142三角形全等的判定(五)
三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作
以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩 展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信 息，某些描述可能不够精确或全面。如有需 要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的 应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两 个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他 相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广 泛的情况，例如处理只有一边和两个 角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决 实际问题，例如几何证明、建筑设计、 工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法 （如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使 用圆规在该点上画圆，与直线相交于 两点。连接这两点即可得到经过该点 的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两 边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三 角形全等来确定未知点的位置。例如，已 知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从 而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到 两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知 点的位置，从而满足建筑设计的需求。
备考2021年九年级数学中考复习专题：全等三角形性质与判定(五)
备考2021年九年级数学中考复习专题：全等三角形性质与判定（五）1．“截长补短法”证明线段的和差问题：先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．背景材料：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是．探索问题：（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．2．已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：BE＝CF；（2）若AF＝6，△ABC的周长为20，求BC的长．3．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，点E为CD的中点，过C 作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）四边形BDCF是怎样的特殊四边形？请加以证明．5．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC边上的任意一点（除B、C外），以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．求证：EF＝CD．6．如图所示，在四边形ABCD中，AC与BD交于O，AB＝AD，CB＝CD．BE⊥CD于E，BE与AC交于F．CF＝2BO．（1）求证：△BEC是等腰直角三角形；（2）求tan∠ACD的值．7．如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE＝AF（不需证明）；（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．8．如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上的点，连接BE并作BE⊥EF，交边CD于点F，过点F作FG⊥AC交对角线AC于点G．（1）请在图中找出与BE长度相等的边并加以证明：（2）求的值．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过点A的一条直线，且B、C在AE 的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）若DE＝3，CE＝2，求BD．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，CD⊥AB于点D，CD＝BD，BE平分∠ABC，交AC于E．交CD于F．点H是BC边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．（1）求证：CE＝BF；（2）判断△ECG的形状，并证明你的结论．°．参考答案1．证明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．2．（1）证明：连接DB、DC．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵DG垂直平分BC，∴DB＝DC，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：∵∠DAE＝∠DAF，∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AF＝AE＝6，由（1）得：BE＝CF，∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，＝AE+EB+AF﹣CF+BC，＝AE+AF+BC＝20，∴BC＝20﹣12＝8．3．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠FCD，∵AF＝CE，∴AE＝CF，又∵AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，∵△ABE≌△CDF，∴∠CFD＝∠AEB＝100°．4．证明：（1）∵CF∥AB，∴∠CF A＝∠BAF，∠ADC＝∠FCD，∵点E为CD的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）解：四边形BDCF是菱形．证明如下：∵△ADE≌△FCE，∴AD＝CF，∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD＝AD＝BD，∴CF＝BD，且CF∥AB，∴四边形BDCF是平行四边形，且CD＝BD，∴四边形BDCF是菱形．5．证明：∵△AED是等边三角形，△ABC是等边三角形，∴AD＝AE＝ED，AB＝CA＝BC，∠ADE＝60°，∠B＝∠F AC＝60°，∵ED∥FC，∴∠EDB＝∠FCB，∵∠BDA＝∠ADE+∠EDB＝60°+∠EDB，∠AFC＝∠B+∠FCB＝60°+∠FCB，∴∠BDA＝∠AFC，在△ABD和△CAF中，，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD＝FC，∵AD＝ED，∴ED＝CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF＝CD．6．证明：（1）∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC垂直平分BD，∴BD＝2BO，∵CF＝2BO，∴CF＝BD，∵∠DBE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠DCO＝90°，∴∠DBE＝∠FCE，又∵∠BED＝∠CEF，∴△BDE≌△CFE（AAS），∴BE＝CE，又∵BE⊥CD，∴△BEC是等腰直角三角形；（2）如图，连接DF，∵△BDE≌△CFE，∴DE＝EF，∴DF＝EF，∵AC垂直平分BD，∴BF＝DF＝EF，∴BE＝BF+EF＝（+1）EF，∴CE＝（+1）EF，∴tan∠ACD＝＝﹣1．7．解：（1）由折叠可得AB＝AB′，BE＝B′E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC＝DF，∠B′CE＝45°，∴B′E＝B′F，∴AF＝AB′+B′F，即DF+BE＝AF；（2）图（2）的结论：DF+BE＝AF；图（3）的结论：BE﹣DF＝AF；图（2）的证明：延长CD到点G，使DG＝BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，∵CB∥AD，∴∠AEB＝∠EAD，∵∠BAE＝∠B′AE，∴∠B′AE＝∠DAG，∴∠GAF＝∠DAE，∴∠AGD＝∠GAF，∴GF＝AF，∴BE+DF＝AF；图（3）的证明：在BC上取点M，使BM＝DF，连接AM，需证△ABM≌△ADF，∵∠BAM＝∠F AD，AF＝AM∵△ABE≌AB′E∴∠BAE＝∠EAB′，∴∠MAE＝∠DAE，∵AD∥BE，∴∠AEM＝∠DAB，∴∠MAE＝∠AEM，∴ME＝MA＝AF，∴BE﹣DF＝AF．8．解：（1）BE＝EF，证明如下：如图1，过P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴∠MEB+∠NEF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝90°，∵AD∥MN，∴∠BME＝∠BAD＝∠ENF＝∠D＝90°，∴∠MEB+∠MBE＝90°，∴∠NEF＝∠MBE，Rt△ENC中，∠ECN＝45°，∴△ENC是等腰直角三角形，∴EN＝CN，∵∠BME＝∠ENC＝∠ABC＝90°，∴四边形MBCN是矩形，∴BM＝CN，∴BM＝EN，∴△BME≌△ENF（ASA），∴BE＝EF；（2）如图2，设正方形ABCD的中心为点O，连接OB，∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，∴OB⊥AC，∴∠AOB＝90°，∴∠AOB＝∠EGF＝90°，∴∠OBE+∠BEO＝90°，∵∠BEF＝90°，∴∠BEO+∠GEF＝90°，∴∠OBE＝∠GEF，由（1）得：BE＝EF，∴△OBE≌△GEF（AAS），∴OB＝EG，∵∠BAO＝45°，∴，∴．9．（1）证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∠DBA+∠BAD＝90°，∠BAD+∠EAC＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：由（1）知，△ABD≌△CAE，则BD＝AE，AD＝CE．∵DE＝3，CE＝2∴AE＝AD+DE＝CE+DE＝5．∴BD＝AE＝5．10．证明：（1）∵AB＝BC，BE平分∠ABC，∴BE⊥AC，CE＝AE，∴∠A+∠ACD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠DBF＝90°∴∠ACD＝∠DBF，在△ADC和△FDB中，∠ACD＝∠DFB，CD＝BD，∠ADC＝∠BDF，∴△ADC≌△FDB（ASA）；∴AC＝BF，又∵CE＝AE，∴CE＝BF；（2）△ECG为等腰直角三角形．∵点H是BC边的中点，∴GH垂直平分BC，∴GC＝GB，∵∠DBF＝∠GBC＝∠GCB＝∠ECF，得∠ECG＝45°，又∵BE⊥AC，∴△ECG为等腰直角三角形；。
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。
一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)
教学内容全等三角形的判定教学目标掌握全等三角形的判定方法重点全等三角形的判定探索三角形全等的条件（5种）1 边角边（重点）两边及其夹角分别分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“SAS”. 注：必须是两边及其夹角,不能是两边和其中一边的对角.原因：如图：在∆ABC和∆ABD中，∠A=∠A,AB=AB,BC=BD,显然这两个三角形不全等. 例1 如图，AC=AD,∠CAB=∠DAB,求证:∆ACB≌∆ADB.例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF求证：BF=CE.例3．(1)如图①，根据“SAS”,如果BD=CE， = ，那么即可判定△BDC≌△CEB；(2) 如图②，已知BC=EC，∠BCE=ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为例4.如图，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则有△ABD≌，理由是；△ABE≌，理由是．例5．如图，在△ABC和△DEF中，如果AB=DE，BC=EF，只要找出∠ =∠或∥，就可得到△ABC≌△DEF．例6．如图，已知AB∥DE，AB=DE，BF=CE，求证：△ABC≌△DEF．例7．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E例8．如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．2.角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）例1．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接CE，BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，你添加的条件是：．(不添加辅助线)例2.如图，已知AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则由“AAS”可直接判定△≌△．例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，那么AE= cm．例4.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．例5．如图，已知EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E．求证：BC=DC．例6．如图，在△ABC中，D是BC边上的点 (不与B，C重合)，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．(1) 你添加的条件是：；(2) 证明：例7．如图，A在DE上，F在AB上，且BC=DC，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于 ( ) A．DC B．BCC．AB D．AE+AC【基础训练】1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，则有△ABC≌_______，理由是_______；且有∠ACB＝_______，AC＝_______．2．如图，已知AD＝AE，∠1＝∠2，BD＝CE，则有△ABD≌_______，理由是_______；△ABF≌_______，理由是_______．3．如图，在△ABC和△BAD中，因为AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，_______＝_______，根据“SAS”可以得到△ABC≌△BAD．4．如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若AB＝AD，AC＝AE，则还需条件( )．A．∠B＝∠D B∠C＝∠EC．∠1＝∠2 D．∠3＝∠45．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于( )．A．60°B．50°C．45°D．30°6．如图，如果AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，那么△ADF和ACBE全等吗？请说明理由．7．如图，已知AD与BC相交于点O，∠CAB＝∠DBA，AC＝BD．求证：(1)∠C＝∠D；(2)△AOC≌△BOD．8．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．10．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．A BC DEF角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS ”. 例1、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，H 是高AD 和高BE 的交点，试说明BH ＝AC ．例2、如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD=2.5cm ，DE=1.7cm ． 求BE 的长．例3、如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, CE ⊥AB 于E, AF 平分∠CAB 交CE 于点F, 过F 作FD ∥BC 交AB 于点D. 求证：AC ＝AD.例4、如图, 在ABC中, ∠A＝90°, BD平分B, DE⊥BC于E, 且BE＝EC,(1)求∠ABC与∠C的度数；(2)求证：BC＝2AB.边边边三边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边边边”或“SSS”.例1、如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD．你能说明∠C=∠A吗? 试一试．例2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在E移动过程中．BE和DE是否相等? 若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．例3．如图，AB=CD ，AE=CF ，BO=DO ，EO=FO ．求证：OC=OA ．斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”。
全等三角形五大判定方法(两篇)
引言概述：三角形是几何学中最基本的形状之一。
在三角形中，全等三角形是指具有相等的三个角度和相等的三条边的三角形。
全等三角形的判定是几何学中的重要内容之一，它具有广泛的应用。
本文将介绍全等三角形的五大判定方法——边边边（SSS）、角边角（ASA）、边角边（SAS）、角角边（AAS）和直角边（HL）。
正文内容：一、边边边（SSS）判定方法：1.说明边边边（SSS）判定方法是三边相等的三角形判定方法。
2.介绍边边边（SSS）判定方法的步骤和要点。
3.详细解释如何利用边边边（SSS）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.举例说明边边边（SSS）判定方法的应用场景。
5.总结边边边（SSS）判定方法的特点和注意事项。
二、角边角（ASA）判定方法：1.介绍角边角（ASA）判定方法是角度和边相等的三角形判定方法。
2.说明角边角（ASA）判定方法的步骤和要点。
3.详细解释如何利用角边角（ASA）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.举例说明角边角（ASA）判定方法的实际应用。
5.总结角边角（ASA）判定方法的特点和适用条件。
三、边角边（SAS）判定方法：1.说明边角边（SAS）判定方法是一边、一角和另一边相等的三角形判定方法。
2.介绍边角边（SAS）判定方法的具体步骤和要点。
3.详细解释如何利用边角边（SAS）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.引用实际问题，说明边角边（SAS）判定方法的应用场景。
5.总结边角边（SAS）判定方法的特点和限制条件。
四、角角边（AAS）判定方法：1.介绍角角边（AAS）判定方法是两个角和一边相等的三角形判定方法。
2.说明角角边（AAS）判定方法的步骤和要点。
3.详细解释如何利用角角边（AAS）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.举例说明角角边（AAS）判定方法在实际问题中的应用。
5.总结角角边（AAS）判定方法的特点和使用条件。
五、直角边（HL）判定方法：1.介绍直角边（HL）判定方法是直角边和斜边相等的三角形判定方法。
直角三角形全等判定方法
直角三角形全等判定方法直角三角形是一种特殊的三角形，它的一个角为90度。
在几何学中，判定两个三角形全等的方法有很多，对于直角三角形全等的判定也有一些独特的方法。
本文将介绍几种常用的直角三角形全等判定方法。
一、SAS判定法SAS（边-角-边）判定法是指如果两个直角三角形的两条边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
具体来说，如果两个直角三角形的一个直角边和斜边分别相等，且另一个直角边相等，则它们全等。
二、SSS判定法SSS（边-边-边）判定法是指如果两个直角三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
具体来说，如果两个直角三角形的三条边分别相等，则它们全等。
三、ASA判定法ASA（角-边-角）判定法是指如果两个直角三角形的一个角和两边的对应边分别相等，则这两个三角形全等。
具体来说，如果两个直角三角形的一个直角角和另外两个角分别相等，则它们全等。
四、AAS判定法AAS（角-角-边）判定法是指如果两个直角三角形的两个角和一条边的对应边分别相等，则这两个三角形全等。
具体来说，如果两个直角三角形的两个角和另外一条边分别相等，则它们全等。
五、HL判定法HL（斜边-直角边）判定法是指如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，则这两个三角形全等。
具体来说，如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，则它们全等。
需要注意的是，在使用这些判定方法时，必须保证所给的条件足够确定两个直角三角形。
例如，如果只给出两个直角三角形的两个直角边相等，不能判定它们全等，因为只有两个直角边相等并不能确定第三条边的长度。
除了以上的判定方法，我们还可以利用勾股定理来判定直角三角形的全等。
勾股定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方的和。
如果两个直角三角形的斜边和直角边分别相等，则它们全等。
我们可以利用SAS、SSS、ASA、AAS、HL判定法以及勾股定理来判定直角三角形的全等。
根据给定的条件，选择合适的判定方法进行推导和判断。
三角形全等的判定(5)——HL
几何语言描述： 在Rt△ABC与Rt△DEF中
AB=DE AC=DF（或BC=EF）
∴Rt△ABC ≌ Rt △DEF（HL）
B
C
D
E
F
小结
判断两个直角三角形全等的方法有： 第一种：SSS
第二种：SAS 第三种：ASA 第四种：AAS 第五种：HL
精练
1、已知∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC ≌ △BAD，还需一个什么条件？
数学（人教版） 八年级 上册
第十二章 全等三角形 12.2 三角形全等的条件
第五课时 斜边、直角边
课前回顾
判定两个三角形全等的方法： 三边分别相等的两个三角形全等。
（即 “边边边”或“SSS”） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 （即 “边角边”或“SAS”） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 （即 “角边角”或“ASA”）
观察与思考
先任意画一个△ABC，再画一个△AˊBˊC，使△ABC和△AˊBˊC满足上述 六个条件中的三个。画出的这两个三角形一定全等吗？ 满足三个条件： 三个角相等 不一定全等
三条边相等
全等
两边一角相等 两边一角相等
两角一边相等
两角一边相等
两边和它们的 夹角相等Βιβλιοθήκη 全等两边和其中一 边对角相等
不一定全等
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 （即 “角角边”或“AAS”）
学习目标
学习目标 1．探索并理解“HL” 判定方法。 2．会用“HL” 判定方法证明两个直角三角形全等。 3．通过画图、比较、验证，培养学生注重观察、不断总结的良好思维习惯。 重点 掌握“HL”判定两个直角三角形全等的方法。 难点 掌握“HL”判定两个直角三角形全等的方法。
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)本文讲述了全等三角形的判定方法，重点是边角边和角边角。
边角边指两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”。
需要注意的是，必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角。
例如，在图中的△ABC和△ABD中，虽然有一个角和两边相等，但是这两个三角形不全等。
但是在例1中，如果AC=AD，且∠CAB=∠DAB，则可以证明△ACB≌△ADB。
在例2中，如果AD∥BC，且∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF，则可以证明BF=CE。
角边角是指两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”。
例如，在例2中，如果AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则可以直接判定△ABD≌△ACD。
在例3中，如果在Rt△ABC中，BC=2cm，CD⊥AB，且EC=BC，EF=5cm，则可以求出AE的长度。
除了边角边和角边角外，还有三种判定全等三角形的条件。
在例5中，如果在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，且有一个角相等，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例6中，如果AB∥DE，AB=DE，BF=CE，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例7和例8中，分别是通过角平分线和垂线的判定方法来证明两个三角形全等。
总之，掌握全等三角形的判定方法对于解决几何问题非常重要。
1.如图所示，在三角形ABC中，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB。
根据角角边相等可知，∠ACB=∠DCB。
又因为AB=DC，所以BC=AC。
因此，根据SSS（边边边）相等可知，△ABC≌△DCB。
同时，∠ACB=∠DCB，AC=BC=DC。
2.如图所示，在三角形ABD和ABF中，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE。
根据角角边相等可知，∠ABD=∠BCE。
又因为AD=CE，所以BD=BE。
因此，根据SAS（边角边）相等可知，△ABD≌△BCE。
同时，∠ABD=∠BCE，AD=CE=BE。
初二数学知识点之全等三角形五大判定方法
初二数学知识点之全等三角形五大判定方法一、边边边（SSS）学习全等三角形判定法则时，第一条就是边边边。
内容：它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
理解：若给出三条线段的长度(满足三角形三边关系)，即可确定出的三角形形状，大小。
若给出三条线段长度AB=c，BC=a，AC=b，确定过程如下：①先确定一边AB；②分别以AB为圆心，分别做半径为b，a长的圆，交于C点；③最后连接AC，BC。
这样三角形的大小，形状就都被确定出来了。
二、边角边（SAS）内容：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
理解：若确定两条公共端点线段的长度，及它们的夹角，即可确定出的三角形形状，大小。
若给出AB=c BC=a ∠B=α，确定过程如下：①画∠EAD=α；②在射线AE上截取AC=c，在射线AD上截取AB=c；③连接BC。
这样，三角形的.大小形状同样被确定了。
三、角边角（ASA）内容：两角和他们的夹边分别相等的两个三角形全等。
理解：若给出三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度了，即可确定出的三角形形状，大小。
若有AB=c，∠CAB=α，∠CBA=β，确定过程如下：①先确定一边AB=c；②在AB同旁画∠DAB=α，∠EBA=β，AD，BE交于点C。
这样，三角形的大小形状同样被确定了。
四、角角边（AAS）内容：两边分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
理解：若给出三角形的两个角的大小和其中一个角对边的长度了，即可确定出的三角形形状，大小。
若有AB=c，∠CAB=α，∠ACB=β，确定过程如下：由三角形的内角和为180度可得出剩下一角∠CBA的度数，这样，利用角边角的思路即可确定三角形形状大小。
相关定理：三角形内角和为180度五、斜边，直角边（HL）内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
(HL)理解：若确定一个三角形为直角三角形，同时得到其一个直角边和斜边的长度，即可确定出三角形的形状大小。
若确定三角形为直角三角形，还得到其一直角边和斜边，则可勾股定理得出剩下一边，再通过SSS或SAS即可确定三角形形状大小。
12-2-5 三角形全等的判定HL(原卷版)
12.2.5三角形全等的判定HL用HL判定三角形全等概念题型一：判定使用HL证明全等【例题1】（2020·广东期末）如图，OD AB⊥于D，OP AC⊥于P，且OD OP=，则AOD与AOP 全等的理由是()A．SSS B．ASA C．SSA D．HL【点睛】本题考查三角形全等的判定方法HL.根据已知结合图形，找到已经有的条件，然后结合判定方法选择条件是正确解答本题的关键．特别注意题目要求利用HL判定全等,需要的是两个直角三角形的斜边和一直角边对应相等.变式训练【变式1-1】（2021·四川期末）如图，AB BD⊥，CD BD⊥，AD BC=，则能直接判断Rt RtABD CDB△△≌的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS知识点管理归类探究在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”【变式1-2】（2021·全国八年级）如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL【变式1-3】（2020·东莞市东莞中学初中部八年级期中）如图，CE AB ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为点E ，F ，且CE DF =，AC BD =，那么Rt Rt AEC BFD △≌△的理由是（ ）．A ．HLB ．SSSC ．SASD ．AAS题型二：通过添加条件利用SSS ，判定三角形全等【例题2】（2020·河南期末）如图，ABC 中，AD BC ⊥于D ，要使ABD ACD △≌△，若根据“HL ”判定，还需要加条件__________【点睛】本题考查选条件补齐使用HL 证明三角形全等.注意要两个直角三角形+斜边+一直角边. 变式训练【变式2-1】（2020·东莞期中）如图，已知AB⊥CD ，垂足为B ，BC=BE ，若直接应用“HL”判定⊥ABC ⊥⊥DBE ，则需要添加的一个条件是__________．【变式2-2】（2021·江苏期末）结合如图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：在Rt ABC ∆和Rt DEF ∆中，90C F ∠=∠=︒，AC DF =，_______Rt ABC Rt DEF ∴∆≅∆．【变式2-3】（2020·永善县墨翰中学八年级月考）如图，要用“HL ”判定Rt ABC 和Rt A B C '''全等的条件是（ ）A ．AC AC ''=，BCBC ''= B ．A A '∠=∠，AB A B ''=C ．AC AC ''=，AB A B ''=D ．B B '∠=∠，BC B C ''= 题型三：直接利用SSS 证明三角形全等【例题3】（2020·沭阳县修远中学七年级期末）已知：BE⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：⊥BEC⊥⊥DAE【点睛】HL 证明全等需要两个直角三角形+两个条件，在此类简单的证明题中往往题目中给出两个明显的条件，第三个条件可能隐藏在公共边或者线段的和差得到；此外还可能需要寻找题目中已知条件或者图形中隐含条件通过等量代换达到证明全等的目的.变式训练【变式3-1】（2021·湖北武汉市·八年级期中）如图，已知AB ＝CD ，CE ＝BF ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，求证：CD ⊥AB ．【变式3-2】（2020·云南红河哈尼族彝族自治州·九年级学业考试）已知：如图，AB=CD ，DE⊥AC ，BF⊥AC ，E ，F 是垂足，AE=CF ．求证：⊥ABF⊥⊥CDE【变式3-3】（2020·荣县留佳初级中学校八年级期中）已知：如图，DE⊥AC ，BF⊥AC ，AD=BC ，DE=BF ，求证：AD⊥BCHL 证明全等的应用题型四：全等三角形性质与HL 判定的综合运用【例题4】（2021·全国八年级专题练习）如图，Rt ABC 与Rt DEF △的顶点A ，F ，C ，D 共线，AB 与EF 交于点G ，BC 与DE 相交于点H ，90B E ∠=∠=︒，AF CD =，AB DE =．（1）求证：Rt ABC Rt DEF ≌；（2）若1GF =，求线段HC 的长．【点睛】方法总结:证明线段相等或角相等可以通过证明三角形全等而得到，所以可以根据题目给出的已知条件，考虑证明三角形全等，还需要什么条件这些条件怎样可以得到.由对应边角相等的条件边得到三角形全等，这是全等三角形的判定;由三角形全等得到对应的边角相等，这是全等三角形的性质.变式训练【变式4-1】 （2019·江苏苏州市·七年级期末）已知:如图，AB BC ⊥，CD DA ⊥，AB CD =．求证:OB OD =．【变式4-2】（2019·河南开封市·八年级月考）在ABC 中，,90AB CB ABC ︒=∠=，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =.（1）求证：Rt ABE Rt CBF ≅△△（2）若30EAB ︒∠=，求BFC ∠度数.【变式4-3】（2020·贵州省施秉县第二中学八年级期末）如图所示，C 、D 分别位于路段A 、B 两点的正北处与正南处，现有两车分别从E 、F 两处出发，以相同的速度直线行驶，相同时间后分别到达C 、D 两地，休整一段时间后又以原来的速度直线行驶，最终同时到达A 、B 两点，那么CE 与DF 平行吗？为什么？题型五：角平分线与HL 的综合【例题5】（2019·江苏南通市·南通第一初中七年级月考）如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，且PD ＝PE ，则⊥APD 与⊥APE 全等的理由是（ ）A ．SASB ．AAAC ．SSSD ．HL【点睛】此题型考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握HL 全等三角形的判定和性质是解题的关键．注意灵活使用角平分线上的点到角两边距离相等.变式训练【变式5-1】（2019·浙江台州市·八年级期末）用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（ ）A ．HLB ．SSS B ．C ．SASD ．ASA 【变式5-2】（2020·吉林市亚桥第一九年制学校八年级期中）如图，四边形ABCD 中，90D ∠=︒，AB AC =，BEAC ⊥于点E ，=AE AD ．求证：AC 平分DAB ∠．3.（2018·郴州市第五中学八年级期末）如图，AC平分⊥BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD的延长线于F，且BC=DC．求证：BE=DF．【真题1】（2014·江苏南京市）（问题提出）学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．（初步思考）我们不妨将问题用符号语言表示为：在⊥ABC和⊥DEF中，AC=DF，BC=EF，⊥B=⊥E，然后，对⊥B进行分类，可分为“⊥B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．（深入探究）第一种情况：当⊥B是直角时，⊥ABC⊥⊥DEF．（1）如图⊥，在⊥ABC和⊥DEF，AC=DF，BC=EF，⊥B=⊥E=90°，根据，可以知道Rt⊥ABC⊥Rt⊥DEF．第二种情况：当⊥B是钝角时，⊥ABC⊥⊥DEF．（2）如图⊥，在⊥ABC和⊥DEF，AC=DF，BC=EF，⊥B=⊥E，且⊥B、⊥E都是钝角，求证：⊥ABC⊥⊥DEF．第三种情况：当⊥B是锐角时，⊥ABC和⊥DEF不一定全等．（3）在⊥ABC和⊥DEF，AC=DF，BC=EF，⊥B=⊥E，且⊥B、⊥E都是锐角，请你用尺规在图⊥中作出⊥DEF，使⊥DEF和⊥ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）⊥B还要满足什么条件，就可以使⊥ABC⊥⊥DEF？请直接写出结论：在⊥ABC和⊥DEF中，AC=DF，链接中考BC=EF，⊥B=⊥E，且⊥B、⊥E都是锐角，若，则⊥ABC⊥⊥DEF．【拓展1】（2019·辽宁大连市·八年级月考）阅读下面材料，完成（1）-（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图，⊥ABD和⊥ACE中，AB＝AD，AC＝AE，⊥DAB＝⊥CAE＝α，连接DC、BE交于点F，过A作AG⊥DC于点G，探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现线段BE与线段DC相等．”小伟：“通过观察发现，⊥AFE与α存在某种数量关系．”老师：“通过构造全等三角形，从而可以探究出线段FG、FE、FC之间的数量关系．”（1）求证：BE＝CD；（2）求⊥AFE的度数（用含α的式子表示）；（3）探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明．【拓展2】（2020·湖北黄石市·黄石八中八年级期中）如图1，AB=12，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=8．点P在线段AB上以每秒2个单位的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由B点向点D运动．它们的运动时间为t(s).（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=2时，⊥ACP与⊥BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“⊥CAB=⊥DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为每秒x个单位，是否存在实数x，使得⊥ACP与⊥BPQ全等？若存在，求出相应的x,t的值；若不存在，满分冲刺请说明理由．。
三角形全等的判定方法
三角形全等的判定方法在几何学中，全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
判定两个三角形是否全等是我们在几何学中经常遇到的问题。
下面我们将介绍几种常见的三角形全等的判定方法。
1. SSS判定法。
SSS判定法是指边-边-边判定法，即两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
例如，如果三角形ABC的边长分别为a、b、c，三角形DEF的边长分别为a、b、c，那么三角形ABC与三角形DEF就是全等的。
2. SAS判定法。
SAS判定法是指边-角-边判定法，即两个三角形的一条边和与其相邻的两个角分别与另一个三角形的一条边和与其相邻的两个角相等时，这两个三角形就是全等的。
例如，如果三角形ABC的边长分别为a、b，夹角C的大小为θ，三角形DEF的边长分别为a、b，夹角F的大小为θ，那么三角形ABC与三角形DEF就是全等的。
3. ASA判定法。
ASA判定法是指角-边-角判定法，即两个三角形的两个角和它们之间的一条边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
例如，如果三角形ABC的两个角分别为θ1、θ2，边长为c，三角形DEF的两个角分别为θ1、θ2，边长为c，那么三角形ABC与三角形DEF就是全等的。
4. RHS判定法。
RHS判定法是指直角边-斜边-直角边判定法，即两个直角三角形的一个直角边和斜边分别相等时，这两个直角三角形就是全等的。
例如，如果直角三角形ABC的一个直角边为a，另一个直角边为b，斜边为c，直角三角形DEF的一个直角边为a，另一个直角边为b，斜边为c，那么直角三角形ABC与直角三角形DEF就是全等的。
综上所述，我们可以通过SSS判定法、SAS判定法、ASA判定法和RHS判定法来判定三角形是否全等。
掌握这些判定方法，可以帮助我们更好地理解和运用几何学知识，解决实际问题。
希望本文介绍的内容能够帮助大家更好地理解三角形全等的判定方法。
三角形全等的判定
《三角形全等的判定》xx年xx月xx日contents •三角形全等的定义•三角形全等的判定定理•三角形全等的证明方法•三角形全等的实际应用•总结与回顾目录01三角形全等的定义什么是三角形全等•三角形全等是指两个三角形完全相同，即它们的对应边和对应角都相等。
全等是三角形的基本性质之一，也是几何学中常用的重要概念。
•在几何学中，三角形全等可以用符号“≌”来表示。
如果两个三角形全等，我们可以用符号表示为“△ABC≌△DEF”。
三角形全等的符号表示三角形全等具有以下性质对应边相等：全等三角形的对应边相等，即如果△ABC≌△DEF，那么AB=DE，BC=EF，CA=FD。
对应角相等：全等三角形的对应角相等，即如果△ABC≌△DEF，那么∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
旋转和反射不变：全等三角形经过旋转或者反射后仍然全等。
大边对应大角：在全等三角形中，如果两条较长的边对应相等，那么它们所夹的角也相等。
角平分线相等的三角形全等：如果一个三角形的角平分线相等，那么这个三角形一定是全等的。
三角形全等的性质02三角形全等的判定定理SAS定理是“边角边”定理，指的是如果两个三角形的两边和夹角对应相等，则这两个三角形全等。
总结词SAS定理是三角形全等判定中比较常用的方法之一。
其具体表述为：如果两个三角形的两边和夹角对应相等，则这两个三角形全等。
这个定理的关键在于“夹角”，夹角不同，即使边长相等，两个三角形也不会全等。
详细描述SAS定理总结词AAS定理是“角角边”定理，指的是如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边对应相等，则这两个三角形全等。
详细描述AAS定理是三角形全等判定中比较常用的方法之一。
其具体表述为：如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边对应相等，则这两个三角形全等。
这个定理的关键在于“两个角”，只要两个角相等，就可以证明两个三角形全等。
AAS定理SSS定理是“边边边”定理，指的是如果两个三角形的三条边对应相等，则这两个三角形全等。
证明三角形全等的五种基本思路
证明三角形全等的五种基本思路1.SSS判定：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
证明思路是通过对应边定比例得到对应角的正弦值相等，从而得出对应角相等，从而证明两个三角形的所有角度相等，即全等。
2.SAS判定：如果两个三角形的一边和与之相对的两个角分别相等，则这两个三角形是全等的。
证明思路是对于相等的边，利用正弦定理和余弦定理得到其它两边的比例，从而得到与之相对的两个角的正弦值相等，从而证明两个三角形的所有角度相等，即全等。
3.ASA判定：如果两个三角形的两个角和夹角的两边分别相等，则这两个三角形是全等的。
证明思路是对于相等的角，利用正弦定理和余弦定理得到其它两边的比例，从而得到夹角的两边的比例，从而证明两个三角形的对应边相等，即全等。
4.RHS判定：如果两个三角形的一个直角边和斜边分别相等，则这两个三角形是全等的。
证明思路是对于相等的边，利用余弦定理和正弦定理得到其它两边的比例，从而证明两个三角形的对应边相等，即全等。
5.AAS判定：如果两个三角形的两个角和一边（不是两边夹角）分别相等，则这两个三角形是全等的。
证明思路是对于相等的角，利用正弦定理和余弦定理得到其它两边的比例，从而得到对应角的正弦值相等，从而证明两个三角形的所有角度相等，即全等。
以SSS判定为例，具体证明流程如下：已知两个三角形ABC和DEF的边长分别为AB=DE,BC=EF,CA=FD。
我们要证明∆ABC≌∆DEF。
1.首先，我们写出三角形ABC和DEF的正弦定理：sin(A)/AB = sin(B)/BC = sin(C)/CA --(1)sin(D)/DE = sin(E)/EF = sin(F)/FD --(2)2.由于AB=DE,BC=EF和CA=FD，我们可以得到三个等式：AB/DE=1,BC/EF=1,CA/FD=1--(3)3.将等式(1)和等式(3)相结合，我们可以得到：sin(A)/sin(D) = AB/DE, sin(B)/sin(E) = BC/EF, sin(C)/sin(F) = CA/FD --(4)4.由于AB/DE=BC/EF=CA/FD=1，根据等式(4)，我们得到：sin(A)/sin(D) = sin(B)/sin(E) = sin(C)/sin(F) --(5)5.根据等式(5)，我们可以得到A=D,B=E和C=F。
三角形全等的判定方法 归纳
三角形全等的判定方法归纳
嘿，咱今儿就来唠唠三角形全等的判定方法哈！你说这三角形啊，
就像咱生活中的好多事儿一样，得有个标准才能搞明白。
咱先说说“边边边”，这就好比是盖房子，三边都一样了，那这房子
的形状不就固定啦？两个三角形要是三边都对应相等，那它们肯定全
等呀！你想想，这不是挺明显的嘛。
还有“边角边”呢，这就好像你认识一个人，知道他的长相和某个特
别的动作，那你不就能确定是他啦？三角形也是这样，两边和它们的
夹角相等，那这俩三角形就是全等的哟！
“角边角”也很重要呀！就跟你找东西似的，知道了几个关键的特征，就能准确地找到啦。
两个角和它们夹的边相等，三角形也就全等喽。
再说说“角角边”，这就像是拼图，知道了几个关键的角和一条边，
那整个图形不就出来啦。
这些判定方法可都是宝贝呀，就像你手里的钥匙，能打开三角形全
等的大门。
咱学习的时候可得好好记住，别搞混啦。
你说要是没有这些判定方法，那咱咋知道哪些三角形是一样的呀？
那不就乱套啦。
就好像你在一堆东西里找你想要的，没个标准那可不行。
你再想想，生活中不也有很多类似的情况嘛。
比如说交朋友，得看
一些关键的品质和特点，才能知道是不是志同道合的嘛。
所以呀，这三角形全等的判定方法可不仅仅是数学里的知识，它也
能让咱联想到好多生活中的道理呢。
咱得把这些方法掌握好，就像掌
握生活的窍门一样，让咱的学习和生活都变得更有意思，更有秩序呀！
总之呢，三角形全等的判定方法就是这么重要，这么神奇，咱可得
好好珍惜和利用它们哟！。
14.2.5全等三角形的判定(HL)
两个直角三角形 全等的判定
（尺规作图） 已知：△ABC，其中∠C为直角。 求作：Rt△A'B'C',使∠C'为直角， A'C'=AC，A'B'=AB
A
C
B
探究 下面的两个直角三角形，它们全等吗？
斜边和一条直角边对应相等的两个直 角三角形一定全等吗？
归纳
判定两个直角三角形全等的另一种方法：
斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等.简记为“斜边、直角 边”或“HL”.
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯 的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相 等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE之间 有什么关系？
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯 的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相 等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大 小有什么关系？ E
解： ∠ABC+∠DFE = 90° 理由如下： C 在Rt△ABC与Rt△DEF中，
斜边、直角边公理 (HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 .
B
∵∠C=∠C′=90° ∴在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中
A
AB=A'B'
BC=B'C'
A ′
C B′
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL)
C ′
判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?
1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两 个直角三角形. 全等 (AAS)
判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么? 2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相 等的两个直角三角形. 全等 ( ASA)
完整版三角形全等的五种判定方法及如何构造三角形全等
全等三角形综合复习1. 全等三角形的概念及性质;2. 三角形全等的判定；3. 角平分线的性质及判定。
知识点一：证明三角形全等的思路通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：找夹角SAS已知两边找第三边SSS找直角HLACF BDE。
已知一边一角边为角的对边边为角的邻边找任一角AAS找夹角的另一边SAS找夹边的另一角ASA找边的对角AAS已知两角找夹边ASA找任一对边AAS例1.如图，A,F,E,B四点共线, AC CE，BD DF，AE BF，AC BD。
求证:知识点二：构造全等三角形例2.如图，在ABC中,例3.如图，在ABC中，AB BC , ABC 90°。
F为AB延长线上一点，点E在BC上, BE BF，连接AE,EF 和CF。
求证：AE CF。
知识点三：常见辅助线的作法1.连接四边形的对角线例 4.如图，AB//CD，AD//BC，求证：AB CD。
解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。
2•作垂线，利用角平分线的知识例5.如图，AP,CP分别是ABC外角BP为MBN的平分线。
解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时,角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。
3. “截长补短”构造全等三角形AB AC PB PC。
在AB上截取AN AC，连接PN在APN与APC中AN ACQ 1 2AP APAPN APC (SAS)PN PCQ 在BPN 中，PB PN BNPB PC AB AC，即AB —AC>PB —PC。
例6.如图，在ABC中，AB AC，2，P为AD上任意一点。
求证：常过。
求解答过程:、选择题：1. 能使两个直角三角形全等的条件是A.两直角边对应相等C.两锐角对应相等2. 根据下列条件，能画出唯一A. AB 3，BCC. C 60°，3. 如图，已知CA. 4D :④个4，CAB 45°，2，ACE。
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15.2三角形全等的判定(五)
教学目标
1.知识与技能
学会判定直角三角形全等的特殊方法，发展合情推理能力。
2. 过程与方法
经历探索直角三角形全等条件的过程，学会运用“HL”解决实际问题
3. 情感态度与价值观
感受数学思想，激发学生的求知欲，使学生体会到逻辑推理的应用价值
教学重点
掌握判定直角三角形全等的特殊方法
教学难点
应用“HL”解决直角三角形全等的问题
教学过程
一、回顾交流
1．课堂演练
已知如下图所示，BC=EF,AB⊥BE垂足为B,DE⊥BE垂足为E,AB=DE
求证：AC=DF
分析：要证AC=DF,必须寻找与AC,DF有关的三角形，然后证明它们全等，这里由已知条件分析可得∠ABC=∠FED=90°,AB=DE,BC=EF利用SAS可证明出这两个直角三角形全等
证明：（学生板演）
2．问题迁移
如果将上题AB=DE改成AC=DF,其他条件不变，你能证明出AB=DE吗？
引导：画一个任意Rt△ABC使得∠C=90°，然后画出△A1B1C1满足条件B1C1=BC，A1B1=AB,再把画好的Rt△A1B1C1剪下来看看是否能与Rt△ABC完全重合。
3．作图
已知Rt△ABC,其中∠C为直角，求作：Rt△A1B1C1, 使∠C1为直角, A1C1=AC, A1B1=AB.
作法：①作∠MC1N=∠C=90°
②在C1M上截取C1 A1=CA
③以A1为圆心，AB长为半径画弧，交C1N与B1,
④连接A1B1，
则Rt△A1B1C1就是所求作的直角三角形
直角三角形全等判定定理：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（记为“斜边，直角边”或“HL”）
二．例题分析
例7. 已知:如图∠BAC=∠CDB=90°,AC=DB 求证：AB=DC
证明：∵∠BAC=∠CDB=90°（已知）
∴△BAC,△CDB都是直角三角形
又∵ AC=DB （已知）
BC=CB （公共边）
∴ Rt△ABC≌Rt△DCB （HL）
∴ AB=DC （全等三角形的对应边相等）
三．课堂练习
练习 1. 2. 3.
四．课堂小结
直角三角形是特殊的三角形，一般三角形所具有的性质，直角三角形都具备，因此判定两个直角三角形全等时，完全可以用前面学过的判定方法：“SAS,ASA,AAS,SSS”，此外，还有“斜边、直角边”即“HL”；有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
五．作业布置
习题第7题
复习题A组
六．反思：。