复数的表示法(一)
复数的定义与四则运算法则
复数的定义与四则运算法则复数是数学中的一种特殊数形式，由实部和虚部组成。
实部通常用实数表示，而虚部通常以虚数单位 i 表示。
复数的一般表示形式为 a + bi，其中 a 表示实部，b 表示虚部。
一、复数的定义复数的定义是通过引入虚数单位 i 而获得的。
虚数单位 i 的定义是i^2 = -1。
根据这个定义，我们可以得出两个重要的结论：i 的平方等于-1，而 -1 的平方根是 i。
二、虚数与实数虚数是指虚部不为零的复数。
当虚部 b 不为零时，复数 a + bi 称为虚数。
实部为零，即虚部 b 不为零时，复数 a + bi 称为纯虚数。
与实数不同的是，虚数和纯虚数在实轴上没有对应的点。
三、四则运算法则1. 加法法则：复数的加法满足交换律和结合律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的和为 (a + c) + (b + d)i。
2. 减法法则：复数的减法也满足交换律和结合律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的差为 (a - c) + (b - d)i。
3. 乘法法则：复数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的乘积为 (ac - bd) + (ad + bc)i。
4. 除法法则：复数的除法也满足交换律、结合律和分配律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di（其中 c + di 不等于 0），它们的商为 [(ac + bd)/(c^2 + d^2)] + [(bc - ad)/(c^2 + d^2)]i。
四、共轭复数对于复数 a + bi，其中 a 表示实部，b 表示虚部。
那么复数 a - bi 称为其共轭复数。
共轭复数的一个重要性质是，两个复数的乘积的虚部为零。
五、复数的绝对值复数 a + bi 的绝对值等于它的模长，记作 |a + bi|，定义为 |a + bi| = √(a^2 + b^2)。
复数的模长是一个非负实数。
关于复数的知识点总结
关于复数的知识点总结复数是指表示两个或两个以上的事物或概念的数量形式。
在英语语法中，复数形式通常是在名词后面加上-s或-es。
复数形式的使用是英语语法中的一个基本知识点，下面将对复数的相关知识点进行总结。
首先，名词的复数形式通常是在词尾加上-s。
例如，cat的复数形式是cats，dog的复数形式是dogs。
在这种情况下，只需要在单数形式的基础上加上-s即可得到复数形式。
其次，对于以-s, -sh, -ch, -x, -o结尾的名词，其复数形式通常是在词尾加上-es。
例如，class的复数形式是classes，box的复数形式是boxes。
需要注意的是，有一些以-o结尾的名词的复数形式并不是直接加上-es，而是加上-es并且去掉-o变成-es，如tomato的复数形式是tomatoes。
另外，对于以辅音字母+y结尾的名词，其复数形式通常是将y变成i再加上-es。
例如，city的复数形式是cities，baby的复数形式是babies。
而对于以元音字母+y结尾的名词，则直接加上-s即可，如day的复数形式是days。
此外，有一些名词的复数形式并不是通过在词尾加上-s或-es来表示，而是通过改变词形或者使用完全不同的单词来表示。
这些名词被称为不规则复数名词，需要单独记忆和学习，如child的复数形式是children，man的复数形式是men。
最后，对于一些名词本身就是复数形式的，其单数形式则需要通过在词尾加上-s来表示。
例如，pants的单数形式是pant，glasses的单数形式是glass。
总的来说，复数形式在英语语法中是一个基础且重要的知识点，掌握好复数形式的规则对于正确理解和使用英语至关重要。
通过对不同类型名词复数形式的规则和不规则形式的学习和掌握，可以更准确地理解和运用复数形式，从而提高英语表达的准确性和流利度。
希望本文对复数形式的学习有所帮助。
复数的知识点总结
复数的知识点总结复数是数学中的一个重要概念，它表示数量不止一个的情况。
在复数中，有实部和虚部两个部分，可以用数学形式表示为a+bi。
其中a是实部，bi是虚部，i表示虚数单位。
下面将从复数的定义、复数的运算、复数的表示形式以及复数的应用等方面进行总结。
一、复数的定义复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a和b 都是实数，i表示虚数单位，i满足i^2=-1。
实部表示复数在实数轴上的位置，虚部则表示复数在虚数轴上的位置。
通过复数，可以扩展实数系到复数系，使得一些无法用实数表示的数也能够得到解释。
二、复数的运算1. 复数的加减法：实部和虚部分别相加或相减。
2. 复数的乘法：按照分配律和虚数单位的性质相乘。
3. 复数的除法：先将分母有理化为实数，再按照分配律相除。
需要注意的是，复数的运算遵循交换律、结合律和分配律，与实数的运算相似。
三、复数的表示形式1. 算术形式：a+bi，其中a和b都是实数。
2. 指数形式：re^(iθ)，其中r是复数的模，θ是复数的幅角。
四、复数的应用1. 电路分析：在电路分析中，很多情况下需要使用复数来表示电流和电压等物理量，特别是交流电路。
2. 信号处理：复数可以方便地表示信号的频率和相位，对于信号处理和调制等领域具有广泛的应用。
3. 物理学：在波动光学和量子力学等物理学领域，复数也起到了非常重要的作用。
4. 工程计算：在求解二次方程及其特征值、求解导数和积分等数学问题中，复数都有重要的应用。
总结：复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式。
复数的运算包括加减法、乘法和除法，与实数的运算相似。
复数可以用算术形式和指数形式表示。
复数的应用广泛，包括电路分析、信号处理、物理学和工程计算等领域。
深入理解复数的概念和运算规则，对于进一步学习和应用数学和物理学等学科都具有重要的意义。
复数的坐标表示方法
复数的坐标表示方法
复数的坐标表示方法是数学中常用的一种表示方式，它使用实部和虚部来表示
一个复数。
复数是由实数和虚数部分组成的数，可以用来表示方程中的平方根和负数。
在复数的坐标表示中，我们使用根号-1来表示虚数单位，通常用字母i来表示。
一个复数可以使用实部和虚部的值来表示，记作a + bi，其中a是实数部分，b是
虚数部分。
通过复数的坐标表示方法，我们可以将复数在复平面上表示出来。
复平面是一
个由实轴和虚轴构成的平面，实轴表示实数部分，虚轴表示虚数部分。
在复平面上，实部是x轴上的坐标，虚部是y轴上的坐标。
例如，复数3 + 4i可以表示为位于复平面上的一个点，实部为3，虚部为4。
我们可以将该点画在复平面上，即在实轴上找到3的位置，在虚轴上找到4的位置，然后将它们连接起来。
这个点表示复数3 + 4i。
复数的坐标表示方法在数学和工程学中有广泛的应用。
它可以用来解决各种问题，例如求解复数方程、计算复数的模、求解电路中的交流电等。
总而言之，复数的坐标表示方法是一种使用实部和虚部来表示的表示复数的方式。
通过在复平面上表示复数，我们可以更好地理解和计算复数，并在数学和工程学中应用它们。
复数的概念
复数的概念复数是数学中的一个重要概念，它可以用来描述不仅包括实数的数系统，而且还包括了虚数，其中虚数是实数范围之外的一类数。
复数是由实部和虚部构成的，通常写成(a+bi)的形式。
在数学、物理学、电子学等领域中，复数被广泛应用。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，用实部和虚部表示。
实数是人们日常生活中所接触到的数，它们可以直接用于计算。
而虚数则是不能用于直接计算的数。
虚数是指那些不满足平方根是实数的数，也就是说，虚数是不存在的，只是一种数学上的概念。
以一个复数z为例，它的实部和虚部分别是a和b。
因此可以将z表示为：z = a + bi其中i称为虚数单位，满足i²=-1。
a和b都是实数，可以是正数、负数、零或小数。
虚部b可以是负数或正数，但实部a只能为实数。
复数的实部和虚部是不同的，它们具有不同的物理意义。
通常情况下，实部表示了复数在x轴上的位置，而虚部则表示了复数在y轴上的位置。
二、复数的基本性质（1）加法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1+z2 =(a1+a2)+(b1+b2)i。
这说明了两个复数之和的实部是它们各自实部之和，虚部是它们各自虚部之和。
（2）减法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1-z2 = (a1-a2)+(b1-b2)i。
这说明了两个复数之差的实部是它们各自实部之差，虚部是它们各自虚部之差。
（3）乘法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1×z2 = (a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i。
这说明了两个复数的乘积的实部是它们各自实部的乘积减去各自虚部的乘积，虚部是它们各自实部的乘积加上各自虚部的乘积。
（4）除法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1÷z2 = [(a1a2+b1b2)÷(a2²+b2²)]+[(a2b1-a1b2)÷(a2²+b2²)]i。
复数的坐标表示(1)
【引入】
实数可以用直角坐标系内的点表示，那么复数呢？
定义：复平面（学习看书）
【练习】P77，1，2
【例1】已知集合{0,1,2,,10}A =⋅⋅⋅，设复数,,z a bi a b =+可以取集合A 中的任意一个整数。
（1）复数,z a bi =+共有多少个？
（2）复数,z a bi =+有多少个实数？
（3）复数,z a bi =+有多少个纯虚数？
【练习】P77，4
2．复数的向量表示
复数————点—————向量
【例2】在复平面上作出表示下列复数的向量3,i 1-2i, -5-4i, -3i
【练习】P77，3
【例3】在复平面内，若复数22
z m m m m i
=--+-+对应的点，求满
(2)(32)
足下列条件的复数z。
（1）在虚轴上；（2）实轴的负半轴上。
【练习】已知复数22
=--+--∈
z a a a a i a R
(12)(310),
（1）求a为何值时，z对应点在虚轴右方？（2）求a的范围，使z对应的点在y x
=上方。
【例4】已知a R
∈，22
=-+--+所对应的点在第z a a a a i
(24)(22)
几象限?复数对应的轨迹是什么？
【练习】已知m R ∈，复数
2(2)(23)1
m m z m m i m -=++--，当m 为何值时， （1）z 对应的点在第二象限
（2）z 对应的点在直线30x y ++=上。
复数公式总结
复数公式总结复数公式是数学中重要的概念，它们可以用于描述有关实数无法解决的问题。
复数是由实部和虚部组成的数学对象，通常用 a+bi 的形式表示，其中 a 和 b 分别是实部和虚部。
在这篇文章中，我们将总结一些常见的复数公式。
1. 复数的加法和减法公式对于任意两个复数 z1=a1 + b1i 和 z2=a2 +b2i，它们的加法和减法公式分别如下：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)iz1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i2. 复数的乘法公式对于任意两个复数 z1=a1 + b1i 和 z2=a2 +b2i，它们的乘法公式如下：z1×z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i3. 复数的除法公式对于任意两个复数 z1=a1 + b1i 和 z2=a2 +b2i，它们的除法公式如下：z1/z2=（a1a2+b1b2)/(a2^2+b2^2) + （a2b1-a1b2）i/（a2^2+b2^2）4. 共轭复数公式对于一个复数 z=a+bi，它的共轭复数 z*=a-bi，其中 a 和 b 分别是 z 的实部和虚部。
5. 模长公式对于一个复数 z=a+bi，它的模长表示为 |z| =√（a^2+b^2）。
6. 指数形式公式对于任意一个复数 z=a+bi，它的指数形式可以表示为 re^(iθ)，其中 r=√(a^2+b^2)，θ=tan^-1(b/a)。
7. 德莫弗公式德莫弗公式可以将一个复数表示为它的实部和虚部的三角函数形式，如下所示：z=a+bi=r(cosθ+isinθ)其中 r=|z|，θ=tan^-1(b/a)。
综上所述，复数公式是数学中不可缺少的基础概念之一。
熟练掌握这些公式不仅能够帮助我们解决实际问题，还能够为我们在更高深的数学领域中打下坚实的基础。
复数有关知识点总结
复数有关知识点总结一、复数的基本概念复数是指表示多个人、事物或概念的一种形式。
在英语中，名词的复数形式通常是在单数形式的基础上加上-s或-es后缀来表示的。
复数形式不仅用于表示数量上的复数，还可以用于表示概念上的复数，比如表示一类人或物体的情况。
二、复数的形成规则1. 一般情况下，名词的复数形式是在单数名词的末尾加上-s后缀。
比如：cat—cats，dog—dogs，book—books等。
2. 当单数名词以s, sh, ch, x, o结尾时，复数形式一般是在单数名词的末尾加上-es后缀。
比如：bus—buses，brush—brushes，box—boxes，tomato—tomatoes等。
3. 当单数名词以辅音字母+y结尾时，复数形式将y改为i，并加上-es后缀。
比如：city—cities，party—parties等。
4. 以f或fe结尾的单数名词变复数时，通常将f或fe改为v，再加上-es后缀。
比如：leaf—leaves，knife—knives等。
5. 以o结尾的单数名词变复数时，有些名词只需加上-s后缀，比如：photo—photos，radio—radios等；有些名词加上-es后缀，比如：potato—potatoes，tomato—tomatoes 等。
6. 有些名词的复数形式是不规则的，需要记忆。
比如：child—children，man—men，woman—women等。
以上是复数形式的一般规则，但是也有例外情况。
需要通过大量的阅读和实际练习来熟练掌握各种名词的复数形式。
三、不可数名词和复数的用法不可数名词是指不能用复数形式表示的名词，它表示不可分割的整体，或者是一种抽象的概念。
英语中有很多不可数名词，比如：water, air, milk, advice, information等。
这些名词在表示数量上并不具有复数形式，而是用单数形式来表示。
但是有些名词在特定情况下可以表示一定数量的概念，这时候可以用复数形式来表示。
复数知识点总结
复数知识点总结一、复数的定义复数是指形如＄a ＋ bi$ 的数，其中＄a$ 和＄b$ 均为实数，＄i$ 为虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$ 。
＄a$ 被称为实部，记作＄Re(z)＄；＄b$ 被称为虚部，记作＄Im(z)＄。
例如：＄3 ＋ 2i$ ，其中 3 是实部，2 是虚部。
二、复数的表示形式1、代数形式就是我们常见的＄a ＋ bi$ 。
2、几何形式在平面直角坐标系中，以＄x$ 轴为实轴，＄y$ 轴为虚轴，复数＄a ＋ bi$ 可以用点＄（a, b)＄来表示。
3、三角形式复数＄z ＝ a ＋ bi$ 可以表示为＄z ＝ r(＼cos\theta ＋ i\sin\theta)＄，其中＄r ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄称为复数的模，＄＼theta$ 称为复数的辐角。
4、指数形式根据欧拉公式＄e^｛i\theta} ＝＼cos\theta ＋ i\sin\theta$ ，复数可以表示为＄z ＝ re^｛i\theta}＄。
三、复数的运算1、加法＄（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i$例如：＄（3 ＋ 2i) ＋（1 4i) ＝ 4 2i$2、减法＄（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i$例如：＄（5 ＋ 3i) （2 i) ＝ 3 ＋ 4i$3、乘法＄（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i$例如：＄（2 ＋ 3i)（1 ＋ 2i) ＝－4 ＋ 7i$4、除法＄＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di} ＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋d^2}i$例如：＄＼frac{1 ＋ 2i}｛1 i} ＝＼frac{3}｛2} ＋＼frac{1}｛2}i$四、复数的模复数＄z ＝ a ＋ bi$ 的模为＄｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。
名词复数的变化规律。简单口诀以及方法。
名词单数变复数口诀(一) 规则变化名词单数变复数，直接加-s 占多数；s, x, z, ch, sh 来结尾，直接加上-es；词尾f[ 或] fe，ve来把它们替；辅+ y 要变y，变y为ies；O结尾，加s，土豆番茄-es，hero【英雄】, tomato【番茄】, potato【土豆。
】解释：可数名词有单复数两种形式，名词的复数形式的部分规则如下：1)一般情况在词尾加-s ，清辅音后读/s/，浊辅音和元音后读/z/。
如：book----books/buks/ desk---desks /desks/ bag----bags /bægz/ game【游戏】----games /geimz/ key----keys /ki:z/2)以s, x, sh, ch,等结尾的词加-s，读/iz/. 如：bus【公交车】----buses /bʌsiz/ box【盒子】----boxes /bɒksiz/ fish[鱼]----fishes /’fiʃiz/ watch----watches /’wɒtʃiz/3)以辅音字母加y结尾的词，变y为i，再加-es。
读/z/。
如：family----familiesBaby【婴儿】----babies party【派对】----parties strawberry【草莓】----strawberries 4)以f或fe结尾的词，变f或fe为ves。
读/vz/。
该类词有：knife刀，life生命，wife 妻子，self自己，leaf叶子，thief贼，half一半，wolf狼，等等。
5)以o结尾的词①以“辅音字母+o”结尾的词，有生命的加-es，即：英雄，土豆，番茄。
如：potato土豆----potatoes，tomato番茄----tomatoes，hero英雄----heroes；无生命的加-s，如：photo----photos,piano----pianos钢琴②以“元音字母+o” 结尾的词，加-s，如：radio----radios, zoo----zoos常见的不规则变化有：man--men男人woman--women 女人foot--feet脚mouse--mice 老鼠child--children孩子deer----deer 鹿sheep----sheep绵羊American--- Americans美国人Chinese--- Chinese中国人Japanese--- Japanese日本人people—people。
复数知识点总结
复数知识点总结复数是指一个名词表示的是多个个体或者事物的形式。
在英文中，名词的复数形式有很多不同的规则，本文将总结一些常见的复数形式规则和例外情况。
1. 大多数名词，直接在词尾加上-s。
例如：book - books（书 - 书籍）、car - cars（车 - 车辆）2. 以s、x、ch、sh或o结尾的名词，在词尾加 -es。
例如：box - boxes（盒子 - 盒子们）、watch - watches（手表 - 手表们）、church - churches（教堂 - 教堂们）、dish - dishes （盘子 - 盘子们）、tomato - tomatoes（番茄 - 番茄们）3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y变为-i，再加-es。
例如：party - parties（派对 - 派对们）、baby - babies（宝宝 - 宝宝们）4. 以f或fe结尾的名词，将f或fe变为v，再加-es。
例如：leaf - leaves（叶子 - 叶子们）、knife - knives（小刀 - 小刀们）5. 以元音字母+o结尾的名词，直接在词尾加-s。
例如：radio - radios（收音机 - 收音机们）、piano - pianos（钢琴 - 钢琴们）6. 一些名词的复数形式不规则，需要单独记忆。
例如：man - men（男人 - 男人们）、woman - women（女人 -女人们）、child - children（孩子 - 孩子们）7. 一些名词的复数形式和单数形式相同。
例如：sheep - sheep（羊 - 羊）、deer - deer（鹿 - 鹿）需要注意的是，单复数形式的不同也会影响到其他部分的语法，比如冠词和动词的使用。
例如，复数名词前通常会使用冠词"the"。
在动词方面，如果主语是复数形式，动词也要用复数形式。
总的来说，掌握名词复数形式的规则和例外情况是学习英语的基础，深入理解这些规则和形式能够帮助我们更准确地表达自己的意思。
复数知识点总结
复数知识点总结在数学的领域中，复数是一个非常重要的概念。
它不仅在理论上丰富了数学的体系，而且在实际应用中，如物理学、工程学等领域，都发挥着不可或缺的作用。
接下来，让我们一起深入了解复数的相关知识。
一、复数的定义复数是指形如\（a ＋ bi\）的数，其中\（a\）和\（b\）均为实数，＼（i\）是虚数单位，满足\（i^2 ＝－1\）。
＼（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。
例如，＼（3 ＋ 2i\）就是一个复数，其中\（3\）是实部，＼（2\）是虚部。
二、复数的表示形式1、代数形式就是我们刚刚提到的\（a ＋ bi\），这是最常见也是最基本的表示形式。
2、几何形式在平面直角坐标系中，以\（x\）轴为实轴，＼（y\）轴为虚轴，复数\（a ＋ bi\）可以用坐标\（（a, b)＼）来表示。
这样，复数就与平面上的点建立了一一对应的关系。
3、三角形式复数\（z ＝ a ＋ bi\）可以表示为\（z ＝r(cosθ ＋isinθ)＼），其中\（r ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼），＼（tanθ ＝＼frac{b}｛a}＼）。
4、指数形式根据欧拉公式\（e^｛iθ} ＝cosθ ＋isinθ\），复数还可以表示为\（z ＝ re^｛iθ}＼）。
三、复数的运算1、加法和减法两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的和差为：＼（z_1 ± z_2 ＝（a_1 ± a_2) ＋（b_1 ± b_2)i\）2、乘法＼（z_1 ＼times z_2 ＝（a_1 ＋ b_1i) ＼times （a_2 ＋ b_2i)＼）＼＼begin{align}＆＝a_1a_2 ＋ a_1b_2i ＋ a_2b_1i ＋ b_1b_2i^2\＼＆＝（a_1a_2 b_1b_2) ＋（a_1b_2 ＋ a_2b_1)i＼end{align}＼3、除法＼＼frac{z_1}｛z_2}＝＼frac{a_1 ＋ b_1i}｛a_2 ＋ b_2i}＝＼frac{（a_1 ＋ b_1i)（a_2 b_2i)｝｛（a_2 ＋ b_2i)（a_2 b_2i)｝＼＼＼begin{align}＆＝＼frac{a_1a_2 ＋ b_1b_2 ＋（a_2b_1 a_1b_2)i}｛a_2^2 ＋b_2^2}＼＼＆＝＼frac{a_1a_2 ＋ b_1b_2}｛a_2^2 ＋ b_2^2} ＋＼frac{a_2b_1 a_1b_2}｛a_2^2 ＋ b_2^2}i＼end{align}＼四、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
复数的几种表示形式
复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。
坐标形式：z=a+bi。
这个就非常简单了，它是复数的定义。
自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。
（a,b）对应复数在复平面上的坐标。
三角形式：z=r(cosθ+isinθ)这个结合几何意义容易看出来：记复数z的模为r，幅角为θ，显然有a=rcosθ,b=rsinθ代入坐标形式里即有：Z1z2=r1r2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+i(sinθ1 cosθ2+ cosθ1 sinθ2)) = r1r2（cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)）通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如：在旋转的几何背景下，我们还容易发现：Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ))特别地，令r=1，可以得到著名的王陆杰公式：（cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ)这个公式很有用，我们下一次再谈。
指数形式：z=re iθ因此有e iθ= cosθ+isinθ从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式e i(nθ)= cosnθ+isinnθ= (e iθ)n=( cosθ+isinθ)n这里面还藏着一个号称数学最美的式子：特别地，令θ=π，则e iπ=-1。
我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。
复数知识点和方法总结
复数知识点和方法总结一、英语复数的概念复数是英语名词的一种形式，用来表示两个或两个以上的人或物。
通常常见的复数形式是在词尾加-s或-es，例如：cat（猫）的复数形式是cats（猫咪们），而box（盒子）的复数形式是boxes（盒子们）。
复数形式可以是规则的，也可以是不规则的，需要根据具体的单词形式来记忆。
二、英语复数的构成1. 一般情况下，在名词词尾加-s构成复数，如：book（书）的复数形式是books（书籍）。
2. 名词词尾如果是s、x、z、ch、sh结尾，复数形式则是在词尾加-es，如：bus（公交车）的复数形式是buses（公交车辆）。
3. 以辅音字母+y结尾的单词，变复数时先将y改成i再加-es，如：baby（宝宝）的复数形式是babies（宝宝们）。
4. 以f或fe结尾的名词，变复数时通常将f或fe改成v再加-es，如：wolf（狼）的复数形式是wolves（狼群）。
5. 以不规则形式变复数的名词则需要特别记忆，如：man（男人）的复数形式是men（男人们）。
三、英语复数的用法1. 表示多个人或物英语复数形式用来表示多个人或物的情况，例如：trees（树木）表示多棵树，friends（朋友们）表示多个朋友。
2. 引出复数名词的量词在引出复数名词时，需要搭配相应的量词，如：a pair of shoes（一双鞋子）、three boxes of chocolates（三盒巧克力）。
3. 表示不可数名词的复数概念有些不可数名词在特定语境下也会出现复数形式，例如：waters（水域）表示多个水域、moneys（金钱）表示多种货币。
四、英语复数形式的记忆方法1. 规则单词的复数形式规则的复数形式可以根据单词的词尾来进行记忆，例如：以辅音字母+y结尾的单词变复数时，先将y变成i再加-es；以f或fe结尾的单词变复数时，通常将f或fe变成v再加-es。
2. 不规则单词的复数形式不规则单词的复数形式需要通过多读多记的方法来进行记忆，可以通过课文中的实际语境来帮助记忆。
复数的四种表示形式
复数的四种表示形式
复数是指表示数量为多于一个的名词或代词。
在英语中，通常有以下四种表示复数的形式：
1.在大多数情况下，在名词后面加上-s。
例如：apple（一个苹果）→apples（苹果们）
2.对于以s、x、z、ch、sh等音结尾的名词，在其后面加上-es。
例如：box（一个盒子）→boxes （盒子们）
3.对于以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，然后加上-es。
例如：baby（一个婴儿）→babies （婴儿们）
4.对于某些不规则的名词，其复数形式不遵循以上规则。
例如：man（一个男人）→men （男人们），woman（一个女人）→women（女人们），child（一个孩子）→children（孩子们）
需要注意的是，虽然大多数名词都可以按照以上规则变成复数形式，但也有一些名词是不可数名词，即表示不可数或抽象概念的名词，它们没有复数形式。
例如：water（水），love（爱），knowledge（知识）等。
复数句子形式如何用英语表达
复数句子形式如何用英语表达1. 英语复数形式的表达英语中名词可分为可数名词和不可数名词。
可数名词在应用时有单数和复数形式。
表示一个用单数，表示两个或两个以上用复数。
复数名词的构成分为规则变化和不规则变化。
1.规则变化：1）一般在名词词尾加s，① map—maps地图，bird—birds鸟，orange—oranges 桔子，bike—bikes自行车；2）以s, x, ch, sh结尾的名词加es，① box—boxes盒子，class—classes班级，watch—watches 手表，dish-dishes盘，碟子，餐具；3）以辅音字母加y结尾的名词，变y为i+es① baby—babies婴儿 family—families家庭；以元音字母加y结尾的名词直接加s① boy—boys男孩 toy—toys 玩具；4）以fe或f结尾的名词，把fe或f变为ves① knife—knives小刀wife—wives妻子leaf—leaves树叶。
5）以O结尾的名词后面加s或es① photo—photos相片radio—radios收音机 zoo—zoos动物园tomato—tomatoes西红柿potato—potatoes土豆二：名词复数的不规则变化1)child---children foot---feet tooth---teethmouse---mice man---men woman---women注意：与 man 和 woman构成的合成词，其复数形式也是 -men 和-women。
如： an Englishman,two Englishmen. 但German不是合成词，故复数形式为Germans;Bowman是姓，其复数是the Bowmans。
2）单复同形如：deer,sheep,fish,Chinese,Japaneseli,jin,yuan,two li,three mu,four jin但除人民币元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。
复数的指数表达式
复数的指数表达式
复数的指数表达式是指数形式的复数表示方式，常见于数学和物理领域。
复数指数表达式的一般形式为a+bi，其中a和b分别表示实部和虚部，i表示虚数单位，满足i²=-1。
复数的指数形式是一种方便且易于计算的复数表示方式。
它允许我们
使用指数规律和三角函数公式简化复数的计算。
复数的指数形式可以
转换为三角形式或直角坐标形式，这使得我们可以更加直观地理解复
数的几何特征。
对于一个复数z=a+bi，它的指数形式为re^(iθ)，其中r=|z|表示z的模长，θ是z在平面直角坐标系中与x轴的夹角，e表示自然对数底数。
因此，可得出以下公式：
r = |z| = √(a²+b²)
θ = tan⁻¹(b/a) (当a>0时)或θ = tan⁻¹(b/a) + π (当a<0时)
e^(iθ) = cosθ+isinθ
则有：
z = re^(iθ) = a+bi
同样地，如果我们已知一个复数的指数形式re^(iθ)，则可以转换为直角坐标形式a+bi，其中a=r(cosθ)，b=r(sinθ)。
总的来说，复数的指数表达式是一种非常实用的方式，可以使复数的运算和处理更加简便和规范。
在实际应用中，特别是在电气工程、通信工程和控制工程等领域，复数的指数表达式得到广泛应用。
复数的表示(中职数学)
说明
任何一个复数z 0有 无穷多个辐角 .
y
Pz x iy
o x
x
如果1 是其中一个辐角 那么 z 的全部辐角为 ,
Argz 1 2kπ (k为任意整数).
特殊地, 当 z 0 时, z 0,
辐角不确定.
辐角主值的定义:
在 z ( 0) 的辐角中, 把满足 π 0 π 的 0 称为 Argz 的主值, 记作 0 arg z.
r z 12 4 4,
z 在第二象限,
3 2 arctan （- ) +π arctan 3 12
5 , 6
5 5 z 4 cos i sin 4e 6 6
5 i 6
.
(3) z sin
2 3 5 arctan π arctan 3 , 12 6
5 5 z 4 cos i sin 6 6
4e
5 i 6
.
(2) z 12 2i
2、复数的几何表示
(1) 复数的点表示及复平面
复数 z x iy 与有序实数对 ( x, y ) 成一一 对应，若把 有序实数对 ( x, y )作为平面上的坐标，建立直角坐标系oxy,
则可将复数与复平面上的点一一 对应起来, 建立数点等同 的观念，这称为复数的点表示法. 横轴即x轴上的点对应复数的实部， 所以也称x轴为实轴；
y arctan , x arctan y +π, x argz = arctan y ,-π, x y arctan , x
复数1(复数概念)
复数1（复数概念）知识点：1.复数及其概念；2.复数的周期性；3.复数的表示方法；4.复数的模及其几何意义；教学过程：1.虚数单位：数学中规定：21i =-，称i 为虚数单位；说明：（1）21x x i =-⇒=±；（2）周期性：44142431,,1,,k k k k i i i i i i +++===-=-；2.复数概念：形如(,)z a bi a b R =+∈的数z 称为复数。
（1）全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示；复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C ≠≠≠≠⊂⊂⊂⊂； （2）其中a 为复数的实部，记法：Re z a =；b 称为复数的虚部，记法：Im z b =；（3）当0b =时，复数z 为实数；当0,0b a ≠=时，复数z 为纯虚数；当0,0b a ≠≠时，称复数为虚数；（4）(,)z a bi a b R =+∈称为复数的代数形式；（5）复数1111122222(,),(,)z a b i a b R z a b i a b R =+∈=+∈相等的充要条件：1212a ab b =⎧⎨=⎩； （6）虚数不能比较大小；3.复数的几何表示：在直角坐标系内(,)OZ a b =u u u v ，表示复数(,)z a bi a b R =+∈；这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数，这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定。
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是0，表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数（1）也可以表示成点(,)P a b =；（2）可以看成是向量表示；（3）复数的几何意义：①复数的模：||||||z a bi OZ =+==u u u r (,)Z a b =的距离；②设(,)z a bi a b R =+∈，则||1z =表示单位元；③设(,)z a bi a b R =+∈，则||(,)z c di c d R --∈的几何意义是：表示点(,)Z a b 到点(,)P c d 的距离；④设(,)z a bi a b R =+∈，若||1z =，则||(,)z c di c d R --∈的几何意义是：单位圆上的点到点(,)P c d 的距离；⑤121212||||||||||||z z z z z z -≤±≤+；指出何时取到等号？例1. 实数m 取何值时，复数26(215)3m m z m m i m --=+--+是实数？是虚数？是纯虚数？ 解：（1）z 是实数503015122=⇒⎩⎨⎧≠+=--⇒m m m m ； （2）21503,530m m m m m --≠⎧⇒≠-≠⎨+≠⎩； （3）z 为纯虚数2303060151222-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+=--≠--⇒m m m m m m m 或； 例2. 若(2)a i i b i -=+，其中i R b a ,,∈是虚数单位，求a b +的值；解：3例3. 已知i z z +-=-1,求复数z 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例 2 在复平面内作出表示下列复数的复向量。
z1 4i
z2 2 3i
z4 2i 4
z3 5
（三）复数的模与辐角 （1）向量 OZ 的模（即长度）r 叫做复数 z=a+bi 的模，记作｜z｜或｜a+bi｜. 那么 r 与 a、b 之间有何种关系？ ｜z｜=｜a+bi｜=r=｜ OZ ｜=
陈强梅
副备课人 主 备 栏
授课班级 副 备 栏
一．复习导入 1.在几何上，我们用什么来表示实数? 实数可以用数轴上的点来表示。即实数与数轴上的点形成一一对应的关系 2.类比实数的表示，可以用什么来表示复数？ 二．新授 （一）复数的几何表示法 如图 1， 点 Z 的横坐标是 a， 纵坐标是 b， 复数 z=a+bi(a、 b∈R)可用点 Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复 数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，那么 实轴、虚轴上的点各表示什么样的数呢？ 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数 对为(0，0)， 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是实数.故除 图1 了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 按照这种表示方法， 每一个复数 z=a+bi 与复平面内的点(a， b)之间是何种 关系呢？ 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
a 2 b2
(r≥0)
（2）复数的辐角计算公式及辐角主值
三．巩固练习 1．复数 i 3 的辐角角主值是（ A、 ） 。 C、
3
B、
5 3
5 6
D、
11 6
2．icos50的辐角主值是（ ） A、50 B、90 C、40 D、-90 2 3. 已知关于 x 的方程 x 2x+m=0 的两个虚根为 x1 和 x2 若│x1x2│=8， 那 么 实 数 m的 值 是 ( ) A． 17 B． 3 C． 1 D． 15 2 4．若 xC 且 x +ix+6=5x+2i，则 x=______.
已知△ABC中，A，B，C三点表示的复数分别为1，2i，2 3 （2 3 ）i， 则∠BAC .
5.
6.已知 z1=1+3i z2=-2i Z3=4
Z4=-1+2i
⑴在复平面内，描出表示这些向量的点，画出向量． ⑵计算它们的模．
7. 求下列复数的模，辐角主值，辐角 （1）z1=－5+5i （2）z2=―6i （3）z1=3-3i （4）z2=－ 2
宝应职业技术学校 07 高考班数学教学案
课 题
16.2 复数的表示法（一）
授课日期
教学目标 教 学 重、难点 教学用具 主备课人
1.正确理解复平面的有关概念（复平面、实轴、虚轴、复平面上的点与复数之间和 对应关系） 2.理解并掌握复数模,辐角. 教学重点：复数的向量表示和几何表示，模，辐角的概念和公式 教学难点：复数的几何表示和向量表示
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复 平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示 方法.
例1． 在复平面内作出下列各复数的点
z1 2 i 2
（二）复向量及复数的向量表示 在复平面内以原点为起点，点 Z（a，b）为终点的向量 OZ ，由点 Z（a，b） 唯一确定．因此复平面内的点集与复数集 C 之间存在一一对应关系， 而复平面内的点集与以原点为起点的向量一一对应． 常把复数 z=a+bi 说成点 Z（a，b）或说成向量 OZ
1
m2 m 6 8.m 分别为何实数时，复数 z= +(m2－2m－15)i 对应的点在：(1) m3
原点向右的 x 轴上;(2)第二象限；(3)虚轴上.
9.已知 Z 是复数， arg( z i )
，|Z|=5，求：Z。 4
10.已知： | log0.5 x 4i | 5 。求实数 x。