辽宁省大连市2021届高三数学双基考试试题理(含解析)
百校联盟2021届高三普通高中教育教学质量监测考试全国数学(理)试题
（2）记一轮抽奖游戏中，甲摸出“2张奖券”的次数为 ，求 的分布列以及数学期望；
（3）试用概率与统计的相关知识，从数学期望的角度进行分析，多次参与抽奖游戏后，甲的最终积分情况.
21．已知椭圆 ： 的离心率为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的方程；
图（1）
图（2）
A． B．
C． D．
4．已知抛物线 ： 上的点 到焦点 的距离为 ，若点 在 ： 上，则点 到点 距离的最小值为（）
A． B． C． D．2
5．已知两个随机变量 ， 呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设 ， ，利用最小二乘法，得到线性回归方程 ，则（）
A．变量 的估计值的最大值为 B．变量 的估计值的最小值为
故所求表面积 .
故答案为：C.
【点睛】
本题考查由三视图求几何体表面积，属于基础题.
4．B
【分析】
根据抛物线焦半径得到 ，代入抛物线方程得到点坐标，再利用点到圆心的距离减去半径即为答案.
【详解】
依题意， ，故 ，则 ；
由对称性，不妨设 ，
故 到点 距离的最小值为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线的方程、几何性质，点到圆上点距离最小的问题.
三、解答题
17．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， .
（1）求 ；
（2）若 ， ，点 在线段 上， ，求 的余弦值.
18．已知数列 满足 ，且 ，数列 是公差为 的等差数列.
（1）证明 是等比数列；
（2）求使得 成立的最小正整数 的值.
19．已知长方体 中， ， ，点 是线段 上靠近 的三等分点，点 在线段 上.
2021-2022年高三下学期第六次模拟考试数学(理)试题含答案
2021年高三下学期第六次模拟考试数学（理）试题含答案一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，） 1．集合，，则（ ）A 、B 、C 、D 、 2．若复数，其中是虚数单位，则复数的模为 A ． B ．C ．D ．23．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和 为A ．117B ．118C ．118．5D ．119．5 4．已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（） A. B. C. D. 5．数列的前n 项和为，若，则( ) A. B. C.D.6．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A ．B ．C ．D ．7．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a 的值为 A ．B ．或C ．D ．或8．设x ∈R ，向量a ＝（2，x ），b ＝（3，－2），且a ⊥b ，则｜a －b ｜＝A ．5B ．C ．2D ．6 9．二项式展开式中的系数是( )A ．-14B ．14C ．-28D ．28 10．在△ABC 中，若,，则b=（ ） A ．3 B ．4 C.5 D .611．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数的零点的个数为开始否 n ＝3n +1n 为偶数k ＝k ＋1 结束n ＝5，k ＝0 是 输出k n 否是A ．4B ．5C ．6D ．712．已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点，记直线的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为( ) A ． B ． C D二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)． 13．—个几何体的三视图如图所示(单位:m )则该几何体的体积为___．14．若整数．．满足0700y x x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则的最大值为 ． 15．向平面区域}10,20|),{(≤≤≤≤y x y x .内随机投入一点，则该点落在曲线⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=)21(2)10(23x x x x y 下方的概率等于_______．16．若一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为_____．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分12分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上． （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设是数列的前项和， 求使得对所有都成立的最小正整数18．（本小题满分12分） A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2．根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为X 1 5％ 10％ P0.80.2X 2 2％ 8％ 12％ P0.20.50.3（Ⅰ）在两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差DY 1，DY 2；（Ⅱ）将万元投资A 项目，万元投资B 项目，表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求的最小值，并指C 1B 1A 1出x 为何值时，取到最小值．（注：）19．（本小题满分12分） 如图，在三棱柱中，侧面底面，， ，，为中点． （Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在上是否存在一点，使得平面?若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由 20．（本小题满分12分）已知两定点，和定直线l ：，动点在直线上的射影为，且． （Ⅰ）求动点的轨迹的方程并画草图；（Ⅱ）是否存在过点的直线，使得直线与曲线相交于， 两点，且△的面积等于？如果存在，请求出直线的方程；如果不存在，请说明理由 21．（本小题满分12分）已知函数，且.（Ⅰ）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；（Ⅱ）当时，求函数的最小值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若与的图像存在三个交点，求的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一．．．题．作答，如果多做，按所做第1题计分。
2021年高三3月联合检测数学(理)试题 含答案
2021年高三3月联合检测数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．其中第Ⅱ卷第22、23、24题为三选一，其它题为必考题．考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合,.若,则实数的值是（☆）A. B.或C. D.或或2．如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是,,则复数对应的点位于（☆）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．若向量,,,则下列说法中错误．．的是（☆）A. B. 向量与向量的夹角为 C. ∥D.对同一平面内的任意向量,都存在一对实数,使得4．在△ABC中,已知,,△ABC的面积为,则=（☆）A. B. C. D.5．已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（☆）A. B. C. D.6．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的主视图时，以平面为投影面，则得到主视图可以为（☆）A.B.C.D.7．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则（☆）A. B.C. D.8．函数的导函数的图像如图所示，那么的图像最有可能的是（☆）9．已知x,y满足，则的最小值为（☆）A. B. C. D.10．已知命题:存在，曲线为双曲线；命题:的解集是．给出下列结论中正确的有（☆）①命题“且”是真命题；②命题“且()”是真命题；③命题“()或”为真命题；④命题“()或()”是真命题．A.1个B.2个C.3个D.4个11．如右图二面角的大小为，平面上的曲线在平面上的正射影为曲线，在直角坐标系下的方程，则曲线的离心率（☆）A. B. C. D.12．设函数，其中表示不超过的最大整数,如，，，若直线与函数的图象恰有两个不同的交点,则的取值范围是（☆）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设5260126(1)(12)x x a a x a x a x,则☆．14．函数的最小值为☆．15．已知函数是定义在上的奇函数,在上单调递减,且,若，则的取值范围为☆．16．椭圆绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为☆．三、解答题：（本大题5小题，每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知是一个单调递增的等差数列，且满足,，数列的前项和为，数列满足.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)求数列的前项和.18．某市为了了解“陕西分类招生考试”宣传情况，从四所中学的学生当中随机抽取50名学生参加问卷调查，已知四所中学各抽取的学生人数分别为15,20,10,5.(Ⅰ)从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学的概率； (Ⅱ)在参加问卷调查的名学生中,从来自两所中学的学生当中随机抽取两名学生,用表示抽得中学的学生人数,求的分布列及期望值.19．在梯形中，，，，，如图把沿翻折，使得平面平面. （Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）若点为线段中点,求点到平面的距离．20．设到定点的距离和它到直线距离的比是． （Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）为坐标原点,斜率为的直线过点,且与点的轨迹交于点,,若,求△的面积． 21．设函数,其中为自然对数的底数. (Ⅰ)已知,求证:；(Ⅱ)函数是的导函数，求函数在区间上的最小值．请考生从第22、23、24题中任选一题做答．多答按所答的首题进行评分． 22．（本题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.已知圆内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线．（Ⅰ）求∠BAE 的度数； （Ⅱ）求证:23．（本题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程.坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为参数).以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)射线与圆C 的交点为O 、P 两点，求P 点的极坐标. 24．（本题满分10分）选修4—5: 不等式选讲. (Ⅰ)设函数.证明：； (Ⅱ)若实数满足,求证:B宝鸡石油中学 张新会 宝鸡石油中学 齐宗锁 张亚会题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDDCCAAABBCD13． 30 14． 15． 16．（课本P95第6题）旋转体的体积为323300124(1)8()16927x V dx x x πππ=-=-=⎰三、解答题：本大题5小题，每题12分，共70分.17．解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,则依题知. 由,又可得. 由,得,可得.所以.可得 ……………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 当时,当时,满足上式，所以 所以，即, 因为，所以数列是首项为,公比为的等比数列. 所以前项和 ………………………12分18．解: (Ⅰ)从名学生中随机抽取两名学生的取法共有种， 来自同一所中学的取法共有∴从名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为. (Ⅱ)因为名学生中,来自两所中学的学生人数分别为. 依题意得,的可能取值为, ,,∴的分布列为:的期望值为 ………………………12分 19．解：（Ⅰ）证明:因为,， ,, 所以,222(22)2222cos 45CD =+-⨯⨯,,所以.因为平面平面,平面平面, 所以平面．………… 6分(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知.以点为原点，所在的直线为轴, 所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系. 则,,,,． 所以,,．设平面的法向量为,则且,所以令,得平面的一个法向量为所以点到平面的距离为．………………12分 20．解：（Ⅰ）由已知得化简得点的轨迹方程为．………………………6分 （Ⅱ）设直线的方程为.联立方程组 消去并整理得 故22121212122(3)(3)[3()3]41k y y k x k x k x x x x k -=--=-++=+ 又所以,可得,所以由222121212||11()42AB k x x k x x x x =+-=+⨯+-= 原点到直线的距离所以 ……………………………… 12分21．(Ⅰ)证明：121212222211(e e 2e )(e e )0.22x x x x x x +=+-=-≥ ………………………6分(Ⅱ)22()()11xg x f x ax bx e ax bx =---=---，，（1）当时,∵，，∴恒成立，即,在上单调递增, 所以. （2）当时,∵，，∴恒成立，即,在上单调递减, 所以. （3）当时，得在上单调递减,在上单调递增, 所以 ………………………12分23．解：(Ⅰ)圆C 的普通方程是，又所以圆C 的极坐标方程是 ………………………5分 (Ⅱ)因为射线的普通方程为联立方程组消去并整理得解得或，所以P点的坐标为所以P点的极坐标为………………………10分解法2：把代入得所以P点的极坐标为………………………10分24．证明:(Ⅰ)由，有111()=|||||)()|2 f x x x a x x a aa a a-++≥--+=+≥(所以………………………5分(Ⅱ),由柯西不等式得:2222222[(2)+](111)(2)x y z x y z+++≥++(当且仅当即时取“”号)整理得:,即……………………10分37642 930A 錊 40321 9D81 鶁-28712 7028 瀨~U35047 88E7 裧f37195 914B 酋)40405 9DD5 鷕31753 7C09 簉u21206 52D6 勖。
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(新高考Ⅱ)-含解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（新高考Ⅱ）一、单选题（本大题共18小题，共80.0分）1.对于任意x∈[1,2]，不等式x2+mx+1<0恒成立，则实数m取值范围是()A. (−∞,−2)B. (−∞,−52) C. (−2,2) D. (−2,2]2.已知命题p：∃x∈R，x2+2ax+a+2≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是()A. (−2,1)B. [−1,2]C. (−1,2)D. (0,2]3.已知实数a、b、c满足b+c=6−4a+3a2，c−b=4−4a+a2，则a、b、c的大小关系是()A. c≥b>aB. a>c≥bC. c>b>aD. a>c>b4.《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB上取一点C，使得AC=a，BC=b，过点C作CD⊥AB交圆周于D，连接OD.作CE⊥OD交OD于E.由CD≥DE可以证明的不等式为()A. √ab≥2aba+b (a>0,b>0) B. a+b2≥√ab(a>0,b>0)C. √a2+b22≥a+b2(a>0,b>0) D. a2+b2≥2ab(a>0,b>0)5.函数f(x)=ax+b(x+c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A. a >0，b >0，c <0B. a <0，b >0，c >0C. a <0，b >0，c <0D. a <0，b <0，c <06. 若f(x)满足关系式f(x)+2f(1x )=3x ，则f(2)的值为( )A. 1B. −1C. −32D. 327. 在函数y =|x|(x ∈[−1,1])的图象上有一点P(t,|t|)，此函数与x 轴、直线x =−1及x =t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )A.B.C.D.8. 函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x −2)≤1的x 的取值范围是( )A.B.C. [0,4]D. [1,3]9. 已知f(x)={(a −3)x +a +2,x <1,−ax 2+x,x ≥1在(−∞,+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A. (0,3)B. [12,3)C. [23,3)D. [12,23]10. 已知λ∈R ，函数f(x)={x −2,x ≥λ,x 2+x −2,x <λ,若方程f(x)=0恰有2个实数解，则λ的取值范围是( )A. (−2,1]B. (−2,1]∪(2，+∞)C. (−2,1]∪[2,+∞)D. (−2,1)∪[2，+∞)11. 复数2−i1−3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限12. 设集合U ={1,2,3,4,5,6},A ={1,3,6},B ={2,3,4}，则A⋂(∁U B )=( )A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}13. 抛物线y 2=2px(p >0)的焦点到直线y =x +1的距离为√2，则p =( )A. 1B. 2C. 2√2D. 414. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S =2πr 2(1−cosα)(单位：km 2)，则S 占地球表面积的百分比约为( )A. 26%B. 34%C. 42%D. 50%15. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )A. 20+12√3B. 28√2C. 563D. 28√2316. 某物理量的测量结果服从正态分布N (10,σ2)，下列结论中不正确的是( )A. σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B. σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C. σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D. σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等17. 已知a =log 52，b =log 83，c =12，则下列判断正确的是( )A. c <b <aB. b <a <cC. a <c <bD. a <b <c18. 已知函数f (x )的定义域为R ，f (x +2)为偶函数，f (2x +1)为奇函数，则( )A. f (−12)=0B. f (−1)=0C. f (2)=0D. f (4)=0二、多选题（本大题共10小题，共48.0分） 19. 下列说法正确的是( )A. 函数f(x)=log a(2x+1)−1的图象过顶点(0,0)B. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=x(x+1)，则当x>0时，f(x)的解析式为f(x)=x−x2(x>0)C. 若函数y=f(x−2020)是奇函数，则y=f(x)的图象关于点(−2020,0)对称D. 函数y=2√x2+2的最小值为220.下列式子，可以是x2<1的一个充分不必要条件的有()A. x<1B. 0<x<1C. −1<x<1D. −1<x<021.下列选项中的两个集合相等的有()A. P={x|x=2n,n∈Z}，Q={x|x=2(n+1),n∈Z}B. P={x|x=2n−1,n∈N∗}，Q={x|x=2n+1,n∈N+}C. P={x|x2−x=0}，Q={x|x=1+(−1)n2,n∈Z}D. P={x|y=x+1}，Q={(x,y)|y=x+1}22.已知a，b∈R∗且a+b=1，那么下列不等式中，恒成立的有()A. ab≤14B. ab+1ab≥174C. √a+√b≤√2D. 1a+12b≥2√223.若x∈R，f(x)是y=2−x2，y=x这两个函数中的较小者，则f(x)()A. 最大值为2B. 最大值为1C. 最小值为−1D. 无最小值24.已知f(x)=ax2+bx+c(a>0)，分析该函数图象的特征，若方程f(x)=0一根大于3，另一根小于2，则下列不等式一定成立的是()A. 2<−b2a<3 B. 4ac−b2<0 C. f(2)<0 D. f(3)<025.下列统计量中，能度量样本x1,x2,⋯,x n的离散程度的是()A. 样本x1,x2,⋯,x n的标准差B. 样本x1,x2,⋯,x n的中位数C. 样本x1,x2,⋯,x n的极差D. 样本x1,x2,⋯,x n的平均数26.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是()A. B.C. D.27.已知直线l:ax+by−r2=0与圆C:x2+y2=r2，点A(a,b)，则下列说法正确的是()A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切28.设正整数n=a0⋅20+a1⋅2+⋯+a k−1⋅2k−1+a k⋅2k，其中a i∈{0,1}，记ω(n)=a0+a1+⋯+a k，则()A. ω(2n)=ω(n)B. ω(2n+3)=ω(n)+1C. ω(8n+5)=ω(4n+3)D. ω(2n−1)=n三、单空题（本大题共11小题，共49.0分）29.已知幂函数的图象经过点(3,19)，则这个幂函数的解析式为______ ．30.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(x−1)<f(2)的x的取值范围是______ ．31.若不等式ax2−bx−1≥0的解集为[−12,−13]，则不等式x2−bx−a<0的解集为______ ．32.已知函数f(x)满足：f(p+q)=f(p)f(q)，f(1)=3，则f2(1)+f(2)f(1)+f2(2)+f(4)f(3)+f2(3)+f(6)f(5)+f2(4)+f(8)f(7)+f2(5)+f(10)f(9)的值为______．33.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x−x2，则函数f(x)的解析式为______．34.若f(x)=−x2+2ax与g(x)=2x−3+ax−1在区间[2,4]上都是减函数，则a的取值范围是______．35.已知函数f(x)={x+4x,0<x<4,−x2+10x−20,x≥4,若存在0≤x1<x2<x3< x4，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则x1x2x3x4的取值范围是______．36.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为．37.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):_______．①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数．38.已知向量a⃗+b⃗ +c⃗=0⃗，|a⃗|=1，|b⃗ |=|c⃗|=2，a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗=_______．39.已知函数f(x)=|e x−1|,x1<0,x2>0，函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则|AM||BN|取值范围是_______．四、解答题（本大题共12小题，共140.0分）40.已知集合A={x|2−a≤x≤2+a}(a≥0)，B={x|(x−1)(x−4)≥0}．(1)当a=2时，求A∪(∁R B)；(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．41.已知函数f(x)=ax+bx 的图象经过点A(1,0)，B(2,−32)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明；(3)求f(x)在区间[12,1]上的值域．42. 已知a >0，b >0，a +b =1，求证：(1)a 2+b 2≥12； (2)1a+1b +1ab≥8．43. 已知函数f(x)=2x 2x 2+1． (1)求f(2)+f(12)，f(3)+f(13)的值； (2)求证：f(x)+f(1x )是定值；(3)求f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f(2020)+f(12020)的值．44. 国庆放假期间高速公路免费是让实惠给老百姓，但也容易造成交通堵塞.在某高速公路上的某时间段内车流量y(单位：千辆/小时)与汽车的平均速度v(单位：千米/小(0<v≤120,c为常数)，当汽车平均速度为时)之间满足的函数关系y=1840vv2+20v+c100千米/小时时，车流量为10千辆/小时．(1)在该时间段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y达到最大值？(2)为保证在该时间段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？45.已知关于x的不等式ax2−x+1−a≤0．(1)当a∈R时，解关于x的不等式；(2)当x∈[2,3]时，不等式ax2−x+1−a≤0恒成立，求a的取值范围．46.记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3=S5,a2a4=S4．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)求使S n>a n成立的n的最小值．47.在▵ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b=a+1，c=a+2．(1)若2sinC=3sinA，求▵ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得▵ABC为钝角三角形⋅若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．48.在四棱锥Q−ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2,QD=QA=√5,QC=3．(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)求二面角B−QD−A的平面角的余弦值．49.已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，右焦点为F(√2,0)，且离心率为√63．(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=√3．50.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=p i(i=0,1,2,3)．(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1，求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1，当E(X)>1时，p<1；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．51.已知函数f(x)=(x−1)e x−ax2+b．(1)讨论f(x)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点．①12<a≤e22,b>2a；②0<a<12,b≤2a．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查二次不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由二次函数的图象和性质可得1+m+1<0且4+2m+1<0，解不等式可得所求范围．【解答】解：任意x∈[1,2]，不等式x2+mx+1<0恒成立，由y=x2+mx+1为开口向上的抛物线，可得1+m+1<0且4+2m+1<0，即为m<−2且m<−5，2，解得m<−52故选：B．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了简易逻辑的应用问题，也考查了转化思想的应用问题和不等式恒成立的问题，是基础题．根据命题p是假命题，得￢p是真命题，转化为不等式恒成立的问题，从而求出实数a的取值范围．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，x2+2ax+a+2≤0是假命题，则￢p是真命题，即∀x∈R，x2+2ax+a+2>0恒成立，∴4a2−4(a+2)<0，即a2−a−2<0，解得−1<a<2，∴a的取值范围是(−1,2)．故选C．3.【答案】A【解析】解：由c−b=4−4a+a2=(2−a)2≥0，∴c≥b．再由b+c=6−4a+3a2①c−b=4−4a+a2②①−②得：2b=2+2a2，即b=1+a2．∵1+a2−a=(a−12)2+34>0，∴b=1+a2>a．∴c≥b>a．故选A．把给出的已知条件c−b=4−4a+a2右侧配方后可得c≥b，再把给出的两个等式联立消去c后，得到b=1+a2，利用基本不等式可得b与a的大小关系．本题考查了不等式的大小比较，考查了配方法，训练了基本不等式在解题中的应用，是基础题．4.【答案】A【解析】解：由射影定理可知CD2=DE⋅OD，即DE=DC2ODaba+b2=2aba+b，由DC≥DE得√ab≥2aba+b，故选：A．根据圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系以及基本不等式的性质判断即可．本题考查了圆的性质、射影定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f(0)的符号是解决本题的关键．分别根据函数的定义域，函数零点以及f(0)的取值范围进行判断即可．【解答】解：函数在x =x 0处无意义，由图象x 0>0，所以−c >0，得c <0，f(0)=bc 2>0，∴b >0，由f(x)=0得ax +b =0，即x =−b a ，即函数的零点x =−b a >0，∴a <0，综上a <0，b >0，c <0，故选：C ． 6.【答案】B【解析】解：∵f(x)满足关系式f(x)+2f(1x )=3x ，∴{f(2)+2f(12)=6,①f(12)+2f(2)=32,②， ①−②×2得−3f(2)=3，∴f(2)=−1，故选：B ．由已知条件得{f(2)+2f(12)=6,①f(12)+2f(2)=32,②，由此能求出f(2)的值． 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．7.【答案】B【解析】解：由题意知，当t >0时，S 的增长会越来越快，故函数S 图象在y 轴的右侧的切线斜率会逐渐增大，故选：B ．利用在y 轴的右侧，S 的增长会越来越快，切线斜率会逐渐增大，从而选出正确的选项．本题考查函数图象的变化特征，函数的增长速度与图象的切线斜率的关系，体现了数形结合的数学思想．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于中档题．由题干中函数的单调性及奇偶性，可将不等式−1≤f(x −2)≤1化为−1≤x −2≤1，即可解得答案．【解答】解：∵函数f(x)为奇函数，若f(1)=−1，则f(−1)=−f(1)=1，又∵函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，−1≤f(x −2)≤1，∴f(1)≤f(x −2)≤f(−1)，∴−1≤x −2≤1，解得：1≤x ≤3，所以x 的取值范围是[1,3]．故选D ．9.【答案】C【解析】解：x <1时，f(x)=(a −3)x +a +2在(−∞,1)递减，则a −3<0，解得：a <3①，x ≥1时，f(x)=−ax 2+x 在[1,+∞)递减，则{a >012a≤1，解得：a ≥12②，当x =1时，2a −1≥−a +1，解得：a ≥23③，综合①②③，a 的取值范围是[23,3)，故选：C ．根据函数在各个区间的性质，结合函数的单调性，求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查常见函数的性质，是一道常规题．10.【答案】B【解析】解：由x−2=0，得x=2，由x2+x−2=0，得x=−2或x=1．则当λ≤−2时，方程f(x)=0仅有一个实数解x=2；当−2<λ≤1时，方程f(x)=0恰有两个实数解x=−2，x=2；当1<λ≤2时，方程f(x)=0恰有三个实数解x=−2，x=1，x=2；当λ>2时，方程f(x)=0恰有两个实数解x=−2，x=1．∴若方程f(x)=0恰有2个实数解，则λ的取值范围是(−2,1]∪(2，+∞)．故选：B．分别求出两段函数的零点，把λ分段，由两段函数在不同区间内的零点个数得答案．本题考查分段函数的应用，考查分类讨论的数学思想，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数的除法以及代数表示及其几何意义，属于基础题．利用复数的除法可化简2−i1−3i，从而可求对应的点的位置．【解答】解：，所以该复数对应的点为(12,12 )，该点在第一象限，故选A．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合交集与补集的混合运算，属于基础题．先根据补集的定义求出∁U B={1,5,6}，再由交集的定义可求A∩(∁U B)．【解答】解：由题设可得∁U B={1,5,6}，故A∩(∁U B)={1,6}．故选B．13.【答案】B【解析】【分析】本题考查了抛物线的基础知识和点到直线的距离公式，题目较易．首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值．【解答】解：抛物线的焦点坐标为(p2,0)，其到直线x−y+1=0的距离为d=|p2−0+1|√1+1=√2，解得p=2(p=−6舍去)．故选B．14.【答案】C【解析】【分析】本题重在考查学生对数学知识的理解运用能力和直观想象能力，属于中档题．由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果．【解答】解：如图所示，由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：2πr2(1−cosα)4πr2=1−cosα2=1−64006400+360002≈0.42=42％．故选C．15.【答案】D【解析】【分析】本题考查了棱台的结构特征与体积的求法，考查了数形结合思想．由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解．【解答】解：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图所示，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高ℎ=√22−(2√2−√2)2=√2，下底面面积S1=16，上底面面积S2=4，所以该棱台的体积V=13ℎ(S1+S2+√S1S2)=13×√2×(16+4+√64)=283√2．故选D．16.【答案】D【解析】【分析】本题考查了正态分布的相关知识，属于中档题．由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解．【解答】解：对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ=10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D．17.【答案】C【解析】【分析】本题考查了对数的单调性与大小比较，合理转化是关键．利用对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论．【解答】=log82√2<log83=b，即a<c<b．解：a=log52<log5√5=12故选C．18.【答案】B【解析】【分析】本题是对函数奇偶性和周期性的综合考查，属于拔高题．推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论．【解答】解：因为函数f(x+2)为偶函数，则f(2+x)=f(2−x)，可得f(x+3)=f(1−x)，因为函数f(2x+1)为奇函数，则f(1−2x)=−f(2x+1)，所以，f(1−x)=−f(x+1)，所以，f(x+3)=−f(x+1)=f(x−1)，即f(x)=f(x+4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数，则F(0)=f(1)=0，故f(−1)=−f(1)=0，其它三个选项未知．故选B．19.【答案】BC【解析】解：对于A：函数f(x)=log a(2x+1)−1的图象过顶点(0,−1)，即当x=0时，f(0)=−1，故A错误；对于B：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=x(x+1)，则当x>0时，−x<0，所以f(−x)=(−x)(−x+1)，整理得f(x)=x−x2(x>0)，所以f(x)的解析式为f(x)=x−x2(x>0)，故B正确；对于C：函数y=f(x−2020)是奇函数，则y=f(x)的图象关于点(−2020,0)对称，故C正确；对于D：函数y=2√x2+2=√x2+2√x2+2，设√x2+2=t(t≥√2)，所以y=t+1t，y′=1−1t2>0，函数在[√2,+∞)上单调递增，所以y min=√22=3√22，故D错误．故选：BC．直接利用对数函数的性质，函数的奇偶性和关系式的确定，函数的导数与单调性的关系，函数的导数与函数的最值的关系判定A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：对数函数的性质，函数的奇偶性和关系式的确定，函数的导数与单调性的关系，利用函数的导数求函数的最值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．20.【答案】BD【解析】解：对于A，x<1时，x2有可能大于1，比如−3<1，(−3)2>1，故A错误；对于B，0<x<1⇒x2<1，故B正确；对于C，−1<x<1⇔x2<1，故C错误．对于D，−1<x<0⇒x2<1，故D正确；故选：BD．对于A，x<1是x2<1的不充分不必要条件；对于B，0<x<1是x2<1的一个充分不必要条件；对于C，−1<x<1是x2<1的充要条件；对于D，−1<x<0是x2<1的一个充分不必要条件．本题考查命题的充分非必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.【答案】AC【解析】【分析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质，对各个选项逐个判断即可．本题考查了集合相等的性质，考查了学生对集合的元素的理解，属于中档题．【解答】解：选项A：因为集合P，Q表示的都是所有偶数组成的集合，所以P=Q；选项B：集合P中的元素是由1，3，5，…，所有正奇数组成的集合，集合Q是由3，5，7…，所有大于1的正奇数组成的集合，即1∉Q，所以P≠Q；选项C：集合P={0,1}，集合Q中：当n为奇数时，x=0，当n为偶数时，x=1，所以Q={0,1}，则P=Q；选项D：集合P表示的是数集，集合Q表示的是点集，所以P≠Q；综上，选项AC表示的集合相等，故选：AC．22.【答案】ABC【解析】解：∵a ，b ∈R ∗且a +b =1，∴a +b =1≥2√ab ，即ab ≤14，当且仅当a =b =12时，等号成立，即选项A 正确； 令t =ab ，则t ∈(0,14]，∴y =ab +1ab =t +1t 在t ∈(0,14]上单调递减， ∴当t =14时，y 取得最小值，为174，即ab +1ab ≥174，故选项B 正确；∵(√a +√b)2=a +b +2√ab =1+2√ab ≤1+2×√14=2， ∴√a +√b ≤√2，即选项C 正确； ∵1a +12b=(1a+12b)⋅(a +b)=1+12+b a+a 2b≥32+2√b a⋅a 2b=32+√2，当且仅当b a =a2b 时，等号成立，即选项D 错误． 故选：ABC ．选项A ，由a +b ≥2√ab ，得解；选项B ，令t =ab ，则y =ab +1ab =t +1t ，再结合对勾函数的图象与性质，可得解； 选项C ，由(√a +√b)2=a +b +2√ab ，再根据选项A 的推导，得解； 选项D ，由“乘1法”，可得解．本题考查基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”和对勾函数的图象与性质是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．23.【答案】BD【解析】解：作出函数y =2−x 2，y =x 的图象如图， 则f(x)的图象为图中实线部分，由图可知，当x =1时，f(x)取最大值为1，无最小值．故选：BD．由题意作出函数f(x)的图象，数形结合得答案．本题考查函数的最值及其求法，考查数形结合的解题思想，是基础题．24.【答案】BCD【解析】解：由题意做出f(x)=f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象如：该抛物线开口向上，与x轴在(−∞,2)，(3,+∞)上各有一个交点．故：△=b2−4ac>0；f(2)<0；f(3)<0．又该二次函数的对称轴除了不能落在[2,3]之间外，可以取任意值，故A选项错误．故选：BCD．结合题意做出函数f(x)的图象，据图分析即可．本题考查二次函数的图象与性质，即函数的零点、函数图象与x轴的交点、函数对应方程的根之间的关系．属于中档题．25.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了离散程度与集中趋势的相关知识，属于基础题．判断所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项．【解答】解：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选AC．26.【答案】BC【解析】【分析】本题考查了空间中两直线的位置关系以及垂直的判定，考查了数形结合思想和直观想象能力．根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断AD的正误．【解答】解：设正方体的棱长为2，对于A，如图(1)所示，连接AC，易知MN//AC，且MN、AC、OP在同一平面内，由图可知直线OP与AC相交且不垂直，故MN⊥OP不成立，故A错误．对于B，如图(2)所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，由正方体SBCM−NADT可得SN⊥平面NADT，而OQ⊂平面NADT，故SN⊥OQ，而SN∩NT=N，故OQ⊥平面SNTM，又MN⊂平面SNTM，所以OQ⊥MN，而OQ⋂PQ=Q，所以MN⊥平面OPQ，而PO⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确．对于C，如图(3)，连接BD，则BD//MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确．对于D，如图(4)，取AM′的中点G，连接PG，OG，M′N′，则MN//M′N′，PG=√2，OG=√3，PO=√5，则PO2=PG2+OG2，PG⊥OG，根据三角形的性质可知PO与PG不垂直，故PO,MN不垂直，故D错误．故选BC．27.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2,r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解．【解答】解：圆心C(0,0)到直线l的距离d=r 2√a2+b2，若点A(a,b)在圆C上，则a2+b2=r2，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a,b)在圆C内，则a2+b2<r2，所以d=2√a2+b2>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a,b)在圆C外，则a2+b2>r2，所以d=2√a2+b2<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a,b)在直线l上，则a2+b2−r2=0即a2+b2=r2，所以d=2√a2+b2=|r|，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD．28.【答案】ACD【解析】【分析】本题重在对新定义进行考查，合理分析所给条件是关键，属于拔高题．利用ω(n)的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误．【解答】解：对于A选项，n=a0⋅20+a1⋅2+⋯+a k−1⋅2k−1+a k⋅2k，ω(n)=a0+a1+⋯+ a k，则2n=a0⋅21+a1⋅22+⋯+a k−1⋅2k+a k⋅2k+1，ω(2n)=a0+a1+⋯+a k=ω(n)，A选项正确；对于B选项，取n=2，2n+3=7=1⋅20+1⋅21+1⋅22，∴ω(7)=3，而2=0⋅20+1⋅21，则ω(2)=1，即ω(7)≠ω(2)+1，B选项错误；对于C选项，8n+5=a0⋅23+a1⋅24+⋯+a k⋅2k+3+5=1⋅20+1⋅22+a0⋅23+ a1⋅24+⋯+a k⋅2k+3，所以，ω(8n+5)=2+a0+a1+⋯+a k，4n+3=a0⋅22+a1⋅23+⋯+a k⋅2k+2+3=1⋅20+1⋅21+a0⋅22+a1⋅23+⋯+a k⋅2k+2，所以，ω(4n+3)=2+a0+a1+⋯+a k，因此，ω(8n+5)=ω(4n+3)，C选项正确；对于D选项，2n−1=20+21+⋯+2n−1，故ω(2n−1)=n，D选项正确．故选ACD．29.【答案】y=x−2【解析】解：设幂函数的解析式为y=xα，α∈R，∵图象经过点(3,19)，∴3α=19，∴α=−2，∴这个幂函数的解析式为y=x−2；故答案为：y=x−2．设出幂函数的解析式，由图象过点(3,19)，求出这个幂函数的解析式．本题考查了用待定系数法求函数解析式的问题，是基础题．30.【答案】(−1,3)【解析】解：因为f(x)为偶函数，所以f(x−1)<f(2)可化为f(|x−1|)<f(2)，又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，所以|x−1|<2，解得−1<x<3，所以x的取值范围是(−1,3)．故答案为：(−1,3)．利用偶函数的性质、单调性去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式即可求解．本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查学生灵活运用知识解决问题的能力，属于基础题．31.【答案】(2,3)【解析】【分析】不等式ax2−bx−1≥0的解集为[−12,−13]，可得−12，−13是一元二次方程ax2−bx−1=0的两个实数根，且a<0.利用根与系数的关系即可得出．本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．【解答】∵不等式ax2−bx−1≥0的解集为[−12,−13]，∴−12，−13是一元二次方程ax2−bx −1=0的两个实数根，且a <0． ∴{−12−13=b a−12×(−13)=−1aa <0，解得a =−6，b =5． 则不等式x 2−bx −a <0化为x 2−5x +6<0，即(x −2)(x −3)<0，解得2<x <3． ∴不等式x 2−bx −a <0的解集为(2,3)． 故答案为：(2,3)．32.【答案】30【解析】解：由f(p +q)=f(p)f(q)， 令p =q =n ，得f 2(n)=f(2n)． 原式=2f 2(1)f(1)+2f(4)f(3)+2f(6)f(5)+2f(8)f(7)2f(10)f(9)++=2f(1)+2f(1)f(3)f(3)+2f(1)f(5)f(5)+2f(1)f(7)f(7)+2f(1)f(9)f(9)=10f(1)=30， 故答案为：30题中条件：f(p +q)=f(p)f(q)，利用赋值法得到f(n+1)f(n)=2和f(2n)=f 2(n)，后化简所求式子即得．本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题．33.【答案】f(x)={x −x 2,x ≥0x +x 2,x <0【解析】解：根据题意，当x <0时，−x >0，则f(−x)=(−x)−(−x)2=−x −x 2， 又由f(x)为奇函数，则f(x)=−f(−x)=x +x 2， 故f(x)={x −x 2,x ≥0x +x 2,x <0，故答案为：f(x)={x −x 2,x ≥0x +x 2,x <0．根据题意，当x <0时，−x >0，求出f(−x)的解析式，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．34.【答案】(1,2]【解析】解：∵f(x)=−x2+2ax与g(x)=2x−3+ax−1=2+a−1x−1在区间[2,4]上都是减函数，∴{a≤2a−1>0，解得，1<a≤2．故答案为：(1,2]．由已知结合二次函数与反比例函数的单调性的性质可求．本题主要考查了二次函数与反比例函数的单调性的应用，属于基础试题．35.【答案】(96,100)【解析】解：令f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t，(4<t<5)，则方程x+4x=t的两根为x1，x2，由x+4x=t得x2−tx+4=0，故由韦达定理可知：x1x2=4，根据抛物线f(x)=−x2+10x−20的对称性可知x3+x4=10(4<x3<5)，所以x1x2x3x4=4x3x4=4x3(10−x3)=−4(x3−5)2+100，由于4<x3<5，故96<−4(x3−5)2+100<100，故答案为：(96,100)．令f(x)=t，再分段解方程，利用根与系数的关系即可求解．本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了根与系数的关系，属于基础题．36.【答案】y=±√3x【解析】【分析】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题．由双曲线离心率公式可得b2a2=3，再由渐近线方程即可得解．【解答】解：因为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，所以e=√c2a2=√a2+b2a2=2，所以b2a2=3，所以该双曲线的渐近线方程为y=±bax=±√3x．故答案为：y=±√3x．37.【答案】f(x)=x4(答案不唯一，f(x)=x2n(n∈N∗)均满足)【解析】【分析】本题是开放性问题，合理分析所给条件找出合适的函数是关键，属于中档题．根据幂函数的性质可得所求的f(x)．【解答】解：取f(x)=x4，则f(x1x2)=(x1x2)4=x14x24=f(x1)f(x2)，满足①，f′(x)=4x3，x>0时有f′(x)>0，满足②，f′(x)=4x3的定义域为R，又f′(−x)=−4x3=−f′(x)，故f′(x)是奇函数，满足③．故答案为：f(x)=x4(答案不唯一，f(x)=x2n(n∈N∗)均满足)38.【答案】−92【解析】【分析】本题考查了向量数量积的运算，合理转化是关键，属于中档题．由已知可得(a⃗+b⃗ +c⃗ )2=0，展开化简后可得结果．【解答】解：由已知可得(a⃗+b⃗ +c⃗ )2=a⃗2+b⃗ 2+c⃗2+2(a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗ )=9+2(a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗ )=0，因此，a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗=−92．故答案为：−92．39.【答案】(0,1)【解析】【分析】本题考查学生利用导数研究函数的能力，考查了直线的方程和斜率以及两点距离问题，属于拔高题．结合导数的几何意义可得x1+x2=0，结合直线斜率及两点间距离公式可得|AM|=√1+e2x1⋅|x1|，|BN|=√1+e2x2⋅|x2|，化简即可得解．【解答】解：由题意，f(x)=|e x−1|={1−e x,x<0e x−1,x≥0，则f′(x)={−e x,x<0e x,x⩾0,所以点A(x1,1−e x1)和点B(x2,e x2−1)，k AM=−e x1,k BN=e x2，所以−e x1⋅e x2=−1,x1+x2=0，所以AM:y−1+e x1=−e x1(x−x1),M(0,e x1x1−e x1+1)，所以|AM|=√x12+(e x1x1)2=√1+e2x1⋅|x1|，同理|BN|=√1+e2x2⋅|x2|，所以|AM||BN|=√1+e2x1⋅|x1|√1+e2x2⋅|x|=√1+e2x11+e2x2=√1+e2x11+e−2x1=e x1∈(0,1)故答案为：(0,1)．40.【答案】解：(1)当a =2时，A ={x|0≤x ≤4}，B ={x|x ≤1或x ≥4}∴∁R B ={x|1<x <4}， ∴A ∪(∁R B)={x|0≤x ≤4}；(2)A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a ≥0)，B ={x|x ≤1或x ≥4} 若A ∩B =⌀则{2−a >12+a <4，解得a <1 ∴a 的取值范围为[0,1)．【解析】(1)求出集合的等价条件，结合集合的基本运算进行计算即可． (2)根据A ∩B =⌀，建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．41.【答案】解：(1)∵f(x)的图象过A(1,0)，B(2,−32)，∴{a +b =02a +b 2=−32，解得{a =−1b =1， ∴f(x)=−x +1(2)函数f(x)=−x +1x 在(0,+∞)上为减函数，证明如下： 设任意x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)=(−x 1+1x 1)−(−x 2+1x 2)=(x 2−x 1)+x 2−x 1x 1x 2=(x 2−x 1)(x 1x 2+1)x 1x 2由x 1，x 2∈(0,+∞)得，x 1x 2>0，x 1x 2+1>0． 由x 1<x 2得，x 2−x 1>0，∴f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)， ∴函数f(x)=−x +1x 在(0,+∞)上为减函数．(3)由(2)知，函数f(x)=−x +1x 在[12,1]上为减函数， ∴f(x)min =f(1)=0，f(x)max =f(12)=32， ∴f(x)的值域是[0,32]．【解析】(1)将A ，B 两点坐标代入解析式可得关于a ，b 的方程组，解之即可； (2)函数f(x)=−x +1x 在(0,+∞)上为减函数，利用单调性的定义证明即可； (3)由函数的单调性求得函数的最值，即可求得值域．本题主要考查函数解析式的求法，函数单调性的判断与证明，函数值域的求法，属于中档题．42.【答案】证明：(1)a >0，b >0，a +b =1，可得a +b ≥2√ab ，即有0<ab ≤14，当且仅当a =b =12时，取得等号， 所以a 2+b 2=(a +b)2−2ab =1−2ab ≥1−2×14=12． (2)由(1)可知1ab ≥4， 即有1a +1b +1ab =2ab ≥8， 当且仅当a =b =12时，取得等号．【解析】(1)a >0，b >0，a +b =1，由基本不等式可得0<ab ≤14，由a 2+b 2=(a +b)2−2ab 即可得证；(2)由(1)得1ab ≥4，即可得证．本题主要考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，属于中档题．43.【答案】解：(1)∵函数f(x)=2x 2x 2+1． ∴f(2)+f(12)=2×44+1+2×1414+1=85+25=2，f(3)+f(13)=2×99+1+2×1919+1=2．(2)证明：∵f(x)=2x 2x 2+1，∴f(x)+f(1x )=f(x)=2x2x 2+1+2×1x 21x 2+1=2x 2x 2+1+21+x 2=2． ∴f(x)+f(1x )是定值2． (3)∵f(x)+f(1x )是定值2．∴f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f(2020)+f(12020)=21+1+2019×2 =4039．【解析】(1)分别把f(x)=2x 2x 2+1中所有的x 都换成2，12，3，13，能求出f(2)+f(12)和f(3)+f(13)的值． (2)把f(x)=2x 2x 2+1中的x 分别换成x ，1x ，能证明f(x)+f(1x )是定值2．(3)由f(x)+f(1x )是定值2，能求出f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f(2020)+f(12020)的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．44.【答案】解：(1)由题意可知：10=1840×100 1002+2000+c ，解得c =6400，所以y =1840v v 2+20v+6400=1840v+6400v+20≤2√v⋅v+20=1840180=929，当且仅当v =6400v，即v =80时取等号，所以当汽车的平均速度为80时车流量最大； (2)由题意可知：1840v v 2+20v+6400≥10，即v 2−164v +6400≤0，解得64≤v ≤100，所以当64≤v ≤100时，在该时间段内车流量至少为10千辆/小时．【解析】(1)首先根据题意求出c 的值，再利用基本不等式即可求解；(2)根据题意建立不等式关系，解不等式即可求解．本题考查了函数的实际应用问题，涉及到基本不等式求最值以及一元二次不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．45.【答案】解：(1)不等式ax 2−x +1−a ≤0可化为(x −1)(ax +a −1)≤0，当a =0时，不等式化为x −1≥0，解得x ≥1， 当a <0时，不等式化为(x −1)(x −1−a a)≥0，解得x ≤1−a a，或x ≥1；。
辽宁省朝阳市2021届高三数学第二次模拟考试试题含解析
辽宁省朝阳市2021届高三数学第二次模拟考试试题（含解析）一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集U＝R，设A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，B＝{y|y＝}，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，3）B．[1，3] C．（1，3）D．（1，3]2．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．150 B．200 C．300 D．4003．过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且x1+x2＝，则弦AB的长为（）A．B．4 C．D．4．已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个不同的实根x1，x2，则“x1＞1且x2＞1”是“x1+x2＞2且x1•x2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知向量，满足||＝||＝2，•（﹣）＝﹣2，则|2|＝（）A．2 B．2C．4 D．86．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为（）A．15 B．30 C．6 D．97．函数y＝（e x﹣e﹣x）sin|2x|的图象可能是（）A．B．C．D．8．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF 的面积为8，则C的渐近线方程为（）A．y＝B．y＝C．y＝±2x D．y＝二、多项选择题（共4小题）.9．已知函数f（x）＝|sin x||cos x|，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的周期为C．（π，0）是f（x）的一个对称中心D．f（x）在区间上单调递增10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF＝，则下列结论中正确的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．△AEF的面积与△BEF的面积相等D．三棱锥E﹣ABF的体积为定值11．下列说法正确的是（）A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为12．已知a＞0，m（x）＝e x﹣2﹣e2﹣x，f（x）＝am（x）﹣sinπx，若f（x）存在唯一零点，下列说法正确的有（）A．m（x）在R上递增B．m（x）图象关于点（2，0）中心对称C．任取不相等的实数x1，x2∈R均有D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.试题中包含两个空的，答对一个的给3分，全部答对的给5分．13．在（x﹣2y+z）7的展开式中，所有形如x a y b z2（a，b∈N）的项的系数之和是．14．已知|z+i|+|z﹣i|＝6，则复数z在复平面内所对应点P（x，y）的轨迹方程为．15．已知三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两互相垂直且AC＝，AB＝，此三棱锥的外接球的表面积为14π，则BC＝．16．函数y＝f（x），x∈[1，+∞），数列{a n}满足，①函数f（x）是增函数；②数列{a n}是递增数列．写出一个满足①的函数f（x）的解析式．写出一个满足②但不满足①的函数f（x）的解析式．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①（b+a﹣c）（b﹣a+c）＝ac；②cos（A+B）＝sin（A﹣B）；③tan＝sin C这三个条件中任选两个，补充在下面问题中．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，______，______？若三角形存在，求b的值；若不存在，说明理由．18．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a n+1＝2a n+1．（1）证明{a n+1}为等比数列．（2）判断n，a n，S n是否成等差数列？并说明理由．19．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．关注没关注合计男女合计附：P（K2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879，其中n＝a+b+c+d（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．20．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．21．设函数f（x）＝axlnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（3，2）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）证明：f（x）＞﹣．22．已知椭圆E：＝1（a＞b＞1）的离心率e＝，其左、右顶点分别为点A，B，且点A关于直线y＝x对称的点在直线y＝3x﹣2上．（1）求椭圆E的方程；（2）若点M在椭圆E上，点N在圆O：x2+y2＝b2上，且M，N都在第一象限，MN⊥y轴，若直线MA，MB与y轴的交点分别为C，D，判断sin∠CND是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集U＝R，设A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，B＝{y|y＝}，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，3）B．[1，3] C．（1，3）D．（1，3]解：∵y＝ln（x﹣1），∴x﹣1＞0，∴x＞1，∴A＝（1，+∞），∵x2+2x+10＝（x+1）2+9≥9，∴y＝≥3，∴B＝[3，+∞），∴∁u B＝（﹣∞，3），∴A∩（∁U B）＝（1，3）．故选：C．2．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．150 B．200 C．300 D．400解：∵P（X≤90）＝P（X≥120）＝0.2，∴P（90≤X≤120）＝1﹣0.4＝0.6，∴P（90≤X≤105）＝P（90≤X≤120）＝0.3，∴此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×0.3＝300．故选：C．3．过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且x1+x2＝，则弦AB的长为（）A．B．4 C．D．解：由题意知，p＝2，由抛物线的定义知，|AB|＝x1+x2+p＝+2＝．故选：C．4．已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个不同的实根x1，x2，则“x1＞1且x2＞1”是“x1+x2＞2且x1•x2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个不同的实根x1，x2，则当“x1＞1且x2＞1”时，整理得：“x1+x2＞2且x1•x2＞1”当x1＝0.99，x2＝2，满足：“x1+x2＞2且x1•x2＞1”但是“x1＞1且x2＞1”不成立，故“x1＞1且x2＞1”是“x1+x2＞2且x1•x2＞1”的充分不必要条件，故选：A．5．已知向量，满足||＝||＝2，•（﹣）＝﹣2，则|2|＝（）A．2 B．2C．4 D．8解：向量，满足||＝||＝2，•（﹣）＝﹣2，可得：•＝2，|2|＝＝＝＝2．故选：B．6．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为（）A．15 B．30 C．6 D．9解：根据题意，某医生从“三药三方”中随机选出2种，恰好选出1药1方，则1药的取法有3种，1方的取法也有3种，则恰好选出1药1方的方法种数为3×3＝9；故选：D．7．函数y＝（e x﹣e﹣x）sin|2x|的图象可能是（）A．B．C．D．解：函数的定义域为R，f（﹣x）＝（e﹣x﹣e x）sin|﹣2x|＝﹣（e x﹣e﹣x）sin|2x|＝﹣f（x），为奇函数，故排除选项B，C；又，且是第一个大于0的零点，故排除选项D．故选：A．8．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF 的面积为8，则C的渐近线方程为（）A．y＝B．y＝C．y＝±2x D．y＝解：设双曲线的另一个焦点为F'，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF'是矩形，∴S△ABF＝S△ABF'，即bc＝8，由，可得y＝±，则|MN|＝＝2，即b2＝c，∴b＝2，c＝4，∴a＝＝2，∴C的渐近线方程为y＝±x，故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f（x）＝|sin x||cos x|，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的周期为C．（π，0）是f（x）的一个对称中心D．f（x）在区间上单调递增解：函数f（x）＝|sin x||cos x|＝|sin x cos x|＝|sin2x|，画出函数图象，如图所示；所以f（x）的对称轴是x＝，k∈Z；所以x＝是f（x）图象的对称轴，A正确；f（x）的最小正周期是，B正确；f（x）是偶函数，没有对称中心，C错误；x∈[，]时，2x∈[，π]，sin2x≥0，所以f（x）＝|sin2x|是单调减函数，D错误．故选：AB．10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF＝，则下列结论中正确的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．△AEF的面积与△BEF的面积相等D．三棱锥E﹣ABF的体积为定值解：由正方体的结构特征可知，DD1⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，则D1D⊥AC，又ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵D1D∩BD＝D，且D1D、BD⊂平面DD1B1B，∴AC⊥平面DD1B1B，∵BE⊂平面DD1B1B，∴AC⊥BE，故A正确；∵B1D1∥BD，BD⊂平面ABCD，B1D1⊄平面ABCD，∴BD∥平面ABCD，而EF在B1D1上，∴EF∥平面ABCD，故B正确；点B到EF的距离为正方体的棱长，A到EF的距离大于棱长，则△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故C错误；如图所示，连接BD，交AC于O，则AO为三棱锥A﹣BEF的高，•EF•BB1＝××1＝，＝×＝，则为定值，故D正确．故选：ABD．11．下列说法正确的是（）A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为解：A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差变为原来的a2倍，故A 错误，B．从中任取3条共有4种，若三段能构成三角形，则只有3，5，7，一种，则构成三角形的概率是，故B正确，C．|r|→1，两个变量的线性相关性越强，|r|→0，线性相关性越弱，故C错误，D．由题意知P（）•P（）＝，P（）•P（B）＝P（A）•P（），设P（A）＝x，P（B）＝y，则，得得x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，得x﹣1＝或x﹣1＝﹣，得x＝（舍）或x＝，即事件A发生的概率为，故D正确．故正确的是BD，故选：BD．12．已知a＞0，m（x）＝e x﹣2﹣e2﹣x，f（x）＝am（x）﹣sinπx，若f（x）存在唯一零点，下列说法正确的有（）A．m（x）在R上递增B．m（x）图象关于点（2，0）中心对称C．任取不相等的实数x1，x2∈R均有D．解：m′（x）＝e x﹣2+e2﹣x＞0，则m（x）在R上递增，故A正确，m（x）+m（4﹣x）＝e x﹣2﹣e2﹣x+e2﹣x﹣e x﹣2＝0，则m（x）图象关于点（ 2，0）中心对称，故B正确，m″（x）＝e x﹣2﹣e2﹣x，当x＞2时，m″（x）＞0，即m′（x）为增函数，即m（x）图象下凸，此时＞m（），故C错误，若f（x）存在唯一零点，则a（e x﹣2﹣e2﹣x）＝sinπx只有一个解，即g（x）＝a（e x﹣2﹣e2﹣x）与h（x）＝sinπx只有一个交点，g'（x）＝a（e x﹣2+e2﹣x），h'（x）＝πcosπx，由g（2）＝h（2）＝0，则g（x）、h（x）的图象均关于点（2，0）中心対称，在x＝2的右侧附近g（x）为下凸函数，h（x）为上凸函数，要x＞2时，图象无交点，当且仅当g'（2）≥h'（2）成立．于是2a≥π，即a≥成立，故D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.试题中包含两个空的，答对一个的给3分，全部答对的给5分．13．在（x﹣2y+z）7的展开式中，所有形如x a y b z2（a，b∈N）的项的系数之和是﹣21 ．解：因为（x﹣2y+z）7＝[（x﹣2y）+z]7，所以展开式中含z2的项为C，令x＝y＝z＝1，则所求系数之和为C•（1﹣2）5•12＝﹣21，故答案为：﹣21．14．已知|z+i|+|z﹣i|＝6，则复数z在复平面内所对应点P（x，y）的轨迹方程为+＝1 ．解：∵复数z在复平面内所对应点P（x，y），又|z+i|+|z﹣i|＝6，∴+＝6，即点P（x，y）到点A（0，﹣），和B（0，﹣）的距离之和为：6，且两定点的距离为：2＜6，故点P的运动轨迹是以点AB为焦点的椭圆，且2a＝6，2c＝2，故b＝＝2，∴复数z在复平面内所对应点P（x，y）的轨迹方程为：+＝1，故答案为：+＝1．15．已知三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两互相垂直且AC＝，AB＝，此三棱锥的外接球的表面积为14π，则BC＝．解：由题意三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两互相垂直可知，三棱锥S﹣ABC是长方体的一个角，如图：设SA＝x，SB＝y，SC＝z，由题意可得：x2+z2＝13，x2+y2＝5，y2+z2＝BC2，三棱锥的外接球的表面积为14π，三棱锥扩展为长方体，长方体的对角线的长度，就是外接球的直径2R，所以2R＝，4πR2＝14π，可得x2+y2+z2＝14，解得x＝2，y＝1，z＝3，所以BC＝＝．故答案为：．16．函数y＝f（x），x∈[1，+∞），数列{a n}满足，①函数f（x）是增函数；②数列{a n}是递增数列．写出一个满足①的函数f（x）的解析式f（x）＝x2．写出一个满足②但不满足①的函数f（x）的解析式．解：由题意，可知：在x∈[1，+∞）这个区间上是增函数的函数有许多，可写为：f（x）＝x2．第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为：．则这个函数在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，∴在[1，+∞）上不是增函数，不满足①．而对应的数列为：在n∈N*上越来越大，属递增数列．故答案为：f（x）＝x2；．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①（b+a﹣c）（b﹣a+c）＝ac；②cos（A+B）＝sin（A﹣B）；③tan＝sin C这三个条件中任选两个，补充在下面问题中．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，______，______？若三角形存在，求b的值；若不存在，说明理由．解：①∵（b+a﹣c）（b﹣a+c）＝ac，即b2﹣（a﹣c）2＝ac，∴a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理知，cos B＝＝＝，∵B∈（0，π），∴B＝．③∵tan＝sin C，∴tan＝sin C，即＝2sin cos，∵C∈（0，π），∴cos＞0，∴2sin2＝1，即C＝．选择①②：由上知B＝，∵cos（A+B）＝sin（A﹣B），∴cos A﹣sin A＝sin A﹣cos A，即（1+）cos A＝（1+）sin A，∴tan A＝1，∵A∈（0，π），∴A＝，sin A＝，由正弦定理知，，∴＝，∴b＝2．选择①③：B＝，C＝，∵a＝2，∴b＝2．选择②③：由上知C＝，∵cos（A+B）＝sin（A﹣B）＝cos（π﹣C）＝﹣cos C＝0，∴A﹣B＝0，即A＝B＝，∴b＝a＝2．18．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a n+1＝2a n+1．（1）证明{a n+1}为等比数列．（2）判断n，a n，S n是否成等差数列？并说明理由．解：（1）证明：a2＝3，a n+1＝2a n+1，可得a1＝1，即有a n+1+1＝2（a n+1），则{a n+1}为首项为1，公比为2的等比数列；（2）由（1）可得a n+1＝2n，即有a n＝2n﹣1，S n＝﹣n＝2n+1﹣2﹣n，由n+S n﹣2a n＝n+2n+1﹣2﹣n﹣2（2n﹣1）＝0，可得n，a n，S n成等差数列．19．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．关注没关注合计男女合计附：P（K2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879，其中n＝a+b+c+d（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．解：（1）2×2列联表如下：关注没关注合计男 30 30 60女 12 28 40合计 42 58 100所以＝ 3.941＞3.841，所以有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”；（2）因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为＝，又因为X～B（3，），所以随机变量X的分布列为：X0 1 2 3P故E（X）＝np＝．20．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD，∵DC∥EB，DC＝EB，∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，又DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝2，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），∴＝（﹣2，2，0），＝（0，0，1），＝（0，2，0），＝（2，0，﹣1），设平面DAE的法向量为＝（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为＝（x2，y2，z2），则，，即，，令x1＝1得＝（1，0，2），令x2＝1得＝（1，1，0）．∴cos＜＞＝＝＝．∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为﹣．21．设函数f（x）＝axlnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（3，2）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）证明：f（x）＞﹣．解：（I）f′（x）＝alnx+a，则f（1）＝0，f′（1）＝a，故取消y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程y＝a（x﹣1），把点（3，2）代入切线方程可得，a＝1，（II）由（I）可得f′（x）＝lnx+1，x＞0，易得，当0时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞时，f′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝时，函数取得极小值f（）＝﹣，没有极大值，证明：（III）f（x）＞﹣等价于xlnx﹣＞0，由（II）可得f（x）＝xlnx（当且仅当x＝时等号成立）①，所以xlnx﹣，故只要证明即可，（需验证等号不同时成立）设g（x）＝，x＞0则，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x＞1时，g′（x）＞0，函数单调递增，所以g（x）≥g（1）＝0，当且仅当x＝1时等号成立，②因为①②等号不同时成立，所以当x＞0时，f（x）＞﹣．22．已知椭圆E：＝1（a＞b＞1）的离心率e＝，其左、右顶点分别为点A，B，且点A关于直线y＝x对称的点在直线y＝3x﹣2上．（1）求椭圆E的方程；（2）若点M在椭圆E上，点N在圆O：x2+y2＝b2上，且M，N都在第一象限，MN⊥y轴，若直线MA，MB与y轴的交点分别为C，D，判断sin∠CND是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．【解答】（1）解：点A（﹣a，0）关于直线y＝x对称的点（0，﹣a）在直线y＝3x﹣2上，∴﹣a＝0﹣2，解得a＝2．又＝，a2＝b2+c2，联立解得b2＝2＝c2．∴椭圆E的标准方程为：+＝1．（2）证明：设M（x0，y0），AM：y＝k（x+2）（k≠0），令x＝0，解得y＝2k，∴C（0，2k）．联立，化为：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣4＝0（k≠0）．∴﹣2x0＝，解得x0＝．∴y0＝，即M（，），∴直线BM的斜率＝＝﹣．∴BM的方程：y＝﹣（x﹣2），令x＝0，解得y＝，∴D（0，）．设N（x N，y0），则＝（﹣x N，2k﹣y0），＝（x N，﹣y0）．∴•＝x N2+y02+2﹣y0．∵x N2+y02＝2，y0＝，∴•＝0．∴NC⊥ND．即∠CND＝90°．∴sin∠CND＝1．。
2021年高三数学第一次诊断性考试试题 理(含解析)
2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。
第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。
满分150分。
考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（全国卷1，含答案）
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理（全国卷1）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．22．已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥3．某地域通过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地域农村的经济收入转变情况，统计了该地域新农村建设前后农村的经济收入组成比例，取得如下饼图：建设前经济收入组成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的核心为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆组成，三个半圆的直径别离为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部份记为II ，其余部份记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右核心，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点别离为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3 C． D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省沈阳市名校2021届高三教学质量监测(一)数学(理)试题(含答案)
高三教学质量监测（一）数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题． 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3. 考试结束后，考生将答题卡交回. 第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知i 为虚数单位，则复数21i -所对应的点在（ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设全集U R =，集合{}|lg A x y x==，}{1,1B =-,则下列结论正确的是（ ）A ．}{1A B =-B ．()(,0)A B =-∞RC ．(0,)AB =+∞D ．}{()1A B =-R3.下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（ ）A．2xy=B．2xy=C．22x xy -=-D．22x xy-=+4. 已知两个非零向量ba,满足()0a a b⋅-=，且2a b=，则>=<ba,（）A.30B. 60C. 120D.1505. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）6.设等差数列{}na满足27a=，43a=，nS是数列{}na的前n项和，则使得nS0>最大的自然数n是（）A．9 B.10 C.11 D.127. 某函数部分图像如图所示，它的函数解析式可能是（）A．)5365sin(π+-=xyB．)5256sin(π-=xyDCBAxyO3πA B43π1-第7题图C ．)5356sin(π+=x y D ．)5365cos(π+-=x y 8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序， 则输出的结果是（ ）A ．3-B ．0C 3D ．33369．实数x y ，满足22202y x x y x ≤+⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z x y =-的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．810.已知P 是双曲线2213x y -=上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A 、B ，则PA PB ⋅的值是（ ）A ．38-B ．316 C ．38-D ．不能确定11.将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ） A ．24种 B ．28种 C ．32种 D ．36种12.已知函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的图象相切，则x 必满足（ ）A ．012x <<0 B ．012x <<1C ．2220<<x D 023x <<开始 s=0，n=1n ≤2016 s=s+sin3n π n= n +1输出s 结束是否图第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13.已知1sin cos 5αα-=，则sin 2α=____________.14.已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA l ⊥于点A ，当30AFO ∠=（O 为坐标原点）时,PF =____________.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，123n n a S +=+，则4S =____________.16.已知函数()()1,2(),2,12x x f x x ⎧-≥⎪=⎨≤<⎪⎩若方程()1f x ax =+恰有一个解时，则实数a 的取值范围 .三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，43π=C ，且)cos(sin 2sin B A A B +⋅=.(Ⅰ)证明：222b a =；(Ⅱ)若ABC ∆的面积是1，求边c .18. (本小题满分12分)已知长方体1AC 中，2==AB AD ，11=AA ，E 为11C D 的中点，如图所示.(Ⅰ)在所给图中画出平面1ABD 与平面EC B 1的 交线（不必说明理由）； (Ⅱ)证明：//1BD 平面EC B 1；(Ⅲ)求平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小.19. (本小题满分12分)ACDAB1C1BD1E某中学根据2002—2021年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2021年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m 、31、n ，已知三个社团他都能进入的概率为241，至少进入一个社团的概率为43，且n m .(Ⅰ)求m 与n 的值；(Ⅱ)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望.20.（本小题满分12分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，左、右焦点1F 、2F 分别在x 轴上,离心率为21，在其上有一动点A ，A 到点1F 距离的最小值是1.过A 、1F 作一个平行四边形，顶点A 、B 、C 、D 都在椭圆E 上，如图所示.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)判断ABCD能否为菱形，并说明理由. (Ⅲ)当ABCD的面积取到最大值时，判断ABCD的形状，并求出其最大值. 21.（本小题满分12分）已知函数axxaxxxf+--=22ln)(（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点.(Ⅰ)求a的取值范围；O xy1F2FABCD(Ⅱ)记两个极值点分别为1x ，2x ，且21x x <.已知0>λ,若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立,求λ的范围.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ，TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (Ⅰ)证明：//AB CD ； (Ⅱ)证明：AC MD BD CM ⋅=⋅.TN23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C向上平移1个单位得到曲线2C .(Ⅰ)求曲线2C 的极坐标方程； (Ⅱ)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN⋅的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知命题“a b c ∀>>，11t a b b c a c +≥---”是真命题，记t 的最大值为m ，命题“n R ∀∈，14sin cos n n mγγ+--<”是假命题，其中(0,)2πγ∈.(Ⅰ)求m的值；(Ⅱ)求n的取值范围.2021年沈阳市高三教学质量监测（一）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一．选择题1.A2.D3.C4.B5.B6.A7.C8.B9.B 10.A 11.B 12.D题1A21i-1i=+，其对应的点为(1,1)，故选A.题2D 化简集合A{}|0x x=>，从而A、C错，{}|0RC A x x=≤，故选D.题3C A虽增却非奇非偶，B、D是偶函数，由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或'2ln22ln20x xy-=+>），故选C.题4B 由题2a ab =⋅， 而>=<,cos 22122aa ba ba⋅==⋅，故选B.题5B题6A 解出{}n a 的公差37242d -==--，于是{}n a 的通项为)3(25--=n a n 112+-=n ，可见{}na 是减数列，且650a a >>，065=+a a ，于是92259>⋅=a S ，01026510=⋅+=a a S ，01122611<⋅=a S ，从而该题选A.题7C 不妨令该函数解析式为)sin(ϕω+=x A y ，由图知1=A ，3434ππ-=T 125π=， 于是352πωπ=，即56=ω，3π是函数减时经过的零点，于是ππϕπ+=+⋅k 2356，k ∈Z ，所以ϕ可以是53π，选C.题8B 由框图知输出的结果32016sin 32sin3sinπππ+++= s ，因为函数x y 3sin π=的周期是6，所以)36sin 32sin 3(sin 336πππ+++= s 00336=⨯=，故选B. 题9B 依题画出可行域如图，可见ABC ∆及内部区域为可行域， 令x y m -=，则m 为直线:l m x y +=在y 轴上的截距， 由图知在点)6,2(A 处m 取最大值是4，在(2,0)C 处最小值是-2，所以[2,4]m ∈-，所以z 的最大值是4,故选B. 题10A 令点),(00y x P ，因该双曲线的xoyABC渐近线分别是03=-y x，03=+y x，所以=PA 13130+-y x ，=PB 1313++y x ，又AOB APB ∠-=∠cos cos AOx∠-=2cos 3cosπ-=21-=，所以PA PB⋅APBPB PA ∠⋅=cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-=21433432020y x 83-=，选A.此题可以用特殊位置法解决：令P 为实轴右顶点，此时323,,,38PA PB PA PB PA PB π==<>=∴⋅=-，选A.题11B 由题五本书分给四名同学，每名同学至少1本，那么这四名同学中有且仅有一名同学分到两本书，第一步骤，先选出一名同学，即：14C ；这名同学分到的两本书有三种情况：两本小说，两本诗集或是一本小说和一本诗集，因为小说、诗集都不区别，所以在第一情况下有13C 种分法（剩下三名同学中选一名同学分到一本小说，其余两名同学各分到一本诗集），在第二情况下有1种分法（剩下三名同学各分到一本小说），在第三情况下有13C 种分法（剩下三名同学中选一名同学分到一本诗集，其余两名同学各分到一本小说），这样第二步骤共有情况数是++113C 713=C ，故本题的答案是28714=C ，选B.解法2：将3本相同的小说记为a,a,a; 2本相同的诗集记为b,b,将问题分成3种情况，分别是1、aa,a,b,b,此种情况有2412A =种；2、bb,a,a,a, 此种情况有144C =种；3、Ab,a,a,b, 此种情况有2412A =种，总共有28种，故选B题12D 由题x x f 2)(='，200)(x x f =，所以l 的方程为2000)(2x x x x y +-=2002x x x -=，因为l 也与函数ln y x =的图象相切，令切点坐标为)ln ,(11x x ，x y 1='，所以l 的方程为y 1ln 111-+=x x x ，这样有⎪⎩⎪⎨⎧=-=20110ln 112x x x x ，所以2002ln 1x x =+，()01,x ∈+∞,令12ln )(2--=x x x g ，()1,x ∈+∞，所该函数的零点就是0x ，排除A 、B 选项，又因为x x x g 12)(-='x x 122-=，所以)(x g 在()1,+∞上单调增，又02ln )1(<-=g ，022ln 1)2(<-=g ，3)2ln 230g =-，从而023x << D.二.填空题13.2425 14.43 15.66 16.115(0,)(2-+题13 依题2512sin 1)cos (sin 2=-=-ααα，所以25242sin =α，答案为2425.题14 令l 与y 轴交点为B ，在ABF Rt ∆中，030=∠AFB ，2=BF ，所以233AB =，若),(00y x p ，则033x =，代入24x y =中，则013y =，而0413PF PA y ==+=，故答案为43.几何法：如图所示，030AFO ∠=，30PAF ∴∠=︒又120PA PF APF APF =∴∆∠=︒为顶角的等腰三角形而2434cos30333AF AF PF ==∴==︒，故答案为43. 题15 依题)2(321≥+=-n S a n n ，与原式作差得，nn n a a a 21=-+，即nn a a 31=+，2≥n ，可见，数列{}n a 从第二项起是公比为3的等比数列，52=a ，所以345(13)113S -=+-66=.故答案为66. 题16当1+=ax y 过点)2,2(B 时，则21=a ，满足方程有两个解； 当1+=ax y 与12)(-=x x f 相切时，则251+-=a ，满足方程有两个解；所求范围115(0,)22⎛⎤-+ ⎥ ⎝⎦. 三.解答题 17．解：（Ⅰ）由A B C π+=-，以及正弦定理得，2cosC b a =-， …………………3分又43π=C ，所以2b a =，从而有222b a =.………………………………………6分（Ⅱ）由1sin 2ABCS ab C ∆=214ab ==，所以22ab =22a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，……9分 由余弦定理知，2222cosCc a b ab =+-224210=++=，…………11分所以10c =.……………………………………………………………………………12分 18．解： 几何解法（Ⅰ）连接1BC 交C B 1于M ，则 直线ME 即为平面1ABD 与平面EC B 1的 交线，如图所示；……………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）因为在长方体1AC 中，所以ACDAB1C1B D1EMM 为1BC 的中点，又E 为11C D 的中点所以在B C D 11∆中EM 是中位线，所以1//BD EM ，…………………………6分又⊂EM 平面EC B 1，⊄1BD 平面EC B 1，所以//1BD 平面EC B 1；……………………8分（Ⅲ）因为在长方体1AC 中，所以11//BC AD ， 平面1ABD 即是平面11D ABC ，过平面EC B 1上点1B 作1BC 的垂线于F ，如平面图①，因为在长方体1AC 中，⊥AB 平面11BCC B ，⊂F B 1平面11BCC B ，所以AB F B ⊥1， B AB BC =⋂1，所以⊥F B 1平面1ABD 于F .过点F 作直线EM 的垂线于N ，如平面图②，连接N B 1，由三垂线定理可知，EM N B ⊥1.由二面角的平面角定义可知，在FN B Rt 1∆中，NF B 1∠即是平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的平面角. 因长方体1AC 中，2==AB AD ，11=AA ，在平面图①中，525211=⨯=F B ，………………………………………………………………………10分1053=FM ，251=M C ，11=E C ，在平面图②中，由1EMC ∆相似1FMN ∆可知EMFM EC FN ⋅=1225110531⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=55=，MB1 平面图①FCMD1C1B AENF平面图②所以NF B 1tan ∠NF F B 1=25552=⋅=，所以平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小为2arctan .………………………12分 空间向量解法：（Ⅰ）见上述. …………………………………………………………………………4分（Ⅱ）因为在长方体1AC 中，所以1,,DD DC DA 两两垂直，于是以1,,DD DC DA 所在直线分别为z y x ,,轴，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为2==AB AD ,11=AA ，所以)0,0,0(D ，)1,0,0(1D ，)0,2,2(B ，)1,2,2(1B ，)0,2,0(C ，)1,1,0(E .所以)1,2,2(1--=BD ，)1,0,2(1=CB ，)1,1,0(-=CE ，…………………………6分令平面EC B 1的一个法向量为),,(z y x = 所以CB ⊥1，m CE ⊥，从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001m CE m CB ，即⎩⎨⎧==+z y z x 02，不妨令1-=x ， 得到平面EC B 1的一个法向量为)2,2,1(-=，而02421=+-=⋅m BD ，所以m BD ⊥1，又因为⊄1BD 平面EC B 1，所以//1BD 平面EC B 1.…………………………………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知)0,2,0(-=BA ，)1,2,2(1--=BD ，令平面1ABD 的一个法向量为),,(z y x n =, 所以⊥，BD ⊥1，从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001n BD n BA ，即⎩⎨⎧=+--=-02202z y x y ，不妨令1=x ， A CDAB1C1B D1Exyz得到平面1ABD 的一个法向量为)2,0,1(=n ，………………………………………10分因为n m n m ⋅<,cos 555941=⋅+-=.………………………………………11分所以平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小为55arccos.…………………12分19．解：（Ⅰ）依题，⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(311)(1(124131n m mn ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==4121n m .…………………6分 （Ⅱ）由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X ，则X 的值可以为0，1，2，3，4，5，6. …………………………………………7分 而41433221)0(=⨯⨯==X P ；41433221)1(=⨯⨯==X P ； 81433121)2(=⨯⨯==X P ； 245433121413221)3(=⨯⨯+⨯⨯==X P ；121413221)4(=⨯⨯==X P ； 241413121)5(=⨯⨯==X P ；241413121)6(=⨯⨯==X P .这样X 的分布列为： （………………………………每答对两个，加1分）X 01 2 3 4 5 6P41 41 81 245 121 241 241于是，2416241512142453812411410)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 1223=. ……12分 20．解：（Ⅰ）依题，令椭圆E 的方程为22221x y a b +=，(0)a b >>222c a b =-(0)c >，所以离心率12c e a ==，即2a c =.…………………………2分令点A 的坐标为00(,)x y ，所以2200221x y a b +=，焦点1(,0)F c -，即22100()AF x c y =++2222200022b x x cx c b a =+++-2220022c x cx a a =++0c x aa =+，（没有此步，不扣分）因为0[,]x a a ∈-，所以当0x a=-时，1min AF a c=-，……………………………3分由题1a c -=，结合上述可知2,1a c ==，所以23b =，于是椭圆E 的方程为22143x y +=.………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(1,0)F -，如图，直线AB 不能平行于x 轴，所以令直线AB 的方程 为1x my =-，1122(,),(,)A x yB x y ，联立方程，22341201x y x my ⎧+-=⎨=-⎩，得22(34)690m y my +--=， 所以，122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+.……………………………………………5分若ABCD 是菱形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，于是有12120x x y y ⋅+⋅=，……6分…………………………………………11分Oxy 1F2FABCD又1212(1)(1)x x my my ⋅=--21212()1m y y m y y =⋅-++，所以有21212(1)()10m y y m y y +⋅-++=，………………………………………………7分得到22125034m m --=+，可见m 没有实数解，故ABCD 不能是菱形. ………………8分（Ⅲ）由题4ABCDAOBSS ∆=，而11212AOB S OF y y ∆=⋅-，又11OF =，即1122ABCDSOF y y =⋅-212122()4y y y y =+-⋅，………………………………9分由（Ⅱ）知122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+.所以，22223636(34)2(34)ABCDm m Sm ++=+222124(34)m m +=+………………………10分2212419(1)61m m =++++因为函数1()9f t t t =+，[1,)t ∈+∞，在1t =时，min ()10f t =，………………11分即ABCDS的最大值为6，此时211m +=，也就是0m =时，这时直线AB x ⊥轴，可以判断ABCD 是矩形. …………………………………12分 21．解：(Ⅰ)依题，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以方程()0f x '=在(0,)+∞有两个不同根.即，方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根.…1分 （解法一）转化为，函数ln y x =与函数y ax =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点，如图. ……………3分xyo1y=lnx y=axA可见，若令过原点且切于函数ln y x =图像的直线斜率为k ，只须0a k <<.令切点00A(,ln )x x ，所以001|x x k y x ='==，又00ln x k x =，所以000ln 1x x x =，解得，0x e=，于是1k e =，所以10a e <<.………………………………………6分 （解法二）转化为，函数ln ()xg x x =与函数y a =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点.又21ln ()xg x x -'=，即0x e <<时，()0g x '>，x e >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)e 上单调增，在(,)e +∞上单调减.从而()()g x g e =极大1e=………3分又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时，()g x →-∞，在在x →+∞时，()0g x →， 所以()g x 的草图如下，可见，要想函数ln ()xg x x =与函数y a =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点，只须10a e <<.………………………………6分（解法三）令()ln g x x ax =-，从而转化为函数()g x 有两个不同零点，而11()ax g x ax x x -'=-=（0x >）若0a ≤，可见()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调增，此时()g x 不可能有两个不同零点. ………………………………………………3分若0a >，在10x a <<时，()0g x '>，在1x a >时，()0g x '<，xy oe1ea 1所以()g x 在1(0,)a 上单调增，在1(,)a +∞上单调减，从而1()()g x g a =极大1ln 1a =- 又因为在0x →时，()g x →-∞，在在x →+∞时，()g x →-∞，于是只须：()0g x >极大，即1ln 10a ->，所以10a e <<. 综上所述，10a e <<……………………………………………………………………6分（Ⅱ）因为112e x x λλ+<⋅等价于121ln ln x x λλ+<+.由（Ⅰ）可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =，22ln x ax =所以原式等价于121ax ax λλ+<+12()a x x λ=+，因为0>λ，120x x <<，所以原式等价于121a x x λλ+>+.………………………………………………………7分又由11ln x ax =，22ln x ax =作差得，1122ln ()x a x x x =-，即1212lnx x a x x =-. 所以原式等价于121212ln1x x x x x x λλ+>-+，因为120x x <<，原式恒成立，即112212(1)()lnx x x x x x λλ+-<+恒成立.令12x t x =，(0,1)t ∈，则不等式(1)(1)ln t t t λλ+-<+在(0,1)t ∈上恒成立. ………………………………8分令(1)(1)()ln t h t t t λλ+-=-+，又221(1)()()h t t t λλ+'=-+22(1)()()t t t t λλ--=+,当21λ≥时,可见(0,1)t ∈时,()0h t '>,所以()h t 在(0,1)t ∈上单调增,又(1)0h =，()0h t <在(0,1)t ∈恒成立,符合题意. ………………………………………10分当21λ<时, 可见2(0,)t λ∈时,()0h t '>,2(,1)t λ∈时()0h t '<, 所以()h t 在2(0,)t λ∈时单调增,在2(,1)t λ∈时单调减, 又(1)0h =, 所以()h t 在(0,1)t ∈上不能恒小于0,不符合题意,舍去. 综上所述, 若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立,只须21λ≥,又0λ>,所以1λ≥.…12分22．（Ⅰ）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠,……………3分 同理，NTB TCD ∠=∠,所以，TCD TAB ∠=∠, 所以，//AB CD . ……………5分 （Ⅱ）连接TM 、AM, 因为CD 是切内圆于点M ，所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠， 又由（Ⅰ）知//AB CD ，所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠. ……………8分在MTD ∆中,由正弦定理知,sin sin MD TDDTM TMD =∠∠,在MTC ∆中,由正弦定理知,sin sin MC TCATM TMC =∠∠,因TMC TMD π∠=-∠,TAB C D MN所以MD TD MC TC =,由//AB CD 知TD BDTC AC =, 所以MD BDMC AC =,即,AC MD BD CM ⋅=⋅.…………………………………10分23．（Ⅰ）依题,因222x y ρ=+, 所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=,所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)1x y +-=,…3分 又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=, 即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.…………………5分(Ⅱ)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为:00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). ……………………………7分联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-=, …8分即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,12TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈. …………10分(解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交，由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα 时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数），…………………7分与C2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ，…………………8分 则αsin 2121-==t t TN TM ,xyoT因为⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα ，所以[]1,0∈TN TM . …………………10分此题也可根据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分.24．（Ⅰ）因为“a b c ∀>>，11ta b b c a c +≥---”是真命题， 所以a b c ∀>>，11ta b b c a c +≥---恒成立，又c b a >>，所以)11()(c b b a c a t -+-⋅-≤恒成立，所以，min)]11()[(c b b a c a t -+-⋅-≤.…………………………3分又因为)11()()11()(c b b a c b b a c b b a c a -+-⋅-+-=-+-⋅-42≥--+--+=c b b a b a c b ，“”成立当且仅当b a c b -=-时.因此，4≤t ，于是4=m . ……………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“n R ∀∈，14sin cos n n mγγ+--<”是假命题，所以“R n ∈∃，2cos sin ≥--+γγn n ”是真命题. ………………7分因为n n n n --+=--+γγγγcos sin cos sin γγcos sin +≤2≤（(0,)2πγ∈），因此，2cos sin =--+γγn n ，此时2cos sin =+γγ，即4πγ=时. ……8分即，22222=--+n n ，由绝对值的意义可知，22≥n .…………10分。
辽宁省大连市2021届高三下学期5月第二次模拟考试化学试题 【含答案】
2021年大连市高三第二次模拟考试化学考试时间：75分钟满分：100分可能用到的相对原子质量：H1 C12 N14 O16 F19 Cu64第I卷(选择题，共45分)一、选择题：本题共15小题，每小题3分。
共45分。
每小题只有一项符合题目要求。
1. 化学科学在生产生活、社会发展各方面发挥着关键性作用。
下列叙述正确的是A. “神舟”和“天宫”系列飞船使用的碳纤维复合材料属于碳的同素异形体B. “复兴号”关键部位使用的增强聚四氟乙烯板属于合成橡胶C. 推广使用聚碳酸酯可降解塑料有利于保护环境，减少白色污染D. “静电除尘”、“燃煤固硫”、“汽车尾气净化”等措施均涉及化学变化2. 下列化学用语正确的是A. 全氟丙烷的球棍模型B. 二氧化硅的分子式为SiO2C. 乙炔的结构式：CH≡CHD. 16O2与18O3互为同位素3. 下列表述正确的是A. 键角：H2O>NH3B. 用原子轨道描述氯化氢分子中化学键的形成：C. 电负性：N>O>C>HD. 冰的密度比水小的性质与氢键无关4. 设N A表示阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是A. 14g聚丙烯中含C—H键总数目为2N AB. 常温下，pH=13的NaOH溶液中含有的OH-数目为0.1N AC. 标准状况下：2.24LNO与1.12LO2混合后的气体分子数为0.1N AD. 电解精炼铜时，若阳极质量减少64g，则阴极得到电子的数目为2N A5. 下列图示实验正确的是A B C D验证SO2的漂白性干燥一氯甲烷盐酸滴定氢氧化钠溶液比较氯、硫的非金属性A. AB. BC. CD. D6. 我国学者发明了低压高效电催化还原CO2的新方法，其总反应为NaCl+CO2通电CO+NaClO。
下列说法正确的是A. NaCl晶体中Na+的配位数是4B. 碳原子价电子排布为的状态为碳原子的一种激发态C. NaClO中只含有离子键D. CO2是只含有σ键的非极性分子7. 下列有关实验操作和现象及所得出的结论均正确的是实验操作现象结论A向某有机物中先滴加NaOH水溶液，加热，再加入AgNO3溶液有白色沉淀生成一定含有氯原子B向4mL0.01mol/酸性KMnO4溶液中加入2mL0.1mol/LH2C2O4溶液产生气泡的速率先增大后减小该反应一定为放热反应C 向发黄的浓硝酸中通入O2黄色褪去浓硝酸中混有Fe3+D向均为0.1mol·L-1的MgCl2、CuCl2混合溶液中逐滴加入少量氨水先出现蓝色沉淀K sp[Mg(OH)2]>K sp[Cu(OH)2] A. A B. B C. C D. D8. 中国科学院研发了一种新型钾电池，有望成为锂电池的替代品。
2021-2022年高三5月模拟考试数学(理)试题含答案
2021年高三5月模拟考试数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）的共轭复数表示的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合{}{}240,2M x x x N x x M N =-<=≤⋃=，则A．B．C．D．3．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号1，，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8，抽到的50人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为A．12 B．13 C．14 D．154．函数（e是自然对数的底数）的部分图象大致是5．下列说法不正确的是A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B．命题“”的否定是“”C．“”是“为偶函数”的充要条件D．当时，幂函数上单调递减6．执行如图所示的程序框图，输出的T=A．29 B．44 C．52 D．627．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是A．B．C．D．8．变量满足线性约束条件320,2,1,x yy xy x+-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥--⎩目标函数仅在点取得最小值，则k的取值范围是A．B．C．D．9．函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列公比的是A．B．C．D．10．在上的函数满足：①（c为正常数）；②当时，()()()213.f x x f x=--若图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上．则c=A．1或B．C．1或3 D．1或2第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．如果双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为_____．12．已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则_____．13．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是______．14．在平面直角坐标系中，设直线与圆交于A,B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足，则=________．15．函数图象上不同两点处的切线的斜率分别是，规定（为线段AB的长度）叫做曲线在点A 与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A,B是抛物线上不同的两点，则；④设曲线（e是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x yB x y x x-=且，若恒成立，则实数t的取值范围是．其中真命题的序号为________．（将所有真命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．（本小题满分12分）在中，已知()111 sin,cos2142A Bππ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．17．（本小题满分12分）直三棱柱中，，E，F分别是的中点，为棱上的点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）已知存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，请说明点D 的位置．18．（本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（Ⅰ）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（Ⅱ）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）已知数列的前项和为()2,2,n nS S n n n N*=+∈且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设集合{}{}22,,2,nA x x n n NB x x a n N**==+∈==∈，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求数列的通项公式．20．（本小题满分13分）已知抛物线的焦点为，过点F作直线l交抛物线C于A,B两点．椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率．（Ⅰ）分别求抛物线C和椭圆E的方程；（Ⅱ）经过A,B两点分别作抛物线C的切线，切线相交于点M．证明；（Ⅲ）椭圆E上是否存在一点，经过点作抛物线C的两条切线（为切点），使得直线过点F？若存在，求出抛物线C与切线所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值；（Ⅲ）若正实数满足()()()2212121220f x f x x x x x++++=，证明．xx 山东省滕州市善国中学高三5月模拟考试理科数学参考答案一、选择题 AACDC,ADCDD 二、填空题11．12．． 13．．14．．15．②③． 16．解：（Ⅰ），，又，．1cos(π)cos 2B B -=-=-，且，．……………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由正弦定理得，， 另由得， 解得或（舍去），，．…………………………………………………………………12分17．（Ⅰ）证明： ，∥,, 又, , 面， 又面, ,以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 ,则,,,,, 设 ， , 且,即：, , , ,, ． ………6分 （Ⅱ）设面的法向量为 ， 则， ， ，111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩， 即：()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩， 令,．由题可知面的法向量 , ………9分 平面与平面 所成锐二面的余弦值为 ．∴1414),cos(=⋅=nm n m , ()()()2221141491241λλλ-=+++- ,或．又,舍去．点为中点． ………12分 18．解：（Ⅰ）设事件为“两手所取的球不同色”，则32993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P ． ………5分（Ⅱ）依题意，的可能取值为0,1,2．左手所取的两球颜色相同的概率为，右手所取的两球颜色相同的概率为， ………7分24134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ，18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P ，， ………10分 所以Ｘ的分布列为：36197252187124130)(=⨯+⨯+⨯=X E ． ………………… ……12分19．解 （Ⅰ）∵． 当时，，当时，满足上式，所以数列的通项公式为． ………………… ……5分（Ⅱ）∵*{|22,N }A x x n n ==+∈，*{|42,N }B x x n n ==+∈， ∴．又∵，其中是中的最小数，∴， ∵的公差是4的倍数，∴． 又∵，∴， 解得，所以， 设等差数列的公差为，则1011146121019c c d --===-，∴6(1)12126n c n n =+-=-，所以的通项公式为． ………………… ……12分 20．解：（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为可得抛物线的方程为．设椭圆的方程为，半焦距为． 由已知可得：222132b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得 ．所以椭圆的方程为：． ……4分（Ⅱ）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意， 故可设直线的方程为112212(,),(,)()A x yB x y x x ≠，由, 消去并整理得 ∴ ．∵抛物线的方程为，求导得，∴过抛物线上两点的切线方程分别是，, 即，，解得两条切线的交点的坐标为，即，122121(,2)(,)2x x FM AB x x y y +⋅=-⋅--=22222121111()2()0244x x x x ---=,∴． ………………………9分（Ⅲ）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，设过点且与抛物线相切的切线方程为：，其中点为切点． 令得，，解得或 ， 故不妨取，即直线过点．综上所述，椭圆上存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），能使直线过点． 此时，两切线的方程分别为和．抛物线与切线、所围成图形的面积为223220011142[(1)]2()41223S x x dx x x x =--=-+=⎰． ………………… ……13分21．解：（Ⅰ）2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=>，由，得，又，所以．所以的单调减区间为． ………………………………………… 4分（Ⅱ）令221()()[(1)1]ln (1)122a g x f x x ax x ax a x =--+-=-+-+，所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．当时，因为，所以． 所以在上是递增函数， 又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>， 所以关于的不等式≤不能恒成立．……………………6分当时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-， 令，得．所以当时，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数． 故函数的最大值为2111111()ln ()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-．…8分 令，因为，，又因为在是减函数． 所以当时，．所以整数的最小值为2． …………………………………………………………10分（Ⅲ）由22121212()()2()0f x f x x x x x ++++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=，实用文档 从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅令，则由得，，可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 所以，所以，又，因此成立． ………………………………………………14分。
2021年全国统一高考理科数学试卷(全国乙卷)(含详细解析)
2021年全国统一高考理科数学试卷（全国乙卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（共12题；共60分）1. ( 5分) 设2（z+ z̅）+3(z- z̅)=4+6i，则z=（）.A. 1-2iB. 1+2iC. 1+iD. 1-i2. ( 5分) 已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（）A. ∅B. SC. TD. Z3. ( 5分) 已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A. p ∧qB. ¬p ∧qC. p ∧¬qD. ¬(pVq)4. ( 5分) 设函数f(x)= 1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是（）A. f(x-1)-1B. f(x-1)+1C. f(x+1)-1D. f(x+1)+15. ( 5分) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A. π2B. π3C. π4D. π66. ( 5分) 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种7. ( 5分) 把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x- π4)的图像，则f(x)=（）A. sin( x2−7π12) B. sin( x2+π12) C. sin( 2x−7π12) D. sin( 2x+π12)8. ( 5分) 在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A. 74B. 2332C. 932D. 299. ( 5分) 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。
2021年高三3月高考模拟试考试数学(理)试题 含解析
2021年高三3月高考模拟试考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i是虚数单位，=（）A． B． C． D． 2i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解析】：解：===﹣．故选：B．【点评】：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．（5分）函数f（x）的定义域为实数集R，“f（x）是奇函数”是“|f（x）|是偶函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．非充分非必要条件 D．充要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义结合函数奇偶性的性质进行判断即可．【解析】：解：若f（x）是奇函数，则|f（﹣x）|=|f（x）|为偶函数，即充分性成立，若f（x）=2，满足|f（x）|是偶函数，但f（x）是奇函数不成立，故“f（x）是奇函数”是“|f（x）|是偶函数”的充分不必要条件，故选：A【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．3．（5分）{a n}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d=（）A．2 B．C．1 D．【考点】：等差数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由题意和等差中项可得a1+a2=2，a2+a3=4，两式相减可得答案．【解析】：解：∵{a n}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，∴a1+a2=2，a2+a3=4，两式相减可得a3﹣a1=2d=4﹣2，解得d=1故选：C【点评】：本题考查等差数列的通项公式，涉及等差中项的定义，属基础题．4．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）在区间（，）上单调递增，常数φ的值可能是（）A．0 B．C．π D．【考点】：正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：根据三角函数的单调性进行求解即可．【解析】：解：由2kπ﹣≤x+φ≤2kπ+，k∈Z，则2kπ﹣φ﹣≤x≤2kπ+﹣φ，k∈Z，若在区间（，）上单调递增，则，即，即2kπ﹣≤φ≤2kπ﹣，k∈Z，若k=1，则≤φ≤，此时φ=满足条件．，故选：D【点评】：本题主要考查三角函数单调性的应用，根据条件先求出函数的单调递增区间，结合k的取值进行求解即可．5．（5分）双曲线C：﹣y2=1的两条渐近线夹角（锐角）为θ，则tanθ=（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出双曲线的渐近线方程，求得斜率，再由两直线的夹角公式，计算即可得到．【解析】：解：双曲线C：﹣y2=1的两条渐近线分别为y=x，则斜率分别为，．由两直线的夹角公式可得，tanθ=||=．故选：D．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，运用两直线的夹角公式计算是解题的关键．6．（5分）一个四面体如图，若该四面体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则它的体积V=（）A．B．C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：由题意，四面体的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，利用体积公式，即可得出结论．【解析】：解：由题意，四面体的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，所以体积V=1=，故选：C．【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键．7．（5分）（﹣）16的二项展开式17个项中，整式的个数是（）A． 1 B． 3 C． 5 D．7【考点】：二项式定理的应用．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：展开式的通项为：T r+1=，即可得出结论．【解析】：解：展开式的通项为：T r+1=，由题意，r=6，8，10，故选：B．【点评】：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，属于基础题．8．（5分）设a＞b≥1，集合A={x|x∈Z，0＜x＜a}，B={x|x∈Z，﹣b＜x＜b}，记“从集合A中任取一个元素x，x∉B”为事件M，“从集合A中任取一个元素x，x∈B”为事件N．给定下列三个命题：①当a=5，b=3时，P（M）=P（N）=；②若P（M）=1，则a=2，b=1；③P（M）+P（N）=1恒成立．其中，为真命题的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：概率与统计．【分析】：①，当a=5，b=3时，可求得集合A与集合B，继而可得事件M={3，4}，事件N={1，2}，从而可求得P（M）=P（N）=，可判断①；②，依题意知，1≤b＜a≤2，b=1，可判断②；③，利用对立事件的概率公式可判断③．【解析】：解：对于①，当a=5，b=3时，集合A={1，2，3，4}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，事件M={3，4}，事件N={1，2}，所以P（M）==，P（N）==，即P（M）=P（N）=，故①正确；对于②，若P（M）=1，则1≤b＜a≤2，b=1，故②错误；对于③，因为“从集合A中任取一个元素x，x∉B”为事件M，“从集合A中任取一个元素x，x∈B”为事件N，所以，事件M与事件N为对立事件，所以P（M）+P（N）=1恒成立，故③正确，综上所述，①③为真命题，故选：B．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用，理解题意，正确分析、解答是关键，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题）9．（5分）不等式|x+1|+|x﹣2|≤5的解集为[﹣2，3]．【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：计算题；不等式的解法及应用．【分析】：对x分x＜﹣1，﹣1≤x≤2与x＞2范围的讨论，去掉原不等式左端的绝对值符号，从而易解不等式|x+1|+|x﹣2|≤5的解集．【解析】：解：当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣2|≤5⇔﹣x﹣1+2﹣x≤5，解得：﹣2≤x＜﹣1；当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|≤5⇔x+1+2﹣x=3≤5恒成立，∴﹣1≤x≤2；当x＞2时，|x+1|+|x﹣2|≤5⇔x+1+x﹣2=2x﹣1≤5，解得：2＜x≤3．综上所述，不等式|x+1|+|x﹣2|≤5的解集为[﹣2，3]．故答案为：[﹣2，3]．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，P是C上一点，若P在第一象限，|PF|=8，则点P的坐标为（6，4）．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y【解析】：解：设该点坐标为（x，y）根据抛物线定义可知x+2=8，解得x=6，代入抛物线方程求得y=±4，∵P在第一象限，∴P（6，4）．故答案为：（6，4）．【点评】：本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．11．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=x+2y的最大值M=．【考点】：简单线性规划．【专题】：数形结合；不等式的解法及应用．【分析】：由题意画出可行域，数形结合得到使z=x+2y取得最大值的直线x+2y﹣z=0的位置，由点到直线的距离公式求得z=x+2y的最大值M．【解析】：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当直线与圆相切时直线在y轴上的截距最大，z最大，化目标函数z=x+2y为x+2y﹣z=0，由原点到直线x+2y﹣z=0的距离等于半径得：，即z的最大值M为．故答案为：．【点评】：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．12．（5分）运行如图所示的程序框图，输出的结果S=62．【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=6时，不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为62．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件k≤5，S=2，k=2满足条件k≤5，S=6，k=3满足条件k≤5，S=14，k=4满足条件k≤5，S=30，k=5满足条件k≤5，S=62，k=6不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为62，故答案为：62．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．13．（5分）已知x与y之间的几组数据如下表：x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5假设根据上表数据所得线性回归方程为=x+，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为y=bx+a，则＜b，＞a．（填“＞”或“＜”）【考点】：线性回归方程．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：算出x和y的平均值，有关结果代入公式即可求，的值，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得a，b，即可得出结论．【解析】：解：由系数公式可知，=4.5，=3.5，由于参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，∴==0.7，=3.5﹣0.7×4.5=0.35，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得b=1，a=﹣1，∴＜b，＞a，故答案为：＜；＞【点评】：本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，曲线ρ=2上到直线ρcos（θ﹣）=1的距离为1的点的个数是3．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：首先把圆的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步把直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，最后利用圆心到直线的距离，来确定点的个数．【解析】：解：极坐标方程ρ=2，转化成直角坐标方程为：x2+y2=4直线ρcos（θ﹣）=1转化成直角坐标方程为：x+y﹣=0则：圆心到直线的距离：d=恰好平分圆的半径，所以圆上得点到直线的距离为1的点的个数为：3故答案为：3【点评】：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离的应用．属于基础题型．（几何证明选讲选做题）15．如图，圆O的弦AB、CD相交于点P，若AC=AD=2，PB=3，则AB=4．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：直线与圆．【分析】：连结PD，由已知推导出△PAD∽△DAB，从而，由此能求出AB的长．【解析】：解：连结PD，∵AC=AD=2，∴由已知得∠ADP=∠ABD，∠DAP=∠BAD，∴△PAD∽△DAB，∴，即∵AC=AD=2，PB=3，∴，解得AP=1，∴AB=AP+PB=1+3=4．故答案为：4．【点评】：本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质和三角形相似的性质的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知△ABC顶点的直角坐标分别是A（3，5）、B（0，1）、C（8，﹣7）．（1）求cosB的值；（2）若=（﹣2，﹣5），证明：B、C、D三点共线．【考点】：余弦定理；直线的斜率．【专题】：解三角形；平面向量及应用．【分析】：（1）（方法一）由两点间距离公式可求AB，AC，BC的值，由余弦定理即可求cosB；（方法二）求出两个向量，由向量的夹角公式即可得解．（2）（方法一）求出向量，，可得，从而得证．（方法二）先求直线BC的方程，设D（m，n），由=（﹣2，﹣5）可解得D点坐标，从而可求得B、C、D三点共线．【解析】：解：（1）（方法一）AB==5，AC=13，…（3分）…（6分）（公式2分）（方法二），…（2分）…（6分）（公式2分）（2）（方法一），…（9分）∵，∴、共线…（11分）∵、有共同的始点，∴B、C、D三点共线…（12分）（方法二）经过B（0，1）、C（8，﹣7）两点的直线BC的方程为（即x+y=1）…（9分）设D（m，n），由=（﹣2，﹣5）得（x﹣3，y﹣5）…（10分）解得D（1，0）…（11分）∵（或1+0=1），∴（D在BC上）B、C、D三点共线…（12分）【点评】：本题主要考查了余弦定理，直线的方程，向量的夹角公式以及两点间距离公式的应用，熟练记忆和使用公式是解题的关键，属于中档题．17．（13分）某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：cm），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：组距频数频率[100，102）17 0.17[102，104）18 0.18[104，106）24 0.24[106，108）a b[108，110）6 0.06[110，112）3 0.03合计100 1（1）求上表中a、b的值；（2）估计该基地榕树树苗平均高度；（3）基地从上述100株榕树苗中高度在[108，112）范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中在[110，112）内的有X株，求X的分布列和期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）由频率分布表，能求出a和b．（2）取组距的中间值，能估计该基地榕树树苗平均高度．（3）由频率分布表知树苗高度在[108，112）范围内的有9株，在[110，112）范围内的有3株，因此X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．【解析】：解：（1）由频率分布表，知：a=100﹣17﹣18﹣24﹣6﹣3=32，b==0.32．…（2分）（2）估计该基地榕树树苗平均高度为：=105.02（cm）…（6分）（列式（2分），求值（1分），文字说明与单位完整（1分）．）（3）由频率分布表知树苗高度在[108，112）范围内的有9株，在[110，112）范围内的有3株，因此X的所有可能取值为0，1，2，3…（7分）P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=，…（11分）∴X的分布列为：X 0 1 2 3P…（12分）X的期望为EX==．…（13分）（列式正确1分）【点评】：本题考查频率分布表的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．18．（14分）设数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*（1）求a1的值．（2）求数列{a n}的通项公式．（3）证明：对一切正整数n，有+…．【考点】：数列与不等式的综合．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：（1）令n=1直接计算即可；（2）根据S n与a n的关系，即可求数列{a n}的通项公式；（3）利用=并项即可计算．【解析】：解：（1）a1=S1==1；（2）a n=S n﹣S n﹣1=﹣=n（2n﹣1）；显然，当n=1时，a1=1×（2×1﹣1）=1，故数列{a n}的通项公式为a n=n（2n﹣1）．（3）根据（2）可得：a n=n（2n﹣1），故===，所以+…＜=∵当n=1时，原式=1，当n=2时，原式=，∴原式，故对一切正整数n，有+…．【点评】：本题主要考查数列的通项公式，是数列与不等式相结合的综合题，难度较大，考查了分析问题与解决问题的能力．19．（13分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，侧面是正方形，∠DAB=60°，E是棱CB的延长线上一点，经过点A、C1、E的平面交棱BB1于点F，B1F=2BF．（1）求证：平面AC1E⊥平面BCC1B1；（2）求二面角E﹣AC1﹣C的平面角的余弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，由已知得，，，从而AE⊥CE，由直四棱柱性质得C1C⊥ABCD，从而AE⊥平面BCC1B1，由此能证明平面AC1E⊥平面BCC1B1．（2）过C作CG⊥AC1于G，CH⊥C1F于H，连接GH，由已知得∠CGH是二面角E﹣AC1﹣C的平面角，由此能求出二面角E﹣AC1﹣C的平面角的余弦值．【解析】：（1）证明：设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，∵B1F=2BF，△B1C1F∽△BEF，∴…（1分）由∠DAB=60°=∠ABE，∠ABC=120°，得，…（2分）∵，∴AE2+CE2=AC2，AE⊥CE…（3分）∵ABCD﹣A1B1C1D1是直四棱柱，C1C⊥ABCD，又AE⊂ABCD，∴C1C⊥AE，∵CE∩CC1=C，∴AE⊥平面BCC1B1…（4分）∵AE⊂平面AC1E，∴平面AC1E⊥平面BCC1B1…（5分）（2）解：过C作CG⊥AC1于G，CH⊥C1F于H，连接GH…（6分）由平面AC1E⊥平面BCC1B1，平面AC1E∩平面BCC1B1=C1E，CH⊥平面AC1E…（7分）∴CH⊥AC1，又CG⊥AC1，CG∩CH=C，∴AC1⊥平面CGH，AC1⊥GH，∴∠CGH是二面角E﹣AC1﹣C的平面角…（9分）在Rt△ACC1中，，CC1=a，AC1=2a，，在Rt△ECC1中，，CC1=a，，，、，求得任何一个给（2分），两个全对给（3分）…（12分）GH==，cos∠CGH==．∴二面角E﹣AC1﹣C的平面角的余弦值是．…（13分）【点评】：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（14分）平面直角坐标系xOy中，椭圆Σ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点为F1、F2，直线l：x+y﹣2=0经过焦点F2，并与Σ相交于A、B两点．（1）求的方程；（2）在上是否存在C、D两点，满足CD∥AB，F1C=F1D？若存在，求直线CD的方程；若不存在，说明理由．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）根据题意求出焦点F2的坐标，的c的值，利用离心率e求出a、b的值；（2）（方法一）假设存在满足条件的直线CD，由直线CD的方程与椭圆方程联立，消去y，得方程①，计算△＞0；再由F1C=F1D，E为CD的中点，推导出△＜0，从而得出结论．（方法二）设出C、D以及线段CD的中点E的坐标，利用差值法求出中点满足的关系式，再由F1C=F1D，得出直线CD的方程，它与椭圆方程联立，判断方程组是否有解即可．【解析】：解：（1）∵直线l：x+y﹣2=0经过焦点F2，∴F2（2，0），即c=2；又e==，∴a=；∴b==，∴椭圆∑的方程为+=1；（2）（方法一）若存在满足条件的直线CD，∵CD∥AB，∴k CD=k AB=﹣1，设直线CD的方程为y=﹣x+m，由，得x2+3（﹣x+m）2﹣6=0；即4x2﹣6mx+（3m2﹣6）=0，∴△=（﹣6m）2﹣4×4（3m2﹣6）=96﹣12m2＞0；（*）设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=；由已知F1C=F1D，若线段CD的中点为E，则F1E⊥CD，∴=﹣=1；F1（﹣2，0），E（，），即E（，）；由==1，解得m=﹣4；当m=﹣4时，96﹣12m2=﹣96＜0，这与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线CD．（方法二）假设存在C（x1，y1），D（x2，y2），且线段CD的中点为E（x0，y0），则x0=，y0=，=﹣1；由，两式相减得：（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2）=0，代入、化简得：x0﹣y0=0，①由已知F1C=F1D，则F1E⊥CD，∴=﹣=1；由==1，得y0=x0+2，②由①②解得x0=﹣3，y0=﹣1，即E（﹣3，﹣1）直线CD的方程为：y=﹣（x+4），联立方程组，消去y得4x2+24x+42=0，∵△=242﹣4×4×42=﹣96＜0，∴方程（组）无解，即不存在满足条件的直线CD．【点评】：本题考查了求椭圆的标准方程以及直线与椭圆的综合应用问题，也考查了根与系数的关系应用问题，考查了方程组的解法与应用问题，是综合性题目．21．（14分）设函数f（x）=e x（lnx﹣a），e是自然对数的底数，e≈2，718，a∈R为常数．（1）若y=f（x）在x=1处的切线l的斜率为2e，求a的值；（2）在（1）的条件下，证明切线l与曲线y=f（x）在区间（0，）至少有1个公共点；（3）若[ln2，ln3]是y=f（x）的一个单调区间，求a的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）先求出函数的导数，得到方程e（ln1﹣a+1）=2e，解出即可；（2）先求出切线l的方程，得到g（e﹣4）g（）＜0，y=g（x）在（e﹣4，）内有零点，从而证出结论；（3）先求出a≤1时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递增，再通过比较h（ln2）与h（ln3）的大小，从而求出a的范围．【解析】：解：（1）f′（x）=e x（lnx﹣a+），依题意，k=f′（1）=e（ln1﹣a+1）=2e，解得：a=﹣1，（2）由（1）f（1）=e，直线l的方程为y﹣e=2e（x﹣1），即y=2ex﹣e，作g（x）=f（x）﹣（2ex﹣e）=e x（lnx+1）﹣2ex+e，则g（）=（1﹣ln2）＞0，g（e﹣4）=﹣3﹣2e﹣3+e＜﹣3+e＜0（用其他适当的数替代e﹣4亦可）因为y=g（x）在（e﹣4，）上是连续不断的曲线，g（e﹣4）g（）＜0，y=g（x）在（e﹣4，）内有零点，而（e﹣4，）⊂（0，），从而切线l与曲线y=f（x）在区间（0，）至少有1个公共点；（3）f′（x）=e x（lnx﹣a+），[ln2，ln3]是y=f（x）的一个单调区间当且仅当f′（x）在[ln2，ln3]上恒大于等于零，或恒小于等于零，由e x＞0，作h（x）=lnx+h′（x）=﹣，由h′（x）=﹣=0得x=1，x [ln2，1）1 （1，ln3]h′（x）﹣0 +h（x）↘最小值↗h（x）在[ln2，ln3]上的最小值为m=1，所以，当且仅当a≤1时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递增，下面比较h（ln2）与h（ln3）的大小由23＜32＜e3，2＜＜e，ln2＜ln3＜1以及h（x）在[ln2，1）上单调递减得h（ln2）＞h（ln3），h（ln2）﹣h（ln3）＞h（ln3）﹣h（ln3）=ln+=，ln3ln＜（ln3+ln）2=＜（ln7）2＜（lne2）2=1，∴h（ln2）＞h（ln3），当且仅当a≥lnln2+时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递减，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]∪[lnln2+，+∞）．【点评】：本题考查了函数的单调性，曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道综合题．%34430 867E 虾35238 89A6 覦25862 6506 攆] 25777 64B1 撱38364 95DC 關33090 8142 腂xDWcu37555 92B3 銳。
2021年全国高考甲卷数学(理)试题含解析
2021年全国高考甲卷数学(理)试题含解析一、引言2021年全国高考甲卷数学(理)试题备受关注，考生们为此付出了大量的努力和准备。
本文将对2021年全国高考甲卷数学(理)试题进行深度分析和解析，帮助考生们更好地理解和掌握试题内容。
二、整体评价2021年全国高考甲卷数学(理)试题整体难度适中，涵盖了高中数学的各个知识点，考查了学生对数学知识的掌握程度和综合运用能力。
试题设计合理，能够考查学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
在本文中，将对各个知识点进行逐一分析并提供详细解析，帮助考生更好地理解每一道试题。
三、数学知识点分析1. 函数的概念及性质第一道题目涉及了函数的概念及性质，要求考生分析函数的增减性和极值点。
从简单的函数图像分析到函数的定义，再到复杂的极值点计算，这道题目考查了学生对函数知识的掌握和综合运用能力。
解题时需要注意对函数图像的分析和对极值点的求解，通过具体的例子进行详细解析和讲解。
2. 数据的统计和分析第二道题目涉及了数据的统计和分析，考查了学生对数据处理和统计知识的理解和应用能力。
解题时需要运用统计学知识对给定的数据进行分析和判断，进而得出结论。
本文将结合具体的例子进行详细解析，帮助考生更好地理解数据的统计和分析方法。
3. 解析几何第三道题目涉及了解析几何的知识点，要求考生利用解析几何的方法证明题目中的结论。
这道题目考查了学生对解析几何知识的掌握和运用能力，需要考生具备较强的几何分析和推理能力。
在本文中，将结合具体的解题方法和步骤进行详细讲解，帮助考生更好地掌握解析几何的知识点。
四、总结回顾2021年全国高考甲卷数学(理)试题涵盖了高中数学的各个知识点，考查了学生的综合运用能力和解决问题的能力。
通过对各个知识点的深度分析和解析，本文帮助考生更好地理解了试题内容，为他们应对高考提供了有力的帮助。
希望考生们在备战高考的过程中，能够加强对数学知识的理解和掌握，取得优异的成绩。
五、个人观点作为文中的作者，我深知数学对学生们的重要性，同时也明白数学学习的难点和痛点。
2021年高三上学期第三次调研考试数学(理)试题
2021年高三上学期第三次调研考试数学（理）试题本试卷共21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改夜。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．设合集,则= （）A．{1} B．{1，2，4，5} C．{2，4} D．{5}2．在复平面内，复数对应的点的坐标在第（）象限（）A．一B．二C．三D．四3．“”是“直线垂直于直线”的（）条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要4．不等式的解集为（）A．（-1，1）B．（-1，0）C．（0，1）D．（0，2）5．已知为等差数列，其公差为-2，且的等比中项，为的前n项和，，则的值为（）A．-110 B．-90 C．90 D．1106．已知实数，函数，若，则a的值为（）A．B．C．D．7．定义运算，则函数图像的一条对称轴方程是（）A．B．C．D．8．设椭圆的离心率，若焦点F（c，0），方程的两个根分别为，则点在（）A．圆内B．圆上C．圆外D．以上三种情况都有可能二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。
9．读下列程序，程序输出的函数。
10．为了保证食品安全，现采用分层抽样的方法对某市场甲、乙、丙、丁四个厂家生产的奶粉进行检测，若甲、乙、丙、丁四个厂家生产的奶粉分别为120袋、100袋、80袋、60袋，已知从甲、乙两个厂家抽取的袋数之和比另外两个厂家抽取的袋数之和多8袋，则从四个厂家共抽取了袋。
2020-2021学年辽宁省辽阳市第二十高级中学高三数学理月考试题含解析
2020-2021学年辽宁省辽阳市第二十高级中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. ，，的大小关系是A. B. C. D.参考答案：B2. 直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是________．参考答案：略3. 已知集合，，则（）A． B． C． D．参考答案：B4. 函数f（x）=sin（2x+），则函数f（x）的图象( )A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=对称D．关于直线x=对称参考答案：A【考点】正弦函数的图象．【专题】数形结合；三角函数的图像与性质．【分析】写出函数的对称轴和对称中心，逐个选项验证可得．【解答】解：由2x+=kπ可得x=﹣，故函数的对称中心为（﹣， 0），k∈Z，当k=1时，可得其中一个对称中心为（，0），故A正确；令﹣=可得k=?Z，故B错误；由2x+=kπ+可得x=+，故函数的对称轴为x=+，k∈Z，令+=可得k=?Z，故C错误；令+=可得k=﹣?Z，故D错误．故选：A【点评】本题考查正弦函数图象的对称性，属基础题．5. 顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线上的一点到焦点距离为4，则m的值为A. B.2或 C.4 D.4或参考答案：6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．16参考答案：B【分析】根据三视图可知三棱锥倒立放置，从而得出棱锥的高，根据俯视图找出三棱锥的底面，得出底面积，从而可求出棱锥的体积．【解答】解：由主视图和侧视图可知三棱锥倒立放置，棱锥的底面水平放置，故三棱锥的高为h=4，∵主视图为直角三角形，∴棱锥的一个侧面与底面垂直，结合俯视图可知三棱锥的底面为俯视图中的左上三角形，∴S底==4，∴V==．故选：B．【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，根据三视图的特征找出棱锥的底面是关键，属于中档题．7. 我国古代数学著作（算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．“那么，此人第4天和第5天共走路程是（）A. 24里B. 36里C. 48里D. 60里参考答案：B【分析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，利用等比数列求和公式解得，利用等比数列的通项公式可得．【详解】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得：，．所以此人第4天和第5天共走了里，故选B．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考属于中档题．等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.8. 不等式的解集为( )A. B. C. D.参考答案：B9. 在等差数列中，，则的值为A. 14B. 15C. 16D. 17参考答案：C略10. 已知向量，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域为R，那么的取值范围是________参考答案：略12. 平面内有3点A（0，﹣3），B（3，3），C（x，﹣1），且∥，则x的值是．参考答案：1【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据三个点的坐标，写出两个向量的坐标，根据两个向量之间的平行关系，写出平行的充要条件，写出关于x的方程，解方程即可．【解答】解：∵A（0，﹣3），B（3，3），C（x，﹣1），∴=（3，6），=（x ﹣3，﹣4）∵，∴3（﹣4）﹣6（x ﹣3）=0 ∴x=1， 故答案为：1【点评】本题考查向量的平行的坐标表示，是一个基础题，题目的关键是写出两个要用的向量的坐标，利用向量的平行关系整理出结果．13. 已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x+2）+f （x ）=0，当x∈[0，1]时，f （x ）=2x ﹣1，则f （125）=．参考答案：【考点】对数的运算性质；函数的周期性．【专题】计算题．【分析】利用奇函数得到f （﹣x ﹣2）=f （x ）；利用换底公式将要求的函数值化简；利用已知的恒等式将要求的函数值对应的自变量转化为在【0，1】内的自变量的函数值，代入解析式，利用对数恒等式求出值．【解答】解：∵f（x+2）+f （x ）=0，f （x ）为奇函数 ∴f（﹣x ﹣2）=f （x ）∴∵f（x ）=f （﹣x ﹣2） ∴f（﹣log 25）=f （log 25﹣2）∵0＜log 25﹣2＜1∵x∈[0，1]时f （x ）=2x﹣1∴=故答案为【点评】本题考查奇函数的定义、考查对数的换底公式、考查对数的恒等式、考查等价转化的能力．14. 已知数列为等差数列，若，，则公差 ．参考答案：415. 方程：sinx+cosx =1在[0，π]上的解是 ▲ ．参考答案：或0．16. x,y 自变量满足当时，则的最大值的变化范围为____参考答案：（1）当x+y=S 与y+2x=4有交点时，最大值在两直线交点处取得，最小范围是此时S=3时 代入Z=7(2)当x+y=S与y+2x=4没有交点时最大值在B处取得代入综上范围是17. 如图所示，将数以斜线作如下分群：（1），（2，3），（4，5，6），（8，12，10，7），（16，24，20，14，9），……并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，……，则第n群中n个数的和等于。
2021年辽宁省大连市高考数学双基试卷(3月份)
2021年辽宁省大连市高考数学双基试卷（3月份）一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|y=√1−x2,x∈Z},B={y|y=x2+1,x∈A}，则A∩B为()A. ⌀B. {1}C. [0,+∞)D. {(0,1)}2.设复数满足(1+2i)z=i，则|z|=()A. 15B. √55C. √5D. 53.“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，得到1即终止运算，已知正整数m经过5次运算后得到1，则m的值为()A. 32或5B. 16或2C. 16D. 32或5或44.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是()A. 413.7元B. 513.7元C. 546.6元D. 548.7元5.若数列{a n}为等比数列，则“a2，a4是方程x2−3x+1=0的两根”是“a3=±1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点(a,0)(a<0)倾斜角为π6的直线l交抛物线C、D两点．若F在以线段CD 为直径的圆的外部，则a的取值范围为()A. (−3,−2√5+3)B. (−∞,−2√5+3)C. (−12,4−√17) D. (−∞,4−√17)7.大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置)，其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有()A. 18种B. 24种C. 36种D. 48种8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，平面α与正方体相交，若正方体ABCD−A1B1C1D1的八个顶点中恰好有m个点到平面α的距离等于d(0<d<√3)，那么下列结论中一定正确的是()A. m≠6B. m≠5C. m≠4D. m≠3二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.则下列说法正确的是()A. 此人第三天走了二十四里路B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C. 此人第二天走的路程占全程的14D. 此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍10.已知F1、F2是双曲线C：y22−x2=1的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F1F2为直径的圆经过点M，则下列说法正确的有()A. 双曲线C的渐近线方程为y=±√2xB. 以F1F2为直径的圆方程为x2+y2=2C. 点M的横坐标为±√2D. △MF1F2的面积为√311.将函数f(x)=sin2x的图象向左平移π6个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则()A. 函数g(x)的图象关于直线x=π12对称B. 函数g(x)的图象关于点(π6,0)对称C. 函数g(x)在区间(−5π12,−π6)上单调递增D. 函数g(x)在区间(0,7π6)上有两个零点12.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足2f(x)+xf′(x)=1x2，f(1)=0，则下列说法正确的是()A. f(x)在x=√e处取得极小值，极小值为12eB. f(x)只有一个零点C. 若f(x)<k−1x 在(0,+∞)上恒成立，则k>e2D. f(1)<f(√2)<f(√3)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“∀x∈(1,2)，x2>1”的否定是______．14.设α，β是两个不同的平面，1是直线且1⊂α，则“1⊥β”是“α⊥β”的______条件(参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要)．15.已知函数f(x)=sin(x−π6)，若对任意的实数α∈[−5π6,−π2]，都存在唯一的实数β∈[0,m]，使f(α)+f(β)=0，则实数m的最小值是______．16.设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，∀x∈R，有f(−x)+f(x)=x2，在(0,+∞)上f′(x)<x，若f(4−m)−f(m)≥8−4m，则实数m的取值范围是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①b2+ac=a2+c2，②√3acosB=bsinA，③√3sinB+cosB=2，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，A=π4，b=√2．(1)求角B；(2)求△ABC的面积．18.已知等差数列{b n}满足b n+2n=2b n−1+4(n=2,3，…)，数列{a n}的前n项和记为S n，且S n=2n−1．(1)分别求出{a n}，{b n}的通项公式；(2)记c n=1b n2−1，求{c n}的前n项和T n．19.年份2014201520162017201820192020年份代号x1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9均纯收入；(2)在2014年至2020年中随机选取三年，记X表示三年中人均纯收入高于3.6千元的个数，求X的分布列和E(X)．20.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是平行四边形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是BC，PD的中点．(1)证明：直线EF//平面PAB；(2)设二面角E−FD−A为30°，且AC=AB=√2，AD=2，求四棱锥P−ABCD的体积．21.已知M(√3,12)是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，F1F2是该椭圆的左右焦点，且|F1F2|=2√3．(1)求椭圆C的方程；(2)设点A，B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，且k1k2=k2.试探究|OA|2+|OB|2是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．22.设函数f(x)=lnx−2ax−1−a在开区间(1,12)内有极值．(1)求实数a的取值范围；(2)若x1∈(0,1)，x2=(1,+∞).求证：f(x1)−f(x2)>2ln2+32．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由集合A中的函数y=√1−x2，得到1−x2≥0，解得：−1≤x≤1，又x∈Z，则集合A={−1,0，1}；由集合B中的函数y=x2+1，且x∈A，得到集合B={1,2}，则A∩B={1}．故选：B．根据负数没有平方根，得到x的范围，在x的范围中找出x的整数解即可得到集合A，把集合A中的元素代入y=x2+1中，即为集合B的元素，确定出集合B，求出两集合的交集即可．此题属于以函数的定义域及值域为平台，考查了交集的运算，是一道基础题．学生在求函数定义域时注意x属于整数，在求函数值域时注意自变量属于集合A．2.【答案】B【解析】解：(1+2i)z=i，则z=i1+2i =i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2+i5=25+15i，则|z|=√425+125=√55，故选：B．根据复数的运算，求出z，从而求出z的模即可．本题考查了复数运算，考查转化思想以及复数求模，是一道常规题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，正整数m经过5次运算后得到1，所以正整数m经过4次运算后得到2，经过3次运算后得到4，经过2次运算后得到8或1(不符合题意，舍去)，经过1次运算后得到16，可得正整数m的值为32或5，故选：A．利用正整数m经过5次运算后得到1，按照变换规则，逆向逐项分析，即可得到m的所有可能的取值．本题主要考查了归纳推理的应用，按照变换规则，进行逆向分析是解题关键，考查了学生的推理能力，是中档题．4.【答案】C【解析】解：某人两次去购物，分别付款168元与423元，由于商场的优惠规定，168元的商品未优惠，而423元的商品是按九折优惠后的，则实际商品价格为423÷0.9=470元，如果他只去一次购买同样的商品即价值168+470=638元的商品时，应付款为：500×0.9+(638−500)×0.7=450+96.6=546.6(元)．故选：C．两次去购物分别付款168元与423元，而423元是优惠后的付款价格，实际标价为423÷0.9=470元，如果他只去一次购买同样的商品即价值168+470=638元的商品，按规定(3)进行优惠计算即可．本题主要考查了根据实际问题选择函数类型，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：数列{a n }为等比数列，“a 2，a 4是方程x 2−3x +1=0的两根”，∴a 2a 4=a 32=1，∴“a 3=±1”； 反之，满足“a 3=±1”的一元二次方程有无数个，∴“a 2，a 4是方程x 2−3x +1=0的两根”是“a 3=±1”的充分不必要条件． 故选：A ．“a 2，a 4是方程x 2−3x +1=0的两根”⇒a 2a 4=a 32=1⇒“a 3=±1”；反之，满足“a 3=±1”的一元二次方程有无数个．本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6.【答案】A【解析】 【分析】设直线l 的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及F 在以线段CD 为直径的圆的外部，建立不等式，即可确定a 的取值范围．本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键． 【解答来】解：设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，∵F 在以线段CD 为直径的圆的外部， ∴FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，∴(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2>0， 设l 的方程为：y =√33(x −a)，于是(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=4x 1x 2−(a +3)(x 1+x 2)+3+a 2>0将l 的方程代入抛物线方程，得x 2−(2a +12)x +a 2=0， △=(2a +12)2−4a 2>0，得到a >−3． ∴x 1+x 2=2a +12，x 1x 2=a 2，∴4x 1x 2−(a +3)(x 1+x 2)+3+a 2=3a 2−18a −33>0，故a >2√5+3或a <−2√5+3， 又a >−3．∴−3<a <−2√5+3． 故选：A ． 7.【答案】B【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①、A 户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，有C 32×C 21×C 21=12种乘坐方式； ②、A 户家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上，对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，有C 31×C 21×C 21=12种乘坐方式； 则共有12+12=24种乘坐方式； 故选：B ．根据题意，分2种情况讨论：①、A 户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，②、A 户家庭的孪生姐妹不在甲车上，每种情况下分析乘坐人员的情况，由排列、组合数公式计算可得其乘坐方式的数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，关键是依据题意，分析“乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭”的可能情况． 8.【答案】B【解析】解：如图(1)，恰好有3个点到平面α的距离为d ； 如图(2)，恰好有4个点到平面α的距离为d ； 如图(3)，恰好有6个点到平面α的距离为d ． 结合选项，故m ≠5． 故选：B ．画出正方体模型，分析判断即可得到m 的可能取值，从而得到答案．本题考查了正方体模型的理解和应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题． 9.【答案】BD【解析】解：根据题意，设第一天走x ，所以连续走的6天构成一个等比数列， 所以x +12x +14x +18x +116x +132x =378， 整理得1−(12)61−12x =378，解得x =192，所以第一天走192，第二天走96，第三天走48，第四天走24，第五天走12，第六天走6， 所以A 不正确．第一天走192，后五天走的路程是96+48+24+12+6=186， 所以192−186=6，故选项B 正确． 96×4=384≠378，故选项C 错误．前三天走的路程为：192+96+48=336，后三天走的路程为：24+12+6=42，此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，故选项D 正确． 故选：BD ．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10.【答案】AD【解析】解：双曲线C ：y 22−x 2=1，可得a =√2，b =1，所以双曲线的渐近线方程为：y =±√2x ，所以A 正确；c =√a 2+b 2=√3，所以，以F 1F 2为直径的圆方程为x 2+y 2=3，所以B 不正确； {x 2+y 2=3y =√2x解得x =±1，由对称性可知M 的横坐标为：±1，所以C 错误； △MF 1F 2的面积为：12×2c ×|x M |=12×2√3×1=√3，所以D 正确；故选：AD ．求出双曲线的渐近线方程判断A ；求出圆的方程判断B ；求出M 的横坐标判断C ；求出三角形的面积判断D ． 本题主要考查双曲线的渐近线、向量的坐标运算等基础知识以及等价转化思想的应用，考查考生的运算求解能力． 11.【答案】ACD【解析】将函数f(x)=sin2x 的图象向左平移π6个单位后，得到函数y =g(x)=sin(2x +π3)的图象， 当x =π12时，2x +π3=π2，g(x)=1，为最大值，函数g(x)的图象关于直线x =π12对称故A 正确；当x=π6，2x+π3=2π3，g(x)≠0，故g(x)的图象不关于点(π6,0)对称，故B错误；当x∈(−5π12,−π6)，2x+π3∈(−π2,0)，g(x)单调递增，故C正确；当x∈(0,7π6)，2x+π3∈(π3,8π3)，g(x)有两个零点，故D正确．故选：ACD．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性和单调性、零点，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性和单调性、零点，属于基础题12.【答案】BCD【解析】解：对A，∵2f(x)+xf′(x)=1x2，且x∈(0,+∞)，可得：2xf(x)+x2f′(x)=1x可得：[x2f(x)]′=1x故x2f(x)=lnx+c(c为常数)∵f(1)=0可得：12f(1)=ln1+c求得：c=0故：x2f(x)=lnx整理可得：f(x)=lnxx2,x∈(0,+∞)f′(x)=1x⋅x2−2x⋅lnxx4=x−2xlnxx4=x(1−2lnx)4=1−2lnx3当1−2lnx>0，即lnx<lne12解得：0<x<√e,f′(x)>0，此时f(x)单调递增，当1−2lnx=0，即lnx=lne12，解得：x=√e,f′(x)=0当1−2lnx<0，即lnx>lne12解得：x>√e,f′(x)<0，此时f(x)单调递减∴x=√e,f(x)取得极大值，f(√e)=ln√ee =12e故A错误；对B，x→0+，f(x)<0x=√e,f(√e)=1 2ex→+∞，f(x)>0画出f(x)草图：如图根据图象可知：f(x)只有一个零点，故 B 说法正确； 对C ，要保证f(x)<k −1x 2在(0,+∞)上恒成立 即：保证f(x)+1x 2<k 在(0,+∞)上恒成立 ∵f(x)=lnx x 2，可得lnx x 2+1x 2<k 在(0,+∞)上恒成立故只需k >(lnxx 2+1x 2)max ， 令G(x)=1+lnx x ，∴G′(x)=−1−2lnxx ， 当0<x <e −12时，G′(x)=−1−2lnxx 3>0当x >e −12时，G′(x)=−1−2lnxx 3<0 当x =e −12时，G′(x)=−1−2lnxx 3=0G(x)max =G(e −12)=1+lne 12(e −12)2=e2，∴k >(lnx x +1x )max =e2，故 C 说法正确，对D ，根据0<x <√e,f(x)单调递增，x >√e,f(x)单调递减， ∵1<√2<√e ，可得f(1)<f(√2)， 又x ∵f(√2)=ln √22,f(√3)=ln √33，又f(√3)−f(√2)=ln √33−ln √22=2ln √36−3ln √26=2ln √3−3ln √26，根据2ln √3−3ln √2=ln(√3)2−ln(√2)3=[ln(√9)−ln(√8)]>0， ∴f(√3)>f(√2)，故：f(1)<f(√2)<f(√3)，故D 说法正确． 综上所述，正确的说法是：BCD ． 故选：BCD ．对A ，根据2f(x)+xf′(x)=1x 2,f(1)=0，求f(x)=lnx x 2，求出f′(x)，根据极值定义进行判断；对B ，根据f(x)单调性和零点定义，结合图象判断；对C ，要保证f(x)<k −1x 2在(0,+∞)上恒成立，即k >(lnxx 2+1x 2)max ，通过构造函数求其最值，进行判断；对D ，根据f(x)单调性，和对数比较大小，进行判断．本题主要考查了根据导数求函数的单调性和极值，及其最值问题，解题关键是掌握导数求极值的方法和构造函数解决不等式恒成立的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题．13.【答案】∃x∈(1,2)，x2≤1【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈(1,2)，x2>1”的否定是：∃x∈(1,2)，x2≤1．故答案为：∃x∈(1,2)，x2≤1．利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．本题考查命题的否定的应用．全称命题与特称命题互为否定关系，考查基本知识的应用．14.【答案】充分不必要【解析】解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．因为直线l⊂α，且l⊥β所以由判断定理得α⊥β．所以直线l⊂α，且l⊥β⇒α⊥β若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l//β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．所以“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．根据题意由判断定理得l⊥β⇒α⊥β.若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l//β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．由α⊥β，直线l⊂α得不到l⊥β，故可得出结论．．解决此类问题的关键是判断充要条件可以先判断命题的真假，最好用⇒来表示，再转换为是什么样的命题，最后转化是什么样的条件．15.【答案】π2【解析】解：函数f(x)=sin(x−π6)，若对任意的实数α∈[−5π6,−π2]，则：f(α)∈[−√32,0]，由于使f(α)+f(β)=0，则：f(β)∈[0,√32].sin(β−π6)∈[0,√32]，0≤β−π6≤π3，β=π2，所以：实数m的最小值是π2．故答案为：π2直接利用函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：函数的性质的应用．16.【答案】[2,+∞)【解析】解：令g(x)=f(x)−12x2，∵g(−x)+g(x)=f(−x)−12x2+f(x)−12x2=0，∴函数g(x)为奇函数．∵x∈(0,+∞)时，g′(x)=f′(x)−x<0，故函数g(x)在(0,+∞)上是减函数，故函数g(x)在(−∞,0)上也是减函数，由f(0)=0，可得g(x)在R上是减函数，∴f(4−m)−f(m)=g(4−m)+12(4−m)2−g(m)−12m2=g(4−m)−g(m)+8−4m≥8−4m，∴g(4−m)≥g(m)，∴4−m≤m，解得：m≥2，故答案为：[2,+∞)构造函数g(x)=f(x)−12x2，由g(−x)+g(x)=0，可得函数g(x)为奇函数．利用导数可得函数g(x)在R上是减函数，结合函数的单调性解不等式即可．本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，构造函数利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．属于中档题．17.【答案】解：(1)若选①b2+ac=a2+c2，由余弦定理可得，cosB=a2+c2−b22ac =12，故B=13π，若选②√3acosB=bsinA，由正弦定理可得，√3sinAcosB=bsinBinA，因为sinA≠0，所以sinB=√3cosB，即tanB=√3，因为B为三角形的内角，故B=13π，③由√3sinB+cosB=2可得2sin(B+π6)=2，所以sin(B+π6)=1，因为B为三角形的内角，故B=13π；(2)由正弦定理可得，bsinB =asinA，所以a=√2×√22√32=2√33，所以S△ABC=12absinC=12×2√33×√2×√2+√64=3+√36．【解析】(1)选①结合余弦定理可求B；(2)由正弦定理可求a，然后结合三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了余弦定理，正弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．18.【答案】解：(Ⅰ)因为S n=2n−1．所以当n=1时，a1=1；当n≥2时，S n−1=2n−1−1．所以a n=S n−S n−1=2n−1，故a n=2n−1．设b n−b n−1=d，则b n−b n−1=2b n−1−2n+4−b n−1=b n−1−2n+4=d．所以b n−1=2n−4+d，则b n =2(n +1)−4+d ，所以：d =2．因此：b n =2n ，(Ⅱ)由(1)知b n =2n ，根据c n =1b n 2−1=12(12n−1−12n+1)， 所以T n =c 1+c 2+c 3+⋯…+c n =12(1−13+13−15+⋯…+12n−1−12n+1)=n2n+1．【解析】(1)根据S n −S n−1=a n 出解出{a n }，{b n }是等差数列，利用等差的性质即可求解通项公式；(2)根据c n =1b n 2−1，求解{c n }的通项公式，采用裂项相消法求{c n }的前n 项和T n ． 本题考查了等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意t −=17(1+2+3+4+5+6+7)=4，y −=17(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3， 代入得，b =0.5，当t =8时，y =0.5t +2.3=6.3(千元)，即2021年该地区农村居民家庭人均纯收入为6.3千元．(2)X 的取值为0，1，2，3，P(X =0)=C 33C 73=135， P(X =1)=C 32C 41C 73=1235； P(X =2)=C 31C 42C 73=1835； P(X =3)=C 43C 73=435； 则X 的分布列：X0 1 2 3 P135 **** **** 435 E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127．【解析】(1)利用回归直线方程得解法，计算出各个数据，即可预测2021年的家庭人均收入；(2)由题意X 的取值为0，1，2，3，分别计算出对应的概率，即可解出．本题考查了回归直线方程，分布列，数学期望，学生的数据处理能力，属于基础题．20.【答案】证明：(Ⅰ)取PA 中点M ，连结MF ，MB ．因为F 是PD 中点，所以MF//AD ，且MF =12AD ，又因为BC//AD 且BC =AD ，且E 是BC 的中点，所以MF//BE ，且MF =BE.所以四边形BEFM 是平行四边形．于是EF//BM.又BM ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，因此EF//平面PAB ．解：(Ⅱ)四棱锥底面ABCD 是平行四边形，且AC =AB =√2，AD =2，所以AB ⊥AC ，又因为PA ⊥底面ABCD ，所以AB ，AC ，AP 两两互相垂直，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B(√2,0，0)，C(0,√2,0)，E(√22,√22,0)，D(−√2,√2,0)． 连结AE ，由AB =AC.E 是BC 中点，得AE ⊥BC ，AE ⊥AD ．又PA ⊥平面ABCD ，∴AE ⊥PA.又PA ∩AD =A ，∴AE ⊥平面PAD ．即平面PAD 的法向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,√22,0).设PA =ℎ，所以F(−√22,√22,ℎ2). 设平面EFD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)． 由ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√22,√22,0)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,−√22,ℎ2)， 得{m ⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3√22x +√22y =0m ⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√22x −√22y +ℎ2z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,3，2√2ℎ). 由二面角E −FD −A 为30°，所以cos30°=|m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |，即√2√10+ℎ2=√32，解得ℎ=2√3，所以四棱锥P −ABCD 的体积：V =13S 四边形ABCD ×PA =13×BC ×AE ×PA =13×2×1×2√3=4√33． 故四棱锥P −ABCD 的体积为4√33．【解析】本题考查线面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查运算求解能力和空间想象能力，是中档题． (Ⅰ)取PA 中点M ，连结MF ，MB 推导出四边形BEFM 是平行四边形．从而EF//BM.由此能证明EF//平面PAB ． (Ⅱ)推导出AB ，AC ，AP 两两互相垂直，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出PA =2√3，由此能求出四棱锥P −ABCD 的体积．21.【答案】解：(1)由题意，F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，根据椭圆定义|PF 1|+|PF 2|=2a ，所以2a =√(√3+√3)2+(12−0)2+√(√3−√3)2+(12−0)2=4， 所以a 2=4，b 2=a 2−c 2=1椭圆C 的方程x 24+y 2=1；(用待定系数法，列方程组求解同样给分)(2)设直线AB ：y =kx +m ，(km ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =kx +m x 24+y 2=1，消去y 得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0， △=(8km)2−4(1+4k 2)(4m 2−4)>0，x 1+x 2=−8km 1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2， 因为k 1k 2=k 2，所以kx 1+mx 1⋅kx 2+m x 2=k 2，即km(x 1+x 2)+m 2=0(m ≠0)，解得k 2=14，|OA|2+|OB|2=x 12+x 22+y 12+y 22=34[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+2=5， 所以|OA|2+|OB|2=5为定值．【解析】(1)根据椭圆的定义及椭圆的性质，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程；(2)设直线AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，求得k 2=14，即可求得|OA|2+|OB|2=5为定值．本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查转化思想，属于中档题．22.【答案】(1)解：函数f(x)的定义域是(0,1)∪(1,+∞)，f′(x)=x 2−(2−2a)x+1x(x−1)2， 由f′(x)=0在(0,12)内有解，令g(x)=x 2−(2−2a)x +1=(x −α)(x −β)，不妨设0<α<12，则β>2，g(0)=1>0，所以g(12)=122−2−2a 2+1<0，解得：a <−14，即a 的取值范围是(−∞,−14)；(2)证明：由(1)f′(x)<0⇔α<x <1，1<x <β，由f′(x)>0⇔x <α或x >β，得f(x)在(0,α)内递增，在(α,1)内递减，在(1,β)内递减，在(β,+∞)递增，由x 1∈(0,1)，得f(x 1)≤f(α)=lnα−α(α+1)α−1，由x 2∈(1,+∞)，得f(x 2)≥f(β)=lnβ−α(β+1)β−1， 所以f(x 2)−f(x 1)≥f(β)−f(α)， 因为αβ=1，α+β=2−2a ，a <−14，所以f(β)−f(α)=lnβ−α(β+1)β−1−lnα+α(α+1)α−1=2lnβ−2α⋅β+1β−1≥2lnβ+12⋅β+1β−1， 令ℎ(β)=2lnβ+12⋅β+1β−1(β>2)，则ℎ′(β)=2β2−5β+2β(β−1)2>0，(β>2)，所以ℎ(β)在(2,+∞)上单调递增，故ℎ(β)>ℎ(2)=2ln2+32，所以f(x 2)−f(x 1)>2ln2+32．【解析】(1)求出函数的导数，得到f′(x)=0在(0,12)内有解，求出a的范围即可；(2)求出f(x2)−f(x1)≥f(β)−f(α)=2lnβ−2α⋅β+1β−1≥2lnβ+12⋅β+1β−1，令ℎ(β)=2lnβ+12⋅β+1β−1(β>2)，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．。
辽宁省大连市2021届高三数学双基测试试题 文(含解析)
辽宁省大连市2020届高三数学双基测试试题 文（含解析）说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题~第23题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2|3100,A x x x =--<{}|22xB x =<，则A B =（ ）A. (2,1)-B. (5,1)-C. ∅D. {0}【答案】A 【解析】 【分析】先分别求得集合A 与集合B ,再根据交集运算即可求解. 【详解】集合{}2|3100,A x x x =--<{}|22xB x =< 即{}|25,A x x =-<<{}|1B x x =<由交集运算可得{}{}{}|25|1|21x x x x x A x B =-<<⋂<=-<<故选:A【点睛】本题考查了一元二次不等式与指数不等式的解法,交集的运算,属于基础题. 2.设1i z =--，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义,可先求得z ,进而得到z 在复平面内对应点所在的象限. 【详解】1i z =--由共轭复数的定义可知1i z =-+z 在复平面内对应点为()1,1-所以z 在复平面内对应点在第二象限 故选:B【点睛】本题考查了共轭复数的定义,复数在复平面内的几何意义,属于基础题. 3.命题“2,40x x ∀∈-≥R ”的否定是（ ） A. ,x ∀∈R 240x -≤ B. ,x ∀∈R 240x -< C. ,x ∃∈R 240x -≥ D. ,x ∃∈R 240x -<【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式,即可求解.【详解】由全称命题的否定,“2,40x x ∀∈-≥R ”的否定 为,x ∃∈R 240x -< 故选:D【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定,全称量词的否定形式,属于基础题.4.为了解某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）的关系，统计了(),x y 的10组值，并画成散点图如图，则其回归方程可能是（ ）A. 10198ˆyx =-- B. 10198ˆyx =-+ C. 10198ˆyx =+ D. 10198ˆyx =- 【答案】B 【解析】根据图象可知，线性回归系数为负，回归截距为正，故B 满足题意 故选B ．5.已知,,a βγ为不同的平面，m ，n 为不同的直线，则下列命题中真命题是（ ） A. 若,m α⊂,n α⊂,m β⊂/n β⊂/，则αβ∥ B. 若,αβ∥,m α⊂n β⊂，则m n C. 若,αβ∥m β⊂，则m α D. 若,αγ⊥βγ⊥，则αβ∥【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,可判断选项.【详解】对于A,若,m α⊂,n α⊂,m β⊂/n β⊂/,则αβ∥或α与β相交,所以A 错误; 对于B, 若,αβ∥,m α⊂n β⊂,则m n 或m 与n 异面,所以B 错误;对于C, 若,αβ∥m β⊂，根据直线与平面平行的性质可知, m α,所以C 正确; 对于D, 若,αγ⊥βγ⊥则αβ∥或αβ⊥,所以D 错误.综上可知,正确的为C 故选:C【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判断,属于基础题. 6.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ） A. cos y x =B. 2|sin |y x =C. cos 2xy =D.tan y x =【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式,判断出最小正周期,及函数的单调递减区间,即可判断. 【详解】对于A, cos y x =的最小正周期为2π,所以A 错误;对于B,结合函数图像可知2sin y x =的最小正周期为π,在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,所以B 正确; 对于C, cos 2x y =的最小正周期为4π,所以C 错误; 对于D,tan y x =的最小正周期为π,在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,所以D 错误. 综上可知,B 为正确选项. 故选:B【点睛】本题考查了函数的周期性与单调性的应用,根据解析式及函数的图像即可判断,属于基础题.7.“剑桥学派”创始人之一数学家哈代说过：“数学家的造型，同画家和诗人一样，也应当是美丽的”；古希腊数学家毕达哥拉斯创造的“黄金分割”给我们的生活处处带来美；我国古代数学家赵爽创造了优美“弦图”.“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则sin 2α等于（ ）A.35B.45C.725D.2425【答案】D 【解析】 【分析】设直角三角形的两条直角边中较短的边为a ,较长的边为b .根据两个正方形的面积,结合勾股定理求得a 与b 的关系,进而求得sin α和cos α, 再由正弦的二倍角公式即可求得sin 2α. 【详解】设直角三角形的两条直角边中较短的边为a ,较长的边为b ,即a b < 因为大正方形的面积为25,小正方形的面积为1 所以大正方形的边长为5 由勾股定理可知2225a b +=每个直角三角形的面积为()125164⨯-= 所以162ab = 则2225162a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解方程组可得34a b =⎧⎨=⎩所以34sin ,cos 55αα== 由正弦的二倍角公式可知3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯= 故选:D【点睛】本题考查了三角形中三角函数值的求法,正弦的二倍角公式应用,属于基础题. 8.已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点，并交抛物线C 于A 、B 两点，|16|AB =，则弦AB 中点M 的横坐标是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线方程画出图像,结合抛物线定义及梯形中位线性质,即可求得AB 中点M 的横坐标. 【详解】直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点, 交抛物线C 于A 、B 两点 则其焦点坐标为()2,0F ,准线方程为2x =-过A 向准线作垂直交准线于P 点,过B 向准线作垂直交准线于Q 点,过M 向准线作垂直交准线于N ,交y 轴于H ,如下图所示:设()()1122,,,A x y B x y由抛物线定义可知,,AF AP BF BQ ==由16AB =,可知16AB AF BF AP BQ =+=+= 因为M 为AB 的中点, 由梯形的中位线性质可知()1116822MN AP BQ =+=⨯= 则826MH MN NH =-=-= 即M 的横坐标是6 故选:C【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,过焦点的直线与弦长关系,中点坐标公式及梯形中位线性质的应用,属于基础题.9.一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体.已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体费用最少为（ ）元A. 4500B. 4000C. 2880D. 2380【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,先求得正四棱柱的底面棱长和高,由体积公式即可求得正四棱柱的体积.减去文物的体积,即可求得罩内的气体体积,进而求得所需费用.【详解】由题意可知, 文物底部是直径为0.9米的圆形,文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米所以由正方形与圆的位置关系可知,底面正方形的边长为0.920.3 1.5m +⨯= 文物高1.8米,文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米 所以正四棱柱的高为1.80.22m += 则正四棱柱的体积为231.52 4.5V m =⨯= 因为文物体积为30.5m所以罩内空气的体积为34.50.54m -= 气体每立方米1000元所以共需费用为410004000⨯=元 故选:B【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与体积求法,由空间位置关系求得棱柱的棱长,属于基础题.10.设1,F 2F 是双曲线2222,1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若126PF PF a +=，且12F PF ∠为120︒，则双曲线C 的离心率为（ ）【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线定义及126PF PF a +=,可用a 分别表示出12PF PF 、,在12F PF ∆中应用余弦定理可得a c 、的关系,进而求得双曲线的离心率.【详解】设1,F 2F 分别是双曲线2222,1x y C a b-=的左右两个焦点,P 为双曲线右支上一点由双曲线定义可知122PF PF a -= 而126PF PF a +=所以121262PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩,解得1242PF aPF a ⎧=⎪⎨=⎪⎩因为12120F PF ∠=,122F F c = 所以在12F PF ∆中由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠代入可得222416442122c s 0o c a a a a =⨯⨯⨯+- 化简可得227c a =所以双曲线的离心率为e ==故选:D【点睛】本题考查了双曲线的定义及简单应用,双曲线中焦点三角形中余弦定理的应用,双曲线离心率的求法,属于基础题.11.若点()11,,A x y ()22,B x y ()12x x <是函数1,1()ln ,1x e x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩的图象上任意两，且函数()f x 在点A 和点B 处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（ ）A. 10x <B. 101x <<C. 21x x 最大值为eD. 12x x 最大值为e 【答案】D 【解析】 【分析】根据12x x <,分三种情况讨论: 121x x <≤,121x x ≤<或121x x ≤<.对函数()f x 求导,由导数的几何意义及函数()f x 在点A 和点B 处的切线互相垂直,即可得12x x 、的关系,进而判断选项即可.【详解】因为1,1()ln ,1x e x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩,点()11,,A x y ()22,B x y ()12x x <所以,1'()1,1x e x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩因为()f x 在点A 和点B 处的切线互相垂直由导数几何意义可知, ()f x 在点A 和点B 处的切线的斜率之积为1- 当121x x <≤时,满足()()121x xe e -⨯-=-,即12121x x x x e e e +⨯==-因为120x x e +>,所以方程无解.即不存在121x x <≤时使得()f x 在点A 和点B 处的切线互相垂直当121x x ≤<时,满足()1211xe x -⨯=-,即12x e x =.因为21>x ,所以11x e >所以1>0x ,所以A 、B 错误;对于C,可知1211x x e x x =,令()xe g x x=,()1x ≤ 所以()()221''x xx x e x e xe e g x xx x ⎛⎫--=== ⎪ ⎪⎝⎭令()'0g x =,得1x =所以当1x <时, ()'0g x <,则()xe g x x=在1x <时单调递减所以()x e g x x =在1x =时取得极小值,即最小值为()1min 11e g e ==,无最大值,所以C 错误;对于D,可知1121xx x x e =⋅ 令()xh x xe =,()1x ≤则()'xxh x e xe =+令()()'10xh x e x =+=,解得1x =-所以当1x <-时, ()'0h x <,则()xh x xe =在1x <-时单调递减当11x -<≤时, ()'0h x >,则()xh x xe =在11x -<≤时单调递增所以()xh x xe =在1x =-时取得极小值,即最小值为()min 11h e-=-.当1x =时取得最大值, ()max 1h e =,所以D 正确.当121x x ≤<时,满足12111x x ⨯=-,即121x x ⋅=- 此方程无解,所以不成立. 综上可知,D 为正确选项. 故选:D【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,分类讨论思想的综合应用,属于难题.12.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：总体平均数为3，中位数为4； 乙地：总体平均数为1，总体方差大于0； 丙地：总体平均数为2，总体方差为3； 丁地：中位数为2，众数为3；则甲、乙、两、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ） A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地【答案】C【解析】 【分析】平均数与中位数,不能限制极端值的出现,因而可能会出现超过7人的情况;方差体现的是数据的离散情况,不知道方差的具体值,不能判断是否出现超过7人的情况;众数是出现次数多的数据,不能限制极端值的大小.【详解】对于甲地, 总体平均数为3,中位数为4.平均数与中位数,不能限制极端值的出现,因而可能会出现超过7人的情况,所以甲地不符合要求;对于乙地, 总体平均数为1,总体方差大于0.没有给出方差具体的大小,如果方差很大,有可能出现超过7人的情况,所以乙地不符合要求;对于丁地：中位数为2,众数为3. 中位数与众数不能限制极端值的大小,因而可能出现超过7人的情况,所以丁地不符合要求; 对于丙地,根据方差公式()()()2222123110s x x x x x x ⎡⎤=-+-+-+⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦.若出现大于7的数值m ,则()()()22222312 3.610s m x x x x ⎡⎤=-+-+-+⋅⋅⋅>⎢⎥⎣⎦,与总体方差为3矛盾,因而不会出现超过7人的情况出现. 综上可知,丙地符合要求. 故选:C【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数与方差表示数据的特征,对数据整体进行估算,属于中档题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答。