高中数学人教A版必修一第四章《指数函数与对数函数》解答题提高训练 (1)(含答案解析)

高中数学人教A 版必修一第四章《指数函数与对数函数》解答题提高

训练 (1)

一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）

1. 计算：(1)化简√(3−π)44+(0.008)−

1

3−(0.25)1

2×(1√2

)−4

；

(2)已知x =1

2(51n −5−1

n ),x ∈N ∗，求(x +√1+x 2)n

的值；

2. 如图，是一个半圆柱与多面体ABB 1A 1C 构成的几何体，平面ABC 与

半圆柱的下底面共面，且AC ⊥BC ，P 为弧A 1B 1⏜上(不与A 1，B 1重合)的动点．

(1)证明：PA 1⊥平面PBB 1；

(2)若四边形ABB 1A 1为正方形，且AC =BC ，∠PB 1A 1=π

4，求二面角P −A 1B 1−C 的余弦值．

3.已知函数f(x)=lnx+a

．

x

(1)若函数f(x)有极值，求实数a的取值范围；

(2)当a=1时，若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处的导数值相等，证明：f(x1)+f(x2)>1+2ln2；

(3)若函数f(x)在(0,+∞)上有两个零点x3，x4(x3≠x4)，证明：x3+x4>2

．

e

4.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益f(x)与投资额

x成正比，投资股票等风险型产品的收益g(x)与投资额x的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．

(1)分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；

(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，

其最大收益为多少万元？

5. 已知函数f(x)=x 2e −ax −1(a 是常数)．

(1)求函数y =f(x)的单调区间；

(2)当x ∈(0,16)时，函数f(x)有零点，求a 的取值范围．

6. 计算下列各式的值

(1)823

⋅

(13)3

⋅

(1681)−34

(2)log 535+2log 12

√2−log 5

150

−log 514．

7. 已知函数f(x)=−3x +a

3+b ．

(1)当a =b =1时，求方程f(x)=3x 的解； (2)当a =1，b =3时，

①判断函数f(x)的奇偶性并证明你的结论；

②若任意t∈R，不等式f(t2−2t)+f(k−2t2)>0恒成立，求实数k的取值范围；

(3−x−3x)，若不等式g(2x)≥mg(x)−11对任意x∈R恒

③函数g(x)满足f(x)⋅[g(x)+2]=1

3

成立，求实数m的取值范围．

8.已知函数f(x)=2x．

(1)试求函数的最大值；

(2)若存在，使|af(x)−f(2x)|>1成立，试求a的取值范围；

(3)当a>0,且x∈[0,15]时，不等式f(x+1)⩽f[(2x+a)2]恒成立，求a的取值范围．

9.在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化．

(1)如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点

的纬度，φ为当地的纬度值，那么这三个量满足θ=90°−|φ−δ|．

某科技小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移

的时间)为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值(太

阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值).下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据：

观测站

A B C

观测站所在纬度φ/度40.000023.43930.0000

观测站正午太阳高度角θ/度66.387082.946473.6141

太阳直射点的纬度δ/度

太阳直射点的纬度平均值/

度

请根据数据完成上面的表格(计算结果精确到0.0001)；

(2)设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y.该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x 近似满足函数y=Asinωx，其中A为北回归线的纬度值，约为23.4392911，试利用(1)中的数据，估计ω的值(精确到10−8)；

(3)定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，求一个回归年对应的天数(精确到0.0001)；

(4)利用(3)的结果，估计每400年中，应设定多少个闰年，可使这400年与400个回归年所含的天数最为接近(精确到1)

10.已知函数g(x)=4x−a

2x

是奇函数，f(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数．

(1)求a和b的值；

(2)说明函数g(x)的单调性；若对任意的t∈[0,+∞)，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

(3)设ℎ(x)=f(x)+1

2

x，若存在x∈(−∞,1]，使不等式g(x)>ℎ[lg(10a+9)]成立，求实数a 的取值范围．

11.某地第一年旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预

计今后旅游业的收入每年会比上一年增加1

4

．

(1)求n年内旅游业的总收入；

(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8000万元

12.在寒冷的冬季，羽绒服是人们抵御严寒的必要物资，某羽绒服生产商今年推出了新款羽绒服，

经过前期的市场调研发现该款羽绒服在市场上非常受欢迎，该厂商决定加大产量．已知生产该羽绒服的固定成本为1000万元，每生产x千件需另投入成本为W(x)万元，已知当产量不足80

千件时，W(x)=1

2x2+10x(万元)；当产量不小于80千件时，W(x)=81x+10000

x

−2605(万

元)，现每件羽绒服定价为800元且生产的羽绒服可以全部售完．(Ⅰ)求羽绒服生产商生产该款羽绒服的利润f(x)的解析式；