高中数学人教A版必修一第四章《指数函数与对数函数》解答题提高训练 (1)(含答案解析)
人教A版高中同步训练数学必修第一册课后习题 第4章指数函数与对数函数 第1课时 指数函数的概念与图象
第1课时指数函数的概念与图象课后·训练提升基础巩固1.已知指数函数y=a x与y=b x的图象如图所示,则( )A.a<0,b<0B.a<0,b>0C.0<a<1,b>1D.0<a<1,0<b<12.已知函数f(x)=(a2-4a+4)a x是指数函数,则f(2)的值是( )A.3B.4C.9D.16{a>0,a≠1,a2-4a+4=1,解得a=3,故f(2)=9.3.当x∈[-2,2)时,y=3-x-1的取值范围为( )A.(-89,8] B.[-89,8]C.(19,9) D.[19,9]y=3-x=(13)x的图象(图略)可知,当-2≤x<2时,19<3-x ≤9,所以-89<3-x -1≤8.故所求取值范围为(-89,8].4.函数f(x)=3x -4+√2x -4的定义域为( )A.[2,4)B.[2,4)∪(4,+∞)C.(2,4)∪(4,+∞)D.[2,+∞){x -4≠0,2x -4≥0,解得x≥2,且x≠4,所以函数f(x)的定义域是[2,4)∪(4,+∞).5.若指数函数y=a x (a>0,且a≠1)经过点(-1,3),则a 的值为 .a -1=3,即1a =3.所以a=13.6.已知函数f(x)=(12)ax,a 为常数,且函数f(x)的图象过点(-1,2),则a= ,若g(x)=4-x -2,且g(x)=f(x),则x= .-1f(x)的图象过点(-1,2),所以(12)-a=2,所以a=1,所以f(x)=(12)x,g(x)=f(x)可变形为4-x -2-x -2=0,解得2-x =2,所以x=-1.7.若函数y=(4-3a)x 是指数函数,求实数a 的取值范围.y=(4-3a)x 是指数函数, 得{4-3a >0,4-3a ≠1,解得a<43,且a≠1,故a 的取值范围为{a |a <43,且a ≠1}.8.(1)函数f(x)=√a x -1(a>0,且a≠1)的定义域是(-∞,0],求实数a 的取值范围. (2)求函数y=1-22x +1的定义域与值域.由题意知,当x≤0时,a x ≥1=a 0,所以0<a<1,故实数a 的取值范围是(0,1).(2)函数的定义域为R. 由2x >0得2x +1>1,∴0<12x +1<1, 从而-2<-22x +1<0,则-1<1-22x +1<1,故函数的值域为(-1,1).能力提升1.已知函数f(x)={a ·2x ,x ≥0,2-x ,x <0,若f(f(-1))=1,则a=( )A.14B.12C.1D.2f(-1)=21=2,则f(f(-1))=f(2)=a·22=1,解得a=14.故选A.2.函数y=8-23-x (x≥0)的值域是( ) A.[0,8) B.(0,8)C.[0,8]D.(0,8]-x≤0,∴3-x≤3, ∴0<23-x ≤8,∴0≤8-23-x <8,∴函数y=8-23-x 的值域为[0,8).3.(多选题)函数y=a x -1a (a>0,a≠1)的图象可能是( )a>1时,1a∈(0,1),因此x=0时,0<y=1-1a<1,x=-1时,y=1a−1a=0,且y=a x -1a在R 上单调递增,故C 符合;当0<a<1时,1a>1,因此x=0时,y<0,x=-1时,y=1a−1a=0,且y=a x -1a在R 上单调递减,故D 符合.故选CD.4.若定义运算a*b={a (a ≤b ),b (a >b ),例如1*2=1,则函数y=1*2x 的值域为( )A.(0,1)B.(-∞,1)C.[1,+∞)D.(0,1]1≤2x ,即x≥0时,函数y=1*2x =1;当1>2x ,即x<0时,函数y=1*2x =2x ,∴y={1(x ≥0),2x(x <0).函数图象如图所示,则函数y=1*2in{a,b,c}为a,b,c 中的最小值,设M=min{(12)x ,14的最大值是( )A.14B.12C.1D.2y=(12)x,y=14x-14,y=8-ax =(12)2=14.6.函数f(x)=2·3x 3x +1的值域是 .f(x)=2·3x 3x +1=2(3x +1)-23x +1=2-23x +1.∵3x >0,∴3x +1>1,∴0<13x +1<1,∴-2<-23x +1<0, ∴0<2-23x +1<2.故f(x)的值域为(0,2). 7.已知f(x)=12x -1+a 是奇函数,求a 的值及函数的值域.f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)对定义域内的每一个x 都成立,即12-x -1+a=-(12x -1+a),∴2a=-12-x -1−12x -1=1,∴a=12.∵2x -1≠0,∴x≠0.∴函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).∵2x >0,且2x ≠1, ∴2x -1>-1,且2x -1≠0, ∴12x -1<-1或12x -1>0,∴12x -1+12<-12或12x -1+12>12.∴f(x)的值域为(-∞,-12)∪(12,+∞).8.设f(x)=4x 4x +2.(1)若0<a<1,试求f(a)+f(1-a)的值; (2)求f (11001)+f (21001)+f(31001)+…+f (10001001)的值. (1)f(a)+f(1-a)=4a 4a +2+41-a 41-a +2=4a 4a +2+44a 44a+2=4a 4a +2+44+2·4a=4a 4a +2+22+4a=4a +24a +2=1.(2)由(1)可知,f (11001)+f (21001)+f (31001)+…+f (10001001) =[f (11001)+f (10001001)]+[f (21001)+f (9991001)]+…+[f(5001001)+f(5011001)]=500×1=500.。
人教A版高中数学必修第一册课后习题 第4章指数函数与对数函数 4.1 指数
6.已知 f()=
.
解析:因为
f(m)= 3m-1
3m+1
=
3,所以
4
f(-m)=33--mm+-11
=
1-3m =-3m-1 =-3.
1+3m 3m+1 4
第4页 共5页
答案:-3
4
7.已知
a=3,求
1
1
1+a4
+
1
1
1-a4
+
2
1
1+a2
+
4 的值.
1+a
解:因为
a=3,所以
1
1
1+a4
+
1
1
第1页 共5页
解析: a2
√a· 3√a2
=
a2 √a·a23
=
a2 √a53
=
aa53×212=a2·a-56
=
a2-56
=
7
a6.
答案:C
4.若 2<a<3,则化简√(2-a)2 + 4√(3-a)4的结果是( )
A.5-2a
B.2a-5 C.1
D.-1
解析:因为 2<a<3,所以 a-2>0,a-3<0,所以√(2-a)2 + 4√(3-a)4=|2-a|+|3-a|=a-2+3-a=1. 答案:C
÷
(a-1-12
b-12-1
-2
)3
=
a b 23+12
1-1
23
÷
(a-32b
-3
2
-2
)3
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数考点精题训练(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数考点精题训练单选题1、若2x=3，2y=4，则2x+y的值为（）A．7B．10C．12D．34答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.因为2x=3，2y=4，所以2x+y=2x⋅2y=3×4=12，故选：C2、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，900=18，故至少需要志愿者18名.50故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.3、已知函数f(x)=a x−2+1(a>0,a≠1)恒过定点M(m,n)，则函数g(x)=n−m x不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C解析：利用指数函数的性质求出m，n，得出g(x)的解析式，从而得出结论．∵f(x)=a x−2+1(a>0,a≠1)恒过定点(2,2)，∴m=n=2，∴g(x)=2−2x ，∴g(x)为减函数，且过点(0,1)， ∴g(x)的函数图象不经过第三象限． 故选：C ．4、设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(−12,12)单调递减C ．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D ．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减答案：D分析：根据奇偶性的定义可判断出f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈(−12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出f (x )单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，利用复合函数单调性可判断出f (x )单调递减，从而得到结果. 由f (x )=ln |2x +1|−ln |2x −1|得f (x )定义域为{x |x ≠±12}，关于坐标原点对称，又f (−x )=ln |1−2x |−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f (x )， ∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈(−12,12)时，f (x )=ln (2x +1)−ln (1−2x )，∵y =ln (2x +1)在(−12,12)上单调递增，y =ln (1−2x )在(−12,12)上单调递减， ∴f (x )在(−12,12)上单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，f (x )=ln (−2x −1)−ln (1−2x )=ln 2x+12x−1=ln (1+22x−1)， ∵μ=1+22x−1在(−∞,−12)上单调递减，f (μ)=lnμ在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：f (x )在(−∞,−12)上单调递减，D 正确. 故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f (−x )与f (x )的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.5、函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54，√3，13，12B ．√3，54，13，12C ．12，13，√3，54，D ．13，12，54，√3， 答案：C分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而√3>54>12>13.故选：C ．6、2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0⋅ln Mm 计算火箭的最大速度v(m /s )，其中v 0(m /s )是喷流相对速度，m(kg )是火箭（除推进剂外）的质量，M(kg )是推进剂与火箭质量的总和，Mm 称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为1000m /s ，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（ ）（附：lge ≈0.434,lg2≈0.301）A ．5790m /sB ．6219m /sC ．6442m /sD ．6689m /s 答案：C分析：根据对数的换底公式运算可得结果.v =v 0 lnM m=1000×ln625=1000×4lg5lg e=1000×4(1−lg2)lg e≈6442m/s .故选：C ．7、下列函数中是偶函数且在区间(0,+∞)单调递减的函数是（ ） A ．f(x)=1|x |B ．f(x)=(13)xC ．f(x)=lg |x |D ．f(x)=x −13答案：A分析：利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论． 解：f(x)=1|x |是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减，满足条件；f(x)=(13)x是非奇非 偶函数，不满足条件；f(x)=lg |x |是偶函数，但在区间(0,+∞)上单调递增，不满足条件； f(x)=x −13是奇函数不是偶函数，不合题意. 故选：A ．8、已知函数f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞) ，若函数g(x)=f(x)−m 恰有两个零点，则实数m 不可能．．．是（ ）A ．−1B ．0C ．1D ．2 答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m 的零点，转化为函数y =f(x)与函数y =m 的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；解：因为f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示， 函数g(x)=f(x)−m 的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m =0有两个实数根，即f(x)=m ，即函数y =f(x)与函数y =m 有两个交点，由函数图象可得m ≤0或m =1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．多选题9、已知函数f(x)=lg(x2+ax−a−1)，下列结论中正确的是（）A．当a=0时，f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)B．f(x)一定有最小值C．当a=0时，f(x)的值域为RD．若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥−4}答案：AC分析：A项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B项为最值问题，问一定举出反例即可；C项代入参数值即可求出函数的值域；D项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.对于A ，当a =0时，f (x )=lg (x 2−1)，令x 2−1>0，解得x <−1或x >1，则f (x )的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，故A 正确；对于B 、C ，当a =0时，f (x )=lg (x 2−1)的值域为R ，无最小值，故B 错误，C 正确；对于D ，若f (x )在区间[2,+∞)上单调递增，则y =x 2+ax −a −1在[2,+∞)上单调递增，且当x =2时，y >0，则{−a2≤24+2a −a −1>0 ，解得a >−3，故D 错误． 故选：AC ．10、已知n <m ，函数f (x )={log 12(1−x ),−1≤x ≤n22−|x−1|−3,n <x ≤m 的值域是[−1,1]，则下列结论正确的是（ ） A ．当n =0时，m ∈(12,2]B ．当n ∈[0,12)时，m ∈(n,2] C ．当n ∈[0,12)时，m ∈[1,2]D ．当n =12时，m ∈(12,2]答案：CD分析：先对分段函数去绝对值讨论单调性，作出y =log 12(1−x )，x ≥−1和y =22−|x−1|−3，x ≥−1的图象，n =0时，由图可得m 的范围，可判断A ；当n ∈[0,12)时先求出y =log 12(1−x )，−1≤x ≤n 的值域，进而可判断x ∈(n,m ]时，f (x )=1必有解，即可得m 的范围，可判断B ，C ；当n =12时，先计算f (x )=log 12(1−x )在[−1,12]上的值域，即可得y =22−|x−1|−3，n <x ≤m 的范围，进而可得m 的范围，可判断D ．当x >1时，x −1>0，此时y =22−|x−1|−3=22−x+1−3=23−x −3单调递减，当−1<x <1时，x −1<0，此时y =22−|x−1|−3=22+x−1−3=21+x −3单调递增，所以y =22−|x−1|−3在(−1,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以当x =1时，y =22−|x−1|−3取得最大值，为22−3=1．作出y =log 12(1−x )与y =22−|x−1|−3在[−1,+∞)上的图象如图所示：对于A ，当n =0时，f (x )={log 12(1−x ),−1≤x ≤022−|x−1|−3,0<x ≤m，因为f (x )的值域为[−1,1]，结合图象知m ∈[1,2]，故A 不正确；对于B ，当n ∈[0,12)，x ∈[−1,n ]时，1−x ∈[1−n,2]，此时f (x )=log 12(1−x )∈[−1,log 12(1−n )]，此时−1≤f (x )≤log 12(1−n )<1，因为f (x )的值域为[−1,1]，则x ∈(n,m ]时，f (x )=1必有解，即22−|x−1|−3=1，解得x =1，由图知m ∈[1,2]，故B 不正确，C 正确；对于D ，当n =12时，f (x )=log 12(1−x )在[−1,12]上单调递增，此时f (x )的最小值为f (−1)=log 122=−1，f (x )的最大值为f (12)=log 12(1−12)=1，要使f (x )的值域为[−1,1]，由图知m ∈(12,2]，故D 正确．故选：CD ．小提示：关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查分段函数的值域，解题的关键是根据题意作出f(x)的图象，结合图象逐个分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题 11、已知正数x ，y ，z 满足3x =4y =6z ，则下列说法中正确的是（ ） A ．1x +12y=1zB ．3x >4y >6zC ．xy >2z 2D ．x +y >(√32+√2)z答案：ACD分析：将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.正数x ，y ，z 满足3x =4y =6z ，设3x =4y =6z =t (t >1)， 则x =log 3t ，y =log 4t ，z =log 6t ．对于A ，1x +12y =log t 3+12log t 4=log t 6=1z ，故A 正确； 对于B ，3x =3log 3t ，4y =4log 4t ，6z =6log 6t ， ∵3x 4y =3log 3t 4log 4t=34log 34<1，∴3x <4y ， ∵4y 6z=4log 4t 6log 6t=23log 46<1，∴4y <6z ，∴3x <4y <6z ，故B 错误；对于C ，由1z=1x+12y>2√12xy（x ≠2y ），两边平方，可得xy >2z 2，故C 正确；对于D ，由xy >2z 2，可得x +y >2√xy >2√2z 2=2√2z >(√32+√2)z （x ≠y ），故D 正确． 故选：ACD 填空题12、里氏震级M 的计算公式为：M =lgA −lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_________级. 答案：6分析：将A =1000，A 0=0.001代入等式M =lgA −lgA 0计算即可得解.将A =1000，A 0=0.001代入等式M =lgA −lgA 0得M =lg1000−lg0.001=lg106=6. 所以答案是：6.13、已知函数f (x )={2x +1,x ≤02,x >0 ，若f (a 2−2a )≤f (a −1)，则实数a 的取值范围是_________．答案：[3−√52,+∞)分析：根据函数单调性分段处理即可得解.由题函数f (x )={2x +1,x ≤02,x >0在(−∞,0]单调递增，在(0,+∞)为常数函数，且f(0)=2若f(a2−2a)≤f(a−1)则a2−2a≤a−1≤0或a2−2a≤0≤a−1或{a 2−2a≥0a−1≥0则{a 2−3a+1≤0a≤1或{a2−2a≤00≤a−1或{a2−2a≥0a−1≥0解得：3−√52≤a≤1或1≤a≤2或a≥2，综上所述：a∈[3−√52,+∞)所以答案是：[3−√52,+∞)14、设x>0，y>0，若e x、e y的几何平均值为e（e是自然对数的底数），则x2、y2的算术平均值的最小值为__________.答案：1分析：利用指数的运算性质可得出x+y=2，再利用基本不等式可求得结果.由已知条件可得e x⋅e y=e x+y=e2，所以，x+y=2，因为x>0，y>0，由基本不等式可得x2+y2≥2xy，即2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=4，所以，x2+y22≥1，当且仅当x=y=1时，等号成立.因此，x2、y2的算术平均值的最小值为1.所以答案是：1.解答题15、数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.(1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,那么log a M n=nlog a M(n∈R);(2)请你运用上述对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值;(3)因为210=1024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断20192020的位数.(注lg2019≈3.305)答案：(1)见解析(2)1712(3)20192020的位数为6677解析：(1)根据指数与对数的转换证明即可.(2)根据对数的运算性质将真数均转换成指数幂的形式再化简即可.(3)分析lg20192020的值的范围再判断位数即可.(1)方法一:设x=log a M所以M=a x所以M n=(a x)n=a nx所以log a M n=nx=nlog a M,得证.方法二:设x=nlog a M所以xn=log a M所以a xn=M所以a x=M n所以x=log a M n所以nlog a M=log a M n方法三:因为a log a M n=M na nlog a M=(a log a M)n=M n 所以a log a M n=a nlog a M所以log a M n=nlog a M得证.(2)方法一:lg3 lg4(lg8lg9+lg16lg27)=lg3lg22(lg23lg32+lg24lg33)=lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3) =lg32lg2⋅17lg26lg3=1712.方法二:lg3 lg4(lg8lg9+lg16lg27)=log43(log98+log2716) =log223(log3223+log3324)=12log23(32log32+43log32)=12log23⋅176log32=1712.(3)方法一:设10k<20192020<10k+1,k∈N∗所以k<lg20192020<k+1所以k<2020lg2019<k+1所以k<2020×3.305<k+1所以6675.1<k<6676.1因为k∈N∗所以k=6676所以20192020的位数为6677方法二:设20192020=N所以2020lg2019=lgN所以2020×3.305=lgN所以lgN=6676.1所以N=106676.1=100.1×106676因为1<100.1<10,所以N有6677位数,即20192020的位数为6677小提示：本题主要考查了对数的运算以及利用对数的运算求解数字位数的问题,需要取对数分析对数值进行分析,属于中档题.。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(18)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 下面关于函数 f (x )=log 12x ，g (x )=(12)x和 ℎ(x )=x −12 在区间 (0,+∞) 上的说法正确的是( ) A ． f (x ) 的递减速度越来越慢，g (x ) 的递减速度越来越快，ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 B ． f (x ) 的递减速度越来越快，g (x ) 的递减速度越来越慢，ℎ(x ) 的递减速度越来越快 C ． f (x ) 的递减速度越来越慢，g (x ) 的递减速度越来越慢，ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 D ． f (x ) 的递减速度越来越快，g (x ) 的递减速度越来越快，ℎ(x ) 的递减速度越来越快2. 甲用 1000 元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利 10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了 10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙．在上述股票交易中 ( ) A ．甲刚好盈亏平衡 B ．甲盈利 9 元 C ．甲盈利 1 元D ．甲亏本 1.1 元3. 若 a =0.32，b =log 20.3，c =20.3，则 a ，b ，c 三者的大小关系是 ( ) A ． b <c <a B ． b <a <c C ． a <c <b D ． a <b <c4. 已知当 x ∈[0,1] 时，函数 y =(mx −1)2 的图象与 y =√x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (0,1]∪[2√3,+∞) B ． (0,1]∪[3,+∞) C ． (0,√2]∪[2√3,+∞) D ． (0,√2]∪[3,+∞)5. 已知函数 f (x )={15x +1,x ≤1lnx,x >1，则方程 f (x )=kx 恰有两个不同的实根时，实数 k 的取值范围是 ( ) A ． (0,1e )B ． (0,15)C ． [15,1e )D ． [15,1e ]6. 若函数 f (x )=2x +a 2x −2a 的零点在区间 (0,1) 上，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (−∞,12)B ． (−∞,1)C ． (12,+∞)D ． (1,+∞)7. 已知定义在 R 上的函数 f (x )={x 2+2,x ∈[0,1)2−x 2,x ∈[−1,0)，且 f (x +2)=f (x )．若方程 f (x )−kx −2=0 有三个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 ( )A ． (13,1)B ． (−13,−14)C ． (−1,−13)∪(13,1)D ． (−13,−14)∪(14,13)8. 定义域为 R 的偶函数 f (x )，满足对任意的 x ∈R 有 f (x +2)=f (x )，且当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2x 2+12x −18，若函数 y =f (x )−log a (∣x∣+1) 在 R 上至少有六个零点，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (0,√33) B ． (0,√77) C ． (√55,√33)D ． (0,13)9. 方程 log 3x +x =3 的解所在的区间是 ( ) A ． (0,1) B ． (1,2) C ． (2,3) D ． (3,+∞)10. 函数 f (x )=√1−x 2lg∣x∣的图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )={√4−x 2,x ∈(−2,2]1−∣x −3∣,x ∈(2,4]，满足 f (x −3)=f (x +3)，若在区间 [−4,4] 内关于x 的方程 3f (x )=k (x −5) 恰有 4 个不同的实数解，则实数 k 的取值范围是 ．12. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2+(2m −1)x +m 2=0 有两个实数根 x 1 和 x 2，当 x 12−x 22=0时，m 的值为 ．13. 已知 A ={x∣ 3x <1}，B ={x∣ y =lg (x +1)}，则 A ∪B = ．14. 已知函数 f (x )={x 2+4x −1,x ≤02x −3−k,x >0，若方程 f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是 ．15. 设函数 f (x )={−4x 2,x <0x 2−x,x ≥0，若 f (a )=−14，则 a = ，若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根，则实数 b 的取值范围是 ．16. 设函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0，则 f [f (0)]= ，若方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 如图，直角边长为 2 cm 的等腰直角三角形 ABC ，以 2 cm/s 的速度沿直线向右运动．(1) 求该三角形与矩形 CDEF 重合部分面积 y （cm 2）与时间 t 的函数关系（设 0≤t ≤3）． (2) 求出 y 的最大值．（写出解题过程）18. 已知函数 f (x )=a x +k 的图象过点 (1,3)，它的反函数的图象过点 (2,0)．(1) 求函数 f (x ) 的解析式； (2) 求 f (x ) 的反函数．19. 已知函数 g (x )=log a x ，其中 a >1．（注：∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1=∣m (x 1)−m (x 0)∣+∣m (x 2)−m (x 1)∣+⋯+∣m (x n )−m (x n−1)∣） (1) 当 x ∈[0,1] 时，g (a x +2)>1 恒成立，求 a 的取值范围；(2) 设 m (x ) 是定义在 [s,t ] 上的函数，在 (s,t ) 内任取 n −1 个数 x 1，x 2，⋯，x n−2，x n−1，且 x 1<x 2<⋯<x n−2<x n−1，令 x 0=s ，x n =t ，如果存在一个常数 M >0，使得 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立，则称函数 m (x ) 在区间 [s,t ] 上具有性质 P ． 试判断函数 f (x )=∣g (x )∣ 在区间 [1a ,a 2] 上是否具有性质 P ？若具有性质 P ，请求出 M的最小值；若不具有性质 P ，请说明理由．20. 已知函数 g (x )=ax 2−2ax +1+b (a ≠0,b <1)，在区间 [2,3] 上有最大值 4，最小值 1，设f (x )=g (x )x．(1) 求常数 a ，b 的值；(2) 方程 f (∣2x −1∣)+k (2∣2x −1∣−3)=0 有三个不同的解，求实数 k 的取值范围．21. 已知函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2．(1) 求实数 m ，n 的值；(2) 若不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立，求实数 k 的取值范围．22. 已知函数 f (x )=(12)ax，a 为常数，且函数的图象过点 (−1,2)．(1) 求 a 的值；(2) 若 g (x )=4−x −2，且 g (x )=f (x )，求满足条件的 x 的值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】观察函数f(x)=log12x，g(x)=(12)x和ℎ(x)=x−12在区间(0,+∞)上的图象（图略），由图可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．同样，函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．函数ℎ(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质2. 【答案】C【解析】由题意知甲两次付出为1000元和(1000×1110×910)元，两次收入为(1000×1110)元和(1000×1110×910×910)元，因为1000×1110+1000×1110×910×910−1000−1000×1110×910=1，所以甲盈利1元．【知识点】函数模型的综合应用3. 【答案】B【解析】因为0<a=0.32<0.30=1，b=log20.3<log21=0，c=20.3>20=1，所以b<a<c．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质4. 【答案】B【解析】应用排除法．当m=√2时，画出y=(√2x−1)2与y=√x+√2的图象，由图可知，两函数的图象在[0,1]上无交点，排除C，D；当m=3时，画出y=(3x−1)2与y=√x+3的图象，由图可知，两函数的图象在[0,1]上恰有一个交点．【知识点】函数的零点分布5. 【答案】C【解析】因为方程f(x)=kx恰有两个不同实数根，所以y=f(x)与y=kx有2个交点，又因为k表示直线y=kx的斜率，x>1时，y=f(x)=lnx，所以yʹ=1x；设切点为(x0,y0)，则k=1x0，所以切线方程为y−y0=1x0(x−x0)，又切线过原点，所以y0=1，x0=e，k=1e，如图所示：结合图象，可得实数k的取值范围是[15,1e )．【知识点】函数零点的概念与意义6. 【答案】C【解析】因为f(x)单调递增，所以f(0)f(1)=(1−2a)(2+a2−2a)<0，解得a>12．【知识点】零点的存在性定理7. 【答案】C【知识点】函数的零点分布8. 【答案】A【解析】当x∈[2,3]时，f(x)=−2x2+12x−18=−2(x−3)2，图象为开口向下，顶点为(3,0)的抛物线．因为函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点，令g(x)=log a(∣x∣+1)，因为f(x)≤0，所以g(x)≤0，可得0<a<1．要使函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点，如图要求g(2)>f(2)．log a(2+1)>f(2)=−2⇒log a3>−2，可得3<1a2⇒−√33<a<√33，a>0，所以 0<a <√33．【知识点】函数的零点分布9. 【答案】C【解析】把方程的解转化为函数 f (x )=log 3x +x −3 对应的零点．令 f (x )=log 3x +x −3，因为 f (2)=log 32−1<0，f (3)=1>0，所以 f (2)f (3)<0，且函数 f (x ) 在定义域内是增函数，所以函数 f (x ) 只有一个零点，且零点 x 0∈(2,3)，即方程 log 3x +x =3 的解所在的区间为 (2,3)． 故选C ．【知识点】零点的存在性定理10. 【答案】B【解析】（1）由 {1−x 2≥0,∣x ∣≠0且∣x ∣≠1, 得 −1<x <0 或 0<x <1，所以 f (x ) 的定义域为 (−1,0)∪(0,1)，关于原点对称．又 f (x )=f (−x )，所以函数 f (x ) 是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除A ； 当 0<x <1 时，lg ∣x ∣<0，f (x )<0，排除C ；当 x >0 且 x →0 时，f (x )→0，排除D ，只有B 项符合． 【知识点】对数函数及其性质、函数图象、函数的奇偶性二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (−2√217,−38)∪{0}【知识点】函数的零点分布12. 【答案】 14【解析】由题意得 Δ=(2m −1)2−4m 2=0，解得 m ≤14． 由根与系数的关系，得 x 1+x 2=−(2m −1)，x 1x 2=m 2．由 x 12−x 22=0，得 (x 1+x 2)(x 1−x 2)=0． 若 x 1+x 2=0，即 −(2m −1)=0，解得 m =12． 因为 12>14，可知 m =12 不合题意，舍去；若 x 1−x 2=0，即 x 1=x 2，由 Δ=0，得 m =14．故当 x 12−x 22=0 时，m =14．【知识点】函数零点的概念与意义13. 【答案】 R【解析】由 3x <1，解得 x <0，即 A =(−∞,0)． 由 x +1>0，解得 x >−1，即 B =(−1,+∞)． 所以 A ∪B =R ．【知识点】对数函数及其性质、交、并、补集运算14. 【答案】 (−2,−32]∪(−1,2)【解析】当 x ≤0 时，f (x )−k ∣x −1∣=x 2+4x −1−k (1−x )=x 2+(4+k )x −k −1， 当 0<x <1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (1−x )=(k +2)x −3−2k ，当 x ≥1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (x −1)=(2−k )x −3，设 g (x )=f (x )−k ∣x −1∣，则 g (x )={x 2+(4+k )x −k −1,x ≤0(k +2)x −3−2k,0<x <1(2−k )x −3,x ≥1，f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解等价于g (x ) 有且仅有 2 个零点， 若 g (x ) 一个零点位于 (0,1)，即 0<2k+3k+2<1⇒k ∈(−32,−1)，若 g (x ) 一个零点位于 [1,+∞)，即 {2−k >0,22−k≥1⇒k ∈[−1,2)，可知 g (x ) 在 (0,1)，[1,+∞) 内不可能同时存在零点，即当 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点；当 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， ① 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点时，（1）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)=0 时，k =−2 或 k =−10， 此时 g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以不满足 g (x ) 有两个零点；（2）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)>0，即 k <−10 或 k >−2 时， 只需 g (0)=−k −1<0，即 k >−1，所以当 k >−1 时，g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点， 因为 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点， 所以 k ∈(−1,2) 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点；② 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有两个零点时，只需 {Δ=(4+k )2+4(k +1)>0,−4+k 2<0,g (0)=−k −1≥0⇒k ∈(−2,−1]，因为 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以 k ∈(−2,−32] 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点， 综上所述：k ∈(−2,−32]∪(−1,2)．【知识点】函数的零点分布15. 【答案】 −14或 12； (−14,0)【解析】若 −4a 2=−14，解得 a =−14； 若 a 2−a =−14，解得 a =12，故 a =−14或12；当 x <0 时，f (x )<0；当 x >0 时，f (x )=(x −12)2−14，f (x ) 的最小值是 −14，若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根，则 b =f (x ) 有 3 个交点，故 b ∈(−14,0)．【知识点】函数的零点分布、分段函数16. 【答案】 14； (14,12)【解析】函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0，则 f [f (0)]=f (e 0)=f (1)=14．x ≤0 时，f (x )≤1；x >0，f (x )=−x 2+x +14，对称轴为 x =12，开口向下；函数的最大值为 f (12)=12，x →0 时，f (0)→14．方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是 (14,12)．【知识点】函数的零点分布、分段函数三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 依题意：当 0≤t ≤1 时，重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形， 此时：y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2)，当 1<t <2 时，重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2=2(cm 2)，当 2≤t ≤3 时，重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形， 去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6，综上：y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3．(2) 依题意：当 0≤t ≤1 时，重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形， 此时：y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2)，当 1<t <2 时，重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2=2(cm 2)，当 2≤t ≤3 时，重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形， 去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6， 综上：y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3．当 0≤t ≤1 时，y max =2×12=2，当 1<t <2 时，y max =2，当 2≤t ≤3 时，对称轴 t 0=2，则 t =2 时，y max =2，综上：y max =2．【知识点】函数模型的综合应用、建立函数表达式模型18. 【答案】(1) f (x )=2x +1．(2) f −1(x )=log 2(x −1)(x >1)．【知识点】反函数、指数函数及其性质19. 【答案】(1) 当 x ∈[0,1] 时，g (a x +2)>1 恒成立，即 x ∈[0,1] 时，log a (a x +2)>1 恒成立，因为 a >1，所以 a x +2>a 恒成立，即 a −2<a x 在区间 [0,1] 上恒成立，所以 a −2<1，即 a <3，所以 1<a <3，即 a 的取值范围是 (1,3)．(2) 函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P ．因为 f (x )=∣g (x )∣ 在 [1,a 2] 上单调递增，在 [1a ,1] 上单调递减，对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，当存在某一个整数 k ∈{1,2,3,⋯,n −1}，使得 x k =1 时，∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (1a )−f (1)]+[f (a 2)−f (1)]=1+2= 3. 当对于任意的 k ∈{1,2,3,…,n −1}，x k ≠1 时，则存在一个实数 k 使得 x k <1<x k+1 时，∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (x 0)−f (x k )]+∣f (x k )−f (x k+1)∣+f (x n )−f (x k+1). ⋯⋯(∗)当 f (x k )>f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k+1)=3−2f (x k+1)<3，当 f (x k )<f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k )=3−2f (x k )<3，当 f (x k )=f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−f (x k )−f (x k+1)=3−f (x k )−f (x k+1)<3，综上，对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，均有 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤3，所以存在常数 M ≥3，使 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立，所以函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P ，此时 M 的最小值为 3．【知识点】函数的单调性、指数函数及其性质、函数的最大（小）值、对数函数及其性质20. 【答案】(1) 因为 a ≠0，所以 g (x ) 的对称轴为 x =1，所以 g (x ) 在 [2,3] 上是单调函数，所以 {g (2)=1,g (3)=4 或 {g (2)=4,g (3)=1,解得 a =1，b =0 或 a =−1，b =3（舍）． 所以 a =1，b =0．(2) f (x )=x 2−2x+1x =x +1x −2．令 ∣2x −1∣=t ，显然 t >0， 所以 t +1t −2+k (2t −3)=0 在 (0,1) 上有一解，在 [1,+∞) 上有一解．即 t 2−(2+3k )t +1+2k =0 的两根分别在 (0,1) 和 [1,+∞) 上．令 ℎ(t )=t 2−(2+3k )t +1+2k ，若 ℎ(1)=0，即 1−2−3k +1+2k =0，解得 k =0，则 ℎ(t )=t 2−2t +1=(t −1)2，与 ℎ(t ) 有两解矛盾．所以 {ℎ(0)>0,ℎ(1)<0,即 {1+2k >0,−k <0, 解得 k >0． 所以实数 k 的取值范围是 (0,+∞)．【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布21. 【答案】(1) 由函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2，可得 {1−3m +n =0,4−6m +n =0, 解得 {m =1,n =2.(2) 由（1）可得 f (x )=x 2−3x +2，由不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立，可得不等式 f (x )>k 在 x ∈[0,5] 上恒成立，可将 f (x )=x 2−3x +2 化为 f (x )=(x −32)2−14，所以 f (x )=x 2−3x +2 在 x ∈[0,5] 上的最小值为 f (32)=−14，所以 k <−14．【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布22. 【答案】(1) 由已知得 (12)−a=2，解得 a =1．(2) 由（1）知 f (x )=(12)x，又 g (x )=f (x )，所以 4−x −2=(12)x，即 (14)x −(12)x−2=0，即 [(12)x ]2−(12)x−2=0，令 (12)x=t (t >0)，则 t 2−t −2=0，所以 t =−1 或 t =2，又 t >0，所以 t =2，即 (12)x=2，解得 x =−1．【知识点】指数函数及其性质。
人教版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数综合检测培优卷(含详细解析)
第4章指数函数与对数函数（原卷版）本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．在下面四个等式运算中，正确的是A ．22133aa -=B ．2133a a ÷=C ．342=D 8=-2．若实数x 、y 满足x y a b ab ==（0a >，0b >且a b ¹），则11x y+的值为A ．2-B ．2C ．1-D ．13．三个数3log 0.3a =，3log 2b =，12c =的大小顺序是A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b<<D ．b c a<<4．已知函数2log y x =与函数3x y -=的图象有两个交点，交点的横坐标分别为m 、n ，则以下结论中正确的是A ．0mn <B ．01mn <<C ．1mn =D ．1mn >5．若a ､b ､c 都是正数，且469a b c ==，那么A ．2ac bc ab +=B ．ac bc ac +=C ．221c a b=+D ．121c b a=-6．若直线2y a =与函数21xy =-的图象有两个公共点，则a 的取值可以是A ．14B ．12C ．2D ．47．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如图所示，则函数()2xg x a b =+-的图象是A．B．C．D．8．已知()1313logf x x x=-时，当0a b c<<<时，满足()()()0f a f b f c⋅⋅<，则关于以下两个结论正确的判断是①函数()y f x=只有一个零点；②函数()y f x=的零点必定在区间（a，b）内．A．①②均对B．①对，②错C．①错，②对D．①②均错二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若0a>，且1a≠，Rx∈，Ry∈，且0xy>，则下列各式不恒成立的是①2log2loga ax x=；②2log2loga ax x=；③()log log loga a axy x y=+；④()log log loga a axy x y+＝．A．①B．②C．③D．④10．已知23a =，3log 2b =，则A ．2a b +>B ．1ab =C ．82339b b-+=D ．()911log 122a b a++=11．给出下列四个命题，其中所有正确命题的选项是A ．函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,0)B ．化简2log312lg5log lg 23+++的结果为25C ．已知函数()log 2a y ax =-（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是()1,2D ．若22ln ln()x y x y -->--（0x >，0y <），则0x y +<12．已知函数()12log ,0410,4x x f x x x⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若方程()f x a =有三个实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则A ．121=x x B ．实数a 的取值范围为50,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．312x x x 的取值范围为[)5,+∞D ．()2f x >的解集为()10,4,54⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数2322xx y -+=的单调递增区间为__________．14．已知0x >，y R ∈，定义*y x y x =，则(13*22⎛⎫= ⎪⎝⎭__________．15．已知[x ]表示不超过x 的最大整数，定义函数f (x )=x -[x ]．有下列结论：①函数的图象是一条直线；②函数f (x )的值域为[0，1)；③方程f (x )=12有无数个解；④函数是R 上的增函数．其中正确的是__________．(填序号)16．已知()41,0121,1x x x f x x -<<⎧=⎨-≥⎩，设0b a >>，若()()f a f b =，则()a f b ⋅的取值范围是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）化简与求值．（1）化简：3142111136431645x yx y x y ----⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（x ，0y >）；（2）已知()110a a a --=>，求()()22442a a a a --+--的值．18．（12分）（1123182-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）已知102m =，103n =，求32210m n-的值．19．（12分）在飞机制造业中，发现一条规律：制造第2架飞机所需的工时数是第1架的80%；第4（即22）架又是第2架的80%；第8（即32）架又是第4架的80%；……这就是说，通过积累经验，可以提高效率．这也是符合学习规律的，这里的80%称为“进步率”，所制造的飞机架数与所需工时数之间的函数关系所确定的曲线常称为“学习曲线”．设制造第1架飞机需要用k 个工时，进步率为r ，试求出制造第x 架飞机与需用的工时数y 之间的函数表达式．20．（12分）设正整数a 、b 、c 满足：对任意的正整数n ，都有1n n n a b c ++=成立．（1）求证：a b c +≥；（2）求出所有满足题设的a 、b 、c 的值．21．（12分）函数()()4122x xf x a a =-+⋅-+．（1）当3a =时，求函数()f x 在区间[]0,2上的最值；（2）已知方程()0f x =的两个实数根1x ，2x ，满足1201x x <<<，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数()y f x =，()2log 2ax f x x -=+，其中0a >且1a ≠．（1）求()()()()()()2020101050550510102020f f f f f f -+-+-+++；（2）若对于[]4,3x ∈--，()()2log 59a f x a a >-+恒成立，求实数a 的取值范围．第4章指数函数与对数函数（解析版）本卷满分150分，考试时间120分钟。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(11)
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.设全集为R，函数f(x)=0√2−x的定义域为M，则∁RM=( )A．{x∣ x≥2}B．{x∣ x<2且x≠−1}C．{x∣ x≥2或x=−1}D．{x∣ x>2或x=−1}2.设α∈{−1,1,12,3}，则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( ) A．1，3B．−1，1C．−1，3D．−1，1，33.若函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数，则实数b的取值范围是( )A．b≥0B．b≤0C．b>0D．b<04.如果函数f(x)=12(m−2)x2+(n−8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[12,2]上单调递减，则mn的最大值为( )A．16B．18C．25D．8125.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为增函数，且f(x)⋅f(f(x)+1x)=1，则f(1)等于( )A．1+√52B．1−√52C．1+√52或1−√52D．√56.定义在R上的函数f(x)满足：f(x−2)的对称轴为x=2，f(x+1)=4f(x)(f(x)≠0)，且f(x)在区间(1,2)上单调递增，已知α，β是钝角三角形中的两锐角，则f(sinα)和f(cosβ)的大小关系是( )A．f(sinα)>f(cosβ)B．f(sinα)<f(cosβ)C．f(sinα)=f(cosβ)D．以上情况均有可能7.已知函数f(x)满足：对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，下列说法一定正确的是( )A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)+1为奇函数D．f(x)+1为偶函数8.已知函数y=f(x)的定义域为[−6,1]，则函数g(x)=f(2x+1)x+2的定义域是( ) A．(−∞,−2)∪(−2,3]B．[−11,3]C．[−72,−2]D．[−72,−2)∪(−2,0]9.已知R上的奇函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，且f(−2)=0，则不等式f(x)≤0的解集为( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]∪[0,2]C．(−∞,−2]∪[2,+∞)D．[−2,0]∪[2,+∞)10.已知函数f(x)=−x2+4x+a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值−2，则f(x)的最大值为( )A．−1B．0C．1D．2二、填空题（共6题）11.在平面直角坐标系xOy中，对于点A(a,b)，若函数y=f(x)满足：∀x∈[a−1,a+1]，都有y∈[b−1,b+1]，则称这个函数是点A的“界函数”．已知点B(m,n)在函数y=−12x2的图象上，若函数y=−12x2是点B的“界函数”，则m的取值范围是．12.已知f(x)=x3+3x，x∈R，且f(a−2)+f(a2)<0，则实数a的取值范围是．13.设函数f(x)={1,x>00,x=0−1,x<0，g(x)=x2⋅f(x−1)，则函数g(x)的递减区间是．14.若函数f(x)在区间[a,b]上单调，且f(x)的图象连续不间断，则函数f(x)的最值必在处取得．15.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，若f(a+1)≤f(4)，则实数a的取值范围是．16.若函数y=a∣x−b∣+2在区间(0,+∞)上是增函数，则实数a，b满足的条件为．三、解答题（共6题）17.如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形框架，若半圆的半径为x,求此框架围成的面积y与x的函数式y=f(x),并写出它的定义域．18.中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提岀的物体在常温环境下温度变化的冷却模型；如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过时间t（单位：分）后物体温度θ将满足：θ=θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt，其中k为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200ml初始温度为98∘C的水在19∘C室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示：从98∘C到90∘C所用时间1分58秒从98∘C到85∘C所用时间3分24秒从98∘C到80∘C所用时间4分57秒（参考数据：ln79=4.369，ln71=4.263，ln66=4.190，ln61=4.111，ln56=4.025）(1) 请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t（单位：分）关于冷却后水温θ（单位：∘C）的函数关系，并选取一组数据求出相应的k值．（精确到0.01）(2) “碧螺春”用75∘C左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（1）的条件下，200ml水煮沸后在19∘C室温下为获得最佳口感大约冷却分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．A．5B．7C．1019.解答下列问题：(1) 函数的积的定义：一般地，已知两个函数y=f(x)（x∈D1），y=g(x)（x∈D2），设D=D1∩D2，并且D不是空集，那么当x∈D时，y=f(x)与y=g(x)都有意义．于是把函数叫做函数y=f(x)与y=g(x)的积．(2) 如何研究和函数与积函数．20.函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3是幂函数，且当x∈(0,+∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．21.对于函数y=f(x)与常数a，b，若f(2x)=af(x)+b恒成立，则称(a,b)为函数f(x)的一个“P数对”，设函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f(1)=3．(1) 若(a,b)是f(x)的一个“P数对”，且f(2)=6，f(4)=9，求常数a，b的值；(2) 若(1,1)是f(x)的一个“P数对”，且f(x)在[1,2]上单调递增，求函数f(x)在[1,8]上的最大值与最小值；(3) 若(−2,0)是f(x)的一个“P数对”，且当x∈[1,2)时，f(x)=k−∣2x−3∣，求k的值及f(x)在区间[1,2n)(n∈N+)上的最大值与最小值．22.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15−0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格．问：(1) 每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2) 每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】由题意得{x+1≠0,2−x>0,解得x<2且x≠−1，所以M={x∣ x<2且x≠−1}，故∁RM={x∣ x≥2或x=−1}．【知识点】函数的定义域的概念与求法2. 【答案】A【解析】当α=−1,1,3时幂函数为奇函数，当α=−1时定义域不是R，所以α=1,3．【知识点】幂函数及其性质3. 【答案】A【解析】因为y在[0,+∞)上为单调函数，所以x=−b2≤0，即b≥0．【知识点】函数的单调性4. 【答案】B【解析】m≠2时，抛物线的对称轴为x=−n−8m−2．据题意，当m>2时，−n−8m−2≥2即2m+n≤12．因为√2m⋅n≤2m+n2≤6，所以mn≤18．由2m=n且2m+n=12得m=3，n=6．当m<2时，抛物线开口向下，据题意得，−n−8m−2≤12即m+2n≤18．因为√2n⋅m≤2n+m2≤9，所以mn≤812．由2n=m且m+2n=18得m=9>2，故应舍去．要使得mn取得最大值，应有m+2n=18(m<2,n>8)．所以mn=(18−2n)n<(18−2×8)×8=16，所以最大值为18．【知识点】函数的单调性、函数的最大（小）值5. 【答案】B【解析】令x=1，得f(1)f(f(1)+1)=1，令t=f(1)，则tf(t+1)=1，所以 f (t +1)=1t ．令 x =t +1，则 f (t +1)f (f (t +1)+1t+1)=1t ⋅f (1t +1t+1)=1， 所以 f (1t +1t+1)=t =f (1)．因为函数 f (x ) 为定义在 (0,+∞) 上的增函数， 所以 1t +1t+1=1，变形可得 t 2−t −1=0， 解得 t =1+√52或 t =1−√52．所以 f (1)=1+√52或 f (1)=1−√52．令 x =2，得 f (2)f (f (2)+12)=1， 令 s =f (2)，则 sf (s +12)=1， 所以 f (s +12)=1s ， 令 x =s +12，则 f (s +12)⋅f (f (s +12)+1s+12)=1sf (1s+22s+1)=1，则 f (1s +22s+1)=s =f (2)． 所以 1s +22s+1=2，所以 4s 2−2s −1=0， 解得 s =1−√54或 s =1+√54，所以 f (2)=1−√54或 f (2)=1+√54．因为 f (1)<f (2)， 所以 f (1)=1−√52．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的单调性6. 【答案】A【知识点】抽象函数、函数的单调性7. 【答案】C【解析】方法一：对任意的x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，取x1=x2=0得f(0)=−1，取x1=x，x2=−x得，f(0)=f(x)+f(−x)+1，所以f(x)+1=−f(−x)=−[f(−x)+1]，所以f(x)+1为奇函数．方法二：由已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，设x1=x2=0，则f(0)=2f(0)+1，解得：f(0)=−1，又设x1=x，x2=−x，则x1+x2=x−x=0，所以f(0)=f(x)+f(−x)+1，所以f(x)+f(−x)+1+1=0，所以[f(x)+1]+[f(−x)+1]=0，由奇函数定义可知，f(x)+1为奇函数．【知识点】抽象函数、函数的奇偶性8. 【答案】D【解析】因为f(x)的定义域为[−6,1]，所以−6≤x≤1，，因为g(x)=f(2x+1)x+2所以−6≤2x+1≤1且x≠−2，≤x≤0且x≠−2，所以−72,−2)∪(−2,0]．所以x∈[−72【知识点】函数的定义域的概念与求法9. 【答案】B【解析】因为函数在(−∞,0)上单调递增，且f(−2)=0，所以当x∈(−∞,−2]时，f(x)≤0；当x∈(−2,0)时，f(x)>0．又函数是奇函数，奇函数的图象关于原点对称，f(0)=0，且f(2)=0，所以当x∈(0,2]时，f(x)≤0；当x∈(2,+∞)时，f(x)>0．所以f(x)≤0的解集是(−∞,−2]∪[0,2]．故选B．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性10. 【答案】C【解析】函数f(x)=−x2+4x+a的图象开口向下，对称轴为直线x=2，于是函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，从而f(0)=−2，即a=−2，于是最大值为f(1)=−1+4−2=1．【知识点】函数的最大（小）值二、填空题（共6题）11. 【答案】[−12,1 2 ]【解析】B(m,n)在y=−12x2上，所以n=−12m2，所以∀x∈[m−1,m+1]，都有y∈[−12m2−1,12m2+1]，即都有y max≤12m2+1，y min≥12m2−1，所以下面讨论13x∈[m−1,m+1]时，y的最值，① m≤−1时，m+1≤0，所以单调减，所以y max=−12(m+1)2，y min=−12(m−1)2，所以{−12(m+1)2≤12m2+1,−12(m−1)2≥12m2−1,无解．② −1<m≤0时，0<m+1≤1，−2<m−1≤−1，所以y max=0，y min=−12(m−1)2(取不到)，所以{0≤12m2+1,−12(m−1)2≥12m2−1,所以−12≤m≤0．③ 0<m≤1时，1<m+1≤2，−1<m−1≤0，所以y max=0，y min=−12(m+1)2，所以 {0≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,所以 0<m ≤12．④ m >1 时，m −1>0，所以 y max =−12(m −1)2 (取不到)，y min =−12(m +1)2，所以 {−12(m −1)2≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,无解．综上：−12≤m ≤12．【知识点】函数的最大（小）值12. 【答案】 (−2,1)【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性13. 【答案】 [0,1)【解析】由题意知 g (x )={x 2,x >10,x =1−x 2,x <1，函数图象如图所示，其递减区间是 [0,1)．【知识点】函数的单调性14. 【答案】端点【知识点】函数的最大（小）值15. 【答案】 [−5,3]【解析】函数 y =f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在 [0,+∞) 上是增函数， 可得 f (x )=f (∣x ∣)，则f(a+1)≤f(4)，即为f(∣a+1∣)≤f(4)，可得∣a+1∣≤4，即−4≤a+1≤4，解得−5≤a≤3，则实数a的取值范围是[−5,3]．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性16. 【答案】a>0，b≤0【知识点】函数的单调性三、解答题（共6题）17. 【答案】AB=2x，CD⏜=πx,于是AD=1−2x−πx2,因此y=2x⋅1−2x−πx2+πx22,即y=−π+42x2+x,由{2x>0,1−2x−πx2>0,得0<x<1π+2,函数的定义域为(0,1π+2)【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的模型及其实际应用18. 【答案】(1) 由θ−θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt得e−kt=θ−θ0θ1−θ0，即−kt=lnθ−θ0θ1−θ0，t=1klnθ1−θ0θ−θ0，在环境温度为θ0=19∘C，选取从θ=98∘C下降到θ=90∘C所用时间约为2分钟这组数据有2=1k ln7971，即k=ln79−ln712≈0.05；选取从θ=98∘C降到θ=85∘C期时间的为3.4分钟这组数据有3.4=1k ln7966，即k=ln79−ln663.4≈0.05；选取从们θ=98∘C得到θ=80∘C所期时的为5分钟这组数据有5=1k ln7961，即k=ln79−ln615≈0.05；故 k ≈0.05．(2) B200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟左右冲泡口感最佳，故选B ．理由如下：由（1）得 t =20ln 79θ−79，当 θ=75∘C 时，有 t =20×(ln79−ln56)≈6.88．所以 200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟冲泡“碧螺春”口感最佳．【知识点】函数模型的综合应用19. 【答案】(1) y =f (x )⋅g (x )（x ∈D ）(2) 首先要确定和函数与积函数的定义域，然后化简整理和（积）函数的解析式，结合解析式研究函数的性质．【知识点】函数的相关概念20. 【答案】根据幂函数的定义得 m 2−m −1=1，解得 m =2 或 m =−1．当 m =2 时，f (x )=x 3 在 (0,+∞) 上是增函数；当 m =−1 时，f (x )=x −3 在 (0,+∞) 上是减函数，不符合要求．故 f (x )=x 3．【知识点】幂函数及其性质21. 【答案】(1) 由题意知 {af (1)+b =f (2),af (2)+b =f (4).即 {3a +b =6,6a +b =9.解得 {a =1,b =3.(2) 因为 (1,1) 是 f (x ) 的一个“P 数对”，所以 f (2x )=f (x )+1，所以 f (2)=f (1)+1=4，f (4)=f (2)+1=5，f (8)=f (4)+1=6．因为 f (x ) 在 [1,2] 上单调递增，所以当 x ∈[1,2] 时，f (x )max =f (2)=4，f (x )min =f (1)=3，所以当 x ∈[1,2] 时，3≤f (x )≤4；当 x ∈[2,4] 时，x 2∈[1,2]，3≤f (x 2)≤4，所以 4≤f (x )=f (x 2)+1≤5；当 x ∈[4,8] 时，x 2∈[2,4]，4≤f (x 2)≤5， 所以 5≤f (x )=f (x 2)+1≤6．综上，当 x ∈[1,8] 时，3≤f (x )≤6．故 f (x ) 在 [1,8] 上的最大值为 6，最小值为 3．(3) 当 x ∈[1,2) 时，f (x )=k−∣2x −3∣，令 x =1，可得 f (1)=k −1=3，解得 k =4， 所以 x ∈[1,2) 时，f (x )=4−∣2x −3∣，故 f (x ) 在 [1,2) 上的取值范围是 [3,4]．又 (−2,0) 是 f (x ) 的一个“P 数对”，所以 f (2x )=−2f (x ) 恒成立，当 x ∈[2k−1,2k )(k ∈N +) 时，x 2k−1∈[1,2)，f (x )=−2f (x 2)=4f (x 4)=⋯=(−2)k−1⋅f (x 2k−1)，故 k 为奇数时，f (x ) 在 [2k−1,2k ) 上的取值范围是 [3×2k−1,2k+1]；当 k 为偶数时，f (x ) 在 [2k−1,2k ) 上的取值范围是 [−2k+1,−3×2k−1]．所以当 n =1 时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 4，最小值为 3；当 n 为不小于 3 的奇数时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 2n+1，最小值为 −2n ；当 n 为不小于 2 的偶数时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 2n ，最小值为 −2n+1．【知识点】函数的最大（小）值、抽象函数22. 【答案】(1) 每套丛书售价定为 100 元时，销售量为 15−0.1×100=5 (万套)，所以每套丛书的供货价格为 30+105=32 (元)，故书商所获得的总利润为 5×(100−32)=340 (万元)．(2) 每套丛书售价定为 x 元时，由 {15−0.1x >0,x >0,得 0<x <150 . 设单套丛书的利润为 P 元，则 P =x −(30+1015−0.1x )=x −100150−x −30，因为 0<x <150，所以 150−x >0，所以 P =−[(150−x )+100150−x ]+120， 又 (150−x )+100150−x ≥2√(150−x )⋅100150−x =2×10=20， 当且仅当 150−x =100150−x ，即 x =140 时等号成立，所以 P max =−20+120=100 .故每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，为 100 元．【知识点】函数的模型及其实际应用、函数的最大（小）值、均值不等式的应用。
高中数学必修一 第四章 指数函数与对数函数 测试题 (1)(解析版)
高中数学必修一 第四章 指数函数与对数函数 测试题 (1)一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，且满足f(x)=−|log 2(−x)|，x <0，若函数y =f(x)−a 有两个零点，其中0<a <1，分别记为x 1,x 2(x 1<x 2)，则4x 1+x 2的取值范围是( )A. [4,5)B. (4,5)C. (2,52]D. (2,52) 2. 已知函数f(x)=log a |x +1|，其中a >0且a ≠1，若f(1)<0，则( )A. f(a)>f(a −2)B. f(a)<f(a −2)C. f(a)=f(a −2)D. f(a)，f(a −2)的大小关系不确定3. 下列函数中，与函数y =x 3的值域相同的函数为( )A. y =(12)x+1B. y =ln(x +1)C. y =x+1xD. y =x +1x 4. 若图象上恰存在两个点关于y 轴对称，则实数k 的取值范围是( ) A. (1,1+1e ]B. C. {1}D. (1,+∞) 5. 已知函数f(x)=ax 3−3x 2+1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围为 A. (2,+∞) B. (−∞,−2) C. (1,+∞) D. (−∞,−1)6. 已知集合A ={x ∈R |log 2x <2}，集合B =(x ∈R ||x −1|<2)，则A ∩B =A. (0,3)B. (−1,3)C. (0,4)D. (−∞,3)7. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +2)=−1f(x)，且在(0,1)上f(x)=3x ，则f(log 354) 的值为( ) A. 32B. 23C. −32D. −23 8. 已知，并且α,β是方程的两根，则实数的大小关系可能是( ) A. a <m <n <βB. m <α<β<nC. m <α<n <βD. α<m <β<n二、不定项选择题（本大题共5小题，共20.0分）9. 以下命题正确的有( )A. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，P(ξ≤4)=0.79，则P(ξ≤−2)=0.21；B. 函数f(x)=x 13−(12)x 的零点在区间(13,12)内；C. cosα≠0是α≠2kπ+π2(k ∈Z)的充分必要条件D. l 是一条直线，α，β是两个平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α // β10. 设x 3+ax +b =0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是( )A. a =−3，b =2；B. a =−3，b >2；C. a =−3,b =−1；D. a >0,b <0．11. 若0<x <y <1，0<a <1，则下列不等式错误的是( ) A. log a x 2<log a y3 B. cos(ax)<cos(ay)C. a x <a yD. x a <y a12. 下列表述正确的是( ) A. (lgx +4lgx )min =4(x ∈(1,20))；B. 若a >b >0，则ln b a <0；C. 若x ，y ，z 均是正数，且3x =4y =12z ，x+y z ∈(n,n +1)(n ∈N)，则n 的值是4； D. 若正实数x ，y 满足x +y +15=1x +9y ，且x +y ≤1，则x ，y 均为定值13. 对任意实数a ，b 定义运算“⊙”，a ⊙b ={b,a ⩾b,a,a <b，设f(x)=|2−x 2|)⊙(4−|x|)，有下列四个结论其中正确结论有( )A. f(x)最大値为2；B. f(x)有3个单调递减区间；C. f(x)在[−32,−1]是减函数；D. f(x)图象与直线y =m 有四个交点，则0≤m <2三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）14. 不等式log 2(4x −2x +2)>2的解集为_________．15. 已知函数f(x)={ln x,x ⩾12x 3−3x 2+1,x <1，则x ∈[−1,e]时，f(x)最小值为_____； 设g(x)=[f(x)]2−f(x)+a ，若函数g(x)有6个零点，则实数a 的取值范围是_____．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16. 已知函数f(x)=log 2(a x −b x +2)，且f(1)=2,f(2)=1+log 27.(1)求a,b 的值；(2)当x ∈[−2,2]时，求f(x)的最小值．17. 已知函数f(x)=13x 3−12(a −1)x 2−ax −1，a >0．(1)求f(x)的单调减区间；(2)若f(x)存在三个不同的零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，试确定a的取值范围，并证明：x1+x2>−2；(3)若对任意x∈(−∞,3]，都有f(x)≤|x−a|−12x2−a，求a的取值范围．18.已知函数f(x)=e x−x−a(a∈R)．(1)当a=0时，求证：f(x)>x；(2)讨论函数f(x)零点的个数．19.已知正实数x，y满足等式2x+5y=20．(1)求u=lgx+lgy的最大值；(2)若不等式10x +1y≥m2+4m恒成立，求实数m的取值范围．20.已知△ABC的顶点B(−1,−3)，AB边上的高CE所在直线的方程为4x+3y−7=0，BC边上的中线AD所在直线的方程为x−3y−3=0．(1)求直线AB的方程；(2)求点C的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查函数的性质与图象的应用，考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．根据条件作出函数f(x)与直线y=a的图象，可得到两个零点满足x1x2=1,x1∈(0,1),x2∈(1,2)，于是4x1+x2=4x2+x2,x2∈(1,2)，根据函数y=x+4x的单调性即可求出结果．【解答】解：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且满足f(x)=−|log2 (−x)|，x<0，所以当x>0时，f(x)=|log2 x|．因为函数y=f(x)−a有两个零点x1,x2(x1<x2)，其中0<a<1，所以作出函数f(x)与直线y=a的图象，如图所示：所以有：|log2x1|=|log2x2|⇒x1x2=1，因此4x1+x2=4x2+x2,x2∈(1,2)，因为函数y=x+4x在(1,2)上单调递减，所以4x1+x2=4x2+x2∈(4,5)．故选B．2.答案：B解析：【分析】本题主要考查含绝对值的对数函数的图象和性质等，考查考生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想．先根据f(x)得到函数f(x)的定义域及其图象的对称性，再根据f(1)<0判断a的取值范围，得到f(x)的单调性，并据此判断f(a)，f(a−2)的大小关系．。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(66)
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为( )A．y=[x10]B．y=[x+310]C．y=[x+410]D．y=[x+510]2.函数y=e x−e−xe x+e−x的图象大致为( ) A．B．C ．D ．3. 人们用分贝（dB ）来划分声音的等级，声音的等级 d (x )（单位：dB ）与声音强度 x （单位：W/m 2）满足 d (x )=9lgx 1×10−13，一般两人小声交谈时，声音的等级约为 54 dB ，在有 40 人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的 10 倍，则老师声音的等级约为 ( ) A ． 36 dB B ． 63 dB C ． 72 dB D ． 81 dB4. 给出下列各式：① √a n n =a ；② (a 2−3a +3)0=1；③ √−33=√−326．其中正确的个数是( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 35. 下列函数是幂函数的是 ( ) A ． y =2x 2 B ． y =x 3+x C ． y =3xD ． y =x 126. 化简 √(log 23)2−4log 23+4+log 213 得 ( ) A ． 2B ． 2−2log 23C ． −2D ． 2log 23−27. 已知 a =(13)13，b =(12)12，c =log 2π4，则 ( )A ． a >b >cB ． b >a >cC ． c >b >aD ． c >a >b8. 对于 a >0，a ≠1，下列结论中： （1）a m +a n =a m+n ； （2）(a m )n =a m n；（3）若 M =N ，则 log a M =log a N ； （4）若 log a M 2=log a N 2，则 M =N ． 正确的结论有 ( ) A ． 3 个 B ． 2 个 C ． 1 个 D ． 0 个9. 已知 a =0.72021，b =20210.7，c =log 0.72021，则 a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A ． a >b >cB ． a >c >bC ． b >a >cD ． b >c >a10. 计算 (2a −3b −23)×(−3a −1b )÷(4a −4b −53)= ( ) A ． −32b 2B ． 32b 2C ． −32b 73D ． 32b 73二、填空题（共6题）11. 若函数 f (x )=∣2x −2∣−b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是 ．12. 823×(1681)−34= ．13. 某商品降价 10%，欲恢复原价，应提价的百分比是 ． 14. 3log 34−2723= ．15. 已知 1≤lg (xy )≤4，−1≤lg xy ≤2，则 lg x 2y 的取值范围是 ．16. 已知方程 2x 2+x −5=0 的两个实根为 x 1，x 2，则 ∣x 1−x 2∣=三、解答题（共6题）17. 把下列各式中的对数式化为指数式，指数式化为对数式．(1) 5−2=125； (2) 8x =30； (3) 3x =1； (4) log 139=−2；(5) x =log 610； (6) x =ln 13；(7) 3=lgx ．18. 已知函数 f (x )={∣x +1∣,x ≤0(x −1)2,x >0．(1) 在平面直角坐标系内作出函数 y =f (x ) 的大致图象；(2) 试找出一组 b 和 c 的值，使得关于 x 的方程 f 2(x )+b ⋅f (x )+c =0 有 7 个不同的实数解，并说明理由．19. 我国个人所得税法规定，公民全月收入所得不超过 5000 元不必纳税，超过 5000 元的部分为全月应纳税金额．若应纳税金额在 (0,3000]（元）之间税率为 3%，在 (3000,12000]（元）之间税率为 10%．某职工某月纳税 160 元，求他的当月工资收入．20. 零点存在定理一般地，如果函数 y =f (x ) 在区间 [a,b ] 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f (a )⋅f (b )<0，那么在区间 (a,b ) 内至少存在一个实数 c ，使得 f (c )=0，即 y =f (x ) 在 (a,b ) 上至少有一个零点．如何理解零点存在性？21. 某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP 公司可供选择．公司A 每小时收费 1.5 元；公司B 在用户每次上网的第 1 小时内收费 1.7 元，第 2 小时内收费 1.6 元，以后每小时减少 0.1 元（若用户一次上网时间超过 17 小时，按 17 小时计算）．假设该同学一次上网时间总和小于 17 小时，那么该同学如何选择ISP 公司较省钱？22. 有一条长为 120 米的步行道 OA ，A 是垃圾投放点 ω1，若以 O 为原点，OA 为 x 轴正半轴建立直角坐标系，设点 B (x,0)，现要建设另一座垃圾投放点 ω2(t,0)，函数 f t (x ) 表示与 B 点距离最近的垃圾投放点的距离．(1) 若 t =60，求 f 60(10)，f 60(80)，f 60(95) 的值，并写出 f 60(x ) 的函数解析式；(2) 若可以通过 f t (x ) 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点ω2建在何处才能比建在中点时更加便利？答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】根据规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表，即余数分别为 7，8，9 时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为 y =[x+310]． 故选B ．【知识点】建立函数表达式模型2. 【答案】B【解析】因为 f (−x )=e −x −e x e −x +e x =−e x −e −xe −x +e x =−f (x )，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除A ．当 x =1 时，y >0，所以排除C ． 因为 y =e x −e −x e −x +e x =e x +e −x −2e −xe −x +e x=1−2e −xe −x +e x =1−2e 2x +1，所以当 x →+∞ 时，y →1，所以排除D ．故选：B ．【知识点】函数的奇偶性、指数函数及其性质3. 【答案】B【知识点】对数的概念与运算4. 【答案】B【解析】对于① √a n n=a ，当 n 为偶数时，结果应该是 ∣a ∣；当 n 为奇数时，结果是 a ，故错误．对于② (a 2−3a +3)0=1，因为 a 2−3a +3>0 恒成立，所以等式成立，故正确． 对于③ √−33=√−326，偶数次根式下被开方数不能是负数，故错误． 【知识点】幂的概念与运算5. 【答案】D【解析】 y =2x 2，y =x 3+x 不是幂函数；y =3x是指数函数；y =x 12是幂函数． 【知识点】指数函数及其性质6. 【答案】B【知识点】对数的概念与运算7. 【答案】B【解析】因为 a =3−13，b =2−12，ab=3−132−12<3−132−13=(23)13<1，所以 a <b ，因为 c =log 2π4<log 21=0， 故 b >a >c ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质8. 【答案】D【知识点】幂的概念与运算、对数的概念与运算9. 【答案】C【解析】因为 0<0.72021<0.70=1，20210.7>20210=1，log 0.72021<log 0.71=0， 所以 b >a >c ．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质10. 【答案】A【解析】 原式=−6a −4b 134a −4b −53=−32b 2．【知识点】幂的概念与运算二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (0,2)【解析】由 f (x )=∣2x −2∣−b =0，得 ∣2x −2∣=b ．在同一平面直角坐标系中画出 y =∣2x −2∣ 与 y =b 的图象，如图所示，则当 0<b <2 时，两函数图象有两个交点，从而函数 f (x )=∣2x −2∣−b 有两个零点． 【知识点】函数的零点分布12. 【答案】272【解析】 823×(1681)−34=(23)23×(23)4×(−34)=22×(23)3=272.【知识点】幂的概念与运算13. 【答案】11.1%【解析】由题知所求百分比为 (11−0.1−1)×10%≈11.1%． 【知识点】函数模型的综合应用14. 【答案】 −5【解析】本题考查对数指数运算，原式=4−9=−5 . 【知识点】幂的概念与运算、对数的概念与运算15. 【答案】 [−1,5]【解析】由 1≤lg (xy )≤4，−1≤lg xy ≤2 得 1≤lgx +lgy ≤4，−1≤lgx −lgy ≤2， 而 lgx 2y=2lgx −lgy =12(lgx +lgy )+32(lgx −lgy )，所以 −1≤lg x 2y≤5．【知识点】对数函数及其性质16. 【答案】√412【知识点】函数的零点分布三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) −2=log 5125； (2) x =log 830； (3) x =log 31； (4) (13)−2=9；(5) 6x =10； (6) e x =13；(7) 103=x ．【知识点】对数的概念与运算18. 【答案】(1) 如图：(2) b =−32，c =12 满足条件．设 f (x )=t ，则 t 2+bt +c =0，故必有一个解为 t =1，另一个解在区间 (0,1) 上，才有方程 f 2(x )+b ⋅f (x )+c =0 有 7 个不同的实数解．其中 f (x )=1 有 3 个解，f (x )=a ∈(0,1) 有 4 个解．令 t 1=1，t 2=12，可得方程 x 2−32x +12=0，则 b =−32，c =12．【知识点】函数的零点分布、函数图象19. 【答案】设月工资收入为 x 元，则纳税额 y 与月工资 x 之间的函数表达式为y ={0,0≤x ≤5000(x −5000)×3%,5000<x ≤8000(x −8000)×10%+3000×3%,8000<x ≤17000， 所以当 y =160 时，x =8700 元．【知识点】函数模型的综合应用20. 【答案】（1）当函数 y =f (x ) 同时满足：①函数的图象在 [a,b ] 上是连续曲线；② f (a )⋅f (b )<0．则可判定函数 y =f (x ) 在区间 (a,b ) 内至少有一个零点，但是不能明确肯定有几个零点，也不是说可能有 1 个、 2 个、 3 个、 4 个、 ⋯⋯ 零点．（2）不满足零点存在性定理并不能说明不存在零点，即当函数 y =f (x ) 的图象在 [a,b ] 上是连续的曲线，但是不满足 f (a )⋅f (b )<0 时，函数 y =f (x ) 在区间 (a,b ) 内可能存在零点，也可能不存在零点．【知识点】零点的存在性定理21. 【答案】假设一次上网 x 小时，则公司A 收取的费用为 1.5x 元，公司B 收取的费用为x (35−x )20元．若能够保证选择A 比选择B 费用少，则x (35−x )20>1.5x (0<x <17)，整理得 x 2−5x <0，解得 0<x <5，所以当一次上网时间在 5 小时以内时，选择公司A 的费用少；超过 5 小时，选择公司B 的费用少；上网 5 小时，公司A ，B 的费用一样． 【知识点】函数模型的综合应用22. 【答案】(1) 投放点 ω1(120,0)，ω2(60,0)，f 60(10) 表示与 B (10,0) 距离最近的投放点（即 ω2）的距离， 所以 f 60(10)=∣60−10∣=50，同理分析：f 60(80)=∣60−80∣=20，f 60(95)=∣120−95∣=25． 由题意，f 60(x )={∣ 60−x∣ ,∣ 120−x ∣}min ，所以分类讨论，当 ∣60−x ∣≤∣120−x ∣，即 x ≤90 时，f 60(x )=∣60−x ∣； 当 ∣60−x ∣>∣120−x ∣，即 x >90 时，f 60(x )=∣120−x ∣； 综上，f 60(x )={∣60−x ∣,x ≤90∣120−x ∣,x >90．(2) 由题意，f t (x )={∣ t −x∣ ,∣ 120−x ∣}min ， 所以 f t (x )={∣t −x ∣,x ≤0.5(120+t )∣120−x ∣,x >0.5(120+t )，f t (x ) 与坐标轴围成的面积如阴影部分所示， 所以 S =12t 2+14(120−t )2=34t 2−60t +3600， 由题意，S <S (60)，即 34t 2−60t +3600<2700，解得 20<t <60，即垃圾投放点 ω2 建在 (20,0) 与 (60,0) 之间时，比建在中点时更加便利． 【知识点】建立函数表达式模型、函数模型的综合应用。
高一数学(必修一)《第四章-指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第四章 指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定：①如一次性购物不超过200元不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去该超市购物分别付款176元和441元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ）A ．608元B ．591.1元C ．582.6元D ．456.8元2．德国天文学家，数学家开普勒（J. Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（ ）A ．4329dB ．30323dC ．60150dD ．90670d3．函数()f x = ）A ．()1,0-B ．(),1-∞-和()0,1C ．()0,1D ．(),1-∞-和()0,∞+4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ）A ．90100a <<B ．90110a <<C ．100110a <<D ．80100a <<5．某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加，其中2018年的年增长率为p ，2019年的年增长率为q ，则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为（ ）A ．2p q +；B ．()()1112p q ++-；C ；D 1．6．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的浓度C （单位：3mg/m ）随时间t （单位：h ）的变化关系可近似的用函数()()()210010419t C t t t t +=>++刻画．由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（ ）A ．3hB ．4hC ．5hD ．6h7．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：以下函数中最符合变量y 与x 的对应关系的是（ ）A ．129y x =+B ．245y x x =-+C ．112410x y =⨯- D ．3log 1y x =+ 8．某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快，经研究，该一定量的植物在一定环境中经过1个月，其覆盖面积为6平方米，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米，该植物覆盖面积y (单位：平方米)与经过时间x (x ∈N )(单位：月)的关系有三种函数模型x y pa =(0p >，1a >)､log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)可供选择，则下列说法正确的是（ ）A ．应选x y pa =(0p >，1a >)B ．应选log a y m x =(0m >，1a >)C ．应选y nx α=(0n >，01α<<)D ．三种函数模型都可以9．已知函数()21,1,8, 1.x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩若()8f x =，则x =（ ） A ．3-或1 B ．3- C ．1 D ．310．函数e 1()sin 2e 1x x f x x +=⋅-的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题11．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G 的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．若不改变信道带宽W ，而将信噪比S N从11提升至499，则最大信息传递速率C 大约会提升到原来的______倍（结果保留1位小数）．（参考数据：2log 3 1.58≈和2log 5 2.32≈）12．已测得(,)x y 的两组值为(1,2)和(2,5)，现有两个拟合模型，甲21y x =+，乙31y x =-.若又测得(,)x y 的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．13．半径为1的半圆中，作如图所示的等腰梯形ABCD ，设梯形的上底2BC x =，则梯形ABCD 的最长周长为_________．三、解答题14．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD ，已知院墙MN 长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB 的长为x 米．(1)当AB 的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD 的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？15．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (百元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为212800200y x x =-+． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为y x） (2)该单位每月处理成本y 的最小值和最大值分别是多少百元？ 16．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz -，点P 在线段AB 上，点Q 在线段DC 上．(1)当2PB AP =，且点P 关于y 轴的对称点为M 时，求PM ；(2)当点P 是面对角线AB 的中点，点Q 在面对角线DC 上运动时，探究PQ 的最小值．17．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X （单位： t ，100150)X ）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量[100X ∈，110），则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[100，110)的频率），求T 的分布列．18．为发展空间互联网，抢占6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入()0a a >万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（*x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为275x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元. (1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m 同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.19．某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第x （N x +∈且1x >）年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为()20x x +万元，该项目每年运行的总收入为50万元．(1)试问该项目运行到第几年开始盈利？(2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出；②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出．假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由．20．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5％．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ekt P P -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80％，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，求正整数n 的最小值．21．某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x （0200x <，N x ∈）台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为11402y x =+万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为2264002080101y x x =+-万元.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （台）的关系式；(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？22．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)a y b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．四、多选题23．函数()()22x x af x a R =+∈的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．五、双空题24．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e kt (其中k 为常数;t 表示时间,单位:小时;y 表示病毒个数),则k=____,经过5小时,1个病毒能繁殖为____个.25．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x ，宽减少2x ，则面积最大，此时x ＝__________，面积S ＝__________.参考答案与解析1．【答案】B【分析】根据题意求出付款441元时的实际标价，再求出一次性购买实际标价金额商品应付款即可.【详解】由题意得购物付款441元，实际标价为10441=4909元 如果一次购买标价176+490=666元的商品应付款5000.9+1660.85=591.1元.故选：B.2．【答案】B【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''2r r '= 结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '由题意知2r r '= 10753T d '= 所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=故选：B.3．【答案】B【分析】分别讨论0x ≥和0x <，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.【详解】当0x ≥时()f x 210x -+≥解得11x -≤≤，又21y x =-+为开口向下的抛物线，对称轴为0x =，此时在区间()0,1单调递减当0x <时()f x == ()21y x =+为开口向上的抛物线，对称轴为1x =-，此时在(),1-∞-单调递减综上所述：函数()f x =(),1-∞-和()0,1.故选：B.4．【答案】A【分析】首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据0y >，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.【详解】设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元则290,(10)(40020)1040020200a x y x x x x =+=+⋅--⨯=-+.要使商家利润有所增加，则必须使0y >，即2100x x -<，得010,9090100x x <<∴<+<，所以a 的取值为90100a <<.故选：A5．【答案】D【分析】设出平均增长率，并根据题意列出方程，进行求解【详解】设该市2018、2019这两年工业生产总值的年平均增长率为x ，则由题意得：()()()2111x p q +=++解得11x =，21x =因为20x <不合题意，舍去 故选D ．6．【答案】A【分析】利用基本不等式求最值可得．【详解】依题意，0t >，所以11t +>所以()()()()()()221001100110010010164191012116121t t C t t t t t t t ++===≤==++++++++++ 当且仅当1611t t +=+，即t ＝3时等号成立，故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h ．故选：A ．7．【答案】D 【分析】结合表格所给数据以及函数的增长快慢确定正确选项.【详解】根据表格所给数据可知，函数的增长速度越来越慢A 选项，函数129y x =+增长速度不变，不符合题意. BC 选项，当3x ≥时，函数245y x x =-+、112410x y =⨯-增长越来越快，不符合题意. D 选项，当3x ≥时，函数3log 1y x =+的增长速度越来越慢，符合题意.故选：D8．【答案】A【解析】根据指数函数和幂函数的增长速度结合题意即可得结果.【详解】该植物生长蔓延的速度越来越快，而x y pa =(0p >，1a >)的增长速度越来越快 log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)的增长速度越来越慢故应选择x y pa =(0p >，1a >).故选：A.9．【答案】B【分析】根据分段函数的解析式，分段求解即可.【详解】根据题意得x ≤1x2−1=8或188x x >⎧⎨=⎩ 解得3,x =-故选：B10．【答案】B【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x 趋近0时判断排除得选项.【详解】解：()e 1sin 2e 1x x f x x +=⋅-的定义域为()(),00,∞-+∞()()()e 1e 1sin 2sin 2e 1e 1x x x xf x x x f x --++-=⋅-=⋅=⎡⎤⎣⎦-- ()f x ∴是偶函数，排除A ，C . 又0x >且无限接近0时，101x x e e +>-且sin 20x >，∴此时()0f x >，排除D故选：B .11．【答案】2.5【分析】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，根据题意求出21C C ，再利用指数、对数的运算性质化简计算即可【详解】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，则由题意可知()122log 111log 12C W W =+= ()222log 1499log 500C W W =+= 所以()()232322222222122222log 25log 500log 2log 523log 523 2.328.96 2.5log 12log 2log 32log 32 1.58 3.58log 23C W C W ⨯+++⨯====≈=≈+++⨯所以最大信息传递速率C 会提升到原来的2.5倍．故答案为：2.512．【答案】甲【分析】将3x =分别代入甲乙两个拟合模型计算，即可判断.【详解】对于甲：3x =时23110y =+=，对于乙：3x =时8y =因此用甲作为拟合模型较好．故答案为：甲13．【答案】5【分析】计算得出AB CD ==ABCD 的周长为y，可得出22y x =++()0,1t，可得出224y t =-++，利用二次函数的相关知识可求得y 的最大值.【详解】过点B 、C 分别作BE AD ⊥、CF AD ⊥垂足分别为E 、F则//BE CF ，//BC EF 且90BEF ∠=，所以，四边形BCFE 为矩形所以2EF BC x ==AB CD =，BAE CDF ∠=∠和90AEB DFC ∠=∠= 所以，Rt ABE Rt DCF ≅所以12AD EF AE DF x -===-，则OF OD DF x =-= CF =AB CD ∴===设梯形ABCD 的周长为y ，则2222y x x =++=++其中01x <<令()0,1t =，则21x t =-所以()2222212425y t t t ⎛=+-+=-++=-+ ⎝⎭所以，当t =y 取最大值，即max 5y =. 故答案为：5.【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．14．【答案】(1)15米；(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.【分析】（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得(502)S x x =-，根据二次函数最值的求法求解即可．（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-由题意得(502)300x x -=解得1215,10x x ==50225x -≤12.5x ∴≥15x ∴=所以，AB 的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得()()22502250212.5312.5,12.525S x x x x x x =-=-+=--+≤<12.5x ∴=时， S 取得最大值，此时312.5S =所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．15．【答案】(1)400吨 (2)最小值800百元，最大值1400百元【分析】（1）求出平均处理成本的函数解析式，利用基本不等式求出最值；（2）利用二次函数单调性求解最值.（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为18002200y x x x =+-，显然[]400,600x ∈由基本不等式得：1800222200y x x x =+-≥= 当且仅当1800200x x =，即400x =时，等号成立 故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）212800200y x x =-+ 对称轴220012200x -=-=⨯ 函数212800200y x x =-+在[400，600]单调递增 当400x =时，则2min 14002400800800200y =⨯-⨯+= 当600x =时，则2max 160026008001400200y =⨯-⨯+= 答：该单位每月处理成本y 的最小值800百元，最大值1400百元.16．【答案】【分析】（1）根据空间直角坐标系写出各顶点的坐标，再由2PB AP =求得121,,33OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到P 与M 的坐标，再利用两点距离公式求解即可；（2）由中点坐标公式求得111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据题意设点(,1,)Q a a ，最后利用两点间的距离公式与一元二次函数配方法求PQ 的最小值.（1）所以()22211222131133333PM ⎛⎫⎛⎫=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）因为点P 是面对角线AB 的中点，所以111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而点Q 在面对角线DC 上运动，故设点(,1,)Q a a[0,1]a ∈则(PQ a ===[0,1]a ∈所以当34a =时，PQ 取得最小值33,1,44Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 17．【答案】(1)80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧=⎨∈⎩(2)0.7(3)59400 【分析】（1）由题意先分段写出，当[100x ∈，130)和[130x ∈，150)时的利润值，利用分段函数写出即可；（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150x ，再由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7，由此估计得出结论；（3）先求出利润与X 的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望．（1）解：由题意得，当[100X ∈，130)时500300(130)80039000T X X X =--=-当[130X ∈，150]时50013065000T =⨯=80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧∴=⎨∈⎩（2）解：由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X ．由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7；（3）解：由题意及（1）可得：所以T 的分布列为：18．【答案】(1)最多有75人 (2)存在 7m =【分析】（1）根据题目要求列出方程求解即可得到结果（2）根据题目要求①先求解出m 关于x 的取值范围，再根据x 的取值范围求得m 的取值范围，之后根据题目要求②列出不等式利用基本不等式求解出m 的取值范围，综上取交集即可 （1）依题意可得调整后研发人员有()100x -人，年人均投入为()14%x a +万元则()()10014%100x x a a -+≥，解得075x ≤≤.又4575x ≤≤，*x ∈N 所以调整后的奇数人员最多有75人.（2）假设存在实数m 满足条件.由条件①，得225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得2125x m ≥+. 又4575x ≤≤，*x ∈N 所以当75x =时，2125x +取得最大值7，所以7m ≥. 由条件②，得()()210014%25x x x a a m x ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，不等式两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++因为10033725x x ++≥=，当且仅当10025x x =，即50x =时等号成立，所以7m ≤. 综上，得7m =.故存在实数m 为7满足条件.19．【答案】(1)第4年 (2)选择方案②，理由见解析【分析】（1）设项目运行到第x 年的盈利为y 万元，可求得y 关于x 的函数关系式，解不等式0y >可得x 的取值范围，即可得出结论；（2）计算出两种方案获利，结合两种方案的用时可得出结论.（1）解：设项目运行到第x 年的盈利为y 万元则()25020813081=-+-=-+-y x x x x x由0y >，得230810x x -+<，解得327x <<所以该项目运行到第4年开始盈利．（2）解：方案①()22308115144=-+-=--+y x x x当15x =时，y 有最大值144．即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为14456200+=万元方案②818130303012y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当81x x=，即9x =时，等号成立． 即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为12992200⨯+=万元.综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②．20．【答案】10【分析】由题可得()400180%e k P P --=，求得ln 54k =，再由000.5%e kt P P -≥可求解. 【详解】由题意，前4个小时消除了80％的污染物因为0e kt P P -=⋅，所以()400180%ek P P --= 所以40.2e k -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =则由000.5%e kt P P -≥，得ln 5ln 0.0054t ≥- 所以4ln 20013.2ln 5t ≥≈ 故正整数n 的最小值为14410-=．21．【答案】(1)2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩；(2)当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.【分析】（1）根据题意，分段表示出函数模型，即可求解；（2）根据题意，结合一元二次函数以及均值不等式，即可求解.（1）当070x <<，*N x ∈时 211100406006060022W x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭； 当70200x ≤≤，*N x ∈时26400208064001001016001480W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴.2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）①当070x <<，*N x ∈时 221160600(60)120022W x x x =-+-=--+ ∴当60x =时，y 取得最大值，最大值为1200万元.②当70200x ≤≤，*N x ∈时6400148014801320W x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当6400x x =，即80x =时，y 取得最大值1320∵13201200>∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.22．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元(3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围． （1）由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠ ()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)a y b a x =+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．（2）得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元．（3）令()()()1701010210f x g x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增 ∴当10x =+()g x取得最小值，且最小值为(10g +=∴k ≥23．【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a 赋值，判断选项.【详解】当0a =时()2x f x =，图象A 满足； 满足；图象C 过点()0,1，此时0a =，故C 不成立.故选：ABD【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.24．【答案】2ln2 1024【详解】当t=0.5时,y=2,∴2=12e k ,∴k=2ln 2,∴y=e 2t ln 2 当t=5时,y=e 10ln 2=210=1 024.25．【答案】1 1212【详解】S ＝(4＋x) 32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22x ＋x ＋12＝－12 (x 2－2x)＋12＝－12 (x －1)2＋252. 当x ＝1时，S max ＝252,故填1和252.。
人教A版高中数学必修第一册《第四章指数函数与对数函数》复习参考题及答案
(第3 (1)题)
4.观察图象可知,当 时,1个实数解;当 时,2个实数解;当 时,3个实数解.
(第4题)
5. (1) A.(2) D.(3) .
6. (1)因为 ,
所以 .
(2)因为 ,
所以 .
(3)因为 ,
所以
(1)写出函数 的一个解析式;
(2)提出一个能满足函数 图象变化规律的实际问题.
答案：
1. (1) C.(2) .(3) .
2. (1) . (2) . (3) . (4) . (5) . (6) .
3. (1)令 ,由函数图象可知,它分别在 和(2,3)内与 轴有交点,所以方程 的最大的根应该在(2,3)内.用二分法可得原方程的最大根约为2.515625 .
7.函数 ,其图象顶点的横坐标为 .
由已知图象可知, ,则 .
8.设核电站爆炸时锶90最初的量为 .依题意,经 年后,锶90的量变为 ,即 .因为 ,所以,800年后原有的锶90还剩0.000000204%.
9. (1)由 可知,当 时, ;当 5时, ,于是有 ,解得 ,那么 .所以,当 时, ,即 后还剩下 的污染物.
(2)因为函数 的定义域为(-1,1),且 ,所以函数 是偶函数.
12. (1)因为函数 分别在 和 上是减函数,则函数 分别在 和 上是增函数,函数 也分别在 和 上是增函数;又因为函数 在 上是增函数,则函数 在 上也是增函数,值域为 .所以,函数 在 上是增函数.证明如下:
在 上任取 ,且 ,则 ,由 可知 ,则 ,所以 ,即 .所以, 都是 上的增函数.
8. 1986年4月26日,乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸,核泄漏导致事故所在地波严重污染.主要的核污染物是锶90 ,它每年的衰减率为 .专家估计,要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年,到那时原有的锶90还剩百分之几?
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(16)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 某工厂 2018 年生产某种产品 2 万件，计划从 2019 年开始每年比上一年增产 20% 那么这家工厂生产这种产品的年产量开始超过 12 万件的年份是（参考数据：lg6≈0.78，lg1.2≈0.08）( ) A ． 2027 年 B ． 2028 年 C ． 2029 年 D ． 2030 年2. 下列指数式与对数式互化不正确的是 ( ) A ． e 0=1 与 log e 1=0 B ． 8−13=12与 log 812=−13C ． log 39=2 与 912=3D ． log 77=1 与 71=73. 函数 y =2log 4(1−x ) 的图象大致是 ( )A ．B ．C ．D ．4. 设 a =log 132，b =log 23，c =(12)0.3，则 ( )A ． a <b <cB ． a <c <bC ． b <c <aD ． b <a <c5. 已知 lg2=a ，lg3=b ，则 lg 32=( ) A ． a −b B ． b −a C ． baD ． ab6. 函数 f (x )=log 5(x −1) 的定义域是 ( ) A ． (−∞,1)∪(1,+∞) B ． [0,1) C ． [1,+∞)D ． (1,+∞)7. 已知函数 f (x )={2x−2+12,x ≤1log (x 2−1),x >1，则 f(f (2))= ( )A ． 1B ． 2C ． −1D ． −28. 已知 a =(12)23，b =243，c =(12)13，则下列关系中正确的是 ( )A ． c <a <bB ． b <a <cC ． a <c <bD ． a <b <c9. 已知函数 f (x )={e x ,x ≤0lnx,x >0，g (x )=f (x )+x +a ．若 g (x ) 存在 2 个零点，则 a 的取值范围是 ( ) A ． [−1,0) B ． [0,+∞) C ． [−1,+∞)D ． [1,+∞)10. 用二分法求如图所示函数 f (x ) 的零点时，不可能求出的零点是 ( )A ． x 1B ． x 2C ． x 3D ． x 4二、填空题（共6题） 11. 常见函数模型（1）一次函数模型： (k ≠0)； （2）二次函数模型： (a ≠0)； （3）反比例函数模型： (k ≠0)； （4）分段函数模型：y ={f (x ),x ∈I 1g (x ),x ∈I 2⋯⋯.12. 若 log a 34<1（a >0 且 a ≠1），则实数 a 的取值范围是 ．13. 函数 f (x )=(x −1)(x 2+3x −10) 的零点个数是 ．14. 若 2.7x =3，0.9y =3，则 1x −1y = ．15. 计算 (−2)2−√36 的结果为 ．16. 已知函数 f (x )=a ∣log 2x ∣+1(a ≠0)，定义函数 F (x )={f (x ),x >0f (−x ),x <0．给出下列四个命题：① F (x )=∣f (x )∣；②函数 F (x ) 是偶函数；③当 a <0 时，若 0<m <n <1 时，则有 F (m )−F (n )<0 成立；④当 a >0 时，函数 y =F (x )−2 有 4 个零点．其中真命题的序号是 ．三、解答题（共6题）17. 把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：(1) 23=8． (2) e √3=m ． (3) 27−13=13． (4) log 39=2． (5) lgn =2.3． (6) log 3181=−4．18. 用二分法求函数 f (x )=x 3+2x 2−3x −6 的一个正零点（精确到 0.1）．19. 比较下列各题中两个值的大小：(1) 6√2，7√2； (2) 0.3−3.5，0.3−2.3； (3) 1.20.5，0.51.2．20. 根据函数 f (x ) 在 [−4,4] 上的图象，确定方程 f (x )=0 的根的个数．21. 判断下列函数是否存在零点．如果存在，求出零点．(1) f (x )=x 2+4x−12x−2；(2) f (x )=x 3−x ； (3) f (x )=4x +5； (4) f (x )=log 3(x +1)．22.已知f(x)=a x+1（a>0且a≠1）．(1) 若函数y=f(x)的图象过定点P，求点P的坐标；(2) 判断函数y=f(x)的单调性．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】设经过 x 年这种产品的年产量开始超过 12 万件，则 2×(1+20%)x >12，即 1.2x >6，所以 x >lg6lg1.2≈9.8，取 x =10，故到 2028 年该产品的年产量开始超过 12 万件． 【知识点】函数模型的综合应用2. 【答案】C【解析】由指数的定义可知A ，B ，D 都正确；C 中，log 39=2⇔32=9． 【知识点】对数的概念与运算3. 【答案】C【知识点】对数函数及其性质4. 【答案】B【解析】由对数函数的图象和性质可得 a =log 132<log 131=0，b =log 23>log 22=1由指数函数的图象和性质可得 0<c =(12)0.3<(12)0=1 所以 a <c <b ．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质5. 【答案】B【解析】由对数的运算法则可得 lg 32=lg3−lg2=b −a ． 【知识点】对数的概念与运算6. 【答案】D【解析】 x −1> 得 x >1． 【知识点】对数函数及其性质7. 【答案】A【解析】 f (2)=log 33=1，f(f (2))=f (1)=2−1+12=1． 【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质8. 【答案】B【解析】因为 b =(12)43，函数 y =(12)x在 R 上为减函数，43>23>13，所以 (12)43<(12)23<(12)13，即 b <a <c ．【知识点】指数函数及其性质9. 【答案】C【解析】由 g (x )=0 得 f (x )=−x −a ， 作出函数 f (x ) 和 y =−x −a 的图象如图：当直线 y =−x −a 的截距 −a ≤1，即 a ≥−1 时，两个函数的图象都有 2 个交点， 即函数 g (x ) 存在 2 个零点， 故实数 a 的取值范围是 [−1,+∞)， 故选：C ．【知识点】函数的零点分布10. 【答案】C【解析】利用二分法求函数的零点时必须满足零点两侧异号，可判断 x 3 两侧同号． 【知识点】二分法求近似零点二、填空题（共6题）11. 【答案】 y =kx +b ； y =ax 2+bx +c ； y =kx【知识点】函数模型的综合应用12. 【答案】 (0,34)∪(1,+∞)【解析】当 0<a <1 时，log a 34<log a a =1， 所以 0<a <34；当a>1时，log a34<log a a=1，所以a>1．所以实数a的取值范围是(0,34)∪(1,+∞)．【知识点】对数函数及其性质13. 【答案】3【解析】因为f(x)=(x−1)(x2+3x−10)=(x−1)⋅(x+5)(x−2)，所以由f(x)=0得x=−5或x=1或x=2，所以零点的个数是3．【知识点】函数的零点分布14. 【答案】1【知识点】对数的概念与运算15. 【答案】−2【解析】(−2)2−√36=4−6=−2．【知识点】幂的概念与运算16. 【答案】②③④【解析】①易知F(x)=f(∣x∣)，故F(x)=∣f(x)∣不正确；②因为F(x)=f(∣x∣)，所以F(−x)=F(x)，因此函数F(x)是偶函数；③当a<0时，若0<m<n<1时，则F(m)−F(n)=−alog2m+1−(−alog2n+1)=a(log2n−log2m)<0；④当a>0时，F(x)=2可化为f(∣x∣)=2，即a∣log2∣x∣∣+1=2，即∣log2∣x∣∣=1a．故∣x∣=21a或∣x∣=2−1a．故函数y=F(x)−2有4个零点，故②③④正确．【知识点】对数函数及其性质、函数的奇偶性三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) log28=3．(2) lnm=√3．(3) log2713=−13．(4) 32=9．(5) 102.3=n．(6) 3−4=181．【知识点】对数的概念与运算18. 【答案】由于要求的是函数的一个正零点，因此可以考虑首先确定一个包含正零点的恰当区间，如f(0)=−6<0，f(1)=−6<0，f(2)=4>0，故可取区间[1,2]为计算的初始区间（当然[0,2]也可以），用二分法逐次计算，列表如表：区间中点中点函数值[1,2] 1.5−2.625[1.5,2] 1.750.2344[1.5,1.75] 1.625−1.3027[1.625,1.75] 1.6875−0.5618[1.6875,1.75] 1.71875−0.1707由如表计算可知，区间[1.6875,1.75]的长度1.75−1.6875=0.0625<0.1，所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值．【知识点】二分法求近似零点19. 【答案】(1) 6√2<7√2．(2) 0.3−3.5>0.3−2.3．(3) 1.20.5>0.51.2．【知识点】指数函数及其性质20. 【答案】方程f(x)=0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，由图可知，方程有3个根，即x=−3，−1，2．【知识点】函数的零点分布21. 【答案】(1) 令f(x)=x2+4x−12x−2=0，得x2+4x−12=0，且x−2≠0，解得x=−6．所以函数f(x)存在零点，且零点为−6．(2) x3−x=x(x2−1)=x(x−1)(x+1)．令f(x)=x(x−1)(x+1)=0，解得x=0或x=1或x=−1．所以函数f(x)存在零点，且零点为0，1，−1．(3) 令f(x)=4x+5=0，显然方程4x+5=0无实数根，所以函数f(x)不存在零点．(4) 令f(x)=log3(x+1)=0，解得x=0．所以函数f(x)存在零点，且零点为0．【知识点】函数零点的概念与意义22. 【答案】(1) 当x+1=0，即x=−1时，y=1，故所求定点P的坐标为(−1,1)．(2) 当a>1时，则y=f(x)在区间(−∞,+∞)上是严格增函数；当0<a<1时，则y=f(x)在区间(−∞,+∞)上是严格减函数．【知识点】指数函数及其性质、函数的单调性。
第四章 指数函数与对数函数 章末测试(提升)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
若 f (x) log2 (x2 mx 1) 的值域为 R，则 x2 mx 1 0 在 R 上有解，
所以 (m)2 4 0 ，解得 m (, 2] [2, ) ，故 D 正确.
故选：ABD. 三、填空题(每题 5 分，4 题共 20 分)
13．（2023 秋·黑龙江
）已知函数
f
x
2x
x
12 1,
2, x 0
x
0
，若函数
g
x
f
x a 有两个零点，则实数 a
的取值范围是
.
【答案】1, 0 1
【解析】
如图所示，根据二次函数及指数函数的图象和性质可作出分段函数 f x 的图象，
可知 y x 12 1 1 x 0, y 2x 2 1 x 0
而 g x f x a 有两个不同零点等价于函数 y f x 与函数 y a 有两个不同交点，
像， 则 y loga (x) 在 (, 0) 上单调递减且过点 (1, 0) ，故 A 符合题意； 当 0 a 1 时， b 1， 同理可得，指数函数 y bx 在 R 上单调递增，且过点(0,1)，
y loga (x) 在 (, 0) 上单调递增且过点 (1, 0) ，故 B 符合题意；
2 k 1 ，故 D 错误.
2 故选：BC
11．（2023·广东深圳）以下说法正确的是（ ）
A． a 1 a a
B．若定义在 R 上的函数 y f (x) 是奇函数，则 y f ( f (x)) 也是奇函数
C．
log2 32
4 log2 3 4
log2
1 2 3
D．已知 y m2 3m 3 x m 是幂函数，则 m 的值为 4
利用对数函数单调性可知 x log2 3 log2
(新教材)人教A版-数学必修第一册第四章 指数函数与对数函数 测试题含答案
绝密★启用前（新教材）人教A 版-数学必修第一册第四章 指数函数与对数函数 测试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间150分钟第Ⅰ卷一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分) 1.下列各式中，根式与分数指数幂的互化，正确的是() A ． －√x ＝(−x)12(x >0)B ．√y 26＝y 13(y <0)C ．x −34＝√(1x )34(x >0)D ．x −13＝－√x 3(x ≠0)2.下列各式中成立的是( )A ． (m n )7＝m 7n 17B ．√(−3)412＝√−33C ．√x 3+y 34＝(x ＋y)34D ．√√93＝√333.当a >1时，函数f (x )＝1＋2a x −1是( )A ． 奇函数B ． 偶函数C ． 既奇又偶函数D ． 非奇非偶函数4.若函数f (x )＝a －22+1是奇函数，则a 的值为( )A ． 0B ． －1C ． 1D ． 25.若log 72＝a ，log 75＝b ，则lg5用a ，b 表示为( )A ．abB ．ba+bC．1+aba+bD．ab1+ab6.已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为() A．a＋bB．a－bC．abD．ab7.已知x=1log1213+1log1513，则x的值属于区间()A． (－2，－1)B． (1,2)C． (－3，－2)D． (2,3)8.已知镭经过100年后，剩余质量为原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩余量为y，则()A．y＝0.957 6xB．y＝0.9576x100C．y＝1－0.957 6xD．y＝0.957 6100x9.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为如图所示的()A． B． C． D．10.下列函数中增加得最快的是()A．y＝2xB．y＝3xC．y＝4xD．y＝e x11.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为()A．上午10∶00B．中午12∶00C．下午4∶00D．下午6∶0012.下表是函数y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最符合的函数模型是()A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数第Ⅱ卷二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.函数f(x)＝2x＋2－x的奇偶性是________．14.若函数y＝a·2x−1−a为奇函数，则a的值为________．2x−115.如图是某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积会超过30 m2；③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延至2 m2、3 m2、6 m2所需的时间分别为t1、t2、t3则有t1＋t2＝t3；其中正确的说法有________．(请把正确的说法的序号都填在横线上)16.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，有以下结论： ①当x ＞1时，甲走在最前面；②当x ＞1时，乙走在最前面；③当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为________．(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分)三、解答题(共6小题, 共70分)17.计算：(√23×√3)6＋(√2√2)43－4×(1649)−12－√24×80.25－(－2 011)0. 18.计算：lg 5＋lg 2－(－13)－2＋(√2－1)0＋log 28.19.已知f (x )＝12−1＋a 是奇函数，求a 的值及函数值域．20.已知奇函数f (x )，偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝ax (a >0且a ≠1)，求证：f (2x )＝2f (x )·g (x )． 21.某林场现有木材30 000 m 3，如果每年平均增长5%，经过x 年，树林中有木材y m 3.(1)写出木材储量y (m 3)与x 之间的函数关系式；(2)经过多少年储量不少于60 000 m 3？(结果保留一个有效数字，参考数据：lg 2≈0.3，lg 105≈2.02)22.设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比．一天购票人数为25人时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100人时，该旅游景点需另交保险费200元．设每天的购票人数为x 人，赢利额为y 元．(1)求y 与x 之间的函数关系；(2)该旅游景点希望在人数达到20人时不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元(取整数)？注：①利润＝门票收入－固定成本－变动成本；②可选用数据：√2＝1.41，√3＝1.73，√5＝2.24.答案1.【答案】C【解析】A.－√x ＝－x 12(x >0)，故A 错；B ．√y 26＝(y 2)16，故B 错；C ．x −34＝√(1x)34(x >0)，故C 正确； D ．x −13＝1x 13＝√x 3，故D 错． 故选C.2.【答案】D【解析】(m n )7＝m 7n 7＝m 7n －7≠m 7−n 17； √(−3)412＝√3412＝√33≠√−33； ＝√x 3+y 34＝(x 3+y 3)14≠(x ＋y)34；√√93＝(32)13×12＝313＝√33. 故选D.3.【答案】A【解析】由ax －1≠0得x ≠0，∴此函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又∵f (x )＝1＋2a x −1＝a x +1a x −1， ∴f (－x )＝a −x +1a −x −1＝(a −x +1)a x (a −x −1)a x ＝1+a x 1−a x ＝－f (x )，∴y ＝f (x )为奇函数．4.【答案】C【解析】∵f (0)＝a －220+1＝a －1＝0，∴a ＝1，故选C.5.【答案】B【解析】由换底公式可得：a ＝lg2lg7，b ＝lg5lg7，∴a b ＝lg2lg5＝1−lg5lg5，∴lg 5＝ba+b . 6.【答案】D【解析】∵ln 2＝a ，ln 3＝b ，又∵log 32＝ln2ln3，∴log 32＝ab .故选D.7.【答案】D【解析】x=log 1312+log 1315＝log 32＋log 35＝log 310，而32<10<33，所以，x ∈(2,3)，答案为D. 8.【答案】B【解析】注意95.76%是按100年为单位计算的．9.【答案】D【解析】设原来森林蓄积量是a ，则a (1＋10.4%)y ＝ax,1.104y ＝x ，所以y ＝log 1.104x ，故选D.10.【答案】D【解析】由于函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 是正比例函数，函数y ＝e x 是指数函数，又指数函数的增长速度最快，故选D.11.【答案】C【解析】当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ，把(4,320)代入，得k 1＝80，∴y ＝80x .当x ∈[4,20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4,320)，(20,0)代入，得{4k 2+b =320，20k 2+b =0，解得{k 2=−20，b =400，∴y ＝400－20x .∴y ＝f (x )＝{80x ，0≤x ≤4，400−20x ，4<x ≤20，由y ≥240，得{0≤x ≤4，80x ≥240或{4<x ≤20，400−20x ≥240，解得3≤x ≤4或4<x ≤8，∴3≤x ≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4∶00.故选C.12.【答案】C【解析】画出散点图，如图所示．随着自变量增加，函数值的增量是快速的，故为指数函数模型．故选C.13.【答案】偶函数【解析】定义域为R ，∵f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数．14.【答案】－12【解析】∵函数y ＝a·2x −1−a2x −1，∴y ＝a －12x −1. 由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12−x −1＋a －12x −1＝0，∴2a ＋1−2x1−2＝0，即a ＝－12. 15.【答案】①②④【解析】∵其关系为指数函数，图象过(4,16)点，∴指数函数的底数为2，故①正确；当t ＝5时，s ＝32＞30，故②正确；4对应的t ＝2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确；∵t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26，∴有t 1＋t 2＝t 3，故④正确．综上可知，①②④正确．故答案为①②④.16.【答案】③④⑤【解析】路程fi (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系是f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数和对数型函数模型．当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝4，∴命题①不正确；当x ＝4时，f 1(5)＝31，f 2(5)＝25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x ＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面，命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．故答案为③④⑤.17.【答案】原式＝22×33＋(234×43－4×74－214×234－1)＝4×27＋2－7－2－1＝100. 18.【答案】原式＝lg 10－9＋1＋3＝1－9＋1＋3＝－4.19.【答案】①∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )对定义域内的每一个x 都成立．即－[12x −1＋a ]＝12−x −1＋a ，∴2a ＝－12−x −1－12x −1＝1，∴a ＝12.②∵2x －1≠0，∴x ≠0，∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵u ＝2x －1>－1且u ≠0，∴1u <－1或1u>0， ∴12x −1＋12<－12或12x −1＋12>12，∴f (x )的值域为(－∞，－12)∪(12，＋∞)．20.【答案】∵f (x )＋g (x )＝ax ，①∴f (－x )＋g (－x )＝a －x .∵f (x )，g (x )分别为奇函数、偶函数，∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．∴－f (x )＋g (x )＝a －x .②解由①，②所组成的方程组，得f (x )＝a x −a −x 2，g (x )＝a x +a −x 2. f (x )·g (x )＝a x −a −x 2·a x +a −x 2＝a 2x −a −2x 4＝12f (2x )， 即f (2x )＝2f (x )·g (x )，故原结论成立． 21.【答案】(1)y ＝30 000(1＋0.05)x (x ∈N )．(2)由题意可得30 000(1＋0.05)x ≥60 000.即(1＋0.05)x ≥2.两边取对数得x ≥lg2lg1.05＝15.答经过15年木材储量可达60 000 m3.22.【答案】(1)依题意，设变动成本y1＝k√x，当x＝25时，有30×25－500－k√25＝0⇒k＝50.故y＝30x－500－50√x(0＜x≤100，x∈N*)；当x＞100时，y＝30x－500－50√x－200＝30x－50√x－700.∴y＝{30x−50√x−500(0<x≤100，x∈N∗)，30x−50√x−700(x>100，x∈N∗).(2)设每张门票至少需要a元，则有20a－50√20－500≥0⇒20a≥50×2√5＋500⇒a≥5√5＋25＝5×2.24＋25＝36.2，又a取整数，故取a＝37.故每张门票至少要37元．。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(21)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 设 f (x ) 是定义在 R 上的周期函数，周期 T =4，对于任意 x ∈R 都有 f (−x )=f (x )，且当 x ∈[−2,0] 时，f (x )=(12)x−1，若在区间 (−2,6] 内关于 x 的方程 f (x )−log a (x +2)=0(a >1) 恰有 3 个不同的实根，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (1,2)B ． (2,+∞)C ． (1,√43)D ． (√43,2)2. 已知 log x 3=3，log y 7=6，z =717，则实数 x ，y ，z 的大小关系是 ( ) A ． x <z <y B ． z <x <y C ． x <y <z D ． z <y <x3. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 满足：①f (x )+f (2−x )=0；②f (x −2)=f (−x )；③ 当 x ∈[−1,1] 时，f (x )={√1−x 2,x ∈[−1,0]cos (π2x),x ∈(0,1]；则函数 y =f (x )−(12)∣x∣在区间 [−3,3] 上的零点个数为 ( ) A ． 5B ． 6C ． 7D ． 84. 在同一坐标系中函数 y =2−x 与 y =log 2x 的图象是 ( )A ．B ．C ．D ．5. 设 a 是函数 f (x )=2x −log 12x 的零点，若 x 0>a ，则 f (x 0) 满足 ( )A ． f (x 0)=0B ． f (x 0)>0C ． f (x 0)<0D ．以上都有可能6. 在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线 y =f (x )，另一种是平均价格曲线 y =g (x )，如 f (2)=3 表示股票开始买卖后 2 小时的即时价格为 3 元；g (2)=3 表示 2 小时内的平均价格为 3 元，下面给出了四个图象，实线表示 y =f (x )，虚线表示 y =g (x )，其中可能正确的是 ( )A ．B ．C ．D ．7. 已知偶函数 f (x ) 的定义域为 R ，对 ∀x ∈R ，f (x +2)=f (x )+f (1)，且当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2(x −3)2，若函数 F (x )=log a (∣x∣+1)−f (x )(a >0,a ≠1) 在 R 上恰有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (0,√55)B ． (√55,√33)C ． (√55,1)D ． (√33,1)8. 方程 x 3−2x 2+3x −6=0 在区间 [−2,4] 上的根必定在 ( ) A ． [−2,1] 内 B ． [52,4] 内C ． [1,74] 内D ． [74,52] 内9. log 212 的值为 ( ) A ． √2B ． −√2C ． 1D ． −110. 若 log a b +3log b a =132，则用 a 表示 b 的式子为 ( )A ． b =a 6B ． b =√aC ． b =a 6 或 b =√aD ． b =a 6 且 b =√a二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )={log 2x,x >04x ,x ≤0，若函数 g (x )=f (x )−k 存在两个零点，则实数 k 的取值范围是 ．12. 函数 f (x )=log a (x −2)+1(a >0,a ≠1) 的图象恒过定点 P ，则点 P 的坐标是 ．13. 若正数 a ，b 满足 log 2a =log 5b =lg (a +b )，则 1a +1b 的值为 ．14. 对于实数 a 和 b ，定义运算“∗”：a ∗b ={a (a −b )3,a ≤bb (b −a )3,a >b，设 f (x )=(2x–1)∗(x–1)，若函数 g (x )=f (x )−mx 2(m ∈R ) 恰有三个零点 x 1，x 2，x 3，则 m 的取值范围是 ；x 1x 2x 3 的取值范围是 ．15. 函数 f (x )=log a (x +2)+3（a >0，且 a ≠1）的图象恒过定点 ．16. 如果函数 y =lg (x 2−ax +1) 的值域为 R ，那么实数 a 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 某地区今年 1 月，2 月，3 月患某种传染病的人数分别为 52，54，58，为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型 f (x )=ax 2+bx +c ，乙选择了模型 y =p ⋅q x +r ，其中 y 为患病人数，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数，结果 4 月，5 月，6 月份的患病人数分别为 66，82，115．(1) 你认为谁选择的模型较好？（需说明理由）(2) 至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过 2000 人？试用你认为比较好的模型解决上述问题．18. 若存在常数 k (k >0)，使得对定义域 D 内的任意 x 1，x 2(x 1≠x 2)，都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤k∣∣x 1−x 2∣ 成立，则称函数 f (x ) 在其定义域 D 上是“k − 利普希兹条件函数”． (1) 若函数 f (x )=√x (1≤x ≤4) 是“k − 利普希兹条件函数”，求常数 k 的取值范围； (2) 判断函数 f (x )=log 2x 是否是“2− 利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；(3) 若 y =f (x )(x ∈R ) 是周期为 2 的“1− 利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数 x 1，x 2，都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤1．19. 求下列函数的零点：(1) f (x )=−x 2−4x −4 (2) f (x )=(x−1)(x 2−4x+3)x−3(3) f (x )=2x +x −1 (4) f (x )=log 3(x +1)20. 零点存在定理一般地，如果函数 y =f (x ) 在区间 [a,b ] 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f (a )⋅f (b )<0，那么在区间 (a,b ) 内至少存在一个实数 c ，使得 f (c )=0，即 y =f (x ) 在 (a,b ) 上至少有一个零点．如何理解零点存在性？21. 计算：(1) (−78)0+813+(√32)2×(214)−12−(0.25)0.5．(2) lg25+lg2×lg50+(lg2)2．22. 已知 f (x )=log a (a x −1)（a >0 且 a ≠1）．(1) 求证：函数 y =f (x ) 的图象在 y 轴的一侧； (2) 求证：函数 y =f (x ) 在定义域上是增函数．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】因为对于任意 x ∈R 都有 f (−x )=f (x )，所以函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，因为在区间 (−2,6] 内关于 x 的方程 f (x )−log a (x +2)=0(a >1) 恰有 3 个不同的实数解， 所以函数 y =f (x ) 与 y =log a (x +2) 在区间 (−2,6] 上有三个不同的交点， 因为当 x ∈[−2,0] 时，f (x )=(12)x−1， 故函数图象如图所示， 又 f (−2)=f (2)=f (6)=3， 则有 log a 4<3，且 log a 8>3，解得 √43<a <2．故 a 的取值范围是 (√43,2)．【知识点】函数的奇偶性、函数的周期性、函数的零点分布2. 【答案】D【解析】因为 log x 3=3，所以 x =313，同理可得：y =716=(√7)13， 因为函数 y =7x为单调增函数，且 16>17，故 716>717，即 z >y ，因为函数 y =x 13为单调增函数，且 3>√7， 所以 313>(√7)13，即 x >y ， 所以综上，x >y >z ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质3. 【答案】A【解析】由 ①f (x )+f (2−x )=0， 可得 f (x ) 的图象关于点 (1,0) 对称，由 ②f (x −2)=f (−x )，可得 f (x ) 的图象关于直线 x =−1 对称， 作出 f (x ) 在 [−1,1] 的图象，再由对称性，作出 f (x ) 在 [−3,3] 的图象， 作出函数 y =(12)∣x∣在 [−3,3] 的图象，由图象观察可得它们故有 5 个交点，即有函数 y =f (x )−(12)∣x∣在区间 [−3,3] 上的零点个数为 5．【知识点】函数的零点分布4. 【答案】A【解析】因为 y =2−x 为减函数，y =log 2x 在 (0,+∞) 上为增函数． 【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质5. 【答案】B【解析】画出 y =2x 与 y =log 12x 的图象（图略），可知当 x 0>a 时，2x 0>log 12x 0，故f (x 0)>0．【知识点】零点的存在性定理6. 【答案】C【知识点】函数模型的综合应用7. 【答案】B【解析】令 x =−1，则 f (1)=f (−1)+f (1)=2f (1)，所以 f (1)=0， 所以 f (x +2)=f (x )，即函数的周期为 2．若 F (x )=f (x )−log a (∣x∣+1) 恰有 6 个零点，则 0<a <1， 则 y =f (x ) 的图象与 y =log a (∣x∣+1) 有 6 个不同的交点，因为 y =f (x ) 和 y =log a (∣x∣+1) 均为偶函数且 f (0)=f (2)=−2≠0=log a (∣x∣+1)， 故 y =f (x ) 的图象与 y =log a (∣x∣+1) 在 (0,+∞) 上有三个不同的交点． 画出函数 y =f (x ) 和 y =log a (∣x∣+1) 的图象如下图所示，由图可知： f (2)=−2=log a 3，得 a =√33，f (4)=−2=log a 5，得 a =√55， a ∈(√55,√33)．（或 {f (2)<log a 3,f (4)>log a 5即 {−2<log a 3,−2>log a 5, 故 a ∈(√55,√33)）【知识点】函数的零点分布8. 【答案】D【解析】令 f (x )=x 3−2x 2+3x −6， 因为 f (−2)=−28<0，f (4)=38>0，且 f (−2+42)=f (1)=−4<0，所以 f (x ) 的零点在区间 [1,4] 内． 又 f (1+42)=f (52)=378>0，所以 f (x ) 的零点在区间 [1,52] 内． 又 f (1+522)=f (74)=−9764<0，所以 f (x ) 的零点在区间 [74,52] 内，即方程 x 3−2x 2+3x −6=0 在 [−2,4] 上的根在 [74,52] 内． 【知识点】零点的存在性定理9. 【答案】D【解析】 log 212=log 22−1=−1．【知识点】对数的概念与运算10. 【答案】C【解析】由 log a b +3log b a =132 得 log a b +3logab=132，即 2(log a b )2−13log a b +6=0，解得 log a b =6 或 log a b =12，所以 b =a 6 或 b =√a ． 【知识点】对数的概念与运算二、填空题（共6题）11. 【答案】0<k≤1【解析】由g(x)=f(x)−k=0，得f(x)=k，令y=k与y=f(x)，作出函数y=k与y=f(x)图象如图：当x≤0时，0<f(x)≤1；当x>0时，f(x)∈R．所以要使函数g(x)=f(x)−k存在两个零点，则k∈(0,1]．【知识点】函数的零点分布12. 【答案】(3,1)【知识点】对数函数及其性质13. 【答案】1【解析】设log2a=log5b=lg(a+b)=k，所以a=2k，b=5k，a+b=10k，所以ab=10k，所以a+b=ab，则1a +1b=1．【知识点】对数函数及其性质14. 【答案】{14}；{0}【知识点】二次函数的性质与图像、函数的零点分布、分段函数15. 【答案】(−1,3)【解析】本题考查对数函数的图象．当x+2=1时，x=−1，f(−1)=log a(−1+2)+3=3，所以函数f(x)=log a(x+2)+3的图象恒过定点(−1,3)．【知识点】对数函数及其性质16. 【答案】(−∞,−2]∪[2,+∞)【解析】由题意知x2−ax+1应能取到大于0的一切实数，因此g(x)=x2−ax+1应与x轴有交点，所以Δ=a2−4≥0．【知识点】对数函数及其性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 由题意，把 x =1,2,3 代入 f (x ) 得：{a +b +c =52,4a +2b +c =54,9a +3b +c =58,解得 a =1，b =−1，c =52，所以 f (x )=x 2−x +52，所以 f (4)=42−4+52=64，f (5)=52−5+52=72，f (6)=62−6+52=82， 则 ∣f (4)−66∣=2，∣f (5)−82∣=10，∣f (6)−115∣=33； 把 x =1,2,3 代入 y =g (x )=p ⋅q x +r ，得：{pq +r =52,pq 2+r =54,pq 3+r =58,解得 p =1，q =2，r =50，所以 g (x )=2x +50，所以 g (4)=24+50=66，g (5)=25+50=82，g (6)=26+50=114， 则 ∣g (4)−66∣=0，∣g (5)−82∣=0，∣g (6)−115∣=1．因为 g (4)，g (5)，g (6) 更接近真实值，所以应将 y =2x +50 作为模拟函数．(2) 令 2x +50>2000，解得 x >log 21950≈10.9， 所以至少经过 11 个月患该传染病的人数将会超过 2000 人．【知识点】函数模型的综合应用18. 【答案】(1) 由题意得：对任意 x 1,x 2∈[1,4]，x 1≠x 2，都有 ∣∣√x 1−√x 2∣≤k∣∣x 1−x 2∣ 成立， 所以 k ≥√x +√x ．因为 x 1,x 2∈[1,4]，x 1≠x 2， 所以√x +√x <12，所以常数 k 的取值范围是 [12,+∞)．(2) 取 x 1=18，x 2=1，则 ∣f (x 1)−f (x 2)∣=3，而 2∣∣x 1−x 2∣=74， 所以 x 1=18，x 2=1 不满足 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤2∣∣x 1−x 2∣， 所以函数 f (x )=log 2x 不是“2− 利普希兹条件函数”．(3) 若 x 1,x 2∈[0,2]，①当 ∣x 1−x 2∣≤1 时，∣f (x 1)−f (x 2)∣≤∣x 1−x 2∣≤1， ②当 ∣x 1−x 2∣>1 时，设 0≤x 1<1<x 2≤2，则 ∣f (x 1)−f (x 2)∣=∣f (x 1)−f (0)+f (2)−f (x 2)∣≤∣f (x 1)−f (0)∣+∣f (2)−f (x 2)∣≤∣x 1∣+∣2−x 2∣=x 1+2−x 2<1.因此对任意x1,x2∈[0,2]，都有∣f(x1)−f(x2)∣≤1，因为y=f(x)(x∈R)周期为2，所以对任意x1,x2∈R，都存在p1,p2∈[0,2]，使f(x1)=f(p1)，f(x2)=f(p2)，所以∣f(x1)−f(x2)∣=∣f(p1)−f(p2)∣≤1．【知识点】对数函数及其性质、函数的周期性、幂函数及其性质19. 【答案】(1) 令−x2−4x−4=0，解得x=−2，所以函数f(x)的零点为−2．(2) 令(x−1)(x2−4x+3)x−3=0，解得x=1，所以函数f(x)的零点为1．(3) 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x，y=−x+1的图象，由图可知函数f(x)的零点为0．(4) 令log3(x+1)=0，解得x=0，所以函数f(x)的零点为0．【知识点】函数零点的概念与意义20. 【答案】（1）当函数y=f(x)同时满足：①函数的图象在[a,b]上是连续曲线；② f(a)⋅f(b)<0．则可判定函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，但是不能明确肯定有几个零点，也不是说可能有1个、2个、3个、4个、⋯⋯零点．（2）不满足零点存在性定理并不能说明不存在零点，即当函数y=f(x)的图象在[a,b]上是连续的曲线，但是不满足f(a)⋅f(b)<0时，函数y=f(x)在区间(a,b)内可能存在零点，也可能不存在零点．【知识点】零点的存在性定理21. 【答案】(1)(−78)+813+(√32)2×(214)−12−(0.25)0.5=1+2+34×√49−(14)12=1+2+34×23−12=1+2+12−12.(2)lg25+lg2×lg50+(lg2)2 =2lg5+lg2×(lg50+lg2) =2lg5+lg2×lg(2×50) =2lg5+lg2×lg100=2lg5+2lg2=2×(lg5+lg2)= 2.【知识点】对数的概念与运算、幂的概念与运算22. 【答案】(1) 当0<a<1时，定义域为(−∞,0)，当a>1时，定义域为(0,+∞)，所以y=f(x)的图象总在y轴的一侧．(2) 当0<a<1时，y=a x−1在区间(−∞,0)上是严格减函数，又0<a<1，y=f(x)在区间(−∞,0)上是严格增函数．当a>1时，y=a x−1在区间(0,+∞)上是严格增函数，又a>1，y=f(x)在区间(0,+∞)上是严格增函数．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性11。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(44)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 若 0<m <n ，则下列结论正确的是 ( ) A ． log 12m >log 12nB ． log 2m >log 2nC ． (12)m <(12)nD ． 2m >2n2. 设 a 是函数 f (x )=2x −log 12x 的零点，若 x 0>a ，则 f (x 0) 满足 ( )A ． f (x 0)=0B ． f (x 0)>0C ． f (x 0)<0D ．以上都有可能3. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是 ( )A ．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D ．某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油4. 我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为 70 元，不收附加税时，每年大约销售 100 万瓶；若每销售 100 元，国家要征收附加税 x 元（叫做税率 x%），则每年销售量将减少 10x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于 112 万元，那么 x 的最小值为 ( ) A ． 2B ． 6C ． 8D ． 105. 函数 f (x )=x 13−12x 的零点所在的区间为 ( ) A ． (0,14)B ． (13,12)C ． (14,13)D ． (12,1)6. 已知函数 f (x )={∣log 3(2−x )∣,x <2−(x −3)2+2,x ≥2，g (x )=x +1x −1，则方程 f(g (x ))=a 的实根个数最多为 ( ) A ． 6 B ． 7 C ． 8 D ． 97. 若方程 (lgx )2+(lg7+lg5)lgx +lg7⋅lg5=0 的两根为 α，β，则 αβ 等于 ( ) A ．lg7⋅lg5B ．lg35C ．35D ．1358. 某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再步行走余下的路程，如图中，纵轴表示离开家的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生走法的是 ( ) A ． B ．C ．D ．9. 已知函数 f (x )=log 2(x 2−3x −4)，若对于任意 x 1,x 2∈I ，当 x 1<x 2 时，总有 f (x 1)<f (x 2)，则区间 I 有可能是 ( ) A ． (−∞,−1) B ． (6,+∞) C ． (−∞,32)D ． (32,+∞)10. 已知函数 f (x )=−∣x −a ∣+a ，g (x )=x 2−4x +3，若方程 f (x )=∣g (x )∣ 有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (12,32)∪(138,+∞)B ． (12,138)∪(5+√132,+∞)C ． (12,5−√132)∪[32,138]D ． (12,5−√132]∪[32,138]二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )=x ∣x −a ∣+3x ．若存在 a ∈[−3,4]，使得关于 x 的方程 f (x )=tf (a ) 有三个不相等的实数根，则实数 t 的取值范围是 ．12. 已知函数 f (x )={e x ,x ≤0lnx,x >0，g (x )=f (x )+x +k ，若 g (x ) 存在两个零点，则实数 k 的取值范围是 ．13. 若方程 x 2−2x +a =0 有两个不相等的正实数根，则实数 a 的取值范围是 ．14. 设函数 f (x ) 的定义域为 D ，若对于任意的 x 1∈D ，存在唯一的 x 2∈D ，使得f (x 1)+f (x 2)2=C（C 为常数），则称函数 f (x ) 在 D 上的均值为 C ．给出下列四个函数：① y =x 2；② y =x ；③ y =2x ；④ y =lgx ，则满足其在定义域上均值为 2 的所有函数是 （填写序号）．15. 已知 f (x ) 是以 2e 为周期的 R 上的奇函数，当 x ∈(0,e )，f (x )=lnx ，若在区间 [−e,3e ]，关于 x 的方程 f (x )=kx 恰有 4 个不同的解，则 k 的取值范围是 ．16. 某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过 0.1%．若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少 13，至少应过滤 次才能达到市场要求（已知 lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）．三、解答题（共6题）17. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1) f (x )=x+3x ；(2) f (x )=x 2+2x +4．18. 对于函数 f (x )，若存在 x 0∈R ，是 f (x 0)=x 0 成立，则称 x 0 为 f (x ) 的一个不动点，设函数f (x )=ax 2+bx +1(a >0)．(1) 当 a =2，b =−2 时，求 f (x ) 的不动点． (2) 若 f (x ) 有两个相异的不动点 x 1，x 2：①当 x 1<1<x 2 时，设 f (x ) 的对称轴为直线 x =m ，求证：m >12． ②若 ∣x 1∣<2，且 ∣x 1−x 2∣=2，求实数 b 的取值范围．19. 如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙的长度足够长），现用 50 米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设平行于墙的边长为 x 米，要使鸡场面积最大，该边的长度应为多少米？20. 已知 lg2≈0.30103，试确定 21000 是几位数．21. 已知函数 g (x )=ax 2−2ax +1+b (a ≠0,b <1)，在区间 [2,3] 上有最大值 4，有最小值 1，设 f (x )=g (x )x．(1) 求 a,b 的值；(2) 不等式 f (2x )−k ⋅2x ≥0 在 x ∈[−1,1] 时恒成立，求实数 k 的取值范围；(3) 若方程 f (∣2x −1∣)+k (2∣2x −1∣−3)=0 有三个不同的实数解，求实数 k 的取值范围．22. 设函数 f m (x )=log 2(x +m )（m ∈R ）．(1) 解不等式 f 2(1x )<1．(2) 关于 x 的方程 f 10(x )=(√2)x+λ 在区间 [−2,6] 上有实数解，求实数 λ 的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】A【解析】因为 0<m <n ，根据指数函数单调性，所以 2m <2n ，(12)m >(12)n，根据对数函数的单调性，所以 log 2m <log 2n ，log 12m >log 12n ．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质2. 【答案】B【解析】画出 y =2x 与 y =log 12x 的图象（图略），可知当 x 0>a 时，2x 0>log 12x 0，故f (x 0)>0．【知识点】零点的存在性定理3. 【答案】D【解析】对于选项A ，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于 40 km/h 时的燃油效率大于 5 km/L ，故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程可大于 5 千米，所以A 错误． 对于选项B ，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少．C ．根据图象可知，甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，行程 80 千米，此时油耗为 10 千米每升，所以消耗 8 升汽油．D ．从图象可以看出速度不超过 80 千米/小时时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，所以用丙车比用乙车更省油． 【知识点】函数模型的综合应用4. 【答案】A【解析】由题意知，征收附加税 x 元，则每年销售量将减少 10x 万瓶，则销量变为 (100−10x ) 万瓶，要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于 112 万元，则 (100−10x )×70×x 100≥112，解得 2≤x ≤8，故 x 的最小值为 2．故选A ．【知识点】函数模型的综合应用5. 【答案】B【解析】易知 f (x ) 在 R 上单调递增，且其图象是一条连续的曲线． 因为 f (13)=(13)13−(12)13<0，f (12)=(12)13−(12)13>0，所以 f (x ) 的零点所在的区间为 (13,12)． 【知识点】零点的存在性定理6. 【答案】C【解析】由题得函数 g (x )=x +1x −1 的值域为 (−∞,−3]∪[1,+∞)， 设 g (x )=t(t ∈(−∞,−3]∪[1,+∞))， 作出函数 f (x ) 的图象为： 则方程转化为 f (t )=a ，当 1≤a <2 时，直线和图象交点个数最多，有四个交点，也就是 t 有四个实根．且一个 t ≤−1，有三个 t >1．因为函数 g (x )=x +1x −1 在 (0,1)，(−1,0) 上单调递减，在 (1,+∞)，(−∞,−1) 上单调递增．所以 g (x )=t ，当 t 在 [1,+∞)∪(−∞,−3] 每取一个 t 值时，x 都有两个值和它对应， 因为 t 最多有 4 个根， 所以 x 最多有 8 个解．【知识点】函数的零点分布7. 【答案】D【解析】因为 lgα+lgβ=−(lg7+lg5)=−lg35=lg 135， 所以 α⋅β=135．【知识点】对数的概念与运算8. 【答案】C【解析】 x =0 时，y =0， 所以排除B 、D 两项；而A 项中刚开始时 y 随 x 变化的小， 所以A 是先慢后快．【知识点】函数模型的综合应用9. 【答案】B【解析】对于任意 x 1,x 2∈I ，当 x 1<x 2 时，总有 f (x 1)<f (x 2)，则函数 f (x ) 在区间 I 上单调递增．函数 f (x ) 是由 y =log 2u 与 u =x 2−3x −4 两个函数复合而成，因为 y =log 2u 在 (0,+∞) 上单调递增，由复合函数的单调性可知，只需 u =x 2−3x −4 在 I 上单调递增 (u >0) 即可，令 u =x 2−3x −4>0，得 x >4 或 x <−1，由二次函数的单调性可知 u =x 2−3x −4 在 (4,+∞) 上单调递增，所以区间 I 可能是 (4,+∞) 或它的子区间． 【知识点】对数函数及其性质10. 【答案】A【解析】依题意画出 ∣g (x )∣ 的图象如图所示： 因为函数 f (x )=−∣x −a ∣+a ， 所以 f (x )={x,x <a−x +2a,x ≥a． 当直线 y =−x +2a 与 y =−x 2+4x −3(x ∈[1,3]) 相切时， 即联立 {y =−x +2a,y =−x 2+4x −3,令 Δ=0，得 a =138． ①当 a <12 时，函数 f (x ) 的图象与 ∣g (x )∣ 的图象无交点，不满足题意； ②当 a =12 时，函数 f (x ) 的图象与 ∣g (x )∣ 的图象交于 (1,0) 点，不满足题意； ③当 12<a <138 时，当 f (x )=−x +2a 经过函数 ∣g (x )∣ 图象上的点 (2,1) 时，恰好也经过函数 ∣g (x )∣ 图象上的点 (3,0)，则要使方程 f (x )=∣g (x )∣ 恰有 2 个不同的实数根，只需 2a <3，即 a <32，故 12<a <32； ④当 a =138 时，函数 f (x ) 的图象与 ∣g (x )∣ 的图象有 3 个交点，不满足题意； ⑤当 a >138时，函数 f (x ) 的图象与 ∣g (x )∣ 的图象有 2 个交点，满足题意．综上：a ∈(12,32)∪(138,+∞)．【知识点】函数的零点分布、函数的图象变换二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (1,4948)【解析】由题意得 f (x )={x 2+(3−a )x,x ≥a−x 2+(3+a )x,x <a ，且关于 x 的方程 f (x )=3at 有三个不相等的实数根．（1）当 −3≤a ≤3 时，−3−a 2≤a ≤a+32，且 −3−a 2≤0≤a+32，可知 f (x ) 在 (−∞,+∞) 上是增函数，此时关于 x 的方程 f (x )=3at 不可能有三个不相等的实数解；（2）当 3<a ≤4 时，0<−3−a 2<a+32<a ，可知 f (x ) 在区间 (−∞,a+32]，[a,+∞) 上分别是增函数，而在区间 [a+32,a] 上是减函数（如图所示）．当且仅当 3a <3at <(a+3)24 时，方程 f (x )=3at 有三个不相等的实数解．即 1<t <(a+3)212a =112(a +9a +6)． 令 g (a )=a +9a ，则 g (a ) 在 a ∈(3,4] 时是增函数，则得 g (a )max =g (4)=254．所以，所求实数 t 的取值范围是 (1,4948)．【知识点】函数的零点分布12. 【答案】 [−1,+∞)【知识点】函数的零点分布13. 【答案】 (0,1)【解析】首先方程有 2 个不相等的根， 则 Δ=4−4a >0，即 a <1． 设两根分别为 x 1 和 x 2．则由韦达定理知 x 1+x 2=2，x 1x 2=a ， 所以 {x 1+x 2=2>0,x 1x 2=a >0,所以 0<a <1．故 a 的取值范围是 (0,1)． 【知识点】函数的零点分布14. 【答案】②④【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质15. 【答案】 (−∞,−1e ]∪[13e ,1e )【知识点】函数的零点分布16. 【答案】 8【解析】设过滤 n 次才能达到市扬要求，则 2%(1−13)n≤0.1%， 即 (23)n≤120， 所以 nlg 23≤lg 120， 即 n ≥1+lg2lg3−lg2≈7.39， 所以 n =8．【知识点】函数模型的综合应用三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 令x+3x=0，解得x=−3，所以函数f(x)=x+3x的零点是x=−3．(2) 令x2+2x+4=0，由于Δ=22−4×1×4=−12<0，所以方程x2+2x+4=0无实数根，所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点．【知识点】函数零点的概念与意义18. 【答案】(1) 依题意：f(x)=2x2−2x+1=x，即2x2−3x+1=0，解得x=12或1．所以f(x)的不动点为12和1．(2) ①由f(x)=ax2+bx+1得对称轴x=m=−b2a．设g(x)=f(x)−x=ax2+(b−1)x+1(a>0)，由x1，x2是方程f(x)=x得两个相异的根，且x1<1<x2，所以g(1)<0即a+b<0．所以−ba>1．所以m=−b2a >12得证．② Δ=(b−1)2−4a>0⇒(b−1)2>4a．因为x1+x2=1−ba ，x1x2=1a，所以∣x1−x2∣2=(x1+x2)2−4x1x2=(1−ba )2−4a=22．所以(1−b)2=4a2+4a. ⋯⋯①因为∣x1−x2∣=2，所以x1，x2到g(x)的对称轴x=1−b2a的距离都为1．又因为∣x1∣<2，即−2<x1<2，所以x=1−b2a∈(−3,3)．所以 ∣∣1−b 2a∣∣<3． 所以 a >16∣1−b∣．代入①式得 (1−b )2>4×[16(1−b )]2+46∣1−b∣，43(1−b )2>∣1−b∣， 169(1−b )4>(1−b )2，(1−b )2>916．解得 b <14 或 b >74． 所以 b 的取值范围是 (−∞,14)∪(74,+∞)． 【知识点】二次函数的性质与图像、函数的零点分布19. 【答案】因为平行于墙的边长为 x 米，所以垂直于墙的边长为50−x 3 米，设鸡场面积为 S 平方米，则 S =x ⋅50−x 3=−13(x 2−50x )=−13(x −25)2+6253，所以当 x =25 时，S max =6253，即平行于墙的边长为 25 米时，鸡场面积最大．【知识点】函数模型的综合应用20. 【答案】 302 位．【知识点】对数的概念与运算21. 【答案】(1) 由条件得，{a >0,g (2)=1+b =1,g (3)=9a −6a +1+b =4, 或 {a <0,g (2)=1+b =4,g (3)=9a −6a +1+b =1, 解得：a =1,b =0 或 a =−1,b =3（舍去）(2) g (x )=x 2−2x +1，所以 f (x )=x 2−2x+1x， 令 2x =t ，因为 x ∈[−1,1]，所以 t ∈[12,2]，不等式 f (2x )−k ⋅2x ≥0，可化为：t 2−2t+1t −k ⋅t ≥0， 问题等价于 t 2−2t+1t −k ⋅t ≥0 在 t ∈[12,2] 时恒成立；即：k ≤(1t )2−2⋅1t +1 在 t ∈[12,2] 时恒成立，而此时 1t ∈[12,2] 所以 [(1t )2−2⋅1t +1]min =0，所以 k ≤0．(3) 令 m =∣2x −1∣，则方程 f (∣2x −1∣)+k (2∣2x −1∣−3)=0 有三个不同的实数解 ⇔ 关于 m 的方程 f (m )+k (2m −3)=0 有两个不等的根，其中一个根大于 1，另一根大于 0 且小于 1；f (m )+k (2m −3)=0 可化为：m 2−2m+1m +k (2m −3)=0． 化简得：m 2−(2+3k )m +1=0，它的两根分别介于 (0,1) 和 (1,+∞)． 只要 12−(2+3k )⋅1+1<0，所以 k >0 为所求的范围．当 m =1 为方程的1根时，检验得不合题意，舍去.【知识点】函数的零点分布、函数的最大（小）值、恒成立问题22. 【答案】(1) 由题意，知 log 2(1x +2)<1，由函数单调性，则 {1x +2>0,1x +2<2, 解得 {x <−12或x >0,x <0,故 x <−12， 原不等式的解集为 (−∞,−12)．(2) log 2(x +10)=(√2)x +λ， 即 λ=log 2(x +10)−(√2)x在 [−2,6] 上递增， x =−2 时，λmin =1；x =6 时，λ=318，所以，实数 λ 的取值范围是 [1,318]． 【知识点】函数的零点分布、对数函数及其性质。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(20)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 y ={4x,1≤x <10,x ∈N2x +10,10≤x <100,x ∈N 1.5x,x ≥100,x ∈N ，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数．若面试人数为 60，则该公司拟录用人数为 A ． 15 B ． 40 C ． 25 D ． 1302. (278)−23= ( )A ． 94B ． 49C ． 23D ． 323. 若函数 f (x )=2x −2x −a 的一个零点在区间 (1,2) 内，则实数 a 的取值范围是 ( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)4. 定义运算 ∗:a ∗b ={a,a ≤b b,a >b ，如 1∗2=1，则函数 f (x )=∣2x ∗2−x −1∣ 的值域为 ( )A ． [0,1]B ． [0,1)C ． [0,+∞)D ． [1,+∞)5. 设 a =log 37，b =21.1，c =0.83.1，那么 a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ． b <a <cB ． c <a <bC ． c <b <aD ． a <c <b6. 已知对数函数 f (x )=log a x 是增函数，则函数 f (∣x ∣+1) 的图象大致是 ( )A ．B ．C ．D ．7. 下列不等式正确的是 ( ) A ． sin130∘>sin40∘>log 34 B ． tan226∘<ln0.4<tan48∘C ． cos (−20∘)<sin65∘<lg11D ． tan410∘>sin80∘>log 528. 若函数 f (x )=log a x 在区间 [a,3a ] 上的最大值是最小值的 3 倍，则 a 的值为 ( ) A ． √3B ．√39C ． √3 或√33D ． √3 或√399. 给出四个函数：y =3x ，y =x 3，y =3x ，y =log 3x .当 x ∈(3,+∞) 时，其中增长速度最快的函数是 ( ) A ． y =3xB ． y =3xC ． y =x 3D ． y =log 3x10. 已知函数 f (x )={x +3,x >a,x 2+6x +3,x ≤a,函数 g (x )=f (x )−2x 恰有三个不同的零点，则实数 a的取值范围是 ( ) A ． [−1,3) B ． [−3,−1) C ． [−3,3)D ． [−1,1)二、填空题（共6题）11. 某航空公司规定，乘机所携带行李的重量( kg )与其运费（元）由图中的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为 ．12. 若 10x =5，10y2=5，则 10y−x = ．13. 将下列对数式改为指数式：（1）log 4√8=34 ；（2）log 12x =−5 ；（3）log a b =c （a >0 且 a ≠1，b >0） ．14. 某种储蓄的月利率是 0.8%，存入 1000 元本金后，本息和 y 与所存的月数 x 之间的函数关系式为 ．15. 函数 y =lg (4−x )x−3的定义域是 ．16. 以下是三个变量 y 1，y 2，y 3 随变量 x 变化的数值表：x 12345678⋯y 1248163264128256⋯y 21491625364964⋯y 31 1.5852 2.322 2.585 2.8073⋯其中关于 x 呈指数型函数变化的变量是 ，呈对数型函数变化的变量是 ，呈幂函数型变化的变量是 ．三、解答题（共6题）17. 某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量 Q（万件）与广告费 x （万元）之间的函数关系为 Q =3x−2x(x >0)，已知生产此产品的年固定投入为 3 万元，每生产 1 万件此产品仍需要投入 32 万元，若年销售额为“年生产成本的 150%”与“年广告费的 50%”之和，而当年产销量相等．(1) 试将年利润 y （万元）表示为年广告费 x （万元）的函数； (2) 求当年广告费投入多少万元时，企业利润最大？18. 某超市在国庆节前进行商品降价销售活动，拟分两次降价．有两种降价方案：甲方案是第一次打a 折销售，第二次打b 折销售；乙方案是两次都打 a+b 2折销售．请问：哪一种方案降价较多？19. 已知函数 f (x )=a x (x ≥0) 的图象经过点 (2,14)，其中 a >0 且 a ≠1．(1) 求 a 的值；(2) 求函数 y =f (x )+1(x ≥0) 的值域．20. 在 △ABC 中，已知 ∠C =90∘，AC =6，BC =4，四边形 MNPQ 为它的内接矩形，MN 在边CB 上．设 MN =x ，试将矩形面积 S 表示为 x 的函数．21. 计算：(1) (−78)0+813+(√32)2×(214)−12−(0.25)0.5．(2) lg25+lg2×lg50+(lg2)2．22.设函数f(x)=log a(x+2)−1其图象恒过定点M．(1) 写出定点M的坐标．(2) 若f(x)在[0,1]上的最大值和最小值互为相反数，求a的值．(3) 若y=f(x)的图象不经过第二象限，求a的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】令 y =60，若 4x =60，则 x =15>10，不合题意； 若 2x +10=60，则 x =25，满足题意； 若 1.5x =60，则 x =40<100，不合题意． 故该公司拟录用 25 人． 【知识点】函数模型的综合应用2. 【答案】B【解析】 (278)−23=[(32)3]−23=49．【知识点】幂的概念与运算3. 【答案】C【解析】由条件可知 f (1)f (2)<0，即 (2−2−a )(4−1−a )<0，即 a (a −3)<0，解之得 0<a <3．【知识点】零点的存在性定理4. 【答案】B【解析】新定义函数的运算结果是取 a ，b 中的较小值，则 2x ∗2−x =(12)∣x∣∈(0,1]，所以 f (x )=∣2x ∗2−x −1∣=∣∣∣(12)∣x∣−1∣∣∣∈[0,1)． 故选B ．【知识点】指数函数及其性质5. 【答案】B【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质6. 【答案】B【知识点】函数图象、对数函数及其性质7. 【答案】D【解析】因为 sin40∘<1<log 34，ln0.4<0<tan226∘，cos (−20∘)=cos20∘=sin70∘>sin65∘， 所以可排除A ，B ，C ，tan410∘=tan50∘>1>sin80∘>12>log 52，所以D 正确．【知识点】正切函数的性质、对数函数及其性质8. 【答案】D【知识点】对数函数及其性质9. 【答案】B【解析】指数函数呈“爆炸式”增长，增长速度最快． 【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质10. 【答案】A【解析】因为 f (x )={x +3,x >a,x 2+6x +3,x ≤a,所以 g (x )={3−x,x >a,x 2+4x +3,x ≤a,又因为 g (x ) 有三个不同的零点，则方程 3−x =0，x >a 有一个解， 解得 x =3，所以 a <3，方程 x 2+4x +3=0，x ≤a 有两个不同的解， 解得 x =−1 或 x =−3， 又因为 x ≤a ， 所以 a ≥−1，所以 a 的取值范围为 [−1,3)． 【知识点】函数的零点分布二、填空题（共6题） 11. 【答案】 19 kg【解析】设 y =kx +b ，将点 (30,330)，(40,630) 代入得 y =30x −570， 令 y =0 得 x =19． 【知识点】函数的表示方法12. 【答案】 5【解析】因为 10x =5， 所以 10−x =(10x )−1=5−1． 因为 10y 2=(10y )12=5，所以 10y =52，所以 10y−x =10y ⋅10−x =52⋅5−1=5． 【知识点】幂的概念与运算13. 【答案】 434=√8 ； (12)−5=x ； a c =b【知识点】对数的概念与运算14. 【答案】y=8x+1000(x∈N∗)【知识点】建立函数表达式模型15. 【答案】(−∞,3)∪(3,4)【知识点】函数的定义域的概念与求法、对数函数及其性质16. 【答案】y1；y3；y2【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质、幂函数及其性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) y=(32Q+3)⋅150%+x⋅50%−(32Q+3)−x =12[32(3x−2x)+3]−x2=−x2−32x+992(x>0),即y=−x2−32x+992(x>0)．(2) −x2−32x+992=−(x2+32x)+992≤−2√x2⋅32x+992=832，当且仅当x2=32x时，即x=8时取等号，答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为832万元．【知识点】均值不等式的实际应用问题、建立函数表达式模型18. 【答案】甲方案降价后的价格是ab折，乙方案降价后的价格是(a+b2)2折，因为(a+b2)2−ab=(a+b)2−4ab4=(a−b)24≥0，所以当a=b时，两种方案降价一样多；当a≠b时，甲方案降价较多．【知识点】函数模型的综合应用19. 【答案】(1) 因为函数f(x)=a x(x≥0)的图象经过点(2,14)，所以 a 2=14，a =12．(2) 由（1）得 f (x )=(12)x(x ≥0)，函数为减函数， 当 x =0 时，函数取最大值 1，故 f (x )∈(0,1]， 所以函数 y =f (x )+1=(12)x +1(x ≥0)∈(1,2]， 故函数 y =f (x )+1(x ≥0) 的值域为 (1,2]． 【知识点】指数函数及其性质20. 【答案】 S △ABC =12×6×4=12，NB =4−x ，PQ =x ．由于 △NPB ∽△APQ ，因此设 NP =m ，则 AQ =6−m ，4−x x =m 6−m，得 m =12−3x 2．所以 S =−32x 2+6x (0<x <4)．【知识点】建立函数表达式模型21. 【答案】(1) (−78)0+813+(√32)2×(214)−12−(0.25)0.5=1+2+34×√49−(14)12=1+2+34×23−12=1+2+12−12.(2) lg25+lg2×lg50+(lg2)2=2lg5+lg2×(lg50+lg2)=2lg5+lg2×lg (2×50)=2lg5+lg2×lg100=2lg5+2lg2=2×(lg5+lg2)= 2.【知识点】对数的概念与运算、幂的概念与运算22. 【答案】(1) 令 x +2=1，得 x =−1，故定点 M 的坐标为 (−1,−1)．(2) f (x )=log a (x +2)−1 在 [0,1] 上为单调函数， 因为 f (x ) 在 [0,1] 上的最大值和最小值互为相反数，所以 f (0)+f (1)=0，即 log a 2−1+log a 3−1=0，即 log a 6=2， 所以 a 2=6，又 a >0 且 a ≠1，故 a =√6．(3) 若 y =f (x ) 的图象不经过第二象限，则 a >1，且 f (0)≤0，所以log a2−1≤0，解得a≥2，故a的取值范围是[2,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、函数的最大（小）值。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(31)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足：①对任意 x ，都有 f (x +3)=f (x ) 成立；②当 x ∈[0,32]时，f (x )=32−∣∣32−2x ∣∣，则方程 f (x )=1∣x∣在区间 [−4,4] 上根的个数是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．72. 用二分法求如图所示的函数 f (x ) 的零点时，不可能求出的零点是 ( )A ． x 1B ． x 2C ． x 3D ． x 43. 已知集合 M ={x∣ −2<x <3}，N ={x∣ lg (x +2)≥0}，则 M ∩N = ( ) A ． (−2,+∞)B ． [−1,3)C ． (−2,−1]D ． (−2,3)4. 某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为 60∘（如图），考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为 9√3 平方米，且高度不低于 √3 米．记防洪堤横断面的腰长为 x 米，外周长（梯形的上底线段 BC 与两腰长的和）为 y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米，则其腰长 x 的范围为 ( )A ． [2,4]B ． [3,4]C ． [2,5]D ． [3,5]5. 已知 x 1=log 132，x 2=2−12，x 3 满足 (13)x 3=log 3x 3，则 ( )A ． x 1<x 2<x 3B ． x 1<x 3<x 2C ． x 2<x 1<x 3D ． x 3<x 1<x 26. 定义域为 R 的偶函数 f (x )，满足对任意的 x ∈R 有 f (x +2)=f (x )，且当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2x 2+12x −18，若函数 y =f (x )−log a (∣x∣+1) 在 R 上至少有六个零点，则 a 的取值范围是 ( )A ． (0,√33) B ． (0,√77)C ． (√55,√33)D ． (0,13)7. 已知函数 f (x )={−x 2+6x,x <42x−1,x ≥4，若存在实数 a ，b ，c 满足 f (a )=f (b )=f (c )，其中 c >b >a ，则 (a +b )f (c ) 的取值范围是 ( ) A ． (24,36) B ． (48,54) C ． (24,27) D ． (48,+∞)8. 已知当 x ∈[0,1] 时，函数 y =(mx −1)2 的图象与 y =√x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (0,1]∪[2√3,+∞) B ． (0,1]∪[3,+∞)C ． (0,√2]∪[2√3,+∞)D ． (0,√2]∪[3,+∞)9. 函数 f (x )=ln (x 2−2x −8) 的单调递增区间是 ( )A ． (−∞,−2)B ． (−∞,1)C ． (1,+∞)D ． (4,+∞)10. 函数 f (x )=(lnx )2−3lnx +2 的零点是 ( ) A ． (e,0) 或 (e 2,0) B ． (1,0) 或 (e 2,0) C ． 1 或 e 2D ． e 或 e 2二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )=x ∣x −a ∣+3x ．若存在 a ∈[−3,4]，使得关于 x 的方程 f (x )=tf (a ) 有三个不相等的实数根，则实数 t 的取值范围是 ．12. 设函数 f (x )=∣log a x ∣(0<a <1) 的定义域为 [m,n ](m <n )，值域为 [0,1]，若 n −m 的最小值为 13，则实数 a 的值为 ．13. 已知函数 f (x )={x 2+4x −1,x ≤02x −3−k,x >0，若方程 f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是 ．14. y =a x+2+3（a >0 且 a ≠1）恒过定点 ．15. 化简 lg1000+813−3log 34= ．16. 函数 y =log 12(x 2−5x +6) 的单调递增区间为 ．三、解答题（共6题）17.在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2−3∣x∣+2=0．解：设∣x∣=y，y≥0，则原方程可化为y2−3y+2=0，解得y1=1，y2=2．当y=1时，∣x∣=1，所以x=±1；当y=2时，∣x∣=2，所以x=±2．所以原方程的解集是{−1,1,−2,2}．上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1) 解方程：x4−10x2+9=0；(2) 若实数x满足x2+1x2−3x−3x=2，求x+1x的值．18.已知函数f(x)=mx∣x−1∣−∣x∣+1，x∈R．(1) 若m=1，试指出函数f(x)的单调区间，并选择一个区间，在此区间上证明函数f(x)是单调递减函数；(2) m在何范围内取值时，f(x)有三个零点．19.已知f(x)=2x−a2x+1(a∈R)的图象关于坐标原点对称．(1) 求a的值，并求方程f(x)+4x−52x+1=0的根．(2) 解关于x的不等式f(2x−1)>f(x−1)．(3) 若存在x∈(0,1)，使不等式f(x)+2x−b2x+1<0成立，求实数b的取值范围．20.定义：若函数f(x)的定义域为R，且存在实数a和非零实数k（a，k都是常数），使得f(2a−x)=k⋅f(x)对x∈R都成立，则称函数f(x)是具有“理想数对(a,k)”的函数．比如，函数f(x)有理想数对(2,−1)，即f(4−x)=−f(x)，f(4−x)+f(x)=0，可知函数图象关于点(2,0)成中心对称图形．设集合M是具有理想数对(a,k)的函数的全体．(1) 已知函数f(x)=2x−1，x∈R，试判断函数f(x)是否为集合M的元素，并说明理由；(2) 已知函数g(x)=2x，x∈R，证明：g(x)∉M；(3) 数对(2,1)和(1,−1)都是函数ℎ(x)的理想数对，且当−1≤x≤1时，ℎ(x)=1−x2．若正比例函数y=mx(m>0)的图象与函数ℎ(x)的图象在区间[0,12]上有且仅有5个交点，求实数m的取值范围．21.已知非零实数x，y，z满足3x=12y=6z，求证：1x +1y=2z．22.已知函数f(x)=∣x∣+2ax−1，（a为常数）．(1) 当a=1时，判断f(x)在(−∞,0)的单调性，并用定义证明；(2) 若对任意x∈R，不等式f(2x)>0恒成立，求a的取值范围；(3) 讨论f(x)零点的个数．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】因为 f (x +3)=f (x )，所以 f (x ) 周期为 3，当 x ∈[0,32] 时，f (x )={2x,0<x ≤34,3−2x,34<x ≤32.画出 y =f (x ) 和 y =1∣x∣ 的图象如下． 由图象知方程 f (x )=1∣x∣ 在区间 [−4,4] 上根的个数是 5 个．【知识点】函数的零点分布、函数的图象、函数的奇偶性、函数的周期性2. 【答案】C【解析】 x 3 是不变号零点，不能用二分法求解． 【知识点】二分法求近似零点3. 【答案】B【解析】 N ={x∣ x ≥−1}，则 M ∩N =[−1,3)． 【知识点】对数函数及其性质、交、并、补集运算4. 【答案】B【解析】根据题意知，9√3=12(AD +BC )ℎ，其中 AD =BC +2⋅x2=BC +x ，ℎ=√32x ， 所以 9√3=12(2BC +x )√32x ，得 BC =18x−x2，由 {ℎ=√32x ≥√3,BC =18x −x2>0, 得 2≤x <6．所以 y =BC +2x =18x+3x 2(2≤x <6)，由 y =18x+3x 2≤10.5，解得 3≤x ≤4．因为 [3,4]⊆[2,6)，所以腰长 x 的范围是 [3,4]． 【知识点】建立函数表达式模型5. 【答案】A【解析】由题意可知 x 3 是函数 y 1=(13)x与 y 2=log 3x 的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系画出函数 y 1=(13)x与 y 2=log 3x 的图象，如图所示， 由图象可知 x 3>1，而 x 1=log 132<0，0<x 2=2−12<1，所以 x 3>x 2>x 1， 故选A ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质6. 【答案】A【解析】当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2x 2+12x −18=−2(x −3)2， 图象为开口向下，顶点为 (3,0) 的抛物线．因为函数 y =f (x )−log a (∣x∣+1) 在 (0,+∞) 上至少有三个零点， 令 g (x )=log a (∣x∣+1)，因为 f (x )≤0，所以 g (x )≤0，可得 0<a <1．要使函数 y =f (x )−log a (∣x∣+1) 在 (0,+∞) 上至少有三个零点，如图要求 g (2)>f (2)． log a (2+1)>f (2)=−2⇒log a 3>−2，可得 3<1a 2⇒−√33<a <√33，a >0，所以 0<a <√33．【知识点】函数的零点分布7. 【答案】B【知识点】函数的零点分布8. 【答案】B【解析】当0<m≤1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx−1)2与y=√x+m 的图象，如图①．易知此时两函数图象在x∈[0,1]上有且只有一个交点；当m>1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx−1)2与y=√x+m的图象，如图②．要满足题意，则(m−1)2≥1+m，解得m≥3或m≤0（舍去），所以m≥3．综上，正实数m的取值范围为(0,1]∪[3,+∞)．【知识点】函数的零点分布9. 【答案】D【解析】由x2−2x−8>0可得x>4或x<−2，所以x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令u=x2−2x−8，则u=x2−2x−8在x∈(−∞,−2)上单调递减，在x∈(4,+∞)上单调递增．又因为y=lnu在u∈(0,+∞)上单调递增，所以y=ln(x2−2x−8)在x∈(4,+∞)上单调递增．【知识点】复合函数、函数的单调性、对数函数及其性质10. 【答案】D【解析】f(x)=(lnx)2−3lnx+2=(lnx−1)(lnx−2)，由f(x)=0得x=e或x=e2．【知识点】函数零点的概念与意义二、填空题（共6题）)11. 【答案】(1,4948【解析】由题意得 f (x )={x 2+(3−a )x,x ≥a−x 2+(3+a )x,x <a ，且关于 x 的方程 f (x )=3at 有三个不相等的实数根．（1）当 −3≤a ≤3 时，−3−a 2≤a ≤a+32，且 −3−a 2≤0≤a+32，可知 f (x ) 在 (−∞,+∞) 上是增函数，此时关于 x 的方程 f (x )=3at 不可能有三个不相等的实数解；（2）当 3<a ≤4 时，0<−3−a 2<a+32<a ，可知 f (x ) 在区间 (−∞,a+32]，[a,+∞) 上分别是增函数，而在区间 [a+32,a] 上是减函数（如图所示）．当且仅当 3a <3at <(a+3)24 时，方程 f (x )=3at 有三个不相等的实数解．即 1<t <(a+3)212a =112(a +9a +6)． 令 g (a )=a +9a，则 g (a ) 在 a ∈(3,4] 时是增函数，则得 g (a )max =g (4)=254．所以，所求实数 t 的取值范围是 (1,4948)．【知识点】函数的零点分布12. 【答案】 23【解析】作出 y =∣log a x ∣(0<a <1) 的大致图象如图， 令 ∣log a x ∣=1，得 x =a 或 x =1a ，又 1−a −(1a −1)=1−a −1−a a=(1−a )(a−1)a<0，故 1−a <1a −1，所以 n −m 的最小值为 1−a =13，a =23．【知识点】对数函数及其性质13. 【答案】 (−2,−32]∪(−1,2)【解析】当 x ≤0 时，f (x )−k ∣x −1∣=x 2+4x −1−k (1−x )=x 2+(4+k )x −k −1， 当 0<x <1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (1−x )=(k +2)x −3−2k ，当 x ≥1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (x −1)=(2−k )x −3，设 g (x )=f (x )−k ∣x −1∣，则 g (x )={x 2+(4+k )x −k −1,x ≤0(k +2)x −3−2k,0<x <1(2−k )x −3,x ≥1，f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解等价于g (x ) 有且仅有 2 个零点， 若 g (x ) 一个零点位于 (0,1)，即 0<2k+3k+2<1⇒k ∈(−32,−1)，若 g (x ) 一个零点位于 [1,+∞)，即 {2−k >0,22−k≥1⇒k ∈[−1,2)，可知 g (x ) 在 (0,1)，[1,+∞) 内不可能同时存在零点，即当 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点；当 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， ① 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点时，（1）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)=0 时，k =−2 或 k =−10， 此时 g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以不满足 g (x ) 有两个零点；（2）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)>0，即 k <−10 或 k >−2 时， 只需 g (0)=−k −1<0，即 k >−1，所以当 k >−1 时，g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点， 因为 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点，所以 k ∈(−1,2) 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点； ② 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有两个零点时，只需 {Δ=(4+k )2+4(k +1)>0,−4+k 2<0,g (0)=−k −1≥0⇒k ∈(−2,−1]，因为k∈(−∞,−32]∪[2,+∞)时，g(x)在(0,+∞)上无零点，所以k∈(−2,−32]时，g(x)有且仅有2个零点，综上所述：k∈(−2,−32]∪(−1,2)．【知识点】函数的零点分布14. 【答案】(−2,4)【解析】因为函数y=a x恒过(0,1)，而函数y=a x+2+3可以看作是函数y=a x向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，所以y=a x+2+3（a>0且a≠1）恒过定点(−2,4)．【知识点】指数函数及其性质15. 【答案】1【解析】lg1000+813−3log34 =lg103+(23)13−3log34 =3+2−4= 1.【知识点】对数的概念与运算16. 【答案】(−∞,2)【解析】由题知x2−5x+6>0，解得x>3或x<2，又由复合函数单调性可得x<2，故所求函数单调增区间为(−∞,2)．故答案为：(−∞,2)．【知识点】对数函数及其性质、二次函数的性质与图像三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 设x2=a，a≥0，则原方程可化为a2−10a+9=0，即(a−1)(a−9)=0，解得a=1或a=9．当a=1时，x2=1，所以x=±1；当a=9时，x2=9，所以x=±3．所以原方程的解集是{−1,1,−3,3}．(2) 设x+1x =y，当x>0时，y=x+1x≥2√x⋅1x=2，当且仅当x=1时取等号，当x<0时，y=x+1x =−[−x+(−1x)]≤−2√(−x)(−1x)=−2，当且仅当x=−1时取等号，所以 y 的取值范围为 (−∞,−2]∪[2,+∞)．原方程可化为 y 2−2−3y =2，即 y 2−3y −4=0， 所以 (y +1)(y −4)=0，解得 y =−1（舍去）或 y =4， 故 x +1x =4．【知识点】函数零点的概念与意义18. 【答案】(1) f (x )=x ∣x −1∣−∣x ∣+1，f (x )={−x 2+2x +1,x <01−x 2,0≤x ≤1x 2−2x +1,x >1，在 (−∞,0) 和 (1,+∞) 是递增区间，在 [0,1] 上是递减区间．任取 x 1,x 2∈[0,1]，设 0≤x 1≤x 2≤1，f (x 1)−f (x 2)=1−x 12−1+x 22=(x 2−x 1)(x 2+x 1)，因为 x 2−x 1>0，x 2+x 1>0，所以，f (x 1)−f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)， 所以 f (x ) 在 [0,1] 上是单调递减函数．(2) f (x )=mx ∣x −1∣−∣x ∣+1=0，显然，x =1 是一个零点； mx =∣x∣−1∣x−1∣={1+2x−1,x <0−1,0≤x <11,x >0，将问题转化为求 m 在何范围取值时，直线 y =mx 与曲线 g (x )=∣x∣−1∣x−1∣={1+2x−1,x <0−1,0≤x <11,x >0有两个交点的问题，显然，当 0<m <1 时，直线 y =mx 与曲线 g (x )=∣x∣−1∣x−1∣ 有两个交点；当 m <0 时，还有可能有两个交点，此时考虑 mx =x+1x−1，得 mx 2−(m +1)x −1=0， 令 Δ=(m +1)2+4m =m 2+6m −1>0，得 m >−3+2√2，m <−3−2√2； 所以当 −3+2√2<m <0 时，直线 y =mx 与曲线 g (x )=∣x∣−1∣x−1∣ 有两个交点； 综上，当 0<m <1 或 −3+2√2<m <0 时，f (x ) 有三个零点．【知识点】函数零点的概念与意义、函数的单调性19. 【答案】(1) 由已知条件得 f (x ) 是 R 上的奇函数， 所以 f (0)=0，即1−a 2=0，解得：a =1，f (x )+4x −52x +1=0，即 2x −12x +1+4x −52x +1=0，所以 4x +2x −6=0，即 (2x −2)(2x +3)=0， 因为 2x >0，所以 2x =2，解得 x =1．(2) f (x )=2x −12x +1=2x +1−22x +1=1−22x +1，因为 f (x ) 在 R 上单调递增，所以由 f (2x −1)>f (x −1)，得 2x −1>x −1，解得 x >0， 故不等式 f (2x −1)>f (x −1) 的解集是 (0,+∞)．(3) 令 ℎ(x )=2x −12x +1+2x−b2x +1=(2x )2+2x+1−1−b2x +1，由题意知，∃x ∈(0,1)，使 ℎ(x )<0 成立，所以 ∃x ∈(0,1)，使不等式 (2x )2+2.2x −1−b <0 成立， 即 ∃x ∈(0,1)，使 b >(2x )2+2.2x −1 成立，令 t =2x ，则 (2x )2+2.2x −1=t 2+2t −1=(t +1)2−2， 当 x ∈(0,1) 时，t =2x ∈(1,2)，所以 (2x )2+2.2x −1=(t +1)2−2>2， 所以 b >2，即实数 b 的取值范围是 (2,+∞)．【知识点】指数函数及其性质、函数的奇偶性20. 【答案】(1) 依据题意，知 f (x )=2x −1，若 f (2a −x )=k ⋅f (x )，即 2(2a −x )−1=k (2x −1)． 化简得 −2x +4a −1=2kx −k ，此等式对 x ∈R 都成立，则 {2k =−2,4a −1=−k,解得 {k =−1,a =12.于是，函数 f (x )=2x −1 有理想数对 (12,−1)． 所以，函数 f (x )∈M ．(2) 用反证法证明 g (x )∉M ． 假设 g (x )∈M ，则存在实数对 (a,k )(k ≠0) 使得 g (2a −x )=k ⋅g (x ) 成立． 又 g (x )=2x ，于是，22a−x =k ⋅2x ， 即 22a =k ⋅22x ．一方面，此等式对 x ∈R 都成立；另一方面，该等式左边是正的常数，右边是随 x 变化而变化的实数．两方面互相矛盾，故假设不成立．因此，函数 g (x ) 不存在理想数对 (a,k )(k ≠0) 使 g (x )∈M ， 即 g (x )∉M ．(3) 因为数对 (2,1) 和 (1,−1) 都是函数 ℎ(x ) 的理想数对，所以 ℎ(4−x )=ℎ(x )，ℎ(2−x )=−ℎ(x )，x ∈R ， 所以ℎ(4+x )=ℎ(4−(4+x ))=ℎ(2−(2+x ))=−ℎ(2+x )=−ℎ(4−(2−x ))=−ℎ(2−x )=ℎ(x ).所以函数 ℎ(x ) 是以 4 为周期的周期函数．由 ℎ(2−x )=−ℎ(x )，ℎ(2−x )+ℎ(x )=0，x ∈R ，可知函数 ℎ(x ) 的图象关于点 (1,0) 成中心对称图形．又 −1≤x ≤1 时，ℎ(x )=1−x 2，所以 1<x ≤3 时，−1≤2−x <1，则 ℎ(x )=−ℎ(2−x )=(2−x )2−1．先画出函数 ℎ(x ) 在 [−1,3] 上的图象，再根据周期性，可得到函数 ℎ(x ) 的图象如图： 所以 ℎ(x )={1−(x −2k )2,k 为偶数,2k −1≤x <2k +1(x −2k )2−1,k 为奇数,2k −1≤x <2k +1，所以 ℎ(x )=1−(x −8)2，7≤x ≤9；ℎ(x )=1−(x −12)2，11≤x ≤13．由 {ℎ(x )=1−(x −8)2,y =mx (7≤x ≤9) 有且仅有一个交点，解得 m =16−6√7（m =16+6√7，舍去）．由 {ℎ(x )=1−(x −12)2,y =mx (11≤x ≤13) 有且仅有一个交点，解得 m =24−2√143（m =24+2√143，舍去）．所以函数 y =mx (m >0) 的图象与函数 ℎ(x ) 的图象在区间 [0,12] 上有且仅有 5 个交点时，实数 m 的取值范围是 24−2√143<m <16−6√7．【知识点】恒成立问题、函数的零点分布、反证法、函数的周期性21. 【答案】令 3x =12y =6z =a ，则 x =1log a 3，y =1log a 12，z =1log a 6．【知识点】对数的概念与运算22. 【答案】(1) 当 a =1 时，且 x <0 时，f (x )=−x +2x −1 是单调递减的．证明：设 x 1<x 2<0， 则f (x 1)−f (x 2)=(−x 1+2x 1−1)−(−x 2+2x 2−1)=(x 2−x 1)+(2x 1−2x 2)=(x 2−x 1)+2(x 2−x 1)x 1x 2=(x 2−x 1)(1+2x1x 2).又因为 x 1<x 2<0， 所以 x 2−x 1>0 且 1+2x 1x 2>0，所以 f (x 1)−f (x 2)>0， 所以 f (x 1)>f (x 2)，故当 a =1 时，f (x ) 在 (−∞,0) 上是单调递减的． (2) 由 f (2x )>0 得 ∣2x ∣+2a 2x−1>0，变形为 (2x )2−2x +2a >0，即 2a >−(2x )2+2x ，设 y =−(2x )2+2x ，令 t =2x ，t ∈(0,+∞)，则 y =−t 2+t ，t ∈(0,+∞)， 由二次函数的性质，可得 y max =14，所以 2a >14，解得 a >18． (3) 由 f (x )=0 有 2 个零点可得 ∣x ∣+2a x−1=0 有两个解，转化为方程 2a =−x ∣x ∣+x ，x ≠0 有两个解， 令 g (x )=x −x ∣x ∣={−x 2+x,x >0x 2+x,x <0，作 y =g (x ) 的图象及直线 y =2a 图象有两个交点， 由图象可得：Ⅰ）当 2a >14 或 2a <−14，即 a >18 或 a <−18 时，f (x ) 有 1 个零点； Ⅰ）当 a =18 或 a =−18 或 a =0 时，f (x ) 有 2 个零点； Ⅰ）当 0<a <18 或 −18<a <0 时，f (x ) 有 3 个零点． 【知识点】函数的零点分布、函数的最大（小）值、函数的单调性。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(39)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 对实数 a 和 b ，定义运算：a ⊗b ={a,a −b ≤1b,a −b >1，设函数 f (x )=(x 2−x )⊗(x −1)，x ∈R ，若函数 y =f (x )−c 恰有两个零点，则实数 c 的取值范围是 ( ) A ． (−1,1]∪[2,+∞) B ． (−2,−1]∪(1,2] C ． (−∞,−2)∪(1,2] D ． [−2,−1]2. 函数 f (x )，按照下述方式定义，当 x ≤2 时，f (x )=−x 2+2x ；当 x >2 时，f (x )=12f (x −3)，方程 f (x )=15 的所有实数根之和是 ( ) A ． 8 B ． 12C ． 18D ． 243. 已知函数 f (x )=x x+1+x+1x+2+x+2x+3，给出下列判断：（1）函数 f (x ) 的值域为 R ； （2）f (x ) 在定义域内有三个零点； （3）f (x ) 图象是中心对称图象． 其中正确的判断个数为 ( ) A ． 0 个 B ． 1 个 C ． 2 个 D ． 3 个4. 已知 log x 8=3，则 x 的值为 ( ) A ． 12B ． 2C ． 3D ． 45. 如图所示，曲线是对数函数 f (x )=log a x 的图象，已知 a 取 √3，43，35，12，则对应于 C 1，C 2，C 3，C 4 的 a 值依次为 ( )A ． √3，43，35，12B ． √3，43，12，35C ． 43，√3，35，12D ． 43，√3，12，356. 已知 a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d ，若 f (x )=2017−(x −a )(x −b ) 的零点为 c ，d ，则下列不等式正确的是 ( ) A ． a >c >b >d B ． a >b >c >d C ． c >d >a >b D ． c >a >b >d7. 某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为 L 1=−x 2+21x 和 L 2=2x （其中销售量 x 的单位：辆）．若该公司在两地共销售 15 辆，则能获得的最大利润为 ( ) A ． 90 万元 B ． 60 万元 C ． 120 万元 D ． 120.25 万元8. 已知函数 y =f (x ) 是定义域为 R 的偶函数．当 x ≥0 时，f (x )={516x 2,0≤x ≤2(12)x +1,x >2．若关于 x 的方程 [f (x )]2+af (x )+b =0，a,b ∈R 有且仅有 6 个不同实数根，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (−52,−94)B ． (−94,−1)C ． (−52,−94)∪(−94,−1) D ． (−52,−1)9. 如果方程 x 2+(m −1)x +m 2−2=0 的两个实根一个小于 1，另一个大于 1，那么实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (−√2,√2)B ． (−2,0)C ． (−2,1)D ． (0,1)10. 设 a =40.4，b =log 0.40.5，c =log 50.4，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ． a <b <c B ． b <c <a C ． c <a <b D ． c <b <a二、填空题（共6题）11. 某工厂在 2017 年和 2018 年两年中，若月产值的增长率相同，且为 P ，那么这两年间年产值的增长率为 ．12. 已知函数 f (x )={2x ,x ≥2(x −1)3,x <2，若关于 x 的方程 f (x )=k 有两个不同的实根，则实数 k的取值范围是 ．13. 若关于 x 的方程 x 2+(m −1)x −m =0 有两个大于 12 的不相等正根，则实数 m 的取值范围为 ．14. 已知函数 f (x )={−4x +1,x >−1x 2+6x +10,x ≤−1关于 x 的不等式 f (x )−mx −2m −2<0 的解集是(x 1,x 2)∪(x 3,+∞)，若 x 1x 2x 3>0，则 x 1+x 2+x 3 的取值范围是 ．15. 函数 f (x )=∣log 4x ∣ 在区间 [a,b ] 上的值域是 [0,1]，则 b −a 的最小值是 ．16. 函数 y =log a (2x −1)+2(a >0,a ≠1) 的图象恒过定点 P ，点 P 在指数函数 f (x ) 的图象上，则 f (−1)= ．三、解答题（共6题） 17. 已知函数 f (x )=23x +1+a (a ∈R ) 为奇函数．(1) 求 a 的值；(2) 当 0≤x ≤1 时，关于 x 的方程 f (x )+1=t 有解，求实数 t 的取值范围； (3) 解关于 x 的不等式 f (x 2−m )≥f (2−2m )．18. 已知函数 f (x )=a x (a >0,a ≠1)，且 f (x ) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大 2．(1) 求 a 的值；(2) 若函数 y =f (2x )+f (−2x )+2m [f (x )−f (−x )] 在区间 [1,+∞) 的最小值是 −2，求实数m 的值．19. 已知 A 地到 B 地的电话线路发生故障（假设线路只有一处发生故障），这是一条 10 km 长的线路，应如何迅速查出故障所在？20. 对于函数 f (x )=−x 2+2∣x ∣+3．(1) 画出函数的图象并指出函数的单调区间．(2) 利用图象回答：当 k 为何值时，函数 y =f (x )−k 有两个零点？有四个零点？21.实数x取何值时，log3x(4x−1)的值为正数？22.季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且从第一周开始每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，从第11周开始平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售．(1) 试建立价格P与周次t之间的函数关系式；(2) 若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q=−0.125(t−8)2+12，t∈[0,16]，t∈N∗，试问该服装在第几周时每件销售利润L最大？最大利润为多少？（注：每件销售利润=售价−进价）答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】因为 a ⊗b ={a,a −b ≤1b,a −b >1，所以函数 f (x )=(x 2−2)⊗(x −1)={x 2−2,−1≤x ≤2x −1,x <−1或x >2，由图可知，当 c ∈(−2,−1]∪(1,2]， 函数 f (x ) 与 y =c 的图象有两个公共点， 所以 c 的取值范围是 (−2,−1]∪(1,2]．【知识点】函数的零点分布2. 【答案】D【知识点】函数的零点分布3. 【答案】D【解析】由题意可知，函数f (x )=xx+1+x+1x+2+x+2x+3=(1−1x+1)+(1−1x+2)+(1−1x+3)=3−(1x+1+1x+2+1x+3),其定义域为 {x∣ x ≠−1,x ≠−2,x ≠−3}．对于（1），当 x <0，x →−1+ 时，f (x )→−∞；x →−1− 时，f (x )→+∞， 所以函数的值域是 R ，所以（1）正确； 对于（2），因为f (x )=x x+1+x+1x+2+x+2x+3=(1−1x+1)+(1−1x+2)+(1−1x+3)=3−(1x+1+1x+2+1x+3),所以函数 f (x ) 在 x ∈(−1,+∞) 是单调递增函数，又 f (−34)=−3+311+715<0，f (0)=12+23>0，所以函数 f (x ) 在 (−34,0) 上，有且只有一个零点；当 x ∈(−2,−1) 时，f (−74)=3−(−43+4+45)=13−45<0，f (−54)=4−13−47>0， 所以函数在 (−2,−1) 有一个零点；当 x ∈(−3,−2) 时，f (−145)=3−(−59−54+5)=−1+14+59<0，f (−52)=2+23>0， 所以函数在 (−3,−1) 有一个零点，当 x <−3 时，f (x )>0， 所以 f (x ) 在定义域内有三个零点，所以（2）正确； 对于（3），因为 f (x )=3−(1x+1+1x+2+1x+3)， 所以f (−4−x )=3+(1x+1+1x+2+1x+3)=6−[3−(1x+1+1x+2+1x+3)]=6−f (x ),所以 f (x )+f (−4−x )=6．所以函数的图象关于点 (−2,3) 中心对称，所以（3）正确． 【知识点】函数的零点分布4. 【答案】B【解析】由 log x 8=3，得 x 3=8， 所以 x =2．【知识点】对数的概念与运算5. 【答案】A【知识点】对数函数及其性质6. 【答案】D【解析】由题意设 g (x )=(x −a )(x −b )，则 f (x )=2017−g (x )， 所以 g (x )=0 的两个根是 a ，b ，由题意知：f (x )=0 的两根 c ，d ，也就是 g (x )=2017 的两根， 画出 g (x )（开口向上）以及直线 y =2017 的大致图象， 则与 f (x ) 交点横坐标就是 c ，d ，f (x ) 与 x 轴交点就是 a ，b ，又 a >b ，c >d ，则 c ，d 在 a ，b 外， 由图得，c >a >b >d ．【知识点】零点的存在性定理7. 【答案】C【知识点】函数模型的综合应用8. 【答案】C【解析】依题意 f (x ) 在 (−∞,−2) 和 (0,2) 上递增，在 (−2,0) 和 (2,+∞) 上递减， 当 x =±2 时，函数取得极大值 54；当 x =0 时，取得极小值 0．要使关于 x 的方程 [f (x )]2+af (x )+b =0，a,b ∈R 有且只有 6 个不同实数根， 设 t =f (x )，则则有两种情况符合题意： （1）t 1=54，且 t 2∈(1,54)，此时 −a =t 1+t 2，则 a ∈(−52,−94)； （2）t 1∈(0,1]，t 2∈(1,54)， 此时同理可得 a ∈(−94,−1)．综上可得 a 的范围是 (−52,−94)∪(−94,−1)．【知识点】函数的零点分布9. 【答案】C【知识点】函数的零点分布10. 【答案】D【解析】因为 a =40.4>1，0<b =log 0.40.5<log 0.40.4=1，c =log 50.4<0， 所以 c <b <a ，故选D ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (1+P)12−1【知识点】指数函数及其性质12. 【答案】 (0,1)【解析】作出函数 y =f (x ) 的图象如图．则当 0<k <1 时，关于 x 的方程 f (x )=k 有两个不同的实根．【知识点】函数的零点分布13. 【答案】 (−∞,−1)∪(−1,−12)【解析】由题意得 {Δ=(m −1)2+4m >0,−m−12>12,14+12(m −1)−m >0,即 {m 2+2m +1>0,m <0,m <−12,解得 m <−12，且 m ≠−1，故实数 m 的取值范围为 (−∞,−1)∪(−1,−12)．【知识点】函数的零点分布14. 【答案】 [2√7−12,+∞)【解析】 f (x )<m (x +2)+2，数形结合，y =m (x +2)+2 表示斜率为 m 且经过 (−2,2) 的直线，同时 (−2,2) 也在 f (x ) 图象上，设三个交点为 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，C (x 3,y 3)，易知 x 1<−2，x 2=−2，因为 x 1x 2x 3>0，所以需满足 x 3>0，结合图形可得直线斜率 m ∈(−4,−12)， 由 {y =m (x +2)+2,y =x 2+6x +10, 得 x 2+(6−m )x +8−2m =0， 所以 x 1+x 2=m −6，由 {y =m (x +2)+2,y =−4x +1, 可得 x 3=−2m−1m+4所以 x 1+x 2+x 3=m −6−2m+1m+4=m +4+7m+4−12，因为 m +4∈(0,72)，所以 m +4+7m+4−12∈[2√7−12,+∞)．【知识点】函数的零点分布15. 【答案】 34【知识点】对数函数及其性质16. 【答案】 12【解析】根据题意，令 2x −1=1，得 x =1， 此时 y =2，所以定点 P 的坐标是 (1,2) 因为点 P 在指数函数 f (x ) 的图象上， 所以 f (x )=2x ， 所以 f (−1)=12．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 因为 a ∈R ，所以f(0)=0，所以a=−1．−1，(2) 因为f(x)=23x+1，所以f(x)+1=23x+1因为0≤x≤1，所以2≤3+1≤4，≤f(x)+1≤1，所以12≤t≤1．所以12−1在R上单调递减，(3) f(x)=23x+1f(x2−m)≥f(2−2m)2−m≤2−2m，x2−(m+2)+2m≤0(−2)(−m)≤0．①当m>2时，不等式的解集是{2≤x≤m}．②当m=2时，不等式的解集是{x∣ x=2}．③当m<2时，不等式的解集是{x∣ m≤x≤2}．【知识点】函数的单调性、指数函数及其性质、函数的奇偶性18. 【答案】(1) 当a>1时，函数f(x)=a x在区间[1,2]上单调递增，则该函数的最大值为f(x)max=f(2)=a2，最小值为f(x)min=f(1)=a，由题意，得a2−a=2，解得a=2，或a=−1（舍去）；当0<a<1时，函数f(x)=a x在区间[1,2]上单调递减，则该函数的最大值为f(x)max=f(1)=a，最小值为f(x)min=f(2)=a2，由题意，得a−a2=2，即a2−a+2=0，该方程无实数解．综上，a=2．(2) 函数y=f(2x)+f(−2x)+2m[f(x)−f(−x)]=22x+2−2x+2m(2x−2−x)，令g(x)=2x−2−x，x∈[1,+∞)，任取x1>x2≥1，因为g(x1)−g(x2)=(2x1−2−x1)(2x2−2−x2)=(2x1−2x2)+(2−x2−2−x1)，又x1>x2，所以−x2>−x1，有2x1>2x2，2−x2>2−x1，所以g(x1)>g(x2)．．则函数y=g(x)在[1,+∞)上单调递增，故g(x)≥g(1)=32令g(x)=t，因此，t≥3，2故问题转化为：函数 ℎ(t )=t 2+2mt +2 在 [32,+∞) 上有最小值 −2，求实数 m 的值． 因 ℎ(t )=(t +m )2+2−m 2，对称轴方程为 t =−m ，当 −m ≤32 时，即当 m ≥−32 时，函数 y =ℎ(t ) 在 [32,+∞) 上单调递增， 故 ℎ(t )min =ℎ(32)=3m +174， 由 3m +174=−2，解得 m =−2512 与 m ≥−32 矛盾； 当 −m >32 时，即当 m <−32 时，ℎ(t )min =ℎ(−m )=2−m 2，由 2−m 2=−2，解得 m =−2 或 m =2（舍去）．综上，m =−2．【知识点】函数的单调性、函数的最大（小）值、指数函数及其性质19. 【答案】如图，可首先从中点 C 开始检查，若 AC 段正常，则故障在 BC 段；再从 BC 段中点 D 检查，若 CD 段正常，则故障在 BD 段；再从 BD 段中点 E 检查，⋯⋯，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，这样即可迅速找到故障所在．【知识点】二分法求近似零点20. 【答案】(1) 画出图象如图所示．(2) 单调减区间是 [−1,0]，[1,+∞)；单调增区间是 (−∞,−1]，[0,1]．【知识点】函数的零点分布、函数的单调性21. 【答案】 x ∈(14,13)∪(12,+∞)．【知识点】对数函数及其性质22. 【答案】(1) P ={10+2t,t ∈[0,5]且t ∈N ∗20,t ∈(5,10]且t ∈N ∗40−2t,t ∈(10,16]且t ∈N ∗．(2) 因为每件的销售利润 = 售价 − 进价，即 L =P −Q ，当 t ∈[0,5] 且 t ∈N ∗ 时，L =10+2t +0.125(t −8)2−12=18t 2+6，当 t =5 时，L max =9.125 元；当 t ∈(5,10] 且 t ∈N ∗ 时，L =20+0.125(t −8)2−12，当t=6或10时，L max=8.5元；当t=(10,16]且t∈N∗时，L=40−2t+0.125(t−8)2−12，当t=11时，L max=7.125元．所以第五周时每件的销售利润最大，最大利润为9.125元．【知识点】建立函数表达式模型、函数模型的综合应用。
人教A版必修1指数函数解答题训练与参考答案
指数函数解答题训练（附答案）1. 设函数()x x a ka x f --=（0>a 且1≠a ）是定义在R 上的奇函数. （1）求k 的值;（2）若()01>f ,试判断函数()x f 的单调性（不需要证明）,并求不等式:()()04222>-++x f x x f 的解集.2. 已知()x f 是定义在()1,1-上的奇函数,当()1,0∈x 时,()142+=x xx f .（1）求()x f 在()1,1-上的解析式;（2）判断函数()x f 在区间()1,1-上的单调性,并证明; （3）求()x f 的值域.3. 已知指数函数()x g y =满足()83=g ,定义域为R 的函数()()()x g m x g n x f 2+-=是奇函数.（1）确定()x g y =,()x f y =的解析式;（2）若对于任意的[]4,1∈t ,不等式()()0132>-+-k f t f 恒成立,求实数k 的取值范围.4. 已知函数()x x b k a x f ⋅+=,∈k R ,0>a 且1≠a ,0>b ,且1≠b .（1）如果实数b a ,满足1,1=>ab a ,试判断函数()x f 的奇偶性,并说明理由; （2）设01>>>b a ,k ≤0,判断函数()x f 在R 上的单调性,并加以证明.5. 已知函数()x x f 2=,()221+=xx g . （1）求函数()x g 的值域;（2）若满足方程()()0=-x g x f ,求x 2的值.6. 已知函数()b ax x x f +-=22,且()()4152,231==f f . （1）求b a ,的值; （2）判断()x f 的奇偶性;（3）试判断()x f 的单调性,并证明.7. 已知()x f 为定义在[]1,1-上的奇函数,当[]0,1-∈x 时,()xx ae e x f ---=2（∈a R ）,其中 71828.2=e .（1）求a 的值以及()x f 在[]1,0上的解析式; （2）求()x f 在定义域上的最大值和最小值.8. 已知函数()1313-+=x x x f .（1）求证:()x f 是奇函数; （2）判断()x f 的单调性,并证明;（3）已知关于t 的不等式()()013222<--++-t f t t f 恒成立,求实数t 的取值范围.答案详解1. 设函数()x x a ka x f --=（0>a 且1≠a ）是定义在R 上的奇函数. （1）求k 的值;（2）若()01>f ,试判断函数()x f 的单调性（不需要证明）,并求不等式:()()04222>-++x f x x f 的解集.解:（1）∵函数()x f 是定义在R 上的奇函数 ∴()00=f ,∴01=-k ,解之得:1=k ; （2）由（1）可知:()x x a a x f --=. ∵()01>f ,∴01>-aa ,解之得:01<<-a 或1>a . ∵0>a 且1≠a ,∴1>a . ∴函数()x f 在R 上为增函数.∵()()04222>-++x f x x f ,∴()()2242x f x x f -->+. ∵函数()x f 是定义在R 上的奇函数,且为增函数∴()()4222->+x f x x f ,∴4222->+x x x ,解之得:2->x . ∴原不等式的解集为{}2->x x .2. 已知()x f 是定义在()1,1-上的奇函数,当()1,0∈x 时,()142+=x xx f .（1）求()x f 在()1,1-上的解析式;（2）判断函数()x f 在区间()1,0上的单调性,并证明; （3）求()x f 的值域.解:（1）∵()x f 是定义在()1,1-上的奇函数,∴()00=f . 当()0,1-∈x 时,()1,0∈-x .∵当()1,0∈x 时,()142+=x xx f∴当()0,1-∈x 时,()()x f x f x xx x x x x x x -=+=+⋅⋅=+=-----14244442142∴()142+-=x xx f .∴()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∈+-=∈+=0,1,1420,01,0,142x x x x f x x x x;（2）函数()x f 在区间()1,0上为减函数,理由如下: 任取()1,0,21∈x x ,且21x x <,则有()()()()()()14142122142142212121221121++--=+-+=-+x x x x x x x x x x x f x f ∵()1,0,21∈x x ,且21x x <∴014,014,021,022212121>+>+<-<-+x x x x x x ∴()()()()2121,0x f x f x f x f >>-. ∴函数()x f 在区间()1,0上为减函数;（3）当()1,0∈x 时,∵函数()x f 在区间()1,0上为减函数 ∴()()()01f x f f <<,∴()111142+<<+x f ,即()⎪⎭⎫⎝⎛∈21,52x f ; 当0=x 时, ()00=f ;当()0,1-∈x 时,由奇函数图象的对称性可知,()⎪⎭⎫⎝⎛--∈52,21x f .综上所述,函数()x f 的值域为{}⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,52052,21 .3. 已知指数函数()x g y =满足()83=g ,定义域为R 的函数()()()x g m x g n x f 2+-=是奇函数.（1）确定()x g y =,()x f y =的解析式;（2）若对于任意的[]4,1∈t ,不等式()()0132>-+-k f t f 恒成立,求实数k 的取值范围.解:（1）由题意可设()x a x g y ==. ∵()83=g ,∴3328==a ,∴2=a .∴()xx g 2=,()()()xxm n x g m x g n x f 2222⋅+-=+-=. ∵函数()x f 是R 上的奇函数∴()0210=+-=m n f ,解之得:1=n ,∴()x x m x f 2221⋅+-=∴()()11f f -=-,∴4211211+--=+-m m ,解之得:2=m . ∴()()()xx x x x x f 2112121222122221++-=+++-=⋅+-=;（2）任取∈21,x x R ,且21x x <,则有()()()()21122121212122211211211212112121x x x x x x x x x f x f ++-=+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--++-=- ∵∈21,x x R ,且21x x <∴021,021,0222112>+>+>-x x x x ∴()()()()2121,0x f x f x f x f >>- ∴函数()x f 为R 上的减函数.∵()()0132>-+-k f t f 恒成立,[]4,1∈t ∴()()k f t f -->-132恒成立∵函数()x f 为R 上的减函数,且是奇函数 ∴()()132,132-<-->-k t k f t f ∴22->t k 在[]4,1∈t 时恒成立 设()22-=t t h ,只需()max t h k >即可. ∵()22-=t t h 在[]4,1∈t 上为增函数 ∴()()64max ==h t h ,∴6>k . ∴实数k 的取值范围是()+∞,6.4. 已知函数()x x b k a x f ⋅+=,∈k R ,0>a 且1≠a ,0>b ,且1≠b .（1）如果实数b a ,满足1,1=>ab a ,试判断函数()x f 的奇偶性,并说明理由; （2）设01>>>b a ,k ≤0,判断函数()x f 在R 上的单调性,并加以证明. 解:（1）当1=k 时,函数()x f 为偶函数,当1-=k 时,函数()x f 为奇函数,当1±≠k 时,函数()x f 为非奇非偶函数.理由如下: ∵1,1=>ab a ,∴11-==a ab ,()x x x x a k a b k a x f -⋅+=⋅+=. 若函数()x f 为偶函数,则()()x x x x a k a x f a k a x f ⋅+=-=⋅+=--,解之得:1=k ; 若函数()x f 为奇函数,则()()x x x x a k a x f a k a x f --⋅--=-=⋅+=-,解之得:1-=k 显然,当1±≠k 时,函数()x f 为非奇非偶函数; （2）函数()x f 在R 上为增函数,理由如下: ∵01>>>b a ,k ≤0∴当0=k 时,显然()x a x f =在R 上为增函数;当0<k 时,∵函数x a y =和函数x kb y =在R 上均为增函数 ∴函数()x x b k a x f ⋅+=在R 上为增函数 综上所述,函数()x f 在R 上为增函数.5. 解:（1）∵x ≥0,∴x 2≥1,∴x 210<≤1,∴2212+<x≤3. ∴()x g <2≤3,即函数()x g 的值域为(]3,2; （2）∵()()0=-x g x f ,∴()()x g x f =,∴2212+=xx . 当x ≥0时,x 2≥1,有2212+=xx ,∴()012222=-⋅-x x . 解之得:212+=x （212-=x 舍去）; 当0<x 时,120<<x ,有222212+=+=-xxx ,显然不成立. 综上所述,212+=x . 6. 解:（1）∵()()4152,231==f f ∴41524,23222=-=-++b a ba ,∴2212412,2212-+-+====b a b a . ∴⎩⎨⎧-=+-=+221b a b a ,解之得:⎩⎨⎧=-=01b a ;（2）由（1）可知:()x x x f --=22. 易知函数()x f 的定义域为R ,关于原点对称. ∵()()()x f x f x x x x -=--=-=---2222 ∴函数()x f 为奇函数;（3）函数()x f 在R 上为增函数,理由如下: 任取∈21,x x R ,且21x x <,则有()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=---=-+--21211221221121122212122222221x x x x x x x x x x x x x f x f∵∈21,x x R ,且21x x <,∴02,0222121><-+x x x x ∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<-. ∴函数()x f 在R 上为增函数.7. 解:（1）∵()x f 为定义在[]1,1-上的奇函数,当[]0,1-∈x 时,()x x ae e x f ---=2 ∴()010=-=a f ,解之得:1=a . ∴[]0,1-∈x 时,()x x e e x f ---=2. 当[]1,0∈x 时,[]0,1-∈-x∴()()x f e e x f x x -=-=-2,∴()x x e e x f 2-=. 即()x f 在[]1,0上的解析式为()x x e e x f 2-=;（2）设t e x=,当[]1,0∈x 时,[]e t ,1∈,则()()412122+⎪⎭⎫ ⎝⎛---===t t t t g x f y .∴()t g 在[]e t ,1∈上为减函数∴()()()()01,max 2min ==-==g t g e e e g t g ,∴()[]0,2e e t g -∈,即()[]0,2e e x f -∈; 当[]0,1-∈x ,由奇函数的图象关于原点对称可知()[]e e x f -∈2,0. ∴函数()x f 在定义域[]1,1-上的值域为[]e e e e --22,. ∴其最大值为()e e x f -=2max ,最小值为()2min e e x f -=. 8. 解:（1）由题意可知,013≠-x ,解之得:0≠x .∴函数()x f 的定义域为()()+∞∞-,00, ,显然关于原点对称.∵()()()()x f x f x x xx x x x x xx -=-+-=-+=-+=-+=-----131331311331331313 ∴()x f 是奇函数;（2）函数()x f 在()0,∞-和()+∞,0上为减函数,理由如下:()1321132131313-+=-+-=-+=xx x x x x f . 任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则有()()()()()1313332132132132113212112212121---=---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+=-x x x x x x x x x f x f第11页 ∵()+∞∈,0,21x x ,且21x x < ∴013,013,0332112>->->-x x x x ∴()()()()2121,0x f x f x f x f >>- ∴函数()x f 在()+∞,0上为减函数. 同理可得:()x f 在()0,∞-上也是减函数;（3）∵()()013222<--++-t f t t f ∴()()13222---<+-t f t t f ∵()x f 是奇函数∴()()13222+<+-t f t t f ∵()01,02132222>+>+-=+-t t t t ∴()()+∞∈++∞∈+-,01,,03222t t t ∵函数()x f 在()+∞,0上为减函数 ∴13222+>+-t t t ,解之得:1<t . ∴实数t 的取值范围是()1,∞-.。
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高中数学人教A 版必修一第四章《指数函数与对数函数》解答题提高
训练 (1)
一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）
1. 计算：(1)化简√(3−π)44+(0.008)−
1
3−(0.25)1
2×(1√2
)−4
；
(2)已知x =1
2(51n −5−1
n ),x ∈N ∗，求(x +√1+x 2)n
的值；
2. 如图，是一个半圆柱与多面体ABB 1A 1C 构成的几何体，平面ABC 与
半圆柱的下底面共面，且AC ⊥BC ，P 为弧A 1B 1⏜上(不与A 1，B 1重合)的动点．
(1)证明：PA 1⊥平面PBB 1；
(2)若四边形ABB 1A 1为正方形，且AC =BC ，∠PB 1A 1=π
4，求二面角P −A 1B 1−C 的余弦值．
3.已知函数f(x)=lnx+a
．
x
(1)若函数f(x)有极值，求实数a的取值范围；
(2)当a=1时，若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处的导数值相等，证明：f(x1)+f(x2)>1+2ln2；
(3)若函数f(x)在(0,+∞)上有两个零点x3，x4(x3≠x4)，证明：x3+x4>2
．
e
4.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益f(x)与投资额
x成正比，投资股票等风险型产品的收益g(x)与投资额x的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
(1)分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，
其最大收益为多少万元？
5. 已知函数f(x)=x 2e −ax −1(a 是常数)．
(1)求函数y =f(x)的单调区间；
(2)当x ∈(0,16)时，函数f(x)有零点，求a 的取值范围．
6. 计算下列各式的值
(1)823
⋅
(13)3
⋅
(1681)−34
(2)log 535+2log 12
√2−log 5
150
−log 514．
7. 已知函数f(x)=−3x +a
3+b ．
(1)当a =b =1时，求方程f(x)=3x 的解； (2)当a =1，b =3时，
①判断函数f(x)的奇偶性并证明你的结论；
②若任意t∈R，不等式f(t2−2t)+f(k−2t2)>0恒成立，求实数k的取值范围；
(3−x−3x)，若不等式g(2x)≥mg(x)−11对任意x∈R恒
③函数g(x)满足f(x)⋅[g(x)+2]=1
3
成立，求实数m的取值范围．
8.已知函数f(x)=2x．
(1)试求函数的最大值；
(2)若存在，使|af(x)−f(2x)|>1成立，试求a的取值范围；
(3)当a>0,且x∈[0,15]时，不等式f(x+1)⩽f[(2x+a)2]恒成立，求a的取值范围．
9.在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化．
(1)如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点
的纬度，φ为当地的纬度值，那么这三个量满足θ=90°−|φ−δ|．
某科技小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移
的时间)为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值(太
阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值).下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据：
观测站
A B C
观测站所在纬度φ/度40.000023.43930.0000
观测站正午太阳高度角θ/度66.387082.946473.6141
太阳直射点的纬度δ/度
太阳直射点的纬度平均值/
度
请根据数据完成上面的表格(计算结果精确到0.0001)；
(2)设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y.该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x 近似满足函数y=Asinωx，其中A为北回归线的纬度值，约为23.4392911，试利用(1)中的数据，估计ω的值(精确到10−8)；
(3)定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，求一个回归年对应的天数(精确到0.0001)；
(4)利用(3)的结果，估计每400年中，应设定多少个闰年，可使这400年与400个回归年所含的天数最为接近(精确到1)
10.已知函数g(x)=4x−a
2x
是奇函数，f(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数．
(1)求a和b的值；
(2)说明函数g(x)的单调性；若对任意的t∈[0,+∞)，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
(3)设ℎ(x)=f(x)+1
2
x，若存在x∈(−∞,1]，使不等式g(x)>ℎ[lg(10a+9)]成立，求实数a 的取值范围．
11.某地第一年旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预
计今后旅游业的收入每年会比上一年增加1
4
．
(1)求n年内旅游业的总收入；
(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8000万元
12.在寒冷的冬季，羽绒服是人们抵御严寒的必要物资，某羽绒服生产商今年推出了新款羽绒服，
经过前期的市场调研发现该款羽绒服在市场上非常受欢迎，该厂商决定加大产量．已知生产该羽绒服的固定成本为1000万元，每生产x千件需另投入成本为W(x)万元，已知当产量不足80
千件时，W(x)=1
2x2+10x(万元)；当产量不小于80千件时，W(x)=81x+10000
x
−2605(万
元)，现每件羽绒服定价为800元且生产的羽绒服可以全部售完．(Ⅰ)求羽绒服生产商生产该款羽绒服的利润f(x)的解析式；
(Ⅱ)求产量为多少千件时，该羽绒服生产商可以获得最大利润，并求出最大利润．
13.已知log a3>log a2(a>0且a≠1).若函数f(x)=log a x在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差
为1．
(1)求实数a的值；
(2)若1≤x≤3，求函数y=(log a x)2−log a√x+2的值域．
14.已知函数f(x)=x2+x−2，g(x)=|f(x)|−f(x)
．
2
(Ⅰ)写出函数g(x)的解析式；
(Ⅱ)若直线y=kx+1与曲线y=g(x)有三个不同的交点，求a的取值范围；
(Ⅲ)若直线y=ax+b与曲线y=f(x)在x∈[−2,1]内有交点，求(a−1)2+(b+3)2的取值范围．
15.已知函数f(x)=x2+3
．
x+1
(1)求函数f(x)在区间[0,2]上的最值；
(2)若关于x的方程(x+1)f(x)−ax=0在区间(1,4)内有两个不等实根，求实数a的取值范围．16.设函数f(x)=log3(9x)·log3(3x)，x∈[1
,9]
9
(Ⅰ)若m=log3x，求m的取值范围；
(Ⅱ)求f(x)的最值，并给出取最值时对应的x的值．
17.设函数f(x)=cos2x+asinx+a.
]上的值域；
(1)当a=1时，求函数f(x)在区间[0,π
3
(2)设函数φ(x)的定义域为I，若x0∈I，且φ(x0)=1，则称x0为函数y=φ(x)的“壹点”.已知
f(x)在区间[0,2π]上有4个不同的“壹点”，求实数a的取值范围．
18.已知函数f(x)=√x(1−lnx
)．
2
(I)求f(x)极大值；
(II)求证：ln2+ln3+⋯+lnn>2(√n−1)2，其中n∈N+，n≥2．
(III)若方程f(x)=t有两个不同的零点x1,x2，求证：x1+x2>2
19.设函数f(x)=3x−a⋅2x
为奇函数．
3+2
(1)求实数a的值；
(2)当x∈[1,+∞)时，求f(x)的值域．。