多重比较
多重比较
• 计算的公式：
LSD t dfe sxi x j
s xi x j
2MS e n
安康学院
7
例1：方差分析表(肥料盆栽试验)
变异来源 处理间 t 处理内 e 总变异T SS 301.2 101.0 402.2 df 4 15 19 MS 75.30 6.73 F F0.05 F0.01 4.89
4
4.05 dfe = 16
5.19
41.88
53.66
标准误 = 10.34
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30
例2： q 法多重比较表
处理 A1饲料 A4饲料 平均数 311.8 279.8 – A3饲料 64.4** 32.4 – A2饲料 49.0* 17.0 – A4饲料 32.0*
A2饲料
A3饲料
262.8
247.4
q法：检验标准较严，特殊试验使用。
• LSR法：有SSR法、q法两种标准可供选择
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32
书面作业
• 教材：142页，第11题 • 完成 3 种多重比较 • 要求：写在作业本上，未完，还要继续分析。
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课间休息
2013年5月6日
安康学院
15.4
LSR0.05 = 31.02，37.74，41.88， LSR0.01 = 42.70，49.43，53.66，
（ LSD0.05 = 31.00） （ LSD0.01 = 42.70）
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31
3 种多重比较方法的对比
• LSD法：利用 t 检验原理 • 简单，误差大
• •
•
检验标准较松，初级试验使用 SSR法：检验标准适中，常规试验使用
多重比较
四、多重比较F值显著或极显著，否定了无效假设H O，表明试验的总变异主要来源于处理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异不显著。
因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。
统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较(multiplecomparisons )。
多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD 法)和最小显著极差法(LSR 法)，现分别介绍如下。
（一）最小显著差数法 (LSD 法，least significant difference ) 此法的基本作法是：在F 检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数αLSD ，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值..j i x x -与其比较。
若..j i x x -＞LSD a 时，则.i x 与.j x 在α水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。
最小显著差数由(6-17)式计算。
..)(j i e x x df a a S t LSD -=(6-17)式中：)(edf t α为在F 检验中误差自由度下，显著水平为α的临界t 值，..j i x x S -为均数差异标准误，由(6-18)式算得。
n MS S e x x j i /2..=-(6-18)其中e MS 为F 检验中的误差均方，n 为各处理的重复数。
当显著水平α=0.05和0.01时，从t 值表中查出)(05.0e df t 和)(01.0e df t ，代入(6-17)式得：....)(01.001.0)(05.005.0j i e j i e x x df x x df S t LSD S t LSD --==(6-19)利用LSD 法进行多重比较时，可按如下步骤进行：(1)列出平均数的多重比较表，比较表中各处理按其平均数从大到小自上而下排列；LSD和(2)计算最小显著差数05.0LSD；.001(3)将平均数多重比较表中两两平LSD比较，作均数的差数与05.0LSD、01.0出统计推断。
多重比较
１．２ 多重比较用方差分析方法对单因子试验模型中的假设（１．１．４）作检验只能回答因子不同水平的效应之间有没有显著差别的问题。
如果答案是“有显著差别”，则试验者自然希望进一步了解这种差别的具体模式。
例如，在例１．１．１中，由方差分析得出五种药物的疗效有显著差别的结论。
进而我们还想知道哪种药物的疗效最好（治愈天数少），或者药物之间两两比较时，哪个疗效好一些，等等。
对于这一类的问题，方差分析的结论不能回答。
我们需要不同的假设检验方法。
首先，来分解假设（１．１．４）。
当假设（１．１．４）被拒绝时就意味着至少存在一对j i µµ≠，或者j i µµ−0≠。
我们称形如j i µµ−的参数线性组合为一个“比较”（ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ）。
在单因子试验模型中，若因子A 有I 个水平，则共有2/)1(2−=I I C I 个比较。
接受假设（１．１．４）就意味着所有的比较都为０；而拒绝假设（１．１．４）则意味着至少存在着一个比较不为０。
我们要找到适当的检验方法使得当假设（１．１．４）被拒绝时，还可以进一步判断哪些比较不为０，或者说，哪些对因子水平的效应之间有显著差别（ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ）。
这样的检验方法统称为“多重比较”（ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ）。
首先考虑最简单的情况：2=I 。
这时只有唯一的一个比较：21µµ−。
假设（１．１．４）就等价于假设21µµ−＝０。
当在方差分析中用Ｆ检验得到拒绝假设（１．１．４）时，就等价地意味着认为021≠−µµ。
也可以用另外的方法来检验假设21µµ−＝０。
在2=I 时，单因子方差分析问题就相当于两个正态总体的均值差的假设检验问题。
在初等统计中，这个问题通常用两正态样本的“ｔ检验”方法来解决。
定义两正态样本的“ｔ统计量”如下：MSSE n n y y n n T )()(212121+−=•• （１．２．１）则当假设21µµ−＝０成立时，T 服从自由度为2−N 的ｔ分布)2(−N t 。
多重比较方法
检验统计量 xB − xC = |62 - 52| = 10
结论
装配方法B和装配方法C的工作效率 存在明显差异
12
R实现（LCD方法）
pairwise.t.test(X,A,p.adjust.method="none")
Pairwise comparisons using t tests
说明: p是p值构成的向量, method是修正方法, 包括：
调整方法
R软件中的参数
Bonferroni
“bonferroni”
Holm(1979)
“holm”
Hochberg(1988)
“hochberg”
Hommel(1988)
“hommel”
Benjamini & Hochberg (1995)
P-值
组间 520.000
2
260.000 9.176
.004
组内 340.000 12
28.333
总数 860.000 14
8
ACTIA公司案例中的多重比较
在 = 0.05的显著性水平下，自由度
为 nT - k =15–3=12的t值： t.025 = 2.179
LSD = t /2
MSE(
1 ni
with pooled SD
data: X and A
1
2
2 0.2577 -
3 0.0117 0.0013
P value adjustment method: none
13
命令解释
R软件中p值调整使用函数p.adjust( )，格式为： p.adjust( )的调用格式
多重比较 统计学
多重比较统计学多重比较统计学是一种在统计学领域应用广泛的方法，它可以帮助研究人员对多个群体或变量进行比较和分析。
通过比较不同群体或变量之间的差异和相似性，我们可以更好地理解数据，并得出更准确的结论。
本文将介绍多重比较统计学的基本概念、方法和应用。
我们来了解一下多重比较统计学的基本概念。
多重比较统计学是指在进行多个群体或变量比较时，采用一系列统计方法来控制错误率，并对差异进行推断。
在传统的单个比较中，我们通常使用t检验或方差分析等方法来比较两个群体或变量之间的差异。
然而，在多重比较中，由于同时进行多个比较，存在着累积的错误率问题。
为了解决这个问题，我们需要采取一些措施来控制错误率，例如Bonferroni校正、False Discovery Rate等。
接下来，我们将介绍一些常用的多重比较方法。
首先是Bonferroni 校正，它是一种最简单和最常用的多重比较校正方法。
Bonferroni 校正将显著性水平除以比较的总数，从而得到每个比较的显著性水平。
这样可以有效地控制整体错误率，但也可能导致较高的Type Ⅰ错误率。
另一个常用的方法是False Discovery Rate（FDR），它通过控制被错误拒绝的假设的比例来控制错误率。
FDR方法可以更好地平衡Type Ⅰ错误和Type Ⅱ错误，适用于大规模的多重比较。
在实际应用中，多重比较统计学具有广泛的应用领域。
例如，在医学研究中，我们可以使用多重比较方法来比较不同治疗方法的疗效；在生物学研究中，我们可以使用多重比较方法来比较不同基因的表达水平；在市场研究中，我们可以使用多重比较方法来比较不同产品的销售情况。
通过使用多重比较统计学，我们可以更好地理解数据，并得出准确的结论，为决策提供科学依据。
尽管多重比较统计学在实际应用中具有重要意义，但我们在使用时也需要注意一些问题。
首先，我们需要选择合适的多重比较方法，根据实际情况来控制错误率。
其次，我们需要注意样本的选择和数据的质量，以确保比较的结果具有可靠性和代表性。
多重比较
四、多重比较F值显著或极显著，否定了无效假设H O，表明试验的总变异主要来源于处理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异不显著。
因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。
统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较(multiplecomparisons )。
多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD 法)和最小显著极差法(LSR 法)，现分别介绍如下。
（一）最小显著差数法 (LSD 法，least significant difference ) 此法的基本作法是：在F 检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数αLSD ，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值..j i x x-与其比较。
若..j i x x -＞LSD a 时，则.i x 与.j x 在α水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。
最小显著差数由(6-17)式计算。
..)(j i e x x df a a S t LSD -=(6-17)式中：)(e df t α为在F 检验中误差自由度下，显著水平为α的临界t 值，..j i x x S -为均数差异标准误，由(6-18)式算得。
n MS S e x xj i /2..=- (6-18)其中e MS 为F 检验中的误差均方，n 为各处理的重复数。
当显著水平α=0.05和0.01时，从t 值表中查出)(05.0e df t和)(01.0e df t ，代入(6-17)式得：....)(01.001.0)(05.005.0j i e j i e x x df x x df S t LSD S t LSD--==(6-19)利用LSD 法进行多重比较时，可按如下步骤进行：(1)列出平均数的多重比较表，比较表中各处理按其平均数从大到小自上而下排列；(2)计算最小显著差数05.0LSD和LSD；.001(3)将平均数多重比较表中两两平均数的差数与05.0LSD比较，作LSD、01.0出统计推断。
多重比较的基本步骤
多重比较（Multiple Comparisons）是统计学中的一种方法，用于在进行方差分析（ANOVA）或其他假设检验后，对多个均值之间的差异进行细致的比较，以确定哪些组之间的差异是显著的。
以下是多重比较的基本步骤：1.进行初步分析：o首先进行一个总体的统计分析，如单因素或双因素方差分析（One-way ANOVA或Two-way ANOVA），以确定是否存在至少两个组别之间均值的显著差异。
2.选择多重比较方法：o根据研究目的和样本大小，选择合适的多重比较方法。
常见的多重比较方法包括：▪LSD（Least Significant Difference）法▪Tukey’s HSD（Honestly Significant Difference）法▪Bonferroni校正▪Dunnett’s test（主要用于与对照组比较）▪Sidak校正▪Šidák校正▪Benjamini-Hochberg校正（用于控制假阳性率）3.计算比较：o应用选定的方法，对所有可能的组间比较进行计算，得出每一对比较的p值和置信区间。
4.调整显著性水平：o为了控制I型错误（假阳性）的发生概率，通常会对原始的显著性水平（如α=0.05）进行调整。
例如，如果进行了k个比较，可能需要将每个比较的显著性水平设定为α/k（如使用Bonferroni校正）。
5.解释结果：o根据调整后的显著性水平，解释每对比较的结果，指出哪些组之间的差异在统计上是显著的。
6.报告结果：o报告每一对比较的统计量、p值和结论，必要时可以绘制图表直观展示显著差异。
7.评估假设检验结果：o评估所有比较结果的整体一致性，以及是否符合研究的假设和目标。
请注意，多重比较可能导致假阳性率增加，因此选择合适的校正方法很重要。
同时，分析结果不仅要基于统计显著性，还要结合实际研究背景和意义进行解读。
多重比较
例 不同品种猪4个月增重量的方差分析表
变异来源 品种间 品种内 总变异
SS
df
s2
F
F0.05
F0.01
103.94 3 34.647 3.802 * 3.49 5.95
109.36 12 9.113
213.30 15
√ √ S x1 - x2 =
2se2 = n
2×9.113 ＝2.1346 4
于处理组间的比较。
(二)最小显著极差法（LSR法）
是指不同平均数间用不同的显著差数标准进行 比较，可用于平均数间的所有相互比较。
新复极差法
q 检验
（New multiple rang method） SSR法
（q-test）
新复极差法（SSR）
SSR法又称Duncan法。无效假设H0 为：
(1)按相比较的样本μ容A 量–μ计B 算= 平0 均数标准误:
M = 相隔数 + 2
大白与沈黑：M＝4，极差＝6.8＞ 5大.0白0与沈白：M＝3，极差＝5.1＞ 4大.8白8与沈花：M＝2，极差＝3.0＜ 4.65
猪品种间4个月增重量差异显著性比较表（新复极差法）
品种
大白 沈花 沈白 沈黑
平均数
30.9 27.9 25.8 24.1
差异显著性
α＝0.05
α＝0.01
√ √ S x =
se2 n
=
9.113 ＝1.5094(kg) 4
查附表9，当dfe ＝12，M＝2时， SSR0.05 ＝3.08，SSR0.01＝4.32
LSR0.05 ＝1.5094×3.08＝4.65 LSR0.01 ＝1.5094 ×4.32＝6.52
常用的多重比较方法
常用的多重比较方法
在数据分析和统计学中，常用的多重比较方法包括以下几种：
1. 方差分析中的多重比较方法：用于比较多个组或处理之间的均值差异，包括Tukey's HSD（Tukey's Honestly Significant Difference）、Bonferroni校正和Scheffé法等。
2. 多重t检验：用于比较两个或多个样本均值是否有显著差异，通常用于独立样本或配对样本之间的比较。
3. 多重相关分析：用于比较多个变量之间的相关性，包括Pearson相关系数、Spearman等级相关系数等。
4. 多重回归分析：用于比较多个自变量对因变量的影响程度，可以进行变量选择和模型比较。
5. 多重比例比较：用于比较不同组别之间的比例差异，包括卡方检验和Fisher 精确检验等。
以上仅列举了常见的一些多重比较方法，具体选择何种方法应根据研究问题、数据类型和假设情况等综合考虑。
此外，需要注意的是，在进行多重比较时，需要
进行多重校正，以控制因进行多个比较而增加的类型I错误的风险。
多重比较
1. 多重比较方法的选择一个试验资料，采用哪种多重比较方法，主要应根据否定一个正确的无效假设和接受一个不正确的无效假设的相对重要性而定。
如果否定正确的（即犯α错误）是事关重大或后果严重的，应用q 测验；这就是宁愿使犯β错误的风险较大而不使犯α错误有较大风险。
如果接受不正确的（即β错误）是事关重大或后果严重的，则易采用PLSD 测验或SSR 测验，这是宁愿冒较大的α错误的风险，而不愿冒较大的β错误的风险。
在一般的农业试验研究中，较为广泛应用的是PLSD 测验法和SSR 测验法。
2. 多重比较结果的表示方法(1) 列三角形表示法将全部平均数从大到小顺序排列，然后算出各平均数间的差数（这些差数呈三角形形式）。
凡达α =0.05 水平显著的差数在其右上角标一个“ * ”号；凡达α =0.01 水平显著的差数在其右上角标两个“ ** ”号；未达α =0.05 水平显著的差数则不予标记。
见表9-5 结果表示。
（ 2 ）标记字母法先将全部平均数从大到小顺序排列，然后在最大的平均数上标上字母a ，并将该平均数依次和其以下各平均数相比，凡差异不显著的都标字母 a ，直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母 b 。
再以该标有 b 的平均数为标准，与上方各个比它大的平均数比，凡不显著的也一律标以字母 b ；再以标有 b 的最大平均数为标准，与以下各未标记的平均数比，凡不显著的继续标以字母 b ，直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母 c ……如此重复下去，直至最小的一个平均数有了标记字母为止。
这样各平均数间，凡有一个标记相同字母的即为差异不显著，凡具不同标记字母的即为差异显著。
在实际应用时，一般以大写字母A.B.C…… 表示α =0.01 显著水平，以小写字母 a.b.c…… 表示α =0.05 显著水平。
见表9-5 结果。
一般情况下，尤其在处理平均数较多时，以标记字母法较为简洁明了，所以此法得以广泛应用。
总结上述，方差分析的基本步骤是：（1 ）分析变异原因，计算各变因的平方和、自由度及其均方。
第十三章心理学研究方法
第十章多重比较1.什么是多重比较？为什么要进行多重比较？多重比较给推论统计带来的问题是什么？（1）方差分析中主效应和交互效应显著仅仅表明某种差异的存在，但是要真正知道差异的性质和意义，需要进行其他的检验，当方差分析表明一个主效应显著时，研究者可能需要在个平均数之间做进一步的比较，即多重比较，依据实验的目的，性质和条件，多重比较式多种多样的，平均数之间的比较也是多种多样的，但总的来说可以分成事前比较和事后比较。
（2）如果在一个试验中，主效应的F值显著，我们拒绝了虚无假说，接受了备择假说，表明了主效应的存在，但是哪些自变量水平之间的差异是真正存在，哪些不存在，通常自变量的水平大于2时，通过接受或拒绝一个全无假说不能提供对主效应结果的完整解释，在很多情况下，研究者还需要对一些特定、更详细的假说进行比较就是用于检验这样的一些特殊假说。
（3）当权方差分析中的主效应差异显著是，需要进行额外的检验，就是多重比较，饿额外的多重比较检验，带来了一个重要的问题就是I型错误的增加，进行的平均数之间独立比较的数量越多，当比较虚无假设为真时，我们会犯I型错误。
2.什么是多重比较重的累积错误？什么是每个比较的错误率？什么是实验错误率，两者的关系式什么？在多重比较重，我们需要区分两种错误。
第一个是每个比较的错误率，第二个是实验错误率。
每个比较的错误率是指研究者选择设置的控制I错误的a水平，我们在每个比较重设置的I 型错误率。
如果研究者在一个实验中需要进行多个平均数的比较，整个实验犯I型错误的可能性就是实验错误率，检验错误率最常用的概念就是每个实验的错误率。
实验错误率不是研究者直接设置的，而是每个比较设置的A水平和比较的数量。
Aew=1-(1-apc)c当比较的次数少时，Aew=C*aAew是实验错误率，apc是每个比较的错误率,我们可以看到如果将每个比较的I型错误率限制的更严格些，有可能将实际的实验错误率控制在我们预想的I型错误率a=0.05范围内。
多重比较的名词解释
多重比较的名词解释在统计学和研究方法学中，多重比较是一个重要的概念。
它指的是在进行多个假设检验或对比时，采取特殊的方法来控制统计显著性水平的误差率。
在本文中，我们将对多重比较进行详细的解释，并探讨其在实际研究和数据分析中的应用。
一、什么是多重比较？多重比较是一种用于在进行多个假设检验时控制类型I错误率（即拒绝真实假设）的方法。
当我们对多个组别、多个变量或多个时间点进行比较时，直接使用传统的单个假设检验方法可能会导致显著性水平的显著提高，从而产生错误的结论。
以医学研究为例，假设我们希望比较三个不同的药物在治疗某种疾病方面的效果。
如果仅使用传统的单个假设检验方法，我们将进行三次独立的假设检验，每次比较两个药物的疗效。
在这种情况下，如果我们使用常见的显著性水平（例如0.05），那么在纯随机情况下，我们大约有15%的概率至少会错误地得出一对药物之间存在显著差异的结论。
为了解决这个问题，我们需要采取多重比较方法来控制错误的发生率。
下面将介绍几种常见的多重比较方法。
二、Bonferroni校正Bonferroni校正是最常用的多重比较方法之一。
它的基本思想是将显著性水平（α）除以比较的次数（m），然后将结果作为每个比较的显著性水平。
假设我们要进行m次比较并使用α=0.05，那么每个比较的显著性水平将为α/m。
然而，Bonferroni校正方法可能会过于保守，导致漏掉真实的差异。
因此，在实际应用中，我们常常会选择其他方法。
三、Tukey HSD检验Tukey HSD（Honestly Significant Difference）检验是一种常见且有效的多重比较方法。
它的优势在于能够在所有可能的配对之间比较均值的差异，并确定哪些配对是显著不同的。
在使用Tukey HSD检验时，我们首先进行一次方差分析（ANOVA），以获取组间方差的估计。
然后，根据估计的方差值和样本量，计算出每对均值之间的显著差异。
如果某对均值的差异大于其他所有差异的临界值，则我们可以得出这一对是显著不同的结论。
统计学中的多重比较与调整
统计学中的多重比较与调整统计学中的多重比较和调整是一个重要的主题，它涉及到在多组数据之间进行比较时如何控制错误发现率。
在实际研究或实验中，我们常常需要同时比较多组数据，这样就增加了出现假阳性（即错误地拒绝零假设）的可能性。
为了解决这个问题，多重比较与调整方法应运而生。
一、多重比较方法多重比较方法是在比较多组数据时控制错误的方法。
常见的多重比较方法包括共同控制类型I错误发现率（Family-wise Error Rate, FWER）和控制逐比较错误发现率（False Discovery Rate, FDR）两种。
1. 共同控制FWER的方法共同控制FWER的方法的目标是尽量降低整体的错误发现率，其中最著名的方法是Bonferroni校正。
Bonferroni校正是最简单和最保守的调整方法之一，它将显著性水平除以比较数量来控制FWER。
虽然它控制了整体错误率，但对于大样本量或多组比较的情况下，可能导致过于保守的结果。
2. 控制FDR的方法控制FDR的方法主要用于大量比较的情况下，例如基因表达研究中的差异基因分析。
常见的FDR调整方法包括Benjamini-Hochberg方法和Benjamini-Yekutieli方法。
这些方法通过控制被错误发现的零假设的百分比来控制FDR。
二、调整方法的应用在实际应用中，根据研究设计和研究目的的不同，选择合适的调整方法非常重要。
下面以一个基因表达研究为例来说明不同调整方法的应用。
假设我们进行了一个基因表达研究，同时比较了10000个基因在两组样本中的表达差异。
我们的目标是找出显著差异的基因。
首先，我们进行t检验来比较每个基因在两组样本中的表达差异，并计算出每个基因对应的p值。
然后，我们可以选择控制FWER的Bonferroni校正方法来进行多重比较的调整。
假设我们设置显著性水平为0.05，由于有10000个基因进行比较，因此我们将显著性水平除以10000来得到每个基因的显著性水平，即0.05/10000=0.000005。
统计学中的多重比较方法
统计学中的多重比较方法统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，广泛应用于各个领域。
在数据分析过程中，我们经常需要进行多重比较，以确定不同组之间的差异或者找出显著性结果。
本文将介绍统计学中常用的多重比较方法，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、背景介绍多重比较是指在进行多个假设检验时，需要对每个比较的显著性水平进行调整，以控制整体错误率。
在实际应用中，如果不对多重比较进行调整，可能会导致过高的错误率，从而得出错误的结论。
因此，多重比较方法在统计学中具有重要的意义。
二、Bonferroni校正法Bonferroni校正法是最常见的多重比较方法之一。
该方法的基本思想是将显著性水平α除以比较的总数，得到每个比较的校正显著性水平。
例如，如果我们进行了10个比较，显著性水平设定为0.05，则每个比较的校正显著性水平为0.05/10=0.005。
通过这种方式，我们可以有效地控制整体错误率。
然而，Bonferroni校正法也存在一些限制。
首先，它假设所有比较之间是独立的，这在实际应用中并不总是成立。
其次，该方法可能会导致过于保守的结果，降低了检验的功效。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择适当的多重比较方法。
三、Tukey HSD方法Tukey HSD（Honestly Significant Difference）方法是一种常用的多重比较方法，适用于方差分析（ANOVA）中的多个组之间的比较。
该方法通过计算平均差异的标准误差，得出每个比较的显著性水平。
与Bonferroni校正法相比，Tukey HSD方法具有更好的功效，同时也能控制整体错误率。
然而，该方法要求各组之间的方差齐性，并且对样本量的要求较高。
如果数据不满足这些假设，我们可以考虑使用其他的多重比较方法。
四、False Discovery Rate控制方法False Discovery Rate（FDR）控制方法是一种相对较新的多重比较方法，用于控制预期的错误发现率。
多重比较
四、多重比较F值显著或极显著，否定了无效假设H O，表明试验的总变异主要来源于处理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异不显著。
因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。
统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较(multiplecomparisons )。
多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD 法)和最小显著极差法(LSR 法)，现分别介绍如下。
（一）最小显著差数法 (LSD 法，least significant difference ) 此法的基本作法是：在F 检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数αLSD ，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值..j i x x -与其比较。
若..j i x x -＞LSD a 时，则.i x 与.j x 在α水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。
最小显著差数由(6-17)式计算。
..)(j i e x x df a a S t LSD -=(6-17)式中：)(edf t α为在F 检验中误差自由度下，显著水平为α的临界t 值，..j i x x S -为均数差异标准误，由(6-18)式算得。
n MS S e x x j i /2..=-(6-18)其中eMS 为F 检验中的误差均方，n 为各处理的重复数。
当显著水平α=0.05和0.01时，从t 值表中查出)(05.0e df t 和)(01.0e df t ，代入(6-17)式得：....)(01.001.0)(05.005.0j i e j i e x x df x x df S t LSD S t LSD --==(6-19)利用LSD 法进行多重比较时，可按如下步骤进行：(1)列出平均数的多重比较表，比较表中各处理按其平均数从大到小自上而下排列；LSD和(2)计算最小显著差数05.0LSD；.001(3)将平均数多重比较表中两两平LSD比较，作均数的差数与05.0LSD、01.0出统计推断。
多重比较
上节对一组试验数据通过平方和与自由度分解，将所估计的处理均方与误差均方作比较，由F测验推论处理间有显著差异。
但我们并不清楚那些处理间存在差异，故需要进一步做处理平均数间的比较。
一个试验中k个处理平均数间可能有k(k-1)/2个比较，因而这种比较是复式比较亦称为多重比较（multiple comparisons)。
多重比较有多种方法，本节将介绍常用的三种：最小显著差数法（LSD法）、复极差法（q法）和Duncan氏新复极差法（SSR法）。
【最小显著差数法（LSD法）、复极差法（q法）和Duncan氏新复极差法（SSR法）本质上都属于t检验法。
因此，使用这三种方法必须满足方差齐性。
因为使用T检验是有条件的，其中之一就是要符合方差齐次性，这点需要F检验来验证。
方差齐次性检验（Homogeneity-of-variance）结果，从显著性慨率：各组方差无差异），c说明各组的方差在看，p>0.05，接受零假设（零假设Ha=0.05水平上没有显著性差异，即方差具有齐次性。
这个结论在选择多重比较方法时作为一个条件（方差齐次时有齐次时的多重比较法，非齐次时有非齐次时的多重比较法）。
比较计算所得F值与某显著水平（如0.05）下F值，可得处理间差异是否显著。
若处理间差异显著，则需进一步比较哪些处理间差异是显著的。
也就是只有在方差分析中F检验存在差异显著性时，才有比较（多重比较）的统计意义。
进行方差分析时需要满足独立样本、方差齐性、正态分布等条件，如果方差不具备齐性（F检验），可首先进行数据转换，如通过对数变换、平方根变换、倒数变换、平方根反正弦变换等方法变换后再进行方差齐性检验,若还不行只能进行非参数检验。
】7.2.1 最小显著差数法最小显著差数法（least significant difference，简称LSD法），LSD 法实质上是t测验。
其程序是：在处理间的F测验为显著的前提下，计算出显著水平为α的最小显著差数；任何两个平均数的差数如其绝对值≥，即为在α水平上显著；反之则为不显著。
方差分析与多重比较
方差分析与多重比较方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个组之间的均值差异是否显著。
它被广泛应用于实验研究、社会调查、医学研究等领域，可以帮助我们确定组间的差异是否由于随机因素引起。
而多重比较则是方差分析的扩展，用于比较多个组间的均值差异。
一、方差分析方差分析是一种通过分解总体总体差异来检验组间均值是否有显著差异的方法。
在进行方差分析之前，我们需要先提出假设，即原假设和备择假设。
原假设（H0）：所有组的均值相等。
备择假设（H1）：至少有一个组的均值与其他组有显著差异。
方差分析通常采用F检验来检验组间均值是否存在显著差异。
F统计量的计算依赖于组内均方（Mean Square Within，MSW）和组间均方（Mean Square Between，MSB）。
若F值大于临界F值，则拒绝原假设，即组间均值存在显著差异。
二、多重比较多重比较是对方差分析中拒绝原假设的组进行进一步比较的方法。
当我们发现组间均值存在显著差异时，我们希望进一步了解哪些组之间存在差异。
常用的多重比较方法包括：1. LSD法（最小显著差异法）：对所有可能的组合进行两两比较，判断均值差异是否显著。
这种方法简单，但容易产生错误的正差异判断。
2. Bonferroni校正法：将显著性水平除以组合数量来校正，保证整体错误率不超过显著性水平。
这种方法控制了错误率，但可能导致过度保守。
3. Tukey HSD法（Tukey Honestly Significant Difference）：相较于LSD法，Tukey HSD法更为保守，适合进行大样本比较。
4. Duncan多重比较法：根据多重比较，将组间均值划分成若干个不同类型。
在进行多重比较时，我们需要注意研究目的、数据类型和样本容量的差异，选择适合的方法进行比较。
三、实际应用方差分析与多重比较方法广泛应用于各个领域的研究中。
以医学研究为例，研究人员可能会针对不同药物进行实验，比较各个药物对患者的疗效是否存在显著差异。
统计学中的多重比较方法
统计学中的多重比较方法统计学的研究领域中，多重比较方法是一种强大的工具，用于在研究中探索多个群体或处理之间的差异。
多重比较方法的主要目标是避免在进行统计推断时产生错误的结论。
本文将介绍统计学中常见的多重比较方法，包括Bonferroni校正、Dunnett校正和Tukey-Kramer校正。
1. Bonferroni校正Bonferroni校正是一种广泛使用的多重比较方法，其原理是将显著性水平按照进行比较的数量进行调整。
假设我们进行了m个比较，原始的显著性水平为α，则在Bonferroni校正下，每个比较的显著性水平将调整为α/m。
这样可以保护整体显著性水平，降低错误发现的概率。
但是，Bonferroni校正可能导致统计功效降低，因此需要权衡研究设计和显著性水平的设置。
2. Dunnett校正Dunnett校正是一种特定的多重比较方法，适用于对一个处理组进行多个处理间比较的情况。
与Bonferroni校正不同，Dunnett校正通过将每个比较与一个参照组进行比较，降低了错误发现的概率。
具体而言，Dunnett校正通过在比较中引入一个额外的自由度，来调整每个比较的显著性水平。
这种方法在医学研究和实验设计中经常被使用。
3. Tukey-Kramer校正Tukey-Kramer校正是一种用于多个群体间比较的方法，可以有效控制类型I错误的产生。
在Tukey-Kramer校正下，每个比较的显著性水平将根据一种修正的公式进行调整。
与Bonferroni校正类似，Tukey-Kramer校正能够提供更具吸引力的结果，但也可能降低统计功效。
这种方法主要应用于方差分析（ANOVA）和多元分析（MANOVA）等统计方法。
总结统计学中的多重比较方法是研究设计和结果分析中重要的一环。
通过对多个群体或处理进行比较，可以提供更全面的信息和洞察，并减少错误的结论。
本文介绍了三种常见的多重比较方法，包括Bonferroni校正、Dunnett校正和Tukey-Kramer校正。
多重比较在统计学中的应用探究
多重比较在统计学中的应用探究统计学是一门广泛应用于各个领域的学科，而多重比较则是其中一个重要的概念和方法。
多重比较主要用于比较多个群体或多个变量之间的差异，以发现其中的显著性差异。
本文将探究多重比较在统计学中的应用，并介绍其相关概念和方法。
一、多重比较的概念和意义多重比较是指在进行多个比较时，需要对所得到的显著性差异进行修正的统计方法。
在实际研究中，我们常常需要比较多个群体或多个变量之间的差异，而传统的单一比较方法可能会导致假阳性率的增加。
多重比较的目的就是通过一定的修正方法，控制整体显著性水平，减少假阳性的发生。
多重比较在统计学中的应用非常广泛。
例如，在医学研究中，我们可能需要比较多种药物的疗效；在社会科学研究中，我们可能需要比较不同群体的行为差异；在生物学研究中，我们可能需要比较多个基因的表达水平等等。
通过多重比较的方法，我们可以更加准确地判断差异的显著性，从而得出更可靠的结论。
二、多重比较的方法多重比较的方法有很多种，常用的包括Bonferroni校正、Tukey HSD法、Scheffe法等。
下面将分别介绍这些方法的原理和应用。
1. Bonferroni校正Bonferroni校正是最常用的多重比较方法之一。
其基本原理是将整体显著性水平按照比较次数进行修正。
假设我们进行了m次比较，显著性水平为α，则每次比较的显著性水平为α/m。
这样做的目的是为了控制整体显著性水平为α，从而降低假阳性的风险。
Bonferroni校正的优点是简单易行，但其缺点是可能会导致过于保守的结果。
由于每次比较的显著性水平较低，可能会错过一些真实的差异。
因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
2. Tukey HSD法Tukey HSD法是一种较为灵活的多重比较方法。
它通过计算多个群体之间的平均差异，以确定是否存在显著性差异。
该方法的优点是可以同时比较多个群体，从而减少比较次数，降低假阳性的风险。
Tukey HSD法的基本思想是计算每两个群体之间的平均差异值，然后与一个临界值进行比较。
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狭义的多重比较
狭义的多重比较，特指对多组的总体参数或多 组的分布比较后各组间的两两比较(post hoc comparison)。
方差分析后多组均数的比较 多个率比较后的两两比较 多组等级分布比较后的两两比较等
广义的多重比较
一般指多变量的情形，即对同一问题通过对多 个变量的逐一检验来回答，如多元回归中各自 变量的假设检验，简称多重检验(multiple testing)
Example
Suppose we have m = 3 t-tests. Assume target = 0.05. Unadjusted P-values are P1 = 0.001 P2 = 0.013 P3 = 0.074 For the jth test, calculate /(m-j+1), For test j = 1, /(m-j+1) = 0.05/(3 -1 + 1) = 0.05 / 3 = 0.0167 For test j=1, the observed P1 = 0.001 is less than 0.0167, so we reject the null hypothesis.
m
Control m with multiple test procedure
Outcomes of m tests
设同时对m个假设进行检验，其中m0个是正确的，R 表示检验结果为阳性的假设个数 。 H0 True False Total Not Rejected Rejected Total m0 m-m0 m
Holm step-down
Order the P values for the m hypotheses being tested from smallest to largest.
P1 P2 ... Pm
min mP ,1 P 1 1 m in max P , m i 1 P , 1 P i i 1 i
Example
For test j = 2, /(m-j+1) = 0.05/(3 – 2 + 1) = 0.05 / 2 = 0.025 For test j=2, the observed P2 = 0.013 is less than 0.025, so we reject the null hypothesis. For test j = 3, /(m-j+1) = 0.05/(3 – 3 + 1) = 0.05 / 1 = 0.05 For test j=3, the observed P3 = 0.074 is greater than 0.05, so we do not reject the null hypothesis.
Sidak step-down (Sidak-Holm)
m P1 min 1- 1-P1 ,1
m i 1 ,1 Pi min max Pi 1 ,1- 1-Pi i 2,m
Example
If P1> 1-(1-)1/m, accept all the n hypothesis (i.e., none are significant). If P1≤1-(1-)1/m, reject H1 (i.e., H1 is declared significant), and consider H2 If P2> 1-(1-)1/(m-1), accept H2 If P2≤ 1-(1-)1/(m-1), reject H2 and move onto H3 Proceed with the hypotheses until the first j such that Pj > 1-(1-)1/(m-j+1).
FDR
False Discovery Rate “阳性结果错误率/假发现率” The FDR (Benjamini & Hochberg 1995) is the expected proportion of Type I errors among the rejected hypotheses:
则拒绝H 。 如果 P i i
Carlo Emilio Bonferroni (1892-1960)
Example
Suppose we have m = 3 t-tests. Assume target = 0.05. Bonferroni corrected P-value is /m = 0.05/3 = 0.0167 Unadjusted P-values are P1 = 0.001 P2 = 0.013 P3 = 0.074 P1 = 0.001 < 0.0167, so reject null P2 = 0.013 < 0.0167, so reject null P3 = 0.074 > 0.0167, so do not reject null
Gene 2
×.×× ×.××
… … … … …
Gene m
×.×× ×.××
case 1 1 …. 0
…
×.××
…
×.××
…
×.××
为什么要考虑“多重检验”问题
m independent hypotheses with level
P at least faslely reject one hypothesis 1 1 m
FWER
Family–Wise Error Rate 总I型错误率/总第一类错误率 The FWER is defined as the probability of at least one Type I error (false positive):
FWER = P (V > 0)
按控制的操作程序
单步(single-step)法 逐步(step-wise)法 基于再抽样(resampling-based)的方法
FWER Controlling Procedures Single-step procedures Step-wise procedures Resampling-based algorithm
Multiple comparison
多重比较(multiple comparison)，简单地说 ，就是从手头样本出发，针对某一个问题 提出检验假设H0，该假设是一系列假设（a family of hypotheses），并非单一假设。 Simply stated, multiple test refers to any situation in which a collection of statistical hypotheses is formally or informally evaluated and concluded from one dataset.
FDR=E(V/R)
FNR
• False Non-discovery Rate
– FNR=E(T/W)
• 注意FDR和“false positive rate”的区别 • 注意FNR和“false negative rate”的区别
多重比较的统计方法分类
按控制指标
控制总I型错误率 (family-wise error rate, FWER) 控制“阳性结果错误率/假发现率”(false discovery rate, FDR) 控制“阴性结果错误率”(false non-discovery rate, FNR)
全基因组关联研究中SNPs的比较 微阵列数据分析中各个蛋白/基因的比较
GWAS data
id 1 2 … k SNP 1
1 0
SNP 2
1 1
… … … … …
SNP m
1 1
cHale Waihona Puke se 1 1 …. 0…0
…
1
…
0
Microarray data
id 1 2 … k
Gene 1
×.×× ×.××
Example
Suppose we have m = 3 t-tests. Assume target = 0.05. Unadjusted P-values are P1 = 0.001 P2 = 0.013 P3 = 0.074 For the jth test, calculate 1-(1-)1/(m-j+1), For test j = 1, 1-(1-)1/(m-j+1)= 1-0.951/ (3 – 1 + 1) = 0.01695 For test j=1, the observed P1 = 0.001 is less than 0.0170, so we reject the null hypothesis.
U T W
V S R
其中，m在假设检验前已知。R是可观察的随机变量，而U、 V、S、T是不可观察的随机变量。
PCER
Per-Comparison Error Rate 每次/平均比较错误率 The PCER is defined as: PCER = E(V)/m
PFER
Per-Family Error Rate Not really a rate, the PFER is defined as the expected number of type I errors: PFER = E(V)
Single-step procedures
Bonferroni ：
=min mP ,1 P i i
m Pi =1- 1-Pi