数学建模之贷款问题

数学建模之贷款问题姓名1：张昌会学号：********* 姓名2：郭娟丽学号：********* 姓名3：武申金学号：********* 专业：统计学班级：统计学1101班2013年11 月25 日数学建模题目：贷款问题组员1：姓名张昌会学号*********班级统计1101班组员2：姓名郭娟丽学号*********班级统计1101班组员3：姓名武申金学号*********班级统计1101班摘要随着我国改革开放的发展和人民生活水平的提高，人们越来越不满足于只是吃饱、穿暖，而是向更高的目标迈进，房子、车子，自然成了人们渴求的目标。

俗话说：“安居才能乐业”，摆在人们面前的问题也就浮于水面。

同时，从某种意义上来说，人类文明的进程就是建筑和城市化的过程，人类对居所的投资，直接为社会劳动生产力的延续与发展创造了物质载体。

特别是国家的宏观调控激活了房地产市场和汽车消费市场，扩大了内需。

社会传统的房屋卖买方式受到较大冲击而日趋缩萎，取而代之的银行按揭贷款买房买车成为新的购房趋势,并日渐盛行。

本文根据银行住房贷款和我们的日常常识，首先对题目中的条件进行合理的分析，比较并分析等额本息和等额本金两种贷款方式，一是等额本息贷款, 计算原则是银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金；二是等额本金贷款, 计算原则是每月归还的本金额始终不变，利息随剩余本金的减少而减少。

推导出月均还款及累计利息总额的公式，建立数学模型。

其次根据给出的银行利率，利用vc++软件和已求出的公式，计算出月均还款额和所花费的利息总额，制成图表并借以分析贷款的期限与月还款之间的关系。

最后对按揭贷款买房提出了一些我们的建议。

这些天来我们对贷款买房的研究，使我们对这个很现实的问题有了较深的了解，相信这些实用知识对我们的使我们对这个很现实的问题有了较深的了解，未来发展一定有很大的帮助。

关键词：贷款，利率，月均还款额，累计利息总额，等额本息，等额本金一、问题的提出随着国家住房商品化及家用轿车商业化政策的推行，于是银行提供了购房贷款项目及轿车贷款项目，帮助很多人解决了购房款和购车款的问题。

人民群众住房条件改善的同时也带来了不小的问题，极少数居民有能力一次性付清房款，我国现行主流的两种购房贷款还款方式：等额本息和等额本金。

现通过数学模型完成以下任务：1、分别给出等额本金还款法和等额本息还款法的月供金额的计算方法。

2、通过具体的数据计算每种贷款方法月供金额和月支付利息。

3、分别计算两种方法在贷款期限内的总还款额和总支付利息。

4、由计算数据分析两种方法的还款特点及规律，并分析适用的人群。

二、模型的假设1、银行在贷款期利率不变2、在这段期间内不考虑经济波动的影响3、银行利息按复利计算4、客户在还款期内还款能力不变三、模型的参数及说明1、A：表示贷款总额（本金）；2、B i：表示第i个月还款本金；3、ᵝ：表示月利率；4、m:表示总期数（还款月数）；5、X i：表示第i个月的还款额；6、X：表示等额本息还款法的月供金额7、Q i：表示第i个月还款前所剩贷款额；8、L：表示总还款金额；9、S：表示总支付利息；10、s i：表示第i个月支付的利息；11、R:表示年利率；四、模型的分析银行贷款还款的利息方式计算方法有等额本息还款法和等额本金还款法。

在本例中，贷款总额A 为300000 元，年利率R 为6%，即0.06，则月利率r=年利率/12=0.5%，即0.005，贷款期数m 为120 个月，即10年。

（一）等额本金还款方式等额本金，即每个月偿还的本金是固定的。

等额本金还款方式，即借款人除了每个月偿还的固定本金之外，每个月还要支付月初剩余本金在本月的利息。

每月还款额 = （贷款本金 / 还款月数）+（本金 — 已归还本金累计额）×每月利率第i 个月月支付利息=第i 个月后所剩余的贷款额×月利率 用数学公式直观的表示如下：第i 月还款时需还款的本金为：mAB i = i=1,2,3……,m第1个月应还利息：βA第2个月应还利息：βββm A A m A A -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-第3βββmA A m A A 22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-第i 个月应还利息：βββm A i A m A i A )1()1(--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--第m 个月应还利息：βmA 所以，第i 个月的月款金额X i =+m A ββmA i A )1(-- 由上面的推导知，这m 个月的利息逐月递减，呈等差数列。

附：因为首相为a 1，公差为d 的等差数列，前n 项和为2/)1(1d n n n a S n -+= 则首项为βA ，公差为-βmA，这m 个月的总支付利息 S=2/))(1(*ββmAm m A m --+ =)2/)1((--m m A β =2/)1(+m A β（二）等额本息还款方式等额，即每个月的月供金额是固定的，本息=本金总额+利息总额。

等额本息还款方式，即把贷款的本金总额和利息总额加起来，然后均分到每个月。

每月的还款金额=（本金总额+利息总额）/m各个月所欠银行的贷款：第1个月： X A X A A -+=-+)1(ββ第2个月：X X A X A --++-+βββ])1([])1([=X X A -+-+)1]()1([ββ =)]1(1[2)1(ββ++-+∧X A第3个月：X X A X A -++-+++-++∧∧βββββ)]}1(1[2{)]}1(1[2{)1()1( =X X A -+++-+∧)1)]}(1(1[2{)1(βββ =]2)1(1[3)1()1(βββ++∧∧+++-X A[a 1，公比为q ，则前n 项和为 qq a S nn--=1)1(1]第m 个月：)]1(....2)1(1[)1()1()1(-+++++-+++∧∧∧m X m A ββββ=])1(1)1(*1[)1()1(βββ+---++∧∧m X m A =]/)1[()1()1(βββ--++∧∧m X m A 因为第m 个月欠款已全部换完，即为0。

则 ]/)1[()1()1(βββ--++∧∧m X m A =0 所以每个月的月供金额为 X=1)1()1(-++∧∧m mA βββ累计利息，即m 个月的总支付利息为 S=（X-mA）*m 第i 个月所还本金为：X m i B i )1()1(--=+∧β 第i 个月所还利息为：X m i S i ))1(1()1(---=+∧β五、 模型的建立及解我们建立了一个关于等额本金与等额本息的贷款问题模型如下： 模型一：在满足模型假设的情况下，贷款金额为300000 元，年利率R 为0.06，月利率ᵝ为0.005，贷款期数m 为120 个月。

（一）等额本金还款法第i 月还款时需还款的本金为：mAB i =i=1,2,3……,m 第i 个月应还利息：βββm A i A m A i A )1()1(--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 第i 个月的月款金额X i =+m A ββmA i A )1(-- 总支付利息S=2/)1(+m A β计算得到如下表格：第i 个月所还本金B i （元） 所还利息si（元） 月供金额X i （元） 1 25001500 4000 2 2500 1487.5 3987.5 3 2500 1475 3975 4 2500 1462.5 2962.5118 2500 37.5 2537.5 119 2500 25 2525 120 2500 12.5 2512.5 求和 300000 90750 390750由上表画出的多线线图如下：由上述统计数据表及统计图可得到等额本金还款法有以下特点：等额本金还款，月供金额逐月递减。

月支付利息也是逐月递减的，因此，等……………………额本金还款法在贷款初期月还款额大，此后逐月递减。

（二）等额本息还款法第i 个月所还本金为：X m i B i )1()1(--=+∧β 第i 个月所还利息为：X m i S i ))1(1()1(---=+∧β 每个月的月供金额为 X=1)1()1(-++∧∧m mA βββ总支付利息为 S=（X-mA）*m 计算得到如下表格：第i 个月 所还本金B i（元）所还利息s i（元）月供金额X i（元） 1 1830.61 1500.00 3330.61 2 1839.77 1490.84 3330.61 3 1848.96 1481.65 3330.61 4 1858.21 1472.40 3330.61118 3281.15 49.46 3330.61 119 3297.55 33.06 3330.61 120 3314.0416.573330.61 求和30000099673.8399673.8由上表画出的多线线图如下：……………………由上述统计数据表及统计图可得到等额本息还款法有以下特点： 等额本息还款，月供金额固定。

月支付利息逐月递减，月支付本金逐月递增，因此，等额本息还款法每月还款额中的本金比重逐月递增，利息比重逐月递减。

比较等额本金还款法和等额本息还款法，得出如下结论：等额本金还款法相对等额本息而言，总的利息支出较低，但是前期支付的本金和利息较多，还款负担逐月递减。

这种方式很适合目前收入较高，但是已经预计到将来收入会减少的人群。

实际上，很多中年以上的人群，经过一断时间事业打拼，有一定的经济基础，考虑到年纪渐长，收入可能随着退休等其他因素减少，就可以选择这种方式进行还款。

等额本息贷款法相对于等额本金还款法的劣势在于支出利息较多，还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返还供款中本金比重增加。

但该方法每月的还款额固定，可以有计划地控制家庭收入的支出，也便于每个家庭根据自己的收入情况，确定还贷能力。

该方法比较适用于现期收入少，预期收入将稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士，一般为青年人，特别是刚开始工作的年轻人也适合选用这种方法，以避免初期太大的供款压力。

模型二：由于模型一是建立在一个没有考虑现实生活中可能发生的一些情况，例如在假设还款能力和不考虑经济波动这些方面的理想情况，所以由模型一得出的结果可能会与实际情况有一定出入。

由此我们在考虑还款人在还款期间能够将所剩金额一次还清其他假设均不变的情况下建立了模型二如下： （一）等额本金还款法假设贷款人在第i 个月将所剩金额一次还清，则第i 个月所还金额为：mAi m m A i A m A X i )()1(-+--+=ββ 则全部还完后总的还款金额为：2/))(1(ββm A i i iA A L --++=ββmAi i iA A 2)1(--+=（二）等额本息贷款法：假设贷款人在第i 个月将所剩金额一次还清，则第i 个月应还款金额为：)]1(...2)1(1[]}1/[]{[]1/[][)1()1()1()1()1()1()1(-+++++--+-=+++++++∧∧∧∧∧∧∧i m m A i A m m A Xi ββββββββββ]/)1]}[(1/[]{[]1/[][)1()1()1()1()1()1(βββββββββ---+-=++++++∧∧∧∧∧∧i m m A i A m m A]/)1[()1()1(βββ--+=++∧∧i X i A X则全部还完后总的还款金额为：]/)1[()1()1(βββ--+=++∧∧i X i A iX L提前还款一次性付清的等额本金和等额本息对比曲线如下：由上图可发现，对于可以在未来的某个月一次性付清的人群来说，可以选择等额本金还款法，因为两种还款方式最初性差不大，但是越往后，等额本金的优势就越明显。