几何变换之旋转
中考数学专题复习旋转类几何变换
旋转类几何变化一、几何变换——旋转旋转中的基本图形利用旋转思想构造辅助线⎧⎨⎩(一)共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”)等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形以上给出了各种图形连续变化图形,图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形,此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化二、利用旋转思想构造辅助线(1)根据相等的边先找出被旋转的三角形(2)根据对应边找出旋转角度(3)根据旋转角度画出对应的旋转的三角形三 、 旋转变换前后具有以下性质:(1)对应线段相等,对应角相等 (2)对应点位置的排列次序相同(3)任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ.考点一 旋转与最短路程☞考点说明:旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题,同时与旋转有关路程最短的问题,比较重要的就是费马点问题,涉及费马点问题,视学生程度进行选择性讲解。
【例1】 如图,四边形ABCD 是正方形,ABE ∆是等边三角形,M 为对角线BD 上任意一点,将BM 绕点B逆时针旋转60︒得到BN ,连接AM 、CM 、EN . ⑴求证:AMB ENB ∆∆≌⑵①当M 点在何处时,AM CM +的值最小;②当M 点在何处时,AM BM CM ++的值最小,并说明理由; ⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时,求正方形的边长.ENMDCB A【例2】 阅读下列材料对于任意的ABC ∆,若三角形内或三角形上有一点P ,若PA PB PC ++有最小值,则取到最小值时,点P 为该三角形的费马点。
①若三角形内有一个内角大于或等于120︒,这个内角的顶点就是费马点②若三角形内角均小于120︒,则满足条件120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒时,点P 既为费马点 解决问题:⑴如图,ABC ∆中,三个内角均小于120︒,分别以AB 、AC 为边向外作等边ABD ∆、ACE ∆,连接CD 、BE 交于点P ,证明:点P 为ABC ∆的费马点。
初中数学旋转的知识点
《初中数学旋转知识点全解析》在初中数学的学习中,旋转是一个重要的几何变换概念。
它不仅在数学知识体系中占据着关键地位,也为我们解决各种几何问题提供了有力的工具。
一、旋转的定义在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角。
如果图形上的点 P 经过旋转变为点P′,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
例如,时钟的指针围绕时钟的中心旋转,风车的叶片绕着中心轴旋转等,都是生活中常见的旋转现象。
二、旋转的性质1. 对应点到旋转中心的距离相等。
即旋转前后,图形上任意一点到旋转中心的距离始终保持不变。
例如,在一个正三角形绕其中心旋转的过程中,三角形的三个顶点到旋转中心的距离始终相等。
2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
旋转过程中,对应点与旋转中心连接形成的线段之间的夹角大小与旋转角相等。
比如,一个矩形绕其对角线的交点旋转一定角度,任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。
3. 旋转前后的图形全等。
经过旋转,图形的形状和大小都不会发生改变。
无论旋转角度是多少,旋转后的图形与旋转前的图形完全相同。
例如,一个圆绕其圆心旋转任意角度,得到的图形仍然是与原来一样的圆。
三、旋转的三要素1. 旋转中心旋转中心是图形旋转时所围绕的那个定点。
它决定了图形旋转的位置。
不同的旋转中心会导致图形的旋转结果不同。
2. 旋转方向旋转方向分为顺时针和逆时针两种。
明确旋转方向对于准确描述和进行旋转操作至关重要。
3. 旋转角度旋转角度是指图形绕旋转中心转动的角度大小。
旋转角度的不同会使图形的位置发生不同程度的变化。
四、旋转的应用1. 解决几何问题在证明三角形全等、相似等问题时,常常可以通过旋转图形,使分散的条件集中起来,从而找到解题的思路。
例如,对于两个有公共顶点的等腰三角形,可以通过旋转其中一个三角形,使它们的对应边重合,进而证明全等。
2. 设计图案利用旋转可以设计出各种美丽的图案。
几何形的旋转和对称变换
几何形的旋转和对称变换几何形的旋转和对称变换是数学中常见的概念和技巧。
通过旋转和对称变换,我们可以改变几何形的位置和形状,展现出不同的视觉效果和特性。
本文将介绍旋转和对称变换的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、旋转变换旋转变换是指将几何形绕某个点或某条直线旋转一定角度,从而改变形状和位置。
1. 定义设点A(x, y)绕点O(a, b)逆时针旋转θ度,则旋转后点A的坐标为A’(x', y')。
根据旋转变换的定义,有以下公式:x' = a + (x-a)cosθ - (y-b)sinθy' = b + (x-a)sinθ + (y-b)cosθ2. 性质- 旋转变换不改变几何形的大小。
- 旋转变换保持直线上的点的相对位置关系。
- 旋转角度可以是正数或负数,正数表示逆时针旋转,负数表示顺时针旋转。
3. 应用旋转变换在计算机图形学、机器人学和物理学等领域有广泛的应用。
在设计制图中,旋转变换可以用于生成各种艺术效果、模拟物体的运动轨迹等。
在机器人学中,旋转变换可以应用于机器人的路径规划和姿态控制。
在物理学中,旋转变换可以用于分析刚体的运动和转动。
二、对称变换对称变换是指将几何形围绕着某个轴线或中心对称,从而保持形状不变或形状镜像对称。
1. 定义- 轴对称:如果一个几何形上的任意一点到轴的距离和该点的镜像到轴的距离相等,那么这个几何形关于该轴对称。
常见的轴对称有水平轴对称、垂直轴对称和斜对称。
- 中心对称:如果一个几何形上的任意一点关于某个点对称后仍然位于几何形上,那么这个几何形关于该点中心对称。
中心对称即是以某个点为中心,投影方向相反的对称。
2. 性质- 对称变换保持几何形的面积和周长不变。
- 轴对称保持几何形的形状相同,而中心对称保持几何形的形状镜像对称。
- 轴对称和中心对称可以叠加使用,得到更复杂的变换效果。
3. 应用对称变换在几何学、物理学和图像处理等领域具有重要的应用。
空间几何的旋转和旋转变换
空间几何的旋转和旋转变换空间几何中的旋转是指空间中一点围绕某一固定点旋转一定角度所形成的图形变换。
在空间几何中,旋转是一种非常重要的变换,它不仅广泛应用于数学、物理学等领域,也是3D图形学中的一个重要概念。
本文将对空间几何中的旋转和旋转变换进行探讨。
一、空间几何的旋转1.1 旋转的定义首先,我们需要明确什么是空间几何的旋转。
在空间几何中,旋转是指将空间中的任意一点A绕某一固定点O旋转一定角度后,所形成的新点A',即:A' = R(A)其中,R(A)表示将点A绕点O进行一定角度的旋转所得到的新点。
在这个过程中,极角和极径都会发生改变。
1.2 旋转的性质空间几何中的旋转具有以下特点:1、旋转是保持距离和角度不变的变换;2、旋转是一种可逆变换,即旋转一次可以得到一一对应的变换;3、在空间中,旋转操作可围绕任何轴进行,但绕不同轴旋转所得到的变换结果是不同的。
二、空间几何的旋转变换旋转变换是指将一个点绕着一个轴旋转一个角度。
旋转变换在实际应用中非常广泛,在制造业、航空航天等领域都有着重要的作用。
2.1 旋转变换的定义在空间几何中,旋转变换是指将空间中的任意一点A绕某一固定轴L旋转一定角度后,所形成的新点A',即:A' = R(A,α ,L)其中,R表示旋转变换,α表示旋转角度,L表示旋转轴。
2.2 旋转变换的性质旋转变换具有以下特点:1、旋转变换是保持距离和角度不变的变换;2、旋转变换是一种可逆变换,即旋转一次可以得到一一对应的变换;3、在空间中,旋转变换可围绕任何轴进行。
三、应用举例旋转变换广泛应用于制造业、航空航天、计算机图形学等领域。
以下是一些应用举例:3.1 机械加工在机械加工领域,旋转变换被广泛应用于三轴数控加工中。
通过旋转变换,可以实现工件在各个面上的加工,从而大大提高了加工质量和效率。
3.2 航空航天在航空航天领域,旋转变换被应用于飞机的飞行姿态控制。
通过调整飞机的俯仰、横滚和偏航角度,可以达到控制飞机飞行方向的目的。
旋转平移翻折的几何变换与性质
旋转平移翻折的几何变换与性质旋转、平移和翻折是几何中常见的基本变换方式,它们在空间和平面几何中发挥着重要的作用。
本文将介绍旋转平移翻折的几何变换及其性质,推导其数学表达式,并通过具体的实例来说明其应用。
一、旋转变换旋转是指将平面或空间中的图形按照一定角度绕着旋转中心进行旋转的操作。
对于平面上的点(x, y),其绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以由以下公式计算得出:x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ其中,x'和y'分别表示旋转后点的坐标,θ为旋转角度。
二、平移变换平移是指将平面或空间中的图形沿着指定的方向和距离进行移动的操作。
平移变换可以用一个向量来表示。
对于平面上的点(x, y),其平移(dx, dy)后的新坐标可以由以下公式计算得出:x' = x + dxy' = y + dy其中,(dx, dy)为平移向量,x'和y'分别表示平移后点的坐标。
三、翻折变换翻折是指将平面或空间中的图形沿着指定的轴进行对称的操作。
对于平面上的点(x, y),其关于直线y=k翻折后的新坐标可以由以下公式计算得出:x' = xy' = 2k - y其中,(x', y')为翻折后点的坐标,k为翻折轴的位置。
以上是旋转、平移和翻折的几何变换的数学表达式。
下面将通过实例说明它们在几何问题中的应用。
实例一:旋转变换假设有一张平面上的三角形ABC,顶点分别为A(1, 2),B(3, 4)和C(5, 6)。
现在需要将该三角形绕原点顺时针旋转60度,求旋转后各顶点的坐标。
根据旋转变换的公式,旋转角度θ=60°,原点为旋转中心,可以计算得出旋转后的各顶点坐标为:A'(1*cos60° - 2*sin60°, 1*sin60° + 2*cos60°) = (0.5, 2.598)B'(3*cos60° - 4*sin60°, 3*sin60° + 4*cos60°) = (-1.133, 4.330)C'(5*cos60° - 6*sin60°, 5*sin60° + 6*cos60°) = (1.333, 7.464)实例二:平移变换假设有一条直线L,其方程为y = 2x - 1。
初中几何旋转知识点总结
初中几何旋转知识点总结一、基本概念1. 旋转的基本概念旋转是一种平移,比如将一张纸围绕桌子中心旋转,不移动位置但是角度改变。
可以定义一个点O为旋转中心,角度为θ,则旋转变换R(O,θ)将点P绕点O旋转θ度。
2. 旋转的表示方法通常用旋转中心和旋转的角度来表示一个旋转变换,如R(O,θ)表示以点O为旋转中心,按照角度θ进行旋转变换。
3. 旋转的方向根据旋转的角度正负可以表示旋转的方向,当角度为正时,表示顺时针旋转;当角度为负时,表示逆时针旋转。
二、旋转的性质1. 旋转中心的不变性对于任意一个固定的点P,在平面上做旋转变换后,点P相对于旋转中心O的距离不变,即OP'=OP。
2. 旋转中心的互易性两点围绕各自为中心的旋转之后,它们的连接线也围绕旋转后的两个点为中心进行旋转。
3. 旋转的对称性对于一个平面图形,绕着一个点做旋转变换之后,原来的平面图形与旋转后的图形具有对称性。
4. 旋转的组合性对于两个旋转变换R(O1,θ1)和R(O2,θ2),它们的组合旋转变换是R(O1,θ1) ◦R(O2,θ2)=R(O1O2,θ1+θ2),即先以O2为中心旋转θ2度,再以O1为中心旋转θ1度,等效于以点O1O2为中心旋转θ1+θ2度。
三、旋转的定理1. 旋转角度的性质(1)相等角度的旋转等效于一次旋转;(2)逆时针旋转θ度等效于顺时针旋转360-θ度;(3)旋转360度等效于不旋转。
2. 旋转的运动规律旋转的运动规律由旋转角度的规律和旋转方向的规律组成,它描述了一个点或者平面图形在旋转中的变化规律。
3. 旋转的应用(1)旋转的应用:如地球自转产生了昼夜交替、太阳绕地球公转产生了四季交替等;(2)旋转对称性:通过旋转对称性,可以简化问题的解决和推理过程。
四、常见问题解析1. 旋转的基本操作(1)绕平面上任一点旋转θ度的变换,可以用旋转矩阵R来表示,即对任意点(A, B),有(A', B') = R(A, B)。
几何形的旋转平移和对称变换
几何形的旋转平移和对称变换几何形的旋转、平移和对称变换几何形的旋转、平移和对称变换是几何学中的基础概念和操作,它们在数学和实际应用中都扮演着重要的角色。
通过这些变换,我们可以改变和调整图形的位置、方向和形状,使得几何问题的解决变得更加灵活和方便。
本文将对几何形的旋转、平移和对称变换进行详细介绍。
1. 旋转变换旋转变换是指沿着一个固定点旋转图形一定的角度。
在平面几何中,我们通常以原点为中心,按照逆时针方向旋转来描述旋转变换。
旋转变换可以保持图形的大小和形状不变,只改变其方向和位置。
常见的旋转角度有90度、180度和360度。
旋转变换的数学表示式为:x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ其中,(x, y)是旋转前的点的坐标,(x', y')是旋转后的点的坐标,θ是旋转的角度。
2. 平移变换平移变换是指将图形沿着平行于坐标轴的方向移动一定的距离。
平移变换只改变图形的位置,保持其大小、形状和方向不变。
平移变换可以用向量来表示,其中向量的分量表示图形在x轴和y轴上的位移。
平移变换的数学表示式为:x' = x + dxy' = y + dy其中,(x, y)是平移前的点的坐标,(x', y')是平移后的点的坐标,(dx, dy)是平移的距离。
3. 对称变换对称变换是指将图形绕着某个轴线或某个点进行翻转,使得图形在变换前后保持镜像对称关系。
常见的对称变换有关于x轴、y轴和原点的对称。
对称变换的数学表示式为:关于x轴对称:(x, y) -> (x, -y)关于y轴对称:(x, y) -> (-x, y)关于原点对称:(x, y) -> (-x, -y)4. 综合应用几何形的旋转、平移和对称变换在许多领域有着广泛的应用,如建筑设计、计算机图形学、机器人学等等。
通过这些变换,我们可以灵活地处理图形的位置和形状,满足不同需求的设计和计算要求。
专题22 几何三大变换问题之旋转问题(压轴题)
《中考压轴题》专题22:几何三大变换问题之旋转(中心对称)问题一、选择题1.如图,已知△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=,将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置,连接C′B ,则C′B 的长为A .22-B .32C .31-D .12.如图,△AOB 为等腰三角形,顶点A 的坐标为(2,5),底边OB 在x 轴上.将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B ,点A 的对应点A'在x 轴上,则点O'的坐标为A .(203,103)B .(163,453)C .(203,453)D .(163,43)3.在平面直角坐标系中,函数y=x 2﹣2x (x≥0)的图象为C 1,C 1关于原点对称的图象为C 2,则直线y=a (a 为常数)与C 1、C 2的交点共有A.1个B.1个或2个C.个或2个或3个D.1个或2个或3个或4个4.如图,矩形ABCD 的长为6,宽为3,点O 1为矩形的中心,⊙O 2的半径为1,O 1O 2⊥AB 于点P ,O 1O 2=6.若⊙O 2绕点P 按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,⊙O 2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现A .3次B .4次C .5次D .6次5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C,使得点A′恰好落在AB上,则旋转角度为A.30°B.60°C.90°D.150°6.如图所示,在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD,将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动,当点A离开原点后第一次落在x轴上时,点A运动的路径线与x轴围成的面积为A.122π+B.12π+C.1π+D.3-7.如图,直线y=2x与双曲线2yx=在第一象限的交点为A,过点A作AB⊥x轴于B,将△ABO绕点O旋转90°,得到△A′B′O,则点A′的坐标为A.(1.0)B.(1.0)或(﹣1.0)C.(2.0)或(0,﹣2)D.(﹣2.1)或(2,﹣1)8.如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,BE=CF,连接CE、DF.将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置,则旋转角是A.45°B.60°C.90°D.120°9.如图,在平面直角坐标系中,点B、C、E、在y轴上,Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE.若点C的坐标为(0,1),AC=2,则这种变换可以是()A.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移3B.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移1 C.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移1D.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移3二、填空题1.如图,△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A'B'C',若∠BAC=90°,AB=AC=2,则图中阴影部分的面积等于.2.如图,在在平面直角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上,且AO=1.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1,且A1O=2AO,再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2,且A2O=2A1O…,依此规律,得到等腰直角三角形A2014OB2014,则点A2014的坐标为.3.如图,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,且AC边在直线a上,将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1,此时AP1=2;将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,可得到点P2,此时AP2=1+2;将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,可得到点P3,此时AP3=2+2;…,按此规律继续旋转,直至得到点P2014为止.则AP2014=.4.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点M0的坐标为(1,0),将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°,再将其延长到M1,使得M1M0⊥OM0,得到线段OM1;又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°,再将其延长到M2,使得M2M1⊥OM1,得到线段OM2;如此下去,得到线段OM3,OM4,OM5,…根据以上规律,请直接写出OM2014的长度为.5.如图,将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转,使边AB与AC重合得△ACD,BC的中点E的对应点为F,则∠EAF的度数是.6.如图,已知∠AOB=90°,点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上,点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上,点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上,…,连接AA1,AA2,AA3…,依次作法,则∠AA n A n+1等于度.(用含n的代数式表示,n为正整数)7.如图(1),有两个全等的正三角形ABC和ODE,点O、C分别为△ABC、△DEO的重心;固定点O,将△ODE顺时针旋转,使得OD经过点C,如图(2),则图(2)中四边形OGCF与△OCH面积的比为.8.如图在坐标系中放置一菱形OABC,已知∠ABC=60°,OA=1.先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转,每次翻转60°,连续翻转2014次,点B的落点依次为B1,B2,B3,…,则B2014的坐标为.9.如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去….若点A(53,0),B(0,4),则点B2014的横坐标为.10.通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习,我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程(如图①).在图②中,有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线,半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位,则动圆C自身转动的周数为.11.如图,△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形,若点C恰好落在AB上,且∠AOD的度数为90°,则∠B的度数是.=上一点P(1,1),C为y轴上一点,连接PC,线段PC绕点12.如图,平面直角坐标系中,已知直线y xP顺时针旋转900至线段PD,过点D作直线AB⊥x轴。
数学实验,由静变动——《几何三大变换之旋转》教学案例
数学实验,由静变动——《几何三大变换之旋转》教学案例发布时间:2022-11-20T18:23:04.310Z 来源:《基础教育参考》2022年11月作者:陈玉伦谢维锶[导读]陈玉伦谢维锶珠海市凤凰中学 519000中图分类号:G626.5 文献标识码:A 文章编号:ISSN1672-1128(2022)11-091-04数学实验是为了帮助学生建构某种几何理论,或检验某个几何猜想,或解决某类几何问题,借助于多媒体PC上的几何画板、平板软件上的几何画板等技术手段或者设计的具体实物教具,通过对实验素材进行实际操作来理解、解释或建构几何概念、定理或结论的学习活动。
旋转变换在初中几何中占有重要的地位,常在压轴题中出现。
旋转的定义及性质并不难理解,难的是有些几何题的题干没有提到旋转,直接求解有时会困难重重,若采用旋转,则可以得到一些新的特殊图形、特殊关系,利用这些图形和关系,能使问题迎刃而解,为同学们解题时提供思路。
一、设计简述【教学目标】1.回顾旋转变换的定义、性质等相关知识,利用旋转的性质解决相关问题。
2.通过数学实验,探索旋转变换的适用条件,经历将已知条件转换为待求目标,利用旋转找到解决问题的途径。
3.体验利用几何变换解决问题的优势,提高空间想象能力。
【教学过程】(一)知识回顾观看动画,回顾旋转的定义、性质,同时,学生通过每个小组发放的ipad,打开其中的软件,如动态几何画板等,在平板中画出相应的图形,通过不同的选择,在数学实验报告学案上填写出相应的数据,分析,归纳出旋转的基本性质。
(1)旋转的定义:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形变换称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角。
(2)旋转的性质:①对应点到旋转中心的距离相等;②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;③旋转前、后的图形全等,即旋转前后图形的大小和形状没有改变。
(二)利用旋转图形的性质解决问题一些题已直接告知旋转变换的信息,直接利用旋转的性质来解决问题即可,接下来向同学们介绍两种常见考点。
九年级数学旋转的知识点
九年级数学旋转的知识点九年级数学中,旋转是一个重要的几何变换,它在解决各种几何问题中起着重要的作用。
本文将介绍九年级数学中旋转的基本概念、性质以及相关例题,以帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
1. 旋转的基本概念旋转是指在平面内,绕着一个点旋转图形,使得图形在平面上转动。
旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。
常用的表示方法是以旋转中心为原点,旋转角度为正,顺时针旋转为负。
2. 旋转的性质(1)旋转是一个保角变换,即旋转前后的两条线段之间的夹角相等。
(2)旋转是一个保距变换,即旋转前后的两条线段的长度相等。
(3)旋转不改变图形的对称性,即旋转前后的图形具有相同的对称性。
3. 点、线和图形的旋转(1)点的旋转:点的旋转只是将一个点绕旋转中心旋转一定角度,并保持距离不变。
(2)线的旋转:线的旋转是通过将线段的两个端点绕旋转中心旋转一定角度,并保持线段长度不变。
(3)图形的旋转:图形的旋转是将整个图形绕旋转中心旋转一定角度,并保持图形的形状和大小不变。
4. 旋转的变换规律(1)旋转180度:一个图形绕旋转中心旋转180度后,得到的图形与原图关于旋转中心对称。
(2)旋转90度或270度:一个图形绕旋转中心旋转90度或270度后,得到的图形与原图关于旋转中心垂直对称。
(3)旋转360度:一个图形绕旋转中心旋转360度后,得到的图形与原图完全相同。
5. 旋转的应用举例(1)构造一个正方形:通过旋转一个合适的线段,可以构造一个正方形。
(2)判断图形是否重合:通过判断图形旋转一周后是否与原图形重合,可以判断两个图形是否重合。
(3)辅助解题:在解决一些几何问题时,通过对图形进行旋转可以得到一些有用的信息。
通过以上的介绍,希望同学们对九年级数学中旋转的知识点有了更深入的了解。
在学习和应用中,同学们可以灵活运用旋转的性质和规律,解决各种几何问题。
同时,建议同学们多做练习,加深对旋转的理解和运用能力。
祝大家在数学学习中取得更好的成绩!。
中考数学 专题22 几何三大变换问题之旋转(中心对称)问题(含解析)
专题22 几何三大变换问题之旋转(中心对称)问题轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。
旋转变换是指在同一平面内,将一个图形(含点、线、面)整体绕一固定点旋转一个定角,这样的图形变换叫做图形的旋转变换,简称旋转。
旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。
经过旋转,旋转前后图形的形状、大小不变,只是位置发生改变;旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等,即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上; 旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n 为大于1的正整数)后,与初始的图形重合,这种图形就叫做旋转对称图形,这个定点就叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角。
特别地,中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。
把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合,这个图形是中心对称图形。
在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识,是中考数学的必考内容。
中考压轴题中旋转问题,包括直线(线段)的旋转问题;三角形的旋转问题;四边形旋转问题;其它图形的问题。
一. 直线(线段)的旋转问题1. 如图,直线l :y 3x 3=-+与y 轴交于点A ,将直线l 绕点A 顺时针旋转75º后,所得直线的解析式为【 】A .y 33=B .y x 3=+.y x 3=-+ D .y x 3=【答案】B 。
【考点】旋转的性质,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】如图,由已知,可求直线y3x3=-+与x、y轴的交点分别为B(1,0),A(0,3),2.根据要求,解答下列问题:(1)已知直线l1的函数表达式为y x1=+,直接写出:①过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式;②过点(1,0)且与l1垂直的直线l2的函数表达式;(2)如图,过点(1,0)的直线l4向上的方向与x轴的正方向所成的角为600,①求直线l4的函数表达式;②把直线l4绕点(1,0)按逆时针方向旋转900得到的直线l5,求直线l5的函数表达式;(3)分别观察(1)(2)中的两个函数表达式,请猜想:当两直线垂直时,它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系?请根据猜想结论直接写出过点(1,1)且与直线11y x55=-垂直的直线l6的函数表达式。
初中数学竞赛中考讲义之几何三大变换之旋转
第32讲几何三大变换之旋转旋转的性质【例题讲解】例题1.如图所示,将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上,若145AOD ∠=︒,则BOC ∠=度.【解答】解:由图145AOD ∠=︒ ,1459055AOC AOD COD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒,则905535BOC ∠=︒-︒=度.故答案为:35.例题2.如图,ABC ∆中,90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,将ABC ∆绕C 点按逆时针方向旋转α角(090)α︒<<︒得到DEC ∆,设CD 交AB 于F ,连接AD ,当旋转角α度数为,ADF ∆是等腰三角形.旋转中心:O旋转角:∠AOA'=∠BOB'=∠COC'性质:OA=OA'、OB=OB'、OC=OC'旋转中心:B旋转角:∠ABA'=∠CBC'性质:AB=A'B 、CB=C'B 连接AA'、CC'△ABA'∽△CBC',且均为等腰三角形【解答】解:ABC ∆ 绕C 点按逆时针方向旋转α角(090)α︒<<︒得到DEC ∆,DCA α∴∠=,CD CA =,11(180)9022CDA CAD αα∴∠=∠=︒-=︒-,ADF ∆ 是等腰三角形,30DFA α∠=︒+,①CD CA =,则CDA CAD ∠=∠,当FD FA =,则FDA FAD ∠=∠,这不合题意舍去,②当AF AD =,ADF AFD ∴∠=∠,190302αα∴︒-=︒+,解得40α=︒;③当DF DA =,DFA DAF ∴∠=∠,13090302αα∴︒+=︒--︒,解得20α=︒.故答案为40︒或20︒.【旋转60°】得等边例题3.如图,在直角坐标系中,点A 在y 轴上,△AOE 是等边三角形,点P 为x 轴正半轴上任意一点,连接AP ,将线段AP 绕点A 逆时针60°得到线段AQ ,连接QE 并延长交x 轴于点F .(1)问∠QFP 角度是否发生变化,若不变,请说明理由;(2)若AO =,OP =x ,请表示出点Q 的坐标(用含x 的代数式表示)【解答】(1)不变(2)【旋转90°】构造全等例题4.如图,在平面直角坐标系中,点(,)A a b 为第一象限内一点,且a b <.连结OA ,并以点A 为旋转中心把OA 逆时针转90︒后得线段BA .若点A 、B 恰好都在同一反比例函数的图象上,则b a的值等于多少?【解答】解:过A 作AE x ⊥轴,过B 作BD AE ⊥,90OAB ∠=︒ ,90OAE BAD ∴∠+∠=︒,90AOE OAE ∠+∠=︒ ,BAD AOE ∴∠=∠,在AOE ∆和BAD ∆中,90AOE BAD AEO BDA AO BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,()AOE BAD AAS ∴∆≅∆,AE BD b ∴==,OE AD a ==,DE AE AD b a ∴=-=-,OE BD a b +=+,则(,)B a b b a +-;A 与B 都在反比例图象上,得到()()ab a b b a =+-,整理得:22b a ab -=,即2(10b b a a--=, △145=+=,∴152b a ±=, 点(,)A a b 为第一象限内一点,0a ∴>,0b >,则152b a +=.故答案为152+.【旋转180°】由中心对称得平行四边形例题5.如图所示,抛物线2:(0,0)m y ax b a b =+<>与x 轴于点A 、B (点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C .将抛物线m 绕点B 旋转180︒,得到新的抛物线n ,它的顶点为1C ,与x 轴的另一个交点为1A .(1)四边形11AC A C 是什么特殊四边形,请写出结果并说明理由;(2)若四边形11AC A C 为矩形,请求出a ,b 应满足的关系式.【解答】解:(1)当1a =-,1b =时,抛物线m 的解析式为:21y x =-+.令0x =,得:1y =.(0,1)C ∴.令0y =,得:1x =±.(1,0)A ∴-,(1,0)B ,C 与1C 关于点B 中心对称,∴抛物线n 的解析式为:22(2)143y x x x =--=-+;四边形11AC A C 是平行四边形.理由:连接AC ,1AC ,11A C ,C 与1C 、A 与1A 都关于点B 中心对称,1AB BA ∴=,1BC BC =,∴四边形11AC A C 是平行四边形.(2)令0x =,得:y b =.(0,)C b ∴.令0y =,得:20ax b +=,∴x =∴(A B ,∴AB BC ===.要使平行四边形11AC A C 是矩形,必须满足AB BC =,∴=,∴24(b b b a a⨯-=-,3ab ∴=-.a ∴,b 应满足关系式3ab =-.例题6.如图1,抛物线23y ax ax b =-+经过(1,0)A -,(3,2)C 两点,与y 轴交于点D ,与x 轴交于另一点B .(1)求此抛物线的解析式;(2)如图2,过点(1,1)E -作EF x ⊥轴于点F ,将AEF ∆绕平面内某点旋转180︒后得MNQ ∆(点M ,N ,Q 分别与点A ,E ,F 对应),使点M ,N 在抛物线上,求点M ,N 的坐标.【解答】解:(1) 抛物线23y ax ax b =-+过(1,0)A -、(3,2)C ,03a a b ∴=++,299a a b =-+.解得12a =-,2b =,∴抛物线解析式213222y x x =-++.(2)如图2,由题意知,AEF ∆ 绕平面内某点旋转180︒后得MNQ ∆,∴设绕点I 旋转,联结AI ,NI ,MI ,EI ,AI MI = ,NI EI =,∴四边形AEMN 为平行四边形,//AN EM ∴且AN EM =.(1,1)E - 、(1,0)A -,∴设(,)M m n ,则(2,1)N m n -+M 、N 在抛物线上,213222n m m ∴=-++,2131(2)(2)222n m m +=--+-+,解得3m =,2n =.(3,2)M ∴,(1,3)N .【旋转过后落点问题】例题7.如图,Rt ABC ∆中,已知90C ∠=︒,48B ∠=︒,点D 在边BC 上,2BD CD =,把Rt ABC ∆绕点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒度后,如果点B 恰好落在初始Rt ABC ∆的边上,那么m =.【解答】解:当旋转后点B 的对应点B '落在AB 边上,如图1,Rt ABC ∆ 绕点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒度得到Rt △A B C ''',DB DB ∴'=,B DB m ∠'=,48DB B B ∴∠'=∠=︒,18084B DB DB B B ∴∠'=︒-∠'-∠=︒,即84m =︒;当点B 的对应点B '落在AB 边上,如图2,Rt ABC ∆ 绕点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒度得到Rt △A B C ''',DB DB ∴'=,B DB m ∠'=,2BD CD = ,2DB CD ∴'=,90C ∠=︒ ,30CB D ∴∠'=︒,60CDB ∴∠'=︒,18060120B DB ∴∠'=︒-︒=︒,即120m =︒,综上所述,m 的值为84︒或120︒.故答案为84︒或120︒.例题8.如图,在Rt ACB ∆中,90ACB ∠=︒,点O 在AB 上,且6CA CO ==,1cos 3CAB ∠=,若将ACB ∆绕点A 顺时针旋转得到Rt △AC B '',且C '落在CO 的延长线上,连接BB '交CO 的延长线于点F ,则BF =.【解答】解:过C 作CD AB ⊥于点D ,CA CO = ,AD DO ∴=,在Rt ACB ∆中,16cos 3AC CAB AB AB∠===,318AB AC ∴==,在Rt ADC ∆中:1cos 3AD CAB AC ∠==,123AD AC ∴==,24AO AD ∴==,18414BO AB AO ∴=-=-=,△AC B ''是由ACB ∆旋转得到,AC AC ∴=',AB AB =',CAC BAB ∠'=∠',1(180)2ACC CAC ∠'=︒-∠' ,1(180)2ABB BAB ∠'=︒-∠',ABB ACC ∴∠'=∠',∴在CAO ∆和BFO ∆中,BFO CAO ∠=∠,CA CO = ,COA CAO ∴∠=∠,又COA BOF ∠=∠ (对顶角相等),BOF BFO ∴∠=∠,14BF BO ∴==.故答案为:14.例题9.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线26(0)y mx mx n m =++>与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 左侧),顶点为C ,抛物线与y 轴交于点D ,直线BC 交y 轴于E ,且ABC ∆与AEC ∆这两个三角形的面积之比为2:3.(1)求点A 的坐标;(2)将ACO ∆绕点C 顺时针旋转一定角度后,点A 与B 重合,此时点O 的对应点O '恰好也在y 轴上,求抛物线的解析式.【解答】解:(1)如图1,抛物线26(0)y mx mx n m =++>∴对称轴3x =-,当:2:3ABC AEC S S ∆∆=时,:2:1ABC AEB S S ∆∆∴=,过点C 作CF x ⊥轴于F ,:2:1CF OE ∴=易知,BFC BOE ∆∆∽,::2:1BF OB CF OE ∴==,1OB ∴=,2BF =,5OA ∴=,(5,0)A ∴-,(1,0)B -;(2)(1,0)B - ,06m m n ∴=-+,5n m ∴=,(3,4)C m ∴--,如图2,作CF AB ⊥于F ,CP OD ⊥于P ,则四边形CFOP 是矩形,4OP CF m ∴==,3CP OF ==,OP O P '=,28OO OP m'∴==由旋转知,5OA BO '==,在Rt BOO '∆中,1OB =,根据勾股定理得,2285126m =-=,64m ∴=263656424y x x ∴=++【旋转+“恰好”问题】例题10.如图,在直角坐标系中,直线4y =+分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ,点A 、B 分别在y 轴、x 轴上,且30B ∠=︒,4AB =,将ABO ∆绕原点O 顺时针转动一周,当AB 与直线MN 平行时点A 的坐标.【另外再可思考,当“AB 所在直线与MN 垂直时点A 的坐标”】【解答】解:①4AB = ,30ABO ∠=︒,122OA AB ∴==,903060BAO ∠=︒-︒=︒,120OAD ∴∠=︒,直线MN 的解析式为43y x =-+,30NMO ∴∠=︒,//AB MN ,30ADO NMD ∴∠=∠=︒,30AOC ∴∠=︒,112AC OA ∴==,OC ∴==∴点A 的坐标为,1);② 图②中的点A 与图①中的点A 关于原点对称,∴点A 的坐标为:(,1)-,故答案为:,1)、(1)-.例题11.在平面直角坐标系中,已知O 为坐标原点,点(3,0)A ,(0,4)B ,以点A 为旋转中心,把ABO ∆顺时针旋转,得ACD ∆.记旋转角为α.ABO ∠为β.(Ⅰ)如图①,当旋转后点D 恰好落在AB 边上时,求点D 的坐标;(Ⅱ)如图②,当旋转后满足//BC x 轴时,求α与β之间的数量关系:(Ⅲ)当旋转后满足AOD β∠=时,求直线CD 的解析式(直接写出结果即可).【解答】解:(1) 点(3,0)A ,(0,4)B ,得3OA =,4OB =,∴在Rt AOB ∆中,由勾股定理,得225AB OA OB =+=,根据题意,有3DA OA ==.如图①,过点D 作DM x ⊥轴于点M ,则//MD OB ,ADM ABO ∴∆∆∽.有AD AM DM AB AO BO==,得39355AD AM AO AB ==⨯= ,65OM ∴=,∴125MD =,∴点D 的坐标为6(5,12)5.(2)如图②,由已知,得CAB α∠=,AC AB =,ABC ACB ∴∠=∠,∴在ABC ∆中,1802ABC α∴=︒-∠,//BC x 轴,得90OBC ∠=︒,9090ABC ABO β∴∠=︒-∠=︒-,2αβ∴=;(3)若顺时针旋转,如图,过点D 作DE OA ⊥于E ,过点C 作CF OA ⊥于F ,AOD ABO β∠=∠= ,3tan 4DE AOD OE ∴∠==,设3DE x =,4OE x =,则43AE x =-,在Rt ADE ∆中,222AD AE DE =+,2299(43)x x ∴=+-,2425x ∴=,96(25D ∴,72)25,∴直线AD 的解析式为:247277y x =-, 直线CD 与直线AD 垂直,且过点D ,∴设724y x b =-+,把96(25D ,72)25代入得,72796252425b =-⨯+,解得4b =,互相垂直的两条直线的斜率的积等于1-,∴直线CD 的解析式为7424y x =-+.同理可得直线CD的另一个解析式为7424y x=-.【巩固练习】1.如图,在等边ABC ∆中,D 是边AC 上一点,连接BD .将BCD ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到BAE ∆,连接ED .若10BC =,9BD =,则AED ∆的周长是.2.如图一段抛物线:(3)(03)y x x x =--,记为1C ,它与x 轴交于点O 和1A ;将1C 绕1A 旋转180︒得到2C ,交x 轴于2A ;将2C 绕2A 旋转180︒得到3C ,交x 轴于3A ,如此进行下去,直至得到10C ,若点(28,)P m 在第10段抛物线10C 上,则m 的值为.3.如图,Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,30ABC ∠=︒,2AC =,ABC ∆绕点C 顺时针旋转得△11A B C ,当1A 落在AB 边上时,连接1B B ,取1BB 的中点D ,连接1A D ,则1A D 的长度是.4.如图,AOB ∆中,90AOB ∠=︒,3AO =,6BO =,AOB ∆绕点O 逆时针旋转到△A OB ''处,此时线段A B ''与BO 的交点E 为BO 的中点,求线段B E '的值.5.如图,在直角坐标系中,直线14:83l y x =+与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,将直线1l 绕着点A 顺时针旋转45︒得到2l .求2l 的函数表达式.6.如图,四边形ABCO 是平行四边形,2OA =,6AB =,点C 在x 轴的负半轴上,将ABCO 绕点A 逆时针旋转得到ADEF ,AD 经过点O ,点F 恰好落在x 轴的正半轴上,若点D 在反比例函数(0)k y x x =<的图象上,则k 的值为.7.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(8,0)-,直线BC 经过点(8,6)B -,(0,6)C ,将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转a 度得到四边形OA B C ''',此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q .在四边形OABC 旋转过程中,若使12BP BQ =?则点P 的坐标为.8.如图,在BDE ∆中,90BDE ∠=︒,BD =,点D 的坐标为(5,0),15BDO ∠=︒,将BDE∆旋转到ABC ∆的位置,点C 在BD 上,则旋转中心的坐标为.9.已知正方形ABCD 的边长为5,E 在BC 边上运动,DE 的中点G ,EG 绕E 顺时针旋转90︒得EF ,问CE =时,A 、C 、F 在一条直线上.10.如图,一次函数1(0)2y x m m =-+>的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,点C 在线段OA 上,点C 的横坐标为n ,点D 在线段AB 上,且2AD BD =,将ACD ∆绕点D 旋转180︒后得到△11A C D .(1)若点1C 恰好落在y 轴上,试求n m的值;(2)当4n =时,若△11A C D 被y 轴分得两部分图形的面积比为3:5,求该一次函数的解析式.11.在ABC ∆中,5AB AC ==,3cos 5ABC ∠=,将ABC ∆绕点C 顺时针旋转,得到△11A B C .(1)如图①,当点1B 在线段BA 延长线上时.①求证:11//BB CA ;②求△1AB C 的面积;(2)如图②,点E 是BC 边的中点,点F 为线段AB 上的动点,在ABC 绕点C 顺时针旋转过程中,点F 的对应点是1F ,求线段1EF 长度的最大值与最小值的差.12.如图(1),在ABC=,动点P在线段AC上以5/cm s的速度从=,3BC cmAB cmC∆中,90∠=︒,5点A运动到点C,过点P作PD AB',设点P的⊥于点D,将APD∆绕PD的中点旋转180︒得到△A DP 运动时间为()x s.(1)当点A'落在边BC上时,求x的值;(2)在动点P从点A运动到点C过程中,当x为何值时,△A BC'是以A B'为腰的等腰三角形;(3)如图(2),另有一动点Q与点P同时出发,在线段BC上以5/cm s的速度从点B运动到点C,过点Q 作QE AB⊥于点E,将BQE',连结A B'',当直线A B''与ABC∆绕QE的中点旋转180︒得到△B EQ∆的一边垂直时,求线段A B''的长.13.如图,(0,2)A ,(1,0)B ,点C 为线段AB 的中点,将线段BA 绕点B 按顺时针方向旋转90︒得到线段BD ,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点D .(1)若该抛物线经过原点O ,且13a =-,求该抛物线的解析式;(2)在(1)的条件下,点(,)P m n 在抛物线上,且POB ∠锐角,满足90POB BCD ∠+∠<︒,求m 的取值范围.14.如图1,抛物线210y ax ax c =-+经过ABC ∆的三个顶点,已知//BC x 轴,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上35OA BC =,且AC BC =.(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,将AOC ∆沿x 轴对折得到1AOC ∆,再将1AOC ∆绕平面内某点旋转180︒后得△112(A O C A ,O ,1C 分别与点1A ,1O ,2C 对应)使点1A 、2C 在抛物线_P 上,求点1A 、2C 的坐标;15.点P为图①中抛物线22m>上任一点,将抛物线绕顶点G逆时针旋转90︒=-+为常数,0)y x mx m m2(后得到的新图象与y轴交于A、B两点(点A在点B的上方),点Q为点P旋转后的对应点.(1)若点Q的坐标为(-,求该抛物线的函数关系式;(2)如图②,若原抛物线恰好也经过A点,点Q在第一象限内,是否存在这样的点P使得AGQ∆是以AG 为底的等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1.【解答】解:ABC ∆ 是等边三角形,10AC AB BC ∴===,BAE ∆ 由BCD ∆逆时针旋旋转60︒得出,AE CD ∴=,BD BE =,60EBD ∠=︒,10AE AD AD CD AC ∴+=+==,60EBD ∠=︒ ,BE BD =,BDE ∴∆是等边三角形,9DE BD ∴==,AED ∴∆的周长19AE AD DE AC BD =++=+=.故答案为:19.2.【解答】解:令0y =,则(3)0x x --=,解得10x =,23x =,1(3,0)A ∴,由图可知,抛物线10C 在x 轴下方,相当于抛物线1C 向右平移3927⨯=个单位,再沿x 轴翻折得到,∴抛物线10C 的解析式为(27)(273)(27)(30)y x x x x =---=--,(28,)P m 在第10段抛物线10C 上,(2827)(2830)2m ∴=--=-.3.【解答】解:90ACB ∠=︒ ,30ABC ∠=︒,2AC =,9060A ABC ∴∠=︒-∠=︒,4AB =,BC =,1CA CA = ,1ACA ∴∆是等边三角形,112AA AC BA ===,1160BCB ACA ∴∠=∠=︒,1CB CB = ,1BCB ∴∆是等边三角形,1BB ∴=,12BA =,1190A BB ∠=︒,1BD DB ∴==,1A D ∴==,.4.【解答】解:90AOB ∠=︒ ,3AO =,6BO =,AB ∴==AOB ∆ 绕顶点O 逆时针旋转到△A OB ''处,3AO A O ∴='=,A B AB ''==,点E 为BO 的中点,116322OE BO ∴==⨯=,OE A O ∴=',过点O 作OF A B ⊥''于F ,1362A OB S OF ''=⨯=⨯⨯ ,解得655OF =,在Rt EOF ∆中,5EF ==,OE A O =' ,OF A B ⊥'',22A E EF ∴'==(等腰三角形三线合一),B E A B A E ∴'=''-'=5.【解答】解: 直线483y x =+与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,(0,8)A ∴、(6,0)B -,如图2,过点B 做BC AB ⊥交直线2l 于点C ,过点C 作CD x ⊥轴,在BDC ∆和AOB ∆中,CBD BAO CDB AOB BC BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDC AOB AAS ∴∆≅∆,6CD BO ∴==,8BD AO ==,6814OD OB BD ∴=+=+=,C ∴点坐标为(14,6)-,设2l 的解析式为y kx b =+,将A ,C 点坐标代入,得1468k b b -+=⎧⎨=⎩,解得178k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,2l ∴的函数表达式为187y x =+;6.【解答】解:如图所示:过点D 作DM x ⊥轴于点M ,由题意可得:BAO OAF ∠=∠,AO AF =,//AB OC ,则BAO AOF AFO OAF ∠=∠=∠=∠,故60AOF DOM ∠=︒=∠,624OD AD OA AB OA =-=-=-= ,2MO ∴=,MD =,(2,D ∴--,2(k ∴=-⨯-=.故答案为:.7.【解答】解:存在这样的点P 和点Q ,使12BP BQ =.理由如下:过点Q 画QH OA ⊥'于H ,连接OQ ,则QH OC OC ='=,12POQ S PQ OC ∆= ,12POQ S OP QH ∆= ,PQ OP ∴=.设BP x =,12BP BQ =,2BQ x ∴=,如图4,当点P 在点B 左侧时,3OP PQ BQ BP x ==+=,在Rt PCO ∆中,222(8)6(3)x x ++=,解得13612x =+,23612x =-,(不符实际,舍去).3692PC BC BP ∴=+=+,1(92P ∴--,6),如图5,当点P 在点B 右侧时,OP PQ BQ BP x ∴==-=,8PC x =-.在Rt PCO ∆中,222(8)6x x -+=,解得254x =,257844PC BC BP ∴=-=-=,27(4P ∴-,6),综上可知,存在点136(92P --,6),27(4P -,6)使12BP BQ =.8.【解答】解:如图,AB 与BD 的垂直平分线的交点即为旋转中心P ,连接PD ,过P 作PF x ⊥轴于F .点C 在BD 上,∴点P 到AB 、BD 的距离相等,都是12BD ,即12⨯=45PDB ∴∠=︒,4PD ==,15BDO ∠=︒ ,451560PDO ∴∠=︒+︒=︒,30DPF ∴∠=︒,114222DF PD ∴==⨯=, 点D 的坐标是(5,0),523OF OD DF ∴=-=-=,由勾股定理得,PF ===∴旋转中心的坐标为(3,.故答案为:(3,.9.【解答】解:过F 作FN BC ⊥,交BC 延长线于N 点,连接AC ,90DCE ENF ∠=∠=︒ ,90DEC NEF ∠+∠=︒,90NEF EFN ∠+∠=︒,DEC EFN ∴∠=∠,Rt FNE Rt ECD ∴∆∆∽,DE 的中点G ,EG 绕E 顺时针旋转90︒得EF ,:2:1DE EF ∴=,:::2:1CE FN DE EF DC NE ∴===,2CE NF ∴=,1522NE CD ==.45ACB ∠=︒ ,∴当45NCF ∠=︒时,A 、C 、F 在一条直线上.则CNF ∆是等腰直角三角形,CN NF ∴=,2CE CN ∴=,22553323CE NE ∴==⨯=.53CE ∴=时,A 、C 、F 在一条直线上.故答案为:53.10.【解答】解:(1)由题意,得(0,)B m ,(2,0)A m ,如图,过点D 作x 轴的垂线,交x 轴于点E ,交直线11A C 于点F ,易知:23DE m =,2(3D m ,2)3m ,14(3C m n -,4)3m ,∴403m n -=,∴43n m =;(2)由(1)得,当3m >时,点1C 在y 轴右侧;当23m <<时,点1C 在y 轴左侧.①当3m >时,设11A C 与y 轴交于点P ,连接1C B ,由△11A C D 被y 轴分得两部分图形的面积比为3:5,S ∴△1:BA P S △13:1BC P =,11:3A P C P ∴=,∴,185m ∴=,11825y x ∴=-+;②当23m <<时,同理可得:11827y x =-+;综上所述,11827y x =-+或11825y x =-+.11.【解答】解:(1)①证明:AB AC = ,1B C BC =,1AB C B ∴∠=∠,B ACB ∠=∠,1AB C ACB ∠=∠ (旋转角相等),111B CA AB C ∴∠=∠,11//BB CA ∴;②过A 作AF BC ⊥于F ,过C 作CE AB ⊥于E ,如图①:AB AC = ,AF BC ⊥,BF CF ∴=,3cos 5ABC ∠=,5AB =,3BF ∴=,6BC ∴=,16B C BC ∴==,1318655BE B E ∴==⨯=,1365BB ∴=,424655CE =⨯=,13611555AB ∴=-=,∴△1AB C 的面积为:1112413225525⨯⨯=;(2)如图2,过C 作CF AB ⊥于F ,以C 为圆心CF 为半径画圆交BC 于1F ,1EF 有最小值,此时在Rt BFC ∆中,245CF =,1245CF ∴=,1EF ∴的最小值为249355-=;如图,以C 为圆心BC 为半径画圆交BC 的延长线于1F ,1EF 有最大值;此时11369EF EC CF =+=+=,∴线段1EF 的最大值与最小值的差为936955-=.12.【解答】解:(1)如图1, 在ABC ∆中,90C ∠=︒,5AB cm =,3BC cm =,4AC cm ∴=,当点A '落在边BC 上时,由题意得,四边形APA D '为平行四边形,PD AB ⊥ ,90ADP C ∴∠=∠=︒,APD ABC ∴∆∆∽,5AP x = ,4A P AD x ∴'==,45PC x =-,A PD ADP ∠'=∠ ,//A P AB ∴',∴△A PC ABC '∆∽,∴PC A P AC AB '=,即45445x x -=,解得:2041x =,∴当点A '落在边BC 上时,2041x =;(2)当A B BC '=时,222(58)(3)3x x -+=,解得:4012373x ±=.45x ,∴4073x -=;当A B A C '='时,58x =.(3)Ⅰ、当A B AB ''⊥时,如图6,DH PA AD '∴==,HE B Q EB ='=,2224235AB AD EB x x =+=⨯+⨯= ,514x ∴=,514A B QE PD x ∴''=-==;Ⅱ、当A B BC ''⊥时,如图7,5B E x ∴'=,57DE x =-,53cos 575x B x ∴==-,1546x ∴=,2523A B B D A D ∴''='-'=;Ⅲ、当A B AC ''⊥时,如图8,由(1)有,2041x =,12sin 41A B PA A ∴''='=;当A B AB ''⊥时,514x =,514A B ''=;当A B BC ''⊥时,1546x =,2546A B ''=;当A B AC ''⊥时,2053x =,2553A B ''=.13.【解答】解:(1)过点D 作DF x ⊥轴,垂足为F .90ABD ∠=︒ ,90DBF ABO ∴∠+∠=︒.又90OAB ABO ∠+∠=︒ ,DBF OAB ∴∠=∠.由旋转的性质可知AB BD =.在AOB ∆和BFD ∆中DBF OAB AOB BFD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,AOB BFD ∴∆≅∆.1DF OB ∴==,2AO BF ==.(3,1)D ∴.把点D 和点O 的坐标代入213y x bx c =-++得:1300b c c -++=⎧⎨=⎩,解得:43b =,0c =.∴抛物线的解析式为21433y x x =-+.(2)如图2所示:点(0,2)A ,(1,0)B ,C 为线段AB 的中点,1(2C ∴,1).C 、D 两点的纵坐标为1,//CD x ∴轴.BCD ABD ∴∠=∠.∴当POB BAO ∠=∠时,恰好90POB BCD ∠+∠=︒.设点P 的坐标为214(,)33m m m -+.当点P 在x 轴上且POB BAO ∠=∠时,则1tan tan 2POB BAO ∠=∠=,即2141332m m m -+=,解得:52m =或0m =(舍去).当点P 位于x 轴的下方,点P '处时,且POB BAO ∠=∠时,则1tan tan 2POB BAO ∠=∠=,即2141332m m m -=,解得:112m =或0m =(舍去).POB ∠ 为锐角,4m ∴≠.由图形可知:当点P 在抛物线上P 与P '之间移动时,90POB BCD ∠+∠<︒.m ∴的取值范围是:51122m <<且4m ≠.14.【解答】解:(1)35OA BC = ,AC BC =∴设3OA k =,5(0)AC BC k k ==>4OC k∴= 当0x =时,210y ax ax c c=-+=(0,)C c ∴,即4OC c k==4c k ∴=3(4c A ∴-,50)(4c B ,)c 抛物线经过点A 、B ∴2233()10()04455(1044c c a a c c c a a c c ⎧---+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得:1128a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线解析式为:2158126y x x =-++(2)如图1,1AOC ∆旋转后得到△112A O C 的位置如图所示116O A OA ∴==,128O C OC ==,11//O A x 轴,12O C x ⊥轴设2C 坐标为215(,8)126t t t -++,则2115(6,)126A t t t +-+221515(6)(6)8126126t t t t ∴-++++=-+解得:10t =1A ∴坐标为(16,0),2C 坐标为(10,8).15.【解答】解:(1) 对于222y x mx m =-+,当0y =时,x m =,OG m ∴=,点Q 为点P 绕顶点G 逆时针旋转90︒后的对应点,P m ∴,2)m +,把P m +,2)m +代入222y x mx m =-+中,得222)2)m m m m m +=-+,4m ∴=,∴该抛物线的函数关系式为;2816y x x =-+;(2)存在,点Q 在第一象限内,AQ GQ =,如图2中,由题意可知OA OG =,∴m =,1m ∴=,∴点(0,1)A ,点A 的对应点(2,1)C ,(1,0)G ,∴直线CG 解析式为1y x =-,线段CG 的中垂线MN 解析式为2y x =-+,由2221y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩解得15232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或15232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 点P 在第一象限,∴点P坐标1(2+,32-.。
九年级数学上册旋转知识点
九年级数学上册旋转知识点在九年级数学上册中,旋转是一个重要的知识点,它涉及到几何图形旋转后的性质和变化。
在本文中,我们将深入探讨旋转的概念、旋转的性质以及如何运用旋转来解决问题。
一、旋转的概念旋转是一种几何运动,它将一个图形围绕一个点或一条线旋转一定角度后得到一个新的图形。
旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种方式。
旋转的中心可以是任意一点,也可以是图形内部的一个点或多边形的中心。
二、旋转的性质1. 相似性:旋转不改变图形的形状和大小,只改变位置和方向。
旋转后的图形仍与原图相似。
2. 旋转角度:旋转角度是旋转的基本概念,它表示图形旋转的角度大小。
顺时针旋转角度为负值,逆时针旋转角度为正值。
3. 旋转中心:旋转中心是旋转的参考点,图形围绕旋转中心旋转。
旋转中心可以是图形内部的一个点,也可以是任意一点。
4. 不变性:旋转不改变图形的面积、周长和内角和。
只要旋转角度相同,图形的这些性质不会发生改变。
三、旋转的应用1. 图形的旋转:可以通过旋转图形来找出图形的对称轴,以及解决一些与对称有关的问题。
例如,我们可以通过旋转一个正方形90度来发现它有4个对称轴,分别是水平轴、垂直轴和两条对角线。
这有助于我们更好地理解图形的对称性质。
2. 图形的判断:通过旋转图形,我们还可以判断一个图形是否与另一个图形相似。
例如,我们可以通过旋转一个三角形180度,使其与另一个三角形重叠。
如果两个三角形完全重合,那么它们就是相似的。
3. 问题的求解:在解决一些几何问题时,旋转可以帮助我们更好地理清思路和寻找解题方法。
例如,当我们需要计算一个图形的面积时,可以将图形旋转一定角度,使其变成一个更简单的图形,然后计算这个简单图形的面积,最后通过旋转角度计算出原图形的面积。
四、旋转的思维拓展1. 与平移和缩放的关系:旋转与平移和缩放是几何变换的三种基本变换,它们之间存在着一定的联系。
例如,通过不同的旋转角度和旋转中心,可以实现平移和缩放的效果。
几何变换之旋转的性质
旋转那些事儿旋转,是三大几何变换中考察最多、难度最大的那个,平移、对称从图像观察角度来说直接显然,对应的结论也很容易用到.而旋转,变换得到的图形相对复杂些,有时候解题的突破口隐藏得更深,导致无从下手.本篇将从基本的性质开始,到一些常见的模型,最后说说关于构造旋转能给我们带来什么,全方位了解旋转在中考题中的考察.一、旋转的基本性质如下图,将△ABC 绕点A 旋转一定角度得到△ADE .性质一:对应边相等 结论:AB =AD ,AC =AE .补充:当然还可以得到BC =DE ,但这并没有什么用,因为BC 与DE 并没有特殊位置关系.性质二:对应角相等结论:∠B =∠D ,∠C =∠E ,∠BAC =∠DAE .补充:如果不是特殊角,此性质并没有什么用,但由性质二可以推性质三.性质三:旋转角都相等 结论:∠BAD =∠CAE =∠BFD . 补充:∠BAD =∠CAE 易证,∠BAD =∠BFD 可用“8字”模型证明: ∵∠BAD +∠B =∠BFD +∠D ,且∠B =∠D , ∴∠BAD =∠BFD .且第三组对应边往往用得最多.ABCDEFαααE DCBA【中考真题-关于三角形的旋转】1.(2019·眉山)如图,在Rt ABC ∆中,90B ∠=︒,5AB =,12BC =,将ABC ∆绕点A 逆时针旋转得到ADE ∆,使得点D 落在AC 上,则tan ECD ∠的值为 .【分析】对应边相等求线段长,即可得所求角的正切值. 由题意得:AD =AB =5,EN =CB =12, ∴CD =AC -AD =13-5=8, ∴123tan 82ECD ∠==.2.(2019·内江)如图,在△ABC 中,AB =2,BC =3.6,∠B =60°,将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△ADE ,当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时,则CD 的长为( )A .1.6B .1.8C .2D .2.6【分析】利用对应边相等、对应角相等可得特殊图形. 由题意得:△ABC ≌△ADE ,∴AB =AD , 又∠B =60°,∴△ABD 是等边三角形, ∴BD =AB =2,又BC =3.6, ∴CD =1.6.故选A .ABCDEABCE3.(2019·阜新)如图,在ABC ∆中,AC BC =,将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60︒,得到ADE ∆.若2AB =,30ACB ∠=︒,则线段CD 的长度为 .【分析】连接EC ,由题意可得△ACE 是等边三角形,∴EC =AC =BC =ED ,易证△ECD ≌△EAD ,∴CD =AD =AB =2, 故CD 的长为2.4.(2019·包头)如图,在ABC ∆中,55CAB ∠=︒,25ABC ∠=︒,在同一平面内,将ABC∆绕A 点逆时针旋转70︒得到ADE ∆,连接EC ,则tan DEC ∠的值是 .【分析】已知角度,必可求出∠DEC 的度数,且应该是个特殊角. 由题意得:∠EAC =70°,∴∠AEC =∠ACE =55°, 又∠EAD =∠CAB =55°,∴∠CAD =15°,∵∠ACE +∠CAD =∠ADE +∠DEC ,∴∠DEC =45°, ∴tan ∠DEC =1.ABCDEABCDEABCDE5.(2018·镇江)如图,ABC ∆中,90BAC ∠>︒,5BC =,将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转90︒,点B 对应点B '落在BA 的延长线上.若9sin 10B AC ∠'=,则AC = .【分析】题目给出'B AC ∠的正切值,故构造包含'B AC ∠的直角三角形. 过点C 作CH ⊥'BB 交'BB 于点H,则5CH ==,根据9sin 10B AC '∠=,即910CH AC =,可得:101099AC CH ===6.(2019·山西)如图,在ABC ∆中,90BAC ∠=︒,10AB AC cm ==,点D 为ABC ∆内一点,15BAD ∠=︒,6AD cm =,连接BD ,将ABD ∆绕点A 按逆时针方向旋转,使AB 与AC 重合,点D 的对应点为点E ,连接DE ,DE 交AC 于点F ,则CF 的长为 cm .【分析】特殊特殊度数必然有特殊图形. ∵15BAD ∠=︒,∴15CAE ∠=︒,∴60AFH ∠=︒ 过点A 作AH ⊥DE 交DE 于H 点,∵AD =6cm,∴AH =cm,HF =cm ,∴AF =cm,10CF =-,故CF的长为10-.B'A'ABH B'A'A BCABC DE FHFEDCBA【中考真题-关于四边形的旋转】7.(2017·吉林)如图,在矩形ABCD中,5AB=,3AD=.矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB C D'''.若点B的对应点B'落在边CD上,则B C'的长为.【分析】无论图形是什么,抓住旋转的重点来分析.过点B'作B H'⊥AB交AB于H点,则AH=4,BH=1,∴1B C'=.8.(2019·梧州)如图,在菱形ABCD中,2AB=,60BAD∠=︒,将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转,对应得到菱形AEFG,点E在AC上,EF与CD交于点P,则DP的长是.【分析】特殊的菱形旋转特殊的角度必然得到其他特殊的图形.连接DE,易证△PDE是等腰直角三角形,∵AB=2,∴AC=∵2 AE AB==,∴2CE=,∴1PE=,∴1PD.D'C'B'BCDHD'C'B'A BCDA BCDEFG PA BCDEFG P9.(2018·陇南)如图,点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点,把ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置,若四边形AECF 的面积为25,2DE =,则AE 的长为( )A .5 BC .7D【分析】旋转可以改变图形位置,或许会形成新的特殊图形. 易证△ADE ≌△ABF ,∴正方形ABCD 面积为25,所以边长AD =5, 又DE =2,∴AE D .10.(2019·贺州)如图,正方形ABCD 的边长为4,点E 是CD 的中点,AF 平分BAE∠交BC 于点F ,将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得ABG ∆,则CF 的长为 .【分析】方法较多,举一种与旋转相关的做法. 设EAF BAF α∠=∠=,DAE BAG β∠=∠=,则GAF GFA αβ∠=+=∠,∴GF =GA =EA=∴6CF CG GF =-=-,∴CF的长为6-AB CDEFGAB CDEF α+ββαβαGA BCDEF11.(2019·营口)如图,ABC ∆是等边三角形,点D 为BC 边上一点,122BD DC ==,以点D 为顶点作正方形DEFG ,且DE BC =,连接AE ,AG .若将正方形DEFG 绕点D 旋转一周,当AE 取最小值时,AG 的长为 .【分析】如图,当D 、A 、E 三点共线时,AE 最小, 过点A 作AM ⊥BC 交BC 于M 点,∵DM =1,AM =∴AD ==此时8AG ==,故AG 的长为8.ABCDEFGMABCE FG。
中考数学旋转知识点总结
中考数学旋转知识点总结一、旋转的基本概念1. 旋转的定义旋转是几何变换的一种,它将图形绕某一定点进行旋转,使得原图形经过旋转后仍符合原图形的性质。
在平面几何中,这一定点通常被称为旋转中心,而旋转的角度则是旋转的重要参数。
2. 旋转的表示在数学中,旋转可以通过不同的表示方法来描述。
最常见的是使用坐标系中的点和向量表示旋转,也可以使用矩阵来进行描述。
3. 旋转的性质旋转具有许多重要的性质,比如旋转是等距变换,旋转后的图形与原图形的关系等。
这些性质对于理解旋转的本质和应用都具有重要的意义。
二、旋转的基本公式1. 二维平面的旋转公式在平面几何中,二维平面上的点可以通过旋转变换而成。
对于坐标系中的点(x, y),绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以根据公式进行计算。
2. 三维空间的旋转公式在三维空间中,点的旋转也是常见的几何变换。
旋转的角度可以沿着不同轴进行,因此三维空间中的旋转公式相对复杂一些,但也是可以通过矩阵等方式进行描述的。
三、旋转的应用1. 图形的旋转在几何中,通过旋转可以使得图形的位置和方向发生变化。
通过学习旋转的原理和公式,可以对图形的旋转进行分析和计算,从而更好地理解和掌握图形的性质和特点。
2. 向量的旋转在向量几何中,旋转是常见的几何变换。
向量的旋转不仅可以通过公式进行计算,还可以通过向量的性质和几何特点进行分析,从而更深入地理解向量的旋转。
3. 坐标系的旋转在空间几何和三维几何中,经常需要对坐标系进行旋转变换。
通过学习旋转的原理和方法,可以更清晰地理解坐标系的旋转规律,从而更好地应用于实际问题的解决中。
四、旋转的相关定理1. 旋转对称性质在平面几何中,旋转对称是一种重要的对称方式。
通过学习旋转对称的定理和性质,可以更好地理解和应用旋转对称在几何图形中的作用。
2. 旋转角度的性质旋转角度的性质是旋转的重要定理和性质之一。
通过学习旋转角度的性质,可以更深入地理解和应用旋转的基本特点。
3. 旋转的复合变换旋转可以与其他几何变换进行复合,比如平移、翻转等。
平面几何的旋转变换
平面几何的旋转变换旋转是平面几何中常见的一种变换,通过旋转可以改变图形的方向和位置。
在本文中,我们将探讨平面几何中的旋转变换以及其相关性质和特点。
一、旋转的定义旋转是指将一个图形绕着一个固定点旋转一定角度,从而改变原图形的位置和方向。
在平面几何中,旋转变换可以用一个旋转中心和一个旋转角度来表示。
旋转中心是一个固定点,旋转角度是图形绕旋转中心旋转的角度。
二、旋转的性质1. 旋转不改变图形的大小和形状,只改变其位置和方向;2. 旋转是保角变换,即旋转前后,图形内部的角度大小保持不变;3. 若两个图形是相似的,那么它们可以通过旋转变换互相转化。
三、旋转的实例下面我们通过一些实例来展示旋转的具体应用。
例1:将一个三角形绕着一个固定点旋转45度。
解:假设三角形的顶点分别为A、B、C,旋转中心为O,旋转角度为45度。
我们可以按照如下步骤进行旋转:1. 将点A、B、C与旋转中心O连接;2. 以线段OA为半径,在逆时针方向上画一个45度的弧,交于点A';3. 以线段OB为半径,在逆时针方向上画一个45度的弧,交于点B';4. 以线段OC为半径,在逆时针方向上画一个45度的弧,交于点C';那么,经过旋转变换后,原三角形ABC将变为三角形A'B'C',且A'B'C'与ABC相似。
例2:将一个正方形绕着中心点旋转90度。
解:假设正方形的四个顶点分别为A、B、C、D,中心点为O,旋转角度为90度。
按照下面的步骤进行旋转:1. 将点A、B、C、D与中心点O连接;2. 以线段OA为半径,在逆时针方向上画一个90度的弧,交于点A';3. 以线段OB为半径,在逆时针方向上画一个90度的弧,交于点B';4. 以线段OC为半径,在逆时针方向上画一个90度的弧,交于点C';5. 以线段OD为半径,在逆时针方向上画一个90度的弧,交于点D';那么,经过旋转变换后,原正方形ABCD将变为正方形A'B'C'D',且A'B'C'D'与ABCD相似。
数学旋转知识点总结
数学旋转知识点总结1. 旋转的定义旋转是指物体绕某一点或某一轴进行旋转运动的几何变换。
在数学中,我们通常将旋转运动描述为一个平面上的点绕着另一个点进行旋转,或者一个图形绕着平面上的某一点进行旋转。
旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种方向。
2. 旋转的表示方法旋转可以通过不同的表示方法来描述,其中最常见的是使用坐标变换的方式来表示。
假设我们要对一个点P(x, y)进行旋转,旋转角度为θ,则旋转后的点P'(x', y')的坐标可以表示为:x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ这个公式称为旋转矩阵,通过它我们可以计算出旋转后的点的坐标。
另外,我们也可以使用复数来表示旋转。
假设我们有一个复数z = a + bi,表示平面上的一个点,我们将z乘以一个复数e^(iθ)就可以得到z关于原点旋转θ角度后的新坐标。
3. 旋转的性质旋转具有一些重要的性质,包括保持向量长度不变、保持向量夹角不变、满足结合律和分配律等。
这些性质使得旋转在几何变换中具有重要的作用,它可以帮助我们理解和分析各种几何关系,也为我们解决问题提供了便利。
另外,旋转还具有周期性,即当一个点或一个图形进行多次旋转后,最终还会回到它原来的位置和形状,这对于解决一些周期性问题非常有用。
4. 旋转的应用旋转在各个领域都有重要的应用,特别是在几何学和物理学中。
在几何学中,旋转可以帮助我们解决各种几何问题,如图形的对称性、旋转体的体积和表面积等;在物理学中,旋转则可以用来描述物体的旋转运动、角动量的变化等。
另外,在计算机图形学中,旋转也是一个重要的概念,它可以帮助我们实现各种图形变换和动画效果。
通过旋转,我们可以实现物体的三维旋转、平面上的图形变换等操作,这对于计算机图形的渲染和建模有着很大的意义。
5. 旋转的扩展除了在平面上旋转,我们还可以将旋转的概念扩展到更高维度的空间中。
旋转知识点总结
旋转知识点总结旋转是一种常见的几何变换,它改变了物体的方向、位置和角度。
在计算机图形学、几何学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
下面是对旋转相关知识点的一些总结:1. 旋转的定义:旋转是一种刚体运动,它将物体绕着特定的轴线转动一定的角度。
旋转由旋转中心、旋转轴和旋转角度三个要素来描述。
2. 旋转的方向:旋转可以是顺时针方向或逆时针方向。
在三维空间中,右手法则可以确定旋转的方向。
3. 旋转角度的表示:旋转角度可以用弧度制或角度制来表示。
弧度制是使用弧长与半径的比值来表示角度,角度制则是使用度数来表示。
4. 旋转矩阵:旋转可以用旋转矩阵来表示。
旋转矩阵是一个二维矩阵,其中每个元素表示旋转后的坐标与旋转前的坐标之间的关系。
5. 旋转轴的表示:旋转轴可以用向量来表示,向量的方向和大小决定了旋转轴的方向和旋转角度的大小。
6. 旋转的基本性质:旋转具有一些基本的性质,包括不变性、可逆性、可叠加性等。
这些性质对于旋转的应用非常重要。
7. 旋转的合成:旋转可以进行合成,即先进行一个旋转,再进行另一个旋转。
合成旋转可以通过旋转矩阵的乘法来实现。
8. 旋转的变换:旋转可以用来进行物体的变换,包括位置的变换、形状的变换和姿态的变换等。
旋转变换可以通过矩阵乘法来实现。
9. 欧拉角和四元数:欧拉角和四元数是常用的旋转表示方法。
欧拉角使用三个独立的角度来表示旋转,而四元数使用一个四维向量来表示旋转。
10. 旋转的应用:旋转在计算机图形学中有广泛的应用,包括三维建模、动画、物理模拟等。
旋转也被广泛应用于机器人学、飞行控制、游戏开发等领域。
11. 旋转的误差:由于测量误差和计算误差等原因,旋转变换可能会引入一定的误差。
为了减少误差,可以使用数值方法和优化算法等技术来进行旋转估计和校正。
12. 旋转的性能优化:旋转的计算通常比较复杂,对于大规模的数据和复杂的模型,旋转计算可能会成为性能瓶颈。
为了提高性能,可以使用并行计算、SIMD指令、快速算法等技术来加速旋转计算。
数学形的旋转
数学形的旋转旋转是数学中常见的几何变换之一,它可以用来描述物体或图形沿着某个中心点旋转一定角度后的形态。
旋转不仅在数学中有重要的应用,也广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。
本文将介绍数学形的旋转原理以及其在实际中的应用。
一、旋转的基本原理旋转是将图形绕着一个中心点旋转一定角度后得到的新图形。
旋转可以按顺时针或逆时针方向进行。
对于平面上的点(x, y),绕着原点旋转θ度后的新坐标(x', y')可以通过以下公式计算得出:x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中,cosθ和sinθ分别表示旋转角度θ的余弦值和正弦值。
通过这个公式,我们可以得到任意点的旋转后的坐标,从而获得旋转后的图形。
二、数学形的旋转应用数学形是指由数学符号或公式组成的图形,常见包括平面上的圆、椭圆、矩形等。
旋转可以改变数学形的外形和位置,从而产生新的数学形。
1. 圆的旋转将一个圆绕着其圆心进行旋转,可以得到一系列新的圆。
旋转后的圆的半径保持不变,但位置和方向有所改变。
2. 椭圆的旋转椭圆是由一个不位于圆心的点P和两个定点F1、F2之间的距离之和等于常数2a所确定的曲线。
将椭圆绕着其中心进行旋转,可以得到一系列旋转后的椭圆。
旋转后的椭圆的长轴和短轴可能发生改变,位置也会有所改变。
3. 矩形的旋转矩形是由四个顶点和四条边所围成的四边形。
将矩形绕着其中一条边进行旋转,可以得到一系列旋转后的矩形。
旋转后的矩形的边长和对角线长度可能发生改变,角度和位置也会有所改变。
三、数学形的旋转在实际中的应用旋转在实际中有广泛的应用,特别是在计算机图形学和工程领域。
1. 计算机图形学在计算机图形学中,旋转是一种常见的图像变换操作。
通过旋转,可以实现图像的旋转、缩放、平移等效果,从而丰富图像的表现形式。
旋转还可以用于三维模型的变换,例如物体的旋转、观察者视角的改变等。
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【例1】 如图,在Rt ABC ∆中,AB AC AD BC =⊥,,垂足为D .E F 、分别是CD AD 、上的点,且CE AF =.如果62AED ∠=︒,那么DBF ∠=__________.FCBA【答案】28︒【例2】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点,且BE CF =.求证:AE BF ⊥.PFEDCBA【答案】在ABE ∆和BCF ∆中AB BCABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE BCF ∆∆≌ ∴BAE CBF ∠=∠ ∵90BAE AEB ∠+∠=︒ ∴90CBF AEB ∠+∠=︒ ∴AE BF ⊥【例3】 E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点,GE EF ⊥,GE EF =.求证:BG CF BC +=.GA BC DEF【例4】 如图,矩形ABCD 中,E 是AD 上一点,CE EF ⊥交AB 于F 点,若2DE =,矩形周长为16,且CE EF =,求AE 的长.EDCBF A【答案】∵FE EC ⊥,∴90AEF DEC ∠+∠=︒.∵90AEF AFE ∠+∠=︒, ∴AFE DEC ∠=∠.在三角形AFE 与DEC ∆中,FE CE =,90A D ∠=∠=︒,AFE DEC ∠=∠,∴AFE DEC ∆∆≌. ∴AE DC =.∵矩形周长为16, ∴8AD DC +=. ∵AD AE DE =+,∴且2DE =.∴28AE DE =-.即3AE =【例5】 如图,已知ABC ∆中,90ABC AB BC ∠=︒=,,三角形的顶点在相互平行的三条直线123l l l ,,上,且12l l ,之间的距离为2,23l l ,之间的距离为3,则AC 的长是______.CBAl 3l 2l 1【答案】【例6】 两个全等的30︒、60︒的三角板ADE 、BAC ,如右下图所示摆放,E 、A 、C 在一条直线上,连结BD .取BD 的中点M ,连结ME 、MC ,试判断EMC ∆的形状,并说明理由.ME DCBA【解析】判断EMC ∆是等腰直角三角形.理由:如图,连结AM .DMBCA E∵30DAE ∠=︒,60BAC ∠=︒,∴90DAB ∠=︒ ∵ADE BAC ∆∆≌,∴AD AB =又∵M 是BD 的中点,∴AM DM BM == ∴45ADM MAB ∠=∠=︒∴6045105EDM EDA ADM ∠=∠+∠=︒+︒=︒ ∴4560105MAC MAB BAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒ ∴EDM MAC ∠=∠∵ED CA =,∴EDM CAM ∆∆≌ ∴EM CM =,DME AMC ∠=∠而90DME EMA ∠+∠=︒,∴90AMC EMA ∠+∠=︒ 即90EMC ∠=︒,∴EMC ∆是等腰直角三角形.【例7】 已知等腰直角三角形ABC ,C ∠为直角,M 为BC 的中点.CD AM ⊥.求证:AMC DMB ∠=∠.求证:AMC DMB ∠=∠.MDCBA【例8】 如图所示,已知在等腰直角三角形ABC 中,BAC ∠是直角,D 是AC 上一点,AE BD ⊥,AE 的延长线交BC 于F ,若A D B F D C ∠=∠,求证:D 是AC 的中点.F EDCBA【答案】过C 作CH 垂直于AC 交AF 延长线于H 点;易证ABD AHC ∆∆≌,HC AD =;进而证明FHC FDC ∆∆≌,得到HC CD =,则D 为AC 中点.H F EDCBA【例9】 如图所示,在等边ABC ∆中,DE BC ∥,O 为ADE ∆的中心,M 为BE 的中点,求证OM CM ⊥.【答案】如图所示,延长OM 至点N ,使OM MN =,连接OA 、OE 、OC 、BN 、CN .M CBAED ON MCB AED O因为OM NM =,BM M E =,OME NMB ∠=∠, 故BMN ∆≌EMO ∆,则BN EO =,OEM NBM ∠=∠. 因为DE BC ∥,则DEB CBE ∠=∠,OED CBN ∠=∠.因为O 为ADE ∆的中心,则OA OE BN ==,30OAE OED CBN ∠=∠=︒=∠. 因为AC BC =,故AOC ∆≌BNC ∆,从而OC CN =. 因为OM MN =,故OM CM ⊥.【点评】如果具备三角形相似的知识,我们就可以采取下面的解法. 如图所示,取AE 的中点N ,连接MN 、OA 、ON 、OC .因为O 为ADE ∆的中心,故30OAN ∠=︒,2OA ON =. 因为AN NE =,BM EM =,故2AB MN AC ==. 因为ON AC ⊥,MN AB ∥,故60MNE ∠=︒,因为30ONM ∠=︒,故O A C ∆∽ONM ∆,OMN OCN ∠=∠,则O 、M 、C 、N 四点共圆.因为ON AC ⊥,故OM CM ⊥.【例10】 已知P 为等腰直角ABC ∆的斜边AB 上任意一点,PE 、PF 分别为AC 、BC 之垂线,垂足为E 、F .M 为AB 之中点.则E 、M 、F 组成等腰直角三角形.MP F EC BA【答案】解法一:如图,连接CM ,则CM 为AB 之中线,亦为AB 之高.PMBA F EC∴90CMA ∠=︒.∵90PEC PFC ECF ∠=∠=∠=︒, ∴ECFP 为矩形,故PE CF =. 又∵45A ∠=︒,∴AEP ∆为等腰直角三角形,∴AE PE =.∴AE CF =. 又∵CM AM =,45MCF A ∠=∠=︒, ∴AEM CFM ∆∆≌,∴AME CMF ∠=∠,EM FM =. ∵90CME AME ∠+∠=︒,∴90CME CMF ∠+∠=︒,即90EMF ∠=︒. ∴EM F ∆为等腰直角三角形. 解法二:如图,由M 作ME AC '⊥,MF BC '⊥,则显然由于M 为AB 之中点,AC BC =,AC BC ⊥,PMBA F E C F'E'Q∴ME CF ''为正方形,故M E M F ''=. 又设M E '交PF 于Q , 则∵PE AC ⊥,PF BC ⊥,∴90EPF C ∠=∠=︒.而90PEE EE Q ''∠=∠=︒. ∴EE QP '为矩形,故EE PQ '=. 同理FF QM '=.又∵PF AC ∥,∴45QPM A ∠=∠=︒. ∴PQM ∆为等腰直角三角形, ∴PQ QM =,故EE FF ''=.又M E M F ''=,90EE M FF M ''∠=∠=︒.∴EEMFFM ''∆∆≌, ∴EM E FM F ''∠=∠,EM FM =. 又90E MF FMF ''∠+∠=︒, ∴90E MF EME ''∠+∠=︒.即90EMF ∠=︒,故M EF ∆为等腰直角三角形.解法三:如图,延长FM 到Q ,使MQ FM =,连接AQ .PMBA F EC Q∵AM BM =,∴A 、F 、B 、Q 4点组成平行四边形. ∴AQ FB =,AQ FB ∥. 又∵BC AC ⊥,∴AQ AC ⊥, ∴90QAE FCE ∠=∠=︒.又∵PF BC ⊥,45B ∠=︒,∴FP FB =.同理EP AE =. ∵ECFP 为矩形,∴FP CE =,EP CF =,故AB .而CM AB ⊥, ∴AQ CE =,AE CF =. ∴Rt Rt AEQ CFE ∆∆≌.∴EQ FE =,AQE CEF ∠=∠,QEA EFC ∠=∠. ∵90AQE QEA ∠+∠=︒, ∴90CEF QEA ∠+∠=︒.故PFQF= ∴FEQ ∆为等腰直角三角形.而M 为底边之中点,所以EM F ∆亦为等腰直角三角形.解法四:如图,连接CM ,则因为M 为AB 之中点,所以CM AB ⊥,CM 平分ACB ∠,即45MCB ∠=︒.由F 向MB 引垂线FQ ,向CM 引垂线FF ',显然F FQM'为矩形.则FF MQ '=.PM BA FECF'Q又∵CF F '∆为等腰直角三角形,CF '. 又∵PE AC ⊥,PF BC ⊥,AC BC ⊥, ∴ECFP为矩形,故EP CF ==.于是在Rt EPF ∆和Rt MQF ∆中,PF FB ==,PF QF =EPMQ= ∴PF EPQF MQ=,∴EPF MQF ∆∆∽,故EFP MFQ ∠=∠. 又∵45PFM MFQ ∠+∠=︒,∵45PFM EFP ∠+∠=︒,即PF BF =. 同理45FEM ∠=︒,EM F ∆为等腰直角三角形. 解法五:如图,连接CP 、CM .PMBA F EC∵PF BF =,ABC ∆为等腰直角三角形, ∴45BPF BCM ∠=∠=︒.∴P 、C 、F 、M 4点共圆.∴CMF CPF ∠=∠.又∵CPF CEF ∠=∠,∴CEF CMF ∠=∠,∴E 、C 、F 、M 4点共圆. ∴45MEF MCF ∠=∠=︒,45MFE MCE ∠=∠=︒,∴iEMF 是等腰直角三角形.【例11】 长方形ABCD 中,4AB =,7BC =,BAD ∠的角平分线交BC 于点E ,EF ED⊥交AB 于F ,则EF =_________.FEDCB A【解析】由4AB =,AE 平分BAD ∠可知4BE AB CD ===. 由基本图可知BEF CDE ∆∆≌,故EF DE =又7BC =,4BE =,故3CE =.由勾股定理可知,5DE =. 从而可知5EF =. 【答案】5【例12】 如图,设ABC ∆和CDE ∆都是正三角形,且62EBD ∠=︒,则AEB ∠ 的度数是( )A .124︒B .122︒C .120︒D .118︒图1ADBCE【答案】分析 既然题目这样问,说明这两个角之间必然能找到一定的联系.解 易知ACE BCD ∠=∠,AEC BDC ∆∆≌,于是EAC DBC ∠=∠,从而EBD CBD CBE EAC CBE ∠=∠+∠=∠+∠, 在考虑到360EAC AEC ACE CEB ECB EBD ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ,有:3606062360BEC AEC AEB ∠+∠=--=-∠ 从而122AEB ∠= ,选B 。
【例13】 已知:BD CE 、是ABC ∆的高,点P 在BD 的延长线上,BP AC =,点Q 在CE 上,CQ AB =,求证:⑴AP AQ =;⑵AP AQ ⊥.PDQCBEA【答案】如图,设CE 交BD 于F .⑴ 由BD CA ⊥,CE AB ⊥,知90BEF CDF ∠=︒=∠.而BFE CFD ∠=∠, 故ABD QCA ∠=∠.由已知,有AB QC =,BP CA =,从而ABP QCA ∆∆≌, 即有AP AQ =.⑵ 由⑴可得AQC PAB ∠=∠,而 90AQC QEA QAE QAE ∠=∠+∠=︒+∠. PAB PAQ QAE ∠=∠+∠.从而可得90PAQ ∠=︒,即AP AQ ⊥.【例14】 如图,ABC ∆的边BC 在直线l 上,AC BC ⊥,且AC BC =;EFP ∆的边FP 也在直线l 上,边EF 与边AC 重合,且EF FP =.⑴ 在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系;⑵ 将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时,EP 交AC 于点Q ,连结AP ,BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想; ⑶ 将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时,EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ,连结AP ,BQ .你认为⑵中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.图⑴lPC (F )B A (E )图⑵Q ←lPFE C B A图⑶←QAEB CF Pl4321A B C EFPlQN lPFCBEAQ【答案】(1)AB AP =;AB AP ⊥.(2)BQ AP =;BQ AP ⊥.①由已知,得EF EP EF FP =⊥,,∴45EPF ∠=︒. 又∵AC BC ⊥,∴45CQP CPQ ∠=∠=︒.∴CQ CP =. 在Rt BCQ ∆和Rt ACP ∆中,90BC AC BCQ ACP CQ CP =∠=∠=︒=,,,∴Rt Rt BCQ ACP ∆∆≌,∴BQ AP =. ②如图,延长BQ 交AP 于点M . ∵Rt Rt BCQ ACP ∆∆≌,∴12∠=∠. 在Rt BCP △中,1390∠+∠=︒,又34∠=∠,∴241390∠+∠=∠+∠=︒.∴90QMA ∠=︒.∴BQ AP ⊥. (3)成立.①∵45EPF ∠=︒,∴45CPQ ∠=︒.又∵AC BC ⊥,∴45CQP CPQ ∠=∠=︒.∴CQ CP =. 在Rt BCQ ∆和Rt ACP ∆中,90BC AC BCQ ACP CQ CP =∠=∠=︒=,,,∴Rt Rt BCQ ACP ∆∆≌.∴BQ AP =.②如图,延长QB 交AP 于点N ,则PBN CBQ ∠=∠. ∵Rt Rt BCQ ACP ∆∆≌,∴BQC APC ∠=∠. 在Rt BCQ ∆中,90BQC CBQ ∠+∠=︒, ∴90APC PBN ∠+∠=︒.∴90PNB ∠=︒. ∴BQ AP ⊥.【例15】ABC ∆中,D 为BC 中点,DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ,EF AB ⊥于F EG AC ⊥于G .求证:BF CG =.EGF DC BADE 垂直平分BC ,∴BE CE =,AE 平分BAC ∠,EF AB ⊥,EG AC ⊥,∴EF EG =,又90BFE CGE ∠=∠=︒,∴Rt BEF ∆≌Rt CEG ∆(HL ),∴BF CG =,【例16】 如图,在正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,,MN MD BN CBE ⊥∠平分,E 为AB的延长线上一点.求证:MD MN =.NM EDCB A【答案】取AD 的中点P ,连接MP ,证明PMD BNM ∆∆≌,于是MD MN =.【例17】 如图,点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点,MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ,MD 与MN 有怎样的数量关系?N CDE B M A NCDEB M A【答案】猜测DM MN =.在AD 上截取AG AM =,∴DG MB =,∴45AGM = ∠∴135DGM MBN ==︒∠∠,∴ADM NMB =∠∠, ∴DGM MBN ∆∆≌,∴DM MN =.【例18】 如图,点M 为正方形ABCD 的边AB (或BA )延长线上任意一点,MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ,此时MD 与MN 有何数量关系?并加以证明.CD NEM B A【答案】猜测MD MN =,延长AD 至点P ,使DP BM =,连结PM .P CDNEM B A∵DC AM ∥, ∴CDM DMA =∠∠, ∴PDM BMN =∠∠, 而45APM NBM ==︒∠∠, ∴PDM BMN ∆∆≌, ∴MD MN =【例19】 如图,点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外),作60DMN ∠=︒,射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ,DM 与MN 有怎样的数量关系?NEB M A D【答案】猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ,AG AM =,GNEB M A D∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠= ∠,120DMA NMB += ∠∠ ∴ADM NMB =∠∠,而120DGM MBN == ∠∠,∴DGM MBN ∆∆≌,∴DM MN =.【例20】 已知,ABC ∆中,3AB =,120BAC ∠=︒,1AC =,D 为AB 延长线上一点,1BD =,点P 在BAC ∠的平分线上,且满足PAD ∆是等边三角形. ⑴ 求证:BC BP =; ⑵ 求点C 到BP 的距离.CB P DAEDC BA【答案】⑴ 解法一:连结PC∵11AC BD ==,,∴AC BD =, ∵120BAC ∠=︒,AP 平分BAC ∠, ∴1602CAB BAC ∠=∠=︒,∵PAD ∆是等边三角形,∴60PA PD D =∠=︒,, ∴CAB D ∠=∠,∴PAC PDB ∆∆≌, ∴PC PB APC DPB =∠=∠,, ∴60APC APB DPB APB BPC DPA ∠+∠=∠+∠∠=∠=︒,, ∴PBC ∆是等边三角形,BC BP =.解法二:作BM PA ∥交PD 于M ,证明PBM BCA ∆∆≌, 证明过程略.MADP B CNFEAD PBC⑵ 解法一:作CE PB ⊥于E ,PF AB ⊥于F . ∵31AB BD ==,,∴4AD =, ∵PAD ∆是等边三角形,PF AB ⊥,∴12sin602DF AD PF PD ===⋅︒=,∴1BF DF BD BP =-=,∴sin 60sin 60CE BC BP =⋅︒=⋅︒, 即点C 到BP. 解法二:作BN DP ⊥于N , ∴12DN =,72NP DP DN =-=,BN =,∴BP =以下同解法一.【例21】 如图,已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形,B 、C 、D 在一条直线上,试说明CE与AC CD +相等的理由.EDCBA【答案】∵AC AB =,CAE BAD ∠=∠,AE AD =∴AEC ADB ∆∆≌ ∴CE BD =又∵BD BC CD AC CD =+=+ ∴CE AC CD =+【例22】 如图,在四边形ABCD 中, AD BC ∥,点E 是AB 上一个动点;若60B ∠=︒,AB BC =,且60DEC ∠=︒,判断AD AE +与BC 的关系并证明你的结论.EDCB A【答案】过点E 作EF BC ∥交AC 于F .F ABC DE∵60AB BC B =∠=︒,,∴ABC ∆是等边三角形, 由EF BC ∥易知,AEF ∆也是等边三角形, ∴60AE FE AEF AFE BE CF =∠=∠=︒=,,, ∵AD BC ∥,∴180120EAD B ∠=︒-∠=︒,且120EFC ∠=︒, ∵60DEC AEF ∠=∠=︒,∴AED FEC ∠=∠, ∴()ASA AED FEC ∆∆≌,∴AD FC BE ==, ∴AB AE BE AE AD =+=+,∴BC AD AE =+.【例23】 已知,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,D 是射线BC 上一动点(D 与C 不重合),以AD为一边向右侧作等边ADE ∆(C 与E 不重合),连接CE .⑴ 若ABC ∆为等边三角形,当点D 在线段BC 上时(如图1所示),则直线BD 与直线CE 所夹锐角为 度;⑵ 若ABC ∆为等边三角形,当点D 在线段BC 的延长线上时(如图2所示),你在⑴中得到的结论是否仍然成立?请说明理由; ⑶ 若ABC ∆不是等边三角形,且BC AC >(如图3所示).试探究当点D 在线段BC上时,你在⑴中得到的结论是否仍然成立?若成立,请说明理由;若不成立,请指出当ACB ∠满足什么条件时,能使⑴中的结论成立,并说明理由.图1FED C B A图2B C D F AE图3B CFAGEDF CBA【答案】⑴ 60︒;⑵ 成立.∵ABC ∆是等边三角形,∴60AB AC BAC =∠=︒,, ∵ADE ∆是等边三角形,∴60AD AE DAE =∠=︒,, ∴BAD CAE ∠=∠,∴()SAS BAD CAE ∆∆≌, ∴60ACE ABD ∠=∠=︒, ∵120ACD ∠=︒,∴60ECF ∠=︒, 即直线BD 与直线CE 所夹锐角为60︒.⑶ 原结论不成立.当60ACB ∠=︒时,才能使⑴中的结论成立. 当60ACB ∠=︒时,在BC 上取一点G ,使得CG AC =, 则AGC ∆是等边三角形,∴60AG AC GAC =∠=︒,, ∵ADE ∆是等边三角形,∴60AD AE DAE =∠=︒,, ∴GAD CAE ∠=∠,∴()SAS GAD CAE ∆∆≌, ∴60ACE AGD ∠=∠=︒,∴180180606060ECF ACG ACE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒. ∴当60ACB ∠=︒时,能使⑴中的结论成立.【例24】 如图,等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点.求证:AE BD =.DECBA【答案】∵ABC ∆是等边三角形,∴60ACB ∠=︒,AC BC =.∴60BCD DCA ∠+∠=︒,同理60ACE DCA ∠+∠=︒,DC EC =.∴BCD ACE ∠=∠ 在BCD ∆与ACE ∆ 中,BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCD ACE ∆∆≌,∴BD AE =.【例25】 如图,ABD ∆和CED ∆均为等边三角形,AC BC =,AC BC ⊥.若BE =CD = .图6DECB A【解析】易知CDB ∆≌CDA ∆≌EDB ∆,从而BC AC BE ==2AB =,由CDA CDB ∠=∠知CD 是ABD ∆一条高的一部分,1.1.【例26】 如图,B ,C ,E 三点共线,且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形,连结BD ,AE 分别交AC ,DC 于M ,N 点.求证:CM CN =.NMEDCBA【答案】∵ABC ∆与DCE ∆都是等边三角形∴BC AC =,CD CE =及60ACB DCE ∠=∠=︒ ∵B ,C ,E 三点共线∴180BCD DCE ∠+∠=︒,180BCA ACE ∠+∠=︒ ∴120BCD ACE ∠=∠=︒ 在BCD ∆与ACE ∆中BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCD ACE ∆∆≌, ∴CAN CBM ∠=∠∵120BCD ACE ∠=∠=︒,60BCM NCE ∠=∠=︒ ∴60ACD ∠=︒ 在BCM ∆与ACN ∆中60BC AC BCM ACN CBM CAN =⎧⎪∠==︒⎨⎪∠=∠⎩∴BCM ACN ∆∆≌,∴CM CN =.【例27】 如图,点C 为线段AB 上一点,ACM ∆、CBN ∆是等边三角形.请你证明:(1)AN BM =; (2)DE AB ∥;(3)CF 平分AFB ∠.M D NEC BFA【答案】此图是旋转中的基本图形.其中蕴含了许多等量关系.60MCN ∠= 与三角形各内角相等,及平行线所形成的内错角及同位角相等; 全等三角形推导出来的对应角相等… 推到而得的:AFC BFC ∠=∠;AN BM =,CD CE =,AD ME =,ND BE =; AM CN ∥,CM BN ∥;DE AB ∥ACN MCB ∆∆≌,ADC MCE ∆∆≌,NDC BEC ∆∆≌; DEC ∆为等边三角形.(1)∵ACM ∆、CBN ∆是等边三角形, ∴MC AC =,CN CB =,ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ∆∆≌,∴AN BM =(2)由ACN MCB ∆∆≌易推得NDC BEC ∆∆≌,所以CD CE =,又60MCN ∠= , 进而可得DEC ∆为等边三角形.易得DE AB ∥. (3)过点C 作CG AN ⊥于G ,CH BM ⊥于H ,G M H DNEC BF A由ACN MCB ∆∆≌,利用AAS 进而再证BCH NCD ∆∆≌,可得AFC BFC ∠=∠,故CF 平分AFB ∠.【例28】 如图,点C 为线段AB 上一点,ACM ∆、CBN ∆是等边三角形,D 是AN 中点,E是BM 中点,求证:CDE ∆是等边三角形.M DNECBA【答案】∵ACN MCB ∆∆≌,∴AN BM =,ABM ANC ∠=∠又∵D 、E 分别是AN 、BM 的中点,∴BCE NCD ∆∆≌,∴CE CD =,BCE NCD ∠=∠ ∴60DCE NCD NCE BCE NCE NCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠= ∴CDE ∆是等边三角形【例29】 如下图,在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC ∆和CDE ∆(120ACE ∠<°),点P与点M 分别是线段BE 和AD 的中点,则CPM ∆是( )PMBC DEAA .钝角三角形B .直角三角形C .等边三角形D .非等腰三角形【答案】易得ACD BCE ∆∆≌.所以BCE ∆可以看成是ACD ∆绕着点C 顺时针旋转60︒而得到的.又M 为线段AD 中点,P 为线段BE 中点,故CP 就是CM 绕着点C 顺时针旋转60°而得.所以CP CM =且,60PCM ∠=°,故CPM ∆是等边三角形,选C .【例30】 已知:如图,点C 为线段AB 上一点,ACM ∆、CBN ∆是等边三角形.CG 、CH分别是ACN ∆、MCB ∆ 的高.求证:CG CH =.HG NM CBA【答案】由ACN MCB ∆∆≌,利用AAS 进而再证BCH NCD ∆∆≌,可得到CG CH =.【例31】 平面上三个正三角形ACF ,ABD ,BCE 两两共只有一个顶点,求证:EF 与CD平分.FE DCBA【答案】连接DE 与DFFE DCBA∵DBA EBC ∠=∠,BAD CAF ∠=∠ ∴DBE ABC ∠=∠,BAC DAF ∠=∠ ∴在DBE ∆与ABC ∆中 DB AB DBE ABC BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)DBE ABC ∆∆≌ ∴DE CA FC == 在D FA ∆与BCA ∆中 DA BA DAF BAC AF AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)DFA BCA ∆∆≌ ∴DF BC EC == ∴DECF 为平行四边形, ∴EF ,CD 互相平分.【例32】 已知:如图,ABC ∆、CDE ∆、EHK ∆都是等边三角形,且A 、D 、K 共线,AD DK =.求证:HBD ∆也是等边三角形.EKHCDBA【答案】连接CH 交AD 于点M ,连接BE BM ,, HE由CDE HEK ∆∆,均为等边三角形,可证得EDK ECH ∆∆≌ ∴DK CH =,CHE DKE ∠=∠ ∴60HME HEK ∠=∠=︒于是A M B C ,,,四点共圆,B M H D ,,,四点共圆, ∴HCB DAB BDA BHC ∠=∠∠=∠,∴BDA BHC ∆∆≌∴BH BD =,60HBD ∠=︒ ∴BHD ∆为等边三角形【例33】 如图,四边形ABCD 、DEFG 都是正方形,连接AE 、CG .求证:AE CG =.G FE DCBA【关键词】2008年怀化市中考 【解析】【答案】∵ADC EDG ∠=∠∴CDG ADE ∠=∠ 在CDG ∆和ADE ∆中CD AD CDG ADE DG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CDG ADE ∆∆≌ ∴AE CG =【例34】 以ABC ∆的两边AB AC ,为边向外作正方形ABDE ACFG ,,求证:CE BG =,且CE BG ⊥.GOFEDCB A【答案】易证AEC ABG ∆∆≌,故ACE AGB ∠=∠,又A C A G ⊥,AOG BOC ∠=∠,故C E BG ⊥.【例35】 如图,在△ABC 外面作正方形ABEF 与ACGH ,AD 为△ABC 的高,其反向延长线交FH 于M ,求证:(1)BH CF =;(2)M F M H =GHM FED CBA【答案】证明△ABH ≌△AFC ;(1)作FP MD P ⊥于,HQ MD Q ⊥于, 先证△AFP ≌△BAD ,△ACD ≌△HAQ , 再证△FPM ≌△HQM【例36】 如图1,若ABC ∆和ADE ∆为等边三角形,M N ,分别EB CD ,的中点,易证:CD BE =,AMN ∆是等边三角形.(1)当把ADE ∆绕A 点旋转到图2的位置时,CD BE =是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由;(2)当AD E ∆绕A 点旋转到图3的位置时,AMN ∆是否还是等边三角形?若是,请给出证明,并求出当2AB AD =时,ADE ∆与ABC ∆及AMN ∆的面积之比;若不是,请说明理由.图1N M E DC BA图2A BC DEMN 图3A BCDE MN【答案】(1)CD BE =.理由如下:∵ABC ∆和ADE ∆为等边三角形∴AB AC =,AE AD =,60BAC EAD ∠=∠=︒∵60BAE BAC EAC EAC ∠=∠-∠=︒-∠,60DAC DAE EAC EAC ∠=∠-∠=︒-∠, ∴BAE DAC ∠=∠, ∴ABE ACD ∆∆≌∴CD BE =(2)AMN ∆是等边三角形.理由如下: ∵ABE ACD ∆∆≌, ∴ABE ACD ∠=∠.∵M N 、分别是BE CD 、的中点, ∴1122BM BE CD CN === ∵AB AC =,ABE ACD ∠=∠, ∴ABM ACN ∆∆≌. ∴AM AN MAB NAC =∠=∠,.∴60NAM NAC CAM MAB CAM BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∴AMN ∆是等边三角形. 设AD a =,则2AB a =. ∵AD AE DE AB AC ===,, ∴CE DE =.∵ADE ∆为等边三角形, ∴12060DEC ADE ∠=︒∠=︒,,∴30EDC ECD ∠=∠=︒, ∴90ADC ∠=︒∴在Rt ADC ∆中,AD a =,30ACD ∠=︒, ∴CD =. ∵N 为DC 中点,∴DN =,∴AN ==. ∵ADE ∆,ABC ∆,AMN ∆为等边三角形, ∴()2227:2:1:4:4:16:74ADE ABC AMNS S S a a ⎫===⎪⎪⎝⎭∶∶ 解法二:AMN ∆是等边三角形.理由如下: ∵ABE ACD ∆∆≌,M 、N 分别是BE 、CN 的中点,∴AM AN NC MB ==,. ∵AB AC =,∴ABM ACN ∆∆≌,∴MAB NAC ∠=∠,∴60NAM NAC CAM MAB CAM BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∴AMN ∆是等边三角形设AD a =,则AD AE DE a ===,2AB BC AC a ===易证BE AC ⊥,∴BE ==,∴EM = ∴AM == ∵ADE ∆,ABC ∆,AMN ∆为等边三角形∴()2227:2:1:4:4:16:74ADE ABC AMNS S S a a ⎫===⎪⎪⎝⎭∶∶。