立体几何中球的综合问题

合集下载

立体几何中球的内切和外接问题(完美版)

则这个球的表面积是（）
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
4
举一反三-突破提升
2.正六棱柱的底面边长为 4,高为 6,则它的外接球的表面积为
A. 20 B. 25 C. 100 D. 200
4
举一反三-突破提升
已知正三棱锥 P-ABC 的主视图和俯视图如图所示,
则此三棱锥的外接球的表面积为 ( )
ห้องสมุดไป่ตู้
切(如图).求:
(1)这个正三棱锥的表面积; (2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.
考点一考点二考点三
4
举一反三-突破提升
-30-
解:(1)底面正三角形中心到一边的距离为1 × 3×2 6 = 2,则正棱锥
32
侧面的斜高为 12 + ( 2)2 = 3.
∴S 侧=3×12×2 6 × 3=9 2.
，五个顶点都在同一个球面上，
P
设外接球半径为 R，在△OO1A 中有
D
解得 . ∴ .
O1
O C
A B
6
测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心
例 7、.若三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2，
SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为（）
B、体积为 3
D、外接球的表面积为 16
3
1正视图
1
3 1 侧视图
俯视图
点 A、B、C、D 均在同一球面上，其中
是正三角形，
AD 平面 ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为（）
(A)
(B)
(C)
(D)
平面四边形 ABCD中， AB AD CD1， BD 2, BD CD ，

立体几何之外接球问题含答案

立体几何之外接球问题一讲评课1课时总第课时月日1、已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为( ? )A. B. C. D.2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（??）A.B. C.D.3、已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( ? ?)A. B. C. D.4、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（?）A.B. C.D.5、已知都在半径为的球面上，且，，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（）A. B.C. D.6、某几何体的三视图如图所示，这个几何体的内切球的体积为（? ）A.B.C. D.7、四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（?）A. B. C. D.8、一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( ? )A.B. C.D.9、一个棱长都为的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( ?)A.B.C. D.10、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为( ? )A. B. C. D.立体几何之外接球问题二讲评课1课时总第课时月日11、若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为__________.12、底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________.13、底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则棱长均为的正三棱柱外接球的表面积为__________.14、若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则__________. 15、若一个正方体的表面积为，其外接球的表面积为，则__________. 16.已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角为，则球的表面积为__________． 16、在三棱锥中,平面，，，,则此三棱锥外接球的体积为__________18、底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为__________.17、三棱柱的底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为，则三棱柱的最大体积为__________.20、一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则这个球的表面积为__________.立体几何之三视图问题1讲评课 1课时总第课时月日3、一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积是( ) A. B. C. D.4、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（??? ） A.B.C.D.5、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ? ?）A.B.C.D.6、某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（?? ） A. B. C.D.7、多面体的底面矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为( ???) A.B.C.D.8、某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（?? ） A.B.C.D.9、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积的最大值是（?? ） A. B.C. D. 10、一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积是（?? ）A.B.C.D.11、若某空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（?? ） A.B.C.D.12、某几何体三视图如下图所示，则该几何体的体积是（?? ）D.A. B. C.13、一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积为（?）A. B.C. D.14、已知一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是等腰梯形，则该几何体的体积为（?）A.D.B. C.15、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的体积为（?）C. D.A. B.立体几何之三视图问题2讲评课1课时总第课时月日16、某长方体的三视图如右图，长度为的体对角线在正视图中的长度为，在侧视图中的长度为，则该长方体的全面积为__________.17、一个空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为__________.18、一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积__________．19、已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示（单位：）,则该四棱锥的体积为__________.20、一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________.21、已知一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________.22、某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是正方形，则该三棱锥最长棱的长是__________.23、一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为____．24、2016年11月18日13时59分，神舟十一号飞船返回舱在内蒙古中部预定区域成功着陆. 神舟十一号载人飞行，是我国迄今为止时间最长的一次载人航天飞行，在轨33天飞行中，航天员景海鹏、陈冬参与的实验和实验多达38项. “跑台束缚系统”是未来空间站长期飞行的关键锻炼设备，本次任务是国产跑台首次太空验证. 如图所示是“跑台束缚系统”中某机械部件的三视图（单位：），则此机械部件的表面积为__________.25、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________．立体几何之外接球问题答案解析第1题答案C第1题解析如图所示，∵，∴为直角，即过的小圆面的圆心为的中点，和所在的平面互相垂直，则圆心在过的圆面上，即的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径，球的表面积为，故选．第2题答案B第2题解析设球心为，设正三棱柱上底面为，中心为，因为三棱柱所有棱的长都为，则可知?，，又由球的相关性质可知，球的半径，所以球的表面积为，故选.第3题答案C第3题解析如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选.第4题答案D第4题解析该几何体为三棱锥,设球心为，分别为和的外心，易求得,，∴球的半径，∴该几何体外接球的表面积为．第5题答案B第5题解析∵，∴，∴圆心在平面的射影为的中点，∴，∴．∴，当线段为截面圆的直径时，面积最小，∴截面面积的最小值为.第6题答案C第6题解析此几何体是底面边长为，高为的正四棱锥，可算出其体积为，表面积为. 令内切球的半径为，则，从而内切球的体积为，故选C.第7题答案B第7题解析由题意可知四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的直径，且四棱锥的高半径，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为?，于是,，进而球的体积. 故选.第8题答案B第8题解析由题可知该三棱锥为一个棱长的正方体的一角，则该三棱锥与该正方体有相同的外接球，又正方体的对角线长为，则球半径为，则. 故选.第9题答案A第9题解析如图：设、为棱柱两底面的中心，球心为的中点.又直三棱柱的棱长为，可知，，所以，因此该直三棱柱外接球的表面积为，故选.?第10题答案D第10题解析此几何体是三棱锥，底面是斜边长为的等腰直角三角形，且顶点在底面内的射影是底面直角三角形斜边的中点.易知，三棱锥的外接球的球心在上.设球的半径为，则，∵，∴，解得：，∴外接球的表面积为.第11题答案第11题解析过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆⊙和外切圆⊙，且两圆同圆心，即的内心与外心重合，易得为正三角形，由题意⊙的半径为，∴的边长为，∴圆锥的底面半径为，高为，∴．第12题答案第12题解析设球心为,正三棱柱的上下底面的中心分别为，，底面正三角形的边长为，则，由已知得底面，在中，,由勾股定理得，故三棱柱体积，又，所以，则.第13题答案第13题解析底面正三角形外接圆的半径为，圆心到底面的距离为，从而其外接圆的半径，则该球的表面积.第14题答案第14题解析设正四面体棱长为，则正四面体表面积为，其内切球半径为正四面体高的，即，因此内切球表面积为，则.第15题答案第15题解析设正方体棱长为，则正方体表面积为，其外接球半径为正方体体对角线长的，即为，因此外接球表面积为，则.第16题答案第16题解析设正的外接圆圆心为，易知，在中，，故球的表面积为.第17题答案第17题解析根据题意球心到平面的距离为，在的外接圆的半径为，所以球的半径为,所以此三棱锥的外接球的体积为,所以答案为:.第18题答案第18题解析设所给半球的半径为，则棱锥的高，底面正方形中有，所以其体积，则，于是所求半球的体积为.第19题答案第19题解析依题意,外接球的表面积为,所以.如图所示,三棱柱外接圆球心为,设,在直角三角形中,所以.三棱柱的体积为,当且仅当时取得最大值.第20题答案第20题解析由已知可得长方体的体对角线为球的直径：,所以.所以球的面积为.。

第5讲竞赛和自主招生专题——立体几何中与球关于的问题

第5讲竞赛和“三一”专题资料——立体几何中与球有关问题编写林国夫班级___________姓名____________学号__________一.多面体与球的问题（1）多面体内接于球：若球O 是多面体的外接球，则球O 的球心O 在多面体的各个表面上的射影为该表面多边形的外心.根据这个性质我们可以确定球心的位置，结合截面法求解相应的量.（2）多面体的内切球：若球O 内切多面体，则球O 的球心到多面体各个表面的距离均为球半径.根据这个性质，结合等体积法求解内切球的半径.（3）球O 被平面相截，所得的截面为圆截面，设截面圆的圆心为1O ，则1OO 平面 . （4）若多面体是通过长方体或正方体切割所得，则求其外接球的半径可以等价转化为求长方体或正方体的外接球半径.例1（1）如图，一个四面体棱长分别为6,6,6,6,6,9，则其外接球的半径为______________.（2）如图，已知空间一球，SC 为其直径且||4,,SC A B =为球上两点，满足：||30AB ASC BSC ︒=∠=∠=，则四面体S ABC -的体积为___________.AP（3）在四面体ABCD 中,1AD DB AC CB ====，则四面体ABCD 体积最大时，它的外接球半径R =.（4）（2018·浙江预赛）在四面体PABC 中，PA BC PB AC PC AB ======,则该四面体外接球的半径为_________.B例2 （有关几何体中球的内切问题）(1)四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,边长为,,a PD a PA PC ===,在这个四棱锥中放入一个球,则球的最大半径为(2)在边长为1的正方体C 内作一个内切大球1O ，再在C 内作一个小球2O ，使它与大球1O 外切，同时与正方体的三个面都相切，则球2O 的表面积为___________.(3)在正三棱锥P ABC 中，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切. 如果半球的半径等于1，则正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于 _______________.(4)设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r 的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为_______________二.有关球与球的组合体（抓住球心构建的多面体）例3（1）若4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为__________（2）桌面上有3个半径为2017的球两两相切，在其上方空隙里放入一个球，使其顶点（最高点）与3个球的顶点（最高点）在同一平面内，则该球的半径是___________.（3）若半径为R 的球的内部装有4个相同半径为r 的小球,则小球半径r 的最大可能值是________.（4）将3个半径为1的球和一个半径为1-的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是___________.O2第5讲竞赛和“三一”专题资料——立体几何中与球有关问题（练习）编写林国夫班级___________姓名____________学号__________一.多面体与球的问题相关练习1.外接球的半径为1的正四面体的棱长为________________2.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .3.在四面体ABCD 中，AB BCD ⊥平面，BCD △是边长为3的等边三角形。

立体几何多面体与外接球问题专项归纳--[1]

⽴体⼏何多⾯体与外接球问题专项归纳--[1]⽴体⼏何多⾯体与外接球问题专项归纳1、⼀个四棱柱的底⾯是正⽅形,侧棱与底⾯垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在⼀个球⾯上,则这个球的表⾯积是()ππππ2、⼀个正四⾯体的所有棱长都为2,四个顶点在同⼀个球⾯上,则此球的表⾯积为()ππ3ππ;3.在半球内有⼀个内接正⽅体,试求这个半球的体积与正⽅体的体积之⽐.4.⼀个正四⾯体的所有棱长都为2,四个顶点在同⼀个球⾯上,则此球的表⾯积为( ) ππ3ππ~历届⾼考外接球内切球问题1. （陕西理?6）⼀个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球⾯上，其中底⾯的三个顶点在该球的⼀个⼤圆上，则该正三棱锥的体积是（）A ．433 B ．33 C ． 43 D ．123答案 B2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同⼀球⾯上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表⾯积等于。

解:在ABC ?中2AB AC ==,120BAC ∠=?,可得3BC =由正弦定理,可得ABC ?/外接圆半径r=2,设此圆圆⼼为O '，球⼼为O ，在RT OBO '?中，易得球半径5R =故此球的表⾯积为2420R ππ=.3．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球⾯距离为π，则正三棱柱的体积为．答案 84.表⾯积为的正⼋⾯体的各个顶点都在同⼀个球⾯上，则此球的体积为A ．3 B ．13π C ．23π D ．3 答案 A^【解析】此正⼋⾯体是每个⾯的边长均为a 的正三⾓形，所以由8=1a =，故选A 。

5.已知正⽅体外接球的体积是π332，那么正⽅体的棱长等于（）2 B.332 C.324 D.334答案 D6.（2006⼭东卷）正⽅体的内切球与其外接球的体积之⽐为 ( )A. 1∶3B. 1∶3C. 1∶33D. 1∶9、答案 C7.（2008海南、宁夏理科）⼀个六棱柱的底⾯是正六边形，其侧棱垂直底⾯．已知该六棱柱的顶点都在同⼀个球⾯上，且该六棱柱的体积为98，底⾯周长为3，则这个球的体积为．答案34π8. （2007天津理?12）⼀个长⽅体的各顶点均在同⼀球的球⾯上，且⼀个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表⾯积为．答案 14π —9.（2007全国Ⅱ理?15）⼀个正四棱柱的各个顶点在⼀个直径为2 cm 的球⾯上。

2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)专题15 立体几何中球的问题(解析版)

专题15 立体几何中球的问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅱ) 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π1．答案 A 解析设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以123432,2sin 60sin 60r r =，即123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d 2d ，故121d d -=或121d d +=1=1=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．故选A ．2．(2022·全国乙理) 已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )A ．13B ．12CD 2．答案 C 解析设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=(当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立)，即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，又221r h +=，则2123O ABCD V r h -=⋅⋅==当且仅当222r h =即h 时等号成立，故选C ． 3．(2022·新高考Ⅱ) 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A ．[18，814]B ．[274，814]C ．[274，643] D ．[18，27] 3．答案 C 解析 ∵ 球的体积为36π，所以球的半径R ＝3，设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则l 2＝2a 2＋h 2，32＝2a 2＋(3－h )2．所以6h ＝l 2，2a 2＝l 2－h 2，所以正四棱锥的体积V ＝13Sh ＝13×4a 2×h ＝23×(l 2－l 436)×l 26＝19(l 4－l 636)，所以V ′＝19(4l 3－l 56)＝19l 3 (24－l 26)，当3≤l ≤26时，V ′＞0，当26≤l ≤33时，V ′＜0，所以当l ＝26时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643，又l ＝3时，V ＝274，l ＝33时， V＝814．所以正四棱锥的体积V 的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是[274，643]．故选C ．【方法总结】如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．空间几何体的外接球与内切球十大模型1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型．可参考：侯永青工作室《2022年高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破》【题型突破】1．点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为( )A ．7πB ．14πC ．72πD ．714π31．答案 B 解析三棱锥A －BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它补为长方体，而长方体的体对角线长为其外接球的直径．所以长方体的体对角线长是12＋22＋32＝14，它的外接球半径是142，外接球的表面积是4π×⎝⎛⎭⎫1422＝14π． 2．等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，将△ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角B－AD －C ，则三棱锥B －ACD 的外接球的表面积为( )A ．5πB ．203π C ．10π D ．34π 2．答案 D 解析依题意，在三棱锥B －ACD 中，AD ，BD ，CD 两两垂直，且AD ＝4，BD ＝CD ＝3，因此可将三棱锥B ACD 补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3,3,4，且其外接球的直径2R ＝32＋32＋42＝34，故三棱锥B －ACD 的外接球的表面积为4πR 2＝34π3．已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________.3．答案 6π 解析如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径．∴CD ＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，因此R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π. 4．已知四面体P －ABC 四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，AB ＝PB＝2，则球O 的表面积为________．4．答案 9π 解析由PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，可得图中四个直角三角形，且PC 为△PBC ，△P AC的公共斜边，故球心O 为PC 的中点，由AC ＝1，AB ＝PB ＝2，PC ＝3，∴球O 的半径为32，其表面积为9π.5．三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，P A ＝PB ＝PC ＝3，P A ⊥PB ，三棱锥P －ABC 的外接球的体积为( )A ．272πB ．2732π C ．273π D ．27π 5．答案 B 解析因为三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，P A ＝PB ＝PC ＝3，所以△P AB ≌△PBC ≌△P AC ．因为P A ⊥PB ，所以P A ⊥PC ，PC ⊥PB ．以P A ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P －ABC 的外接球．因为正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33，所以其外接球半径R ＝332．因此三棱锥P －ABC 的外接球的体积V ＝4π3×⎝⎛⎭⎫3323＝2732π，故选B ．6．已知正四面体ABCD 的外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为________．6．答案 163 解析将正四面体ABCD 放在一个正方体内，设正方体的棱长为a ，设正四面体ABCD的外接球的半径为R ，则43πR 3＝86π，解得R ＝6，因为正四面体ABCD 的外接球和正方体的外接球是同一个球，则有3a ＝2R ＝26，所以a ＝22．而正四面体ABCD 的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以正四面体ABCD 的棱长为2a ＝4，因此，这个正四面体的表面积为4×12×42×sin π3＝163．7．表面积为( )A ．B ．12πC ．8πD ．7．答案 B 解析表面积为长为2，正方体的对角线长为正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴外接球的表面积的值为24(3)12ππ=．8．已知四面体ABCD 满足AB ＝CD ＝6，AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，则四面体ABCD 的外接球的表面积是 ________．8．答案 7π 解析在四面体ABCD 中，取线段CD 的中点为E ，连接AE ，BE ．∵AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，∴AE ⊥CD ，BE ⊥CD .在Rt △AED 中，CD ＝6，∴AE ＝102．同理BE ＝102，取AB 的中点为F ，连接EF ．由AE ＝BE ，得EF ⊥AB ．在Rt △EF A 中，∵AF ＝12AB ＝62，AE ＝102，∴EF ＝1，取EF 的中点为O ，连接OA ，则OF ＝12．在Rt △OF A 中，OA ＝72．同理得OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴该四面体的外接球的半径是72，∴外接球的表面积是7π． 9．三棱锥中S －ABC ，SA ＝BC ＝13，SB ＝AC ＝5，SC ＝AB ＝10．则三棱锥的外接球的表面积为______.9．答案 14π 解析如图，在长方体中，设AE ＝a ，BE ＝b ，CE ＝c ．则SC ＝AB ＝a 2＋b 2＝10，SA ＝BC ＝b 2＋c 2＝13，SB ＝AC ＝a 2＋c 2＝5，从而a 2＋b 2＋c 2＝14＝(2R )2，可得S ＝4πR 2＝14π.故所求三棱锥的外接球的表面积为14π．10．已知一个四面体ABCD 的每个顶点都在表面积为9π的球O 的表面上，且AB＝CD ＝a ，AC ＝AD ＝BC＝BD ＝5，则a ＝________.10．答案 22 解析由题意可知，四面体ABCD 的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示．设AF ＝x ，BF ＝y ，CF ＝z ，则x 2＋z 2＝y 2＋z 2＝5，又4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 2＋z 222＝9π，可得x ＝y ＝2，∴a ＝x 2＋y 2＝22． 11．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为( )A ．28π3B ．22π3C ．43π3D ．7π 11．答案 A 解析由题知此直棱柱为正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，设其上下底面中心为O ′，O 1，则外接球的球心O 为线段O ′O 1的中点，∵AB ＝2，∴O ′A ＝33AB ＝233，OO ′＝12O ′O 1＝1，∴OA ＝O ′O 2＋O ′A 2＝213，因此，它的外接球的半径为213，故球O 的表面积为28π3．故选A ． 12．一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为________. 12．答案 4π3 解析设正六棱柱底面边长为a ，正六棱柱的高为h ，底面外接圆的半径为r ，则a ＝12，底面积为S ＝6·34·⎝⎛⎭⎫122＝338，V 柱＝Sh ＝338h ＝98，∴h ＝3，R 2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫122＝1，R ＝1，球的体积为V ＝4π3. 13．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π13．答案 C 解析如图所示，设底面边长为a ，则底面面积为34a 2＝334，所以a ＝ 3.又一个侧面的周长为63，所以AA 1＝2 3.设E ，D 分别为上、下底面的中心，连接DE ，设DE 的中点为O ，则点O 即为正三棱柱ABC A 1B 1C 1的外接球的球心，连接OA 1，A 1E ，则OE ＝3，A 1E ＝3×32×23＝1.在直角三角形OEA 1中，OA 1＝12＋(3)2＝2，即外接球的半径R ＝2，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C ．14．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝1，∠BAC ＝60°，AA 1＝2，则该三棱柱的外接球的体积为( )A ．40π3B ．4030π27C ．32030π27D ．20π 14．答案 B 解析设△A 1B 1C 1的外心为O 1，△ABC 的外心为O 2，连接O 1O 2，O 2B ，OB ，如图所示．由题意可得外接球的球心O 为O 1O 2的中点．在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos ∠BAC ＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，所以BC ＝7，由正弦定理可得△ABC 外接圆的直径2r ＝2O 2B ＝BC sin 60°＝273，所以r ＝73＝213，而球心O 到截面ABC 的距离d ＝OO 2＝12AA 1＝1，设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的外接球半径为R ，由球的截面性质可得R 2＝d 2＋r 2＝12＋⎝⎛⎭⎫2132＝103，故R ＝303，所以该三棱柱的外接球的体积为V ＝4π3R 3＝4030π27．故选B ． 15．已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将四边形AEFD 沿EF 折起，使二面角A －EF －C 的大小为120°，则过A ，B ，C ，D ，E ，F 六点的球的表面积为( )A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π15．答案 B 解析其中O 1，O 2分别为正方形AEFD 和BCFE 的中心，OO 1，OO 2分别垂直于这两个平面．由于∠OGO 2＝60°，O 2G ＝12，所以OO 2＝32，而O 2C ＝12CE ＝22，所以球的半径OC ＝OO 22＋O 2C2＝52，所以球的表面积为4π·OC 2＝5π．故选B ．16．三棱锥S －ABC 中，SA ⊥底面ABC ，若SA ＝AB ＝BC ＝AC ＝3，则该三棱锥外接球的表面积为( )A ．18πB ．21π2C ．21πD ．42π 16．答案 C 解析由于AB ＝BC ＝AC ＝3，则△ABC 是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，△ABC的外接圆的直径为2r ＝3sin π3＝23，由于SA ⊥底面ABC ，所以△ABC 外接圆的过圆心的垂线与线段SA 中垂面的交点为该三棱锥的外接球的球心，所以外接球的半径R ＝⎝⎛⎭⎫SA 22＋r 2＝212，因此，三棱锥S －ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝4π×214＝21π．故选C ． 17．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形，若AB ＝2，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．32π17．答案 C 解析取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，∵在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形．∴Rt △ABC ≌Rt △ABD ，△ACD 是等腰三角形，设△BCD 的中心为G ，作OG∥AB 交AB 的中垂线于O ，则O 为外接球的球心，∵BE ＝332，BG ＝3，∴外接球的半径R ＝BG 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝3＋1＝2.∴四面体ABCD 外接球的表面积为4πR 2＝16π．故选C ．18．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝23，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．64π18．答案 C 解析在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，∴AC 2＝AB 2＋ BC 2，即AB ⊥BC ．又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥BC ，∴三棱锥S －ABC 可补成分别以AB ＝1，BC ＝3，SA ＝23为长、宽、高的长方体，∴球O 的直径为12＋(3)2＋(23)2＝4，故球O 的表面积为4π×22＝16π．另解取SC 的中点E ，连接AE ，BE ，依题意，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，∴AC 2＝AB 2 ＋BC 2，即AB ⊥BC ，又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，又SA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面SAB ，BC ⊥SB ，AE ＝12SC ＝BE ，∴点E 是三棱锥S －ABC 的外接球的球心，即点E 与点O 重合，OA ＝12SC ＝12SA 2＋AC 2＝2，故球O 的表面积为4π×OA 2＝16π．19．在三棱锥P －ABC 中，已知P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝60°，P A ＝2，AB ＝AC ＝3，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．4π3B ．82π3C ．8πD ．12π 19．答案 C 解析易知△ABC 是等边三角形．如图，作OM ⊥平面ABC ，其中M 为△ABC 的中心，且点O 满足OM ＝12P A ＝1，则点O 为三棱锥P －ABC 外接球的球心．于是，该外接球的半径R ＝OA ＝AM 2＋OM 2＝(32×3×23)2＋12＝2．故该球的表面积S ＝4πR 2＝8π，故选C ． AB C M OP20．在三棱锥A －BCD 中，AC ＝CD ＝2，AB ＝AD ＝BD ＝BC ＝1，若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是________．20．答案 73π 解析由已知可得，BC ⊥AB ，BC ⊥BD ，所以BC ⊥平面ABD ，设三棱锥外接球的球心为 O ，正三角形ABD 的中心为O 1，则OO 1⊥平面ABD ，连接O 1B ，OO 1，OC ，在直角梯形O 1BCO 中，有O 1B ＝33，BC ＝1，OC ＝OB ＝R ，可得：R 2＝712，故所求球的表面积为4πR 2＝73π．21．把边长为3的正方ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为( )A ．32πB ．27πC ．18πD ．9π21．答案 C 解析将边长为1的正方形ABCD ，沿对角线AC 把ACD ∆折起，使平面ACD ⊥平面ABC ，则BC CD ⊥，BA AD ⊥；三棱锥CABD -的外接球直径为AC=，外接球的表面积为2244(182R πππ=⨯=． 22．在三棱锥A －BCD 中，△ACD 与△BCD 都是边长为4的正三角形，且平面ACD ⊥平面BCD ，则该三棱锥外接球的表面积为________．22．答案 803π 解析取AB ，CD 的中点分别为E ，F ，连接EF ，AF ，BF ，由题意知AF ⊥BF ，AF ＝BF ＝23，EF ＝12AF 2＋BF 2＝6，易知三棱锥的外接球球心O 在线段EF 上，所以OE ＋OF ＝6，设外接球的半径为R ，连接OA ，OC ，则有R 2＝AE 2＋OE 2，R 2＝CF 2＋OF 2，所以AE 2＋OE 2＝CF 2＋OF 2，(6)2＋OE 2＝22＋OF 2，所以OF 2－OE 2＝2，又OE ＋OF ＝6，则OF 2＝83，R 2＝203，所以该三棱锥外接球的表面积为4πR 2＝803π．23．已知如图所示的三棱锥D－ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC 所在的平面互相垂直，AB＝3，AC＝3，BC＝CD＝BD＝23，则球O的表面积为()A．4πB．12πC．16πD．36π23．答案C解析如图所示，∵AB2＋AC2＝BC2，∴∠CAB为直角，即△ABC外接圆的圆心为BC的中点O′．△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，则球心在过△DBC的圆面上，即△DBC的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合，易得球半径R＝2，球的表面积为S＝4πR2＝16π，故选C．24．在三棱锥A BCD-中，平面ABC⊥平面BCD，ABC∆是边长为2的正三角形，若4BDCπ∠=，三棱锥的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为()．A．523πB．3πC．4πD．283π24．答案D解析记BCD∆外接圆圆心为E，ABC∆外接圆圆心为F，连结OE，OF，则OE⊥平面BCD，OF⊥平面ABC；取BC中点N，连结,AN EN，因为ABC∆是边长为2的正三角形，所以AN 过点F，且223AF FN AN===；在BCD∆中，4BDCπ∠=，2BC=，设BCD∆外接圆为r，则2sinBCrBDC===∠，所以r=故BE EC r===所以有222BE EC BC+=，因为N为BC中点，所以EN BC⊥，且112EN BC==；又平面ABC⊥平面BCD，所以EN⊥平面ABC，OE⊥平面ABC；因此EN OF⊥且1EN OF==，设三棱锥A BCD-外接球半径为R，则R OA==，因此，球O的表面积为22843S Rππ==．故选D．25．已知空间四边形ABCD ，23BAC π∠=，23AB AC ==，4BD =，25CD =，且平面ABC ⊥平面BCD，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．24πB ．48πC ．64πD ．96π25．答案 B 解析在三角形ABC 中，23BAC π∠=，AB AC ==，由余弦定理可得，而在三角形BCD 中，4BD =，CD =，222BD CD BC ∴+=，即BCD ∆为直角三角形，且BC 为斜边，因为平面ABC ⊥平面BCD ，所以几何体的外接球的球心为为三角形ABC 的外接圆的圆心，设外接球的半径为R ，则22sin 3BC R π==即R =2448S R ππ==，26．已知圆锥的顶点为P ，母线PA 与底面所成的角为30︒，底面圆心O 到PA 的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为________．26．答案 643π 解析依题意得，圆锥底面半径12sin30r ==︒，高1sin 60h =︒．设圆锥外接球半径为R ，则222()R r R h =+-，即2222(R R =+，解得：R =．∴外接球的表面积为26443S R ππ==． 27．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则该三棱锥外接球的体积为( )A ．πB ．π3C ．4πD ．4π327．答案解析过P 点作底面ABC 的垂线，垂足为O ，设H 为外接球的球心，连接, AH AO ，因60PAO ∠=︒，PA ，故AO ，32PO =，又AHO ∆为直角三角形，AH PH r ==，∴222AH AO OH =+，∴2223()2r r =+-，∴1r =，∴344133V ππ=⨯=． 28．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，2AC AB ==，且AC AB ⊥，则该三棱锥外接球的表面积6BC ==为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．9π28．答案 D 解析由题意，点P 在底面上的射影M 是CB 的中点，是三角形ABC 的外心，令球心为O ，2AC AB ==，且AC AB ⊥，MB MC MA ∴===PA PB PC ==2PM ∴==如图在直角三角形OBM 中，222OB OM BM =+，即222(2)R R =+-，32R ∴=，则该三棱锥外接球的表面积为294494R πππ=⨯=．29．P ABC -的外接球的球心为O ，若满足0OA OB OC ++=，则此三棱锥外接球的半径是( )A ．2BC D29．答案 D 解析正三棱锥D ABC -的外接球的球心O 满足OA OB CO +=，说明三角形ABC 在球O 的大圆上，并且为正三角形，设球的半径为：R ，棱锥的底面正三角形ABC 的高为32R ，底面三角形ABC，正三棱锥的体积为1(32)R ⨯=，解得34R =，则此三棱锥外接球的半径是R ．30．已知正四棱锥P －ABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为( )A ．124π3 B ．625π81 C ．500π81D ．256π930．答案 C 解析如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为O ′，正四棱锥P －ABCD 的外接球的球心为O ， ∵底面正方形的边长为2，∴O ′D ＝1，∵正四棱锥的体积为2，∴V P －ABCD ＝13×(2)2×PO ′＝2，解得PO ′＝3，∴OO ′＝|PO ′－PO |＝|3－R |，在Rt △OO ′D 中，由勾股定理可得OO ′2＋O ′D 2＝OD 2，即(3－R )2＋12＝R 2，解得R ＝53，∴V 球＝43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫533＝500π81． 31．在三棱锥S ABC -中，2SB SC AB BC AC =====，二面角S BC A --的大小为60︒，则三棱锥S AB -C 外接球的表面积是( )A．143πB．163πC．409πD．529π31．答案D解析取BC的中点为D，由三棱锥S ABC-中，2SB SC AB BC AC=====，二面角S BC A--的大小为60︒，得到SBC∆和ABC∆都是正三角形，SD BC∴⊥，AD BC⊥，SDA∴∠是二面角S BC A--的平面角，即60SDA∠=︒，设球心为O，ABC∆和SBC∆中心分别为E，F，则OE⊥平面ABC，OF⊥平面SBC，tan tan30OEDE ODEDE=∠==︒，23OD∴=，∴外接球半径R=，∴外接球的表面积为252449Rπππ==．32．已知三棱锥A BCD-，6BC=，且ABC∆、BCD∆均为等边三角形，二面角A BC D--的平面角为60︒，则三棱锥外接球的表面积是________．32．答案52π解析取BC的中点M，连接AM、DM，则AM BC⊥，且DM BC⊥，所以，二面角A BC D--的平面角为60AMD∠=︒，且sin60AM DM AB==︒=ADM∆是边长为正三角形，如下图所示，设ABC∆和BCD∆的外心分别为点P、Q，则13PM QM AM===，过点P、Q在平面ADM内作AM和DM的垂线交于点O，则O为该三棱锥的外接球球心，易知，30OMP∠=︒，所以，tan301OP PM=︒=，23PA AM==，所以，球O的半径为OA=2452ππ⨯=．33．已知边长为6的菱形ABCD中，120BAD∠=︒，沿对角线AC折成二面角B AC D--的大小为θ的四面体且1cos3θ=，则四面体ABCD的外接球的表面积为________．33．答案54π解析由边长为6的菱形ABCD中，120BAD∠=︒，可知，6AC AB BC AD CD=====，在折起的四面体中，取AC的中点E，连接BE，DE，6DE BE===，则EB AC⊥，DE AC⊥，AC BE E⋂=，AC∴⊥面BED，BED∠为二面角B AC D--的大小为θ，在DE，BE上分别取23DM Bn DE===13EM DE=M，N分别为三角形ADC，ABC的外接圆的圆心，过M，N分别做两个三角形的外接圆的垂线，交于O，则O为四面体外接球的球心，连接OE，OD为外接球的半径R．则2OEDθ∠=，所以21cos2cos223θθ+==，所以cos2θ=，在三角形OEM，cos2EMOEθ=，解得OE==，在三角形OED中，余弦定理可得22222336272cos(33)()23323222OD DE OE DE OEθ=+-=+-=，即2272R=，所以外接球的表面积2454S Rππ==．34．在三棱锥P ABC-中，顶点P在底面ABC的投影G是ABC∆的外心，2PB BC==，且面PBC与底面ABC所成的二面角的大小为60︒，则三棱锥P ABC-的外接球的表面积为________．34．答案649π解析由于G 为ABC ∆的外心，则GA GB GC ==，由题意知，PG ⊥平面ABC ，由勾股定理易得PA PB PC ==，取BC 的中点E ，由于G 为ABC ∆的外心，则GE BC ⊥，且112BE BC ==，PG ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则BC PG ⊥，又GE BC ⊥，PG GE G =，BC ∴⊥平面PGE ，PE ⊂平面PGE ，PE BC ∴⊥，所以，PE =PBC 与平面ABC 所成的二面角的平面角为60PEG ∠=︒，∴3sin 602PG PE =︒=，因此，三棱锥的外接球的直径为2482332PB R PG ===，所以，43R =，因此，该三棱锥的外接球的表面积为2246444()39R πππ=⨯=．35．直角三角形ABC ，2ABC π∠=，2AC BC +=，将ABC ∆绕AB 边旋转至ABC '∆位置，若二面角C AB -C '-的大小为23π，则四面体C ABC '-的外接球的表面积的最小值为( ) A ．6π B ．3π C ．32π D ．2π35．答案 B 解析如图，AB ⊥平面CBC '，CBC ∆'是等腰三角形，BC BC ='，23CBC π∠'=．设BC = (01)x x <<，则2AC x =-，AB ===CBC ∆'外接圆的半径为r ，则2sin6x r π=，即r x =．∴四面体C ABC '-的外接球的半径R满足22221R x x x =+=-+．∴四面体C ABC '-的外接球的表面积2244(1)S R x x ππ==-+，当12x =时，3min S π=． 36．已知三棱锥P －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 满足AB ＝22，∠ACB ＝90°，P A 为球O的直径且P A ＝4，则点P 到底面ABC 的距离为( )A ．2B ．22C ． 3D ．2336．答案 B 解析取AB 的中点O 1，连接OO 1，如图，在△ABC 中，AB ＝22，∠ACB ＝90°，所以△ABC 所在小圆O 1是以AB 为直径的圆，所以O 1A ＝2，且OO 1⊥AO 1，又球O 的直径P A ＝4，所以OA ＝2，所以OO 1＝OA 2－O 1A 2＝2，且OO 1⊥底面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为2OO 1＝2 2.37．已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O ，半径为R 的球面上，AB ＝6，BC ＝23，且四棱锥O －ABCD的体积为83，则R 等于( )A ．4B ．23C ．479D ．1337．答案 A. 解析如图，设矩形ABCD 的中心为E ，连接OE ，EC ，由球的性质可得OE ⊥平面ABCD ，所以V O ABCD ＝13·OE ·S 矩形ABCD ＝13×OE ×6×23＝83，所以OE ＝2，在矩形ABCD 中可得EC ＝23，则R ＝OE 2＋EC 2＝4＋12＝4，故选A ．38．已知三棱锥P －ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P －ABC 的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A ．16π3B ．40π3C ．64π3D ．80π338．答案 D 解析依题意，记三棱锥P －ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的距离为h ，则由V P ABC ＝13S △ABC h ＝13×⎝⎛⎭⎫34×42×h ＝163得h ＝433.又PC 为球O 的直径，因此球心O 到平面ABC 的距离等于12h ＝233.又正△ABC 的外接圆半径为r ＝AB 2sin 60°＝433，因此R 2＝r 2＋⎝⎛⎭⎫2332＝203，所以三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝80π3，故选D.39．已知三棱锥均在以为直径球面上，，则这个球的表面积为_____________．39．答案 16π 解析由题意，设球的直径是该球面上的两点，如图所示，因为，所以为直角三角形，设三棱锥的高为，则，解得，取的中点，连接，根据球的性质，可得平面，所以，在直角中，，即球的半径为，所以球的表面积为．40．(2017·全国Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．A SBC -PA 2AB AC BC ===2, , SC R A B =AB AC ==2BC =ABC ∆S ABC -h 1132⨯=h =BC M OM OM ⊥ABC OM =OMC ∆2OC =2R =4S π=224216R ππ=⨯=40．答案3π4解析如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12．∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝π·r 2·h ＝π·⎝⎛⎭⎫322×1＝3π4． 41．三棱锥P －ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．1041．答案 C 解析依题意，设题中球的球心为O 、半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR 33＝500π3，解得R ＝5，由πr 2＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为R 2－r 2＝3，因此三棱锥P －ABC 的高的最大值为5＋3＝8.42．(2015·全国Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36π B ．64π C ．144πD ．256π42．答案 C 解析 ∵S △OAB 是定值，且V O -ABC ＝V C -OAB ，∴当OC ⊥平面OAB 时，V C -OAB 最大，即V O -ABC最大．设球O 的半径为R ，则(V O -ABC )max ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36，∴R ＝6，∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝4π×62＝144π．43．已知点A ，B ，C ，D 均在球O 上，AB ＝BC ＝6，AC ＝23．若三棱锥D－ABC 体积的最大值为3，则球O 的表面积为________．43．答案 16π 解析由题意可得，∠ABC ＝π2，△ABC 的外接圆半径r ＝3，当三棱锥的体积最大时，V D ABC ＝13S △ABC ·h (h 为D 到底面ABC 的距离)，即3＝13×12×6×6h ⇒h ＝3，即R ＋R 2－r 2＝3(R 为外接球半径)，解得R ＝2，∴球O 的表面积为4π×22＝16π．44．在三棱锥A －BCD 中，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝AC ＝3，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，其外接球的表面积为________．44．答案 6π 解析 ∵AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，即△ABC 为直角三角形，当CD⊥面ABC 时，三棱锥A －BCD 的体积最大，又∵CD ＝3，△ABC 外接圆的半径为32，故外接球的半径R 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝32，∴外接球的表面积为4πR 2＝6π． 45．已知三棱锥D －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝22，若三棱锥D －ABC 体积的最大值为2，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．9πC ．25π3D ．121π945．答案 D 解析由AB ＝BC ＝2，AC ＝22，可得AB 2＋BC 2＝AC 2，所以△ABC 为直角三角形，且AC为斜边，所以过△ABC 的截面圆的圆心为斜边AC 的中点E ．当DE ⊥平面ABC ，且球心O 在DE 上时，三棱锥D －ABC 的体积取最大值，因为三棱锥D －ABC 体积的最大值为2，所以13S △ABC ·DE ＝2，即13×12×22×DE ＝2，解得DE ＝3．设球的半径为R ，则AE 2＋OE 2＝AO 2，即(2)2＋(3－R )2＝R 2，解得R ＝116．所以球O 的表面积为4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫1162＝121π9．46．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.46．答案63π解析设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4×34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14×63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π.47．已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O (重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( )A ．7π6B ．4π3C ．2π3D ．π247．答案 C 解析当注入水的体积是该三棱锥体积的78时，设水面上方的小三棱锥的棱长为x (各棱长都相等)，依题意，⎝⎛⎭⎫x 43＝18，得x ＝2．易得小三棱锥的高为263，设小球半径为r ，则13S 底面·263＝4·13·S 底面·r ，得r ＝66，故小球的表面积S ＝4πr 2＝2π3．故选C ． 48．已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且P A ＝PB ＝PC ＝PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )A ．6B ．5C ．92D ．9448．答案 D 解析由题意知，四棱锥P －ABCD 是正四棱锥，球的球心O 在四棱锥的高PH 上，过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图：其中PE ，PF 是斜高，A 为球面与侧面的切点．设PH ＝h ，易知Rt △P AO ∽Rt △PHF ，所以OA FH ＝PO PF ，即13＝h －1h 2＋32，解得h ＝94，故选D ．49．将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π49．答案 B 解析将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆的半径为R ，则有2πR＝3×2π3，所以R ＝1，设圆锥的内切球的半径为r ，结合圆锥和球的特征，可知内切球球心必在圆锥的高线上，设圆锥的高为h ，因为圆锥的母线长为3，所以h ＝9－1＝22，所以r h －r ＝R 3，解得r ＝22，因此内切球的表面积S ＝4πr 2＝2π．故选B ．50．体积为4π3的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________.50．答案 63 解析设球的半径为R ，由4π3R 3＝4π3，得R ＝1，所以正三棱柱的高h ＝2，设底面边长为a ，则13×32a ＝1，所以a ＝23．所以V ＝34×(23)2×2＝63．。

立体几何中球的内切和外接问题(完美版)

2 3 A． 3
B． 3 3
3 3 C． 2
正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为 2 ， MN 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦）， P 为正方体表面上的动点，当弦 MN 的长度最大时， PM PN 的取值范围是．
，∴ ，，∴
，
， .
∴外接球的半径为
，∴球的表面积等于
解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利 c 用正弦定理得到小圆半径 sin C 2r ，从而解决问题。
5
A．
正棱锥的外接球的球心是在其高上
,侧棱 PA 与底面）
例 5 在三棱锥 P－ABC 中，PA＝PB=PC=
测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心
例 7、.若三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2， SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为（）
B.
C.1
D.
S
O
，即 .
C M B
A
7
，
解：因为所以在且
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。
D
1 r S全 3 2 2 3 r 3

E
r
6 2 S球 85 2 6
1 1 V多面体 S 全 r V S全内切球多面体3
3
r内切球
变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（）
考点三 4
组合体的表面积与体积

立体几何《球》专题(提高题)(题目及答案)

《球》【类型1:求长度】1、设正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，1BC =，,E F 分别是,AB BC 的中点，EF DE ⊥，则球O 的半径为2、点S 、A 、B 、C 2的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为12，3AB BC CA ===则点S 与ABC ∆中心的距离为（）A 3B 2C ．1D ．123、已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．4、高为24的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为5、（2013年辽宁卷）已知三棱柱111C B A ABC - 的6个顶点都在球O 的球面上，若AB = 3，AC = 4 ,AB AC ⊥ 121=AA ，则球O 的半径为（）A 317B ．210C ．132D ．3106、已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心到平面ABC的距离为（）A．1 B．2C．3D．27、已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B．2C．3D．28、已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．9、（2013年天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92, 则正方体的棱长为______.【类型2:求面积】1、在四面体ABCD 中，若AB CD ==2AC BD ==，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π2、四棱锥P -ABCD 的底面是边长为42的正方形，侧棱长都等于45，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为_________．3、已知点A 、B 、C 、D 均在球O 上，AB ＝BC ＝错误!未找到引用源。

立体几何外接球及内切球问题

立体几何外接球及内切球问题一、球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1球与正方体如图1所示，正方体1111D C B A ABCD -,设正方体的棱长为a ，G H F E ,,,为棱的中点，O 为球的球心。

常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFHG 和其内切圆，则2a r OJ ==；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG 和其外接圆，则a R OG 22==；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11A ACC 和其外接圆，则23'1a R O A ==. 例 1：棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（） A ．B ．C ． D1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间1111ABCD A B C D -O E F ，1AA 1DD EF O 2112+,,,a b c l 2l R ==部分的体积为( ) A.10π3B.4πC.8π3D.7π31.3球与正棱柱：①结论：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. ②球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.本类题目的解法：构造直角三角形法：设正三棱柱111C B A ABC -的高为h ，底面边长为a ；如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心。

根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，a AD R AO h OD 33,,2===，借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求22332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a h R 。

八个超强模型——彻底解决立体几何的外接球和内切球问题

八个超强模型——彻底解决立体几何的外接球和内切球问题摘要本文介绍了八个超强模型，这些模型可以用来彻底解决立体几何中的外接球和内切球问题。

每个模型都具有独特的特点和优势，能够有效地求解球的外接和内切问题，为立体几何的研究提供了有力的工具和方法。

引言在立体几何中，外接球和内切球问题是非常常见的问题。

求解这些问题通常需要借助一些数学模型和方法。

本文介绍了八个超强模型，这些模型在解决外接球和内切球问题方面表现出色。

模型一：球心法线模型该模型基于球的法线方程，通过求解法线方程的交点来得到球心坐标。

利用该模型可以快速准确地求解外接球和内切球的球心坐标。

模型二：点坐标向量模型该模型利用点的坐标向量来表示球心坐标，通过计算坐标向量的运算得到球心坐标。

该模型适用于各种类型的球体，求解效果良好。

模型三：坐标平移模型该模型基于坐标平移的概念，通过平移球心坐标来求解外接球和内切球的球心坐标。

该模型简单易懂，适用于多种立体几何结构。

模型四：线段接触模型该模型利用线段的接触点来求解外接球和内切球的球心坐标。

通过求解线段接触点的几何关系，可以得到球心坐标。

该模型适用于特定的立体几何结构。

模型五：平面交线模型该模型基于平面交线的概念，通过求解平面交线的方程来得到球心坐标。

该模型对于立体几何结构较复杂的情况下求解效果较好。

模型六：圆心半径模型该模型通过求解球的圆心和半径来得到球心坐标。

该模型适用于已知球的圆心和半径的情况下求解。

模型七：曲线拟合模型该模型通过对曲线进行拟合来得到球心坐标。

该模型适用于曲线较为复杂的情况下求解。

模型八：图像处理模型该模型利用图像处理的方法来得到球心坐标。

通过处理球体的图像，可以得到球心坐标。

该模型适用于图像处理技术较为成熟的情况下求解。

结论本文介绍了八个超强模型，这些模型可以用来彻底解决立体几何中的外接球和内切球问题。

每个模型都有其独特的特点和优势，能够有效地求解球的外接和内切问题。

这些模型为立体几何的研究提供了有力的工具和方法，有助于推动该领域的发展。

立体几何专题：外接球问题

【答案】1:3
4.【2011高考真题新课标理，15】已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且 , ,则棱锥的体积为
【答案】：
提示：利用球的截面性质
题型二构造正方体或长方体确定球心
结论：长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处，即体对角线是其外接球的直径，以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．
例3.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的
等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
提示：构造正方体
针对性练习
1.【2010新课标高考真题文，7】设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】
10.若正方体外接球的体积是，则正方体的棱长等于
【答案】
题型三：三棱柱或能构造三棱柱的外接球问题（模型二）
该三棱柱只能是直三棱柱，上下面三角形的外心的连线的中点为球心，三棱柱实质为长方体的一部分，所以构造三棱柱的途径和构造长方体的相同。
以下是常见的、基本的几何体补成三棱柱的途径与方法．
途径1：若已知三棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成三棱柱．
途径2：若四个面都是直角三角形的三棱锥，则可将棱锥补成三棱柱．
例1.直三棱柱的各个顶点都在同一球面上，若 ,
,则此球的表面积为。
【答案】
点评：球心一定在直三棱柱的中截面上。
例2.【2010辽宁高考真题文】已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于
A.4 B.3 C.2 D.
【答案】A
外接球的有关问题
解决问题的方法

立体几何中的组合体问题专题(有答案)

立体几何中的组合体问题专题(有答案)例1.正方体与球问题:正方体的棱长为1.求球的半径:⑴若正方体的八个顶点都在球面上,⑵若球内切于正方体;⑶12条棱组成一个正方体,一充气球在正方体内,求球的最大半径.例2.正四面体与球问题:正四面体的棱长为1.求球的半径:⑴若正四面体的四个顶点都在球面上,⑵若球内切于正四面体;⑶6条棱组成一个正四面体,一充气球在正四面体内,求球的最大半径.例3.四球问题:四个球的半径都为1.⑴桌面放两两相切的3个球,这3个球上面放一个球,求这个球的最高点离桌面的距离;⑵求与上述4个球都相切的小球的半径.例4.圆锥、圆柱与球⑴底面半径为1cm高为10cm的圆柱内,可以放几个半径为0.5cm的小球?⑵圆锥底面半径为3,高为4,一个球内切于圆锥,求球的半径;⑶圆锥底面半径为3,高为4,两个半径相同的球两两相切,放在圆锥底面上,且内切于圆锥,求这两个球的半径;⑷圆锥底面半径为3,高为4,三个半径相同的球两两相切,放在圆锥底面上,且内切于圆锥,求这两个球的半径;⑸圆锥底面半径为3,内接于一个半径为4的球,求圆锥的高.例5.圆锥与正四棱柱⑴圆锥底面半径为3,高为4,正四棱柱的高为3,且内接于圆锥,求正四棱柱的底面边长;⑵圆锥底面半径为3,高为4,正四棱柱的高为x,且内接于圆锥,求正四棱柱的体积.练习一、补（补成长方体或正方体）1. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A 、3πB 、4πC 、33πD 、6π2. 在正三棱锥ABC S -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱32=SA ，则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是（） A ．π12 B ．π32 C ．π36 D ．π483. 点P 在直径为6的球面上，过P 作两两互相垂直的三条弦（两端点均在球面上的线段），若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是 A ．6B ．435C ．2215D ．210554. 一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A ．8πB ．6πC ．4πD ．π 5. 设正方体的棱长为233，则它的外接球的表面积为（）A ．π38B ．2πC ．4πD ．π346. 已知三棱锥S ABC -的三条侧棱两两垂直，且2,4SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的半径为 A ．3 B ．6 C ．36 D ．97. 已知长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为16，则该长方体的表面积的最大值为A ．32B ．36C ．48D ．648. 长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，其中1::2:1:3AB AD AA =，则四棱锥O ABCD -的体积为A .263 B . 63C .23D .3 9.【山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试数学文】四棱锥P ABCD 的三视图如右图所示，四棱锥P ABCD 的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为A .12B .24C .36D .4810. (河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试四)已知四面体ABCD 中，AB =AD =6,AC =4,CD =213，AB 丄平面ACD ,则四面体 ABCD 外接球的表面积为A . π36B . π88C . π92D . π12811. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，一个球与正方体的棱长都相切，则这个球的半径是____________.12. 三棱锥A -BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ΔABC ，ΔACD , ΔADB 的面积分别为,222，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积为. ______13. 四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为361、、，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为。

[高中数学]立体几何.球专题讲义,附练习题【强烈推荐】

EB C D A 立体几何-球-专题学案☞ 双基练习1.下列四个命题中错误．．的个数是（） ①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆 ②球面积是它大圆面积的四倍 ③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长A.0B.1C.2D.32.一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是 A.3π100 cm 3B.3π208 cm 3C.3π500 cm 3D.3π34161 cm 33.某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm ，该地球仪的半径是_____________cm ，表面积是_____________cm 2.☞ 知识预备1. 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系：．2. 球面被经过球心的平面截得的圆叫．被不经过球心的平面截得的圆叫．3. 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长叫．4. 球的表面积表面积S ＝；球的体积V ＝．5. 球面距离计算公式：__________☞ 典例剖析（1）球面距离，截面圆问题例1．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为 A.43B.23C.2D. 3练习：球面上有三点A 、B 、C ，A 和B 及A 和C 之间的球面距离是大圆周长的41，B 和C 之间的球面距离是大圆周长的61，且球心到截面ABC 的距离是721，求球的体积．例2. 如图，四棱锥A －BCDE 中，BCDE AD 底面⊥，且AC ⊥BC ，AE ⊥BE ．(1) 求证：A 、B 、C 、D 、E 五点都在以AB 为直径的同一球面上；(2) 若,1,3,90===∠AD CE CBE ο求B 、D 两点间的球面距离．（2）注意体会立体空间想象能力，不要把图形想象错误例3. 在底面边长为2的正方体容器中，放入大球，再放入一个小球，正好可以盖住盖子（小球与大球都与盖子相切），求小球的半径。

专题讲解立体几何中的外接球与内切球问题（学生版）

专题讲解立体几何中的外接球与内切球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点。

考查学生的空间想象能力以及化归能力。

研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。

球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作。

当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径。

球与多面体的关系是高考考查的重点，但同学们又因为缺乏较强的空间想象能力，较难找到解题的切入点和突破口。

解决这类题目是要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置是关键。

常见题型有求对应外接球或内切球半径、表面积、体积或球内接几何体最值等问题。

本章节将对常见的关于内切球和外接球的模型作一总结，并附有针对性训练题，供教师和学生参考使用。

一.常见模型归纳1. 墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决。

外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a 2＋b2＋c2。

)，秒杀公式：R2＝a2＋b2＋c24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例1】已知二面角α－l－β的大小为π3，点P∈α，点P在β内的正投影为点A，过点A作AB⊥l，垂足为点B，点C∈l，BC＝22，P A＝23，点D∈β，且四边形ABCD满足∠BCD＋∠DAB＝π．若四面体P ACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．A BCDA1B1C1D1类型ⅠA BCDA1B1C1D1类型ⅡA BCDA1B1C1D1类型ⅢA BCDA1B1C1D1例外型【例2】已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为( )．A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π【变式练习1】在空间直角坐标系Oxyz 中，四面体ABCD 各顶点的坐标分别为A (2，2，1)，B (2，2，－1)，C (0，2， 1)，D (0，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A ．16πB ．12πC ．43πD ．6π【变式练习2】在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为32的正方形，AA 1＝3，E 是线段A 1B 1上一点，若二面角A －BD －E 的正切值为3，则三棱锥A －A 1D 1E 外接球的表面积为________．2. 对棱相等模型对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决。

空间几何中的球与立体几何体的位置关系

空间几何中的球与立体几何体的位置关系空间几何是研究空间中图形的形状、大小、位置关系等性质的数学学科。

其中，球是一种常见的几何图形，它具有独特的特性和与其他几何体的位置关系。

本文将探讨空间几何中球与立体几何体的位置关系，并通过几个具体的例子来说明这些关系。

1. 球与立方体的位置关系立方体是一个由六个相等的正方形面组成的立体几何体。

当球与立方体位置重合时，球心位于立方体的重心处，并且球的表面切割着立方体的八个顶点。

2. 球与正四面体的位置关系正四面体是一个由四个相等的等边三角形面组成的立体几何体。

当球与正四面体位置重合时，球心位于正四面体的重心处，并且球的表面切割着正四面体的四个顶点。

3. 球与六面体的位置关系六面体是一个由六个相等的正方形面组成的立体几何体。

当球与六面体位置重合时，球心位于六面体的重心处，并且球的表面刚好与六个面相切，每个面上切点形成了一个正六边形。

4. 球与棱锥的位置关系棱锥是一个由一个多边形底面和一个顶点连接底面上每个顶点的侧面组成的立体几何体。

当球与棱锥位置重合时，球心位于棱锥的重心处，并且球的表面刚好与棱锥的侧面相切。

5. 球与棱台的位置关系棱台是一个由一个多边形底面和一个平行于底面的顶面以及连接底面与顶面的侧面组成的立体几何体。

当球与棱台位置重合时，球心位于棱台的重心处，并且球的表面刚好与棱台的侧面相切。

通过以上几个例子，我们可以看出，当球与不同的立体几何体位置重合时，球心一般位于几何体的重心处，球的表面则形成与几何体顶点或面相切的形状。

这种位置关系是球与立体几何体之间的重要几何性质。

在实际应用中，空间几何中球与立体几何体的位置关系有很多的应用。

例如在建筑设计中，当我们需要在某个立体几何体的表面放置球形装饰物时，了解球与立体几何体的位置关系可以帮助我们计算球的位置和尺寸，从而使装饰效果更加美观。

此外，在计算机图形学和虚拟现实技术中，对于球与立体几何体的位置关系的研究也有重要意义，可以用于实现真实感的渲染和模拟。

空间几何中球的特性与计算

空间几何中球的特性与计算在空间几何中，球是一种重要的几何体，具有许多独特的特性和计算方法。

本文将探讨球的特性以及如何计算球的体积、表面积和距离等问题。

一、球的特性球是由所有与某个点的距离小于等于固定值的点构成的集合。

具体而言，球由球心和半径两个要素确定。

球心是球的中心点，半径是从球心到球上任意一点的距离。

球的特性主要包括以下几个方面：1. 对称性：球是一种高度对称的几何体。

无论从哪个方向观察，球都具有完全相同的外观。

2. 表面积：球的表面积可以通过公式4πr²计算，其中r为球的半径。

这个公式告诉我们，球的表面积与半径的平方成正比。

3. 体积：球的体积可以通过公式4/3πr³计算，其中r为球的半径。

与表面积类似，球的体积与半径的立方成正比。

4. 距离：球与其他几何体之间的距离可以通过球心之间的距离来计算。

例如，两个球之间的距离等于它们球心之间的距离减去两个球的半径之和。

二、球的计算方法1. 计算球的体积：要计算球的体积，只需将球的半径代入公式4/3πr³即可。

例如，给定一个球的半径为5cm，我们可以使用公式计算出该球的体积为(4/3)π(5)³≈523.6cm³。

2. 计算球的表面积：要计算球的表面积，只需将球的半径代入公式4πr²即可。

例如，给定一个球的半径为5cm，我们可以使用公式计算出该球的表面积为4π(5)²≈314.16cm²。

3. 计算球心之间的距离：要计算两个球心之间的距离，只需计算它们的欧氏距离。

欧氏距离是指两个点之间的直线距离。

例如，给定两个球的球心分别为A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，我们可以使用欧氏距离公式√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²)计算出它们之间的距离为√((4-1)²+(5-2)²+(6-3)²)≈√14≈3.74。

立体几何中球的综合问题

立体几何中球的内切和外接问题(完美版)

立体几何之外接球问题含答案

第5讲 竞赛和自主招生专题——立体几何中与球关于的问题

立体几何多面体与外接球问题专项归纳--[1]

2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)专题15 立体几何中球的问题(解析版)

立体几何中球的内切和外接问题(完美版)

立体几何《球》 专题(提高题)(题目及答案)

立体几何外接球及内切球问题

八个超强模型——彻底解决立体几何的外接球和内切球问题

立体几何专题：外接球问题

立体几何中的组合体问题专题(有答案)

[高中数学]立体几何.球专题讲义,附练习题【强烈推荐】

专题讲解 立体几何中的外接球与内切球问题（学生版）

空间几何中的球与立体几何体的位置关系

空间几何中球的特性与计算

第5讲竞赛和自主招生专题——立体几何中与球关于的问题

立体几何《球》专题(提高题)(题目及答案)

专题讲解立体几何中的外接球与内切球问题（学生版）