的基本原理是通过一系列的行变换将线性方程组化为阶梯形方程组，从而容易求解。
然而，传统的高斯消去法存在一些问题。
在某些情况下，选择的主元元素可能会导致运算过程中出现除零错误，进而使得整个计算过程失效。
为了解决这个问题，全主元高斯消去法应运而生。
全主元高斯消去法在选择主元元素时不仅会考虑当前列的元素，而是会同时考虑当前行和当前列的元素。
这种全面考虑的方式能够确保选取到一个非零元素作为主元，避免了除零错误的发生，提高了计算的稳定性和精度。
全主元高斯消去法的提出是对传统高斯消去法的一种改进和完善。
它不仅解决了传统高斯消去法中可能出现的除零错误问题，还能够更好地应对一些特殊情况，如矩阵中存在大量零元素时，能够减少运算量和计算时间。
全主元高斯消去法的发展过程经历了数学学者们的不断努力与探索。
通过引入新的思想和算法，全主元高斯消去法在求解线性方程组的过程中展现出了更好的效果和稳定性。
综上所述，全主元高斯消去法是对传统高斯消去法的一种改进和完善，它解决了传统方法中的除零错误问题，并能够更好地应对特殊情况，具有更高的计算稳定性和精度。
在接下来的正文中，我们将详细介绍全主元高斯消去法的基本原理和提出过程，以及其在实际应用中的前景。
1.2 文章结构本文将按照以下方式组织和呈现全主元高斯消去法的发展过程。
首先，我们将在引言部分对整篇文章进行概述，介绍全主元高斯消去法的基本原理和目的。
这将帮助读者初步了解文章的主题和内容。
接下来，在正文部分的第2.1节中，我们将详细介绍高斯消去法的基本原理。
通过解释高斯消去法的基本步骤和计算过程，读者将对该方法的工作原理有一个清晰的认识。
紧接着，在正文部分的第2.2节中，我们将着重介绍全主元高斯消去法的提出及其特点。
全主元高斯消去法在传统高斯消去法的基础上进行了改进，使得解方程组的过程更加稳定和准确。
列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程
计算方法实验报告1课题名称用列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程目的和意义高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法,但由它改进得到的选主元的高斯消去法则是目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程组的有效方法;用高斯消去法解线性方程组的基本思想时用矩阵行的初等变换将系数矩阵A 约化为具有简单形式的矩阵上三角矩阵、单位矩阵等,而三角形方程组则可以直接回带求解 用高斯消去法解线性方程组b Ax =其中A ∈Rn ×n 的计算量为：乘除法运算步骤为32(1)(1)(21)(1)(1)262233n n n n n n n n n n nMD n ----+=+++=+-,加减运算步骤为(1)(21)(1)(1)(1)(25)6226n n n n n n n n n n AS -----+=++=;相比之下,传统的克莱姆法则则较为繁琐,如求解20阶线性方程组,克莱姆法则大约要19510⨯次乘法,而用高斯消去法只需要3060次乘除法;在高斯消去法运算的过程中,如果出现absAi,i 等于零或过小的情况,则会导致矩阵元素数量级严重增长和舍入误差的扩散,使得最后的计算结果不可靠,所以目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程的快速有效的方法时列主元高斯消去法,从而使计算结果更加精确; 2、列主元三角分解法高斯消去法的消去过程,实质上是将A 分解为两个三角矩阵的乘积A=LU,并求解Ly=b 的过程;回带过程就是求解上三角方程组Ux=y;所以在实际的运算中,矩阵L 和U 可以直接计算出,而不需要任何中间步骤,从而在计算过程中将高斯消去法的步骤进行了进一步的简略,大大提高了运算速度,这就是三角分解法采用选主元的方式与列主元高斯消去法一样,也是为了避免除数过小,从而保证了计算的精确度计算公式1、 列主元高斯消去法设有线性方程组Ax=b,其中设A 为非奇异矩阵;方程组的增广矩阵为第1步k=1：首先在A 的第一列中选取绝对值最大的元素1l a ,作为第一步的主元素:111211212222112[,]n n n l n nn n a a a a b a a a b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦a b然后交换A,b 的第1行与第l 行元素,再进行消元计算;设列主元素消去法已经完成第1步到第k -1步的按列选主元,交换两行,消元计算得到与原方程组等价的方程组 Akx=bk第k 步计算如下：对于k=1,2,…,n -11按列选主元：即确定t 使 2如果t ≠k,则交换A,b 第t 行与第k 行元素; 3消元计算消元乘数mik 满足:4回代求解2、 列主元三角分解法 对方程组的增广矩阵 经过k -1步分解后,可变成如下形式：111max 0l i i n a a ≤≤=≠(1)(1)(1)(1)(1)1112111(2)(2)(2)(2)22222()(()1)()()()()()1,1()(,)()[,][,] k k k k nk k nk n k k k k k kk kn k k k k n k k k n nn a a a a b a a a b a a b a b b a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b A b ()()max 0k k tk ik k i na a ≤≤=≠,(1,,)ik ik ik kka a m i k n a ←=-=+, (,1,,), (1,,)ij ij ik kji i ik k a a m a i j k n b b m b i k n ←+=+⎧⎨←+=+⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-←←∑+=)1,,2,1(,)(1n n i a x a b x a b x ii n i j j ij i i nnn n [,]A A b =11121,11111222,122221,11,1,1,211,11,2121,112,112,1k k k k k k k j n k k j n k k k i i i k n n kk kj kn k ik ij in i nknjk k k j k n n nnk k n a a a b A a u u u u u u y l l l l l l ll l l l u u u u u y u u u u y a a b a a b l a -------------⎡→⎣⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦第k 步分解,为了避免用绝对值很小的数kku 作除数,引进量1111 (,1,,;1,2,,) ()/ (1,2,,;1,2,,)k kj kj km mj m k ik ik im mk kkm u a l u j k k n k n l a l u u i k k n k n -=-=⎧=-=+=⎪⎪⎨⎪=-=++=⎪⎩∑∑11(,1,,)k i ik im mk m s a l u i k k n -==-=+∑,于是有kk u =ks ;如果 ,则将矩阵的第t 行与第k 行元素互换,将i,j 位置的新元素仍记为jjl 或jja ,然后再做第k 步分解,这时列主元高斯消去法程序流程图max t ik i n s s ≤≤= ()/ 1,2,,)1 (1,2,,),kk k k t iki k ik u s s s l s s i k k n l i k k n ===++≤=++即交换前的，（且列主元高斯消去法Matlab主程序function x=gauss1A,b,c %列主元法高斯消去法解线性方程Ax=bif lengthA~=lengthb %判断输入的方程组是否有误disp'输入方程有误'return;enddisp'原方程为AX=b：' %显示方程组Abdisp'------------------------'n=lengthA;for k=1:n-1 %找列主元p,q=maxabsAk:n,k; %找出第k列中的最大值,其下标为p,qq=q+k-1; %q在Ak:n,k中的行号转换为在A中的行号if absp<cdisp'列元素太小,detA≈0';break;elseif q>ktemp1=Ak,:; %列主元所在行不是当前行,将当前行与列主Ak,:=Aq,:; 元所在行交换包括bAq,:=temp1;temp2=bk,:;bk,:=bq,:;bq,:=temp2;end%消元for i=k+1:nmi,k=Ai,k/Ak,k; %Ak,k将Ai,k消为0所乘系数Ai,k:n=Ai,k:n-mi,kAk,k:n; %第i行消元处理bi=bi-mi,kbk; %b消元处理endenddisp'消元后所得到的上三角阵是'A %显示消元后的系数矩阵bn=bn/An,n; %回代求解for i=n-1:-1:1bi=bi-sumAi,i+1:nbi+1:n/Ai,i;endclear x;disp'AX=b的解x是' x=b;调用函数解题列主元三角分解法程序流程图列主元三角分解法Matlab主程序①自己编的程序：function x=PLUA,b,eps %定义函数列主元三角分解法函数if lengthA~=lengthb %判断输入的方程组是否有误disp'输入方程有误'return;enddisp'原方程为AX=b：' %显示方程组Abdisp'------------------------'n=lengthA;A=A b; %将A与b合并,得到增广矩阵for r=1:nif r==1for i=1:nc d=maxabsA:,1; %选取最大列向量,并做行交换if c<=eps %最大值小于e,主元太小,程序结束break;elseendd=d+1-1;p=A1,:;A1,:=Ad,:;Ad,:=p;A1,i=A1,i;endA1,2:n=A1,2:n;A2:n,1=A2:n,1/A1,1; %求u1,ielseur,r=Ar,r-Ar,1:r-1A1:r-1,r; %按照方程求取ur,iif absur,r<=eps %如果ur,r小于e,则交换行p=Ar,:;Ar,:=Ar+1,:;Ar+1,:=p;elseendfor i=r:nAr,i=Ar,i-Ar,1:r-1A1:r-1,i; %根据公式求解,并把结果存在矩阵A中endfor i=r+1:nAi,r=Ai,r-Ai,1:r-1A1:r-1,r/Ar,r; %根据公式求解,并把结果存在矩阵A中endendendy1=A1,n+1;for i=2:nh=0;for k=1:i-1h=h+Ai,kyk;endyi=Ai,n+1-h; %根据公式求解yiendxn=yn/An,n;for i=n-1:-1:1h=0;for k=i+1:nh=h+Ai,kxk;endxi=yi-h/Ai,i; %根据公式求解xiendAdisp'AX=b的解x是'x=x'; %输出方程的解②可直接得到P,L,U并解出方程解的的程序查阅资料得子函数PLU1,其作用是将矩阵A分解成L乘以U的形式;PLU2为调用PLU1解题的程序,是自己编的Ⅰ.function l,u,p=PLU1A %定义子函数,其功能为列主元三角分解系数矩阵A m,n=sizeA; %判断系数矩阵是否为方阵if m~=nerror'矩阵不是方阵'returnendif detA==0 %判断系数矩阵能否被三角分解error'矩阵不能被三角分解'endu=A;p=eyem;l=eyem; %将系数矩阵三角分解,分别求出P,L,Ufor i=1:mfor j=i:mtj=uj,i;for k=1:i-1tj=tj-uj,kuk,i;endenda=i;b=absti;for j=i+1:mif b<abstjb=abstj;a=j;endendif a~=ifor j=1:mc=ui,j;ui,j=ua,j;ua,j=c;endfor j=1:mc=pi,j;pi,j=pa,j;pa,j=c;endc=ta;ta=ti;ti=c;endui,i=ti;for j=i+1:muj,i=tj/ti;endfor j=i+1:mfor k=1:i-1ui,j=ui,j-ui,kuk,j;endendendl=trilu,-1+eyem;u=triuu,0Ⅱ.function x=PLU2A,b %定义列主元三角分解法的函数l,u,p=PLU1A %调用PLU分解系数矩阵A m=lengthA; %由于A左乘p,故b也要左乘p v=b;for q=1:mbq=sumpq,1:mv1:m,1;endb1=b1 %求解方程Ly=b for i=2:1:mbi=bi-sumli,1:i-1b1:i-1;endbm=bm/um,m; %求解方程Ux=y for i=m-1:-1:1bi=bi-sumui,i+1:mbi+1:m/ui,i;endclear x;disp'AX=b的解x是' x=b;调用函数解题①②编程疑难这是第一次用matlab编程,对matlab的语句还不是非常熟悉,因此在编程过程中,出现了许多错误提示;并且此次编程的两种方法对矩阵的运算也比较复杂;问题主要集中在循环控制中,循环次数多了一次或者缺少了一次,导致数据错误,一些基本的编程语句在语法上也会由于生疏而产生许多问题,但是语句的错误由于系统会提示,比较容易进行修改,数据计算过程中的一些逻辑错误,比如循环变量的控制,这些系统不会提示错误,需要我们细心去发现错误,不断修正,调试;。
改进的并行高斯全主元消去法
行 带来 的通 信 开 销 ； 用 线 程模 型 确 定 最优 线 程数 ， 高运 行 消去 的速 度 ； 过 预 先 发 布 机 制 降低 回 代 求 解 步 骤 的 使 提 通
ｔ ｍｏｙ Ａ ｆ ｇ ａｒｙ ｉ ｓ ｄ ｔ ｖ ｉ ｈ ｏ ｏ ｍｅ ｒ ． ａ ｒａ ｓｕ ｅ ｏ ａ ｏｄ ｔｅ ｃ ｍｍｕ ｉａｉｎ ｃ ｓ ａ ｓ ｄ ｂ ｘ ｈ ｎ ｉｇ ｒＷＳ ａｔｒｆｎ ｉ ｇ ｐ ｖ ｔ ｌ ｎ ｃ ｔｏ ｏ ｔｃ ｕ ｅ ｙ ｅ ｃ ａ ｇｎ Ｏ ｆ ｄｎ ｉｏ ｅ ｉ ｅｅ ｎ ｓ Ａ ｈ ｅ ｄ ｍｏ ｅ ｓｕ ｅ ｏｆｎ ｈ ｐｉ ｌｎ ｍｂ ｒｏ ｒ ａ ｓ ｌｍｅ ｔ． ｔ ｒａ ｄ ｌｉ ｓ ｄ ｔ ｄ ｔｅ ｏ ｔ ｉ ｍａ ｕ ｅ ｆｔ ｅ ｄ ，ｗｈｃ ｐ ｅ ｓｕ ｈ ｌ ｎ ｔ ｎ． Ａｎ ｈ ｉｈ ｓ ｅ ｄ ｐ ｔ ｅｅｉ ａｉ ｍｉ ｏ ｄ ｔｅ ｔｍｅｃ ｍｐｅ ｉ ｆｂ ｃ ｗａｄ ｓ ｂ ｔ ｕｉｎ ｉ ｅ ｕ ｅ ｙｐ ｅｎｏ ｍｉ ｇ ｓｒ ｔｇ ． Ａｃｕ ｌｉ ｌｍｅ ｔｔｏ ｈ ｗｓ ｈ ｉ ｏ ｌｘ ｔ ｏ ａ ｋ ｒ ｕ ｓｉ ｔ ｓｒｄ ｃ ｄ ｂ ｒ ｉｆｒ ｎ ｔａｅ ｙ ｔ ｏ ｙ ｔ ａ ｍｐ ｅ ｎ ａｉｎ ｓ ｏ ｔａ ｈ ｐ ｅ ｕ ｎ ａ ｃ ｓａ ｈ ｕ ｅ ｆｅ ｕ ｔｏ ｓｉｃ ｅ ｓ ｓ，ｆｒａ ｌ ｅ ｒｓ ｓｅ ｏ ｖ ｈ ｕ ａ ｄ ｅ ｕ ｔｏ ｓ ｈ ｔｔ ｅｓ ｅ ｄ ｐ ｅ ｈ ｎ ｅ ｓｔｅ ｎ ｍｂ ｒｏ ｑ ａｉｎ ｎ ｒａ ｅ ｏ ｉ ａ ｙ ｔｍ ｆｆ ｅｔ ｏ ｓ ｎ ｑ ａｉｎ ， ｎ ｉ ｔｅ ｓ ｅ ｄ ｐ ｏ ｉｈ ｒｃ ｓｅ ａ ｅ ａ ｉｈ ａ ． ８，ｔ ｅｐ ｒ ｌ ｌｅ ｉｉｎ ｙｓａ ｉ ｚ ｓａ ｂ ｕ ８ ｈ ｐ ｅ ｕ ｆｅｇ ｔｐ ｏ ｅｓ ｓｃ ｎｂ ｓｈｇ ｓ６ ６ ｈ ａａｌ ｆ ｃ ｅ ｃ ｔｂ ｌ ｅ ｔａ ｏ ｔ ｅ ｉ ０． ５．Ａｌ ｔｅ ｅ ｌ ｈｓ ｉｄ ｃ ｔ ｈ ｔｔｅ ａｇ ｒｔｍ ａ ｏ ｄ ｓ ａａ ｉ ｔ ｎ ｔｂ ｅ ｐ ｒ ｌ ｌｅｆｃｅ ｃ ｎ ｉａｅ ｔａ ｈ ｌ ｏｉ ｈ ｈ ｓｇ ｏ ｃ ｌｂｌ ｙ ａ ｄ ｓａ ｌ ａ ａｌ ｆｉｉｎ ｙ，ａ ｄ ｃ ｎ ｂ ｓ ｄ ｉ ａｇ —ｃ ｌｄ ｉ ｅ ｎ ａ ｅ ｕ ｅ ｎ ｌｒ ｅｓ ａｅ
高斯消元法详细步骤
高斯消元法详细步骤嘿，朋友们！今天咱来唠唠高斯消元法，这可是个厉害的玩意儿呢！咱先来说说啥是高斯消元法。
你就想象啊，咱面前有一堆方程，就像一团乱麻，而高斯消元法呢，就是那把能把这团乱麻理顺的神奇梳子。
那它咋用呢？第一步，咱得把方程组整整齐齐地摆出来，就像士兵列队一样。
然后呢，开始找那个最关键的“带头大哥”，也就是一个系数比较特别的方程。
接下来，咱就开始操作啦！通过各种计算，把其他方程里的某个未知数给消掉。
这就好比打仗的时候，把敌人的一个据点给拔掉。
比如说，咱有两个方程，一个是 2x + 3y = 5，另一个是 4x + 5y = 7。
咱就可以通过一定的计算，让第二个方程里的 x 或者 y 的系数变成和第一个方程里对应的系数成倍数关系，然后进行相减或者相加，这不就把一个未知数给干掉啦！再然后呢，咱就得到了一个新的方程组，这个方程组比原来的可简单多啦！接着重复上面的操作，直到最后只剩下一个未知数，那咱不就轻松解出来啦！你想想，这多有意思啊！就像玩游戏闯关一样，一步步地把难题给攻克了。
要是你还不太明白，咱举个具体例子。
比如方程组：3x + 2y = 8，2x - y = 3。
咱先把第二个方程两边都乘以 2，变成 4x - 2y = 6，然后和第一个方程相加，这不就把 y 给消掉啦，得到 7x = 14，那 x 不就等于2 嘛。
再把 x = 2 带回到原来的方程里，就能求出 y 啦。
高斯消元法可不只是在数学课本里有用哦，在很多实际问题里都能派上大用场呢！比如说工程计算啦，科学研究啦。
所以啊，可别小瞧了这高斯消元法，它就像一把万能钥匙，能帮咱打开很多知识大门呢！咱可得好好掌握它，让它为咱服务呀！怎么样，是不是觉得挺神奇的？快去试试吧！。
列主元高斯消去法发展过程
列主元高斯消去法发展过程
高斯消去法是一种用于解线性方程组的经典方法。
它的发展过程可以追溯到古希腊时期，但真正的发展始于19世纪。
1. 古希腊时期：古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中首次提出了用于解线性方程组的方法。
他主要使用了几何的方法，通过图形的相交性质来解决方程组。
2. 16世纪：法国数学家维埃塔在其著作《代数》中提出了基本的高斯消去法思想。
他发现可以通过一系列的行变换将线性方程组转化为更简单的形式，从而得到方程组的解。
3. 18世纪：欧拉和克莱姆等数学家进一步发展了高斯消去法的思想。
他们提出了行列式的概念，并使用行列式来描述方程组的解的性质。
4. 19世纪：德国数学家高斯在其著作《线性方程论》中系统地阐述了高斯消去法的基本原理和方法。
他引入了主元的概念，即将方程组的系数矩阵化为上三角矩阵，从而简化了方程组的求解过程。
这被认为是高斯消去法的重要发展。
5. 20世纪：随着计算机的发展，高斯消去法的实际应用得到了广泛推广。
为了进一步提高计算效率，人们发展了一些优化技术，如列主元高斯消元法和高斯-约当消去法等。
高斯消去法的发展经历了数千年的演变过程。
从最初的几何方法到
现代的算法优化技术，高斯消去法在解决线性方程组的问题上发挥了重要作用。
(完整版)2.3高斯列主元消去法
2.3高斯列主元消去法解线性方程组一：问题的提出我们都知道，高斯列主元素消去法是计算机上常用来求解线性方程组的一种直接的方法。
就是在不考虑舍入误差的情况下，经过有限步的四则运算可以得到线性方程组的准确解的一类方法。
实际运算的时候因为只能有限小数去计算，因此只能得到近似值。
在实际运算的时候，我们很多时候也常用高斯消去法。
但是高斯消去法在计算机中运算的时候常会碰到两个问题。
1．一旦遇到某个主元等于0，消元过程便无法进行下去。
2．在长期使用中还发现，即使消元过程能进行下去，但是当某个主元的绝对值很小时，求解出的结果与真实结果相差甚远。
为了避免高斯消去法消元过程中出现的上述两个问题，一般采用所谓的选择主元法。
其中又可以分为列选主元和全面选主元两种方法。
目前计算机上常用的按列选主元的方法。
因此我在这里做的也是列选主元高斯消去法。
二、算法的基本思想大家知道，如果一个线性方程组的系数矩阵是上三角矩阵时，即这种方程组我们称之为上三角方程组，它是很容易求解的。
我们只要把方程组的最下面的一个方程求解出来，在把求得的解带入倒数第二个方程，求出第二个解，依次往上回代求解。
然而，现实中大多数线性方程组都不是上面所说的上三角方程组，所以我们有可以把不是上三角的方程通过一定的算法化成上三角方程组，由此我们可以很方便地求出方程组的解。
高斯消元法的目的就是把一般线性方程组简化成上三角方程组。
于是高斯消元法的基本思想是：通过逐次消元将所给的线性方程组化为上三角形方程组，继而通过回代过程求解线性方程组。
三、算法的描述1、设有n 元线性方程组如下：1111n n nn a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K M OM L1n x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ＝1n b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M 2、 第一步：如果a 11!=0, 令l i1= ai1/a11, I= 2,3,……,n用（-li1）乘第一个方程加到第i 个方程上,得同解方程组：a (1)11 a (1)12 . . . a (1)1nx 1 b (1)1a (1)21 a (1)22 . . . a (1)2n x 2b (1)2. . . . . . . = .a (1)n-11 a (1)n-12 . . a (1)n-1n x n-1b (1)n-1a (1)n1 a (1)n2 . . . a (1)nn x nb (1)n简记为：A (2) x = b (2)其中a (2)ij = a (1)ij – l i1 * a (1)1j , I ,j = 2,3,..,nb(2)I = b(1)I– l i1 * b(1)1 , I = 2,3,...,n第二步：如果a(2)22 != 0,令l i2= a（2）i2/a（2）22, I= 3,……,n依据同样的原理，对矩阵进行化间（省略），依次下去，直到完成！最后，得到上三角方程组：a(1)11a(1)12 . . . a(1)1n x1b(1)10 a(1)22 . . . a(1)2n x2b(1)2. . . . . . . = .0 0 . . a(n-1)n-1n x n-1b(n-1)n-10 0 . . . a(n)nn x n b(n)n简记为：A(n) x = b(n)最后从方程组的最后一个方程进行回代求解为：X n = b(n) / a(n)nnX i = ( b(k)k - a(k)kj x j ) / a(k)kk以上为高斯消去法的基本过程。
求解线性方程组的不同高斯消去法
【求解结果及分析】 （1）消元后的 A 4.0000 0 0 0 14.0000 6.5000 0 0 9.0000 -5.2500 -2.0769 0 -13.0000 3.2500 2.0000 -0.4444 消元后的 b 7.0000 10.2500 1.7692 -1.7778 结果 x 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000
此结果和利用顺序高斯消去法得到的结果一样，可见对于方程组（1）两种方法同样有 效，并且由计算结果可得知列主元高斯消去法的计算结果要更加精确。 （2）消元后的 A 1 0 1 1 消元后的 b 2 1 结果 x 1 1
10 -18 1 x1 1 (2) 1 1 x 2 2
【Matlab 程序】
2
clear; MatrixA=[2 10 0 -3;-3 -4 -12 13;1 2 3 -4;4 14 9 -13]; MatrixB=[10;5;-2;7]; %MatrixA=[1e-18 1 ;1 1]; %MatrixB=[1;2]; Lent=length(MatrixB); MatrixX=zeros(Lent,1); for i=1:Lent-1 for j=i+1:Lent for k=i+1:Lent MatrixA(j,k)=MatrixA(j,k)-MatrixA(i,k)*(MatrixA( j,i)/MatrixA(i,i)); end
【求解结果及分析】 （1）消元后的 A 2.0000 0 0 0 （2）消元后的 A 1.0e+018 * 0.0000 0 0.0000 -1.0000 10.0000 11.0000 0 0 0 -12.0000 -0.2727 0 -3.0000 8.5000 -0.1818 -4.0000 消元后的 b 1.0e+018 * 0.0000 -1.0000 0 1 消元后的 b 10.0000 20.0000 -1.5455 -16.0000 结果 x 结果 x 1 2 3 4
第四章高斯消元法与选主元
i, j = k +1, k + 2,...,n
继续下去到第n-1步消元,可将线性方程组化为如下上三角方 程组: ⎫
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪ (1) (1) (1) a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2 ⎪ ⎬ L ⎪ ( n −1) ( n −1) ⎪ a nn x n = bn ⎭
(1) ( 2)
aij
( 2)
= aij + mi 2a2 j , bi
(1)
= bi + mi 2b2
(1)
(1)
i, j = 3,4,...,n
( k −1 ) ≠ 0 ,取 m ik 第k步: 设 a kk 个方程组的xk,i=k+1,k+2,…,n)
( a ikk − 1 ) = − ( k −1 ) a kk
组
求解一个三角形方程组 需n个除法与∑ i − 1) = （
i =1
n
1 1 n ( n − 1) ≈ n 2 2 2
次加法与乘法。
2.Gauss消元法
(一) 高斯消去法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先,把 原方程组化为上三角形方程组,称之为“消去(消元)”过程;然后, 用逆次序逐一求出三角方程组(原方程组的等价方程组)的解,并 称之为“回代”过程.,下面分别写出“消去(消元)”和“回代” 两个过 程的计算步骤.
为求解上面的上三角方 程组，从最后一 个方程开始，先解出 x n = bn / a nn , 然后按方程 从后向前的顺序，用已 求出的 x k 值，从方程 中依次解出 x n −1 , x n − 2 ,...., x1。这样就完成了上三 角方程组的求解过程这 个过程的计算公式为： x n = bn / a nn x i = ( bi −
全选主元的高斯消元法
全选主元的高斯消元法
选主元的G-J消元法通过这样的方法来进行初等变换：在每一个循环过程中，先寻找到主元，并将主元通过行变换（无需列变换）移动到矩阵的主对角线上，然后将主元所在的行内的所有元素除以主元，使得主元化为1；然后观察主元所在的列上的其他元素，将它们所在的行减去主元所在的行乘以一定的倍数，使得主元所在的列内、除主元外的其他元素化为0，这样就使得主元所在的列化为了单位矩阵的形式。
这就是一个循环内做的工作。
然后，在第二轮循环的过程中，不考虑上一轮计算过程中主元所在的行和列内的元素，在剩下的矩阵范围内寻找主元，然后（如果其不在主对角线上的话）将其移动到主对角线上，并再次进行列的处理，将列化为单位矩阵的形式。
余下的步骤依此类推。
具体的计算过程的一个例子，请看下面我举的求逆矩阵的过程。
实验四 行列式的值
实验四 行列式的值一、实验目的掌握计算机求行列式值的常用算法。
二、实验内容1、 全选主元高斯消去法求det(A).2、 对称正定矩阵的Cholesky 分解及利用它求矩阵对应的行列式值。
三、实验步骤1、 上机前认真复习行列式值Gauss 消去法、Cholesky 分解法等概念，读懂本实验程序。
2、 上机前完成本实验作业题的手算部分和上机程序。
3、 上机调试程序，输出正确结果。
4、 做完实验后，交实验报告。
四、方法说明1、 用全选主元高斯（Gauss ）消去法计算n 阶方阵A 所对应的行列式值。
用高斯消去法对方阵A 进行一系列变换，使之成为上三角矩阵，其主对角线上的各元素的乘积即为行列式的值。
变换过程如下：对于k=0,1,2,…,n-2作变换1,,1,,/-+=⇒∙-n k j i a a a a a ij kk kj ik ij为保证数值稳定性，在实际变换过程中采用全选主元。
2、 用乔里斯基(Cholesky)分解法求对称正定矩阵的三角分解，并求行列式的值。
设n 阶矩阵A 为对称正定，则存在一个实的非奇异的下三角阵L ，使A=LL T ，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,10,1111000n n n n l l l l l l L乔里斯基分解的步骤为： 对于j=0,1,…,n-1(1) 2112)(∑-=-=j k jkjj jj la l(2) 211)()det(,1,,1,/)(∏∑-=-==-+=-=n k kk jj j k jk ikij ij l A A n j i l l la l 的行列式值为求行列式值det （A ）及d et （B ）。
其中 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=13157581181554233,16151413121110987654321B A实验五 求解三对角线性方程组一、实验目的掌握三对角线性方程组的特色解法。
高斯消元法和列主元消元法
用第二列的3、4行除以 k22得
- 25 - 5 = 11 = k 32 90 18 11
k
42
=
3 1 9 1
2 1 = 0 1
16 45
第三行减去第二行乘以 k 3 2 ， 第四行减去第二行乘以k 4 2 。
由以上可得：
骣 1 5 ç11 ç ç 32 ç 0 19 ç ç 11 11 ç ç ç ç 1870 ç0 0 ç ç 198 ç ç ç ç 0 0 - 1727 ç ç 桫 495 - 4 25 11 1133 198 8195 495 13 ÷ ÷ ÷ 147 ÷ ÷ ÷ 11 ÷ ÷ ÷ ÷ 3003 ÷ ÷ ÷ ÷ 198 ÷ ÷ ÷ 6468 ÷ ÷ ÷ ÷ 495 ÷
- 4 25 11 1133 198 3421705518 183278700
÷ ÷ ÷ ÷ 147 ÷ ÷ ÷ 11 ÷ ÷ ÷ ÷ 3003 ÷ ÷ ÷ ÷ 198 ÷ ÷ 3421705518 ÷ ÷ ÷ ÷ 183278700 ÷
13
回代过程可得：
X 4 = 1; X 3 = 1; X 2 = 1; X 1 = 1;
1 k 41 = 11
第二行减去第一行乘以 k 21 ， 第三行减去第一行乘以 第四行减去第一行乘以
k k
31
，
。
41
由此上可得：
骣 1 ç11 ç ç 90 ç0 ç ç 11 ç ç ç ç ç 0 - 25 ç ç 11 ç ç ç 32 ç0 ç ç 桫 11 5 - 4 13 ÷ ÷ ÷ 32 25 147 ÷ ÷ ÷ 11 11 11 ÷ ÷ ÷ ÷ 95 56 126 ÷ ÷ ÷ ÷ 11 11 11 ÷ ÷ ÷ - 27 191 196 ÷ ÷ ÷ ÷ 11 11 11
高斯消去法的功能
高斯消去法的功能高斯消去法（Gaussian elimination），也叫高斯消元法，是数学中一种求解线性方程组的方法。
它通过将线性方程组化为阶梯形式，从而简化求解过程。
高斯消去法广泛应用于科学、工程、经济和计算机科学等领域，是解决实际问题中常用的方法之一。
高斯消去法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为简化的形式，即阶梯形矩阵。
在该过程中，每一步都是为了让某一行的某个未知数（列元素）为0。
通过不断的行变换，最终将方程组转化为上三角形式。
接着可以通过回代求解得到方程组的解。
高斯消去法求解线性方程组的基本步骤如下：1.首先，将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵与常数矩阵合并为一个增广矩阵。
2.选择一个主元素，可以是任意一个非零元素（通常选取第一行第一列的元素），并通过行变换将该主元素上方的元素全部化为0。
3.重复步骤2，选取下一个主元素，并通过行变换将该主元素上方的元素全部化为0。
依次进行，直到将矩阵化简为上三角形式。
4.通过回代求解得到方程组的解。
从最后一行开始，将代入答案的解依次回代到前面的行中，直到得到所有未知数的解。
高斯消去法的优点在于它能够有效地求解一般的线性方程组，并且求解过程相对简单。
它可以用于求解大规模的线性方程组，适用于各种类型的线性方程组，甚至包括有多个未知数和方程组数目大于未知数个数的时候。
此外，高斯消去法的计算量相对较小，时间复杂度为O(n^3)。
因此，它被广泛用于实际问题的求解中。
高斯消去法的应用非常广泛，下面列举一些常见的应用场景：1.线性代数：高斯消去法可以用来求解线性方程组，解决线性代数中的一些基本问题，如求解向量组的线性相关性、子空间、特征值和特征向量等。
2.物理学：高斯消去法可以用于解决物理学中的一些问题，如力学、电磁学、热力学等领域的方程组求解。
3.金融学：高斯消去法可以用于金融学中的风险管理和金融衍生品估值等问题，如Black-Scholes模型的求解。
高斯顺序消去法的条件 -回复
高斯顺序消去法的条件-回复高斯顺序消去法，也被称为高斯消元法或高斯消元算法，是一种用于解线性方程组的数值解法。
它的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组转化为一个上三角矩阵，然后通过回代求解出方程的解。
高斯顺序消去法适用于满足以下条件的线性方程组：1. 方程个数等于未知数个数：高斯顺序消去法只适用于方程个数等于未知数个数的情况。
假设方程个数为n，那么未知数个数也应为n。
2. 矩阵的行列式不为0：在进行高斯顺序消去法时，需要将系数矩阵进行行变换，其中包括将某一行乘以一个非零常数，或将某一行加到另一行上。
若矩阵的行列式为0，说明矩阵的行线性相关，无法进行行变换得到上三角矩阵。
3. 未知数的个数必须大于或等于方程组的秩：方程组的秩指的是矩阵的秩，即线性方程组的系数矩阵经过高斯消元法得到的上三角矩阵中非零行的个数。
未知数个数必须大于或等于方程组的秩，否则方程组存在自由变量，无法使用高斯顺序消去法求解。
4. 系数矩阵的系数不应过大或过小：在进行高斯顺序消去法时，系数矩阵中的系数大小对计算结果的精确性有影响。
若系数值过大或过小，会导致计算过程中出现大数吃小数或小数吃小数的情况，从而降低计算结果的准确性。
基于上述条件，以下是高斯顺序消去法的具体步骤：步骤1：构造增广矩阵将线性方程组的系数矩阵与常数项矩阵按列连接起来，形成一个增广矩阵。
步骤2：主元确定找到增广矩阵的第一列中绝对值最大的元素（称为主元），将其所在行与第一行进行交换。
步骤3：主元归一化将主元所在行的元素都乘以一个适当的常数，使主元变为1。
步骤4：消元过程从第一行的下一行开始，将各行的第一列元素消为零。
具体操作是，将下一行第一列的元素乘以一个适当的常数，然后将得到的结果加到第一行的对应的元素上。
重复这一步骤，直到第一列的所有元素都变为零。
步骤5：重新确定主元在步骤4的过程中可能会存在一些舍入误差，导致第一列中的某些元素不为零。
因此，在消元过程结束后，重新找到第二列中的主元，将其所在行与第二行进行交换，并将主元归一化。
列主元消去法与全主元消去法
0.50 1.10 3.10
2.00
4.50
0.360
5.00 0.960 6.50
5.00
选主元
~
r1 r3
2.00 0.50
0.960 4.50 1.10
6.50 0.360 3.10
5.00
消元
0
0
0.960 4.12 1.00
6.50 2.24 2.45
6.00
0.020
记为 A1 b1 。新方程组与1.4同解，且它的第一个约化
主元比起第一列中其他元素有较大的绝对值。这时，消去
x1系数所用的乘数因子 ai1 al1的绝对值不超过1，因而在消 元过程第一步中，舍入误差的影响得以减弱。
2021/3/17
一般的，在做第k步消元之前，通过方程交换将第k列 主对角元素中绝对值最大者换到第k个方程，作为新的主
2021/3/17
例 4.5 用全主元法求解线性方程组
x1 2x2 3x3 1 5x1 4x2 10x3 0 3x1 0.1x2 x3 2
4.2
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x1 x2 x3 b
x3 x2 x1 b
1 5
2 4
3
10
1
交换1,2行
10
0
3
4 2
5 0
1
消元 1
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1 Pij
1 0 1 1
i列
1
1
0
1
1
j列
2021/3/17
4.3
定理 4.6 如果n阶矩阵A非奇异，那么存在n阶置换矩阵 P使得PA有唯一的三角分解
PA LU , 其中，L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵。
全主元高斯消去法的并行算法
消 去 计 算
对主元素作归一化操作，将主行广播给所有处理器 各处理器利用接收到的主元素对其部分行向量做行变换
回 代 过 程
一旦被计算出来，就立即广播给所有的处理器， 用于与对应项相乘并做求和计算。
结束
谢
谢
m b i 2 , 3 , , n ) bi b 消 ai1 a m a ( i 2 , 3 , , n ) ， i i 1 1( i 1 i 1 11 a 元 i1 m ( i 2 , 3 , ,n ) ， i1 a 计 11 算 ( k ) ( k )
原因何在
显然,计算解与真解相差太大，原因何在
用绝对值小的数作除数，会导致矩阵元素数量级严重增长和舍入误差的
扩散，使得最后的计算结果不可靠。
1
1 m 21 11 0 .310 12 0 .3333333333 10
解法2 用行变换的高斯消去法.
11 x x 0 . 9 0 .3 10 x 0 .7 1 2 1 x 2 11 0 . 3 10 x x 0 . 7 x x 0 . 9 1 2 1 2
1111列元素列与第第交换时当jbaj??行元素行与第第交换时当1111ibai??消元元计算算321111niamaii??????1ia3211nibmbii??????ib321111niaamii?????a约化为b?kkbaba???kkabab?111211222nkkknknknnnaaababaabaab????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????nnnnnnbbbyyyaaaaaa?????212122211211经过上述过程方程组约化为回代求解??????????????????????????1211?niayabyabyiinijjijiinnnnchp3服务内容3算法并行任务分配
使用全选主元高斯消去法求解线性方程组程序
使用全选主元高斯消去法求解线性方程组程序' 参数n - Integer型变量，线性方程组的阶数' dblA - Double型n x n 二维数组，线性方程组的系数矩阵' dblB - Double型长度为n 的一维数组，线性方程组的常数向量，返回方程组的解向量' 返回值：Boolean型，求解成功为True，无解或求解失败为False'====函数代码如下====Public Function LEGauss(n As Integer, dblA() As Double, dblB() As Double) As Boolean ' 局部变量Dim i As Integer, j As Integer, k As IntegerDim nIs As IntegerReDim nJs(n) As IntegerDim d As Double, t As Double' 开始求解For k = 1 To n - 1d = 0#' 归一For i = k To nFor j = k To nt = Abs(dblA(i, j))If t > d Thend = tnJs(k) = jnIs = iEnd IfNext jNext i' 无解，返回If d + 1# = 1# ThenLEGauss = FalseExit FunctionEnd If' 消元If nJs(k) <> k ThenFor i = 1 To nt = dblA(i, k)dblA(i, k) = dblA(i, nJs(k))dblA(i, nJs(k)) = tNext iEnd IfIf nIs <> k ThenFor j = k To nt = dblA(k, j)dblA(k, j) = dblA(nIs, j)dblA(nIs, j) = tNext jt = dblB(k)dblB(k) = dblB(nIs)dblB(nIs) = tEnd Ifd = dblA(k, k)For j = k + 1 To ndblA(k, j) = dblA(k, j) / dNext jdblB(k) = dblB(k) / dFor i = k + 1 To nFor j = k + 1 To ndblA(i, j) = dblA(i, j) - dblA(i, k) * dblA(k, j) Next jdblB(i) = dblB(i) - dblA(i, k) * dblB(k)Next iNext kd = dblA(n, n)' 无解，返回If Abs(d) + 1# = 1# ThenLEGauss = FalseExit FunctionEnd If' 回代dblB(n) = dblB(n) / dFor i = n - 1 To 1 Step -1t = 0#For j = i + 1 To nt = t + dblA(i, j) * dblB(j)Next jdblB(i) = dblB(i) - tNext i' 调整解的次序nJs(n) = nFor k = n To 1 Step -1If nJs(k) <> k Thent = dblB(k)dblB(k) = dblB(nJs(k))dblB(nJs(k)) = tEnd IfNext k' 求解成功LEGauss = TrueEnd Function。