专题10、平面向量中的范围和最值问题

专题十、平面向量中的最值和范围问题

平面向量中的最值和范围问题， 是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根 据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数.解决这类问 题的一般思路是建立求解目标的函数关系， 通过函数的值域解决问题， 同时，平面向量兼具“数”

与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合.

考点1、向量的模的范围

例1、⑴已知直角梯形ABCD 中，AD //BC , ADC 90°,AD 2,BC 1,P 是腰DC 上的 动点，贝U PA 3PB 的最小值为 ______________ .

120 °贝U 的取值范围是 _________________

变式：已知平面向量a, B 满足| | | | 1，且a 与 的夹角为120 ，则

|(1 t) 2t |(t R)的取值范围是 ______________________ ;

小结1、模的范围或最值常见方法：①通过 |了|2=；2转化为实数问题；②数形结合；③坐标法.

考点2、向量夹角的范围

例 2、已知 O )B = (2,0), OC = (2,2), CA = (Q2cos a,返 in ",贝 UO )A 与 Ofe 夹角的取值范围是(

)

n n n 5 n n 5 n 5 n n A.初 3 B. 4 / C. H ，匚 D. 石，2

小结2、夹角范围问题的常见方法：①公式法；②数形结合法；③坐标法.

(2) ( 2011辽宁卷理) 若a,b, c 均为单位向量，且a b 0, (a c)(b c)

最大值为(

)

(3) ( 2010浙江卷理)

A. 2- 1

卜

F B . 1

C. 2

D . 2

)满足 1，且与-的夹角为

考点3、向量数量积的范围例3、（1）已知圆0的半径为1, PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，贝U PA PB的最小

值为()(A) 4 2 (B) 3 , 2 (C) 4 2 2(D) 3 2 2

1 T T

⑵如右图，在梯形ABCD中，DA=AB=BC =2CD=1•点P在阴影区域（含边界）中运动，则AP BD

的取值范围是____________

小结3、数量积问题涉及的方法较多，常用的方法有：①定义；②模与投影之积；③坐标法；④

a • T=("^)2-(乎产考点4、向量的系数问题: 例4、给定两个长度为1的平面向量0A和0B，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以0为圆

心的圆弧A B上变动若0C=xoA+yoB其中X, y€ R，则x+y的最大值是________

小结4、向量系数问题的一般处理方法：①点乘法；②几何法；③整体法.

uuu 变式：已知点G是ABC的重心，点P是GBC内一点，若AP

值范围是（

1 2

A •(齐) B.(3,1

) uu

u

AB

uuur

AC,则的取

2)

A .

1

B . 1

C . 3

D . 5 2

2

2

32012宁波市期末）在 ABC 中, D 为BC 中点，

若 A 120，AB AC 1，贝U AD 的 最小值是 （

)

A. 1

2

B.3

2

C. 2

2

2

x y 2

4、（2011福建卷）

已知0是坐标原点，点

A (— 1,1)若点 M （ x,y ）为平面区域

x 1

y 2

上的一个动点，则 OM OA 的取值范围是（

)

专题十、平面向量中的最值和范围问题练习题 P 1 :|a b| 1

s 2I 。」

P 13:|a b| 1

其中真命题是（

)

P 2：|a

b| 1 (, ]

3

P 4 ：l a

b|

1

（亍

]

A . P 1, P 4

B. P 1,P 3

C P 2, P 3

D. P 2,P 4

2、（2012广东卷）对任意两个非零的平面向量

和，定义

足a b 0, a 与b 的夹角

0,,且aob 和boa 都在集合

4

A Z 中,则aob

B • [0, 1]

C . [0, 2]

D • [ — 1 , 2]

5、（2012浙江会考）在棱长为1的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 体内部及面上的两个动点，则 AM PQ 的最大值是（ ）

6、（2011全国大纲理） 设向量a,b,c 满足a 料 1

，a b 的最大值等于（

）

A . 2

B . .. 3

A.丄 2

B.1

C? 2

D .5

4

1 L f f —fr

1 \a c, b

60 ,则 c

2

!

C .

D . 1

7、如图，在直角梯形 ABCD 中，仙丄心 在以点C 为圆心

,且与直线BD 相切的圆内运 . 0丘用），则口亠#的取值范围是（

）

1、（2011全国新课标理）

已知a , b 均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题 ---- ,若平面向量a 、b 满

M 是BC 的中点，P, Q 是正方