偏微分方程数值解

偏微分方程数值解

偏微分方程地构建科学、工程学和其他领域的数学模型的主要手段。一般情况下,这些模型都需要用数值方法去求解。本书提供了标准数值技术的简明介绍。借助抛物线型、双曲线型和椭圆型方程的一些简单例子介绍了常用的有限差分方法、有限元方法、有限体方法、修正方程分析、辛积分格式、对流扩散问题、多重网络、共轭梯度法。利用极大值原理、能量法和离散傅里叶分析清晰严格地处理了稳定性问题。本书全面讨论了这些方法的性质,并附有典型的图像结果,提供了不同难度的例子和练习。

本书可作为数学、工程学及计算机科学专业本科教材,也可供工程技术人员和应用工作者参考。

偏微分方程数值解---学习总结(2)

关于SobolveSobolve空间的几个重要定理

迹定理 : ΩΩ是 RdRd 的一个有界开子集，具有李普希茨连续边界∂Ω∂Ω, s>12s>12, 则

a.存在唯一的连续线性映射γ0:Hs(Ω)→Hs−12(∂Ω),满足γ0v=v ∣∣∂Ω,∀v∈Hs(Ω)∩C0(Ω¯¯¯¯),

b.存在唯一的连续映射R0：Hs−12(∂Ω)→Hs(Ω),满足γ0∘R0∘φ=φ,∀φ∈Hs−12(∂Ω).(1)(2)(1)a.存在唯一的连续线性映射γ0:Hs(Ω)→Hs−12(∂Ω),满足γ0v=v|∂Ω,∀v∈

Hs(Ω)∩C0(Ω¯),(2)b.存在唯一的连续映射R0：Hs−12(∂Ω)→Hs(Ω),满足γ0∘R0∘φ=φ,∀φ∈Hs−12(∂Ω).

迹定理把区域内部与边界联系起来. 上面定理中边界∂Ω∂Ω当被它的一个子集ΣΣ代替时，结论依然成立.

S=1时，

γ0:H1(Ω)→H12(∂Ω)⊂L2(∂Ω)||γ0v||0,∂Ω≤||γ0v||2,∂Ω≤C||v||1=C(||v||0+||∇v||0).γ0:H1(Ω)→H12(∂Ω)⊂

L2(∂Ω)||γ0v||0,∂Ω≤||γ0v||2,∂Ω≤C||v||1=C(||v||0+||∇

v||0).

注意几个范数

||⋅||k||⋅||0||⋅||1||∇⋅||0=||⋅||k,2=||⋅||L2=||⋅||1,2=(||⋅||20+||∇⋅||20)12=|⋅|1.(3)(4)(5)(6)(3)||⋅||k=||⋅||k,2(4)||⋅

||0=||⋅||L2(5)||⋅||1=||⋅||1,2=(||⋅||02+||∇⋅||02)12(6)||∇⋅

||0=|⋅|1.

庞加莱不等式(Poincare inequality): 假设ΩΩ是 RdRd 的一个有界联通开子集，ΣΣ是边界∂Ω∂Ω的一个非空的李普希茨连续子集. 则存在一个常数 CΩ>0CΩ>0满足

∫Ωv2(x)dx≤CΩ∫Ω|∇v(x)|2dx,∀v∈H1Σ(Ω),其中H1Σ(Ω)={v ∈H1(Ω),γΣv=v∣∣Σ=0}.∫Ωv2(x)dx≤CΩ∫Ω|∇v(x)|2dx,∀v∈HΣ1(Ω),其中HΣ1(Ω)={v∈H1(Ω),γΣv=v|Σ=0}.

PoincareinequalityPoincareinequality 是特别重

要的一个不等式，它在边值问题和变分问题的求解过程起

着特别重要的作用. 上述不等式通常会被简记为||v||0≤

C||∇v||0||v||0≤C||∇v||0

一维形式

对于Ω=I=(a,b),H1a(I)=v∈H1(I),v(a)=0,则∫

bav2dx≤CI∫ba(v′)2dx,∀v∈H1(I).对于Ω

=I=(a,b),Ha1(I)=v∈H1(I),v(a)=0,则∫abv2dx≤CI∫

ab(v′)2dx,∀v∈H1(I).

二维形式

Ω=(a,b)2,H1Σ={v∈H1(Ω),v(a,y)=0,∀y∈(a,b)},则

||v||0≤C||∇v||0.Ω=(a,b)2,HΣ1={v∈H1(Ω),v(a,y)=0,∀

y∈(a,b)},则||v||0≤C||∇v||0.

Poincare 不等式的形式一定要记住

**格林公式** ∀w,v∈H1(Ω),∀w,v∈H1(Ω), 有

∫Ω(Djw)vdx=−∫Ωw(Djv)dx+∫∂Ω(γ0w)(γ0v)dσ,j=1,2,⋯,d.∫Ω(Djw)vdx=−∫Ωw(Djv)dx+∫∂Ω(γ0w)(γ0v)dσ,j=1,2,⋯,d.

格林公式可以把区域内部的导数转移到边界上.

**嵌入定理** 假设ΩΩ是RdRd的一个有界子集（或非有界开子集，具有李普希茨连续边界，且 1≤p≤∞.1≤p≤∞. 则有下面的连续潜入映射：

a.b.c.如果0≤spd,则Ws,p(Ω)⊂C0(Ω¯¯¯¯).(7)(8)(9)(7)a.如果0≤spd,则

Ws,p(Ω)⊂C0(Ω¯).

嵌入定理的第3 条最常用，一定要记住.

针对第3 条，给出一些特殊情况：

d=1,s=2,p=2,则H1(Ω)⊂C0(Ω¯¯¯¯);d=2,s=1,p=2,则H1(Ω)⊂⊂C0(Ω¯¯¯¯);d=2,s=2,p=2,则H2(Ω)⊂C0(Ω¯

¯¯¯);d=2,s>1,p=2,则Hs(Ω)⊂C0(Ω¯¯¯

¯).(10)(11)(12)(13)(10)d=1,s=2,p=2,则H1(Ω)⊂C0(Ω

¯);(11)d=2,s=1,p=2,则H1(Ω)⊄C0(Ω

¯);(12)d=2,s=2,p=2,则H2(Ω)⊂C0(Ω

¯);(13)d=2,s>1,p=2,则Hs(Ω)⊂C0(Ω¯).

Gaglinsdo-Nirenberg inequality: 令 (a,b)(a,b) 是一个有限区间, 则下面的不等式成立：