面面垂直判定定理
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理
转化结论
CB
D β
E 证明：在平面β内过D作直线
A
DE ⊥AB
则CDE是二面角 - AB 的平面角
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
8
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
β
a l
A α
符号语言：
α
Aa
β
a⊥β
B
12
例3 , a , a ,判断a与位置关系
证明：设 I l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
I bbll Nhomakorabeab 又a
线面垂直
a // b 性质
b
a //
a
面面垂直性质 13
变式：
思考：已知平面，，直线a,且 , AB, a //, a AB,试判断直线a与平面的位置关系。
2、会利用“转化思想”解决垂直问题
面面关系
线面关系
线线关系
空间问题平面化 面面平行
线面平行
线线平行
面面垂直
线面垂直
线线垂直
16
线l在平面α内，那么直线l与平面β的位
置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
6
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
α
β
7
证明问题：
已知： ， AB,CD ,且CD AB. 求证：CD
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理ppt课件
a⊥β α
b
a
B
γ
证明：过a作平面γ交于b， 因为直线a//，所以a//b
β 又因为a⊥AB，所以b⊥AB
A
又⊥β，∩β=AB
辅助线（面）：
所以b⊥β
发展条件的使解题过 程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，
平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D， ∵平面SAB⊥平面SBC，
直线l在平面α内，那么直线l与平面β
的位置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
α
β
证明问题：
已知： ， A , C B , 且 D C A . 求D 证：B CD
β
a
l
A α
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂直
线面垂直 面面垂直
定义
性质
问题2 , a , a , 判 断 a 与 位 置 关 系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已 ， ， 知直 平 a,且 线 面 ,A,B
a/ /,aA,B 试判断 a与直 平 的 线 面 位置关
符号语言：
ab
a ,b a //b
α
线面垂直关 系
最新版整理ppt
线线平行关 系
3
平面与平面垂直的性质
温故知新
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平ab a //面平行。
符合表示：a// b2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：aa//a // bab二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
n // b m // aa b M //mnN符号表示：2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
//符号表示：l l// d （更加实用的性质：一个平d面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直a c线垂直这个平面。
符号表示： a b ab c M＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直aoApoa oA A2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平 面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、 判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
a , a2、 性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一 个平面。
， b, a ,a b a 符号表示:a PA。
面面垂直判定定理的证明
面面垂直判定定理的证明在几何学中，面面垂直判定定理是一个非常重要且基础的定理，它可以帮助我们判断两个平面是否垂直。
在这篇文章中，我们将详细证明这个定理，以便读者更好地理解和掌握这一概念。
我们来看一下面面垂直判定定理的表述：如果两个平面相交于一条直线，并且这两个平面与另一平面的截痕相互垂直，那么这两个平面就是垂直的。
这个定理的证明并不复杂，但需要一些基本的几何知识和推理能力。
为了证明这个定理，我们可以采用间接证明的方法。
假设两个平面A和B相交于一条直线l，并且这两个平面与另一平面C的截痕相互垂直。
我们假设平面A和平面C不垂直，即它们的截痕不垂直。
那么根据垂直平面的定义，平面A和平面C的截痕应该是平行的。
同理，我们假设平面B和平面C也不垂直，那么平面B和平面C的截痕也应该是平行的。
现在，我们来考虑平面A和平面B在直线l上的投影。
由于平面A 和平面B相交于直线l，它们在直线l上的投影是相交的。
而根据垂直平面的性质，如果两个平面在一条直线上的投影相交，那么这两个平面是垂直的。
因此，根据这一推理，我们可以得出结论：如果平面A和平面B与另一平面C的截痕相互垂直，那么平面A和平面B也是垂直的。
通过上面的推理过程，我们可以证明面面垂直判定定理的正确性。
这个定理在几何学中有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解空间中平面的关系。
希望通过这篇文章的介绍，读者能够对面面垂直判定定理有一个更清晰的认识，并能够灵活运用这一定理解决实际问题。
总的来说，面面垂直判定定理是几何学中一个基础且重要的定理，通过简单的推理和证明，我们可以得出结论：如果两个平面与另一平面的截痕相互垂直，那么这两个平面也是垂直的。
这个定理的证明并不复杂，但需要我们对几何学的一些基本概念有一定的了解和掌握。
希望本文能够帮助读者更好地理解面面垂直判定定理，并能够在实际问题中灵活运用这一定理。
线面、面面平行及垂直八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判断定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平ab a //面平行。
切合表示： a // b2、性质定理：假如一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面订交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：aa //a // bab二、面面平行。
1、判断定理：假如一个平面内有两条订交直线分别平行于另一个平面内的两条订交直线，那么这两个平面平行。
n // bm // aa b M//m n N符号表示：2、性质定理：假如两个平面平行同时与第三个平面订交，那它们的交线平行。
//符号表示：l l // d （更为适用的性质：一个平d面内的任向来线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判断定理：假如一条直线与一个平面内的两条订交直线都垂直，那么这条直a c线垂直这个平面。
a b符号表示：ab c M＄：三垂线定理：（常常考到这类逻辑）在平面内的一条直线，假如它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：aoAa PApoa oA A2、性质定理：垂直同一平面的两条直线相互平行。
（更为适用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任向来线。
）四、面面垂直。
1、判断定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
a, a2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
，b, a, a b a。
面面垂直的判定定理
面面垂直的判定定理
判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
推论：1、如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。
2、如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）面面垂直性质定理
1.若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2.若两个平面垂直，则过第一个平面内任意一点，向另一平面作这条垂线必在第一个平面内。
3.若两个平面垂直，则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直。
2面面垂直定理证明
证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β
∵a⊂α，P∈a
∴P∈α
即α和β有公共点P，因此α与β相交。
设α∩β=b，∵P是α和β的公共点
∴P∈b
过P在β内作c⊥b
∵b⊂β，a⊥β
∴a⊥b，垂足为P
又c⊥b，垂足为P
∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角
∵c⊂β
∴a⊥c，即∠aPc=90°
根据面面垂直的定义，α⊥β。
面面垂直的性质定理
例1如：图:已知平面α，β，α⊥β,直线a满足
a⊥β，a α ，判断直线a与平面 α 的位置关系。
分析:在 内作垂直于 与β交线的直线b。 α
∵ ⊥β
ba
∴b ⊥β(平面与平面垂直的性质定理)
∵ ⊥β
β
∴a//b(直线与平面垂直的性质定理)
又∵a
∴a// (直线与平面平行的判定定理)
即直线a与平面 平行。
练习：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同 于A，B的任意一点，已知平面PAC⊥平面ABC。 (1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。 (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
P
C
A
O
B
思考题：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
与个另平一面内个的平直面线垂与直另.
l
一符个号平表面示的：有哪些位
b面bb简面述垂为：直该命题正确线吗？面垂直
面面垂直性质的证明：
已知α β,α β CD, AB β, AB CD于B.
求证:AB α.
证明:在平面 α内作BE⊥CD,垂足为B。
则∠ABE就是二面角α-CD-β的平面角。
ABE 900 AB BE
AB BE
AB CD BE CD B
AB
BE
CD
A D
BE C
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
已知:平面α⊥平面β,α∩β＝L,则
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β
（ ×）
(2)垂直于交线L的直线必垂直于平面β
（ ×）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此
P
面面垂直的判定与性质定理
面面垂直的判定与性质定理一.面面垂直的判定定理：符号表示：1.（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,1AB AA==1A(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.2．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD-中,//AB CD,AB AD⊥,2CD AB=,平面PAD⊥底面ABCD,PA AD⊥,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)//BE平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD3．（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥P ABCD -中,,AB AC AB PA ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点(Ⅰ)求证:CE PAD ∥平面;(Ⅱ)求证:EFG EMN ⊥平面平面4.（2013年高考天津卷（文））如图, 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点.(Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ; (Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;ABCD 图2BACD 图1二. 面面垂直的性质定理：符号表示：5. 如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE .(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求证：//AC 平面BEF ； （Ⅲ）求四面体BDEF 的体积.6.如图1,在直角梯形A B C D 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.(Ⅰ) 求证:BC ⊥平面ACD ；(Ⅱ) 求几何体D ABC -的体积.CDFE。
线面面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理
一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
符合表示：
2、性质定理：如果一条直线和平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：
二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示：
2、性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示：
＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：
PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪
⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）
四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面和该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
【精品】面面垂直判定定理
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内 √ 的两条相交直线, 则α⊥β.（ ） 4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( ) √
∪
二、填空题：
无数个平面 1.过平面α的一条垂线可作_____ 与平面α垂直. 无数 2.过一点可作____个平面与已知平面垂直
一个平 3.过平面α的一条斜线，可作____ 面与平面α垂直. 一个平 4.过平面α的一条平行线可作____ 面与α垂直.
归纳小结：
(1)判定面面垂直的两种方法： ①定义法 ②根据面面垂直的判定定理 (2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面
互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平
面的另一个平面的依据；
(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面
面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来
解决.
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
两个平面互相垂直的意义
两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面 相互垂直.
记作:
猜想：
如果一个平面经过了另一 个平面的一条垂线，那么这两 个平面互相垂直.
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
二面角的平面角必须满足：
二 面 角 的 平 面 角
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
A A O
l
O B
B
哪个对?怎么画才对?
10
(4)二面角的范围
[0 ,180 ]
A
。
。
(5)直二面角 平面角为直角的二面角 叫做直二面角
B
归纳：求二面角大小的步骤为：
面面垂直判定定理
猜想：
如果一个平面经过了另一个 平面的一条垂线，那么这两个 平面互相垂直.
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
l α 符号表示： αβ l β
线线 垂直 线面 垂直
C A
l
B D
面面 垂直
面面垂直的判定定理
：线面垂直则面面垂直
如果一个平面经过另一个平面 如果一个平面内有一条直线垂直于 的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 . 另一个平面，那么这两个平面互相垂直。
β l α
符号表示：
l l A
线面垂直 面面垂直
线线垂直
一、判断：
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内 的一条直线，则α⊥β.（ ）
平面与平面 垂直的判定
复习：直线与平面垂直的判定定理 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 则这条直线垂直于这个平面. 关键：线不在多，相交则行
m n mn P l l m l n 线线垂直ຫໍສະໝຸດ 线面垂直lα
m
P
n
问题：
如何检测所砌的墙面和地 面是否垂直？（即如何判定面 面垂直呢？）
×
2.如果平面α内有一条直线垂直于 平面β内的两条直线，则α⊥β.（
×） √
）
3. 如果平面α内的一条直线垂直于 平面β内的两条相交直线, 则α⊥β.（
4.若m⊥α，m
β，则α⊥β.(
)√
∪
例1、已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为 垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B 的一点。 求证：平面PAC平面PBC；
作业：数学书74页B组第1题 晚修练习：限时训练P108
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面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么 这两个平面互相垂直
符号表示：
l
l α
l β α β
线⊥面
面⊥面
一、例题（方式：先学生思考，后规范点评）
例1：A是ΔBCD所在平面外一点, AB=AD, BC=CD，E是BD的中点， 求证：平面AEC⊥平面ABD
授课人：丁建松
复习提问
1．线面垂直的定义 2．线面垂直的判定定理
图形语言： 符号语言：
学习目标：
1、理解两个平面垂直的定义、画法、记法； 2、熟练掌握两个平面垂直的判定定理并应用解决简单的证明题
重点：平面与平面垂直的判定定理及应用. 难点：应用平面与平面垂直判定定理解决问题.
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
A
证明：∵AB=AD，E为BD中点
∴AE⊥BD
同理 CE⊥BD
B
C
又∵AE 面Biblioteka EC，CE 面AECE D
且AE∩CE=E
∴BD⊥面AEC
又 BD 面ABD
∴平面AEC⊥平面ABD
例2.如图所示，AB⊥平面BCD，BC⊥CD， 与面BCD垂直的平面有———— 与面ABC垂直的平面有——A ——
P
求证：平面ABC⊥平面PAC
C
A
B
2、（选做）已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，且PA=AD,
M是PD的中点，N是PC的中点，
p
求证：平面AMN⊥平面PDC
D A
C B
课后作业：
必做：课本73页1、3 选做：课本74页1、4
解：∵AB⊥平面BCD
AB 面ABC, AB面ABD
∴面ABC ⊥面BCD,面ABD ⊥面BCD
∵ AB⊥平面BCD ∴ AB⊥ CD
B
又BC⊥CD， AB∩BC＝B,
AB,BC 面ABC ∴ CD ⊥面ABC
又CD 面ACD，∴面ACD⊥面ABC
D C
巩固提高（方式：时间10分钟，找两位同学板书步骤）
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆 周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
归纳小结：
(1)判定面面垂直的主要方法：
判定定理
(2)从法面面垂直的判定定理我们还可 以看出证明面面垂直的问题可以转 化为证明线面垂直的问题来解决.
当堂检测（学生8分钟独立完成）
1、（必做）在三棱锥P—ABC中，已知PA⊥AB, PA⊥AC.