第6章 正弦稳态电路的功率概论
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6.5正弦稳态电路的功率1
例
+
C
已知：电动机 PD=1 000W， U=220V，f =50Hz，C =30F cos D=0.8，求：负载电路 的功率因数。
PD 解 ID 1 000 A 5.68A UcosφD 220 0.8 cosD 0.8(感性） , D 36.8 220 0 设U
2 2
U 50 | Z | Ω 50Ω I 1
P 30 R 2 2 Ω 30Ω I 1
又
| Z | R (L)
2
2
1
R Z cos 50 0.6Ω 30
X L | Z | sin 50 0.8Ω 40Ω
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第6章 正弦交流电路稳态分析
电感和电容元件先在内部进行能量交 换，有多余才与外部交换。 无功功率的物理意义: 反映电源和负载之间交换能量的速率。 2 2 2 1 QL I X L I L 2 L( 2 I ) 2 π W 1 2 LI m 2πfWmax 2 max T
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D 5.68 36.8 , I C 220 jC j2.08A I I I (4.54 j1.33)A 4.73 16.3 A I
D C
cos cos[0 (16.3 )] 0.96
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第6章 正弦交流电路稳态分析
电感、电容的无功补偿作用
i
+ u -
R
L + uL - + uC C -
pL i
O
uL t
pC
L 发 出 功率 时 ， C 刚 好吸收功率，与外电路 交换功率为 pL+pC。L、 C的无功功率具有互相 补偿的作用。
电路设计--正弦稳态电路的功率讲解
2U cos(t u )×
2I cos( t i )
UI cos( u i ) UI cos(2t u i )
u i
为电压和电流之间的相位差
p UI cos UI cos(2t u i )
瞬时功率有两个分量： 第一个为恒定分量，第二个为正弦分量。
§9.4 正弦稳态电路的功率
一、瞬时功率
一端口内部不含独立电 源，仅含电阻、电感和 电容等无源元件。
+ u i N0
它吸收的瞬时功率 p 等于电压 u 和电流 i 的乘积 p =u i 在正弦稳态情况下，设
u
2U cos( t u )
i
2I cos( t i )
瞬时功率 p= 令
另一种解法
而 R = 30 Ω I R 30 Z R 2 (L) 2
2
故可求得： L 502 302 = 40Ω 40 L = 127 mH
解：
u 10
i 50 2 sin(314t 45 )=50 2 cos(314t 45 )
i 45
故：P UI cos(u i )=300 50cos55 8610(W )
例9－17：测量电感线圈R、L的实验电路，已知电压 表的读数为50V，电流表的读数为1A，功率表读数为 30W，电源的频率f =50Hz。试求R、L之值。
PC=UIcos =UIcos(-90)=0
电容不消耗有功 且QC<0
1 2 QC UI I wCU 2 wC
* 电感、电容的无功功率具有互相补偿的作用
例9-16： 求平均功率P。 已知u, i关联取向，且： u 300 2 cos(314t 10 )(V) i 50 2 sin(314t 45 )(A)
2I cos( t i )
UI cos( u i ) UI cos(2t u i )
u i
为电压和电流之间的相位差
p UI cos UI cos(2t u i )
瞬时功率有两个分量： 第一个为恒定分量，第二个为正弦分量。
§9.4 正弦稳态电路的功率
一、瞬时功率
一端口内部不含独立电 源，仅含电阻、电感和 电容等无源元件。
+ u i N0
它吸收的瞬时功率 p 等于电压 u 和电流 i 的乘积 p =u i 在正弦稳态情况下，设
u
2U cos( t u )
i
2I cos( t i )
瞬时功率 p= 令
另一种解法
而 R = 30 Ω I R 30 Z R 2 (L) 2
2
故可求得： L 502 302 = 40Ω 40 L = 127 mH
解：
u 10
i 50 2 sin(314t 45 )=50 2 cos(314t 45 )
i 45
故：P UI cos(u i )=300 50cos55 8610(W )
例9－17：测量电感线圈R、L的实验电路，已知电压 表的读数为50V，电流表的读数为1A，功率表读数为 30W，电源的频率f =50Hz。试求R、L之值。
PC=UIcos =UIcos(-90)=0
电容不消耗有功 且QC<0
1 2 QC UI I wCU 2 wC
* 电感、电容的无功功率具有互相补偿的作用
例9-16： 求平均功率P。 已知u, i关联取向，且： u 300 2 cos(314t 10 )(V) i 50 2 sin(314t 45 )(A)
正弦稳态电路的功率公式
正弦稳态电路的功率公式在电路中，功率是电能转换的重要指标之一。
而对于正弦稳态电路，我们可以通过一条简单而有效的公式来计算其功率。
本文将详细介绍正弦稳态电路的功率公式，并解释其背后的原理和应用。
一、正弦稳态电路的功率公式正弦稳态电路是指电路中的电流和电压都是正弦波形式，并且其频率保持不变。
在这种情况下，我们可以使用以下功率公式来计算电路中的功率：P = Vrms * Irms * cos(θ)其中，P表示电路的功率，Vrms表示电压的有效值，Irms表示电流的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
二、功率公式的原理解释为了更好地理解功率公式的原理，我们可以从电能转换的角度来解释。
在正弦稳态电路中，电流和电压都是周期性变化的，而功率则是电能转化的速率。
根据能量守恒定律，电路中产生的功率等于电能的消耗速率。
在公式中，Vrms和Irms分别表示电压和电流的有效值。
有效值是指在一个周期内，电压和电流的平方值的平均值的平方根。
有效值可以反映电压和电流的实际大小，而不受正弦波形式的影响。
而c os(θ)则表示电压和电流之间的相位差。
相位差是指电压和电流的波形之间的时间差，它可以是正值、负值或零值。
当相位差为零时，电压和电流完全同相，功率取得最大值。
当相位差为正值或负值时，电压和电流存在一定的错位，功率将减小。
因此，正弦稳态电路的功率公式可以通过电压和电流的有效值以及它们之间的相位差来计算电路的功率。
三、功率公式的应用功率公式在电路分析和设计中有着广泛的应用。
它可以帮助我们计算电路中的功率消耗，并进一步优化电路的设计。
功率公式可以用于计算电路中不同元件的功率消耗。
例如，我们可以通过测量电压和电流的有效值，并计算它们之间的相位差，来确定电阻、电容或电感元件的功率消耗。
功率公式可以用于分析电路中的功率传递和传输效率。
通过计算电路中不同节点的功率，我们可以了解能量在电路中的分布情况，找出能量损失的原因，并进一步改进电路的效率。
电路原理6.5.7正弦稳态电路的功率 - 正弦稳态电路的功率3功率因数的提高
分析:
I
+R U _L
IC
IL C
IC
j1 j2 I
U
IC
IL
并联电容后，原感性负载流过的电流不变，吸收的有功
功率和无功功率都不变，即负载工作状态没有发生任何变化。
由于并联电容的电流 超前I&C 900U，& 端口总电流 减少I&了。从
相量图上看， 和 的U&夹角I&减小了（ 变 ）j，1 从j而2 提高了功率
求：（1）总电流 I 及电路的功率因数；
（2）若要将整个电路的功率因数提高到0.9（感性），
应并联多大的电容C ？试在图中画出该电容的接法。
解：（1）
cosj1
0.83（容性）
j1
33.9o I
Z1 吸收的无功功率为
＋
I1
I2
Q1 P1 tanj1
U
Z1
Z2
200 tan(33.9o) var
)
第6章 正弦交流电路的稳态分析
无功补偿的3 种不同情况：
欠补偿
全补偿 电容设备投资增加， 经济效果不明显
过补偿 使功率因数又由高变低
j1 j2 I
U
IC
IL
(电路性质由感性变为容性)
综合考虑，以提高到适当值为宜( 0.9左右)。 功率因数提高的意义：
功率因数提高后，减少了电源的无功“输出”，从而 减小了电流的输出，这提高了电源设备的利用率，使其可 以带更多的负载，充分利用设备的能力。同时线路上电流 的减少，使得传输线上的损耗也相应的减少了；线路的有色 金属消耗量也减少。
P 580
cosj cos 33.33o 0.8355
I
第6章 正弦稳态电路的功率
6.5 正弦稳态功率和能量
• 1 基本概念 • 2 电阻平均功率 • 3 电感、电容的平均 储能 • 4 单口网络的平均功 率 功率因数 • 5 单口网络的无功功率
• 6 复功率
• 7 正弦稳态最大功率传 递定理
一、 单口网络的平均功率（有功功率)、 无功功率、视在功率、功率因数
1、单口网络的瞬间功率： 设任何时刻，单口网络上电流、电压关联参考方向, 表示为 u(t) = Umcos(t+u)，i(t) = Imcos(t+i)，则网络吸收的功率为 p(t) = i(t)•u(t) = UmImcos(t+u)cos(t+i) UmIm [cos( – ) + cos(2t+ + )] = u i u i 2 = UI [cos + cos(2t+u+i)]
无功功率的物理意义：电容和电感之间交换电磁能量，体现在 无功功率相互抵消。理想情况下，两者正好相等（?）。
三、复功率
• • •* 视在功率相量： S = UI = UI(cos z + jsin z) = P +jQ = Scos + jSsin (V•A)
6.5.4 正弦稳态最大功率传递定理
与第四章中讨论的电阻电路最大功率传递定理类似，所不 同的是所有的量都必须是相量。 • • Us Us • • Zs = I + I= + ( Rs+RL) + j(Xs+XL) Zs + ZL • • Us U ZL U s I= L ( Rs+RL)2 + (Xs+XL)2 – – 负载上得到的有功功率（即负载电阻获得的功率）为 2 U s RL PL = I2 RL = 2 2 ( Rs+RL) + (Xs+XL) 目标：选择 RL和 XL，使 PL 最大。 第一步，使分母第二项为零，即XL = – Xs ；
• 1 基本概念 • 2 电阻平均功率 • 3 电感、电容的平均 储能 • 4 单口网络的平均功 率 功率因数 • 5 单口网络的无功功率
• 6 复功率
• 7 正弦稳态最大功率传 递定理
一、 单口网络的平均功率（有功功率)、 无功功率、视在功率、功率因数
1、单口网络的瞬间功率： 设任何时刻，单口网络上电流、电压关联参考方向, 表示为 u(t) = Umcos(t+u)，i(t) = Imcos(t+i)，则网络吸收的功率为 p(t) = i(t)•u(t) = UmImcos(t+u)cos(t+i) UmIm [cos( – ) + cos(2t+ + )] = u i u i 2 = UI [cos + cos(2t+u+i)]
无功功率的物理意义：电容和电感之间交换电磁能量，体现在 无功功率相互抵消。理想情况下，两者正好相等（?）。
三、复功率
• • •* 视在功率相量： S = UI = UI(cos z + jsin z) = P +jQ = Scos + jSsin (V•A)
6.5.4 正弦稳态最大功率传递定理
与第四章中讨论的电阻电路最大功率传递定理类似，所不 同的是所有的量都必须是相量。 • • Us Us • • Zs = I + I= + ( Rs+RL) + j(Xs+XL) Zs + ZL • • Us U ZL U s I= L ( Rs+RL)2 + (Xs+XL)2 – – 负载上得到的有功功率（即负载电阻获得的功率）为 2 U s RL PL = I2 RL = 2 2 ( Rs+RL) + (Xs+XL) 目标：选择 RL和 XL，使 PL 最大。 第一步，使分母第二项为零，即XL = – Xs ；
电路原理与电机控制第6章正弦稳态电路分析
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正弦稳态电路的功率分析是电路分析中的重要内容之一，主要涉及到有功功率、无功功率和视在功率 等概念。
有功功率是指电路中消耗的电能，用于驱动负载或产生热量。无功功率是指电路中交换的能量，用于 维持电源与负载之间的电压和电流相位关系。视在功率是指电路中电压和电流的有效值之积，用于表 示电源的总功率容量。
03
正弦稳态电路实验的目的和要求
目的
通过实验，使学生掌握正弦稳态电路 的基本原理和分析方法，培养学生对 电路理论的实际应用能力。
要求
学生需要掌握正弦稳态电路的基本概 念、元件特性、电路分析方法等理论 知识，能够独立完成实验操作，并分 析实验数据。
正弦稳态电路实验的步骤和方法
01
步骤
02
1. 准备实验器材，包括电源、电阻、电容、电感等 元件和测量仪表。
工程设计依据
正弦稳态电路的分析结果可以为工程设计提供依 据，帮助工程师更好地设计、分析和优化电路。
正弦稳态电路的应用场景
电力系统
正弦稳态电路广泛应用于电力系统的分析、设计和优化，如变压 器的设计、输电线路的参数计算等。
电子设备
在电子设备中，正弦稳态电路常用于信号处理、放大和传输等环节， 如音频设备和通信系统。
变压器和电动机在正弦 稳态电路中的特性分析
变压器在正弦稳态电路中的特性分析
变压器在正弦稳态电路中主 要起到电压变换和隔离的作 用，通过改变一次侧和二次 侧线圈的匝数比，实现电压
的升高或降低。
在正弦稳态电路中，变压器 的一次侧和二次侧电流、电 压的有效值与匝数成正比，
而相位则与匝数成反比。
变压器在正弦稳态电路中的 磁通量与电源频率、线圈匝 数和磁导率有关，而铁芯的 磁导率是常数。
正弦稳态电路的功率公式
正弦稳态电路的功率公式1.有功功率：有功功率表示电路中能转化为其他形式的功率，通常是用于实现有用功能的功率。
在正弦稳态电路中，有功功率可以通过电压和电流的乘积来计算。
对于单相电路，有功功率的公式如下：P = V × I × cos(θ)其中，P表示有功功率，V表示电流的有效值，I表示电压的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
在三相电路中，有功功率的公式如下：P = √3 × V × I × cos(θ)其中，P表示有功功率，V表示电压的有效值，I表示电流的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
2.无功功率：无功功率表示电路中产生的电能不能被转化为其他形式的功率，它主要是用来提供电路元件的无效功率。
在正弦稳态电路中，无功功率可以通过电压和电流的乘积来计算。
对于单相电路，无功功率的公式如下：Q = V × I × sin(θ)其中，Q表示无功功率，V表示电流的有效值，I表示电压的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
在三相电路中，无功功率的公式如下：Q = √3 × V × I × sin(θ)其中，Q表示无功功率，V表示电压的有效值，I表示电流的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
3.视在功率：视在功率表示电路中的总功率，它等于有功功率和无功功率的向量和。
在正弦稳态电路中，视在功率可以通过电压和电流的乘积来计算。
对于单相电路，视在功率的公式如下：S=V×I其中，S表示视在功率，V表示电流的有效值，I表示电压的有效值。
在三相电路中，视在功率的公式如下：S=√3×V×I其中，S表示视在功率，V表示电压的有效值，I表示电流的有效值。
4.功率因数：功率因数表示有功功率和视在功率之间的比率，它反映了电路中有效功率的利用率。
功率因数通常用cos(θ)表示，在正弦稳态电路中，功率因数可以通过有功功率和视在功率的比值来计算。
第6章 正弦稳态电路分析
态电路分析
4.1.3 正弦量的有效值
例：已知正弦电压源的频率为50Hz，初相为π/6
弧度，由 交流电压表测得电源开路电压为 220V。求该电源电压的振 幅、角频率，并写出其瞬时值表达式。 解：因为 f = 50HZ，ψ=π/6。所以
2 f 2 50 314rad / s
的电源上，求（1）感抗的大小；（2）电感元件电流 i 的 表达式。
解：
X L L 314 3 942
U 220 60V
U 220 60 I A 0.23 150A jX L 94290
i 0.23 2 sin(314 t 150)A
其模和辐角恰好分别对应正弦电流的振幅和初相； 用复
数形式表示的正弦量称为正弦量的相量表示； 符号上方标记圆点“·”，以与一般复数相区别； 复数与正弦量之间只是对应关系，不具有相等关系；
可以在复平面上用矢量表示，称为相量图。 只有同频率 的正弦量才能画在同一相量图上，采用复数运算规则进行 运算； 用相量表示正弦量进行正弦电路运算的方法称相量 法；
可知：（1）电容电压和电流是同频率的正弦量。
（2）电容电流超前电压90°
第4章
正弦稳态电路分析
3.电容元件
I∠θi = ωCU∠θi -90°
其相量表达式：I = jωC
•
U
•
令：XC = 1/ωC=1/(2π f C)，叫容抗，单位为欧姆； 表明电容在充放电时对电流的阻碍作用，随频率改变。因 此，电容感具有通交流，阻直流的作用； 电压一定时，容抗越大，电路中的电流越小；
（2）电感电压超前电流90°
第4章
正弦稳态电路分析
i(t ) 2I sin(t i )
4.1.3 正弦量的有效值
例：已知正弦电压源的频率为50Hz，初相为π/6
弧度，由 交流电压表测得电源开路电压为 220V。求该电源电压的振 幅、角频率，并写出其瞬时值表达式。 解：因为 f = 50HZ，ψ=π/6。所以
2 f 2 50 314rad / s
的电源上，求（1）感抗的大小；（2）电感元件电流 i 的 表达式。
解：
X L L 314 3 942
U 220 60V
U 220 60 I A 0.23 150A jX L 94290
i 0.23 2 sin(314 t 150)A
其模和辐角恰好分别对应正弦电流的振幅和初相； 用复
数形式表示的正弦量称为正弦量的相量表示； 符号上方标记圆点“·”，以与一般复数相区别； 复数与正弦量之间只是对应关系，不具有相等关系；
可以在复平面上用矢量表示，称为相量图。 只有同频率 的正弦量才能画在同一相量图上，采用复数运算规则进行 运算； 用相量表示正弦量进行正弦电路运算的方法称相量 法；
可知：（1）电容电压和电流是同频率的正弦量。
（2）电容电流超前电压90°
第4章
正弦稳态电路分析
3.电容元件
I∠θi = ωCU∠θi -90°
其相量表达式：I = jωC
•
U
•
令：XC = 1/ωC=1/(2π f C)，叫容抗，单位为欧姆； 表明电容在充放电时对电流的阻碍作用，随频率改变。因 此，电容感具有通交流，阻直流的作用； 电压一定时，容抗越大，电路中的电流越小；
（2）电感电压超前电流90°
第4章
正弦稳态电路分析
i(t ) 2I sin(t i )
电路分析基础-第六章-正弦稳态电路分析
定理3 若A为复数,其极坐标形式为 A 。Am则e 有jt
d dt
Re[ Ame jt ]
Re[ d dt
Ame
j t
]
Re[
j
Ame
jt ]
定理4 若A、B为复常数,若在所有的时刻都满足
Re[ Ae jt ] Re[Be jt ]
则 AB
15
6-2-2 正弦量的相量表示法
正弦电压 复指数函数
u(t) 2U cos(t u )
当周期电流信号流过电阻时，在一个周期内，电阻所消耗 的电能量为
W1
T
p(t)dt
o
T Ri2 (t)dt
o
直流电流流过电阻时，在一个周期内，该电阻消耗的能量为
W2
T RI 2dt RI 2T
o
9
如果上述两种情况下，电阻R消耗的能量相同，即
RI 2T T Ri 2 (t)dt o
I 1 T i2 (t)dt T0 则将电流I 定义为周期电流信号 i(的t)有效值。
i(t) 5 sin(100t 15)
u(t) 10 cos(100t 30) i(t) 5 cos(100t 15)
8
6-1-3 正弦量的有效值
在工程上，常将周期量在一个周期内产生的平均效应换算 为在效应上与之相等的直流量，以衡量和比较周期量的效应， 这一直流量就称为周期量的有效值，用相对应的大写字母表 示。
当周期电流为正弦电流时 i(t) Im cos(t i )
代入上式，可得正弦电流的有效值I为
I
1 T
T 0
[
I
m
cos(
t
i
)]2
dt
Im 2
正弦稳态电路的分析
u i 0 u i 说明u 超前于 i 度；
u i 0 u i
u滞后于 i 度或i趋前于 u 度
6.2.2 相位差
u i 0 ，表示 u 与 i 同相； u u i 180o ,表示 与 i 反相； u u i 90o ，表示 与 i 正交。
f (t) Fm cos(t )
若表示电路中的电流信号，在选定参考方 向下，可表示为
i(t) Im cos(t i )
6.2 正弦信号
f (t) Fm cos(t )
Fm 是正弦信号的振幅或最大值
(t ) 是瞬时相位
是初相 周期T 正弦信号每经过一个周期T的时间，相位 变化弧度
两种分析法的简单比较
2.用相量法
列写电路电压相量方程
•
•
•
U S U R U C
解这个代数方程，用复数运算求出
再写出与
•
UC
相对应的瞬时值
uC (t)
•
U。C
，
即求出电路的稳态响应。
6.2 正弦信号
6.2.1正弦信号的三个特征量 按正弦或余弦规律变化的周期电压、电 流、电荷和磁链信号统称为正弦信号。 以余弦信号为例，正弦信号的一般表达 式为
周期电流 i流过电阻R在一个周期T内所 作功为
w
T
p(t)dt
T Ri2 (t)dt
0
0
6.2.3 有效值
• 直流电流 I流过 R 在 T 内所作功为
• 两者相等 即
I 2RT T i2Rdt 0
w T RI 2dt RI 2T 0 I 1 T i2dt T0
或
A | A |
u i 0 u i
u滞后于 i 度或i趋前于 u 度
6.2.2 相位差
u i 0 ，表示 u 与 i 同相； u u i 180o ,表示 与 i 反相； u u i 90o ，表示 与 i 正交。
f (t) Fm cos(t )
若表示电路中的电流信号，在选定参考方 向下，可表示为
i(t) Im cos(t i )
6.2 正弦信号
f (t) Fm cos(t )
Fm 是正弦信号的振幅或最大值
(t ) 是瞬时相位
是初相 周期T 正弦信号每经过一个周期T的时间，相位 变化弧度
两种分析法的简单比较
2.用相量法
列写电路电压相量方程
•
•
•
U S U R U C
解这个代数方程，用复数运算求出
再写出与
•
UC
相对应的瞬时值
uC (t)
•
U。C
，
即求出电路的稳态响应。
6.2 正弦信号
6.2.1正弦信号的三个特征量 按正弦或余弦规律变化的周期电压、电 流、电荷和磁链信号统称为正弦信号。 以余弦信号为例，正弦信号的一般表达 式为
周期电流 i流过电阻R在一个周期T内所 作功为
w
T
p(t)dt
T Ri2 (t)dt
0
0
6.2.3 有效值
• 直流电流 I流过 R 在 T 内所作功为
• 两者相等 即
I 2RT T i2Rdt 0
w T RI 2dt RI 2T 0 I 1 T i2dt T0
或
A | A |
电路分析06-1正弦稳态功率
U S
U L
IC
jXC
IR 8
IC
50 jXC
IL
IR
IC
6.25
50 jXC
U L
j8IL
j50
400 XC
根据题意：|U L
U R
||
j50
400 XC
50 |
50
显然，有： 400 50 0, XC
X C 8
11
电路 分析
例 6-3
方法二：戴维南定理
在图示电路中，已知 US =50V，电源发出的功率是312.5W,
4
电路 无功功率
分析
单个元件的无功功率： 对于纯电容： ( 0), Q UI (Q 0) 发出无功功率；
2
对于纯电感： ( 0), Q UI (Q 0) 吸收无功功率；
2
对于电阻： 0, Q 0 无功功率为0；
故 ， R不消耗无功功率Q；L和C不消耗有功功率P。
计算方法：
P UI cos 表示注网意络：实际为注消U意耗与：的I功的1为率相U，位1与单差I位1 的：相瓦位（差Ｗ） 其中：为阻抗角，即 U 与 I 的相位差。
计算方法：
ห้องสมุดไป่ตู้I
➢ 用公式计算：P=UIcos U
➢ 用平均功率守恒计算：
I1
N1
U1
N2
或 n
P
I
2 i
Ri
i 1
P
n
U
2 i
R i1 i
S P2 Q2 10.823KVA
I2 8
- j6
10
电路 分析
例 6-3
方法一：阻抗串并联
在图示电路中，已知 US =50V，电源发出的功率是312.5W,
第6章(3)正弦稳态电路的功率
1 T P = ∫ p (t )dt = UI cos ϕ = UI λ T 0
单位：瓦 (6.5-3)
在正弦稳态情况下，平均功率不仅与电压、电流的有 效值有关，而且与电压、电流的位相差有关。 式中 λ = cos ϕ 称为功率因数(power factor) ϕ = ϕu − ϕi 称功率因数角(power-factor angle) 通常所说的功率，都是指平均功率而言。平均功 率又叫有功功率(active power)。
Q = UI sin ϕ = UI sin ϕ Z
(6.5-27)
②Reactive Power in Terms of Z or Y : 对于不含 独立源的一端口，无功功率也可以 用阻抗或导纳计算。根据式(6.5-6)和(6.5-18)， (6.5-18)，即 2 * * (6.5-28a) Q = Im(UI ) = Im( ZII ) = I Im( Z ) = I 2 X (ω )
p (t ) = UI cos ϕ + UI cos(2ωt + 2ϕu − ϕ ) = UI cos ϕ + UI cos ϕ cos(2ωt + 2ϕu ) + UI sin ϕ sin(2ωt + 2ϕu )
(6.5-2) 上式中第一项始终大于(或小于、或等于零)，它是 瞬时功率中的不可逆部分；第二项是瞬时功率中的 可逆部分，其值正负交替，说明能量在外施电源和 二端网络之间来回交换。
第六章 正弦电路的稳态分析
注： i) 如果一端口只由R、L、C等无源元件组成，则功率 因数角φ＝阻抗角φZ，且|φZ|≤900，所以平均功率P≥0， 一端口吸收能量。根据能量守恒可知，P为一端口中电阻 元件所消耗的总功率（∵L、C元件不耗能）。 ii) 如果一端口除无源元件外尚有受控源(亦有功率因 数角φ＝阻抗角φZ)， |φZ|可能＞900。其平均功率P为负 值，说明该一端口对外提供能量。 iii) 如果一端口内含有独立电源，则功率因数角φ为 端口电压与端口电流的位相差。P可能为正，也可能为负 值。即一端口可能吸收能量，也可能对外提供能量。
单位：瓦 (6.5-3)
在正弦稳态情况下，平均功率不仅与电压、电流的有 效值有关，而且与电压、电流的位相差有关。 式中 λ = cos ϕ 称为功率因数(power factor) ϕ = ϕu − ϕi 称功率因数角(power-factor angle) 通常所说的功率，都是指平均功率而言。平均功 率又叫有功功率(active power)。
Q = UI sin ϕ = UI sin ϕ Z
(6.5-27)
②Reactive Power in Terms of Z or Y : 对于不含 独立源的一端口，无功功率也可以 用阻抗或导纳计算。根据式(6.5-6)和(6.5-18)， (6.5-18)，即 2 * * (6.5-28a) Q = Im(UI ) = Im( ZII ) = I Im( Z ) = I 2 X (ω )
p (t ) = UI cos ϕ + UI cos(2ωt + 2ϕu − ϕ ) = UI cos ϕ + UI cos ϕ cos(2ωt + 2ϕu ) + UI sin ϕ sin(2ωt + 2ϕu )
(6.5-2) 上式中第一项始终大于(或小于、或等于零)，它是 瞬时功率中的不可逆部分；第二项是瞬时功率中的 可逆部分，其值正负交替，说明能量在外施电源和 二端网络之间来回交换。
第六章 正弦电路的稳态分析
注： i) 如果一端口只由R、L、C等无源元件组成，则功率 因数角φ＝阻抗角φZ，且|φZ|≤900，所以平均功率P≥0， 一端口吸收能量。根据能量守恒可知，P为一端口中电阻 元件所消耗的总功率（∵L、C元件不耗能）。 ii) 如果一端口除无源元件外尚有受控源(亦有功率因 数角φ＝阻抗角φZ)， |φZ|可能＞900。其平均功率P为负 值，说明该一端口对外提供能量。 iii) 如果一端口内含有独立电源，则功率因数角φ为 端口电压与端口电流的位相差。P可能为正，也可能为负 值。即一端口可能吸收能量，也可能对外提供能量。
电路原理6.5.6正弦稳态电路的功率 - 正弦稳态电路的功率2
P吸
24I
2
40I
2 R
24 (2.5)2
40 (1.5)2
240
W
Q发 USI sin φ 160 2.5(0.8) 320 Var
Q吸
18I
2
30
I
2 C
50I
2
18(2.5)2 30 22 50(2.5)2 320 Var
第6章 正弦交流电路的稳态分析
六、功率的测量
D26型功率表面板
•
+
•
•
+ U1
– IC
j30Ω +
US –
+• – U 2 j50Ω
•
U3
–
U&3 ( j50)I& ( j50) 2.553.1o 125 36.9o (100 j75)V
US U1 U2 U3 j75 60 100 j75 1600V P发 USI cosφ 160 2.5 0.6 240 W
单位：VA
S P2 Q2
S
Q
P
功率三角形
Z
X
R
阻抗三角形
Y
－
B
G
导纳三角形
第6章 正弦交流电路的稳态分析
电压、电流的有功分量和无功分量： (以感性负载为例，设 U U0o )
UX
UR I UR
I R
U UX
+ U_
+
UR
_+ U_X
U R I UI cos P
称U&R为U&的有功分量
jX U X I UI sin Q
五、 复功率
为了用相量 U&和 I&来计算功率，引入“复功率 S ”。
正弦稳态电路的功率
电阻分量消耗的平均功率，就是单口 网络吸收的平均功率。
3、视在功率
S UI
表示一个电气设备的容量，是单口网 络所吸收平均功率的最大值，单位： 伏安(VA)。例如我们说某个发电机的 容量为100kVA，而不说其容量为 100kW
4、功率因数
网络吸收的平均功率P与cosZ的大小
密切相关，cosZ表示功率的利用程度
解：电路的相量模型如图(b)所示。先 求出连接电压源单口网络的等效阻抗
Z 0.5 j1.5 (j1)(j1 1 j1) 0.5 j1.5 0.5 j0.5 1 j1 1 j1
用欧姆定律求电流 分流公式求电流
I1
U S Z
20 1 j1
2 45 A
I2
j1 1 j1
I1
，称为功率因数
pf
cos Z
P S
Z=u-i为功率因数角。当二端网络
为无源元件R、L、C组成时：
|Z|<90 ,0< pf <1。
Z<0
,电路呈容性，电流导前电压； Z>0
,电路感呈性，电流滞后电压。
为了提高电能的利用效率，电力部门 采用各种措施力求提高功率因数。例 如使用镇流器的日光灯电路，它等效 于一个电阻和电感的串联，其功率因 数小于1，它要求线路提供更大的电流。 为了提高日光灯电路的功率因数，一 个常用的办法是在它的输入端并联一 个适当数值的电容来抵销电感分量， 使其端口特性接近一个纯电阻以便使 功率因数接近于1。
得最大功率，试设计一个由电抗元件组 成的网络来满足共轭匹配条件。
100 a
+
100∠0o V
-
b
RL=
1000
解：1 若不用匹配网络，将1000Ω负载
3、视在功率
S UI
表示一个电气设备的容量，是单口网 络所吸收平均功率的最大值，单位： 伏安(VA)。例如我们说某个发电机的 容量为100kVA，而不说其容量为 100kW
4、功率因数
网络吸收的平均功率P与cosZ的大小
密切相关，cosZ表示功率的利用程度
解：电路的相量模型如图(b)所示。先 求出连接电压源单口网络的等效阻抗
Z 0.5 j1.5 (j1)(j1 1 j1) 0.5 j1.5 0.5 j0.5 1 j1 1 j1
用欧姆定律求电流 分流公式求电流
I1
U S Z
20 1 j1
2 45 A
I2
j1 1 j1
I1
，称为功率因数
pf
cos Z
P S
Z=u-i为功率因数角。当二端网络
为无源元件R、L、C组成时：
|Z|<90 ,0< pf <1。
Z<0
,电路呈容性，电流导前电压； Z>0
,电路感呈性，电流滞后电压。
为了提高电能的利用效率，电力部门 采用各种措施力求提高功率因数。例 如使用镇流器的日光灯电路，它等效 于一个电阻和电感的串联，其功率因 数小于1，它要求线路提供更大的电流。 为了提高日光灯电路的功率因数，一 个常用的办法是在它的输入端并联一 个适当数值的电容来抵销电感分量， 使其端口特性接近一个纯电阻以便使 功率因数接近于1。
得最大功率，试设计一个由电抗元件组 成的网络来满足共轭匹配条件。
100 a
+
100∠0o V
-
b
RL=
1000
解：1 若不用匹配网络，将1000Ω负载
正弦稳态电路的功率公式
正弦稳态电路的功率公式——深入浅出理解正弦稳态电路是电路理论中的基本概念，其功率公式是电学中的热门话题。
本文将深入浅出地介绍正弦稳态电路的功率公式，帮助读者系统地理解和掌握这一重要理论。
首先要明确的是，正弦稳态电路的功率公式是指在周期性交流电源作用下，电路中所传递的功率。
正弦稳态电路中，电流和电压均为正弦波形，其功率公式可以表示为：P=VIcosφ其中，P表示电路的有功功率，V和I分别表示电路中的电压和电流，φ表示电路中电流和电压之间的相位角。
我们可以通过下面的图例来进一步理解这个公式：在图例中，V是电路中的电压，I是电路中的电流，它们的波形均为正弦函数。
在时间t=0时，电流I的相位角为0，电压V的相位角为θ，因此φ的值等于θ。
通过对P=VIcosφ公式的应用，我们可以计算出电路中的有功功率P。
下面举个例子来说明如何求解正弦稳态电路中的功率。
假设我们有一个电路，电压源为220V，电阻为10Ω，交流频率为50Hz，我们需要求解该电路的功率。
首先，我们需要计算电路中的电流，通过欧姆定律可知电流I=V/R，因此I=22A。
接下来，我们需要求解相位角φ。
由于电路中只有电阻，电流和电压之间没有相位差，因此φ=0。
因此，根据功率公式，我们可以计算得到电路中的有功功率P=VIcosφ=22*220*1=4840W。
总之，正弦稳态电路的功率公式是电学中的基本概念，是电路分析和设计中必须掌握的知识点。
本文通过生动的示意图和实例应用，帮助读者深入浅出地理解和掌握正弦稳态电路的功率公式。
无论你是电学专业的学生，还是从事电路设计和调试等工作的工程师，掌握这一知识点都是非常重要的。
第6章 正弦稳态电路的功率
例 求图所示电路电源对电路提供的功率（有功功率）。
3 + 2H – 4 + 1F 8 • I 3 4
j4
– 10 0°
–j4
10 2 cos2tV
解 利用 P = UI cos z 计算，只要算得阻抗 Z 即可， j4(4–j4) Z = 3 + j4+4 –j4 = 3 + 4 + j4 = 7 + j4 = 8.0623 29.74° I = U = 10 = 1.2403 A 8.0623 |Z| P = UI cos z = 10×1.2403×cos 29.74° = 10.77W
+ I
10kW 0.8 (超前) 15kW 0.6 (滞后)
– = 10000 [0.8 – j 1 – 0.82 ] 2300V 0.8 = 10000 – j7500 V•A • S2 = S2[cosZ2+ jsinZ2] = 15000 [0.6 + j 1 – 0.62 ] 0.6 = 15000 + j20000 V•A • S = S1 + S2 = 25000 + j12500 = 27950.85 26.57° V•A
Us2 RL 由此可得 PL = ( Rs+RL)2 第二步，令以上关于RL的导数等于零，或直接引用第四章中的 结论，即： RL = Rs 时，负载上获得的功率最大。 Us2 RL Us2 此时 PLmax = = 2 (2RL) 4RL 总结：当 ZL = RL + jXL = Rs – jXs = Zs* 时（共轭匹配），负载获 得的功率最大。 如果阻抗模值可变而阻抗角不变，那么在满足什么条件下获 得最大功率？
第6章正弦稳态电路分析2
第6章 正弦稳态电路分析
二、提高功率因数的方法
解决办法：并联电容，提高功率因数 (改进自身设备)。 分析： +
U
I
R L
I C
I L
C
I C
1 2
I
I L
I C
U
_
并联电容后，可以减小电压相量和电流相量之间的夹角，从 而使cos 增大； 从能量的角度，并联电容后，电容可以补偿电感的无功； 并联电容后，电路有功功率没有发生变化。
UIcos(1-cos2 t)表示网络中电阻所消耗的功率； UIsin sin2 t表示电抗与电源的能量交换。 定义其幅值为无功功率：
def
Q UI sinφ
单位：var (乏)。
Q>0，表示网络吸收无功功率；
Q<0，表示网络发出无功功率。
Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元 件L、C的性质决定的。
X C 1/ (C) 1/ (5 0.05) 4 （）
Us 100 = 2 45（ A ） I1 5 j 5 5 245 Us 100 253.1（ A ） I2 3 j 4 5 53.1
第6章 正弦稳态电路分析
（ t V） ，求电阻R1，R2 例：电路如图，已知 us (t ) 10 2 sin5
2
Q I S 2 Im[Z ] 52 (1/ 3) 8.3(Var)
S I S | Z | 5 3 (1/ 3) 75.5(VA)
2
2 2 2
cos φ P / S 0.993
也可以电阻，电抗分别计算。
第6章 正弦稳态电路分析
§6-8 功率因数的提高
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p(t) UI cos[1 cos(2t 2u )] UI sin sin(2t 2u )
二、单个元件的功率
1、电阻R： z＝ u － i＝0
瞬时功率： P(t) = UI [1+cos2(t+u)]
平均功率： P = IU =
1 2
ImUm
=
RI2
=
GU2
无功功率： Q=0
p(t) UI cos[1 cos(2t 2u )] UI sin sin(2t 2u )
= 1265W
+
• I
• I1
3
•
U
j4 –
• I2 –j5
Z=
–j4(3+ j4) 3+ j4–j5
=
16 –j12 3 –j1
= 20 – 36.87° = 6.325 3.162 – 18.43°
– 18.45°
功率因数 = cosz = cos 18.45° = 0.9487（超前） 网络平均功率 P = UI cosz = 1200.05W
6.5 正弦稳态功率和能量
• 1 基本概念
• 5 单口网络的无功功率
• 2 电阻平均功率
• 3 电感、电容的平均 储能
• 4 单口网络的平均功 率 功率因数
• 6 复功率
• 7 正弦稳态最大功率传 递定理
一、 单口网络的平均功率（有功功率)、 无功功率、视在功率、功率因数
1、单口网络的瞬间功率：
设任何时刻，单口网络上电流、电压关联参考方向, 表示为
UI
CU 2
I2
C
2Wc
电感和电容的平均功率等于零。
物理意义是什么？
正弦稳态电路的无功功率：对任何一个正弦稳态电路，其无功 功率为所有电感、电容的无功功率之和。即
Q = QL + QC = 2(WL –WC)
WL = WL1 + WL2 + ••• + WLm WC = WC1 + WC2 + ••• + WCn
同的是所有的量都必须是相量。
•I =
U• s Zs + ZL
•
=
Us
( Rs+RL) + j(Xs+XL)
I=
Us
( Rs+RL)2 + (Xs+XL)2
• Zs +I
U• s
–
+ U• ZL L–
负载上得到的有功功率（即负载电阻获得的功率）为
PL = I2 RL =
(
Rs+RL)2
Us2 + (Xs+XL)2
2、电感L： z＝ u －i＝90º
瞬间功率：p(t) = UIsin2(t+u)
平均功率： P =0
无功功率：QL
UI
sin 90o
UI
LI
2
U2
L
2WL
3、电容C： z＝ u －i＝－90º
瞬间功率：p(t) = -UIsin2(t+u)
平均功率： P = 0
无功功率：QL
UI
sin(90o )
= Us2 4RL
总结：当 ZL = RL + jXL = Rs – jXs = Zs* 时（共轭匹配），负载获 得的功率最大。
如果阻抗模值可变而阻抗角不变，那么在满足什么条件下获 得最大功率？
当负载阻抗角不变，而模值可以改变时，它的模等于电源内 阻抗的模时可以获得最大功率，称为模匹配。
ZL Zs
u(t) = Umcos(t+u)，i(t) = Imcos(t+i)，则网络吸收的功率为
p(t) = i(t)•u(t) = UmImcos(t+u)cos(t+i)
=
UmIm 2
[cos(u–i) +
cos(2t+u+i)]
= UI [cos + cos(2t+u+i)]
UI cos UI cos cos(2t 2u ) UI sin sin(2t 2u )
Z=3+
RL
目标：选择 RL和 XL，使 PL 最大。 第一步，使分母第二项为零，即XL = – Xs ；
由此可得
PL =
Us2 RL ( Rs+RL)2
第二步，令以上关于RL的导数等于零，或直接引用第四章中的 结论，即： RL = Rs 时，负载上获得的功率最大。
此时
PLmax =
Us2 RL (2RL)2
更简单的方法：由 U 和 I 之间的相位关系可得 S• = U• I•* = 100 0°×12.65 –18.5° = 1265 –18.5° W = 1200 + j401.4W
即 P = 1200W，Q = 401.4W 功率因数 = cosz = cos 18.5° = 0.9483（超前）
无功功率的物理意义：电容和电感之间交换电磁能量，体现在 无功功率相互抵消。理想情况下，两者正好相等（?）。
三、复功率
视在功率相量：
• S
=
U• I•*=
UI(cos
z
+
jsin
z)
= P +jQ = Scos + jSsin (V•A)
6.5.4 正弦稳态最大功率传递定理
与第四章中讨论的电阻电路最大功率传递定理类似，所不
UI cos[1 cos(2t 2u )]UI sin sin(2t 2u )
不可逆部分
可逆部分
p(t) UI cos[1 cos(2t 2u )] UI sin sin(2t 2u )
2、单口网络的平均功率： P
1 T
T
0
pdt
UI
cos
（W）
平均功率亦称有功功率，是电路实际消耗的功率。
3、单口网络的无功功率： Q UI sin （var） 无功功率反映电路中储能元件与外电路或电源之间能量交换。
“无功”表示能量在往复交换过程中没有被消耗掉。
4、视在功率： S=UI＝ P2 Q2 （VA) 视在功率反映电力设备的最大负载能力。
5、功率因数： = cos＝P/S （超前或滞后） 功率因数表示传输系统中有功功率所占的比例。
P 也是电阻上消耗的功率，由此也可得 P = I12R = 202×3 = 1200W
功率因数 = cos = P = 0.9486 S
例 求图所示电路电源对电路提供的功率（有功功率）。
3 +
2H
– 10 2 cos2tV
4
1 8
F
• I
3
+
j4
– 10 0°
4 –j4
解 利用 P = UI cos z 计算，只要算得阻抗 Z 即可，
Rs2
X
2 s
负载获得的最大功率为，
PL m ax
2
Zs[1 cos(s L )]
例已知 ZR=3，ZL=j4，ZC= –j5，I•=12.65 18.5°
•I1=20 –53.1°，I•2=20 90°，U• =100 0°。求单口网络的功 率 P及视在功率、功率因数。
解：视在功率 S 根据 已知条件可得： S = UI = 100×12.65